автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели колебательных процессов в ансамблях связанных осцилляторов Тоды

На правах рукописи

Дворак Антон Александрович

Математические модели колебательных процессов в ансамблях связанных осцилляторов Тоды

Специальность 05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ 1 2 ФЕВ 2015

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Саратов 2015

005558911

005558911

Работа выполнена на кафедре «Радиотехника и телекоммуникации» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Астахов Владимир Владимирович,

доктор физико-математических наук, профессор

Селезнёв Евгений Петрович,

доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора по научной работе СФ ИРЭ им. В.А. Котельни-кова РАН, г. Саратов; Куровская Мария Константиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры нелинейной физики, «Национальный исследовательский Саратовский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского», г. Саратов; ОАО «Научно-производственное предприятие «Алмаз», г. Саратов

Защита состоится «25» марта 2015 г. в 13 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.242.08 при Саратовском государственном техническом университете имени Гагарина Ю.А., расположенном по адресу 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, корп. 1, ауд. 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Автореферат разослан « » февраля 2015 г.

Ученый секретарь А.А. Терентьев

диссертационного совета

Общая характеристика работы Актуальность работы

Нелинейные диссипативные осцилляторы при внешнем гармоническом воздействии, например такие как математический маятник, осциллятор Дуф-финга, осциллятор Уеды, осциллятор Тоды, являются базовыми моделями нелинейной динамики и играют большую роль при выявлении и описании разнообразных нелинейных явлений. Одиночные осцилляторы и системы связанных автономных и неавтономных нелинейных осцилляторов демонстрируют такие явления как нелинейный и стохастический резонанс, мультистабиль-ность, возбуждение квазипериодических колебаний и синхронизация движений на торе, универсальные сценарии перехода к хаосу, хаотические колебания с одним и более положительными показателями Ляпунова. Проблемам математического моделирования перечисленных явлений в нелинейных осцилляторах посвящено большое количество работ. Наиболее существенный вклад в этом направлении был внесен следующими авторами: P.S. Linsay, Т. Klinker, W. Meyer-Ilse, J. Kozlowski, U. Parlitz, W. Lauterborn, К. Geist.. Т. Kapitaniak, A. Pikovsky, М. Rosenblum, J. Kurths, S.H. Strogatz, L. Glass, L.M. Pécora, T.L. Carroll, B.A. Крысько, B.C. Аннщенко, Т.Е. Вадивасова, С.П. Кузнецов, А.П. Кузнецов, Б.П. Безручко, Е.П. Селезнев, Д.Э. Постнов, Д.И. Трубецков, A.A. Короновский, А.Е. Храмов.

Несмотря на большое количество имеющихся результатов и достигнутое глубокое понимание явлений, наблюдаемых в ансамблях нелинейных осцилляторов, все еще остаются не в полной мере исследованными особенности возбуждения квазипериодических колебаний и бифуркационных переходов к режимам синхронизации движений на торе, закономерности переходов к хаосу и гиперхаосу в связанных неавтономных нелинейных осцилляторах, а также условия возбуждения автоколебаний в кольце однонаправленно связанных нелинейных днссипативных осцилляторов и вопросы внешней синхронизации такого кольцевого генератора.

Вышеизложенное определило цель данной диссертационной работы: математическое моделирование и исследование процессов синхронизации на торе и переходов к хаосу и пшерхаосу в связанных иротнвофазно возбуждаемых осцилляторах Тоды, а также влияния нелинейности связи на рождение автоколебательных режимов и их синхронизации в кольце однонаправленно связанных осцилляторов Тоды. Для достижения поставленной цели необходимо решить сле,лующие задачи:

1. Ввести математическую модель диссипативно связанных иротнвофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды и исследовать бифуркационную структуру областей синхронизации на торе, а также сценарии переходов к хаосу и пшерхаосу в данной системе.

2. Ввести математическую модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды и исследовать влияние нелинейной функции связи на

возникновение автоколебаний и типы бифуркаций, приводящих к рождению и потере устойчивости предельного цикла в системе.

