автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Нелинейные операторные уравнения Вольтерра и их применение при решении обратных задач для уравнений гиперболического типа

Введение

1 Операторные уравнения Вольтерра 11-го рода. Ь-2-теория

1.1 Основные определения.

1.2 Существование решения операторного уравнения в малом.

1.3 Корректность в окрестности точного решения

1.4 Регуляризация операторных уравнений Вольтерра 1-го рода. 1/2-теория.

2 Сходимость решения дискретного аналога операторного уравнения Вольтерра 11-го рода. Пример одномерной обратной задачи гиперболического типа

2.1 Сходимость дискретного аналога уравнения Вольтерра П-го рода.

2.2 Одномерная обратная задача для гиперболического уравнения

2.2.1 Решение прямой задачи.

2.2.2 Решение обратной задачи.

3 Обратная задача акустического каротажа 51 3.1 Постановка задачи.

3.2 Решение прямой задачи.

3.3 Решение обратной задачи

3.4 Построение градиента.

Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Обратные задачи, в которых в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой, как правило времениподоб-ной, поверхности, называются динамическими. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнений и систем были сформулирорваны и исследованы М. М. Лаврентьевым и В. Г. Романовым [17, 18] А. С. Благовещенским [4], А. С. Алексеевым [1].

Большое количество имеющихся к настоящему времени работ по исследованию динамических задач можно разделить по методам на несколько основных групп: метод операторных уравнений Вольтерра, оптимизационный метод, метод Ньютона-Канторовича, динамический вариант метода Гельфанда-Левитана, метод линеаризации и метод обращения разностной схемы. В настоящей работе рассмотрен первый метод, а именно, исследованы некоторые свойства нелинейных уравнений Вольтерра в предположении, что ядро уравнения принадлежит классу вольтерровых и ограниченно липшиц-непрерывных операторов. Также рассмотрен оптимизационный метод решения обратной задачи — построены градиенты соответствующих фукционалов. Основным объектом исследования в данной работе является уравнение Вольтерра второго рода: = + = (0,Т), Т > 0. (0.1)

Здесь £ (5; X), К^ принадлежит семейству вольтерровых и ограниченно липшиц-непрерывных операторов.

Связь обратных задач с уравнениями Вольтерра использовалась в самых ранних работах по теории обратных задач. В 1970 году на Международном математическом конгрессе в Пицце М. М. Лаврентьев поставил задачу исследования общих операторных уравнений Вольтерра в связи с изучением широкого класса обратных задач. Одной из основных трудностей при изучении операторных уравнений, связанных с обратными задачами для гиперболических уравнений, является нелинейность операторов К^. В [14] показывается, что, вообще говоря, не для любых решение операторного уравнения (0.1) имеет решение. Изучение необходимых и достаточных условий на £ Е (0, Т), при выполнении которых решение обратной задачи (0.1) существует для произвольного У Е является сложной проблемой. Широкий класс операторных уравнений Вольтерра изучен в работах М. М. Лаврентьева [15], В. Г. Романова [23], А. Л. Бухгейма [5], С. И. Кабанихина [14], М. И. Иманалиева [11]. Основная идея метода операторных уравнений Вольтерра в применении к обратным динамическим задачам для гиперболических уравнений заключается в том, что для многих гиперболических уравнений известны интегральные представления решений в виде интегральных уравнений вольтерровского типа. Используя эти представления, а также дополнительную информацию о решении прямой задачи, можно получить операторное уравнение Вольтерра относительно искомых коэффициентов.

Ввиду того, что данные обратных задач всегда известны лишь приближенно, очень важным с точки зрения приложений является вопрос о том, какие вариации данных не выводят из множества функций, для которых решение обратной задачи существует. В связи с этим становится актуальной необходимость получения решения уравнений Вольтерра, когда входные данные принадлежат более "широкому" пространству.

Операторное уравнение (0.1) с ядром, обладающим указанными выше свойствами, исследовано в главе 1. В параграфе 1.2 доказывается теорема о локальной (т. е. при достаточно малом Т £ К+) корректности задачи (0.1), условной устойчивости "в целом" и единственности решения задачи (0.1) при любом конечном Т £ ИИсключительно важной для обоснования сходимости метода обращения разностной схемы оказывается методика доказательства корректности задачи (0.1) в окрестности точного решения (параграф 1.3). Проблема здесь заключается в том, что в силу нелинейности уравнения (0.1) относительно д(£) не для любых данных г{1) решение задачи (0.1) будет существовать. Тем не менее, используя вольтерровость и ограниченную липшиц-непрерывность ядра уравнения (0.1), удается показать, что множество данных для которых существует решение задачи (0.1), является открытым в Ь-2{3;Х). Здесь Ь-2(3;Х) есть пространство интегрируемых с квадратом функций аргумента £ £ 5 со значениями в некотором банаховом пространстве X. В теоретическом плане результат параграфа 1.3 позволяет несколько уточнить свойство условной устойчивости решения задачи (0.1): если ранее для получения оценки условной устойчивости предполагалось, что для двух различных ^1(05 существуют и 92(¿) — соответствующие им решения задачи (0.1), то в силу результата параграфа 1.3 достаточно предполагать только существование решения уравнения (0.1). Далее (параграф 1.4) приводится алгоритм регуляризации нелинейного операторного зфавнения Вольтерра первого рода

Общий метод регуляризации операторного уравнения первого рода

Л(р = / был предложен М. М. Лаврентьевым [16] в случае, когда Л — линейный вполне непрерывный оператор. Основываясь на методе М. М. Лаврентьева, А. М. Денисов построил регуляризацию линейного уравнения Вольтерра первого рода [10] £к(г,т)ч>{т)&т,1 6 5. (0.2)

Основываясь на методике работы [10], А. В. Баев [3] исследовал нелинейный аналог уравнения (0.2), возникающий при решении одномерной обратной динамической задачи сейсмики, и построил регуляризирующий алгоритм по схеме, аналогичной рассмотренной в [16].

Использование результатов главы 1 приводится в главе 2. В параграфе 2.1 рассматривается метод обоснования сходимости решения дискретного аналога к точному решению операторного уравнения (0.1) на основе результатов параграфа 1.3. В [12] рассмотрена обратная задача для гиперболического уравнения, изучена сходимость итерационного метода в рамках Х2"те°рии. В параграфе 2.2 рассматривается обратная задача для одномерного уравнения гиперболического типа с использованием результатов параграфа 1.2. Одномерные обратные задачи исследовались широким кругом авторов. Основным методом исследования являлось сведение одномерных обратных задач к системам операторных уравнений Вольтерра второго рода, с последующим применением принципа сжатых отображений для доказательства локальной корректности одномерных обратных задач. На этом же пути, используя неравенство

Гронуолла-Беллмана, можно получить оценки устойчивости "в целом" и, как следствие этих оценок, теорему единственности "в целом" . Общая методология и конкретные примеры содержатся в монографиях В.Г.Романова [20-22]. В диссертации обратная задача для одномерного уравнения исследована в рамках Хг-теории. Получена теорема существования обобщенного решения прямой задачи, изучены свойства оператора интегрального уравнения обратной задачи. На основе результатов параграфа 1.2 получено, что обратная задача имеет решение в малом по времени, а также единственно в целом и непрерывно зависит от входных данных.

В третьей главе исследуется обратная задача для интегродиф-ференциального уравнения в трехмерном пространстве. Подобные обратные задачи возникают при исследовании сред с поглощением, с вязкостью, а также сред, свойства которых зависят от частоты проходящей волны ([9, 14, 25, 27]). Постановка задачи, рассмотренной в главе 3 соответствует сейсмической модели ([2]), в которой в качестве дополнительной информации используются измерения в скважине (например, в задачах акустического каротажа). В параграфе 3.2 вводится определение обобщенного решения рассматриваемой задачи. Существование решения прямой задачи получено с помощью метода разложения в ряд Фурье. Априорная оценка решения прямой задачи получена с использованием принципа энергетических оценок. Обратная задача (параграф 3.3) сводится к операторному уравнению вида (0.1), изучены свойства вольтерровости и ограниченной липшиц-непрерывности ядра оператора, что позволяет заключить, что обратная задача имеет решение в малом по времени. Более того, решение обратной задачи единственно в целом и непрерывно зависит от входных данных. Далее рассматривается возможность решения обратной задачи оптимизационным методом. В работе С. И. Кабанихина, Г.Б.Баканова [24] рассмотрен градиентный метод для дискретного аналога обратной задачи для уравнения гиперболического типа. В дальнейшем методика, приведенная в [24], получила развитие в работе А. Л. Карчевского [26]. Им получены оценки скорости сходимости по функционалу и в среднем к решению обратной задачи. В работе К. Т. Искакова, С. И. Кабанихина [13] рассмотрен оптимизационный метод для двумерной обратной задачи. В параграфе 3.4 диссертации определен функционал обратной задачи и построен его градиент.

В главе " Приложения" на основе уже полученных свойств оператора в задаче второй главы рассмотрены возможности повышения гладкости решения обратной задачи при соответствующем повышении гладкости входных данных — в рамках пространств И7^ и и построен градиент функционала одномерной обратной задачи из второй главы.

Основные обозначения

Введем необходимые обозначения, принятые в этой диссертации:

St = (0,f), teS, 5 = (О,Т), Т > 0; fly - i(x,y): xe(-Y:Y)iye (-¥,¥),¥>()};

Q(t) = {(x,y,z,t):(x,y)etoY,ze[T-T,T-T]4TeSuteS}i

Д(t) = {(z?t):ze(T-t,t-r) We St};

II FW^t) = sup \F(zM ze[t-T,T-t]

F\\l(t) = I*Y£YF2(x,y,z,t)dxdydz.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2830].

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Сергею Игоревичу Кабанихину за большое внимание и помощь в работе.

1. Алексеев А. С. Обратные динамические задачи сейсмики // Некоторые методы и алгоритмы интерпретации геофизических данных. М.: Наука. 1967. С. 9-84.

2. Алексеев А. С., Добринский В. И. Некоторые вопросы практического использования обратных динамических задач в сейсмике, математические задачи в геофизике // Новосибирск: Вычислит, центр СО АН СССР, 1975. С. 7-53.

3. Баев A.B. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризирующего алгоритма // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. Т. 25, .№ 1, 1985. С. 140-146.

4. Благовещенский А. С. Об обратной задаче теории распространения сейсмических волн // Тр. Ленингр. ун-т. Вып. 1, 1966. С. 68-81.

5. Бухгейм А. JI. Операторные уравнения Вольтерра. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1983. 240 с.

6. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 550 с.

7. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988. 512 с.

8. Гаевский X. Грегер КЗаха,ри,ас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. 336 с.

9. Грасселл,и М., Кабанихин С. И., Лоренци А. Обратная задача для интегродифференциального уравнения // Новосибирск: Наука.

10. Сибирский математический журнал. N0. 3, 1992, с. 58-68.

11. Денисов А. М. О приближенном решении уравнения Вольтерра первого рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. Т. 15. № 4, 1975. С. 1053-1056.

12. Иманалиев М. И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложения. Фрунзе: Илим, 1977. 347 с.

13. Искаков К. Т., Кабанихин С. И. Оптимизационный метод в двумерной обратной задаче // Вестник КарГУ, № 1(13), 1999. С. 29-36.

14. Иска,ков К. Т., Кабанихин С. И. О сходимости итерационного метода в обратной задаче для гиперболических уравнений // Вестник КарГУ. № 1(9), 1998. С. 40-48.

15. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988. 166 с.

16. Лаврентьев М. М. Обратные задачи и специальные операторные уравнения первого рода / / Между нар. конгр. математиков в Ницце, 1970. Докл. сов. математиков. М.: Наука. Сиб. отд-ние, 1972. С 7-13.

17. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962. 92 с.

18. Лаврентьев М. М., Романов В. Г. О трех линеаризованных обратных задачах для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. Т. 171, № 6, 1966. С. 1279-1281.

19. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Васильев В. Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1969. 67 с.

20. Михаил,ов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 392 с.

21. Романов В. Г. Некоторые обратные задачи для уравнений гиперболического типа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1972. 164с.

22. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: НГУ, 1973. 252 с.

23. Романов В. Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 264 с.

24. Романов В. Г. О некоторых классах единственности решения операторных уравнений Вольтерра первого рода // Функцион. анализ и его прил. Т.9, вып. 1, 1975. С 81-82.

25. Kabanikhin S. I., Bakanov G. В. The Optimizational Method for Solving The Discrete Inverse Problem for Hyperbolic Equation // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, VSP, The Netherlands, V. 6 (4),1996. P. 513-530.

26. Kaba/nikhin S.I., Karchev.sky A.L., Lorenzi A. Lavrent'ev Regu-larization of Solutions to Linear Integrodifferential Inverse Problem // Journal of Inverse Ill-Posed Problems, VSP, The Netherlands, No. 2, 1993, pp. 115-141.

27. Karchev.sky A. L. Properties of The Misfit Functional for a Nonlinear One-Dimensional Koefficient Hyperbolic Inverse Problem // Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, VSP, The Netherlands, V. 5 (2), 1995. P. 139-165.

28. Lorenzi A., Yakhno V. G. An identification problem related to an isotropic nonhomogeneous stratified viscoelastic cylindrical body // Journal of Inverse Ill-Posed Problems, VSP, The Netherlands, V. 1 (5),1997, p. 29-53.