автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Установившиеся и неустановившиеся колебания периодических структур

ВВЕДЕНИЕ.

1. Краткий обзор теоретических и экспериментальных исследований периодических структур. Актуальность этих исследований для транспорта.

2. Цель и методы исследования. 3. Краткий обзор полученных результатов.

4. Исследование резонанса и антирезонанса бесконечной периодической структуры.

5. Апробация результатов.

Глава 1. ИЗГИБ БЕСКОНЕЧНОЙ БАЛКИ ТИМОШЕНКО, ПОДДЕРЖИВАЕМОЙ УПРУГИМИ ОПОРАМИ С ПОСТОЯННЫМ ШАГОМ. ПРИВЕДЕНИЕ К РАЗНОСТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

1. Балка Тимошенко.

2. Балка Тимошенко, поддерживаемая упругими опорами с постоянным шагом.

3. Расщепление системы разностных уравнений.

4. Разностные уравнения и уравнение моментов.

5. Сравнение однородной и периодической моделей рельсового пути. Влияние безразмерных параметров.

6. Краткие выводы.

Глава 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И

УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ НАГРУЖЕННОГО КОЛЕСА ПО РЕЛЬСУ.

1. Постановка задачи.

2. Решение дифференциального уравнения параметрических колебаний нагруженного колеса.

3. Собственные числа матрицы монодромии и устойчивость параметрических колебаний колеса.

4. Краткие выводы.

Глава 3. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛКИ ТИМОШЕНКО,

ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДДЕРЖИВАЕМОЙ УПРУГОВЯЗКИМИ ОПОРАМИ И ВОЗБУЖДАЕМОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛОЙ, ДВИЖУЩЕЙСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ.

1. Постановка задачи. Обобщенное условие периодических колебаний балки.

2. Решение краевой задачи.

3. Установившиеся параметрические колебания колеса и рельсового пути.

4. Сопротивление периодического рельсового пути равномерному движению колеса.

5. Краткие выводы.

Глава 4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЛЬСОВОГО ПУТИ. ВЛИЯНИЕ ИЗГИБА ШПАЛ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПУТИ.

1. Неподвижная возмущающая сила. Определение параметров рельсового пути.

2. Шпала как балка на однородном упруговязком основании.

3. Свободные колебания шпалы на однородном упругом основании.

4. Вынужденные колебания гибкой шпалы на однородном упруговязком основании.

6. Краткие выводы.

Глава 5. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПЕРИОДИЧЕСКИ СОЧЛЕНЕННОЙ БАЛКИ, ПОДДЕРЖИВАЕМОЙ ОДНОРОДНЫМ УПРУГОВЯЗКИМ ОСНОВАНИЕМ И ВОЗБУЖДАЕМОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛОЙ, ДВИЖУЩЕЙСЯ С ПОСТОЯННОЙ СКОРОСТЬЮ

1. Постановка задачи.

2. Решение задачи.

3. Резонанс.

4. Краткие выводы.

Глава 6. УСТАНОВИВШИЕСЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ, РЕЗОНАНС И АНТИРЕЗОНАНС СТРУНЫ, ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДДЕРЖИВАЕМОЙ УПРУГОВЯЗКИМИ ПОДВЕСКАМИ

И ВОЗБУЖДАЕМОЙ ПОДВИЖНОЙ ГАРМОНИЧЕСКОЙ СИЛОЙ.

1. Постановка задачи.

2. Спектр частот свободных волн, распространяющихся в периодической струне.

3. Вынужденные колебания.

4. Резонанс.

5. Бегущие волны и эффект Допплера.

6. Неподвижная возмущающая сила.

7. Резонанс и антирезонанс при возбуждении струны неподвижной гармонической силой.

8. Краткие выводы.

Глава 7. НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ, ПЕРИОДИЧЕСКИ ПОДДЕРЖИВАЕМОЙ УПРУГОВЯЗКИМИ ПОДВЕСКАМИ.

1. Постановка задачи.

2. Исходная задача.

3. Колебания струны под действием мгновенного импульса.

4. Реакция струны на внезапное приложение силы.

5. Краткие выводы.

1. Краткий обзор теоретических и экспериментальных исследований периодических структур. Актуальность этих исследований для транспорта

В природе и технике встречаются структуры, состоящие из большого числа одинаковых и одинаково связанных друг с другом элементов как, например, кристаллы, текстиль, зубчатые колеса, шариковые и роликовые подшипники. Периодические структуры (термин был введен известным физиком Л. Бриллюэном, исследовавшим распространение волн [13) являются естественным обобщением для таких примеров. Распространение волн в периодических структурах исследовалось также в работах [2,31. В.этих исследованиях источник волн не рассматривался. В монографии [4] рассматривались структуры, состоящие из конечного числа повторяющихся элементов. Эти структуры описывались при помощи разностных уравнений и вычислялись частоты собственных колебаний.

Первая задача о параметрических колебаниях в бесконечной периодической структуре была решена в 1981 г. в работе [53. В этой работе рассматривались колебания бесконечной балки Эйлера-Бернулли, поддерживаемой одинаковыми упругими опорами с постоянным шагом и нагруженной постоянной поперечной силой, движущейся вдоль балки с постоянной скоростью. Движущаяся постоянная сила и реакции упругих опор были представлены при помощи импульсной функции Дирака. Колебания возникали благодаря периодическому изменению жесткости балки в точке приложения движущейся силы. Условие установившихся колебаний не было сформулировано в упомянутой работе, но постановка и метод решения задачи автоматически приводили решение к установившимся колебаниям. Этот метод получил дальнейшее развитие в работе [63, в которой рассматривались колебания бесконечной балки Эйлера-Еернул-ли, опирающейся на упругое полупространство в изолированных равноудаленных друг от друга точках и возбуждаемой гармонической силой, движущейся по балке с постоянной скоростью.

В работе С7] рассматривались собственные колебания массы, безотрывно движущейся вдоль бесконечной струны с постоянной скоростью. Исследовались неустойчивость движения массы и параметрический резонанс в предположении, что струна поддерживается упругим основанием с малой периодической неоднородностью. В работе [83 исследовались установившиеся колебания бесконечной струны под действием постоянной силы, движущейся равномерно вдоль струны. Предполагалось, что струна поддерживается массивными упруговязкими подвесками с постоянным шагом, и исследовалось влияние вязкости подвесок. В этой работе использовалось условие периодичности, приводящее исследование колебаний к краевой задаче, поставленной на одном периоде структуры. В дальнейшем этот метод был распространен на периодически поддерживаемую бесконечную балку Эйлера-Бернулли С9].

Рельсовый путь имеет периодические неоднородности, связанные с шагом шпал и с длиной рельса. Периодические свойства пути подтверждаются измерениями вертикального ускорения буксы вагона, движущегося с постоянной скоростью. Спектральный анализ этого ускорения в диапазоне средних частот 40-60 Гц обнаруживает значительные колебания буксы с частотой прохождения шпал [10,11] соответственно при скорости движения 120 и 90 км/ч. Аналогичные измерения и спектральный анализ в диапазоне низких частот 1-18 Гц, выполненные как на стыковом [11-133, так и на бесстыковом пути [143 при умеренной скорости движения до 150 км/ч, обнаруживают вертикальные колебания буксы, соответствующие длине рельса, а также 1/2, 1/3 и 1/4 этой длины. Таким образом, исследование рельсового пути как бесконечной периодической структуры актуально и представляет практический интерес при умеренной скорости движения.

Следует отметить, что рельсовый путь испытывает на себе воздействие высокочастотных возмущений. Например, качение колеса со ског? i ростью 180 км/ч (50 м/с) по рельсу, имеющему волнообразный износ с длиной волны 0,05 м вызывает динамическое воздействие на путь с частотой 1000 Гц. Тяговый привод локомотивов и электропоездов создает динамическое возмущение пути такой же частоты [153. Зубья ведущего и ведомого колес привода, находящиеся в зацеплении, подвергаются упругой деформации под действием нагрузки. Поэтому следующие за ними зубья вступают в зацепление с ударом. Частота этих ударов равна произведению числа оборотов в секунду колесной пары и числа зубьев ведомого колеса, установленного на оси колесной пары. Вращение кольца с роликами вызывает периодическое изменение жесткости буксы в вертикальном направлении и параметрические колебания с частотой порядка 100 Гц.

Учет неоднородности рельсового пути, связанной с шагом шпал, приводит к периодической модели пути как бесконечной балки, поддерживаемой упругими опорами. Такой подход восходит к работам выдающегося механика Н.П.Петрова, рассчитывавшего рельс, опирающийся на шпалы, как балку Эйлера-Бернулли, имеющую конечную длину и поддерживаемую конечным числом упругих опор (см., например, монографию [16]). Исследования Н.П. Петрова были продолжены в работах В.В. Григорьева (см. [17] и другие работы этого автора) и в монографии В.П. Крачковского [183.

Жесткость рельса значительно превосходит жесткость шпал и балласта. Поэтому сосредоточенная нагрузка, приложенная к рельсу, распределяется между несколькими шпалами. Н.П. Петров принимал в расчет шесть и более шпал, что требовало сложных вычислений. С целью упрощения расчетов выдающийся механик и инженер С.П. Тимошенко предложил однородную модель пути [19], согласно которой рельс рассматривается как балка на однородном упругом основании. Эта модель С.П. Тимошенко широко используется в расчетах рельсового пути и в исследованиях взаимодействия пути и подвижного состава [20,21].

