автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных волн на заряженной свободной поверхности электропроводной жидкости

На правах рукописи

КЛИМОВ Андрей Владиславович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА ЗАРЯЖЕННОЙ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОЙ

ЖИДКОСТИ.

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иваново - 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Григорьев А.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маурин Л.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Рудый А.С.

Ведущая организация: Ярославский политехнический институт.

Защита диссертации состоится <<]£_» су-к-о-б^ 2004 года в {часов на заседании диссертационного совета К 212.062.02 в Ивановском государственном университете (153377, г. Иваново, ул. Ермака, 39).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ивановского государственного университета.

Автореферат разослан « 1:Ъ » м-ра-2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Озерова В. М.

Актуальность темы. Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями данного феномена. В частности данное явлением находит применение в народном хозяйстве: в распыливании жидких топлив и лакокрасочных материалов, в технологии струйной печати, а также в изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Среди всех видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости выделяется неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по малой амплитуде возмущения свободной поверхности, хотя нелинейная суть явления явно следует из нелинейности основных уравнений гидродинамики. Различные экспериментальные исследования также не учитывают нелинейности феномена. Некоторое количество теоретических работ по изучению неустойчивости, выполненных в последние годы, все же делают попытку исследования явления в рамках нелинейных моделей, однако они содержат лишь формальные результаты без физических выводов об их значении для изучения феномена. Кроме того, представляет интерес получение нелинейных поправок к частотам волн на заряженной поверхности, наличие которых в итоге влияет на критерий неустойчивости свободной поверхности жидкости. Также большое значение имеет изучение свойств «конусов Тейлора» — результатов реализации неустойчивости, их пространственной формы, временной эволюции, факторов, влияющих на их формирование. Вышесказанное делает важным исследование, проведенное в этой работе.

Цель работы состояла в исследовании поведения волн на заряженной свободной поверхности жидкости, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и процессов формирования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - на поверхности электропроводной жидкости. Для достижения поставленной цели решались задачи:

- построения математической модели распространения нелинейных капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости;

- аналитического исследования влияния поверхностной плотности электрического заряда на формирование волн;

- исследования условий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости в нелинейном приближении по амплитуде волнового возмущения;

- определения времени реализации неустойчивости поверхности электропроводной жидкости;

математического моделирования процессов формирования эмиссионных выступов на заряженной «конусов Тэйлора».

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, которая позволяет получить нелинейные поправки к частотам этих волн и критическим условиям реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля;

- показано, что профили периодических капиллярно-гравитационных волн на однородно заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются;

- установлено, что минимальное значение поверхностной плотности электрического заряда, необходимое для реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды этой волны, также проявляется тенденция более быстрого уменьшения этих критических значений с дальнейшим ростом амплитуды волны;

- проведен анализ поведения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, который показал, что данный тип волнового движения качественно отличается от волн на незаряженной поверхности, и имеет смысл говорить об этих волнах как о волновом движении нового типа -электрокапиллярных волнах;

- впервые проведены оценки характерного время формирования «конусов Тейлора» (выступов на заряженной поверхности жидкости, образующихся на нелинейной стадии реализации ее неустойчивости, с вершин которых идет сброс избыточного заряда путем эмиссии высокодисперсных сильно заряженных капелек);

- в рамках предложенной модели распространения нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости получена форма эмиссионного выступа - «конуса Тейлора» - и исследована его временная эволюция.

Научная и практическая ценность заключается в том, что проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, закономерностей формирования эмиссионных выступов на поверхности жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св.Эльма», освещает некоторые их аспекты и способствует лучшему пониманию. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в предсказании погоды, в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометаллических источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных двигателей.

Основные защищаемые положения диссертации. На защиту выносятся:

- математическая модель распространения капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности жидкости;

- расчет формы волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели;

- поправки к критическим условиям реализации неустойчивости плоской поверхности электропроводной жидкости - неустойчивости Тонкса-Френкеля;

- оценки характерного времени реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости;

- теоретическое моделирование процесса образования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - и анализ закономерностей их пространственного формирования.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались:

- на VII международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2003);

- на Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию Ярославского Государственного университета им. П.Г.Демидова: Физика (Ярославль, 2003);

- на V российской конференции по атмосферному электричеству (Владимир, 2003);

- на Всероссийской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах» (Ярославль, 2004);

- на XXI научной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2004).

Структура и объем работы. Диссертация общим объемом 97 страниц, в том числе 15 рисунков, состоит из трех глав, списка литературы из 113 наименований и 2-х приложений.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обоснована актуальность исследуемой проблемы, цели, научная новизна и практическая ценность работы, а также сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

ПЕРВАЯ ГЛАВА диссертации представляет собой литературный обзор, в котором рассмотрены основные достижения в области теоретического моделирования и изучения неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости. Описан процесс реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, наблюдаемый экспериментально. Приводится работа Тонкса - первая попытка расчета условий реализации неустойчивости. Представлена модель Френкеля неустойчивости поверхности жидкости по отношению к избытку поверхностно распределенного электрического заряда; подробно рассмотрена в рамках этой модели задача Френкеля - краевая задача, в которой определяются условия возникновения неустойчивости - и обсуждаются результаты ее решения.

Рассмотрены теоретические работы, в которых анализировалось влияние различных факторов на процесс реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости - вязкости, глубины слоя жидкости, наличия поверхностно-активных веществ, внешней среды, конечной скорости электрической проводимости жидкости.

В обзоре указано, что большинство данных работ выполнены в линейном приближении по амплитуде возмущения свободной поверхности электропроводной жидкости, и они не дают ответа на многие вопросы. В частности, как происходит развитие неустойчивости и формирование эмиссионных выступов. В этой связи приводятся работы по теоретическому моделированию нелинейных волн на поверхности жидкости, обзор методов их расчета и анализа. В качестве примера подробно рассматривается одна известная математическая модель нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности идеальной жидкости.

ВТОРАЯ ГЛАВА посвящена теоретическому моделированию нелинейных капиллярно-гравитационных периодических волн на заряженной свободной поверхности идеальной, бесконечно глубокой жидкости.

В первом параграфе главы построена математическая модель нелинейной волны на заряженной свободной поверхности жидкости. Рассуждения проводились для упрощенной физической модели, в которой рассматривалась несжимаемая жидкость с плотностью р, коэффициентом поверхностного натяжения у, заполняющая в поле сил тяжести полупространство г < О декартовой системы координат, орт которой направлен против направления ускорения силы тяжести свободная поверхность жидкости считалась

электрически заряженной, и в ее окрестности предполагалось наличие однородного электростатического поля, направленного параллельно орту В этих условиях рассматривалась плоская волна длиной - волновое

число, бегущая по свободной поверхности граничащей с вакуумом жидкости в положительном направлении орта Решалась задача нахождения

неизменного во времени профиля бегущей волны в четвертом порядке малости по амплитуде, которую считали малой по сравнению с ее длиной, нелинейной по амплитуде поправки к частоте, поля скоростей в жидкости и напряженности электростатического поля во внешней среде.

Необходимо отметить, что чисто синусоидальный профиль сохраняется во времени только для волн бесконечно малой амплитуды и не является стационарным уже при расчетах второго порядка малости. В данной главе показано, что появление в расчетах более высокого порядка малости, чем второй, нелинейной квадратичной по малому параметру поправки к частоте приводит к тому, что фазовые скорости линейной по малому параметру волны и нелинейных поправок к ней различны, и говорить о стационарном во времени

профиле волны конечной амплитуды можно лишь на весьма ограниченных интервалах времени.

На основе построенной математической модели волнового движения формулировалась краевая задача. Решение задачи получено методом разложения неизвестных величин по малой амплитуде волнового возмущения а и методом многих масштабов теории возмущений. В результате получено выражение для профиля нелинейной волны на однородно заряженной свободной поверхности жидкости:

а также выражения для поля скоростей и напряженности электрического поля, которые здесь не приводятся ввиду их чрезмерной громоздкости.

Во втором параграфе второй главы приводится аналитическое исследование построенной математической модели. Анализ вышеприведенного выражения для профиля волны £ показывает, что говорить о существовании стационарного во времени профиля волны конечной амплитуды можно лишь условно. Стационарный во времени профиль волны получится, если ограничить расчеты вторым порядком малости. Тогда нелинейной добавки к частоте не будет, и профиль волны определится слагаемыми первого и второго порядка малости по амплитуде волны при В проведенных расчетах

четвертого порядка малости по амплитуде возмущения свободной поверхности нелинейная поправка к частоте вполне законно появляется в линейном и квадратичном слагаемых, но в кубическом по малому параметру слагаемом

фигурирует невозмущенный аргумент в. Вышесказанное означает, что фазовые скорости различных компонент профиля волны будут различны, и это приведет к его деформации со временем.

Из приведенных выражений видно, что амплитудный коэффициент поправки второго порядка малости к профилю волны Л резонансно нарастает при к = к2&1/ссш42. Амплитудный коэффициент поправки третьего порядка малости X имеет уже два резонанса: при Л = И при к =1/а -л/З. При резонансном взаимодействии энергия перекачивается от длинных волн с волновыми числами к более коротким с волновыми числами

Аналогичным будет направление перекачки энергии в окрестности резонанса к = к-\\ энергия будет перекачиваться от длинных волн с волновыми числами к = ку к волнам с к = З&з, но сам эффект будет иметь более высокий порядок малости.

Из выражения для амплитудного множителя при поправке к частоте второго порядка малости видно, что нелинейная добавка к частоте, также как и амплитудные множители Л и X, имеет резонансный вид. Это означает ограниченную применимость полученного выражения для профиля волны в окрестности волновых чисел поскольку как амплитудные

множители, так и добавка к частоте должны быть лишь малыми поправками к величинам первого порядка малости.

Критические условия реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля при расчетах в линейном приближении имеют вид:

к, = а'1;

Представляя искомые значения параметра Тонкса-Френкеля и волнового числа в виде разложений по квадрату безразмерной амплитуды волны в виде:

легко найти:

Таким образом, нелинейный анализ показывает, что критическая для реализации неустойчивости заряженной

поверхности жидкости поверхностная плотность заряда и волновое число

№ = к.а + к;1а-1 =2;

Рис.1. Зависимости безразмерного амплитудного множителя Л = Л(ак) от безразмерного параметра и:

наиболее неустойчивой моды снижаются по сравнению с предсказываемыми линейной теорией.

Как уже отмечалось, амплитудный коэффициент Л в слагаемом второго порядка малости в выражении для профиля волны имеет резонансный вид: при к = к2 знаменатель выражения для Л обращается в ноль. Если одновременно

устремить =(3/2л/2)»1.06, то числитель Л также будет стремиться к

нулю. В итоге, при РГ = Щ( в п р е д^-ле^ л я величин^олучается неопределенность типа 0/0, которая при вычислении по правилу Лапиталя дает Л = 1/8. Сама зависимость Л = Л^(ак) становится непрерывной. Она показана на рис. 1 и 2 пунктирной линией. Значение IV = естественно принять за критерий разделения волновых движений. При таком IV знак асимптотического значения Л в пределе 2 на рассмотренных

зависимостях меняется на противоположный. На рис. 1 показано семейство зависимостей построенных при различных значениях В

этой области значений IV амплитуда добавки второго порядка малости при изменении волнового числа ведет себя также как и для незаряженной поверхности: для волнового движения характерны профили с заостренной вершиной у длинных волн с к<кг и с притуплённой вершиной у коротких волн с к>кг. На рис.2. изображены зависимости же как и для незаряженной поверхности: для волнового движения характерны профили с заостренной вершиной у длинных волн с и с притуплённой вершиной у коротких

волне к>к2. На рис.2 изображены зависимости Л=*Л(ак), рассчитанные при различных значениях параметра из диапазона Видно, что

приведенные зависимости в некотором смысле обратны изображенным на рис.1. Поэтому нелинейные волны,

соответствующие этим

зависимостям, интерпретируются как новый, ранее неизвестный, тип периодического волнового движения на поверхности идеальной жидкости, появление которого связано с наличием поверхностного заряда. Профили таких волн приведены на рис.3 в сравнении с профилями волн на незаряженной поверхности

жидкости. Несложно видеть, что профили капиллярно -гравитационных волн на заряженной и незаряженной поверхности жидкости различаются существенным образом. Для первых

0.5 1 1.5 „к

Рис.2. Зависимости безразмерного амплитудного множителя Л = Л(ак) от безразмерного параметра У?:

характерны притуплённые вершины у длинных волн с к <кг и заостренные у коротких с к>кг, а у профилей волн на незаряженной поверхности жидкости все наоборот. Учитывая специфический характер сш

первых, уместно будет назвать ^ ^ их электрокапиллярно-

гравитационными, или просто О электрокапиллярными, ^

пренебрегая слабым в рассматриваемом диапазоне волновых чисел влиянием поля сил тяжести.

В третьем параграфе второй главы анализируются

нелинейные поправки к критическим условиям реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, имеющие четвертый порядок малости. С этой целью решалась задача из первого параграфа второй главы с учетом нелинейных эффектов до пятого порядка малости по амплитуде волны. Результирующее выражение для профиля имеет вид:

£ = а • сов^Ьс - (со+а г52 + а454 )• /]+а1 ■ Л • сов^^с - 2(со+а2 52 )• I]+ +2а3 •Лг-со8[зЬ:-з(<0+а2£!)'*]+

+ а4 -(г, -</*)]+г2 -ссф^-юг)]);

5 __£_х

4 512 <» (1+а2к2 -а к Ж) (1-2а2*2)3 (\~Ъагк2) Х х (256-2368а к 1¥+1Шгк2 +т4а2к2\Уг -ШЧаъкъ1¥-\56\6агкг]¥1 + + 229а V +1 1040а 4&4Г2 + 13056а4/с4Ж4 4 942- 2432а УРГ3 -- 4096а5£5Ж5 - 377а*к< -18528а6к61Г2 - 9984а6£6Ж4 +11948а7£7Ж + +31232а7£7Ж3 +6144а7А;7Ж5 -2218а8*8-22400а*к*Ж2 -13824а8АV + +6056аW+7680аVЖ3-1148а,V0+1920а,0it1V:!-1968а1,Jt,,»Г+24а,2A,2); кг

г,-

-(34-164а к IV-33а к2 +

48 (1-2а2А2)3 (1-За2А2)' + 336а2 к21Г2 - 52 а'к}Ж -192а'¿3Ж3 +171а4*4 - 240а Ч4^2 + +124 а5к*1У + 192а ^'Ж3 -134а6*6 - 24а7*70' - 48 а8*8);

Из последнего выражения для профиля волны £ можно видеть, что амплитудный множитель поправки четвертого порядка малости Та имеет три резонанса - при к при к ~кт, И При к = 1/{а ■ 4Ш). Поэтому при резонансном взаимодействии будет происходить перекачка энергии во-первых - от длинных волн с волновыми числами к <=к^ к более коротким к «З^г^ -вторых - от волн с волновыми числами " «=Л"з к волнам с к «З&з, но данный эффект будет иметь более высокий порядок малости, и в-третьих - от волн с к ~к4 к волнам с к «4^4, и сам эффект будет иметь еще более высокий порядок малости.

Критические условия реализации неустойчивости определялись в виде нелинейных по амплитуде поправок к критическим условиям, полученным в линейном приближении:

Расчеты показали, что

Нетрудно видеть отсюда, что критическая для реализации неустойчивости поверхностная плотность заряда и волновое число наиболее неустойчивой по Тонксу-Френкелю капиллярной волны снижаются по сравнению с предсказанными линейной теорией. Более того, выявляется тенденция более быстрого уменьшения этих критических значений с ростом амплитуды волны.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена теоретическому моделированию феномена реализации неустойчивости, процесса формирования эмиссионных выступов, а также оценке времени их формирования. Рассмотрение ведется в безразмерных переменных, в которых

В первом параграфе третьей главы приводятся результаты математического моделирования нелинейной капиллярно-гравитационной волны на заряженной поверхности жидкости, которые являются отправными для построения математической модели неустойчивости и формирования «конусов Тэйлора». Подчеркнуто, что в рамках линейной модели наиболее неустойчивой является волна с безразмерным волновым числом и

проведенный нелинейный анализ показывает, что для реализации неустойчивости волны с таким волновым числом критическое значение параметра Тонкса-Френкеля есть

IV, -а2 +м>4-а4

где В условиях натурного эксперимента на

свободной поверхности жидкости существует бесконечный спектр капиллярных волн, порождаемых движением молекул, с размерной амплитудой порядка -^кТ/у, (к- постоянная Больцмана; Т - абсолютная температура жидкости). Амплитуда таких волн для большинства реальных жидкостей в принятых безразмерных переменных ~10"'. Столь малая амплитуда волны означает, что критические условия неустойчивости полностью определятся линейной теорией: Влияние

нелинейных поправок проявляется в увеличении скорости нарастания амплитуды, которая зависит от самой амплитуды.

Во втором параграфе третьей главы построена математическая модель феномена реализации неустойчивости и проведены численные оценки времени ее реализации. Показано, что наиболее неустойчивая в линейном приближении волна обладает инкрементом:

который, как видно, зависит от амплитуды. В соответствии с этим, выражение для амплитуды волны имеет вид:

Тогда характерное время развития неустойчивости т, определяемое условием достижения данным выражением максимального значения, будет следующим:

Для воды, граничащей с вакуумом, это время будет ю2.5-104$, т.е. около семи часов (характерный масштаб обезразмеривания времени есть -^р"^¡У > т-е-

Для других жидкостей или комбинаций жидких сред в зависимости от коэффициента межфазного натяжения, плотностей сред и температуры это время может несколько изменяться, сохраняя порядок величины. Это качественно согласуется с экспериментальными наблюдениями Тейлора, который отмечал, что длительность линейной стадии подготовки неустойчивости во много раз превышает длительность нелинейной стадии, в течение которой амплитуда эмиссионного выступа на заряженной поверхности жидкости (известного под названием «конуса Тейлора»), быстро нарастает.

Было обнаружено существенное влияние величины плотности поверхностного заряда приложенного к невозмущенной поверхности жидкости, а конкретнее - степени закритичности напряженности

электростатического поля, которая способствует быстрому нарастанию амплитуды неустойчивой волны. Величина инкремента неустойчивой волны с к= 1 обусловлена превышением параметра Тонкса-Френкеля IV критического значения IV. на величину АЖи имеет вид:

Согласно этому зависимость амплитуды неустойчивой волны от времени будет следующей:

На рис.4 приведены зависимости амплитуды

нелинейно нарастающей волны от времени, рассчитанные по формуле для амплитуды волны Характерное время реализации неустойчивости при ЛЧ¥=0 и

очень велико Несложно видеть, что при достаточно больших

закритичностях АТУ?Ю и ао=10~* характерное

безразмерное время реализации неустойчивости может быть весьма кратковременным

МО-ьЮО, что согласуется с

Рис. 4. Зависимости безразмерных амплитуд нелинейно растущих волн при Ш=2+А1Я с безразмерным волновым числом к " 1 и безразмерной начальной амплитудой от безразмерного

времени при различных значениях хорошо начальной закритичности параметра описаниями Тонкса-Френкеля ЛШ

многих экспериментов. Но есть основания полагать, что эти эксперименты были проведены

при превышении параметром Ж критического значения на некоторую величину А1У. Из рис.4 видно, что величина закритичности АЖ при ее изменении в диапазоне от единиц до ста процентов от достаточно слабо сказывается на наблюдаемой феноменологии явления (на величине времени реализации неустойчивости). Иначе говоря, экспериментальное измерение критических условий реализации неустойчивости заряженной поверхности электропроводной жидкости только тогда может считаться выполненным корректно, когда характерное время реализации неустойчивости, составляет

величину »2.5-10^^, т.е. когда причиной неустойчивости при Ж = = 2 являются виртуальные волны тепловой природы. Только в таком случае имеет смысл говорить об измерении истинно критической напряженности поля и можно надеяться, что неустойчивость претерпела волна с к = а'\ что имеет место в условиях линейной модели явления.

На рис.4 наличие максимумов на кривых а — а(1) позволяет качественно исследовать зависимость характерного времени реализации неустойчивости т от величины закритичности и величины начальной амплитуды

виртуальной волны а„. Положение этих максимумов можно принять в качестве адекватной оценки характерного времени развития неустойчивости. Тогда зависимость характерного времени реализации неустойчивости от интересуюгцих нас физических характеристик процесса: величины закритичности ДЖ параметра Тонкса-Френкеля и величины начальной амплитуды виртуальной волны а0 будет выглядеть следующим образом:

г=_^=1п{-{(*,г•аа2+2ДКГ)-(16-№■ и-2-я02 +16-(Д0Ог +а04 •(*<£-12-и-, -ДГ)) +

+ • • а02 + Д^ - IV, • а04 • (1 б • Д• и-2 ■ +16 • (А!^)1 + а.4 • (3 • ч -

Зависимость т = т(а„) будет более содержательна, если рассчитать ее при АРГ =0. Искомая функциональная связь имеет вид, определяемый выражением для точки максимума зависимости амплитуды волны от времени, полученным для ситуации

Несложно видеть, что при зависимость характерного времени

реализации неустойчивости заряженной плоской поверхности жидкости Г = т(а0) в широком диапазоне изменения начальной амплитуды 10~* < а„<< 1

мало отличается от чисто гиперболической:

Функциональные зависимости подтверждают

выводы, которые были сделаны выше на основании косвенных оценок, а именно: характерное время реализации неустойчивости может быть достаточно малым (меньше секунды) либо при начальных амплитудах, существенно превышающих тепловую (на четыре порядка), или при закритичностях ДЖ>10"*. В будущих экспериментальных проверках критических условий реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля следует обращать внимание на это обстоятельство и аккуратно измерять в экспериментах время реализации

неустойчивости - физическую величину, на которую раньше никто не обращал внимания.

Было показано, что влияние вязкости на характерное время реализации неустойчивости мало. Так как характерное время развития неустойчивости Тонкса-Френкеля при бесконечно малых амплитудах виртуальных волн оказывается весьма большим, то из этого следует, что скорость движения поверхности жидкости оказывается весьма малой. При этом потери энергии на диссипацию малы, и ими можно пренебречь. Поверхность жидкости при возникновении неустойчивости движется быстро лишь на финальной стадии, длительность которой существенно меньше полного характерного времени реализации неустойчивости. Если разложить выражение для зависимости амплитуды волны от времени для случая по степеням

ограничиваясь квадратичным по а0-1 слагаемым, то получим:

Несложно видеть, что это выражение асимптотически корректно на интервале времени Сравнивая его с полным временем реализации

неустойчивости, приведенным выше, получим, что длительность линейной стадии является хорошей аппроксимацией для полного времени реализации неустойчивости. Причем в течение линейной стадии характерная скорость движения поверхности жидкости - У = — и ускорение—А = 2аг-"^г —

весьма малы. Как следствие, влияние вязкости на характерное время реализации неустойчивости мало.

В третьем параграфе данной главы строится математическая модель формирования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора». В основу модели ставится тот факт, что на свободной поверхности жидкости в местах с возросшей кривизной профиля волны локальная плотность электрического заряда, а с ней и локальная величина параметра Тонкса-Френкеля будут расти. Согласно линейной теории при максимальным инкрементом будет

обладать волна с волновым числом

и можно сделать вывод о том, что с увеличением амплитуды волны будет расти и величина волнового числа наиболее неустойчивой волны, то есть на вершине растущей волны с к = 1 по мере увеличения поверхностной плотности электрического заряда будут претерпевать неустойчивость все более короткие волны. В результате форма эмиссионного выступа (форма конуса Тейлора) определится суперпозицией всех претерпевших неустойчивость волн.

При реализации неустойчивости волны с выражение для величины параметра Тонкса-Френкеля, если ограничиться только линейным по

+ з),

амплитуде слагаемым в выражении для профиля волны, легко находится и имеет вид:

IV = Ж„(1 + 2а' совх);

где - величина параметра у невозмущенной капиллярным волновым движением плоской равновесной поверхности жидкости, когда квадрат частоты волны

проходит через ноль и волна претерпевает неустойчивость. При этом Ж зависит от времени через Усредняя последнее выражение по половине длины волны и подставляя это соотношение в выражение для волнового числа волны с максимальным инкрементом, найдем

зависимость волнового числа наиболее неустойчивой волны от ее амплитуды:

*.=*0(1+2.54а~ 3.29а2);

Рис. 5. Форма образующей эмиссионного выступа дается

внутренней кривой. Для сравнения приведена зависимость f=a • cos (к/а)

где V- волновое число наиболее (наружная кривая).

неустойчивой волны, соответствующее волны от времени имеет вид:

Ж0. Тогда зависимость амплитуды

£ * а(0cos[(l+2.54a(t) - 3.29д2 (/))• х]; a{t) =

Из этого выражения видно, что от времени зависит и амплитуда эмиссионного выступа и его характерный поперечный размер. Рассматривая эволюцию во времени выступа на поверхности жидкости, описываемого этим соотношением, получим выражение для профиля выступа в виде:

где С[г] и 8[г] - интегралы Френеля.

На рис.5 внутренняя кривая представляет собой график зависимости рассчитанный при на том же рисунке наружной кривой

приведен график зависимости: Несложно видеть, что

при равенстве амплитудных значений обеих кривых полученная зависимость

дает заметно большую кривизну вершины по сравнению с обычной косинусоидой.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построена аналитическая математическая модель нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения заряженной плоской свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, учитывающая нелинейные эффекты вплоть до пятого порядка малости по амплитуде начальной деформации.

2. Показано, что профили нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются.

3. Обнаружено, что критическое для реализации неустойчивости по отношению к электрическому заряду значение его поверхностной плотности и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды нелинейной волны.

4. Выяснилось, что поведение нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости качественно отличается от нелинейного волнового движения на незаряженной поверхности: с ростом поверхностной плотности заряда (с ростом параметра Тонкса-Френкеля при Жх < Ж -> 2 имеет место рост кривизны вершин капиллярных волн, что позволяет выделить их особо и назвать электрокапиллярными волнами.

5. Оказалось, что поправки к частотам капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, зависят от четных степеней амплитуды волны и имеют резонансный вид.

6. Критическая для реализации неустойчивости поверхностная плотность электрического заряда и волновое число наиболее неустойчивой моды снижаются с ростом амплитуды волны пропорционально суперпозиции четных степеней амплитуды.

7. Построена аналитическая математическая модель нелинейной пространственно-временной эволюции неустойчивой сильно заряженной поверхности жидкости.

8. Показано, что характерное время реализации неустойчивости заряженной плоской поверхности электропроводной жидкости определяется начальной амплитудой виртуальной волны и степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критической величины. Влияние закритичности параметра Тонкса-Френкеля на величину времени реализации неустойчивости является преобладающим. Время реализации неустойчивости обратно пропорционально амплитуде начальной виртуальной деформации, и для начальной деформации тепловой природы может измеряться часами.

9. Обнаружено, что процесс реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости делится во времени на две

стадии: стадию подготовки неустойчивости или линейную стадию, занимающую подавляющую часть полного времени развития неустойчивости, и существенно менее длительную нелинейную стадию, в течение которой имеет место взрывной рост амплитуды волны.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Григорьев А.И. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости//ЭОМ. 2003. №6. С.55-59.

2. Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на поверхности идеальной жидкости//Сб. Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. Сборник докладов VII Международной научной конференции. Санкт-Петербург. 2003. С.14-15.

3. Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.24. С.42-46.

4. Белоножко Д.Ф., Климов А.В., Курочкина С.А. Формы нелинейных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости, благоприятствующие зажиганию над ней Огней св.Эльма // Пятая российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник научных трудов. Владимир: Изд. ВлГУ. 2003. С.234-235.

5. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С.32-39.

6. Григорьев А.И., Ширяева C.O., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//ЖтФ. 2004. Т.74. Вып.7. С.140-142.

7. Григорьев А.И., Ширяева C.O., Белоножко Д.Ф., Климов А.В. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его ростаТЭОМ. 2004. №4. С.34-40.

8. Белоножко Д.Ф., Ширяева C.O., Климов А.В. О методических особенностях вывода законов сохранения в математической гидромеханике//Математика и математическое образование. Теория и практика. Межвуз. сб. науч. тр. Ярославль, 2004. Вып.4. С158-160.

9. Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О методике расчета нелинейных волн в слое вязкой жидкости конечной глубины// Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах. Теория и практика. Межвуз. сб. науч. тр. Ярославль, 2004. Вып.4. С137-139.

10. Курочкина С.А., Климов А.В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Влияние интенсивного испарения на нелинейное волновое движение в слое жидкости конечной толщины// Дисперсные системы. Сборник докладов XXI научной конференции стран СНГ. Одесса. 2004. С. 194—195.

р2 29 1 9

207

Введение.

Глава 1. Периодические волны на заряженной поверхности жидкости и их моделирование (обзор).

1.1. Предварительные сведения о неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости.

1.2. Модель неустойчивости Френкеля. Задача Френкеля, ее решение и анализ. Различные модификации модели Френкеля.

1.3. Исследования нелинейных волн на поверхности жидкости.

1.4. Задача определения нелинейной капиллярно-гравитационной волны на свободной поверхности жидкости.

1.5. Обсуждение результатов нелинейных исследований периодических волн.

Глава 2. Математическое моделирование нелинейных периодических волн на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости.

2.1. Построение математической модели.

2.2. Аналитическое и численное исследование нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости.

2.3. Нелинейные поправки высшего порядка к критическим условиям реализации неустойчивости плоской зараженной поверхности жидкости.

Исследование неустойчивости заряженной поверхности жидкости представляет значительный интерес в связи с многочисленными академическими, техническими и технологическими приложениями данного феномена. Оно лежит в основе принципа действия разнообразных прецизионных научных приборов и устройств, является неотъемлемой частью многих технологических и геофизических процессов. В частности данное явлением находит применение в народном хозяйстве: в распыливании жидких топлив и лакокрасочных материалов, в технологии струйной печати, а также в изучении природных явлений, таких как грозовое электричество, волны в океане и огни Св.Эльма (появляются как результат коронного разряда с поверхности капель воды, осевших на высоких предметах). Среди всех видов неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости выделяется неустойчивость Тонкса-Френкеля, и, несмотря на устойчивый многолетний интерес к этому феномену, большинство посвященных ему теоретических исследований проведено в рамках физико-математических моделей, линейных по малой амплитуде возмущения свободной поверхности, хотя нелинейная суть явления явно следует из нелинейности основных уравнений гидродинамики. Различные экспериментальные исследования также не учитывают нелинейности феномена. Некоторое количество теоретических работ по изучению неустойчивости, выполненных в последние годы, все же делают попытку исследования явления в рамках нелинейных моделей, однако они содержат лишь формальные результаты без физических выводов об их значении для изучения феномена. К тому же, в большинстве этих работ использовался наиболее распространенный в настоящее время подход к нелинейному исследованию, такой как получения солитонного решения. Это весьма узкий взгляд на проблему, поскольку нелинейные несолитонные движения встречаются в природе не менее часто. Те немногочисленные работы последних лет, которые рассматривают именно несолитонные нелинейные решения, показывают, что даже естественные на первый взгляд задачи (например, распространение волн по поверхности глубокой жидкости), решенные в этом ключе, приводят к важным результатам и выявляют новые неисследованные стороны уже привычных явлений. Кроме того, представляет интерес получение нелинейных поправок к частотам волн на заряженной поверхности, наличие которых в итоге влияет на критерий неустойчивости свободной поверхности жидкости. Солитонное решение таких поправок не дает. Также большое значение имеет изучение свойств «конусов Тейлора» -результатов реализации неустойчивости, их пространственной формы, временной эволюции, факторов, влияющих на их формирование. Вышесказанное делает важным исследование, проведенное в этой работе.

Цель работы состояла в исследовании поведения волн на заряженной свободной поверхности жидкости, закономерностей реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля и процессов формирования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - на поверхности электропроводной жидкости. Для достижения поставленной цели решались задачи:

- построения математической модели распространения нелинейных * капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости;

- аналитического исследования влияния поверхностной плотности электрического заряда на формирование волн;

- исследования условий реализации неустойчивости заряженной свободной поверхности жидкости в нелинейном приближении по амплитуде волнового возмущения;

- определения времени реализации неустойчивости поверхности электропроводной жидкости;

- математическое моделирование процессов формирования эмиссионных выступов на заряженной свободной поверхности жидкости - «конусов ф Тэйлора».

Научная новизна работы состоит в том, что в ней:

- впервые построена математическая модель распространения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, которая позволяет получить нелинейные поправки к частотам этих волн и критическим условиям реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля;

- показано, что профили периодических капиллярно-гравитационных волн на однородно заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются;

- установлено, что минимальное значение поверхностной плотности электрического заряда, необходимое для реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды этой волны, также проявляется тенденция более быстрого уменьшения этих критических значений с дальнейшим ростом амплитуды волны;

- проведен анализ поведения нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, который показал, что данный тип волнового движения качественно отличается от волн на незаряженной поверхности, и имеет смысл говорить об этих волнах как о волновом движении нового типа — электрокапиллярных волнах;

- впервые построена математическая модель реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости;

- впервые проведены оценки характерного время формирования «конусов Тейлора» (выступов на заряженной поверхности жидкости, образующихся на нелинейной стадии реализации ее неустойчивости, с вершин которых идет сброс избыточного заряда путем эмиссии высокодисперсных сильно заряженных капелек);

- в рамках предложенной модели распространения нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости получена форма эмиссионного выступа - «конуса Тейлора» - и исследована его временная эволюция.

Научная и практическая ценность состоит в том, что полученные результаты существенно расширяют фундаментальные представления о явлениях, происходящих при диспергировании жидкостей под влиянием электрического поля. Проведенный анализ нелинейных волн на заряженной поверхности жидкости, критических условий реализации неустойчивости Тонкса-Френкеля, закономерностей формирования эмиссионных выступов на поверхности жидкости вносит вклад в теорию грозового электричества, в исследование распространения волн в океане, в изучение явления «огней Св.Эльма», освещает некоторые их аспекты и способствует лучшему пониманию. Результаты исследования могут быть использованы в самых разнообразных академических, технических и технологических приложениях. В частности, проведенное исследование предсказывает явления, которые следует учитывать при исследовании жидко-капельных систем естественного и искусственного происхождения. В народном хозяйстве данное исследование может найти применение в предсказании погоды, в морской навигации, в практике распыления лакокрасочных и горючих материалов, в устройствах электрокаплеструйной печати, в разработке новых и усовершенствовании имеющихся конструкций: жидкометаллических источников ионов, масс-спектрометров, ионных коллоидных двигателей.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель распространения капиллярно-гравитационных волн на заряженной свободной поверхности жидкости.

2. Расчет формы волн и анализ волнового движения на поверхности жидкости в рамках построенной модели.

3. Теоретическая модель влияния амплитуды начального возмущения на критические условия реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

4. Поправки к критическим условиям реализации неустойчивости плоской поверхности электропроводной жидкости - неустойчивости Тонкса-Френкеля.

5. Оценки характерного времени реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости.

6. Математическое моделирование феномена образования эмиссионных выступов - «конусов Тэйлора» - и анализ закономерностей их пространственного формирования.

3.3.2. Заключение.

При математическом моделировании неустойчивости плоской заряженной поверхности идеальной несжимаемой, электропроводной жидкости характерное время реализации неустойчивости t. определяется начальной амплитудой а0 виртуальной волны, с которой начинается неустойчивость, и что более важно, степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критического для волны данной длины значения (то есть закритичностью АЖ)У так как влияние закритичности АУУ на величину г. при А1¥ является преобладающим. При А1¥ = 0 время и обратно пропорционально а0 и при достаточно малых а0 может достигать весьма больших величин вследствие медленного нарастания амплитуды на линейной стадии неустойчивости. Например, если виртуальная волна порождается тепловым движением молекул жидкости, то ао&\0~*ст и для воды величина составляет около восьми часов.

В рамках рассмотренной модели формирования конуса Тейлора процесс возникновения и развития неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности идеальной несжимаемой электропроводной жидкости делится во времени на два этапа: стадия подготовки неустойчивости или линейная стадия, занимающая в зависимости от начальных условий (от начальной амплитуды виртуальной волны и от степени закритичности параметра Тонкса-Френкеля в начальный момент времени) значительную часть полного времени развития неустойчивости, и весьма кратковременная нелинейная стадия, в течение которой амплитуда неустойчивой волны возрастает быстро и неограниченно.

Результаты и выводы.

1. Построена аналитическая математическая модель нелинейного периодического капиллярно-гравитационного волнового движения заряженной плоской свободной поверхности бесконечно глубокой идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, учитывающая нелинейные эффекты вплоть до пятого порядка малости по амплитуде начальной деформации.

2. Показано, что профили нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн не являются стационарными, а расплываются из-за того, что фазовые скорости поправок различных порядков малости к профилю волны различаются.

3. Обнаружено, что критическое для реализации неустойчивости по отношению к электрическому заряду значение его поверхностной плотности и волновое число наиболее неустойчивой волны уменьшаются пропорционально квадрату амплитуды нелинейной волны.

4. Выяснилось, что поведение нелинейных периодических волн на заряженной поверхности жидкости качественно отличается от нелинейного волнового движения на незаряженной поверхности: с ростом поверхностной плотности заряда (с ростом параметра Тонкса-Френкеля \¥ ) при < ¡V —> 2 имеет место рост кривизны вершин капиллярных волн, что позволяет выделить их особо и назвать электрокапиллярными волнами.

5. Оказалось, что поправки к частотам капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности идеальной несжимаемой жидкости, зависят от четных степеней амплитуды волны и имеют резонансный вид.

6. Критическая для реализации неустойчивости поверхностная плотность электрического заряда и волновое число наиболее неустойчивой моды снижаются с ростом амплитуды волны пропорционально суперпозиции четных степеней амплитуды.

7. Построена аналитическая математическая модель нелинейной пространственно-временной эволюции неустойчивой сильно заряженной поверхности жидкости.

8. Показано, что характерное время реализации неустойчивости заряженной плоской поверхности электропроводной жидкости определяется начальной амплитудой виртуальной волны и степенью превышения параметром Тонкса-Френкеля критической величины. Влияние закритичности параметра Тонкса-Френкеля на величину времени реализации неустойчивости является преобладающим. Время реализации неустойчивости обратно пропорционально амплитуде начальной виртуальной деформации, и для начальной деформации тепловой природы может измеряться часами.

9. Обнаружено, что процесс реализации неустойчивости плоской однородно заряженной поверхности жидкости делится во времени на две стадии: стадию подготовки неустойчивости или линейную стадию, занимающую подавляющую часть полного времени развития неустойчивости, и существенно менее длительную нелинейную стадию, в течение которой имеет место взрывной рост амплитуды волны.

1. Френкель Я. И. К Теории Тонкса о разрыве поверхности жидкости постоянным электрическим полем в вакууме//ЖЭТФ. 1936. Т.6. №4. С.348-350.

2. Tonks L. A Theory of liquid surface rupture by uniform electric field//Phys. Rev. 1935. V.48. P.562-568.

3. Taylor G.I., McEwan A.D. The stability of horizontal fluid interface in a vertical electric field//J. Fluid Mech. 1965. V.22. N 1. P.1-15

4. Габович М.Д., Порицкий В.Я. Исследование нелинейных волн на поверхности жидкого металла, находящегося в электрическом поле//Письма в ЖЭТФ. 1981. Т.ЗЗ. Вып.6. С.320-324.

5. Габович М.Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор)//УФН. 1983. Т.140. №1. С.137-151.

6. Rayleigh. On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity//Phil. Mag. 1882. V.14. P. 184-186.

7. Ландау JI.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука. 1992. 662 с.

8. Miskovsky N.M., Cutler Р.Н., Chug М. Effects of viscosity on capillary wave instabilities of planar liquid-metal surface in an electric field//J, Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P.1475-1482

9. Neron de Surgy, Chabrerie J. P. Denoux O., Wesfreid J.E. Linear growth of instabilities on a liquid metal under normal electric field//J. Phys. II. France. 1993. V.3. №8. P.1201-1225.

10. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Электродиспергирование слоя вязкой жидкости, лежащего на твердой подложке//ХУН коференция стран СНГ «Дисперсные системы». Тез. докладов. Одесса. 1996 г. С.29.

11. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Электростатическая неустойчивость заряженной поверхности сдоя жидкости конечной тощины//ЭОМ. 1996. №3,4. С.71-73.iУ

12. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И., Ширяева С.О. Эффект влияния заряда на структуру спектра капиллярных волн в тонком слое вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1996. Т.22. №10. С.84-89.

13. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Жаров А.Н. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя вязкой жидкости конечной толщины/Л/П Четаевская конференция «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» Тез. докладов. 1997. Казань.

14. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А., Белоножко Д.Ф. Капиллярные колебания и неустойчивость Тонкса-Френкеля слоя жидкости

15. А конечной толщины//ЖТФ. 1997. Т.67. Вып. 8. С.

16. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Муничев М.И. Зависимость от волнового числа критических условий неустойчивости заряженной пленки жидкости в поле флуктуационных сил//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.9. С.66-70.

17. Corteiezzi L., Prosperety A. Small-amplitude waves on the surface of layer of viscous liquid//J. Quart. Appl. Math. 1981. V.38. N4. P.375-389.

18. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами 1.//ЖЭТФ. 1940. Т. 10. № 11. С. 1296-1304.

19. Левич В.Г. Гашение волн поверхностно-активными веществами П.//ЖЭТФ. ^ 1941. Т.П. №2-3. С.340-345.

20. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: Гос. изд. физ. мат. лит. 1959. 699 с.

21. Dorrestein R. General linearized theory of the surface films on water ripples//Proc. Konicl. Ned. Akad. Wet. 1951. V.B54. №4.Дг P.350-356.

22. Van Den Tempel and Van De Riet Damping of waves by surface-active materials//! Chim. Phys. 1965. V. 42. P.2769-2777.

23. Lucassen-Reynders E.N., Lucassen J. Properties of capillary waves//Adv. Colloid Interface Sci. 1969. V.2. №4. P.347-395.

24. Ceniceros H. D. The effect of surfactants on the formation and evolution of H capillary waves//Phys. of fluids. 2003. V. 15. №1. P.245-256.

25. Ермаков С.А. О резонансном затухании гравитационно-капиллярных волн на воде, покрытой поверхностно-активной пленкой//Изв. РАН. ФАО. 2003. Т.39. №5. С.691-696.

26. Рабинович Л.М. О влиянии растворимых поверхностно-активных веществ на устойчивость жидких пленок и струй//МЖГ. 1978. №6. С.20-33.

27. Неволин В.Н. Влияние растворимых поверхностно-активных веществ на диспергирование жидкостей//Изв. РАН. МЖГ. 1981. №5. С. 160-164.

28. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О влиянии поверхностно-активных веществ на закономерности развития неустойчивости заряженной поверхности жидкости/УПисьма в ЖТФ. 1996. Т.22. Вып.15. С.61-64.

29. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. Математическое моделирование неустойчивости заряженной поверхности жидкости, покрытой пленкой ПАВ//Тез. докл. конф. молодых ученых «Проблемы моделирования в естествознании» 1997. Вожский.

30. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О минимальной для реализации эффекта гашения капиллярных волн концентрации поверхностно-активных веществ/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.6. С.74-79.

31. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О неустойчивости заряженной свободной поверхности растворов инактивных веществ//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.26-31

32. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Влияние упругости и динамического поверхностного натяжения на спектр волновых движений заряженной поверхности жидкости//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №16. С.32-37

33. Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Об особенностях капиллярных движений растворов поверхностно-активных веществ с заряженной свободной поверхностью//ЖТФ. 1998. Т. 68. Вып.2. С.22-29.

34. Melcher J.R. Field-coupled surface waves. A comparative study of surface coupled electrohydrodynemics and magnetohydrodynemics systems. Cambridge. 1963. 190 p.

35. Melcher J.R., Schwarz W. J. Interfacial relaxation overstability in tangential electric field instability// Phys. Fluids. 1968. V.ll. №12. P.2604-2616.

36. Melcher J.R., Smith C.V. Electrohydrodynamic charge relaxation and interfacial perpendicular-field instability//Phys. Fluids. 1969. V.12. №4. P.778-790.

37. Ширяева C.O., Григорьев А.И. Эффект динамического поверхностного натяжения и капиллярное волновое движение на заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1996. Т.66. №10. С.31-46.

38. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Щукин С.И. Об инкременте неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей/ЯТисьма в ЖТФ. 1997. Т.23. вып. 16. С.38-40

39. Саранин В.А., Жаров А.Н., Белоножко Д.Ф. Колебательная неустойчивость границы раздела проводящих жидкостей в нормальном электрическом поле// Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып. 16. С.41-44.

40. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Щукин С.И. О колебательной неустойчивости заряженной границы раздела несмешивающихся электропроводных жидкостей//Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. Вып.21. С.32-36.

41. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной границы раздела двух несмешивающихся вязких жидкостей с учетом релаксации заряда//ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С. 13-19.

42. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О. Неустойчивость плоской границы раздела двух несмешивающихся проводящих вязких жидкостей в нормальном электрическом поле//Изв. РАН МЖГ. 1998. №6. С. 116-123.

43. Sapir M., Havazelet D. Reduction of the Rayleigh-Taylor instability effects on ICF targets via a voltage-shaped ion beam//J. Phys.D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.41-46.

44. Григорьев А.И., Ширяева C.O. Неустойчивость заряженной плоской поверхности тангенциального разрыва двух несмешивающихся жидкостей различных плотностей//ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.9. С.23-34.

45. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И., Рахманова Ю.Д. Взаимодействие релаксационных волн с волнами перераспределяющегося по свободной поверхности поверхностно-активного веществаУ/Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №18. С.25-31.

46. Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О. О некоторых закономерностях реализации неустойчивости заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С. 15-22.

47. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Неустойчивость напряженной поверхности сильно вязкой жидкости//Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.22. С.80-85.

48. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Автоколебательная неустойчивость свободной поверхности вязко-упругой среды//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.З. С.80-85.

49. Белоножко Д.Ф., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О взаимодействии капиллярных волн на заряженном тангенциальном разрыве поля скоростей//Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.11. С.10-17.

50. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Капиллярные колебания вязкоупругой среды под влиянием постоянного внешнего воздействия//ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.11. С.25-33.

51. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Белоножко Д.Ф., Голованов А.С. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца//ЭОМ. 2000. №2.

52. Белоножко Д.ф., Григорьев А.И., Ширяева С.О., Голованов А.С. О формировании волнового микрорельефа на поверхности полупроводника при распыливании его сильно точным ионным пучком// ЭОМ. 2000. №6.

53. Lick W. Nonlinear wave propagation in fluids//Ann. Rev. of Fluid Mech. 1970. V.2. P.l 13-136.

54. Hammack J.L., Henderson D.M. Resonant interactions among surface water waves// Ann. Rev. of Fluid Mech. 1993. V.25. P.55-97.

55. Dias F., Kharif C. Nonlinear gravity and capillary-gravity waves//Ann. Rev. Fluid Mech. 1999. V.31. P.301-346.

56. Wilton J.R. On Deep water waves//Phil. Mag. S.6. 1914. V.27. №158. p.395-394.

57. Wilton J.R. On ripples// Phil. Mag. S.6. 1915. V.29. №173. p.689-700.

58. Simons W.F. A variational method for weak resonant wave interactions//Proc. Roy. Soc. Ser.A. V.309. p.551-575.

59. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1965. V.21. pt.2. p.305-331.

60. McGoldrick L.F. An experiment on second-order capillary gravity resonant wave interactions//!. Fluid Mech. 1970. V.40. pt.2. p.251-271.

61. McGoldrick L.F. On Wilton's ripples: special case of resonant intaractions//J. Fluid Mech. 1970. V.42. pt.l. p.193-200.

62. McGoldrick L.F. On the rippling of small waves: a harmonic nonlinear nearly resonant interacrion//J. Fluid Mech. 1972. V.52. pt.4. p.723-751.

63. Nayfeh A.H. Triple- and quintuple-dimpled wave profiles in deep water//The phys. of fluids. 1970. V.13. №3. p.545-550.

64. Nayfeh A.H. Third-harmonic resonance in the interaction of capillary and gravity waves//J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.2. p.385-395.

65. Nayfeh A.H. The method of multiple scale and non-linear dispersive waves//J. Fluid Mech. 1971. V.48. pt.3. p.463-475.

66. Nayfeh A.H. Finite amplitude surface waves in a liquid layer//J. Fluid Mech. 1970. V.40. pt.4. p.671-684.

67. Bretherton F.P. Resonant interaction between waves. The case of discrete oscillations//J. Fluid Mech. 1964. V.20. pt.3. p.457-479.

68. Ламб Г. Гидродинамика Л: ГТТИ. 1947. 928 с.

69. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Под ред. Кибеля И.А. Ч 1.Л.: ГТТИ. 1963. 584 с.

70. Стокер Дж. Волны на воде М.: ИЛ. 1959. 617 с.

71. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 1977. 622 с.

72. Ле Меоте Б. Введение в гидродинамику и теорию волн на воде. Л.: Гидрометеоиздат. 1974. 368 с.

73. Юэн Г. Лэйк Б. Нелинейная динамика гравитационных волн на глубокой воде. М.: Мир. 1987. 179 с.

74. Захаров В. Е. Устойчивость периодических волн конечной амплитуды на поверхности глубокой жидкости//ПМТФ. 1968. № 2. С.86-94.

75. Craper G.D. An exact solution for progressive capillary waves of arbitrary amplitude//.!. Fluid Mech. 1957. V.2. p.532-540.

76. Ильичев A.T. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2003. 256 с.

77. Gonsalez A., Castellanos A. Kortwg-de Vries-Burgeres equation for surface waves in nonideal condacting liquids//Phys. Rev. E. 1994. V.49. №4. P.2935-2940.

78. Gonsalez A., Castellanos A. Nonlinear electrohydrodynamic waves on films falling down an inclined plane//Phys. Rev. E. 1996. V.53. №4. P.3573-3578.

79. Жакин А. И. Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности//Изв. АН СССР. 1984. №3. С.94-102.

80. Michael D.H. Note on electrohydrodynamic stability//Quart. Of Appl. Math. 1970. V.28. №1. P.139-143.

81. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.139-143.

82. Michael D.H. Nonlinear effects in electrohydrodynamic surface wave propogation//Quart. Of Appl. Math. 1977. V.35. P.345-355.

83. Bhimsen K., Sh. Nonlinear stability of surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1979. V.35. P.423-427.

84. Rama Kant, Jindia R.K., Malik S.K. Finite amplitude surface waves in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1981. V.39. P.23-24.

85. Malik S.K., Rama Kant Second harmonic resonance in electrohydrodynamics// Quart. Of Appl. Math. 1986. V.43. P.23-24.

86. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные электрокапиллярные волны на заряженной поверхности идеальной жидкости//Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып. 18. С.46-51.

87. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных капиллярно-гравитационных волнах на заряженной поверхности идеальной жидкости//Изв. РАН. МЖГ. 2003. №6. С. 102-109.

88. Климов А. В., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Нелинейные периодические волны на заряженной свободной поверхности идеальной жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып. 1 С.32-39.

89. Григорьев А.И., Ширяева С.О. // Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.

90. Pregenzer A.L., Marder В.М. // J. Appl. Phys. 1986. V.60. P.3821-3824.

91. Schooley A.H. // J. Geophys. Res. 1960. V.65. №12. P.4075-4079.

92. Зубарев H.M. // ЖЭТФ. 1999. T.l 16. Вып.6(12). С. 1990-2005.

93. Зубарев Н.М., Зубарева O.B. // ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.7. С.21-29.

94. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И //О внутреннем нелинейном резонансе капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности вязкой жидкости//ПЖТФ. 2003. Т.29. Вып.8. С.1-7.

95. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Асимптотическое решение задачи о нелинейных волнах в вязкой жидкости// ПЖТФ. 2002. Т.28. Вып. 19. С. 1-9.

96. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Волны конечной амплитуды на поверхности вязкой глубокой жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.28-37.

97. Любимов Д.В., Любимова Т.П., Черепанов A.A. Динамика поверхностей раздела в вибрационных полях. М.: Физматлит. 2003. 215 с.

98. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к частоте капиллярно-гравитационных волн на заряженной поверхности жидкости и к критическим условиям реализации ее неустойчивости/ЛПисьма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.24. С.42-46.

99. Климов A.B., Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. О нелинейных поправках к критическим условиям реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//(В печати ПЖТФ)

100. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов A.B. О характерном времени реализации неустойчивости плоской заряженной поверхности жидкости//ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.7 С. 140-142.

101. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Белоножко Д.Ф., Климов A.B. О форме «конуса Тэйлора» и характерном времени его роста//ЭОМ. 2004. №4. С.34-40.

102. Allen J.E. A note on the Taylor cone// J. Phys. D: Appl. Phys. 1985. V.18. P.59-62.

103. Longuet-Higgins M.S. Viscous dissipation in steep capillary-gravity waves//J. Fluid Mech. 1997. V.344. P.271-289.

104. He J., Miscovsky N.M., Cutler P.H., Chung M.//J. Appl. Phys. 1990. V.68. №4. P.1475-1482.

105. Григорьев А.И., Ширяева C.O.// Изв. РАН. МЖГ. 1994. N.3. С.3-22.

106. De Surgy G.N., Chabrerie J.P., Denoux О., Wesfreid J.E.//J. Phys. II France. 1993. V.3. P.1201-1225.

107. Mohamed A.A., Elshehawey E.F., El-Sayed M.F. // J. Coll. Int. Sei. 1995. V.169. P.65-78.

108. Александров M.Л., Галь Л.Н., Иванов В.Я. и др. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №6. С.165-167.

109. Ширяева С.О., Григорьев А.И. // ЖТФ. 1995. Т.65. Вып.9. С.39-45.

110. Ширяева С.О. // ПЖТФ. 2000. Т.26. Вып.4. С.5-8.

111. Григорьев А.И. // ПЖТФ. 1998. Т.24. Вып.24. С.36-40.

112. Шутов A.A. Генерация электрогидродинамических волн на границе раздела жидкость-вакуум//ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.8. С. 126-130.