автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Модельное, численное и асимптотическое исследование капиллярных электростатических неустойчивостей

На правах, рукописи

ГРИГОРЬЕВ Олег Александрович

МОДЕЛЬНОЕ, ЧИСЛЕННОЕ И АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КШШШЖ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧИВОСТЕИ.

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях, (ш физико-математическим наукам).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иваново - 1998

Работа выполнена в Ярославском государственном университете

им. П.Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ширяева 0.0.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маурин Л.Н.

кандидат физико-математических наук, Земсков А.А.

Ведущая организация: ИМ РАН (г.Ярославль)

Защита диссертаций состоится " 2.С« 4 е 1998 года

в ]_}}_ часов на заседании диссертационного Совета К 063.84.0

в Ивановском государственном университете (153377, г. Иваново ул. Ермака, ЗЭ)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотека Ивановского государственного университета

Автореферат разослан " ч " В_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук,

доцент Озерова В.М.

Актуальность темы. Действие большого количества разнообразных физических, технических и технологических устройств , основано на использовании капиллярных электростатических; неустойчивоствй свободной поверхности жидкости. В частности, это относится к ионным коллоидным реактивным двигателям; к распылению топжв и лакокрасочных материалов; к получению интенсивных ионных пучков в лшдкометаллических источниках ионов; к ионной эпитакоии и литографии; к жидкостной масс- спектрометрии; к жидкостным химическим реакторам при смешивании нерастворимых друг в друге жидкостей; к устройствам электрокапластруйной печати; к получению ультрадисперсных' порошков тугоплавких металлов; к вспомогательным установкам термоядерных реакторов при получении капель жидкого водорода для подпитки реакторов. Тем не менее на многие вопросы, связанные с закономерностями реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, пока нет ответов. В частности, слабо исследован механизм реализации плоской свободной однородно заряженной поверхности жидкости. Не исследовано Елияние тангенциального разрыва поля скоростей на свободной поверхности падающей в среде заряженной капли на закономерности развития ее неустойчивости по отношению к собственному заряду. Не изучено влияние заряда на устойчивость тонких свободных пленок жидкости. Причиной такого положения дел является сложность и многоплановость реализующихся физических явлений. В первую очередь сказанное относится к учету в разрабатываемых теоретических моделях релаксационных явлений, точнее говоря эффектов динамического поверхностного натяжения и эффекта релаксации вязкости.

В большинстве вышеупомянутых приложений приходится иметь дело с весьма мелкими капельками, характерные времена капиллярных колебаний которых, сравнимы с характерными временами релаксации вязкости, и. реализации эффекта динамического поверхностного натяжения (т.е. релаксации поверхностного натяжения). Поэтому релаксационные эффекты могут оказывать заметное влияние на физические закономерности реализации электрогидродинамическях неустойчивоствй и формирования спектра капель, эмитируемых неустойчивой поверхностью.

Цель работы состояла в исследовании закономерностей реализации капиллярных электростатических неустойчивоотей свободной поверхности жидкости, в выяснении влияния эффектов вязно-упругости жидкости на коротких временных интервалах и динамического поверхностного натяжения на условия реализации таких неустойчивостей.

"Для достижения поставленной цели необходимо было: - аналитическим и численным методами изучить особенности реализации капиллярных движений жидкости под заряженной плоской свободной поверхностью и условий перехода к неустойчивым движениям;- исследовать влияние эффектов дина-

мического поверхностного натяжения, релаксации вязкости жидкости, ф зических характеристик внешней среда на закономерности реализации и устойчивости заряженной поверхности жидкости на финальной стадии ра: вития ее неустойчивости;- построить математические модели капилляра колебаний объемов жидкости, имеющих замкнутые заряженныв свобода поверхности, и найти критические условия реализации их неустойчивости

Научная новизна работы состоит в том, что в ней: - исследован вклад аффектов релаксации вязкости и поверхностного наг, кения в комплекс физических явлений, связанных с капиллярными элзктр< статическими апериодическими шустойчивостями плоской, свободной aap; женной поверхности жидкости, а также с резонансной неустойчивое?; сильно заряженной сферической капли; - впервые показано, что явлен] релаксации вязкости и поверхностного натяжения существенно сказывают! на условиях реализации неустойчивости заряженной свободной поверхнос жидкости; - впервые найдены критические условия реализации неустойч! воста сильно заряженной капли, движущейся относительно среда, а такз вращающейся заряженной везикулы; - проведено исследование закономернс стей временной эволюции заряженной цилиндрической порн в тонкой ев; бодной вязкой илевне жидкости.

Научная и практическая ценность работы заключается в предсказаш ряда новых эффектов, связанных с учетом вязкоупругих свойств жидкосп зависимости величины коэффициента поверхностного натяжения еэ свобо; ной поверхности от частоты на закономерности реализации электростали ческих неустойчивостей. Значимость рассмотренных явлений связана тем, что они лежат в основе создания жидко-капельных дисперсных сис тем, являющихся ключевыми объектами при изучении разнообразных геоф зических явлений, при разработке методов и приборов для анализа состг ва, структуры и свойств различных веществ. Проведенное иеследовага позволило существенно расширить и углубить представления о физичэсю закономерностях реализации как апериодических, так и колебательных не устойчивостей свободаой заряженной поверхности жидкости.