Однако, эта модель не учитывает различий в механических свойствах пути над шпалой и в середине пролета между соседними шпалами, а также в стыке между рельсами и вдали от стыка. Измерение частотных характеристик рельсового пути 1221, выполненное в широком диапазоне частоты от 40 до 2000 Гц над шпалой и в середине пролета между соседними шпалами, обнаруживает значительное различие этих характеристиках в области высоких частот. Таким образом, применение периодической модели пути является необходимым в случае высокочастотных возмущений. В диапазонах низких и средних частот различие между двумя частотными характеристиками невелико, и применение однородной модели пути является оправданным при исследовании вынужденных колебаний, связанных, например, с эксцентриситетом и другими дефектами колеса [231. При исследовании параметрических колебаний колеса, связанных с частотой прохождения шпал, необходимо применять периодическую модель пути, поскольку малая периодическая неоднородность пути является источником параметрического возбуждения колеса.

В работе [243 была учтена неоднородность рельсового пути вблизи изолированного стыка, который моделировался при помощи упругого шарнира, связывающего две полубесконечные балки, поддерживаемые однородным упругим основанием. Обобщение такого подхода на бесконечное число стыков приводит к модели рельсового пути в виде периодической структуры, представляющей собой бесконечную сочлененную балку, звенья которой соединены упругими шарнирами и поддерживаются однородным упругим основанием.

Две описанные выше периодические структуры, моделирующие неоднородности рельсового пути, имеют и другие приложения, в частности, к наплавным мостам и понтонным переправам [25-283. Выталкивающая сила воды пропорциональна осадке плавучей опоры моста. Следовательно, неразрезной наплавной мост представляет собой балку, поддерживаемую упругими опорами. Подъемная сила судна также пропорциональна его осадке. Согласно методу выдающегося математика и механика А.Н. Крылова, плавающее судно рассматривается как балка на однородном упругом основании [29,30]. Шарнирная понтонная переправа состоит из понтонов, соединенных друг с другом при помощи шарниров, и соответствует описанной выше сочлененной балке. Разрезной наплавной мост также соответствует сочлененной балке.

Следует отметить, что периодические изменения в статической жесткости или линейной плотности рельсового пути, подвески контактного провода или других периодических структур малы и составляют несколько процентов их средних значений. Однако, при действии движущихся нагрузок эти малые изменения величин, сопоставимые с точностью обычных технических расчетов, вызывают параметрические колебания и волны, значительные в случае резонанса, и сами являются предметом исследования, которое требует более точного описания бесконечной периодической структуры. Деформация сдвига в балке играет важную роль в таком описании.

Численные методы прилагаются только к структурам, состоящим из конечного числа повторяющихся элементов. При этом сами элементы структур, как правило, описываются приближенно. Эти два обстоятельства затрудняют применение численных методов для исследовашш параметрического резонанса и высокочастотных колебаний в бесконечных периодических структурах.

2. Цель и методу исследования

Целью данной работы является разработка и применение аналитических методов расчета, дающих точное решение поставленной задачи и возможность качественного исследования линейных колебаний в одномерных бесконечных периодических структурах в диапазоне частоты от 0 до 1000 Гц. Рассматриваются свободные, параметрические и вынужденные колебания. Качественное исследование включает в себя исследование резонанса, антиревонанса и устойчивости колебаний периодической структуры. Численные методы используются в данной работе при вычислении интегралов и интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений с требуемой точностью для получения окончательных результатов и подтверждения выводов качественного исследования. Исследуются периодические структуры в виде: однородной балки, поддерживаемой одинаковыми упруговязкими опорами с постоянным шагом; I сочлененной балки, звенья которой имеют одну и ту же длину, поддерживаются однородным упруговязким основанием и связаны друг с другом одинаковыми упругими шарнирами; однородной натянутой струны, поддерживаемой одинаковыми упруго-вязкими подвесками с постоянным шагом.

Упомянутые выше опоры, подвески и шарниры служат границами периодов структуры. Разработаны два аналитических метода. Первый метод включает в себя:

Приведение задачи об установившихся колебаниях периодической структуры , вызванных неподвижной комплексной гармонической силой и определяемых в каждой точке структуры ее комплексной амплитудой колебаний, к линейным разностным уравнениям второго порядка [31,32], связывающим комплексные амплитуды колебаний трех последовательных концов периодов. Расщепление каждого разностного уравнения второго порядка на два разностных уравнения первого порядка, связывающих комплексные амплитуды колебаний двух концов одного периода и относящихся соответственно к правой и левой полубесконечным частям периодической структуры. После расщепления задача приводится к конечной замкнутой системе линейных алгебраических уравнений, число уравнений которой совпадает с числом неизвестных, относящихся к трем периодам структуры: одному нагруженному и двум смежным. В случае периодической структуры в виде однородной балки, поддерживаемой упруговязкими опорами с постоянным шагом, задача приводится к системе двух разностных уравнений второго порядка, непосредственное решение которой достаточно сложно, требует исследования комплексных корней биквадратного характеристического уравнения и вычисления восьми комплексных коэффициентов. В результате расщепления системы разностных уравнений появляется система десяти алгебраических уравнений с действительными коэффициентами, содержащая десять неизвестных и решаемая численно.

Статическая задача, рассматриваемая в Главе 1, является частным случаем этой задачи. Динамическая задача решена в Главе 3 другим методом. Расщепление системы двух линейных разностных уравнений второго порядка не применялось другими авторами.

Отметим, что упомянутая выше система двух разностных уравнений второго порядка приводится к одному разностному уравнению четвертого порядка. В случае статической задачи это уравнение связывает изгибающие моменты в поперечных сечениях балки над пятью последовательными упругими опорами. Таким образом, метод разностных уравнений является обобщением известного Уравнения трех моментов [33,341 для балки Эйлера-Бернулли. Если периодическая структура представляет собой балку, поддерживаемую жесткими опорами с постоянным шагом, или натянутую бесконечную струну, поддерживаемую упруговязкими опорами с постоянным шагом, то задача приводится к одному разностному уравнению второго порядка. В первом случае Уравнение трех моментов распространяется на балку Тимошенко. В обоих случаях расщепление разностного уравнения совпадает с его решением и приводит к системе трех уравнений с тремя неизвестными (см. Главы 1 и 7).

Решение задачи методом расщепления разностных уравнений не содержит интегрирования. Применяя к этому решению интегральное преобразование Фурье, получаем решение задачи о неустановившихся колебаниях в периодической структуре, вызванных неподвижной силой или мгновенным точечным импульсом. Отклик периодической структуры на действие произвольной подвижной или неподвижной силы получается путем интегрирования в конечных пределах отклика на мгновенный точечный импульс.

Второй метод включает в себя:

Приведение задачи об установившихся колебаниях периодической структуры, вызванных поперечной комплексной гармонической силой, движущейся с постоянной (ненулевой) скоростью к краевой задаче с запаздывающим аргументом [35] или по другой терминологии к дифференциально-разностной [36] краевой задаче.

Метод краевой задачи с запаздывающим аргументом основан на следующем определении установившихся колебаний, соответствующем указанным выше условиям: сдвиг вдоль периодической структуры на расстояние, равное ее периоду, вызывает запаздывание комплексного поперечного отклонения на время, в течение которого гармоническая сила перемещается на это расстояние; при этом аргумент поперечного отклонения получает приращение, равное приращению аргумента гармонической силы. Таким образом, при упомянутых выше сдвиге и запаздывании поперечное отклонение периодической структуры приобретает комплексный множитель, модуль которого равен единице. Гармоническая сила приобретает этот же множитель.

Если частота движущейся силы равна нулю, или равна частоте прохождения опор, или же кратна последней, то множитель обращается в единицу. В этом случае поперечное отклонение периодической структуры удовлетворяет условию периодичности [8,9]: поперечное отклонение периодической структуры не изменяется при одновременном сдвиге на один период и запаздывании на время прохождения этого периода движущейся силой. Если частота движущейся гармонической силы соизмерима с частотой прохождения опор, то поперечное отклонение удовлетворяет обобщенному условию периодичности, в котором сдвиг и запаздывание относятся к целому числу периодов. Если, наконец, частота силы не соизмерима с частотой прохождения опор, то поперечное отклонение является почти-периодическим [37]. Приведенное выше определение установившихся колебаний не предлагалось другими авторами.

Краевая задача ставится и решается на одном периоде структуры. Краевые значения в начале и конце периода, содержащие запаздывание по времени, связываются друг с другом при помощи приведенного выше определения установившихся колебаний с учетом разрывов в производных на концах периода. Решение краевой задачи, полученное на одном периоде структуры путем интегрального преобразования Фурье по времени, распространяется на всю периодическую структуру при помощи того же определения установившихся колебаний. Это решение распространяется на установившиеся колебания, вызванные неподвижной гармонической силой, при помощи предельного перехода в интеграле Фурье. Значение интеграла, соответствующее неподвижной гармонической силе, совпадает с решением той же самой задачи, полученным без интегрирования при помощи метода расщепления разностных уравнений.

Установившиеся колебания однородной структуры, вызванные равномерно движущейся гармонической силой, описываются комплексной амплитудой колебаний, стационарной в системе координат, движущейся вместе с гармонической силой. Комплексная амплитуда установившихся колебаний периодической структуры, определяемых решением краевой задачи с запаздывающим аргументом, не является стационарной и, следовательно, имеет более сложное описание.

Описанные выше аналитические методы являются общими и могут быть приложены к другим бесконечным одномерным периодическим структурам. Допустимо усложнение рассмотренных структур.

3. Краткий обзор полученных результатов В Главе 1 и Приложении 1 рассматривается продольно-поперечный изгиб балки Тимошенко. Классическая теория Эйлера-Бернулли принимает в расчет только деформацию изгиба балки, а в случае поперечных колебаний учитывает инерцию поступательного поперечного движения [34,38]. Теория Рэлея дополнительно учитывает инерцию поворота поперечного сечения балки [393. В наиболее полной теории, предложенной С.П.Тимошенко [40,413, принимается в расчет как деформация изгиба, так и деформация сдвига балки. В монографии [403 эта теория приведена к системе двух уравнений с частными производными. В монографии [413 статический прогиб балки, нагруженной сосредоточенными поперечными силами, вычисляется при помощи одного дифференциального уравнения.

