Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях

Исламова, Оксана Владимировна

Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях

кандидата технических наук: Исламова, Оксана Владимировна
город: Нальчик
год: 2012
специальность ВАК РФ: 05.13.18
цена: 450 рублей

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях»

Автореферат диссертации по теме "Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях"

На правих рукописи

Исламова Оксана Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ УПРУГИХ СИСТЕМ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ И СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

2%{1Ж1Ш

НАЛЬЧИК 2012

005046106

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Кабардино-Балкарский государственный университет им. Х.М. Бербекова»

доктор технических наук, профессор Культербаев Хусен Пшимурзовпч

доктор технических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Волгоградский государственный архитектурно-строительный университет», декан строительного факультета Пшеничкипа Валерия Александровна

доктор физико-математических наук, профессор, Технологический институт ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» м г. Таганроге, зав. кафедрой физики Куповых Геннадий Владимирович

ФГБУН «Институт информатики и проблем регионального управления Кабардино-Балкарского научного центра РАН», г. Нальчик

Зашита состоится «03» июля 2012 г. и 14"° па заседании диссертационного совета Д.212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928. Ростовская обл.. г. Таганрог, мер. Некрасовский. 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344000, Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «_»_2012 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета

Александр Николаевич Целых

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме и функционировании, находится любое техническое устройство, оборудование, приборы, здание или сооружение. Вопросы детерминистических и случайных колебаний гибких систем в виде струн и мембран при действии векторных возмущений с коррелированными между собой компонентами, представляющими динамические нагрузки и кинематические источники колебаний, недостаточно исследованы.

Нет конкретных описаний спектральных или корреляционных матриц случайных векторных процессов, кроме их свойств общего характера. В опубликованных работах изучены колебания, возбуждаемые скалярными возмущениями или в редких случаях - двумя некоррелированными возмущениями, что явно недостаточно для адекватности моделей реальным явлениям. В известных исследованиях зачастую применяются громоздкие математические методы, со сложными функциями, не достигая при этом полноты решения, или определяются приближенные решения, точность которых трудно оценивать и проверять. Численные методы в этих случаях имеют большие преимущества, обладая более универсальным характером при их сравнительной простоте и возможности увеличения точности решения задач.

В силу таких причин представляется своевременной и актуальной дальнейшая разработка новых математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о гармонических и случайных колебаниях гибких элементов широко используемых практикой.

Объектом исследования являются гибкие упругие системы.

Предметом исследования - свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания.

Целью диссертационной работы является разработка и изучение математических моделей свободных и вынужденных колебаний гибких упругих при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи исследования

1. Разработать линейные аналоговые модели свободных, вынужденных детерминистических и случайных колебаний гибких упругих систем.

2. Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три модели установившихся режимов:

- непериодические негармонические колебания;

- периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

3. Для исследуемых систем получить посредством численных методов алгоритмы определения спектров собственных частот, коэффициентов затухания и соответствующих им форм свободных колебаний.

4. При вероятностной постановке задач, когда возмущения представлены как стационарные случайные векторные процессы, выявить с помощью стохастических математических моделей и численных методов влияние параметров спектральной плотности на выходные характеристики колебательной системы.

5. Для разработанных детерминистических и стохастических моделей составить алгоритмы расчётов исследуемых упругих систем и реализовать их в одной из современных информационно-вычислительных сред программирования в виде комплекса программ.

6. Пронести численные эксперименты и проверить лостоверность ионых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.

7. Провести расчёты для реального оборудования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Динамические непрерывные модели колебаний гибких упругих систем при векторных гармонических и случайных возмущениях.

2. Методика определения спектров собственных частот и форм гибких упругих систем с помощью численного моделирования свободных колебаний, позволяющая получить простые и эффективные алгоритмы и компьютерные программы решения сложных задач.

3. Комплекс программ «Расчёт гибких элементов», реализующий алгоритмы численного решения поставленных задач, предназначенный обеспечить универсальность разработки и проектирования техники с гибкими элементами.

4. Результаты исследования гибких упругих систем на предмет влияния параметров входных случайных процессов на вероятностные характеристики колебаний с целью выявления и устранения наиболее опасных режимов колебаний при эксплуатации технических объектов.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Для стохастических моделей колебательных систем предложен способ формирования спектральной матрицы возмущений, отличающийся от известных конкретностью и соответствием реальным условиям работы исследуем ых гибких элементов.

2. Предложены новые двумерные аналоговые математические модели колебаний мембраны, отличающиеся от известных учётом силы трения, что позволяет изучить её случайные колебания, не рассмотренные ранее. Предложены эффективные способы определения спектров собственных частот и форм колебаний при наличии демпфирования, амплитуд при гармонических вынужденных колебаниях, спектральных плотностей и дисперсий при случайных колебаниях.

3. Вынужденные детерминистические колебания мембраны рассмотрены при новой постановке задач, учитывающей векторный характер гармонических возмущений при их разных частотах и начальных фазах.

4. Получена модифицированная динамическая модель колебаний тяжёлой струны, отличающаяся от известной точным граничным условием, что позволило перейти от сложных аналитических методов решения к численным и решить ряд новых прикладных задач.

5. Создан программный комплекс «Расчёт гибких элементов», реализующий разработанные алгоритмы численного решения поставленных задач.

Достоверность результатов для детерминистических моделей подтверждается тестовыми расчётами, проведёнными на классических примерах, которые с достаточной степенью точности совпали с известными результатами. Достоверность результатов по решению стохастических задач проверена и подтверждена совпадением их решений с решениями детерминистических задач при специальном подборе типов и параметров стохастических возмущений, позволяющем осуществить их предельный переход к гармоническим входным процессам.

Практическая направленность

демонстрированы на примере, приведённом в диссертации (струна, движущаяся в продольном направлении). Получены акты внедрения результатов исследований при расчете клинового ремня В4250 на штамповочном станке и ленты ЛТ-100 на ленточном конвейере. Эксперименты проводились на Нальчикском заводе высоковольтной аппаратуры и Заводе железобетонных изделий № 4 г. Нальчика.

Кроме того, материалы диссертации использованы в учебном процессе кафедры Теоретической и прикладной механики Кабардино-Балкарского университета при проведении лабораторных занятий и выполнении расчётно-графи-ческих работ по курсу «Основы теории колебаний».

Методология и методы проведённых исследований

Для решения поставленных задач использованы методы уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного, численные методы, метод покоординатного спуска, методы теории вероятностей и случайных процессов, вариационные методы, методы линейной алгебры, программные средства компьютерной математики MATLAB, язык программирования С#.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. Международной научно-технической конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСУ, г. Волгоград, 200$ г.

2. Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «11еренекгива-20(")4». г. Нальчик. 2004 г.

3. Научной конференции молодых учёных КБГУ. Кабарлипо-Ьалкарскии госуниверситст, г. Пальчик. 2003 г.

4. Всероссийской научно-технической конференции «Наука, техника и технологии XXI века», КБГУ, г. Нальчик. 2005 г., 2007 г.

5. Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива-2005», г. Нальчик, 2005 г.

6 Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 1-3 июня 2005 г., Самарский государственный технический

университет, г. Самара, 2004 г.

7. Научно-исследовательских семинарах кафедр вычислительной математики и теоретической и прикладной механики, КБГУ, г. Нальчик, 2005, 2006,

2007,2009,2010,2011 гг.

8. Всероссийской научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов «Перспектива-2006», г. Нальчик, 2006 г.

9. X Всероссийском съезде по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, г. Нижний Новгород, 2011 г.

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 19 публикациях, из них 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикаций основных результатов кандидатских диссертаций.

Объём работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, основных выводов, списка литературы и приложений, содержит 181 страницу.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении раскрывается актуальность темы и её значимость для науки и практики, указывается объект, определяются цели и задачи, обосновывается научная новизна, практическая применимость и положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена анализу современного состояния проблемы исследования детерминистических и стохастических колебаний гибких упругих систем.

Современная наука и техника широко пользуются математическим моделированием. Объективной причиной такого факта является существенная экономия времени и затрат, достигаемые при этом способе решения широкого круга проблем.

Особенно актуальным математическое моделирование стало в последнее время в связи с бурным развитием информационного общества. Математическое моделирование, являясь частью информационного моделирования, стало неизбежной составляющей научно-технического прогресса.

Выдающийся вклад в создание и развитие этой науки внесли Н. Винер, A.A. Самарский, А.Н. Тихонов, В.В. Болотин, A.C. Вольмир, Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун, A.A. Ильюшин, Г.И. Марчук и.др.

В зарождении и развитии теории случайных процессов большую роль сыграли российские математики: А.Н. Колмогоров, А .Я. Хинчин, A.M. Яглом, Е.С. Вентцель, B.C. Пугачёв и др. Значительное влияние на внедрение методов теории вероятностей и теории случайных процессов в прикладные науки и инженерную практику оказали труды В.И. Бунимовича, В.В. Солодовникова, A.A. Свешникбва, В.В. Болотина.

Особенно значимыми в механике, предметом изучения которой являются гибкие упругие системы, были работы В.В. Болотина, A.C. Вольмира,

A.C. Гусева, В.А. Светлицкого, М.Ф. Диментберга, В.В. Екимова, Б.П. Макарова,

B.П. Макеева, Н.И. Гриненко, Ю.С. Павлюка, H.A. Николаенко, А.Р. Ржаницына, A.A. Силаева, S.H. Crandall, W.Q. Zhu, L. Fabian.

Задачи о колебаниях струн и мембран, изучение которых начато ещё в трудах Рэлея, являются одними из основополагающих в классической математической физике и уже имеют почти необозримую литературу по своим теоретическим аспектам, в том числе известные учебники и монографии. Общие вопросы механики струн и мембран, в том числе и колебаний, даны в монографиях И.М. Бабакова, B.JI. Бидермана, Д.Р. Мер-кина, В.А. Светлицкого. В.К. Качурина, И.И. Мигушова, H.H. Попова, Б.С. Расторгуева,

C.П. Тимошенко.

К настоящему времени в изучении этих элементов преобладают в основном детерминистические модели, хотя во многих случаях они имеют явно вероятностный характер, что делает постановку и изучение всякого рода стохастических задач весьма актуальным.

Во второй главе рассматриваются свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания мембраны. Математическая модель колебаний представляет собой уравнение в частных производных гиперболического типа

и„ + 2е и, - а' Ли =fi(x, у, t), (х, у) eQ, I > - со, (1)

к которому в качестве дополнительных условий присоединяются граничные условия

и(х. у. I) = f:(x. у. I). (X, у) еГ, 1 > - со. (2)

В задачах о свободных колебаниях и вынужденных колебаниях в установившемся режиме, которые рассмотрены и диссертации, начальные условия не требуются. В такой модели динамическим источником колебаний является поперечная распределённая нагрузка f/(x. t). с которой сочетаются кинематические перемещения контура мембраны f:(t). Каждый отдельно взятый компонент векторного процесса возмущений f(t) = {fi(x, i)-/:0)f может относиться к самым разнообразным типам процессов: детерминистическим, стохастическим, смешан-

ным, т.е. содержащим в себе как детерминистическую так и стохастическую составляющие. Рассмотрены три случая возмущений.

