автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и устойчивость капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости со свободной границей

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Мордовский государственный университет имени Н.П. Огарева

На правах рукописи

--

АНДРОНОВ АРТЕМ НИКОЛАЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И

УСТОЙЧИВОСТЬ КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН В СЛОЯХ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ

АВТОРЕФЕРАТ -3 ДЕК *

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2009

003486033

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Защита состоится 17 декабря 2009 г. в 14 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.117.14 при Мордовском государственном университете им. Н.П. Огарева, расположенном по адресу: 430005, РМ, г. Саранск, ул. Большевистская, 68а, МГУ Н.П. Огарева, аудитория 225(1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Мордовского государственного университета им. Н.П. Огарева.

Автореферат разослан 16 ноября 2009 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Логинов Борис Владимирович доктор физико-математических наук, профессор

Треногин Владилен Александрович доктор физико-математических наук, профессор

Мартынов Сергей Иванович Институт гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь диссертационного совета, канд. физ.-мат. наук, доцент

Сухарев Л.А.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Методы теории ветвления и бифуркаций нелинейных уравнений находят многочисленные применения в математическом моделировании естественно-научных дисциплин. Как правило, они применяются в теории критических явлений, когда при переходе определяющих параметров системы через их критические значения она и, соответственно, ее решения претерпевают качественные изменения. Возникновение этой теории относится к концу позапрошлого века, когда начали исследоваться системы, описываемые нелинейными дифференциальными и функциональными уравнениями. К этому же времени относится возникновение сначала линейного, а затем и нелинейного функционального анализа — абстрактной теории функциональных уравнений. Линеаризация прикладной задачи, содержащей параметры, приводила к задачам на собственные значения, для которых соответствующие неоднородные не были однозначно разрешимы в точках собственных значений. Основатели теории — A.M. Ляпунов и А. Пуанкаре — занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (фигур небесных тел). Работы Э. Шмидта содержали исследования теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. Здесь видна аналогия с теорией систем неявных функций, когда их линеаризация оказывается необратимой в точках собственных значений. Уже в первых работах этих математиков был найден конечномерный эквивалент нелинейных систем в окрестности критических значений параметров — уравнение разветвления (УР) — конечномерная система неявных функций. Дальнейшие приложения также оказались гидродинамическими: теория волн на поверхности слоя тяжелой жидкости (А.И. Некрасов, 1921, Н.Е. Кочин, 1928). Основной возникающей здесь проблемой были вопросы существования и количества решений нелинейной задачи в окрестностях критических значений параметров (точек ветвления). В работах H.H. Назарова (1941,1948), Дж. Кронин (1964), М.М. Вайн-берга (1956), М.А. Красносельского (1956), В.А. Треногина (1958,1960) задачи теории ветвления начали исследоваться в абстрактной постановке. Продолжает расти количество приложений в математическом моделировании крити-

ческих явлений. Проводятся конференции12 по многим прикладным аспектам гидродинамики, теории упругости, статистической физики, электодинамики, математической биологии, теории колебаний динамических систем .

Построение уравнения разветвления стали называть асимптотическим методом Ляпунова-Шмидта. Основным способом исследования эквивалентного уравнения (системы) разветвления явились метод диаграммы Ньютона (McMillan 1912, В.А. Треногин 1960) и многогранника Ньютона (Брюно, 1979, А. Солеев, 1995) и восходящая к теории аналитических множеств функций многих комплексных переменных теория особенностей дифференцируемых отображений (В.И. Арнольд, 2004).

Идея применения групповой симметрии в теории ветвления принадлежит В.И. Юдовичу (1967), исследовавшему вместе с сотрудниками гидродинамические задачи стационарной и динамической бифуркации. Дальнейшим развитием симметрийной теории ветвления явился метод группового расслоения для построения редуцированного УР (Б.В. Логинов, В.А. Треногин (1971)). В настоящее время теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой симметрии оформилась в отдельное направление с лавинообразным потоком работ. Это работы Ростовской школы (В.И. Юдо-вич, И.В. Моршнева, Л.Г. Куракин), Ташкентской, ныне Ульяновской школы (Б.В. Логинов, H.H. Юлдашев, И.В. Коноплева), Новосибирской (П.И. Плотников, В.В. Пухначев, Н.И. Макаренко), Воронежской школы (Ю.И. Сапронов), вычислительного центра АН СССР Пущино (Ю.А. Кузнецов, Э.Э. Шноль), за рубежом D. Sattinger (США), A.Vanderbauwhede (Бельгия), M. Golubitsky, I.Stewart, D.Shaeffer (США, Великобритания) и др.

Доказанная в 1973 и опубликованная в 1975 году теорема о наследовании3 уравнением разветвления групповой симметрии первоначальной нелинейной задачи положила начало методам теоретико-группового моделирова-

1 Contemporary Mathematics v.56: Multiparameter Bifurcation Theory. Proceedings of a Summer Research Conference held 14-20,1985. Martin Golubitsky and John M. Guckenheimer, Eds, AMS

2Oscillation, Bifurcation and Chaos, Proceedings of the. 1986 Annual Seminar held July 13-25,1986, Canadian Math. Soc. v.8, F.V. Atkinson, W.F. Langford, and A.B. Mingarelli, Eds

3Б.В. Логинов, В .А. Треногин Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления. ДУ, 1975, 8, 1518-1521 с.

ния теории ветвления решений нелинейных уравнений и ее прикладных аспектов. Вообще в задачах многомерного ветвления наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей Дж. Кронин (1964), М.А. Красносельский (1956), В.А. Треногин, H.A. Сидоров (1972)) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств малых решений, зависящих от свободных параметров, а также методов регуляризации построения решений (В.А. Треногин, H.A. Сидоров, 1975).

Теорема о наследовании групповой симметрии соответствующим уравнением разветвления обосновала возможности применения методов группового анализа дифференциальных уравнений по С. Ли-Л.В. Овсянникову для построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии, оказавшихся наиболее полезными в прикладных задачах о нарушении симметрии. Как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов.

Одной из задач теоретико-группового моделирования является классификация инвариантных (С. Ли, Л.В. Овсянников) и частично-инвариантных (Л.В. Овсянников) решений.

В 80-х гг. Л.В. Овсянниковым была предложена "Программа подмодели", согласно которой, если "большая" модель допускает некоторую группу G, то она допускает и любую подгруппу Н С G, а неподвижные элементы действия группы Н называются инвариантными Я-решениями, образующими класс решений. Для существования ii-решений необходимо удовлетворение определенному условию, в случае выполнения которого инвариантные Д-решения выражаются через решения вспомогательной (всегда существующей) факторсистемы Е/Н. Данная факторсистема Е/Н образует инвариантную подмодель "большой" модели Е, дает все инвариантные if-решения как точные решения Е и содержит меньшее число независимых переменных —

ранг инвариантной подмодели (в случае четырехмерного пространства событий il4(i, х, у, z) ранг может принимать значения 3, 2,1, 0). Классы решений, отыскание которых ведет к уравнениям пониженной размерности (одномерные, плоскопараллельные, осесимметричные, винтовые, стационарные, конические, автомодельные и т.п.) являются инвариантными решениями. Путем систематического использования свойств симметрии такой список можно полностью исчерпать. В симметрийной теории ветвления возникает задача о построении решений, инвариантных относительно подгрупп группы симметрии, допускаемой уравнением разветвления. Для ОДУ дискретной группы симметрии общая схема построения решений с симметрией подгрупп впервые предложена С.А. Владимировым (ДУ, 1975). Ее развитие, применительно к задачам теории ветвления, в частности, к задачам о нарушении симметрии, было дано Б.В. Логиновым с сотрудниками (1979, 1981) и применено к поиску решений, инвариантных относительно нормальных делителей группы симметрии в прикладных задачах теории ветвления (1985-2000). В диссертации О.В. Макеева (2007) выполнена задача теоретико-группового моделирования: построение общего вида уравнения разветвления с симметрией кристаллографических групп в стационарном и динамическом (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) ветвлении, определение подгрупповой структуры разветвляющихся решений.

Математическое моделирование нелинейных явлений требует исследования устойчивости решений функциональных уравнений в конкретных изучаемых процессах естественно-научных дисциплин. Программа исследования устойчивости разветвляющихся решений методами A.M. Ляпунова положена в основу гранта 07-01-91-680а РФФИ-Румынская академия, в который входит и выполненная диссертация. В ней выполнено теоретико-групповое моделирование задач о нарушении симметрии, возникающих в теории капиллярно-гравитационных поверхностных волн с определением орбитальной устойчивости семейств разветвляющихся решений.

Ранее в работах Б.В. Логинова и его аспирантов был рассмотрен ряд задач теории капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости. Это работы

о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости, о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости, в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля.