Деформация сдвига существенна в точках приложения сосредоточенных поперечных сил, где упругая линия балки Тимошенко испытывает разрыв в первой и третьей производных. Учет этих разрывов производится более просто, если упругая линия балки определяется только одним дифференциальным уравнением. В Главе 1 это уравнение дополняется членами, учитывающими поперечную нагрузку и момент, распределенные вдоль балки. Дополненное уравнение прилагается к продольно-поперечному изгибу и колебаниям балки Тимошенко. Продольно-поперечный изгиб балки представляет интерес в связи с оценкой влияния температуры на механические характеристики рельсового пути и в связи с оценкой влияния изгибной жесткости на механические свойства контактного провода в системе питания электрического транспорта.

Задача о продольно-поперечном изгибе бесконечной балки Тимошенко, поддерживаемой одинаковыми упругими опорами с постоянным шагом, рассматривается в Главе 1 в статической постановке и раскрывает основной источник параметрического возбуждения периодической структуры. В этой главе излагается решение задачи в отсутствие продольной силы. В этом случае изгиб балки Тимошенко и изгиб балки Эйлера-Бер-нулли описываются одним и тем же дифференциальным уравнением, а различие между двумя моделями балки проявляется только в граничных условиях в точке приложения поперечной сосредоточенной силы и связано с изломом упругой линии балки Тимошенко. Сравнение результатов вычислений для двух моделей балки показывает, что этот излом существенно влияет на периодическую неоднородность структуры.

Расчет продольно-поперечного изгиба вынесен в Приложение 1. В обоих случаях решение задачи приводится к системе двух разностных уравнений второго порядка.

Упругая линия балки и ее вторая производная всюду непрерывны, а первая и третья производные испытывают разрыв в точках приложения сосредоточенных поперечных сил. На каждом отрезке балки, ограниченном такими точками, решается краевая задача для дифференциального уравнения, имеющего четвертый порядок. Решение краевой задачи содержит четыре постоянные, представляющие собой значения поперечного отклонения балки и его второй производной на концах отрезка . Учет разрывов в первой и третьей производных на концах смежных отрезков приводит к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений, которые связывают краевые значения поперечного отклонения балки и его второй производной. Эти уравнения образуют систему двух разностных уравнений второго порядка, решаемую описанным выше способом. Упругая линия балки определяется после подстановки решения системы разностных уравнений в решение краевой задачи. Продольно-поперечный изгиб балки также описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка. Поэтому задача о продольно-поперечном изгибе балки, поддерживаемой упругими опорами с постоянным шагом, также приводится к системе двух разностных уравнений второго порядка, отличающейся от упомянутой выше системы только более сложными коэффициентами.

Описанный метод решения статической задачи может быть распространен на динамическую задачу об установившихся колебаниях этой же балки под действием неподвижной гармонической силы, поскольку комплексная амплитуда колебаний балки также определяется обыкновенным дифференциальным уравнением четвертого порядка. Этот метод может быть также распространен на любую бесконечную периодическую структуру, описываемую дифференциальным уравнением четвертого порядка.

Статическая жесткость балки в заданной точке есть отношение поперечной силы, приложенной в этой точке, к прогибу балки в этой же точке. Эта величина, играющая важную роль в динамике рельсового пути, зависит от положения точки относительно шпал. Периодическое изменение жесткости пути приводит к вертикальным колебаниям колеса, нагруженного постоянной вертикальной силой и движущегося по рельсу с постоянной скоростью. Такие колебания являются параметрическими.

Зависимость жесткости рельсового пути от положения точки приложения поперечной силы вычисляется в Главе 1 для шага шпал 0,8 м и площади поперечного сечения рельса 0,006 м2 как с учетом, так и без учета деформации сдвига в рельсе, т.е. для балки Тимошенко и балки Эйлера-Бернулли. Шпалы рассматриваются как упругие опоры. В первом случае среднее по пролету рельса между шпалами значение статической жесткости пути оказывается на 5,5% меньше, чем во втором. Разность между наибольшим значением жесткости пути, относящимся к поперечному сечению рельса над шпалой, и наименьшим значением этой же жесткости, относящимся к середине пролета рельса между шпалами, вычисленная для балки Тимошенко, оказывается в 2,3 раза больше той же величины, вычисленной для балки Эйлера-Бернулли. Таким образом, изменение жесткости пути на пролете рельса между шпалами в основном определяется деформацией сдвига в рельсе. При этом среднее значение жесткости в основном определяется деформацией изгиба рельса.

При увеличении поперечного сечения рельса с сохранением его подобия, давление колеса распространяется на большее число шпал, а периодическое изменение жесткости пути становится меньше. В этом случае жесткость сдвига растет пропорционально площади поперечного сечения рельса, т.е. квадрата его линейного размера, а изгибная жесткость растет пропорционально четвертой степени этой величины. Таким образом, изгибная жесткость растет быстрее жесткости сдвига. Поэтому доля деформации сдвига в периодическом изменении жесткости пути становится большей.

Расчеты, представленные в Приложении 1, показывают, что естественное нагревание и охлаждение рельса не приводит к заметному изменению как средней жесткости рельсового пути, так и колебания этой жесткости по пролету рельса между шпалами.

В Главе 2 результаты Главы 1 прилагаются к исследованию неустановившихся параметрических колебаний нагруженного колеса. При недостаточном демпфировании этих колебаний их размах может неограниченно возрастать. В этом случае движение колеса неустойчиво. При большем демпфировании такие колебания оказываются устойчивыми и периодическими.

Исследование параметрических колебаний и устойчивости движения колеса производится в упрощённой постановке. Масса и вязкое сопротивление, распределенные вдоль рельсового пути, заменяются сосредоточенными параметрами, приведенными к точке контакта колеса и рельса. Эти параметры вычисляются в Приложении 2 на основе однородной модели рельсового пути. Таким образом, в упрощенной постановке периодическое распределение массы и вязкости рельсового пути не принимаются во внимание. Неустановившиеся вертикальные параметрические колебания колеса описываются при помощи линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с одним периодическим коэффициентом, представляющим переменную жесткость пути. Период коэффициента соответствует шагу шпал. Постоянная правая часть уравнения представляет статическую нагрузку, приложенную к колесу.

Колебания нагруженного колеса вычисляются и исследуются при помощи матрицы монодромии [37], связывающей между собой значения вертикального отклонения колеса и его производной по времени в начале и конце периода переменного коэффициента дифференциального уравнения. При вычислении Используются три частных решения дифференциального уравнения, определяемых численно на этом периоде. При учете приведенной вязкости пути модули собственных чисел матрицы монодро-мии оказываются меньше единицы, что указывает на устойчивость движения колеса по рельсу. Далее определяются значения скорости движения колеса, при которых параметрические колебания колеса оказываются значительными. Наибольшие параметрические колебания соответствуют скорости движения колеса 122,9 км/ч, при которой частота прохождения шпал совпадает со средним значением частоты свободных вертикальных колебаний колеса, установленного на рельсе. Меньшие параметрические колебания соответствуют половине и трети упомянутой выше скорости.

В Главе 3 решается задача об установившихся поперечных колебаниях балки Тимошенко, поддерживаемой упруговязкими опорами и возбуждаемой гармонической силой, движущейся вдоль балки с постоянной скоростью. Эта задача, возникающая в динамике рельсового пути, в случае ненулевой скорости движения формулируется как краевая задача с запаздывающим аргументом и решается при помощи интегрального преобразования Фурье по времени. Преобразование Фурье в свою очередь разлагается в ряд Фурье, который облегчает вычисление обратного преобразования, дающего решение краевой задачи. Решение задачи прилагается к исследованию параметрических и вынужденных высокочастотных колебаний рельсового пути. Поэтому колебания рельса вычисляются с учетом деформации сдвига. Кроме того, допускаются сложные модели подрельсового основания. Предполагается, что преобразования Фурье вертикального отклонения рельса и вертикальной реакции шпалы пропорциональны. Коэффициент пропорциональности, представляющий собой передаточную функцию, учитывает динамические свойства подрельсового основания.

Далее в точной постановке исследуются установившиеся параметрические колебания рельса и массивного колеса, нагруженного постоянной вертикальной силой и движущегося по рельсовому пути с постоянной скоростью. Периодическая сила взаимодействия колеса и рельса представляется в виде ряда Фурье с неизвестными коэффициентами. Затем вычисляются и приравниваются друг к другу вертикальные отклонения колеса и рельса в точке контакта с колесом, вызванные периодической силой. В результате получается бесконечная система линейных уравнений для определения бесконечного числа неизвестных.

Полученная система решается численно с учетом первых шести гармоник. После определения соответствующего числа неизвестных коэффициентов вычисляются параметрические колебания колеса. В этих вычислениях шпала представляется простой моделью в виде сосредоточенной массы, поддерживаемой параллельными пружиной и демпфером. Последнее объясняется тем, что согласно результатам Главы 2 значительные колебания возникают только при частоте параметрического возбуждения, близкой к 43 Гц. Следует отметить, что результаты вычислений оказываются близкими к результатам Главы 2, полученным при помощи упрощающих предположений. Таким образом, исследования Главы 3 подтверждают правомерность упрощенного подхода к расчету параметрических колебаний колеса.