3. Исследовать структуру основной области вынужденной синхронизации для модели кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с двумя различными видами нелинейной связи.

Предмет исследования. Предметом исследования являются автоколебания, квазипериодические колебания, синхронизация и хаотические колебания в ансамблях связанных осцилляторов Тоды, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. Для численного решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Рунге-Кутта 4 порядка. Для исследования устойчивости и бифуркаций неподвижных точек и предельных циклов исследуемых систем использовались методы численного бифуркационного анализа, реализованные в программном пакете XppAut 5.41. Для расчета спектров ляпуновских характеристических показателей использовался метод Экмана-Рюэля. Для расчета относительной метрической энтроиии использовался метод, базирующийся на анализе отображений возврата (Recurrence Plots).

Научная новизна работы определяется следующим:

1. Предложена математическая модель двух диссинативно связанных про-тивофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды, отличающаяся от ранее исследуемых моделей противофазным способом возбуждения осцилляторов, что позволило произвести бифуркационный анализ структуры основных областей синхронизации на торе и выявить закономерности переходов к хаосу и гиперхаосу.

2. Предложена математическая модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды, отличающаяся от ранее исследуемых моделей нелинейной функцией связи между осцилляторами, позволившей выявить влияние нелинейности парциальных осцилляторов и связи на рождение автоколебательных режимов и их синхронизации в кольцевой автоколебательной системе.

3. Для предложенных математических моделей адаптированы эффективные рабочие алгоритмы, базирующиеся на численных методах решения систем дифференциальных уравнений, а также теории устойчивости динамических систем и теории бифуркаций. На основе полученных моделей и алгоритмов разработан комплекс проблемно-ориентированных программ для решения поставленных задач.

4. Математическое моделирование двух диссинативно связанных нроти-вофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды позволило установить, что при разрушении тора в результате каскада бифуркаций удвоения периода резонансных циклов на торе в системе рождается хаос с одним

положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичной бифуркации Неймарка-Сакера резонансного цикла на торе рождается гиперхаос.

5. В результате математического моделирования кольца однонаправлен-но связанных осцилляторов Тоды было установлено, что автоколебательные режимы в нем могут быть реализованы только при наличии нелинейной связи. При линейной связи между осцилляторами в системе наблюдается субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа и автоколебательные режимы отсутствуют.

6. Математическое моделирование кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с внешним воздействием позволило выявить особенности структуры основной области синхронизации для данной системы. На левой границе данной области наблюдаются гисгерезисные переходы между предельным циклом и тором. Внутри области синхронизации сосуществуют устойчивые периодический и квазипериодический режимы либо два устойчивых периодических режима.

Научная и практическая значимость. В работе предложены модели связанных осцилляторов Тоды'и произведено математическое моделирование, позволяющее дополнить и расширить современные представления теории колебаний и нелинейной динамики. Представленная модель диссииа-тивно связанных осцилляторов Тоды с внешним противофазным воздействием позволяет расширить представление о механизмах перехода к гиперхаосу в связанных системах. Предложенная модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды способствует развитию теории автоколебаний многомодовых динамических систем. Проведенное моделирование внешней синхронизации кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды расширяет текущие представления об особенностях устройства основной области синхронизации в кольцевых многомодовых системах. Полученные результаты могут иметь практическую ценность для разработки кольцевых многомодовых генераторов автоколебаний, в частности для оценки частот колебательных мод, устойчивости автоколебательных режимов и эффективному подбору параметров нелинейных элементов. Результаты диссертации использованы при выполнении работ по гранту РФФИ № 12-02-31465 «Синхронизация автономных и неавтономных систем с квазииериодической динамикой и ее приложения» и заданиям на НИР Министерства образования и науки РФ (СГТУ-26 «Синхронизация регулярных и хаотических движений в автономных и неавтономных, мультистабильных распределенных радиофизических и электронных автоколебательных системах», СГТУ-33 «Управление режимами колебаний многомодовых радиофизических и электронных автоколебательных систем»).