В первой главе настоящей работы исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости для случаев высоких вырождений линеаризованного оператора (п > 4), вычислена асимптотика разветвляющихся решений. В главе 2 решается задача о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Построена асимптотика разветвляющихся решений для случаев высоких (п > 4) вырождений линеаризованного оператора. В третьей главе исследована подгрупповая структура разветвляющихся решений задач первых двух глав. Четвертая глава содержит исследование орбитальной устойчивости разветвляющихся решений. В указанных работах нигде не была исследована устойчивость разветвляющихся решений, поэтому кроме результатов для наших задач мы представляем исследование устойчивости в задачах о КГВ, рассмотренных предшественниками.

Цели работы. Построение общего вида уравнения разветвления в модельных задачах о капиллярно-гравитационных поверхностных волнах в случаях высоких вырождений линеаризованного оператора и исследование устойчивости семейств разветвляющихся решений.

Научная новизна.

а) Методами теоретико-группового моделирования в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости в случаях высоких вырождений линеаризованно-

го оператора вычислена асимптотика семейств разветвляющихся решений, определена их подгрупповая структура.

б) Теми же методами исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Построена асимптотика семейств разветвляющихся решений в случае высоких вырождений линеаризованного оператора и определена подгрупповая структура разветвляющихся решений.

в) Методами A.M. Ляпунова исследована орбитальная устойчивость разветвляющихся семейств решений в указанных двух задачах.

г) В исследованных ранее задачах о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости конечной глубины методами A.M. Ляпунова исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений.

Результаты, представленные в диссертации, являются новыми и получены автором самостоятельно.

Теоретическая и практическая значимость. Полученные результаты применимы для классов прикладных задач стационарного ветвления с определенной групповой симметрией независимо от их физического содержания.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. В пространственной задаче о капиллярно-гравитационных волнах в слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости для высоких вырождений линеаризованного оператора определена асимптотика разветвляющихся решений в виде сходящегося по (F2 — -F^)1/2 ряда в окрестности точки бифуркации.

2. Методами группового анализа дифференциальных уравнений исследована соответствующая задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, когда нижняя жидкость занимает полупространство. Определена асимптотика разветвляющихся решений.

3. Исследована подгрупповая структура семейств разветвляющихся решений в задачах о капиллярно-гравитационных волнах в слое глубокой фло-

тирующей (без флотации) жидкости, о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство.

4. В рассмотренных предшественниками задачах о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений.

5. Исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений в задачах о капиллярно-гравитационных волнах в глубокой однослойной флотирующей (без флотации) жидкости и на границе раздела двуслойной глубокой жидкости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Третьей и Четвертой международных школах-семинарах "Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ" (Саранск, 2007, 2009), молодежной школе-конференции "Лобачевские чтения-2007" (Казань), VIII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Саранск, 2008), 3-я Всероссийская конференция с участием зарубежных ученых "Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения" (Вийск, 2008), The XVI-th Conference on Applied and Industrial Mathematics (CAIM) (Romania, Oradea, 2008), 24th International Workshop on Water Waves and Floating Bodies (Russia, Zelenogorsk, April 18-22, 2009), Syrcunetries and exact solutions of differential and integro-differential equations (MOGRAN-13), Ufa (Russia), June 18-22, 2009, Второй международной научной конференции "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения" 24-28 августа 2009 г. Национальная академия наук РБ, Институт математики, Минск 2009.

Работа поддержана программой "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект 2.1.1/6194) Министерства образования и науки РФ, грантом РФФИ-Румынская академия №07-01-91680а.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 работ, из них 1 работа в издании из списка ВАК. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения,

четырех глав, заключения и списка литературы, содержащего 118 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследований, показана практическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту научные положения, дан обзор литературы по исследуемой проблеме. Содержатся определения и факты, связанные с задачами стационарного ветвления, элементы группового анализа дифференциальных уравнений с применением к задачам теории ветвления.

В первой главе исследуется задача о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости. В §1

дается постановка задачи. Предполагается, что жидкость занимает полупро-

^ 2тг 2тг ,

странство. Определяются периодические с периодами — = он и —- = Ь\ по-

а Ь

тенциальные течения тяжелой капиллярной глубокой жидкости в пространственном слое со свободной верхней границей, близкой к горизонтальной плоскости г = 0, ответвляющиеся от основного течения со скоростью V в направлении оси Ох. Потенциал скорости имеет вид (р(х,у,г) — Ух + Ф(х,у,г). а - коэффициент поверхностного натяжения, р - плотность несущей жидкости, ро - поверхностная плотность флотируемого вещества, д - ускорение свободного падения.

Система дифференциальных уравнений для ответвляющихся периодических режимов в безразмерных переменных имеет вид:

Дф = 0, -оо < г < f(x, у);

(1)

5Ф 1,™,

л/1 +

к

- 7F2div J = const, z = f(x, у) (3)

Wi+iwi2;

с условиями убывания функции Ф и первых ее производных на бесконечности. Второе равенство в (1)-(3) является кинематическим условием на поверхности слоя, а третье — описывающим баланс сил (интеграл Бернулли), F2 =

(квадрат величины, обратной числу Фруда), 7 = —^(число Бонда), к = —.

P<]L pL

Система (1)-(3) допускает двумерную группу сдвигов Ьрд(х,у) = д(х +

ßi,y + Д) и отражения

51 : х -х,Ф(х,у,г) -» -Ф(-х,у,г), f(x,y) f(-x,y),

52 ■■ У -у,Ф{х,у,г) -* Ф(х,-у,г),/(х,у) -* f(x,-y).

Используя прием распрямления свободной верхней границы — замену переменных С = z-f(x, у), Ф(х, у, (+f{x, у)) = u(z, у, С), положим F2 = F02+e, где Fq = F2in — критическое значение параметра, получаем эквивалентную (1) систему

Ди = ад(0)(«,/),-ос<С<0; (4)

Щ — fx = /), С = 0; (5)

и. + *и,с + FqJ - -уFiД/ = wW(u, /,е),С = 0; (6)

к < 7F2, (условие эллиптичности интеграла Бернулли (6)) (7)

щС?)^ j = о, 1, 2 — малые нелинейности. Система (4)-(6) может быть представлена нелинейным функциональным уравнением ВХ = е), Л(0,г) = 0, Дг(0,0) = 0, X = {и, /} - задачей о точках бифуркации с линейным фред-гольмовым (М.С. Агранович Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях. //Современные проблемы математики. Фундам. направления. М.: ВИНИТИ, 1990, №63, С. 5-129) оператором В = Втп: С2+а{П0 х (—оо,0]) + С2+а(П0) Со(П0 х (-оо,0]) + С0(П0) + Са(П0), 0 < а < 1, По - прямоугольник периодов в плоскости (х,у) (т.е. со сторонами dj и по осям Ох и Oy). Размерность подпространства нулей N{B) оператора В определяется

дисперсионным соотношением (ДС)

(к + —) тЧ = F02( 1 + 7sL), s2mn = mV + пЧ\ ¥гтп = F02, (8) \ smn J

возникающим при разложении компонент X в двумерные ряды Фурье по переменным х и у, выполняющимся для некоторых пар целых положительных чисел (mj,rij), j = 1, к, rij может быть равным нулю. Исследование дисперсионного соотношения определяет размерность вырождения линеаризованного оператора В. Соответственно, базисные элементы подпространства нулей имеют вид:

¡Pij ~ {—vij(Qsmmjaxcosnjby,V2jCosmjaxcosrijby}, 02j = {—Vij(C)smm,jaxsmnjby,V2jCosmjaxsmrijby}, фзj ~ {vij(Qcosmjaxcosnjby,V2jsmmjaxcosrijby}, (fij ~ {«íj(C) eos rrijax sin rijby,V2j sin rrijax sin nfiy},

Vab

... rrijay/ab s ¿ где vij(C) = —-e min'\v2j

и возможные порядки вырождения

dlmN(B) представляют собой суммы четверок (двумерная решетка периодичности) и двоек (одномерная решетка).

Далее стандартными методами проверяется самосопряженность по Лагран-жу однородной системы (4)-(6) ВХ = 0. Аналогичные построения, примененные к неоднородной системе (4)-(6), приводят к условиям ее разрешимости, на основе которых вычисляются коэффициенты уравнения разветвления (УР). Формулы для коэффициентов первого уравнения разветвления, отвечающего двумерной j-oVí решетке периодичности, имеют вид:

А) - _

а\к ~

w^^dxdydC, +

w.

а\к

П0х(-оо,0]

df2

u2j(x,y,0) + k-^-

dxdy +

+

walhjdxdy>

По

где - коэффициенты при £аек правых частей системы (4)-(6) в их разложении по £ = (£ь • • • >£л) и £ при применении метода неопределенных коэф-

фициептов Некрасова-Назарова. Конкретные значения коэффициентов уравнения разветвления достаточно громоздки, выписаны в тексте диссертации.