1. Возмущения отсутствуют, т.е./(О &0. Этот случай соответствует свободным колебаниям. Определены собственные частоты и формы колебаний:

Г~, Г ^ /V „) • тт ■ плУ О шп = ~ £ ' Я»"'* у)= ¿« — .ни—'

'/ '2

Эта задача хорошо известна и имеет вспомогательный характер для изучения гармонических и случайных колебаний.

2. Возмущения /0) являются векторным гармоническим процессом. Компоненты векторного процесса приняты с равными частотами А но с разными начальными фазами и имеют описание

Ых.у.1) = а/х. у)е '(Пк , к = 1.2;а, = а,/РК

где ак(х. у) - функции амплитуды возмущений, Пк, ук - частота и начальная фаза возмущений. В таком случае колебания мембраны являются вынужденными и гармоническими. Поэтому и в целях использования метода разделения переменных, решение задачи (1), (2) представляется как произведение

и(х, I) = Н(х, }П) ^, (3)

где Н(х, }П) - передаточная функция. Подставив (3) в (1), (2) получаем краевую

задачу Дирихле , .

Ъ2Н, - а2 АН, = А ,(х. у), (х, у) ей Ъ2 = (Щ)2 + 2£0П), (4)

Н,(х.у,М = 0.(х.у)еГ. (5)

Уравнение (4) относится к типу эллиптических и называется неоднородным уравнением Гельмгольца. Точное решение задачи в аналитическом виде не выписывается, поэтому ищется приближенное решение методом Бубнова - Галёркина.

Линейность задачи позволяет воспользоваться принципом суперпозиции и разбить её на две автономные задачи, каждая из которых соответствует отдельному возмущению при отсутствии другого. Тогда решение задачи (1), (2) представляется суммой решений автономных задач, т.е. амплитуда колебаний струны является скалярным произведением

а„(х) = [А, Н(х, ¡О)]. Здесь компоненты вектора Н(х,]П) = {Н,(х, }П). Н2(х,]П)} определяются в ходе решения вышеупомянутых автономных задач.

Для использования в численных примерах приведена в табл. 1 значений

собственных частот

Таблица 1 - Значения собственных частот свободных колебании мембраны

т 1 1 1 2 2 3

п 1 2 3 2 3 3

в>гтп 13,39 21,17 29,95 26,79 34.15 40,18

Изучено влияние сдвига фаз на амплитуду колебаний (рис. 1), при частоте возмущений О = 7 с"', и фазах у, = 0, у2 = 0 (кривая I), л/2 (2), (3/4)к (3), к (4). По графикам видно, что амплитуды колебаний являются наибольшими при синфазном действии возмущений (кривая 1). Появление сдвига фаз ведёт к уменьшению амплитуд (кривые 2, 3, 4). Когда возмущения находятся в противофазе

(кривая 4), края и середина мембраны лпижутся в противоположных направлениях, отклонения мембраны являются наименьшими.

3. Возмущения f(t) являются векторным случайным стационарным процессом. Колебания мембраны в установившемся режиме представляют пространственно-временное случайное поле, стационарное во времени и неоднородное по пространственной координате. Задача, поставленная в рамках корреляционной теории, состоит в том, чтобы по заданным характеристикам входного стационарного процесса f(t) найти характеристики выходного случайного поля и(х, I). Иероятностиые характеристики входного процесса потушений заданы эрмитовой спектральной матрицей входного процесса

ix - л

S/w) =

Рисунок 1 - Амплитуды колебаний мембраны при векторных гармонических возмущениях

>21

.S„((0) = s'.((u).

'22 /

Ставится задача об определении спектральной плотности 8„{х,со) скалярного поля отклонений и на её основе функции дисперсии отклонений струны Ц( (х).

Решение задач на уровне математического ожидания путём осреднения уравнения (1) и граничных условий (2) сводится к классическим детерминистическим задачам и в этой работе не рассматривается. Это служит основанием для представления как входных так и выходных случайных процессов в виде центрированных процессов.

Решение задачи базируется на передаточных функциях Нк(х, ¿О), найденных для гармонических колебаний. Тогда спектральная плотность и дисперсия находятся по формулам

S„(x. со) = Н(х, ja) S/x, ja) Нт(х. ja). Du (x) = 2J S„ (x, co)dco ■

(6)

Как показывает изучение колебаний мембраны и далее решение задач о динамике тяжёлых нитей, струн с сосредоточенными массами, получение результатов с помощью аналитических методов представляет зачастую громоздкую процедуру, для выполнения которых требуются сложные компьютерные программы. Дополнительные трудности вызываются необходимостью редукции бесконечного ряда Фурье к конечному ряду с ограниченным количеством слагаемых. Эти проблемы можно устранить с помощью численных методов.

С этой целью в третьей главе отработано применение метода конечных разностей на примере классической струны, описываемой уравнением в частных производных гиперболического типа

и + т-а2и" =ШМ) = ц(1)/т, (х, I) е 2 = [(х, I): х £ £ = (О, I). I е р!], (7) к которому присоединяются граничные условия 8

u(0, t) = т. и(1, О =/з(0. г>-со. (8)

В задаче о свободных колебаниях уравнение и граничные условия становятся однородными, т.е. векторный случайный процесс становится нулевым

f(t) = {f,(t)J2(t),f2(t)} = 0. (9)

Решение задачи (7), (8) с учётом (9) отыскивается с помощью метода разделения переменных как произведение

и(х, 0 = U(x)e.

где я = - f, +jco - характеристический показатель, ц и ш - подлежащие определению коэффициент затухания и частота свободных колебаний,у - мнимая единица.

Показано, как методом конечных разностей проблема собственных значений и собственных векторов сводится к рассмотрению системы линейных однородных алгебраических уравнений

В(Х)у = 0,

где В (Л) - квадратная матрица порядка и, у Т = {у,. У2.....У,.} ~ вектор, компонентами которого являются отклонения струны.

Искомые спектры коэффициентов затухания и собственных частот находятся из частотного уравнения det В(Х) = 0 методом покоординатного спуска. На конкретном примере струны показывается, что значения, найденные численными методами почти не отличаются от точных (табл. 2).

Таблица 2 - Собственные частоты свободных колебаний струны

к По точной формуле, с'1 Методом конечных разностей, с" Разница, %

] 25,1528 25,1526 0,00079

2 50.3057 50,3036 0,004174

3 75.4586 75,4516 0,009277

Аналогичные проверки достоверности результатов, полученных численными методами, проведены для вынужденных колебаний при гармонических и случайных возмущениях. Во всех рассмотренных примерах обнаруживается хорошее совпадение с точными решениями, что приводит к резюме, что метод конечных разностей даёт результаты, практически неотличимые от точных результатов, полученных аналитическими методами (рис. 2 , 3).

Оа.

: Э :

■ /f.. х, ......'"i^Xll! Ч.

0.2

0,4 0.6 0.8 1

Рисунок 2 - Среднеквадратические отклонения струны при векторных случайных возмущениях, полученные по точной формуле

0.2 0.4 0.6 0,8 1

Рисунок 3 - Среднеквадратические отклонения струны при векторных

случайных возмущениях, полученные численными методами

В этой главе также продемонстрированы возможности численного статистического моделирования векторного процесса возмущений и динамики струны при изучении вынужденных нестационарных случайных колебаний. Проведены соответствующие конкретные вычисления, показаны формы отклонения всей струны в различные моменты времени и случайный колебательный процесс одной из точек струны, из анализа результатов сделан ряд выводов.

В четвертой главе рассматривается однородная струна длиной /, движущаяся в продольном направлении со скоростью v (рис. 4). Получена модифицированная математическая модель колебаний принципиально новым способом, с использованием основных законов динамики движущегося тела

ü + 2eú + 2vu +(v2 -rj1 )и" = 0 (Ю)

(х, t) е G = Lx R1 = {(x,t):xeL = (0,!}. t е R' },'>-«>. S = у / 2, г7 = -J N / т - скорость распространения поперечных волн по струне, т-рА- удельная линейная масса, р - плотность материала, А - площадь поперечного сечения, у-коэффициент удельного линейно-вязкого трения, N— сила натяжения. К уравнению (10) присоединяются граничные условия

и(0, t) =f,(t), и(1, t) =f2(t), I > - <ч (11)

где f(t) ={fi(t),/2 (ОJ ~ заданная вектор-функция.

Модель в виде задачи (10), (11) описывает не только поперечные колебания струн, но и продольные колебания в тех же струнах и стержнях, крутильные колебания валов и т. д. Следовательно, область приложения результатов, полученных ниже, может включать и.эти объекты.

Далее как основная задача ставится изучение колебаний струны, когда граничные условия являются случайным векторным процессом с заданными вероятностными характеристиками, а искомыми являются вероятностные характеристики выходного случайного поля и(х, t) в виде спектральной плотности (корреляционной функции), дисперсий и тд. При этом между стохастическими и детерминистическими задачами обнаружена тесная связь и взаимо- _ . ..

уз Рисунок 4 - Расчетная схема

зависимость. '

Расчёты проведены на примере клиноремённой передачи однокривошип-ного открытого пресса простого действия усилием 250 тонн, модели К0134, имеющего характеристики:

расчетный диаметр шкива электродвигателя - 280 мм; расчётный диаметр шкива маховика - 882 мм;

клиновые ремни В 4250 ГОСТ 1284-68 с параметрами I = 1,8 м, N = 600 H.v- 20,5 м/с, м = 0,30 k¿/м.

рассмотрены свободные и кинематически возбуждаемые вынужденные колебания при гармонических граничных условиях. Получены спектры собственных частот и форм, определен коэффициент затухания. В частности, е>= /61.6; /23,3; 185,0¡ с', // = 0,04 с'. Изучено влияние сдвига фаз возмущений на вынужденные колебания. С этой целью проведены вычисления, и результаты представлены кривыми на рис. 5.

При фиксированной частоте возмущений О рассмотрены четыре случая различных сочетаний начальных фаз

О = 30 с' а, = Юмм. а2 = /0 лш у = {0. 0}(кривая = { 0. к/2}(кривая 2). ш = { 0, 3 к/4 } (кривая 3), у = { 0. л} (кривая 4).

Кривая 1 соответствует идеально синфазным возмущениям, одновременно имеющим одинаковые направления. Поэтому амплитуды являются наибольшими по все" серии вычислений. Кривые 2, 3 показывают переход от идеально синфазных возмущений к противофазным (кривая 4).

Рассмотрен тот же пример при О - НО с' (рис. 6). при сохранении остальных параметров. Частота возмущений теперь находится между первой и второй собственмЬ1ми частотами, амплитуды колебаний увеличились, и при этом, как следовало ожидать, колебательный процесс проходит уже при значительном влиянии второй собственной формы.