Степень достоверности полученных результатов обеспечивается взаимным соответствием аналитических и численных результатов, а также от-

сутствием противоречия полученных результатов основным представлениям теории ,колебаний и нелинейной динамики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Представлена модель диссипативно связанных иротивофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды, для которой установлено, что при разрушении тора в результате каскада бифуркаций удвоения периода резонансных циклов на торе рождается хаос с одним положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичной бифуркации Неймарка-Сакера резонансного цикла на торе рождается гиперхаос.

2. Предложена модель кольцевого генератора из однонаправленно связан-

•. ных осцилляторов Тоды, автоколебательные режимы в которой могут

■ быть реализованы только при наличии нелинейной связи. При линейной

связи между осцилляторами в системе наблюдается субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа и автоколебательные режимы отсутствуют.

3. Структура основной области вынужденной синхронизации модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды имеет существенные особенности. На левой границе данной области наблюдаются гистерезисные переходы между предельным циклом и тором. Внутри области синхронизации сосуществуют устойчивые периодический и квазипериодический режимы либо два устойчивых перио-

, дических режима. Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

• Научной школе-конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (Саратов, 2011);

• Всероссийской научной школе-конференции «Нанофотоника, наноэлек-троника и нелинейная физика» (Саратов, 2011);

• Всероссийской научной школе-конференции «Нанофотоника, наноэлек-троника и нелинейная физика» (Саратов, 2012);

• Научном семинаре кафедры «Динамика машин» Лодзинского технического университета (Лодзь, Польша, 2013);

• Всероссийской научной школе-семинаре «Волны-2013» (Москва, 2013);

• Всероссийской научной школе-конференции «Нанофотоника, наноэлек-троника и нелинейная физика» (Саратов, 2013);

• Научном семинаре лаборатории теоретической нелинейной динамики СФ ИРЭ РАН (Саратов, 2014);

• Научном семинаре лаборатории моделирования в нелинейной динамике СФ ИРЭ РАН (Саратов, 2014);

• Научном семинаре кафедры нелинейной физики НИСГУ им. Н.Г. Чернышевского (Саратов, 2014);

• Научном семинаре кафедры физики открытых систем НИСГУ им. Н.Г.

Чернышевского (Саратов, 2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях [1-11], 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК [1-3], 8 — в тезисах докладов [4-11].

Личный вклад. Все представленные результаты получены автором самостоятельно. Постановка задачи и обсуждение результатов проводилось совместно с научным руководителем.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка цитируемой литературы и одного приложения. Полный объем диссертации составляет 128 страниц включая 51 рисунок. Список литературы содержит 105 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы диссертационной работы, проводится краткий обзор известных результатов, определяются цели исследования, ставятся основные задачи и формулируются положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертационной работы предложена математическая модель в виде двух диссипативно связанных осцилляторов Тоды с противофазным возбуждением, представляющая систему обыкновенных дифференциальных уравнений следующего вида:

где Х1,2,2/1,2 — динамические переменные системы, а - коэффициент диссипации, 7 — параметр связи, А иы - амплитуда и частота внешнего воздействия. Отличие данной модели от ранее рассматриваемых заключается в наличии противофазного гармонического воздействия на оба осциллятора, что приводит к появлению в пространстве параметров системы обширной области квазипериодических колебаний с характерной структурой языков синхронизации, опирающихся на линию рождения тора.

Для данной системы на плоскости параметров «коэффициент связи - амплитуда воздействия» (значения остальных параметров фиксированы: а — 0.1, и> = 1) исследуются бифуркационные особенности синхронизации движений на торе, а также переходы к хаотическим режимам. При отсутствии связи с возрастанием амплитуды воздействия в системе наблюдается переход к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода. При наличии

i

х\ = У\,

Ш = Asm(bjt) +7(2/2 - 2/1) - "2/1 - exp(ari) + 1, ¿2 = 2/2.

ij2 = Asin(wí + 7г) + 7(yi - y2) - ay2 - exp(x2) + 1,

(1)

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 006 0.07

Рис. 1. Линии бифуркаций для системы (1) на плоскости параметров «коэффициент связи — амплитуда воздействия». — линия рождения тора, 12РО и 1ъРО — линии бифуркаций удвоения периода для резонансных циклов с числами вращения 1 : 2 и 2 : 5, 1\г8 — линия вторичной бифуркации Неймарка-Сакера в языке синхронизации с числом вращения 3 : 7

связи происходит переход к квазипериодической динамике с дальнейшим ее разрушением и появлением хаотических режимов.

