автореферат диссертации по строительству, 05.23.17, диссертация на тему:Численное моделирование в задачах надежности и устойчивости стержневых систем при воздействиях в виде случайных процессов

Введение.

Глава 1. Поведение стержня под действием продольной случайной силы как модели с одной степенью свободы.

1.1. Постановка задачи.

1.2. Вывод дифференциального уравнения движения стержня как модели с одной степенью свободы.

1.3. Численное моделирование случайных нагрузок.

1.4. Решение динамической задачи численным методом Рунге-Кутта.

1.5. Анализ результатов решения задачи о нелинейно-упругом стержне при учете малых и конечных прогибов.

1.6. Анализ результатов решения задачи об упругопластическом стержне при учете малых и конечных прогибов.

Глава 2. Продольный изгиб нелинейно-упругого стержня под действием случайных нагрузок.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вывод дифференциальных уравнений движения системы.

2.3. Численное решение задачи о продольном изгибе нелинейно-упругого стержня методом Рунге-Кутта.

-32.4. Результаты численного решения и их анализ

Глава 3. Продольный изгиб упругопластического стержня под действием случайных нагрузок.

3.1. Постановка задачи и численное решение дифференциальных уравнений движения методом Рунге-Кутта.

3.2. Результаты решения задачи об упругопластическом стержне и их анализ.

Повышающиеся экономические, эксплуатационные, технологические требования к сооружениям и непрерывно возрастающие объемы строительства выводят на первый план проблемы надежности и устойчивости строительных конструкций. В то же время, вследствие постоянного совершенствования методов расчетов, современное проектирование невозможно представить без привлечения к нему вычислительных машин, что влечет за собой потребность в разработке моделей и методов численного исследования поведения конструкций.

Впервые на вопросы надежности было указано еще в 1926 г. в работе М. Майера [86] и в 1929 г. в работе Н.Ф. Хоциалова [64], где было предложено использовать вероятностный аппарат для выбора различных параметров для расчета конструкций, позволяющий, в отличие от традиционных детерминистических подходов, более адекватно представить случайный характер нагрузок, граничных условий и других свойств рассчитываемых систем. Большую роль в деле внедрения статистических методов в строительную механику внес Н.С. Стрелецкий [60], который дал систематическое изложение статистической концепции надежности сооружений. Дальнейшее развитие теория надежности получила в работах А.Р. Ржаницина [49, 50, 51], Б.И. Беляева [10, 11], Б.И. Снарксиса [58], A.M. Фрейденталя [75, 76], А. Ионсона [81], Г. Аугусти [5] и др. Эти работы характеризуются стремлением к простейшим схемам расчета, не требующим сложного аналитического аппарата. Схемы позволили получить качественное описание явления, изучить влияние изменчивости нагрузок и изменчивости прочности на надежность, поставить задачу об оптимизации и т.д.

Для развития подхода, использующего представление параметров конструкций и нагрузок в виде случайных функций, существенное значение имеют труды В.В. Болотина [14 - 17], в которых применена теория случайных процессов к решению многих задач надежности и обобщены вопросы теории надежности строительных конструкций. Аналогичными исследованиями занимался ряд авторов и к настоящему времени имеется огромное количество работ и публикаций на эту тему.

Вопросами устойчивости применительно к стержневым системам занимались и занимаются большое количество исследователей. В этой связи нельзя не упомянуть таких известных ученых как В.В. Болотин, А.С. Вольмир, Т. Карман, Б.П. Макаров, А.Р. Ржаницин, Ф. Шенли, Л. Эйлер, Ф.С. Ясинский. Известный механик и математик A.M. Ляпунов создал теорию устойчивости решений дифференциальных уравнений движения, которая широко применяется при исследовании устойчивости движения стержневых систем. Проблемам устойчивости и неустойчивости движения, которые, так или иначе, являются различными обобщениями понятия "устойчивости по Ляпунову" посвящены работы Г.Н. Дубошина, Г.В. Каменкова, К.А. Карачарова, А.И. Лурье, И.Г. Малкина, Н.Д. Моисеева, В.Д. Потапова, Н.Г. Четаева и др.

