автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра и их приложения

На правах рукописи

Тында Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 05.13.18. — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск 2004

Работа выполнена в Пензенском государственном университете на кафедре "Высшая и прикладная математика".

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Бойков Илья Владимирович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Дерюгин Юрий Николаевич, кандидат физико-математических наук, доцент Сухарев Лев Александрович.

Ведущая организация: Красноярский государственный технический университет.

Защита состоится 8 сентября 2004 г. в 14 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета КМ.212.117.07 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан 7 июля 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

М.А. Борисов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В последнее время активно развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений Вольтерра (в дальнейшем ИУВ), в том числе некоторые разделы биологии (задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внутри- и межклеточных взаимодействий и т.д.), иконика (восстановление искаженного изображения), томография, экономика производства (динамические макроэкономические модели, модели развивающихся систем).

В связи с этим получили развитие ставшие уже классическими метод механических квадратур, итерационные методы, проекционные методы решения ИУВ. В расчете на применение ЭВМ построен ряд методов, основанных на сочетании метода квадратур с аппроксимацией искомых решений или интегральных операторов в целом, а также методы типа Рунге-Кутта, блочные, на основе сплайнов и т.д.

Большой вклад в развитие численных методов решения ИУВ внесли такие ученые как Н. Brunner, С.Т.Н. Baker, Т. Tang, S. МсКее, К. Atkinson, С. Lubich, S. Zhang, Т. Diogo, А.Ф. Верлань, B.C. Сизи-ков, Ю.П. Яценко, З.Б. Цалюк, Э.Н. Кротова и многие другие.

Вместе с тем остаются открытыми такие вопросы как оптимальность по сложности и точности методов решения интегральных уравнений Воль-терра па различных классах дифференцируемых функций, построение эффективных при реализации на ЭВМ алгоритмов решения слабосингулярных уравнений Вольтерра. Практически не уделяется внимание многомерным уравнениям Вольтерра, численные методы решения которых имеют ряд существенных отличий от соответствующих методов для уравнений Фредгольма и допускают распараллеливание. Недостаточно разработаны численные методы для моделей развивающихся систем и экологии.

Цель работы. Работа посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных ИУВ на различных классах функций; построе решения

систем нелинейных ИУВ, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики; построению численных методов решения систем нелинейных уравнений математической экологии.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались теория проекционных методов, методы теории приближения функций, теория квадратурных формул, теория интегральных уравнений, методы оптимизации.

Научная новизна. Основные результаты диссертации следующие:

1. Вычислены п—поперечники Бабенко и Колмогорова множеств (Э^7(П,М), (¡"уф^), В*7(0.), .В**(П) и построены оптимальные по порядку методы восстановления функций из этих классов;

2. Построены оптимальные по порядку по точности алгоритмы решения ИУВ второго рода на классах функций ^'^(П, Л/),

как в одномерном, так и в многомерном случае;

3. Разработан и обоснован эффективный численный метод решения одномерных и двухмерных слабосингулярных ИУВ,

4. Построены оптимальные по сложности методы решения ИУВ на клас-сах(Ггл(П,М), В;а(П),С'а(0,Т\;

5. Предложен принцип распараллеливания вычислительного процесса для решения многомерных ИУВ на многопроцессорных компьютерах;

6. Построено приближенное решение многомерных ИУВ, обладающее свойством сверхсходимости;

7. Предложен и обоснован численный метод решения систем нелинейных интегральных уравнений, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики;

8. Построены два численных метода решения нелинейных "шредингеров-ских" систем уравнений;

9. На языке программирования С + + разработан пакет следующих программ:

• решения одномерных линейных ИУВ второго рода на классах функ-

цийИ"-(1)|д;Л(п,м)^>7(п)-1

• решения одномерных слабосингулярных ИУВ;

• решения двухмерных ИУВ второго рода;

• получения сверхсходящегося приближенного решения ИУВ;

• решения систем нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем.

Теоретическая и практическая ценность работы. Теоретическая ценность работы заключается в построении оптимальных по порядку по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных ИУВ на классах функций со степенным ростом производных на границе области, построении и обосновании численных методов решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра, описывающих модели экономики;

Практическая ценность работы заключается в получении оптимальных алгоритмов решения ИУВ; построении эффективных численных методов решения систем нелинейных уравнений математической экологии; предложен принцип распараллеливания вычислительного процесса при решении многомерных ИУВ; разработаны и программно реализованы вычислительные схемы решения одномерных линейных ИУВ второго рода на классах функций ТУ(1), Q*.|^íl,M)t слабосингулярных ИУВ, двухмерных

ИУВ, нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем.

