автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Моделирование нелинейных динамических систем рядами Вольтерра

Введение

Глава I. Методы моделирования нелинейных динамических систем интегростепенными рядами Вольтерра (обзор литературы)

§1.1. О теоретических основах использования рядов

Вольтерра для моделирования нелинейных процессов

§1.2. Моделирование нелинейных динамических процессов в частотной и во временной областях

§1.3. Метод идентификации ядер Вольтерра во временной области,

• 'Ж основанный на использоЛьрии »комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом

Глава II. Теоретические аспекты идентификации ядер Вольтерра на базе кусочно-постоянных тестовых сигналов

§2.1. Постановка задачи

§2.2. О единственности решений линейных уравнений

§2.3. О проблеме разделения отклика интегральной модели на составляющие

§2.4. Идентификация ядра щ)

§2.5. Идентификация симметричного ядра А"ц(/, и^)

§2.6. Идентификация симметричного ядра Кщ^, щ.у^.щ)

§2.7. Обобщение метода идентификации симметричных ядер

Вольтерра на р-мерный случай

§2.8. Идентификация несимметричного ядра /^12(^^1,^2)

§2.9. Идентификация частично-симметричного ядра

§2.10. Идентификация несимметричного ядра Äm(i, щ, ^з)

Глава III. Численные методы идентификации ядер Вольтерра

§3.1. Постановка задачи

§3.2. Численное решение интегрального уравнения (2.4.4) относительно двумерного ядра Кi

§3.3. Численное решение интегрального уравнения (2.5.1) относительно трёхмерного ядра Кц

Глава IV. Применение рядов Вольтерра к задаче математического моделирования динамики теплообменных процессов

§4.1. Постановка задачи

§4.2. Моделирование нелинейной динамики теплообменного процесса. Апробация на эталонной модели

В последнее время в прикладной математике стремительно развиваются методы математического моделирования нелинейных динамических систем, применяемые в самых различных областях человеческой деятельности. Такие методы позволяют глубоко понять описываемый динамический процесс, проследить и предсказать его развитие во времени, дать определённые рекомендации. Универсальным подходом к математическому моделированию нелинейных динамических систем типа вход-выход (выход непрерывно зависит от входа) является представление отклика системы на внешнее воздействие в виде интегростепенного ряда Вольтерра, введённого в начале нынешнего столетия Вито Вольтерра.

Теоретическое обоснование применимости ряда Вольтерра к задаче приближения нелинейных непрерывных операторов дано в работах И. Бэслера и И.К. Даугавета [16], являющихся продолжением классических работ М. Фреше [105].

Пусть х^)— скалярный входной сигнал некоторой динамической системы, t Е [а, 6] — время, а = соответственно, отклик этой системы. Тогда .Р[:с(£)] есть оператор (отображение) вида

7/С0 = = ¡К1(^з)х(з)й8 + а

I I а а t t t JJ J Kz(t, su s2,ss)x(si)x(s2)x(s3)dsids2dss H----= (0.1) a a a oo j, t n E J J Kn{t, 51,., sn) П x(sk)dsk, i G [a, 6].

Ti— 1 CL a k= 1

Переменный верхний предел в (0.1) отражает свойство физической реализуемости системы: выходной сигнал в момент времени t зависит от возмущений системы лишь в предыдущие моменты времени s < t. п-мерные ядра Вольтерра Кп играют роль переходных характеристик динамической системы.

Методы моделирования нелинейных систем, основанные на использовании рядов Вольтерра, можно встретить в самых различных областях естествознания (гидромеханике, теплофизике, при описании адаптивных систем автоматического управления и фильтрации сигналов и изображений, по развивающимся системам, по анализу и управлению химическими процессами и т.д.) Проблема идентификации ядер Вольтерра (переходных характеристик моделируемой системы) является основной при использовании этой методики.

В работах А.С.Апарцина [8, 86] был предложен метод идентификации, основанный на задании тестовых сигналов xit) в виде некоторых комбинаций функций Хевисайда с отклоняющимся аргументом, позволяющих свести проблему идентификации ядер Вольтерра к решению специальных линейных многомерных уравнений Вольтерра I рода. Эффективность такого подхода обусловлена наличием явных формул обращений введённых уравнений. Дальнейшее развитие данный метод идентификации получил в работах [9, 10, 11, 12], а также в работах C.B. Солодуша [65, 66].

Настоящая диссертационная работа также примыкает к этому направлению.

В первой главе даётся обзор методов математического моделирования нелинейных динамических систем во временной и в частотной областях.

Во второй главе рассмотрены теоретические аспекты идентификации многомерных симметричных, несимметричных и частично-симметричных ядер Вольтерра для моделирования нестационарных динамических систем на базе кусочно-постоянных тестовых сигналов. Обсуждена проблема теоретического обоснования применимости ряда Вольтерра к задаче аппроксимации непрерывных операторов произвольной структуры, заданных на компакте. Доказана теорема об однородном операторе, дающая обоснование возможности разделения отклика динамической системы на составляющие (слагаемые ряда Вольтерра).

Проблема идентификации симметричных ядер Вольтерра, соответствующих скалярному входному сигналу, решена в общем случае путём сведения к многомерным интегральным уравнениям Вольтерра I рода, для которых получены явные формулы обращения и доказаны теоремы существования и единственности решений (п — 1,2,3).

В случае, когда входной сигнал х{{) является вектор-функцией, ядра, отражающие чувствительность системы к совместному изменению входных возмущений, уже не обязаны быть симметричными. Этот случай наиболее важен для приложений. Задача идентификации несимметричных и частично-симметричных многомерных ядер (п = 1,2,3 в (0.2)) решена путём сведения к линейным интегральным уравнениям Вольтерра I рода, для которых также доказаны теоремы существования и единственности решений.

В третьей главе рассмотрена проблема численного решения многомерных интегральных уравнений, к которым сводится задача идентификации переходных характеристик динамических систем. Доказана сходимость разностных схем со вторым порядком. Показано, что соответствующие разностные схемы являются регуляри-зирующими алгоритмами в смысле А.Н.Тихонова, если шаг сетки согласовать с погрешностью вычислений.

Описание и приложение алгоритмов идентификации ядер Вольтерра применительно к задаче моделирования динамики теплофизи-ческих процессов приведено в четвёртой главе. Апробация алгоритма идентификации проведена на эталонной модели теплообменника [67] с независимым подводом тепла, представленная в виде объекта с сосредоточенными параметрами, который описывает алгебро-дифференциальная система.

Для этих целей в среде С++ был написан программный комплекс T0VSIS - Third Order Volterra Series Identification Software. Кубичный и квадратичный отрезок ряда Вольтерра использовались для моделирования динамических процессов для произвольного возмущения расхода жидкости, причём математическая модель динамики теплообменна использовалась в качестве эталона для оценки точности модели. Проведён сравнительный анализ точности использования кубичной модели в сравнении с квадратичной.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике" (ТГУ, Томск, 1997 г.);

- всероссийская конференция "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (ИММ УО РАН, Екатеринбург, 1998 г.);

- X и XI Международные Байкальские школы-семинары по методам оптимизации и их приложениям. (Иркутск, 1995, 1998 гг.);

- международная конференция "Средства математического моделирования" (С-ПГТУ, С.-Петербург, 1997 г.);

- международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (КрГУ, Красноярск, 1999 г.);

- международная конференция "Математика в приложениях" (Институт Математики им. С.Л.Соболева СО РАН, Новосибирск, 1999 г.);

- объединённый семинар математического центра технологического университета Чалмерс и технологического института университета Линкопинг (Chalmers Technological University, Institute of Technology of Linkoping University, г.Гётеборг, Швеция, 1999 г.);

- конференции молодых ученых ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1995, 1996, 1997, 1998, 1999 гг.).

По теме диссертации опубликованы работы [13-15], [48-60], [89], [156-159].

Основные результаты, изложенные в настоящей работе, заключаются в следующем:

- решена задача идентификации двумерных и трехмерных частично-симметричных и несимметричных ядер Вольтерра, описывающих нестационарную динамику;

- проблема идентификации симметричных ядер Вольтерра, соответствующих скалярному входному сигналу, решена в общем случае путём сведения к многомерным интегральным уравнениям Вольтерра I рода, для которых получены явные формулы обращения и доказаны теоремы существования и единственности решений;

- рассмотрена задача численного решения введённых интегральных уравнений Вольтерра I рода методом средних прямоугольников и доказана его сходимость со вторым порядком; показано, что метод кубатур порождает регуляризирующий алгоритм в смысле А.Н. Тихонова, если шаг сетки согласовать с погрешностью исходных данных;

- для апробации подхода создан программный комплекс T0VSIS (3rd Order Volterra Series Identification Software), реализующий кубичный и квадратичный отрезки ряда Вольтерра и использующий эталонную модель нелинейной динамики теплообменного процесса, протекающего в экспериментальной установке - ВТК ИСЭМ СО РАН.

- проведён анализ точности кубичной модели в сравнении с квадратичной.

Разработанные методы идентификации могут быть применены к моделированию достаточно широкого класса нелинейных динамических систем.

Очевидно, что данная диссертационная работа не охватывает весь круг проблем прикладного и теоретического характера, связанных с применением интегро-функционального ряда Вольтерра для моделирования нелинейной динамики.

Предметом дальнейших исследований является развитие методов повышения точности моделирования, минимизация суммарной длительности входных возмущений для восстановления ядер Вольтерра, применение других конечноразностных методов численного решения интегральных уравнений, а также построение интегральных моделей с обратной связью.

Заключение

В диссертационной работе рассмотрена задача построения моделей нелинейных динамических систем в виде конечного отрезка интегро-функционального ряда Вольтерра.

Исследована основная проблема, возникающая при моделировании, которая состоит в идентификации ядер Вольтерра (переходных характеристик нелинейных динамических систем) посредством кусочно-постоянных тестовых сигналов.

1. Александровский Н.М., Дейч A.M. Методы определения динамических характеристик нелинейных объектов. Автоматика и телемеханика, 1968. -№ 1. - С. 167-188.

2. Александровский Н.М., Егоров C.B., Кузин P.E. Адаптивные системы автоматического управления сложными технологическими процессами. М.: Энергия, 1973. - 272 с.

3. Алехин Н.Б., Павленко В.Д., Тихончук С.Т. Построение нелинейной динамической модели морского судна в виде интегростепенного полинома // Тез. 3-й Республ. научно-технич. конф. "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" Киев, 1989. - С. 10-11.

4. Апарцин A.C., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференц. и интегр. ур-ния. Вып. I, Иркутск, Иркут. гос. ун-т, 1972. С. 248-258.

5. Апарцин A.C. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференц. и интегр. ур-ния. Вып. 2, Иркутск, Иркут. гос. ун-т, 1973. С. 107-116.

6. Апарцин A.C. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтерра. Иркутск, СЭИ СО АН СССР, 1981. - 26 с. - Препринт № 1.

7. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода // Методы численного анализа и оптимизации. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1987. С. 263-297.

8. Апарцин A.C. К идентификации нелинейных динамических систем с помощью функциональных рядов Вольтерра // Междунар. семинар "Негладкие и разрывные задачи управления и контроля" (NODPOC-91), Минск, 1991. -С. 13-15.

9. Апарцин A.C., Таиров Э.А., Солодуша C.B., Худяков Д.В. Применение интегростепенных рядов Вольтерра к моделированию динамики теплообменников // Изв. РАН, Энергетика, 1994. № 3. - С. 138-145.

10. Апарцин A.C. О новых классах линейных многомерных уравнений I рода типа Вольтерра. Изв. ВУЗов, Математика, 1995. № 11. - С. 28 - 42.

11. Апарцин A.C. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (скалярный случай). Иркутск, СЭИ СО -РАН, 1995. - 30 с. -Препринт № 9.

12. Апарцин A.C. Теоремы существования и единственности решений уравнений Вольтерра I рода, связанных с идентификацией нелинейных динамических систем (векторный случай). Иркутск, СЭИ СО РАН, 1996. - 56 с. -Препринт № 8.

13. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. К идентификации ядер Вольтерра для моделирования нестационарных динамических систем // Тез. X Байкальской школы "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, СЭИ СО РАН, 1995. - С.235-236.

14. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. Новые классы многомерных интегральных уравнений Вольтерра I рода, возникающие при моделировании нестационарных динамических систем // Тез. II Сибирского конгресса ИНПРИМ-96,1996. С.4.

15. Апарцин A.C., Сидоров Д.Н. К теории моделирования нелинейных динамических систем на основе функциональных рядов Вольтерра // Тез. Меж-дунар. семинара "Нелинейное моделирование и управление", Самара, изд. СамГУ, 1997. С.12.

16. Бэслер И., Даугавет И.К. О приближении нелинейных операторов полиномами Вольтерра // Тр. Ленинградского мат. общества, № 1, 1990. -С.53-64.

17. Ван—Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. М.: Мир, 1964. - 167 с.

18. Веников В.А., Суханов O.A. Кибернетические модели электрических систем. М.: Энергоиздат, 1982. - 327 с.

19. Веников В.А., Суханов O.A., Гусейнов А.Ф. Функциональное представление подсистем в кибернетическом моделировании // Кибернетика электроэнергетических систем. Брянск, 1974. - С. 39 - 46.

20. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. Справочное пособие. Киев, Наукова думка, 1986. - 542 с.

21. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов, ИЛ, М., 1961.

22. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференци-альных уравнений. М.: Наука, 1982. - 304 с.

23. Галин Н.М. Метод решения одного класса нелинейных задач теплообмена при изменяющихся граничных условиях. Теплоэнергетика, № 4, 1981. С. 5556.

24. Галин Н.М., Зябиров Ф.И. Метод решения нелинейных задач теплообмена с применением функциональных рядов Вольтерра // Гидродинамика и теплообмен в однофазных и двухфазных потоках. М.: МЭИ, 1987. - С. 34-38.

25. Давиденко К.Я. Представление и реализация функционалов в управляющих вычислительных машинах методом разложения в 'ряд Вольтерра // Вопросы машинной кибернетики. М., 1973. - С. 42-47.

26. Данилов JI.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Ленинград: Энергоиздат, 1990. - 252 с.

27. Дейч A.M. Некоторые вопросы представления динамических свойств нелинейных объектов рядом Вольтерра // Экспериментально статистические методы исследования многофакторных процессов. Тр. МЭИ, вып. 67, 1966.

28. Дейч A.M. Методы идентификации динамических объектов. М: Энергия, 1979. - 240 с.

29. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредгольма I рода // Вычисл. методы и программирование, Вып. X, М.: Изд-во МГУ, 1968. С. 49-54.

30. Дьяконов В.П. Математическая система Maple V R3/R4/R5. М: Солон, 1998. - 399 с.

31. Идентификация динамических систем. Под ред. И. Немуры. Вильнюс: "Минтис", 1974. - 284 с.

32. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.Г., Шмульян Б.Л. М.: Энергия, 1976. -440 с.

33. Каминскас В. Идентификация динамических систем по дискретным наблюдениям. Вильнюс: "Мокслас", 1985. - 152 с.

34. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -' М.: Наука, 1961. 704 с.

35. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. - 192 с.

36. Красносельский М.А. и др. Приближённое решение операторных уравнений. М: Наука, 1969, Т 1.

37. Красносельский М.А., Покровский A.B. Системы с гистерезисом. М: Наука, 1983. - 272 с.

38. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М: Наука, 1980. - 285 с.

39. Мармарелис В.З., Мармарелис П.З. Анализ физиологических систем: белый шум. М: Мир, 1981.

40. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя. М.: Наука, 1991. - 431 с.

41. Пинчук В.М. Аппроксимация непрерывных процессов конечными рядами Вольтерра при помощи итерационной процедуры. Автоматика, № 5, 1983. -С. 39-46.

42. Пинчук В.М., Бойчук Л.М. Частотный подход к синтезу конечных дискретных функциональных рядов Вольтерра для целей прогноза. Автоматика, № 2, 1984. С. 42-47.

43. Попков Ю.С., Киселев О.Н., Петров Н.Г., Шмульян Б.Л. Идентификация и оптимизация нелинейных стохастических систем. М.: Энергия, 1976. - 440 с.

44. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. - 448 с.

45. Пупков К.А., Шмыкова H.A. Анализ и расчет нелинейных систем с помощью функциональных степенных рядов. М.: Машиностроение, 1982. -150 с.

46. Разработка математических основ и построение нелинейных интегральных моделей динамики теплоэнергетических объектов: Отчет СЭИ СО РАН; Отв. исполнители Апарцин A.C., Таиров Э.А. Иркутск, 1992. - 104 с.

47. Сидоров Д.Н. Идентификация ядер Вольтерра для моделирования нестационарных динамических систем // Материалы XXV конференции научной молодежи СЭИ СО РАН, 1995. С.126-130. - Деп. в ВИНИТИ 21.07.95, № 2262-В95.

48. Сидоров Д.Н. О некоторых интегральных уравнениях Вольтерра I рода для моделирования нестационарных динамических систем // Материалы XXVI конференции научной молодежи СЭИ СО РАН, 1996. С. 119-130. - Деп. в ВИНИТИ 8.07.96, № 2194-В96.

49. Сидоров Д.Н. О существовании и единственности решений одного класса двумерных интегральных уравнений Вольтерра I рода // Приближенные методы анализа. Межвуз. Сб. Научн. тр. Иркутск: изд-во гос. пед. ун-та, 1997.- С.130-140.

50. Сидоров Д.Н. О двумерных уравнениях Вольтерра I рода, связанных с моделированием нелинейных динамических систем // Материалы XXVII конференции научной молодежи СЭИ СО РАН, 1997. С.164-170. - Деп. в ВИНИТИ 12.09.97, № 2830-В97.

51. Сидоров Д.Н. О восстановлении трёхмерных ядер Вольтерра в задаче моделирования нестационарных динамических систем // Тр. XI международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и приложения ", 1998.- С. 165-168.

52. Сидоров Д.Н. Об одном классе трёхмерных интегральных уравнениях Вольтерра I рода // Материалы XXVIII конференции научной молодежи ИСЭМ СО РАН, 13-14 мая 1998. С. 130-145. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.99 № 119-В99.

53. Сидоров Д.H. Моделирование нелинейных теплообменных процессов интегро-функциональными рядами Вольтерра // Системные исследования в энергетике. Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - С. 208-215.

54. Солодуша C.B., Сидоров Д.Н. Алгоритмы идентификации ядер Вольтерра и их приложения для моделирования теплофизических процессов. // Тез. Междунар. конф. "Всесибирские чтения по Математике и Механике". -Томск: Изд-во Томского ун-та, 1997. С. 223-224.

55. Солодуша C.B., Сидоров Д.Н. О моделировании нелинейной динамики теплообменных процессов функциональными рядами Вольтерра // Труды конференции "Математическое моделирование", 3-6 декабря 1997, С. Петербургский гос. техн. ун-т, 1998. - С. 221-229.

56. Солодуша C.B., Сидоров Д.Н. О моделировании нелинейных динамических систем кубичным отрезком ряда Вольтерра // Тез. III Сибирского Конгресса ИНПРИМ-98 (памяти С. JT. Соболева), Новосибирск, 1998. С. 24.

57. Солодуша C.B. О численном решении одного класса линейных двумерных уравнений Вольтерра I рода // Межвуз. сб. "Приближенные методы решения операторных уравнений". Иркутск: Изд-во ИГПИ, 1992. - С. 114-124.

58. Солодуша C.B. Численные методы идентификации несимметричных ядер Вольтерра и их приложения в некоторых задачах теплофизики // Тр. XXIII научной конференции молодёжи СЭИ СО РАН. Иркутск, 1992. - С.76-91. -Деп. ВИНИТИ 30.08.94, № 2129-В94.

59. Солодуша C.B. Теоретические и прикладные аспекты моделирования нелинейной динамики рядами Вольтерра // Тр. XXV конф. научной молодежи СЭИ СО РАН. Иркутск, 1995. - С. 141-166. - Деп. ВИНИТИ 27.07.95, № 2262-В95.

60. Солодуша C.B. Построение интегральных моделей нелинейных динамических систем с помощью радов Вольтерра. Диссертационная работа. СЭИ СО РАН. 1995. - 153 с.

61. Таиров Э.А. Нелинейное моделирование динамики теплообмена в канале с однофазным теплоносителем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, № 1, 1989. С. 150-156.

62. Таиров Э.А., Запов В.В. Интегральная модель нелинейной динамики парогенерирующего канала на основе аналитических решений // Вопросы атомн. науки и техн. Сер. физика ядерных реакторов, Вып. 3, 1991. С. 1420.

63. Тибор К. Приближенный учет нелинейностей динамических свойств поверхностей нагрева котельных агрегатов // Теплоэнергетика, № 12, 1969. С. 71-75.

64. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

65. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 494 с.

66. Уайлд Д. Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. - 268 с.

67. Флейк Р.Г. Теория рядов Вольтерра и ее приложение к нелинейным системам с переменными параметрами //В кн. Оптимальные системы. Статистические методы. Тр. II Междунар. конгресса. Базель. 25 авг. 4сент. 1963. -М.: Наука, 1965. - С. 453-468.

68. Цыпкин Я.З. Адаптация, обучение в автоматических системах. М.: Наука, 1968. 400 с.

69. Щербаков М.А. Цифровая полиномиальная фильтрация: теория и приложения. Пенза: Изд-во ПГТУ, 1997. - 246с.

70. Щербаков М.А. Параллельная реализация цифровых фильтров Вольтерра в частотной области // Автоматика и вычислительная техника, 1996, № 6. -С. 35-44.

71. Щербаков М.А. Многокритериальный синтез цифровых фильтров // Тез. докл. XI Междунар. конф. по проблемам теоретической кибернетики. Ульяновск: Изд-во СВНЦ, 1996. - С. 210.

72. Щербаков М.А. Алгоритм вычисления ядер Винера нелинейных систем в частотной области // Кибернетика и вычислительная техника: Респ. межвед. сб. науч. тр. Киев: Наукова думка, 1988. - Вып. 79. - С.51-58.

73. Юмова К.JI. О ветвлении решений одного интегрального уравнения // Приближенные методы анализа. Межвуз. Сб. Научн. тр. Иркутск: изд-во гос. пед. ун-та, 1997. С.171-190

74. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью. Киев: Наук, думка, 1991. - 218 с.

75. Alper P. Higher-Dimensional Z. Transforms and Nonlinear Discrete Systems. Revue A, vol. 6, No. 4, 1964.

76. Alper P. Consideration of the Discrete Volterra Series. // IEEE Trans. Atom. Control, vol. 10, No. 3, 1965.

77. Anderson J.A., Rosenfeld E. Neurocomputing: Foundation of Research, MIT Press, Cambridge, Mass., 1988.

78. Apartsyn A.S. On some class of Volterra integral equations of the first kind and their selfregularization. Abstract of Intern. Conf. "Ill- posed problems in natural sciences", Moscow, 1991. P. 11.

79. Apartsyn A.S. Mathematical modelling of the dynamic systems and objects with the help of the Volterra integral series. EPRI-SEI joint seminar, Beijing, China, 1991. P. 117-132.

80. Apartsyn A.S. On some identification method for nonlinear dynamic systems. ISEMA-92. Shenzhen, China, 1992. P. 288-292.

81. Apartsyn A.S. Some ill-posed problems and their application in energy research. Sov. Tech. Rev. A Energy, Harwood Academic Publishers, v.6, No. 1, 1992. P. 65-125.

82. Bedrosian E., Rice S.O. The Output Properties of Volterra Systems (Nonlinear Systems with Memory) Driven by Harmonic and Gaussian Inputs". // Proc. IEEE, vol. 59, Dec.1971. -P.1688-1707.

83. Bose A.G. A theory of Nonlinear Systems, Technical Report 309. Research Laboratory of Electronics, MIT, May 15, 1956.

84. Brilliant D.A. Theory of Analusis of Nonlinear Systems, Technical Report 345. Research Laboratory of Electronics, MIT, March 3, 1958.

85. Boyn S., Chua L.O. Fading Mamory and the Problem of Approximating Nonlinear Operators with Volterra Series, IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 32, Nov. 1985. P.1150-1161.

86. Brunak S., Lautrup B. Neural Networks, Computers with Intuition, World Scientific, Singapore, 1990.

87. Brunner H., Van Der Houwen P.J. The numerical solution of Volterra equations. Centre for Mathematics and Computer Science, North-Holland, 1986. - 588p.

88. Bussgang J.J., Ehrman L., Graham J.M. Analysis of nonlinear systems with multiple inputs // Proc. IEEE, 62(8), 1974. P.1088-1119.

89. Cherry J. A. Distortion analysis of weakly nonlinear filters using Volterra series, M.Sc.Thesis, Carleton University, Ottawa, Canada. 1994. - 176p.

90. Chua L.O., Liao Y. Measuring Volterra kernels (II). // International Journal of Circuits and Applications, 17, 1989. -P.151-190

91. Chua L.O., Liao Y. Measuring Volterra kernels (III): How to estimate the highest significant order. // International Journal of Circuits and Applications, 19(2), 1991. P.198-209.

92. Chua L.O., Tang Y.S. Nonlinear oscillation via Volterra series. // IEEE Trans. Circuits and Systems, 29(3), 1982. P. 150-168.

93. Chua L.O., Ng C.Y. Frequency domain analysis of nonlinear systems: General theory // IEE Journal on Electronic Circuits and Systems, 3(4), 1974. -P. 165-185.

94. Crouch P.E. Dynamical realization of Finite Volterra Series, SIAM Journal of Control and Optomization, vol. 19, No. 2, 1981. P.177-202.

95. Crouch P.E., Lamnabhi-Lagarrigue F. Volterra Series Resolution of Input-Output Differential Equations // Proc. European Control Conf., Grenoble, France, 1991. P. 1800-1802.

96. Doyle III F.G., Ogunnaike T.A., Pearson R.K. Nonlinear Model-Based on the Second Order Volterra Models, Automatica, vol. 31, 1995. P.687-714

97. Frechet M. Sur les funktionnoles continues. -Ann. de l'Ecole Normale Sup. 30, 1910. P.27.

98. Gabor D., Wilby W.P.L., Woodcock R.A. An Universal Nonlinear Filter, Predictor and Simulator which Optimizes Itself by a Learning Process. // Proc. Instn. Electr. Engrs, B108, No. 40, 1961.

99. Gencely H., Nikolau M. Design of robust constrained model-predictive controllers with Volterra Series // AIChE Journal, Ferb., 1995. P.2098-2107

100. George D.A. Continuous Nonlinear Systems. Technical Report 355. Research Laboratory of Electronics, MIT, July 22, 1959.

101. Graham J.W., Ehrman L. Nonlinear system modeling and analysis with application to communications receivers. Technical Report RADC-TR-73-178, Rome Air Development Center, 1978.

102. Hanba S., Miyasato Y. Model-Reference Adaptive-Control of Bilinear-Systems Using Voltera Series Expansions // Proceedings of the 35th IEEE conference on decision and control, Kobe, Japan, Dec. 11-13, Vols 1-4, 1996. P.4673-4678.

103. He S., Reif K., Unbehauen R. A Neural Approach for Control of Nonlinear Systems with Feedback Linearization // IEEE Transaction on Neural Networks, vol. 9, No. 6, November, 1998. P.1409-1421.

104. Hsieh M., Rayner P. Parameter Estimation using Volterra series. // ICASSP-98, 1998. P.49-53.

105. Hu Y., Obregon J.J., Mollier J.C. Nonlinear analysis of microwave FET oscillators using Volterra series. // IEEE Trans.Microwave Theory and Techniques, 37(11), 1989. P.1689-1693.

106. Im S.B. Adaptive Equalization of Nonlinear Digital Satellite Channels Using a Frequency-Domain Volterra Filters // Proceedings of IEEE Military Communications Conference (MILCOM-96), Mclean, VA, Oct. 21-24, 1996. -P.843-848.

107. Iatrou M., Berger T.W., Marmarelis V.Z. Modeling of Nonlinear Nonstationary Dynamic Systems with Novel Class of Artificial Neural Networks // IEEE Transaction on Neural Networks, vol. 10, No. 2, March, 1999. P.327-339.

108. Jain A.K, Mao J., Mohiuddin K.M. Artificial Neural Networks: A Tutorial // IEEE Computer, vol. 29, No. 3, March, 1996. -P.31-44.

109. Kabanov D.A., Zaytsev A.N. Method of analysis of non-linear systems on the basis of generalization of the Volterra functional series relative to complex envelopes. // International Journal of Circuits Theory and Applications, 19, 1991. P.9-17.

110. Kolding T.E., Larsen T. Hovsa high order Volterra series analysis -version 2.1. Technical Report R-95-1002, Institute of Electronic Systems, Aalborg University, October, 1995.

111. Kolding T.E., Larsen T. High order Volterra series analysis parallel computing. // International Journal of Circuits Theory and Applications, 25(2), 1997. P.107-114.

112. Kundert K.S. The designer guide to SPICE and SPECTRE. Kluwer Academic Publishers, 1995.

113. Kundert K.S., White J.K., Sangiovanni-Vincentelli A. Steady-State Methods for Simulating Analog and Microwave Circuit. Kluwer Academic Publishers, 1990.

114. Convergence of Volterra Series on Infinite Intervals and Bilinear Approximations in "Nonlinear Systems and Applications" (V.Lakshmikantam, ed.) New York: Academic Press, 1977. P.39-46

115. Lamm P.K., Elden L. Numerical Solution of First-Kind Volterra Equations by Sequential Tikhonov Regularizaron// SIAM J. Numer. Anal., N 34, 1997. -P.1432-1450.

116. Larsen T. Theory of weakly non-linear noisy systems. // Proc. 10'th European Conference of Circuits Theory Design, volume II, Copenhagen, Denmark, 1991.- P.883-892.

117. Larsen T. Algebraic form Volterra transfer functions of non-linear mutli- port notworks. In Proc. ll'th European Conference of Circuits Theory Design, volume II, pages 1503-1508, Davos, Switzerland, 1993.

118. Larsen T. Determination of Volterra transfer functions of non-linear mutli-port networks. International Journal of Circuits Theory and Applications, 21(4), 1993.- P.107-131.

119. Larsen T. Analysis of noise in cascaded nonlinear stages. // International Journal of Circuits Theory and Applications, 21(2), 1993. -p.401-413.

120. Larsen T. An introductory guide to volfun Volterra transfer functions. Technical report R-94-1004, Institute of Electronic Systems, Aalborg University, November, 1994.

121. Law C.L., Aitchison C.S. Prediction of wide-band power perfomance of MES-FET distributed amplifiers using the Volterra series representation // IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, 34(12), 1986. P.1308-1317.

122. Larsen T. Theory of Non-Linear Noisy Netwoks and Systems, Technical Report IR97-1001, Aalborg University, Denmark, 1997. 326p.

123. Maas S.A. A general-purpose computer program for the Volterra-series analysis of nonlinear microwave circuits // IEEE Microwave Theory and Techniques Symposium Digest, 1988. p.311-314.

124. Maas S.A. Analysis and optimization of nonlinear microwave circuits by Volterra-series analysis. Microwave Journal, 33(4), 1990. P.245-251

125. Maas S.A. C/NL2 for Windows: Linear and Nonlinear Microwave Circuit Analysis and Optimization. Artech House, Norwood, MA, 1993.

126. Marmarelis V.Z. Practicable identification of nonstationary nonlinear systems. // Proc. Inst. Elect. Eng., vol. 5, 1981. P. 211-214.

127. Marmarelis V.Z., Zhao X. Volterra models and three-layer perceptions. // IEEE Trans. Neural Networks, vol. 8, 1997. P. 1421-1433.

128. Maner B., Doyle III F.J. Simulated Polymerization Reactor Control Using the Volterra-based Model Predictive Control, AIChE J., 43, 1997. P.1763-1784.

129. McCulloch W.S., Pitts W. A logical Calculus of Ideas Immanent in Nervous Activity // Bull. Mathematical Biophysics, vol. 5, 1943. P.115-133.

130. Minsky M. Logical Versus Analogical or Symbolic Versus Connectionist or Neat Versus Scruffy // AI Magazine, vol. 65, No. 2, 1991. P.34-51.

131. Monagan M.B., Gedden K.O., Labahn G., Yorkoetter S. Maple V Programming Guide. Springer-Verlag, 1996.

132. Narenda K.S., Partharasarathy K. Identification and control of dynamic systems using neural networks, IEEE Trans. Neural Networks, No. 1, 1990. -P.4-27.

133. Newcomb R.W., De Figueiredo R.J.P. A multiinput multioutput functional artificial neural networks, Int. J. Intell. F. Syst., vol4, No. 3, 1996. P.207-213.

134. Proc. IEEE, vol. 75, Aug., 1987.

135. Panagiotopoulos D.A., Newcomb R.W., Singh S.K. Planning with a Functional Neural-Network Architecture // IEEE Transaction on Neural Networks, vol. 10, No. 1, January 1999. P.1409-1421.

136. Redfern D. The Maple Handbook-Maple V Release 4. Springer-Verlang, 1996.

137. Rizolli V., Lipparini A., Costanzo A. State-of-the-Art Harmonic-Balance Simulation of Forced Nonlinear Microwave Circuit by the Piecewise Technique. IEEE Trans on Microwave Theory and Techniques, vol. 40, No. 1, January 1992.

138. Rizzoly V. Neri A. State of the art and present trends in nolinear microwave CAD techniques. IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques Symposium Digest, 36(2), 1988. P.343-365.

139. Rugh W.J. Nonlinear System Theory: The Volterra / Weiner Approach. Baltimore: John Hopkins Press, 1981.

140. Sandberg I.W. On Volterra Expansion for Time-Varying Nonlinear Systems IEEE Trans. Circuits and Systems, vol. 30, Feb., 1983. P.61-67.

141. Sandberg I.W. Multidimentional Nonlinear Myopic Maps, Volterra Series, and Uniform Neural-Network Approximations // Proceedings of Workshop on Intellegent Methods for Signal Processing and Communications, Vigo, Spain, June 24-26, 1996. P.99-128.

142. Schetzen M. Measurement of the Kernels of a Nonlinear System of Finite Order. Internat. J. Control, v.l, No. 3, 1965.

143. Schetzen M. Synthesis of a Class of Nonlinear Systems. Internat. J. Control, v.l, No. 5, 1965.

144. Schetzen M. Measureent of the Kernels of a Nonlinear System of Finite Order Corrigendum. Internat J. Control, v.2, No. 4, 1965.

145. Shcherbakov M.A. A parallel architecture for adaptive frequency-domain Volterra Filtering // Proc. 1996 IEEE Digital Signal Processing Workshop. -Loen, Norway, Sept., 1996. P.203-206.

146. Shcherbakov M.A. Fast Estimation of Wiener kernels of nonlinear systems in the frequency domain // Proc. of the IEEE Signal Processing Workshop on High-Order Statistics. -Banff, Alberta, Canada, July, 1997. P.117-121.

147. Sidorov D.N., Solodusha S.V. The modelling of nonlinear heat-exchange processes by cubical segment of the Volterra series // MathTools'99, abstracts St.-Petersburg, 1999. P. 124.

148. Sidorov D.N. The Multi-port Volterra Series for Modeling of Smooth Dynamic Systems // Abstracts of papers presented to AMS, IV Joint Meeting AMS-SMM, Denton, TX, USA, May 19-22, 1999. P.56.

149. Sidorov D.N. About integral model of nonlinear dynamic systems // ICIAM-99, Book of Abstracts, Edinburg, 1999. P.310.

150. Sontag E.D. Mathematical Control Theory. Springer-Verlag, 1990. P.396.

151. Tsypkin Y.Z., Mason J.D., Avedyan E.D., Warwick K. Neural Networks for Identification of Nonlinear Systems Under Random Piecewise Polynomial Disturbances // IEEE Transaction on Neural Networks, vol. 10, No. 2, March, 1999. P.303-312.

152. Wiener N. Response of a Nonlinear Device to Noise. Report V-16S, Radiation Laboratory. MIT, 1942.

153. Wiener N. Nonlinear Problems in Random Theory. MIT Press, 1958.

154. Worden K., Manson G. Random Vibration Analysis of a Nonlinear-System Using the Volterra Series // Proceedings of the 15th international modal analysis conference-IMAC, Orlando, FL, USA, Febr. 3-6, Vols I and II 1997. P.1003-1011.

155. Yao L.T. Genetic Algorithm-Based Identification of Nonlinear-Systems by Sparse Volterra Filters // Proceedings of IEEE conference on emerging technologies and factory automation, Kauai, HI, Vols 1,2, 1996. P.327-333.

156. Yokoyama M., Watanabe A., Takahashi H. A Fast Adaptive Volterra Filters // Proceedings of the IEEE IECON-22nd International conference on industial elecronics, control, and instrumentation, Taipei, Taiwan, 1 Aug., Vols. 1-6, 1996. P.1624-1628.

157. Zadeh L.A. Progress in Information Theory in USA 1957 1960, Chapter V, IRE Trans., IT-7, 128, 1961.