автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Вынужденные колебания одномерных упругих континуально-дискретных систем при гармонических и случайных возмущениях

На правах рукописи

Джанкулаев Азмат Яхьяевич

Вынужденные колебания одномерных упругих континуально-дискретных систем при гармонических и случайных возмущениях

Специальность 05.23.17 - Строительная механика.

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

Волгоград - 2004

Работа выполнена в Кабардино - Балкарском государственном университете им. Х.М. Бербекова

Научный руководитель: - доктор технических наук, профессор

Культербаев Хусен Пшимурзович

Официальные оппоненты: - доктор технических наук, профессор

Пшеничкина Валерия Александровна, - кандидат технических наук, доцент Коновалов Олег Владимирович

Ведущая организация: Филиал федерального государственного

унитарного предприятия «КТБ бетона и железобетона», Инженерный центр «Югстрой», г. Волгоград

Зашита состоится 19 мая 2004 г. в 10.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.026.01 в Волгоградском государственном архитектурно-строительном университете по адресу: 400074, г. Волгоград, ул. Академическая, 1, ауд. Б-203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета.

Автореферат разослан

Ж 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л.В. Кукса

Актуальность проблемы. Колебательные системы и процессы уже длительное время привлекают внимание исследователей и проектировщиков. Повышенные экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям, машинам и оборудованию в последние десятилетия вызвали особый интерес к изучению случайных колебаний. Области инженерной деятельности, так или иначе связанные со случайными процессами,. к настоящему времени чрезвычайно расширились по объективным причинам. Почти любое техническое устройство, здание или сооружение находится под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме их функционирования.

В качестве таких возмущений, имеющих явно вероятностное происхождение, можно указать на сейсмические, ветровые, снеговые нагрузки; силы, передающиеся на конструкции зданий и сооружений от работающего технологического оборудования; нерегулярные морские волнения, нагружающие корпуса судов и прибрежные сооружения; кинематические перемещения опор и опорных контуров упругих элементов, работающих в составе сооружений и оборудования и т.д.

К настоящему времени хорошо изучены случайные колебания в дискретных системах при действии как скалярных, так и векторных динамических сил, случайные колебания в распределенных системах при действии скалярных возмущений динамического или кинематического происхождения. По ним уже имеется обширная библиография, включающая монографии, научные статьи и т.д.

В то же время вопросы детерминистических и случайных колебаний сооружений как континуально-дискретных систем при действии векторных возмущений с коррелированными между собой компонентами, представляющими динамические нагрузки и кинематические источники колебаний, недостаточно исследованы.

Основное внимание до сих пор уделялось изучению динамического поведения систем с регулярной структурой в виде идеализированных

дискретных или континуальных моделей. Однако, во множестве практических

случаев дискретные и континуальные типы структур одновременно сочетаются и взаимодействуют. Между тем такого рода задачи рассмотрены недостаточно, хотя они вызывают теоретический и практический интерес.

В силу таких причин представляется своевременной и актуальной дальнейшая разработка новых математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о гармонических и случайных колебаниях конструкций зданий и сооружений, строительного и технологического оборудования.

Гибкие упругие элементы, моделью колебаний которых является струна, встречаются в технике, строительных сооружениях и машинах, в строительном технологическом оборудовании часто. Это такие конструкции и детали, как тросы, нити, канаты, провода, ремни, ленты, цепи, кабели, верёвки, шланги, имеющие широкое применение в линиях передач (электрические, телефонные, телеграфные провода); в несущих и поддерживающих конструкциях висячих подвесных сооружений и мачтово-башенных антенных сооружений; в приспособлениях для буксировки транспорта и строповки грузов (автомобильный, водный и воздушный транспорт, подъёмно-транспортное оборудование, строительные машины); в канатно-подъёмных сооружениях для транспортирования грузов и пассажиров, в которых для перемещения вагонеток, вагонов или кресел служит канат, натянутый между опорами; в подъемно-транспортных машинах как периодического (грузоподъемные машины), так и непрерывного действия (конвейеры, элеваторы, эскалаторы); в устройствах наземного и подвесного транспорта (фуникулеры, канатные дороги).

По своей математической постановке и механическому содержанию к задачам о поперечных колебаниях струн весьма близкими оказываются задачи о продольных колебаниях стержней, которые являются актуальными для изучения колебаний вертикально стоящих протяжённых сооружений как мачты, башни, антенны, трубы, опоры линий электропередач, подвергающиеся сейсмическим воздействиям в продольном направлении через их основания.

Целью работы - является разработка методов и алгоритмов решения задач о колебаниях континуальных и континуально-дискретных механических систем при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи работы:

> Для четырёх типов упругих систем (однородной струны, имеющей гладкое регулярное строение; континуально-дискретной струны; вертикально стоящего стержня гладкой регулярной структуры; континуально-дискретного стержня), имеющих широкое распространение в строительстве и технике, разработать модели новых задач о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях. Учесть при этом для колебаний струны и стержня с регулярной структурой векторный характер возмущений, образуемых кинематическими и динамическими источниками; в математические модели колебаний континуально-дискретных систем включить одновременно уравнения колебаний распределённых участков и уравнения колебаний сосредоточенных масс с сопрягающими их элементами; предложить дополнительные условия для определения частных решений смешанной системы уравнений.

> В детерминистическом случае колебаний для указанных типов упругих систем разработать методики и алгоритмы определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний; определить при одновременно динамически и кинематически возбуждаемых гармонических колебаниях функции перемещений и форм распределения амплитуд при наличии сил сопротивления.

> В вероятностной постановке задач для тех же типов упругих систем, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, выявить влияние степени взаимной коррелированности составляющих входных процессов, а также других параметров на вероятностные характеристики колебаний.

> На основе разработанных методик составить алгоритмы расчётов для детерминистических и стохастических задач о колебаниях упругих механических систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования.

> Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.

> По всем четырём типам упругих систем провести расчёты для реальных технических задач.

Автор защищает:

> Методику нахождения спектров собственных частот и форм свободных колебаний континуальных и континуально--дискретных упругих механических систем.

> Методику определения функций перемещений и форм распределения амплитуд при наличии сил сопротивления для гармонических колебаний, возбуждаемых векторными возмущениями.

> Результаты расчётов континуальных и континуально--дискретных упругих механических колебательных систем, исследование влияния параметров составляющих входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

> Вынужденные гармонические колебания однородной струны рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер возмущений и наличие сдвига фаз между компонентами.

> Вынужденные случайные колебания однородной струны рассмотрены при возмущениях векторным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами. Для учёта корреляции компонентов вектора возмущений предложены новые формулы для элементов спектральной матрицы.

> Предложены новые математические модели колебаний струны с сосредоточенными массами, представляемой в виде континуально-дискретной системы. Разработаны алгоритмы определения спектров собственных частот и форм колебаний. Предложены методики определения параметров вынужденных гармонических и случайных колебаний.

> Предложена новая математическая и механическая постановки задач о продольных колебаниях стержней, несущих сосредоточенные массы. Разработаны методики решения смешанной системы дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложены эффективные способы определения спектров собственных частот и форм колебаний, амплитуд при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.

Достоверность результатов решения для детерминистических моделей задач подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах,

которые со значительной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном выборе параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.

Практическая направленность. Предложенная методика расчёта одномерных (континуальных и континуально-дискретных, детерминистических и стохастических) колебательных механических систем не только представляет теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчётах реальных строительных и технических сооружений. Для иллюстрации такой возможности проведены реальные вероятностные расчёты несущих канатов надземного подвесного транспорта (фуникулеры, канатные дороги);

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на Одиннадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2001, Самарский государственный технический университет, г.Самара, 2001 г.; на Двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2002, Самарский государственный технический университет, г.Самара, 2002 г.; на научной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, Нальчик, 2002 г.; на научном семинаре «Механика», Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия, Нальчик, 2002 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива - 2003», Кабардино-Балкарский госуниверситет, Нальчик. 2003 г.; на III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г., «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСА, г.Волгоград, 2003 г.; на Всероссийской научно-технической

конференции, 25-27 сентября, «Наука, техника и технологии нового века», КБГУ, г.Нальчик, 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 публикациях.

Объём работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Она содержит 115 страниц.

Краткое содержание работы»

Во введении раскрывается актуальность темы и её значимость для науки и практики, указывается объект, определяются цели и задачи, обосновывается научная новизна, практическая применимость и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу современного состояния проблемы исследования поперечных и продольных детерминистических и стохастических колебаний одномерных систем, имеющих континуальное или континуально-дискретное строение. Отмечается, что в строительстве и во всех областях техники в механических моделях и постановках задач, в проектировании, возведении, изготовлении и дальнейшей эксплуатации всё большее применение находят методы теории вероятностей и статистики, теорий случайных процессов и надёжности. Выделены наиболее важные теоретические и практические достижения к настоящему времени, изложенные в известных монографиях В.В.Болотина, АС.Вольмира, А.С.Гусева, ВАСветлицкого, М.Ф.Диментберга, В.В.Екимова,

B.П.Макеева, Н.И.Гриненко, Ю.С.Павлюка, НАНиколаенко, А.Р.Ржаницына, Бидермана ВЛ, САТимашева, ИАБиргера и Я.Г.Пановко, Казакова М.Е.,

C.П.Тимошенко, В.А Ивовича, В.И. Юдовича, Л.Г. Шахмейстера, Гихмана М.М., Филиппова А.П., D.E.Newland, в сборниках научных статей под редакциями С.Кренделла и W.L.Clarkson, статьях и докладах обзорного характера В.В.Болотина, М.Ф.Диментберга, М.З.Коловского, В.И.Осорина, ААПервозванского, Ерёменко АЛ., S.H.Crandall, W.Q.Zhu, D.N.Van, AN.Dong , F.Kosin. Отмечено, что в работах Болотина В.В., Вольмира А.С., Димитберга А.Ф., Светлицкого В.А., Пшеничкина А.П., Пшеничкиной В.А., Кац И.Я., Кузьмы В.М., Кушнер Г.Дж. особое внимание уделяется динамическим задачам о случайных колебаниях конструкций и сооружений и вопросам надёжности. Широкое применение в статистической динамике и теории надёжности получили методы корреляционной теории случайных процессов и теории надёжности (В.В.Болотин и др.), метод канонических разложений, предложенный B.C. Пугачёвым и далее успешно примененный А.П. Пшеничкиным и другими авторами к ряду задач строительной механики.

Гибкие элементы в виде струн (тросы, нити, пряди, ремни, цепи, канаты, ванты, провода, кабели, ленты, волокна, веревки, шланги) широко применяются в различных областях- техники. Как правило, их работа в конструкциях и механизмах сопровождается колебаниями, вызываемыми одновременно несколькими факторами

как силового, так и кинематического свойства, которые чаще всего оказываются случайными во времени и в пространстве. Такие стохастические краевые задачи рассматривались в работах С.Г. Кренделла, А.П. Кульвец, Т.С. Неверовой, ВАСветлицкого, Х.П. Культербаева, М. Novak и P.Gunadhar.

В последние годы интерес в исследованиях сместился к задачам, рассматривающим колебания континуально дискретных упругих систем. Работы в этом направлении опубликованы ВАСветлицким, Г.Е. Калбергеновым, Л.И. Маневичем, С.Б. Каравашкиным, В.Ю. Бобыльченко, О.В. Дементьевым, Д.А. Индейцевым, И. Колесник, А.И. Макаренко, Н.М. Масловым, Х.П. Культербаевым, Xu Xiaoge, M.Gurgoze, S.P. Cheng, H. Batan,.