Апробация работы. Основные части диссертации докладывались и обсуждались на:

- У-м Международном семинаре-совещании "Кубатурные формулы и их приложения" (г. Уфа, 2001 г.);

- Международна симпозиумах " Надежность и качество-2001"," Надежность и качество-2002", "Надежность и качество-2003" (г. Пенза 2001, 2002, 2003г.);

- ХП-й и ХШ-й Международной школе-семинаре "Синтез и сложность управляющих систем" (г. Пенза, 2001, 2002г.);

- Международной конференции по вычислительной математике 1ССМ-2002 (г. Новосибирск, 2002г.);

- У-й Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (г. Саранск, 2002г.);

- Симпозиуме «Актуальные проблемы науки и образования» (Пенза, Ноябрь 2003);

- научных конференциях профессорско-преподавательского состава Пензенского государственного университета.

Пакет программ, реализующих алгоритмы, разработанные в диссертации, зарегистрирован в Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ (ОФАП). Код по ЕПСД: 03524577.00694-01.

Комплект программ автора "Оптимальные методы решения интегральных уравнений Вольтерра" также используется в производственной деятельности ОАО Научно-производственное предприятие "Рубин" (акт о внедрении прилагается).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 15 статей. Часть работ выполнена при поддержке Российского Гуманитарного Научного Фонда (грант 01-02-00147а).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, списка цитируемой литературы и приложений, изложена на 182 страницах (в том числе 100 стр. - текстовая часть, 15 стр. - список литературы, 67 стр. - приложения). Список литературы к диссертации содержит 148 наименований.

Содержание диссертации

Глава 1

В первой главе диссертации дан краткий обзор численных методов решения интегральных уравнений Вольтерра, известных к данному моменту оптимальных алгоритмов решения интегральных уравнений второго рода, результатов о поперечниках множеств. Даны определения классов функций, используемых в работе.

Определение 1.1. Пусть d = [О.Т]1, 1 = 1,2,----Через Q*7(0,M) обозначим класс функций /(tj,... , i|), определенных ко П и удовлетворяющих следующим условиям:

ngxI/^WI < К при 0 < |?;| < г,

где t = (ii,... ,£|); v = (wj, — ,vj), Н = i7jH-----h^; s = r + 7, С = 0, если7

— целое; s = г + [7)4-1, 7 = [т] + p, 0 < Ц < 1, С — если 7 — нецелое;

p(t, Го) — расстояние от точки t до пересечения Го границы Г области i2 с координатными осями, вычисляемое по формуле p(t, Го) = min|i,|;

Определение 1.2. Пусть П = [0,Т]', I = 1,2,----Через Q'^fi, М) обозначим класс функций f(t\,... ,tj), определенных на CI и удовлетворяющих следующим условиям:

max|/w(<)| ^ М, при 0 < |и| < г,

zdet = (ti,... ,tt); и = («!,... ,v{), М = vi + ••• + vt-, s = r + 7, < = 0, если 7 - целое; s = r + [7] +1, 7 = [7] + fi, 0 < ^ < 1, £ = 1 — pi, если 7 - нецелое; p{t, 0) — расстояние от точки t до начала координат, вычисляемое по формуле p(t, 0) = y/t\ +----Ь tf.

Определение 1.3. ПустьО. = [0,Т]',/ = 1,2,..., г = 1,2,... ,0 ^ 7 < 1. Функция /(¿1,... ,<() принадлежит классу В*7(С1), если выполнены условия:

тах

дЩь.....г,)

< при О < М ^ л

АМ|г,|М

дагрг^. ч»г < Н < 00,

где константа А не зависит от |и|.

Определение 1.4. Пусть П = [0,Т\1, I = 1,2,..., г = 1,2,... ,0 < 7 < 1. Функция /(¿1,... ,¿¡) принадлежит классу Я**(П), если выполнены условия:

шах

и)

^ ЛМНМ, при 0 < Н < г,

¿М^М

где константа А не зависит от

Определение 1.5. Пусть П = (0,Т], 0 ^ а < 1. Функция /(*) принадлежит классу (7'°(О, Т], если имеет при Ь 6 (0,Т] непрерывные производные до порядка т, удовлетворяющие условию

для всех 1&{0,Т\,к = 0,1,.

Также доказан ряд вспомогательных утверждений, используемых в работе (компактность оператора Вольтерра со слабосингулярным ядром в пространстве С[а,6]; существование и единственность решения слабосингулярного уравнения Вольтерра и т.д.), проведено исследование гладкости точного решения ИУВ на классах функций ф*7(Г2,М) и В*7(£2).

Глава 2. Оптимальные по точности и сложности алгоритмы решения ИУВ

Вторая глава посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных ИУВ второго рода на различных классах функций; построению численных методов решения

одномерных и двухмерных слабосингулярных ИУВ; также изучается возможность ускорения вычислительного процесса при решении многомерных ИУВ за счет распараллеливания метода при использовании многопроцессорных компьютеров; исследуется эффект сверхсходимости приближенного решения многомерных ИУВ, полученного методом сплайн-коллокации.

