автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

На правах рукописи

Рябенко Анна Андреевна

Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 б т 2013

Москва - 2013

005059255

Работа выполнена в Федеральном государственно бюджетном учреждении науки Вычислительный центр им. А.А.Дородницына Российской академии наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Абрамов Сергей Александрович

Официальные оппоненты:

Гердт Владимир Петрович, доктор физико-математических наук, профессор, начальник сектора алгебраических и квантовых вычислений научного отдела вычислительной физики лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований

Крюков Александр Павлович, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник отдела теоретической физики высоких энергий НИИ ядерной физики имени Д.В. Скобельцына, МГУ имени М.В. Ломоносова

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Российский университет дружбы народов»

Защита диссертации состоится «23» мая 2013 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д.002.087.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте системного программирования Российской академии наук по адресу: 109004, Москва, ул. Александра Солженицына, д.25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института системного программирования Российской академии наук.

Автореферат разослан «19» апреля 2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

канд.физ.-мат.наук

/Прохоров С.П./

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Значительная часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена линейным уравнениям. Алгоритмы решения линейных уравнений с помощью рядов достаточно подробно разработаны и реализованы как численно, так и символьно. С помощью этих алгоритмов для решения в виде ряда Уп(х ~ а)" в заданной точке а можно найти любое заданное число начальных коэффициентов г>о, •. • г>лг. Численными методами их значения находятся приближенно, символьными вычислениями — точно.

Частный случай линейного уравнения — уравнение с полиномиальными коэффициентами — изучается в компьютерной алгебре особо. Последовательность {г>„}^0 в этом случае удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами.

В работах С.А. Абрамова, М. Петковшека предложены алгоритмы построения для однородных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами решений в виде рядов с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке и алгоритмы поиска точек, где такие решения существуют. С. А. Абрамовым разработан алгоритм построения для однородного дифференциального уравнения решений в виде т-разреженных рядов и алгоритм поиска то-точек, то есть точек, где существуют т-разреженные решения.

В случае неоднородного дифференциального уравнения Ьу{х) = /(х) такого, что для его правой части известен аннулирующий дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами, то есть М/(х) = 0, задача поиска решений обычно сводится к поиску решений однородной задачи МоЬу(х) = 0. Однако при этом возрастает порядок уравнения, степень коэффициентов, будут получены "лишние" решения. Все это сильно сказывается на эффективности известных алгоритмов. В связи с этим необходимо разработать алгоритмы поиска решений в виде рядов, коэффициенты которых задаются явной функцией от индекса, а так же алгоритмы поиска точек, где существуют такие решения, для случая неоднородных дифференциальных уравнений, сравнимые по эффектив-

ности с алгоритмами для случая однородных уравнений.

Так же необходим эффективный по временным затратам алгоритм поиска 771-точек для однородного дифференциального уравнения, поскольку первоначальный алгоритм, основанный на вычислении наибольшего общего правого делителя линейных операторов, зависящих от параметра, сильно затратен по времени.

В особой точке дифференциального уравнения существует фундаментальная система формальных экспоненциально-логарифмических решений, которые содержат конечное число степенных рядов. Построение этих решений в системах символьных вичислений исследовано Э. Турнье, Э. Пфлюге-лем. Последовательности коэффициентов рядов, входящих в формальные решения, удовлетворяют системе линейных рекуррентных соотношений, с помощью которых вычисляется любое заданное число начальных коэффициентов рядов. В связи с этим возникает вопрос о построении для дифференциального уравнения экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды, коэффициенты которых могут быть выписаны явно. Для этого следует изучить возникающую здесь систему рекуррентных соотношений и разработать алгоритм поиска ее решений.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей работы является разработка новых компьютерно-алгебраических алгоритмов решения с помощью формальных степенных рядов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, однородных и неоднородных, и реализация этих алгоритмов.

Научная новизна. В диссертационной работе получен ряд результатов, обладающих научной новизной:

• Утверждение о множестве гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами перенесено на случай неоднородного уравнения Ьу(х) = /(х) с такой правой частью, для которой известен аннулирующий ее дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами: М/(х) — 0. Обыкновенной точкой такого уравнения называется точка обыкновенная и для оператора Ь, и для оператора М. Показано, что если произвольная

обыкновенная точка уравнения является гипергеометрической, то и все обыкновенные точки — гипергеометрические. Этот результат является новым для случая неоднородного уравнения. Разработан и реализован алгоритм построения решения в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке для неоднородного уравнения.

• Для поиска тп-точек разработан и реализован новый, более эффективный по времени, чем разработанный ранее, алгоритм, использующий модулярно-вероятностный подход.