Далее вычисляются колебания шпал, вызванные движением нагруженного колеса и приводящие к потере энергии, истиранию балласта и другим расстройствам пути. Потеря энергии восполняется продольной силой, поддерживающей равномерное движение колеса и, таким образом, уравновешивающей сопротивление пути этому движению. Вычисления, выполненные в Главе 3, показали, что при скорости движения 123,8 км/ч, соответствующей параметрическому резонансу, сопротивление пути возрастает более, чем в два раза.

В Главе 4 исследуются вынужденные колебания рельса, выполняется предельный переход к возбуждению, рельса неподвижной гармонической силой и вычисляются две частотные характеристики, соответствующие приложению вертикальной возмущающей силы над шпалой и в середине пролета между соседними шпалами. В этих вычислениях шпала также представляется в виде сосредоточенной массы, поддерживаемой параллельными пружиной и демпфером. Параметры пути выбираются так, чтобы получить наилучшее приближение к двум экспериментальным частотным характеристикам пути на деревянных шпалах, приведенным в работе С223 и полученным при возбуждении одного рельса над шпалой или в середине пролета между шпалами. Хорошее приближение удается получить только при частоте возбуздения не более 250 Гц.

Далее в Главе 4 продолжается исследование периодической модели рельсового пути с целью достижения соответствия экспериментальных и расчетных частотных характеристик пути при частоте возбуждения до 1000 Гц. С этой целью рассматриваются более сложные модели опирания рельса. Шпала представляется в виде однородного стержня, поддерживаемого однородным упруговязким основанием и возбуждаемого одним колеблющимся рельсом. Под действием несимметричного возбуждения шпала совершает сложные колебания, включающие в себя поворот в плоскости, перпендикулярной оси пути. При этом 1фучение колеблющегося рельса и присутствие другого рельса не принимаются во внимание. Первое оправдывается тем, что жесткость рельса при скручивании мала по сравнению с его изгибной жесткостью. Поэтому рельс не оказывает значительного сопротивления упомянутому выше повороту шпалы. Второе оправдывается тем, что колебания шпалы в точке прикрепления другого рельса невелики.

Сначала шпала рассматривается как жесткий стержень. Опирание рельса на жесткую шпалу, поддерживаемую однородным упруговязким основанием, оказывается тождественным рассмотренному в Главе 3 опира-нию на сосредоточенную массу, поддерживаемую параллельными пружиной и демпфером. Эта тождественность позволяет установить связь между сосредоточенными и распределенными параметрами двух моделей точечного опирания рельса на шпалы. Далее рассматривается опирание рельса с учетом изгиба шпалы, которая представляется балкой Эйлера-Бер-нулли. Анализ свободных колебаний балки конечной длины на однородном упругом основании показывает, что низшая собственная частота соответствует колебаниям балки как жесткого стержня, т.е. без изгиба. Таким образом, изгиб шпалы оказывается существенным при высокочастотных колебаниях.

Описание вынужденных колебаний балки Эйлера-Бернулли конечной длины, поддерживаемой однородным упруговязким основанием, при помощи стандартных математических функций оказывается громоздким. С целью упрощения этого описания и сокращения вычислений, производимых на каждом шаге численного интегрирования, в Главе 4 разработано описание вынужденных колебаний балки при помощи четырех быстро сходящихся и легко вычисляемых степенных рядов. Изгиб шпалы учитывается при помощи некоторого множителя, связывающего между собой преобразования Фурье вертикальных смещений гибкой и жесткой шпал. Этот множитель стремится к единице при неограниченном возрастании изгиб-ной жесткости шпалы. Частотные характеристики рельсового пути, вычисленные с учетом изгиба шпалы в диапазоне частоты от нуля до 1000 Гц, оказываются близкими к экспериментальным частотным характеристикам всюду, кроме узкого диапазона частоты от 50 до 70 Гц, в котором могут быть значительными крутильные колебания пути, вызываемые условиями эксперимента и не учитываемые в расчете. Следует отметить, что параметрические колебания пути, исследуемые в Главе 2 и имеющие частоту около 50 Гц, вызываются симметричным возбуждением и поэтому не включают в себя крутильные колебания. Результаты Главы 4 могут быть также использованы при исследовании симметричного возбуждения пути, которое может рассматриваться как сумма двух несимметричных возбуждений.

В Главе 5 исследуются установившиеся поперечные колебания сочлененной балки, поддерживаемой однородным упруговязким основанием и возбуждаемой гармонической силой, движущейся с постоянной скоростью. Звенья балки, имеющие одинаковую длину, соединены друг с другом одинаковыми упругими шарнирами и образуют периодическую структуру. Задача об установившихся колебаниях сочлененной балки приводится к краевой задаче с запаздывающим аргументом. Колебания сочлененной балки под действием постоянной движущейся равномерно силы являются частным случаем колебаний, исследуемых в Главе 5. Они вызываются периодическим изменением жесткости сочлененной балки и поэтому являются параметрическими. Параметрические колебания с длиной волны, равной длине рельса, наблюдаются при движении экипажа по стыковому рельсовому пути. В некоторых работах, например, в книге В. К. Гарга и Р.В. Дуккипати [42], такие колебания рассматриваются как вынужденные колебания, вызываемые фиктивной периодической неровностью пути. Профессор H.A. Панькин, редактор перевода этой книги на русский язык, писал в своем предисловии, что "к сожалению, в книге не рассмотрены параметрические колебания экипажей, вызванные неравноупругостью пути". Природа колебаний с длиной волны, равной длине рельса, наблюдаемых при движении экипажа по бесстыковому пути требует изучения. В монографии [43] эти колебания связываются с неровностью, образующейся на поверхности катания рельсов в месте их сварки.

В Главе 6 исследуются установившиеся поперечные колебания растянутой струны, поддерживаемой одинаковыми упруговязкими подвесками с постоянным шагом и возбуждаемой гармонической силой, движущейся с постоянной скоростью. Задача об установившихся колебаниях струны приводится к краевой задаче с запаздывающим аргументом. Решение краевой задачи, полученное при помощи интегрального преобразования

Фурье, используется для оценки влияния жесткости подвесок на колебания струны и самих подвесок. Если эта жесткость достаточно мала, то колебания каждой из подвесок имеют большую частоту в то время, когда гармоническая сила приближается к этой подвеске, и меньшую частоту, когда эта сила удаляется от подвески. Таким1 образом, наблюдается эффект Допплера, известный в акустике и оптике. При увеличении жесткости подвесок эффект Допплера исчезает.

В Главе 7 продолжается исследование поперечных колебаний периодической струны. В начале главы рассматривается задача об установившихся колебаниях струны, вызываемых неподвижной гармонической силой. Задача приводится к одному разностному уравнению второго порядка, решение которого расщепляет это уравнение на два разностных уравнения первого порядка, относящихся соответственно к правой и левой полубесконечным частям струны. В результате получается система трех линейных алгебраических уравнений, служащая для вычисления комплексных амплитуд колебаний точек струны. Решение системы получается в явном виде без интегрирования и прилагается к построению частотных характеристик струны и исследованию резонанса и антирезонанса. Колебательная система находится в состоянии антирезонанса, если точка приложения возмущающей силы неподвижна. Струна находится в состоянии антирезонанса, если точка приложения возмущающей силы совпадает с узлом колебаний струны. В этом случае подвод энергии к струне отсутствует, и колебания струны могут быть установившимися только в отсутствие потери энергии. Следовательно, поперечное отклонение струны должно представлять собой стоячую волну, а вязкое сопротивление в подвесках струны должно отсутствовать. Если подвески струны имеют малое вязкое сопротивление, то точка приложения возмущающей силы совершает малые колебания, а работа возмущающей силы восполняет потерю энергии в точках подвеса. Особый случай антирезонанса имеет место, если все точки подвеса струны являются узлами и потеря энергии в упруговязких подвесках отсутствует.

Далее, решение краевой задачи подвергается интегральному преобразованию Фурье, в результате которого определяется отклик струны на мгновенный импульс силы, приложенный к одной из подвесок. Исследование колебаний подвесок, определяемых путем однократного численного интегрирования в бесконечных пределах, обнаруживают систему волн, движущихся с одной и той же скоростью, преломляемых и отражаемых каждой из подвесок. В рамках принятой модели периодической струны прохождение волны отмечается мгновенным подъемом или опусканием струны.

Воздействие произвольной силы на струну можно рассматривать как последовательность мгновенных импульсов. Колебания струны, вызываемые этой силой, можно вычислить путем интегрирования откликов струны на последовательность импульсов. Перемена порядка интегрирования позволяет привести вычисления к однократному интегрированию в бесконечных пределах. В Главе 7 вычисляются колебания .периодической струны, вызванные внезапно возникшей постоянной или гармонической силой. В первом случае отклонение струны приближается к ее статическому отклонению.

В последнем случае поведение струны зависит от частоты возбуждения. Если эта частота соответствует резонансу, то размах колебаний струны неограниченно возрастает. Если частота возбуждения соответствует антирезонансу, то размах колебаний точки возбуждения струны сперва возрастает, а затем убывает, и колебания исчезают с течением времени. В отсутствие резонанса и антирезонанса неустановившиеся колебания с течением времени переходят в установившиеся колебания.

4. Исследование резонанса и антирезонанса бесконечной периодической структуры

Резонанс бесконечной структуры, однородной или периодической, имеет существенные особенности.

