автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численные методы решения неклассических линейных уравнений Вольтерра I рода и их приложения

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ СИСТЕМ ЭНЕРГЕТИКИ ии.Л.А.МЕЛЕНТЬЕВА

Я а правах рукописи

МАРКОВА Евгения Владимировна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКЛАССИЧЕСКИХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВОЛЬТЕРРА I РОДА И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Специальность 05.13.16. - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск, 1999

Работа выполнена в Институте систем энергетики им. Л.Л'. Мелен-тьева (ИСЭМ) СО РАН

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук.

доцент Апарцин А.С.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук.

профессор

Воскобопнпков Ю.Е.

кандидат фпзико-математических наук, старший научный сотрудник Булатов М.В.

Ведущая организация: Иркутский государственный педагогический университет

"Зашита состоится "17 " декабря 1999 г. в 10'с часов на заседании диссертационного совета Д 063.32.04 по защитам диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Иркутском государственном университете (664003. Иркутск, б. Гагарина 20. 1-й корпус ИГУ).

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Иркутского государственного университета (664003. Иркутск, б. Гагарина. 24).

Автореферат разослан ноября 1999 г.

V

ченыи секретарь диссертационного совету к.ф.-м.н., доцент

,Б. Бельтюков

Российская осударственная

С бщая характеристика работы

Актуальность темы.

Общеизвестна роль интегральных уравнений типа Вольтерра для моделирования динамических процессов самой разной природы в физике, механике, экономике, экологии, медицине, биологии и т.д.

В 1977 году В.М. Глушковым была предложена двухсекторная макроэкономическая модель, в которой важную роль играют операторы Вольтерра с переменными как верхним, так и нижним пределами интегрирования. При этом (неубывающая) функция в нижнем пределе интегрирования определяет динамику отмирания (замены) элементов развивающейся системы. Это направление затем интенсивно развивалось В.М. Глупгковым я его коллегами - В.В. Ивановым, В.М. Яненко, Ю.П. Япенко и др.1,2 При идентификации функциональных параметров в таких моделях возникает необходимость решения интегральных уравнений Вольтерра I рода вида

t

J K(t,s)<p(s)ds = /(<), t€[f0,r], (1)

отличающихся от стандартных уравнений Вольтерра I рода наличием вместо постоянного нижнего предела to упомянутой выше функции ait).

Хотя частный случай (1) с a(t) = q(t — ta), 0 < q < 1 рассматривал еще сам Вито Вольтерра, до сих пор теория и численные методы решения (1) разработаны недостаточно.

Специфика (1) определяется свойствами a(i), в частности, тем, выполняется лй условие

œ(*o) = (2)

либо

fl(io) < to (3)

(в случае (3) (1) называют уравнением с предысторией).

Теоретические результаты, касающиеся существования, единственности и устойчивости решения (1), (2), получены A.C. Апарциным, A.M. Денисовым и C.B. Коровиным, а для более общих интегро-функциональных уравнений - A.M. Денисовым и A. Lorenzi. Случай

'Глушков В.М., Ивалоа В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. - М.: Наука, 1983. - 350 с.

2Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью.-Киев: Наук, думка, 1991. -218 с.

(1), (3) изучался A.C. Аварийным, Ю.П. Яценко. Численные методы решения (1)~(3) рассматривались A.C. Апарциным, Ш.А. Наубетовой и Ю.П. Яценко, Тен Мен Яном, Ю.П. Яценко.

С учетом все расширяющихся приложений интегральных моделей развивающихся систем, в частности, в энергетике, тема данной диссертационной работы несомненно актуальна.

Цепь работы.

Разработка для (1)-(3) модифицированных версий стандартных численных методов; их программная реализация на ПЭВМ; выявление специфики методов на серии модельных примеров; решение реальных задач (электро)энергетики.

• Научная,.новизна и драктическая значимость.

Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем: .....

1. Построены и апробированы на тестовых задачах различные модификации квадратурных методов правых и средних прямоугольников, методов типа Рунге-Кутта. Показано, что саморегуляризуюгцее свойство процедуры дискретизации при возмущениях правой части и ядра, характерное для классических уравнений Вольтерра I рода, сохраняется и для (1).

2. Выявлены особая роль значений сеточного решения в начальных узлах сетки, пилообразное поведение погрешности. Это позволяет конструировать подсетки узлов, на которых погрешность численного решения (1) меньше, чем в классическом случае при тех же ядре и точном решении.

3. Для a(t) — q(t - to), 0 < q < 1 обнаружен эффект "насыщения", уточняющий известные теоретические опенки погрешности.

4. Решена задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования.

.5. Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальной стратегии ввода электрических мощностей, обеспечивающих заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей.

Общая методика исследований. - V;

В работе использовался аппарат вычислительной математики, линейной алгебры, теории некорректных задач и,-в частности, методы саморегуляризации.

Апробация работы.

Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- Международная конференция "Всеспбирские чтения по математике и механике" (Томск, ТГУ, 1997 г.);

- Всероссийская конференция "Алгоритмический и численный анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 1998 г.);

- XI Международная Байкальская школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.);

- Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, КГУ, 1999 г.);

- Международная конференция "Математика в приложениях" (ИМ СО РАН, Новосибирск, 1999 г.);

- конференции молодых ученых ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1996, 1997, 1998, 1999 гг.).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ и 2 работы находятся в печати. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих 17 параграфов, заключения и списка литературы из 68 наименований. Объём диссертации, выполненной в издательской системе MjjX, составляет 100 сгр.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность выбранной тематики, приводится обзор известных публикации, кратко излагается содержание диссертации и приводятся основные результаты.

В первой главе рассматривается уравнение Вольтерра I рода вида (1) с условиями

a(t)<t Vi 6 (t0, Л. а(<о) = «о; а'(t) > 0 Vi € [t0,T]; a'(t0) < 1;

Ktb 8) € Сд, Д = {i, */o(0 <s<t,te [io,T]}; K(t,t)£0 Vi€[<o,Tl.

При этом условие a'(t) > 0 Vi 6 [io>71 позволяет рассматривать (1) в качестве обобщения классического уравнения, для которого a'(t) = 0.

В §§ 1, 2 рассматривается постановка задачи, приводятся известные терремы существования, единственности и устойчивости решения уравнения (1), полученные в работах A.C. Апарцина3, A.M. Денисова и C.B. Коровина4.

В § 3 проводится сопоставление различных; оценок устойчивости решения на тестовом примере.