• Поставлена новая задача поиска решений для системы рекуррентных соотношений специального вида, возникающей при построении формальных экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения Ьу(х) = 0. Разработан и реализован алгоритм построения гипергеометрических и даламберовых решений такой системы. Разработан и реализован алгоритм поиска формальных экспоненциально-логарифмических решений Ьу{х) = 0, содержащих ряды с гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами.

• Разработаны

— процедуры построения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами, а также содержащих разреженные ряды;

— процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовые точки, а также множества кандидатов в т-точки.

Разработанные процедуры реализованы в пакете 31о<1е для системы компьютерной алгебры МАРЬЕ.

Практическая и теоретическая ценность. Предложенные в диссертационной работе алгоритмы и их реализация будут полезны при решении любой задачи — теоретической, либо из прикладной области, — требующей поиска решений линейного дифференциального уравнения.

Практическая ценность данной работы подтверждается тем, что представленная реализация — пакет Slode — включена в систему компьютерной алгебры MAPLE. Первый вариант пакета включен в 1999 г. в MAPLE 6; его расширения включены в последующие версии этой системы. В качестве примеров использования Slode приведем два случая.

С помощью этого пакета была решена задача разложения алгебраической функции в дробно-степенной ряд с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами и определения точек, где такие разложения возможны.

Также Slode был использован для иллюстрации одной из возможностей систем компьютерной алгебры — проведении серии символьных экспериментов, приводящей к выдвижению гипотезы и ее доказательству. В результате такого эксперимента была выведена еще одна формула интегрирования функции Бесселя Jn(x) для нечетных натуральных п. Показано, что для четных п аналогичной формулы не существует.

Структура пакета Slode позволяет программистам в MAPLE расширять его возможности. Если будет реализован алгоритм поиска решений нового вида для линейных рекуррентных соотношений, например, лиувиллевых решений, то в пакет можно будет добавить процедуру построения решения в виде ряда в заданной точке с такими новыми, например, лиувиллевыми, коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации были представлены в докладах на

• международной конференции «Computational Modeling and Computing in Physics», 1996, г. Дубна;

• международной конференции «Modern Trends in Computational Physics», 1998, г. Дубна;

• объединенном семинаре «Компьютерная алгебра» МГУ и ЛИТ ОИЯИ,

1998, 2003, 2005, 2007, г. Дубна;

• семинаре МГУ «Компьютерная алгебра», 1999, 2012, г. Москва;

• международной конференции «Formal Power Series and Algebraic Combinatorics», 2000, г. Москва;

• международной конференции «Computer Algebra and its Application to Physics», 2001, г. Дубна;

• международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 106-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2007, г. Москва.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них б статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 121 страницу. Список литературы содержит 39 наименований.

Содержание работы

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана значимость полученных результатов.

В первой главе приведены определения и известные алгоритмы решения однородного линейного обыкновенного уравнения Ьу{х) = 0 с помощью степенных рядов, необходимые для изложения настоящей работы.

Во второй главе разработанные С.А. Абрамовым и М. Петковшеком алгоритмы для случая однородного уравнения переносятся на случай неоднородного уравнения.

Обозначим через D оператор дифференцирования: Dy{х) = ^у(х).

Пусть К — некоторое поле характеристики 0, L — дифференциальный оператор с полиномиальными над К коэффициентами:

L = pr{x)Dr + • • • + pi{x)D + ро{х), 7

где pr(x) ф О и все коэффициенты взаимно просты: degx gcd(pr(z),... ,ро{х)) = 0.

Тогда ordL = г называется порядком оператора L, рт{х) — его старшим коэффициентом, корни старшего коэффициента называются особыми точками дифференциального оператора, остальные точки называются обыкновенными.

Рассматриваем дифференциальное уравнение Ly(x) = f(x) с такой правой частью f{x), что известен аннулирующий ее дифференциальный оператор M с полиномиальными над К коэффициентами:

Особыми точками такого неоднородного уравнения назовем точки, которые являются особыми либо для оператора Ь, либо для оператора М. Остальные точки назовем обыкновенными. В этой главе предложен алгоритм построения для Ьу(х) = /(х) в заданной точке а решения в виде ряда

с полиномиальными (уп € К(а)[п]), рациональными (и„ € К(а)(п)), гипергеометрическими е К(а)(п)) коэффициентами. Сформулирован и обоснован следующий алгоритм построения для неоднородного уравнения с правой частью указанного вида множества гипергеометрических точек, то есть точек в которых существуют решения в виде рядов с гипергеометрическими коэффициентами:

• проверяются все особые точки уравнения;

• проверяется одна обыкновенная точка и, если в ней существует гипергеометрическое решение, то и в любой обыкновенной точке существует гипергеометрическое решение.

Результаты второй главы опубликованы в работе [5].