При построении оптимальных по точности методов приближенного решения ИУВ, понадобятся оптимальные методы восстановления функций из классов ф'.ДП.М), <?**7(£2,М), В*7(П), В*7(П). В параграфе 1 построены оптимальные по порядку методы восстановления функций из указанных классов. Для этого вычислены поперечники Бабенко и Колмогорова компактов, принадлежащих этим классам функций. Получены следующие результаты:

Теорема 1.1. Пусть П = [0,Т]. Справедливы оценки

4,(<?*Т(П, М)) ж М)) ж п~3

Теорема 1.2. Пусть П = [0,Т]. Справедливы оценки

г„(в;л(п)) ж <к(в;„{П)) ж

(1.1)

(1.2)

Теорема 1.3. Пусть П = [0,Т]', í = 2,3,... , V = й/^ - 7). Справедливы оценки

п-(»-7)/(/-1)1 при v>TLl; »"/'(Ьп)'/1, = (1-3)

п~при V < ¡ — . Теорема 1.4. Пусть О, = [О, Г]', { = 2,3,.... Справедливы оценки

М)) ж Ъ^П, М)) ж п"1 (1.4)

Теорема 1.5. Пусть П = [0,Т]', I - 2,3,... , 0 < 7 < 1. Справедли-

вы оценки,

5п(в;„т ж сцв;1Ут ж 9

(1.5)

Теорема 1.6. Пусть П = [О, Г]', / = 2,3,.... Справедливы оценки

W;7(n)) х х (1.6)

Для каждого из перечисленных классов функций построены локальные сплайны, погрешности аппроксимации которыми совпадают по порядку с величинами поперечников.

Во втором параграфе построены оптимальные по порядку по точности алгоритмы решения одномерных ИУВ на классах функций

построен численный метод решения одномерных слабосингулярных ИУВ.

Рассмотрим интегральное уравнение с

x(t) - J h{t, r)g(t - т)х(т)с1т = f(t), t e П = [0, T], (2.7) о

где h{t, r) € W'-'(M), f(t),g(t) £ Q*7([0,T],M). Показано,что точное решение x(f) уравнения (2.7) при таких предположениях принадлежит классу

Построим метод приближенного решения уравнения (2.7). Разобьем интервал [0, Т] на N частей точками v* = Т'(^)'7, к = 0, N, где q — s/(s — 7), если 7 — целое, q — s/(s — [7] — 1), если 7 — нецелое.

Обозначим через Д* сегменты Д* = [v*, vt+i], fc = 0,1,... , N — 1. Пусть tk ук+г + Vk , VM - t/jb

i, =-2-+ ~~2-y"

j = 1,2,... ,5-2; $ = vk, £_j = t/t+i; к = 1,2,... , N - 1,

где y3 и ti)j — нули полиномов Лежандра степеней s—2 и г—2 соответственно. Через Р,(/, Ajt) обозначим оператор, ставящий в соответствие функции f{t), t € Д*, интерполяционный полином степени г — 1 при к = 0 и степени 5 — 1 при fc = 1, N — 1, построенный по узлам .

Пусть — локальный сплайн, определенный на сегменте [О, Т] и составленный из полиномов Р,(/, Д*), к = 0,1,... , N — 1.

Приближенное решение уравнения (2.7) будем искать в виде сплайна 0 ^ Ь ^ Т, с неизвестньши коэффициентами х°, j = 0,1,... , г — 1, х*, к = 1,2,... , N — 1, з = 0,1,... , в — 1, Опишем процесс определения этих коэффициентов.

Сначала определим коэффициенты х®, ] = 0,1,... , г — 1, из системы уравнений

Р.(х, До)(ф - Р, I - т)Р,(х, Ло)(тМт, Д0 =

о

= Р.(/,До)(€?),

где интегралы по каждому участку ] = 1,2,... , г — 1, вычисляются

по квадратурной формуле Гаусса с г—2 узлами. При этом значения искомой функции в промежуточных точках вычисляются с помощью интерполяции.

Для определения коэффициентов х}, j = 0,1,... , 5 — 1, локального сплайна х^(<) на сегменте Д1 представим уравнение (2.7) в виде

t

«(*) - У т)<7^ - ф(т)^т = № =

(2.8)

«

Й-

(2.9)

= /(*)+ I Щ,т)дУ-т)Ра{х(т),А0)<£т. о

Уравнение (2.9) теперь решается аналогично по схеме (2.8).

Повторив этот процесс N раз, получаем приближенное решение хц({) уравнения (2.7) на всем отрезке [0,Т].