В области квазипериодических колебаний имеется множество языков синхронизации с различными числами вращения, расположение которых подчиняется закономерности Фарея (см. рисунок 1). Бифуркационный анализ наиболее обширных языков синхронизации показал, что часть из них характеризуется наличием одной пары циклов на торе, устойчивого и седлового, а другая часть — наличием двух пар устойчивых и седловых предельных циклов. Таким образом, режиму синхронизации могут отвечать два различных устойчивых предельных цикла с одинаковым числом вращения. С возрастанием амплитуды воздействия устойчивые предельные циклы в языках синхронизации претерпевают либо бифуркации удвоения периода, либо рождения тора (суперкритическая бифуркация Неймарка-Сакера). В каждом отдельном языке синхронизации наблюдается либо только один из этих видов бифуркаций (бифуркации удвоения в языке синхронизации с числом вращения 2 : 5, бифуркация Неймарка-Сакера в языке синхронизации с числом вращения 3:7), либо комбинация нескольких видов, когда в разных частях языка синхронизации наблюдаются разные бифуркации (языки синхронизации с числами вращения 4:9, 5 : 11).

Рис. 2. ОМЭ системы (1) на плоскости параметров (7, /) (а), ОМЭ системы (2) при D = 0.001 (б), карта ляпуновских показателей системы (1) (в)

В системе (1) наблюдаются два типа хаотической динамики: с одним положительным показателем Ляпунова и с двумя положительными показателями Ляпунова (гинерхаос). В наблюдаемых языках синхронизации в результате каскада бифуркаций удвоения периода происходит переход к хаосу с одним положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичных бифуркаций Неймарка-Сакера переход к гиперхаосу.

Также в работе были исследованы хаотические режимы системы (1) при помощи относительной метрической энтропии (ОМЭ) как для системы (1) без шума, так и для зашумленной системы:

' ¿1 = 2/ъ

ух = Asin(wi) +7(2/2 - У\) - «2/1 -exp(zi) + 1 + V2Dn(t), ^

¿2 = 2/2,

у2 = Asin(wi + 7г) + 7(2/1 - 2/2) - &У2 - ехр(х2) + 1,

где n(t) источник белого гауссового шума интенсивности D. При D = 0 система (2) полностью идентична системе (1).

ОМЭ была введена в работах B.C. Анищенко, C.B. Астахова и Т.Е. Ва-дивасовой. Она является обобщением понятия энтропии Колмогорова-Синая (KS-энтронии), характеризующей степень непредсказуемости (хаотичности)

динамики системы, на случай зашумленных систем, для которых значение КБ-энтронии является бесконечно большим. ОМЭ в отличие от КБ-энтропии не учитывает отклонения траектории системы меньше заданной величины ячейки 6, на которые делится фазовое пространство системы в процессе иод-счета ОМЭ. Это позволяет не учитывать действие шума, приводящего к отклонению траектории меньше заданной величины ячейки е, и оценивать степень топологического перемешивания для зашумленных систем.

Для системы (1), а также для системы (2) был произведен подсчет ОМЭ (см. рисунок 2) методом, базирующимся на анализе отображений возврата. Было установлено, что ОМЭ реагирует на изменение режима «хаос - - гиперхаос» изменением своей величины: режим гинерхаоса характеризуется большей величиной ОМЭ.

