автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Ветвление решений системы дифференциальных уравнений, определяющей свободную поверхность флотирующей жидкости

а - • ; л '<

„ .. v7 . л ' "

Ульяновский государственный педагогический университет им. И.Н.Ульянова

На правах рукописи

Гришина Светлана Александровна

ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ, ОПРЕДЕЛЯЮЩЕЙ СВОБОДНУЮ ПОВЕРХНОСТЬ ФЛОТИРУЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель доктор физико-математических наук, профессор Б.В.Логинов

Ульяновск -1999

СОДЕРЖАНИЕ

Введение....................................................................................................4

Глава I Поверхностные волны в пространственном слое флотирующей жидкости - задача теории ветвления с нарушением симметрии

§ 1. Методы группового анализа дифференциальных уравнений

в задачах теории ветвления с нарушением симметрии......................19

§ 2. Постановка задачи. Построение асимптотики разветвляющихся решений при п = 4...........................................................................29

§ 3. Двумерное вырождение линеаризованного оператора......................42

§ 4. Четырехмерное вырождение линеаризованного оператора.

Две вырожденных решетки периодичности.......................................45

Глава П. Высокие вырождения линеаризованного оператора (и >4)

§ 5. О порядке вырождения........................................................................51

§ 6. Шестимерное вырождение линеаризованного оператора................57

§ 7. Две решетки периодичности, п = &....................................................63

§ 8. Три решетки периодичности, п = 8....................................................72

§ 9. Три решетки периодичности. л=4 + 4+ 2 = 10............. ..............78

§ 10. Три двумерных решетки, п-12........................................................84

Глава Ш. Решения инвариантные относительно нормальных делителей группы прямоугольника

§ 11. Разложение подпространств нулей на неприводимые......................93

§ 12. Построение решений инвариантных относительно подгрупп для одной квадратной и одной прямоугольной решеток периодичности...............................................................................................99

Приложение. Вычисление коэффициентов уравнения разветвления.

§ 13. Одна невырожденная решетка..........................................................108

§ 14. Две вырожденных решетки................................................................113

Список лнтера1уры........................................................................125

ВВЕДЕНИЕ

Теория ветвления решений нелинейных уравнений развивалась, начиная с конца XIX столетия. Её основы содержатся в известных работах АМ.Ляпунова [56], АПуанкаре [69] и Э.Шмидга [116], вплоть до наших дней стимулирующих исследования по теории ветвления и её приложениям. А.М.Ляпунов и А.Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э.Шмидта содержат исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. В работах АМ.Ляпунова, АПуанкаре и Э.Шмидта было показано, что задача о ветвлении решений нелинейных интегральных уравнений с аналитическими операторами может быть сведена к исследованию эквивалентного уравнения разветвления (УР) - конечномерной системы неявных функций. Предложенный ими метод сведения нелинейной задачи к УР был назван впоследствии методом Ляпунова-Шмидта. Дальнейшее развитие теория ветвления получила в работах А.И.Некрасова [61,62], Л.Лихтенштейна [98], Н.Н.Назарова [57,58], Дж.Кронин [89,90]. А.И.Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает затем методом неопределенных коэффициентов при разложении решений по дробным или целым степеням малого параметра, получившим впоследствии название метода неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова Другими методами эта задача была решена также в работах Т.Леви-Чивита [97] и Д. Стройка [117]. Более трудная технически плоская задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.Б.Кочиным [22]. Монография Л.Лихтенштейна содержит результаты по нелинейным интегральным уравне-

ниш с применениями теории фигур равновесия вращающейся жидкой массы. Н.Н.Назаров исследует ветвление решений нелинейных интегральных уравнений, в частности, уравнений типа Гаммерштейна. В свое время его монография [57] явилась выдающимся вкладом в развитие теории ветвления нелинейных уравнений. Однако без применения метода диаграммы Ньютона НН.Назаров не рассмотрел всех возникающих здесь случаев ветвления. Значительный вклад в теорию ветвления был сделан в работах В.В.Немыцкого [63], М.М.Ваинберга [8] и М.А.Красносельского [23]. М.А.Красносельским была доказана теорема существования бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения линеаризованного оператора

Обзор результатов по теории ветвления решений нелинейных уравнений до начала 60-х годов содержится в работах [9,11].

УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [10], позволяющего представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен в системах неявных функций ^&МсМШап [109]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано Ь.М.СтгауеБ [94] и А.Э.Степану [73]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах А.Д.Брюно [7]. Среди аналитических методов определения асимптотики решений УР метод многогранника Ньютона [7], по-видимому, следует считать наиболее перспективным. Отметим также популярную, хотя и менее перспективную, на наш взгляд, методику применения теории особенностей гладких отображений [92,93], позволяющую исследовать УР лишь при невысоких порядках вырождения п. В

работах А ДБрюно и в работах М.Голубицкого и ДШеффера развит также метод нормальных форм - эффективный метод решения нелинейных задач.

К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые АПуанкаре [69] кронекеровский метод исключения, развитый затем М.М.Вайнбергом и П.Г.Айзенгендлером [10]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров.

В теории ветвления решений нелинейных уравнений следует отметить "принцип конечномерности" (сведение любого вопроса к эквивалентной конечномерной ситуации), пропагандируемый школой проф. В.АТреногина. В этом направлении следует особо выделить работу [78] (см. также [72]), в которой впервые теория вращения конечномерных векторных полей (степень отображения) была применена к УР - конечномерной задаче. Позднее и в менее общей ситуации топологические методы применялись непосредственно кУР в работах Дж.Изэ [95] (см. также [65]). В [78] применение топологических методов (теория особых точек конечномерных векторных полей) непосредственно к УР позволило снять требование полной непрерывности в известном результате М. А.Красносельского [23] о бифуркации от нечетнократного изолированного собственного значения. При этом в [78] была рассмотрена нелинейная задача о точках бифуркации в общем случае аналитической зависимости от спектрального параметра. Несколько иной подход, но также использующий теорию степени отображения применительно к УР был использован в работах Р.Т.Магнуса [16].

Прикладные задачи, основанные на описании действия законов сохранения, обладают групповой инвариантностью (симметрией) [16]. В случае, когда группа симметрии обладает интратаитивной подгруппой, удается существенно упростить общую задачу построения многопараметрических семейств малых решений нелинейного уравнения. Первыми примерами здесь были задачи о свободной конвекции в жидкости [83,84,20,74,19] и о вторичных стационарных течениях жидкости между вращающимися цилиндрами [82,18,121,68], имеющие конечное число решений, определенных с точностью до сдвига. Первые результаты использования групповой симметрии в теории ветвления были получены В.И.Юдовичем, рассмотревшим в работе [84] "один случай ветвления при наличии кратного спектра". Эти результаты были применены учениками В.И.Юдовича в прикладных задачах [5,6,19,20,68,74-76].

Дальнейшее развитие теории ветвления в условиях групповой симметрии содержалось в первых работах Б.В.Логинова и В.АТреногина [50,52], в которых был предложен метод группового расслоения и дан анализ возможностей понижения порядка (редукции) УР по числу неизвестных и числу уравнений. Было показано, что редукция УР по числу неизвестных зависит от действия группы на подпространстве нулей N(8) линеаризованного оператора В, а редукция по числу уравнений определяется действием группы на дополнении Е2т к области значения оператора В. В дальнейшем был проведен подробный анализ всех возникающих здесь возможностей. Обзор соответствующих работ содержится в [40]. В самой общей ситуации была доказана [40,49,51] теорема о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи - одно из многочисленных проявлений "принципа конечномерности". Эта теорема выдвинула на передний план задачу построения УР по допускаемой им группе [31]. Теорема о наследовании в менее общей ситуации была доказана также в [112-115,119].С этих позиций была подробно исследована задача о конвекции в жидкости [114,115] и задача о фа-

зовых переходах в статистической теории кристалла [38-40]. В [24,30] были исследованы возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов. Приложения группового расслоения и редукции УР в конкретных задачах математической физики содержатся в [25,27,28,36,37,45].

Однако, наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л. В. Овсянникова [66,67] группового анализа дифференциальных уравнений. Эти методы открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии [1,2,43,44,53,54,81]. Общая теория применения методов группового анализа к задачам теории ветвления содержится в [26,44,101-103]. С этих позиций было дано новое более полное решение задачи о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла [44] и задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое жидкости над ровным дном [104]. Была решена восходящая к Н.Е.Кочину [22,96] пространственная задача о поверхностных капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, задача о ветвлении и устойчивости периодических решений при определении свободной поверхности феррожидкости в магнитном поле [1,2].

Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М.Голубицкого, Д.Шеффера [92,93] (между прочим, не содержащие никаких ссылок на советские работы и, в частности, на работы В.И.Юдовича) и А.Ван-дер-Бауведе [120]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к

задачам математической физики. С этих же позиций написана недавно вышедшая книга [88]. В работах советских математиков развивался метод многогранника Ньютона [7] и его применение, а также методы группового анализа дифференциальных уравнений в задачах теории ветвления [44].

Аналогичная картина видна и в нестационарном ветвлении - бифуркации Андронова-Хопфа. В [92,93] к задачам нестационарного ветвления применяется теория особенностей, а в [32,33,35,41,100,106,107] методы группового анализа дифференциальных уравнений.

Вопросы устойчивости разветвляющихся решений в задаче о точках бифуркации и, в частности, в задачах о нарушении симметрии, исследуются на основе результатов [34,105] по главной части построенного УР - конечномерной системы разветвления. Это очередное применение "принципа конечномерности". Существенную роль в этих вопросах играет УР в корневом подпространстве [34,42,99,105]. Возможности его построения основываются на исследовании роли жордановой структуры аналитических оператор-функций спектрального параметра в задачах теории ветвления [46,70]. Современное состояние теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее многочисленные приложения содержатся в обзорах (трудах конференций) [21,85-87,110] и монографиях [91-93].

В настоящей работе дано развитие общей схемы построения УР по допускаемой им группе. В частности, рассмотрено построение решений инвариантных относительно подгрупп группы симметрии УР и получены достаточные условия потенциальности УР, допускающего симметрию 21 -мерного куба Эти результаты содержатся в первом параграфе. В параграфах два и три рассмотрено применение методов группового анализа к построению и исследованию УР задачи о периодических кашылярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости над ровным дном в случаях вырождения п< 4 линеаризованного оператора Задача допускает симметрию двухпара-

метрической группы сдвигов по переменным х и у и симметрию плоских кристаллографических групп, порожденных прямоугольными ячейками периодичности решений. В отличие от работ [13-15], в которых методами интегральных уравнений рассматривалась соответствующая плоская задача* исследование проводится непосредственно по системе дифференциальных уравнений, описывающих течение флотирующей жидкости. Производится "распрямление свободной границы" - замша переменных, позволяющая выделил. линеаризованный оператор. Фредгольмовосгь линеаризованного оператора следует из результатов [3,4]. Выписано дисперсионное соотношение, позволяющее определить размерность вырождения линеаризованного оператора (размерность УР). Таким образом, здесь задача о поверхностных волнах флотирующей жидкости рассматривается в точной постановке. Глава вторая содержит исследование более высоких вырождений: п=6,8,10,12. Предварительно дается анализ возможностей осуществления таких вырождений. В частности, здесь доказана возможность возникновения течений с ячейками типа двойного (л =8) и трехкратного (п= 12) прямоугольников или квадратов. В каждом отдельно рассмотренном частном случае методами группового анализа дифференциальных уравнений строится и исследуется УР, вычисляется асимптотика семейств разветвляющихся решений. Вычисление коэффициентов УР при различных значениях п выделено в приложение (в конце диссертации) с тем, чтобы не загромождать изложение техническими деталями. Результаты для каждого отдельного случая (различных значений п) формулируются в виде теорем. Отдельный параграф посвящен построению семейств решений инвариантных относительно нормальных делителей основной группы симметрии. Здесь используется аппарат теории характеров [55,59].

Всюду ниже для формул, теорем, лемм и замечаний принята следующая нумерация. первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы в данном параграфе. Во введении приведены необходи-

мые для дальнейшего изложения понятия теории ветвления и группового анализа дифференциальных уравнений.

Результаты диссертации опубликованы в 11 работах и докладывались на IX Conference of the European Consortium for Mathematics in Industry (Denmark, Lingby, 1996), на 31 и 32 научно-технических конференциях Ульяновского государственного технического университета (1997,1998), на Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (Кисловодск, 1997), на П летней Казанской школе-конференции "Алгебра и анализ" (1997), на Ш международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, Мордовский университет, 1998), на УШ межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1998), на семинаре кафедры "Уравнения математической физики" Самарского государственного университета (1998), на конференции "Симметрия в естествознании" (Красноярск, 1998).

Соискатель выражает искреннюю признательность доктору физико-математических наук, профессору Логинову Б.В. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Некоторые определения и факты теории ветвления решений нелинейных уравнений [10] и группового анализа дифф