В третьей главе для однородного уравнения Ьу(х) = 0 рассматривается построение т-разреженных решений и построение множества т-точек,

Mf(x) = 0.

00

(1)

то есть множества таких точек а, где существуют т-разреженные решения. Для натурального т ^ 2 ряд (1) называется т-разреженным, если, начиная с некоторого места, только каждый гп-й коэффициент ьп может быть отличен от 0. Т.е. существует целое Л^, 0 ^ ./V < ггс, такое, что

(и„ Ф 0) =Ф (п = N (тос! ш))

для всех достаточно больших п.

Первый алгоритм, разработанный С.А. Абрамовым, построения множества т-точек основан на вычислении наибольшего общего правого делителя дифференциальных и разностных операторов, зависящих от параметра. Во-первых, вычисляется

Ь = СС1Ш(8р1(Ьа)),

где 8р1(1/') — т-расщепление оператора Ьа = Р'(х + а) а ~ параметр. Полученный оператор Ь является правым т-разреженным с постоянными коэффициентами делителем Ь максимально возможного порядка. Если охйЬ > 0, то любая точка является т-точкой для Ьу{х) = 0. Во-вторых, когда отйЬ = 0, разыскиваются все значения параметра а, при которых

огсЮС1Ж(8р1(Да)) > 0,

где Яа — разностный оператор, соответствующий рекуррентному соотношению для коэффициентов решения в виде ряда в точке х = 0 уравнения Ьау(х) = 0, а — параметр. Множество этих значений а — конечно, является множеством т-кандидатов для Ьу{х) = 0, то есть заведомо содержит все т-точки уравнения Ьу{х) = 0.

Этот алгоритм тем менее эффективен, чем выше степени полиномиальных коэффициентов операторов. Кроме того, если, например, множество тп-точек пусто, то вычислительных ресурсов может не хватить для завершения работы.

Здесь предлагается новый, модулярно-вероятностный подход построения Ь и конечного множества т-кандидатов при огс1 Ь = 0. Теперь наибольший общий правый делитель строится только для операторов, не зависящих от параметра. Для построения Ь вычисляется <7,- = СС1Ш(#_1, зр1(Ьа))|а=а( (зо = 0) при нескольких значениях щ, до тех пор, пока не будет получен

оператор дi с постоянными коэффициентами. Для построения конечного множества т-кандидатов выбирается два взаимно простых оператора из эр1( Д") и вычисляется их результант Рщ(а) е К[а] при разных значениях п = щ до тех пор, пока не будет получен РП{1 (а) Ф 0. Корни полинома РПч (а) образуют множество т-кандидатов, которое можно уточнить, продолжив вычисления результанта при других значениях п. Вычисления останавливаются случайным образом, с вероятностью, учитывающей ¿е^РЩг(а), с!с§Рп>(а) и количество выполненных шагов.

Эффективность этого подхода демонстрируется серией испытаний, сравнивающих время работы реализаций в МАРЬЕ предыдущего и нового алгоритма.

Результаты третьей главы опубликованы в работе [4]. Модулярно-веро-ятностный алгоритм разработан совместно с С. А. Абрамовым.

В четвертой главе рассматривается построение формальных экспоненциально-логарифмических решений однородного уравнения Ьу(х) = 0 в его особой точке. Пусть х = 0 — особая точка. Уравнение записываем следующим образом:

хгЬг(х)у^(х) + хг~Х-1 (х)у{г~1)(х) + • • • + Ь0(х)у(х) = 0, (2)

где Ьг Ф 0, Ь); 6 К [ж] для 0 < к ^ г, и существует к такое, что 6^(0) ф 0. Если Ьг(0) ф 0, то х = 0 называется регулярной особой точкой, иначе — нерегулярной особой. В случае регулярной особенности (2) имеет фундаментальную систему решений, называемых регулярными, вида

/ ОО / \ °°

Ф(х) = хх 1п'(х) Х>о,п*п+ Г ) \п°-\х) £>,„*» + • • •

\ п=О * ^ п=0

оо п=О

где в ^ 0, а А - корень определяющего уравнения для (2) в точке х = 0:

А(А — 1)... (А — г+1) Ьг(0) + • • •

• • • + А(А - 1) Ь2(0) + А Ъг{0) + Ц0) = 0.

Последовательности {г>о,п}^1о > • ■ •' удовлетворяют "треугольной"си-

стеме линейных рекуррентных соотношений

где До, ..-,Яа £ К(А)[п, Е *] — разностные операторы с полиномиальными

В данной главе рассматривается построение таких регулярных решений, что коэффициенты рядов являются гипергеометрическими или даламберовы-ми, тогда регулярное решение можно выписать в явном виде. Для решения этой задачи необходимо уметь решать "треугольную" систему. Предлагается следующий алгоритм.