На защиту выносятся:

I.Физическая модель влияния эффекта релаксации вязкости на струг туру спектра капиллярного движения под заряженной поверхностью кидас ста и на закономерности реализации ее неустойчивости. З.Физическг модель влияния эффекта динамического поверхностного натяжения на вакс номерности капиллярного движения и устойчивость свободной заряженнс поверхности жидкости. 3.Модель раскачки периодической неустойчиво01 заряженной капли, движущейся относительно среда. 4.Расчеты устойчивое ти сильно заряженной, вращающейся везикулы (сферической капсулы, за полненной жидаостыо). 5.Математическая модель устойчивости свободно

ленки жидкости: исследование закономерностей роста и охлопывания заданной цилиндрической поры в такой пленке.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и осуждались на: -16-ой конференции стран СНГ по вопросам испарения, го-ения и газовой динамики дисперсных систем. (Одесса, 1993); - на Ш еждунзродной конференции "Современные проблемы электрогидродинамики и лектрофизики жидких диэлектриков" (Санкт-Петербург, 1994); - на 4-ой аучной конференции ученых стран СНГ "Прикладные проблемы механики идкости и газа" (Севастополь, 1995); - on the 8 meeting of the irking group on the problem: Laboratory modeling of dynamic processes a the ooeanSs (St-Petrsburg, I9S5).

Структура и объем работа. Диссертация общим объемом 156 страниц, том числа 82 рисунка, состоит из введения, пяти глав, выводов, спис-з литературы из 125 наименований.

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследуемой проблемы, ее но-1зна, научная и практическая значимость, сформулированы основные по-)жения,выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор, в >тором изложены основные представления о капиллярных неустойчивоетях юбодной поверхности жидкости: о неустойчивости* Тонкса-Френкеля и ¡львина-Гельмгольца, а также о неустойчивости сферической капли по даовюнию к собственному заряду; об аффектах релаксации вязкости и иамичееком поверхностном натяжении.

В обзоре указано, что учет влияния релаксационных эффектов на за->номерности реализации капиллярных электростатических неустойчивостей юведен лишь на качественном уровне и до сих пор не исследованы конк-|Тные зависимости характеристик неустойчивости от волнового числа, вления электрического шля, характерных релаксационных времен и п.. Отмечено также, что несмотря на обилие экспериментальных и тео-тических исследований деформации капли при ее движении относительно «да не исследован вопрос о критических условиях неустойчивости такой пли по отношению к тангенциальному скачку поля скоростей на границе здела сред и по отношению к собственному заряду капли.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена асимптотическому и численному исследованию устойчивости плоской однородно заряженной свободной поверхности зкой жидкости. В частности получено дисперсионное уравнение для авитационно-капшшярных движений жидкости в виде:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

И)

= р (ер + ОЙ2-

здесь оь комплексная частота; к - волновое число; ^-коэффициент кин< матической вязкости; ае - поверхностная плотность заряда; о - коэффигр ент поверхностного натяжения; £-ускорение поля сил тяжести; р - шю' ность жидкости.

При 7 = << 1 (маловязкая жидкость) решения дисперсионно]

уравнения (I) в линейном по 7 приближении имеют асимптотический вид:

и = ± - -

1,2 ТО

Мнимая часть ш определяет декремент затухания капиллярных вол! а вещественная - частоты периодического движения. Несложно видеть, ч' при переходе через ноль, т.е. при отрицательных значениях амшп туда капиллярных волн начинают экспоненциально нарастать со врвтнвг Выражение для инкремента неустойчивости имеет вид:

1т (1 - г>й2 |и0Г1).

При 7 » 1 (сильно вязкая жидкость) асимптотические решения дас парсионного уравнения (I) в линейном по приближении принимают ш

1т ц, 1и а = -Руй^/З;

1 О ' 2 *

и соответствуют экспоненциальному затуханию капиллярных волн со време нем. Несложно однако видеть, что при увеличении поверхностн&й плоч ности заряда монет стать отрицательным. В этом случав ш станет поле жительным, и амплитуда соответствующих ему движений жидкости начне

акспоненциально нарастать со време нем. Наиболее существенным отличие данной ситуации от случая маловяс кой жидкости является сильная зав* симооть инкремента неустойчивое! от вязкости и волнового числа.

Результаты численного аналиг дисперсионного уравнения (1) проил люстрированы рис.1, где приведем зависимость величины обезразмэрег ного инкремента 1т У от безрззмв^ ной вязкости ц и степени закритет ности поверхностного заряда (3-7).

Чтобы учесть влияние эффекте релаксации вязкости и поверхностно го натяжения на закономерности ре ализащи капиллярных движений жвд кости достаточно в дисперсионно

з«.;

Рнс . 1

сравнении (1) принять, что коэффициент поверхностного натяжения и ко-¿ффицент кинематической вязкости являются функциями частоты а согласно формулам Максвелла:

о = о - о, СМол ,Г* = оЛ - 1ик о, / 7—гол: ,

00 * г» о Г| Г! '

= - °о ' г' = ^о - . (2)

■■де г>0 и ой- значения коэффициентов шзкости и поверхностного натяжения ш нулевой частоте; о^ - коэффициент юверхностного натяжения на еысоких езстогах (при штг1 >> 1); и т^ -:арактершв времена релаксации вязко-!ти и поверхностного натяжения. Подбавляя (2) в (1), несложно получить (исперсионное уравнение, описывающее [ релаксационные движения жидкости. Еисленный и асимптотический анализ редельвых ситуаций показывают, что |бщая структура ветвей дисперсионного равнения с учетом релаксационных ффектов заметно усложняется. Сам еномен наличия релаксационных волно-1ых и апериодических движений играет ;ажную роль на различных стадиях, релиз ации неустойчивости заряженной оверхности ЖИДКОСТИ И нуащается В ненной и ннииой коагсонент без-0Л69 детальном численном исследова- разкерной частоты от бвзр&зиер-ИИ С использованием различных обэз- наго волнового числа при учете азмэриваний. релаксации вязкости с характер-

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена ИССЛВДО- нын Сезр&.зыерньш врененек Т. анию влияния эффекта релаксации вязкости на закономерности реализации зпиллярных движений жидкости о заряженной свободной поверхностью, оответствущее дисперсионное уравнение в безразмерных переменных:

1 ^вг>оа2; р =аа/рп?0; Ш =4жа?ею'1; х=&а; y=ш2vlí; а=(о/р£Г*; МеетНвид: .-{ (1 _ т ■

у(1-1у%)тз? 1* + 4х* / 1--- рх[1+з?-Пх1(1-1!>п:)*. (3)

V зг

На рис.2 представлены зависимости 1т ц=Ш у{х) и Ее у = Не у(х), ассчитанные численно по (3). Ветви 1-3 соответствуют капиллярным дви-зниям жидкости, ветЕИ 4 - 6 - дисперсионным.

На рис.3 приведены зависимости величины инкремента неустойчивости

(3 = 1 \у = 6

1,5

Тонкса-Френкеля от безразмерч го волнового числа х и разлз ннх значениях характерного 6« размерного времени релакса! вязкости.

На рис.4 представлю зависимости 1т у = 1т у (а) Яе у = Не у{1), рассчиташ численно по (3). Ветвь 01 сывает неустойчивые движет жидкости, ветвь 2 соответствт релаксационным волнам, ветвь - затухающим капиллярным двиз ниям жидкости, ветви 4 - 5 -Рис.з затухающим дисперсионным.

Численный анализ дисперсионного уравнения (3) показал, что: на,? чие у жидкости в течение коротких временных интервалов упругих свойс приводит к существенному усложнению структуры спектра реализующихся капиллярных движений; аффект релаксации упругих напряжений приводит к усилению диссипации энергии капиллярных ДЕИНеннй жидкости, т.е. к увеличению декрементов всех ветвей; величина инкремента неустойчивой по отношению к поверхностному заряду ветви капиллярных движений существенно зависит от характерного времени релаксации вязкости и величины поверхностной плотности заряда (при № = 6 инкремент увеличивается вдвое при изменении безразмерного характерного времени релаксации 1 от 0,11 до 1); диапазон значений волновых чисел, испытывающих неустойчивость по отношению к поверхностному заряду, определяется только величиной безразмерного пара-мэтра Тонкса-Френкеля и не зависит от характерного времени релаксации вязкости, хотя значение волнового числа наиболее неустойчивой при сопа1 волны с ростом % слабо увеличивается; для фиксированного значения волнового числа £ - conat диапазон значений характерного времени релаксация г,

Рис.4. Зависиность вещественной и ыниыой компонент частоты от я. рактерного врекени рел, ксацин вязкости Т.

в котором существуют релаксационные волны ограничен но расширяется с ростом волнового числа к; при достаточно большом значении характерного времени релаксации т ветви капиллярно-гравитационных и релаксационных волн объединяется в единое составное движение, существующее при всех значениях к, в том числе и для чисто гравитационных волн (й -,0).

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена детальному исследованию влияния эффекта динамического поверхностного натяжения на закономерности реализации капиллярных движений жидкости с заряженной свободной поверхностью.

Имея в виду физико-химическую природу эффекта динамического поверхностного натяжения, связанного с наличием двойного электрического слоя у поверхности жидкости, появление которого связано с действием механизмов различной физической природы (ориентирующего действия свободной поверхности жидкости на дипольные молекулы; электростатического взаимодействия вблизи поверхности связанных и свободных зарядов жидкости; диффузионного размывания упорядоченной приповерхностной структуры жидкости) естественно обобщить эффект динамического поверхностного натяжения на случай одновременного существования нескольких характерных времен релаксации у одной и той же жидкости.

В частности при наличии двух характерных времен релаксации поверхностного натяжения тп1и т;пг выражение для комплексного коэффициента поверхностного натяжения имеет вид:

а(ш)= оо- ¡т^/Ц-Ш^ ) - о2ШпЯ /(1~Шп2 >; (4)

где о0- коэффициент поверхностного натяжения равновесной поверхности. Соответствующее дисперсионное уравнение в безразмерных переменных: у = шуЪ? ; а = ; Р( = ; Р2= о^-'р^й2; 0=->>ой т^;

Т1= ^.Й2.^; т2= 1'0-£ ■ \2; = е& + а^р-'-лаГгр"; примет вид: ¿7 у}(1_ £у ^ Г2 _ _

- СР4 т, + та; +у2 т, 72 ГР, + Р2 ;=о. (5)

На рис.5 - рис.6 представлены зависимости 1т у-1т у {а2) и Не у = я яе у(а2), рассчитанные численно по (5) при различных значениях пара-«етров , 7г, и рг. На приведенных графиках ветви 7-3 соответствуют капиллярным волнам , а ветви 4-5 - дисперсионным. Часть ветви 2, расположенная леЕее начала координат (при а2 < О), определяет инкремент зеустойчивости Тонкса-Зренкеля.

Проведенные расчеты показывает, что с каждым релаксационным процессом связан свой набор капиллярных движений жидкости, качественно зхожий с капиллярными движениями, порождаемыми свободной поверхность®. Движения жидкости, связанные о различными релаксационными процессами, ззаимодействуют между собой и с капиллярными движениями, порождаемыми

2 АТтУ

Рис.5 . Рис.6 .

Структура капиллярных и релаксационных движений жидкости при наличии двух характерных врекен релаксации поверхностного натниенин.

свободной поверхностью жидкости, что выражается в образовании при оп разделенных значениях параметров 71 и р. составных движений жидаост (см. ветви 6 и 7 на рис.6).

Для исследования влияния эффекта релаксации поверхностного натя жения на закономерности реализации неустойчивости Тонкса-Френквля мож но ограничиться одним характерным времени релаксации. Тогда исполъзу обезразмеривание волнового числа на капиллярную постоянную а (см.(З))

т а"2; ¡3 =о0а/рг? ; 17 =47^аа~1;

дисперсионное уравнение можно .получить в виде:

Г , Суп*

--(ь)

Гу + ]г + 4х*

Ч/

= И

(. 1 ~ 1у%

Зависимости величины инкремента неустойчивости Тонкса-Френкеля о' безразмерного волнового числа х, рассчитанные численно по уравнени (6) при Ш=В и различных значениях времени релаксации т представлены н; рис. 7. Из сравнения с рис.3 несложно видеть, что эффект релаксациз поверхностного натяжения оказывает заметно меньшее влияние на величин; инкремента неустойчивости чем эффект релаксации вязкости. Диапазон ж длин волн, претерпевающих неустойчивость при заданном № не зависит о:

Р о = 0,3

Р = 1

ш = 6

о

наличия релаксационных аффектов. Общий ход зависимости от х вещественной и мнимой компонент частоты приведен на рис.8 -рис.9.

Расчеты показывают, что релаксационное волновое движение 4 существует в ограниченном диапазоне малых значений г: при т < 1 с декрементом, слабо зависящим от т. Область существования ветви 4 зависит от Я, уменьшаясь с увеличением ИГ. При Ш > 1,419 это релаксационное

Рис.7. Зависиыость величины инкре- ДВИЖ9НИ8 ЕВ существует. ВеТВЬ 5 кента неустойчивости от безразмерного существует ПрИ ЛЮбЫХ ЗНаЧвНИЯХ волнового числа при различных значени- 1 И В ЭТОМ СМЫСЛ» ПОХОЖЭ ЕвТВЬ ях характерного времени релаксации по- КаПИЛЛЯрНОГО ВОЛНОВОГО ДВИЖвНИЯ

I, но в отличие от нее декрету х

1

■2,5-

верхностного натяжения *1тУ

,5

б ?=0,6 W =1 0 = 1 ро =0,3

Рис.8. Рис.9.

Зависииости вещественной и инииой компонент частоты от волнового числа Видно как при перезаяыкании ветвей 1 и 4 образуются новые ветви 7 и 8.

мент затухания релаксадаонно-капил-лярного волнового движения 5 стремится к бесконечности при т ^ О (как это видно из рис.Ю). При достаточно большом значении характерного времени релаксации 1 ветви капиллярно-гравитационных и релаксационных волн разделяются на релаксационные и капиллярно-релаксационное движения, существующие при всех значениях к, в там числе соответствующих чисто гравитационным волнам (ё -,0).

Пятая глава посвящена исследованию капиллярных электростатических неустойчивостей заряженной замкнутой свободной поверхности жидкости различных форм.

В первом разделе найдено дисперсионное соотношение для капиллярных колебаний капли с зарядом Я, движущейся со скоростью 7 относи-телно среды:

-2.5

Рис.Ю. Зависимость -частоты от характерного времени релаксации поверхностного натяжения X.

Р ? - + -

(ти-1 ) п

Б2 - р?/Мт + (п-1) р=р1/рг;

П)

У=У(Ярго 1 ); П = ^/4%ваЕ3 М= 9п(п+1)(2п2+п-2)/(2п-1)(2п+1)(2п+3). Приравнивай в (8) нулю комплексную частоту несложно найти критически условия реализации неустойчивости капли в виде:

ТЦ = (п+2) - ри*Мп(п-1}~'.

Несложно видеть, что с увеличением снорости и и плотности среды уменьшается значение параметра V, необходимое для начала развития не устойчивости капли. Найденное снижение критических условий нвустойчи вости заряженной капли, движущейся относительно среда, может лежать : основе спускового механизма разряда линейной молнии и физического ме ханизма реализации огней св. Эльма.

Во вторам разделе найдено дисперсионное уравнение для капиллярны колебаний заряженной везикулы (эластичной капсулы с толщиной стенки ; и упругостью, определяемой коэффициентом поверхностного натяжения о заполненной жидкостью). Пренебрегая взаимодействием мод, получаем:

« гаг(i-i)

(иг)

8%Dfi*

- if if (Bpt f p7i;Tt / й2 rpw + (8)

Критические условия реализации неустойчивости вращающейся заря-

женной везикулы получаются из (8) при = 0 и записываются в вида:

<f

Zal(l-1)

(1+2)

&1SOÎ?

- tfiffP^f pnj7t= О.

О)

Видно, что наличие вращения снижает устойчивость капсулы (везикулы; капли) по отношению к собственному заряду.

В общем случае критические условия появления экспоненциально растущих мод определяются тремя безразмерными параметрами 17, -rj, г»:

a' ={f fRpt +■ piUff /2о ; Tj =pt gif /2o.

Из (Э) видно, что с увеличением параметра if область значений параметров v и Tj, соответствующая устойчивым колебаниям, уменьшится. При наличии вращения î¥0 и отсутствии поля силы тяжести т}=0 приходим, совершая предельный переход к известной задаче об эффекте Плато. Несложно показать, что отделение кольца от вращающейся капли в опыте [Ьяато происходит из-за неустойчивости третьей моды.

В третьем разделе рассматривается влияние эффекта релаксации зязкости на вынужденные колебания заряженной маловязкой капли.

Решение задачи об определении амплитуды вынужденных колебаний за-зякенной капли при периодическом изменении ее заряда в линейном по «алой вязкости приближении приводит к выражению:

X = Х0-елр Г-0Г,tJ• Gag (^t)-Coa (i^i+ôj,

'де Ic и S константы. Видно, что в капле одновременно реализуются за-'ухащие колебания двух типов: капиллярные с частотой шг1 и модулирую-сиэ их упругие колебания с частотой 7п.

В четвертом разделе решается задача о охлопывании заряженной щиндрической поры в тонкой свободной пленке. Уравнение, описывающее рижение стенки поры радиуса Л имеет вид:

Д if In— + if й.

Я Я - f Rlft—

12

R

о Р

2ЦЙ

й - О.

(Î0)

де точками над Я обозначены производные по времени; ¡¿-коэффициент ннамической вязкости; зе-поверхностная плотность заряда на стенке по-

ры. Реализующиеся режимы движения стенки поры находятся изкачественно

го анализа уравнения (10). Результат расчетов приведены на рис.'?'/, где пред ставлены критические зависимости межд безразмерными параметрами (характеризу ющим давление электрического поля внут ри поры) и а (характеризующим вязкую дис сипащш энергии при движении жидкости) соответствующие смена режимов двшаэни стенок поры. Ниже прямой 3, внутри облас тей, ограниченных ветвями кривых 1 и 2 стенки поры схлопываются апериодически образом. Ниже прямой 3, в областях, лежа щих снаружи от кривых 1 и 2, стенки пор: совершают затухающие колебания. Кривая соответствует постоянной плотности заряд поры на стенках поры. Кривая 2 соответствуе постоянному заряду на стенках поры.

Рис.11. Кривые, разграничивающие области значений параметров № и <Х, а которых рвжкаш склопывання различны.

РЕЗУЛЬТАТЫ и вывода.

1.Проведен асимптотический и. численный анализ дисперсионног уравнения для капиллярных движений вязкой жидкости с однородно варя жэнной плоской свободной поверхностью. Получены в аналитическом вид асимптотические дисперсионные соотношения для маловязкой и сильно вяз кой жидкости. Предложена качественная модель развития неустойчивое?: плоской заряженной поверхности.

2.Численный анализ математической модели капиллярных двшшни; жидкости, учитывающей наличие у жидкости упругих свойств, показал, чт увеличение времени релаксации вязкости приводит к значительному рост; величины инкремента неустойчивости заряженной поверхности жидкости причем как величина самого инкремента, так и величина его изменения связанная с учетом упругости жидкости, зависят от степени закритичнос ти поверхностной плотности заряда. Длина наиболее неустойчивой волны • ростом поверхностной плотности заряда уменьшается и зависит также о' характерного времени релаксации вязкости.

3.Численный анализ математической модели капиллярных движешь жидкости, учитывающей наличие у жидкости динамического поверхностноп натяжения, показал, что увеличение характерного времени релаксаци поверхностного натяжения приводит к незначительному снижению величин

инкремента неустойчивости заряженной поверхности жидкости, что связано о увеличением на интервале характерного времени релаксации коэффициента поверхностного натяжения, корень квадратный из величины которого и определяет значение инкремента. С ростом поверхностной плотности заряда на свободной поверхности жидкости расширяется диапазон длин неустойчивых волн и изменяется длина наиболее неустойчивой волны, причем величина такого изменения слабо зависит от характерного времени релаксации поверхностного натяжения.

4.Асимптотические оценки показывают, что наличие упругих свойств жидкости резонансно колеблющейся сильно заряженной капли приводит к «одуляцш капиллярных колебаний капли релаксационными.

5.Аналитическим путем получено дисперсионное уравнение капилляр-зых движений в заряженной капле, движущейся относительно среды. Выяснилось, что наличие движения капли приводит к снижении критических условий неустойчивости капли по отношению к собственному заряду, а гакже к раскачке периодической ■неустойчивости ее поверхности - т.е. реализуется аналог неустойчивости Кельвина-Гельмгольца.

6.Предложена математическая модель капиллярных колебаний вращающейся сильно заряженной везикулы (упругой сферической капсулы, запол-юнной жидкостью). Анализ выведенного дисперсионного уравнения пока-¡ал, что наличие вращения везикулы приводит к снижению критических гcjigbM электростатической неустойчивости ее поверхности.

?.Качественный анализ нелинейного дифференциального уравнения, шсывавдего радиальные осесимметричные движения вязкой жидкости в ■онкой свободной пленке показал, что возможные сценарии эволюции заря-¡енной цилиндрической поры в такой пленке (стягивание поры под дейст-ием капиллярных сил; увеличение ее радиуса в результате электростати-:еского отталкивания заряженных стенок, приводящее к разрыву пленки; стойчивне колебания ее стенок возле равновесного состояния) зависят т закономерностей распределения заряда на поверхности поры и опреде-яются отношением давления электрического шля внутри поры к капилляром у и вязкость» жидкости.

Основные результаты опубликованы в работах:

1.Григорьев А.И., Григорьев O.A. О влиянии вращения и электрического заряда на устойчивость сферической капсулы/УЗОМ.-19Э1-Ж}.-0.41-44

2.Григорьев А.И.»Григорьев О.А.,Ширяева 0.0. Динамика заряженной илиндрической каверны в тонком слое вязкой жидкоста/ЛШХ. - 1992 .65,Ш. - G.2018-3022.

3.Григорьев O.A. Елияние аффекта динамического поверхностно натяжения на волновые движения жидкости/ДЕисьма в HTiJ.-I994.-T.30,Jfß - СЛ5-21.

4.Григорьев O.A., Ширяева С.О. Волны в релаксирущей вязко электропроводной жидкости, обладающей поверхностным зарядом // йзве тия РАН. Механика Жидкости и Газа.-1996. - Ж.- 0.98-105.

5.Ширяева С.0.,Григорьев O.A., Григорьев А.И. Эффект динамичес кого поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение заряже: ной поверхности жидкости//1ТФ.- 1996.- Т.66,№ 10. - G.31-46.

6.Ширяева С.О..Григорьев O.A., Муничев М.И., Григорьев А.И. Вол новое движение в заряженной вязко-упругой жидкости // ЖТФ.- 1996 Т.66, № 10. - С.47-62.

7.Ширяева С.О., Григорьев O.A. Модуляция капиллярных колебанн заряженной капли маловязжой жидкости вв упругими колебаниями/'ЛЕисьма ЖТФ. - 1998. - Т.24, » 7. - 0.83-87.

8.Ширяева 0.0., Коршыслов В.А., Григорьев O.A. Снижение критк ческих условий неустойчивости сильно зарякенной капли, движущейся о' носительно среды/ЛТисъма в ЖТФ.-1338.-Т.24, - C.SVS^-,

* •* * * * ********

Объем: 1 печ. лист. Тираж: 100 &кэ. Заказ № S2J_ Отпечатано на ризографе 00Т "Рно-Гранд". Ярославль, ул. Чкалова, 2.

л} ,

,/ "У У/'

ЯРОСЛАВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им« П.Г* Демидова,

На правах рукописи ГРИГОРЬЕВ Олег Александрович

МОДЕЛЬНОЕ, ЧИСЛЕННОЕ М АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ШШЛЖРШХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИХ НЕУСТОЙЧЙВОСТЕЙ.

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по физико-математическим наукам).

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель1 д.ф.м.н., профессор Ширяева С.О.

Ярославль - 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 3

Глава 1.Капиллярные неустойчивости свободной поверхности жидкости и факторы на них влияющие б

1.1. Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца б

1.2. Неустойчивость Тонкса - Френкеля 9

1.3. Неустойчивость Рэлея сильно заряженной капли 13

1.4. Эффект динамического поверхностного натяжения 16

1.5. Эффект релаксации вязкости 18

Глава 2. Асимптотический анализ капиллярной неустойчивости в поле силы тяжести плоской равномерно заряженной свободной поверхности вязкой жидкости. Влияние релаксационных эффектов 21

2.1. Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью. Механизм реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля 21

2.2. Капиллярные движения жидкости с заряженной свободной поверхностью при наличии эффектов релаксации вязкости и поверхностного натяжения 33

Глава 3. Влияние упругих свойств жидкости на формирование спектра ее капиллярных движений под заряженной свободной поверхностью 48

3.1.Качественный анализ при обезразмеривании частот на характерное время затухания возмущений поля скоростей 4 8

3.2.Исследование степени влияния эффекта релаксации вязкости от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля 60

Глава 4.Эффект динамического поверхностного натяжения в капиллярном движении заряженной свободной поверхности жидкости 80

4.1.Динамическое поверхностное натяжение с двумя характерными временами релаксации 80

4.2.Исследование степени влияния эффекта релаксации поверхностного натяжения от волнового числа и параметра Тонкса-Френкеля 102

Глава5. Капиллярные электростатические неустойчивости свободной поверхности жидкости сферической и цилиндрической форм 119

5.1.Критические условия неустойчивости движущейся относительно среды сильно заряженной капли 119

5.2.Электростатическая устойчивость заряженной, вращающейся сферической капсулы 123

5.3.Резонансная неустойчивость заряженных капель с учетом эффекта релаксации вязкости 131

5.4.Динамика заряженной цилиндрической поры в тонком

слое вязкой жидкости

Результаты и выводы Литература

144 146

■к-к-к-к-к-к-к-к-к^к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к-к

Введение. Капиллярные электростатические неустойчивости представляют значительный интерес для физики, геофизики, техники и технологии в связи с тем, что неустойчивости заряженной поверхности жидкости, сопровождающиеся на финальной их стадии эмиссией высокодисперсных сильно заряженных капелек, встречаются как паразитные явления или как эксплуатируемые феномены в: ионных коллоидных реактивных двигателях, жидкостной масс спектрометрии органических и нелетучих веществ, в жидкометаллических источниках ионов, теории грозового электричества, при электростатическом диспергировании лакокрасочных материалов, горючего, инсектицидов и получении пучков монодисперсных капель в устройствах капле струйной печати и подпитки термоядерных реакторов, (см., например, обзоры [16,18,20,21,31,37,44, 91,92,97] и указанную там литературу). .Тем не менее, на многие вопросы, связанные с закономерностями реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости, пока нет ответов. В частности, слабо исследован механизм реализации плоской свободной однородно заряженной поверхности жидкости. Не исследовано влияние тангенциального разрыва поля скоростей на свободной поверхности падающей в среде заряженной капли на закономерности развития ее неустойчивости по отношению к собственному заряду. Не изучено влияние заряда на устойчивость тонких свободных пленок жидкости.

В большинстве выше указанных приложений приходится иметь дело с весьма мелкими капельками, характерные времена капиллярных колебаний которых сравнимы с характерными временами релаксации вязкости, электрического заряда и реализации эффекта динамического поверхностного натяжения (т.ерелаксации поверхностного натяжения), влияние которых на закономерности реализации капиллярного движения под заряженной свободной поверхностью жидкости исследовано пока недостаточно полно. В этой связи изучение указанных влияний представляется весьма важным для правильного

понимания процессов, реализующихся в упомянутых устройствах и явлениях.

Цель работы состояла в исследовании закономерностей реализации капиллярных электростатических неустойчивостей свободной поверхности жидкости, в выяснении влияния эффектов вязко упругости жидкости на коротких временных интервалах и динамического поверхностного натяжения на условия реализации таких неустойчивостей. Для достижения поставленной цели необходимо было:

- аналитическим и численным методами изучить особенности реализации капиллярных движений жидкости под заряженной плоской свободной поверхностью и условий перехода к неустойчивым движениям;

-исследовать влияние эффектов динамического поверхностного натяжения, релаксации вязкости жидкости, физических характеристик внешней среды на закономерности реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости на финальной стадии развития ее неустойчивости;

- построить математические модели капиллярных колебаний конечных объемов жидкости, ограниченных замкнутой заряженной свободной поверхностью, и найти критические условия их неустойчивости.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- исследован вклад эффектов релаксации вязкости и поверхностного натяжения в комплекс физических явлений, связанных с капиллярными электростатическими апериодическими неустойчивостями плоской, свободной заряженной поверхности жидкости, а также с резонансной неустойчивостью сильно заряженной сферической капли;

- впервые показано, что явления релаксации вязкости и поверхностного натяжения существенно сказываются на условиях реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости;

- впервые найдены критические условия реализации неустойчивости сильно заряженной капли, движущейся относительно среды, а также вращающейся заряженной везикулы;

- проведено исследование закономерностей временной эволюции заряженной цилиндрической поры в тонкой свободной вязкой пленке жидкости.

Научная и практическая ценность работы заключается в предсказании ряда новых эффектов, связанных с учетом вязкоупругих свойств жидкости, зависимости величины коэффициента поверхностного натяжения ее свободной поверхности от частоты на закономерности реализации электростатических неустойчивостей. Значимость р а с смо т ре ^ > н^х явлений связана

с тем, что они лежат в основе создания жидко-капельных дисперсных систем, являющихся ключевыми объектами при изучении разнообразных геофизических явлений, при разработке методов и приборов для анализа состава, структуры и свойств различных веществ. Проведенное исследование позволило существенно расширить и углубить представления о физических закономерностях реализации как апериодических, так и колебательных неустойчивостей свободной заряженной поверхности жидкости.

На защиту выносятся: 1.Физическая модель влияния эффекта релаксации вязкости на структуру спектра капиллярного движения под заряженной поверхностью жидкости и на закономерности реализации ее неустойчивости. 2.Физическая модель влияния эффекта динамического поверхностного натяжения на закономерности капиллярного движения и устойчивость свободной заряженной поверхности жидкости. 3.Модель раскачки периодической неустойчивости заряженной капли, движущейся относительно среды. 4.Расчеты устойчивости сильно заряженной, вращающейся везикулы (сферической капсулы, заполненной жидкостью). 5.Математическая модель устойчивости свободной пленки жидкости: исследование закономерностей роста и схлопывания заряженной цилиндрической поры в свободной пленке.

Апробация работы. Основные результаты работы опубликованы в журнальных статьях [29,30,32,34,81,86,87,88,89] и обсуждались на: -16-ой конференции стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем. (Одесса, 1993); на 3 международной конференции «Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков» (Санкт-Петербург, 1994); на 4-ой научной конференции ученых стран СНГ «Прикладные проблемы механики жидкости и газа» (Севастополь, 1995); on the 8 meeting of the working group on the problem: Laboratory modeling of dynamic processes in the ocean. (St.Petrsburg, 1995).

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 156 страниц, в том числе 82 рисунка, состоит из введения, пяти глав, выводов, списка литературы из 125 наименований.

Глава I.Капиллярные неустойчивости свободной поверхности жидкости и факторы на них влияющие.

IЛ.Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца.

Неустойчивость Кельвина - Гельмгольца неоднократно становилась объектом пристального внимания исследователей в связи о проблемой раскачки ветром волн на невозмущенной поверхности жидкости (см., например, и указанную там литературу [45, 503 52» 66, 99, ЮО, 113, 115 3). Основные момента обсуждаемой неустойчивости можно проследить на простейшей задаче,

Требуется жшш условия устойчивости, поверхности раздела двух слоев идеальной тсжижшлой жидкости бесконечной толщиж, из кшпщшг вершш (с плотоошш р4) .совершат обет того пошщпашвлшое равншшрное движения со скоростью II относительно кьшкей, имеющей тысшноать р > р1.

В декартовой системе координат, плоскость 2=0 которой совпадает с. невозмущенной поверхностью жидкости, а направление вектора и определяет ориентацию оси 01, ищем потенциалы скоростей в виде; в нижней жидкости

Ф = А е соа(кзнМ} , (х)

в вершей

ф4 = Их + В е'шсо8(кз>~1Ж}, (2)

где член их связан о наличием поступательного движения.

На границе раздела сред, определяемой уравнением г « t)t должны выполняться условия: кинематические:

щ Ш

— £ —

т дt щ

—~ = ц + 4

для нишей жидкости, (3)

2=0

для верхней жидкости

а динамическое:

щ _ с

. (5)

z*0

В выражении (2) коэффициент В считаем малым, ж при вычислении квадрата скорости

( дФ Г ЯРЛ*

у: = |— + !—-

I г"'»'1" I 39

опустим члены ~ В2:

-4 -о®; % -Вр4£Г й е"*® вСпПинй;

(

Отметим, что вычитание члена р, и2 = оопв'к Ев сказывается на точности введенных потенциалов, которые определены с точностью до постоянных слагаемых.

Возмущение границы £ шарм в виде

; а вйгС&нй; (7)

Подставим теперь (I), (2) и (7) в (3)-(5). Получим: Из (3): ; - -а (¡з ооа(кгчМ); (8)

Из (4); Пая ооа('кг~ш} * ш соа(кх-~ьЛ)= ~Вк (9)

Мз (5);

(Ар-Вр, М аицкг-ьй) г )а 81п(кг~(М} +

+ Врг и к а1п(к= -о агпГкх-^М) Пр-Вр^ )ш + Qg(Q~~pí ) + Врли к + а ок* = О.

Выразим из (8) коэффициент А : А = —| а, а из (У) коэффициент

(,-<-ЬТГ

Вг 8 ~ -чу**. а и, подставив в (10), подучим дисперсионное уравнение:

р.и

имеющее решения:

РЩ РР* РЩ

= О, (II)

„ .. ь ^ , /**<Р-Р*> ^Р0" , ой3

Для того, чтобы оз было вещественным, необходимо, чтобы подкоренное выражение было больше нудя. Ив требования вещественности частоты для любых значений волновых чисел несложно подучить искомое выражение для критического значения скорости;

Р, 4Р, /-----------

При и > и* капиллярные водны на границе раздела оред становятся неустойчивыми и их амплитуда начинает нарастать экспоненциально со временем.

Как показано в [80, 35] наличие на границе раздела сред не скомпенсированного электрического заряда приведет к изменению критических условий неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в сторону снижения критической скорости и*:

V* .

--------------, 1

/4а-8(р2-^) - — • (13)

где ж - поверхностная плотность заряда» Это соотношение выполняется,,,,,ц

5 ОО'йрр

как для ситуации когда верхняя, и нижняя жадности являются идеальными [80] „ так ж в случае когда одна из жидкостей является вязкой [353. Вязкость жидкости не оказывает влияния на критические условия реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при наличии на границе раздела не скомпенсированного заряда, но приводит к снижению инкремента неустойчивости [351=

Собственно говоря, задача рассмотренная в [80, 35], посвящена анализу взаимовлияния неустойчивоотей Кельвина ■-Гвлъмголъца и Тонкса-Френкеля.

1.2. Неустойчивость Тонкса -- Френкеля.

Неустойчивости капиллярных волн на заряженной поверхности жидкости (границы раздела двух жидкостей с различными электропроводное-тями) исследовалась неоднократно в связи с многочисленными приложениями явления (см., например, [г, 4, 9, 14, 15, 39, 40, 41, 42,' 51, 59, 60, 70, 74, 75, 76, 108, 113, 116, 118, 1191)« Но первые важные теоретические результаты связаны с женами Рэлея, Тонкса и Френкеля [70, 118].

I.Тонко [118 3 исследовал неустойчивость плоской заряженной поверхности жидкости . Сравнивая Лашшсовское давление под искажением формы плоской поверхности идеально проводящей жидкости в виде сферического сегмента с давлением на него однородного электростатического шля Е, направленного перпендикулярно невозмущенной поверхности, он получил критерий развитая неустойчивости плоской поверхности жидкости в Е по отношению к возмущениям характерного линейного масштаба (радиуса сегмента)

в .ьиде

> 4%

Уор|

Френкель [70] уточнил результаты, полученные Тонксом, и создал строгую теорию этого явления, исходя из идеи Рэлея. [1081 о связи неустойчивости заряженной поверхности жидкости о неустойчивостью капиллярных волн. Он получил дисперсионное соотношение для плоских волн, распространяющихся в жидкости, находящейся в перпендикулярном к ее поверхности однородном электростатическом поле Е, в виде [51, 70]:

^ = | {Р8 ~ 1+ (2)

Ясно, что устойчивость поверхности жидкости соответствует вещественным значениям частоты для любых значений волнового числа. Условие положительности правой части (2) имеет вид;

Г

& - 4°р« < °

J

Отсюда легко найти точное условие неустойчивости (отличающееся от полученного Тонксом (I) только численным множителем) в виде;

ТР®

- > т (3)

-/оря

Явление неустойчивости жидкой поверхности в электрическом поле в итоге получило название неустойчивости Тонкса-Френкеля . Вели

ввести капиллярную постоянную жидкости а - У 2о/р§, то условие (3) может быть переписано в более наглядном виде:

3 •> у? Г4)

ш а - ч •

Неоложно видеть» что неустойчивость имеет место, когда электростатическое давление на поверхность жидкости превысит лашшсовское давление под цилиндрическим искажением поверхности масштаба а»

2.Более детальную.информацию о закономерностях реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля можно получить из решения нижеследующей

задачи [513.

Найми. связь лежду частотой и длиной валт,

распрасщрашю-щейоя по заряженной таскай поверхности, жидкого проводника (в поле аилы тяжести). Получишь условия устойчивости этой повертост.

Пусть волна распространяется вдоль оси I, ось Z направлена вертикально вверх. Вертикальное смещение точек поверхности жидкости f » а езр t £ (kx-ijit) 1. При неподвижной поверхности напряженность поля над ней Е„ - Е - 4 ш0г, а его потенциал ф » -4 гсав^2,где ав^- поверхностная плотность зарядов. Потенциал шля над колеблющейся поверхностью пишем в виде <р

Ф = -4 *ш0г + ф, , ф = const е ,

где фл — малая поправка, удовлетворяющая уравнению Дф = о и обращающаяся в нуль при s -»• Вдоль самой поверхности проводника потенциал должен иметь постоянное значение, которое принимаем за нуль; отсюда

1

ф I « -А ЩМ t

'S. I О "

Согласно [66] на заряженную поверхность жидкости действует дополнительное давление, равное, с точностью до членов первого порядка

малости по со »

•р2

F" "гг S

—— а. —~ р«5Г ЯР* 4- Ья> (Г* 1 S>4T 5Р" 4- Л/;Т мГ 2? С

" Яц: 0бо г | ^ " о о ь

П/чг'т^яттсатй т» ПйТ? 0«т яр*" гзйтггпопп>т>а-аатг / р.-пгч ъип-впзгч •»•if pmrmit т> тто—

tt

стоянное внешнее давление).

Рассмотрение гидродинамического движения в волне вполне аналогично теории капиллярных волн, отличаясь лишь наличием указанного

вше дополнительного давления. На поверхности жидкости получаем граничное условие

1 2 -pgf + р ш - = о,

где о- коэффициент поверхностного натяжения, р- плотность жидкости, а .§- потенциал скорости; I и ? связаны друг с другом еще и соотношением

at зФ

Подставив эти два соотношения ^ = а ei(kr~bji)^ ф = i ei(kx~bit)

(Ф удовлетворяет уравнению ДФ = 0} и исключив а и 4, получим искомую связь между я и ш

uf = | (pg - 4тга£ bo 1?}.

Для того, чтобы поверхность жидкости была устойчивой, частота ш

должна быть вещественной при всех значениях к (в противном случае будут существовать комплексные ш с положительной мнимой частью ж множитель e~'lWi будет неограниченно возрастать). Условие положительности правом части гласит; (Атя? f - 4ogu < о, откуда

< pgo / 4'ТГ

Это и есть условие устойчивости. Неустойчивость • же реализуется при выполнении противоположного условия. При этом на поверхности жидкости вырастают приблиз