Таким образом, для предложенной математической модели двух связанных иротивофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды исследованы наиболее обширные области синхронизации на торе, определены бифуркации, приводящие к потере устойчивости резонансных циклов, и выявлены сценарии разрушения тора, приводящие к возникновению хаоса и гиперхаоса. Хаотические режимы системы были также иродиагностированы при помощи относительной метрической энтропии.

Результаты первой главы представлены в работах [1, 2, 4-9].

Во второй главе предложена математическая модель кольцевого генератора из однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с нелинейной функцией связи, описываемых следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

хз = УЬ ^

У] = 1 - ехр - аУ] + 7С(хы), у '

где X), у], = 1,.., Ы) динамические переменные, о параметр диссипации, 7 параметр связи, С(х) функция связи. В ходе исследований было установлено, что при линейной функции связи автоколебания не возбуждаются, не происходит рождения устойчивого предельного цикла. Различные устойчивые виды автоколебательных режимов в широкой области значений параметров и с различным числом осцилляторов в кольце наблюдаются при экспоненциальный связи Се(х) = ехр(х) — 1. Использование функции связи в виде полинома Ср(х) = к\Х + к-2Х2 + кцхл позволило проанализировать влияние вида нелинейности на характер бифуркации состояния равновесия, на условия возбуждения автоколебаний, на бифуркации устойчивого предельного цикла.

Данная система имеет состояние равновесия в начале координат, которое устойчиво при 7 < 7/, и при 7 = 7/, теряет устойчивость в результате бифуркации Андронова-Хонфа (с ростом числа осцилляторов количество последовательных бифуркаций Андронова-Хопфа, которые претерпевает состо-

-15 » 15

/<;

Рис. 3. Граница между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хоифа на плоскости параметров к? и полученная путем приравнивания к нулю первого ляпуновского коэффициента для бифуркации Андронова-Хопфа при а — 0.1. На (а) граница показана в широком диапазоне изменения параметров и на (б) показан увеличенный фрагмент, на котором видно, что случаю линейной связи (/сг = к^ = 0) соответствует субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа

яние равновесия системы, возрастает). Следует отметить, что при линейной связи бифуркация Андронова-Хопфа субкритическая и не сопровождается рождением устойчивого автоколебательного режима. В случае полиномиальной связи на тип бифуркации Андронова-Хонфа влияют коэффициенты ко и кя. На рисунке 3 показана граница между суб- и суперкритической бифуркацией Андронова-Хопфа для кольца из трех осцилляторов с полиномиальной связью на плоскости (ко., Ь(). Данная линия делит данную плоскость на две области, в одной из которых имеет место субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа, в другой суперкритическая. В частности, на увеличенном фрагменте (рисунок 36) видно, что случаю линейной связи (к? — к:\ — 0) отвечает субкритическая бифуркация Андронова-Хопфа.

Однако даже в случае, если бифуркация Андронова-Хопфа субкритп-ческая, в системе при определенных значениях ко и к^ возможно рождение автоколебаний жестким образом. Поэтому, помимо исследования тина бифуркации Андронова-Хонфа, были также исследованы бифуркации предельных циклов системы. Для кольца из трех осцилляторов с полиномиальной связью было установлено, что при возрастании параметра связи 7 в зависимости от выбранных значений параметров ко и /с.ч потеря устойчивости состояния равновесия может сопровождаться тремя различными ситуациями: 1) мягкое рождение автоколебаний; 2) жесткое рождение автоколебаний; 3) уход фазовой траектории на бесконечность. При этом в первом и втором случаях предельный цикл с дальнейшим ростом 7 теряет устойчивость в результате

субкритическая бифуркация

суперкршнческая бифуркация

бифуркации удвоения, либо в результате бифуркации Неймарка-Сакера, либо в результате седлоузловой бифуркации. Для данных бифуркаций в работе были построены двухпараметрические диаграммы на плоскости параметров (7,^2) ПРИ Двух фиксированных значениях параметра к^, а также на плоскости параметров (7,/сз) при двух фиксированных значениях параметра