§§ 4-6 посвящены численному решению уравнения (1), причем из семейства квадратурных методов, известных как сходящиеся в,классическом случае, выбраны те, которые сочетают простоту реализации с помехоустойчивостью - методы правых, средних прямоугольников и Рунге-Кутта.

В § 4 рассматривается метод правых прямоугольников. Вводится на [¿0,Т] равномерная сетка узлов

ti =t0 + ih, i = TT«, nh-T- t0. (3)

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), аппроксимирующая уравнение (1) по формуле правых прямоугольников, записывается в виде .. :

• É г. K[thtk)vh{ik) = /(if),

i=T~n, (4)

где первое слагаемое и символ антье (целая часть числа) появляются из-за переменного нижнего предела, çh - сеточная аппроксимация решения.

Доказана теорема сходимости метода правых прямоугольников с первым порядком для случая I\(t, s) = 1, a{t) = q(t — to), 0 < q < 1. На тестовых примерах получена линейная сходимость метода и для общего случая.

На тестовых примерах для того же частного случал обнаружен эффект насыщения, уточняющий известные теоретические оценки погрешности. Этот эффект заключается в существовании такого g* < 1.

3Апарцин A.C. Об интегральных уравнениях Больтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа. - Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ие, 1992.- G. 58-67.

^Денисов A.M., Коровин C.B. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, мат. и кибернетика. - 1992. - N 3. - С. 22-28.

что при любом Ъ > О тах г? = 4*, ГДе гл ~ погрешность численного

0<з<1

решения в равномерной се точной норме.

Установлено также пилообразное поведение погрешности в узлах сетки, позволяющее уменьшить погрешность каркаса за счет выбора специальной подсетки (иллюстрация поведения погрешности приведена на рпс.1). Пример

* е'-5^)^ =-«-1 + (о(*) + 1)е'-в(1). 1 6 [0,1], = Л = ■ 1

/

0(1)

128

0,005

•а(()=0

Рис. 1.

В § 5 рассматривается применение метода средних прямоугольников, согласно которому сеточная аппроксимация (1) имеет вид

где

г — Т~п, пк = Т- ¿о, = ¿о + (г — г = пЪ. = Т —

(5)

Особенность применения квадратуры средних прямоугольников заключается в необходимости использования сеточного решения в узлах вспомогательной сетки

+ а(г*') _

= " п-, г = 1,п, пк=Т~

- Для этого применяются процедуры линейной экстраполяции и интерполяции (в зависимости от положения точки ti_i).

Доказана сходимость метода со вторым порядком в первом узле сетки. На серии тестовых примеров установлена квадратичная сходимость данного метода. Как и в случае правых прямоугольников, пилообразное поведение погрешности сеточного решения сохраняется.

В § 6 проведена модификация метода Рунге-Кутта, которая дает для (1), (2), как и в классическом случае, сходимость с любым наперед заданным порядком т.

Вводится основная сетка узлов

_ Т- ¿о

и = к + ¡к, г = 0, N - 1, к = ———,

подсетка

щ = «¿/г, ) — 1, т, г — 0, N — 1,

где 0 < щ < «2 < ... < г1т = 1 (здесь от - требуемый порядок аппроксимации квадратурной формулы). Полагая в (1) t= получим

и «ч

= I + J IK{t¡j,s)ф)ds> (7)

где /у = [2^] + 1.

Второе и третье слагаемое аппроксимируются квадратурными формулами5:

/ «/if) akg(tik). J = Од - 1, i=l

'У m _

g(s)ds& h £ ajkg(tjk),j = 1 ,m,

ii b=l "j

Ojfc -- jLk(s)ds, j = l,m, k — 1, m,

о _

at = «mi, k = l,m,

(8)

(9)

F. de Hoog, R.Weiss. On the solution of Volterra integral equations of the first kind // N timer, Math. - 1973. - Vol. 21. -N 1. - P. 22-32.

где

Особенность аппроксимации первого слагаемого заключается в том, что нижний предел интегрирования может не совпадать с узлом: сетки или подсетей. В этом случае используем аппроксимацию квадратурной формулой

¿i.-.-

^ 771 -щ _ Д. __ _____

g(s)ds « /1 £ ak9(U:j ~ ---h), j = 1 (10)

Ь—1 771

ч ]

где h = th¡ - a(t¡j).

В § 7 рассматривается: свойство саморегуляризации методов квадратур. На примерах показано, что согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения, причем асимптотики для квазн оптимального шага и

погрешности каркаса (£л*.„) - те же, что и в классическом случае. Так. для квадратуры правых прямоугольников справедливы оценки

£>и .AS) = 0(5'),

если

а для средних прямоугольников если

hx.„i6) х ¿i

Неулучшаемость асимптотических оценок проиллюстрирована на примере пилообразного возмущения правой части с определением оптимального шага сетки методом Фибоначчи.

В § 8 метод правых прямоугольников применен к решению системы уравнений (1). Тестовые расчеты показывают линейную сходимость метода.

Во второй главе рассматривается уравнение (1) с условиями a'(t) > 0 Vi £ [to,T\; t-a(t)>a>0, í6[í0,T];

/(í0)= J K(to,s)<?o(s)ds-, 'M

f(tо) = K(to,to)vo(to) - a'(to)X(ío,e(ío))v5o(e(to))+

i o

4 J K¡(tQls)if0{s)ds;

a(U)

K't[t,s) ЕСЛ, Д = {í,í/«(í) < * < * e 1*0,21); K{t,t)¿ O, íe[f0,T]; m = n(t): te[a(to),t0).

Отметим, что в случае (3) для обеспечения единственности решения (1) необходимо задание начальной функции <po(t) на предыстории К*о)> ¿о].

В §§ 1, 2 рассматривается; постановка задачи, приведены известные результаты относительно существования, единственности и устойчивости решения (1), (3). Проведено сопоставление различных оценок устойчивости на тестовом примере.

§§ 3-5 посвящены численному решению задачи (1), (3). В § 3 отмечен эффект потери одного порядка сходимости численных методов, причина которой заключается в накоплении погрешности аппроксимации определенного интеграла на предыстории. Приведена геометрическая интерпретация этого эффекта.

Сравниваются две модификации классического метода средних прямоугольников. Первая модификация основана на введении вспомогательной сетки (6). Другая модификация связана с введением переменного шага. Приведены результаты расчетов на тестовых примерах.