Колебательная система с дискретным спектром свободных колебаний, состоящим из конечного или бесконечного числа изолированных точек, находится в состоянии резонанса, если частота возбуждения совпадает с одной из частот спектра системы. Система, состоящая из нескольких сосредоточенных масс, связанных друг с другом невесомыми пружинами, имеет дискретный спектр с числом точек, равным числу сосредоточенных масс. Растянутая струна и балка конечной длины имеют дискретный спектр, состоящий из бесконечного числа изолированных точек. Свободные колебания бесконечной балки или струны в виде стоячей волны могут совершаться с любой частотой. Такая колебательная система имеет непрерывный спектр свободных колебаний, заполняющий всю числовую полуось. Бесконечная балка Эйлера-Бернулли, поддерживаемая однородным упругим основанием, имеет наименьшую частоту свободных колебаний. Ее спектр непрерывно заполняет часть числовой оси, находящуюся справа от этой наименьшей частоты. Резонанс колебательной системы с непрерывным спектром свободных колебаний имеет другую физическую [443 и математическую природу [45 - 473. Если колебания бесконечной балки, поддерживаемой однородным упруговязким основанием, определяются при помощи интегрального преобразования Фурье, то резонанс балки имеет место, если (в отсутствие вязкости основания) подынтегральная функция имеет действительный полюс второго порядка. Таким образом, исследование резонанса бесконечной однородной балки приводится к исследованию корней алгебраического уравнения четвертой степени.

В третьей, пятой, шестой и седьмой главах исследуется резонанс в бесконечных периодических структурах, имеющих непрерывный спектр свободных колебаний. Как показано в Главе Б, этот спектр непрерывно заполняет бесконечную последовательность отрезков числовой оси, разделенных промежутками. Если колебания бесконечной периодической структуры определяются при помощи интегрального преобразования

Фурье, то резонанс имеет место, если подынтегральная функция имеет действительный полюс второго порядка. Если растянутая струна или упругая балка поддерживается упруговягкими подвесками или опорами, то резонанс (с бесконечным размахом колебаний) имеет место, если узлы колебаний периодической структуры совпадают с точками подвеса или опирания. В рамках принятой модели периодическая структура не испытывает сопротивления при колебаниях такого вида. Если дополнительно учесть вязкое сопротивление воздуха, внутреннее трение или упруговязкое сопротивление опоры повороту поперечного сечения балки, то размах колебаний всегда будет ограничен.

Интегральные преобразования Фурье, описывающие установившиеся колебания бесконечных периодических структур, имеют сложный вид и содержат большое число физических и геометрических параметров. Это обстоятельство затрудняет отыскание полюса второго порядка при исследовании резонанса. С целью сокращения числа параметров и упрощения интегралов решения задач приводятся к безразмерному виду. Существование или отсутствие полюса второго порядка определяется безразмерными параметрами задачи. Отыскание этого полюса приводится к отысканию кратного нуля некоторого трансцендентного уравнения, которое выполняется графически. Для этого уравнение представляется в виде равенства, левая часть которого достаточно проста и зависит от одного из безразмерных параметров, не содержащегося в правой части равенства. Далее строится график правой части равенства и однопара-метрическое семейство простых линий (прямых, сдвинутых синусоид и т.п.), изображающих левую часть этого же равенства. Параметр выбирается так, чтобы соответствующая линия касалась графика правой части равенства.

В Главе 5 определяются значения безразмерной угловой скорости неподвижной гармонической силы, при которой наступает резонанс периодически сочлененной балки, поддерживаемой однородным упругим основанием. Кроме того, оценивается влияние малого вязкого сопротивления основания. В Главе б определяется безразмерная жесткость подвески натянутой струны, при которой имеет место резонанс струны, возбуждаемой движущейся гармонической силой.

5. Апробация результатов

Исследование колебаний периодических структур, изложенное в диссертационной работе, выполнялось в рамках Программы фундаментальных и поисковых научно-исследовательских работ МИИТа, начиная с 1993 г. Разделы исследования представлялись на ежегодные теоретические конференции Программы и публиковались в Сборниках научных трудов МИИТа С48- 55]. Некоторые разделы исследования были представлены на следующие научные конференции [56-59]: Международная конференция "Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта" (Москва, МИИТ, 1996 г.), 15Ь1Й симпозиум "Динамика экипажей на автодорогах и железнодорожных путях" (Будапешт, Технический университет, 1997 г.), ЕВРОМЕХ, Коллоквиум 409 "Динамика и износ железнодорожных экипажей, пути и земляного полотна" (Ганновер, Университет Ганновера, 2000 г.), 4ая научно-практическая конференция "Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте" (Москва, МИИТ, 2001 г.).

Кроме того, результаты исследования излагались на научных семинарах кафедр "Высшая математика", "Прикладная математика", "Теоретическая механика" и "Строительная механика" МИИТа, а также кафедры "Высшая математика" РГОТУПСа.

21. Результаты исследования неустановившихся колебаний периодически поддерживаемой струны согласуются с известными физическими свойствами струн, что подтверждает достоверность сложных вычислений. Например, расчеты, приведенные в диссертации, показывают, что любые возмущения распространяются вдоль периодически поддерживаемой струны с одной и той же скоростью и наблюдается аналог конуса Маха.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Согласно Универсальной десятичной классификации (УДК) исследование относится к следующим разделам строительной механики:

624.041.2 Статически неопределимые конструкции 624.072.1 Плоские системы в целом

624.042.8 Динамическое влияние подвижных нагрузок 624.072.233 Балки на упругих или податливых опорах 624.072.233.5 Балки на упругом балласте

624.072.3 Элементы, работающие на изгиб и нормальную силу

Перечислим основные результаты диссертации:

1. Продольно-поперечный изгиб балки Тимошенко описан при помощи одного дифференциального уравнения для поперечного отклонения балки. Это уравнение также использовано для исследования поперечных колебаний балки Тимошенко.

2. Решена задача о продольно-поперечном изгибе бесконечной балки, периодически поддерживаемой упругими опорами и нагруженной одной поперечной силой. Задача приведена к системе двух линейных разностных уравнений второго порядка. Эта система расщеплена на две системы, относящиеся соответственно к двум полубесконечным частям балки справа и слева от точки приложения поперечной силы и состоящие из двух разностных уравнений первого порядка. В результате расщепления исходной системы разностных уравнений решение задачи о продольно-поперечном изгибе бесконечной периодической балки приведено к системе десяти линейных алгебраических уравнений, относящихся к трем пролетам балки: одному нагруженному пролету и двум смежным с ним.

3. Исследовано периодическое изменение статической жесткости балки. Показано, что кривая статической жесткости имеет изломы над упругими опорами и значительно отличается от синусоиды. Колебание статической жесткости в основном связано с деформацией сдвига в балке. Согласно расчетам, приведенным в диссертации, пренебрежение деформацией сдвига уменьшает колебание статической жесткости в 2,3 раза. При этом изломы кривой статической жесткости исчезают, а форма кривой становится близкой к синусоидальной.

4. Исследованы неустановившиеся параметрические колебания нагруженного колеса, движущегося по рельсу с постоянной скоростью. В исследовании предполагалось, что периодическое изменение статической жесткости рельса является единственным источником параметрического возбуждения колеса, а вязкое сопротивление и инерция пути сосредоточены в точке контакта колеса и рельса. Эти величины вычислены на основе однородной модели пути. В рамках упрощенной модели параметрические колебания колеса описаны одним линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянной правой частью, представляющей статическую нагрузку колеса, и одним периодическим коэффициентом, представляющим переменную статическую жесткость рельса.

5. Матрица монодромии, связывающая между собой вертикальные отклонение и скорость колеса в начале и в конце периода, определена при помощи численного решения дифференциального уравнения и исследована как без учета, так и с учетом вязкого сопротивления рельсового пути. В первом случае абсолютные значения собственных чисел матрицы монодромии превосходят единицу при некоторых значениях скорости движения колеса. Размах вертикальных колебаний колеса неограниченно возрастает, а движение колеса оказывается неустойчивым при этих значениях скорости. Во втором случае абсолютные значения собственных чисел матрицы монодромии меньше единицы при любой скорости движения колеса. В этом случае движение колеса устойчиво, а неустановившиеся вертикальные колебания колеса с течением времени переходят в периодические установившиеся колебания.

6. Определена убывающая последовательность значений скорости движения колеса, при которых собственные числа матрицы монодромии близки к единице, а размах вертикальных периодических колебаний колеса значителен. Такое явление можно рассматривать как параметрический резонанс. Показано, что при упомянутых выше значениях скорости среднее значение частоты свободных колебаний неподвижного колеса на рельсе равно или кратно частоте прохождения шпал. Одновременно эти значения скорости совпадают со значениями скорости, соответствующими неустойчивому движению колеса в отсутствие вязкого сопротивления пути. Показано, что деформация сдвига в рельсе существенно влияет на вертикальные параметрические колебания движущегося нагруженного колеса. Все теоретические выводы подтверждены численным решением дифференциального уравнения.

7. Рассмотрены установившиеся поперечные колебания бесконечной балки Тимошенко, периодически поддерживаемой одинаковыми массивными упруговязкими опорами и возбуждаемой гармонической силой, движущейся по балке с постоянной (ненулевой) скоростью. Дано определение установившихся колебаний, соответствующее описанной выше задаче. В случае возбуждения периодической структуры движущейся постоянной силой определение установившихся колебаний приводит к известному условию периодических колебаний. Если частота гармонической силы и частота прохождения опор соизмеримы, то определение установившихся колебаний обобщает условие периодических колебаний. Если упомянутые выше частоты не соизмеримы, то установившие колебания не являются периодическими.

Задача об установившихся колебаниях балки приведена к краевой задаче с запаздывающим аргументом, поставленной на одном периоде (пролете балки) и решенной при помощи интегрального преобразования Фурье по времени. Решение краевой задачи, учитывающее условия закрепления балки, приложимо к периодически поддерживаемым балкам с опорами различного устройства, имеющими механические характеристики с линейной связью между преобразованиями Фурье вертикального перемещения и вертикальной реакции опоры.

