автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.17, диссертация на тему:Колмогоровская ε-энтропия глобальных аттракторов динамических систем

Введение

I. Основные понятия и вспомогательные результаты

1. Функциональные пространства и теоремы вложения

2. Почти периодические функции.

3. Полугруппы и глобальные аттракторы.

4. Глобальные аттракторы автономных уравнений.

4.1. Системы реакции-диффузии

4.2. Уравнения Гинзбурга-Ландау.

4.3. 2Б система Навье-Стокса.

4.4. Нелинейное волновое уравнение с диссипацией.

5. Размерность глобальных аттракторов

5.1. Колмогоровская е-энтропия и размерность множеств.

5.2. Оценки хаусдорфовой размерности инвариантных множеств

5.3. Применение к инвариантным множествам полугрупп.

5.4. Применение к глобальным аттракторам автономных уравнений

5.5. Оценки снизу размерности глобальных аттракторов.

II. Глобальные аттракторы неавтономных уравнений

1. Символы неавтономных уравнений

2. Задача Коши и динамические процессы

3. Равномерные глобальные аттракторы.

4. Сведение к полугруппе в расширенном пространстве.

5. Равномерные (по г € К) глобальные аттракторы

6. Аттракторы неавтономных уравнений математической физики

6.1. Двумерная система Навье-Стокса

6.2. Неавтономные системы реакции-диффузии.

6.3. Неавтономное уравнение Гинзбурга-Ландау.

6.4. Неавтономное волновое уравнение с диссипацией

III. Колмогоровская е-энтропия и размерность ядер уравнений

1. Свойства сечений ядер процессов.

2. ^-энтропия инвариантных множеств.

3. Решетки и покрытия

4. Оптимизация оценок е-энтропии и фрактальной размерности

5. Об е-энтропии и фрактальной размерности цепочки множеств

6. Оценки для сечений ядер процессов.

7. Применение к ядрам неавтономных уравнений

7.1. 2D система Навье-Стокса с зависящей от времени силой

7.2. Система реакции-диффузии, зависящая от времени.

7.3. Неавтономные гиперболические уравнения с диссипацией

8. Некоторые дополнительные замечания.

IV. Колмогоровская е-энтропия глобальных аттракторов

1. Общие оценки е-энтропии равномерных аттракторов.

2. О фрактальной размерности равномерных аттракторов

3. Функциональная размерность и метрический порядок

4. Трансляционно компактные функции

4.1. Трансляционно компактные функции в С1ос(Ш; ЛЛ)

4.2. Трансляционно компактные функции в Lp0C(R; £)

4.3. Другие трансляционно компактные функции.

5. Применение к неавтономным уравнениям

5.1. 2D система Навье-Стокса.

5.2. Нижние оценки для размерности глобальных аттракторов

5.3. Системы реакции-диффузии

5.4. Уравнение Гинзбурга-Ландау.

5.5. Гиперболические уравнения с диссипацией

6. Колмогоровская е-энтропия и метрический порядок Е.

6.1. Некоторые почти периодические функции

6.2. Класс функций из теории информации

7. Колмогоровская е-энтропия в расширенном пространстве.

V. Полупроцессы и их глобальные аттракторы

1. Семейства полупроцессов и их глобальные аттракторы

2. О сведении к полугруппе в расширенном пространстве.

3. Неавтономные уравнения с тр.к. на 1R+ символам.

4. Продолжение полупроцессов до процессов

5. Асимптотически почти периодические функции.

6. Неавтономные уравнения с а.п.п. символами.

7. Каскадные системы и их глобальные аттракторы.

Андрей Николаевич Колмогоров нашел применение многим понятиям и методам теории информации в теории эволюционных уравнений и динамических систем. В частности, им было введено ключевое понятие е-энтропии Не(Х) компактного множества X в банаховом (конечномерном или бесконечномерном) пространстве Е. В известной работе А.Н.Колмогорова и В.М.Тихомирова [55] приведены оценки сверху и снизу для е-энтропии многих классов функциональных множеств. Например, в этой статье была изучена е-энтропия множества вещественных функций {u(t), t £ R}, обладающих ограниченным спектром, и приведен один из вариантов обоснования фундаментальной теоремы В.А.Котельникова (см. также [115]), занимающей исключительно важное место в теории информации, основы которой были заложены в работах К.Шеннона и других математиков.

Колмогоровская г-энтропия и связанная с ней энтропийная размерность являются важными базовыми характеристиками, которые описывают сложность компактных множеств, что весьма существенно в теории приближений функций и функциональных множеств.

Новый интерес к колмогоровской е-энтропии возник в связи с исследованием структуры нерегулярных аттракторов динамических систем, которые появляются во многих моделях так называемого детерминированного хаоса. Аттрактором динамической системы называется компактное множество фазового пространства, которое инвариантно относительно сдвигов вдоль траекторий данной системы, и к которому притягиваются все траектории системы при t —t +оо. Особенно важным это понятие становится при исследовании бесконечномерных динамических систем, имеющих компактные аттракторы весьма сложной структуры, которые, возможно, тесно связаны с проблемой объяснения турбулентных явлений во многих задачах динамики сплошных сред.

Одной из фундаментальных проблем, возникающих при исследовании эволюционных уравнений математической физики, является описание поведения решений этих уравнений при больших временах или когда время стремится к бесконечности. Аналогичные задачи возникают при исследовании устойчивости решений, когда время t +оо, при изучении установившихся предельных стационарных и нестационарных траекторий и семейств таких траекторий, а также при исследовании характера неустойчивости предельных множеств при отсутствии глобальной устойчивости некоторых решении.

В последние тридцать лет при решении подобных задач большую популярность приобрел подход, основанный на теории динамических систем, который изначально применялся при исследовании конечномерных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Прежде всего этот интерес был связан с открытием детерминированного хаоса, то есть достаточно простых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, у которых, однако, наблюдается весьма нерегулярное (хаотическое) поведение траекторий, когда время стремится к бесконечности. Классическим примером такой системы служит трехмерная система Лоренца (см. [83]), которая получается из галеркинского приближения системы уравнений Бусинеска, описывающей конвекцию подогреваемой жидкости. После этого важного открытия, а также под влиянием работы Д.Рюэля и Ф.Такенса [101], наблюдается бурный рост числа исследований в этом направлении, стимулированных попытками объяснить зарождение турбулентности в жидкости с помощью понятия странного (нерегулярного) аттрактора (см. [109]). Однако механизм возникновения нерегулярности в конкретных динамических системах остается достаточно запутанным, и определенный прогресс связан с широким применением численного моделирования (см. [82, 98, 7]).

Многие идеи, понятия и методы теории конечномерных динамических систем легли в основу теории бесконечномерных динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями с частными производными. С этой точки зрения стали изучаться, например, системы уравнений Навье-Стокса, различные уравнения и системы реакции-диффузии, комплексные уравнения Гинзбурга-Ландау, нелинейные диссипативные волновые уравнения и многие другие эволюционные уравнения математической физики. Целью этих исследований было построение глобальных аттракторов этих систем и исследование их структуры. При этом существенной характеристикой сложности этих множеств может служить колмогоровская £-энтропия и энтропийная размерность.

Дадим определение колмогоровской ^-энтропии компактного множества X в банаховом пространства Е. Через N.е(Х,Е) = Ме(Х) обозначается наименьшее число шаров радиуса е в пространстве Е, которые покрывают множество X :

Здесь В(хи е) = {х е Е | [|:г — хг\\в < е} - шар в Е с центром в ж, и радиусом е. Важно отметить, что Ме(Х) < +оо для любого е > 0, так как множество X компактно в Е.

Определение 0.1. Колмогоровской ^-энтропией множества X в пространстве Е называется число n

0.1)

Не(Х,Е) :=Н£(Х) :=1оё2^(Х).

0.2)

Для конкретных множеств X задача заключается в исследовании асимптотического поведения по г функции Н£(Х) при е —> 0 + . Ясно, что е-энтропия позволяет узнать, сколько необходимо задать точек (или функций) в пространстве Е, для того чтобы определить множество X с погрешностью е. Эта характеристика компактных множеств!была*впервые введена* А.Н.Колмогоровым и изучена в совместной работе с В.М.Тихомировым (см. [55]). В этой статье было также введено важное понятие энтропийной размерности, которую впоследствии стали часто называть фрактальной размерностью компактного множества.

Определение 0.2. Фрактальной размерностью компактного множества X в пространстве Е называется число d^ == М*) == Ei (0.3)

Если фазовое пространство Е имеет конечную размерность, то легко видеть, что di?(X) < +оо, причем с1^(Х) < dimi?. В бесконечномерном пространстве Е фрактальная размерность компактных множеств может быть бесконечной. Однако если известно, что 0 < djp(X) < +оо, то Не(Х) ~ dF(X) log2 , и значит, потребуется Ne(X) ~ Q) F точек для того, чтобы приблизить такое множество X с точностью до е. В работе [55] рассматривались примеры множеств в различных функциональных пространствах, для которых Н£(Х) « Dlog2 , где а > 1, и даже Н£(Х) . Для таких множеств, очевидно, фрактальная размерность равна бесконечности, однако е-энтропия этих множеств остается конечной, и ее величина характеризует сложность множества бесконечной размерности.

Другой существенной характеристикой компактного множества служит его хаусдорфова размерность dH(X) = inf {d | fi(X,d) = 0}, где /j,(X,d) = inf^rf, причем точная нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества X шарами В(хг,гг), для которых Гг < е. Легко видеть, что всегда dH(X) < Можно привести примеры множеств, для которых d#(X) = 0, но d^(^) = +оо. Таким образом, хаусдорфова размерность является более слабой характеристикой компактных множеств с точки зрения теории приближения.

Отметим, что фрактальная и хаусдорфова размерность бывают также весьма полезными при исследовании различных "негладких" множеств, например самоподобных множеств или фракталов. Простейшим примером такого множества служит троичное канторово множество К на отрезке [0,1], для которого dp(К) = &Н{К) = log3 2 < 1. Фрактальная и хаусдорфова размерность компактного гладкого многообразия равна его размерности, т.е. является целым числом. Однако пример канторова множества показывает, что эти размерности могут быть нецелыми числами.

Фрактальная и хаусдорфова размерности применяются при изучении аттракторов конечномерных динамических систем, которые описывают детерминированный хаос, например, для системы Лоренца. При компьютерном моделировании этой системы наблюдается весьма сложная "хаотическая" структура аттрактора этой системы. Строгие результаты получаются в виде оценок сверху и снизу размерности (фрактальной и хаусдорфовой) аттракторов. Например, для аттрактора Лоренца известно, что

2 < (1яИ) < <ЫЛ) < с1ь(Д) = 2,401.

Здесь с!¿(Л) обозначает ляпуновскую размерность аттрактора А (о ней речь пойдет ниже), которая всегда не меньше фрактальной размерности. Интересно, что для аттрактора Лоренца существует явная формула для вычисления его ляпуновской размерности (см. [73]). Однако остается открытым вопрос о нетривиальных оценках снизу фрактальной размерности аттрактора Лоренца. Известно лишь, что с!^(.А) > 2.

Изложим теперь вкратце некоторые фундаментальные результаты об ¿-энтропии и размерности глобальных аттракторов автономных эволюционных уравнений с частными производными. Основной результат можно сформулировать так: для многих важных диссипативных автономных уравнений и систем уравнений математической физики доказаны теоремы о существовании компактных глобальных аттракторов и установлена конечномерность этих аттракторов. Эти результаты, по-видимому, впервые были получены для двумерной системы Навье-Стокса, которая является весьма популярным объектом исследований в области аттракторов бесконечномерных динамических систем. Эти и другие фундаментальные результаты были получены в работах О.А.Ладыженской, М.И.Вишика, А.В.Бабина, Р.Темама, Дж.Хейла, Дж.Селла, их учеников и многих других математиков (см. книги [13, 113, 132, 70] и цитированную в них литературу).

Автономное эволюционное уравнение можно записать в следующей абстрактной форме: дьи = А{и), м|*=о = и0(ж) € £ > 0. (0.4)

Здесь и = и(х^) - решение уравнения (0-4), х - пространственная переменная, а 4 - время. Правая часть А(и) уравнения (0.4) является некоторым (нелинейным) оператором, зависящим от функции и и от ее частных производных по х. Функция и0(х) в (0.4) определяет начальное состояние динамической системы, описываемой этим уравнением, т.е., и(х, 0) = щ(х). Начальное условие щ(х) принадлежит некоторому бесконечномерному банахову пространству Е. которое называется фазовым пространством задачи (0.4). Фазовое пространство Е выбирается, исходя из физического смысла задачи. Например, это может быть некоторое пространство Соболева. Значение и,о(х) можно выбрать произвольно в этом пространстве. Предполагается. что при любой функции и0(х) из Е задача (0.4) имеет, и притом единственное, решение и(х,Ь), ^ > 0, в некотором классе функций, причем Е при всех £ > 0. Тогда с задачей (0.4) можно связать семейство нелинейных операторов {£(£), Ь > 0}, 5"(£) : Е ^ Е, действующих по формуле щ(х) I—3(1)щ(х) = и(х,£), где и{х,€) - решение задачи (0.4) с начальным условием щ(х). Операторы = {5(£), Ь > 0} образуют полугруппу, т.е., 5(0) = М — тождественный оператор, и 5(^1 + ¿2) = о 5(^2) Для любых чисел tl,t2 > 0.

Большое количество дифференциальных уравнений математической физики вида (0.4) и соответствующих им полугрупп {£(£)} приведено в книгах [13. 132, 113, 70].

В качестве примера задачи (0.4) рассмотрим двумерную систему Навье-Стокса, которая описывает плоское течение вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области ^ (<= К2 с условием прилипания на границе сЮ. Система Навье-Стокса имеет вид дги - -рЬи - В (и, и) + д (х), сИу и = 0, и\ап = 0, , , и\г=о - ио{%) еЯ.

Система записана в проекции на пространство соленоидальных векторных полей в К2. поэтому в ней отсутствует переменная давления р(х, £). Требуется определить поле скоростей жидкости и(х^) = (иг(х, £), и2(х, ¿)) в каждой точке гбИв любой момент времени £ > 0, если известно начальное распределение скорости ио(х). Условие несжимаемости жидкости записано в виде тождества сНу и = дХ1и+дХ2и = 0. В системе (0.5) и > 0 - вязкость жидкости, Ь = —ПД - оператор Стокса, В(и,и) = и1дХги - билинейный оператор. Через П обозначается ортопроектор в пространстве (£2(^))2 на подпространство Н соленоидальных (то есть, с нулевой дивергенцией) векторных полей. Подпространство Н совпадает с замыканием по норме пространства (1/2(Г2))2 множества функций V = {ь(х) € Со°(Г2), с!т>(:г) = 0}. Функция д (х) = (д1{х), д2{х)) является внешней силой системы. Предполагается, что д е Н. Известно, что при любой функции и0(х) 6 Н задача (0.5) имеет, и притом единственное, решение > 0, принадлежащее соответствующему функциональному пространству. При этом и(х, ¿) € Н при любом £ > 0 и кроме того и(х,Ь) 6 С(М+;Я) (см. [66, 80, 113, 13]). Следовательно, задача (0.5) порождает полугруппу действующую в гильбертовом пространстве Я.

Дадим определение глобального аттрактора полугруппы {£(£)}, действующей в некотором банаховом пространстве Е.

Определение 0.3. Компактное множество А из Е называется глобальным аттрактором полугруппы {£(£)}, если

1) множество Л строго инвариантно относительно {5(£)}, т.е.

Л = А для всех t > 0,

2) множество А притягивает множество S(t)B при t —» +00, где В - любое ограниченное (в пространстве Е) множество начальных условий {«о^)} = В : distE(S(t)B,A) -)• 0, t -» +00.

Здесь dzstE(A\, а2) = sup inf ||ai — (12\\е ~ хаусдорфово расстояние от aieAi U2£A2 множества Ai до множества А2 в пространстве Е.

Свойство 2) можно сформулировать еще так: для любого е > 0 найдется такое число Т = Т(е,В), что S(t)B С Ое{А) при всех t > Т, где Ое{А) обозначает е-окрестность множества А в Е. Из определения 0.3 следует, что глобальный аттрактор А притягивает все решения u(x,t) = S(t)u0(x) при t —> +00 равномерно относительно любого ограниченного множества В = {ио(а;)} начальных условий. Легко видеть, что глобальный аттрактор определяется однозначно. Он описывает, в некотором смысле, все предельные решения уравнения (0.4).

Рассмотрим теперь систему Навье-Стокса (0.5). Если внешняя сила д(х) достаточно мала, то система (0.5) имеет, и притом единственное, стационарное решение z(x), которое является экспоненциально асимптотически устойчивым. Точнее, рассмотрим следующую безразмерную величину G — , которая называется числом Грасхофа системы (0.5). Здесь - первое собственное значение оператора Стокса L. Тогда существует абсолютная константа с0 > 0 такая, что если G < Со, то имеется единственное решение г = z(x) стационарной задачи Навье-Стокса vLz — B(z, z) + д(х) = 0, divz = 0, и\ап = 0. (0.6)

При этом для любого решения u(t) = S(t)uQ (u(t) := u(x,t)) уравнения (0.5), выполнено неравенство

IK*) - 4н < с\\щ - z\\He-~<\ Vt > 0 (7 > 0). (0.7)

Из (0.7) следует, что при G < cq глобальный аттрактор А полугруппы (5'(i)} задачи (0.5) состоит из одной точки z : А = (z(:r)}. (Константа со совпадает с константой в неравенстве Ладыженской, см. § 1.4.3).

Если число Грасхофа G велико, то стационарное решение z(x) теряет устойчивость. Появляются другие стационарные решения и новые предельные траектории, например, предельные циклы, предельные торы, неустойчивые многообразия, выходящие из стационарных точек. Все эти траектории включаются в глобальный аттрактор А. С ростом G картина еще больше запутывается. Появляются хаотические траектории на подобие странного аттрактора Лоренца. Общая структура глобального аттрактора сильно усложняется и становится нерегулярной, хаотической. Отметим, что большинство из этих заключений сделаны на основе компьютерного моделирования системы (0.5) (см. [113]). Строгие результаты доказаны только для отдельных частных случаев. Например, А.В.Бабин и М.И.Вишик исследовали глобальный аттрактор двумерной системы Навье-Стокса с периодическими граничными условиями и специальной внешней силой, которая порождает так называемые неустойчивые течения Колмогорова (см. § 1.5.5). В общем случае доказано существование глобального аттрактора А системы (0.5) и изучены некоторые его свойства (см. [67, 8, 49, 60]). Установлен важный результат о конечномерности глобального аттрактора двумерной системы Навье-Стокса. Оценки сверху для размерности глобального аттрактора неоднократно улучшались в работах многих авторов (см. [8, 60]). Наилучшие известные оценки получаются с помощью неравенств Либа-Тирринга. Они имеют следующий вид см. [113]). Однако, константы с\ и с2, полученные в этих работах, отличаются, то есть с\ < С2- Из второго неравенства (0.8) следует оценка для колмогоровской е-энтропии глобального аттрактора А :

Оценки, аналогичные (0.8) и (0.9) для хаусдорфовой и фрактальной размерности глобальных аттракторов широкого класса автономных уравнений математической физики были доказаны в работах [113, 13]. В основе доказательства лежит исследование свойств сжатия конечномерных объемов под действием квазидифференциалов полугрупп, порождаемых этими автономными уравнениями. Для удобства изложения приведем один общий результат об оценивании е-энтропии и фрактальной размерности инвариантных множеств полугрупп. Он является следствием более общих теорем, доказанных в диссертации при оценке е-энтропии глобальных аттракторов неавтономных эволюционных уравнений.

Пусть задана некоторая полугруппа {5'(^)}, действующая в гильбертовом пространстве Н. Рассматривается компактное множество X в Н, X <Ш Н. Пусть множество X строго инвариантно относительно {¿»(¿)}, т.е. 5(£)А" = X для всех < > 0. Например, множество X может быть глобальным аттрактором полугруппы {5(£)}, X = А (см. определение 0.3). Предполагается, что полугруппа (5(£)} равномерно квазидифференцируема на X в следующем смысле: для любого £ > 0 и для каждого и £ X имеется линейный ограниченный оператор Ь{Ь,и) : Е —»• Е (квазидифференциал) такой, что щг)щ - 5(0« - Ь(^и)(щ - и)||я < 7(1К - - 41Я (0.10) для любых и,щ 6 А', причем функция 7 = 7(£,£) —>■ 0+ при £ —> 0+ для каждого фиксированного £ > 0. Предполагается, что линейные операторы ¿(£,и) порождаются уравнением в вариациях вида

Я(Л) < С!С, Ар-(Л) < с2в

0.8)

0.9) д(ь = Аи(и(г))ь, V|4=0 = у0 е Н,

0.11) где u(t) = S(t)uo, щ € X, a Au(-) - формальная производная по и оператора А(-), причем область определения Нi оператора Au(u(t)) плотна в Н. Предполагается, что линейная задача (0.11) однозначно разрешима для любого v0 £ Н при всех щ £ X. По нашему предположению в (0.10) квазидифференциалы L(t,yo)zo = z(t), где z(t) - решение уравнения (0.11).

Пусть ш € N и L : Я) -> Н - линейный, возможно, неограниченный оператор. Тогда m-мерным следом оператора L называется число т

ЪтЬ= sup (0.12)

Vi}«=l, ,m j — i где точная верхняя грань взята по всевозможным ортонормированным в Н семействам векторов ,т, лежащим в Н\.

Определение 0.4. Введем следующие числа: t q3 = lim sup - / Tr3(Au(u(s))ds, j = 1,2,. , (0.13) uoEX t J 0 где u(t) = S(t)u0.

Утверждение 0.1. Предположим, что полугруппа {S(t)}7 действующая в пространстве Н, имеет компактное строго инвариантное множество X и является равномерно квазидифференцируемой на X. Пусть выполнены неравенства q3<q}, J = 1,2,3,., (0.14) где числа q3 определены в (0.13). Предполагается, что функция q3 выпукла вверх по j (как П). Пусть т - наименьшее число, такое что qm+\ < 0 (очевидно, что qm > 0). Обозначим d = m+-—-. (0.15)

Чт — Чт+1

Тогда для любого 8 > 0 найдутся такие числа а 6 (0,1) и £q > 0, что для е-энтропии H£(.Y) множества X выполнена следующая оценка: не(X) <(d + S) log2 + Нео(АГ), Ve < £0. (0.16)

Кроме того, множество X имеет конечную фрактальную размерность и dF(X) < d. (0.17)

Замечание 0.1. Отметим, что оценки вида (0.17) для хаусдорфовой размерности d#(,Y) были доказаны в [41, 60] для q3 = q3 без условия выпуклости функции q3 по j. Однако в конкретных приложениях бывает очень трудно вычислить точное значение q3. Вместо этого используются разные оценки сверху этой величины вида (0.14). При этом функции ^ обычно получаются выпуклыми по ] (см. [113, 13]). В результате с помощью утверждения 0.1 устанавливаются оценки фрактальной размерности, совпадающие с оценками хаусдорфовой размерности глобальных аттракторов конкретных уравнений математической физики (ср. с (0.8), где С\ < с2).

Основные результаты данной диссертации относятся к построению глобальных аттракторов и оценке их колмогоровской е-энтропии для неавтономных уравнений математической физики.

Неавтономные уравнения естественно возникают во многих задачах физики и механики, когда необходимо учесть зависимость от времени основных параметров изучаемых моделей и соответствующих им уравнений с частными производными. Такими параметрами могут быть зависящие от времени внешние силы, функции взаимодействия, различные коэффициенты. функции управления процессами, например входные сигналы, зависящие от времени и многие другие члены уравнений. Все эти явно зависящие от времени функции могут существенно влиять на динамику решений изучаемых уравнений, которые не являются автономными и к ним становится неприменимой изложенная выше теория. Трудность возникает уже при определении глобального аттрактора неавтономного уравнения. Например, приходится модифицировать свойство инвариантности аттрактора, так как сдвиги вдоль траекторий неавтономного уравнения приводят к функциям. которые, вообще говоря, не являются решениями исходного уравнения (они являются решениями "сдвинутого" уравнения). Условие инвариантности можно заменить на условие минимальности.

Важной количественной характеристикой глобальных аттракторов автономных уравнений служит его размерность (хаусдорфова или фрактальная). Напомним, что глобальный аттрактор - это компактное множество бесконечномерного фазового пространства, к которому притягиваются все траектории данной системы. Его конечномерность означает возможность описания, хотя бы в принципе, предельной динамической системы с помощью эволюции конечного числа параметров или мод, которое зависит от размерности этого аттрактора. В некоторых частных случаях даже удается свести задачу к системе конечного числа обыкновенных уравнений в конечномерном пространстве.

Как уже отмечалось для многих основных классов автономных дисси-пативных эволюционных уравнений математической физики была доказана конечномерность их глобальных аттракторов. Однако при исследовании глобальных аттракторов неавтономных уравнений наблюдается совершенно иная картина. Уже простые примеры показывают, что глобальный аттрактор неавтономного уравнения с достаточно общей зависимостью его членов и коэффициентов от времени имеет бесконечную размерность, являясь при этом компактным множеством фазового пространства. Ниже мы рассмотрим такой пример. Это явление приводит к необходимости исследовать другие численные характеристики компактных множеств, среди которых важное значение имеет колмогоровская е-энтропия. Колмогоровская е-энтропия позволяет оценить сложность глобального аттрактора для решении задач аппроксимации изучаемых неавтономных динамических систем более простыми, конечномерными системами.

Опишем глобальный аттрактор неавтономного уравнения более подробно. Неавтономное эволюционное уравнение можно записать в следующем виде: dtu = A(u,t), u\t=T = uT G E, t>r. (0.18)

Нелинейный оператор A(u,t) зависит от функции и, ее частных производных по х, а также от времени t G R. Начальное условие ит, принадлежащее банахову пространству Е, задается при t = т, где т - любое фиксированное число. Предполагается, что при любом г G R и любом uT G Е задача (0.18) имеет, и притом единственное, решение u(t) такое, что u(t) G Е при всех t > т. Рассматривается двупараметрическое семейство нелинейных операторов {U(t, т)}. t > т, т G R, в Е, которое строится по формуле

U{t, т)ит = u(t), t>r, r G R, uT G E, (0.19) где u(t) - решение (0.18) с начальным условием uT G E. Семейство операторов {U(t,r)} называется процессом, порожденным задачей (0.18). Процесс имеет следующие свойства: 1) U(t, т) = Id при всех г G К; 2) U(t, s)oU(s, г) = U(t,r) при всех t > s > г, г G R. Если операторы A(u,t) в (0.18) не зависят от времени, то процесс {[/(£,т)} является полугруппой U(t,r) = S(t — г), порождаемой автономной задачей (0.4).

В качестве примера рассмотрим двумерную систему Навье-Стокса, в которой внешняя сила зависит от времени,

Г dtu = -vLu - B(u, u) + g0 (x, t), div u = 0, u\an = 0, . . u\t=T = uT{x) G H. K " J

Все обозначения имеют тот же смысл, что и в системе (0.5). Предполагается, что зависящая от времени внешняя сила go(-,t) G Сь(Ш.;Н), то есть, она является непрерывной функцией времени со значениями в пространстве Н, которая ограничена по норме пространства Я:

1Ы-,011я<С, Vi GR. (0.21)

Как и в автономном случае справедлива теорема о существовании и единственности решения этой задачи: для любого uT{-) G Н существует, и притом единственное, решение u(x,t) задачи (0.20), причем u(-,t) G Съ(Шг\Н). Здесь обозначено R,- = [г, +оо). Следовательно задача (0.20) порождает процесс {[/(i,r)}, действующий в Я по формуле (0.19).

Дадим определение глобального аттрактора А процесса {U(t,r)}. Через В(Е) обозначается семейство всех ограниченных множеств в Е. Множество В0 С Е называется (равномерно по г G R) поглощающим для процесса {U(t, г)}, если для любого множества В G В(Е) найдется такое число h = h(B), что

U(t, т)В Ç B0 для любых t, г; t ~ т > h. (0.22)

Множество Р с Е называется (равномерно по т g M) притягивающим для процесса {U{t, г)}, если для любого г > 0 множество Ое(Р) является поглощающим для этого процесса (здесь и далее Ое(М) обозначает е-окрестность множества M в пространстве Е). Свойство притяжения можно еще сформулировать так: для любого множества В g В(Е) sup distß (U (г + h, т) В, Р) —> 0, h-^+oo. (0.23) rçR

Процесс {U(t,r)} называется асимптотически компактным, если он имеет компактное притягивающее множество.

Определение 0.5. Множество А с Е называется глобальным аттрактором процесса {U(t, г)}, если оно замкнуто в Е, является притягивающим для процесса {U(t, г)} и обладает свойством минимальности, т.е. А принадлежит любому замкнутому притягивающему множеству этого процесса.

Легко видеть, что у процесса может быть не более одного глобального аттрактора. Это понятие было введено в работе [5] (см. также [151, 156, 158, 165]).

Утверждение 0.2. Если процесс {U(t,r)} асимптотически компактен, то он имеет компактный в Е глобальный аттрактор А <е Е.

Это утверждение будет доказано в §§ II.4, И.5. Там же установлено, что

А = ш(Р) :=П h> 0

U и^т)р t—T>h

0.24) где Р - любое компактное притягивающее множество процесса. В формуле (0.24) квадратные скобки [']Е обозначают замыкание в пространстве Е.

Рассмотрим процесс {С/(¿,т)}, отвечающий системе (0.20). В § II.6.1 доказано, что при выполнении условия (0.21) этот процесс имеет компактное в Е поглощающее множество. Это доказывается с помощью основных энергетических априорных оценок задачи.

Для описания общей структуры глобального аттрактора процесса нам понадобятся некоторые дополнительные понятия. Функция u(s),s € К, со значениями в Е называется полной траекторией процесса {U(t, г)}, если

U(t,T)u(r) = u(t) для всех t > г, t G Е. (0.25)

Полная траектория u(s) называется ограниченной, если множество ее значений {«(s), s G R} ограничено в Е.

Определение 0.6. Ядром /С процесса {?У(£,т)} называется семейство всех ограниченных полных траекторий этого процесса:

К, = {и(-) | а удовлетворяет (4.6) и Ци^Ня < Си, Ув Е К} .

Множество ед = {и(г) | и(-) е /С} с Е, ¿ен, называется сечением ядра в момент £.

Легко проверяется следующее свойство.

Утверждение 0.3. Если процесс {[/(£, т)} имеет глобальный аттрактор А, то все сечения его ядра принадлежат А :

У ОДС Л (0.26) ек

Отметим, что в общем случае включение (0.26) является строгим, т.е. на глобальном аттракторе А могут лежать точки, которые не являются значениями ограниченных полных траекторий исходного уравнения (0.18). Однако, как будет показано ниже, такие точки являются значениями ограниченных полных траекторий уравнений, "родственных" исходному уравнению. Чтобы описать эти "родственные" уравнения, вводится понятие временного символа рассматриваемого уравнения. Предположим, что все члены уравнения (0.18), которые явно зависят от времени £, можно записать в виде функции сг (¿), £ € К, со значениями в некотором банаховом пространстве Ф. При этом само уравнение (0.18) можно переписать в следующем виде: дги = А^){и), у\1=т = УТеЕ, £>г. (0.27)

Функция ст(£) называется временным символом уравнения. Например, в неавтономной системе (0.18) символом является внешняя сила <т(£) = (?о(',£), значения которой принадлежат пространству Н — Ф. Для простоты будем предполагать, что ст(£) 6 С(К;Ф).

Символ исходного уравнения (0.18) обозначим через о"о(£). Вместе с этим уравнением, имеющим символ «то(^), мы также рассмотрим уравнения (0.18), в которых символами служат функции ег(£) = ао^+к) при любом к £ Е. Кроме того, рассматриваются также уравнения, символы <т(£) которых получаются предельными переходами из последовательностей вида ао(£ + /г„) при п —> оо. Пределы берутся в пространстве С(К; Ф) в топологии С1ос(К;Ф), которая определяется следующим образом. По определению последовательность функций {£„(£)} из С(М; Ф) сходится к функции £(£) при п —» оо в топологии С1ос(К; Ф). если для любого фиксированного М > 0 тах ||£п(£) ~ 0, поо. е[-м,л/]

Введенная топология локальной равномерной сходимости в С(Е;Ф) является метризуемой, а соответствующее метрическое пространство полно (см. [165]).

Определение 0.7. Множество

ПЫ = [Wo(t + h)\he М}]сюс(к>ф) (0.28) называется оболочкой функции ao(t) в пространстве С1ос(К;Ф). Здесь, как обычно, квадратные скобки [ • ]С10с(КФ) обозначают замыкание в Cloc(R; Ф).

Рассматривается семейство уравнений (0.27), символы которых a(t) принадлежат оболочке H((Jq) символа crQ(t) исходного уравнения (0.18). Будем предполагать, что сто(£) является трансляционно-компактной функцией в Cloc(R; Ф).

Определение 0.8. Функция a0(t) € С1ос(Е;Ф) называется трансляционно-компактной в Cloc(R; Ф), если ее оболочка H(<tq) компактна в С1ос(Е; Ф).

Рассмотрим некоторые примеры трансляционно-компактных функций.

Пример 0.1. Пусть функция сг0 (¿) является почти периодической со значениями в банаховом пространстве Ф. По определению это означает, что ее оболочка ?i(a0) компактна в пространстве C&(R; Ф) с топологией равномерной сходимости на всей оси R (см. [72]). Топология С&(К;Ф), очевидно, сильнее топологии С1ос(К;Ф), поэтому, если множество %{oq) компактно в С|>(М; Ф), то оно компактно и в C'oc(R; Ф), т.е. функция cr0(t) трансляционно-компактна в CIoc(R; Ф).

Пример 0.2. Важным частным случаем почти периодических функций являются квазипериодические функции со значениями в Ф. Функция <70(t) € Cloc(R; Ф) называется квазипериодической, если она представима в виде ао(г) = Ф(а1г,а2г,.,акг) = ф(си), ф{т)е Ф, WeR, (0.29) где функция ф (и) = ф (wi, о>2, ■ • ■, oJk) является непрерывной и 27г-периодиче-ской по каждому аргументу изг G R : ф (wi----,(jjt + 2ж----,шк) = ф (uji, . ,иг + 2ж,. ,шк), г = 1,., к.

При к = 1 получаются периодические функции. Пусть Тк = [Rmod 2к}к обозначает /с-мерный тор. Тогда ф(ш) G С(Т^;Ф). Предполагается, что компоненты вектора à = (ai, а.^,., в (0.29) являются рационально независимыми (иначе можно сократить число независимых аргументов шг в представлении (0.29)). Легко показать, что оболочку квазипериодической функции <7o(i) в Cft(R; Ф) образуют функции ф(Ы + йг) |ûi еТк) =Ща0). (0.30)

Следовательно, оболочка %(сг0) является непрерывным образом А;-мерного тора Tfc. В частности, если функция ф(ш) является гладкой, то фрактальная размерность множества К(сто) не превосходит к : йР(ПЫ) <dF{Tk) =к, (0.31) и в случае общего положения равна к (неравенство в (0.31) может быть строгим).

Приведем также простейший пример трансляционно-компактной функции в Cloc(R; Ф), которая не является почти периодической или квазипериодической.

Пример 0.3. Пусть функция <Jo(t) Е Сь(К; Ф) удовлетворяет следующим свойствам: a0(t) —> ст+ (t —> +оо), сто(¿) —> (t —> — оо), причем сг+,<т £ Ф, о+ ф оТогда функция ст0, очевидно, не является почти периодической, однако функция cto(s) трансляционно-компактна в Cloc(R; Ф), и ее оболочка Ща0) = {ct0(s + h) | h е R} u (cr(í), ст+(£)}, где a±{t) = а± при всех t € R. Другие примеры трансляционно-компактных функций приведены в § IV.4.

Рассмотрим теперь семейство уравнений (0.27) с символами a(t) £ "Н(сто), где a0(t) трансляционно-компактная функция Cloc(R; Ф). Предполагается, что для каждого символа a 6 %(сго) задача Коши (0.27) однозначно разрешима при любом т е R и для каждого начального условия uT G Е. Следовательно, имеется семейство процессов {Ua(t,r)},a £ %{оо), действующих в пространстве Е. Семейство процессов {Ua(t, г)}, о £ %(ст0), называется {Е х %(сто), ^-непрерывным, если для любых t и т, í > т, отображение (u. a) i—Ua(t,T)u непрерывно из Е х H((Tq) в

Сформулируем основную теорему о структуре глобального аттрактора уравнения (0.27) с трансляционно-компактным символом cto(í), доказанную в диссертации. Процесс, порожденный этим символом, обозначим {Uao(t,T)}.

Теорема 0.1. Предположим, что функция ao(t) трансляционно-компакт-на в пространстве С1ос^;Ф). Пусть процесс {Uao(t,r)} является асимптотически компактным, а соответствующее ему семейство процессов {Ua(t,t)},a £ Щой). является (Е х %(oq),E)-непрерывным. Тогда процесс {Uao(t,t)} имеет глобальный аттрактор A Е, для которого справедливо следующее равенство:

А= IJ /СД0) = IJ Ka(t), (0.32) сгеи(сго) <теЩ(х0) где К,а - ядро процесса {Ua(t, г)} с символом а £ Ц(ао). Здесь t - любое фиксированное число. Ядро К,а не пусто при любом a £ %{ао).

Применим теорему 0.1 к исследованию неавтономной системы Навье-Стокса (0.20) и получим следующий результат.

Утверждение 0.4. Предположим, что внешняя сила go(-,t) в уравнении (0.20) является трансляционно-компактной функцией в С1ос(Ш;Н). Тогда процесс {Ugo(t, г)} задачи (0.20) имеет глобальный аттрактор A <s Е = Н, причем

А= U Кд{0), (0.33)

9^н(д0) de KLg - ядро системы Навье-Стокса с внешней силой g(-,t) £ И(до)•

Доказательство приведено в § II.6.1.

Сформулируем неавтономный аналог утверждения (0.7). Обозначим rt+l 1Ы1 1ь ■= sup /

Отметим, что II f ь < oo, если функция go является трансляционно-компак2 тнои в С1ос(К;Я). Предположим, что число Грасхофа G неавтономной системы Навье-Стокса (0.20) удовлетворяет неравенству llsoll^b 1

G := —/ < -, (0.34)

AVa Со где константа Со та же, что и в автономном случае.

Тогда система (0.20) имеет, и притом единственное, решение Zo(t),t G M, ограниченное в Я, (то есть ядро ¡С90 состоит из единственной траектории zo(t)). Это решение z0(t) является экспоненциально устойчивым: для любого решения u(t) уравнения (0.20) выполнено следующее неравенство:

Hi) - zo(t)\ < Cq\ut - zq{t)\e-W-T) Vf > г, (0.35) где u(t) = Ugo(t, t)ut (константы Со и ¡3 не зависят от ur и г). Если известно, что д0(хЛ) — ф{х, а^, a2t, • • •, a^t) ~ квазипериодическая функция, причем функция ф(й) € CLip(Tk\H) непрерывная по Липшицу, то zo(x,t) также квазипериодическая с тем же набором рационально независимых частот, т.е. zQ(x, t) = Ф(х, ait, a2t,., akt), (0.36) где Ф(х,сй) € СЬгр(Тк; Е) - некоторая непрерывная по Липшицу, периодическая функция относительно w е Тк. Доказательство приведено в § II.6.1.

С помощью неравенства (0.35) из утверждения 0.4 легко выводится, что глобальным аттрактором системы (0.20) при условии (0.34) служит множество

Л = [{z(t) I t G Ш}]н . (0.37)

Если дополнительно известно, что да(х, t) = ф(х, ait, a2t,., a^t) является квазипериодической функцией, то из представления (0.36) ограниченной траектории zo(t) и из (0.37) находим, что

Л = Ф(Т*). (0.38)

Поэтому, из непрерывности по Липшицу функции Ф, получаем оценку для фрактальной размерности аттрактора Л : dFH) = <ЫФ(Т*)) < dF(Tk) = к, а для его t-энтропии справедливо неравенство

Не(Л)<к\0Е

0.39)

Легко построить примеры функций д0(х^) для которых аил) = к.

Для этого достаточно выбрать подходящую гладкую функцию вида

0.36) и подставить ее в систему (0.20) для вычисления функции до(х, ¿). Так же строится пример почти периодической функции с .бесконечным набором частот, для которой

Эти примеры указывают на целесообразность изучения в общем случае колмогоровской г-энтропии глобального аттрактора Л неавтономной системы Навье-Стокса.

Приступим к изложению основных результатов диссертации по изучению колмогоровской ¿-энтропии глобальных аттракторов основных неавтономных уравнений математической физики.

Рассматривается семейство уравнений (0.27), в котором а{Ь) € %(<7о). Предполагается, что исходный символ <то(£) является трансляционно-компа-ктной функцией в пространстве С1ос(К; Ф). Рассматривается соответствующее ему семейство процессов {¿7СТт)}, а е 7/(сг0), действующих в Е. Предполагаются выполненными условия теоремы 0.1. Тогда процесс {иао^,т)} имеет глобальный аттрактор Л, который представим в виде (0.32).

Задача заключается в исследовании ¿-энтропии Н£(*Д) = Не(Л,Е) глобального аттрактора Л в пространстве Е. При этом предполагается известной ¿-энтропия множества По,г'Н(о'о) в пространстве С([0,/];Ф). Здесь П0>г обозначает оператор сужения на отрезок [0,/].

Сформулируем некоторые дополнительные условия для {1/ао (¿, г)}. Прежде всего, необходимо обобщить понятие квазидифференцируемости, введенное для полугрупп в формуле (0.10). Пусть {£/(£, г)} - некоторый процесс в Е. Пространство Е предполагается гильбертовым. Рассмотрим ядро К этого процесса. Из определения ядра вытекает следующее свойство строгой инвариантности сечений ядра:

Определение 0.9. Процесс {£/(£, г)} в Е называется равномерно квазидиф-ференцируемым на /С, если найдется семейство линейных ограниченных операторов {£(£, т, к,)}, где и € /С(т), £ > т, гбй, такое что

II [/(¿, т)щ-иц, т)и-цг, т, и)(щ-и)\\Е < 7(||И1 -и\\Е,Ь-т)\\и1 -и\\Е (0.41) для любых и. иг € К., причем функция 7 = 7(^,5) —У 0+ при £ —> 0+ для каждого фиксированного в > 0. аР(Л) = +оо. и(г,т)К(г) = /с(т), ш>т, тем.

0.40)

Предполагается, что процесс {Uao(t, г)} является равномерно квазидиф-ференцируемым на ядре /ССТо, причем его квазидифференциал порождается уравнением в вариациях dtz = AaoU{u(t))z, z\t=T = zTeE, (0.42) где u(t) = Uao(t,t)uT, uT g К,ао{т), т.е. L(t,r,uT)zT = z(t), где z(t) - решение задачи (0.42), которая предполагается однозначно разрешимой при всех ит £ К,(г0{т) для любого zT g Е. Аналогично (0.13) введем числа t q3 - lim sup sup - / Tr3(AaoU(u(s)))ds, (0.43) t-> +oo T6R вдек(т) t J 0 где u(t) = Uao(t, r)uT, а след Tr^L) линейного оператора L определен в (0.12).

Предполагается также выполнение следующего условия Липшица для семейства процессов {Ua(t, г)}, а £ H{<Jo) '■

Uai(h,0)u-Ua2(h,0)u\\E < Cih)^ -а2||с([о,л];Ф), (0.44) уаг,а2 g щао), uea,h>0.

Сформулируем основной результат.

Теорема 0.2. Пусть выполнены условия теоремы 0.1 и кроме того, пусть процесс {Uao(t,T)} является равномерно квазидифференцируемым на JCao, причем его квазидифференциалы порождены уравнением в вариациях (0.42), а для чисел q} (см. (0.43)) выполнены неравенства

Ъ < Qj, J = 1,2,3,. (0.45)

Предполагается выполненным условие Липшица (0.44) для семейства процессов {Ua(t,T)}, a g 'н(сто). Предполагается, что функция q3 выпукла вверх по j. Пусть т наименьшее число, такое что qm+1 < 0 (тогда qm > 0). Обозначим d = m + qm/{qm - qm+1).

Тогда для любого 5 > 0 найдутся такие числа a G (0,1), £о > 0, h > 0, что

Не(А) <(d + S) log2 + Нео(А) + Н- (По,Ыоб1/а(^Ы) , Ve < г0.

0.46)

Число C(h) такое же, как в условии Липшица (0.44)■

Доказательство этой теоремы приведено в главе IV. Сформулируем некоторые важные следствия.

Следствие 0.1. Предположим, что функция <To(í) является почти периодической, т.е. ее оболочка %(<7о) компактна в Cj,(M; Ф). Тогда неравенство (0.46) можно упростить:

Не(Д) < (d + 6) log2 + Н£0(Л) + Н^ (П(а0)), Ve < е0, (0.47) где Не (H(oq)) - e-энтропия оболочки 7i(a0) в пространстве Сь(Е;Ф).

В самом деле, e-энтропия множества По,;'Н(о'о) в С([0,/];Ф) не превосходит e-энтропию "Н(ст0) в СЬ(Е;Ф). Из оценки (0.47) видно, что в случае общей почти периодической функции a0(t), имеющей бесконечное число рационально независимых частот, основной вклад в оценку e-энтропии глобального аттрактора А вносит e/L-энтропия оболочки Ц(сго), где L — . Однако если функция сто (t) имеет конечное число частот, являясь квазипериодической, то вклад этой величины сравним с вкладом cüog2 (^г) , что приводит к конечномерности глобального аттрактора.

Следствие 0.2. Пусть в условиях теоремы 0.1 функция сто (t) - квазипериодическая вида <To(t) — ф(аa2í,., c¿kt) = 0(wí), где ф(и>i, w2,., uik) = ф(й) € CLip(T/c; Ф). Тогда оценка (0.47) выглядит так:

Не(Д) < (d + 5) log2 + Hео(Д) + к log2 , Ve < e0, (0.48) где К - константа Липшица из неравенства

Ufa) - Ф{й 2)||ф < K\\ü>i - ü2||Mk, \/й;ьй)2 G

Кроме того, d F{A)<d+k. (0.49)

Напомним, что в автономном случае при к = 0 аналогом оценки (0.49) является оценка (0.17), в которой X = А : dp (Л) < d. В неавтономном случае, когда к ф 0, имеет место оценка (0.49), в которой справа к d прибавляется число к рационально независимых частот квазипериодической функции

CTo(í).

Рассмотрим еще две важные характеристики компактного множества X в пространстве Е, введенные А.Н.Колмогоровым и В.М.Тихомировым в [55]. Число df (А, Е) = df (А) = m (0.50) log2log2(l/e) называется функциональной размерностью множества X в Е, а число ч№Я,=ч(ДГ)=ш!^Ш> (0.5!) называется его метрическим порядком в Е. Легко видеть, что df(X) = 1. q(A") = 0. если dp(A') < +ос. Поэтому величины df(AT) и q(A) характеризуют бесконечномерные множества. Примеры вычисления этих величин для различных классов функций приведены в [55] (см. также [27]).

Следствие 0.3. Пусть сг0(£) - почти периодическая функция, тогда df(Л) < ^(П(а0),Сь(Ш-Щ, (0.52) я(-Д) < (0.53)

Теперь коротко изложим применение теоремы 0.2 и следствий 0.1 - 0.3 к неавтономной системе Навье-Стокса (0.20). Как уже отмечалось (см. утверждение 0.4, эта система имеет глобальный аттрактор Л в Е = Н, который представим в виде (0.33).

Теорема 0.3. При выполнении условий утверждения 0.4 найдутся числа /1 > О,! > 0,ео > 0 и а < 1 такие, что

Не(Л) < сС1оё2 + Нео (Л) + Щ (Щд0)0Моё1/Лш)) (0.54) для любого е < е0, О - число Грасхофа, определенное в (0.34), а с -некоторая абсолютная константа.

Следствие 0.4. Если функция до(з) является квазипериодической, у которой имеется к рационально независимых частот, то

Не(Л) < сС1об2(^)+Не0(Л) + Ыое2^, Уе<е0, АРЛ < св + к (0.55) для некоторых положительных чисел а,Ь и ео.

При к = 0 оценка (0.55) совпадает с оценкой (0.8) для фрактальной размерности глобального аттрактора автономной 2Б системы Навье-Стокса.

Аналогичные результаты об оценках сверху е-энтропии и фрактальной размерности глобальных аттракторов получены для многих классов уравнений математической физики, а именно для неавтономных систем реакции-диффузии, для уравнений Гинзбурга-Ландау, содержащих члены, зависящие от времени, а также для неавтономных диссипативных волновых уравнений. Отметим, что методы, разработанные в диссертации применимы к исследованию весьма широких классов неавтономных уравнений математической физики.

Дадим краткое описание содержания диссертации по главам. Диссертация состоит из введения и пяти глав.

1. Бабин А.В., Вишик М.И. Неустойчивые инвариантные множества полугрупп нелинейных операторов и их возмущения // УМН. 1986. Т. 41. N 4. С. 3-34.

2. Бабин А.В., Вишик М.И. Uniform finite-parameter asymptotics of solutions of nonlinear evolutionary equations //J. Math. Pures Appl. 1989. V. 68. P. 399-455.

3. Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука, 1989.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

5. Билотти Дж.Е., Ла-Салль Ж.П. (Billotti J.E., LaSalle J.P.) Dissipative periodic piocesses // Bull. Amer. Math. Soc. 1971. V. 77. P. 1082-1088.

6. Блинчевская M.A., Илъяшенко Ю.С. Estimate for the entropy dimension of the maximal attractor for /¿-contracting systems in an infinite-dimensional space // Russian J. Math. Physics. 1999. V. 6. N 1. P. 20-26.

7. Бойченко В.А. Франц А., Леонов Г.А., Рейтман В. (Boichenko V.A., Franz A., Leonov G.A., Reitmann V.) Hausdorff and fractal dimension estimates for invariant sets of non-injective maps //J. Analysis and Appl. 1998. V. 17. N 1. P. 207-223.

8. Болл Дж.М. (Ball J.M.) Continuity properties and global attractors of generalized semiflows and the Navier-Stokes equations //J. Nonlin. Sci. 1997. V. 7. P. 475-502.

9. Бородин С.М. О поведении при t —> +оо решений некоторых неавтономных уравнений // Вестн. МГУ. Сер. 1. Математика, механика. 1990. Т. 45. N 6. С. 51-53.

10. Бункин Ф.В., Кириченко Н.А., КукъянчикБ.С. Явления самоорганизации в лазерной термохимии. Нелинейные волны. Динамика и эволюция, под редакцией А.В.Гапонова-Грекова и М.И.Рабиновича. М.: Наука, 1989. С 113 126

11. Вейнштей М. ( Weinstein М.) Nonlinear Schrodinger equations and sharp interpolation estimates // Comm. Math. Phys. 1983. V. 87. P. 567-576.

12. Велдкамп X. ( Veldcamp H.) Ecological studies with chemostat // Adv. Microbial Ecol. 1977. V. 1. P. 59-95.

13. Вишик М.И. Asymptotic behaviour of solutions of evolutionary equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

14. Вишик М.И., Чепыжов В.В. Аттракторы неавтономных динамических систем и оценка их размерности // Матем. заметки. 1992. Т. 51. N 6. С. 141-143.

15. Вишик М.И., Чепыжов В. В. Аттракторы периодических процессов и оценки их размерностей // Матем.заметки. 1995. Т. 57. N 2. С. 181-202.

16. Вишик М.И., Чепыжов В. В. Оценки колмогоровской е-энтропии для равномерных аттракторов неавтономных систем реакции-диффузии // Матем. сб. 1998. Т.189. N 2. С. 81-110.

17. Вишик М.И., Фурсиков А.В. Mathematical problems of statistical hydromechanics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1987.

18. Гацола Ф., Пата В. (Gazzola F., Pata V.) A uniform attractor for a non-autonomous generalized Navier-Stokes equation //J. Anal. Appl. 1997. V. 16. N 2. P. 435-449.

19. Гацола Ф., Сарделла M. (Gazzola F., Sardella M.) Attractors for families of processes in weak topologies of Banach spaces // Discr. Cont. Dyn. Syst. 1998. V. 4. N 3. P. 455-466.

20. Гидалья Ж.-M., Эрон Б. (Ghidaglia J.M., Héron В.) Dimension of the attractors associated to the Ginzburg-Landau partial differential equation // Physica 28D. 1987. P. 282-304.

21. Гидалья Ж.-M., Темам P. (Ghidaglia J.M., Temam R.) Attractors for damped nonlinear hyperbolic equations // J. Math. Pures Appl. 1987. V. 66. P. 273-319.

22. Гоббино M. Сарделла M. (Gobbino M., Sardella M.) On the connectedness of attractors for dynamical systems // J. Diff. Eq. 1997. V. 133. P. 1 14.

23. Горицкий А.Ю., Вишик M.И. Integral manifolds for nonautonomous equations // Rendiconti Academia Nazionale delle Scienze detta dei XL. Memorie di Matematica e Applicazioni. 1997. V. XXI. 115°. fasc.l. P. 109146.

24. Ppacôepzep /7., HpoKama M. (Grassberger P., Procaccia I.) Dimensions and entropies of strange attractors from a fluctuation dynamics approach // Physica 13D. 1984. P. 34-54.

25. Данфорд H., Шварц Дж. T. (Dunford N., Schwartz J. Т.) Линейные опра-торы. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

26. Дафермос С.М. (Dafermos С.M.) Semiflows generated by compact and uniform processes // Math. Systems Theory. 1975. V. 8. P. 142-149.

27. Дафермос С.М. (Dafermos С.М.) Almost periodic processes and almost periodic solutions of evolutional equations. Proceedings of the University of Florida. International Symposium. New York: Academic Press, 1977. P. 43-57.

28. Доринг К.P., Гиббон Дж.Д., Холм Д.Д., Николаенко Б. (Doering C.R., Gibbon J.D., Holm D.D., Nicolaenco В.) Low-dimensional behaviour in the complex Ginzburg-Landau equation // Nonlinearity. 1988. V. 1. P. 279309.

29. Доринг К.P., Гиббон Дж.Д., Левермор К.Д. (Doering C.R., Gibbon J.D., Levermore C.D.) Weak and strong solutions of the complex Ginzburg-Landau equation // Physica D. 1994. V. 71. P. 285-318.

30. Дуади А., Остерле Ж. (Duady A., Oesterlé J.) Dimension de Hausdorff des attracteurs // C. R. Acad. Sci. Paris. 1980. V. 290. Série A. P. 11351138.

31. Дубинский Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Матем. сб. 1965. Т. 67. N 4. С. 609-642.