В § 4 рассматриваются несколько способов восстановления порядка сходимости, равного порядку аппроксимации.

Метод 1. Предполагается, что на предыстории функция Ç>(t) = <p0(t) задана аналитически. В этом случае уравнение (1) на- отрезке

[to, max il преобразовывается к впду

e(í)<í0

i h

j K(t, s)<p(s)ds = j(t) - J K(t, s)VQ(s)ds s f^t).

to a(i)

На {¿о, шах i] получаем стандартное уравнение Вольтерра I ро-

о(()<<о

да, поэтому метод квадратур дает на этом отрезке обычные порядки

сходимости, которые сохраняются и на f max t,T\.

0(()<i о

Метод 2. В этом методе решение исходного уравнения сводится к решению эквивалентного уравнения

( t о

J K{t, s)<p{ s)ds - J К(t0, s)<p0(s)ds = j(t) - f(t0).

a(t) a(t o)

Метод 3. Заключается в аппроксимации интеграла на предыстории с помощью квадратуры, имеющей порядок сходимости на единицу больший, чем базовая квадратура.

Метод Заключается в использовании на предыстории базовой же квадратуры порядка .к, но с шагом hy = /г-*-.

Проведено сравнение методов 1-4 по результатам тестовых расчетов, сделанных для квадратур правых и средних прямоугольников. При этом выяснено, что явных преимуществ друг перед другом эти методы не имеют.

В § 5 к решению (1) с условием (3) применен метод Рунге-Кутта. В общем случае для аппроксимации интегралов применяются квадратурные формулы (8)—(10). Для частного случая a(t) — t — с для аппроксимации первого слагаемого в (7) используется квадратурная формула

'•+1 m _

/ g(s)ds И h £ bjkg(tü.), j = l, m, (И)

где

1

bjk = JLk{s)ds, j = Ï7m, к = îym. ь

Для восстановления порядка сходимости, равного порядку аппроксимации квадратурной формулы, можно использовать любой из предложенных выше методов. Результаты расчетов на тестовых примерах показывают, что модифицированный метод Рунге-Кутта сходится с классическими порядками.

Третья глава посвящена приложениям разработанных алгоритмов и программного обеспечения для решения реальных задач из области электроэнергетики.

В § 1 описывается интегральная модель В.М, Глушкова двухсектор-ной экономики.

В § 2 рассматривается задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования как частный случай модели В.М. Глушкова (односекторный вариант). Она сводится к решению уравнения t

/ P{t,s)x{s)ds = p(t),te[t0,T}, (12)

i-c(l)

x(t) = x°{t), t € [¿0-Ф0Ш, (13)

где x(t) - суммарный (по типам электростанций) ввод электрической мощности в момент t, 0{t,s) -коэффициент интенсивности использования в момент t единицы мощности, введенной ранее в момент $; p(t) - экспертно задаваемая динамика электропотребления; c(i) - срок жизни самого старого в момент t энергоблока электроэнергетической системы, x°(t) - известная динамика ввода мощностей на предыстории [io -фоМо!-

Результаты расчетов, сделанных по реальным данным, для c(t) = 40 проиллюстрированы на рис. 2.

Рис. 2. Динамика ввода мощностей x(t) (МВт).

Отрицательные значения полученные на временном промежутке [1996,2000], объясняются избытком мощностей, не востребованных топливно-энергетическим комплексом из-за общего спада в экономике страны.

Если дополнительно ввести двустороннее ограничение

о <*(*)< ï(t), fefe.T], (и)

то задача (12)—(14) для произвольного p(t), вообще говоря, неразрешима, однако определение темпа роста p(t), вводящего x(t) в допустимую

область, представляет самостоятельный интерес и может быть осуществлено в имитационном режиме варьированием p(i).

Одной из наиболее актуальных нерешенных задач развития ЭЭС является проблема технического перевооружения и демонтажа основного оборудования электростанций.

В § 3 рассматривается задача определения такой динамики выбывания устаревшего оборудования (т.е. функции c(t)), которая, обеспечивая заданную потребность p(t). минимизировала бы суммарные затраты за время [¿о, Г] на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей.

Соответствующая задача оптимального управления заключается в нахождении

c*(i)'=arffminri(c(f)), (15)

с[г)€ С

где

г t т

Ii(c(t)) = I(x(tj) = Д J m(t- s)u2(s)x(s)ds}dt +J k{t)x(t)dt, (16)

<0 t-c(t) to

C={c(t)/c<c(f)<c, c:(t) < 1, i€[io,TI} (17)

при ограничениях на фазовую переменную x(t) (12)-(14).

В (16) ui(i-s) - коэффициент увеличения в момент времени t затрат на эксплуаталию мощностей, введенных в момент s (с увеличением срока эксплуатации эта величина возрастает в силу необходимости ремонта стареющего оборудования); иг(<) - затраты на эксплуатацию единицы мощности, введенной в момент времени f; k(t) - затраты на ввод единицы мощности в момент t. Эти функции, а также x(t), с, с, p(t) и установленные мощности го(0 на предыстории [¿о — c(to), fo] считаются известными.

Нелинейное вхождение управляющего параметра c(t) в (12). а также ограничение на фазовую переменную (14) обуславливают сложность поставленной зацачи. В общем случае алгоритмы решения подобных задач малоисследованы.

На рис. 3 приведен график функции c**(t), полученной эвристическим способом, в котором в качестве начального приближения к c*(t) использована наилучшая по критерию (8) допустимая постоянная с = 36. Для нее значение функционала на 1,2% меньше, чем для базовой постоянной с = 40, принятой на предыстории. В то же время для кривой c**(t) значение функционала меньше первоначального значения на 3%.

46 41

8 £

Рис. 3. График функции с**(2).

В § 4 рассматривается модификация задачи оптимального управления демонтажем оборудования электростанций, связанная с разделением электростанций на два типа. Так как проектный срок службы для гидроэлектростанций (ГЭС) близок к 100 годам, что выходит за рамки прогнозного периода, то задачу оптимального управления можно переформулировать следующим образом: найти

?Ц) = агдтш *(<:(*)), (18)

где

г I

Л(с(<)) = Лх{{)) = /{ _/ «}(< - 8)и1(8)х1(з)<18]1<И+

<о (-100

Т I Г т

+ /{ / - з)и1{з)х2{в)с15}(И + + (19)

<о «-с(0 и /0

при ограничениях

1 г

/ 01{1,з)х1{8)<1з+ У Рг(Ь,8)х3(з)йа=р{г), (20)

4-10О ¡_ф)

г I

У 1(»)Л = 7(«) У (21)

<-Ш0

0 <«,-(<)< г,<0, * = 1,2, *€[*0,Т] (22)

и (17).