8. Установившиеся параметрические колебания рельсового пути и колеса, нагруженного постоянной вертикальной силой и движущегося с постоянной скоростью, были исследованы в точной постановке. Для этого периодическая сила взаимодействия колеса и рельса была представлена в виде ряда Фурье с неизвестными коэффициентами. Затем были определены в виде ряда Фурье и связаны друг с другом вертикальные отклонения колеса и рельса, вызванные периодической силой. В результате была получена бесконечная система уравнений для вычисления бесконечной последовательности неизвестных коэффициентов Фурье. Система была решена численно с учетом конечного числа гармоник.

Была исследована зависимость коэффициентов Фурье от скорости движения колеса. Для каждой гармоники была определена критическая скорость движения колеса, при которой амплитуда этой гармоники достигала максимума. Вычисления показали, что критические значения скорости, полученные при помощи решения задачи в точной постановке, отличаются от критических значений скорости, вычисленных на основе упрощающих предположений, менее, чем на 1%. Эти результаты подтверждают правомерность упрощенного подхода к исследованию параметрических колебаний движущегося нагруженного колеса.

9. Периодическая сила взаимодействия колеса и рельса была вычислена для критических значений скорости колеса при помощи упомянутого в п.8 ряда Фурье. Вычисления показали, что давление движущегося колеса на рельс достигает наибольшего значения перед шпалой, наименьшего значения за шпалой и отклоняется от статической нагрузки колеса на 20% при критической скорости 122,9 км/ч. Следовательно, параметрические колебания колеса приводят к неравномерному износу рельса.

10. Вычислены колебания шпалы, вызванные проходящим над шпалой колесом, определена энергия, рассеиваемая в в подрельсовом основании, а также продольная сила, необходимая для поддержания равномерного движения и, следовательно, уравновешивающая сопротивление рельсового пути этому движению. Показано, что сопротивление пути возрастает более, чем в два раза при скорости движения 122,9 км/ч.

11. Решение задачи об установившихся колебаниях периодически поддерживаемой балки распространено при помощи предельного перехода на возмущение балки неподвижной гармонической силой и использовано для исследования высокочастотных колебаний рельсового пути. Показано, что при исследовании высокочастотных колебаний необходимо учитывать как периодическую структуру рельсового пути, так и деформацию сдвига в рельсе.

12. Исследованы три модели шпал: сосредоточенная масса, поддерживаемая параллельными пружиной и демпфером; однородный твердый массивный стержень, поддерживаемый однородным упруговязким основанием; однородная балка Эйлера-Бернулли, поддерживаемая однородным упруговязким основанием. Показано, что первые две модели имеют одинаковые механические характеристики. Определены частоты свободных колебаний однородной гибкой шпалы. Показано, что низшая частота одновременно соответствует симметричным и кососимметричным колебаниям шпалы без изгиба. Следующая частота относится к симметричным изгиб-ным колебаниям шпалы. Далее идет чередование частот кососимметрич-ных и симметричных изгибных колебаний шпалы. Исследование свободных колебаний показало, что изгиб шпал проявляется при меньшей частоте, если колебания пути симметричны.

13. Результаты расчетов сравнены с известными частотными характеристиками рельсового пути, полученными при помощи вибрирования рельса и измерения колебаний в месте вибрирования. Сравнение показало, что при вибрировании рельса с частотой до 1000 Гц результаты расчета хорошо согласуются с экспериментальными данными, если в расчете учитывается изгиб шпал. При возбуждении рельса с частотой до 150 Гц изгиб шпал можно не учитывать.

14. Решена задача об установившихся поперечных колебаниях бесконечной периодически сочлененной балки, поддерживаемой однородным упруговязким основанием и возбуждаемой гармонической силой, движущейся вдоль балки с постоянной скоростью. Звенья балки соединены друг с другом упругими шарнирами. Если крутильная жесткость упругих шарниров обращается в бесконечность, то периодически сочлененная балка превращается в однородную балку. Задача об установившихся колебаниях периодически сочлененной балки приведена к краевой задаче с запаздывающим аргументом. Краевая задача, учитывающая упругое соединение смежных концов звеньев балки, решена при помощи интегрального преобразования Фурье по времени. Решение задачи может быть использовано при моделировании стыков рельсового пути.

15. Исследован резонанс периодически сочлененной балки. Показано, что резонанс балки имеет место, если в отсутствие вязкости однородного основания подынтегральная функция обратного преобразования Фурье имеет действительный полюс второго порядка. Предложен графический метод определения резонансной частоты движущейся возмущающей силы. Описано множество резонансных частот периодически сочлененной балки, и дано сравнение с однородной балкой. Теоретические выводы подтверждены при помощи частотной характеристики периодически сочлененной балки, полученной вычислением обратного преобразования Фурье.

16. Решена задача об установившихся поперечных колебаниях натянутой струны, периодически поддерживаемой упруговязкими подвесками и возбуждаемой гармонической силой, движущейся вдоль струны с постоянной скоростью. Задача об установившихся колебаниях струны приведена к краевой задаче с запаздывающим аргументом, учитывающей условия закрепления струны. Краевая задача решена при помощи интегрального преобразования Фурье по времени. Исследована зависимость этих колебаний от жесткости подвесок. Предложен графический метод определения жесткости подвесок, при которой имеет место резонанс. Показано, что при малой (дорезонансной) жесткости подвесок наблюдается эффект Допплера. При большей жесткости подвесок эффект Доппле-ра отсутствует.

17. Рассмотрены установившиеся колебания бесконечной струны, периодически поддерживаемой упруговязкими подвесками и возбуждаемой неподвижной гармонической силой. Предложены два метода вычисления таких колебаний. Первый метод заключается в предельном переходе под знаком интеграла обратного преобразования Фурье, упомянутого в предыдущем пункте, и вычислении полученного таким образом интеграла. Второй метод приводит к разностному уравнению второго порядка, решение которого дает расщепление этого уравнения на два разностных уравнения первого порядка. В результате расчет колебаний приводится к системе трех линейных алгебраических уравнений, решение которой не требует интегрирования.

18. Исследованы резонанс и антирезонанс периодически поддерживаемой струны, возбуждаемой неподвижной гармонической силой. Выделены случаи резонанса и антирезонанса, при которых образуются стоячие волны с узлами в точках подвеса струны. Показано, что в указанных случаях отсутствуют утечки энергии. Благодаря этому амплитуда стоячих волн обращается в бесконечность при резонансе, а точка приложения возмущающей силы неподвижна при антирезонансе.

19. Отклик бесконечной периодически поддерживаемой струны на мгновенный точечный импульс вычислен при помощи интегрирования по частоте в бесконечных пределах отклика струны на возмущение неподвижной гармонической силой. Исследованы преломление и отражение волн, вызванных этим импульсом, при прохождении ими точек подвеса.

20. Неустановившиеся колебания бесконечной периодически поддер

- 183 живаемой струны, вызванные внезапно возникшей силой, вычислены при помощи интегрирования по времени отклика струны на мгновенный точечный импульс. Рассмотрены четыре возможных случая: постоянная возмущающая сила; гармоническая возмущающая сила с резонансной частотой; то же с частотой, соответствующей антирезонансу; то же с регулярной частотой. В первом случае колебания струны затухают с течением времени, а поперечное отклонение струны приближается к статическому отклонению. Во втором случае размах колебаний струны неограниченно возрастает. В третьем случае размах колебаний точки приложения возмущающей силы сперва возрастает, а затем убывает. В четвертом случае неустановившиеся колебания струны с течением времени переходят в установившиеся регулярные колебания.

1. Бриллюэн Л., Народи М. Распространение волн в периодических структурах.- М.: Изд. иностр. лит., 1959.- 457 с.

2. Mead D.J. Vibration response and wave propagation in periodic structures//J. Engng. for Industry.- 1971.- Ser. В. V. 93. P. 783-792.

3. Mead D.J. A new method of analyzing wave propagation in periodic structures: applications to periodic Timoshenko beams and stiffened plates//J. Sound and Vibr.- 1986.- V. 104. P. 9-27.

4. Нагаев Р.Ф., Ходжаев К.Ш. Колебания механических систем с периодической структурой.- Ташкент: Фан, 1973.- 272 с.

5. Jezequel L. Response of periodic systems to a moving io-ad//Trans. A5ME. J. Appl. Mech., ser. E. V.48- 1981. P. 613-618.

6. Metrikine A.V., Popp K. Vibration of a periodically supported beam on an elastic half-space//Eur. J. Mech. A/Solids.- 1999.- V. 18. P. 679-701.

7. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Параметрическая неустойчивость колебаний тела, равномерно движущегося по периодически неоднородной упругой системе//ПМТФ. 1993.- №2.- С. 127-133.

8. Весницкий А.И., Метрикин А.В. Переходное излучение в периодически неоднородной упругой направляющей//Изв. РАН МТТ.- 1993.-№б.~ С. 164-168.

9. Metrikine А. V., Wolfert A.R.M., Vrouwenvelder A.C.W.M. Steady-state response of a periodically supported structures to a moving load//Heron.- 1999. V. 44. No. 2. P. 91-107.

10. Кудрявцев H.H., Кудрявцев Л.А. Корреляционно-спектральный анализ вертикальных ускорений, зарегистрированных на буксе пассажирского вагона//Вестник ЦНИИ ЫПС.- 1972.- №5.- С. 16-20.

11. Бурчак Г.П., Вучетич И.И., Бузаев А.В. К вопросу выбора расчетных схем и возмущающих воздействий в задачах о вертикальных колебаниях подвижного состава//Тр. ВНИИ вагоностроения.- 1974.- Вып. 25.- С. 11-27.

