автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численный анализ электрогидродинамической неустойчивости слоя вязкой жидкости на твердом дне

?Гб од

{ 7 ОКТ Ш*

МУНИЧЕВ Михаил Иванович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЗЖЬЛУОГ/ОРОДРШДМуИЕСКОЙ НЕУСТОЯЧИВОСТИ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ТЕЕРДШ ДНЕ.

05»13.16 - применение вичисжтедъкой техники, математического ыоделзфования и математических методов в научных исследованиях (по Физико-мате-матйческим наукам).

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Иваново - 1998

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических: наук,

профессор Ширяева 0.0.

Соруководнтель: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических: наук,

профессор Ясинский Ф.Н.

доктор технических наук, профессор Ватвв Д.О..

Ведущая организация: ИМ РАН (г.Ярославль)

Защита диссертации состоится п /О 1993 года

в часов на заседании диссертационного Совета Н 063.84.0

в Ивановском государственном университете (153377, г. Иваново ул. Ермака, 39)

О диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ивановского государственного университета

Автореферат разослан " Р{ " (?5_1998 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук,

доцент Озерова В.М.

Актуальность темы. Исследование электрогидродинамической неустойчивости тонких заряженных слоев вязкой жидкости на твердой подложке, сопровождаемой теплоэлектромассообменом в многочастичных системах, является весьма актуальным как для более полного понимания природных явлений, так и для обширной области технических приложений. Процессы, происходящие в грозовых облаках, интересуют широкий круг исследователей в связи с теорией грозового электричества, воздействия на градообразованив в облаках, а также в связи с влиянием на прохождение радиоволн в атмосфере, грозовые процессы в которой происходят постоянно и захватывают значительные по масштабам области. Актуальна проблема неустойчивости жидких слоев на поверхности твердых ядер и при решении ряда прикладных задач, например, физики низкотемпературной плазмы продуктов сгорания твердых топлив, частицы которых покрыты слоем расплава или жидкого окисла. Исследование неустойчивости жидких слоев на твердой поверхности имеет приложения также в связи с разработкой методов жидкостной масс-спектрометрии и жидкометаллических источников ионов, практикой электрического распиливания лакокрасочных материалов ж жидкого топлива, разработкой ионных коллоидных реактивных двигателей, а также может найти применение и в других областях науки и техники, где тепло&лектромассообмен сопровождается неустойчивостью жидких слоев на поверхности твердого дна. Немногочисленные теоретические исследования не внесли достаточной ясности в закономерности развития электрогидродинамической неустойчивости тонкого слоя жидкости и ограничивались, как правило, рассмотрением некоторых предельных ситуаций. Исследование влияния расклинивающего давления на реализацию электрогидродинамической неустойчивости также носят весьма фрагментарный характер. Весьма слабо исследовано и влияние аэродинамических потоков. на неустойчивость тающей градины при ее падении в грозовом облаке.

Цель работы состояла в численном и аналитическом исследовании механизма, особенностей и условий возникновения и;развития электрогидродинамической неустойчивости жидких слоев на поверхности твердого дна в поле электрических и флуктуационных - сил* Для достижения доставленной цели решались задачи:

- математического моделирования капиллярных колебаний и закономерностей реализации неустойчивости заряженного слоя вязкой жидкости <онечной толщины, лежащего на твердом дне;

- компьвтерного анализа волновых и вихревых движений жидкости в зферической вязкой заряженной капле;

- численного исследования влияния толщины слоя вязкой жидкости ш капиллярные колебания и величины инкрементов при реализации реле-

евской неустойчивости тонкого сдоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

- расчета влияния фяуктуационных сил на критические условия и закономерности реализации неустойчивости тонкого слоя жидкости;

- анализа проявления алектрогидродинамической неустойчивости жидких оболочек тащих градин как пускового механизма генерации грозового электричества.

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые исследовано совместное влияние двух механизмов диссипации в тонком слое заряженной жидкости и на твердом дне, приводящее при реализации неустойчивости тонких пленок к образованию большего числа эмиссионных выступов, чем для толстых или бесконечно глубоких слоев жидкости или капли без ядра;

- впервые получено аналитическое выражение для декремента затухания капиллярных колебаний заряженного слоя маловязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра;

- метода численного анализа выяснено, что учет флуктуационвнх сил приводит к увеличению критических параметров, характеризующих развитие неустойчивости для весьма тонких слоев жидкости.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что проведенные исследования способствуют лучшему пониманию закономерностей реализации неустойчивости в тонких слоях вязких жидкостей, а также физической природы процессов в грозовых облаках, определяющую роль в эволюции которых играют заряда и электрические поля. Полученные результаты позволяют более точно вычислять характеристики получаемых при работе жидкостных масс-спектрометров и жидкометаллических источников ионов капельно-иояо-кластерных пучков. Результаты работы могут найти применение при разработке новых конструкций жидкостных масс-спектрометров и жидкометаллических источников ионов. Составленные программы численного расчета цилиндрических сферических функций могут быть использованы при расчетах на ЭВМ.

На защиту выносятся:

- модель и численный анализ электрогидродинамической неустойчивости плоского тонкого слоя жидкости на плоской поверхности твердого дна и на поверхности твердого сферического ядра;

- численный анализ структуры спектра кашллярно-полоидальных и тороидальных вихревых течений жидкости в заряженной капле и в слое заряженной жидкости на поверхности сферического ядра;

- расчет декремента затухания капиллярных движений маловязкой жидкости в тонком слое на твердой подложке;

- модель и численный анализ влияния расклинивающего давления на

закономерности развития электрогидродинамической неустойчивости в тонкой пленке жидкости;

- модель таяния и электрогидродинамической неустойчивости крупной обводненной градины, падающей в грозовом облаке;

- качественный анализ закономерностей электродиспергирования жидкости из слоя на поверхности твердой подложки и его применение к условиям работы жидкометаллических источников ионов и вакуумных масс-спектрометров.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсувдались: - на 14 Всесоюзной конференции "Актуальные вопросы физики аэродисперсных систем" (Одесса, 1986); - на 3 Всесоюзном симпозиуме по атмосферному электричеству (Тарту, 1986); - на Всесоюзной конференции по активным воздействиям на гидрометеорологические процессы (Киев, 1987); - на Всесоюзном семинаре по электрокаплеструйной технологии (Ленинград, 1989); - на Всесоюзной конференции по физике и технике монодисперсных систем (Москва, 1991); - на 9-м международном симпозиуме по атмосферному электричеству (Санкт - Петербург, 1992); - на О международной конференции "Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков" (Санкт-Петербург, 1994); -на 17-й конференции стран СНГ по вопросам испарения, горения и газовой динамики дисперсных систем (Одесса, 1996).

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 124 страниц, в том числе 31 рисунок и 2 таблицы, состоит из введения, пяти глав, списка литературы из 104 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТ!!

ВО ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследуемой проблемы, обоснован выбор метода, сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ1 ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор, в котором " рассмотрены основные этапы формирования математических методов определения: критических условий неустойчивости заряженной плоской поверхности жидкости и заряженной капли, а также расчета спектра капиллярных волновых движений жидкости; проведен подробный анализ нескольких основополагающих работ, посвященных расчету спектра капиллярных волновых движений и критериев устойчивости заряженной жидкой капли и плоской поверхности жидкости в однородном электрическом поле; прослежена эволюция представлений о механизме развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости; проанализированы экспериментальные данные о закономерностях Рэлеевсного распада заря-

женных капель; приведен критический анализ публикаций, посвященных проблеме неустойчивости слоя жидкости конечной глубины при существенном вкладе флуктуационных сил.

ВТОРАЯ ГЛАВА содержит результаты аналитического и численного анализа задачи о капиллярных колебаниях и неустойчивости Тонкса-Френкеля слоя вязкой жидкости конечной толщины на твердом дне.

Математическая модель феномена развития неустойчивости заряженной поверхности проводящего жидкого слоя, лежащего на твердой подложке, состоит из уравнения Навье-Стокса, условия несжимаемости жидкости, уравнений Максвелла, и соответствующих граничных условий. Решение линеаризованной задачи классическими методами гидродинамики и электродинамики позволяет получить в безразмерных переменных, в которых плотность жидкости р = 1, коэффициент поверхностного натяжения о=1 и ускорение поля силы тяжести g = 1. дисперсионное уравнение для капиллярных движений жидкости:

4 q k2 ( k2 + q2 ) + f ( t?+ Sh(k d) Sh(q d) - q Ch(k d) Ch(q ci,)] +

t4i3q [<? Sh(k d) Sh(q d) - b Ch(k d) Ch(q d.)] -

Z(b) f л ---— |g Ch(q d) Sh(k d) - S Ch(~k d) Sh(q <2JJ = 0;

s t

Z(k,ïï)=k+k3-m*Cth(ïï)J; ïï=-— ; E=-V/b; cf=k2+3/v\

4 1С °

где fe, з и v - соответственно безразмерные волновое число, комплексная частота и кинематическая вязкость жидкости; безразмерные параметры d, Ъ, 7 описывают толщину жидкого слоя, расстояние до верхнего электрода и электрический потенциал между верхним электродом и свободной невозмущенной поверхностью жидкости; s - диэлектрическая проницаемость внешней среда; безразмерный параметр W характеризует поверхностную плотность заряда на свободной поверхности жидкости.

Все решения приведенного уравнения для жидкости любой конечной глубины определены на одном листе римановой поверхности и могут быть наблюдаемы. Совокупность реализувдихся апериодических решений образует бесконечное счетное множество. В случае же жидкости бесконечной глубины имеются и ненаблюдаемые решения, определяемые на нижнем листе двулистной римановой поверхности, а само число решений конечно. С математической точки зрения это обстоятельство связано с

появлением в рассматриваемой ситуации в дисперсионном уравнении гиперболических функций от комплексной частоты. С физической точки зрения появление бесконечного семейства апериодически сильно затухающих движений связано с отражением волновых движений от дна. Влияние конечности толщины слоя на параметры движений жидкости существенно сказывается, когда она становится сравнимой с длиной волны. Расчеты зависимости комплексной частоты от вязкости в докрити-ческом и критическом режимах показывают, что с увеличением вязкости декременты затухающих движений растут, а инкремент неустойчивости по отношению к поверхностному заряду убывает. Уменьшение толщины жидкого слоя приводит к аналогичным после дствиям (рис.1, рис.2). При этом, сужается спектр реализующихся волновых движений за счет ограничения как со стороны высоких, так и со стороны низких значений волновых чисел. Сужается и спектр значений волновых чисел, характеризующих движения, принимающие участие в реализации электрогидродинамической неустойчивости. Волновое число наиболее неустойчивой моды увеличивается с увеличением напряженности электрического шля у поверхности жидкости и с уменьшением толщины слоя.

Проведен анализ ситуации, к<

Рис.1 Зависимость безразмерной комплексной частоты я от безразмерной толщины слоя хидкости <1, рассчитанная при к=1: гьо.1; Ь=»оо.

Рис.2 Зависимость действительной части безразмерной комплексной частоты з от безразмерной толщины слоя хидкости à, рассчитанная при le = 1 ; w=2.os; Iko.i; Ь=юо.

ja существенно влияние сил флукту-

ационой природы, (толщина пленки <3 < 100 нм), играющих, ввиду смачиваемости подложи жидкостью, стабилизирующую роль. Дисперсионное уравнение в этом случае отличается лишь определением функции Z(ti,W), в которой появляется слагаемое, связанное с флуктуационными силами. Показано, что флуктуаци-онные силы могут снизить критическое значение к, при котором движение в системе становится устойчивым и ограничить со стороны малых значений диапазон изменений пара метра V, допускающего существование неустойчивых длин волн, а так ке ограничить множество значений к неустойчивых волн со стороны весьма малых волновых чисел (рис.3).

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена расчету капиллярных движений жидкости в сферической вязкой заряженной капле без твердого ядра. Предполагалась, что жидкость является диэлектриком с диэлектрической проницаемостью в и имеет однородное по объему распределение заряда. Полный заряд равен р. Задача решалась в безразмерных переменных, таких что Д =1, р =1, а =1. Решение задачи искалось в виде

и(гЛ) = V ^ (гЛ) + V х г Ф2 (г,г) + ух{^хг]§э (гЛ) ,

где первое слагаемое определяет потенциальную часть поля скоростей, второе - вихревую тороидальную, а третье - вихревую полоидальную.

Выражения для функций Ф. искались в виде разложений по сферическим функциям. В ходе решения были получены уравнения, описывающие временную эволюцию безразмерных амплитуд Хп капиллярных колебаний капли, получающиеся при решении задачи в приближении малой вязкости

Рис.3 Граница устойчивости заряхенной плоской поверхности жидкости: к, »=о, рассчитанная при ьиоо. Кривая подучена при учете флуктуационных сил с

-з -о _ ,

А=Ю ; 9 = ю . Кривая 2 получена без

учета влияния флуктуационных сил.

С?Х

ах

с№

г + 2°п ИНГ

+ = о :

< = п.(п-1).(п+2) - 4п.(п-1) 1 +

И

0е

Те-

а = (п-1)• (2тг+1)-V .

Дисперсионное уравнение капиллярных движений жидкости в капле для произвольной вязкости жидкости V имеет вид:

Я2 + 2(п-1)[(2т-1) - п(п+2)/п(х) ]п - Тп(х)) + =0;

Гп(х) = г-х~±.1п&±(х)/1п(х);

здесь I (х) - модифицированные сферические функции Бесселя, Б - комплексная частота. Численный анализ этого дисперсионного уравнения (см. рис.4 и рис.5) показывает, что при Не Я > О оно имеет однопара-метрическое множество решений .соответствующее Рэлеевской неустойчивости п - ой моды заряженной капли. При НеБ < О дисперсионное уравнение имеет уже двухпараметрическое

О

•40

■ —

- ■ V/

£ .Л

5

--А

5

6

1т $

/ 2 А У/

А

КеН

Этг

4

) 1 2 4

-г

Рис.4 Спектр движений жидкости связанных с четвертой водой капиллярных колебаний заряженной капли при 1Ьо.о2.

Рис.5 Зависимость декренентов затухания капиллярных и вихревых полон-дальних движений от безразмерной ВЯЗКОСТИ V при п=2; »= о. б.

множество решений Бпк, где к - номер корня уравнения /п (х) - 1 = О, при Яе Б < 0. На представленных графиках ветвь 1 определяет периодические затухающие капиллярные колебания капли. Ветви 2 (при Де 5 < 0) и 3 соответсвуют затухающим апериодическим капиллярным движениям жидкости. Часть ветви 2, расположенная при Яе Б > 0, дает инкремент Рэлеевской неустойчивости заряженной капли. Ветви дисперсионного уравнения с номерами большими 3 описывают апериодически быстро затухающие вихревые полоидальные движения жидкости в капле.

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена посвящена исследованию неустойчивости заряженного слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

В первом параграфе четвертой главы исследовалось влияние толщины слоя вязкой жидкости на поверхности твердого ядра на закономерности развития неустойчивости. Жидкость характеризовалась коэффициентом поверхностного натяжения а, плотностью р и кинетической вязкостью V. Предполагалось, что жидкость идеально проводящая, имеющая заряд 0. Радиус капли принимался равным Я, радиус ядра - Яо. Задача решалась в безразмерных переменных, в котрых й = 1, а = 1, р = 1. В результате получено дисперсионное уравнение в виде:

кг к. к* к. к*

к, к, 4,, к. к=

вег А = к, к, ¿зз к. к= = о ;

к, к. к* к*

к, к, к. к. кв

п; А±г=-(ги-1); 4.= п(п+1)1п(х); к<* - п(п+1)Ь (х); т>

А21=2(п-1); А22=-2(п+2); Агз=-2х1^(х) + [з*+2(п+1 )(п-1)] 1п (х); Агл= 2х\^ (х) + [а?* 2(п+1)(п-1)]\(х); АЭ1= Б+2т(п-1);

А = 5 + 2у(п+1)(пь2); А= 2т(п+1)[х I (х) + (п-1) I (х)];

32 ЭЭ 1 Л+1 П I

Г 1 #

АЭ4= 2т(п+1 Л-лйп+1 (X) + (п-1)кп(х)\; Аэв=(п-1 )(п+2)--(п-1);

•-Л 4%

к Л к^-^К к*= —— «пК);

п(п+1) - *

!пК);

О;

Л**= ~ Х *„♦! К)

* ^ К)

(п+1)

(п+1)

я

л

п К)

*п К) *'

= 0;

- / V '

Рис.6 Зависимость действительной части безразмерной частоты я капиллярных движений слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра от *0 - отношения радиуса ядра к радиусу капли при п = 2; №13; 1ЬО-ОЭ.

численных расчетов соответственно для 2 и 6 моды. Ветви с номером 2 соответствуют инкременту неустойчивости капиллярных движений жидкости. Ветви с номерами больше 2 соответствуют декрементам вихревых полоидальных движений жидкости. Из хода кривых видно для низких мод наличие ядра приводит к уменьшению инкрементов неустойчивости и увеличению декрементов вихревых полоидальных движений жидкости уже при ядре с радиусом порядка половины радиуса капли. В то же время влияние ядра на высокие моды становится заметным только при отношении радиусов близком к единице. Численные расчеты показывают, что наличие двух механизмов диссипации энергии капилляр-

При численном анализе дисперсионного уравнения построены зависимости безразмерной комплексной частоты 3 от безразмерного радиуса ядра Я0 для произвольных значений вязкости. Полученные зависимости позволяют предложить качественный механизм неустойчивости слоя жидкости на поверхности твердого ядра, объясняющий образование большого числа эмиссионных выступов в тонких пленках вязких жидкостей, в отличие от капли без ядра, где таких выступов всего два. На рис.6 и рис.7 приведены результаты

Рис.7 Зависимость аналогичная приведенной на рис.б. рассчитанная при п=в.

X

0.0^ йеб

-т.

ч

0.98

0.99

Я.

Рис.8 Зависимость инкрементов неустойчивости пяти первых четных под капиллярных колебаний сферического слоя вязкой *ид-кости на поверхности твердого ядра от *

-7

при ТЬо.оэ; к = э; А=»о

ствует номеру кривой. Видно, что учет этих сил будет либо способствовать образованию большого числа эмиссионных выступов, либо неустойчивость не будет развиваться.

Во втором параграфе четвертой главы исследуется влияние флуктуа-ционных сил на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности слоя жидкости на твердом сферическом ядре. При этом предполагается, что заряженный зарядом (3 проводящий слой идеальной жидкости на поверхности сферического ядра находится под воздействием внешнего однородного элект--+

рического поля Е. В результате численного анализа полученной бесконечной системы уравнений методом последовательных приближений были

ного волнового движени в слое жидкости и на тв рдом дне, приводит к о раничению спектра мо принимающих участие формировании эмиссионн выступов, отводя опред лякщую роль моде с макс мальным инкрементом середины диапазона неу тойчивых мод.

Проанализирована так ситуация, когда в пред тавленной выше зада учтено влияние флуктуац онных сил. На рис .8 пр ведена зависимость инкр ментов неустойчивое пяти первых четных мод безразмерного радиу ядра, номер моды соотве

0,9590

0,9994

(ДОХ ±

Рис.9 Критическая зависимое параметра Тейлора V) и &В)/&1>0 безразмерного радиуса ядра при фиксированной значении в личины параметра Рэлея V.

рассчитаны критические условия возникновения неустойчивости. На рис.9 представлены полученные зависимости критических значений параметра Тейлора для четырех первых мод от безразмерного радиуса ядра при постоянном заряде капли. Видно, что с увеличением радиуса ядра критические значения параметра Тейлора для всех мод резко возрастают.

В третьем параграфе четвертой главы аналитических путем выводится выражение для декремента затухания капиллярных волн в заряженном шаровом слое маловязкой жидкости на поверхности твердого ядра:

рп = —— -2-1 \п(п~1)(п+2-41? Л1'* -

п I рЯ* Л I ШпП/(п+1) J

от? I1-" fгn+í^vnv;1 п(п-1)(п+2-4г?;

2У2(п+1) (1-т /П+г> п/(п+1))

£ +

ъ =

т - [—] -I р'йЧ п рй2

(2п+1)2 v Г п(п~1 )(ги-2-4П*)

2/2 (П+1)

Уп Г П(П-1 )(ти-2-4Т) V

[77^77777^777?]

кп= ^(2ти-1 )^2(п2-1) + Т1(2п+1 - 2п(л+2)1?](1-Уп)2(п+1+т>п) у-

+ (2п+1)31?у~о*(1+2т;„)| 4(п+1+т>п)*| ; ул =

ПЯТАЯ ГЛАВА посвящена исследованию эмиссии на финальной стадии неустойчивости заряженных капель с поверхности тонкого слоя жидкости я рассмотрению практических приложений этого процесса.

В первом параграфе рассматривается влияние фдуктуационных сил на закономерности электродиспергирования с поверхности тонкого слоя жидкости. Предложена качественная модель фукционирования вакуумного ласс-спектрометра. При этом обсуждаются закономерности возникноверия я развития эмиттирувдих выступов, рассматривается характерный размер эмиттируемых капель.

Во втором параграфе рассмотрены некоторые закономерности появления капельной фазы в ионных пучках при неустойчивости тонкой пленки металла на боковой части эмиттера ионов.

В третьем параграфе рассмотрены некоторые геофизические приложения рассмотренных ранее объектов. В частности предложена электрогидродинамическая модель сброса такщэй градиной ее жидкой оболочки в условиях грозового облака. Рассмотрено явление ЭГД-неустойчивости жидких оболочек тающих градин как пусковой механизм генерации грозового электричества.

результаты и вывода.

1.Предложена и численно проанализирована математическая модель электрогидродинамической неустойчивости заряженного слоя вязкой жидкости на твердом дне. Рассчитаны зависимости критических значение заряда слоя и внешнего электрического поля от параметров задачи, определяющие условия неограниченного роста амплитуд капиллярных волн. Показано, что переход от неустойчивых к устойчивым слоям жидкоста осуществляется при достижении ими толщин порядка 100 нм. Рассчитанг структура спектра капиллярно-полоидальных и тороидальных вихревш движений жидкости в сферическом слое жидкости на твердом ядре.

2.Путем численного анализа поученного аналитически дисперсионного уравнения, описывающего капиллярное волновое движение на заряженной поверхности тонкого слоя жидкости при существенном влиянии флуктуаци-онных сил, выяснилось, что влияние флуктуационных сил, действующих 1 тонких слоях жидкости (7г < 100 нм), на критические условия реализацш неустойчивости заряженной поверхности жидкости весьма значительно I приводит к резкому (на несколько порядков) их увеличению. Флуктуаци-онные силы оказывают существенное влияние на условия эмиссии (на размеры и заряды) неустойчивой поверхностью жидкости заряженных микрокапелек и кластеров, что существенно сказывается на закономерности: формирования ионно-кластерно-капельного пучка в масс-спектрометра: вакуумного типа и жидкометаллических источниках ионов.

3.Получено аналитическое выражение для декремента затухания капиллярных колебаний заряженного слоя маловязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра.

4.Численный анализ показал, что гашение низких мод капиллярны; движений жидкости благодаря вязкой диссипации энергии на твердом дне а также под действием флуктуационных сил, и гашение высоких мод ка пиллярных движений жидкости за счет вязкой диссипации энергии в объ еме слоя, будет приводить к преимущественному развитию мод из середи ны диапазона спектра неустойчивости, что, в свою очередь, приведет : образованию большого числа эмиссионных выступов, количество которы определяется номером максимально неустойчивой моды.

5.Исследованы закономерности электродиспергирования жидкого заряженного слоя с твердым дном во внешнем электрическом поле. Полученные результаты позволяют предложить физически аргумен- тированное объяснение: образованию в грозовых облаках зон пространст- венного заряда, достаточных для генерации и регенерации облачных электрических диполей; феномену "плоской молнии"; закономерностям формирования ионно-кластерно-капельных пучков в жидкометаллических источниках ионов и вакуумных масс-спектрометрах

6.Численные расчеты проводились на основе написанных программ численного расчета значений сферических цилиндрических функций первого и третьего родов и расчета корней дисперсионных уравнений на нескольких листах римановой поверхности.

Основные результат» опубликованы в работах:

1.Григорьев А.И.,Муничев М.И. Электрогидродинамическая устойчивость тонкой пленки жидкости на поверхности сферического ядра // Электронная Обработка Материалов.- 1992.-J6 4.- С.23-25.

2. A.I.Grigor'ev, A.A.ZemKov, A.E.Lazaryants, H.I.Hunichev. The viscosity effect on Rayleigh instability realization conditions for a melting charged hailstone // Proceedings 9th internanional conference on atmospheric electricity. June 15-19. 1992. St.Petersburg. Russia. 1992.-Y.2. -P.454-456.

3.Григорьев А.И..Муничев М.И. Электрогидродинамическая устойчивость тонкой пленки жидкости на поверхности сферического ядра // Электронная Обработка Материалов.- 1992.-Я 4.- С.23-25.

4.Grigor'ev A.I. .Munichev M.I. .Shiryaeva S.O. Influence of Disjoining Pressure upon Stability in the Electric Field of a Charged Liquid Film on the Surface of a Hard Core // Journal of colloid and interface soience.-1994.-Nl66.-P.267-274.

Б.Ширяева C.O., Лазарянц А.Э., Григорьев А.И., Муничев М.И. и др. Метод скаляризации векторных краевых задач.//Препринт ИМРАН J627. Ярославль.-1994.-126 с.

6.Муничев М.И..Ширяева С.0.,Григорьев А.И. Влияние вязкости жидкости на величину инкремента неустойчивости сильно заряженной капли // Современные проблемы электрогидродинамики и электрофизики жидких диэлектриков. Тезисы докладов В международной конференции. 28 июня - I июля. Петродворец.- Санкт-Петербург.- 1994. - С.96-97.

7.Ширяева С.0..Григорьев 0.А.,Муничев М.И..Григорьев А. И. 0 возникновении неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ.-- 1995.- Т.65, ЛИ. - С.41-51.

8.Ширяева С.0..Григорьев О.А.,Мушчев М.И..Григорьев А.И. Вод новое движение в заряженной вязко-упругой жидкости // КТФ.- 1996 -Т.66,ШО.-С.47-62.

Э.Ширяева С.0.,Муничев М.И..Григорьев А. И. Волновые и вихревы движения жидкости в сильно заряженной капле // ЖТФ.-1996. -Т .66,Ш. С.1-8.

Ю.Григорьев А.И..Ширяева С.О.,Коромыслов В.А.,Муничев М.И. О особенностях реализации неустойчивости заряженного слоя вязкой жид кости на сферическом ядре // Письма ЖЕФ.-1996.-Т.22.,* 10. -с.23-29

П.Белоножко Д.Ф.,Григорьев А.И..Муничев М.И..Ширяева С.О. Эф фект влияния заряда на структуру спектра капиллярных волн в тонко слое вязкой жидкости// Письма ЖТФ.-1997.-Т.23.8. -С.84-89.

Подписано в печать Формат 60x84/16.

Усл.печ.л. I. Уч.-изд.л. I. Бумага Рар1гиз Сору. Печать тарфаретная. Тираж 100. Заказ 322.

Отпечатано на ризографе ООО "Рио-Гранд"

Ярославль, ул.Чкалова, д.2, оф.1106. Тел.: (0852) 27-58-85 Факс: (0852) 27-58-38



/

ЯРОСЛАВСКИЙ ИЮУДАРТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. П.Г. Демидова.

На правах рукописи

Л

МУНМЧЕВ Михаил Иванович

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ЭЖКТРОГдаОдМШШМЧЕиКОй НЕУСТОЙЧИВОСТИ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ НА ТВЕРДОМ ДНЕ.

05.13.16 - применение вычислительной техники,

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по физико-математическим наукам).

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научные руководители: д.ф.м.н. Григорьев А.И. ц.ф.м.н. Ширяева 0.6.

Ярославль

- 1997

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОГВДРОДИНАМИЧЕСКИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ. 6

ГЛАВА 2. КАПИЛЛЯРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКСА-'-ФРЕНКЕЛЯ СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ КОНЕЧНОЙ ТОЛЩИНЫ, ЛЕЖАЩЕГО НА ТВЕРДОМ ДНЕ. 26

ГЛАВА 3. ВОЛНОВЫЕ И ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ В СФЕРИЧЕСКОЙ ВЯЗКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ КАПЛЕ БЕЗ ТВЕРДОГО ЯДРА. 47

ГЛАВА 4. ЭЛЕКТРОГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКИХ СЛОЕВ ЖИДКОСТИ НА ПОВЕРХНОСТИ ТВЕРДОГО СФЕРИЧЕСКОГО ЯДРА. 57

4.1. Неустойчивость тонкого заряженного слоя вязкой жидкости на поверхности твердого сферического ядра с учетом влияния дисперсионных сил. 57

4.2. Влияние дисперсионных сил (расклинивающего давления) на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности слоя жидкости на тведом сферическом

ядре. 75

4.3.Расчет декремента затухания капиллярных волн

в заряженном шаровом слое маловязкой жидкости на поверхности твердого ядра. 85

ГЛАВА 5. ЭМИССИЯ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ С ПОВЕРХНОСТИ ЗАРЯЖЕННОГО ТОНКОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ. ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ. 94

5.1.Влияние расклинивающего давления на закономерности электродиспергирования с поверхности тонкого слоя жидкости. Качественная модель фукционирования вакуумного масс-спектрометра. 94

5.2.Некоторые закономерности появления капельной фазы в ионных пучках при неустойчивости тонкой пленки металла на бо-

ковой части эмиттера ионов. 97

5.3.Геофизические приложения. 100

5.3.1. Электрогидродинамическая модель сброса тающей градиной ее жидкой оболочки в условиях грозового облака. 101

5.3.2. ЭГД-неустойчивость жидких оболочек тающих градин как пусковой механизм генерации грозового электричества. 109

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ. ИЗ

ЛИТЕРАТУРА. 115

ВВЕДЕНИЕ.

Исследование электрогидродинамической (ЭГД) неустойчивости тонких заряженных слоев вязкой жидкости на твердой подложке, сопровождаемой теплоэлектромассообменом в многочастичных системах, является весьма актуальным как для более полного понимания природных явлений, так и для обширной области технических приложений. Процессы, происходящие в грозовых облаках, интересуют широкий круг исследователей в связи с разработкой теории грозового электричества, воздействия на градообразование в облаках, а также в связи с влиянием на прохождение радиоволн в атмосфере, грозовые процессы в которой происходят постоянно и захватывают значительные по масштабам области. Степень рассеяния радиоволн, а также лазерного излучения зависит от фазового и электрического состояния среды и ее дисперсности, наибольшие аномалии которых наблюдаются именно в грозах, где наряду с жидкими и твердыми объектами в большом количестве присутствуют ледяные частицы, покрытые слоем жидкости. Актуальна проблема неустойчивости жидких слоев на поверхности твердых ядер и при решении ряда прикладных задач, например, физики низкотемпературной плазмы продуктов сгорания твердых топлив,частицы которых покрыты слоем расплава или жидкого окисла. Исследование неустойчивости жидких слоев на твердой поверхности имеет приложения также в связи с разработкой методов жидкостной масс-спектрометрии и жидкометаллических источников ионов (ЖММИ), практикой электрического распиливания лакокрасочных материалов и жидкого топлива, разработкой ионных коллоидных реактивных двигателей, а также, несомненно, найдет применение и в других областях науки и техники, где теплоэлектромассообмен сопровождается неустойчивостью жидких слоев на поверхности твердого дна.

Настоящая работа проведена с целью теоретического численного и аналитического исследования механизма, особенностей и условий возникновения и развития электрогидродинамической неустойчивости жидких

слоев на поверхности твердого плоского дна или сферического ядра в поле электрических и флуктуационных сил.

На защиту выносятся:

1« Модель и численный анализ влектрогидродинамической неустойчивости плоского тонкого слоя жидкости на поверхности твердого дна во внешнем электрическом поле.

2. Модель и численный анализ электрогидродинамической неустойчивости заряженного сферического слоя жидкости на поверхности твердого сферического ядра во внешнем электрическом поле.

3.Численный анализ структуры спектра капиллярно-полоидальных и тороидальных вихревых течений жидкости в заряженной капле и в слое заряженной жидкости на поверхности сферического ядра.

4.Расчет декремента затухания капиллярных движений маловязкой жидкости в тонком слое на твердой подложке.

5.Модель и численный анализ влияния расклинивающего давления на закономерности развития ЭГД неустойчивости в тонкой пленке жидкости.

6. Модель таяния и ЭГД неустойчивости крупной обводненной градины, падающей в грозовом облаке.

7. Качественный анализ закономерностей электродиспергирования жидкости из слоя на поверхности твердой подложки и его применение к условиям работы ЖМИМ и вакуумных масс-спектрометров.

ГЛАВА I. ЭЛЕКТРОГИДРОДМНШШОШ® НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ.

I- Не у с тойчиво с ть заряженной поверхности жидкости привлекла к себе внимание исследователей еще в середине XVI века [1,23. Однако, первые исследования носили скорее интуитивный характер. Серьезное академическое исследование этого явления началось лишь на рубеже XIX и XX веков [2-6 3. Что же касается практического применения этого эффекта, то только в начале 50-х годов нашего века Воннегут и Нюбау-эр [23, Дрозин [73, а позже Хендрикс [83 обратили внимание на возможность практического использования в технике и технологии заряженных капелек, эмнттируемых на финальной стадии развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости. Одной из первых практических разработок основывающейся на данном явлении была разработка методов электроокраски при распылении лакокрасочных материалов, реализованная в серии работ, начатых в 50-х годах и завершившихся к 70-м [33-Одновременно была высказана мысль о возможности электростатического ускорения заряженных микрокапелек с целью создания тяги для космических двигателей, которая и была воплощена в практику в 70-е годы [103. С начала 60-х годов начали проводиться основанные на обсуждаемом эффекте работы по разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, жидком©таллических источников ионов и устройств для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей; созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов; жидко-металлической эпитаксий и литографии; получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза [11-203..

2.Одной из первых работ, которая имела серьезные теоретические наработки, и которая довольно часто цитируется по данному вопросу, является исследование электрогидродинамической неустойчивости вообще и неустойчивости заряженной капли в частности предпринятое Рэлеем [213 в 1882. В связи с весьма широким распространением заряженных

капель как компонент различных физических систем со времени опубликования статьи и до наших дней результаты, полученные в ¿"211, широко цитировались и изучались с точки зрения применения к задачам, актуальным на текущий момент, например, в капельной модели ядра атома ¿22,231 или в проблеме грозового электричества [Ы. Рэлей в работе [11 описал лишь постановку задачи и конечный результат, опустив все выкладки. Предметом нижеследующего рассмотрения (с целью иллюстрации используемых при решении элвктрогидродинамических задач математических методов) является задача, решенная Рэлеем, в подробном изложении воспроизведенная в Г24I, где в отличие от [211 опущены только самые очевидные места.

2а. Рассмотрим некоторую массу идеально проводящей несжимаемой невязкой жидкости, тещей температуру Т, большую, чем температура плавления, заряженную зарядом ф. В вакууме в отсутствии силы тяжести эта масса жидкости под действием сил поверхностного натяжения примет приблизительно сферическую форму. "Приблизительно" потому, что равновесная сферическая форма капли будет искажаться капиллярным волновым движением, которое всегда имеется в капле уже в силу теплового движения молекул. Амплитуды а. таких тепловых капиллярных коле/

баний будут порядка У Ш/7 , где к - постоянная Больцмана, !Г - абсолютная температура, 7 - коэффициент поверхностного натяжения. Для реальных жидкостей в реальных условиях величины а не превышают единиц ангстрем, и, значит, возникающее капиллярное волновое движение можно анализировать в приближении волн бесконечно малой амплитуды для капель с радиусами а » ап, т.е. для а > 10 нм.

Примем для простоты, что форма капли имеет осевую симметрию. В этом случае вместо разложений по сферическим функциям, как это было сделано в 11можно проводить разложения по полиномам Лежэндра, что упрощает рассмотрение, но не снижает общности.

Согласно сказанному представил уравнение поверхности капли в

íú

г = а

■f У а Р (coa 8)

¿, Г1 Ti

(I)

«=í

где г - расстояние от начала координат до поверхности; а «а0 V r¿? Pn(Goa Q)- полиномы Лежандра, 9 - угол между осью симметрии и радиус - вектором точки на поверхности капли в сферической системе координат с началом в центре сферы ; а0 и ari - постоянные коэффициенты» имеющие смысл амплитуд капиллярных волн. Отношения ап/а0 весьма малы (\а /а \ « 1} и убывают с увеличением номера моды п, так, что }а /а i < U

' n n+i •

Для упрощения нижеследующих достаточно громоздких выкладок введем обозначение \i = соз 9 и, воспользовавшись известным биноминальным разложением

(1 + :с)а = 1 + ах + [а (а-1)/2!1 + 1 -¡-ах, х«1, (2) вычислим объем капли

2% г 2% 1С 1

Y = J J J ггзж 9 йф dr dQ = -f тс J raainB dB = f тс J гэф ;

п п п о -i

dV - r2aínB сЮ сф dr ; ф = - зСггб de ; где г = r(\i) определяется (I). В итоге, используя (I) и (2), получим:

7

гз

л-1

^-fJ .Л

г 2 a £ 5 a a

*- ri = 1 O nsl Vft= í П -*

n=i »=1 Q

Пользуясь свойствами полиномов Лежандра:

1 1 J ф = О , ¥ п > О; J Рп(\ь) Рт Ф = 1

О

при г&т

найдем интеграл в выражении для 7 и окончательно для объема капли получим:

4 з тз-тс-а,

■J с

ÜÜ

+

О V f °п

О другой стороны, вводя радиус равновесной сферической капли а, ее объем можно записать в известной элементарной форме:

тт 4 _ „з

V = •

Тогда, приравнивая два последние выражения для объема капли, радиус равновесной сферической капли а можно выразить через амплитуды капиллярных волн а в виде:

а й а

а la

, + J (гп + f г

Г"! = 1 О J

(3)

26. Потенциальная энергия сил поверхностного натяжения рассматриваемой колебательной системы (потенциальная энергия, связанная с деформацией поверхности капли капиллярными волнами) равна произведению коэффициента поверхностного натяжения на приращение площади реальной поверхности капли по сравнению с площадью сферы (если за ноль потенциальной энергии выбрать потенциальную энергию сферы). Площадь поверхности капли вычислим по известной формуле {'см., например, [24, с.54J J

2% %

s = !0 J0 -ilr® ¿ч> .

где 9 и ф - сферические координаты, v- угол между нормалью к поверхности и радиус-вектором.

Если уравнение поверхности имеет вид F(rfQrfy)=Q, то вектор нормали к поверхности можно найти по формуле п = В нашем случае

со

F(r,u) = г - а - У а -Р (а)

х т ~' о ¿1 п Г!х"'

и, следовательно,

чР = п__

а

г*

Тогда

чР-п.

COS V =

WT

n = i

1 -

аз

П=1

п= i

а

г

fin е

-»

Tif

Ж"

sin. 8

■ 1 .--2

где п - единичный вектор радиального направления,

(008 %>)'

Ш

? +

¿Г

а а

п т

ОР 6Р

П, Гн

„2 ф ф

(1

^ )

Подставим это соотношение в выражение для площади поверхности : ^ г 1 , г 1 ® аР 6Р

3 = ^п -1-1 г2 Ф # + г ^ ЩГ V а» ^ Ф <Ч> -

Первый интеграл (с точностью до членоЕ второго порядка малости) легко найти прямым интегрированием:

21с 7

7

Г = Г Г г2ф Дф = Г

со

г/ + 2а У а Р Гц; +

О О ¿4 г> П

П=1

СО

+ У а а Р (и.) Р Ш

¿4 п те п ■« • те • ™'

п, те= 1

ф = 2%

2-сГ + 2

о

® а2

V п

2 ТШТ]

П=4

Для вычисления второго интеграла воспользуемся формулой

?

(2Р С2Р

п те

"ср фГ

ф = п(п+1) / ^ Рп Рт ф

Тогда второй интеграл» если расчеты производить с сохранением малых величин второго порядка, вычисляется в виде: ос

1

1,

?7С

У п(п+1) а а \ Р Р ф

¿! ■ п те гг те г

ш

2%

Г:, те= 1

п=1

П(П+1) „2 "Ш+Т7 г,

В итоге для площади поверхности капли получим

со да

3 = 4ш2о + 4% ^ (2п+1Г'х о? + Рк ^ я(п+1) (2п+1)~*с?

Г! = 1 Г» = 1

Перепишем это равенство несколько иначе:

СО т со

5 = 47Г

ОТ

о

П=1

00

+ 2 ^ (.2п+1}~± с? ~ 4% % (2п+1 Г1 <Т +

+ 2% ^ п(п+1} • (2п+1Г1 * а?

П=1

Учитывая (2) и (3), первую скобку можно представить как а . Тогда,

объединяя два последних, слагаемых в одно, получим

со

3 = 4%-а2 + 2% > (Т1-1)• (п+2)• (2п+1* - а* .

n=i п

Если 7 - коэффициент поверхностного натяжения (измеряемого в дин/см) то потенциальная энергия поверхности, отсчитываемая от равновесной сферы, имеет вид:

00

_ п— V 1 , 1-1 \ , 1 „2

ас>7 2 Гп-?..) (2ш1) 1

"7 1 л

• П=4

Проанализируем это выражение. Оно дает нам иг в виде однородной квадратичной функции от ап. Если мы представим электростатическую потенциальную энергию сфероида в таком же виде, то мы сможем принять а. за обобщенные координаты. Необходимое приближение можно получить, если вычислить поверхностную плотность заряда в первом порядке малости по ап, а затем использовать это выражение для нахождения электростатической потенциальной энергии во втором порядке малости по а .

п

2-в. Чтобы вычислить поверхностную плотность заряда, можно записать :

Ш 00

Г = ао + I °п К, ^ * а + I 1\ >

Г! = % П = 1

так как а отличается от а0 только во втором порядке малости.

Электростатический потенциал у поверхности проводящей деформированной согласно (I) капли может быть представлен в виде ряда

со

Ф = 1 Вг Г"Г1"4 Р/11) ,

П= О

где постоянные коэффициенты Вп таковы, что для п > 1

В « ,

Г! О *

так как ап « а0. Из теории мультиполей ясно, что Во = Ц - полный заряд капли. Учитывая, что Ро(= 1, выражение для потенциала можно записать в виде

со

^ „ п п= 1

Поверхность проводника является эквипотенциальной. Обозначив ее потенциал Ф., запишем

Ф = Ц

а ^

оо со

а + У а Р

¿Л Г! »

Г!

Г!

+ У В Р а + У

¿Л п Г!

п п

00

•4 -п

а + > а Р !

т т:

Г1 I

Подставляя сюда (3) и пренебрегая произведениями малых величин £п и а , найдем» что

со

а

00

ф = ---

о а а £ а

Г!= 1

I "¡Г Р,>-> + I

ЗГ!

_.№+1 те

Р Г|1] .

та • ' ■

№=л а

Приравнивая коэффициенты при полиномах одного порядка, получим

Ф = -й- ; д.а .ап+л = В -а2 .

О (2 ' г> п

Тогда выражение потенциала электрического поля деформированной капли легко записать

Ф

®

г

а

а

л-4

_ Г! Г) + 1 Г!

г>=^ г

Чтобы найти значение плотности заряда в любой точке поверхности капли, воспользуемся формулой

4-тс-7 = - п-7 Ф £ -

аФ

-Р соа V ,

где г' - угол между нормалью к поверхности и радиус-вектором точки поверхности; п - единичный вектор нормали к поверхности. Так как соа V отличается от единицы на малую величину, пропорциональную с£, примем ооз V = тогда

4-тс-7 %

аг

1 г-а+Г а Р

" п п

+ 2 (П+1) Я аг,~* Г"п"2 ап РГ1 ф,/

®

п=1

г=а+Т" ^ Р

" Г; Г

г т а ,

[ 1 + \~1Г р» ]

Г! = 1 -»

оыи а

а а1П_4> Р

п г»

П=1

Г 00 а п

[ ' ♦ I -¡Г ]

т= 1 -1

.1-1 + 2

л ю а оо а ® а

■ тт [ ' - \ г -51 рп] , (^)Я р„ [' - (п+2) I ^ Р.

Или, пренебрегая членами более высокого порядка малости, чем а , получим:

® (2 4-*-т = + в У —~ -

а п=1 а

Теперь можно вычислить приближенно потенциал самой капли с сохранением слагаемых 2-го порядка малости, используя выражение для поверхностной плотности заряда, выписанное в периом порядке, малости, следующим образом

в - I * г* [7*2 (п-0 > р„] [ * -

57

" 2 -р-] а -3- 2 О'1) 4- (гт1}"

Г: -» П О

Соответственно, электростатическая потенциальная энергия капли есть:

иг = -Д- Я Ф .

ч ¿г 4

Если же за нулевой уровень отсчета энергии принять электростатическую энергию равновесной сферы, то можно записать

I = - у Гп--?) а2 (2п+11 . (4)

4 £ 2а

Это выражение является квадратичной функцией а . Знак "минус" в (4) показывает, что электростатические силы противодействуют силам поверхностного натяжения.

2г. Посчитаем теперь кинетическую энергию волнового движения жидкости в капле. Это даст нам возможность выписать функцию Лагранжа и найти уравнения Лагранжа-Эйлера для коэффициентов а .

В связи с тем, что проводящая жидкость, составляющая каплю, предполагается однородной, невязкой и несжимаемой, движение жидкости в капле будем считать потенциальным и введем потенциал скоростей волнового движения [61:

со

(5)

Г>=1

где коэффициенты Рп пока неизвестны.

Кинетическая энергия движущейся жидкости в этом случае определится выражением

К =

2

I и® -р <27 = -П / ?Ф-уФ Р <ТГ .

Но ?(Ф-7Ф) = уФ-?Ф + Ф-у2Ф. А так как 72Ф = О, то, пользуясь теоремой о дивергенции (формулой Грина), можно записать

К = и чш-ч® рсг7 = |р|/ф-|р а2(3ф ф =

" V

= Рте- а2 . р 2 гс■ сГп~1 • р2 • (2п+1 г1

п

Скорость движения поверхности в направлении радиус-вектора можно вычислить, используя кинематическое граничное условие %

Пржравнивая коэффициенты при полиномах одного порядка, получим: ^г1

=п- (Зп ■ �