Точность приближенного решения определяется качеством аппроксимации функций из <2*7([0,Т], М) локальными сплайнами. При использовании локальных сплайнов, построенных в параграфе 1 имеем оценку

гшхМО - *(«)| < А1ЛГ-', (2.10)

где x(t) — точное решение уравнения (2.7), a Xfj{t) — приближенное, полученное по схеме (2.8), (2.9).

Из оценки (2.10) и теоремы 1.1 следует теорема

Теорема 2.7. Среди всевозможных приближенных методов решения уравнения (2.7), использующих п функционалов функции f(t) € Q*7([0, T],Ai) ип2 функционалов функции

H(t, т) = h(t,r)g(t—T) € Q*7([0, Т]2, М), оптимальным по порядку по точности является проекционный метод (2.8), (2.9).

Для решения ИУВ на классах функций В*7(П) и W(l) построены аналогичные вычислительные схемы и получены утверждения об оптимальности алгоритмов по порядку точности. Отличие заключается в построении локального сплайна z.v(i), аппроксимирующего точное решение z(l).

В параграфе 2.3 построен метод решения слабосингулярных уравнений Вольтерра вида t

x(t) - J = /Ю' i < Ь, 0 < a < 1. (2.11)

a

Будем считать, что при t 6 [a, Ь] h(t, т) € Wr'(M), f(t) € <7•"{<!, 6]. Точное решение x(t) уравнения (2.11) принадлежит в этом случае классу C,a(a,fc]. Уравнение (2.11) преобразуется к эквивалентному виду t л <

l(i) / =f{t) +1 (2Л2) a J a

Обозначим H(t, s) = S(t) = 1 - J

a

Разобьем отрезок [a, 6] на N участков узлами

/ fcV/U-«)

tk = a 4- (6 — a) [jjj ,"fc = 0,l,...,iv.

Разобьем каждый из N участков tk-i ^ i ^ it, k = 1,2,... ,N, промежутка [a, Ь] на г — 1 частей узлами t{ :

J tk + tk-l . h - fjfc_l 0 i

<i =-j-+-2-Vi' J = 1>2»-"'г~2' Ч = tTk l=tk,

12

где У] — нули полинома Лежандра Д.-г{у) степени г — 2. На каждом к-м участке ищем решение в виде полинома степени т — 1

г-1

Т1 (О = Т, ~ *к-1 У, (2.13)

Неизвестные коэффициенты С*,,- определяются из систем

и-1

+ | з)[Р„(з) - РГ1(Ф№> 3 = 0^1, к = 1777, (2.14)

а

где Рдг(<)~ приближенное решение, полученное на предыдущих А — 1 участках.

Для вычисления слабосингулярных интегралов 5(4) в (2.14) с точностью 0(ЛГ_Г) построены две квадратурные формулы.

Оценка погрешности метода (2.14) имеет вид: шах |хдг(£) — 2(01 ^ где

*е[а,ь] "

хн{{) — приближенное решение уравнения (2.11), а х{Ь) — точное. В параграфе 3 рассматриваются интегральные уравнения вида и ь

(/ - К)х = агВД -/•••/ А(*, - г)*(т)Л- = /(«), (2.15)

о о

где « = (<!,... ,«,), Г = (71,... ,7»), 0 ^ ^ Г, Л(*,т) и /(*) —

функции, имеющие частные производные до некоторого порядка 5, слабо-сингулярные ядра <?(<! — Т1,... , и — т}) могут иметь вид

«?(*!,..., г,) = (2.16)

или вид

.....+ - + (2.17)

Если ядро д((х,... ,£;) имеет вид (2.16) и /(1) 6 М), то решение

х(£) уравнения (2.15) принадлежит классу функций С^'^СП^) с 7 = 5 - г - а. Если же /({) 6 то х(1) 6 В*7(П).

В случае когда ядро имеет вид (2.17) и /(¿) 6 (?**(П,М),

решение г(*) уравнения (2.15) принадлежит классу функций М) с

7 = 5 - г - а. Если же /(*) € то г(4) 6 В** (П).

Приближенное решение уравнения (2.15) будем искать в виде сплайна я.у(<1, ■■■ с неизвестными значениями ...

€ Д^.....и, к — 0,1,-.. ./V - 1, в узлах сетки. Конструкция

сплайна Хд-(<1,... , зависит от рассматриваемого класса функций.

Значения ... ,последовательно в каждом кубе Д*

к = 0,1,... , ЛГ — 1, согласно методу сплайн-коллокапии определяются из систем линейных алгебраических уравнений

(I - К)Р„[хМ,АЪ.....,] = Р^[х(*), Д*.....,] -

-Р:

л-

У ...у РЫЦ1,т)}д{1-т)Р„1х(т)А1.......\йтъ Д*.....