Для кольца осцилляторов Тоды с экспоненциальной связью Се{х) были исследованы бифуркации предельных циклов при различном количестве осцилляторов в кольце. На рисунках 4а, 46 и 4в представлены бифуркационные диаграммы для кольца из трех, пяти и семи осцилляторов Тоды с экспоненциальной связью в зависимости от параметра связи. Во всех случаях состояние равновесия теряет устойчивость в результате суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа. Для трех осцилляторов на исследованном интервале изменения параметра связи происходит одна бифуркация, для пяти — две последовательные бифуркации, а для семи три бифуркации. В результате первой бифуркации рождается устойчивый цикл, в результате последующих седловые. Устойчивые циклы при дальнейшем росте параметра связи претерпевают бифуркации Неймарка-Сакера. В случае семи осцилляторов рождающийся седловым цикл С2 при дальнейшем увеличении параметра связи становится устойчивым в результате бифуркации Неймарка-Сакера. а затем вновь теряет устойчивость в результате очередной бифуркации Неймарка-Сакера. Таким образом, при большом количестве осцилляторов в кольце возможна мультистабильность: седловые предельные циклы могут приобретать устойчивость посредством бифуркаций Неймарка-Сакера.

Таким образом, в данной главе настоящей работы предложена математическая модель кольцевого генератора из однонаправленно связанных осцилляторов Тоды. Для данной системы нелинейность связи является необходимым условием для возникновения автоколебаний. Вид нелинейной функции связи влияет на сценарий возбуждения автоколебаний в системе, а также бифуркации, приводящие к потере устойчивости родившегося предельного цикла.

Результаты второй главы представлены в работах [8, 10, 11].

В третьей главе исследуется вынужденная синхронизация для предложенной во второй главе модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды. Выявляются особенности структуры основной области синхронизации для двух различных видов нелинейной функции связи между осцилляторами.

Для исследования явления вынужденной синхронизации введена математическая модель кольца из трех однонаправленно связанных осцилляторов с точечным гармоническим воздействием на один из осцилляторов. Уравне-

3 25 2

V 15

1шах

1

0.5 О

25 2

х 15

1

0.5 О

0 0.1 02 0.3 0.4 0.5

У

Рис. 4. Бифуркационные диаграммы для кольца с различным количеством осцилляторов Тоды при экспоненциальной функции связи: N = 3 (а), N — 5 (б), N = 7 (в)

6 <

№ /

I /

V ** щ

АН' I АН2 ¡АН3

С

о

1 1.01 102 1 03 1 04 1 05

(О

(О

Рис. 5. Основная область синхронизации системы (4) на плоскости параметров (/,ш) при 7 = 0.12, а = 0.1

ния исследуемой системы имеют вид ¿1 = 2/1,

2/1 = 1 — ехр (жх) -аух + -уС(хя) + Авт^г),

х2 = 2/2, (4)

2/2 = 1- ехр (х2) ~ ау2 + 7С(ж1), у ;

¿3 = 2/з,

2/з = 1- ехр (ж3) - а?/з + -уС(х2),

ОДе £1,2,3,2/1,2,3 — динамические переменные, С(ж) — функция связи, 7 - параметр связи, а — параметр диссипации, А, ш — амплитуда и частота внешнего воздействия.

На рисунке 5а представлена основная область синхронизации системы (4) при 7 = 0.12, а = 0.1 и экспоненциальной связи вида Се(х). Здесь в области 5, отвечающей режиму синхронизации, существует устойчивый предельный цикл, частота которого равна частоте внешнего воздействия ш. Область Т соответствует квазипериодической динамике. Ниже точек р\ и р2 при выходе из области 5 в область Т происходит жесткий переход от периодических колебаний к квазипериодическим, что соответствует синхронизации через захват. Выше точки р2 с правой стороны языка синхронизации проис-

ходит мягкое рождение тора. С левой стороны области синхронизации переход от периодических колебаний к квазинериодическим всюду происходит жестко, однако выше точки данный переход сопровождается гистерезисом.

На рисунке 56 представлены дополнительные линии для сосуществующих режимов внутри основной области синхронизации. Выше точки }>\ на линии 1\р происходит жесткий переход с предельного цикла на тор, а на линии 1то ~ жесткий переход с тора на предельный цикл. В области между данными линиями предельный цикл и тор сосуществуют. На линии тор мягко сжимается в предельный цикл, отличный от того предельного цикла, который существует во всей области синхронизации. Данный цикл имеет меньшую амплитуду. На линии происходит жесткий переход с цикла меньшей амплитуды на цикл большей амплитуды. Таким образом, между линиями и 1'1р сосуществуют два устойчивых предельных цикла.

Для более детального исследования устройства основной области синхронизации был проведен бифуркационный анализ предельных циклов системы (4). Также в данной главе исследовано влияние параметра связи 7 на изменение основной области синхронизации системы. Помимо экспоненциальной связи, рассматривался случай полиномиальной связи Ср(х), при котором также произведено исследование структуры основной области синхронизации.

Таким образом, проведенное математическое моделирование позволило выявить особенности в структуре основной области вынужденной синхронизации исследуемой системы. Данные особенности проявляются при переходе из области синхронизации через захват в область синхронизации через подавление и заключаются в появлении областей сосуществующих периодических и квазипериодических режимов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты и выводы:

1. Для предложенной математической модели диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды языки синхронизации в области квазииериодической динамики характеризуются наличием одной или двух пар устойчивых и седловых циклов на торе и обладают индивидуальной бифуркационной структурой, отвечающей различным сценариям разрушения тора в них.

2. Математическая модель диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды демонстрирует два типа хаотических режимов: с одним или двумя положительными показателями Ляпунова (хаос и гинерхаос). В наблюдаемых языках синхронизации в результате каскада бифуркаций удвоения периода происходит переход к хаосу с одним положительным показателем Ляпунова, а в результате разрушения инвариантной кривой после вторичных бифуркаций Неймарка-Сакера — переход к гиперхаосу.

3. Метод расчета относительной метрической энтропии, базирующийся на анализе отображений возврата (Recurrence Plots) был адаптирован для исследуемой модели диссипативно связанных противофазно возбуждаемых осцилляторов Тоды. При помощи данного метода для исследуемой системы продиагностированы режимы хаоса и гиперхаоса.

4. Предложена математическая модель кольца однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с нелинейной функцией связи двух видов. При возрастании параметра связи 7 в кольце из трех однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с функцией связи вида С(х) = х+к2х2+к^х3

: в зависимости от выбранных значений параметров к2 и кз потеря устой-1 чивости состояния равновесия может сопровождаться тремя различными ситуациями: 1) мягкое рождение колебаний в результате суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа; 2) жесткое рождение колебаний; 3) уход фазовой траектории на бесконечность после субкритической бифуркации Андронова-Хопфа. При этом в первом и втором случаях дальнейший рост параметра связи приводит к потере устойчивости родившегося предельного цикла либо в результате седлоузловой бифуркации, либо в результате бифуркации Неймарка-Сакера, либо в . результате бифуркации удвоения.

5; В кольце однонаправленно связанных осцилляторов Тоды с экспонен-■ циальной связью С(х) = ехр(ж) — 1 в результате первой суперкритической бифуркации Андронова-Хопфа рождается устойчивый предельный цикл, который впоследствии претерпевает бифуркацию Неймарка-Сакера. В результате последующих бифуркаций Андронова-Хопфа рождаются седловые предельные циклы, некоторые из которых могут становиться устойчивыми в результате бифуркаций Неймарка-Сакера.

6. При малых амплитудах воздействия картина синхронизации для модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды в случае как экспоненциальной связи, так и связи в виде кубического полинома имеет классический вид: область синхронизации ограничена линиями седлоузловых бифуркаций на торе, наблюдается синхронизация через захват.