0,2 С.4 Сл О В 1

Рисунок 5 - Зависимость амплитуды колебаний

0,6 ОЯ 1 1.2

Рисунок 6 - Зависимость амплитуды колебаний от сдвига фаз, Я = 80 с

от сдвига фаз, О = 30 с Очевидным является следующий вывод: величины амплитуд колебаний и формы их распределения вдоль оси существенно зависят от частоты возмущении

И СДВИраИссмФотрено влияние коррелированное™ компонентов вектора случайных возмущений на колебания. Параметры характерных частот и Ш1Фоко;я°~с™ подбирались таким образом, чтобы результаты можно было сравнить с аналогами при изучении роли сдвига фаз возмущений в детерминистически задаче Н ВЛ = 30 с . а,„ = 0.1 с . ¡. к = 1, 2, 3.

Среднеквадратические отклонения возмущений взяты равными Действительным амплитудам гармонических возмущений при изучении влияния сдвига Лаз на гаимонические колебания а, - Юмм, а2 - Юмм.

Ф Четыре случая сдвига фаз возмущений, имевшие место в детерминистической задаче промоделированы с помощью четырёх соответствующих нормированных корреляционных матриц

Ч:) Ч Я -и ~П Ч' <)

Результаты вычислений представлены на рис. 7. Номера кривых соответствуют номерам корреляционных матриц. Сравнение кривых рис. 5, 7 показывает их анмогию. ГсГмТно сделать вывод, что нормированная корреляционная матрица в случаи-ных кмебаниях имеет такое же влияние на среднеквадратические отклонения, что и сдвиги фаз возмущений в гармонических колебаниях на амплитуды колебании.

0 0.3 0.< 0£ С.е 1 1.2 1.6 1,0

Рисунок 7 - Зависимость среднеквадратических отклонений от нормированной корреляционной матрицы возмущений

В пятой главе изучены свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания тяжёлой струны с распределённой массой и сосредоточенными массами на верхнем и нижнем концах.

Основное дифференциальное уравнение тяжёлой струны с распределённой массой (рис. 8) имеет вид

u + aj-gu'-gxu"=fl0).f,0) =я«)/т. (12) (х. 0 е <2 = ((х. I): х е /,=- (О, I). I е /?'/■

Рассмотрение нижнего свободного конца струны приводит к условию

и(0. I) + ей(0.'(0.!) = /,(!)■

. (13)

Верхний конец струны может перемещаться в горизонтальном направлении, чему соответствует граничное условие

и(1, 0 = /:(0- (И)

При отсутствии трения (г. - 0) имеются значения первых трех собственных частот. Сравнение их с полученными дастся табл. 3. из которой видно, что разница незначительная.

Таблица 3 - Собственные частоты свободных колебаний тяжёлой струны с распределённой массой

Ш,. с СО-,, с' Ю3. с'

Известное решение 3.766 8,645 13.553

Метод конечных разностей 3,781 8,718 13,723

Разница в % 0,40 0,84 1,25

Интересно при этом заметить, что метод конечных разностей во всех случаях даёт собственные частоты чуть больше точных. Объяснение состоит в том, что струна, реально изгибаемая как гладкая кривая, подменяется искусственной, более жёсткой «струной», изгибающейся как ломаная линия; а увеличение жёсткости, как известно, всегда приводит к повышению собственных частот системы.

Для стальной проволоки с параметрами / = / м, сі = 3 мм, є = 0,1 с' и характеристиками возмущений ач = 0,01 Н/м, а2 = 10 мм рассмотрены негармонические колебания, когда частоты и начальные фазы имеют значения й = { 1,5; 4ж} с , ці = {0, 0}; результаты представлены кривой рис. 9. 12

Рисунок 8 -Расчётная схема

"'"Ь 2 4 6 8 10

Рисунок 9 - Негармонические непериодические колебания

Видно, что колебания носят негармонический непериодический характер и представляют сумму двух гармоник. При этом также можно заметить, что на основные колебания от поперечной нагрузки с периодом у _ _ = 4 и сравнительно

' Г2, 1,5

боаьшой амплитудой накладываются колебания с меньшим периодом Т2 =- = 0,5 с

4к

от кинематических возмущений верхнего конца.

В стохастической задаче возмущения верхнего конца и от поперечной нагрузки являются случайными процессами. Исследована зависимость среднеквад-ратических отклонений колебаний от взаимной коррелированности составляющих векторного случайного процесса возмущений. Наибольшие среднеквадрати-ческие отклонения перемещений имеют место при идеально положительной корреляции источников. При некоррелированных процессах возмущений средне-квадратические отклонения падают. При колебаниях, возбуждаемых процессами со скрытой периодичностью, исследовано влияние характерной частоты и параметра широкополосности на величины и формы среднеквадратических отклонений колебаний. При малых значениях характерной частоты возмущений нагру-жение близко к статическому и динамические эффекты незначительны. При росте характерной частоты Р среднеквадратические отклонения возрастают и достигают максимальных значений при приближении к собственным частотам. Уменьшение значения параметра ши-рокополосности а приближает случайный процесс колебаний к гармоническим.

Результаты исследований, проведенных в пятой главе, позволяют сделать вывод о существовании тесных связей между свободными, вынужденными гармоническими и вынужденными случайными колебаниями тяжёлой струны с распределённой массой.

Основное уравнение колебаний струны с сосредоточенной массой на нижнем конце (рис. 10) имеет вид и + £1/ - = /,(1) . 1 = х + М/>п,

/,(() = д(1)/т (15)

(х,1) е <2 * /■(*,/) е I э (0,1), I б Я1] ■

ад Ї

ч(0

Рисунок 10 -Расчётная схема

К нему присоединяется граничное условие по верхнему движущемуся концу

4(1. I) (:(!). I " - а>. (16)

Второе граничное условие находится ич динамического равновесия массы М. сосредоточенной на нижнем конце (рис. 1 I). Равенство пулю суммы проекций сил на ось и в соответствии с принципом Даламбсра даст и(0,!)+ш(0. 1)-&!'(0.1 ) = /,(!),

/з(0 = Г0УМ. (17)

где V - коэффициент трения массы М.

Математическая модель (16), (17) описывает класс разнообразных задач о колебаниях.

Для свободных колебаний численными методами определены спектры собственных частот и форм, а так же коэффициенты затухания.

При отсутствии трения (е = 0, V -0) и соотношении между массами М = т1 (т- погонная масса) имеется значение первой частоты, найденное аналитически, со, = 3,2887 с'. Метод конечных разностей даёт со, = 3,3088 с', что

подтверждает высокую эффективность.

Предлагаемый конечно-разностный алгоритм дал первые три элемента спектров собственных частот при учёте сил сопротивления

со = {ео,,а>2, а>,} = {3,237; 16,146; 31,302}с' и коэффициентов затухания

ц = ц3} = {0,028; 0,0481; 0,0494}с'.

Интересно заметить, что коэффициенты затухания находятся в следующих приблизительных соотношениях с удельными коэффициентами трения

¡л,~ч/2 = 0.025 с', ц2 = £/2 = 0,05 с', ц3~е/2 = 0,05 с'.

Из этого следует, что колебания системы по первой частоте происходят под преимущественным влиянием сосредоточенной массы, а по второй и третьей частотам - под влиянием струны. Собственные формы подтверждают это предположение (рис. 12). В колебаниях по первой частоте доминирующую роль играют отклонения сосредоточенной массы, при колебаниях по обертонам - континуальный участок струны, в последних случаях сосредоточенная масса почти неподвижна.

Для гармонических колебаний получены значения амплитуд колебаний при векторных возмущениях, исследована зависимость амплитуды от сдвига фаз.

Для случайных колебаний найдены среднеквад-ратические отклонения и дисперсии. Достоверность результатов проверена специальным подбором входных данных, при которых результаты полученных расчётов близки к результатам при гармонических возмущениях.

N .

р(1) ми »Ми

Рисунок 1 1 -Граничные условия

ТОО

2 у^к

Рисунок 12 -Собственные формы

Математическая модель колебаний струны с сосредоточенной массой на верхнем конце (рис. 13) описывается уравнением и + ей- - ей' = /,(1), 2 = х+ Л / р,

= I >оо, (18)

к которому присоединяются граничные условия

4(0.1) = //!).

и(1,1) + уй(1,1) + ыи'(1,1) = /}(1). (19)

IV = <2/М-%. ///; = Г(1)/М . />-*>.

Для свободных колебаний определены спектры собственных частот и форм. В частности,

СО = \р01, СО2, СО] } = {0.9968; 18.0293; 35.9723} с"1.

Для гармонических колебаний найдены амплитуды колебаний, выявлена зависимость амплитуды от сдвига фаз. Изучены непериодические негармонические колебания.

Для случайных колебаний вычислены среднеквадра-тические отклонения и дисперсии. Достоверность полученных результатов подтверждается множеством решённых примеров. Исследована зависимость среднеквадрати-ческих отклонений от коррелированное™ процессов возмущений. Матрицы корреляции составлены в соответствии со сдвигами фаз для гармонических колебаний и обнаружена схожесть результатов.

На рис. 14 приведены результаты счёта при характерных частотах возмущений близких к собственным частотам.

Рк = I с' (кривая I). 17.5 с' (2). 35 с' (3).

х, ы

0 6

„ 600 403 200 О

ии , ММ

Рисунок 14 - Зависимость среднеквадратических отклонений от параметра широкополосности при характерных частотах близких к собственным частотам

Использованы два параметра широкополосности

ал = 0.05 с'.}, к = 1.2, 3 (кривые 1. 2. 3);

Г^!

ч(0

И® а

Рисунок 13 -Расчётная схема

* 1 V

\Ку^

■ 12К

\у/ X/

аік = 0,1 с"',/ к= 1,2, 3. (кривые г, 2', З')-Очевидно, что среднеквадратические отклонения при увеличении параметра широкополосное™ уменьшились заметно.

Рис. 15 соответствует случаю, когда характерные частоты находятся вдали от собственных частот, т.е.

Рл = 0,5 с' (кривая 1), 14 с' (2), 30 с' (3).

мм

Рисунок 15 - Зависимость среднеквадратических отклонений от параметра широкополосности при характерных частотах далеких от собственных частот

Вычисления проведены при тех же значениях параметра широкополосности. Видно, что эффект оказывается противоположным, т.е. значения среднеквадратических отклонений увеличились. Отсюда делается общий вывод: при колебаниях, близких к резонансным, увеличение широкополосности случайных возмущений уменьшает среднеквадратические отклонения, и, наоборот, при колебаниях, вдали от резонансных -увеличивает среднеквадратические отклонения перемещений.

В шестой главе приводится описание программного комплекса «Расчёт гибких элементов».

Реализация расчётных модулей выполнена с помощью математического пакета MalLab, пользовательский интерфейс - с помощью объектно-ориентированного языка программирования С# в среде Visual Studio 2008.

Разработанный программный комплекс позволяет:

1. Для свободных колебаний определить спектры собственных значений и векторов.

2. Исследовать зависимость амплитуды колебаний от частоты возмущений и сдвига фаз при векторных гармонических возмущениях.

3. Для рассматриваемых моделей колебаний гибких упругих систем получить кривые отклонений при негармонических колебаниях.

4. Построить графики среднеквадратических отклонений при случайных возмущениях и исследовать их зависимость от коррелированное™ входных процессов.