Если рекуррентное соотношение Лоу„ = 0 имеет гипергеометрическое (даламберовое) решение {«о,п}^°=и, то оно находится с помощью алгоритмов решения однородных рекуррентных соотношений, разработанных М. Петков-шеком, С.А. Абрамовым, Е.В. Зимой. Тогда вся система будет иметь решение (б,..., {ао,п}^1()), где в — последовательность из нулей.

Далее, возможны две альтернативы:

• Яхао,« = 0;

• ЛгОо п = /3„, тогда {(Зп}™= о ~~ гипергеометрическая (даламберова) последовательность.

В первом случае система будет иметь второе решение (9,... ,в, {а'о,п}^10, в). Во втором, мы можем найти гипергеометрическое (даламберово) решение для Я{)Уп = —(1)Рп с помощью алгоритмов для неоднородного рекуррентного соотношения. Если такое решение {а11П}^.0 существует, то система будет иметь решение (в,..., в, {ао,п}^1о > {а1,п}^=0)- Последовательно решая соотношения "треугольной" системы, мы находим все гипергеометрические (даламберовы) решения системы и, затем, все регулярные решения исходного дифференци-

Дог>о,п = 0, Дог>1,„ + ЯгЩп = 0,

(3)

от п коэффициентами, Е — оператор сдвига: Екуп = ьп+к для к € Ъ.

ального уравнения, содержащие ряды с гипергеометрическими (даламберо-выми) коэффициентами.

Таким же образом, для то ^ 2 находятся все то-гипергеометрические (m-даламберовы) решения системы (3), если оператор Rq — m-разреженный. Если Ro не является то-разреженным и возникает необходимость решать неоднородное рекуррентное соотношение, то часть решений системы может быть не найдена, но при этом возможно найти все решения дифференциального уравнения, содержащие ряды с то-гипергеометрическими (то-даламберо-выми) коэффициентами.

В случае нерегулярной особенности х = 0 для уравнения Ly(x) = 0 методом многоугольников Ньютона, разработанным и реализованным Э. Турнье, Э. Пфлюгелем, строим формальные экспоненциально-логарифмические решения вида

x(t) = to, y(t) = (4)

где p 6 N, Q — полином, Ф(£) — регулярное решение дифференциального уравнения = 0, полученного из (2) после преобразования перемен-

ных (4). К уравнению Li<b{t) = 0 применяется предложенный алгоритм для поиска регулярных решений, содержащих ряды с гипергеометрическими (да-ламберовыми) коэффициентами.

Результаты четвертой главы опубликованы в работах [3, 8, 9].

В пятой главе дано описание пакета Slode для системы компьютерной алгебры MAPLE, предоставляющего процедуры решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов. В пакете реализованы как новые алгоритмы, представленные в этой работе, так и разработанные ранее другими авторами. Пакет позволяет работать с уравнениями, коэффициенты которых являются полиномами над полем рациональных чисел Q, которое может быть расширено несколькими параметрами и одним алгебраическим над Q числом. В неоднородном случае правая часть может быть рациональной над Q (или его расширением) функцией, может быть представлена в виде ряда с коэффициентами, записанными формулой от индекса. Уравнение задается как принятым в системе MAPLE образом, так и с помощью LODEstruct-етруктуры, предложенной в пакете.

Процедуры FPseries, FTseries построения решения в виде степенного

ряда в некоторой точке а формируют ответ в виде РРЗэЪгисЪ-структуры, разработанной для этого пакета. Точка а может быть рациональным числом, алгебраическим над (0, либо бесконечно удаленной точкой.

Процедуры сапсИс^е_роз.1ГЬз, сап<Ис^е_трод.1гЬ5 вычисляют множество кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, да-ламберовые точки и в тп-точки уравнения. Множество кандидатов включает в себя множество искомых точек (полиномиальных и т.д.) и отличается от него лишь конечным числом точек.

Процедуры ро1упопиа1_зег1ез_зо1, га-Ь1.опа1_зег1ез_во1,

11уре^еот_зег1ез_зо1, (1А1етЬег-1;1ап_зег1ез_зо1, тзрагзе_зег1ез_зо1, тЬуре^еот_зег1ез_зо1 построения решений в виде ряда с коэффициентами указанного типа строят решения либо в заданной пользователем точке, либо в точках, определенных candidate_points (candidate_mpoints, соответственно).

Процедуры Ьурег5еот_£огта1_зо1, тЬурег§еот_:£ огта1_зо1, dAlembertian_formal_sol строят в заданной точке формальные экспоненциально-логарифмические решения дифференциального уравнения, содержащие ряды с гипергеометрическими, т-гипергеометрическими, ш-даламберо-выми коэффициентами.