E. Esmailzadeh, R.H. Gutierrez, P.K. Sarkar, W. Yi-Ming.

В работах Культербаева Х.П. отмечается, что в гармонических колебаниях континуальных и континуально--дискретных систем сдвиг фаз компонентов векторных возмущений имеет существенное влияние на величину и форму колебаний. При векторных возмущениях, находящихся в одной фазе подтверждается известный факт влияния частоты возмущений на величину и форму распределения амплитуд. Чаще всего возмущения носят стохастический характер. Поэтому ставится задача исследования случайных колебаний систем при действии разнообразных типов возмущений: экспоненциально-коррелированных и процессов со скрытой периодичностью. При этом следует определить влияние частот, доминирующих в случайных возмущениях; значимость степени широкополосности случайных возмущений; роль степени коррелированности компонентов случайного векторного процесса возмущений.

Изучение состояния вопроса и обзор исследований обнаруживают, что в настоящее время имеется ряд практически важных, но слабо разработанных направлений, которые определили основные цели и задачи диссертации.

Во второй главе рассматриваются свободные, вынужденные гармонические и

гиперболического типа с правой частью в рис. i Вект°рный пр0цесс в°змущений- безразмерной форме

ü +2eú - u* =f,(t), х «= (0; 1), t>-oo, (1)

случайные колебания струны (рис. 1). Математическая модель колебаний представляет собой уравнение в частных производных

к которому в качестве дополнительных условий присоединяются граничные условия

В задачах о свободных колебаниях и вынужденных колебаниях в установившемся режиме, которые рассмотрены в диссертации, начальные условия не требуются. В такой модели динамическим источником колебаний является поперечная распределённая нагрузка fi(x, t), с которой сочетаются кинематические перемещения левого и правого концов струны fj(t), íj(t). Каждый отдельно взятый компонент векторного процесса возмущений может

относиться к самым разнообразным типам процессов: детерминистическим, стохастическим, смешанным, т.е. содержащим в себе как детерминистическую так и стохастическую составляющие. Рассмотрены три случая возмущений.

1. Возмущения отсутствуют, т.е. f(t)E0. Этот случай соответствует свободным колебаниям. Определены собственные частоты и формы колебаний: «а,* = (lAt2 - е2)"2,

Эта задача хорошо известна и имеет вспомогательный характер для изучения гармонических и случайных колебаний.

2. f(t) - векторный гармонический процесс. Компоненты векторного процесса приняты с равными частотами , но с разными начальными фазами и имеют описание

где - вещественная и комплексная амплитуды. В таком случае

колебания струны являются вынужденными и гармоническими. Поэтому и в целях использования метода разделения переменных, решение задачи (1), (2) представляется как произведение

u(x, t) = Н(х, Ю) е"*,

где - передаточная функция.

Линейность задачи позволяет воспользоваться принципом суперпозиции и разбить её на три автономные задачи, каждая из которых соответствует отдельному возмущению при отсутствии остальных. Тогда решение задачи (1), (2) представляется суммой решений автономных задач, т.е. амплитуда колебаний струны является скалярным произведением

3u(x) = [А, Н(х, ¡Í1)].

Здесь компоненты вектора Н(х, ¡П) = {Н|(х, ¡О), Нг(х, ¡О), Нз(х, Ю)} определяются в ходе решения вышеупомянутых автономных задач.

Рассмотрены конкретные примеры расчёта при различных комбинациях возмущений для струны, имеющей первые три собственные частоты

При коэффициенте демпфирования е = 0,25 и частоте возмущений П = 2,5 изучено влияние сдвига фаз на амплитуду колебаний (рис. 2). Значения остальных входных параметров для каждой кривой приведены в табл. 1. В картине распределения динамических прогибов основную роль играет первая собственная форма. Кривая 4 построена при комбинированных идеально синхронных возмущениях и её ординаты являются наибольшими.

Сдвиги фаз и безразмерные амплитуды возмущений струны Таблица 1.

0¿5 0,5 0,75

Рас 2 Влияние сдвига фаз на амплшуау колебаннй.

№ кривых си а-2 а3 А, А2 Аз

1 0 0 0 1 0 0

2 0 0 0 0 1 0

3 0 0 0 0 0 1

4 0 0 0 1 1 1

5 0 я/2 0 1 1 1

6 0 л/2 -л/2 1 1 I

Появление сдвига фаз приводит к существенному

уменьшению амплитуды колебаний (кривая 5). Если концы струны

перемещаются идеально кососимметрично , амплитуды становятся наименьшими (кривая 6).

Установлены зависимости амплитуд и форм колебаний от частоты возмущений и сил сопротивления (рис. 3). Величина амплитуды колебаний и форма её распределения вдоль оси существенным образом зависят от частоты возмущений

и сдвига их фаз. При этом обнаружена тесная взаимосвязь между собственными формами колебаний и функциями

распределения отклонений амплитуд вдоль оси. Изменения коэффициента трения е мало влияют на формы колебаний, однако существенно отражаются на их амплитудах (кривые. 4, 4' и 4" рис. 3) при колебаниях в области резонанса.

3. - векторный случайный стационарный процесс. Колебания струны в установившемся режиме представляют пространственно-

временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное по пространственной координате. Задача, поставленная в рамках корреляционной теории, состоит в том, чтобы по заданным характеристикам входного стационарного процесса найти характеристики выходного случайного поля u(x, t). Вероятностные характеристики входного процесса возмущений заданы эрмитовой спектральной матрицей входного процесса

Рис. 3 Зависимость амплитуды и формы вынужденных колебаний от частота возмущений (крива 1-П-О; 1,5(2), 2(3); 2,5(4); е'-0,1(4'): «"-0.5(4-); 6(5); 8,5(6)).

Ставится задача об определении спектральной плотности 8,(х,ш) скалярного поля отклонений и на её основе функции дисперсии отклонений струны 0,(х)

Решение задач на уровне математического ожидания путём осреднения уравнения (1) и граничных условий (2) сводится к классическим

детерминистическим задачам. Это служит основанием для представления как входных так и выходных случайных процессов в виде центрированных процессов.

В диссертации показаны два пути решения задачи. Первый базируется на передаточных функциях НЦх, 10), найденных для гармонических колебаний. Тогда спектральная плотность и дисперсия находятся по формулам

Б^х, ш) = Н(х, ¡ш) БКх, ¡ю) Н'т(х, ¡со), 0„ (х) = 2^ (х, й)>1(й. (3)

Второй путь основывается на автономном решении стохастической краевой задачи, когда передаточные функции неизвестны. Его реализация осуществляется с помощью метода спектральных представлений, суть которого в использовании интегралов Фурье-Стильтьеса для случайных процессов

и(х,0= |и(х.со) е'"Мо.

Спектры такого представления обладают свойством стохастической ортогональности по частоте

(Рк(ю) Р>')Н»3(а-<4 {и(х,ш)р)' (о/)) = 5„Г| (ш)б(со - о)').

Здесь б(-) - дельта функция Дирака, остальные обозначения общеупотребительные.

Показано, что процедура метода приводит к тем же результатам, которые получены первым способом.

Интеграл в правой части (3) является нетабличным и в замкнутом виде не определяется. Выход состоит в применении численных методов. Но при этом появляются сложности выбора шага интегрирования (подынтегральная - функция имеет многочисленные острые всплески) и верхнего предела. Использованы компьютерные вычислительные эксперименты и специально конструируемая / -норма типа

|8,(Х,«)|-¿в,(*,.«) сое[0;со),

по которой устанавливаются верхний предел и сходимость численного интегрирования.

Проведены расчёты, для которых использованы два типа входных

случайных процессов: со скрытой

периодичностью и экспоненциально-коррелированный.

1) Процессы со скрытой

периодичностью_(характерной

частотой). .

Элементы

спектральной

матрицы случайного векторного

х

возмущения имеют вид

Рис.4 Вянянншешнмнрййшррряянннншаиронивс колебаний

skl(a>) =

k,/ = 1,2,3, el= a'u + p¡

*[(cJ -9Í,)2 +4<x>4

'u.

где а« и (iw - параметры широкополосности и характерной частоты, Ck среднеквадратическое отклонение, ри - элементы нормированной корреляционной матрицы, pu, - 1, (pu| S I.

Вначале рассмотрена тестовая задача. Значения входных параметров процесса возмущений брались таковыми, чтобы приблизить случайные колебания к рассмотренным выше гармоническим колебаниям. Взаимная корреляция составляющих случайного процесса возмущений ры является аналогом сдвига фаз, а значение параметра характерной частоты при малых значениях параметра

широкополосности - аналогом частоты гармонических возмущений.

Полученные при этом результаты идентичны соответствующим результатам задачи на гармонические колебания, что подтверждает правильность предложенной модели случайных колебаний, методики расчётов и работы вычислительной программы.

Выявлена зависимость среднеквадратических отклонений от взаимной коррелированности составляющих векторного случайного процесса возмущений. Кривые для среднеквадратических отклонений а„(х) (рис. 4) близки соответствующим графикам на рис. 2 для амплитуд колебаний при автономных гармонических возмущениях.

Исследовано влияние характерной частоты на вероятностные характеристики выхода. Проведены вычисления при значениях параметра характерной частоты Рм. равных частотам возмущений в гармонической задаче. Результаты, представленные графиками рис. 5, близки к результатам гармонических колебаний на рисунке 3. Изучено влияние значения коэффициента

демпфирования е на процесс колебаний.

6а

; /

\/ а \ •

/f/\A и/,t^sx IjL^ Й^^Пи /__ 4i NJ Wv

V5

075

Рис. 5 Влияние характерной частоты, параметра широкополосном и взаимной корреляции на процесс колебаний

При сохранении остальных параметров брались два значения е' = 0,1; е" = 0,5. Им соответствуют кривые 4' и 4" на рис. 5. Уменьшение коэффициента трения ведёт к увеличению значений среднеквадратических отклонений и наоборот, при увеличении трения они падают.

2) Экспоненциалъно-коррелирован-ный случайный процесс.

Элементы спектральной матрицы

случайного векторного возмущения выписываются в виде

Найдены вероятностные характеристики выходного процесса. Вычисления выполнены для автономных колебаний по каждому из источников при идеально-положительной корреляции возмущений (ри= I; к, I = 1, 2, 3). Получены кривые среднеквадратических отклонений, которые подобны соответствующим графикам для гармонических возмущений и случайных возмущений с характерной частотой. Колебания происходят по первой собственной форме. При действии всех возмущений идеально положительная корреляция источников 1, 2, 3) ведёт к значительному повышению среднеквадратических отклонений прогибов.

При колебаниях, возбуждаемых некоррелированными процессами

, как и следовало ожидать, среднеквадратические отклонения существенно

ниже.

При идеально отрицательной корреляции между перемещениями концов струны (pu = 0з| = Р23 = Рз2 = -1) и идеально положительной корреляции между распределённой нагрузкой и перемещением одного из концов (Р12 = р2\ — 1 ИЛИРп^ Р32 = 0> среднеквадратические отклонения значительно падают.