5. Исследовать зависимость ереднекнадратических отклонений от параметра широкополосности и характерной частоты.

Все примеры, приведенные в диссертации, решены с помошыо программного комплекса «Расчет гибких элементов». Достоверность результатов счёта подтверждена его апробацией на множестве тестовых примеров.

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Разработаны новые динамические модели с учетом сил демпфирования, адекватно описывающие процесс колебаний гибких упругих систем, которые позволили изучить колебания при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

2. В детерминистическом случае колебаний для исследованных типов упругих систем предложен алгоритм определения спектров собственных частот и форм свободных колебаний с использованием численных методов, применение которых к решению поставленных задач является новым.

3. Для гармонических колебаний, вызванных комбинированными динамическими и кинематическими возмущениями, найдены функции перемещений и формы распределения амплитуд при наличии сил сопротивления. Изучено влияние частоты возмущений и сдвига их фаз на величины амплитуд колебаний и формы их распределения.

4. В стохастических системах, возмущения которых представлены как стационарные случайные векторные процессы с коррелированными компонентами, проанализировано влияние степени взаимной коррелированности компонентов входных процессов на вероятностные характеристики колебаний.

5. В рамках корреляционной теории по заданным спектральным матрицам входных процессов найдены спектральные плотности и среднеквадратические отклонения скалярного пространственно-временного поля перемещений.

6. Изучены реакции гибких упругих колебательных систем при приближении параметра скрытой частоты случайных возмущений к собственным частотам колебаний. Во всех случаях обнаружен рост среднеквадратических отклонений. При стремлении параметра широкополосности к нулю стохастический колебательный процесс сводится к гармоническому. Проведённый анализ показал, что динамическое поведение гибких упругих колебательных систем существенным образом зависит от широкополосности возмущений и от характера совмещения их спектральной плотности со спектром собственных частот на частотной оси.

7. На базе математического пакета Ма^аЬ создан комплекс программ расчёта по разработанным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение разнообразных прикладных задач о колебаниях гибких упругих систем.

Публикации по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическая модель колебаний подвешенной струны с сосредоточенной массой // Изв. высш. учеб. завед. Северо-Кавказский регион. Технические науки. 2007. - № 4. - С. 41-46.

2. Исламова О.В. Математическое моделирование колебаний подвешенной тяжёлой нити // Известия Таганрогского радиотехнического университета. Тематический выпуск <Интеллектуальные САПР>. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2007. -№ 1 (73).-С. 204-208.

3. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Вынужденные гармонические и случайные колебания струны, движущейся в продольном направлении. // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Строительство и архитектура. Вып. 21(40). -Волгоград, 2011. -С. 33-40.

4. Исламова О.В. Случайные колебания мембран при разнотипных возмущениях // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Строительство и архитектура. Вып. 21(40). -Волгоград, 2011. - С. 40-44.

5. Исламова O.B. Свободные колебания тяжёлой нити с аэростатом. // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. - Н.Новгород, 2011. - Ч. 2, № 4. - С.163-165.

Публикации по теме диссертации в других изданиях:

6. Исламова О.В. Вынужденные колебания мембран при кинематических возмущениях // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Перспектива-2004». - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2004.-С. 193-196.

7. Исламова О.В. О вынужденных колебаниях прямоугольных мембран при гармонических возмущениях//Избранные труды научного семинара «Механика». Вып. 2. — Нальчик: Каб.-Бал. гос. сельск. акад, 2004. — С. 147—150.

8. Исламова О.В. Колебания мембраны при векторных гармонических возмущениях // Материалы конференции молодых учёных КБГУ, - Нальчик.

2004. - С.188-191.

9. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Колебания мембраны при разнотипных возмущениях // Труды Всероссийской научной конференции «Математическое моделиронание и красные задачи». 1-3 июня 2005. - Самара: Самарский госуд. техн. универ.. 2005. - Ч. 2. - С. 93-96.

10. Культербаев Х.П.. Исламова О.В. Колебания пластин при векторных гармонических возмущениях // Материалы IV Международной научно-технической конференции «Надежность и долговечность строительных материалов, конструкций и оснований фундаментов» (12-14 мая 2005 г.). - Ч. И. - Волгоград, 2005. - С. 41-46.

11. Исламова О.В. Стохастическая краевая задача о колебаниях мембраны // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Перспектива-2005»: в 3-х т. - Т. И. - Нальчик: Каб.-Балк. ун-т,

2005.-С. 226-228.

12. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Колебания мембран при действии векторных случайных возмущений смешанного типа // Материалы второй Всероссийской научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века (НТТ-2005)». Ч. II. - Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2005. - С. 3-7.

13. Исламова О. В. Статистическая модель колебаний струны при векторных случайных возмущениях//Математическое моделирование и краевые задачи: тематический сборник. - Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2006. - С. 17-26.

14. Исламова О.В. Статистическая модель колебания струны // Материалы Всероссийской научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Перспектива-2006 »: в 3-х т. - Т.Н. - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2006. - С. 239-242.

15. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическое моделирование колебаний системы: тяжёлая нить - сосредоточенная масса // Материалы третьей Международной научно-технической конференции «Наука, техника и технология XXI века (НТТ-2007)». Ч. И - Нальчик: Каб.-Балк.ун-т, 2007. - С. 3-9.

16. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Численное моделирование колебаний тяжёлой струны // Вестник ВолгГАСУ. Серия: Естественные науки. Вып. 6(23). - Волгоград, 2007. - С. 31-36.

17. Культербаев Х.П., Исламова О.В. Математическая модель кинематически и динамически возбуждаемых колебаний мембраны // Вестник науч-

но-методической комиссии по деталям машин, прикладной механике и основам проектирования Министерства образования РФ и Республиканского семинара «Механика» при КБГСХА. - Нальчик, 2008. - С. 92-95.

18. Культербаев X. П., Исламова О.В. Определение спектров свободных колебаний движущейся струны численными методами // Вестник КБГУ. Серия Технические науки. Вып. 6. - Нальчик: Каб.-Балк. ун-т, 2008. - С. 14-18.

19. Исламова О.В. Свободные колебания тяжёлой нити с аэростатом. Актуальные проблемы механики // X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. Вторая Всероссийская школа молодых ученых-механиков: Тезисы докладов (Нижний Новгород, 24-30 августа 2011). - Н.Новгород, 2011. - С. 48-49.

Лнчный вклад соискателя по опубликованным совместным научным работам

В работе [1] постановка задачи выполнена соавтором, а компьютерные программы, обоснование решений и анализ результатов принадлежат автору. В работе [2] обоснование актуальности и постановка задачи принадлежат соавтору, расчетная схема, алгоритм расчета - автору. В работах [9, 10] автором выполнена постановка задачи и ее решение, численный пример реализован совместно с соавтором. В работе [17] соавтором осуществлена программная реализация задачи, поставленной и решённой автором. В работах [15], [18] автору принадлежат постановка задачи, алгоритм счёта и анализ результатов, соавтору - реализация численного примера. В работах [12], [16] постановки задач являются совместными, разработка способов решения и анализ результатов выполнены автором.

В печать 22.05.2012. Тираж 100 экз. Заказ № Полиграфический участок ИПЦ КБГУ 360004, г. Нальчик, ул. Чернышевского, 173.

Оглавление автор диссертации — кандидата технических наук Исламова, Оксана Владимировна

ВВЕДЕНИЕ.

I. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДЕТЕРМИНИСТИЧЕСКИХ И СТОХАСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ ГИБКИХ УПРУГИХ СИСТЕМ.

II. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ.

1. Постановка задачи. Исходные уравнения.

2. Детерминистические колебания мембраны.\.

2.1. Свободные колебания.

2.2. Вынужденные гармонические колебания.

2.2.1. Колебания мембраны от поперечной распределенной нагрузки.

2.2.2. Кинематически возбуждаемые колебания мембраны.

2.2.3. Колебания мембраны от векторных гармонических возмущений.

3. Формирование спектральной матрицы возмущений.

4. Вынужденные случайные колебания.

4.1. Постановка задачи.

4.2. Колебания мембраны от случайной распределенной нагрузки.

4.3. Колебания мембраны от случайных кинематических возмущений.

4.4. Колебания мембраны от векторных случайных возмущений.

Выводы по главе II.

III. ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ.

1. Постановка задачи.

2. Свободные колебания. Задача о собственных значениях.

3. Вынужденные колебания от гармонических возмущений.

4. Вынужденные стационарные случайные колебания.

5. Вынужденные нестационарные случайные колебания.

Выводы по главе III.

IV. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ, ДВИЖУЩЕЙСЯ В ПРОДОЛЬНОМ НАПРАВЛЕНИИ.

1. Постановка задачи.

2. Свободные колебания.

3. Общая задача о кинематически возбуждаемых колебаниях струны от гармонических возмущений.

4. Вынужденные случайные колебания.

Выводы по главе IV.

V. ЧИСЛЕННЫЕ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ ТЯЖЁЛОЙ СТРУНЫ.

1. Колебания струны с распределённой массой.

1.1. Модифицированная математическая модель колебаний струны.

1.2. Свободные колебания.

1.3. Вынужденные колебания от гармонических возмущений.

1.4. Вынужденные случайные колебания.

2. Колебания струны с сосредоточенной массой на нижнем конце.

2.1. Постановка задачи, математическая модель колебаний.

2.2. Свободные колебания.

2.3. Вынужденные колебания от гармонических возмущений.

2.4. Вынужденные случайные колебания.

3. Колебания струны с сосредоточенной массой на верхнем конце.

3.1. Постановка задачи, математическая модель колебаний.

3.2. Свободные колебания.

3.3. Вынужденные колебания от гармонических возмущений.

3.4. Вынужденные случайные колебания.

Выводы по главе V.

VI СТРУКТУРА И ОПИСАНИЕ КОМПЛЕКСА ПРОГРАММ

РАСЧЁТ ГИБКИХ ЭЛЕМЕНТОВ».

Выводы по главе VI.

Введение 2012 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Исламова, Оксана Владимировна

Актуальность проблемы

Колебательные системы и процессы уже длительное время привлекают внимание исследователей и проектировщиков. Повышенные экономические, технологические и эксплуатационные требования к сооружениям, машинам и оборудованию в последние десятилетия вызвали особый интерес к изучению случайных колебаний. Области инженерной деятельности, так или иначе связанные со случайными процессами, к настоящему времени чрезвычайно расширились по объективным причинам. Почти любое техническое устройство, оборудование, приборы, здание или сооружение находится под влиянием многочисленных случайных факторов, отражающихся на режиме их функционирования.

К настоящему времени хорошо изучены случайные колебания в дискретных системах при действии как скалярных, так и векторных динамических сил, случайные колебания в распределенных системах при действии скалярных возмущений динамического или кинематического происхождения. По ним уже имеется обширная библиография, включающая монографии, научные статьи и т. д.

В то же время вопросы детерминистических и случайных колебаний гибких систем в виде струн и мембран при действии векторных возмущений с коррелированными между собой компонентами, представляющими динамические нагрузки и кинематические источники колебаний, недостаточно исследованы. Нет конкретных описаний спектральных или корреляционных матриц случайных векторных процессов, кроме их свойств общего характера. В опубликованных работах изучены колебания, возбуждаемые скалярными возмущениями или в редких случаях - двумя некоррелированными возмущениями, что явно недостаточно для адекватности моделей реальным явлениям. В известных исследованиях зачастую применяются громоздкие математические методы, со сложными функциями, не достигая при этом полноты решения, или определяются приближенные решения, точность которых трудно оценивать и проверять. Численные методы в этих случаях имеют большие преимущества, обладая более универсальным характером при их сравнительной простоте и возможности увеличения точности решения задач.

В силу таких причин представляется своевременной и актуальной дальнейшая разработка новых аналоговых линейных математических моделей, методов и алгоритмов решения задач о гармонических и случайных колебаниях гибких элементов широко используемых практикой. Это такие конструкции и детали, как тросы, нити, канаты, провода, ремни, ленты, цепи, кабели, верёвки, шланги, имеющие широкое применение в линиях передач (электрические, телефонные, телеграфные провода); в несущих и поддерживающих конструкциях висячих подвесных сооружений и мачтово-башенных антенных сооружений; в приспособлениях для буксировки транспорта и строповки грузов (автомобильный, водный и воздушный транспорт, подъёмно-транспортное оборудование, строительные машины); в канатно-подъёмных сооружениях для транспортирования грузов и пассажиров, в которых для перемещения вагонеток, вагонов или кресел служит канат, натянутый между опорами; в подъемно-транспортных машинах как периодического (грузоподъемные машины), так и непрерывного действия (конвейеры, элеваторы, эскалаторы); в устройствах наземного и подвесного транспорта (фуникулеры, канатные дороги).

Объектом исследования являются гибкие упругие системы. Предметом исследования - свободные, вынужденные гармонические и случайные колебания.

Целью диссертационной работы является разработка математических моделей свободных и вынужденных колебаний гибких упругих при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

Задачи исследования:

2. Для вынужденных детерминистических колебаний рассмотреть три модели установившихся режимов:

- непериодические негармонические колебания;

- периодические негармонические колебания;

- гармонические колебания.

6. Провести численные эксперименты и проверить достоверность новых методик расчётов на классических примерах с известными решениями.

7. Провести расчёты для реального оборудования.

Основные положения, выносимые на защиту:

Научная новизна работы заключается в следующем:

4. Получена модифицированная динамическая модель колебаний тяжёлой струны, отличающаяся от известной конкретным граничным условием, что позволило перейти от сложных аналитических методов решения к численным и решить ряд новых прикладных задач.

Практическая направленность

Предложенная методика расчёта гибких упругих систем при детерминистических и стохастических векторных возмущениях представляет не только теоретический интерес, но и может найти широкое применение в расчётах и проектировании конструкций современных машин и строительных сооружений, а также их эксплуатации. Такие возможности продемонстрированы на примере, приведённом в диссертации (струна, движущаяся в продольном направлении). Получены акты внедрения результатов исследований при расчёте клинового ремня В4250 на штамповочном станке и ленты ЛТ-100 на ленточном конвейере. Эксперименты проводились на Нальчикском заводе высоковольтной аппаратуры и Заводе железобетонных изделий №4 г. Нальчика.

Кроме того, материалы диссертации использованы в учебном процессе кафедры Теоретической и прикладной механики Кабардино-Балкарского университета при проведении лабораторных занятий и выполнении расчётно-графических работ по курсу «Основы теории колебаний».

Методология и методы проведённых исследований

Для решения поставленных задач использованы методы уравнений математической физики, теории функций комплексного переменного, численные методы, метод покоординатного спуска, методы теории вероятностей и случайных процессов, вариационные методы, методы линейной алгебры, программные средства компьютерной математики МАТЬАВ, язык программирования С#.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались и обсуждались на:

1. Международной научно-технической конференции «Надёжность и долговечность строительных материалов и конструкций», ВолгГАСУ, г. Волгоград, 2005 г.;

2. Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива - 2004», г. Нальчик, 2004 г.;

3. Научной конференции молодых учёных КБГУ, Кабардино-Балкарский госуниверситет, г. Нальчик, 2003 г.;

4. Всероссийской научно-технической конференции «Наука, техника и технологии XXI века», КБГУ, г. Нальчик, 2005 г., 2007 г.;

5. Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива-2005», г. Нальчик, 2005 г.;

6. Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи», 1-3 июня 2005 г., Самарский государственный технический университет, г. Самара, 2004 г.;

7. Научно-исследовательских семинарах кафедр вычислительной математики и теоретической и прикладной механики, КБГУ, г. Нальчик, 2005, 2006, 2007 , 2009, 2010, 2011 гг.;

8. Всероссийской научной конференции молодых учёных, аспирантов и студентов «Перспектива-2006», г. Нальчик, 2006 г;

Публикации. Основные результаты диссертационной работы отражены в 19 публикациях, из них 5 статей в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации основных результатов кандидатских диссертаций.

Заключение диссертация на тему "Математическое моделирование колебаний гибких упругих систем при гармонических и случайных возмущениях"

Основные результаты диссертационной работы сводятся к следующим:

1. Разработаны новые непрерывные динамические модели с учетом сил демпфирования, адекватно описывающие процесс колебаний гибких упругих систем, которые позволили изучить колебания при комбинированных динамических и кинематических возмущениях, имеющих как детерминистическую, так и стохастическую природу.

7. На базе математического пакета МаїЬаЬ создан комплекс программ расчёта по разработанным алгоритмам, позволяющий осуществлять решение разнообразных прикладных задач о колебаниях гибких упругих систем.

Библиография Исламова, Оксана Владимировна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Авдонин С. А. Синтез управления колебаниями неоднородной струны / С. А. Авдонин, В. В. Чудинов // Дифференц. уравнения с част, производными. - Л. : Ленингр. гос. пед. ин-т, 1990. - С. 23-30.

2. Аверин А. Н. Исследование нелинейных колебаний гибкой нити / А.

3. H. Аверин, А. Ф. Хмыров // Соврем, методы стат. и дынам. расчета сооруж. и конструкций. -1998. № 4. - С. 8-12.

4. Акуленко Л. Д. Влияние диссипации на пространственные нелинейные колебания струны / Л. Д. Акуленко, Г. В. Костин, С. В. Нестеров // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1997. - № 1. - С. 19-28.

5. Акуленко Л. Д. Собственные колебания прямоугольной мембраны с резко изменяющейся поверхностной плотностью / Л. Д. Акуленко, И. И. Карпов., С. В. Нестеров // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 2001. - № 3. - С. 159-171.

6. Акуленко Л. Д. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны / Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // Прикл. мат. и мех. — 1996. — 60, №1.-С. 88-101.

7. Акуленко JI. Д. Анализ пространственных нелинейных колебаний струны / JI. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // Прикл. мат. и мех. 1996. - 60, № 1.-С. 88-101.

8. Акуленко JI. Д. Вынужденные нелинейные колебания струны / JI. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // Изв. АН. Мех. тверд, тела. 1996. - № 1. - С. 1724.

9. Акуленко J1. Д. Нелинейные колебания струны / JI. Д. Акуленко, С. В. Нестеров // Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1993. - № 4. - С. 87-92.

10. Араманович И. Г. Уравнения математической физики / И. Г. Ара-манович, В. И. Левин. -2-е изд. М. : Наука, 1969. - 288 с.

11. Асташев В. К. Гашение вынужденных колебаний струн и стержней подвижной шайбой / В. К. Асташев, В. И. Бабицкий, А. М. Веприк, В. Л. Кру-пенин // Докл. АН СССР. 1989. - 304, № 1. - С. 50-54.

12. Бабаков И. М. Теория колебаний / И. М. Бабаков. — М.: Наука, 1968. 560 с.

13. Баев Станислав. Аэроупругие колебания подвешенной нити / Станислав Баев // 3rd Ukr.-Pol. Semin. "Theor. Found. Civ. Eng.". — Dnepropetrovsk, 27 June-2 July, 1995. Warsaw, 1995. - C. 39-47.

14. Бакалов П. M. Вероятностный анализ динамических процессов встальных проволочных канатах / П. М. Бакалов // Вестник АН КазССР. — Алма-Ата, 1987. 16 с. - Деп. в ВИНИТИ 07.08.87, № 5742-В87.

15. Бересневич В. И. Вибрационная стабилизация нелинейной параметрической системы / В. И. Бересневич, С. Л. Цыфанский // Изв. АН СССР. Мех. тверд, тела. 1986. - № 4. - С. 43-47.

16. Бермус И. М. Продольные колебания троса переменной длины с грузом на конце / И. М. Бермус, Л. С. Срубщик, А. М. Столяр, А. Б. Усов; Рост. ун-т. Ростов-на-Дону, 1991. - 34 с. - Деп. В ВИНИТИ 01.08.91, № 3315-В91.

17. Бермус И. М. Продольные колебания троса переменной длины с грузом на конце / И. М. Бермус, Л. С. Срубщик, А. М. Столяр, А. Б. Усов; Рост. ун-т. Ростов-на-Дону, 1991. - 34 с. - Деп. В ВИНИТИ 01.08.91, № 3315-В91.

18. Бидерман В. Л. Прикладная теория механических колебаний / В. Л. Бидерман. — М.: Высшая школа, 1979. — 416 с.

19. Билянский Ю. С. Определение форм малых колебаний тяжелой нити в идеальной жидкости / Ю. С. Билянский, Л. М. Дыхта // Гидродинам, корабля. Николаев, 1984. - С. 84-91.

20. Бойко С. В. Колебания нити в веере раскладки / С. В. Бойко // Изв. вузов. Технология текстильной, промышленности. 1994. - № 5. - С. 78-81.

21. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей в теории пластин и оболочек / В. В. Болотин // Труды IV Всесоюзной конференции по теории пластин и оболочек. Ереван : Изд. АН Арм. ССР, 1964.

22. Болотин В. В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений / В. В. Болотин. М. : Стройиздат. -1971.-225 с.

23. Болотин В. В. Случайные колебания упругих систем / В. В. Болотин. -М. : Наука 335 с.

24. Болотин В. В. Статистические методы в нелинейной теории упругих оболочек / В. В. Болотин. // Изв. АН СССР. ОТН . 1958. - № 3.

25. Болотин В. В. Статистические методы в строительной механике / В. В. Болотин. М. : Стройиздат, 1965. - 279 с.

26. Болотин В. В. Стохастические краевые задачи в теории пластин и оболочек / В. В. Болотин // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин. М. : Наука, 1966.

27. Болотин В. В. Устойчивость тонкостенной сферической оболочки под действием периодического давления / В. В. Болотин // Расчеты на прочность. М. : Машгиз, 1958. - Вып. 2.

28. Бондаренко Л. Н. Колебания и сопротивление движению конвейерных лент от эксцентриситета роликов / Л. Н. Бондаренко Л. Н., А. Л. Куль-бачный // Подъем.-трансп. оборуд. 1988. - № 19. - С. 73-76.

29. Бунимович В. И. Флюктуационные процессы в радиоприёмных устройствах / В. И. Бунимович. М.: Советское радио, 1951.

30. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов / А. Д. Вентцель. -М.: Наука, 1975.-319 с.

31. Вентцель Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. -М. : Гос. изд. физико-матем. лит., 1962. -565 с.

32. Верезуб В. Н. Динамика движущейся бесконечной ленты на колеблющихся опорах / В. Н. Верезуб, А. И. Лазарев // Мат. методы анализа динамических систем. 1981. - № 5. - С. 72-75.

33. Вибрации в технике. Справочник. Т.1. Колебания линейных систем / под ред. В. В. Болотина. - М. : Машиностроение, 1978. - 352 с.

34. Волоховский В. Ю. Некоторые задачи теории надежности для оболочек / В. Ю. Волоховский // Труды IX Всес. конф. по теории оболочек и пластин. Л. : Судостроение, 1975. - С. 170-173.

35. Вольмир А. С. Гибкие пластинки и оболочки / А. С. Вольмир. -М. : Гостехиздат. 1956. -419 с.

36. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1972. - 432 с.

37. Вольмир А. С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи гидроупругости / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1979. - 320 с.

38. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. М. : Наука, 1967. - 984 с.

39. Гандель Ю. В. Математическая модель вычисления собственных значений некоторых смешанных краевых задач теории колебаний / Ю. В. Гандель, Н. Н. Морозова, Б. А. Шульга / Харьк. ун-т. Харьков, 1993. - 24 е.- Деп. В УкрИНТЭИ 10.03.93, № 451-Ук93.

40. Головатый Ю. Д. О собственных колебаниях струны с присоединенной массой / Ю. Д. Головатый, С. А., Назаров, О. А., Олейник, Т. С., Соболева // Сиб. мат. журнал. 1988. - 29, № 5. - С. 71-91.

41. Гончаренко В. М. Метод возмущения в динамических стохастических краевых задачах / В. М. Гончаренко; Киев. ун-т. Киев. 1986. - 8 с. - Деп. в УкрНИИНТИ 02.01.86, № 106-Ук).

42. Гусев А. С. Расчет конструкций при случайных воздействиях / А. С. Гусев, В. А. Светлицкий. М. : Машиностроение, 1984. - 240 с.

43. Диментберг М. Ф. Некоторые задачи устойчивости оболочек, находящихся под действием случайных возмущений / М. Ф. Диментберг // Проблемы устойчивости в строительной механике. — М. : Стройиздат, 1965. — С. 217-222.

44. Диментберг М. Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний / М. Ф. Диментберг. — М. : Наука, 1980. — 368 с.

45. Диментберг М. Ф. Резонансные свойства системы с одной степенью свободы со случайно изменяющейся собственной частотой / М. Ф. Диментберг // Инжен. жур. МТТ. — 1966. — № 1.

46. Диментберг М .Ф. Случайные процессы в динамических системах спеременными параметрами / М. Ф. Диментберг. — М. : Наука, 1989. — 175 с.164

47. Дукарт А. В. Об одном способе отыскания частот собственных колебаний мембран сложной формы / А. В. Дукарт, А. А. Зевин // Динам, прочн. тяж. машин: Теор. и эксперим. исслед. Днепропетровск : Днепропетр. гос. ун-т (ДГУ), 1989. - С. 48-52.

48. Егоров Ю. Е., Комеч А.И. О стабилизации взаимодействия струны с двумя нелинейными осцилляторами / Ю. Е. Егоров, А. И. Комеч // Вестн. МГУ.-Сер. 1. — 2001. — № 3. — С. 3-10.

49. Екимов В. В. Вероятностные методы в строительной механике корабля / В. В. Екимов. — JI. : Судостроение. 1966. 328с.

50. Епифанов В. В. Экспериментальные исследования амплитудно-частотных характеристик поперечных колебаний гусеничного обвода / В. В. Епифанов // Динам, и проч. машин. Харьков, 1986. - № 43. - С. 130-132.

51. Земляной Е. Ф. Аналитическое описание процесса поперечного движения конвейерной ленты / Е. Ф. Земляной, JI. П. Ладутина // Трансп. и горн, машины. Киев, 1983. - С. 22-25.

52. Земляной Е. Ф. Исследование поперечных колебаний конвейерной ленты / Е. Ф. Земляной, Л. П. Ладутина; Ин-т. геотехн. мех. АН УССР. -Днепропетровск, 1983. 13 с. - Деп. в ВИНИТИ 15.08.83, № 4506-83Деп).

53. Иванов A.A. Автономные колебания гибкой нити. Тула : Тул. гос. ун-т, 2000. - 8 с.

54. Ивович В. А. Динамический расчет висячих систем // Справочник по динамике сооружений / В. А. Ивович / под ред. Б. Г. Коренева, М. М. Рабиновича. М. : Стройиздат, 1972. - С. 322-326.

55. Ивович В. А. О нелинейных колебаниях мембран // Динамика сооружений / В. А. Ивович. М. : Стройиздат, 1968.

56. Ильин В. А. Волновое уравнение с граничным управлением на одном конце при закрепленном втором конце / В. А. Ильин // Дифференц. уравнения. 1999. - 35, № 12. - С. 1640-1659.

57. Исполов Ю. Г. Вибрации буйрепа якорной буйковой станции на течении / Ю. Г. Исполов, И. Н. Кошиц, Суханов А. А. // Сб. науч. тр. Рос. гос. гидрометеорол. ин-та. 1993. - № 115. - С. 42-49.

58. Качурин В. К. Теория висячих систем / В. К. Качурин. М.-Л.: Госстройиздат, 1962. - 224 с.

59. Колмогоров А. Н. Статистическая теория колебаний с непрерывным спектром / А. Н. Колмогоров // Юбилейный сборник. Т. 1. - М.: АН СССР, 1947.

60. Колосов Л. В. О влиянии крутящего момента на поперечные колебания подъемного каната / Л. В. Колосов, Т. М. Жигула // Изв. вузов. Горный журнал. 1982. -№ 10. - С. 92-95.

61. Костюк В. И. Колебания продольно движущейся струны и некоторые вопросы динамики намоточных агрегатов / В. И. Костюк, Н. А. Красно-прошига // Изв. АН УССР. Прикл. мех. 1983. - 19, № 3. - С. 85-91.

62. Кошляков Н. С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики / Н. С. Кошляков, Э. Б. Глинер, М. М. Смирнов. М.: Высшая школа, 1970. - 712 с.

63. Кренделл С. Г. Случайные колебания одномерных систем с распределенными параметрами / С. Г. Кренделл, А. П. Кульвец // Вибротехника (Вильнюс). 1981.-№3/33.-С. 51-63.

64. Крупенин В. JL Многомерные виброударные системы с параллельными ударными парами при случайном возбуждении / В. Л. Крупенин // Пробл. машиностр. и надеж, машин. 1998. - № 4. - С. 8-15.

65. Куев А. И. О задаче Гурса для уравнения мембраны / А. И. Куев // Труды Физ. о-ва Респ. Адыгея. 1999. - № 4. - С. 78-80.

66. Культербаев X. П. Нелинейная динамика оболочек наземных сооружений под действием ветровой нагрузки : дис. к-та тех. наук / X. П. Культербаев. М., 1973. - 193 с.

67. Культербаев X. П. О колебаниях струны, вызванных случайными колебаниями ее конца / X. П. Культербаев // Прикл. мех. (Киев). 1992. - 28, № 10.-С. 57-61.

68. Культербаев X. П. Об аналогиях между детерминистическими и случайными колебаниями струны с колеблющимся концом / X. П. Культербаев // Известия СКНЦВШ. Естественные науки. 1992. - № 3-4(79-80). - С. 21-26.

69. Культербаев X. П. О колебаниях струны, вызванных случайными колебаниями ее конца / X. П. Культербаев // Изв. АН УССР. Прикл. мех. -1992.-Т. 28, № 10.-С. 57-61.

70. Культербаев X. П. Стохастическая краевая задача о колебания! струны / X. П. Культербаев // Сб. научных трудов. Киев : Инст. математики АН Украины, 1993. - С. 79-81.

71. Культербаев X. П. Стохастическая краевая задача о колебаниях струны, возбуждаемых векторным случайным процессом / X. П. Культербаев // Сб. научных трудов. Киев : Инст. математики АН Украины, 1994. - С. 118-120.

72. Культербаев X. П. Совместные колебания струны и сосредоточенных масс при кинематических возмущениях опор / X. П. Культербаев, А. Я. Джанкулаев // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2003. - Прил. № 1. - С. 29-38, 209.

73. Культербаев X. П. Колебания мембран при разнотипных случайных возмущениях. Математическое моделирование и краевые задачи / X. П.

74. Культербаев, О. В. Исламова // Труды 2 Всероссийской научной конференции. Самара, 1-3 июня, 2005. Ч. 1. Секция "Математические модели механики. Прочность и надежность конструкций". Самара : Изд-во СамГТУ, 2005. - С. 179-182.

75. Курант Р. Методы математической физики / Р. Курант, Д. Гильберт. -Т. 1,2. -М. : Гостехиздат, 1957.

76. Лапшин А. Б. Система нелинейных конечно-разностных уравнений продольно-поперечных колебаний при плоском движении идеально гибкой нити / А. Б. Лапшин // Изв. вузов. Технол. текстил. промышленности. 2004. -№ 5. - С. 70-73,

77. Лялин В. Е. Вероятностный анализ колебаний вязкоупругой магнитной ленты / В. Е. Лялин, Л. П. Сметанина // Вибротехника (Вильнюс). -1989.-№62.-С. 70-74.

78. Макаров Б.П. Нелинейные задачи статистической динамики машин и приборов. М. : Машиностроение, 1983. - 262 с.

79. Макеев В. П. Статистические задачи динамики упругих конструкций / В. П. Макеев, Н. И. Гриненко, Ю. С. Павлюк. М. : Наука, 1984. - 231 с.

80. Маркеев А. П. О колебаниях материальной точки, подвешенной на идеальной нити / А. П. Маркеев // Прикл. мат. и мех. 1996. - 60, № 2. - С. 240-249.

81. Меркин Д. Р. Введение в механику гибкой нити / Д. Р. Меркин. М. : Наука, 1980.-240 с.

82. Мигушов М. И. Механика текстильной нити и ткани / М. И. Мигу-шов. М. : Легкая индустрия, 1980. - 160 с.

83. Милосердова И. В. Согласованный гаситель поперечных колебаний упругой гусеницы / И. В. Милосердова // Вестн. Нижегор. гос. ун-та. 1999. -№ 1.-С. 128-134.

84. Муницын А. И. Нелинейные колебания нити в веере раскладки / А. И. Муницын // Изв. вузов. Технол. текстил. промышленности. — 1997. — № 4. -С. 8-84.

85. Муницын А. И. Нелинейные колебания нити в мотальной машине / А. И. Муницын // Вибрац. машины и технол. : сб. науч. докл. 3 Междунар. науч.-техн. конф. Курск, 1997. Курск, 1997. - С. 156-159

86. Муницын А. И. Пространственные колебания нити в баллоне вращения / А. И. Муницын // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. 1999. - № 4. - С. 97-102.