д»

ч.....ч

(2.18)

= ..........»Л

Здесь — оператор проектирования на множество локальных сплайнов вида х^Д*!,... ,¿¡), /,*,...•• • ,и) — новая правая часть уравнения (2.15), включающая интегралы по областям Д*.....¡(, }—0,1,...,к, значения сплайна в которых уже вычислены. Все интегралы в (2.18) вычисляются по кубатурным формулам Гаусса. Погрешность нахождения решения:

||*лг - х\\с < А\\Рнх - х\\с (2.19)

В параграфе 4 исследуется эффект сверхсходимости при приближенном решении многомерных интегральных уравнений Вольтерра методом сплайн-коллокации с одной последующей итерацией.

Для получения сверхсходящегося приближенного решения уравнения (2.15) на сегменте Д^.д. выполняется одна итерация:

хн = Кхц + /, (2.20)

где хм — приближенное решение уравнения (2.15) на этом сегменте, полученное проекционным методом (2.18).

Получена оценка вида

{xN - х) = {I - KP?,Yx{KPn - К){х - ад, (2.21)

где х - P}jx G X, при t € Д^.д, Vx € X, а оператор КРц — К : X X. В качестве X здесь выступает одно из множеств Q* (il,M), ф**(П,Л/), В*7(П), В** (П), а в качестве Хм — множества соответствующих локальных сплайнов. Из (2.21) имеем-

Iii* - х\\с ^ II(/ - KPN)~x\\c • ||(№ - К)\\с ■ ||(х - Ркх)\\с, (2.22)

Для приближенного решения в кубе Д*.....г получена оценка

||*tf-*||c<4l(Pw*-*)||c. (2.23)

где А — положительная константа, зависящая от К.

Рассмотрим теперь уравнение (2.15) в области t € Aj г U Д^.. д. Очевидно, что уравнение (2.15) на этом сегменте эквивалентно уравнению «1 »1

(' - tfw)® = -/'■■/ Л(*.т)<?(* - r)x{r)dT = * € Д*.....„

О £i

(2.24)

где

fl..i(t) = /(<) + J--J h(t,T)g(t-r)xN(r)dT, д!.....1

а x,v(t)— приближенное решение уравнения (2.15), полученное методом (2.18) во всей области П.

Выполним, как и для предыдущего сегмента, одну итерацию:

и it

xx(t)=K{...Ax"+ = / / WMt-^XNtfdT + fl^it),

о ft

Повторяя для оператора ^....., вкладки, произведенные ранее для оператора К, убеждаемся в справедливости оценки (2.23) в кубе Д^.д.

Применяя эти рассуждения последовательно для всех кубов Д^ , ] — 1,2,..., И, получаем оценку вида (2.23) во всей области = [0,Т]'.

В параграфе 5 построены численные методы решения двумерных слабосингулярных ИУВ вида «2 «1

х^ъЬ)- ! J 11(^,12, ви 82)Х(Зь з^в^ =(2.25)

о о

(М2)е£> = {(М2):(КМ2<Г}, ядра #(¿1, <2.31,52) которых могут иметь два типа особенностей Я(*1,*2, 51.32) =

/»(¿г, ¿2» ,5г)

((*1-*1)2 + (*2-52)2)С

И

Уравнение (2.25) с ядром (К') приводится к виду »2 <1

к)

Л(*1> <2, «1,32) [х(з1, з2) - х(ги

г г Л(*1> <2,5ь з2) х(з1, з2) - г(<1( г2) | = /(«1,<|)+ / / -7---

(К')

(К")

(2.26)

Для решения (2.26) разобьем область В на И2 подобластей

Д*,( = {(*1,¿г): < <1 ^ <1,*, < <2 < ¿2,1}, I - ЬМ,

... _

где ¿1,, — ¿2,| = 1 * Т, г = 0, Введем в каждой области дополнительные узлы (¿Ц, ¿2^), г, У = 0,т, к,1 — 1, N,

Л к,к + к,к-1 . и* —и*-г ,о . .

V =-2---2-а = ~

г = 1,2, = 1,т — 1, У] — нули полинома Лежандра

В области Д^ ищем решение в виде полинома степени то X то.

т т

ОМ2) = М = (2.27)

<=о 1=0

с неопределенными коэффициентами С.у. Здесь Фу^ь^г) — фундамен-

тальные полиномы.

Решение уравнения (2.26) находится последовательно в областях

в каждой из которых решается система уравнений с (то+1)2 неизвестными. Справедлива оценка:

где — точное решение уравнения (2.25) с яд ^^и^К^, а

Рт,т{Ь I ¿2) — приближенное, полученное по построенному алгоритму.