В последние годы центр внимания постепенно сместился к динамическим задачам надежности и потери устойчивости под действием случайных нагрузок. Динамическое поведение систем при воздействиях, случайных во времени, описывается с помощью теории случайных процессов. Одним из эффективных и широко распространенных средств исследования стохастических систем является метод спектральных представлений [20, 21, 25, 26, 47, 62, 63]. Суть его состоит в распространении преобразований Фурье на случайные функции, которые представляются в виде обобщенного ряда Фурье со случайными коэффициентами. Метод спектральных представлений использован при решении многих задач механики [14 - 17, 28, 31, 40, 41, 43, 65 - 70, 78, 79, 82, 87].

Строгое решение задач динамики требует учета геометрической и физической нелинейности, то есть необходимо учитывать большие перемещения конструкции и нелинейно-упругое или упругопластическое деформирование материала. Так в работе [33] анализируется эффективность применения существующего инженерного метода расчета устойчивости физически нелинейных стержневых систем при проектировании стальных строительных конструкций. Сравнивая его с результатами численных расчетов на ЭВМ по деформированной схеме, которая учитывает как геометрическую, так и физическую нелинейность, авторы нашли значительные недостатки существующего метода и показали причины их обусловливающие. Подход, предложенный в работе [33], позволяет учитывать положительный эффект от перераспределения моментов при расчете многоярусных стержневых конструкций.

В большинстве случаев при рассмотрении нелинейных систем не удается получить решение аналитическими методами. Причиной этого является нелинейность и сложность исходных уравнений, переменность коэффициентов уравнений и т.д. В связи с этим в последнее время предпочтение отдается методам численного моделирования на ЭВМ. Такой подход реализован в большинстве работ последних лет. Например, в работах [7, 33, 53] авторы приводят свои алгоритмы численного решения задач устойчивости, которые помогали бы расчетчикам и инженерам производить расчеты с использованием компьютера.

В настоящей диссертационной работе исследуется надежность и устойчивость шарнирно-опертого физически нелинейного стержня, имеющего малое начальное искривление и находящегося под действием продольной силы. Под устойчивостью понимается устойчивость движения стержня на конечном промежутке времени. Движение стержня называется устойчивым на заданном конечном промежутке времени относительно начального возмущения и установленного предельного прогиба, если за это время максимальный полный прогиб стержня не превысил заданного предельного значения [36]. Под надежностью понимается способность безотказной работы стержня на заданном промежутке времени, где под отказом понимается потеря устойчивости движения стержня, или другими словами отказ работы стержня происходит в момент времени, когда максимальный полный прогиб стержня превысил предельное значение.

Задачи о колебаниях стержней, изучение которых начато ещё трудами Рэлея, являются одними из основополагающих в строительной механике и имеют почти необозримую литературу. Стержни являются элементом почти всех технических устройств, строительных сооружений, машин, приборов, оборудования и т. д.

В работе [18] исследуется устойчивость стержня, сжатого постоянной силой. Стержень имеет шарнирное опирание, и линия действия силы проходит через центры шарниров. Изучается устойчивость решения нелинейной задачи, описывающей деформированное состояние стержня. В работе найдены соотношения для параметров задачи, при которых происходит потеря устойчивости.

В статье [1] проводится анализ работы упругопластических стержней, имеющих симметричное или несимметричное поперечное сечение. Стержни могут быть прямолинейными или иметь начальное искривление и находятся под воздействием монотонно возрастающей сжимающей силы. Авторы проводят анализ равновесных кривых, связывающих сжимающую силу и прогиб стержня. На основе численного решения ими получено несколько равновесных кривых, построенных для различного начального искривления стержня, симметричного и несимметричного поперечного сечения.

В работе [4] устойчивость деформированного состояния стержневой системы контролируется методом, в котором используется понятие предельной нагрузки заданной конфигурации. При этом потеря устойчивости трактуется как разрушение или возникновение недопустимо больших перемещений системы.

Работы [22, 89] посвящены исследованию линейно-упругого изотропного стержня. Шарнирно-опертый стержень прямоугольного поперечного сечения сжат осевыми силами. Предлагается новый способ расчета продольно сжатых стержней на устойчивость с учетом деформации оси стержня. Проводится анализ устойчивости нелинейно-деформированного стержня с применением энергетического критерия.