В третьей главе изучены свободные, вынужденные гармонические и случайные продольные колебания однородного гладкого стержня. Механическая модель системы (рис. 6) представляет собой однородный стержень с упруго закрепленными концами. Источником вынужденных колебаний являются кинематические перемещения опор в вертикальном направлении. Такая модель имитирует колебания вертикально стоящих протяжённых сооружений в виде мачт, башен, антенн, труб при сейсмических воздействиях в вертикальном направлении через основания, а также элементов машин и оборудования. Основное дифференциальное уравнение таких колебаний имеет вид

(4)

К нему добавляются граничные условия для нижнего и верхнего концов, учитывающие их упругое закрепление В и'(О, I) - с,[и(0,1) - ОД] =0, -Ви'(М) + с^О-иф, 0] = 0,1 > - оо. (5)

Начальные условия в задаче не требуются, так как рассматриваются установившиеся колебания. Изучены свободные и вынужденные гармонические и случайные колебания. Граничные условия при свободных колебаниях принимают вид

В и'(0,О - с,и(0,0=0, В и'(Ь, 0 + с2и(Ь, 0 = 0, I > - оо.

РЕС 6 Модель стержня при вынувдешшх колебаниях.

Решение задачи ищется как произведение

и(х, 0 = и(х) е*, хе(0,Ь), 1>-со. (6)

Здесь и(х) - комплексная функция вещественного векторного аргумента, собственная форма колебаний стержня; X = - ¡1 + ш — характеристический показатель, /*,£<>- соответственно коэффициент затухания и частота свободных колебаний.

В результате подстановки (6) в (4), (5) и дальнейших преобразований получено характеристическое трансцендентное уравнение вида , решение

которого даёт пары значений собственных частот и* и коэффициентов затухания Его написание в развёрнутой форме представляет громоздкую процедуру. А получить аналитические решения удаётся лишь в простейших предельных случаях. Для решения уравнения использовался численно-аналитический метод, реализуемый на ЭВМ в вычислительной системе MatLab, позволяющей непосредственно пользоваться функциями комплексной переменной.

В численном примере с помощью метода покоординатного спуска найдены первые три решения характеристического уравнения.

Расчёты, проведённые для общих случаев, выявили следующее. Увеличение коэффициентов жёсткостей опор С| и с2 приводит к росту значений собственных частот колебаний оч. При этом коэффициенты затухания ¡и остаются неизменными. При уменьшении высоты h значения собственных частот «к увеличиваются. Рост коэффициента трения а приводит к повышению коэффициентов затухания ц*..

В задаче о свободных колебаниях после вычисления собственных частот и^ и коэффициентов затухания определены собственные формы колебаний

Проверка достоверности определения собственных частот и форм проведена на нескольких тестовых примерах с различными условиями закрепления концов стержня, т.е. по задачам с известными аналитическими решениями. Во всех случаях полученные результаты совпадают с решениями классических примеров.

При вынужденных колебаниях источник возмущений представлен вектором ОД = {^(0, . Линейность оператора задачи (4), (5) позволяет воспользоваться принципом суперпозиции и разбить её на две автономные подзадачи по компонентам вектора ОД. Для каждого гармонического возмущения получены результаты в виде соответствующих передаточных функций и

Рассмотрены конкретные примеры, и изучены влияния сдвига фаз возмущений (рис. 7) и частоты возмущений (рис. 8) на амплитуду колебаний.

На основании расчётов, представленных на рис. 5, 6, сделано заключение, что величина амплитуды колебаний и форма её распределения вдоль оси при продольных колебаниях стержня существенным образом зависят от частоты и сдвига фаз возмущений. Изменения коэффициента трения а не влияют на формы колебаний, однако отражаются на их амплитудах.

о.

х

Рис. 7 Влияние сдвига фаз на амплитуду колебании. 1,2 - автономные возмущения. 3 - комбинированные идеально синхронны возмущения.

3

X

О 0,75 1,5 ^25 3

Рис. 8 Зависимость амплитуды и формы вынужденных колебаний огчасгош возмущений (аг-аа-О. 1),

4,5 - сдвиг

фаз возмущений

3500 г1 (3).2800С (3) .5000 с1(4).

9000г'(5). 15000 с-1(6))

6 - сдвиг фаз возмущений

7,8 -автономные возмущения при С|в® и^>о.

В стохастической задаче вертикальные перемещения опор стержня являются случайными процессами: 1) со скрытой периодичностью; 2) экспоненциально-коррелированными. Исследована зависимость среднеквадратических отклонений колебаний от взаимной коррелированности составляющих векторного случайного процесса возмущений. Наибольшие среднеквадратические отклонения перемещений имеют место при идеально положительной корреляции источников. При некоррелированных, процессах возмущений среднеквадратические отклонения падают. При колебаниях, возбуждаемых процессами со скрытой периодичностью исследовано влияние характерной частоты и параметра широкополосности на величины и формы среднеквадратических отклонений колебаний. При малых значениях характерной частоты возмущений нагружение близко к статическому и динамические эффекты незначительны. При росте характерной частоты среднеквадратические отклонения возрастают и достигают максимальных значений при приближении к собственным частотам. Уменьшение значения параметра широкополосности а приближает случайный процесс колебаний к гармоническим.

Изучено влияние коэффициента демпфирования на случайные колебания: уменьшение коэффициента трения ведет к увеличению значений средне-квадратических отклонений и наоборот, при увеличении трения средне-квадратические отклонения падают.

Т т, т,

Результаты исследований, проведённых в третьей главе, позволяют сделать вывод о существовании тесных связей между свободными, вынужденными гармоническими и вынужденными случайными колебаниями стержней.

В четвёртой главе рассмотрены два типа смешанных континуально-дискретных механических колебательных систем, состоящих из распределённых упругих участков и совокупности сосредоточенных масс: струна с сосредоточенными массами, совершающая поперечные колебания и стержень с сосредоточенными массами, колеблющийся в продольном направлении

1) Однородная горизонтальная струна, движется в продольном направлении с постоянной скоростью и совершает поперечные колебания при наличии вязкого.

Л». трения (рис. 9). На основе гипотезы о малости

I

перемещений составлены математические модели колебаний, представленные в виде двух систем дифференциальных уравнений. Первая из них представляет собой однородные дифференциальные уравнения в частных производных гиперболического типа, описывающие колебания континуальных участков. А вторая - обыкновенные дифференциальные уравнения, соответствующие колебаниям дискретных масс

Здесь - вектор упругих сил, компоненты которого образованы проекциями на вертикальную ось силы натяжения Т, действующей на сосредоточенную массу слева и справа

ь.(1)=-Ти;(о,1),

и 4 д» 4. .1. х>* ^ ш и

Рис. 9 Механическая модель движущейся континуально-дискретной системы.

Две участков

Ь/1)=Т[и^(/м,1)- и-(0,0], ] = 2,3.....,п; Ьи(1)=Ти'(/,н1).

системы уравнений связаны граничными условиями сопряжения

VI (/>1.0 = и](0Д j = 2,3.....п, I > - со.

Разработаны методики и алгоритмы решения, изучены свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания. Для свободных колебаний получено частотное трансцендентное уравнение, представляющее собой равенство нулю некоторой функции комплексной переменной.

/ \ > \

\> а.« \

0,4 Ц>1 2 Ц» \.Т/

V /

Предложен способ решения уравнения, основанный на его приведении к системе двух нелинейных трансцендентных вещественных уравнений с последующим применением к ним процедуры метода покоординатного спуска. Проведены вычисления, определены собственные частоты и формы колебаний (рис. 10). Рассмотрена конкретная задача о колебаниях трёхпролётной струны, неподвижной на концах , с двумя сосредоточенными массами и промежуточными

упругими опорами под этими массами. Кинематические возмущения в задаче представлены синхронными перемещениями опор под массами (аг= аз = 10 мм). Выполненные для такой задачи расчёты представлены графиками на рис. 11. Анализ кривых показал, что при низких частотах возмущений колебания происходят по первой форме (кривые 1 - 4) и учёт континуальности участков струны сказывается слабо. Струна является почти кусочно-прямой линией, натянутой между массами, и в целом конструкция ведёт себя как дискретная система. При более высоких же значениях частот (кривые 5-7) отклонения дискретных масс незначительны, главную роль играют колебания континуальных участков струн между ними.

В стохастической постановке задача состоит в том, чтобы по заданной спектральной матрице входного процесса найти спектральную матрицу случайного поля отклонений струны и дисперсию. Для определения спектральной матрицы отклонений и дисперсий использованы известные соотношения

<л

5„(х, со) =■ Н(х, ¡й))8г(ш)Н*т(х, ¡о), о;(х,) = 2|5*(хр(о)ско.

Ряс 10 Первые собствевые формы колебаний

Для струны, рассмотренной выше при кинематических гармонических возмущениях, проведены вычисления при случайных возмущениях. В качестве входного процесса использован векторный процесс со скрытой периодичностью. Определены дисперсии, а затем среднеквадратические отклонения Оти.

РИС. 11 Зависимость амплитуды и формы вынужденныхколебаннй от частоты ОчИйя 1)>,

Исф 34.32^1); <к\4). а7сА5). 115 140.8 сШ

Рис. 12 Влияние параметра характерной частоты на процесс колебаний Ц-ЗОс'йфИМ! I), ЗОгТО, ЗДг'О). «г1«). бЦгед. 113 г'(6); сЮ

Обеспечивая стохастическую аналогию с гармоническими возмущениями, проведены тестовые расчёты, результаты которых представлены кривыми на рис. 12. Изучено влияние параметра характерной частоты возмущений на процесс колебаний. В результате анализа выявлено, что при низкочастотных возмущениях континуальность участков струны сказывается слабо (кривые 1 - 4). Наоборот, при высокочастотных возмущениях дискретные массы отклоняются незначительно, формы колебаний струны приобретают значительную кривизну (кривые 5 - 7).

Вероятностная постановка и модель задачи применены для расчёта пролёта канатно-кресельной дороги на кинематические случайные нагрузки.

2) Рассмотрен вертикально стоящий- стержень, несущий сосредоточенные массы (рис. 13). Математическая модель продольных колебаний представлена двумя системами уравнений

и +2е й-а2и* =0, тоу+Я = 0, х€(0,Ь), 1>-а>, условиями на границах и условиями сопряжения участков и, (0,0= г(1); и, (И;, 0 = и;., (0,0, ] = 1,2,..., п-1; и„(К„, 0 = Ул (0-Первая из них является системой уравнений в частных производных гиперболического типа, вторая - системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

»1 сац

"•г

ткч

Рис. 13 Континуально-дискретный стержень.

Разработана методика решения таких систем дифференциальных уравнений, основанная на методе разделения переменных и представлении решений в виде произведений

и(х, I) = и(х) е*1, у(0 = Уе\

Изучены свободные колебания, определены собственные частоты и формы колебаний континуально-дискретной системы. При гармонических колебаниях возмущениями являлись перемещения нижней опоры в вертикальном направлении г(0. Решение системы дифференциальных уравнений даёт передаточные функции

Н(х, ¡о ).. Вектор амплитуд колебаний найден с помощью известной формулы

Яи(*)= А | Н(х) |, х е [ О, Ь ], где А - амплитуда гармонического возмущения, представляемого в виде г(0 = Аею'.

Для общего случая системы получены результаты, представленные графиками на рис. 14. Проведённый анализ показал следующее. При низких частотах, близких к нулю, система совершает статические отклонения (кривая I). По мере приближения к первой собственной частоте амплитуды отклонений резко увеличиваются (графики 2-3) и при совпадении с ней достигают резонансного значения (график не показан из-за больших величин отклонений). До перехода через первую собственную частоту система совершает колебательные движения по первой форме. На частоты возмущения, находящиеся за пределами второй и третьей собственных частот, система реагирует по соответствующим собственным формам, то есть, проявляются вторая и третья формы колебаний (графики 4-5).