В параграфе 6 изучается возможность ускорения вычислительного процесса при решении многомерных ИУВ за счет использования многопроцессорных компьютеров. На примере двумерного случая предложен принцип распараллеливания вычислительных схем вида (2.18) для классов функций и слабосингулярных уравнений Вольтерра,

предназначенный для компьютеров с процессорами.

Число М временных шагов, необходимых для получения приближенного решения во всей области равно

В параграфе 7 исследуется вопрос построения оптимальных по сложности алгоритмов решения интегральных уравнений Вольтерра второго ро-

ди. Дк,2, * = ...; Д*А, к =

(2.28)

(2.29)

да вида

с

XI

■(4) -1 Ц1,т)д(Ь - г)х(т)Ж-=/(«), * е П = [0,Т],

(V)

гдßA(tfT)€®i, f(t),g{t) e%

В качестве набора элементарных операций возьмем набор Р = {арифметические действия, вычисление значений функций}. Пусть далее Е(п) — множество всех приближенных методов решения уравнения (V), при которых производится не больше чем п элементарных операций. Введем величину

Е{п, Фь Ф2) = inf ^ sup ^ ||i(i) - x;(i)|jc,

где x(f) — точное решение уравнения (V), x„(t) — приближенное решение уравнения (V), требующее п элементарных операций. Введем функционал

где xj|(i) — приближенное решение уравнения (V) по алгоритму £(п), требующему не более п арифметических операций.

Определение 2.6. Приближенный метод £(п) € Е(п) называется оптимальным, асимптотически оптимальным, оптимальным по порядку по сложности на классах ФьФг| если

Е(п,У 1,Ф2)

Ш

Показано, что построенные в параграфах 2 и 3 методы на классах функций В*7, СТ,а являются также оптимальными по порядку по сложности в смысле определения 2.6.

Глава 3. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем.

В главе строятся и обосновываются численные методы решения систем нелинейных интегральных уравнений, описывающих двухпродуктовые и п—продуктовые модели экономики,

Двухпродуктовая модель описывается системой нелинейных интеграль-

ных уравнений

x(t)- J h(t,r)g(r)x(T)dT=Q, < t v[t) 0 < t0 ^ t < T (2.30)

/ fc(i.T)[i-g(T)]i(T)dT=/(t},

wo

с неизвестными функциями x(t) € Cj0i00j и y(t) 6 C^ ^ (y(t) < t) и заданными на сегменте [i0)T] функциями A(t,r), fc(i,r) 6 C[o,oo]x!<o,o°l> /(0>з№ 6 ql0)=c] (0 < fl(t) < 1).

n—продуктовые модели описываются нелинейными системами n = г +р+1 уравнений вида

x,(t) = t I i = V,

J=1vW

' /.(t) = t I r)xj(r)dr, i = (2.31)

i=1if(0

c(t) = E X,(Î)+£ /до, г+p+1=n, t—1

где в качестве неизвестных выступают функции xt(<), t = l,r; f,{t), » = hP и y(t); о < ta < Î ^ т, y{t) < t, y {t) z y{ta) = 0; x,(t) = <pt(t), t £ [0, io]— заданная предыстория.

Здесь x,(f), » = 1,г, — скорость воссоздания i—х новых продуктов 1-го рода, идущих на выполнение внутренних функций системы и на ее развитие;

/,(£), i = 1,р, — скорость воссоздания ¿—х новых продуктов И-го рода, идущих на выполнение внешних функций системы;

H,3(t, т) и KSJ(t,r), i,j = Tjr, s — ТТр, — производительности создания i-x продуктов 1-го рода и а—х продуктов И-го рода с помощью соответствующих х продуктов 1-го рода (неотрицательные функции). Функция y(t) отвечает за интенсивность использования в момент времени i продуктов 1-го рода.

Построены алгоритмы решения систем (2.30) и (2.31), основанные на линеаризации с помощью модифицированного метода Ньютона-Канторови-

ча и применении к получаемым системам линейных интегральных уравнений метода сплайн-коллокации. Приведены соответствующие теоремы сходимости итерационных процессов.

Глава 4. Приближенное решение «шредингеровских» систем уравнений математической экологии.

Глава посвящена численному решению нового класса систем интегро-дифференциальных уравнений математической экологии, описывающих систему «хищник-жертва» и более общую систему «ресурс-потребитель»:

= Q[R{x,t)) - УN(s,t)V\R{x,t)]P{\x - s\)dst ' ^^ = —mN(x, t) + ч У N(x, t)V[R(s, t)]P(|x - «|)de,

с неизвестными функциями R{x,t) и N(x,t).

Здесь R{x,t) — пространственно-временное распределение ресурса, а N(x,t)— соответствующее распределение потребителя; V{R) — некоторая функция, отвечающая за взаимодействие видов; Q(R) — естественный прирост ресурса;. Р(|х—s|) — функция активности потребителя, показывающая как убывает по пространству потребление данного ресурса потребителем, расположенным в точке х (почти финитная функция, обеспечивающая сходимость несобственных интегралов); —mN — смертность потребителя.

В отличии от традиционных математических постановок этой задачи, где распространение особей по ареалу рассматривается как диффузионный процесс, эти системы учитывают пространственное взаимодействие между неподвижными объектами популяции, что характерно для популяций растений.

Построены численные методы решения такого рода систем посредством преобразования их в системы интегральных уравнений смешанного типа Вольтерра-Фредгольма. Рассматриваются как квазилинейные, так и нелинейные системы уравнений. В первом случае для решения полученных пос-

ле дискретизации систем нелинейных уравнений используется модифицированный метод Ньютона-Канторовича, а во втором сначала производится линеаризация оператора, приводящая к операторным системам уравнений, линейным относительно неизвестных функций.

В приложении к диссертации помещены тексты программ, реализующих алгоритмы, предложенные в работе, а также результаты решения модельных примеров.

Заключение

По результатам исследований можно сделать следующие выводы: • - построены оптимальные по порядку методы восстановления функций из классов <Э'7(«,М), 0%{П,М),

- построены оптимальные по порядку по точности алгоритмы решения одномерных и многомерных ИУВ на классах функций И,гг(1),

в;п<р), в«(п);

- разработан и обоснован эффективный численный метод решения одномерных и двухмерных слабосингулярных ИУВ;

- построены оптимальные по сложности методы решения ИУВ на классах М), В*7(Г2) и слабосингулярных уравнений Вольтерра (¿Тг,а(0, Т"})

- предложен принцип распараллеливания вычислительного процесса для решения многомерных ИУВ на многопроцессорных компьютерах;

- построено приближенное решение многомерных ИУВ, обладающее свойством сверхсходимости;

- построены два метода численного решения систем нелинейных интегро-дифференциальных уравнений математической экологии;

- предложены и обоснованы численные методы решения систем нелинейных интегральных уравнений, описывающих модели экономики.

Публикации по теме диссертации

1. Бойков И.В., Тында А.Н. Оптимальные по точности приближенные методы решения интегральных уравнений Вольтерра// Дифференциальные уравнения, т. 38, N 9, 2002, с. 1225-1232.

2. Бойков И.В., Тында А.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем// Дифференциальные уравнения, т. 39, N 9, 2003, с. 1214-1223.

3. Бойков И.В., Тында А.Н. Сверхсходимость приближенного решения многомерных интегральных уравнений Вольтерра // Труды Средне-волжского Математического Общества" Том 5, N1, 2003, с. 119-127.

4. Бойков И.В., Тында А.Н. Оптимальные по точности приближенные методы решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра второго рода// Материалы международного симпозиума "Надежность и качество", Пенза, 2002, с. 163-167.

5. Бойков И.В., Тында А.Н. Приближенное решение нелинейных интегральных уравнений теории развивающихся систем// Труды конференции МДОЗМФ-2003, Херсон.

6. Бойков И.В, Тында А.Н. Приближенные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра // Кубатурные формулы и их приложения. Материалы \Т-го Международного семинара-совещания, Уфа, 2001, с. 27-34.

7. Бойкое И.В., Тында А.Н. Приближенные методы решения уравнений Вольтерра// Материалы международного симпозиума " Надежность и качество", Пенза, 2001, с. 182-185.

8. Бойков И.В., Тында А.Н. Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра// Материалы ХП-й Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", Москва, МГУ, 2001, Часть I, с. 42-47.

9. Бойков И.В., Тында А.Н. Сверхсходимость приближенного решения многомерных слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра//

Материалы международного симпозиума "Надежность и качество", Пенза, 2003, с. 26-30.

10. Бойков И.В., Тында А.Н. Численная реализация двухпродуктовой модели теории развивающихся систем // Материалы ХШ-й Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", Москва, МГУ, 2002, Часть I, с. 34-39.

11. Тында А.Н. Оптимальные по сложности алгоритмы решения слабосингулярных интегральных уравнений Вольтерра.// Материалы VII Междунар. семинара-совещания "Кубатурные формулы и их приложения". Красноярск, 2003, с. 165-172.

12. Тында А.Н. Приближенное решение "шредингеровских" систем уравнений математической экологии.// Труды междунар. юбилейного симпозиума "Актуальные проблемы науки и образования", Т.1, Пенза, ПГУ, 2003г., с. 28-30.

13. ТындаА.Н. Решение нового класса систем нелинейных интегро-диффе-ренциальных уравнений математической экологии.// Саранск, Сред-неволжское матем. общество, 2004, препринт N65 - 18с.

14. Тында А.Н. Численные методы решения нелинейных интегро-диффе-рендиальных уравнений математической экологии. // Труды Международной конференции по вычислительной математике (ICCM-2004) Новосибирск, 2004, с. 714-721.

15. Boikov I. V., Tynda A.N. Methods of optimal accuracy for approximate solution of second-kind weakly singular Volterra integral equations for multiprocessor computers// Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics, Novosibirsk, 2002, p. 381-388.

Тында Александр Николаевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 05.13.18. — "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ"

Сдано в производство 22 06 04 Формат 60x84 1/16.

Объем 2 печ. л. Заказ 115. Тираж 100 экз Отпечатано в Частной типографии Тугушева 440400, г. Пенза, ул. Московская, 74, к. 220, тел.: 56-37-16

Р 130 5 2

Глава I

1 Обзор численных методов решения уравнений Вольтерра

87

2 Постановка задачи 88

3 Система "хищник-жертва" 88

3.1 Описание модели . . . .88

3.2 Метод сплайн-кол локации .89

4 Система "ресурс-потребитель" 94

4.1 Постановка задачи.94

4.2 Метод Ньютона-Канторовича.94

Литература 101

Глава V Приложения 116

А Листинги программ на языке С + + 116

А.1 Решение одномерных ИУВ на классе функций Wr(M) . 117

А.2 Решение одномерных ИУВ на классе функций ф*(7([а, 6]) . . 123

А.З Решение одномерных ИУВ на классе функций В*7([а, &]) . . 129

А.4 Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра.135

А.5 Вычисление слабосингулярных интегралов.143

А.6 Решение двухмерных уравнений Вольтерра с непрерывными ядрами и ядрами из Q*7 и В*7.145

А.7 Сверхсходимость приближенного решения одномерных ИУВ 153

А.8 Реализация двухпродуктовой модели.162

A.9 Вспомогательные процедуры.168

В Решение модельных задач 175

B.1 Решение одномерных ИУВ на классе функций Wr(M) . . . 175 В.2 Решение ИУВ на классах функций Q*7([a, &]) и B*7([a, Ь]) . 176

В.З Решение слабосингулярных уравнений Вольтерра.177

В.4 Решение двухмерных уравнений с ядрами из Wr'r, Q*n и £*7179

В.5 Двухпродуктовая модель.180

Введение

Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности жидкостей, задачи спектроскопии, кристаллографии, акустики и т.д.), геофизику (задачи гравиметрии, сейсмики), механику (колебания конструкций), материаловедение (исследование вязкоупругости, ползучести и т.д.), теорию управления (определение импульсной функции линейной системы, задача оптимальной линейной фильтрации и т.д.), теорию надежности и массового обслуживания (задача восстановления и др.).

Кроме того развиваются новые направления, связанные с применением интегральных уравнений Вольтерра, в том числе некоторые разделы биологии (задача о распространении эпидемий, задача кинетики печени, моделирование внутри- и межклеточных взаимодействий и т.д.), иконика (восстановление искаженного изображения), томография (формирование объемных изображений объектов по наблюдаемым сечениям), экономика производства (динамические макроэкономические модели, модели развивающихся систем) [29, 30, 34, 42, 58, 67, 81, 83, 82, 84, 101, 106, 110, 118].

В связи с этим активно развиваются ставшие уже классическими метод механических квадратур, итерационные методы, проекционные методы решения ИУВ. В расчете на применение ЭВМ построен ряд методов, основанных на сочетании метода квадратур с аппроксимацией искомых решений или интегральных операторов в целом, а также методы типа Рунге-Кутта, блочные, на основе сплайнов и т.д.

Вместе с тем остаются открытыми такие вопросы как оптимальность по сложности и точности методов решения интегральных уравнений Вольтерра на различных классах дифференцируемых функций, построение эффективных при реализации на ЭВМ алгоритмов решения слабосингулярных уравнений Вольтерра. Практически не уделяется внимание многомерным уравнениям Вольтерра, численные методы решения которых имеют ряд существенных отличий от соответствующих методов для уравнений Фредгольма и допускают распараллеливание. Недостаточно разработаны численные методы для моделей развивающихся систем и экологии.

Цель работы. Работа посвящена построению оптимальных по точности и сложности алгоритмов решения одномерных и многомерных интегральных уравнений Вольтерра на различных классах функций; построению численных методов решения систем нелинейных интегральных уравнений Вольтерра, описывающих двух- и п—продуктовые модели экономики; построению численных методов решения систем нелинейных уравнений математической экологии.

Общая методика. При обосновании полученных результатов использовались теория проекционных методов, методы теории приближения функций, теория интегральных уравнений, методы оптимизации.

Краткое содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложений.