Методы анализа динамики управляемых систем

Зубов, Иван Владимирович

Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа динамики управляемых систем

доктора физико-математических наук: Зубов, Иван Владимирович
город: Санкт-Петербург
год: 2004
специальность ВАК РФ: 05.13.01

Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Методы анализа динамики управляемых систем»

Автореферат диссертации по теме "Методы анализа динамики управляемых систем"

На правах рукописи

Зубов Иван Владимирович

МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

Специальность

05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических

наук

Москва 2004

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете

Научный консультант доктор технических наук Дивеев А.И. Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор Гребенников Е.А. Доктор физико-математических наук, профессор Рябов Ю.А. Доктор физико-математических наук Миронов В.В.

Ведущая организация:

Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова Российской академии наук

Защита диссертации состоится «#» ииОН-Л 2004 г. в « Ш » часов

на заседании диссертационного совета Д 002.017.03 при Вычислительном центре им. А.А. Дородницына Российской академии наук по адресу: 119991, г. Москва ул. Вавилова 42, в конференц зале.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ВЦ РАН.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Главной современной проблемой развития науки, техники и технологии являются фундаментальные исследования в области моделирования, управления, качественного и количественного анализа динамики сложных систем. Необходимость разработки новых качественных и количественных методов исследования динамики систем, построения программных управлений связана с поиском условий устойчивого, надежного и безопасного функционирования сложных динамических систем, имеющих различные особенности. В наступившем столетии создание новых технологий, сложных информационных и технических систем не может обойтись без развития фундаментальной науки в различных отраслях знаний.

Величайшее открытие XX века - компьютер. Связанные с ним революционные изменения в хранении и передаче данных, управлении и моделировании с каждым годом еще более подчеркивают необходимость приоритетного и ускоренного развития фундаментальных исследований, без которых компьютерные технологии оказываются беспомощными при решении приоритетных задач, стоящими перед человечеством, среди которых: создание новых космических технологий и дальнейшее освоение космического пространства; создание новых энергетических технологий переработки и использования газа, нефти и каменного угля и создание децентрализованных автоматизированных систем энергоснабжения; создание общемировой динамической системы связи с использованием спутниковых и лазерных систем; глобальное решение транспортной проблемы; создание новых биотехнологий для решения продовольственной проблемы; создание многофункциональных гибких автоматизированных систем.

Решение указанных проблем не может быть осуществлено без серьезной научной проработки и создания математических моделей и методов исследования динамики функционирования сложных систем с учетом надежности и безопасности, исследования взаимных соотношений между отказоустойчивостью и эффективностью и т.д., с различного рода особенностями и условиями.

1 рос национальная!

I БИБЛИОТЕКА }

|-----СП епрЛпг^^А

« о» уаЧшкгОоу3|

производных. В настоящее время развитие методов системного анализа динамических систем и процессов управления обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, задачи обработки информации и прогнозирования поведения систем. Появившиеся в настоящее время возможности использования компьютерной техники, в том числе систем сбора данных на базе микрокомпьютерных систем в задачах управления (SCADA), заставляет математиков пересматривать существующие и создавать новые методы исследования, позволяющие разрабатывать математическое обеспечение систем управления, как обладающее высокими операционными скоростями, так и вполне учитывающее все особенности математической модели.

Проблемы анализа динамики управляемых систем, рассматриваемые в диссертации. Практическая сложность исследования реальных систем и процессов управления, описываемых с помощью подобных систем дифференциальных уравнений, состоит не просто в многомерности обобщенного фазового состояния, но и в трудности выделения существенных для данной задачи характеристик процесса на фоне различного типа особенностей его поведения в целом. К числу последних относятся:

Проблема наиболее точного прогнозирования динамики системы;

Проблема нахождения инвариантных множеств;

Проблема устойчивости инвариантных множеств;

Возможная неограниченность части фазовых координат;

Проблема перерегулирования;

Данному кругу вопросов и посвящена настоящая диссертация.

В ней развивается математического аппарат, позволяющий осуществлять анализ и синтез систем управления с точки зрения более точного прогнозирования динамики системы, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения компьютеров.

вость по Лагранжу, наличие областей притяжения инвариантных множеств общих систем и их границы. При прямом компьютерном моделировании полученная дискретная модель может не сохранять основных перечисленных свойств моделируемой системы и давать тем самым неверный прогноз динамики системы. Собственно это обстоятельство и обусловило выдвижение Смейлом задачу о соответствии компьютерной модели аттрактора Лоренца действительному поведению этой системы как одной из основных математических проблем XXI века.

Необходимым математическим аппаратом описания динамических процессов являются системы дифференциальных уравнений. Поэтому задачи современной автоматики, т.е. задачи создания новых эффективных систем управления различными технологическими комплексами и техническими объектами, обусловливают развитие методов исследования линейных и нелинейных систем обыкновенных и в частных производных дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования систем автоматического управления. Задачи управления на протяжении последних десятилетий были основными "потребителями" достижений качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории нелинейных колебаний.

Задача прогнозирования поведения моделируемых систем в количественном плане сводится к численному интегрированию уравнений динамики. В качественном плане - к аналитическому исследованию системы для установления структурных особенностей моделируемой системы - наличия инвариантных множеств, характера предельного поведения решений.

Наиболее важная проблематика в задачах управления - изучение уравнений динамики систем. Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений

где X - вектор фазовых переменных, и - вектор управления. Одной из основ- -ных задач теории управления является построение управления, обеспечивающего существование инвариантного множества М системы (1), обладающего требуемыми в приложении свойствами. Инвариантным множеством может являться и положение равновесия. Наиболее распространенным является требование асимптотической устойчивости в целом для инвариантного множества М. Если под инвариантным множеством понимается определенный режим функционирования управляемой системы, то задача управления формулируется как нахождение управления, обеспечивающего устойчивость за-

данного режима системы. В классической теории управления достаточно хорошо изучены вопросы динамики управляемых систем с инвариантным множеством, являющимся положением равновесия или, может быть, заданной интегральной гиперповерхностью. Но новые задачи ставят вопрос об изучении систем с несколькими положениями равновесия, когда множество точек покоя системы (1) может быть не связно, причем сами точки покоя могут быть и неустойчивыми.

В задачах управления особенную важность и наибольшее распространение имеют общие динамические системы, т.е. системы, представляющие полугруппу преобразований фазового пространства.

Инвариантные множества общей системы могут не являться интегральными многообразиями, т.е. не состоять из целых траекторий, но именно они являются важнейшим объектом исследования в задачах управления.

Предельные режимы, автоколебания, аттракторы. В последние три десятилетия в круг исследования вошли нелинейные системы с несколькими неустойчивыми положениями равновесия, обладающие компактными глобально притягивающими множествами. Эти математические модели имеют не только большое теоретическое, но и практическое значение. Академик О.А. Олейник отмечала: "Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными"1.

Термин аттрактор является достаточно устоявшимся в русской математической терминологии, однако не лишним является указание на то. что это понятие тесно связано с понятием автоколебание. Любое автоколебание, по определению, является аттрактором, но аттрактор может представлять собой

'Олейник O.A. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях. МГУ,1996.http://www.mmonline.ru/articles php3?mid=1367

совокупность нескольких автоколебаний.

В электродинамике известен экспериментально установленный факт, что фокусировка пучка заряженных частиц приводит к его нагреву и расплыва-ние приводит к охлаждению. Математически это следует из теоремы Н.Н.Кра-совского об асимптотической устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений. После установления В.И. Зубовым универсальности системы уравнений Максвелла появилась возможность аналитического конструирования управляющих полей. Однако вышеуказанное обстоятельство не позволяет строить модели, обладающие асимптотической устойчивостью и в пространстве скоростей и пространстве координат. Выходом из существующего положения является конструирование и применение моделей, имеющих глобально притягивающие асимптотически устойчивые инвариантные множества, которые имеют неустойчивые положения равновесия. В этом случае ограничения критерия Красовского могут быть сняты.

Этот пример показывает, что рассмотрение математических моделей, основанных на аттракторах является актуальной проблематикой теории управления. Рассмотрение этих моделей позволяет существенно расширить круг рассматриваемых дифференциальных систем, т.к. системы, имеющие только неустойчивые положения равновесия становятся "пригодными для задач управления". Ранее такие системы в задачах управления не рассматривались.

Дж. Биркгоф показал, что в окрестности неособой точки система дифференциальных уравнений, описывающая динамику системы, может быть приведена заменой переменных к виду Это называется также теоремой о выпрямлении и основной теоремой теории дифференциальных уравнений. Это объясняет то, что исследования уравнений динамики проводятся только в окрестности особых точек. Однако такое исследование не может дать ответа на вопрос о существовании глобально устойчивого инвариантного в смысле общей системы (инвариантного для полупотока) инвариантного множества в общем нелинейном случае. Пример Э. Лоренца показывает это. Гомеоморфность векторного поля в окрестности неособой точки постоянному полю e1 показывает, что движения локально топологически эк-вивалентены семейству прямых, т.е. имеют структуру уходящего движения.

существовании глобально притягивающего инвариантного множества и все рассуждения были основаны на результатах численного интегрирования систем с помощью компьютера.

В связи с изложенным возникает вопрос - как изучать такие нелинейные системы с точки зрения глобального поведения решений. Только ли численно? Следует отметить, что численное интегрирование нелинейных систем может давать не только искаженную, но и в корне неверную информацию о глобальном поведении решений, так приближенная "численная" траектория "не чувствует" прохождения интегральной поверхности, и в случае ее неустой-чивости(имеется ввиду та ситуация, когда интегральная поверхность условно устойчива, т.е. устойчива только для определенного набора начальных данных), приближенное решение "уходит" от существующей интегральной поверхности. Кроме того, при численном интегрировании на значительных временных интервалах происходит накопление вычислительных ошибок.

Простейшим примером такой системы может быть система, описываемая уравнением в полярных координатах

где - радиус-вектор, Все траектории,

начинающиеся в круге р < 1 стремятся к предельному циклу р = 1, а все траектории, начинающиеся в области р> 1 уходят на бесконечность. Можно показать, что при численном интегрировании этой системы с начальным условием 0 < ро < 1 приближенные траектории уходят на бесконечность, сделав некоторое количество осцилляций в окрестности единичной окружности.

Другим примером является невозможность с помощью компьютерных методов обнаружить специальные центральные движения, так как они не являются предельными ни для каких движений динамической системы.

Эти рассуждения показывают, что численное интегрирование не всегда может быть напрямую применено для прогнозирования состояния системы.

Нелинейные системы с несколькими положениями равновесия не могут быть асимптотически устойчивыми в целом. Это обстоятельство также требует более внимательного изучения вопроса об области притяжения таких систем.

Важнейшей задачей является установление границы области притяжения инвариантного множества М общей системы (1). В практических задачах -это множество возможных состояний управляемой системы после стабилизации.

14-я проблема Смейла. В известном докладе Давида Гильберта "Математические проблемы", произнесенном им на 2-м Международном конгрессе математиков в 1900 году, были изложены 23 математические проблемы, которые в сильной степени определяли развитие математики XX века, и 16 из них считаются полностью решенными. Через 100 лет один из известнейших американских математиков С. Смейл2 формулирует 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых является проблема соответствия поведения решений системы Лоренца, геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы. Смейл отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало.

С.Смейл ставит также вопрос об условиях возникновения так называемых "странных" аттракторах, характеризующихся выраженной хаотичностью своей динамики.

Проблема нахождения инвариантных множеств.В приложениях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, определяющих динамику функционирования системы управления, представляющие собой множества в фазовом пространстве. Острота проблемы обусловлена тем, что основным аппаратом исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений является численное интегрирование с помощью компьютеров. При таком исследовании, как уже было отмечено, возможны не только неточности, но и принципиальные ошибки в оценке характера поведения траекторий системы. Выходом из этого положения является построение консервативных численных алгоритмов, учитывающих наличие интегральных многообразий интегрируемых нелинейных систем

Если речь идет об интегральных многообразиях, то нахождение стационарных интегралов или доказательство их существования, фактически является задачей интегрирования заданной системы.

Возможная неограниченность части фазовых координат.

решений на бесконечном интервале. Можно рассматривать системы дифференциальных уравнений, которые формально не определяют динамической системы, но имеют продолжаемые решения, которые и можно изучать как уходящие движения некоторой динамической системы.

Проблема перерегулирования. В теории автоматического управления обычным делом является рассмотрение систем, которые допускают перерегулирование. Это так называемые системы с переменной структурой. Хорошо известны работы СВ. Емельянова, Е.А. Барбашина, Е.П. Попова и других исследователей. Проблема состоит в том, что при реализации таких систем на практике возникают существенные трудности, так как математическая модель не вполне соответствует инженерной реализации. А именно, системы, которые не учитывают запаздывание требуют в пределе теоретически неограниченной мощности переключения, системы, реализующие математические модели с разрывными правыми частями вызывают ударные нагрузки на весь объект регулирования. Поэтому создание систем управления без перерегулирования является актуальной задачей. С этой проблемой тесно связана следующая проблема.

Проблема простоты структуры управляемой системы. Интуитивно очевидно, что системы с простой структурой легче реализуются в инженерном смысле. Конечно, понятие простоты весьма относительно, но, скажем, квадратичные системы вызовут предпочтение у любого конструктора перед системами, включающими более сложные нелинейности. Рассмотрение нелинейных систем с простой структурой, имеющих несколько неустойчивых положений равновесия, но имеющих заданным образом геометрически локализованное ограниченное инвариантное множество к тому же глобально асимптотически устойчивое позволяет создавать весьма эффективные системы управления. По сути, это предельное множество является аналогом устойчивого положения равновесия для линейных и линеаризованных систем. Но в данном случае алгебраические критерии устойчивости, основанные на анализе собственных чисел матрицы линейного приближения, беспомощны. Это связано с тем, что аналитическая природа этих предельных множеств, как правило, весьма сложна. Для составления возмущенной системы требуется интегрирование уравнений движения, что в общем случае неосуществимо.

Основные положения, которые выносятся на защиту:

Разработанные новые и усовершенствованные существующие методы анализа динамики систем управления и управления сложными системами, включающие:

Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных интегральных многообразий у нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих динамику функционирования управляемых систем.

Методы исследования динамических систем, не имеющих предельных точек.

Методы построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встречающихся в задачах системного анализа.

Методы исследования устойчивости интегральных многообразий систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

Работа посвящена развитию математического аппарата, позволяющего осуществлять системный анализ и синтез систем управления конструировать алгоритмы обработки информации с целью максимально точного прогнозирования динамики систем, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения ЭВМ. Качественные аналитические методы исследования систем дифференциальных уравнений развиты в трудах российских математиков A.M. Ляпунова. Н.М. Гюнтера, В.В. Степанова, В.В. Немыцкого, Н.П. Еругина. Е.А.Барбашина, Н.Г. Четаева, A.M. Летова, Н.Н. Красовского, В.И. Зубова и научных школ, созданных ими.

Целью диссертации является развитие аналитических, качественных и численных методов системного анализа динамики управляемых систем с целью повышения эффективности функционирования объектов исследования. Содержанием диссертации являются теоретические и прикладные исследования системных связей и закономерностей функционирования и развития управляемых объектов и процессов, ориентированные на повышение эффективности управления ими с использованием современных методов обработки информации Главная проблема исследования диссертации - проблема максимально точного прогнозирования динамики управляемых систем. Решение этой проблемы приводит к развитию методов системного анализа и разработке алгоритмов обработки информации, позволяющих осуществлять более точное прогнозирование динамики систем. Основные положения выносящиеся на защиту состоят в разработке новых алгоритмов обработки информации, позволяющих осуществлять более точный прогноз динамики систем.

Областью исследования является разработка методов и алгоритмов обработки информации с целью более точного прогнозирования динамики управляемых систем, решения задач системного анализа, оптимизации и управления, теоретические основы и методы системного анализа, формализация и постановка задач системного анализа, оптимизации и управления сложными системами, описываемыми нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнениями в частных производных, и задачи вычислительной математики, связанные с совершенствованием существующих методов цифровой обработки информации и управления сложными системами. Исследование ориентировано на повышение эффективности управления рассматриваемыми системами с использованием современных методов обработки информации. Методы исследований в работе основаны на использовании методов качественной теории дифференциальных уравнений, теории устойчивости, теории интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных, методах численного анализа.

Достоверность и обоснованность полученных результатов основана на корректности постановок задач, строгом использовании качественных и численных методов. Все полученные результаты имеют строгие доказательства. На защиту выносятся разработанные новые и усовершенствованные существующие методы обработки информации, анализа динамики систем управления и управления сложными системами, включающие: Методы конструирования алгоритмов обработки информации, обеспечивающих более точное прогнозирование динамики управляемых систем. В работе на основе исследовательской работы автора установлено, что конструирование алгоритмов обработки информации с целью точного прогнозирования динамики изучаемых систем должно быть основано на качественном анализе моделей, с целью установления наличия характерных признаков, в число которых входят: характер предельных режимов систем, наличие инвариантных множеств в смысле общих систем, устойчивость интегральных многообразий. В диссертации показано, что рассмотрение моделей, имеющих устойчивые предельные режимы, но не имеющие устойчивых положений равновесия не только в сильной степени расширяет возможности по построению систем управления, но и в рассмотренных автором практически интересных задачах электродинамики и механики, является просто необходимым математическим аппаратом описания управляемых систем. Математически строго установлен факт существования стационарных инвариантных глобально устойчивых множеств у практически значимых моделей со многими неустойчивыми положениями

равновесия. Установлена также граница этого инвариантного множества для наиболее известной модели нелинейной динамики. Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных интегральных многообразий у нелинейных управляемых систем. Методы исследования динамики управляемых систем, не имеющих предельных точек. Метод построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встречающихся в задачах системного анализа. В диссертации показано, что численное моделирование необходимо проводить совместно с аналитическим исследованием динамики управляемых систем на наличие интегральных многообразий и их устойчивости. Методы численного прогнозирования, применяемые при математическом моделировании необходимо должны учитывать наличие интегральных многообразий. Метод анализа информации, обеспечивающие конструирование алгоритмов, максимально точного прогнозирования динамики управляемых систем. Метод анализа и аналитические критерии существования стационарных инвариантных множеств нелинейных управляемых систем. Методы построения численных алгоритмов решения различных вычислительных задач, встретившихся при конструирования алгоритмов обработки информации с целью более точного прогнозирования динамики управляемых систем.

Научная новизна. Все изложенные в диссертации результаты являются новыми. Впервые изложен метод системного анализа динамики управляемых систем, описываемых нелинейными системами дифференциальных уравнений, порядка выше второго, позволяющий установить наличие стационарных режимов этих систем. Этот метод является существенным вкладом в развитие методов системного анализа, так как позволяет установить классы уравнений, интегрируемых в замкнутой форме. В диссертации также предложены алгоритмы решения различных вычислительных задач, связанных с задачами системного анализа и методы исследования динамических систем, не имеющих предельных точек. В диссертации дан метод построения функций Ляпунова, обеспечивающих строгое математическое доказательство существования глобально притягивающего инвариантного множества для нелинейных систем дифференциальных уравнений.. В диссертации показано, что рассмотрение моделей, имеющих и только неустойчивые положения равновесия, является важным в задачах управления.

Практическая полезность. Результаты диссертации могут быть применены в задачах системного анализа управляемых систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, задачах синтеза законов управле-

ния и построения эффективных численных алгоритмов решения задач теории управления. На основе результатов диссертации созданы алгоритмы управления реальными системами в ходе ряда работ ведущихся в Санкт-Петербургском государственном университете. Результаты работы могут быть также использованы в учебном процессе при чтении курсов дифференциальных уравнений и теории управления и численного анализа.

Реализация результатов. Результаты диссертации реализованы в результате многих госбюджетных и хоздоговорных работ, проводившихся в Санкт-Петербургском университете. Шифр госбюджетной темы - 01.20.0004662.

Апробация работы. По основным результатам работы автором были сделаны доклады 20 научных конференциях, проходивших в Москве, Санкт-Петербурге, Таллинне, Ереване, Одессе, Киеве, Иркутске, V Еругинских чте-ниях(1998), 11 международном семинаре IFAC САО'2000, научных конференциях факультета ПМ-ПУ Санкт-Петербургского государственного университета 1989-2002.Результаты диссертации обсуждались также на научных семинарах ИПК РАН под руководством акад. В.А.Мельникова, ИПУ РАН под руководством проф. М.А. Красносельского, МРТИ под руководством проф. Б.П.Мурина, IX Международном семинаре BDO 2002. Публикации. По теме диссертации опубликовано 35 научных работ, включая 5 монографий и учебных пособий.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Главы состоят из параграфов. В каждом параграфе используется своя автономная нумерация формул и теорем. Объем диссертации - 266 страниц. Список литературы содержит 160 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 посвящена основным понятиям о структурных особенностях динамики решений совокупных уравнений - устойчивости, оптимальности, хаотичности, ограниченности решений. Здесь излагаются некоторые подходы к решению задач существования и устойчивости предельного режима.

В §1 обсуждается необходимость рассмотрения систем с неустойчивыми положениями равновесия. В последние два десятилетия в круг исследования вошли новые математические модели, описываемые нелинейными системами с несколькими неустойчивыми положениями равновесия, обладающие компактными глобально притягивающими множествами. Эти математические модели имеют не только большое теоретическое, но все возрастающее практическое значение.

С точки зрения классической теории управления, рассматривающей динамику систем с точки зрения устойчивости положения равновесия такие модели всегда были неинтересны, так как все положения равновесия неустойчивы. Однако рассмотрение таких моделей позволяет существенно расширить множество рассматриваемых дифференциальных систем.

Так, в системах управления подобные системы описывают режимы функционирования систем принципиально новой природы, а именно такие, в которых все движения неустойчивы по отношению к фазовым переменным, а сам режим глобально устойчив.

В чем же принципиальные особенности исследования таких моделей? С одной стороны, такие модели подлежат описанию только существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений и метод исследования устойчивости по первому приближению здесь не может быть использован, так как все положения равновесия - неустойчивы. С другой стороны - практически полное отсутствие методов исследования таких систем, заменяемое, естественно, компьютерным моделированием.

В §2 изучается аналитическая природа функций, последовательности значений которых являются случайными. Установлена связь между рекуррентными функциями и хаотичностью, понимаемой в вероятностном смысле.

Теорема 2.1 Значения функции

в целочисленных точках to = 0, t\ =1,... связаны с последовательностью = Xi/m 2л* полученной с помощью линейной конгруэнтной последовательности следующим образом

= cos у» + г sin г/£ tn

Последовательность значений ф у t/(i) = — argvK0B целочисленных точках 0,1,2,...совпадает с линейной конгруэнтной последовательностью Хо,

XI, Х2,...

Это указывает на то, что и хаотические движения в динамике описываются рекуррентными функциями. Такими свойствами обладают движения, содержащиеся в множестве центральных движений. Биркгоф открыл, что рекуррентные движения являются наиболее общим видом колебаний и характерны для того наиболее распространенного случая, когда минимальное

множество не состоит из единственной замкнутой кривой или положения равновесия.

В этом, наиболее общем случае, минимальное множество состоит из бесконечного неисчислимого числа кривых движения, причем в окрестности любой точки любой кривой содержатся точки, принадлежащие другим кривым.

В §3 характерные особенности динамики изучаются общей теории динамических систем

Теорема 3.4 Для того, чтобы динамическая система /(р, I) в евклидовом пространстве .Я = Е"1 имела аттрактор А, необходимо и достаточно, чтобы существовало множество М С К со следующими свойствами:

1. множество М вместе со своей некоторой $ - окрестностью является компактным и инвариантным для полупотока множеством

2. при некотором 6' < 5 существует число 0 < Т < +оо такое, что полутраектории, начинающиеся в множестве 3(М,5) \3(М,6') покидают его за время

В аттрактор А, будет входить совокупность ш -предельных множеств С1р, принадлежащих индивидуальным полутраекториям /(р, 1+) : А Э и Ор-

В.В. Степанов поставил и ответил на вопрос о том, что вся ли совокупность возможных предельных режимов состоит из и - предельных множеств индивидуальных траекторий. Ответ - отрицательный, т.е. существуют инвариантные множества, не являющиеся ш - предельными множествами никаких траекторий. Поэтому в аттрактор мы включаем и эти возможные режимы, хотя они и не влияют на свойство асимптотической устойчивости аттрактора.

Условия теоремы 3.4 могут показаться труднопроверяемыми, но это не так. Подобные условия дают функции Ляпунова, используемые в теореме Иоши-завы о диссипативности. Теорема 3.4, по сути, является теоремой о неподвижной точке. Действительно инвариантное множество является неподвижной точкой отображения замкнутой топологии компактного множества М в себя, индуцированного динамической системой В отличие от принципа Шаудера здесь не требуется выпуклость множества М, кроме того указанное инвариантное множество - аттрактор обладает свойством устойчивости по Ляпунову и асимптотической устойчивости. Существенным является характер поведения движений в окрестности границы множества М - требование существования "оболочки", которую покидают за конечное время все, начинающиеся в ней движения. В этом смысле отображение, индуцированное динамической системой /(р, $ является локально "сжимающим", так как

переводит за конечное время множество 3(М,6) в множество ¿>(М, 6'), где

5'<5.

В §4 изучается связь диссипативности и существованием автоколебаний в динамических системах.

Определение 4.3 Автоколебанием динамической системы /(р, г), называется инвариантное устойчивое по Ляпунову и асимптотически устойчивое множество М, не имеющее собственного подмножества с такими же свойствами.

Множество и> - предельных точек индивидуального движения /(р, г) обозначим Пр. Это множество является инвариантным и связным. В нашем случае, когда траектории всех движений принадлежат ограниченному множеству К, множество £2р не пусто для любой точки р £ Я. Обозначим Clf совокупность всех - предельных точек движений при

рбй

Теорема 4.5 Множество О/ является инвариантным, устойчивым по Ляпунову и асимптотически устойчивым множеством динамической системы /(?,«)

Теорема 4.6 Множество содержит автоколебание.

Изложенное связано с исследованиями Дж. Биркгофа и Г. Хильми, однако ранее не была установлена устойчивость по Ляпунову совокупности множеств предельных точек индивидуальных движений, принадлежащих ограниченному множеству.

Из полученного результата следует наличие предельного режима у броуновского движения. Иными словами, совокупность движений в ограниченном множестве имеет предельный режим, однако структура этого предельного режима может быть весьма сложной. Имеющиеся примеры странных аттракторов доказывают это.

Наличие только неустойчивых по отношению к расстоянию между ними движений, принадлежащих предельному режиму показывает, что в этом случае траектории предельного режима будут плотны.

Следует отметить, что понятие устойчивости и асимптотической устойчивости инвариантного множества подразумевает его изолированность, то есть, что существуют точки пространства, не принадлежащие инвариантному множеству и находящиеся в его достаточно малой окрестности. Если таких точек нет, то и исследование устойчивости инвариантного множества становится бессмысленным. Возможно, это условие следовало бы включить в определения устойчивости и асимптотической устойчивости для парирования экзотических контрпримеров.Кроме того, необходимо помнить, о том, что наличие

достаточно малой компактной окрестности, не содержащей целых траекторий, является необходимым условием асимптотической устойчивости инвариантного множества.

В Главе 2 развиваются аналитические методы установления существования регулярных предельных режимов на основе интегрирования уравнений в частных производных для искомых интегралов совокупных уравнений. Искомыми структурными особенностями являются наличие интегралов системы уравнений движения и характер предельного поведения движений системы. Наиболее важным является построение методов нахождения стационарных интегралов автономных систем дифференциальных уравнений. Эта задача возникает при анализе уравнений, описывающих динамику функционирования исследуемых объектов и построения управлений, обеспечивающих существование у системы интегрального многообразия с требуемыми свойствами. Признаки существования нелокальных стационарных интегралов и их нахождение дают возможность установить классы уравнений, интегрируемых в замкнутой форме. Если речь идет об интегральных многообразиях, то нахождение стационарных интегралов или доказательство их существования, фактически является задачей интегрирования заданной системы.

Как отмечал еще Р. Курант, геометрическая интерпретация очень помогает в теории интегрирования дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка, к которым сводится задача о существовании стационарного интеграла автономной дифференциальной системы Уравнение в частных производных для стационарного интеграла V имеет вид (УУД) = 0. В случае системы второго порядка вопрос о существовании стационарного интеграла не стоит, так как, как отмечал В.В. Степанов, существование интегрирующего множителя следует из теоремы существования и для стационарного интеграла получается система дифференциальных уравнений Условия интегрируемости дают уравнение для интегрирующего множителя. В случае системы, например 3-го порядка, размерность подпространства с ортогональным базисом ортогонального вектору уже равняется двум, и необходимо рассматривать систему дифференциальных уравнений

vv = /i1gl+^í2g2 (2)

Условия интегрируемости дают нам переопределенную систему уже трех линейных неоднородных уравнений в частных производных от двух неизвестных функций :

AiVpi + A2V^2 = mei + ¿i2e2) (3)

где матрицы Ai, A2 и векторы ej, e2 вполне определены. Интересно, что матрицы Ах, А2 имеют структуру трехкомпонентного тензора. Если gi,g2 взять в виде:

gi = (g-h,h-f,f-g),

g2 = Ш - 9) ~ h(h - f), h(g - h) - /(/ - g), f(h - /) - g(g - ft)) то матрицы Ai, A2 имеют следующее представление:

~(h~f) 9~h 0 Ai = ( —(/ — g) 0 g-h

0 _(.f-g) h-f

~h(g-h) + f(f-g) g(f-g)-h(h-f) 0 A2=( -f(h-f) + g(g-h) 0 g{f-g)-h{h-f)

0 -f(h-f) + g(g-h) h(g-h)~f(f-g)

Для получившейся системы (3) даже в случае аналитичности функций f условия теоремы СВ. Ковалевской, вообще говоря, не выполняются, так как при приведении их к нормальной форме приходится выполнять операцию деления на компоненты матриц которые являются функциями правых частей f. И область существования решений, гарантированная теоремой Ковалевской зависит от расположения нулей компонент матриц Aj, А2. Н.П. Еругин дал признаки сводимости первоначальной "обыкновенной" системы к "простейшей" форме ii = /¿(г,-), затем Г. Леви открыл, а Л. Хёрман-дер провел дальнейшее исследование классов линейных дифференциальных уравнений с частными производными с дифференцируемыми, но не анали- -тическими коэффициентами, у которых совсем нет решений. Согласно этим результатам решение и поставленной задачи существует не всегда. Признаки существования нетривиального решения полученной переопределенной системы далее получены:

1. Рассмотрением частных случаев, когда один из векторов ei(e2) принадлежит подпространству, натянутому на столбцы матрицы

2. Используя условия интегрируемости уже для функций :

Выпишем одно из них для :

3. В общем случае, путем введения дополнительных неизвестных, приводя полученные системы к замкнутой форме, удается построить две системы дифференциальных уравнений для исследуя которые, получены кри-

терии существования стационарных интегралов.

Глава 3 посвящена системам с простой структурой - в основном квадратичным трехмерным системам,но и не только. Показана техника построения системы, имеющей компактное предельное множество с выраженной хаотичностью индивидуальных траекторий.

Приведенные в этой главе примеры показывают, что решения систем дифференциальных уравнений простой структуры, могут иметь чрезвычайно сложную аналитическую природу. "Простота" структуры дифференциальных уравнений обманчива. Известные примеры квадратичных систем, описывающих системы со странными аттракторами также указывают на это.

В практических задачах построения уравнений управляемого движения наиболее важным является требование их аналитической простоты. Это связано с возможностью их инженерной реализации. Поэтому важным представляется разработка технологии построения "простых", например квадратичных систем, обладающих заданными предельными свойствами, важными в задачах управления.

Важнейшим таким свойством является наличие автоколебания или совокупности автоколебаний (аттрактора), имеющий заданный или желаемый диаметр. Практически это будет означать, что построенная управляемая система будет иметь предельный режим с заданной геометрической характеристикой, то есть фазовые переменные будут находиться в желаемых пределах.

Можно задать желаемое предельное множество в виде замкнутой гладкой компактной поверхности и построить семейство дифференциальных уравнений, имеющих ее в качестве интегральной. Можно построить и такие системы, для которых данная интегральная поверхность будет асимптотически "устойчивым и устойчивым по Ляпунову инвариантным множеством.

Другой вопрос в том - насколько будут просты получаемые уравнения? Ведь даже задавая поверхность в виде эллипсоида, получаемые уравнения не являются простыми. Кроме того, данный класс уравнений ограничен интегрируемым по определению случаем.

Поэтому возникает желание использовать и неинтегрируемые системы для построения компактных простых для инженерной реализации управляемых систем, которые будут иметь заданные геометрические характеристики предельного режима. Хотя аналитическая природа решений такой системы может быть весьма сложной.

Пусть У(Х), ЩХ) - положительно определенные функции, обладающие свойствами = О.И'рГг) = О, У, ->■ 00 при ||Х|| -¥ оо. Пусть на

решениях некоторой гипотетической системы дифференциальных уравнений, имеющей продолжаемые решения, а также нулевое решение

* = №

выполнено соотношение

Тогда из теоремы Ляпунова об устойчивости следует, что система (4) имеет асимптотически устойчивое в целом положение равновесия X = 0. Пусть V, № суть заданные функции с вышеупомянутыми свойствами. Рассмотрим' уравнение

V У-Р^Ж (6)

Это уравнение определяет класс систем (4), на решениях которых выполнено соотношение (5). Часть решений этого уравнения, определяют системы с продолжаемыми решениями. Именно эти решения и являются интересными в практическом, инженерном смысле. Выбирая из этих решений системы в некотором смысле "простого" вида мы получаем множество интересующих нас систем.

Рассмотрим теперь, следующее уравнение, выполненное на решениях гипотетической системы (4):

Поскольку все решения (4) - продолжаемы, то необходимо, чтобы выполнялось условие С ^ 0. Система (4) будет в этом случае равномерно диссипа-тивной и, будет иметь компактный предельный режим - автоколебание или совокупность автоколебаний (аттрактор).

По уравнению (7) при заданных функциях V, № и константе С можно построить все дифференциальные системы, на решениях которых выполняется это соотношение.

Глава 4 посвящена проблеме прогнозирования динамики систем, имеющих интегральные многообразия и разработке консервативных методов численного интегрирования.

Рассмотрим линейную систему

X = A(t)X,

(8)

где X = (xi, ...,in)*, A(t) - кососимметрическая il х п -матрица. Условия теоремы существования и единственности мы будем считать выполненными. Решение задачи Коши X = Хо при t = 0 дается формулой

X(t) = E(t)X0, (9)

где H (t)- фундаментальная матрица, удовлетворяющая соотношениям

Е = Л(*)Е, Е(0) = Е.

Известно, что Е (t) является унитарной матрицей, т.е. выполняется соотноше-

ние

S(i)E*(i) = ß-

(10)

Предполагаемая модификация численных методов заключается в таком их изменении, что соотношение (10) будет выполнено для всей последовательности приближенных значений фундаментальной матрицы в узлах причем это изменение производится в пределах локальной точности метода, что, очевидно, не ухудшает его.

Сначала рассмотрим явный метод Эйлера построения последовательности

=fc

(11)

Поскольку точность этого метода является величиной порядка , то соотношение

где элементы матрицы О суть величины порядка Л2, не "хуже" метода (11). Допустим, что соотношение (10) на п-ном шаге выполнялось. Тогда имеем

Введем этап коррекции в метод (11): вместо матрицы Е„+1 в качестве очередного приближенного значения мы будем брать унитарную матрицу полярного разложения матрицы

Пусть Е„+1 = Рп+111п+1- полярное разложение матрицы Еп+х, где -Рп+1 симметрическая, положительно определенная матрица, ип+1- унитарная матрица. Из соотношения (12) следует

Отсюда имеем ^„+1 = Е - (1/2)Ь?А* + 0(Л4).

Оценим разность Н„+х — 1/п+1- Из последнего соотношения видно, что разность

есть величина порядка Л2, т.е. находится в пределах точности метода (11). Обозначим операцию нахождения унитарной матрицы и полярного разложения матрицы Н как 17(Н), т.е. = ^(^+1). Таким образом, мы получили двухэтапный вычислительный алгоритм модифицированного метода Эйлера

Покажем теперь, что введение этапа коррекции не ухудшает и методы более высоких порядков. Пусть численный метод

П+Х = Р("Я-?) П—<г+1].....) —71!.....1 —п+«)

является методом к-го порядка, т.е. имеем соотношение

Тогда из соотношения (12) следует, что

Следовательно, .£¿+1 = Е + 0(Л*) и операция не выводит нас из

пределов точности метода. Итак, вводя этап коррекции

= и{ (13)

мы модифицируем исходный численный метод таким образом, что интеграл (10) сохраняется, т.е. приближенные значения Еп+1 удовлетворяют соотношению (10).

Покажем теперь применение модифицированных методов при интегрировании неоднородных систем. Рассмотрим систему

По формуле Коши имеем

x(t) = Е(г)Н"1(о)х0 +

J SWS-^rjFrfr.

(14)

Используя формулу прямоугольников можно получить явный алгоритм

и неявный Хм = ЕшЕ*кХк + F(tk+hXM)(tM,tk),

Хм = ЕшЕ*кХк + (F(tk,Xk) + Ffo+b^+l))^-

Предсказывающе-исправляющий алгоритм:

Используя формулу Симпсона, а также методы более высоких порядков, мы получим все многообразие подобных методов. Отметим только, что все эти методы решения интегрального уравнения (14) будут использовать приближенные значения фундаментальной матрицы Е, которые мы будем строить с учетом корректирующего правила (13). Метод построения ортогональной матрицы полярного разложения матрицы использующий аппарат

матричных функций Ляпунова, требующийся для построения изложенных алгоритмов описан в Главе 7.

В Главе 5 излагаются методы исследования систем с распределенными параметрами, к которым приводят задачи обнаружения предельных режимов, а также развиваются методы качественного анализа процессов управления, описываемых системами дифференциальных уравнений с частными производными. Предлагается методика изучения свойств решений этих систем путем рассмотрения этих решений на подвижных многообразиях различной формы. Получены условия устойчивости решений, являющихся простыми волнами. Указана возможность возникновения ударных волн в режиме стабилизации. В §17 изучается вопрос о совместных системах дифференциальных уравнений и существование регулярных интегральных поверхностей у систем 3-го порядка.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

i = f(x, у, z)

z = h(x,y,z)

Изучим вопрос о существовании у этой системы достаточно регулярной интегральной поверхности х — у). Наибольшей наглядностью отличаются поверхности, допускающие параметризацию

Уравнения таких поверхностей могут быть записаны в форме

*=/(*,») (16) Поверхность может быть задана и неявно

и(х,у,г) = 0 (17)

Необходимо отметить, что обратную задачу - построения всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданный частный интеграл, решил Н.П. Еругин. По Еругину, необходимым и достаточным условием-существования интеграла будет представимость правой части си-

стемы (15) в виде

где вектор ортогонален вектору

Последнее соотношение приводит к дифференциальному уравнению с двумя квадратами производных

«*/ + *>„£-/»= + + *Ф(х,у,г)

которое показывает, что характер зависимости функции от полностью определяется правой частью системы (15). Из последнего соотношения видно, что функцию Ф всегда можно искать в виде

Ф(х, у, г) = 4- «у +1)""1 Ф1(х, у, г).

Если предполагается наличие семейства регулярных поверхностей

г = ь(х,у) + С (18)

то могут получены необходимые условия их существования. Действительно, имеем уравнение

дифференцируя которое по z получаем

Vxfz + Vy9z = Ьг

Получили систему линейных дифференциальных уравнений

Для существования у системы (15) семейства регулярных интегральных поверхностей (18) необходима, во-первых, алгебраическая разрешимость системы (19). Во-вторых, поскольку ищем регулярную поверхность, требуем выполнение условия интегрируемости которое приводит к следую-

щему соотношению

При интегрировании систем линейных дифференциальных уравнений в частных производных для построения замкнутой системы уравнений используется аппарат скобок Пуассона, которые уже сами по себе явились одним из удивительнейших математических открытий. При построении замкнутой системы целью является получения коэффициентов новых уравнений, являющихся результатом применения скобок Пуассона. При системах порядка п > 3 уже достаточно трудно вычислять эти коэффициенты непосредственным применением скобки Пуассона и последующей группировкой членов, содержащих соответственно частные производные иХг. К сожалению, распространенные пакеты символьной математики MATLAB, MAPLE, Mathemathica не имеют соответствующего инструмента. В настоящем параграфе дается простой надежный алгоритм вычисления этих коэффициентов, применение которого облегчает утомительные вычислепия и помогает избежать возможных ошибок при преобразованиях и группировке членов.

Рассмотрим систему двух дифференциальных уравнений

где и - неизвестная функция, Xi,..., Хп - независимые переменные, ai,..., ап, bi,...,bn - функции независимых переменных.

По определению, скобкой Пуассона называется выражение

L3(u)^Ll{L2{u))-L2(L1{u)) (22)

Оператор £з(и) является линейным дифференциальным оператором. Этот факт и был открыт Пуассоном и использован Якоби при разработке методов интегрирования систем в частных производных.

(23)

и, если и - решение системы (21), то справедливо равенство Хз(и) = 0.

Задача состоит в вычислении коэффициентов % в выражении (23). Следует отметить, что вычисление самого выражения (22) осуществляется исключительно легко.

Утверждение 1 Коэффициенты, в выражении (23) определяются формулой

С1 = £1(£а(х0)-£а(£1(®<)) (24)

Доказательство. Положим и = Х{ и рассмотрим совместно (22),(23). Имеем ди ... г / \

-г— = 0 при г ^ Отсюда следует = с,-. Теорема доказана. Справедли-

вость утверждения можно проверить также и непосредственной подстановкой.

В главе б изучаются теоретические основы исследования движений систем, не имеющих предельных точек. Открывается новая область исследования - уходящие движения. В §21 изучаются неограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь получены условия устойчивости неограниченных решение и оценки на скорость приближения траекторий возмущенного движения к траектории невозмущенного. В §22 изучаются свойства инвариантных множеств периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. Предложена методика изучения свойств образов инвариантных множеств уходящих движений.

В главе 7, являющейся вспомогательной, разрабатываются эффективные алгоритмы решения алгебраических задач, возникающих при исследовании процессов управления, излагается теория оптимальной стабилизации вычислительного процесса, позволяющая строить устойчивые численные алгоритмы решения различных вычислительных задач. При построении алгоритмов

.=1 ах%

точного прогнозирования динамики управляемых систем возникают задачи алгебраического характера, связанные с вычислением полярного разложения матрицы, обращения матриц, решения систем уравнений. В связи с этим разработаны методы построения вычислительных алгоритмов решения этих необходимых задач и им подобных Предлагается сводить решение любой вычислительной задачи к построению системы дифференциальных уравнений, все решения или часть их сходятся к решению исходной вычислительной задачи. Далее задача сведется к численному интегрированию полученной системы.

Аппарат функций Ляпунова дает практически неиссякаемый источник новых итерационных алгоритмов решения различных вычислительных задач и объясняет существующие алгоритмы. При этом из этого подхода получаются как известные вычислительные схемы, например метод Ньютона, так и совершенно новые итерационные алгоритмы.

Предлагаемая теория рассматривает вычислительный процесс как объект управления; здесь же может быть применен весь аппарат теории управления и получены численные методы решения различных задач, оптимальные в определенном смысле. Предлагаемая методика основана на применении идей теории устойчивости и теории автоматического управления. A.M. Ляпунов ввел в арсенал математических методов функции, заданные на решениях дифференциальных систем, по поведению которых на этих решениях можно судить о свойствах самих этих решений. Эти функции могут иметь различную природу и быть скалярными, векторными, тензорными и т.д. Причем требование знакоопределенности для этих функций не является обязательным.

Как отметил в своем эссе один из ведущих мировых специалистов в области численного анализа L. N. Trefethen3 вычислительные задачи большой размерности потребуют итерационных алгоритмов, которые являются более устойчивым, чем традиционные алгоритмы, использующие фиксированное число шагов, и к тому же более быстрыми".

Начиная с 1970-х годов, итерационные алгоритмы решения задач линейной алгебры занимают центральное место в научных исследованиях. Возросшие возможности ЭВМ позволили решать объемные вычислительные задачи, но потребности практики по-прежнему опережают возможности ЭВМ и заставляют математиков разрабатывать новые, более эффективные алгоритмы.

3L.N. Trefethen, Predictions for scientific computing fifty years from now, preprint (2000). http://web.comlab.ox.ac.uk /oucl/work/nick.trefethen/

При порядке систем больше чем 100-150 итерационные алгоритмы начинают значительно опережать конечные по времени выполнения и это преимущество только возрастает с ростом порядка систем.

1. Установлено, что все решения матричного дифференциального уравнения

X = -А*АХ + А* (25)

сходятся к значению обратной матрицы , если она существует, т.е. если матрица А - невырожденная. При этом матричная функция V = АХ — Е удовлетворяет на решениях системы (25) дифференциальному уравнению

V = —АА"У (26)

Откуда следует экспоненциальная оценка на скорость приближения решения Х[Ь, -Хо) к значению обратной матрицы Л-1. Интегрируя систему (25) методом Эйлера с шагом Л, получаем итерационный алгоритм:

Хм = Хк + к{-А*АХк + А*)

Поскольку система (25) -линейная, то ее решения легко разложить в ряд и получить эффективный алгоритм Шульца или, представляя этот ряд в виде бесконечного произведения, получить еще более эффективный алгоритм автора. Использование методов интегрирования более высокого порядка для системы (25) неэффективно.

2. Показано также, что все решения нелинейного матричного дифференциального уравнения

Х = Х- ХАХ (27)

также сходятся к значению обратной матрицы А-1, если она существует. Мат-ричпая функция V ~ X— А удовлетворяет на решениях (27) дифференциальному уравнению

откуда следует оценка на величину интервала интегрирования. Интегрируя систему (27) методом Эйлера, получаем итерационный алгоритм

Хк+1=Хк + КХк-ХкАХк),

который при к = 1 принимает вид

Хк+1 = 2Хк-ХкАХк (БЛМ)

и называется алгоритмом Шульца-Джонса-Майера. Алгоритм 81М сходится не всегда и требует специальной подготовки начальных данных. Причина расходимости в некоторых случаях алгоритма 81М заключается только в ограниченности машинной арифметики, так как из (28) следует, что он должен сходиться при любых начальпых данных. Действительно, представляя решение системы (27) в виде ряда Тейлора при к — 1

видим, что присутствующий в силу нелинейности системы (27) множитель АХ(0) может превалировать некоторое время над факториалом в знаменателе и, более того, вызвать ошибку арифметического переполнения. Это может происходит только при выполнении условия

||ЛХ(0)|| » 1

отсюда следует и очевидный критерий выбора начального приближения.

Метод 81М еще плохо отражен в научной литературе и впереди большие численные эксперименты и работа по его сравнению с другими алгоритмами. Следует отметить также, что в силу нелинейности системы (27) применение неявных или полуявных методов невозможно.

3. Установлено также, что решение при Хо = А матричного дифференциального уравнения

(30)

сходится к значению ортогональной матрицы полярного раз-

ложения матрицы А = РГ/, Р : {Ух 6 Еп : х ^ 0,х*^1х > 0}. Матричная функция V = XX* — Е удовлетворяет на решениях системы (30) системе уравнений (28).

4. Установлено также, что решение при матричного дифференциального уравнения

(31)

также сходится к значению ортогональной матрицы II полярного разложения матрицы Л. Матричная функция V = (XX*)"1 — Е удовлетворяет на решениях системы (31) системе уравнений (28).

Х = \{-Х + Х-1)

Х = Ь-Х + ХХ*Х)

5. Показано, что все решения матричного дифференциального уравнения

Х = -Х + Х~1АА* (32)

сходится к значению матричной функции квадратного корня из матрицы АА* при условии, что матрица А -невырожденная. При этом матричная функция удовлетворяет на решениях системы (32) системе уравнений

(28).

Из матричных дифференциальных систем (25),(27),(30),(31) только первая является линейной и потому только для нее годится разложение ее решения в ряд, который позже представляется в виде бесконечного произведения. Интегрирование остальных систем осуществляется приближенными методами. Причем выбор величины шага интегрирования h, порядка метода и интервала интегрирования осуществляется на основе уравнения (28) и требуемой точности .

Матричная функция V является мерой отклонения решения матричного дифференциального уравнения от решения первоначальной вычислительной задачи. Эта функция удовлетворяет линейному матричному дифференциальному уравнению (28) на решениях построенных дифференциальных матричных систем.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Книжные издания: монографии и учебные пособия:

1. Зубов И.В. Методы анализа динамики управляемых систем. М. :Физмат-лит, 2003, 224 с.

2. Зубов И.В. Зубова А.Ф.Методы приближенных вычислений объектов ЦБП Л.:Лесотехническая академия,1981,79 с.

3. Зубов И.В. Устойчивость стационарных режимов процессов и аппаратов ЦБП Л.:ЛТА, 1983, 48 с.

4. Зубов И.В. Методы анализа равновесных траекторий Л.: изд-во ЛГУ, 1985,100 с.100

5. Зубов И.В., Воробьев Н.Н.Качественный анализ процессов управления Л.:изд-во ЛГУ,1987,188 с. Library of Congress call No MLCS 93/06122 (Q)

6. Зубов И.В., Зубова А.Ф., Мильво Л.В. Качественное исследование решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Л: ЛТИ ЦБП, 1988, 31 с.

7. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А.. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа. Санкт-Петербург, СПбГУ, 2002. 119 с.

8. Зубов И.В. разд. 8 в кн.: В. В. Сотников А.Ф. Зубова. Основы контроля качества и надежности процессов и аппаратов химической технологии. С-Пб ЛТИ 1994 120 с.

Статьи:

1. Зубов И.В. Неограниченные равновесные решения квазилинейных систем Вестник ЛГУ 1980,№13, с.24-29

2. Зубов И.В. Решение полной проблемы собственных значений методом безградиентной минимизации. Математическая физика, 1981, вып. 30, с. 11-14

3. Зубов И.В. Устойчивость стационарных движений в неконсервативных системах с циклическими координатами "В кн.: Математическая теория управления техническими объектами - Л.:изд-во ЛГУ, 1982, с. 16-19"

4. Зубов И.В. Устойчивость равновесных движений в квазилинейных си-стемах"В кн.: Прикладные задачи в теории управления - Л.:изд-во ЛГУ, 1082, с.16-24"

5. Зубов И.В. Устойчивость инвариантных множеств динамических периодических систем "В кн.: Математические методы исследования управляемых механических систем - Л.: изд-во ЛГУ, 1982, с.84-89"

6. Зубов И.В. К вопросу исследования уходящих движений.Сб. "Математическое моделирование сложных систем" СПб. СПбГУ, 1999. с 70-76

7.Зубов-И.В. Unbounded equilibrium solutions of the quasilinear systems Vestnik Leningrad Univ. Math. Vol. 13, 1981

8. Зубов И.В. Оптимальная стабилизация дискретных процессов"В кн.: Математические методы оптимизации и управления в сложных системах -Калинин: изд-во ун-та. 1984, с. 65-73"

9. Зубов И.В. Стационарные интегралы автономных дифференциальных систем Труды XXXIII научной конференции "Процессы управления и устойчивость" СПб, СПбГУ 2002.

10. Зубов И.В. Исследование уходящего движения "В кн.:Труды Средне-Волжского математического общества т.П №1, изд-во Мордовского государственного университета, Саранск, 1999, с. 87-88"

11. Зубов И.В. Неограниченные равновесные движения в управляемых системах "В кн.: "Методы оптимизации и структурирования систем Калинин: изд-во университета, 1980, с. 47-54"

12. ]3убов И.В. Устойчивость стационарных режимов нелинейных управляемых систем "В кн.: Математические методы оптимизации и управления в сложных системах - Калинин: издательство университета, 1981, с. 1320"

13. Зубов И.В. Об устойчивости равновесных режимов "В кн.: Управление, надежность, навигация - Саранск, изд-во Мордовского Гос. Ун-та, 1981, с. 74-78"

14. Зубов И.В. Свойства дифференциальных уравнений непрерывной минимизации функционалов в гильбертовом пространстве В кн.: "Математические методы оптимизации и управления в сложных системах Калинин: изд-во ун-та, 1982, с.24-27"

15. Зубов И.В. Численные методы оптимизации систем управления качеством ЦБП"В кн.: Машины и аппараты целлюлозно-бумажных производств вып. 9 Л.:ЛТА, 1981, с.122-124 "

16. Зубов И.В. Метод построения полярного разложения матрицы"В кн.: Исследования по прикладной математике - Саранск: изд-во Морд. Гос. Ун-та, 1982, с.69-76"

17. Зубов И.В. Аналитическая теория оптимальных регуляторов и управление вычислительным процессом в ЦБП "В кн.: Машины и аппараты целлюлозно-бумажного производства - Л.:ЛТА, 1983, с. 134-135"

18. Л.Д. Блистанова, И.В.Зубов, Н.В. Зубов, Н.А. Северцев. Критерий ро-бастной устойчивости для стационарных систем большого порядка. Труды СВМО Т.3-4 №1 2002, с 251

19. Зубов И.В. Коррекция численных методов и матричные функции Ляпу-нова"В кн.: Математические методы оптимизации и управления в сложных системах - Калинин: изд-во ун-та, 1983, с. 138-145"

20. Зубов И.В. Простой способ вычисления коэффициентов в скобках Пуас-сона.Труды XXXIV научной конференции "Процессы управления и устойчивость" СПб, СПбГУ 2003 с.170-172

21. Зубов И.В. Математическое доказательство существования и структура аттрактора в модели Э.Лоренца. В кн.: Proceedings ninth intl. workshop Beam dynamics & optimization. Saint-Petersburg State Univ. 2002. c. 396408.

22. Зубов И.В. Модели с несколькими неустойчивыми положениями равновесия в динамике заряженных частиц. В кн.: Proceedings ninth intl. workshop Beam dynamics & optimization. Saint-Petersburg State Univ. 2002. с 409-417.

23. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы исследования устойчивости и динамической безопасности сложных технических систем. Проблемы машиностроения и надежности машин №1, 2003, с 101-107

24. Зубов И.В. Нахождение структурных особенностей уравнений динамики управляемых систем. Вопросы теории безопасности и устойчивости систем. Вып. 5, М: ВЦ РАН, 2003, с.47-54

Отчеты:

1. Отчет по теме: "Специальное математическое и программное обеспечение многопроцессорных вычислительных систем"Номер гос.рег. 01.84 0002284 инв №02660.090068, Л.: ЛГУ НИИ ВМ и ПУ, 1985, книга II, с. 7-123

2. Отчет по теме: "Специальное математическое и программное обеспечение многопроцессорных вычислительных систем"Номер гос.рег. 01.84 0002284 инв №0284.0082528, Л.: ЛГУ НИИ ВМ и ПУ, 1985, с. 27-69

Тезисы докладов конференций:

1. Зубов И.В. Математическое доказательство существования и структура аттрактора в модели Э.Лоренца. Вестник Тамбовского университета. Том 8 выл. 3 2003 с 388-389 материалы международной конференции Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики. ОПУ-2003

2. Зубов И.В. Теорема о потенциальной системе Тезисы докл. межд. Матем.конф. "Еругинские чтения - IV". ч. I Гомель,ТГУ, 1999. с 95-96

3. Зубов И.В. Теория потенциальных систем Тезисы докл. межд.Матем. конф. "Еругинские чтения - IX". Витебск, БГУ, 2003.

4. Зубов И.В. К вопросу устойчивости равновесных режимов" Тезисы докл. IV межд. конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 1999. с. 22;"

5. Зубов И.В. О качественном исследовании экономических циклов "В кн.:""Труды Международного симпозиума по водородной энергетике и технологиям Hypotesis ИГ'" СПб, изд-во СПб университета экономики и финансов, 1999, с.68-69"

6. Зубов И.В. Модели с несколькими неустойчивыми положениями равновесия в динамике пучков заряженных частиц, 9th Intl. Workshop BDO2002, abstracts{\&}program, Saint-Petersburg State Univ. 2002, p.88

с 104

8 • 963 1

Зубов Иван Владимирович МЕТОДЫ АНАЛИЗА ДИНАМИКИ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических

наук

ЛИЦЕНЗИЯ ЛР № 070628 от 6.10.1992

Подписано в печать 22.04.2004г. Формат бумаги 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уч.-изд. л.2 Отпечатано с макета автора ООО "Копи-центр" Санкт-Петербург, 193024 ул. 6-я Советская д. 17 Заказ №65391 Тираж 100 экз

Оглавление автор диссертации — доктора физико-математических наук Зубов, Иван Владимирович

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1. Структурные особенности динамики систем

§1. Устойчивость и оптимальность управляемых систем

§2. Хаотичность

§3. Топологические методы.

§4. Диссипативность и автоколебания.

Глава 2. Анализ структурных особенностей управляемых систем

§5. Первые интегралы и последние множители.

§6. Последний множитель и интегральный инвариант.

§7. Уравнения для последнего множителя.

§8. Нахождение интеграла. Особый интеграл.

Глава 3. Системы с простой структурой

§9. Трехмерные квадратичные системы.

§10. Уравнение для регулярного интеграла.

§11. Последовательная локализация инвариантных множеств

§12. Построение системы со странным аттрактором.

Глава 4. Системы с инвариантными многообразиями

§13. Прогнозирование динамики систем.

§14. Численное интегрирование

§15. Устойчивость интегральных многообразий.

§16. Устойчивость консервативных систем с циклическими координатами

Глава 5. Методы исследования распределенных систем

§17. Совместные системы дифференциальных уравнений

§18. Вычисление коэффициентов в скобках Пуассона.

§19. Автомодельные решения.

§20. Стабилизация систем с распределенными параметрами

Глава 6. Анализ динамики систем с неограниченными решениями

§21. Анализ систем с неограниченными решениями.

§22. Устойчивость инвариантных множеств периодических систем

Глава 7. Функции Ляпунова в вычислительной практике

§23. Единая система вычислительных алгоритмов.

§24. Метод быстрого обращения матрицы и решения систем линейных уравнений

§25. Решение нелинейных уравнений и задач оптимизации

§26. Методы построения полярного разложения матрицы

§27. Матричные дифференциальные уравнения и методы их интегрирования

§28. Численный анализ систем большой размерности.

Введение 2004 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Зубов, Иван Владимирович

Современные математические задачи системного анализа и управления характеризуются нарастающей сложностью математического описания, отражающего взаимосвязь управляемого процесса или изучаемой системы с множеством сопутствующих факторов, без учета которой нельзя с требуемой точностью исследовать этот процесс. В математической постановке такие задачи приводят, в частности, к раздельному и совместному рассмотрению совокупности систем обыкновенных уравнений и систем уравнений в частных производных. В настоящее время развитие методов системного анализа динамических систем и процессов управления обусловлено широким кругом прикладных задач, среди которых задачи управления сложными техническими объектами и технологическими процессами, задачи обработки информации и прогнозирования поведения систем. Появившиеся в настоящее время возможности использования компьютерной техники, в том числе систем сбора данных на базе микрокомпьютерных систем в задачах управления (БСАБА), заставляет математиков пересматривать существующие и создавать новые методы исследования, позволяющие разрабатывать математическое обеспечение систем управления, как обладающее высокими операционными скоростями, так и вполне учитывающее все особенности математической модели.

Проблема наиболее точного прогнозирования динамики системы;

Проблема нахождения инвариантных множеств;

Проблема устойчивости инвариантных множеств;

Возможная неограниченность части фазовых координат;

Проблема перерегулирования;

Данному кругу вопросов и посвящена настоящая диссертация. й

В ней развивается математической аппарат, позволяющий осуществлять анализ и синтез систем управления с точки зрения более точного прогнозирования динамики системы, разрабатывать новые численные алгоритмы решения задач управления, применению полученных результатов к задачам, связанным с управлением движением пучков заряженных частиц, теории динамических процессов в сплошных средах, задачам управления механическими системами, задачам вычислительной математики и технологии применения ЭВМ.

Проблема максимально точного прогнозирования динамики систем. Для более точного прогнозирования состояния системы необходимо провести качественный анализ уравнений динамики системы с точки зрения установления наличия инвариантных множеств и общих характеристик динамики системы при возрастании времени, к числу которых относятся устойчивость п^о Лагранжу, наличие областей притяжения инвариантных множеств общих систем и их границы. При прямом компьютерном моделировании полученная дискретная модель может не сохранять основных перечисленных свойств мо/ делируемой системы и давать тем самым неверный прогноз динамики системы. Собственного обстоятельство и обусловило выдвижение Смейлом задачу о соответствии компьютерной модели аттрактора Лоренца действительному поведению этой системы как одной из основных математических проблем XXI века.

Задача прогнозирования поведения моделируемых систем в количест венном плане сводится к численному интегрированию уравнений динамики. В качественном плане - к аналитическому исследованию системы для установления структурных особенностей моделируемой системы - наличия инвариантных множеств, характера предельного поведения решений.

Наиболее важная проблематика в задачах управления - изучение уравнений динамики систем [82]. Пусть управляемая система описывается системой дифференциальных уравнений

Х = Г(Х,и) (1) где X - вектор фазовых переменных, и - вектор управления. Одной из основных задач теории управления является построение управления, обеспечивающего существование инвариантного множества М системы (1), обладающего требуемыми в приложении свойствами. Инвариантным множеством может являться и положение равновесия. Наиболее распространенным является требование асимптотической устойчивости в целом для инвариантного множества М. Если под инвариантным множеством понимается определенный режим функционирования управляемой системы, то задача управления формулируется как нахождение управления, обеспечивающего устойчивость заданного режима системы. В классической теории управления достаточно хорошо изучены вопросы динамики управляемых систем с инвариантным множеством, являющимся положением равновесия или, может быть, заданной интегральной гиперповерхностью. Но новые задачи ставят вопрос об изучении систем с несколькими положениями равновесия, когда множество точек покоя системы (1) может быть не связно, причем сами точки покоя могут быть и неустойчивыми.

Предельные режимы, автоколебания, аттракторы. В последние три десятилетия в круг исследования вошли нелинейные системы с несколькими неустойчивыми положениями равновесия, обладающие компактными глобально притягивающими множествами [1, 3, 4, 9, 13, 16, 19, 20, 28, 29, 30, 49, 64, 69, 70, 72, 89, 90, 93, 94, 98, 117, 148, 150,

152, 154, 159]. Эти математические модели имеют не только большое теоретическое, но и практическое значение. Академик O.A. Олейник отмечала: "Оказалось, что наряду со стационарными и периодическими предельными режимами возможны предельные режимы совершенно иной природы, а именно такие, в которых каждая отдельная траектория неустойчива, а само явление выхода на данный предельный режим структурно устойчиво. Открытие и подробное изучение для систем обыкновенных дифференциальных уравнений таких предельных режимов, называемых аттракторами, потребовало привлечения средств дифференциальной геометрии и топологии, функционального анализа и теории вероятностей. В настоящее время происходит интенсивное внедрение этих математических понятий в приложения. Так, например, явления, происходящие при переходе ламинарного течения в турбулентное при повышении чисел Рейнольдса, описываются аттрактором. Изучение аттракторов предпринято также и для уравнений с частными производными"1.

Термин аттрактор является достаточно устоявшимся в русской математической терминологии, однако не лишним является указание на то, что это понятие тесно связано с понятием автоколебание. Любое автоколебание, по определению, является аттрактором, но аттрактор может представлять собой совокупность нескольких автоколебаний.

В электродинамике известен экспериментально установленный факт, что фокусировка пучка заряженных частиц приводит к его нагреву и расплывание приводит к охлаждению. Математически это следует из теоремы Н.Н.Красовского об асимптотической устойчивости нелинейной системы дифференциальных уравнений [52].После установления В.И. Зубовым [32] универсальности системы уравнений Максвелла появилась возможность аналитического конструирования управляющих полей. Однако вышеуказанное обстоятельство не позволяет строить модели, обладающие асимптотической устойчивостью и в пространстве скоростей и пространстве координат. Выходом из существующего положения является конструирование и применение моделей, имеющих глобально притягивающие асимптотически устойчивые инвариантные множества, которые имеют неустойчивые положения равновесия. В этом случае ограничения критерия Красовского могут быть

1Олейник O.A. Роль теории дифференциальных уравнений в современной математике и ее приложениях. МГУ, 1996,http://www.mmonline.ru/articles.php3?mid= 1367 сняты.

Дж. Биркгоф [10] показал, что в окрестности неособой точки система дифференциальных уравнений, описывающая динамику системы, может быть приведена заменой переменных к виду х\ = 1, = 0, .,хп = 0. Это называется также теоремой о выпрямлении и основной теоремой [4] теории дифференциальных уравнений. Это объясняет то, что исследования уравнений динамики проводятся только в окрестности особых точек. Однако такое исследование не может дать ответа на вопрос о существовании глобально устойчивого инвариантного в смысле общей системы (инвариантного для полупотока) инвариантного множества в общем нелинейном случае. Пример Э. Лоренца показывает это. Гомеоморфность векторного поля в окрестности неособой точки постоянному полю в1 показывает, что движения локально топологически эквивалентены семейству прямых, т.е. имеют структуру уходящего движения.

Численное интегрирование. Важнейшей задачей анализа динамики систем является прогнозирование состояния системы. Следует отметить, что основным инструментом изучения нелинейных дифференциальных систем является численное интегрирование. И для известных моделей, имеющих аттракторььдолгое время не существовало м атем атического доказательства о существовании глобально притягивающего инвариантного множества и все рассуждения были основаны на результатах численного интегрирования систем с помощью компьютера.

В связи с изложенным возникает вопрос - как изучать такие нелинейные системы с точки зрения глобального поведения решений. Только ли численно? Следует отметить, что численное интегрирование нелинейных систем может давать не только искаженную, но и в корне неверную информацию о глобальном поведении решений, так приближенная "численная" траектория "не чувствует" прохождения интегральной поверхности, и в случае ее неустойчивости (имеется ввиду та ситуация, когда интегральная поверхность условно устойчива, т.е. устойчива только для определенного набора начальных данных), приближенное решение "уходит" от существующей интегральной поверхности. Кроме того, при численном интегрировании на значительных временных интервалах происходит накопление вычислительных ошибок.

Примером такой системы может быть система, описываемая уравнениями х х =--2 х + рх — у Р У

У =--2 у + ру + х Р или в полярных координатах

Р = (! - Р)2 > Ф = 1 где р = -\/х2 + у2 - радиус-вектор, х = рсов(р, у = рвтср. Все траектории, начинающиеся в круге р < 1 стремятся к предельному циклу р = 1, а все траектории, начинающиеся в области р > 1 уходят на бесконечность. Можно показать, что при численном интегрировании этой системы с начальным условием'О < ро < ^приближенные траектории »/ уходят на бесконечность, сделав некоторое количество осцилляций в окрестности единичной окружности.

Нелинейные системы с несколькими положениями равновесия не могут быть асимптотически устойчивыми в целом [79]. Это обстоятельство также требует более внимательного изучения вопроса об области притяжения таких систем.

Важнейшей задачей является установление границы области притяжения инвариантного множества М общей системы (1). В практических задачах - это множество возможных состояний управляемой системы после стабилизации.

14-я проблема Смейла. В известном докладе Давида Гильберта "Математические проблемы", произнесенном им на 2-м Международном конгрессе математиков в 1900 году, были изложены 23 математические проблемы, которые в сильной степени определяли развитие математики XX века, и 16 из них считаются полностью решенными. Через 100 лет один из известнейших американских математиков С. Смейл [157]2 формулирует 18 проблем для математиков XXI века, одной из которых является проблема соответствия поведения решений системы Лоренца, геометрическим представлениям, получаемым на основе численного интегрирования системы. Смейл отмечает, что математическое доказательство существования глобально притягивающего компактного инвариантного множества для системы Лоренца отсутствовало. Даже недавняя (2002г.) работа Такера (W. Tucker) [160], доказывающая существование аттрактора у системы Лоренца, основана на доказательстве с использованием интервальных вычислений, т.е. относится к тому же кругу рассмотрений, основанных на численном интегрировании, которые проводились в последние 25 лет.

Конечно появляются и работы, например, в которых математиче- V ски доказано существование притягивающего множества для модели Лоренца на основе функций Ляпунова.3

С.Смейл ставит так^же вопрос ^б условиях возникновения так называемых "странных'^аттрактор^х, характеризующихся выраженной 1/ I/ хаотичностью своей динамики. Действительно, интересным было бы построение подобных систем и сравнение их динамики с известными аттракторами.

Проблема нахождения инвариантных множеств. В приложе- ]/ ниях наиболее важным видом инвариантных множеств являются стационарные инвариантные множества общих систем, описываемых системами дифференциальных уравнений, определяющих динамику функционирования системы управления, представляющие собой множества в фазовом пространстве. Острота проблемы обусловлена тем, что основным аппаратом исследования нелинейных систем дифференциальных уравнений является численное интегрирование с помощью ЭВМ. При таком исследовании, как уже было отмечено, возможны не только

2 http: / / www. amath .washington.edu / courses /572-spring-2002/ smale .pdf

3H.Giacomini, S.Neukirch The shape of attractors of 3-D dissipative dynamical systems, http://lcvmsun9.epfl.ch/ ~neukirch/files/grz.pdf и неточности, но и принципиальные ошибки в оценке характера поведения траекторий системы. Выходом из этого положения является построение консервативных численных алгоритмов, учитывающих наличие интегральных многообразий интегрируемых нелинейных систем

Возможная неограниченность части фазовых координат.

Одной из целей настоящей диссертации является изучение уходящих движений динамических систем. В основном это будут системы, определяемые системами дифференциальных уравнений. Отметим, что далеко не каждая система дифференциальных уравнений определяет динамическую систему. При выполнении условий теоремы существования и единственности одним из основных вопросов, возникающих здесь, является вопрос о продолжаемости решений на бесконечном интервале. Можно рассматривать системы дифференциальных уравнений, которые формально не определяют динамической системы, но имеют продолжаемые решения, которые и можно изучать как уходящие движения некоторой динамической системы.

Проблема перерегулирования. В теории автоматического управления обычным делом является рассмотрение систем, которые допускают перерегулирование. Это так называемые системы с переменной структурой. Хорошо известны работы C.B. Емельянова, Е.А. Барба-шина, Е.П. Попова и других исследователей. Проблема состоит в том, что при реализации таких систем на практике возникают существенные трудности, так как математическая модель не вполне соответствует инженерной реализации. А именно, системы, которые не учитывают запаздывание требуют в пределе теоретически неограниченнойjMonj: нждтм1ереключения, системы, реализующие математические модели с разрывными правыми частями вызывают ударные нагрузки на весь объект регулирования. Поэтому создание систем управления без перерегулирования является актуальной задачей. С этой проблемой тесно связана следующая проблема.

Проблема простоты структуры управляемой системы. Интуитивно очевидно, что системы с простой структурой легче реализуются в инженерном смысле. Конечно, понятие простоты весьма относительно, но, скажем, квадратичные системы вызовут предпочтение у любого конструктора перед системами, включающими более сложные нелинейности. Рассмотрение нелинейных систем с простой структурой, имеющих несколько неустойчивых положений равновесия, но имеющих заданным образом геометрически локализованное ограниченное инвариантное множество к тому же глобально асимптотически устойчивое позволяет создавать весьма эффективные системы управления. По сути, это предельное множество является аналогом устойчивого положения равновесия для линейных и линеаризованных систем. Но в данном случае алгебраические критерии устойчивости, основанные на анализе собственных чисел матрицы линеиного приближения, беспомощны. Это связано с тем, что аналитическая природа этих предельных множеств, как правило, весьма сложна. Для составления возмущенной системы требуется интегрирование уравнений движения, что в общем случае неосуществимо.

Краткое содержание диссертации. Глава 1 посвящена основным понятиям о структурных особенностях динамики решений совокупных уравнений - устойчивости, оптимальности, хаотичности, ограниченности решений. Здесь излагаются некоторые подходы к решению задач существования и устойчивости предельного режима. В Главе 2 развиваются аналитические методы установления существования регулярных предельных режимов на основе интегрирования уравнений в частных производных для искомых интегралов совокупных уравнений. Глава 3 посвящена системам с простой структурой - в основном квадратичным трехмерным системам,^о и не только. Показана техни- V ка построения системы, имеющей компактное предельное множество с выраженной хаотичностью индивидуальных траекторий. Глава 4 посвящена проблеме прогнозирования динамики систем, имеющих интегральные многообразиями разработке консервативных методов численного интегрирования. 13 Главе 5 излагаются методы исследования систем с распределенными параметрами, к которым приводят задачи обнаружения предельных режимов, а также развиваются методы качественного анализа процессов управления, описываемых системами дифференциальных уравнений с частными производными. Предлагается методика изучения свойств решений этих систем путем рассмотрения этих решений на подвижных многообразиях различной формы. Получены условия устойчивости решений, являющихся простыми волнами. Указана возможность возникновения ударных волн в режиме стабилизации. В главе 6 изучаются теоретические основы исследования движений систем, не имеющих предельных точек ^Открывается новая область исследования - уходящие движения. В изучаются неограниченные решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь получены условия устойчивости неограниченных решение и оценки на скорость приближения траекторий возмущенного движения к траектории невозмущенного. В §^2 изучаются свойства ч инвариантных множеств периодических систем, определяющих уходящие движения. Предложена методика свертки фазового пространства в многомерный тор таким образом, что инвариантные множества, соответствующие предельным множествам уходящих движений, оказываются ограниченными. Получены необходимые и достаточные условия устойчивости таких множеств. Предложена методика изучения свойств образов инвариантных множеств уходящих движений. В главе 4 решена проблема построения эффективных алгоритмов решения алгебраических задач, возникающих при исследовании процессов управления.Предложена теория оптимальной стабилизации вычислительного процесса, позволяющая строить устойчивые численные алгоритмы решения различных вычислительных задач. При построении методов, обеспечивающих более точное прогнозирование динамики систем, рассмотренных в §13 возникла необходимость решения некоторых алгебраических задач- нахождение полярного разложения матрицы, обращения матрицы. В связи с этим в этой главе развиты алгоритмы решения этих задач. Предлагается сводить решение любой вычислительной задачи к построению системы дифференциальных уравнений, все решения или часть их сходятся к решению исходной вычислительной задачи. Далее задача сведется к численному интегрированию полученной системы.

Основные положения, которые выносятся на защиту.

На защиту выносятся:

Разработанные новые и усовершенствованные существующие мето

Библиография Зубов, Иван Владимирович, диссертация по теме Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)

1. Алексеев Ю.К., Сухоруков А.П. Введение в теорию катастроф.-М.: Изд-во МГУ, 2000.

2. Андронов A.A., Леонович Е.А. Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука,1966.

3. Анищенко B.C., Сложные колебания в простых системах. М.: Наука, 1990.

4. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения.-М.: Наука,1975.

5. Арцимович Л.А., Лукьянов С.Ю. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях,- 2-е изд.- М.: Наука, 1978.

6. Бабаков И.М. Теория колебаний, 3-е изд. М.: Наука,1968.

7. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М.: Наука, 1986.

8. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука,1970.

9. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Меркурий пресс. 2000.

10. Боголюбов Н.Н.Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний,- 2-е изд. М.: ГИФМЛД958.

11. Брус, Дж. Джиблин П., Кривые и особенности. М.: Мир, 1988.

12. Булгаков Н.Г. Знакопостоянные функции в теории устойчивости,- Минск: Изд-во "Университетское" 1984.

13. Бурбаки Н. Функции действительного переменного. М.: Наука,1965.

14. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1987.

15. Вержбицкий В.М, Численные методы. М.: Высшая школа, 2000.

16. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике. М.: Наука, 1966.

17. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986.

18. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф.- Т 1,2. М.:Мир, 1984.

19. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений,- М:ГИТТЛ, 1950.

20. Голубев В.В.,Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела.- М:ГИТТЛ, 1953.

21. Гюнтер Н.М. Интегрирование уравнений первого порядка в частных производных. М.-Л.,ОНТИ, 1934.

22. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. 2-е изд. М.:Наука,1998.

23. Динамические системы. Электронная библиотека,. Ижевск: РХД, CD.

24. Додд Р., Эйлбек Дж.,Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения,- М.:Мир, 1988.

25. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений,- 2-е изд. Минск: Наука и техника, 1972.

26. Журавлев В.Ф., Д.М. Климов, Прикладные методы в теории колебаний. М.:Наука, 1988.

27. Заславский Г.М., Р.З.Сагдеев, Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности.- М.: Наука, 1988.

28. Заславский Г.М.,Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A., Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.:Наука, 1991.

29. Зубов В. И. Теория колебаний. М.:Высшая школа, 1979.

30. Зубов В.И. К управлению движением заряженных частиц в магнитном поле//Докл. АН СССР. 1977. Т.232, № 4. С.798-799.

31. Зубов В.И. Каноническая структура векторного силового поля //Проблемы механики твердого деформированного тела. Л.: Судостроение, 1970.с.167-170.

32. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука,1975.

33. Зубов В.И. Проблема устойчивости процессов, управления.2-е изд.- СПб.: НИИ Химии СПбГУ, 2001.

34. Зубов В.И. Теория оптимального управления. Л.¡Судостроение, 1966.

35. Зубов В.И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1984.

36. Зубов В.И. Колебания и волны. Л.: Изд-во Ленинградского университета, 1989.

37. Зубов И.В. Модели с несколькими неустойчивыми положениями равновесия в динамике пучков заряженных частиц, Ninth Intl. Workshop BD02002,abstracts& program, Saint-Petersburg State Univ. 2002, p.88.

38. Зубов И.В. Метод построения полярного разложения матрицы // Исследования по прикладной математике: Сб.науч. тр. / Редкол.: Б.Г.Батяев и др. Саранск: Мордовский гос. ун-т, 1982. С.69-76.

39. Зубов И.В. Неограниченные равновесные движения в управляемых системах / / Математические методы оптимизации и структурирования сложных систем: Межвуз. те-мат.сб./Редкол.:Ю.А.Абрамов и др. Калинин: Калининский гос. ун-т, 1980. с.47-54.

40. Зубов И.В. Неограниченные равновесные решения квазилинейных систем // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. N0- 13. С. 24-29.

41. Зубов И.В. Устойчивость стационарных режимов нелинейных управляемых систем // Математические методы оптимизации и управления в сложных системах: Межвуз. темат. сб. / Редкол.: Ю.А.Абрамов и др. Калинин: Калининский гос. ун-т, 1981. С. 1320.

42. Зубов И.В. Устойчивость стационарных режимов процессов и аппаратов ЦБП.Конспект лекций. Л.: Ленинградская лесотехническая академия, 1983.

43. Зубова А.Ф., Зубов И.В. Методы приближенных вычислений объектов ЦБП. Л.: Ленинградская лесотехническая академия, 1981. С.16-79.

44. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных. М.: Наука, 1966.

45. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.:Наука, 1977.

46. Климонтович Ю.М.Турбулентное движение и структура хаоса. -М.: Наука, 1990.

47. Кнут Д. Искусство программирования для ЭВМ. В 3 т.Т.2. Получисленные алгоритмы. М.:Мир,1977.

48. Коддингтон С.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.:ИЛ, 1958.

49. Красовский H.H.Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГИФМЛД953.

50. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука,1968.

51. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы,- В 2 т.- М.: Наука,1977.55 56 [57 [58 [5960

Похожие работы

Информатика, вычислительная техника и управление
05.13.00