Исследованы кинематически возбуждаемые случайные колебания системы, возмущение которой представлено стационарным случайным процессом со скрытой периодичностью при заданной спектральной плотности . Найдены вектор

< б е ю

Рис. 14 Зависимость амплитуды и формы вынужденных колебаний отчасти« возмущений (ц-й-^чк^О; Q - Шс'ОфИВМ 1); Ис!(2), «с 1(3). [ООг^ХаОс-ед

спектральной плотности ¡5„(х, и) и дисперсия с использованием передаточных функций

8„(х, о) = | Н(х, ¡0)|2 Б^ш), 0„(х) - ]зи(х,ш)<ко.

Для стержня, рассмотренного выше при гармонических возмущениях,

вычислены среднеквадратические отклонения представленные

графиками рис. 15. Для контроля достоверности получаемых результатов при этом характерные частоты стохастических возмущений взяты такими же, как и при гармонических возмущениях. Аналогия с предыдущим случаем обеспечивалась, такими же методами, как и в задаче о колебаниях струны, несущей сосредоточенные массы. Исследовано как

Рнс.15 Влияние параметра характерной частоты на процесс колебаний а-0,002 г1, р-10г'(Ч»м«1>. ЛИ]). «гШ 100сф 250^5); а-0,005,р- 230 с '(6)

влияние характерной частоты (кривые 1-5), так и параметра широкополосности на случайный процесс колебаний. Увеличение значения параметра широкополосности ОС при той же характерной- частоте Р (кривая. 6) приводит, к росту

среднеквадратических отклонений.

Следует отметить, что наличие шумовой составляющей в случайных процессах возмущений делает кривые распределения характеристик более сглаженными. Как при гармонических, так и при случайных колебаниях, континуальность участков стержня сказывается слабо, но при случайных колебаниях она более проявлена. Объяснение такому поведению системы в следующем. В рассмотренных примерах сравнительно большие значения сосредоточенных масс, имеющихся в мачтовых сооружениях, оказывают существенное влияние на колебательный процесс, и на порядок меньшие массы. континуальных участков почти не влияют на результат.

Рассмотренная вероятностная постановка и модель задачи применены к расчёту многоярусной опоры высоковольтной линии электропередач на одну из

составляющих сейсмических возмущений - случайные перемещения опоры в вертикальном направлении.

Основные выводы.

1. Разработаны новые по своей математической постановке и механическому содержанию модели задач, адекватно описывающие процессы колебаний континуальных и континуально-дискретных механических систем при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

2. Для четырёх типов упругих систем (однородной струны, имеющей гладкое регулярное строение; континуально-дискретной струны; вертикально стоящего стержня гладкой регулярной структуры; континуально-дискретного стержня), имеющих широкое распространение в строительстве и технике, рассмотрены задачи о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях, предложены и реализованы методы и алгоритмы их решений.

3. В детерминистическом случае колебаний для указанных типов упругих систем предложены достаточно простые методы определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний.

4. Для гармонических колебаний, вызванных комбинированными динамическими и кинематическими возмущениями, найдены функции перемещений и формы распределения амплитуд при наличии сил сопротивления. Изучено влияние частоты возмущений и сдвига их фаз на величины амплитуд колебаний и формы их распределения. В результате анализа обнаружена тесная взаимосвязь свободных и вынужденных колебаний.

5. В стохастических системах, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, проанализировано влияние степени взаимной коррелированности компонентов входных процессов на вероятностные характеристики колебаний. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицам входных процессов найдены спектральные плотности и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений. Обнаружены связи и аналогии между детерминистическими и случайными колебаниями, позволяющие правильно интерпретировать полученные результаты. Изучены реакции упругих

колебательных систем на приближение параметра скрытой частоты случайных возмущений к собственным частотам колебаний. Во всех случаях обнаружен рост среднеквадратических отклонений. Показано, что изменение значений параметра широкополосности в сторону уменьшения приближает стохастический

колебательный процесс к гармоническому. Проведённый анализ показал, что динамическое поведение упругих механических колебательных систем существенным образом зависит от широкополосности возмущений и, вообще, от характера совмещения их спектральной плотности со спектром собственных частот на частотной оси.

6. Разработаны методы и алгоритмы решения задач общего характера (для континуальных систем с разнообразными комбинациями кинематических и динамических возмущений; для континуально-дискретных систем как с комбинациями возмущений, так и количества пролётов произвольных длин и, соответственно, дискретных произвольных масс, разнообразных видов опираний и т.д.). Разработанные алгоритмы программно реализованы с помощью математической информационно-вычислительной системы программирования высокого уровня MatLab. На её базе создан комплекс программ расчёта по указанным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение разнообразных задач о колебаниях упругих механических систем.

7. Рассмотрено применение разработанной методики к решению реальных практических задач на примере ряда конкретных сооружений.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях:

1. Кулътербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Стохастическая краевая задача о колебаниях струны при случайных векторных возмущениях: Труды одиннадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 29-31 мая 2001. Самарский госуд. техн. Универ. Самара, 2001. Ч. 3. - С. 74-77.

2. Кулътербаев Х.П., Джанкулаев АЯ. Кинематически возбуждаемые совместные колебания струны и сосредоточенных масс: Труды двенадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 29-31 мая 2002. Самарский госуд. техн. Универ. Самара, 2002. Ч. 2. - С. 69-72.

3. Культербаев Х.П., Джанкулаев АЯ. Смешанная система дифференциальных уравнений как математическая модель колебаний

континуально-дискретных механических систем // РАН. Владикавказский научный центр. Владикавказский математический журнал. Октябрь -декабрь, 2001. Том 3. Вып. 4.- С.429-435.

4. Культербаев Х.П., Джанкулаев АЯ. Колебания струны при комбинированных случайных возмущениях: Материалы юбилейной конференции, посвященной 20-летию КБГСХА. «Технические науки». Нальчик, 2001. - С. 119-121.

5. Кулыпербаев Х.П., Джанкулаев АЯ. Кинематически возбуждаемые колебания балок: Избранные труды научного семинара «Механика». Кабардино-Балкарская государ, сельскохоз. академия. Нальчик, 2002. Вып.1. - С.49-56.

6. Кулыпербаев Х.П., Джанкулаев АЯ. Свободные колебания струны с сосредоточенными массами // Известия высших учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2002. № 1. - С. 30-35.

7. Кулыпербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Свободные продольные колебания стержней с сосредоточенными массами // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. № 4. - С. 14-18.

8. Кулыпербаев Х.П.. Джанкулаев АЯ. Совместные колебания струны и сосредоточенных масс при кинематических возмущениях опор // Известия высших учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2003. № 1. - С. 29-38.

9. Джанкулаев АЯ. О связях между свободными и вынужденными случайными колебаниями струны: Материалы конференции молодых учёных КБГУ. Нальчик. 2002. С.70-75.

10. Джанкулаев АЯ. Кинематически возбуждаемые продольные колебания стержней с сосредоточенными массами: Материалы III Междунар. науч. техн. конф., 2003. 27-29 марта. Волг. гос. арх.-стр. акад. - Волгоград: ВолгГАСА, 2003. Ч. I. -С. 161-164.

11. Джанкулаев АЯ., Казиев A.M. Вынужденные колебания стержней при комбинированных возмущениях // Кабардино-Балкарская гос. сельск. академия. Избранные труды научного семинара «Механика». Вып. 1. -Нальчик, 2002. - С. 195199.

12. Джанкулаев АЯ., Казиев A.M. Свободные колебания континуально-дискретной механической системы: Материалы Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива - 2003». Нальчик. 2003.

13. Казиев A.M., Джанкулаев АЯ. Случайные колебания балок: Сб. науч. тр. молод, уч. КБГУ. Нальчик, 2003. - С. 219-224.

Личный вклад соискателя по опубликованным совместным научным работам

В работах 1-8 постановки задач, разработка и обоснование расчётных моделей, составление уравнений являются совместными с Культербаевым Х.П. Разработка методики, решение уравнений, подбор численных примеров, компьютерные программы, научная трактовка полученных результатов принадлежат Джанкулаеву АЛ.

Джанкулаевым АЛ. выполнены обзор литературы, состояние вопроса. Цели диссертации сформулированы Культербаевым Х.П. Модели спектральной матрицы многомерного стационарного случайного процесса, элементы которой учитывают взаимную коррелированность компонентов вектора, принадлежат Культербаеву Х.П. и Джанкулаеву АЛ. Модификация метода покоординатного спуска для решения проблемы собственных частот также является совместной.

Определение областей приложения теории, подбор реальных задач и их решения являются личным вкладом Джанкулаева АЛ. Содержательная и математическая постановки задач о продольных колебаниях как регулярных так и континуально-дискретных стержней выполнены Джанкулаевым АЛ.

В работах 11-12 Джанкулаеву АЛ. принадлежат постановки задач и основные идеи по алгоритмам решений. Фактическая реализация решений, проведение расчётов выполнены Джанкулаевым АЛ. и Казиевым A.M. Статья 13 является совместной по всем вопросам постановки задач и получению её решения.

Лицензия № 00003 от 27.08.99

Сдано в набор 05.04.04. Подписано в печать 06.04.04. Формат 60x84 '/ц. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,47. Тираж 100 экз.

Издательство «Полиграфсервис и Т» 360051, КБР, г. Нальчик, ул. Кабардинская, 162

№1 0 6 90

I. ВВЕДЕНИЕ

П. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ И СОСТОЯНИЕ ВОПРОСА. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

Ш. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ

1 .Постановка задачи. Исходные уравнения

2.Детерминистические колебания струны

2.1.Свободные колебания

2.2.Вынужденные гармонические колебания

3.Случайные колебания

IV.ПРОДОЛБНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ 44 1 .Постановка задачи. Исходные уравнения

2.Детерминистические продольные колебания стержня

2.1.Свободные колебания

2.2.Вынужденные гармонические колебания

3.Случайные колебания

V.КОЛЕБАНИЯ КОНТИНУАЛЬНО-ДИСКРЕТНЫХ УПРУГИХ СИСТЕМ

1.Постановка задачи о совместных колебаниях струны и дискретных масс. Исходные уравнения

1.1 .Свободные колебания

1.2.Кинематически возбуждаемые гармонические колебания

1.3 .Кинематически возбуждаемые случайные колебания ^

2.Постановка задачи о совместных колебаниях стержня и дискретных масс. Исходные уравнения

2.1 .Свободные колебания

2.2.Кинематически возбуждаемые гармонические колебания

2.3.Кинематически возбуждаемые случайные колебания

Актуальность проблемы. Колебательные системы и процессы уже длительное время привлекают внимание исследователей и проектировщиков. Повышенные экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям, машинам и оборудованию в последние десятилетия вызвали особый интерес к изучению случайных колебаний. Области инженерной деятельности, так или иначе связанные со случайными процессами, к настоящему времени чрезвычайно расширились по объективным причинам. Почти любое техническое устройство, здание или сооружение находится под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме их функционирования.

В качестве таких возмущений, имеющих явно вероятностное происхождение, можно указать на сейсмические, ветровые, снеговые нагрузки; силы, передающиеся на конструкции зданий и сооружений от работающего технологического оборудования; нерегулярные морские волнения, нагружающие корпуса судов и прибрежные сооружения; кинематические перемещения опор и опорных контуров упругих элементов, работающих в составе сооружений и оборудования и т. д.

К настоящему времени хорошо изучены случайные колебания в дискретных системах при действии как скалярных, так и; векторных динамических сил, случайные колебания в распределенных системах при действии скалярных возмущений динамического или кинематического происхождения. По ним уже имеется обширная библиография, включающая монографии, научные статьи и т. д.