До недавнего времени в изучении стержневых элементов преобладал в основном детерминистический подход, когда внешние воздействия, начальные и граничные условия для уравнений, принимаются в виде детерминированных величин и функций времени и пространственной координаты. Между тем во многих случаях они имеют явно вероятностный характер, что делает постановку и изучение всякого рода стохастических задач весьма актуальными. В то же время исследование поведения стержневых конструкций при динамическом нагружении является важнейшей задачей для развития методов проектирования, как строительных конструкций, так и самолетостроения, судостроения, ракетной техники, машиностроения и т.д. Устойчивость элементов конструкций при динамическом нагружении может отличаться от устойчивости при статическом приложении сил. Вызывают интерес вопросы устойчивости и надежности динамических систем, находящихся под воздействием случайных нагрузок. В качестве таких нагрузок могут выступать ветровые, сейсмические, снеговые, технологические (от работающего оборудования, от падения грузов, от ударов) и др. нагрузки. В настоящее время проводится большое количество исследований, касающихся стержневых систем с учетом их физической и геометрической нелинейности, работающих под воздействием случайных нагрузок. Так в работах [65 - 70, 78, 79, 85, 87] исследуется устойчивость и надежность стержневых систем, находящихся под воздействием случайных нагрузок, в том числе анализируется влияние нелинейности как физической, так и геометрической.

В работе [37] рассматривается устойчивость нелинейно-упругого стержня, находящегося под действием случайных нагрузок. Предлагается определять критическую нагрузку методом последовательного приближения. Авторы приводят результаты сравнения теоретических и экспериментальных данных.

Работа [41] посвящена устойчивости упругих и упругопластических стержней, нагруженных произвольными силами и имеющих различные закрепления на концах. Автор выводит формулы для нахождения допускаемых и критических нагрузок в практических проектировочных расчетах. Им найдены зависимости площадей поперечных сечений от заданных коэффициентов прочности и устойчивости.

Обобщая анализ существующих исследований, связанных с устойчивостью и надежностью стержневых систем, находящихся под действием случайных нагрузок, следует отметить, что несмотря на наличие большого числа работ, они не полностью раскрывают поставленную проблему. Например, одни работы рассматривают только нелинейно-упругий стержень, другие -упругопластический. Некоторые работы исследуют поведение геометрически нелинейного стержня, но не учитывают физическую нелинейность материала. В работах посвященных численным методам исследования поведения стержней описаны алгоритмы численного решения задач. В них главный упор делается на разработку программного обеспечения, но не на исследование влияния характеристик случайных процессов на способность безотказной работы стержня. Исходя из этого вопрос численного моделирования поведения нелинейно-упругих и упругопластических стержневых систем, нагруженных случайными силами, и анализ влияния характеристик случайных процессов на вероятность безотказной работы стержней выглядит актуальным и нуждается в проведении дальнейших исследований.

Исходя из всего вышеизложенного, можно сказать, что объектом исследования является устойчивость и надежность нелинейно-упругих и упругопластических стержней, находящихся под действием продольных сил в виде случайных нестационарных процессов, с учетом геометрических несовершенств.

Целью настоящей диссертационной работы является:

1. Разработка моделей для численного исследования нелинейно-упругого и упругопластического стержня, находящегося под воздействием продольных случайных нагрузок;

2. Разработка алгоритмов и программных комплексов для исследования поведения сжатого стержня, находящегося под воздействием случайных нагрузок;

3. Анализ результатов расчетов модели стержня с одной степенью свободы и модели стержня с бесконечным числом степеней свободы. Анализ влияния характеристик случайных процессов, геометрических несовершенств, а также нелинейно-упругих и упругопластических свойств материала на поведение стержня, находящегося под воздействием случайной нагрузки.

Решение этих вопросов имеет существенное значение для повышения эффективности инженерных расчетов и ускорения процесса проектирования, путем переноса их на вычислительные машины. Таким образом, повышается надежность конструкций и экономия средств, затрачиваемых на строительство, за счет снижения объемов материалов и ускорения процесса проектирования и производства.

Диссертационная работа состоит из трех глав.

В первой главе рассматривается модель стержня с одной степенью свободы, для которой выводится дифференциальное уравнение движения, учитывающее как физическую, так и геометрическую нелинейность стержня. Приводится методика численного моделирования случайных нагрузок. Показаны способы и алгоритмы решения дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта для нелинейно-упругого и упругопластического стержня. Приводятся статистические данные решения задачи, и анализируется влияние различных параметров случайного процесса на устойчивость и вероятность безотказной работы стержня. Проводится анализ влияния физической и геометрической нелинейности на работу стержня.