Здесь переменные с индексом 1 относятся к ГЭС, а с индексом 2 -к теплоэлектростанциям (ТЭС) (считаем, что вклад остальных типов станций ничтожно мал); -у({) - заданная доля суммарных мощностей

ГЭС относительно суммарных мощностей ТЭС. Соотношение (21) вводится для того, чтобы система уравнений для неизвестных x\(t) и zj(i) была замкнута при фиксированном с(<). Срок службы для ТЭС на предыстории равен 38 годам. Коэффициент y(t) = const = 0.25.

С использованием той же техники решения, что и для предыдущей задачи, получена кривая c"*(t), похожая на с**(<), которая уменьшает значение (19) на 2,52% по сравнению с вариантом с(<) = 38.

Основные результаты диссертации

1. Для случая (1), (2) на серии тестовых примеров показана сходимость метода квадратур (формулы правых и средних прямоугольников) с теми же порядками сходимости, что и в классическом случае.

Построена модификация метода типа Рупге-Кутта, также дающая для (1), (2) классический порядок сходимости.

2. Для случая (1), (3) и тех же квадратур реализованы 4 их модификации, позволяющие восстановить порядок сходимости, равный порядку аппроксимации.

3. Выявлен пилообразный характер погрешности сеточного решения, позволяющий уменьшить погрешность каркаса за счет выбора специальной подсетей. "Для a(t) — q(t - to), 0 < q < 1 обнаружен эффект насыщения, уточняющий известные теоретические оценки погрешности.

4. Установлен регуляризующий эффект процедуры дискретизации: согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения, причем асимптотики для квазиоптимального шага л погрешности каркаса - те же, что и в классическом случае.

5. Решена задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования.

6. Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальной стратегии ввода электрических мощностей, обеспечивающих заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей.

Публикации по теме диссертации

1. Маркова Е.В. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода с управляемой памятью // Материалы XXVI конференции научной молодежи СЭИ СО РАН, Иркутск, 24.04.96. - Деп. в ВИНИТИ 08.07.96, N 2194-В96. - С. 62-67.

2. Маркова Е.В. Интегральные уравнения Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Материалы XXVII конференции научной молодежи СЭИ СО РАН. - Иркутск, 1997. - Деп. в ВИНИТИ 12.09.97, N 2S30-B97. - С. 117-124.

3. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом в интегральных моделях развивающихся систем типа В.М. Гяушкова // Тез. Междунар. конф. "Всесибирские чтения по математике и механике". - Томск, 1997. - Т. 1. - С. 175-176.

4. Маркова Е.В. О численных методах решения интегральных уравнении Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Тез. Меж-дунар. конф. "Средства математического моделирования". - Санкт-Петербург, 1997. - С. 101.

5. Маркова Е.В. О численных методах решения интегральных уравнений Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Proceedings of the International Workshop "Tools for Mathematical Modelling", SPb, Dec. 3-6,1997. - Изд-во СПб технического ун-та, 1998.

- С. 171-175.

6. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О сходимости метода квадратур численного решения уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях .систем с управляемой памятью / / Тезисы докладов Всеросс. конф. "Алгоритмический анализ некорректных задач" (памяти В.К. Иванова). -Екатеринбург, 1998. - С. 35-36.

7. Маркова Е.В. Об особенностях численного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Материалы XXVIII конференции научной молодежи ИСЭМ СО РАН.

- Иркутск, 1998. - Деп. в ВИНИТИ 20.01.99, N 119-В99. - С.. 144-152.

8. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О численном решении уравнений Вольтерра I рода с переменной предысторией // Тез. докл. Всеросс. конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи". - Москва, 1998.

- С. 6.

9. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Численное решение уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем // Тез.

докл. III Сибирского конгресса ИНПРИМ-98 памяти С.Л.Соболева. -Новосибирск, 1998. - С. 128.

10. Маркова Е.В. Об особенностях численного решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Тр. XI Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". - Иркутск, 1998. - Т. 4. - С. 134-137.

11. Маркова Е.В. О методах решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом и их приложения // Системные исследования в энергетике (труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН). -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - Вып. 29. - С. 190-197.

12. Апарцин A.C., Маркова Е.В., Труфанов В.В. К определению оптимальных стратегий долгосрочного развития электроэнергетических систем на базе интегральных моделей В.М. Глушкова // Тез. докл. II Междунар. конф. "Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, 14-19.06.99. - Изд-во СПбГТУ, 1999. - С. 147-148.

13. Маркова Е.В. О методах решения некласснческих уравнений Вольтерра I рода // Тез. докл. Междунар. конф. "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)". - Красноярск: Краснояр. гос. ун-т, 1999. - С. 147-148.

14. Apartsyn A.S., Markova E.V. The nonclassic Volterra equations of the first kind and their applications / / Abstracts of the International Conference honoring academician Sergei K. Godimov "Mathematics in applications". - Novosibirsk, 1999. - P. 23.

15. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Неклассические уравнения Вольтерра I рода п их приложения // Тр. Междунар. конф., посвященной 70-летию академика С.К. Годунова, "Математика в приложениях". -Новосибирск, 1999 (в печати).

16. Апарцин A.C., Маркова Е.В., Труфанов В.В. К определению оптимальных стратегий долгосрочного развития электроэнергетических систем на базе интегральных моделей В.М. Глушкова // Тр. II Междунар. конф. "Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, 1999 (в печати).

Введение

Глава I. Уравнения Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования. Случай а (¿о) = ¿о

§1. Постановка задачи. Теоремы существования и единственности

§2. Об оценках устойчивости решения

§3. Оценки решения тестового примера, полученные разными способами

§4. Численное решение уравнения (1.1.1). Метод правых прямоугольников .V. «V. .ъ.яр.

§5. Метод средних прямоугольников

§6. Метод типа Рунге-Кутта

§7. О свойстве саморегуляризации

§8. О системах уравнений Вольтерра I рода

Глава II. Уравнения Вольтерра I рода с переменными пределами интегрирования. Случай а(£о) < ¿о

§1. Постановка задачи

§2. Оценка устойчивости решения

§3. О численных методах решения.

§4. Несколько способов восстановления порядка сходимости.