Результаты пятой главы опубликованы в работах [1-3, 6, 10], так же описание интерфейса пакета дано в справочной системе МАРЬЕ, доступной по адресу http://www.maplesoft.com/support/help.

Заключение

Основные результаты диссертационной работы:

1. Алгоритмы построения решений в виде рядов у(х) = Х^о ~ °)п с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами и алгоритмы поиска точек а, где такие решения существуют, для случая однородного дифференциального уравнения Ьу(х) = 0 перенесены на случай неоднородного уравнения Ьу(х) = /(ж) с правой частью, для которой известен аннулирующий дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами.

2. Разработан модулярно-вероятностный алгоритм построения множества m-точек для Ly{x) = 0, т.е. таких точек а, что, начиная с некоторого места, в последовательности {г>п}^о ненулевым может быть только каждый m-й элемент.

3. Разработан алгоритм поиска гипергеометрических и даламберовых решений системы рекуррентных соотношений, возникающей в задаче построения в особой точке дифференциального уравнения формальных экспоненциально-логарифмических решений.

4. В системе компьютерной алгебры MAPLE реализован пакет Slode, предоставляющий

- процедуры поиска решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально-логарифмических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами;

- процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовы точки дифференциального уравнения, а также множества кандидатов в т-точки.

Список публикаций по теме диссертации

[1] Рябенко A.A. Мар1е-пакет символьного построения решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в виде степенных рядов // Программирование. 1999. № 5. С. 71-80.

[2] Митичкина А. М., Рябенко А. А. Представление алгебраических функций в виде степенных и дробно-степенных рядов специального вида // Программирование. 2001. № 1. С. 10-17.

[3] Рябенко А. А. Формальные решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие ш-гипергеометрические ряды // Программирование. 2002. № 2. С. 49-60.

[4] Абрамов С. А., Рябенко А. А. Разреженные степенные ряды и параметризованные линейные операторы // Программирование. 2004. № 2. С. 36-41.

[5] Рябенко А. А. Символьное решение неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов // Программирование. 2006. № 2. С. 78-80.

[6] Абрамов С. А., Рябенко А. А. Об одной компьютерно-алгебраической технологии // Программирование. 2008. № 2. С. 9-13.

[7] Abramov S.A., Petkovsek М., Ryabenko А.А. Special formal series solutions of linear operator equations // Descrete Mathematics. 2000. Vol. 210. Pp. 3-25.

[8] Ryabenko A. A. Special formal series solutions of linear ordinary differential equations // Proc. FPSAC'00. 2000. Pp. 356-366.

[9] Ryabenko A. A. Some formal solutions of LODE // Сборник тезисов международной конференции «Computer Algebra and its Application to Physics». 2001. P. 260.

[10] Абрамов С. А., Рябенко А. А. Формулы интегрирования функций Бесселя J2k+i{z)i У2к+1 (z), полученные с помощью системы компьютерной алгебры // Сборник тезисов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной 106-летию со дня рождения И.Г.Петровского. 2007. С. 261-262.

Подписано в печать: 19.04,2013 Объем 1,0 п. л Тираж 100 экз. Заказ № 64 Отпечатано в типографии «Реглет» 119606, г. Москва, пр-т Вернадского, д. 39 (495) 363-78-90; www.reglet.ru

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Вычислительный центр им. A.A. Дородницына Российской академии наук

На правах рукописи

0«01356920

Рябенко Анна Андреевна

Символьное решение линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью

степенных рядов

05.13.11 - Математическое и программное обеспечение вычислительных машин, комплексов и компьютерных сетей

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., проф. Абрамов С.А.

Москва - 2013

Содержание

Введение ................................... 4

Глава 1. Предварительные сведения о решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов 13

1.1. Решение уравнений в обыкновенных и в особых точках.....15

1.2. Решение уравнений с полиномиальными коэффициентами ... 17

1.3. т-Разреженные решения и т-точки................25

1.4. Экспоненциально-логарифмические решения...........28

Глава 2. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов с гипергеометрическими коэффициентами............32

2.1. Решение неоднородных уравнений с помощью рядов......33

2.2. Решения в виде рядов с гипергеометрическими коэффициентами 38

2.3. Гипергеометрические точки неоднородных уравнений......41

2.4. Решения в виде рядов с коэффициентами других видов .... 44

Глава 3. Эффективное построение множества т-точек.....46

3.1. Модулярный алгоритм построения для дифференциального оператора разреженного правого делителя с постоянными коэффициентами .............................47

3.2. Модулярно-вероятностный алгоритм построения конечного множества, содержащего все т-точки.................51