Во всех рассматриваемых далее случаях система разветвления строится методами группового анализа, при этом условие ее групповой симметрии позволяет на порядок уменьшить трудоемкую процедуру вычисления ее коэффициентов. Сначала строится общий вид УР как инвариантного многообразия действия группы, затем осуществляется его редукция. По теореме о наследовании групповой симметрии нелинейной задачи соответствующим уравнением разветвления /(£, е) = О многообразие = {£, £ | / — КО — 0} является инвариантным многообразием группы, допускаемой УР. Если Т является неособым инвариантным многообразием, т.е. если (X- базис соответствующей алгебры Ли инфинитезимальных операторов, то ранг г(Х», Р»)? матрицы их коэффициентов на многообразии Т совпадает с ее общим рангом г*, тогда, согласно Л.В. Овсянникову, многообразие Т можно выразить через базисную систему функционально независимых инвариантов (ФНИ) /);•••> 1п+т-г„(?, /), определяющую общий вид УР. Для аналитических УР при их разложении по однородным формам в общем случае (п > 4) не все инвариантные мономы в переменных £ могут быть выражены через степени базисных инвариантов, а использование дополнительных инвариантов приводит к повторению слагаемых в УР. Поэтому при использовании дополнительных инвариантов наименьших возможных степеней следует профак-торизовать построенное УР по связям между инвариантами. Система ФНИ определяется решением системы уравнений в частных производных первого порядка Ху1 + Р„1 = 0, V = 1,1. Симметрия УР относительно комплексного сопряжения и дискретной группы прямоугольника позволяет выразить все уравнения разветвления через их части: достаточно выписать первое уравнение, соответствующее каждой решетке периодичности.

Для п = сНт N(3) = 4 (одной двумерной решетки периодичности) методами группового анализа строится УР. Выписана соответствующая система разветвления, получена асимптотика семейств разветвляющихся решений.

§2 содержит исследование случаев высоких вырождений линеаризован-

ного оператора В рассматриваемой задачи. Приводятся доказательства возможности (невозможности) существования вырождения в каждом конкретном случае. Изложенная общая схема построения УР применена к случаям 6, 2+2, 4+2, 4+2+2, 4+4-мерных вырождений линеаризованного оператора. Методами группового анализа строится главная часть уравнений системы разветвления. Получены асимптотики разветвляющихся семейств решений в каждом конкретном случае.

В §3 приводятся результаты С.А.Карповой (Гришиной) для задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей (без флотации) жидкости конечной глубины.

Во второй главе рассмотрена задача о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей. В §1 дается постановка задачи. Предполагается, что нижняя жидкость занимает полупространство. Рассмотренная впервые Н.Е. Кочиным в 1928 г. в плоском случае пространственная задача о потенциальных течениях двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей с плотностями р\ и Р2 в пространственном слое со свободной границей раздела, ответвляющихся от основных течений с постоянными скоростями Ух и Уг в направлении оси Ох в безразмерных переменных в случае, когда нижняя, более тяжелая жидкость, занимает полупространство, описывается системой дифференциальных уравнений

Д$1 = 0, -оо <г</(х,у),

ДФ2 = 0, Лх,у)<г< 1, ЗФг

= 0, г = 1,

дг дх ~ Эх дх+ Эу ду' г~1[х>у)>

^. к™2+^ - ||уф2|2+(1 - ^т=

= 7Я

и

+ ■

д

Л

(9)

г = /(ж, у),

где Фз(х,у,г) = —VjX + ф^(х,у,г) - потенциалы скоростей жидкостей.

7(х> У) ~ граница раздела жидкостей, близкая к горизонтали z = 0, ко — —

Pi

- отношение плотностей жидкостей, F2 = — - квадрат величины, обратной а

числу Фруда, 7 = —--число Бонда.

Pihzg

Система (9) допускает двупараметрическую группу сдвигов Lpg{x,y) — д(х + /?i, у + /?2) и отражения

Sx:x-^-x} -<S>j(-x,y,z), f{x,y)-*f(-x,y),

Sv-y-^-y, $j(x,y,z)-* Фj(x,-y,z), fix,у) -> f(x,-y)

2тг 2тг ,

Разыскиваются периодические решения с периодами — = ai и — = bj

а о

— fix, у)

по осям координат. При замене переменных ( = -- ' , uAx,y,Q =

1 -f{x,y)

Ф(х,у,((1 - f[x,y)) + /(я,?/)), F2 = F£n + е, распрямляющей свободную границу раздела, возникает нелинейно возмущенная система двух уравнений Лапласа, принимающая при переходе параметра F2 через его критическое значение вид

AUj = -2(С - 1 )(fxUjxi + fyuu) - 2}ukí - (С - 1 ){fxx + fyy)uk~ -2(C - mhuu + fyUjJ - (С - 1 + í¡)uki - 3fuk-

-(C - 1)(2iß + f¡) + (/» + fyy)f)uk, j = 1,2

©Г*

Uk- h = + fxuh+ fyujy-{fl + + p)uiv C = 0, i = 1,2;

i ь

uu - кощх + (1 - ko)FU - = --|Vui|2 + ^|Vn2|2+

- k0u2()fx + (wlf - k0U2()ffx + («u«lc - k0U2xU2()fx+ + {ulyui< - /c0U2„U2<)/s, - 7FjLniñfxx + Vxfyfxy + fyfvy) + +e(-(l - fco)/ + liíxx + fyy - ßfxx - 2fxfvfXy ~ ßfyy)), с = 0;

(10)

где А' = {u1(u2l/}, В = Bmn: С2+а(П0 х (-оо,0]) 4- С2+а(П0 х [0,1]) + С2+а(П0) -» Са(По х (-оо,0]) + С*(П0 х [0,1]) + Са(П0), 0 < a < 1, П„ -прямоугольник периодов в плоскости (х,у).

Представляя функцию fix,у) ее рядом Фурье (атп cos max cos nby +

m,n

bmn cos max sin nby + c-mn sin max cos nby + dmn sin max sin nby) в однородном уравнении BX = 0 и решая первые шесть уравнений системы методом разделения переменных, находим

maeSmn("

и\{х, у, С) = J2-(°тп cos max cos nby + dmn cos max sin nby-

m,n Smn

—amn sin max cos nby — bmn sin max sin nby),

ma cosh (sm„(C - 1)) , ,

u2{x,y, C) = ~ L--(сщп cos max cos nby-{-

m,n $тп Sinn Smn

+dmn cos max sin nby — amn sin max cos nby — bmn sin max sin nby), 4n = mV + n262, Fln = F¡.

Тогда последнее уравнение (10) дает дисперсионное соотношение (ДС)

F¿„(1 - к0 + -ys2mn) = -—(1 + k0cothsmn) (11)

(т,п - положительные целые, п может быть равным нулю), справедливое для некоторых пар (mj,nj), j = 1,2,...,к таких, что базисные элементы подпространства нулей N(B) линеаризованного оператора В имеют вид

ф\] = {—fij(C) sin mjax cos щЬу, —щ{0 sin mjax cos njby, v%j cos mjax cos njby},

<P2j = {—fij(C) si11 nijax sin njby, —V2j(Q smmjaxsmnjby cos mjax smnjby}, Фзз = (vij(0 cos mjax cos njby,V2j(() cos mjax cos njby, vy sin mjax cos njby}, фу = {ujj(() cos mjax sin njby, v? j(() cos mjax sinnjby, v^j sin mjax sin njby},

... mjaVab SmnC mjaVabcosh(smn((-l)) y/ab где Vlj(C) = -f-e "i-if, vy(C) =----—-, vZj = —.

Jlúmjnj Ji SmjUj ьпш bmjnj /1

При переходе к комплексному базису уравнение разветвления (УР) t{r¡,¿) в вещественных переменных переходит в УР в комплексных переменных £1,2 = Vi ± "й, 6,4 -т]з±гщ

tj{Í,e) = {C-1Í)j{G^e),j = lA. (12)

Соответственно

ц> = Сф,С = -

(-Г

г г —г г \ 1 1-1-1 1111 г —г —г г /

/г 11 -Л

—г 1 1 г г -1 1 г -1 1 -г

ЧЪ = ^{«4(0.^(0. = ^ =

т,а\/оЬ с т^ач/аЬсозЬ „ (С - 1)) д=(х,у), = -еял\ ^(0 =---------- -------

^ТГ^П]

■/аЬ

Стандартными методами проверяется самосопряженность по Лагранжу однородной системы (9) ВХ = 0. Аналогичные построения, примененные к неоднородной системе (9), приводят к условиям ее разрешимости, на основе которых вычисляются коэффициенты уравнения разветвления (УР). Формулы для коэффициентов первого уравнения разветвления, отвечающего двумерной .7-ой решетке периодичности, имеют вид:

а

+

(ъ) =

а;к

П0х(-эо,0]

По х [0,1]

(х> У> _ к0Ш*!киЪ У' °)] ¿Х(1У + ™а1^хс1У>

где - коэффициенты при правых частей системы (9) в их разложении по £ = (£1,... ,£„) и £ при применении метода неопределенных коэффициентов Некрасова-Назарова.