12. Грапис О.П., Балтер И.И., Березовский A.M., Вучетич И.И., Халупович Х.Г. О статистических характеристиках вертикальных возмущений от железнодорожного пути//Тр. ВНИИ вагоностроения.- 1971.-Вып. 15.- С. 88-108.

13. Белоусов В.Н. Определение траекторий движения ходовых частей пассажирских вагонов//Тр. ВНИЙ1Т.- 1981.- Вып. 610.- С. 82-98.

14. Богданов Б. П. Исследование вертикальных ускорений буксового узла при движении вагона по бесстыковому рельсовому пути//Тр. ВНИИ вагоностроения.- 1976.- Вып. 46.- С. 3-13.

15. Бирюков И.В., Беляев А.И., Рыбников Е.К. Тяговые передачи электроподвижного состава железных дорог.- М.: Транспорт, 1986.255 с.

16. Петров Я. Давление колес на рельсы железных дорог. Прочность рельс и устойчивость пути.- Пг.-1915.- 321 с.

17. Григорьев В. В. Статический расчет рельсов//Тр. НТК НКПС. Вып. 85.- М.: Транспечать. 1928.- С. 128-183.

18. Крачковский В. П. Расчет рельсового пути при помощи уравнений изгиба.- М.: Гострансиздат. 1931.- 229 с.

19. Timosheríko S.P. Method of analysis of statical and dynamical stresses in rail//in "Proc. 2nd Int. Congr. for Appl. Mech. Zurich, 1927". P. 407-418.

20. Шахунянц Г.М. Железнодорожный путь. Изд 3-е.- М.: Транспорт, 1987.- 479 с.

21. Вериго М.Ф., Коган А. Я. Взаимодействие пути и подвижного состава.- М.: Транспорт, 1986.- 559 с.

22. Grassie S.L., Gregory R.W., Harrison D., Johnson K.L. The dynamic response of railway track to high frquency vertical excita-tion//J. Mech. Engng. Sei.- 1982.- V. 24. No. 2. P. 77-90.

23. Кудрявцев H.H., Белоусов В.Н., Летунов Б.П., Сасковец В.М. Вибрации букс пассажирских вагонов//Вестник ВНИЙЖТ.- 19хх.- №х.~ С. 38-41.

24. Данилов В.Н. Расчет рельсовой нити в зоне стыка.- Тр. ВНИЙЖТ, 1952.- Вып. 70.- 116 с.

25. Уманский A.A. Наплавные мосты.- М.: Трансжелдориздат, 1939.392 с.

26. Телов В.И., Канунов U.M. Наплавные мосты, паромные и ледяные переправы.- М.: Транспорт, 1978.- 384 с.

27. Кручинкин A.B. Сборно-разборные временные мосты.- М.: Транспорт, 1987.- 191 с.

28. Телов В.И., Картополъцев В.М. Автодорожные паромные переправы и наплавные мосты.- Томск: Изд. Томск, ун-та, 1994.- 159 с.

29. Крылов А.Н. О расчете балок, лежащих на упругом основании.-Л.: Изд. АН СССР, 1930.- 127 с.

30. Крылов А.Н. Собр. трудов. Т.9. Теория корабля.- М.-Л.: Изд. АН СССР, ч.1, 1948.- 399 е., 4.2, 1949.- 313 с.

31. Гелъфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Изд. 3-е.- М.: Наука, 1967. 375 с.

32. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Изд. 4-е.- М.: Наука, 1977. 832 с.

33. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Изд. 2-е. Т. 1.~ М.: Наука.- 1967. 363 с.

34. Филоненко-Бородич U.M. Основы теории работы упругих сил в плоских системах. Общие теоремы перемещения систем. Системы статически неопределимые.- М.: Макиз, 1925.- 176 с.

35. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом.- М.: Наука, 1972.- 352 с.

36. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения.-М.: Мир, 1967.- 548 с.

37. Мышкис А. Д. Математика для ВТУЗов. Специальные курсы.- М. : Наука, 1971.- 632 с.

38. Александров A.B., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов.- М.: Высш. шк., 1995.- 560 с.

39. Стретт Дж.В. (Лорд Рэлей) Теория звука. Т. 2. Изд. 2-е.- М. : Гостехиздат, 1955.- 476 с.

40. Тимошенко С.П., Янг Д.X., Уивер У. Колебания в инженерном деле.- М.: Машиностроение, 1985.- 472 с.

41. Тимошенко С.П., Гере Дж- Механика материалов.- М.: Мир, 1976.- 672 с.

42. Гарг В.К., Дуккипати Р.В. Динамика подвижного состава/пер. с англ. К.Г. Бомштейна под ред. H.Â. Панькина.- М. : Транспорт, 1988, 391 с.

43. Альбрехт В. Г., Бромберг Е.М., Зверев Н. В., ШулъгаВ.Я., Чирков Н.С. Бесстыковой путь.- М.: Транспорт, 1982.- 206 с.

44. Крысов C.B. Вынужденные колебания и резонанс в упругих системах с движущимися нагрузками.- Горький: Изд. Горьк. ун-та, 1985.69 с.

45. Муравский Г.Б. Колебания балки типа Тимошенко, лежащей на упругонаследственном основании//Изв. РАН. МТТ.- 1981.- №5.- С. 167-179.

46. Муравский Г. Б. Резонансные свойства балки типа Тимошенко на упругом основании//Строительная механика и расчет сооружений.-1991.- №1.- С. 83-87.

47. Myshkis A.D., Belotserkovskiy P.M. On resonance of an infinite beam on uniform elastic foundation//ZAMM.- 1999.- Vol. 79. No. 9. P. 645-647.

48. Белоцерковский П. M. Асимптотические свойства непрерывной и дискретной моделей железнодорожного пути//Фундаментальные и поисковые исследования в области железнодорожного транспорта.- М.: МИИТ,1994.- С. 60-64.

49. Белоцерковский П.М. Резонанс в бесконечных однородных и периодических структурах//Фундаментальные и поисковые научно-исследовательские работы в области железнодорожного транспорта. Сборник научных трудов. Вып. 921. М.:МИИТ, 1999.- С. 33-35.

50. Велоцерковский П.М. Колебания одномерной периодической структуры под действием подвижной гармонической силы//Тезисы докладов 2ой Международной конференции "Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта".- М.:МИИТ, 1996.- Т. 2. С. 52.

51. Belotserkovskiy P.M. Forced oscillations of infinite periodic structures. Applications to railway track dynamics//15th Symposium "Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks". August 25-29, 1997. Paper Summaries. Budapest, Hungary. P. 148-150.

52. Велоцерковский П.М. Статическая неравножесткость пути, связанная с шагом шпальной клетки//Межвузовский сб. науч. тр.- М.: Изд. МИИТа, 1987. Вып.796. С. 148-155.

53. Велоцерковский П.М. Влияние деформации сдвига в рельсе на сопротивление пути равномерному движению колеса//Ресурсосберегающие технологии на железнодорожном транспорте. Труды конференции.- М.: ШИТ, 2001.- С. IV-4.

54. Дмитриев А.С. Поперечные колебания шарнирно опертой балки под действием движущейся силы с учетом волновых процессов//Тр. ЛИ-ИЖТа.- 1972.- Вып. 343.- С. 131-140.

55. Дмитриев А.С. Колебания балки Тимошенко при движении сосредоточенной силы//Исследование по теоретическим основам расчетастроительных конструкций. Межвуз. темат. сб. тр.- Л.: ЖСИ. 1983.-С. 41-48.

56. Фроянц Г. С. Параметрический резонанс и волнообразный износ рельсов// Изв. ВУЗов. Северо-Кавк. регион. Техн. науки. 1997.-№3.- С. 43-47.

57. Носарев А.В., Поляков В.Ю. Применение численного метода к анализу напряженно-деформированного состояния пути переменной жест-кости//Межвузовский сб. науч. тр.- М.: Изд. МИИТа, 1979. Вып.739. С. 40-47.

58. Леванков И. С. Влияние неравножесткости пути на шпалах и в междушпальных пролетах на силы взаимодействия пути и подвижного состава//Межвузовский сб. науч. тр.- Днепропетровск: Изд. ДИИТа, 1965. Вып. 57. С. 63-79.

59. Белоцерковский П.М. Влияние деформации сдвига в рельсе на периодическую неоднородность пути//Транспорт: наука, техника, управление." 1999.- №10.- С. 23-27.

60. Frederick С.О. Theory of rail corrugation//Proc. of the 2nd Symposium on Contact Mechanics and Wear of Rail/Wheel Systems held at Rhode Island, USA, July 1986. University of Waterloo Press, 1986.

61. Diana G., Cheli F., Bruni S., Collina A. Experimental and numerical investigation on subway short pitch corrugation//Vehicle System Dynamics Supplement. 1998. Vol. 28. P. 234-245.

62. Inglis Ch.E. The vertical path of a wheel moving along a railway track//J.of Instn of Civil Engng.- Vol. 11. No 5. P. 262-277.

63. Korb J. Parametererregung beim Rad-Schiene System//Schwin-gungen von Maschine, Fundament und Baugrund.- VDI-Ber., 1980.- No. 382.- P. 99-104.

64. Белоцерковский П.М. Исследование вертикальных параметрических колебаний и устойчивости движения нагруженного колеса по рельсу//Транспорт: наука, техника, управление.- 2000.- №2.- С. 39-44.

65. Соболев С. Л. Уравнения математической физики.- М.: Наука, 1966.- 444 с.

66. Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике,- М.: Наука, 1969.640 с.

67. Mathews P.M. Vibration of a beam on elastic foundation// ZAMM.- 1958.- Vol. 38. No 3/4. P. 105-115.

68. Mathews P.M. Vibration of a beam on elastic foundation. Part 2//ZAMM.- 1959.- Vol. 39. No 1/2. P. 13-19.

69. Zobory I., Zoller У. Dynamic response of a periodically supported railway track in case of a moving complex phasor excitation// Progress in Industrial Mathematics at ECMI 96.- Stuttgart: B.G. Teubner, 1997. P. 85-92.

70. Лаврентьев M.A., Шабат В. В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1973.- 736 с.

71. Астахов П.Н. Сопротивление движению железнодорожного подвижного состава. Тр. ВНИЖТ. Вып. 331.- М.: Транспорт. 1966.- 178 с.

72. Шахунянц Г.М. Расчеты верхнего строения пути.- М.: Трансжел-дориздат, 1951.- 264 с.

73. Коган А.Я. Динамика пути и его взаимодействие с подвижным составом.- М.: Транспорт, 1997.- 326 с.

74. Крысов С.В., Холуев В.В. Силы сопротивления движению постоянных нагрузок вдоль упругих направляющих//Динамика систем. Горький: Изд-е Горьк. ун-та. 1985.- С. 142-149.

75. Крысов С.В., Холуев В.В. Силы сопротивления движению пере-меннных нагрузок по рельсовому пути//: Машиноведение. 1988. №1- С. 91-94.

76. Велоцерковский II.М. Влияние деформации сдвига в рельсе и вертикальных параметрических колебаний на сопротивление пути движению колеса//Транспорт: наука, техника, управление.- 2001.- №6.- С.8.14.

77. Белоцерковский Ü.M. Параметрические колебания колеса железнодорожного экипажа, связанные с шагом шпал//Межвузовский сб. науч. тр.- М.: Изд. МИИТа, 1992. Вып.966. С. 15-24.

78. Belotserkovskiy P.M. On the oscillations of infinite periodic beams subjected to a moving concentrated force//J. Sound and Vibr.- 1996.- Vol. 193. No. 3. P. 705-712.

79. Белоцерковский Ü.M. Высокочастотные вертикальные колебания рельса под действием подвижной гармонической силы//Изв. РАН. Мех.тверд, тела.- 1995.- №3.- С. 197-206.

80. Belotserkovskiy P.M. High-frequency vertical vibrations of a rail under the action of a mobile harmonic force//Mech. of Solids.-1995.- Vol. 30. No. 3. P. 177-185 (пер. с русск.).

81. Belotserkovskiy P.M. Forced oscillations of infinite periodic structures. Applications to railway track dynamics//Vehicle System Dynamics Suppl.- 1998.- Vol. 28. P. 85-103.

82. Cai Z., Raymond G.P. Use of a generalized beam/spring element to analyze natural vibration of rail track and its application// Int. J. Mech. Sei.- 1994,- Vol. 36. No. 9. P. 863-876.

83. Ripke B. Hochfrequente Gleismodellierung und Simulation der Fahrzeug-Gleis-Dynamik unter Verwendung einer nicht linearen Kontaktdynamik. Fortschritt-Berichte VDI, Reihe 12. Nr. 249. Dusseldorf. VDI-Verlag. 1995.

84. Knothe K., Grassie S.L. Modelling of railway track and vehicle/track interaction at high frequecies//Vehicle System Dynamics.- 1993.- V. 22. P. 209-262.

85. Popp К., Kruse H., Kaiser I. Vehicle-Track dynamics in the mid-frequency range//Vehicle System Dynamics.- 1999.- Vol. 31. P. 423-464.

86. Mair R.I. Dynamic response of ballasted railtrack//Proc. ofthe 2nd Intern, rail sleeper conf.- 1976.- Perth.

87. Mair R.I. Natural frequency of rail track and its relationship to rail corrugation/ZCivil Engng. Trans., the Instn of Engrs. Australia.-1977. Paper 3494.

88. Вулъф И.P. Колебания балочных систем на деформируемом основании при действии подвижных нагрузок. Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МИМТ, 1982.- 149 с.

89. Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭВМ. В 2-х ч. Под ред. А.Ф. Смирнова. Ч. 1. М.: Стройиздат, 1976.- 248 с.

90. Велоцерковский П.М. Установившиеся поперечные колебания периодически сочлененной балки на однородном вязкоупругом основании под действием подвижной гармонической силы//Изв. РАН. Мех.тверд, тела.- 1997.- №б.~ С. 167-173.

91. Belotserkovskiy P.M. Steady-state transverse vibrations of a periodically jointed beam on a homogeneous viscoelastic base under the action of a moving harmonic force//Mechanics of Solids.- 1997.-Vol. 32. No. 4. P. 142-147 (пер. с русск.).

92. Ржаницын A.P. Устойчивость равновесия упругих систем.- М.: ГИТТЛ, 1955.- 475 с.

93. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем.- М.: Машиностроение, 1970.- 734 с.

94. Данович В.Д. Стационарные колебания бесконечно длинной балки, лежащей на упругом основании, под действием движущейся гармонической нагрузки//Межвуз. сб. науч. тр.- Днепропетровск: 1978, вып. 199/25.- С. 11-25.

95. Bogacz /?., Krzyzinskiy Т., Рорр К. On the generalyzation of Mathews' problem on the vibration of a beam on elastic foundation// ZAMM.- 1989.- Vol. 69. P. 243-252.

96. Bogacz R., Krzyzinskiy Т., Рорр К. On the group-phase velocity relations for continuous systems under moving load//ZAMM.~ 1990.- Vol. 70. P. T202-T203.

97. Bogacz R., Krzyzinskiy Г., Рорр К. On dynamics of system modelling continuous and periodic guideways//Arch. Mech.- 1993.-Vol. 45. P. 575-593.

98. Беляев И.А., Вологин В.А. Взаимодействие токоприемников и контактной сети.- М.: Транспорт, 1983.- 191 с.

99. Ландау J1.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. Т. б. Гидродинамика.- 3-е изд.- М.: Наука, 1986.- 736 с.

100. Belotserkovskiy P.M. Forced oscillations and resonance of infinite periodic strings//J. Sound and Vibr.- 1997.- Vol. 204. No. 1. P. 41-57.

101. Слепян Л.И. Нестационарные упругие волны.- Л.: Судостроение, 1972.- 374 с.

102. Слепян Л.И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики.- Л.: Судостроение, 1980.- 343 с.

103. Муравский Г.Б. К расчету балки бесконечной длины, лежащей на упругом основании, на действие мгновенного сосредоточенного им-пульса//Изв. АН СССР. 0ТН.- 1962.- №б.- С. 167-179.

104. Муравский Г.Б. Неустановившиеся колебания балки, лежащей на упругом основании, при действии подвижной нагрузки//Изв. АН СССР. 0ТН. Механика и машиностроение.- 1962.- №1.- С. 91-97.

105. Кузнецов А. В. Поперечный удар массивного тела по балке на упругом основании//Вестник МИИТа.- 1999.- №2.- С. 120-126.

106. Иванченко И. И. Воздействие импульсивной и подвижной нагрузки на балку, лежащую на упругом основании//Строительная механика и расчет сооружений.- 1976,- №l.- С. 44-47.

107. Шватенкб И. И. о действии подвижной нагрузки на мосты//Изв. РАН. МТТ.- 1997.- №6.- С. 180-185.

108. Зылев В. В. Вычислительные методы в нелинейной механике конструкций.- If.: НИЦ "Инженер", 1999.- 144 с.

109. Белоцерковский n.M., Мыткис А. Д. Колебания балки, возбуждаемой подвижной гармонической силой//Известия ВУЗов. Бет. науки. Се-веро-Кавк. регион.- 2000.- №3.- С. 28-30.

110. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.

111. Изд. 2-е, испр. и доп. М. : Наука, 1979.- 318 с.

112. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков: Изд. Харьк. матем. об-ва, 1892.- 250 с.

113. Сейрант А.П. Области резонанса для уравнения Хилла с демп-фированием//Докл. АН. Механика. т. 376, №1, 2001.- С. 44-47.

114. Привалова О.Г., Сейранян А.П. Закритическое поведение бимодальных оптимальных стержней//Изв. АН. MÎT.- №2, 1999.- С. 168-177.

115. Галиулин A.C., Шестаков A.A. Об определениях устойчивости механических систем//Труды XXXII научн. конф. ф-та физ.-мат. и ес-тест. наук. Ч. 2. М.: Р5УДН, 1996.- С. 15-16.

116. Галиулин А.С., Шестаков А.А. Устойчивость движения и вариационные принципы механики//Вестник РУДН. Серия "Прикладная математика и информатика"» №2.- М. :Изд. РУДН, 1996.- С. 20-28.

117. Каплунов Ю.Д., Ковалев В. А. Приближенное описание волн Рэ-лея в задачах рассеяния акустических волн упругими цилиндрами и сферами//Изв. АН. МТТ, №4.- 2000.- С. 180-186.

118. Kaplunov J.D., Kosovlch L.Yo., Nolde Г.У. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998.- 226 p.

119. Курбацкий E.H. Метод решения задач строительной механики и теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М.: ШИТ, 1995.- 205 с.

120. Курбацкий Е-И., Мазур Т.д. Численный метод решения задач теории упругости, основанный на свойствах изображений Фурье финитных функций//Вестник ШИТа. Вып. 1, 1998.- С. 135-140.

121. Курбацкий Е.Н., Захаров Д. Д. Краевые изгибные волны в анизотропных композитах//Вестник МИИТа. Вып. 4, 2001.- С.

122. Болотовский В.М. Оливер Хевисайд. М.: Наука, 1986.- 250 с.

123. Belotserkovskiy P.M. Periodic string response to an impact and a suddenly applied concentrated stationary force//J. Sound and Vibr.- 1999,- Vol. 228. No. 1. P. 51-68.