§5. Метод типа Рунге-Кутта

Глава III. Применение разработанных алгоритмов к решению реальных задач энергетики

§1. Об интегральной модели В.М.Глушкова

Применение методов интегральных уравнений для анализа динамических систем интенсивно развивалось до середины XX века. Затем это направление было вытеснено во многих приложениях дифференциальными уравнениями, как более простыми и легче поддающимися исследованию [54]. Классическая форма динамических макроэкономических моделей [31] основана на использовании систем ОДУ. Это в определенной степени неудобно, так как реальные макроэкономические системы описываются негладкими или даже разрывными функциями. Кроме того, классические формы представления динамических моделей плохо приспособлены для описания динамики сворачивания и полного отказа от использования устаревшего оборудования. Описание динамических моделей с помощью систем интегральных уравнений позволяет устранить указанные недостатки.

В последнее время интерес к интегральным уравнениям возрастает. Это можно объяснить тем, что "описание процессов с помощью интегральных уравнений и вообще интегральных соотношений является более общим приемом, нежели описание с помощью дифференциальных уравнений" [22].

Основы теории интегральных уравнений Вольтерра были заложены в конце прошлого века. В 1896 году вышла серия публикаций, в которой Вито Вольтерра рассматривал интегральное уравнение I рода вида

В работе [68] Вольтерра показал, что решение <р{{) уравнения (0.1) при соответствующей гладкости исходных данных - ядра А'з) и правой части /(/), а также условии /) ф 0 V / Е [¿о, Г], представимо в виде

0.1) явной формулы обращения, содержащей резольвентное ядро. Уравнение (0.1) в дальнейшем будем называть классическим (или стандартным) .

Теории и численным методам решения уравнения (0.1) были посвящены тысячи публикаций. Наиболее полный обзор современного состояния исследований в этой области дан в [59]. Там же приведена обширная библиография. В обзоре [53] содержится библиография работ отечественных математиков.

Интерес вычислителей к уравнениям Вольтерра связан с тем, что задача численного решения уравнения лежит на стыке "классических" методов с методами решения некорректно поставленных задач. С одной стороны, уравнения Вольтерра - частный случай уравнений Фредголь-ма I рода, которые в общем случае являются некорректно поставленными в любых "разумных" функциональных пространствах, и для их решения используют методы регуляризации некорректных задач [49].

С другой стороны, специфика операторов Вольтерра такова, что при достаточной гладкости исходных данных уравнение Вольтерра I рода корректно поставлено на некоторой паре банаховых пространств.

Это позволяет, во-первых, адаптировать методы регуляризации, основанные на сведении (0.1) к уравнению Вольтерра II рода, таким образом, чтобы уравнения II рода сохраняли свойство вольтерровости. Развитию этого направления посвящены работы A.M. Денисова [28], H.A. Магницкого [32], В.О. Сергеева [43].

Во-вторых, можно находить численное решение (0.1) с помощью подходящей дискретизации непосредственно исходного уравнения. К этому направлению относятся работы Н. Brunner [57, 58], F. de Hoog и R. Weiss [63, 64], P. Linz [65, 66].

Если исходные данные известны приближенно, причем погрешность выводит решение возмущенного уравнения за пределы множества корректности, возможен другой путь - дискретизация непосредственно исходного уравнения с согласованием шага сетки с уровнем погрешности таким образом, чтобы процедура дискретизации сама обладала регуля-ризующим свойством. Например, метод квадратур, основанный на простейших квадратурных формулах, порождает регуляризующий алгоритм, в котором параметром регуляризации является шаг квадратурной формулы. Стабилизирующий эффект процедуры дискретизации, впервые отмеченный для интегральных уравнений I рода со слабой особенностью в работах В.И. Дмитриева и Е.В. Захарова [30], А.Н. Тихонова и В.И. Дмитриева [50], получил название саморегуляризующего. Среди первых работ, относящихся к этому направлению, отметим работы A.C. Апарцина [3, 4, 8, 9,10], A.C. Апарцинаи А.Б. Бакушинского [13], Тен Мен Яна [46, 47].

В работах Г.М. Вайникко и У. Хямарика [23, 24] свойство саморегуляризации исследовано и для приближенных методов проекционного типа, в основе которых - "конечномеризация" исходного интегрального уравнения.

В 1977 году в работе [26] В.М. Глушковым была предложена двух-секторная макроэкономическая модель, описываемая интегральными соотношениями с операторами Вольтерра типа a(t)

Задача идентификации интегральных параметров, входящих в модели типа В.М. Глушкова, сводится к уравнениям вида

0.2) a(t) поэтому эти уравнения привлекли дополнительное внимание исследователей. В (0.2) наряду с ядром K(t, s) и правой частью /(/) задан нижний предел a(t) - некоторая функция времени t. Функция a(t) отражает динамику отмирания или замены устаревших элементов развивающейся системы. Часто эта функция предполагается наряду с (p(t) искомой как элемент управления, оптимизирующий некоторый критерий качества функционирования системы. Важным свойством a(t) в подобных моделях является ее неубывание. Это означает, что отмирающие элементы не восстанавливаются. В последующих публикациях В.М. Глушкова и его коллег работа [26] получила дальнейшее развитие не только в отношении математического аппарата, но и в части приложений к задачам биологии, экологии, экономики, медицины и др. (см., например, [27, 54]).

Уравнение (0.2) будем называть неклассическим (в отличие от уравнения (0.1)). Вольтерра рассматривал частные случаи уравнения (0.2) при a(t) = q(t - /о), 0 < q < 1. В статье [68] он показал эквивалентность (0.2) некоторому интегро-функциональному уравнению II рода, решение которого может быть найдено с использованием результатов работы [67].

Математический аппарат исследования (0.2) диктуется спецификой нижнего предела a(t). В зависимости от свойств a(t) канонические решения уравнения, отвечающие единичному ядру K(t,s) = 1, имеют качественные отличия:

1) При a(t) = to (классический случай) точное решение уравнения (0.1) <p*(t) = f(t).

2) При a(tQ) = tQl a(t)<t Vte(t0,T\ (0.3) точное решение определяется бесконечным рядом. Например, для нижнего предела a(t) = \ точным решением является функция 3) При ait) <t vte [t0,T] (0.4) ряд, дающий точное решение, конечен. Например, для нижнего предела a(t) = t — 1 точным решением является функция к— 1 3=о где ~ заданная функция на предыстории t G [¿о — к = 1, [Т — îq] + 1- При этом должно выполняться условие согласованности в точке t = t о: t0 o—l

В статье [56], подготовленной к столетнему юбилею уравнений Воль-терра I рода, приведен список публикаций начала XX века, имеющих отношение к уравнению (0.2).