Вторая глава посвящена анализу модели нелинейно-упругого стержня с бесконечным числом степеней свободы. Зависимость между напряжениями и деформациями при нагружении и при разгрузке подчиняется диаграмме Прандтля. Выводится нелинейная система дифференциальных уравнений движения стержня. С помощью метода Бубнова-Галеркина система уравнений в частных производных сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведена методика решения задачи численным методом Рунге-Кутта. Проводится анализ влияния параметров случайного процесса на устойчивость и вероятность безотказной работы стержня и дается сравнение полученных статистических данных расчета с результатами рассмотрения модели стержня с одной степенью свободы.

Третья глава посвящена анализу модели упругопластического стержня с бесконечным числом степеней свободы. Зависимость между напряжениями и деформациями при нагружении подчиняется диаграмме Прандтля, а разгрузка происходит параллельно упругому участку диаграммы. Проводится большое количество расчетов и по полученным результатам выполняется анализ влияния упругопластических свойств материала и параметров случайного процесса на устойчивость и вероятность безотказной работы стержня. Проводится сравнение результатов расчетов для различных моделей стержня.

-13В заключении сформулированы основные выводы и результаты работы.

В приложениях приведены тексты программ, написанных в среде визуального программирования Delphi-4, для расчета нелинейно-упругого и упругопластического стержней, находящихся под воздействием случайных нагрузок.

Диссертация выполнена на кафедре "Строительная механика" МИИТа под руководством д.т.н. проф. В.Д. Потапова.

1.ПОВЕДЕНИЕ СТЕРЖНЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ ПРОДОЛЬНОЙ СЛУЧАЙНОЙ СИЛЫ КАК МОДЕЛИ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1.1. Постановка задачи

При исследовании работы различных конструкций в последнее время все чаще стали привлекать методы теории вероятностей и математической статистики. Среди всех видов исследований, одним из важнейших является анализ работы конструкций при действии случайных динамических нагрузок. Динамические случайные нагрузки могут быть весьма разнообразными. Например, это могут быть природные нагрузки, такие как, сейсмические, снеговые, ветровые, или технологические нагрузки - от работающего оборудования, падения грузов и т.д. При учете случайности нагрузок мы можем оценить вероятность безотказности работы конструкции, т.е. вероятность с которой конструкция способна выполнять свои функции в заданный период времени [16].

При моделировании реальных конструкций количество степеней свободы ограничивается с одной стороны точностью расчета и по возможности максимальной приближенностью к самой конструкции, с другой - объемом и количеством разрешающих уравнений и трудозатратами на проведение расчетов. Следует отметить, что в последнее время с развитием мощной вычислительной техники удается решать весьма сложные задачи.

Рис. 1.1.1. Модель стержня с одной степенью свободы

В данной главе исследуется наиболее простая модель сжатого стержня - модель с одной степенью свободы. Рассмотрим невесомый стержень, имеющий посередине сосредоточенную массу (рис. 1.1.1). Прогибы стержня считаются конечными, а перемещение массы возможно только в направлении перпендикулярном неискривленной оси стержня. Шарнирно-опертый на концах стержень, имеющий начальный прогиб, сжат продольной силой, приложенной к его концам. Материал стержня принимается упругопластическим, зависимость напряжений от деформаций подчиняется диаграмме Прандтля. В работе рассматриваются два варианта нелинейности материала:

Нелинейно-упругий материал, когда нагружение и разгрузка происходят по диаграмме Прандтля;

Упругопластический материал, когда учитываются остаточные деформации.

Основные результаты исследования могут быть сформулированы в виде следующих выводов.

1.В диссертации получены дифференциальные уравнения движения нелинейно-упругого и упругопластического стержня как модели с одной степенью свободы и для модели с бесконечным числом степеней свободы. Полученные дифференциальные уравнения в частных производных с помощью метода Бубнова-Галеркина приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям.

2. Представлена методика численного моделирования случайных нагрузок в виде нестационарного случайного процесса с различными параметрами.

3. Разработаны программные комплексы для численного исследования поведения сжатого физически нелинейного стержня, находящегося под воздействием случайных нагрузок в виде нестационарного процесса. Решение дифференциальных уравнений движения стержня происходит с помощью метода Рунге-Кутта четвертого порядка. Для учета пластических деформаций стержень разбивается по длине на достаточно большое число участков, а поперечное сечение делится на большое количество полосок по высоте.

4. С помощью разработанных программных комплексов были проведены многочисленные расчеты нелинейно-упругого и упругопластического стержня. По результатам расчетов был проведен анализ влияния различных параметров случайного процесса на устойчивость и вероятность безотказной работы стержня.

-1345. Показано, что упругопластические свойства материала оказывают существенное влияние на поведение стержня, находящегося под действием случайных нагрузок, причем характеристики перемещения стержня оказываются различными не только количественно, но и качественно для нелинейно-упругого и упругопластического стержня. 6. Разработанные программные комплексы для расчета сжатых стержней, находящихся под воздействием случайных процессов, и полученные в работе результаты можно рекомендовать к использованию проектными и научно-исследовательскими организациями при исследовании существующих и проектируемых сооружений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Александров А.В., Матвеев А.В. Предельная нагрузка для сжатых и сжато-изогнутых стержней в упругопластической стадии //Вестник МИИТа. 2000. - Вып.З. - С. 103-110

2. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1990. - 400 с.

3. Александров А.В., Потапов В.Д., Державин Б.П. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1995. - 560 с.

4. Андреев Л.Н., Кукушкина Е.П. Динамический метод исследования устойчивости сложных сжато-изогнутых стержневых систем //Фундам. исслед. в техн. ун-тах: Матер, науч.-техн. конф., Санкт-Петербург, 16-17 июня, 1997. СПб., 1997. - С.338-339

5. Аугусти Г., Баратта А., Кашиати Ф. Вероятностные методы в строительном проектировании. М.: Стройиздат, 1988. - 584 с.

6. Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М. Мир, 1982. - 488 с.

7. Багмутов В.П. Практический способ расчета сжатого стержня на устойчивость //Металловед, и прочн. матер. / Волгогр. гос. техн. ун-т. -Волгоград, 1997. С.98-105

8. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987. - 600 с.

9. Безикович Я.С. Приближенные вычисления. М.-Л.: Гостехиздат, 1949. - 463 с.

10. Беляев Б.И. Статистический метод определения нормативных напряжений для стальных конструкций //Строительная промышленность. 1954. -№3. - С.32-37

11. Беляев Б.И. Статистический метод расчета железобетонных конструкций //Строительная промышленность. 1957. - №8. -С.31-39

12. Беляев Н.М. Сопротивление материалов. М.: ГИФМЛ, 1962. - 856 с.

13. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. -504 с.

14. Болотин В.В. Динамическая устойчивость упругих систем. -М.: Гостехиздат, 1956. 600 с.

15. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1982. -351 с.

16. Болотин В.В. Применение методов теории вероятностей и теории надежности в расчетах сооружений. М.: Стройиздат, 1971. - 256 с.

17. Болотин В.В. Статистические методы в строительной механике. М.: Стройиздат, 1961. - 202 с.

18. Боднарь Т.А. Устойчивость вращающегося сжатого стержня //Прикл. мех. и техн. физ. 2000. - т.41. - №4. - С.190-197

19. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. М.: Радио и связь, 1983. - 416 с.

20. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969. - 576 с.

21. Вознесенский А.А., Кольцов В.М. Устойчивость продольно сжатых стержней //Урал. гос. техн. ун-т. Екатеринбург, 1994. - 15 с. Деп. в ВИНИТИ 19.12.94, М2946-В94.

22. Вольмир А.С. Устойчивость упругих систем. М.: Физматгиз, 1967. - 984 с.

23. Гетия С.И. Аналитическое исследование устойчивости стержневых элементов прокатного и профилировочного оборудования //Изв. вузов. Чер. металлургия. 1994. - №11. -С.38-40

24. Гихман И. И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М.: Наука, 1977. - 567 с.

25. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2001. - 479 с.

26. Гуляев В.И., Баженов В.А., Попов С.Л. Прикладные задачи теории нелинейных колебаний механических систем. -М.Высшая школа, 1989. 383 с.

27. Гусев А.С., Светлицкий В.А. Расчет конструкций при случайных воздействиях. М.: Машиностроение, 1984. - 240 с.

28. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. М.: Наука, 1967. - 368 с.

29. Дикович И.П. Динамика упругопластических балок. Л.: Судпромгиз, 1962. - 292 с.

30. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М.: Наука, 1989. -175 с.

31. Дружинин Г.В. Надежность автоматизированных производственных систем. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 480 с.

32. Иващенко A.M., Куликова Е.Н., Мишанин И.Н., Мальков А.А. Перспективы совершенствования инженерного метода расчета устойчивости стержневых систем //Пенз. гос. архит.-строит, акад. Пенза, 1992. - 29 с. - Деп. в ВИНИТИ 10.03.2000, №600-В00.

33. Ильюшин А.А. Пластичность. М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. - 376 с.

34. Капур К., Ламберсон Л. Надежность и проектирование систем.- М.: Мир, 1980. 608 с.

35. Карачаров К.А., Пилютик А.Г. Введение в техническую теорию устойчивости движения. М.: ГИФМЛ, 1962. - 244 с.

36. Макеев В.П., Гриненко Н.И., Павлюк Ю.С. Статистические задачи динамики упругих конструкций. М.: Наука, 1984. -231 с.

37. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести.- М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

38. Митропольский Ю.А., Коломиец В.Г. О воздействии случайных сил на нелинейные колебательные системы //Математ. физика и нелинейн. мех. Киев, - 1986. - №5. -С.23-34

39. Муллагулов М.Х. Проектировочный расчет стержней на устойчивость при произвольных нагрузках и условиях опирания //Изв. вузов. Стр-во. 1994. - №9-10. - С. 115-119

40. Мэйндоналд Дж. Вычислительные алгоритмы в прикладной статистике. М.: Финансы и статистика, 1988. - 350 с.

41. Нгуен Тьен Ань. Вынужденные параметрические случайные колебания в нелинейном вязкоупругом стержне //Прикл. Механика. 1987. -№23(12). - С.115-118.

42. Николаенко Н.А. Вероятностные методы динамического расчета машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1967. - 368 с.

43. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1995. - 366 с.

44. Потапов В.Д. Устойчивость вязкоупругих элементов конструкций. М.: Стройиздат, 1985. - 312 с.

45. Пугачев B.C. Введение в теорию вероятностей. М.: Наука, 1968. - 368 с.

46. Райзер В.Д. Методы теории надежности в задачах нормирования расчетных параметров строительных конструкций. М.: Стройиздат, 1986. - 192 с.

47. Ржаницин А.Р. Расчет сооружений с учетом пластических свойств материалов. -М.: Стройиздат, 1954.

48. Ржаницын А.Р. Статистическая устойчивость сжатого стержня //Проблемы надежности в строительной механике. Вильнюс, 1968. С.192-198

49. Ржаницын А.Р. Теория расчета строительных конструкций на надежность. М.: Стройиздат, 1978. - 239 с.

50. Саргсян А.Е., Дворянчиков Н.В., Джинчвелашвили Г.А. Строительная механика. М.: АСВ, 1998. - 320 с.

51. Светлицкий В.А. Устойчивость плоской формы криволинейного стержня //Изв. РАН. Мех. тверд, тела. 1999. - №3. - С.132-139

52. Кренделл С. Случайные колебания: Пер. с англ. М.: Мир, 1967. - 356 с.

53. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

54. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Стержневые системы. М.: Стройиздат, 1981. - 512 с.

55. Смирнов В.И. Курс высшей математики, т.1. М.-Л.: ГИТТЛ, 1940. - 408 с.

56. Снарксис Б.И. К статико-экономическому обоснованию запасов несущей способности конструкций //Труды АН Литовской ССР. 1962. - №1(32). - 1963. - С.27-49

57. Соболь И.М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. - 312 с.

58. Стрелецкий Н.С. Основы статистического учета коэффициентов запаса прочности сооружений. М.: Стройиздат, 1947. - 92 с.

59. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле. М.: Наука, 1967. - 444 с.

60. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 528 с.

61. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.2: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. - 738 с.

62. Хоциалов Н.Ф. Запасы прочности. //Строительная промышленность. 1929. -№10.

63. Abdel Gawad E.F., El Tamil M.A. and Nassar M.A. Nonlinear Oscillatory Systems with Random Excitation //Modell., Simul. and Contr. В., 1989. 23(1): 55-63.

64. Ahmadi G. and Mostaghel N. On the Stability of Nonstationary Nonlinear Random Systems //Int. J. System Sci., 1976. 7: 685695.

65. Ariaratnam S.T. and Xie W.-C. Dynamic Snap-Buckling of Structures Under Stochastic Loads //In Stochastic Structural Dynamics (Eds. Ariaratnam S.T., Schueller G.I., and Elishakoff I.)., 1988. Elsevier, London, pp. 1-20.

66. Billah K.Y.R. and Shinozuka M. Random Vibrational Response and Stability Study of Long-Span Bridges //J. Appl. Mech. -1994. 61(2): 302-308.

67. Bily M. and Cacko J. Simulation of Random Process with Various Probability Density Functions //J. Sound and Vibr. 1982. -81(3): 393-403.

68. Bouc R., Boussaa Dj. Drifting respons of elastic perfectly plastic oscillators under zero mean random load //C. R. Acad. Sci. Paris, t.329, Serie 11 b, p.323-329. 2001.

69. Bouleau N. and Lepingle D. Numerical Methods for Stochastic Processes //John Wiley & Sons, New York., 1994.

70. Cai G.Q. and Lin Y.K. Comparing Quasi-Conservative Averaging and Dissipation Energy Balancing Methods in Non-Linear Random Vibration //Int. J. Non-Linear Mech. 1997. - 32(1): 121-126.

71. Dimentberg M. Statistical Dynamics of Nonlinear and Time-Varying Systems //Research Studies Press., 1988. Taunton, England.

72. Folic R., Dordevic R. On the dinamical behaviour of the fixed elasto-plastic beam //Bull. Appl. Math. 1991. - 60B, №762778. -C.357-366.

73. Freudenthal A.M. Safety and probability of structural failure //Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1954. - №408.

74. Freudenthal A.M. The safety of structures //Journ. Struct. Div. (Proc. ASCE), vol. 112, 147, pp. 125-180.

75. Grigoriu M. Response of Dynamic Systems to Poisson White Noise //J. Sound and Vibr. 1996. - 195(3): 375-389.

76. Ibrahim R.A. Recent Results in Random Vibrations of Nonlinear Mechanical Systems //Trans. ASME. J. Mech. Des. 1995. -Special 50th Anniv, Des. Eng. Div., 117(2): 222-233.

77. Iyengar R.N. A Nonlinear System Under Combined Periodic and Random Excitation //J. Statistical Physics. 1986. - 44: 907-920.

78. Iyengar R.N. Multiple Response Moments and Stochastic Stability of a Non-Linear System //In Stochastic Structural Dynamics (Eds. Ariaratnam S.T., Schueller G.I., and Elishakoff I.). 1988. -Elsevier, London, pp. 159-172.

79. Johnson A.I. Strength, safety and and economical dimensions of structures //Bill. Div. Struct. Engng, Roy. Inst. Technology, Stockholm. 1953. -№12.

80. Kusaba-Pietal A. and Laudanski L. Modelling Stationary Gaussian Loads //Zesz. Nauk. Mech./PSL. 1995. - 121: 173-181.

81. Landa P.S. Nonlinear Oscillations and Waves in Dynamical Systems //Kluwer Academic Publishers, Amsterdam., 1996.

82. Lin H. and Yim S.C.S. Analysis of a Nonlinear System Exhibiting Chaotic, Noisy Chaotic and Random Behaviors //J. Appl. Mech. -1996. 63(2): 509-516.-143

83. Lin Y.K. and Cai G.Q. Stochastic Stability of Non-Linear Systems //Int. J. Non-Linear Mech. 1994. - 29(4): 539-553.

84. Maier M. Die Sicherkeit der Bauwerke und ihre Berechnung nach Grenzkraften anstatt nach zulassigen Spannungen. Berlin, Springer-Verlag., 1926.

85. Potapov V.D. Stability of Stochastic Elastic and Viscoelastic Systems. J. Wiley and Sons, Ltd., 1999.

86. Ulo Lepik On dynamic buckling of elastic-plastic beams //Int. J. Non-Linear Mech., 35(2000): 721-734.

87. Wu Baisheng Secondary buckling of an elastic strut under axial compression // Z. angew. Math, und Mech. -1995. -75, №10. -c. 741-751.