Для случая п = dim N(B) = 4 построена система УР, выполнена ее редукция, найдены коэффициенты УР {А = —(1 — fco + 7s2mn) < 0, коэффициенты В я С громоздки, выписаны в тексте диссертации), вычислена асимптотика разветвляющихся решений:

Теорема 1. Задача (9) в окрестности точки бифуркации Fq = -4-кратного собственного значения, определяемого условием (11), имеет с точностью до преобразования у —> —у два двупараметрических семейства периодических решений

1

* ran)

2 f maVäb e > r , _ ,

<-eSmn(> cos [ma(x 4- Aj-b

I mn

+nb{y + ft)], _^cosh(g (C-D) cos[ma(a; + + nb{y + 02%

ftSmn Sinti вщп

^ sin[ma(x + PO + nb(y + ß2)} | + О (|F2 - РЦ) ,

(13)

1

А

____~(F2 - F2 )

В + С mnl

2 I 2ma\/o6 „ > . . . ..

,esmni, Cos[ma{x + ßi)\x

TTSrr

х со8[пЬ{у + 02)],--Л-—--— сое[та(х + А)] сов[пЬ(у -(- /?2)],

ЯЗтп ^тп втп

+ А)] со8[пЬ(у.+ /%)]} + О (|Р2 - Рп2гп|), - О = вг9п{В + С), ( =

(14)

В §2 рассматриваются случаи высоких вырождений линеаризованного оператора В. Доказывается возможность или невозможность существования вырождения в каждом конкретном случае (п = 2 + 2, п = 4 + 2, п = 4 + 2 + 2, п = 4 + 4). Изложенными выше методами строится общий вид системы разветвления, проводится ее редукция, находятся коэффициенты, вычисляется асимптотика разветвляющихся решений. Приведем две теоремы (для

в = 4 + 2ип = 4 + 2 + 2):

Теорема 2. Задача (9) в случае двух взаимодействрои^их решеток периодичности в окрестности точки бифуркации Рд = ^ п = Р^о шестимерного вырождения линеаризованного оператора имеет одно двупарамет-рическое семейство периодических решений

1

АС

ТТв'

77ЦП1

х соз[П1Ь{у + 02)], ™1«^со5Цат1П1(С *>> Вт[т1а(Ж + А)] соз^Жу + А)],

т^П! ЭШП йтщп!

^ соз[т1а(* + А)] созМ(г/ + &)] I - - *о) {-—е"**х

7Г I П 1 7Г

х 8т[т2а(а; + /ЗЛ], ^^^ соэЬ (т2 д (С—])) 8цт + ^ жвтат^а

^созК^ + А)]} +0(1^ - О, С =

Теорема 3. Задача (9) в окрестности точки бифуркации — ^тцгц — о = о с восьмикратным подпространством нулей имеет с точностью до преобразования у —у одно двупараметрическое и два однопара-

метрических семейства решений

{Ф(1),/(1)Ь

2 А ВО

1

ЕА2в\\2 тт. г,2\ ¡гта^аЬ

■е^х

х сск[

цл^ \ м и- Уj | ТТв!

г , а м • г и 1 я м ?-"1аУоЬсозЬ(51(С - 1)) „

в пца г + А) 8Ш пхЬ(у + (32) ,--г-г-х

7Г5х БШП

с соз[гп1а(а; 4- А)] 51п[гг1б(г/ + /%)], вЦш^я 4- А)] 8\а[щЬ(у 4- /32)] > +

7Г ]

- *о) зтИф + А)],

^оовЬу С - 1)) + , ^ сов[тМх + }]'

7Г 8тп(т2а) тг

{ф(3))/(3)} =

СР

2Ев

2 - Г02) { зт[т2а(х 4- &)]+'

+ соз[тп2а(а; 4-А)]), ■

Т*

\/а& соз11(т2а(С — 1))

7Г 8тЬ(т2а)

■ 8т[т2а(я + А)]+

\/аЬ

+ соз[т2а(х + А)]),-(соз[т2а(х + Д)] 4- 8т[т2а{х 4- А)]) > —

7Г

" ^о) соз[т3а(х + А)],

\/а6созЬ(тяа(С — 1)) г / „ м "УаЬ . , , „ ,, I --^^ соз[т3а(, + &)], — **[«*.(* 4- А)] | +

~ |)| ( = * ~ У)-

Va6cosh(m3a(Ç — 1)) 7rsinh(m3o)

{Ф(4),/(4)}= ~ 2 (F2 ~ F02)

+o(\F2-Fi\lC = z-f^(x,y).

В §3 приведены результаты E.B. Трофимова в задаче о поверхностных волнах на границе двух жидкостей конечной глубины.

В третьей главе результаты О.В. Макеева (2007) к определению под-групповой структуры разветвляющихся решений применены к задачам, рассмотренным в первых двух главах. В §1 исследована структура подгрупп группы прямоугольника. Выписана асимптотика разветвляющихся решений, инвариантных относительно нормальных делителей группы прямоугольника. §2 содержит исследование структуры подгрупп группы квадрата. Выписана асимптотика Н^-инвариаитных разветвляющихся решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой флотирующей (без флотации) жидкости и задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство.

В четвертой главе исследуется орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений (т.е. устойчивость семейств решений, возникающих под действием группы Ли) задач о капиллярно-гравитационных волнах, рассмотренных соискателем и предшественниками.

Орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений (1)-(3)

определяется4 устойчивостью стационарных решений уравнения ^ = i(£,e),

dt

4B.V. Loginov, Yu.B. Rousak Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear analysis. TMA. - 1991. Vol.17, no.3. - Pp.219-231

где е) — левая часть системы разветвления, £ — Р2 — FДn. Устойчивость же послед

J = h =

же последних определяется знаками собственных значений матрицы Якоби

Г С\ X "I

■т—- на решениях £(е) УР, I из которых равны нулю (I - число су-J

щественных параметров группы Ли). Устойчивость здесь понимается по отношению к возмущениям с той же симметрией. Неустойчивость по отношению к таким возмущениям означает неустойчивость вообще, то есть относительно всех возмущений. Критерии устойчивости выражены в виде неравенств на коэффициенты УР, которые зависят от нескольких параметров, их реализация при полном изложении установленных результатов выражается в виде таблиц.

В §1 получены критерии устойчивости решений для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости. §2 содержит критерии устойчивости семейств разветвляющихся решений для задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей, одна из которых занимает полупространство. В §3 исследована устойчивость решений задач, рассмотренных предшественниками, в частности, задач о волнах на поверхности цилиндра и поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины.

Установленные критерии устойчивости во всех задачах зависят от многих параметров, характерных для каждой из задач. Поэтому области устойчивости (неустойчивости) представлены для каждой задачи в виде таблицы.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, ее научная новизна и практическая значимость.

Основные результаты диссертации

1. Методами теоретико-группового моделирования исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости в случаях высоких вырождений линеаризованного в точке ветвления оператора - выписаны соответствующие уравнения разветвления (УР), вычислена асимптотика разветвляющихся решений,

определена их подгрупповая структура. Вычисление коэффициентов УР выполнено с использованием системы Mathematica 6.

2. Теми же методами исследована задача о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Построена асимптотика разветвляющихся решений, определена их подгрупповая структура. Коэффициенты УР определены при помощи системы Mathematica 6.

3. Исследована подгрупповая структура семейств разветвляющихся решений в задачах о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей жидкости (без флотации) и о волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство.

4. Методами A.M. Ляпунова в задачах о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей жидкости (без флотации) и о волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство исследована орбитальная устойчивость семейств разветвляющихся решений.

5. В рассмотренных ранее задачах о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости конечной глубины методами A.M. Ляпунова исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений.

Публикации в изданиях из списка ВАК

1. Андронов, А.Н. Об устойчивости разветвляющихся решений задачи о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство / А.Н. Андронов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.- 2009. - №3(11). - С. 11-20.

Публикации в других изданиях

1. Андронов, А.Н. Капиллярно-гравитационные волны на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов // Материалы XII научной конференции

молодых ученых, аспирантов и студентов. - СВМО, Саранск, 2007. - С. 5-6.

2. Андронов, А.Н. Асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов // Труды Сред-неволжского математического общества. - Саранск, 2007. - 9(2). - С. 9-14.

3. Андронов, А.Н. О порядках вырождения линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. - Казань, 2007. - Т. 36. - С. 16-18.

4. Андропов, А.Н. О решениях, инвариантных относительно нормальных делителей группы прямоугольника в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов // Материалы XIII научной конференции молодых ученых, аспирантов и студентов. - СВМО, Саранск, 2008. - С. 7-11.

5. Андронов, А.Н. Об устойчивости решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости при высоких вырождениях линеаризованного оператора / А.Н. Андронов // Материалы научной конференции XXXVII Огаревские чтения. - СВМО, Саранск, 2008. - С. 4-6.

6. Андронов, А.Н. Капиллярно-гравитационные волны на поверхности глубокой жидкости / А.Н. Андронов, Б.В. Логинов // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения: тез. докл. 3-й Всерос. конф. - Новосибирск, 2008. - С. 11.

7. Andronov, A.N. Bifurcation and stability in the problem on capillary-gravity on a surface of floating deep fluid layer / A.N. Andronov, L.R. Kim-Tyan, B.V. Loginov // ROMAI J. - 2008. - v. 4(2)- Pp. 7-28.

8. Андронов, А.Н. Об устойчивости разветвляющихся семейств решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в глубоком пространственном слое флотирующей жидкости / А.Н. Андронов // Вестник Самарского государственного университета. - Самара, 2009. - №2(68) - С. 10-26.

9. Andronov, A.N. On the stability of bifurcating solutions in some problems about capillary-gravity waves / A.N. Andronov // Proceedings of 24th International

Workshop on Water Waves and Floating Bodies. Zelenogorsk, Russia April, 19-22. Editors: Pavel Plotnikov and Alexander Korobkin - St. Petersburg, 2009. - Pp. 11-14.

10. Andronov A.N. Orbital stability of solutions to the problem on capillary-gravity waves in two-fluid layer / A.N. Andronov, B.V. Loginov // Вторая международная научная конференция "Математическое моделирование и дифференциальные уравнения 24-28 августа 2009 г. Минск Тезисы. Часть I - Минск, 2009. - С. 98-99.

Подписано в печать 13.11.2009. Объем 1,5 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1573. Типография Издательства Мордовского университета 430005, г. Саранск, ул. Советская, 24

Введение

Глава 1. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости

1.1. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости, занимающей полупространство

1.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

1.3. Задача о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости конечной глубины.

Глава 2. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей.

2.1. Задача о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, когда нижняя жидкость занимает полупространство

2.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

2.3. Капиллярно-гравитационные волны на границе раздела двух жидкостей конечной глубины

Глава 3. Решения, инвариантные относительно подгрупп допускаемой группы симметрии.

3.1. Группа симметрии прямоугольника.

3.2. Группа симметрии квадрата

Глава 4. Редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений задач о капиллярно-гравитационных волнах

4.1. Критерии устойчивости решений задачи о поверхностных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости

4.2. Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей

4.3. Устойчивость решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра

4.3.1. Задача на поверхности слоя жидкости на бесконечном цилиндре

4.3.2. Задача о волнах на границе раздела двух жидкостей на бесконечном цилиндре

Теория ветвления решений нелинейных уравнений, становление и развитие которой началось в конце XIX - начале XX столетия в трудах A.M. Ляпунова [1], А. Пуанкаре [2] и Э. Шмидта [3], находит новые многочисленные, иногда удивительные своей неожиданностью приложения в задачах естественнонаучных дисциплин: гидродинамики, теории упругости, математической биологии (в частности, теории нейронных сетей [4]), теории колебаний динамических систем. Наиболее полный обзор прикладных задач, исследованных методами теории ветвления и бифуркаций, содержится в трудах конференции "Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines"[5]. Основатели теории A.M. Ляпунов и А. Пуанкаре занимались известной задачей теории фигур равновесия вращающейся жидкости (теория фигур небесных тел). Работы Э. Шмидта содержали исследования по теории линейных и нелинейных интегральных уравнений. Уже в первых их результатах было показано, что задачи ветвления решений нелинейных уравнений сводятся к исследованию эквивалентных уравнений разветвления (УР) — конечномерных систем неявных функций. Различные варианты сведения нелинейной задачи к УР стали называть (асимптотическим) методом Ляпунова-Шмидта. Последующее развитие теории ветвления содержится в работах А.И. Некрасова [6, 7] об установившихся волнах на поверхности тяжелой жидкости, Н.Е. Кочина [8, 9] о волнах на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины (в которых рассматривались плоские задачи), Л. Лихтенштейна [10] и H.H. Назарова [11, 12] в теории нелинейных интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. Метод неопределенных коэффициентов непосредственного построения решений нелинейных уравнений в виде рядов по дробным степеням малого параметра стали называть впоследствии методом Некрасова-Назарова. Дж. Кронин [13, 14] применила теорию степени отображения к вопросу о существовании разветвляющихся решений. В абстрактной постановке, т.е. для нелинейных функциональных уравнений в банаховых пространствах топологические и вариационные методы теории ветвления были предложены в работах М.М. Вайнберга [15], М.А. Красносельского [16], Дж. Кро-нин [17]. Эти результаты не были конструктивными. По плану чл.-корр. АН СССР JI.A. Люстерника предпочтение должно быть уделено аналитическим методам, развивавшимся в работах В.А. Треногина [18, 19]. Отметим здесь обзорную работу М.М. Вайнберга, В.А. Треногина [20] и их монографию [21], где четко разделены части, написанные каждым автором. Вслед за ней выходит монография коллектива авторов во главе с М.А. Красносельским [22] с акцентом на приближенные методы в нелинейном анализе. Укажем более поздние монографии: Ю.А. Кузнецов [23], H. Kielhôfer [24], R. Temam [25], Z. Mei [26], S. Wiggins [27], T. Ma, S. Wang [28]. Особо отметим фундаментальный пятитомный труд Е. Zeidler "Нелинейный функциональный анализ и его приложения" [29].

УР в одномерном ветвлении может быть полностью исследовано методом диаграммы Ньютона [21], позволяющим представить решения УР и первоначальной нелинейной задачи в виде ряда по определенным целым или дробным степеням малого параметра. В многомерном ветвлении можно применять разложение УР по однородным формам. Впервые метод диаграммы Ньютона был применен к одномерному случаю и в системах неявных функций в двух работах W.D. McMillan [30]. Эти работы остались незамеченными и впоследствии первенство в применении метода диаграммы Ньютона было отдано L.M. Graves [31] и А.Э. Стапану [32]. В многомерном ветвлении полное исследование УР может быть выполнено методом многогранника Ньютона, развитого в работах Брюно [33] и диссертации А. Солеева [34].

К задачам многомерного ветвления применялся также предложенный впервые А. Пуанкаре [2], а затем в краткой заметке в "УМН В.А. Треногиным и М.М. Вайнбергом кронекеровскнй метод исключения [К теории ветвления нелинейных уравнений. УМН, 1963, т. 18, №5, с.223-224]. Однако при его применении возникают существенные трудности практического характера. Вообще в многомерном ветвлении наиболее эффективным оказалось сочетание аналитических, топологических (степень отображения, теория вращения векторных полей) и теоретико-групповых методов, позволяющих исследовать вопросы существования и построения асимптотики семейств решений, зависящих от свободных параметров, а также методов регуляризации построения решений [35, 36]. Отметим также популярную в задачах теории ветвления методику применения теории особенностей гладких отображений, развиваемую в работах В.И. Арнольда [37], М. Голубицкого и Дж. Шеффера [38, 39], берущую начало от исследований Р. Тома [40].

Перейдем к освещению роли теории ветвления и бифуркаций в прикладных задачах математического моделирования и места симметрийной теории бифуркаций в теоретико-групповом моделировании.

К настоящему времени трудно дать обзор различных приложений стационарной и динамической теории бифуркаций (ветвления). Отметим здесь первые конференции по прикладным задачам: труды конференции (семинара) по теории ветвления и нелинейным задачам на собственные значения, организованного Дж.Б. Келлером и Э.Л. Рейссом (Теория ветвления и нелинейные задачи на собственные значения. J.B. Keller, S.T. Antman - Eds. Bifurcation theory and nonlinear eigenvalue problems. 1969. Русский перевод: Мир, Москва, 1974), содержат приложения теории бифуркации к различным задачам теории упругости и пластичности, гидродинамики, математической и теоретической физики. В 700-страничных трудах конференции [5] имеются самые различные приложения теории ветвления, даже в метеорологии и медицине механизм возникновения шизофрении). Отметим также более поздние конференции: Contemporary Mathematics v. 56: Multiparameter Bifurcation theory. Proceedings of a Summer Research Conference held July 14-20, 1985, Martin Golubitsky and John M. Guckenheimer, Editors, AMS; Oscillation, Bifurcation and Chaos, Proceedings of the 1986 Annual Seminar held July 13-25, 1986, Canadian Math. Soc. v.8, F.V. Atkinson, W.F. Langford and A.B. Mingarelli (Editors) и серию конференций ECMI по прикладной математике.

Прикладные задачи, связанные с действием законов сохранения, обладают групповой симметрией (инвариантностью, эквивариантностью) [41]. В случае действия интранзитивной группы преобразований задача построения многопараметрических семейств малых решений нелинейных уравнений значительно упрощается. Первые результаты применения групповой симметрии в задачах теории ветвления были получены В.И. Юдовичем [42] с многочисленными приложениями руководимого им коллектива Ростовского-на-Дону университета к различным задачам гидродинамики [43],[44], [45], в частности, к задачам о свободной конвекции в жидкости.

Теория ветвления в условиях групповой симметрии была развита после первых работ В.И. Юдовича в работах Б.В. Логинова и В.А. Треногипа [46],[47]. Далее в общих ситуациях стационарного и динамического ветвления были доказаны [48],[49],[50] теоремы о наследовании уравнением разветвления групповой симметрии нелинейного уравнения - одно из многочисленных применений пропагандируемого в школе проф. В.А. Треногина "принципа конечномерности", - послужившие основой построения общего вида УР по допускаемой группе симметрии. На этой основе была исследована задача о кристаллизации жидкого фазового состояния с простой кубической решеткой в статистической теории кристалла [51],[52],[48] и случай четырехмерного вырождения в задаче о капиллярно-гравитационных волнах (КГВ) в слое жидкости над ровным дном [53],[54], а также определены возможности редукции УР в вариационном случае с помощью полной системы функционально независимых инвариантов.

Однако наиболее полное и эффективное решение задачи о построении УР по допускаемой им группе стало возможным только на основе применения методов Л.В. Овсянникова [55],[56] группового анализа дифференциальных уравнений. Они открыли существенно новый подход в теории ветвления и, в частности, в задачах с нарушением симметрии стационарного [57] и динамического [58],[59], [60] ветвления. Как и положено в математическом моделировании, допускаемая уравнением разветвления группа обуславливает вполне определенный его вид. В различных конкретных задачах он один и тот же, меняются только числовые значения коэффициентов. Работа [57] была первым применением методов группового анализа в симметрийной теории бифуркаций, конкретно к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. В диссертации О.В. Макеева [61] и в предшествовавших работах [62-64] методы группового анализа для построения и исследования уравнения разветвления на основе теоремы о наследовании были применены к задаче о кристаллизации с симметриями старших кристаллических классов кристаллографических групп с определением подгрупповой структуры разветвляющихся решений согласно "Программе подмодели" академика Л.В. Овсянникова. Результаты о симметрии подгрупп были установлены также в работах [65, 66] для бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа (динамического ветвления) для разветвляющихся решений с симметриями плоских и пространственных кристаллографических групп с простой кубической решеткой.

Примерно до 80-х годов развитие теории ветвления, в частности, в условиях групповой симметрии (эквивариантной теории ветвления) на Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В 80-х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голубицкого, Д. Шеффера и И. Стюарта [67] (не содержащие никаких ссылок на советские работы и даже на работы В.И. Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе [68]. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. С этих же позиций написана книга

69]. Восходящие к Каччопполи вариационные методы в теории бифуркаций в удачном сочетании с теорией особенностей дифференцируемых отображений разрабатываются в Воронежской школе Ю.Г. Борисовича, Ю.И. Сапронова

70] нелинейного функционального анализа.

К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А.И. Некрасова, Т. Леви-Чивита [71] и Д. Стройка [72]. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [71] и [72] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н.Е. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика H.H. Моисеева и A.M. Тер-Крикорова содержится в [73]. В работах Я.И. Секерж-Зеньковича задача о капиллярно-гравитационных волнах

74] исследована методами теории конформных отображений. Существенно более трудная задача о пространственных гравитационных волнах, основанная на ветвлении от собственного значения внутри непрерывного спектра, решена П.И. Плотниковым [75]. Коллективная монография под редакцией Л.В. Овсянникова [76] содержит обзор работ по волновым движениям жидкости, выполненным в Институте Гидродинамики СО РАН. Сотрудничество Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН и Университета ВАТ (Великобритания) интенсифицируется с начала нашего века. Здесь следует отметить ряд совместных работ, выполненных П.И. Плотниковым и Дж.Ф. Толандом.

Ряд задач теории капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости рассмотрен в работах Б.В. Логинова и его аспирантов. Это работы [53],[54],[77],[78] о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, [79],[80],[81],[82],[83] о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости, [84],[85] о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, [86],[87] о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, [88],[89] о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости (последовавшая за работой Твомбли [90]), в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля.

Отметим ряд работ об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости, выполненных коллективом кафедры математики физического факультета МГУ [91],[92]. В 2007 г. этой группой была опубликована монография [93] по многим прикладным задачам динамической теории ветвления с вырожденным оператором при производной, содержащая, в частности, задачи о поверхностных волнах.

Большой цикл работ о поверхностных волнах в пленках жидкости (например, [94]) опубликован сотрудниками института теплофизики СО РАН.

В.В. Пухначевым [95] было дано доказательство существования капиллярно-гравитационных волн в плоской задаче о пленке жидкости, стекающей по вертикальной стенке.

Монография Н. Okamoto и М. Shöji [96] по теории гравитационных и капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости содержит обзор достижений японских математиков. Сюда же следует отнести работы Т. Iguchi [97], N. Tanaka и A. Tani [98]. Однако в этих работах не применялись теоретико-групповые методы теории ветвления. Обзор работ W. Craig и M.D. Groves по пространственным капиллярно-гравитационным волнам и, в частности, уединенным волнам, приведен в выпуске журнала GAMM Mitteilungen 30(1) 2007, посвященном нелинейным волнам, и здесь также не используются теоретико-групповые методы теории ветвления. В динамических задачах, описывающих течения жидкости, имеются работы румынских математиков, в которых начинают применяться теоретико-групповые методы, например [99]. Основной результат здесь — бифуркационная теорема Андронова-Хопфа с Zfc-симметрией в задаче со свободной границей для течений вязкой несжимаемой жидкости в открытом трехмерном прямоугольном канале с учетом поверхностного натяжения.

Отметим ряд интересных задач со свободной границей, возникающих в теории плазмы и модели роста опухоли, в которых используются вариационные методы. Такие задачи рассмотрены в монографии Фридмана [100].

Приведем небольшой список работ в этом направлении [101-104]. Отметим, что основополагающей работой здесь следует считать опубликованную в 1970 г. статью И.И. Данилюка [105].

Переходя к описанию содержания выполненной работы, отметим еще раз ее характерную черту — принадлежность теоретико-групповому моделированию. Используемые здесь методы — групповой анализ дифференциальных уравнений С. Ли - Л.В. Освянникова — основанные на построении общего вида УР по допускаемой группе симметрии, теории инвариантов и инвариантных многообразий. Вид уравнения разветвления, характер ветвления и редуцированная устойчивость семейств решений не зависят от физического содержания модели, могут изменяться только коэффициенты системы разветвления. Естественно, что устойчивость семейства решений понимается относительно возмущений, обладающих той же симметрией. Если же решение неустойчиво относительно таких возмущений, то оно неустойчиво вообще.

В §1 первой главы изложены результаты, полученные соискателем для задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости, занимающей полупространство в случае размерности линеаризованного оператора п = Агт N(13) = 4. Выписана асимптотика разветвляющися решений. В §2 исследуются высокие вырождения линеаризованного оператора. В §3 приводятся результаты С.А. Карповой (Гришиной) в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей (без флотации) жидкости конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в §4.3.

В §1 второй главы соискателем решается задача о поверхностных волнах на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Выписана асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения линеаризованного оператора. §2 содержит исследование высоких вырождений. В §3 приводятся результаты Е.В. Трофимова в задаче о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины. Устойчивость соответствующих решений исследована в §4.4.

Третья глава посвящена построению решений, инвариантных относительно подгрупп, последовательно для рассмотренных задач предыдущих пунктов. Это соответствует содержанию "Программы подмодели" Л.В. Овсянникова.

Заключение

1. Методами теоретико-группового моделирования в задаче о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое глубокой флотирующей (без флотации) жидкости в случаях высоких вырождений линеаризованного оператора вычислена асимптотика семейств разветвляющихся решений, определена их подгрупповая структура.

2. Теми же методами исследована задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей, нижняя из которых занимает полупространство. Построена асимптотика семейств разветвляющихся решений в случае высоких вырождений линеаризованного оператора и определена подгрупповая структура разветвляющихся решений.

3. Методами A.M. Ляпунова исследована редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений в указанных двух задачах.

4. В исследованных ранее задачах о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости конечной глубины методами A.M. Ляпунова исследована устойчивость семейств разветвляющихся решений.

1. А. М. Ляпунов. Собрание сочинений, Т.4. — Москва: Изд-во АН СССР, 1959.

2. А. Пуанкаре. Избранные труды, Т.1 // Новые методы небесной механики. Москва: Изд-во АН СССР, 1971. - 771 с.

3. Е. Schmidt Theorie linearen und nichtlinearen Integralgleichungen. Teil 3. Uber die Auflösungen der nichtlinearen Integralgleichungen und die Verzweigung ihrer Losungen // Math. Ann. — 1908. — Vol. 65. Pp. 370-399.

4. Franc C. Hoppensteadt, Eugene M. Izhikevich. Weakly connected neural networks. — New York: Springer-Verlag, 1997.

5. Bifurcation theory and its applications in scientific disciplines (O.Gurel Editor) // Annais of the New York Academy of Sciences. — 1979. — Vol. 316. — 685 pp.

6. А.И. Некрасов. О волнах установившегося вида // Изв. Ивановского политехнического института. — 1922. — Т. 6. — С. 155-171.

7. А.И. Некрасов. Точная теория волн установившегося вида на поверхности тяжелой жидкости. — Москва: Изд-во АН СССР, 1951. — 96 с.

8. Н.Е. Кочин. Определение точного вида волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины // Тр. Всерос. Съезда математиков, Москва, 1928. — С. 266-269.

9. N.E. Köchin. Détermination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie ä la surface de séparation de deux liquides de profondeur finie // Math. Ann. 1928. - Vol. 98. - Pp. 582-615.

10. L. Lichtenstein. Vorlesungen liber einige Klassen nichtlinearer Integralgleichungen und Integrodifferentialgleichungen nebst Anwendungen. — Berlin, 1931.

11. H.H. Назаров. Нелинейные интегральные уравнения типа Гаммерштей-на // Труды Средне-Азиатского университета, серия V-a, мат, 1941, вып. 33. С. 1-79.

12. Н.Н. Назаров. Точки ветвления решений нелинейных интегральных уравнений // Труды Института Матем. АН УзССР, 1948, вып. 4. — С. 59-65.

13. J. Cronin. Analytic functional mappings // Ann. Math. — 1973. — Vol. 58, no. 1. Pp. 175-181.

14. J. Cronin. Branch points of solutions of equations in Banach space // Trans. Amer. Math. Soc. 1950. - Vol. 69. - Pp. 208-231.

15. M.M. Вайпберг. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. Москва: ГИТТЛ, 1956. - 344 с.

16. Н.А. Красносельский. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. — Москва: Гостехиздат, 1956. —- 392 с.

17. J. Cronin. Fixed points and topological degree in nonlinear analysis // Math. Surveys. — Vol. 11. —Amer. Math. Soc., Providence: R.I., 1964.

18. B.A. Треногин. Разветвление решений нелинейных уравнений в банаховом пространстве // УМН. 1958. - Т. 13, № 4(82). - С. 197-203.

19. В.А. Треногин. Уравнение разветвления и диаграмма Ньютона // ДАН. — 1960. — Т. 131, №5.

20. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Методы Ляпунова и Шмидта в теории нелинейных уравнений и их дальнейшее развитие // УМН.— 1962.— Т. 17, № 2(104).-С. 13-75.

21. М.М. Вайнберг, В.А. Треногин. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — Москва: Наука, 1969. — 527 с.

22. М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко и др. Приближенное решение операторных уравнений. — Москва: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1969. — 456 с.

23. Yu.A. Kuznetsov. Elements of Applied Bifurcation theory. — New York: Springer-Verlag, 1995.

24. H. Kielhöfer. Bifurcation theory: an introduction with applications to PDEs. — New York: Springer-Verlag, 2004.

25. Roger Temam. Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. — New York: Springer-Verlag, 1997.

26. Zhen Mei Numerical Bifurcation Analysis for Reaction-Diffusion Equations. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

27. Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. — New York: Springer-Verlag, 2003.

28. Shouhong Wang Tian Ma. Bifurcation theory and applications. — New York: World Scientific series on Nonlinear Science, Series A, vol. 53, 2005.

29. E. Zeidler. Nonlinear functional analysis and its applications. — New York: Springer-Verlag, 1985-1990. Vol. I-V.

30. W.D. McMillan. A method for determination the solutions of a system of analytical functions in the neighborhood of a branch point // Math. Ann. — 1912. Vol. 72. - Pp. 180-202.

31. L.M. Graves. Remarks on singular points of functional operators // Trans. Amer. Math. Soc. 1955. - Vol. 79, no. 1. - Pp. 150-157.

32. А.Э. Стапан. Разветвление решений линейных интегральных уравнений // Ученые записки Рижского пед. института. — 1957. — Т. 4. — С. 31-43.

33. А.Д. Брюно. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. — Москва: Наука, 1979.

34. А. Солеев. Разрешение особенностей алгебраических и дифференциальных уравнений и многогранники Ньютона // Автореф. дис. . доктора физ.-мат. наук. — Москва: 1995.

35. Н.А. Сидоров. Общие'вопросы регуляризации в задачах теорий ветвления. — Иркутск: Иркутский университет, 1982. — 320 с.

36. N. Sidorov, В. Loginov, A. Sinitsyn, М. Falaleeu. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications. — Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2002.

37. В.И. Арнольд, A.H. Варченко, C.M. Гусейн-Заде. Особенности дифференцируемых отображений. — Москва: МЦНМО, 2004. — 672 с.

38. М. Golubitsky, David G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. — New York: Springer-Verlag, 1985. — Vol. l.

39. M. Golubitsky, I. Stewart, David G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. — New York: Springer-Verlag, 1986. — Vol. 2.

40. R. Thom. Les singularités des applications différentiables // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). Vol. 6. - 1955/56. - Pp. 43-87.

41. H.X. Ибрагимов. Группы Ли в некоторых вопросах математической физики. — Новосибирск: НГУ, 1972.

42. В.И. Юдович. Свободная конвекция и ветвление // ПММ.— 1967.— Т. 31, № 1,- С. 101-111.

43. В.И. Юдович. О возникновении конвекции в слое жидкости со свободной границей // Изв. АН СССР МЖГ. 1968. - № 4. - С. 23-28.

44. С.Р. Овчинникова, В. И. Юдович. Расчет вторичного стационарного течения между вращающимися цилиндрами // ПММ.— 1968.— Т. 32, № 5. С. 858-868.

45. Г. К. Тер-Григоръянц. Об устойчивости стационарных двоякопериодиче-ских конвекционных потоков в слое // Изв. Северо-Кавказского научного центра высшей школы. Естественные науки. — 1973. — № 4,-С. 79-83.

46. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. О применении непрерывных групп в теории ветвления // Доклады АН СССР. 1971. - Т. 197, № 1. - С. 36-39.

47. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. Об использовании групповых свойств для определения многопараметрических семейств решений нелинейных уравнений // Матем. сборник. — 1971.- Т. 85, № 3. С. 440-454.

48. В.В. Логинов. Теория ветвления решений нелинейных уравнений в условиях групповой инвариантности. — Ташкент: Фан, 1985. — 184 с.

49. Б. В. Логинов, В. А. Треногин. Идеи групповой инвариантности в теорииветвления // V Казахстанская межвуз. конференция по математике и механике. Тез. докладов. Ч. 1. Алма-Ата. — 1974.— С. 206-208.

50. Б.В. Логинов, В.А. Треногин. Об использовании групповой инвариантности в теории ветвления // Диф. уравнения. — 1975.— Т. 11, № 8.— С. 1518-1521.

51. Б.В. Логинов. Применение теории ветвления с групповой инвариантностью при построении периодических решений задачи о фазовых переходах в статистической теории кристалла // УМН. — 1981. — Т. 36, № 4. — С. 209-210.

52. Б.В. Логинов. Периодические решения трехмерной задачи о волнах над ровным дном // Динамика сплошной среды. — 1979. — Т. 42. — С. 3-22.

53. Б. В. Логинов. Построение периодических решений трехмерной задачи о волнах над ровным дном // Доклады АН СССР. — 1979. — Т. 247, № 2. — С. 324-328.

54. Л.В. Освянников. Групповой анализ дифференциальных уравнений.— Москва: Наука, 1978. — 400 с.

55. Л. В. Освянников. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Изд-во НГУ, 1966. — 131 с.

56. В.В. Логинов, X.P. Рахматова, H.H. Юлдашев. О построении уравнения разветвления по его группе симметрии (кристаллографические группы) // Уравнения смешанного типа и задачи со свободной границей. — Ташкент: 1987. С. 183-195.

57. В. V. Loginov. Determinatipn of the branching equation by its group symmetry Andronov-Hopf bifurcation // Nonl. Anal, TMA. — 1997. — Vol. 28, no. 12.- Pp. 2033-2047.

58. В. V. Loginov. General approach to the cycle birth bifurcation under group invariance conditions // Izv. Akad. Nauk UzSSR. Ser. Fiz.-Mat. Nauk. — 1990.- no. 6.- Pp. 16-18.

59. В. V. Loginov. Group analysis methods for construction and investigation of the bifurcation equation // Applications of Math. — 1992. — Vol. 37, no. 4. — Pp. 241-248.

60. O.B. Макеев. Подгрупповая структура разветвляющихся стационарных и периодических решений дифференциальных уравнений в банаховых пространствах // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ульяновск: 2007.

61. Б. В. Логинов, О. В. Макеев. Уравнения разветвления с симметрией кристаллографических груп // ДАН. 2007. - Т. 412, № 3. - С. 62-68.

62. О. В. Макеев. Уравнения разветвления с симметрией симморфных кристаллографических груп // Труды СВМО.— 2006.— Т. 8, № 2.— С. 138-151.

63. O.B. Макеев. Бифуркация Андроиова-Хопфа с симметрией квадратной и гексагональной решеток // Труды СВМО.-- 2005.— Т. 7, № 1.— С. 215-223.

64. О.В. Макеев. Комплекс программ построения и исследования общего уравнения разветвления по допускаемой группе симметрии // Труды СВМО. 2005. - Т. 9, № 1. - С. 194-200.

65. A.M. Stuart. Singular free boundary value problems and local bifurcation theory // SI AM J. Appl Math. 1989. - Vol. 49, no. 1. - Pp. 72-85.

66. A. Vanderbauwhede. Local bifurcation and symmetry // Res. Notes Math. — Vol. 75. Boston: Pitman, 1982.

67. P. Chossat, G. Iooss. The Couette-Taylor problem. — Berlin: Springer, 1994.

68. B.M. Даринский, Ю.И. Сапронов, С.И. Царев. Бифуркация экстремалей фредгольмовых функционалов // Функциональный анализ, СМФН. — 2004. Т. 12. - С. 3-140. .

69. Т. Levi-Civüa. Determination rigoureuse des ondes permanentes d'ampleur finie // Math. Ann. 1925. - Vol. 93. - Pp. 264-324.

70. D. Struik. Determination rigoureuse des ondes irrotationelles périodiques // Math. Ann. 1926. - Vol. 95. - Pp. 595-634.

71. H.H. Моисеев. Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн // Механика СССР за 50 лет. — Т. 2. — Москва: Наука, 1970. — 880 с.

72. Я.И. Секерж-Зенъкович. Об установившихся капиллярно-гравитационных волнах конечной амплитуды на поверхности жидкости конечнойглубины // Механика сплошной среды и родственные проблемы анализа. — Москва: Наука, 1972. — С. 445-458.

73. П. И. Плотников. Разрешимость задачи о пространственных гравитационных волнах на поверхности идеальной жидкости // Доклады АН СССР. 1980. - Т. 251, № 3. - С. 591-594.

74. Л.В. Освянников, Н.И. Макаренко, В.И. Налимов, др. Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. — Новосибирск: Наука, 1985.- 318 с.

75. В. V. Loginov, А. О. Kuznetsov. Capillary-gravity waves over a flat surface // Eur. J. Mech., В/Fluids. — 1996.-Vol. 15, no. 2.- Pp. 259-280.

76. B.V. Loginov, S.A. Karpova, V.A. Trenogin. Bifurcation, symmetry and parameter continuation in some problems about capillary-gravity waves // Progress in Industrial Mathematicsa at ECMI-96 / Ed. by B. Teubner. — Stuttgart: 1997. Pp. 432-439.

77. B.B. Логинов, С.А. Карпова. Вычисление периодических решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в пространственном слое флотирующей жидкости // Вестник Самарского университета. — 1997. — Т. 6, № 4. С. 69-80.

78. Б.В. Логинов, С.А. Карпова. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости // Тез. докл. конф. "Симметрия в естествознании". 23-29.08.1998.— Красноярск. — С. 86-87.

79. С. А. Гришина. Ветвление и симметрия в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности флотирующей жидкости // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ульяновск: 1999.

80. Б.В. Логинов. Бифуркация и симметрия в задачах о капиллярно-гравитационных волнах // Сибирский ¿математический журнал. — 2001. — Т. 42, № 4. С. 868-887.

81. Б. В. Логинов, Е.В. Трофимов. Вычисление капиллярно-гравитационных волн на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины // Дифференциальные уравнения математической физики и их применение. Ташкент: 1989. - С. 57-66.

82. Е.В. Трофимов. Ветвление решений нелинейной задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1993.

83. Б. В. Логинов, Т. Эргашбаев. Многомерное ветвление и задачи о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности цилиндра // Вопросы вычислительной и прикладной математики. — Ташкент: 1993. — С. 89-100.

84. Т. Эргашбаев. О ветвлении решений нелинейных уравнений с групповой симметрией на многообразиях // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1991.

85. Ф.Д. Абдуллаева. Ветвление и устойчивость периодических решений задачи определения свободной поверхности магнитной жидкости // Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук. — Ташкент: 1993.— 18 с.

86. Ф.Д. Абдуллаева, А.О. Кузнецов, Б. В. Логинов. Определение порядка вырождения задачи о свободной поверхности ферромагнитной жидкости в магнитном поле // Тез. докл. 28 НТК УлГПИ. — Ульяновск: 1994.— С. 58 59.

87. Е.Е. Twombley, J. W. Thomas. Bifurcation instability of the free surface of a ferrofluid // SIAM J. Math. Anal. 1983. - Vol. 14, no. 4. - Pp. 736-767.

88. C.A. Габов. О существовании установившихся волн конечной амплитуды на поверхности флотирующей жидкости // ЖВМиМФ. — 1988. — Т. 28, № 10. С. 1507-1519.

89. С.А. Габов, А.Г. Свешников. Математические задачи динамики флотирующей жидкости // Итоги науки и техники. Математический анализ. — Т. 28. Москва: ВИНИТИ, 1990. - С. 3-86.

90. А.Г. Свешников, А.Б. Алъшин, М.О. Корпусов, Ю.Д. Плетнер. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. — Москва: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2007. 736 с.

91. П.И. Гешев, Б. С. Ездин. Расчет профиля скорости и формы волны на стекающей пленке жидкости // Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Сб. науч. тр. — Новосибирск: 1985. С. 49-57.

92. В.В. Пухначев. К теории катящихся волн // ПМТФ. — 1975.— Т. 5.— С. 47-58.

93. H. Okamoto, M. Shoji. The Mathematical Theory of Permanent Progressive Water-Waves. — World Scientific, 2001.- 228 pp.

94. Т. Iguchi. On the irrotational flow of incompressible ideal fluid in a circular domain with free surface // Publ. Res. Inst. Math. Sci. — 1998. — Vol. 34, no. 6. Pp. 525-565.

95. T. Iguchi, N. Tanaka, A. Tani. On a free boundary problem for an incompressible ideal fluid in two space dimensions // Adv. Math. Sci. Appl.— 1999. Vol. 9. - Pp. 415-472.

96. S. Bodea. The Motion of a Fluid in an Open Channel // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 2006. - Vol. 5, no. 5. - Pp. 77-105.

97. А. Фридман. Вариационные принципы и задачи со свободными границами. — Москва: Наука, 1990. — 535 с.

98. R.K. Alexander, В.A. Fleishmann. Perturbation and bifurcation in a free BVP // J. DEq. 1982. - Vol. 45, no. 1. - Pp. 34-52.

99. J. Sijbrand. Bifurcation analysis for a class of problems with a free boundary // NA. 1975. - Vol. 3, no. 6. - Pp. 723-753.

100. R. Temam. A Nonlinear BVP: the shape at equilibrium of a confined plasma // ARMA. 1975. - Vol. 60. - Pp. 51-73.

101. A.M. Stuart. Singular free BVP and local bifurcation theory // SIAM J. — 1983. Vol. 49, no. 1. - Pp. 72-85.

102. И.И. Данилюк. Об одном классе нелинейных задач со свободной границей // Математическая физика. Респ. межвузовский сборник, вып. 7. — Киев: Наукова думка, 1970.— С. 65-85.

103. В. V. Loginov, Yu.B. Rusak. Generalized Jordan structure in the problem of the stability of bifurcating solutions // Nonlinear analysis. TMA. — 1991. — Vol. 17, no. 3. Pp. 219-231.

104. В. А. Треногин. Функциональный анализ. — Москва: Наука, 1980. — 495 с.

105. Н.Х. Ибрагимов. Группы преобразований в математической физике. — Москва: Наука, 1983. — 280 с.

106. M.G. Агранович. Эллиптические операторы на замкнутых многообразиях // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления.-- 1990. Т. 63. - С. 5-129.

107. М.А. Наймарк. Линейные дифференциальные операторы. — Москва: Наука, 1969.

108. А.Н. Андронов. Асимптотика разветвляющихся решений в случае четырехмерного вырождения оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости // Труды СВМО. — 2007. Т. 9, № 2. - С. 9-14.

109. А.Н. Андронов. О порядках вырождения линеаризованного оператора в задаче о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности глубокой жидкости // Труды математического центра им. Н.И. Лобачевского. —2007. Т. 36. - С. 16-18.

110. А.Н. Андронов, Б.В. Логинов. Капиллярно-гравитационные волны на поверхности глубокой жидкости // Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения: тез. докл. 3-й Всерос. конф. —2008.-С. 11.

111. A.N. Andronov, L.R. Kim-Tyan, B.V. Loginov. Bifurcation and stability in the problem on capillary-gravity on a surface of floating deep fluid layer // ROMAI J. 2008. - Vol. 4(2). - Pp. 7-28.

112. А.Н. Андронов. Об устойчивости разветвляющихся семейств решений задачи о капиллярно-гравитационных волнах в глубоком пространственном слое флотирующей жидкости // Вестник Самарского государственного университета. — 2009. — Т. 2(68). — С. 10-26.