Глава 4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с т-гипергеометрическими коэффициентами . 58 4.1. т-Гипергеометрические решения однородных и неоднородных

рекуррентных соотношений.....................59

4.2. Построение общего экспоненциально-логарифмического решения дифференциального уравнения................75

4.3. ш-Гипергеометрические решения "треугольной" системы рекуррентных соотношений........................79

4.4. Экспоненциально-логарифмические решения, содержащие ряды с га-даламберовыми коэффициентами.............83

Глава 5. Пакет 31ос1е...........................85

5.1. Представление входных данных в 31ос1е.............87

5.2. Представление выходных данных в 31ос1е ............89

5.3. Процедуры построения решений в виде формального ряда ... 94

5.4. Процедура построения множества точек кандидатов......97

5.5. Процедура построения множества ш-кандидатов ........99

5.6. Процедуры построения решений в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами...........................102

5.7. Процедура построения т-разреженных решений.........106

5.8. Процедура построения т-разреженных т-гипергеометрических решений................................109

5.9. Процедуры построения формальных решений..........111

Заключение..................................115

Литература..................................117

Введение

Актуальность работы. Значительная часть теории обыкновенных дифференциальных уравнений посвящена линейным уравнениям (см. [1-5]). Алгоритмы решения линейных уравнений с помощью рядов достаточно подробно разработаны и реализованы как численно, так и в системах компьютерной алгебры. С помощью этих алгоритмов для решения в виде ряда Х^о уп{% ~ а)п в заданной точке х = а можно найти любое заданное число начальных коэффициентов Уо,У\,.. .Ум- Численными методами их значения находятся приближенно, компьютерно-алгебраически — точно.

Частный случай линейного уравнения — уравнение с полиномиальными коэффициентами — изучается в компьютерной алгебре особо ([6, 7]). Последовательность К}~0 в этом случае удовлетворяет линейному рекуррентному соотношению с полиномиальными коэффициентами ([8, 9],[10]).

Использование алгоритмов С А. Абрамова, М. Петковшека построения полиномиальных, рациональных, гипергеометрических, даламберовых решений рекуррентного соотношения (см. [8, 11-15]) дает возможность поиска для дифференциального уравнения решения в виде ряда в заданной точке с коэффициентами, которые можно записать формулой от индекса (и тогда ряд полностью выписывается в явном виде).

С помощью алгоритма П.Е. Глотова (1998) поиска наибольшего общего делителя полиномов Оре, зависящих от параметра (см. [16]), осуществляется поиск разреженных правых делителей разностного оператора и, затем, построение для дифференциального уравнения решения в виде разреженного ряда.

В работах С.А. Абрамова, М. Петковшека (1996, 2000) было показано, как построить множества полиномиальных, рациональных, гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения, то есть таких то-

чек, в которых существует решение в виде ряда с полиномиальными, соответственно, рациональными и гипергеометрическими коэффициентами (см. [9], [10]). С.А. Абрамовым (1997, 2000) рассмотрен вопрос построения множества т-точек, то есть точек, в которых существуют решения в виде разреженных рядов (см. [17-19]). С.А. Абрамовым, М. Баркату (2009) — даламберовых точек (см. [20]).

Таким образом, были созданы теоретические основы поиска для однородного линейного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами всех решений в виде рядов с полиномиальными и другими указанными выше коэффициентами. Возникла необходимость реализации разработанных алгоритмов для их тестирования и дальнейшего развития. В системе компьютерной алгебры МАРЬЕ имеется эффективная реализация необходимых для этого алгоритмов решения рекуррентных соотношений (см. в [21] пакет ЪРШИюок) и алгоритма поиска наибольшего общего делителя полиномов Оре, зависящих от параметра (пакет ОгеТооЬ).

В том случае, если возникает задача решения неоднородного дифференциального уравнения Ьу(х) = /(х) такого, что для правой части уравнения известен аннулирующий ее дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами: М/(х) = 0, то неоднородная задача обычно сводится к решению задачи однородной М о Ьу(х) = 0. Однако при этом возрастает порядок уравнения, степень коэффициентов, будут получены "лишние" решения. Все это сильно сказывается на эффективности упомянутых выше алгоритмов. Возникает необходимость в алгоритмах для неоднородного случая, подобных существующим для случая однородного. Алгоритмы С.А. Абрамова, М. Петковшека, Е.В. Зимы поиска решений неоднородного рекуррентного соотношения (см. [11, 12, 22, 23]) позволяют решить эту задачу в случае поиска решений с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами в заданной точке для неоднородного диф-

ференциального уравнения, правая часть которого представляется в этой же точке рядом с полиномиальными и др. коэффициентами. Для поиска всех решений с гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами необходимо перенести на случай неоднородный алгоритмы из [9], [10], [20] поиска точек для однородных уравнений.

* * *

Если в обыкновенной точке уравнения любое его решение представимо в виде степенного ряда, то в особой точке решения можно представить в формальном экспоненциально-логарифмическом виде, который содержит конечное число степенных рядов ([6, 24, 25]). Для построения таких решений Э. Турнье (1987), Э. Пфлюгель (1996) использовали алгоритм многоугольников Ньютона и алгоритм Фробениуса. Последовательности коэффициентов рядов, входящих в формальные решения, удовлетворяют системе линейных рекуррентных соотношений с полиномиальными коэффициентами, которая позволяет, как и в случае решений в виде степенного ряда, вычислять любое заданное число начальных коэффициентов. В MAPLE выполнена реализация этого алгоритма в процедуре DEtools[formal_sol].

Аналогично, возникает вопрос о возможности поиска экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения, содержащих ряды, коэффициенты которых могут быть выписаны явно. Чтобы решить этот вопрос, необходимо изучить возникающую здесь систему рекуррентных соотношений. Она имеет специальный "треугольный" вид. Для поиска гипергеометрических решений такой системы можно использовать алгоритмы построения гипергеометрических решений однородных и неоднородных рекуррентных соотношений из [11, 13]. С помощью алгоритмов построения даламбе-ровых решений однородного ([14]) и неоднородного ([22, 23]) рекуррентного соотношения можно найти и даламберовы решения системы.

Цель диссертационной работы. Целью настоящей работы является разработка новых и реализация (как новых, так и известных) компьютерно-алгебраических алгоритмов решения с помощью формальных степенных рядов линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, однородных и неоднородных.

Научная новизна. В диссертационной работе получен ряд результатов, обладающих научной новизной:

• Утверждение о множестве гипергеометрических точек однородного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами перенесено на случай неоднородного уравнения Ьу{х) = /(х) с такой правой частью, для которой известен аннулирующий ее дифференциальный оператор М с полиномиальными коэффициентами: М/(х) = 0. Обыкновенной точкой такого уравнения называется точка обыкновенная и для оператора Ь, и для оператора М. Показано, что если произвольная обыкновенная точка уравнения является гипергеометрической, то и все обыкновенные точки — гипергеометрические. Этот результат является новым для случая неоднородного уравнения. Разработан и реализован алгоритм построения решения в виде ряда с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими коэффициентами в заданной точке для неоднородного уравнения.

• Реализация первого алгоритма поиска т-точек линейного обыкновенного дифференциального уравнения, который требует вычисления наибольшего общего правого делителя линейных операторов, зависящих от параметра, показала, что этот алгоритм сильно затратен по времени. Разработан и реализован новый, более эффективный, алгоритм поиска т-точек, использующий модулярно-вероятностный подход.

• Поставлена новая задача поиска решений для системы рекуррентных со-

отношений специального вида, возникающей при построении формальных экспоненциально-логарифмических решений дифференциального уравнения Ьу{х) = 0. Разработан и реализован алгоритм построения гипергеометрических и даламберовых решений такой системы. Разработан и реализован алгоритм поиска формальных экспоненциально-логарифмических решений Ьу{х) = 0, содержащих ряды с гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами.

• В системе компьютерной алгебры МАРЬЕ реализован пакет 81ос1е, предоставляющий пользователю

— процедуры построения для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с полиномиальными коэффициентами решений в виде формальных рядов и формальных экспоненциально-логарифмических решений, содержащих ряды с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими, даламберовыми коэффициентами, а также содержащих разреженные ряды;

— процедуры построения множества кандидатов в полиномиальные, рациональные, гипергеометрические, даламберовые точки, а также множества кандидатов в т-точки.

Интерфейс пакета, спецификация и справочная система удовлетворяют современным требованиям, предъявляемым к системам компьютерной алгебры.

Практическая и теоретическая ценность. Разработанные здесь алгоритмы и их реализация будут полезны при решении любой задачи — теоретической, либо из прикладной области, — требующей поиска решений линейного дифференциального уравнения.

Реализация алгоритмов решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами, оформленная в виде пакета Slode, включена в систему компьютерной алгебры MAPLE. Первый вариант пакета — в 1999 в MAPLE 6; его расширения включены в последующие версии этой системы. В качестве примеров использования Slode приведем два случая.

С помощью этого пакета была решена задача разложения алгебраической функции в дробно-степенной ряд с полиномиальными, рациональными, гипергеометрическими и даламберовыми коэффициентами и определения точек, где такие разложения возможны ([26]). Эта задача реализована в MAPLE в процедуре algcurves[algfun_series_sol].

Также Slode был использован в [27], [28], [29], где была рассмотрена одна из возможностей систем компьютерной алгебры — проведение серии компьютерно-алгебраических экспериментов, приводящей к выдвижению гипотезы и ее доказательству. В результате такого эксперимента была выведена еще одна формула интегрирования функции Бесселя Jn{pc) для нечетных натуральных п. Показано, что для четных п аналогичной формулы не существует.

Структура пакета Slode позволяет программистам в MAPLE расширять его возможности несложными правками. Если будет реализован алгоритм поиска решений нового вида для линейных рекуррентных соотношений, например, лиувиллевых решений ([30]), то в пакет нетрудно будет добавить процедуру построения решения в виде ряда в заданной точке с такими новыми, например, лиувиллевыми, коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты по теме диссертации были представлены в докладах на

• международной конференции «Computational Modeling and Computing in Physics», 1996, г. Дубна;

• международной конференции «Modern Trends in Computational Physics», 1998, г. Дубна;

• объединенном семинаре «Компьютерная алгебра» МГУ и ЛИТ ОИЯИ, 1998, 2003, 2005, 2007, г. Дубна;

• семинаре МГУ «Компьютерная алгебра», 1999, 2012, г. Москва;

• международной конференции «Formal Power Series and Algebraic Combinatorics», 2000, г. Москва;

• международной конференции «Computer Algebra and its Application to Physics», 2001, г. Дубна;

• международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной 106-летию со дня рождения И.Г. Петровского, 2007, г. Москва.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 10 печатных работах, из них 7 статей в рецензируемых журналах из перечня ВАК [10, 26, 28, 31-34] и 3 статьи в сборниках трудов конференций [27, 35, 36].

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, заключения, списка литературы. Общий объем работы составляет 121 страницу. Список литературы содержит 39 наименований.

Используемые обозначения

М, Z, Q, С — множество натуральных, целых, рациональных, комплексных чисел;

К [ж] — кольцо полиномов над К;

~К(х) — поле рациональных функций над К;

К.-^ — пространство векторов длины N над К;

Г 1 оо

|^п}п=о — последовательность элементов Уо,У\,...; УП1..п2 — вектор (уП1, Уп1+1, ..., УП2)\ в — последовательность из нулей;

Б — оператор дифференцирования: Ику(х) = у^к\х) для к ^ 0;

Е — оператор сдвига: Екуп = уп+к для к €

gcd(р, д) — наибольший общий делитель полиномов;

ССГШ^, М) — наибольший общий правый делитель операторов;

М о Ь — произведение операторов;

^еёхР(х) ~~ степень полинома;

огс11/ — порядок оператора;

ОХ0(Ь) — пространство решений в виде ряда в точке хо для Ьу(х) — 0; С(К)^По — пространство последовательностей {г;Г1}^=0 таких, что Иуп = О

для п ^ По, считая, что уп — 0 при п < 0; С(Д) = С(Л)> о;

Пеэи^ап^Д В) — результант операторов;

с^ М — определитель матрицы М;

/(х)\х=х0 — значение выражения /(х) при х = хо;

0 — пустое множество;

А- = Л(Л — 1) • • • (Л — /с + 1);

(п\ _ п!

\к) ~ Щп-к)\>

Н — множество всех гипергеометрических последовательностей;

С(Х) — линейная оболочка множества Х\ □ — конец доказательства, конец примера.

Глава 1

Предварительные сведения о решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью рядов

В этой главе приведены определения из теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимые для решения поставленных в диссертационной работе задач. Приводятся теоремы и алгоритмы, использовавшиеся и получившие развитие в работе, а так же реализованные в пакете 31ос1е.

В разделе 1.1 приводятся определения формального решения в виде ряда для дифференциального уравнения, особых и обыкновенных точек уравнения, формального экспоненциально-логарифмического решения. В разделе 1.2 для уравнения с полиномиальными коэффициентами приводится формула построения рекуррентного соотношения для последовательности коэффициентов решения. Дается ссылка на алгоритм построения пространства решений в виде ряда для однородного уравнения и неоднородного уравнения с полиномиальной правой частью. Определяются понятия гипергеометрической, даламберовой последовательности, гипергеометрических, даламберовых точек дифференциального уравнения. Приводится алгоритм построения множества гипергеометрических точек для случая однородного дифференциального уравнения.

В разделе 1.3 приведены определения га-разреженного ряда, ш-точек и алгоритмы построения т-разреженных решений и множества га-точек, предложенные в работах [17-19].

Раздел 1.4 посвящен формальным экспоненциально-логарифмическим

решениям, которые строятся с помощью алгоритмов Фробениуса и Ньютона в особых точках однородного уравнения с полиномиальными коэффициентами. Приводятся определения нерегулярной части формального решения, числа ветвлен