В последнее двадцатилетие теоретические исследования неклассических уравнений Вольтерра I рода проводились A.C. Апарциным [2, 5, 9, 11, 12], A.M. Денисовым и C.B. Коровиным [29], A.M. Денисовым и A. Lorenzi [61, 62].

Численные методы решения (0.2) рассматривались в работах A.C. Апарцина [1, 5], Ш.А. Наубетовой [41], Ш.А. Наубетовой и Ю.П. Яценко [42], Тен Мен Яна [44, 45], Н. Brunner [56], H. Brunner и Ю.П. Яценко [60]. В частности, в работах [1, 42] показана применимость к уравнению (0.2) с условием (0.4) ряда численных методов, разработанных для классического уравнения Вольтерра. При этом, как впервые отмечено в [1], порядок сходимости метода становится на единицу меньше порядка аппроксимации квадратурных формул. В работе [5] предлагаются различные варианты восстановления исходного порядка.

В работе У.Е. Галиева и Ю.П. Яценко [25] дан обзор состояния исследований линейных интегральных уравнений I и II рода в интегральных динамических моделях. Кроме этого, дан обзор исследований систем уравнений с неизвестным нижним пределом (что делает уравнение существенно нелинейным) и задач оптимизации, возникающих в интегральных динамических моделях.

В целом численные методы решения уравнения типа (0.2) значительно менее исследованы, чем в случае (0.1).

Эта проблематика изучается в данной диссертационной работе.

Первая глава диссертации посвящена уравнению Вольтерра I рода с двумя переменными пределами интегрирования с условием (0.3).

В §§ 1-3 рассматривается постановка задачи, приведены необходимые теоретические результаты относительно существования, единственности и устойчивости решения. Проведено сопоставление оценок устойчивости решения на тестовом примере.

§§ 4-6 посвящены численному решению интегрального уравнения Вольтерра (0.2). Рассматриваются методы правых и средних прямоугольников. Доказана линейная сходимость метода правых прямоугольников для случая = 1, а(£) = — ¿о), 0 < д < 1 и квадратичная сходимость метода средних прямоугольников в первом узле сетки. На серии тестовых примеров получены порядки сходимости методов квадратур, соответствующие класическим, и для общего случая. Установлено пилообразное поведение погрешности сеточного решения, позволяющее уменьшить погрешность каркаса за счет выбора специальной подсетки узлов.

Проведена модификация метода Рунге-Кутта, которая дает для (0.2), (0.3), как и в классическом случае, сходимость с любым наперед заданным порядком т.

В § 7 рассматривается свойство саморегуляризации методов квадратур. На примерах показано, что согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения, причем асимптотики для квазиоптимального шага и погрешности каркаса - те же, что и в классическом случае. Неулучшаемость асимптотических оценок проиллюстрирована на примере пилообразного возмущения исходных данных с определением оптимального шага сетки методом Фибоначчи.

В § 8 метод правых прямоугольников применен к решению системы уравнений Вольтерра I рода с переменными пределами. Результаты расчетов на тестовых примерах показывают линейную сходимость метода.

Вторая глава посвящена уравнению (0.2) с условием (0.4).

В §§ 1, 2 рассматривается постановка задачи, приведены известные теоремы существования, единственности и устойчивости решения, на которых основано дальнейшее изложение. Проведено сопоставление различных оценок устойчивости решения на тестовом примере.

В § § 3-5 исследованы численные методы решения (0.2) с условием (0.4). Приведена геометрическая интерпретация потери одного порядка сходимости численных методов. Сравниваются две модификации классического метода средних прямоугольников. Приведены результаты расчетов на тестовых примерах. Рассматриваются несколько способов восстановления порядка сходимости, равного порядку аппроксимации. Проведено сравнение этих способов по результатам тестовых расчетов, сделанных для квадратур правых и средних прямоугольников. Рассматриваются особенности применения модифицированного метода Рунге-Кутта (с восстановлением исходного порядка сходимости) для частного и общего случая. Приведены результаты расчетов на ЭВМ.

Третья глава посвящена приложениям разработанных алгоритмов и программного обеспечения для решения реальных задач из области электроэнергетики.

В § 1 описывается интегральная модель В.М. Глушкова двухсектор-ной экономики.

В §§ 2-4 рассматривается задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования как частный случай модели В.М. Глушкова (односек-торный вариант). Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальных стратегий ввода электрических мощностей, обеспечивающих с учетом выбывания устаревшего оборудования заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей. Для этих задач проведены расчеты по реальным данным и дан анализ полученных результатов.

Для расчетов на ЭВМ написаны программы на языке программирования Pascal 7.0.

Результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции "Всесибирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997 г.), на Всероссийской конференции "Алгоритмический анализ некорректных задач" памяти В.К. Иванова (Екатеринбург, 1998 г.), на XI Международной Байкальской школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), на Международной конференции "Математические модели и методы их исследования (задачи механики сплошной среды, экологии, технологических процессов, экономики)" (Красноярск, 1999 г.), на Международной конференции, посвященной академику С.К. Годунову, "Математика в приложениях" (Новосибирск, 1999 г.), на конференциях молодых ученых СЭИ СО РАН (Иркутск, 1996, 1997 гг.), на конференциях молодых ученых ИСЭМ СО РАН (Иркутск, 1998, 1999 гг.).

По теме диссертации опубликовано 14 работ [15, 16, 17, 18, 20, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 55] и 2 работы находятся в печати [19, 21].

Основные результаты диссертации заключаются в следующем.

1. Для случая (0.2), (0.3) построены и апробированы на тестовых задачах различные модификации квадратурных методов правых и средних прямоугольников, методов типа Рунге-Кутта. Показана сходимость методов с теми лее порядками, что и в классическом случае.

2. Для случая (0.2), (0.4) и тех же квадратур реализованы 4 их модификации, позволяющие восстановить порядок сходимости, равный порядку аппроксимации.

3. Установлено, что согласование шага сетки с уровнем погрешности исходных данных обеспечивает устойчивость сеточного решения (свойство саморегуляризации), причем асимптотики для квазиоптимального шага и погрешности каркаса - те лее, что и в классическом случае.