32. Дунг Л., Хсу Х.Л. (Dung L., Hsu H.L.) On a parabolic system modelling microbial competition in an unmixed bio-reactor // 1996. J. Diff. Eq. V. 130. N 1. P. 59-91.

33. Дунг Л. (Dung L.) Global attractors and steady state solutions for a class of reaction-diffusion systems // 1998. J. Diff. Eq., V. 147. P. 1-29.

34. Зиан M. (Ziane M.) Optimal bounds on the dimension of the attractor of the Navier-Stokes equations // Physica D. 1997. V. 105. P. 1-19.

35. Ильин A.A. Lieb-Thirring inequalities on the N-sphere and in the plane and some applications // Proc. London Math. Soc. 1993. V.67. (3). P. 159-182.

36. Ильин A.A. Attractors for Navier-Stokes equations in domain with finite measure // Nonlinear Anal. Theory Meth. k Appl. 1996. V. 27. N 5. P. 605-616.

37. Ильин A.A. Best constants in Sobolev inequalities on the sphere and in Euclidean space //J. London Math. Soc. 1999. V. 59. N 2. P. 263-286.

38. Илълшенко Ю С Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркин-ских приближений уравнений Навье-Стокса на двумерном торе // Успехи механики 1982 Т 5 N 1 С 31-63

39. Капитанский Л В Minimal compact global attractor for a damped semilinear wave equations // Comm Part Diff Eq 1995 V 20 N 7-8 P 1303 1323

40. Капитанский Л В , Костин ИН Аттракторы нелинейных эволюционных уравнений и их аппроксимации//Алгебра и анализ 1990 V 2 N 1 С 114-140

41. Клоеден П E Козякин В С (Kloeden P E , Koziakm V S ) The inflation of attractors and their discretization The autonomous case // Nonlinear Anal 2000 Theory Methods Appl V 40A N 1-8 P 333-343

42. Клоэден П E , Козякин В С (Kloeden P E , Koziakm V S ) Single parameter dissipativity and attractors in discrete time asynchronous systems // J Difference Equ Appl 2001 V 7 N 6 P 873-894

43. Ко пмогоров A H, Тихомиров В M ^-энтропия и е-емкость множеств в функциональных пространствах//УМН 1959 V 14 N 2 С 3 86

44. Колмогоров А Н, Фомин С В Элементы теории функций и функционального анализа М Наука, 1981

45. Конвей Дж , Слоэн Н (Conway J Н , Sloan N J А) Упаковки шаров, решетки и группы М Мир, 1990

46. Константин П, Фояш С (Constantm Р, Foias С ) Global Lyapunov exponents, Kaplan-Yorke formulas and the dimension of the attractors for 2D Navier-Stokes equations // Comm Pure Appl Math 1985 V 38 P 1-27

47. Константин П , Фояш С (Constantm P , Foias С) Navier-Stokes equations Chicago The Lm\ersity of Chicago Press, 1989

48. Константин П Фояш С , Темам Р (Constantm Р , Foias С , Тетат R ) Attractors representing turbulent flows Mem Amer Math Soc V 53 1985

49. Константин П Фояш С , Темам Р (Constantm Р , Foias С , Тетат R ) On the dimension of the attractors m two-dimensional turbulence // Plrvsica D 1988 \ 30 P 284-296

50. Копель H. Ховард Л.H. (Kopeil N., Howard L.N.) Plane wave solutions to réaction-diffusion équations // Stud. Appl. Math. 1973. V. 52. N. 5. P. 291-328. P. 3-86.

51. Корнфелъд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория. М.: Наука, 1980.

52. Курамото И., Тсузуки T. (Kuramoto Y., Tsuzuki T.) On the formation of dissipative structures in reaction-diffusion systems. Réduction perturbation approach // Progr. Theor. Phys. 1975. V. 54. P. 687-699.

53. Курант P., Гильберт Д. (Courant R., Hilbert D.) Методы математической физики. T. I—II. M.: Гостехиздат, 1951.

54. Ладыженская О.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Физматгиз, 1961.

55. Ладыженская О.А. О динамической системе, порождаемой уравнениями Навье-Стокса // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1972. Т. 27. С. 91-115.

56. Ладыженская О.А. О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье-Стокса и других диссипативных систем // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1982. V. 111. С. 57-73.

57. Ладыженская О.А. О нахождении минимальных глобальных аттракторов для уравнений Навье-Стокса и других уравнений с частными производными // УМН. 1987. Т. 42. N 6. С. 25-60.

58. Ладыженская О.A. Attractors for Semigroups and Evolution Equations. Leizioni Lincei. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

59. Ла-Саллъ Ж.П. (LaSalle J.P.) Stability Theory and invariance principles. Dynamical systems. V. 1. Academic Press. 1976. P. 211-222.

60. Левитан Б.M., Жиков В.В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1978.

61. Леонов Г.А. Формулы для ляпуновской размерности аттракторов Эно-на и Лоренца // Алгебра и анализ. 2001. Т. 13. N 3. С. 1-12.

62. Л ере Ж. (Leray J.) Etude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique // J. Math. Pures Appl. 1933. V. 12. P. 1-82.

63. Лере Ж. (Leray J.) Essai sur les mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parois // J. Math. Pures Appl. 1934. V. 13. P. 331-418.

64. Лере Ж. (Leray J.) Essai sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace // Acta Math. 1934. V. 63. P. 193-248.

65. Ли П., Йу С.-Т. (Li P., Yau S.-Т.) On the Schrodinger equation and the eigenvalue problem // Comm. Math. Phys. 1983. V. 8. P. 309-318.

66. Лионе Ж.-Л., Маженес Э. (Lions J.-L., Magenes E.) Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

67. Лионе Ж.-Л. (Lions J.-L.) Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

68. Лиу В.К. (Liu V.X.) A sharp lower bound for the Hausdorff dimension of the global attractor of the 2D Navier-Stokes equations // Comm. Math. Phys. 1993. V. 158. P. 327-339.

69. Лихтенберг А., Либерман M. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984.

70. Лоренц Е.Н. (Lorenz E.N.) Deterministic nonperiodic flow // J. Atmos. Sci. 1963. V. 20. P. 130-141.

71. Малек Ж., Некас Ж. (Malek J., Necas J.) A finite-dimensional attractor for three dimensional flow of incompressible fluids //J. Diff. Eq. 1996. V. 127. P. 498-518.

72. Мане P. (Mâné R.) On the dimension of the compact invariant sets of certain nonlinear maps. Lecture Notes in Mathematics. V. 898. New-York: Springer-Verlage, 1981.

73. Марион M. (Marion M.) Attractors for reaction-diffusion equations: existence and estimate of their dimension // Appl. Anal. 1987. V. 25. P. 101-147.

74. Марион M. (Marion M.) Finite-dimensional attractors associated with partly dissipative reaction-diffusion systems // SIAM J. Math. Anal. 1989. V. 20. N 4. P. 816-844.

75. Метивъе Г. (Métivier G.) Valeurs propres d'opérateurs définis sur la restriction de systèmes variationnels à des sous-espaces // J. Math. Pures Appl. 1978. V. 57. P. 133-156.

76. Мешалкин Л.Д. Синай Я.Г. Исследование устойчивости стационарного решения одной системы уравнений плоского движения несжимаемой вязкой жидкости // ПММ. 1961. Т. 25. N 6. С. 1140-1143.

77. Миллер Р.К. (Miller R.K.) Almost periodic differential equations as dynamical systems with applications to the existence of almost periodic solutions // J. Diff. Eq. 1965. V. 1. P. 337-395.

78. Миллер P.К., Селл Дж.Р. (Miller R.K., Sell G.R.) Topological dynamics and its relation to integral and nonautonomous systems. International Symposium. V. I. 1976. New York: Academic Press. P. 223-249.

79. Мильке A. (Mielke Л.) The complex Ginzburg-Landau equation on large and unbounded domains: sharper bounds and attractors // Nonlinearity. 1997. V. 10. P. 199-222.

80. Миранвиль A. (Miranville A.) Exponential attractors for a class of evolution equations by a decomposition method // C. R. Acad. Sci. 1999. V. 328. Serie I. P. 145-150.

81. Миранвиль А., Ванг К. (Miranville A., Wang X.) Attractors for nonautonomous nonhomogeneous Navier-Stokes equations // Nonlinearity. 1997. V. 10. P. 1047-1061.

82. Насибов Ш.М. Об оптимальных константах в некоторых неравенствах Соболева и их применения к уравнению Шредингера // Докл. акад. наук СССР. 1989. V. 307. С. 538-542.

83. Нейнмарк Ю.И. Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Мир, 1987.

84. Пата В., Проузе Дж., Вишик М.И. (Pata V., Prouse G., Vishik M.I.) Travelling waves of dissipative non-autonomous hyperbolic equations in a strip // Adv. Diff. Eq. 1998. V. 3. P. 249-270.

85. Руан B.X., Пао С.В. (Ruan W.H., Pao C.V.) Asymptotic behaviour and positive solutions of a chemical reaction diffusion system //J. Math. Anal. Appl. 1992. V. 169. P. 157-178.

86. Руэлъ Д., Такенс Ф. (Ruelle D., Takens F.) On the nature of turbulence. I,II // Com. Math. Phvs. 1971. V. 20. P. 167-192.

87. Селл Дж.Р. (Sell G.R.) Non-autonomous differential equations and topological dynamics I, II // Trans. Amer. Math. Soc. 1967. V. 127. P. 241-262, P. 263-283.

88. Селл Дж.Р. (Sell G.R.) Lectures on topological dynamics and differential equations. Princeton: Van-Nostrand-Reinhold, 1971.

89. Смилей M. У. (Smiley M.W.) Regularity and asymptotic behavior of solutions of nonautonomous differential equations //J. Dyn. Diff. Eq. 1995. V. 7. N 2. P. 237-262.

90. Смолер Ж. (Smoller J.) Shock waves and reaction-diffusion equations. New York: Springer-Verlag, 1983.

91. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

92. Сшампачия Р. (Stampacchia G.) Eqations elliptiques du second ordre à coefficients discontinus. Montreal: Presses de l'Université Montreal, 1966.

93. Стейн M. (Stein I.M.) Singular integrals and differentiability properties of functions. Princeton: Princeton University Press, 1970.

94. Странные аттракторы. Сб.статей. M.: Мир, 1984.

95. Такеучи И. ( Takeuchi Y.) Global dynamical properties of Lotka-Volterra systems. Singapore: World Scientific, XII, 1996.

96. Темам P. (Temam R.) Уравнения Навье-Стокса: Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981.

97. Темам P. (Temam R.) Navier-Stokes equations and nonlinear functional analysis. Philadelphia: Soc. Industr. and Appl. Math., 1983, 1995.

98. Темам. P. ( Temam R.) Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Applied Mathematics Series. V. 68. New York: SpringerVerlag, 1988, 1997.

99. Тиулен П. ( Thieullen P.) Entropy and the Hausdorff dimension for infinite-dimensional dynamical systems //J- Dyn. Diff. Eq. 1992. V. 4. N 1. P. 127 159.

100. Тихомиров В. M. Об е-энтропии некоторых классов аналитических функций // ДАН СССР. 1957. Т. 117. N. 2. С. 191-194.

101. Трибелъ X. ( Triebel H.) Interpolation theory, functional spaces, differential operators. Amsterdam: North-Holland, 1978.

102. Уолтман П. ( Waltman P.) Competition models in population biology. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 1983.

103. Фабри П., Миранвилъ А. (Fabrie P., Miranville A.) Exponential attrac-tors for nonautonomous first-order evolution equations // Discr. Cont. Dyn. Syst. 1998. V. 4. N 2. P. 225-240.

104. Файразл E. (Feireisl E.) Attractors for wave equations with nonlinear dissipation and critical exponent // C. R. Acad. Sci. Paris. 1992. V. 315. Série I. P. 551-555.

105. Файразл E. (Feireisl E.) Exponentially attracting finite-dimensional sets for the processes generated by nonautonomous semilinear wave equations // Funkcialaj Ekvacioj. 1993. V. 36. P. 1-10.

106. Файразл E. (Feireisl E.) Finite-dimensional behaviour of a nonautonomous partial differential equation: Forced oscillations of an extensible beam // J. Diff. Eq. 1993. V. 101. P.302-312.

107. Федерер X. (Federer H.) Geometric Measure Theory. New-York: SpringerVerlag, 1969.

108. Фидлер Б. (Fiedler В.) Global attractors of one-dimensional parabolic equations: Sixteen examples // Tatra Mt. Math. Publ. 1994. V. 4. P.67-92.

109. Фидлер Б., Роша С. (Fiedler В., Rocha С.) Heteroclinic orbits of semilinear parabolic equations // J. Diff. Eq. 1996. V. 125. P. 239-281.

110. Фиц-Хуг P. (Fitz-Hugh R.) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membranes // Biophys. J. 1961. V. 1. P. 445-446.

111. Фояш С., Темам P. (Foias С., Ternam R.) Some analytic and geometric properties of the solutions of the Navier-Stokes equations //J. Math. Pures Appl. 1979. V. 58. N 3. P. 339-368.

112. Фояш С., Темам P. (Foias С., Ternam R.) Finite parameter approximative structure of actual flows. Nonlinear Problems: Problems and Future, (A.R.Bishop, D.K.Campbell, and B.Nicolaenco, eds). Amsterdam: North-Holland, 1982.

113. Фояш С., Темам P. (Foias С., Ternam R.) Asymptotic numerical analysis for the Navier-Stokes equations. Nonlinear Dynamics and Turbulence, (G.I.Barenblatt. G.Iooss, D.D.Joseph, eds). London: Pitman, 1983. P. 139155.

114. Хаит Б.Р. (Hunt B.R.) Maximal local Lyapunov dimension bounds the box dimension of chaotic attractors // Nonlinearity. 1996. V. 9. P. 845-852.

115. Хант Б.Р., Калош,ин В.И. (Hunt B.R., Kaloshin V. Y.) Regularity of em-beddings of infinite-dimensional fractal sets into finite-dimensional spaces // Nonlinearity. 1999. V. 12. P. 1263-1275.

116. Хейл Дж.К. (Hale J.К.) Asymptotic behavior and dynamics in infinite dimensions. Nonlin. Diff. Eq. (ed. J.K.Hale, P.Martinez-Amores). Research Notes in Math.1985. V. 132. P. 1-42.

117. Хейл Дж.К. (Hale J.К.) Asymptotic behaviour of dissipative systems. Math. Surveys and Mon. V. 25. Providence: AMS. 1988.

118. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

119. Хёрмандер Л. (Hormander L.) Линейные дифференциальные операторы с частными приозводными. М.: Мир, 1965.

120. Хопф Е. (Hop} Е.) Uber die Anfangswertaufgable fur die hydrodynamischen Grundgleichungen // Math. Nachr. 1951. V. 4. P. 213-231.

121. Xcy С.-Б., Уолтман П. (Hsu S.-B., Waltman P.) On a system of reaction-diffusion equations arising from competition in the unstirred chemostat // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. P. 1026-1044.

122. Чей Жи-Мин. (Zhi-Min Chen) A note on Kaplan-Yorke-type estimates on the fractal dimension of chaotic attractors // Chaus, Solitons & Fractals. 1993. V. 3. N 5. P. 575-582.

123. Чефи H., Инфанте E. (Chafee N., Infante E.) A bifurcation problem for a nonlinear parabolic equation // J. Appl. Anal. 1974. V. 4. P. 17-37.

124. Чепыжов В.В. Неограниченный аттрактор квазилинейного параболического уравнения // Вестн. Моск. унив. 1986. Т. 87. Сер. I. N 6. С.52.54.

125. Чепыжов В.В. Неограниченный аттрактор квазилинейного параболического уравнения // УМН. 1986. Т. 41. N 4. С. 171-172.

126. Чепыжов В. В. О неограниченных инвариантных множествах и аттракторах некоторых квазилинейных уравнений и систем параболического типа // УМН. 1987. Т. 42. N 5. С. 219-220.

127. Чепыжов В. В. Неограниченные аттракторы некоторых параболических систем дифференциальных уравнений и оценки их размерности // Доклады Акад. Наук СССР. 1988. Т. 301. N 1. С. 46-49.

128. Чепыжов В.В. Оценка фрактальной размерности аттракторов неавтономных уравнений // УМН. 1998. Т.53. N.4. С.174.

129. Чепыжов В.В., Ильин А.А. О фрактальной размерности инвариантных множеств; приложения к уравнениям Навье-Стокса. Препринт N 22. Институт прикладной математики им.М.В.Келдыша. РАН. 2000. С. 1-20.

130. Чепыжов В.В., Ильин A.A. A note on the fractal dimension of attractors of dissipative dynamical systems // Nonlin. Anal. The. Meth. & Appl. 2001. V. 44. N 6. P. 811-819.

131. Чепыжов В.В., Ильин A.A. On the fractal dimension of invariant sets; applications to Navier-Stokes equations // Discrete and Continuous Dynamical Systems, принято к печати.

132. Чепыжов В.В., Горицкий А.Ю. Unbounded attractors of evolution equations. Properties of global attractors of partial differential equations. Adv. Soviet Math. Providence: AMS, 1992. P. 85-128.

133. Чепыжов В.В., Горицкий А.Ю. Global integral manifolds with exponential tracking for nonautonomous equations // Russian J. Math. Physics. 1996. V. 5. N 1. P. 9-28.

134. Чепыжов В.В., Горицкий А.Ю. Explicit construction of integral manifolds with exponential tracking // Appl. Anal. 1999. V. 71 N 1-4. P.237-252.

135. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Non-autonomous dynamical systems and their attractors. Appendix in the book: Вишик M.И. Asymptotic behaviour of solutions of evolutionary equations. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

136. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Non-autonomous evolution equations with almost periodic symbols // Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano. 1992. V.LXXII. P. 185-213.

137. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Attractors for non-autonomous evolution equations with almost periodic symbols // C. R. Acad. Sci. Paris. 1993. V. 316. Série I. P. 357-361.

138. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Families of semiprocesses and their attractors // C. R. Acad. Sci. Paris. 1993. V. 316. Série I. P. 441-445.

139. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Dimension estimates for attractors and kernel sections of non-autonomous evolution equations // C. R. Acad. Sci. Paris 1993. V. 317. Série I. P. 367-370.

140. Чепыжов В.В., Вишик M.И. Non-autonomous evolution equations and their attractors // Russian J. Math. Physics. 1993. V. 1. N 2. P. 165-190.