В то же время вопросы детерминистических и случайных колебаний сооружений как континуально-дискретных систем при действии векторных возмущений с коррелированными между собой компонентами, представляющими динамические нагрузки и кинематические источники колебаний, недостаточно исследованы.

Основное внимание до сих пор уделялось изучению динамического поведения систем с регулярной структурой в виде идеализированных дискретных или континуальных моделей. Однако, во множестве практических случаев дискретные и континуальные типы структур одновременно сочетаются и взаимодействуют. Между тем такого рода задачи рассмотрены недостаточно, хотя они вызывают теоретический и практический интерес.

В силу таких причин представляется своевременной и актуальной дальнейшая разработка новых математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о гармонических и случайных колебаниях конструкций зданий и сооружений, строительного и технологического оборудования.

Гибкие упругие элементы, моделью колебаний которых является струна, встречаются в технике, строительных сооружениях и машинах, в строительном технологическом оборудовании часто. Это такие конструкции и детали, как тросы, нити, канаты, провода, ремни, ленты, цепи, кабели, верёвки, шланги, имеющие широкое применение в линиях передач (электрические, телефонные, телеграфные провода); в несущих и поддерживающих конструкциях висячих подвесных сооружений и мачтово-башенных антенных сооружений; в приспособлениях для буксировки транспорта и строповки грузов (автомобильный, водный и воздушный транспорт, подъёмно-транспортное оборудование, строительные машины); в канатно-подъёмных сооружениях для транспортирования грузов и пассажиров, в которых: для перемещения вагонеток, вагонов или кресел служит канат, натянутый между опорами; в подъемно-транспортных машинах как периодического (грузоподъемные машины), так и непрерывного действия (конвейеры, элеваторы, эскалаторы); в устройствах наземного и подвесного транспорта (фуникулеры, канатные дороги).

По своей математической постановке и механическому содержанию к задачам о поперечных колебаниях струн весьма близкими оказываются задачи о продольных колебаниях стержней, которые являются актуальными для изучения колебаний вертикально стоящих протяжённых сооружений как мачты, башни, антенны, трубы, опоры линий электропередач, подвергающиеся сейсмическим воздействиям в продольном направлении через их основания.

Целью работы является разработка методов и алгоритмов решения задач о колебаниях континуальных и континуально-дискретных механических систем при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи работы:

Для четырёх типов упругих систем (однородной струны, имеющей гладкое регулярное строение; континуально-дискретной струны; вертикально стоящего стержня гладкой регулярной структуры; континуально-дискретного стержня), имеющих широкое распространение в строительстве и технике, разработать модели новых задач о свободных, вынужденных гармонических и вынужденных случайных колебаниях. Учесть при этом для колебаний струны и стержня с регулярной структурой векторный характер возмущений, образуемых кинематическими и динамическими источниками; в математические модели колебаний континуально-дискретных систем включить одновременно уравнения! колебаний распределённых участков и уравнения колебаний сосредоточенных масс с сопрягающими их элементами; предложить дополнительные условия для определения частных решений смешанной системы уравнений.

В детерминистическом случае колебаний для. указанных типов упругих систем разработать методики и алгоритмы определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний; определить при одновременно динамически и кинематически возбуждаемых гармонических колебаниях функции перемещений и форм распределения амплитуд при наличии сил сопротивления.

В вероятностной постановке задач для тех же типов упругих систем, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, выявить влияние степени взаимной коррелированности составляющих входных процессов, а также других параметров на вероятностные характеристики колебаний.

На основе разработанных методик составить алгоритмы расчётов для детерминистических и стохастических задач о колебаниях упругих механических систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования.

Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.

По всем четырём типам упругих систем провести расчёты для реальных технических задач.

Автор защищает:

Методику нахождения спектров собственных частот и форм свободных колебаний континуальных и континуально-дискретных упругих механических систем.

Методику определения функций перемещений и форм распределения амплитуд при. наличии сил сопротивления для гармонических колебаний, возбуждаемых векторными возмущениями.

Результаты расчётов континуальных и континуально-дискретных упругих механических колебательных систем, исследование влияния параметров составляющих входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний.

Научная новизна работы заключается в следующем:

Вынужденные гармонические колебания однородной струны рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер возмущений и наличие сдвига фаз между компонентами. Вынужденные случайные колебания однородной струны рассмотрены при возмущениях векторным стационарным случайным процессом со стационарно связанными компонентами. Для учёта корреляции компонентов вектора возмущений предложены новые формулы для элементов спектральной матрицы.

Предложены новые математические модели колебаний струны с сосредоточенными массами, представляемой в виде континуально-дискретной системы. Разработаны алгоритмы определения спектров собственных частот и форм колебаний. Предложены методики определения параметров вынужденных гармонических и случайных колебаний. Предложена новая математическая и механическая постановки задач о продольных колебаниях стержней, несущих сосредоточенные массы. Разработаны методики решения смешанной системы дифференциальных уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложены эффективные способы определения спектров собственных частот и форм колебаний, амплитуд при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.

Достоверность результатов решения для детерминистических моделей задач подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах, которые со значительной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном выборе параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.

Практическая направленность. Предложенная методика расчёта одномерных (континуальных и континуально-дискретных, детерминистических и стохастических) колебательных механических систем не только представляет теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчётах реальных строительных и технических сооружений. Для иллюстрации такой возможности проведены реальные вероятностные расчёты несущих канатов надземного подвесного транспорта (фуникулеры, канатные дороги);

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались: на Одиннадцатой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2001, Самарский государственный технический университет, г.Самара, 2001 г.; на

Двенадцатой, межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 29-31 мая 2002, Самарский государственный технический университет, г.Самара, 2002 г.; на научной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, Нальчик, 2002 г.; на научном семинаре «Механика», Кабардино-Балкарская государственная сельскохозяйственная академия, Нальчик, 2002 г.; на Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива — 2003», Кабардино-Балкарский госуниверситет, Нальчик. 2003 г.; на. III Международной научно-технической конференции, 27-29 марта 2003 г., «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСА, г.Волгоград, 2003 г.; на Всероссийской научно-технической конференции,. 25-27 сентября, «Наука, техника и технологии нового века», КБГУ, г.Нальчик, 2003 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 13 публикациях.

Объём работы: Диссертация состоит из введения, четырёх глав, основных выводов, списка литературы и приложения. Она содержит 11.7 страниц.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Разработаны новые по своей математической постановке и механическому содержанию модели задач, адекватно описывающие процессы колебаний континуальных и континуально-дискретных механических систем при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

2. Для четырёх типов упругих систем (однородной струны, имеющей гладкое регулярное строение; континуально-дискретной струны; вертикально стоящего стержня гладкой регулярной структуры; континуально-дискретного стержня), имеющих широкое распространение в строительстве и технике, рассмотрены задачи о свободных, вынужденных гармонических и, вынужденных случайных колебаниях, предложены и реализованы методы и алгоритмы их решений.

3. В детерминистическом случае колебаний для указанных типов упругих систем предложены достаточно простые методы определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний.

4. Для гармонических колебаний, вызванных комбинированными динамическими и кинематическими возмущениями, найдены функции перемещений и формы распределения амплитуд при наличии сил сопротивления. Изучено влияние частоты возмущений и сдвига их фаз на величины амплитуд колебаний и формы их распределения. В результате анализа обнаружена тесная взаимосвязь свободных и вынужденных колебаний.

5. В стохастических системах, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, проанализировано влияние степени взаимной коррелированное™ компонентов входных процессов на вероятностные характеристики колебаний. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицам входных процессов найдены спектральные плотности и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений. Обнаружены связи и аналогии между детерминистическими и случайными колебаниями, позволяющие правильно интерпретировать полученные результаты. Изучены реакции упругих колебательных систем на приближение параметра скрытой частоты случайных возмущений р к собственным частотам колебаний. Во всех случаях обнаружен рост среднеквадратических отклонений. Показано, что изменение значений параметра широкополосности а в сторону уменьшения приближает стохастический колебательный процесс к гармоническому. Проведённый анализ показал, что динамическое поведение упругих механических колебательных систем существенным образом зависит от широкополосности возмущений и от характера совмещения их спектральной плотности со спектром собственных частот на частотной оси.

5 . Разработаны методы и алгоритмы решения задач общего характера (для континуальных систем с разнообразными комбинациями кинематических и динамических возмущений; для континуально-дискретных систем как с: комбинациями возмущений, так и количества пролётов произвольных длин и, соответственно, дискретных произвольных масс, разнообразных видов опираний и т.д.). Разработанные алгоритмы программно реализованы с помощью математической информационно-вычислительной системы программирования высокого уровня МаЛаЬ. На её базе создан комплекс программ расчёта по указанным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение разнообразных задач о колебаниях упругих механических систем.

71 Рассмотрено применение разработанной методики к решению реальных практических задач на примере ряда конкретных сооружений.

1. Аверин А. Н., Хмыров А. Ф. Исследование нелинейных колебаний гибкой нити // Соврем, методы стат. и динам, расчета сооруж. и конструкций. -1998. №4. С. 8-12.

2. Акуленко Л Д. Высокочастотные собственные колебания механических систем//Прикл. мат. и мех. М., 2000. 64. №5. - С. 817-832.

3. Акуленко Л Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. -1997. № 1.-С. 19-28;.

4. Акуленко Л Д., Костин Г.В., Нестеров C.B. Численно-аналитический метод исследования свободных колебаний неоднородных стержней // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1995. № 5. - С. 180-191.

5. Акуленко Л Д., Нестеров C.B. Вынужденные нелинейные колебания струны // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1996. № 1. - С. 17-24.

6. Андреев Л.Н., Кукушкина Е.П., Плотников Г.В. Влияние осевых сил на собственные частоты колебаний стержневых систем // Тр. СПбГТУ. -1998. № 478. С. 41-48.

7. Аракчеев С.А. Методика расчета продольных колебаний упругого стержня при наличии сухого трения // Эксперим. и расчет, методы строит, мех. Сиб. гос. акад. путей сообщ. Новосибирск. -1997. С. 25-30.

8. Ю.Асташев В.К., Бабицкий В.И., Веприк A.M., Крупенин В.Л.- Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной шайбой // Докл. АН СССР. 1989. 304. №1,- С. 50-54.

9. Ахатов И.Ш., Ахтямов A.M. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний // Прикл. мат. и мех. М., 2001. 65. №2.-С. 290-298.

10. Бабаков И.М. Теория колебаний. М.: Наука, 1968.- 560 с.

11. Бакалов П.М. Вероятностный анализ динамических процессов в стальных проволочных канатах. // Ред. жур. Вестн. АН КазССР. Алма-Ата. 1987. — 16 с.

12. Барштейн М.Ф. Воздействие ветра на высокие сооружения // Строит, мех. и. расчет coop. 1959. № 3.

13. Бобылъченко В.Ю., Чеголин П.М. Определение собственных частот колебаний балок с сосредоточенными регулярными массами методом электромеханических аналогий Рост. гос. акад. стр-ва. Ростов н/Д., 1996.12 с.

14. Божко А.Е., Штейнволъф АЛ. Статистическая линеаризация кусочно-линейных характеристик механических систем при несимметричных законах распределения колебаний // Изв. АН УССР. Прикладная механика, 1985. Т. 21. Вып. 11. С. 97-104.