87. Неверова Т. С. К вопросу определения вероятностных характеристик надежности струны при вибрациях / Т. С. Неверова // Управление, надежность и навигация : тем. сб. Мордовского государственного университета. 1973. - № 104. - Вып. 2. - С. 113-117.

88. Николаенко Н. А. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций / Н. А. Николаенко. — М.: Машиностроение, 1967.-368 с.

89. Кравченко С. Г. Упругое равновесие и колебания вращающихсямембран и мягких оболочек в центральном силовом поле / С. Г. Кравченко, П. П. Лизунов // 6 Всес. съезд по теор. и прикл. мех. Ташкент, 24-30 сент. 1986 : Аннот. докл. Ташкент, 1986. - С. 380.

90. Попов Н. Н. Динамический расчет висячих конструкций / Н. Н. Попов, Б. С. Расторгуев. -М. : Стройиздат, 1966.

91. Потураев В. Н., Червоненко А. Г., Ободан Ю. А. Динамика и прочность вибрационных транспортно-технологических машин / В. Н. Потураев, А. Г. Червоненко, Ю. А. Ободан. Л. : Машиностроение, 1989. - 112 с.

92. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления / В. С. Пугачев. М. : Физматгиз, 1962. -883 с.

93. Пчелин И. К. Исследование колебаний бобинодержателя на основе стохастической модели / И. К. Пчелин // Тезисы докладов внутривузовской научной конференции. Москва, 30 янв., 2001. Моск. гос. текстил. ун-т. М. : Изд-во МГТУ, 2001. - С. 47-48.

94. Ржанщын А. Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность / А. Р. Ржанщын. М.: Стройиздат, 1978. - 239 с.

95. Светлицкий В. А. Задачи и примеры по теории колебаний. Ч II / В. А. Светлицкий. -М. : Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1998. - 264 с.

96. Светлицкий В. А. Механика гибких стержней и нитей / В. А. Светлицкий. М. : Машиностроение, 1978. - 222 с.

97. Светлицкий В.А. Механика стержней / В. А. Светлицкий. М. : Высшая школа, 1987. - Ч. 1. - 360 е.; Ч. 2. - 304 с.

98. Светлицкий В. А. Случайные колебания механических систем / В.

99. А. Светлицкий. М. : Машиностроение, 1976. - 216 с.

100. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций / А. А.Свешников. М. : Наука, 1968. - 463 с.

101. Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных машин / А. А.Силаев. М. : Машгиз, 1963.

102. Ситарский Ю. С. Развертывание механической системы, состоящей из двух соединенных тросом космических аппаратов, из режима свободных колебаний / Ю. С. Ситарский, В. С. Ручинский // Науч. тр. МАТИ-Рос. гос. технол. ун-та. 2004. - № 7. - С. 321-324.

103. Случайные колебания / под ред. С. Кренделл : пер. с англ. М. : Мир, 1967.-356 с.

104. Смирнов А. М. Исследование моментных функций и кумулянтов в некоторых задачах стохастической устойчивости / А. М. Смирнов // Труды МЭИ. 1994. - Вып. 185. - С. 44-49.

105. Справочник по динамике сооружений / под редакцией Б. Г. Коренева, И. М. Рабиновича. М. : Стройиздат, 1972. -511 с.

106. Степанов С. Г. Колебания нитей основы в фазе заступа / С. Г. Степанов, О. С. Степанов // Изв. вузов. Технол. текстил. промышленности. -2005.-№3.-С. 50-54.

107. Стрэтт Дж. В.(лорд Рэлей). Теория звука / Дж. В.(лорд Рэлей). Стрэтт. Т. 1. - М. : ГИТТЛ, 1940. - 499 с.

108. Сулаберидзе М. М. Свободные колебания тросов, нагруженных сосредоточенными силами / М. М. Сулаберидзе // Изв. вузов. Машиностр.1992.-№№7-9.-С. 33-37.

109. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко. М. : Наука, 1967. - 444 с.

110. Тихонов В. С. Поперечные колебания гибкой нити переменной длины в потоке / В. С. Тихонов, А. А. Абрамов // Вестник МГУ. Сер. 1.1993.-№5.-С. 45-48.

111. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. М. : Наука, 1972. - 735 с.

112. Тихонов В. С., Машкова Е. А. Исследование колебаний длинных гибких стержней и нитей в жидкости при учете нелинейного демпфирования / В. С. Тихонов, Е. А. Машкова // Гидромеханика (Киев). 1988. - № 57. - С. 51-56.

113. Ткаченко Г. Г. Малые колебания струны со случайной неоднородностью / Г. Г. Ткаченко. СПб. : Сев.-Зап. заоч. политехи, ин-т, 1992.-8 с.

114. Федорова Н. М. О малых колебаниях нагруженной струны переменной длины / Н. М. Федорова // Числ. методы решения задач аэрогидродинам. М., 1987. - С. 43-45.

115. Фокин М. В. О гладкости решений задачи Дирихле для уравнения колебания струны / М. В. Фокин // Краев, задачи для неклас. уравнений мат. физ. Новосибирск, 1989. - С. 57-59.

116. Фокин М. В. О гладкости решений задачи Дирихле для уравнения колебания струны / М. В. Фокин // Краев, задачи для неклас. уравнений мат. физ. Новосибирск, 1989. - С. 57-59.

117. Хинчин А. Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов / А. Я. Хинчин // Усп. матем. наук. 1938. - Вып. V.

118. Чабакаури Г. Д. Оптимизация граничного управления процессом колебаний струны на одном ее конце при закрепленном втором конце / Г. Д. Чабакаури // Докл. РАН. 2001. - 379, № з. - С. 309-312.

119. Чижов В. Ф. Теоретическое и экспериментальные исследования колебаний движущейся бумажной ленты / В. Ф. Чижов, С. М. Эль-Дар дур // Машиноведение. 1988. - № 5. - С. 85-88.

120. Шаповалов В. М. Движение гибкой нити конечной длины в потоке вязкой жидкости / В. М. Шаповалов // Прикл. мех. и техн. физ. 2000. - 41, №2.-С. 144-153.

121. Шахмейстер J1. Г., Дмитриев В. Г. Вероятностные методы расчета транспортирующих машин / JI. Г. Шахмейстер, В. Г. Дмитриев. М. : Машиностроение, 1983. 256 с.

122. Шахмейстер JI. Г. Теория и расчет ленточных конвейеров / J1. Г. Шахмейстер, В. Г. Дмитриев. 2 изд. перераб. и доп. - М. : Машиностроение, 1987. 336 с.

123. Шевченко В. П. Некоторые вопросы исследования колебаний движущейся нити / В. П. Шевченко, В. М. Бондарь // Изв. вузов. Технол. легк. промышленности. 1988. - 31, № 3. - С. 100-103

124. Шилинговский Н. И. Дифференциальные уравнения колебаний шахтного проводникового каната / Н. И. Шилинговский, В. Г. Гураль, В. А. Воробьев. Донецк : Донец, политехи, ин-т, 1991. - 9 с.

125. Яглом А. М. Введение в теорию стационарных случайных функций / А. М. Яглом // Усп. матем. наук. 1952. - Т. VII, вып. 5(51).

126. Яновская Е. А. Колебания струны с сосредоточенными массами / Е. А. Яновская // Мат. методы в мех. М. : МГУ. Мех.-мат. фак., 1990. - С. 136-140.

127. Ambartsumian S. A., Belubekian M. V., Movsisian L. A. Vibrations of nonequable stretched rectangular membrane. Direct and inverse problems // Изв. Нац. АН Армении. Мех. 1998. - 51, № 2. - С. 37-40;

128. Baicu С. F., Rahn С. D., Nibali В. D. Active boundary control of elastic cables: Theory and experiment. J. Sound and Vibr. 1996. 198, N 1, c. 17-26.

129. Banks H.T., Ko.Jima Fumlo. Filtering problem for the stochastic vibration of flexible beams with tip bodies. "Distrlb. Parameter Syst.: Modell. and Simul.: Proc. IMACS/ШС Int. Symp. Hiroshima. 6-9 Oct. 1987."Amsterdam. 1989. P.231-238.

130. Bao Zhongping, Mukherjee Subrata, Roman Max, Aubry Nadine. Nonlinear vibrations of beams, strings, plates, and membranes without initialtension. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 2004. 71, N 4, c. 551-559.

131. Bergamaschi S., Zanetti P., Zottarel C. Nonlinear vibrations in TSS-1. AIAA/AAS Astrodyn. Conf., Scottsdale, Ariz., Aug. 1-3, 1994: Collect. Techn. Pap. Washington. 1994, c. 220-227.

132. Bernhard U. Nichtlineare Schwingungen einer Kreismembran. Z. angew. Math, und Mech. 1989. 69, N 5, c. 365-368.

133. Bonsani I., Monako R.,Zavattaro M.G. A stochastic model in contin mechanics :time evalutlon of the probability density in the random initial boundary-value problem // Math, and comput. Modell. 1988. 10. N 3. P.207-216.

134. Breakwell J. V., Janssens F. L. On the transverse vibrations of a revolving tether. Celest. Mech. and Dyn. Astron. 1992. 54, N 4, c. 317-341.

135. Cardona A., Lerusse A., Geradin M. Comput. Mech. 1998. 22, N 2, c. 128-142.

136. Chien Chung-Gung, Fung Rong-Fong, Tsai Chian-Liang. Nonlinear vibration of the coupled textile/rotor system by finite difference method. JSME Int. J. C. 1999. 42, N2, c. 273-280.

137. Gottlieb H. P. W. Новые формы колебаний мембраны ступенчато-переменной плотности. New types of vibration modes for stepped membranes. J. Sound, and Vibr. 1986. 110, N 3, c. 395-411

138. Datta Т. K., Bisht R. S., Jain A. K. Stochastic response of guyed tower under second-order wave force. Sadhana. 1995. 20, N 2 4, c. 513-527.

139. Gattulli Vincenzo, Ghanem Roger. Adaptive control of flow-induced oscillations including vortex effects. Int. J. Non-Linear Mech. 1999. 34, N 5, c. 853-868.

140. Cicolani Luigi S., Kanning Gerd, Synnestvedt Robert. Simulation of the dynamics о helicopter slung load systems. J. Amer. Helicopt. Soc. 1995. 40, N 4, c. 44-61.

141. Connell H. J., May R. L., Roberts G. M. A model of a towed cable-body system. 2nd Pacif. Int. Conf. Aerospace Sci. and Technol. and 6th Austral. Aeronaut. Conf. (PICAST 2 AAC 6), Melbourne, 20-23 March, 1995: Proc. Vol.

142. Melbourne. 1995, c. 567-574.

143. Connell H. J., May R. L., Roberts G. M. A model of a towed cable-body system. 2nd Pacif. Int. Conf. Aerospace Sci. and Technol. and 6th Austral. Aeronaut. Conf. (PICAST 2 AAC 6), Melbourne, 20-23 March, 1995: Proc. Vol. 2. Melbourne. 1995, c. 567-574.

144. Connell H. J., May R. L., Roberts G. M. A model of a towed cable-body system. 2nd Pacif. Int. Conf. Aerospace Sci. and Technol. and 6th Austral. Aeronaut. Conf. (PICAST 2 AAC 6), Melbourne, 20-23 March, 1995: Proc. Vol. 2. Melbourne. 1995, c. 567-574.

145. Elshamy Maged. Stochastic models of damped vibrations. J. Appl. Probab. 1996. 33, N4, c. 1159-1168.

146. Endruweit Andreas, Long Andrew C., Robitaille Francois, Rudd Christopher D. Influence of stochastic fibre angle variations on the permeability of bi-directional textile fabrics. Composites. A. 2006. 37, N 1, c. 122-132

147. Fabian L. Zufallschwingungen und ihre Behandlung. Berlin.: Springer. 1973.300 s.

148. Feng Z. C. Does non-linear intermodal coupling occur in a vibrating stretched string? J. Sound and Vibr. 1995. 182, N 5, c. 809-812.

149. Fournier J.-B. Microscopic membrane elasticity and interactions among membrane inclusions: Interplay between the shape, dilation, tilt and tilt-difference modes. Eur. Phys. J. B. 1999. 11, N 2, c. 261-272

150. Frontini M., Gotusso L. A discrete conservative model for the linear vibrating string and rod. Comput. and Math. Appl. 1997. 33, N 10, c. 53-65.

151. Firt Vladimir. Basic equations of theory of vibrations of membrane structures. Stavebn. cas. 1987. 35, N 5, c. 421-428;

152. Hara Shotchi, Yamakawa Kenji. On the dynamic towline tension during towing. Proc. 4th Int. Offshore and Polar Eng. Conf., Osaka, Apr. 10-15, 1994. Vol. 2. Golden (Colo). 1994, c. 295-303.

153. Irvine H. M. On the free vibrations of suspended cables with frictional end restraint. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1990. 57, N 2, c. 419-422

154. Keshmiri M, Misra A. K., Modi V. J. General formulation for N-body tethered satellite system dynamics. J. Guid., Contr., and Dyn. 1996. 19, N 1, c. 7583.

155. Kovacs Iinre. Zur Frage der Sellschwingungen und der Sell-dampfung // Bautechnik . 1982. B59. N 10. S.325-332.

156. Kumaniecka A., Niziol J. The vibration of a physically nonlinear rope of slowly variable length. Zag. drgan nielin. 1993. 25, c. 223-236.

157. Lee Seung-Yop, Mote C. D. (Jr). Vibration control of an axially moving string by boundary control. Trans. ASME. J. Dyn. Syst., Meas. and Contr. 1996. 118, N 1, c. 66-74

158. Li Shi-rong. Gansu gongyo daxue xuebao=J. Gansu Univ. Technol. 2000. 26, N2, c. 98-102.

159. Liu Chunhua, Qin Quan. Sensitivities of natural modes of suspension bridges to structural parameters. Qinghua daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Tsinghua Univ. Sei. and Technol. 1998. 38, N 12, c. 48-51.

160. Luo Albert C. J., Han Ray P. S., Tyc G., Modi V. J., Misra A. K. Analytical vibration and resonant motion of a stretched spinning nonlinear tether. J. Guid, Contr, and Dyn. 1996. 19, N 5, c. 1162-1171.

161. Macke M, Bucher C. Safety factors for fatigue design of guyed steel masts under wind loading. Proc. 2nd Eur. and Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol. 2. Padova. 1997, c. 1867-1874.

162. Manohar C. S. Random vibration of limit cycle systems and stochastic strings. J. Indian Inst. Sei. 1992. 72, N 2, c. 150-153

163. Matsumoto M, Daito Y, Kanamura T, Shigemura Y, Sakuma S, Ishizaki H. Wind-induced vibration of cables of cable-stayed bridges. Proc. 2nd Eur. and Afr. Conf. Wind Eng., Genova, June 22-26, 1997: 2 EACWE. Vol. 2. Padova. 1997, c. 1791-1798

164. Martinez-Gonzalez Jose L, Ramos Rafael J, Ballesteros Jorge Silva. Dynamics of systems with rigid body modes. A numerical approach. Proc. 6th Int. Offshore and Polar Eng. Conf, Los Angeles, Calif, May 26-31, 1996. Vol. 2.

165. Golden (Colo). 1996, с. 217-223.

166. Michel Hartmut. Verfahren und Vorrichtung zur VergleichmaSSigung der Wickelharten eines Rollenprofils eines Folienwickels. Заявка 4316383 ФРГ, МПК 5 В 65 H 18/26. Hoechst AG. N 4316383.1; Заявл. 17.5.93; Опубл. 24.11.94

167. Miyoshi К., Okuna К., Sugahara J. New method for reducing vertical vibration. Elevatori. 1996. 25, N 3, c. 70-72.

168. Novak M. Random vibration of structures. "4th. Int. Gonf. Appl. Statist, and Probab. Soil and Struct. Eng-IGASP4, Fl-renze, 13-17 June, 1983. Proc. Vol.1." Bologna. 1983. 539- 550.

169. Orsingher Enso. Vibrations with random Initial conditions // Ball. Unlone mat. Ital. 1985. B4. N 2. P.541-556.

170. Paria Gunadhar. Vibration of a string as an Illustration of stochastic elasticity // Indian J. Theor. Phys. 1978. 26. N 2. P.79-87.

171. Pradhan S., Modi V. J., Misra A. K. Control of tethered satellite systems using thruster and offset strategies. AIAA/AAS Astrodyn. Conf., Scottsdale, Ariz., Aug. 1-3, 1994: Collect. Techn. Pap. Washington. 1994, c. 228-239.

172. Pradhan S., Modi V. J., Misra A. K. On the offset control of flexible nonautomous tethered two-body systems. Acta astronaut. 1996. 38, N 10, c. 783801.

173. Preumont A., Achkire Y., Bossens F. Active tendon control of large trusses. AIAA Journal. 2000. 38, N 3, c. 493-498.

174. Reuster D., Kaye M., Eastep F. E. A new basis set for computing the resonant frequencies of vibrating membranes. J. Sound and Vibr. 1994. 178, N 5, c. 635-641.

175. Scheidt Jurgen. Random vibrations of supporting elements // 11 Int.

176. Kongr. Anwend. Math. Ingenleurwlss.:Beltr. Math, und Inf. Wiss.-techn. Fortschr. Bauw. Weimar. 28Juni-3Jull. 1987. Ber. Heft. 4. Weimar. 1987. S.80-83.

177. Singhal R. K., Gorman D. J., Crawford J. M., Graham W. B. Investigation of the free vibration of a rectangular membrane/ AIAA Journal. 1994. 32, N 12, c. 2456-2461

178. Starossek Uwe. Bruckendynamik: Winderregte Schwingungen von Seilbrucken. Braunschweig: Friedr. Vieweg und Sohn Verlagsges; Wiesbaden. 1992, 261 c.

179. Steiner W., Zemann J., Steindl A., Troger H. Numerical study of large amplitude oscillations of a two-satellite continuous tether system with a varying length. Acta astronaut. 1995. 35, N 9 11, c. 607-621.

180. Spivack Mark, Barbone Paul E. Disorder and localization in ribbed structures with fluid loading. Proc. Roy. Soc. London. A. 1994. 444, N 1920, c. 7389

181. Sujith R. I., Hodges D. H. Exact solution for the free vibration of a hanging cord with a tip mass. J. Sound and Vibr. 1995. 179, N 2, c. 359-361.

182. Sugimoto Takanao. On the frequency response of the spring made of steel-wire-rope. Chiba kogyo daigaku kenkyu hokoku=Rept China Inst. Technol. 1996, N 43, c. 25-33.

183. Ukadgaonker Vijay G., Tiwari Manoj. Numerical analysis of vibration of Indian drums via computer. Indian J. Eng. and Mater. Sci. 1994. 1, N 3, c. 121126

184. Sun Lu. Building sway and elevator rope vibration. Part II. A second dynamic loading on ropes: centrifugal force. Elevator World. 1995. 43, N 4, c. 136-137.

185. Terumichi Yoshiaki, Yoshizawa Masatsugu, Okazaki Ichiro, Tsujioka Yasushi. Нихон кикай гаккай ромбунсю. C=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. 1992. 58, N 545, c. 17-24;

186. Teshima Nobuhiko Sasaki Yoichi, Onishi Shigesada, Nagai Masao. Nihon kikai gakkai ronbunshu. C=Trans. Jap. Soc. Mech. Eng. C. 2002. 68, N 675, c. 3202-3208.

187. Triantafyllou M. S., Triantafyllou G. S. The paradox of the hanging string: An explanation using singular perturbations. J. Sound and Vibr. 1991. 148, N2, c. 343-351

188. Visweswara Rao G. Vibration of cables under deterministic and random excitations. J. Indian Inst. Sci. 1992. 72, N 2, c. 147-150

189. Weng P.-C., Lee W. Transverse vibrations of a hanging cable: The limiting case of a hanging chain. J. Sound and Vibr. 1994. 171, N 4, c. 574-576

190. Wong Felix S. Finite element/difference, methods in random vibration // Comput. and struct. 1986. 23. N 1. P.77-85.

191. Xu Xiaoge. Research in classical problem of vibrations of string with n beads. Zhengzhou daxue xuebao. Zirpn kexue ban=J. Zhengzhou Univ. Natur. Sci. Ed. 1997. 29, N2, c. 28-30.

192. Fung Rong-Fong, Huang Jeng-Sheng, Wang Yun-Chen, Yang Rong-Tai. Vibration reduction of the nonlinearly traveling string by a modified variable structure control with proportional and integral compensations.Int. J. Mech. Sci.1998. 40, N6, c. 493-503

193. Xiao Xiwu, Yang Jun, Jacques Druez, Xu Yan. Zhendong ceshi yu zhenduan=J. Vibr., Meas. and Diagn. 2003. 23, N 2, c. 110-113,

194. Yuan Shifeng, Tani Junji, Aso Kazuo. Response of a long marine pipe string under parametric excitation. Repts Inst. Fluid Sei. Tohoku Univ. 1993. 5, c. 173-186

195. Zhang Changyou, Zhu Changming, Lin Zhongqin. Suppression strategy for parametrically excited lateral vibration of mass-loaded string. J. Southeast Univ. 2004. 20, N 2, c. 165-169

196. Zhu Fang, Hall Kevin, Rahn Christopher D. Steady state response and stability of ballooning strings in air. Int. J. Non-Linear Mech. 1998. 33, N 1, c. 3346.

197. Zhu Fang, Hall Kevin, Rahn Christopher D. Steady state response and stability of ballooning strings in air. Int. J. Non-Linear Mech. 1998. 33, N 1, c. 3346.

198. Ziegler Franz, Irschik Hans, Heuer Rudolf. Nonstationary response of polygonally shaped membranes to random excitation. Random Vibr. Status and Recent Dev. Amsterdam e. a. 1986, c. 555-565.

199. Zigler F., Irschik H., Heuer R. Nonstationary response of polygonally shaped membranes to random excitation. "Random Vibration. Status and Recent Developments." Amsterdam e.a., 1986. P.555-565.

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00