4. Выявлены особая роль значений сеточного решения в начальных узлах сетки, пилообразное поведение погрешности, позволяющее конструировать подсетки узлов, на которых погрешность численного решения (0.2) меньше, чем в классическом случае при тех же ядре и точном решении.

5. Для й(^) — (¿{^ — ¿о)? 0 < ^ < 1 обнаружен эффект "насыщения", уточняющий известные теоретические оценки погрешности.

6. Решена реальная задача электроэнергетики: задача определения долгосрочных стратегий ввода электрических мощностей с учетом выбывания устаревшего оборудования.

7. Предложен и реализован эвристический алгоритм поиска оптимальной стратегии ввода электрических мощностей, обеспечивающих заданную потребность в электроэнергии при минимуме суммарных затрат на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей.

Для проведения численных расчетов были написаны программы на языке Pascal 7.0.

Конечно, в данной диссертации рассмотрена лишь малая часть проблем, связанных с численным решением неклассических уравнений.

Предметом дальнейших исследований могут быть новые классы уравнений (линейных и нелинейных, скалярных и векторных, интегро-алгебраических и интегро-дифференциальных), включающих интегральные операторы Вольтерра с переменными верхними и нижними пределами интегрирования, и численные методы их решения.

Несомненный интерес представляет и рассмотрение сферы приложений разрабатываемых методов, алгоритмов и программного обеспечения для моделирования реальных развивающихся систем как в энергетике, так и в других областях естествознания.

Заключение

Настоящая диссертационная работа посвящена численным методам решения неклассических уравнений Вольтерра I рода и их приложениям. В работе исследована проблема модификации стандартных численных методов, возникающая из-за переменного нижнего предела интегрирования. Модифицирование методы применены к решению реальных задач из области электроэнергетики.

1. Анциферов Е.Г., Апарцин A.C., Ащеиков JI.T., Булатов В.П. Математические задачи энергетики (модели, методы, решения) // Науч. отчет. Иркутск, СЭИ СО АН СССР, 1987. - 286 с.

2. Апарцин A.C. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода в теории развивающихся систем // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. - С. 58-67.

3. Апарцин A.C. О применении различных квадратурных формул для приближенного решения интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференц. и интегр. уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1973. - Вып. 2. - С. 107— 116.

4. Апарцин A.C. О численном решении систем интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратур // Методы оптимизации и иссл. операций (прикл. матем.). Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1976. - С. 79-88.

5. Апарцин A.C. Неклассические уравнения Вольтерра I рода: теория и численные методы. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1999. -193 с.

6. Апарцин A.C. Некоторые интегральные (разностные) неравенства и их приложения // Методические указания. Иркутск, Иркут. гос. ун-т, 1988. - 41 с.

7. Апарцин A.C. Численное решение интегральных уравнений I рода типа Вольтерра,- Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1981. 26 с. -Препринт № 1.

8. Апарцин A.C. О численном решении интегрального уравнения Вольтерра I рода регуляризованным методом квадратур // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1979. - С. 99-107.

9. Апарцин A.C. Некоторые некорректные задачи в энергетике и их саморегуляризация // Математическое моделирование в энергетике. 4.1. Киев: ИПМЭ АН Украины, 1990. - С. 26-29.

10. Апарцин A.C. Дискретизационные методы регуляризации некоторых интегральных уравнений I рода // Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. -С. 263-297.

11. Апарцин A.C. Об одном классе уравнений Вольтерра I рода // Тр. XI Международной Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. -Т. 4. - С. 24-27.

12. Апарцин A.C., Бакушинский А.Б. Приближенное решение интегральных уравнений Вольтерра I рода методом квадратурных сумм // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1972. Вып. 1. - С. 248-258.

13. Апарцин A.C., Гусева И.Д. Некоторые оценки решений интегральных неравенств, возникающих при идентификации моделей развивающихся систем В.М.Глушкова // Науч. отчет. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1993. - С. 42-61.

14. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О сходимости метода квадратур численного решения уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях систем с управляемой памятью // Тез. докл. Всеросс. конф. "Алгоритмический анализ некорректных задач" (памяти

15. B.К.Иванова), Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 02.02-07.02.98.1. C. 35-36.

16. Апарцин A.C., Маркова Е.В. О численном решении уравнений Вольтерра I рода с переменной предысторией // Тез. докл. Всеросс. конф. "Обратные и некорректно поставленные задачи", Москва, МГУ, 15.06-18.06.98. С. 6.

17. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Численное решение уравнений Вольтерра I рода в интегральных моделях развивающихся систем // Тез. докл. III Сибирского конгресса ИНПРИМ-98 памяти С.Л.Соболева, Новосибирск, ИМ СО РАН, 21.06-24.06.98. С. 128.

18. Апарцин A.C., Маркова Е.В. Неклассические уравнения Вольтерра I рода и их приложения // Тр. Междунар. конф., посвященной70.летию академика С.К.Годунова, "Математика в приложениях", Новосибирск, ИМ СО РАН, 25.08-29.08.99, (в печати).

19. Бутковский А.Г. Структурная теория распределенных систем. -М.: Наука, 1977. 320 с.

20. Вайникко Г.М., Хямарик У. Саморегуляризация для решения некорректных задач проекционными методами // Модели и методы исследования операций. Новосибрфск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. - С. 157-163.

21. Вайникко Г.М., Хямарик У. Проекционные методы и саморегуляризация в некорректных задачах // Изв. вузов. Сер. мат. 1985. -№ 10. - С. 3-17.

22. Галиев У.Е., Яценко Ю.П. Алгоритмы численного исследования интегральных динамических моделей // Численные методы оптимизации и анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992. -С. 115-120.

23. Глушков В.M. Об одном классе динамических макроэкономических моделей // Управляющие системы и машины. 1977. - N° 2. - С. 3-6.

24. Глушков В.М., Иванов В.В., Яненко В.М. Моделирование развивающихся систем. М.: Наука, 1983. - 350 с.

25. Денисов A.M. О приближенном решении уравнения Вольтерра I рода // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 4. - С. 1053-1056.

26. Денисов A.M., Коровин C.B. Об интегральном уравнении I рода типа Вольтерра // Вестник МГУ. Сер. 15. Вычислит, мат. и кибернетика. 1992. - № 3. - С. 22-28.

27. Дмитриев В.И., Захаров Е.В. О численном решении некоторых интегральных уравнений Фредольма I рода // Вычислительные методы и программирование. М.: МГУ, 1968. - Вып. 10. - С. 49-54.

28. Леонтьев В. Исследование структуры американской экономики. Теоретический и эмпирический анализ по схеме затраты выпуск.- М.: Госстатиздат, 1959. 640 с.

29. Магницкий H.A. Об одном методе регуляризации уравнений Вольтерра I рода // ЖВМ и МФ. 1975. - Т. 15, № 5. - С. 1317-1323.

30. Маркова Е.В. Об интегральных уравнениях Вольтерра I рода с управляемой памятью // Материалы XXVI конференции научной молодежи Сиб. энергет. ин-та СО РАН. Иркутск, 24 апреля, 1996.- С. 62-67. Деп. в ВИНИТИ 08.07.96, № 2194-В96.

31. Маркова Е.В. Интегральные уравнения Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Материалы XXVII конференциинаучной молодежи Сиб. энергет. ин-та СО РАН. Иркутск, 14-15 мая, 1997. - С. 117-124. - Деп. в ВИНИТИ 12.09.97, 2830-В97.

32. Маркова Е.В. О методах решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом и их приложения // Системные исследования в энергетике (труды молодых ученых ИСЭМ СО РАН). Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1999. - Вып. 29. - С. 190-197.

33. Маркова Е.В. О численных методах решения интегральных уравнений Вольтерра I рода в моделях развивающихся систем // Тез. Междунар. конф. "Средства математического моделирования", Санкт-Петербург, 03.12-06.12.97. С. 101.

34. Маркова Е.В. Об особенностях численного решения уравнения Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Тр. XI Байкальской школы-семинара "Методы оптимизации и их приложения", Иркутск, 05.07-12.07.98. Т. 4. - С. 134-137.

35. Наубетова Ш.А. Исследование алгоритмов численного решения линейных интегральных уравнений управляемых систем с переменной памятью: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. Киев: Изд-во Киев, ун-та, 1989.

36. Наубетова Ш.А., Яценко Ю.П. Регуляризуюгцие алгоритмы решения интегральных уравнений Вольтерра I рода с переменным нижним пределом // Приближенные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1989. - С. 116-130.

37. Сергеев В.О. Регуляризация уравнений Вольтерра I рода // ДАН СССР. 1971. - Т. 197, № 3. - С. 531-534.

38. Тен Мен Ян. Метод квадратур для уравнения Вольтерра I рода с переменной предысторией // Методы оптимизации и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1992. - С. 184-199.

39. Тен Мен Ян. Квадратурные методы решения интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменным нижним пределом // Численные методы решения сингулярных систем ОДУ. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1993. - С. 55-77.

40. Тен Мен Ян. Приближенное решение двумерных интегральных урвнений Вольтерра I рода методом квадратур // Дифференциальные и интегральные уравнения. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 1975. - Вып. 3. - С. 194-211.

41. Тен Мен Ян. Блочный метод для решения двумерных интегральных уравнений Вольтерра первого рода // Дифференциальные уравнения. 1979. - Т. 15, № 6. - С. 1121-1126.

42. Тен Мен Ян. Об устойчивых многошаговых методах решения уравнений Вольтерра I рода // Методы численного анализа и оптимизации. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1987. - С. 227-263.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1979. 288 с.

44. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. Метод расчета распределения тока в системе линейных вибраторов и диаграммы направленности этой системы // Вычислительные методы и программирование. М.:

45. У, 1У00. ЬЫП. 1U. - и. Ö-Ö.

46. Труфанов В.В., Федотова Г.А. Анализ современного состояния оборудования электростанций России // Методические вопросы исследования надежности больших систем энергетики. Киев, 1995.- Вып. 47. С. 6-13.

47. Уайлд Д.Дж. Методы поиска экстремума. М.: Наука, 1967. -С. 47-58.

48. Цалюк З.Б. Интегральные уравнения Вольтерра // Математический анализ (Итоги науки и техники). М.: ВИНИТИ, 1977. - Т. 5.- С. 131-198.

49. Яценко Ю.П. Интегральные модели систем с управляемой памятью.-Киев: Наук, думка, 1991. 218 с.

50. Apartsyn A.S., Markova E.V. The nonclassic Volterra equations of the first kind and their applications // Abstracts of the International

51. Conference honoring academician Sergei K. Godunov "Mathematics in applications", Novosibirsk, 25.08-29.08.99. P. 23.

52. Brunner H. 1896-1996: One hundred years of Volterra integral equations of the first kind // Applied Numerical Mathematis. 1997.- 24. P. 83-93.

53. Brunner H. Discretization of Volterra Integral Equations of the first kind (I) // Math. Comput. 1977. - 31. - P. 708-716.

54. Brunner H. Discretization of Volterra Integral Equations of the first kind (II) // Numer. Math. 1978. - 30. - P. 117-136.

55. Brunner H., P.J. van der Houwen. The Numerical Solution of Volterra Equations. Centre for Mathematics and Computer Science, North-Holland, 1986. - 588 p.

56. Brunner H., Yatsenko Y. Spline collocation methods for nonlinear Volterra integral equations with unknown delay // J. of computational and applied mathematics. 1996. - 71. - P. 66-81.

57. Denisov A.M., Lorenzi A. On a special Volterra integral equation of the first kind // Bollettino U.M.I. 1995. - (7) 9-B. - P. 443-457.

58. Denisov A.M., Lorenzi A. Existence results and regularization thechniques for severely ill-posed integro-functional equastions // Universita degli studi di Milano, quadro. 1996. - № 9. - 14 p.

59. F. de Hoog, R.Weiss. On the solution of Volterra integral equations of the first kind // Numer. Math. 1973. - Vol. 21. - № 1. - P. 22-32.

60. F. de Hoog, R.Weiss. High order methods for the Volterra integral equations of the first kind // SIAM J. Numer. Anal. 1973. - Vol. 10.- № 4. P. 647-664.

61. Linz P. Numerical methods for Volterra integral equations of the first kind // Comput.J. 1969. - Vol. 12. - P. 393-397.

62. Linz P. Product integration methods for Volterra integral equations of the first kind // BIT 1971. - Vol. 11. - P. 413-421.

63. Volterra V. Sopra alcune questioni di integrali definitive // Ann. Mat. Pura Appl. 1897. - (2)25. - P. 139-178.

64. Volterra V. Sulle inversione degli integrali definiti // Nota I, Atti R. Accad. Sci. Torino. 1896. - 31. - P. 311-323.