15. Болдин В.П., Весницкий A.M. О влиянии распределенных потерь на динамику нити, протягиваемой через ограничители. // Динам, систем: Динам, и упр. Горький. 1986.- С. 52-58.

16. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. М.:1. Гостехиздат, 1956. 600 с.

17. Болотин В.В. Метод моментов в теории случайных колебаний механических систем // Аннотации докладов IV Всесоюз. съезд по теор. и прикл. мех., Киев, 1976.-21-28 мая.

18. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений.-М.: Стройиздат, 1982. 351 с.

19. Болотин В.В. Обзор исследований по статистической динамике упругих систем // Расчеты на прочность. М.: Машгиз, 1964. № 10.

20. Болотин В.В. Применение вероятностных методов в строительной механике. В сб.: "Строительная механика в СССР за 50 лет". М.: Стройиздат, 1969.

21. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. — 225 с.

22. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М.: Наука, 1979.- 335 с.

23. Болотин В.В: Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1965. - 279 с.

24. Болотин В.В., Гольденблат И.М., Смирнов А. Ф: Строительная механика. Современное состояние и перспективы развития. Изд. 2-е. М.:Стройиздат 1972.191 с.

25. Болотин В.В., Гольденблат И.И.,Смирнов А.Ф. Современные проблемы строительной механики. М.: Стройиздат, 1964. — 131 с.

26. Бондаренко Л.Н., Кульбачный А.Л. Колебания и сопротивление движению конвейерных лент от эксцентриситета роликов // Подъем.-трансп. оборуд. Киев,- 1988., № 19. С. 73-76.

27. Буда-Красновский С. В. Разработка методов расчета стержневых элементов приборов и конструкций при кинематическом возбуждении: Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. техн. наук. Моск. гос. техн. ун-т. Москва, 1999.16 с.

28. Вещ В.Л., Бейпин И.Ш., Меркин В.М., Куценко Б.Н. Динамическая модель лентопротяжного механизма с учетом ширины упругого полотна С.-Петербург, гос. ун-т технологии и дизайна. С.-Петербург, 1996. - 8 с.

29. Вентцелъ А.Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука, 1975. - 319 с.

30. Вентцель Е.С. Овчаров Л. А. Теория вероятностей и её инженерные приложения. -М.: Высш. шк.,2000.-480 с.

31. Вентцель Е.С. Овчаров JI.A. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. М.: Высш. шк., 2000. - 383с.

32. Верезуб В.Н., Лазарев А.И. Динамика движущейся бесконечной ленты на колеблющихся опорах // Мат. методы анализа динамических систем. Харьков, 1981.№5.-С. 72-75.

33. Веснщкий A.M., Крысов C.B. Возбуждение колебаний в движущихся элементах конструкций // Машиноведение. 1983. № 1. - С. 16-17.

34. АО.Веснщкий А.И., Милосердова И.В. Оптимальный гаситель, продольных колебаний стержня // Прикл. мат. и мех. Москва, 1997. 61. № 3. — С. 537-540.

35. Вибрации в технике. Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / Под ред. Болотина B.B. М.: Машиностроение, 1978. - 352 с.

36. Винник В.Н., Винник Т.В. О применении метода характеристик для; исследования колебаний ступенчатых стержней // Динам., прочн. и точность мех. систем. Гос. ун-т "Львов, политехи.Львов, 1997. С. 46-52.

37. АЪ. Волъмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. — 984 с.

38. Волъмир A.C., Культербаев Х.П. Исследование нелинейных колебаний цилиндрических панелей под действием ветра // Изв. АН УССР. Прикладная механика, 1974. T. X. Вып. 3. С. 36-41.

39. Волъмир A.C., Культербаев Х.П. О действии ветровой нагрузки на цилиндрическую панель // Стр. мех. и расчет сооружений, 1973. N 6. С. 50-53.

40. Волъмир A.C., КультербаевХ.П. Стохастическая устойчивость вынужденных нелинейных колебаний оболочек // ПММ, 1974. Т.38. Вып.5. С. 893-898.

41. AI. Воробьев С.А. Истинные и ложные резонансные режимы колебаний трехслойного стержня // Матер., технол., инструм., 2002. 7. № 2. С. 14-18.

42. Гаспарян А.Е., Хачатрян A.A. Некоторые задачи о продольных колебаниях стержней переменного поперечного сечения // Изв. Нац. АН Армении. Мех., 1999. 52. №3. -С. 9-16.

43. Генералов A.A. Свободные продольные колебания трехзвенных стержней //

44. Современные проблемы механики сплошной среды: Тр. 4-й Междунар. конф. Ростов-на-Дону, 1998. - 27-28 окт. - Т. 1. Ростов н/Д., 1998. - С. 119-122.

45. Генералов А.Г., Краснобаев И.А: Определение параметров стержня по собственным частотам его продольных колебаний // Изв. Ростов, гос. строит, унта.-1999. №4.-С. 51-56.

46. Гинько В. И. Динамика системы механизма подъема буровой лебедки // Прикл. пробл. динам., прочн. и конструиров. машин и приборов. Гос. ун-т "Львов, политехи.". Львов, 1995. С. 10-21.

47. Гихман ММ, Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977.-567 с.

48. Гончаренко В.М. Метод возмущения в динамических стохастических краевых задачах. // Рук. деп. в УкрНИИНТИ 02.01.86г., № 106-Ук., Киев, ун-т., Киев, 1986.-8 с.

49. Гончаренко В.М. О случайных колебаниях упругих тел и теория марковских процессов // Изв. АН УССР. Прикладная механика. 1991. - Т.27. - Вып. 8. - С. 95-100.

50. Гончаренко В.М., Маловичко В.А. О краевых задачах для уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и Понтрягина в теории случайных колебаний // Изв. АН УССР. Прикладн. механика. 1983. - Т. 19. - Вып. 7. - С. 107-111.

51. Горошко O.A., Керимбаева О.Б. Продольные колебания перематываемой нити? в постановке неголономной механики // Динамика систем, несущих подвижную распределенную нагрузку. Харьков, 1982. № 3. С. 47-54.

52. Горошко O.A., Савин Г.Н. Введение в механику деформируемых тел переменной длины. Киев: Наукова думка, 1971. - 224 с.

53. Горошко O.A., Ярошенко В.И. О перемотке гибкой растяжимой полосы в постановке неголономной механики системы с деформируемыми телами // Рук. деп. в ВИНИТИ, № 470-81Деп., В кн.: Исследования по динамике механическихсистем. М.: 1981. - С. 12-20.

54. Гусейнов Н. Г., Мамедов С. А. Влияние учета инерции поперечного и продольного движения на колебания вязкоупругого стержня. Азерб. техн. ун-т. Баку, 1995. - 5 с.

55. Данилин А.Н., Тютюнников Н.П., Шалашилин В.И. Расчет собственных колебаний упругих конструкций с варьируемыми параметрами1 // Вестн. Моск. Авиац. ин-та. 1999. 6. № 1. - С. 67-71.

56. Джанкулаев А.Я. О связях между свободными и вынужденными случайными колебаниями струны:. Материалы конференции молодых учёных КБГУ. Нальчик. 2002. С.70-75.

57. Джанкулаев А.Я. Кинематически возбуждаемые продольные колебания стержней с сосредоточенными массами: Материалы III Междунар. науч. техн. конф., 2003. 27-29 мар. Волг. Гос. Арх.-стр. акад. - Волгоград: ВолгГАСА, 2003. - 4.1.-С. 161-164.

58. Джанкулаев А.Я., Казиев A.M. Вынужденные колебания стержней при комбинированных возмущениях // Кабардино-Балкарская гос. сельск. академия. Избранные труды научного семинара «Механика». Вып. 1. -Нальчик, 2002. -С.195-199.

59. Джанкулаев А.Я., Казиев A.M. Свободные колебания континуально-дискретной механической системы: Материалы Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива 2003». Нальчик. 2003. С.

60. Дементьева О.В., Коробченко В.А., Сидоров В.А., Сидоров В.В. Об одном виде решения задачи колебаний прямого стержня с локальным изменением массы методом Ритца-Тимошенко / Аэродинамика, механика и технологии авиастроения:

61. Сборник научных трудов. Воронеж, гос. техн. ун-т./ Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2000. -С. 241-245.

62. Дементьева О.В., Сидоров В.А., Сидоров В.В. Построение собственных форм колебаний стержней с локальным дефектом вариационными методами. Воронеж, гос. лесотехн. акад. Воронеж, 2001. - 11 с.

63. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -Мл Наука, 1967.-368 с.71 .Диментберг М.Ф. Амплитудно-частотные характеристики системы со случайно изменяющимися параметрами // Инжен. жур. МТТ. 1966. № 6.

64. Диментберг М.Ф: Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989. - 175 с.

65. Диментберг А.Ф: Вынужденные колебания панелей при случайных нагрузках // Теория пластин и оболочек. Труды II Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Львов, 1961. Киев: Изд.АН УССР, 1962. С. 270-273.

66. Диментберг М.Ф., Горбунов A.A. Некоторые задачи диагностики колебательной системы со случайным параметрическим возбуждением // Изв. АН; УССР. Прикладная механика. 1975. - T.XI. - Вып.4. - С. 71-75.

67. Диментберг М.Ф:, Исиков Н.Е. Колебания систем с периодически изменяющимися параметрами при случайных воздействиях // Изв. АН СССР. МТТ. 1977. № 4. - С. 79-86.

68. Доев В. С., Доронин Ф: А. О резонансе в континуальных системах:

69. Дукарт A.B. Об эффективности ударного виброгашения при изгибных колебаниях прямолинейных стержней // Изв. вузов. Стр-во, 2000. № 7-8. С. 25-33, 147.83 .Екимов В. В. Вероятностные методы в строительной механике корабля. JL: Судостроение, 1966. - 328 с.

70. Епифанов В. В. Экспериментальные исследования амплитудно-частотных характеристик поперечных колебаний гусеничного обвода // Динам, и проч. машин. Харьков. 1986. № 43. - С. 130-132.

71. Земляной Е.Ф., Ладутина Л. П. Исследование поперечных колебаний конвейерной ленты // Рук. деп. в ВИНИТИ 15.08.83г. № 4506-83Деп. Ин-т. геотехн. мех. АН УССР. Днепропетровск, 1983. 13 с.

72. Ивович В.А. Динамический расчет висячих систем. В кн.: Справочник по динамике сооружений. / Под ред. Коренева Б.Г., Рабиновича М.М. М.:

73. Стройиздат, 1972. С. 322-326.

74. Исаханов Г.В., Мельник-Мельников П.Г., Кацапчук А.Н. Исследование нестационарных случайных колебаний цилиндрической панели в геометрически нелинейной постановке. // Сопр. Мат. И теория сооруж. Киев, 1990. № 57. С. 104-108.

75. Казаков М.Е., Мальчиков C.B. Анализ стохастических систем в пространстве состояний. М.г Наука, 1983. - 384 с.

76. Казиев A.M., Джанкулаев А.Я. Случайные колебания балок: Сб. науч. тр. молод, уч. / КБГУ. Нальчик, 2003. С. 219-224:

77. Калбергенов Изгибные колебания балок с сосредоточенными массами // Анал., числ. и эксперим. методы в мех. МГУ. М., 1995. С. 70-76.

78. Каравашкин С.Б. Точное аналитическое решение задачи о колебаниях конечной одномерной упругой линии с сосредоточенными массами // Матер., технол., инструм. 1999.4. № 4. - С. 5-13.

79. Каряченко Н.В. Продольные колебания канатов грузотранспортирующих канатных устройств, несущих подвижную распределенную и дискретную инерциальную нагрузку. Гос. металлург, акад. Украины. Днепропетровск, 1996. -18 с.

80. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами // ПММ. 1960. - Т.24. - Вып.5.

81. Качурин В.К. Теория висячих систем. М.: Госстройиздат, 1962. - 224 с.

82. Киселев В.А. Строительная механика. Динамика и устойчивость» сооружений. М.: Стройиздат, 1980. - 616 с.

83. Кожушко Г. Г. Уточнение формы прогиба конвейерной ленты в пролетах, примыкающих к барабанам // Изв. вузов. Горный журнал.- 1991. № 6. С. 62-66.

84. Колесник И., Каряченко Н. Колебания механических звеньев устройств, несущих подвижную инерциальную нагрузку: РгоС. 4 Pol.-Ukr. Semin. "Теог. Found, in Civ. Eng.". Warsaw, 1996. Vol. 1. - Pt 2. Dnepropetrovsk, 1996. - C. 237241.

85. Коловский M.3., Осорин В.И., Первозванский А.А. Вероятностные методы в теории колебаний: Тр. II Всес. съезда по теор. и прикл. механике. -М.:Наука, 1966.

86. Колосов JI.B:, Жигула Т.М. О влиянии крутящего момента на поперечные колебания подъемного каната // Изв. вузов. Горный журнал, 1982. № 10. С.92-95.

87. Комар Н.М. Исследование случайных колебаний механических систем методом моделирования: Дисс. на соискание уч. степ. к.т.н. Моск. энерг. инст., 1971.-219 с.

88. Колосов Л.В., Жигула Т.Н. О влиянии; крутящего момента на поперечные колебания подъемного каната // Изв. вузов. Горный журнал, 1982. N 10. С. 92-95.

89. Костюк В.И., Краснопрошига Н.А. Колебания продольно движущейся струны и некоторые вопросы динамики намоточных агрегатов // Изв. АН УССР. Прикл. мех., 1983.19. № 3. С.85-91.

90. Кренделл С.Г., Кульвец А.П. Случайные колебания одномерных систем с распределенными параметрами // Вибротехника. Вильнюс, 1981. № 3/33. С.51-63.

91. Кузьма В.М. Исследование методом усреднения динамической устойчивости колебательной системы со случайно изменяющимися параметрами // Изв. АН УССР. Прикладная механика, 1964. Т.Х. - Вып. 3.

92. Кузьма В.М. Динамическая неустойчивость случайных колебаний стержня // Изв. АН УССР. Прикладная механика, 1966. -Т.Х. Вып.6.

93. Кулыпербаев Х.П. О колебаниях струны, вызванных случайными колебаниями ее конца // Изв. АН УССР. Прикл. мех., 1992. Т.28. № 10.- С.57-61.

94. Кулыпербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые изгибные колебания стержней // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 1993.№3-4.-С. 83-84.

95. Кулыпербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания балок: Материалы науч.-прак. конф. Каб.-Балк. гос. с/х акад. 1994. Инж.- тех.науки. Нальчик, 1995. Ч. 3.

96. Культербаев Х.П. Об аналогиях между детерминистическими и случайными колебаниями струны с колеблющимся концом // Известия СКНЦВШ. Естественные науки, 1992. № 3- 4. С. 21-26.

97. Кулыпербаев Х.П. Стохастическая краевая задача о колебаниях струны // Сб. научных трудов. Инст. математики АН Украины. Киев, 1993. С. 79-81.

98. Культербаев Х.П. Стохастическая краевая задача о колебаниях струны, возбуждаемых векторным случайным процессом:// Сб. научных трудов. Инст. математики АН Украины. Киев, 1994. С. 118-120.

99. Культербаев Х.П. Кинематически возбуждаемые случайные колебания распределённых систем: Труды Десятой межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи». 29-31 мая 2000. Самарский госуд. техн. Универ. Самара, 2000. Ч. 2. С. 57-61.

100. Культербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Кинематически возбуждаемыеколебания балок: Избранные труды научного семинара «Механика». Кабардино-Балкарская государ, сельскохоз. академия. Нальчик, 2002. Вып.1. С.49-56.

101. Кулътербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Свободные колебания струны с сосредоточенными массами // Известия высших учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2002. № 1. С. 30-35.

102. Кулътербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Свободные продольные колебания стержней с сосредоточенными массами // Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2002. № 4. С. 14-18.

103. Кулътербаев Х.П., Джанкулаев А.Я. Совместные колебания струны и сосредоточенных масс при кинематических возмущениях опор // Известия высших учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки, 2003. № 1. -С. 29-38.

104. Кугинер ГДж. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.-200 с.

105. Лаврович Н.И. Использование собственных частот колебаний стержней для контроля физико-механических свойств материала. Омск. гос. техн. ун-т. Омск,2000. - Юс.

106. Лапин АД. Низкочастотные резонансные колебания зданий под действием упругих волн, возникающих при землетрясениях: Сб. тр. 5 Сес. Рос. акуст. о-ва. Пробл. геоакустики: методы и средства. М., 1996. С. 66-69.

107. Магеррамов А. Г., Мамедов С. А. Влияние поперечного давления на колебание вязкоупругого стержня. Азерб. техн. ун-т. Баку, 1997. - 11 с.

108. Макаренко А.И. К исследованию продольно-крутильных колебаний канатов с грузами в жидкости // Прикл. мех. Киев, 1998.34. № 11. С. 104-109.

109. Малащенко В.А. Колебания ходовой ветки каната полиспаста в начале подъема высотных сооружений // Динам., проч. и точность мех. систем. Гос. ун-т "Львов, политехи.". Львов, 1997. С. 12-15.

110. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. - 240 с.

111. Мигушов М.И. Механика текстильной нити и ткани. М.: Легкая индустрия, 1980. - 160 с.

112. Моисеенко Г.С., Рожков Ю.С. Об идентификации параметров изгибно-крутильных колебаний свободного стержня // Ред. ж. Вестн. С.-Петербург, гос. унта Мат., мех., астрон. СПб, 1996. 7 с.

113. Москвин В.Г. Устойчивость твердого тела, упруго закрепленного в одной точке, при случайном кинематическом возбуждении // Труды МЭИ, 1973. Вып. 164.- С. 118-123.

114. Москвин В.Г., Смирнов А.И. К устойчивости линейных стохастических систем // Изв. АН СССР. МТТ, 1975. № 4. С. 62-65.

115. Мукук Л.К. Решение задач об изгибных колебаниях, вызванных кинематическим возбуждением // Сейсмические воздействия на здания и сооружения. Ташкент, 1981. С. 172-176.

116. Муницын А.И. Нелинейные колебания нити с натяжным устройством // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2001. № 2. С. 24-30.

117. Муницын А.И. Пространственные нелинейные колебания упругой нити с натяжным устройством // Пробл. машиностр. и надеж, машин, 2001. № 2. С. 2128.

118. Al. Наумова Н.В1 Вычисление частот колебаний стержней с разными граничными условиями // Вестн. С.-Петербург, ун-та. Сер. 1. 1998. № 1. С. 78-81, 116.

119. Нгуен Донг Ань. Об исследовании случайных колебаний в неавтономных механических системах при помощи уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова // Приклад, мат и мех., 1985.49. № 3. С. 506-512.

120. Неверова Т.С. К вопросу определения вероятностных характеристик надежности струны при вибрациях // Тем. сб. Мордовского государственного университета "Управление, надежность и навигация", 1973. №104. Вып.2. - С. 113-117.

121. Николаенко H.A. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. - 368 с.

122. Олейникова JI.H. Физическое обоснование вибрации нити при ее сматывании с нитенакопителя // Изв. вузов. Технол. текстил. пром-сти, 1999. № 5. -С. 35-38.

123. Петреня E.H., Четкий А.П. Вынужденные колебания балки при кинематическом возбуждении; опор с разными фазами // Расчет прочности, устойчивости и колебаний элементов инженерных сооружений. Воронеж, 1981. -С. 25-36.

124. Попов H.H., Расторгуев B.C. Динамический расчет висячих конструкций.- Стройиздат, 1966.

125. Потураев В.Н., Червоненко А.Г., Ободан Ю.А. Динамика и прочность вибрационных транспортно-технологических машин. Л: Машиностроение, 1989.- 112 с.

126. Прочность, устойчивость, колебания. Т.З / Под ред. Биргера И.А. и Пановко Я.Г. М.: Машиностроение, 1968. -568 с.

127. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз, 1962. - 883 с.

128. Пшеничкин А.П. Вероятностный расчёт системы «здание-основание» в особых грунтовых условиях // Сб. науч.трудов. «Современные проблемы фундаментостроения». Волгоград: ВолгГАСА, 2001. - С. 48-53.

129. Пшеничкина В.А. Вероятностный расчет зданий повышенной этажности на динамические воздействия. Волгоград: ВолгГАСА, 1996. — 118с.

130. Пшеничкина В.А. Методика расчёта зданий и сооружений на надёжность: Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций: Материалы III Международной научно-технической конференции Волгоград:

131. ВолгГАСА, 2003. Ч. 1. С. 26.

132. Ржаницын А.Р. Статистическая устойчивость сжатого стержня // Проблемы надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968. С. 192-198.

133. Ржанщын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность.- М.: Стройиздат, 1978. -239 с.

134. Рудаков И. А. Периодическое решение уравнения колебаний ограниченной струны с однородными граничными условиями. Брян. гос. ун-т. Брянск, 2002. -Юс.

135. Светлщкий В. А., Скуев М. В. Нестационарные колебания стержня со сосредоточенной массой при случайном импульсном нагружении потоком воздуха // Вестн. МГТУ. Сер. Машиностр., 1998. № 1. С. 3 -17,127.

136. Светлщкий В.А. Механика стержней. М.: Высшая школа, 1987. Часть 1.- 360 е., Часть 2. 304 с.

137. Светлщкий В.А. Механика абсолютно гибких стержней. М.: Изд-во МАИ, 2001.-431 с.

138. Светлщкий В.А. Механика гибких стержней и нитей. М.: Машиностроение, 1978. - 222 с.

139. Светлщкий В.А. Случайные колебания механических систем. М.: Машиностроение, 1976. --216с.

140. Светлщкий В.А. Стационарные колебания криволинейных трубопроводов при локальном кинематическом возбуждении // Изв. РАН. Мех. тверд, тела, 2001.1.-С. 181-188.

141. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций.- М.: Наука, 1968.-463 с.

142. Сеницкий Ю.Э., Козьма И.Е. Динамика продольно нагруженного стержня с учетом сил вязкого сопротивления // Изв. вузов. Стр-во, 2000. № 7-8. С. 20 - 25, 147.

143. Случайные колебания / Под ред. Кренделл С.: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. -356 с.

144. Смирнов А. Ф., Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Стройиздат, 1981. - 525 с.

145. Спицына Д.Н. Строительная механика стержневых машиностроительных конструкций. М., 1977. - 248 с.

146. Стрэтт Дж.В. (лорд Рэлей). Теория звука. -Т.1. М.: ГИТТЛ, 1940. 499 с.

147. Тимашев С.А. Надежность больших механических систем. М.:. Наука, 1982.-184 с.

148. Тимошенко С. 77. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. — 444 с.

149. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

150. Тихонов А.Н., Миронов М.А. Марковские процессы.- М.: Сов. радио, 1977.- 488 с.

151. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. Изд. 2. М.: Машиностроение, 1970.-736 с.

152. Хасьминский Р.З. Об устойчивости по первому приближению для стохастических систем. ПММ. - Т. 31. - Вып. 6.

153. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. - 368 с.

154. Чижов В.Ф., Эль-Дардур С.М. Теоретическое и экспериментальные исследования колебаний движущейся бумажной ленты // Машиноведение, 1988. №5.-С. 85 88.

155. Шахмейстер Л.Г. Дмитриев В.Г. Теория и расчет ленточных конвейеров.- 2 изд. перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1987. 336 с.

156. Шахмейстер Л.Г., Дмитриев В.Г. Вероятностные методы расчета транспортирующих машин. М.: Машиностроение, 1983. - 256 с.

157. Шумлянский И.Ф. Критические скорости гибкой связи в передачах судовых механизмов. // Судостроение и судоремонт. М., 1989. С. 148 -151.

158. Шумлянский М.Ф. К исследованию поперечных колебаний ветви передачи с гибкой связью // Рук. деп. в ВИНИТИ 12.08.87г. № 5892- В87. Одесс. инс-т инжен. мор. флота. Одесса, 1987. 9 с.

159. Юдович В.И. Динамика нити. Ч. I. Ростов, ун-т. Ростов н/Д., 1995. - 30 с.

160. Andrews Kevin Т., Kuttler К. L., Shillor М. Second order evolution equations with dynamic boundary conditions // J. Math. Anal, and Appl., 1996. 197. № 3. P. 781-795.

161. Batan H., Gurgoze M. On the effect of an arbitrarily located mass on the longitudinal vibrations of a bar // J. Sound and Vibr., 1996. 194. № 5. P. 751-756.

162. Bonsani I., Monako R.,Zavattaro M.G. A stochastic model in contin mechanicsrtime evalutlon of the probability density in the random initial boundary-value problem // Math, and comput. Modell., 1988.10. N 3. P. 207-216.

163. Cabanska-Placzkiewicz K. Free vibration of the system of two strings coupled by a viscoelastic interlayer I I Eng. Trans., 1998.46. № 2. P. 217-227.

164. Cabanska-Placzkiewicz K. Free vibration of the system of two Timoshenko beams coupled by a viscoelastic interlayer // Eng. Trans., 1999.47. №. 1. P.' 21-37.

165. Cao Zi, Xue Suduo, Liu Jingyuan, Zhang Shanyu. An experimental study on damping behavior of cable network roofs // Dizhen gongcheng yu gongcheng zhendong=Earthquake Eng. and Eng. Vibr., 1995. 15. № 2. P. 92-99.

166. Chen Liqun. Analysis of axial vibration of uniform rods by traveling wave method // Lixue yu shijian=Mech. and Pract., 1996.18. № 4. P. 63-64.

167. Cheng S.P., Perkins N. C. Theoretical and experimental analysis of the forced response of sagged cable/mass suspensions // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1994. 61. №4. -p.944-948.

168. Cheng S.P., Perkins N.C. The vibration and stability of a friction-guided, translating string // J.Sound and Vibr., 1991.144. № 2. P. 281-292.

169. Crandall S.H., Zhu W.Q. Random vibration. A survey of recent developments

170. Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1983. 50. № 4b. P. 953-962.

171. Dao Nguyen Van, Anh Nguen Dong. Some problems of random vibrations and its applications: "Random Vibr. and Rellab. ProC. IUTAM Symp., Frankfurt, Oder, Oct. 31 Nov.6. 1982. Berlin, 1983. - P. 339 - 345.

172. Enneking T.J., Spencer B.F.(Jr), Klimmark J.P.E. Stationary two state variable problems In stochastic mechanics // J. Eng. Mech., 1990.116. N2. - P. 343-358.

173. Esmailzadeh E., Nakhaie-Jazar G. Periodic behavior of a cantilever beam with end mass subjected to harmonic base excitation // Int. J. Non-Linear Mech., 1998. 33. №4. -P.567-577.

174. Frontini M., Gotusso L. A discrete conservative model for the linear vibrating string and rod // Comput. and Math. Appl., 1997. 33. № 10. P. 53-65.

175. Gajewski Antoni. Vibrations and stability of a non-conservatively compressed prismatic column under nonlinear creep conditions // J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 2000. 38. № 2. -P. 259-270.

176. Gu Yongxiao. Transverse vibration of a threadllne travelling at constant-speed // Чжунго фанчжи дасюэ сюэоао = J. China Text. Univ., 1989.15. № 3. P.67-72.

177. Gurgoze M. On the eigenfrequencies of a cantilever beam with attached tip mass and a spring-mass system // J. Sound and Vibr., 1996. 190. № 2. P. 149-162.

178. Gurgoze M. On the eigenfrequencies of cantilevered beams carrying a tip mass and spring-mass in-span // Int. J. Mech. Sci., 1996. 38. № 12. P. 1295-1306.

179. Gutierrez R.H., Laura P.A. Transverse vibrations of beams traversed by point masses: A general, approximate solution // J. Sound and Vibr., 1996.195. № 2. -P. 353358.

180. Huang Jeng-Sheng, Fung Rong-Fong, Lin Chik-Hung: Dynamic stability of a moving string undergoing three-dimensional vibration // Int. J. Mech. Sci., 1995. 37. № 2. -P. 145-160.

181. Iyengar R.N., Manohar C.S. Probability distribution of the eigenvalues of the random string equation // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1989. 56. № 1. P. 202-207.

182. Javakhishvili T. Longitudinal oscillations of aerial rope way during high rigidity of carrier rope // Сообщ. АН Грузии., 1997. 155. № 2. P. 243-246.

183. Kecs W.W., Toma A. Cauchy's problem for the generalized equation of the longitudinal vibrations of elastic rods // Eur. J.Mech. A., 1995.14. № 5. P. 827-835.

184. Kozin F. A survey of stochastic systems. Automatlca., 1969. - vol.5. №.1.

185. Krenk S. Vibrations of a taut cable with an external damper // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 2000. 67. №4. P. 772-776.

186. Nakano Nobuhide, Shintani Atsuhiko, Ohsumi Akira. Идентификация неизвестных физических параметров консольной балки с использованием показателей ее колебаний // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C=Trans. Jap. SoC. Mech. Eng. C., 2000. 66. № 643. P. 48-56.

187. Newberry B.L., Perkins N.C. Investigation of resonant tensioning in submerged cables subjected to lateral excitation // ProC. 6th Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Los Angeles, Calif., 1996.-May 26-31.-Vol. 2. Golden (Colo)., 1996. -P.210-216.

188. Newland D.E. A Introduction to random vibrations and spectral analysis. -London. Longman., 1975. -285 p.

189. Nohmi Masahiro. Transient response around a resonance point of a string with a lumped mass at its Lower End // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C=Trans. Jap. SoC. Mech. Eng. C., 1997.63. № 610. P. 1835-1841.

190. Novak M. Random vibration of structures: "4th. Int. Gonf. Appl. Statist, and Probab. Soil and Struct. Eng-IGASP4, Fl-renze, 1983. 13-17 June, ProC. Vol.1." Bologna., 1983. - P. 539- 550.

191. Paria Gunadhar. Vibration of a string as an Illustration of stochastic elasticity // Indian J. Theor. Phys., 1978.26. № 2. P. 79-87.

192. Perkins N.C. Linear dynamics of a translating string an elastic foundation //

193. Trans. ASME. J. Vibr. Acoust., Stress and Rellab. Des., 1990.112. № 1. P. 2-7.

194. Perkins N.C., M ote C.D. Three-dimensional v ibration o f travelling e lastic cables // J. Sound and Vibr., 1987. 114. № 2. P.325-340.

195. Ratcliffe Colin P. A frequency and curvature based experimental method for locating damage in structures // Trans. ASME. J. Vibr. and Acoust., 2000. 122. № 3. -P. 324-329.

196. Rossit C.A., Bambill D. V., Laura P.A. Longitudinal vibrations of a prismatic bar suddenly subjected to a tensile load at one end when the other is elastically restrained // J.Sound and Vibr., 1995.188. № 1. -P. 145-148.

197. Richard K., Anand G. V. Non-linear resonanse In strings imer narrow band random excitation. Part I: Planar response and stability // J. Sound and Vibr., 1983. 86. N1. -P. 85-98.

198. Sarkar P.K. Approximate determination of the fundamental frequency of a cantilevered beam with point masses and restraining springs // J. Sound and Vibr., 1996. 195. №2. -P.229-240.

199. Scheidt Jurgen. Random vibrations of supporting elements // 11 Int. Kongr. Anwend. Math. Ingenleurwlss.:Beltr. Math, und Inf. Wiss.-techn. Fortschr. Bauw. Weimar, 1987. 28 Jun - 3 Jull. Ber. Heft. 4. Weimar, 1987. - P. 80-83.

200. Simion F. P., Decolon Chr., Staicu St. Study of vibrations in a rod submit to viscous frictions // Sci. Bull. D. "Politehn." Univ. Bucharest, 1998. 60. № 1-2. P. 5559.

201. Stochastic problems In dynamics. Ed. Clarkson W.L. London, e.a. Pitman, 1977.-566 p.

202. Sun J.-Q., Hsu C.S. Random vibration of hinged elastic shallow arch I I J. Sound and Vibr., 1989.132. № 2. P. 299-315.

203. Sun Lu. Building sway and elevator rope vibration. Part II. A second dynamicloading on ropes: centrifugal force Elevator World, 1995. 43. № 4. P. 136-137.

204. Vanmarcke E.H. Some recent developments In random vibration // Appl. Mech. Rev., 1979. 32. N 10. P.l 197-1202.

205. Tomski Lech, Przybylski Jacek, Golebiowska-Rozanow Maria, Szmidla Janusz. Vibrations and stability of columns subjected to a certain type of generalised load // J. Theor. and Appl. Mech. (Poland)., 1999. 37. № 2. Pc. 283-299.

206. Wang Yi-Ming. The transient dynamics of a cable-mass system due to the motion of an attached accelerating mass // Int. J. Solids and Struct., 2000. 37. № 9. P. 1361-1383.

207. Wickert J.A., Mote C.D. Linear transverse vibration of an ailally moving strlng-partlcle system// J. Acoust. Sos. Amer, 1988. 84. № 3. . p. 963-969.

208. Xu Xiaoge. Research in classical problem of vibrations of string with n beads // Zhengzhou daxue xuebao. Zirpn kexue ban=J. Zhengzhou Univ. Natur. Sci. Ed., 1997. 29. №2. -P. 28-30.

209. Yang B. Linear vibration of a coupled string-rigid bar system // J. Sound and Vibr., 1995.183. № 3. P. 383-399.

210. Yasuda Kimihiko, Kato Mitsuhiro. Occurrence of combination tones in a string // Nihon kikai gakkai ronbunshu. C=Trans. Jap. SoC. Mech. Eng. C., 1998. 64: № 625. -P. 3271-3279.

211. Yildirim Vebil, Sancaktar Erol, Kiral Erhan. The effect of the longitudinal to transverse moduli ratio on the natural frequencies of symmetric cross-ply laminated cylindrical helical springs // Trans. ASME. J. Mech. Des., 1999. 121. № 4. P. 634639.

212. Zhu W. D., Mote C D. (Jr), Guo B. Z. Asymptotic distribution of eigenvalues of a constrained translating string // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1997. 64. № 3. P. 613-619.

213. Zhu W.D., Guo B.Z. Free and forced vibration of an axially moving string with an arbitrary velocity profile // Trans. ASME. J. Appl. Mech., 1998. 65. № 4. P. 901-907.