7. Структура основной области синхронизации для модели кольцевого генератора однонаправленно связанных осцилляторов Тоды имеет ярко выраженные особенности при переходе из области синхронизации через захват в область синхронизации через подавление. При данном переходе на левой границе области синхронизации (при относительной частоте меньшей единицы) начинают наблюдаться гистерезисные переходы между периодическим и квазипериодическим режимами. Внутри области синхронизации имеются области сосуществования устойчивых периодического и квазипериодического режимов, а также двух различных устойчивых периодических режимов. В случае полиномиальной связи между осцилляторами возрастание амплитуды внешнего воздействия

ведет к исчезновению областей сосуществующих режимов, а в случае экспоненциальной связи рост амплитуды воздействия ведет к расширению данных областей.

Список публикаций

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнау-ки РФ:

[1] Станкевич, Н.В. Квазипериодические колебания и переход к гиперхаосу в двух противофазно возбуждаемых осцилляторах Тоды [Текст] / Н.В. Станкевич, A.A. Дворак, В.В. Астахов // Вестник Саратовского государственного технического университета, 2012. Вып. 4. С. 66-70.

Публикации в изданиях, входящих в SCOPUS:

[2] Astakhov, S.V. Influence of chaotic synchronization on mixing in the phase space of interacting systems / S.V. Astakhov, A. Dvorak, V.S. Anishchenko // Chaos 23. 013103 (2013). [Электронный ресурс]

[3] Dvorak, A. Dynamics of three Toda oscillators with nonlinear unidirectional coupling [Текст] / A. Dvorak, P. Kuzma, P. Perlikowski, V. Astakhov, T. Kapitaniak // The European Physical Journal Special Topics. 06/2013. P. 2429-2439.

Тезисы докладов и статьи в сборниках трудов конференций:

[4] Дворак, A.A. Расчет относительной метрической энтропии в активной среде с однонаправленной связью [Текст] / A.A. Дворак // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2009: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов, 16-18 ноября 2009. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2010. С. 69-72.

[5] Дворак, А.А Исследование пространственного перехода к хаосу в активной среде методом оценки относительной метрической энтропии [Текст] / A.A. Дворак // Вопросы прикладной физики. Вып. 17. Саратов: Изд-во Са-рат. ун-та, 2010. ISSN 0868-6238. С. 38-39.

[6] Дворак, А.А Исследование влияния фазовой синхронизации на перемешивание в системе двух связанных осцилляторов Рёсслера [Текст] / A.A. Дворак // Нелинейные дни в Саратове для молодых - 2010: сборник материалов научной школы-конференции. Саратов: ООО ИЦ «Наука», 2011. С. 82-86.

[7] Дворак, А.А Влияние синхронизации хаоса на перемешивание в фазовом пространстве взаимодействующих систем [Текст] / A.A. Дворак, C.B. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: тез. докл. VI Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, Саратов, 2011. С. 55.

[8] Дворак, А.А Квазииериодические колебания и мультистабильность в связанных неавтономных осцилляторах Тоды [Текст] / A.A. Дворак, Н.В. Станкевич, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика: тез. докл. VII Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2012. С. 52.

[9] Дворак, А.А Переходы между двух- и трехчастотными квазипериодическими режимами в связанных осцилляторах Тоды с двухчастотным воз-

действием [Текст] / A.A. Дворак, В.В. Астахов // Наноэлектроника, нанофо-тоника и нелинейная физика: тез. докл. VIII Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: изд-во Сарат. ун-та, 2013. С. 87.

[10] Дворак, А.А Динамика кольцевого генератора из однонаправленно связанных осцилляторов Тоды / A.A. Дворак, Н.В. Станкевич, В.В. Астахов // Волны-2013: Труды школы-семинара. [Электронный ресурс] М.: Физический факультет МГУ. 2013.

[11] Дворак, А.А Динамика кольца из трех осцилляторов Тоды с нелинейной однонаправленной связью [Текст] / A.A. Дворак, Р. Kuzma, Р. Perlikowski, Т. Kapitaniak, B.B. Астахов // Наноэлектроника, нанофото-ника и нелинейная физика: тез. докл. VIII Всерос. конф. молодых ученых. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2013. С. 88.

Подписано в печать 21.01.15 Формат 60x84 1/16

Бум. офсет. Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 9 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru