автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование нелинейных осцилляций во внешней несжимаемой среде покоящихся и движущихся заряженных капель

На правах рукописи

ВОЛКОВА Марина Владимировна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИЙ ВО ВНЕШНЕЙ НЕСЖИМАЕМОЙ СРЕДЕ ПОКОЯЩИХСЯ И ДВИЖУЩИХСЯ ЗАРЯЖЕННЫХ КАПЕЛЬ.

05.13.18. - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (по физико-математическим наукам).

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иваново

2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г.Демидова

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ширяева С О.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маурин Л.Н

доктор физико-математических наук, профессор Рудый А.С.

Ведущая организация: Ярославский государственный технический

университет.

Защита диссертации состоится «ХЗ » декабря 2004 года в -/0 часов на заседании диссертационного совета К 212.062.02 в Ивановском государственном университете (153377, г. Иваново, ул. Ермака, 39).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ивановского государственного университета.

Автореферат разослан ноября 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного Совета кандидат физ.-мат. наук, доцент

Озерова В. М.

ВВЕДЕНИЕ

. Актуальность темы. Исследование линейных и нелинейных осцилляции и устойчивости заряженных капель по отношению к собственному заряду представляет значительный интерес в связи с многочисленными геофизическими, техническими и технологическими приложениями, в которых фигурирует подобный объект. Результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному заряду имеют важное значение не только для тех приложений в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости. С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электро-аэрозольных технологий, задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества, задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов, жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза.

Несмотря на то, что исследованиям устойчивости и распада капель имеющих собственный или индуцированный заряд посвящено в различных постановках значительное число работ, большинство исследований подобных систем проводились в линейном по амплитуде осцилляции приближении. Нелинейные же осцилляции заряженных капель начали исследоваться только в последние два десятка лет после появления мощных компьтерных пакетов аналитических вычислений. Аналитические же исследования нелинейных осцилляции покоящихся или движущихся капель в среде совсем не проводились.

Цель работы заключалась в:

1. Разработке математической модели нелинейных осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости в идеальной диэлектрической несжимаемой среде.

2. Разработке математической модели нелинейных осцилляции заряженной капли несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной скоростью в диэлектрической несжимаемой среде.

3. Аналитическое исследование равновесных форм равномено движущихся в несжимаемой диэлектрической среде заряженных капель в параллельно и перпендикулярно ориентированных к направлению движения однородных электростатических полях.

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что в ней впервые в научной практике строится математическая модель нелинейных осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости в идеальной диэлектрической несжимаемой среде;

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ | БИБЛИОТЕКА

! ¡ГЯЩ.

- строится математическая модель нелинейных осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной скоростью относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды;

- приводятся строгие аналитические расчеты равновесных форм равномено движущихся в несжимаемой диэлектрической среде заряженных капель в параллельно и перпендикулярно ориентированных к направлению движения однородных электростатических полях.

Практическая ценность работы заключается в том, что результаты, полученные в ней могут быть использованы при разработке новых конструкций электрокаплеструйных печатающих устройств; аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов; жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей; устройств для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, капель жидкого водорода для установок управляемого термоядерного синтеза.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: -6-ой Международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2003); -5-ой Российской конференции по атмосферному электричеству; -Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003); - XXI-ой научной конференции стран СНГ: Дисперсные системы (Одесса, 2004); -научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2002-2004).

На защиту выносятся:

1. Результаты аналитических расчетов равновесных форм заряженной капли в параллельных и скрещенных электрическом и гидродинамическом полях.

2. Результаты линейного анализа условий устойчивости заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю.

3. Математическая модель нелинейных капиллярных колебаний заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

4. Результаты аналитического и численного исследования математической модели нелинейных капиллярных колебаний заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

5. Математическая модель нелинейных осцилляции и устойчивости заряженной капли, движущейся относительно несжимаемой диэлектрической среды.

6. Результаты аналитического и численного исследования математической модели нелинейных осцилляции и устойчивости заряженной капли, движущейся относительно несжимаемой диэлектрической среды.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключительного раздела «результаты и выводы», списка литературы из 125 наименований. Она содержит 110 страниц машинописного текста, включающих 24 рисунка.

Содержание работы.

Первая глава диссертации является литературным обзором, в котором: проанализированы экспериментальные и теоретические работы по исследованию

равновесных форм капель во внешних полях; дан ретроспективный анализ экспериментальных и теоретических исследований нелинейных осцилляции заряженных капель электропроводных жидкостей и отмечено отсутствие выполненных исследований нелинейных осцилляции капель при учете наличия внешней среды, а также относительного движения среды и капли.

Во второй главе диссертации, в первом параграфе, на основе условия баланса давлений на свободной равновесной поверхности капли несжимаемой идеальной электропроводной жидкости с использованием помодового анализа (при разложении уравнения баланса давлений по сферическим функциям), а также из требования минимальности свободной энергии капли в равновесной состоянии рассчитывается равновесная форма заряженной капли, движущейся со скоростью V относительно несжимаемой диэлектрической среды параллельно направлению внешнего электрического поля Ед- Показано в указанных внешних условиях капля деформируется к сфероиду, ориентированному по полю, квадрат эксцентриситета которого определяется выражением:

!

а

2 9 (и>тг -^е) е — — 16

(1)

а

(1-Ю ' 16/гаК>

Здесь Я - радиус равновеликой по объему сферической капли, а - коэффициент поверхностного натяжения границы раздела сред, р - плотность среды.

Из (1) видно, что при (ю/ж) > №е капля деформируется к вытянутому сфероиду, а при - к сплюснутому. Собственный электрический заряд капли, не

приводя к деформации формы, усиливает равновесные деформации капли во внешних силовых полях.

Интересно, что в ситуации, когда и заряд капли, и напряженность внешнего электрического поля капли, движущейся с конечной (малой) скоростью не равны нулю Ев#0, и ФО, капля может сохранять сферическую форму при (у»/к) =

и произвольном, меньшем критического по Рэлею, заряде. При наблюдениях в природных условиях регистрируются все три формы капель: сферическая, сплюснутая сфероидальная и вытянутая сфероидальная.

Во втром параграфе второй главы рассчитывается равновесная форма заряженной капли во взаимно перпендикулярных электрическом и гидродинамическом полях. Показано, что в этом случае капля деформируется к трехосному сфероиду у которого квадраты эксцентриситетов вдоль взамно перпендикулярных направлений определяются соотношениями: 9 V . 2 9

е2=-

еп =--

16ж(\-}Г) и 16(1 -IV)

В третьей главе диссертации исследованы нелинейные осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в идеальной несжимаемой диэлектрической среде.

Физическая формулировка задачи имеетвид: пусть имеется сферическая капля радиуса имеющая заряд, равный идеальной несжимаемой идеально

проводящей жидкости с плотностью и коэффициентом поверхностного

натяжения находящаяся в идеальной несжимаемой жидкости плотности с

диэлектрической проницаемостью е^ в условиях отсутствия гравитации. Движение жидкости в капле и внешней среде примем потенциальным. Форму капли будем считать осесимметричной как в начальный, так и во все последующие моменты времени. Все решение проводится в безразмерных переменных в которых р^ = 1,

методом многих масштабов.

В итоге выражение для образующей нелинейно осциллирующей капли получается в виде

г(5,Г0)Г^= 1 (Г0 )Р„ (СОБ(5))+(Г0(соб(^)); (2)

Здесь - безразмерный малый параметр, характеризующий амплитуду начальной деформациии капли; О - множество мод, определяющих начальную деформацию; от - частота т -ой моды (к^рф фициенты Клебша-Гордана.

На рис. 1а - рис. Ы приведены рассчитанные по (2) при различных значениях отношения плотностей среды и капли р временные зависимости амплитуд всех мод (кроме нулевой), возбуждающихся во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, когда начальная деформация определена виртуальным возбуждением четвертой (и = 4) моды. На каждом из приведенных рисунков показаны временные зависимости одной из мод, возбуждающихся во втором порядке малости, рассчитанные при различных значениях отношения плотностей. Из рис.1 видно, что с увеличением отношения плотностей р растет амплитуда восьмой моды, а амплитуды всех остальных мод, кроме нулевой, (которая остается неизменной) убывают. Такая тенденция сохраняется и для других номеров мод, определяющих начальную деформацию капли. То, что амплитуда нулевой моды капли при изменении остается постоянной связано с тем, что во втором порядке малости нулевая мода в нелинейном взаимодействии не участвует, а зависимость ее амплитуды от времени, приводящая в случае сжимаемой внешней среды к появлению монопольного акустического излучения, выводится из условия постоянства объема капли и определяется квадратом амплитуды моды, задающей начальную деформацию. Зависимость амплитуды нулевой моды от появится лишь при расчетах следующего третьего порядка малости.

Расчеты по (2), проиллюстрированные рис.1, выполнены при значении параметра Рэлея >У=1, т.е. при W далеком как от критического значения Wc = 4, так и от резонансного >УГ = 2.67, при котором реализуется вырожденное трехмодовое взаимодействие четвертой и шестой мод. Тем не менее, из рис. 1с видно, что в рассмотренной при расчетах ситуации резонанс четвертой и шестой мод имеет место: амплитуда шестой моды существенно (в несколько раз) превышает амплитуды всех мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодействия, и

нарастает резонансным образом (линейно со временем), хотя, казалось бы, при \У=1 резонансная перекачка энергии из четвертой моды в шестую не должна реализовываться. Причем, согласно рис 1с, резонансная раскачка шестой моды

Рис.1. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд мод возбуждающихся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся четвертой модой при №=1. Тонкая кривая соответствует р=0.1, жирная р=1, штриховая р=10: а)к=2; в)к=4; с)к=6; d) k=8.

Рис.2. Зависимости аналогичные приведенным на рис. 1с при \Л/=0.

моды за счет ее взаимодействия с четвертой имеет место при любых значениях из использованных в расчетах.

Отметим, что возможные в рассматриваемой системе резонансные ситуации связаны с появлением в выражении (2) малых знаменателей: когда при определенных соотношениях между частотами нелинейно взаимодействующих мод один из знаменателей в коэффициентах через которые выражаются амплитуды поправок второго порядка малости, обращается в ноль. Стандартная процедура устранения подобной ситуации связана с введением малого отклонения частоты одной из мод от резонансной с последующим разложением по степеням такого малого отклонения и исключением секулярных членов. Условие проявления вырожденного резонанса между четвертой и шестой модами имеет вид:

и реализуется при

несложно найти что примерно в восемь раз

меньше а\. Таким образом, отношение разности со\ — к 6)% может служить

2 2

малым параметром, а отклонение а)6 -4й>4 от нуля может считаться малым. Иными словами, при соотношение частот шестой и четвертой мод достаточно близко к резонансному, чтобы в расчетах проявилась резонансная раскачка шестой моды за счет отбора энергии у изначально возбужденной четвертой. Указанное обстоятельство интересно тем, что резонанс наблюдается при большом отклонении параметра и позволяет предположить, что наличие значительного заряда

на капле совсем не обязательно для получения резонансной раскачки одной из мод.

На рис.2 приведены кривые, аналогичные изображенным на рис. 1с, иллюстрирующие резонансную раскачку шестой моды изначально возбужденной четвертой при нулевом заряде капли СМ=0). В этом случае при р = 0.1 имеем

т.е. система находится еще дальше от точного положения резонанса, чем в выше разобранном случае >У=1. Это проявляется и в том, что отношение амплитуды резонансно раскачиваемой шестой моды к амплитудам остальных нелинейно возбуждаемых мод, несколько меньше чем при в ситуации, проиллюстрированной кривыми, приведенными на рис. 1.

Учтем, что количество резонансных ситуаций, в которых в резонансное взаимодействие наряду с высокими модами включены и низкие, весьма велико (измеряется сотнями при п,1,}< 100). Принимая во внимание обнаруженную слабую зависимость условий реализации нелинейного резонансного обмена энергией между модами от величины собственного заряда капли (параметра можно ожидать, что в естественных условиях, например, в грозовом облаке, в свободно падающих каплях будут реализовываться все резонансные ситуации, допустимые при заданном наборе изначально возбужденных мод даже, если заряд капли далек от резонансного. Это обстоятельство представляется важным в связи с необходимостью моделирования до сих пор непонятного механизма зарождения разряда молнии в грозовом облаке, который согласно существующим представлениям, может начаться с коронного разряда в окрестности крупной свободно падающей градины. Поскольку электрические заряды, обнаруживаемые

при натурных измерениях на облачных каплях, не превышают одной трети от критического по Рэлею, а внутриоблачные электрические поля много меньше необходимых для начала коронного разряда, то наиболее вероятной причиной начала коронного разряда в окрестности обводненной градины или капли является неустойчивость ее заряженной поверхности, сопровождающаяся эмиссией большого количества высокодисперсных сильно заряженных капелек, у поверхности которых уже может зажечься коронный разряд. Резонансная раскачка амплитуды осцилляции основной (п=2) моды, что соответствует вытягиванию капли в фигуру, близкую к вытянутому сфероиду, слабо (в смысле устойчивости по отношению к собственному заряду) заряженной облачной капли может привести к реализации неустойчивости ее поверхности в окрестности вершин сфероида вследствие увеличения там поверхностной плотности собственного и поляризационного заряда за счет его перераспределения по поверхности капли при ее удлинении. Проблема заключается в том, что в расчетах второго порядка малости для нелинейно осциллирующей в вакууме капли идеальной жидкости строгий резонанс, в котором бы участвовала основная мода, отсутствует.

На рис.3 приведены результаты расчетов амплитуды основной моды, возбуждающейся во втором порядке малости при фиксированном р и различных докритических значениях параметра в котором собраны важные для

обсуждаемого феномена физические величины: коэффициент межфазного натяжения, диэлектрическая проницаемость среды, заряд капли и ее радиус. В размерной форме параметр W имеет вид: IV = [¡¡У1 /АжоН?е*). Отметим, что величина коэффициента межфазного натяжения связана с коэффициентами поверхностного натяжения чистых фаз С) и Стг известным правилом Антонова

коэффициенты поверхностного натяжения фаз, контактирующих с общим газом. Как правило, величина существенно меньше коэффициентов поверхностного натяжения чистых фаз, что позволяет в некоторых случаях наблюдать неустойчивость границы раздела по отношению к собственному заряду. Из рис.3 видно, что с увеличением W (с приближением к критическому для реализации неустойчивости капли по отношению к собственному заряду значению амплитуда основной моды заметно растет.

На рис.4 приведены результаты расчетов для нерезонансной ситуации, когда начальная деформация определена суперпозицией второй и третьей мод при й2 =й3 =1/2. Видно, что спектр мод, возбуждающихся во втором порядке малости, содержит как четные, так и нечетные моды с амплитудными коэффициентами для всех мод, кроме нулевой, сравнимыми по величине.

Рис.3. Зависимости от безразмерного времени безразмерной амплитуды основной моды, возбуждающейся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся пятой модой при безразмерной плотности равной 1. Тонкая кривая соответствует W=1, тонкая W=2,толстая W=3.

Рис.4а. Четные моды. Рис.4Ь.Нечетные моды.

Рис.4. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитуд мод М^^), возбуждающихся во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся суперпозицией второй и третьей мод, при р =1 и W=1: а) Четные моды. Пунктирная линия соответствует нулевой моде; штрих-пунктирная - второй; сплошная толстая - четвертой; сплошная тонкая - шестой. Ь) Нечетные моды. Пунктирная линия соответствует первой моде; сплошная толстая - третьей; сплошная тонкая - пятой.

Итак, при нелинейных осцилляциях капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в диэлектрической идеальной несжимаемой среде с ростом отношения плотностей среды и капли максимум энергии в спектре нелинейно возбужденных мод смещается к наиболее высокой моде независимо от того какой из мод задается начальная деформация капли. Учет наличия внешней среды проявляется как в изменении при варьировании отношения плотностей среды и капли количества резонансных ситуаций, так и в изменении величины собственного заряда капли, при котором реализуется резонанс. Выяснилось, что нелинейные

осцилляции могут иметь резонансный вид даже при зарядах капли, далеких от соответствующих точным положениям резонансных ситуаций, что объясняется относительно слабым влиянием собственного заряда капель (при докритических по Рэлею для основной моды его значениях) на частоты высоких мод осцилляции Именно это обстоятельство обеспечивает получающиеся в расчетах высокие значения амплитуды нелинейно возбуждающейся основной моды капли при задании начальной деформации модами, более высокими, чем основная мода.

В четвертой главе диссертации рассмотрено влияние на закономерности нелинейных осцилляции капли в идеальной несжимаемой диэлектрической среде тангенциального скачка поля скоростей на границе раздела сред: иными словами

задача, рассмотренная в третьей главе, усложняется наложением относительного

—>

движения капли и среды с небольшой скоростью так, чтобы обтекание капли потоком внешней среды можно было считать ламинарным.

Все рассмотрение проводится методом многих масштабов. В первом порядке малости по амплитуде начальной деформации для отыскания коэффициентов разложений осесимметричного профиля капли по сферическим функциям получается бесконечная система связанных дифференциальных уравнений:

Несложно видеть, что при (7=0, т.е. в случае неподвижной среды, линейное взаимодействие мод, определяемое (3), исчезает. Система связанных дифференциальных уравнений (3) распадается на совокупность несвязанных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, определяющих гармонические осцилляции отдельных мод (как это и было получено ранее для ситуации осцилляции заряженной капли несжимаемой жидкости, покоящейся относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды). Таким образом, причиной появления линейного по малому параметру взаимодействия мод, является наличие движения внешней среды. При этом согласно (3) п-ая мода взаимодействует с четырьмя ближайшими: с (п-2)-ой, (п-1)-ой, (п+1)-ой, (п+2)-ой.

Отметим также еще один эффект взаимодействия капли с обтекающим се потоком идеальной жидкости, обнаруживаемый в линейном приближении:

согласно результатам, полученным во второй главе капля сплющивается вдоль потока в сфероид с эксцентриситетом, зависящим от скорости потока и величины заряда капли. Возможные осцилляции капли будут происходить в окрестности равновесной сфероидальной формы. Однако степень сфероидальности при разумных скоростях (пока течение обтекающей каплю среды можно считать ламинарным) как правило, весьма мала. Несложно видеть, что амплитуда обсуждаемой сфероидальной деформации имеет величину: M™ =(3p2RU2/l6o), и, например, при расчетах обтекания капли с R=I00 fim потоком воздуха, когда , при любых разумных скоростях потока (пока Re = (/? • £//и) < 20, где v- кинематическая вязкость среды) ею можно пренебрегать при расчетах второго порядка малости.

Численное решение системы дифференциальных уравнений (3) относительно M«\Tt) в пакете Mathematica (при ограничении количества вовлеченных в расчет мод первыми пятью: п=2;3;4;5;6), проиллюстрированное рис.5-рис.6, показывает, что при малых в смысле устойчивости капли по отношению к собственному заряду величинах скорости внешней среды U заметный вклад в спектр капиллярных колебаний капли вносит только изначально возбужденная мода основная мода, которая для капли в потоке возбуждается автоматически за счет взаимодействия с потоком (в результате перераспределения гидродинамического давления по поверхности капли).

Вклад остальных мод определяющийся линейным межмодовым

взаимодействием согласно (3), мал. При этом поверхность капли совершает близкие к гармоническим колебания, соответствующие суперпозиции к-ой (изначально возбужденной) моды и основной моды, в окрестности равновесной формы. Если скорость внешней среды, близка к критической, при которой капля становится неустойчивой вклад в формирование формы осциллирующей

капли остальных мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия, становится более заметным (как это видно из сравнения рис.5а-6а и рис. 5b-6b). При этом моды, более близкие по номеру (по и) к изначально возбужденной k-ой, имеют большую величину амплитуды колебаний, которая с ростом убывает.

На рис.5а-с и рис.ба-b приведены рассчитанные по (3) при различных значениях скорости внешней среды временные зависимости амплитуд мод, возбуждающихся в первом порядке малости за счет межмодового взаимодействия, когда начальная деформация определена виртуальным возбуждением основной (к = 2) моды - рис.5 и третьей (к = 3) моды - рис.6

Согласно рис.5 с ростом скорости растут и величины амплитуд колебаний мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия. Причем из рис.5с видно, что при изначально неустойчивой второй моде за счет межмодового взаимодействия становятся неустойчивыми и несколько ближайших мод, связанных с ней согласно (3) линейным взаимодействием, хотя при принятых в расчетах значениях эти моды должны сохранять усточивость в смысле линейной теории т.к. для них 02пф2 >0. Следует отметить, что принятая в расчетах рис.5с величина скорости лишь немного превышает критическое значение, при котором капля становится

неустойчивой (при р=0.001 критическое значение скорости для основной

моды 1}щ=4.4). Интересно, что при дальнейшем росте скорости потока (при 11=5) величина инкремента неустойчивости третьей моды превышает инкремент основной, и основную роль в реализации неустойчивости начинает играть третья мода, что соответствует наблюдаемой в экспериментах деформации капли к парашютообразной форме с последующим дроблением капли.

Из проведенного анализа следует, что при прочих равных условиях и начальном возбуждении более высокой моды, чем основная имеет место снижение критического для реализации неустойчивости основной моды значения скорости обдувающего потока. Так расчеты показывают, что при начальном возбуждении третьей моды основная мода становится неустойчивой уже при 11=4.05. Иначе говоря, наличие межмодового взаимодействия приводит к снижению величин параметров при которых капля становится неустойчивой.

На рис.6 приведены результаты расчета амплитудных коэффициентов мод, возбуждающихся за счет линейного взаимодействия, когда начальная деформация определена третьей модой. Из сравнения рис^а^ с рис^-Ь видно, что амплитуда основной моды определяющейся в описанной ситуации и действием гидродинамического давления и взаимодействием с изначально возбужденной третьей модой может быть сравнима с амплитудой изначально возбужденной моды рис.6а и даже превышать ее рис.6Ь.

О 1 2 3 t 0 1 2 3 t Рис.5а Рис.5Ь

Рис.5с Рис.5<1

Рис.5. Зависимости от безразмерного времени безразмерных амплитудных коэффициентов мод, возбуждающихся в первом порядке малости, при начальной

деформации капли, определяющейся основной модой (к=2), когда р- 0.1. Толстая сплошная линия соответствует второй моде, тонкая пунктирная линия - третьей моде,

пунктирная линия средней толщины - четвертой моде, тонкая штрих пунктирная линия -пятой моде, тонкая сплошная линия - шестой моде: а) 11=2, Ь)Ц=3, с)Ц=4, фЦ=4.5.

Рис.ба Рис.бЬ

Рис.6. Те же зависимости, что и на рис. 1, при начальной деформации, определяющейся третьей модой (/(=3): а) и =2, Ь) и -4.}

Во втором порядке малости по амплитуде начальной деформации для определения коэффициентов разложений осесимметричного профиля капли по сферическим функциям получается бесконечная система связанных дифференциальных уравнений:

дТ0 дТ0

+С. + ОпМ?\{Т„Тх,...) = ХШ„(Г0); п > 1; (4)

Где функция неоднородности ^(Т0) представляет собой весьма громоздкую комбинацию коэффициентов М^ и их производных.

Численное решение систем дифференциальных уравнений (3) и (4) относительно М™(Т0) - амплитуд мод, возбуждающихся во втором порядке приближений за счет нелинейного взаимодействия (для мод от нулевой до шестой), показывает, что при малых величинах скорости внешней среды и, аналогично тому, как это было в линейном приближении, наибольшую амплитуду имеют моды, которые возбуждались бы в отсутствии движения внешней среды, т.е. моды с номерами п=2% где]-0,1,...,к. Движение внешней среды приводит к возбуждению во втором порядке малости дополнительных мод, появление которых связано с наличием в спектре первого порядка малости мод, отличных от изначально возбужденной, появившихся только за счет линейного взаимодействия. Амплитуды таких дополнительно возбужденных мод весьма малы и их вклад в формирование рельефа осциллирующей капли весьма незначителен.

На рис.7а-с приведены рассчитанные по (4) при различных значениях величины скорости внешней среды временные зависимости амплитуд мод, возбуждающихся

во втором порядке малости за счет нелинейного взаимодействия, когда начальная деформация определена виртуальным возбуждением основной (к = 2) моды. При неподвижной внешней среде во втором порядке малости возбудились бы только нулевая мода, вторая и четвертая. Наличие же движения внешней среды привело к дополнительному возбуждению первой, третьей, пятой, шестой мод. Тем не менее, видно, что амплитуды основной и четвертой мод максимальны.

Из рис.7 видно также, что с ростом величины скорости растут и величины амплитуд колебаний изначально невозбужденных мод. Из рис.5с и рис.7с видно, что вместе с линейной неустойчивостью мод становятся неустойчивыми и моды, возбуждающиеся во втором порядке малости. Причем сама неустойчивость мод более высоких, чем основная, имеет колебательный характер. Интересно, что при амплитуды одинаковых мод в первом и втором приближении имеют

Рис.7а Рис.7Ь

Рис.7с Рис.7с1

Рис.7. Зависимости безразмерных амплитудных коэффициентов М(п2)(1) мод, возбуждающихся за счет нелинейного взаимодействия во втором порядке малости, при начальной деформации, определяющейся основной модой (к=2), при V/ = 1, р - 0.1. Сплошная линия средней толщины соответствует нулевой моде, тонкая коротко пунктирная линия - первой моде. Остальные линии обозначены так же как и на предыдущих рисунках а) и =2, Ь) С! =3, с) и =4, с) и =4.5.

В итоге численного анализа систем (3) и (4) естественно прийти к выводу, что наличие потока идеальной несжимаемой диэлектрической среды, обтекающей заряженную идеально проводящую каплю, приводит к появлению взаимодействия мод, как в первом, так и во втором порядках малости, следствием чего является

возбуждение мод, отсутствующих в спектре мод, определяющих начальную деформацию капли. С увеличением скорости потока растут и амплитуды колебаний изначально невозмущенных мод. Наличие относительного движения капли и среды, а также взаимодействия мод приводит к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин собственного заряда, скорости и плотности внешней среды.

Системы (3) и (4) могут анализироваться не только численно, но и аналитически, если учесть, что отношение плотности среды к плотности капли (которое обозначим р) в реальной ситации капли жидкости в газовой среде представвляет собой еще один малый параметр. В такой ситуции функция неоднородности в (4) принимает достаточно компактный вид и системы (3) -

(4) легко интегрируются аналитически в различных порядках малости по р.

Например, пусть в начальный момент времени возбуждена четвертая мода Тогда в нулевом порядке малости по р бесконечная система связанных неоднородных уравнений (4) превратится в систему несвязанных уравнений гармонического типа, из которых только для четырех уравнений с функции неоднородности будут отличны от тождественного нуля. В сочетании с нулевыми начальными условиями для всех мод, кроме изначально возбужденной четвертой, сказанное означает, что во втором порядке малости возбудятся за счет нелинейного взаимодействия только моды с (Необходимо отметить, что

будет возбуждена и нулевая мода, но ее осцилляции определятся из закона сохранения объема капли, а не из системы (4).) Соответствующие решения имеют вид:

В выписанных выражениях наибольший интерес для анализа закономерностей нелинейного взаимодействия мод осцилляции капли представляют коэффициенты при периодических компонентах решений, содержащие в знаменателях разности квадратов частот: (4а)*-й>*),т.е. имеющие «резонансный» вид. В том случае, когда может выполниться соотношение амплитудные коэффициенты при

периодических по времени добавках к линейным по амплитуде решениям неограниченно растут, что означает наличие резонансного взаимодействия и

четвертой (в приведенном примере) мод. Детальный анализ показывает, что соотношение (4— й^) = 0 может выполниться только при т>4. Это означает, что при резонансном взаимодействии энергия перекачивается из изначально возбужденной моды только в моды с большими номерами. Обратная перекачка энергии за счет резонансного взаимодействия из высоких мод в основную места не имеет.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Построена математическая модель нелинейных осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в диэлектрической идеальной несжимаемой среде.

2. Анализ математической модели показал, что с ростом отношения плотностей среды и капли максимум энергии в спектре нелинейно возбуждаемых мод смещается к наиболее высокой независимо от того, какой из мод задается начальная деформация.

3. Выяснилось, что наличие внешней для заряженной капли среды проявляется в существенном увеличении количества внутренних нелинейных резонансных ситуаций. Нелинейные же осцилляции капли могут иметь резонансный вид даже при ее зарядах, далеких от соответствующих точным положениям резонансных ситуаций.

4. Построена математическая модель нелинейных осцилляции заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости движущейся с постоянной скоростью относительно диэлектрической идеальной несжимаемой среды.

5. Проведенный анализ математической модели показал, что наличие относительного движения капли и среды приводит к появлению взаимодействия мод, как в первом, так и во втором порядках малости, следствием чего является расширение спектра возбуждающихся мод по сравнению со спектром мод осцилляции неподвижной капли.

6. Оказалось, что наличие относительного движения капли и среды, а также взаимодействия мод приводит к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин собственного заряда, скорости и плотности внешней среды.

7. Выяснилось, что перенос энергии при нелинейном резонансном взаимодействии мод осуществляется от мод, определяющих начальную деформацию, к модам с большими номерами.

8. Дифференциальный помодовый анализ условия баланса давлений на свободной поверхности капли показал, что капля жидкости в потоке идеальной несжимаемой среды деформируется к сплюснутому сфероиду с осью симметрии ориентированной по потоку. Наличие на капле электрического заряда увеличивает степень сплюснутости. В присутствии однородного внешнего электростатического поля, параллельного направлению движения, имеет место конкуренция стремления

к сплющиванию в гидродинамическом потоке и к вытягиванию в электростатическом поле.

9. Равновесная форма заряженной капли в перпендикулярных электростатическом и гидродинамическом полях является трехмерным эллипсоидом.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова (Волкова) М.В., Ширяева СО. О равновесной форме капли, движущейся относительно среды // ЭОМ. 2002. № 1. С.41-45.

2. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова (Волкова) М.В.

Неустойчивость движущейся заряженной капли во внешнем электростатическом поле // ЭОМ. 2002. № 4. С.50-54.

3. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова (Волкова) М.В. О форме заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях // ЭОМ. 2002. № 6. С.22-25.

4. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В., Коромыслов В.А. О резонансном взаимодействии нелинейных осцилляции заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде // ЭОМ. 2003. №5. С.ЗО-З6.

5. Коромыслов В.А., Волкова М.В. Нелинейные осцилляции капли, движущейся относительно среды // Сб. Материалы Всероссийской научной конференции, посвященные 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова. Ярославль: Изд. ЯрГУ. 2003. С.53-56.

6. Коромыслов В.А., Волкова М.В., Ефимова О.Л. Нелинейные капиллярные осцилляции заряженной капли несжимаемой жидкости в несжимаемой среде//Сб. Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей. Сборник докладов VII Международной научной конференции. Санкт-Петербург. 2003. С. 148-152.

7. Волкова М.В., Григорьев А.И., Коромыслов В.А О равновесной форме капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях // Пятая российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник научных трудов. Владимир: Изд. ВлГУ. 2003. С236-238.

8. Коромыслов В.А., Волкова М.В., Филиппова Е.О. Об устойчивости нелинейно осциллирующей капли в обтекающем потоке // Пятая российская конференция по атмосферному электричеству. Сборник научных трудов. Владимир: Изд. ВлГУ. 2003. С.238-241.

9. Рыбакова (Волкова) М.В., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О внутреннем нелинейном резонансе капиллярных осцилляции заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации границы раздела сред // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С.24-31.

1*22920

206

1. Обзор. Равновесные формы заряженных капель электропроводных жидкостей в электрическом и аэродинамическом полях и их нелинейные осцилляции

1.1. Равновесные формы заряженных капель электропроводных жидкостей в электрическом и аэродинамическом полях

1.2. Нелинейные осцилляции заряженных капель электропроводных жидкостей

2. Аналитическое исследование равновесных форм и устойчивости заряженных капель в параллельных и скрещенных гидродинамическом и электрическом полях

2.1. Равновесная форма заряженной капли, движущейся относительно несжимаемой диэлектрической среды в параллельном направлению движения электрическом поле

2.2. Равновесная форма заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях

3. Математическая модель нелинейных осцилляций заряженной капли во внешней диэлектрической среде

3.1. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в несжимаемой диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации формы

Актуальность темы. Исследование линейных и нелинейных осцилляций и устойчивости заряженных капель по отношению к собственному заряду представляет значительный интерес в связи с многочисленными геофизическими, техническими и технологическими приложениями, в которых фигурирует подобный объект. Результаты исследования неустойчивости капли по отношению к собственному заряду имеют важное значение не только для тех приложений в которых капля присутствует, как самостоятельный объект, но и играют фундаментальную роль в общей теории и практике применения явления электрогидродинамической неустойчивости поверхности жидкости (см., например, обзоры [1-16] и указанную в них литературу). С поднятой проблемой тесно связаны вопросы электро-аэрозольных технологий, задачи очистки жидких металлов от шлаков и окислов, различные геофизические вопросы, касающиеся атмосферного (грозового) электричества, задачи, возникающие при разработке электрокаплеструйных печатающих устройств, аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов, жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей. На основе явления неустойчивости заряженной поверхности жидкости созданы устройства для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, получения капель жидкого водорода для установок термоядерного синтеза [1-16].

Несмотря на то, что исследованиям устойчивости и распада капель имеющих собственный или индуцированный заряд посвящено в различных постановках значительное число работ, большинство исследований подобных систем проводились в линейном по амплитуде осцилляций приближении. Нелинейные же осцилляции заряженных капель начали исследоваться только в последние два десятка лет после появления мощных компьтерных пакетов аналитических вычислений. Аналитические же исследования нелинейных осцилляций покоящихся или движущихся капель в среде совсем не проводились.

Цель работы заключалась в:

1. Разработке математической модели нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости в идеальной диэлектрической несжимаемой среде.

2. Разработке математической модели нелинейных осцилляций заряженной капли несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной скоростью в диэлектрической несжимаемой среде.

3. Аналитическое исследование равновесных форм равномено движущихся в несжимаемой диэлектрической среде заряженных капель в параллельно и перпендикулярно ориентированных к направлению движения однородных электростатических полях.

Научная новизна проведенных исследований заключается в том, что в ней впервые в научной практике

- строится математическая модель нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости в идеальной диэлектрической несжимаемой среде;

- строится математическая модель нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой жидкости, движущейся с постоянной скоростью относительно идеальной несжимаемой диэлектрической среды;

- приводятся строгие аналитические расчеты равновесных форм равномено движущихся в несжимаемой диэлектрической среде заряженных капель в параллельно и перпендикулярно ориентированных к направлению движения однородных электростатических полях.

Практическая ценность работы заключается в том, что результаты, полученные в ней могут быть использованы при разработке новых конструкций электрокаплеструйных печатающих устройств; аппаратов для распыливания горючего, ядохимикатов и лако-красочных материалов; жидкометаллических источников ионов и прецизионных приборов для масс-спектрометрии органических и термически нестабильных жидкостей; устройств для получения порошков тугоплавких металлов, жидкометаллической эпитаксии и литографии, капель жидкого водорода для установок управляемого термоядерного синтеза.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: -6-ой Международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2003); -5-ой Российской конференции по атмосферному электричеству; - Всероссийской научной конференции, посвященной 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2003); - XXI-ой научной конференции стран СНГ: Дисперсные системы (Одесса, 2004); - научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов ЯрГУ им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2002-2004).

На защиту выносятся:

1. Результаты аналитических расчетов равновесных форм заряженной капли в параллельных и скрещенных электрическом и гидродинамическом полях.

2. Результаты линейного анализа условий устойчивости заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю.

3. Математическая модель нелинейных капиллярных колебаний заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

4. Результаты аналитического и численного исследования математической модели нелинейных капиллярных колебаний заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации.

5. Математическая модель нелинейных осцилляций и устойчивости заряженной капли, движущейся относительно несжимаемой диэлектрической среды.

6. Результаты аналитического и численного исследования математической модели нелинейных осцилляций и устойчивости заряженной капли, движущейся относительно несжимаемой диэлектрической среды.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Построена математическая модель нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости в диэлектрической идеальной несжимаемой среде.

2. Анализ математической модели показал, что с ростом отношения плотностей среды и капли максимум энергии в спектре нелинейно возбуждаемых мод смещается к наиболее высокой независимо от того, какой из мод задается начальная деформация.

3. Выяснилось, что наличие внешней для заряженной капли среды проявляется в существенном увеличении количества внутренних нелинейных резонансных ситуаций. Нелинейные же осцилляции капли могут иметь резонансный вид далее при ее зарядах, далеких от соответствующих точным положениям резонансных ситуаций.

4. Построена математическая модель нелинейных осцилляций заряженной капли идеальной несжимаемой электропроводной жидкости движущейся с постоянной скоростью относительно диэлектрической идеальной несжимаемой среды.

5. Проведенный анализ математической модели показал, что наличие относительного движения капли и среды приводит к появлению взаимодействия мод, как в первом, так и во втором порядках малости, следствием чего является расширение спектра возбуждающихся мод по сравнению со спектром мод осцилляций неподвижной капли.

6. Оказалось, что наличие относительного движения капли и среды, а также взаимодействия мод приводит к снижению критических для реализации неустойчивости капли величин собственного заряда, скорости и плотности внешней среды.

7. Выяснилось, что перенос энергии при нелинейном резонансном взаимодействии мод осуществляется от мод, определяющих начальную деформацию, к модам с большими номерами.

8. Дифференциальный помодовый анализ условия баланса давлений на свободной поверхности капли показал, что капля жидкости в потоке идеальной несжимаемой среды деформируется к сплюснутому сфероиду с осью симметрии ориентированной по потоку. Наличие на капле электрического заряда увеличивает степень сплюснутости. В присутствии однородного внешнего электростатического поля, параллельного направлению движения, имеет место конкуренция стремления к сплющиванию в гидродинамическом потоке и к вытягиванию в электростатическом поле.

9. Равновесная форма заряженной капли в перпендикулярных электростатическом и гидродинамическом полях является трехмерным эллипсоидом.

1. Baily A G. Electrostatic atomization of liquids (revue) // Sci. Prog., Oxf. 1974. V.61. P. 555-581.

2. Коженков В.И., Фукс H.A. Электрогидродинамическое распыление жидкости (обзор) // Успехи Химии. 1976. Т.45. №12. С.2274-2284.

3. Bogy D.B. Drop formation in a circular liquid jet//Ann. Rev. Fluid Mech. 1979. V.ll. P.207-228.

4. Гонор A.JI., Ривкинд В Л. Динамика капли // Сб. Итоги науки и техники. Серия: Механика жидкости и газа. Т.17. М: Изд. ВИНИТИ. 1982. С.98-159.

5. Габович М. Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор) // УФН. 1983. Т.140. №.1. С.137-151.

6. Блаженков В. В., Дмитриев А. С., Шишов В. В. Монодиспергирование вещества (от опытов Савара до современных технологий: ретроспектива и перспективы) // Тр. Моск. энерг. ин-та. 1983. Вып. 615. С.3-14.

7. Bailey A.G. The Theory and practice of electrostatic spraying (revue)//Atomization and Spray Technology. 1986. V.2. P.95-134.

8. Дудников В.Г., Шабалин A.JI. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор) // Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск.: 1987. 66 с.

9. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков IO.B. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как метод получения двухфазных систем (обзор) // ЖПХ. 1989. Т.62. №9. С.2020-2026.

10. Fenn J.B., Mann М., Meng С.К. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue) // Science. 1989. V.246. №4926. P.64-71.

11. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) //ЭОМ. 1990. №6. С.23-32.

12. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т.1. №3. С.25-43.

13. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. ЭГД распыление жидкости (обзор) // Научное приборостроение. 1991. Т.1. № 4. С.3-21.

14. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Святченко А.А. Классификация режимов работы электрогидродинамических источников жидко-капельных пучков (обзор) // Препринт ИМ РАН № 25. Ярославль. 1993. 118 с.

15. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивости заряженной поверхности капель и элекгродиспергирование жидкостей (обзор)// Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.

16. Белоножко Д.Ф., Григорьев А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. 2000. №4. С. 17-27.

17. O'Konski Ch.T., Harris F.E. Electric free energy and the deformation of droplets in electrically conducting systems // J. Phys. Chem. 1957. V.61.№9. P.l 172-1174.

18. Winterhalter M., Helfrich W. Deformation of spherical vesicles by electric fields//J. Coll. Int. Sci. 1988. V.122. №2. P.583-586.

19. Taylor G.I. Disintegration of water drops in an electric field // Proc. R. Soc., London. 1964. V.A280. P.383-397.

20. Basaran O.A., Scriven L.E. Axisimmetric shapes and stability of isolated charged drops // Phys. Fluids. 1989. V.A1. №5. P.795-798.

21. Basaran O.A., Scriven L.E. Axisimmetric shapes and stability of charged drops in an external electric fields// Phys. Fluids. 1989. V.A1. №5. P.799-809.

22. Григорьев А.И., Синкевич O.A. К механизму развития неустойчивости капли жидкости в электростатическом поле// Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. №6. С.10-15.

23. Garton C.G., Krasucki Z. Bubbles in insulating liquids, stability analisys in an electric fields // Proc. Roy. Soc., London. 1964.V.280. №138. P.211-226.

24. Brazier-Smith P.R. Stability and shape of isolated and pairs of water drops in an electric fields // Phys. Fluids. 1071. V.14. №1. P. 1-6.

25. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Равновесная форма проводящей капли в электрическом поле //ЖТФ. 1987. Т.57. №9. С.1706-1713.

26. Sample S.B., Raghupathy В., Hendrics C.D. Quiscent distortion and reanant oscillations of a liquid drop in an electric field // Int. J. Eng. Sci. 1970. V.8. №1. P.97-109.

27. Панченков Г.М., Цабек JI.К. Подведение эмульсий во внешнем электрическом поле. М.: Химия. 1969ю 190 с.

28. Abbas М.А., Latham J. The disintegration and electrification of charged water drops falling in an electric field //Quart. J. Roy. Met. Soc. 1969. V.95.№403. P.63-76.

29. Григорьев А.И., Ширяева C.O., Белавина Е.И. Равновесная форма заряженной капли в электрическом и гравитационном полях // ЖТФ. 1989. Т.59. №6. С.27-34.

30. Brazier-Smith P.R. The stability of a charged drop drops in uniform electric fields // Quart. J. Roy. Met. Soc. 1972. V.98.№416. P.434-441.

31. Richards C.N., Dowson G.A. The hydrodynamic instability of water drops falling at terminal velocity in vertical electric drops // J. Geophys. Res. 1971. V.76. №15. P.3445-3455.

32. Rasmussen R., Walcek C., Pruppacher H.R., et al A wind tunnel investigation of the effect of an external, vertical electric field on the shape of electrically unchargen rain drops // J. Atmos. Sci. 1985. V.42. №15. P.1647-1652.

33. Sherwood J.D. Breakup of fluid droplets in an electric and magnetic ields // J. Fluid Mech. 1988. V.188. P.133-146.

34. Rayleigh Lord (J.V. Strett) On the equilibrium of liquid conducting masses charged with electricity // Phil.Mag. 1882. V.14. P.184-186.

35. Morrison C.A, Levitt R.P., Wortman D.E. The extended . Rayleigh theory of the oscillation of a liquid droplets // J. Fluid Mech. 1981. V.104. P.295-309.

36. Григорьев А.И. О механизме неустойчивости заряженной проводящей капли//ЖТФ. 1985. Вып.7. С.1272-1278.

37. Latham J. Theoretical and experimental studies of the instability of drops and pairs of drops subjected to electrical forces // Planetary Elecrodynamics. 1069. V.l. P.345-358.

38. Tsamopolous J.A., Brown R.A. Nonlinear oscillations of inviscid drops and bubbles // J. Fluid Mech. 1983. V.127. P.519-537.

39. Nayfeh F.H. Nonlinear stability of a liquid jet // Phys. Fluids. 1970. V.13. №4. P.841-847.

40. Nayfeh A.H. // Phys. Fluids. 1970. V.13. №3. P.545-550.

41. Foote G.B. A numerical method for studying simple drop behavior: simple oscillation//! Сотр. Phys. 1973. V.ll. P.507-530.

42. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude drop oscillations // Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: 1982. JPL Publication 82-87.

43. Tsamopolous J.A., Brown R.A. Resonant oscillations of inviscid charged drops // J. Fluid Mech. 1984. V.147. P.373-395.

44. Найфе A.X. Методы возмущений. M.: Мир, 1976. 455 с.

45. Ламб Г. Гидродинамика. Л.: Гостехтеориздат, 1947. 928 с.

46. Adornato Р.М., Brown R.A. Shape and stability of electrostatically levitated drops //Proc. R. Soc., London. 1983. V.A389. P.101-117.

47. Cheng KJ. Capillaiy oscillations of a drop in an electric field // Phys. Lett. 1985. V.A112. №11. P.392-396.

48. Tsamopolous J.A., Akylas T.R., Brown R.A. Dynamics of charged drop break-up. //Proc. R. Soc., London. 1985. V.A401. P.67-88.

49. Bohr N., Wheeler J.A. The mechanism of nuclear fission // Phys. Rev. 1939. V.56. P.426-450.

50. Schweizer J.W., Hanson D.N. Stability limit of charged drops // J. Coll. Int. Sci. 1971. V.35. №3. P.417-423.

51. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. The theoretical consideration of physical regularities of the electrostatic dispersion of liquids as aerosols // J. Aerosol Sci. 1994. V.25. №6. P.1079-1091.

52. Григорьев А.И., Фирстов А.А. Критические условия неустойчивости заряженной капли, имеющей форму сплюснутого сфероида//ЭОМ. 1992. №6. С.20-23.

53. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Критические условия неустойчивости сплюснутой сфероидальной сильно заряженной капли. // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.7. С. 10-14.

54. Щукин С.И., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли, имеющей форму трехосного эллипсоида // ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.11. С.48-51.

55. Natarajan R., Brown R.A. Quadratic resonance in the three-dimensional oscillation of inviscid drops with surface tension // Phys. Fluids. 1986. V.29. №9. P.2788-2797.

56. Natarajan R., Brown R.A. Third-order resonance effects and the nonlinear stability of drops oscillations // J. Fluid Mech. 1987. V.183. P.95-121.

57. Trinch E., Wang T.G. Large amplitude free and driven drop-shape oscillations: experimental observations // J. Fluid Mech. 1982. V.122. P.315-338.

58. Jakobi N., Croonquist A.P., Elleman D.D. Wang T.G. Acoustically induced oscillations and rotation of a large drop in Space// Proc. 2-nd Int. Colloq. on Drop and Bubbles. Pasadena: 1982. JPL Publication 82-7. P.31-.

59. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.М.: Наука. 1984. 432 с.

60. Ширяева С.О. Асимметрия нелинейного резонансного взаимодействия мод капиллярных осцилляций заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып.22. С.76-83.

61. Ширяева С.О. О внутреннем резонансе мод нелинейно осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.2. С.19-30.

62. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Нелинейный аналитический асимптотический анализ осцилляций неосесимметричных мод заряженной струи идеальной жидкости // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.8. С.6-14.

63. Natarajan R., Brown R.A. The role of three-dimensional shapes in the breakup charged drops // Proc. R. Soc., London. 1987. V.A410. P.209-227.

64. Brown R.A., Scriven L.E. The shape and stability of rotating liquid drop // Proc. R. Soc., London. 1980. V.A371. P.331-357.

65. Pelekasis N.A., Tsamopolous J.A., Manolis G.D. Equilibrium shape and stability of charged and conducting drops // Phys. Fluids. 1990. V.A2. №8. P.1328-1340.

66. Becker E., Hiller W.J., Kowalewski T.A. Experimental and theoretical investigation of large amplitude oscillations of liquid droplets // J. Fluid Mech. 1991. V.231. P. 189-210.

67. Wang T.G., Anilkumar A.V., Lee C.P. Oscillations of liquid drops: results from USML-1 experiments in Space // J. Fluid Mech. 1996. V.308. P.l-14.

68. Azuma H., Yoshinara S. Three-dimensional large-amplitude drop oscillations: experiments and theoretical analysis // J. Fluid Mech. 1999. V.393. P.309-332.

69. Inculet I.I., Kroman R. Breakup of large water droplets by electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1992. V.28. №5. P.945-948.

70. Inculet I.I., Floryan J.M., Haywood R.J. Dynamic of water droplets in electric fields // IEEE Transactions on Ind. Appl. 1989. V.25. №5. P. 1203-1209.

71. Jong-Wook Ha, Seunng-Man Yang. Deformation and breakup of Newtonian and non Newtonian conducting drops in an electric field. // J. Fluid Mech. 2000. V.405. P.131-156.

72. Дячук B.A., Мучник B.M. Коронный разряд обводненной градины, как основной механизм инициирования молнии//ДАН СССР. 1979. Т.248, № 1. С.60-63.

73. Grigor'ev A.I., Shiryaeva S.O. The Possible Physical Mechanism of Initiation and Growth of Lightning // Physica Scripta. 1996. V.54. P.660-666.

74. Облака и облачная атмосфера. Справочник. И.П. Мазин, А.Х. Хргиан, И.М. Имянитов. Л.: Гидрометеоиздат. 1989. 647 с.

75. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Григорьев О.А. Неустойчивость заряженной сферической поверхности в обтекающем потоке идеальной жидкости // ЭОМ. 1998. № 1-2. С. 48-50.

76. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Часть 1. М.: Физматгиз. 1963. 584 с.

77. Jones D.M. The shape of raindrops // J. Meteorology. 1959. V.16. № 5. P.504-510.

78. Григорьев А.И., Коромыслов B.A., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.5. С. 7-14.

79. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Ширяева С.О. Неустойчивость заряженной сферической вязкой капли, движущейся относительно среды // ЖТФ. 2000. Т.70. Вып.7. С. 26-34.

80. Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Рыбакова (Волкова) М.В., Ширяева С.О. О равновесной форме капли, движущейся относительно среды // ЭОМ. 2002. № 1. С.41-45.

81. Маску W.A. Some investigations on the deformations and breaking of water drops in strong electric field //Pros. Roy. Soc. London. 1931. V.133, N.A822. P.565-587.

82. Matthews T.B. Mass loss and distortion of freely water drops in an electtic field //J. Geophys. Res. 1967. V.72. P.3007-3013.

83. Ausman E.L., Brook M. Distortion and disintegration of water drops in strong electric fields //J. Geophys. Res. 1967. V.72. P.6131-6141.

84. Latham J, Mayers V. Loss of charge and mass from raindrops falling in intence electric fields//J. Geophys. Res. 1970. V.75, N.3. P.515-520.

85. Григорьев А.И., Коромыслов B.A., Рыбакова (Волкова) М.В. О форме заряженной капли в скрещенных электрическом и гидродинамическом полях // ЭОМ. 2002. № 6. С.22-25.

86. Ширяева С.О. Нелинейные капиллярные колебания и устойчивость сильно заряженной капли при одномодовой начальной деформации большой амплитуды// ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.2. С.27-35.

87. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при многомодовой начальной деформации равновесной формы// Изв. РАН. МЖГ. 2001. №3. С.173-184.

88. Ширяева С.О. Нелинейные осцилляции заряженной капли при начальном возбуждении соседних мод // ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.4. С. 15-22.

89. Ширяева С.О., Жаров А.Н., Григорьев А.И. О некоторых особенностях нелинейного резонансного четырехмодового взаимодействия капиллярных осцилляций заряженной капли // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С.10-20.

90. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального возбуждения. // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.6. С.36-45.

91. Горшков В.Н., Чабан М.Г. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих струях// ЖТФ. 1999. Т.69. Вып.11.С. 1-9.

92. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Коромыслов В.А., Жаров А.Н. О расчете амплитуды трансляционной моды при нелинейных осцилляциях капли во внешней среде // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С.60-63.

93. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные колебания заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде многомодовой начальной деформации. //ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.12. С.9-19.

94. Коромыслов В.А., Ширяева С.О., Григорьев А.И. Нелинейные капиллярные колебания заряженной капли в диэлектрической среде при одномодовой начальной деформации формы. // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.9. С .4451.

95. Гаибов А.Р., Григорьев А.И. Об акустическом излучении нелинейно колеблющейся заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.7. С.13-20.

96. Рид Р., Шервуд Т. Свойства газов и жидкостей. JI: Химия, 1971. 702 с.

97. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В. О возможности зажигания коронного разряда в окрестности нелинейно осциллирующей слабо заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.11. С.31-36.

98. Ширяева С.О. О внутреннем резонансе мод нелинейно осциллирующей объемно заряженной диэлектрической капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.2. С. 19-30.

99. Рыбакова (Волкова) М.В., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О внутреннем нелинейном резонансе капиллярных осцилляций заряженной капли в диэлектрической среде при многомодовой начальной деформации границы раздела сред // ЖТФ. 2004. Т.74. Вып.1. С.24-31.

100. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Щукин С.И. Критические условия реализации неустойчивости заряженной капли в электростатическом поле // ЖПХ. 1999. Т.72. Вып.1. С.117-120.

101. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В., Филиппова Е.О. О напряженности электростатического поля в окрестности нелинейно осциллирующей заряженной капли // ЭОМ. 2003. №6. С. 19-23.

102. Коромыслов В.А., Григорьев А.И. Устойчивость заряженной капли, движущейся параллельно внешнему электростатическому полю //ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.9. С.21-28

103. Коромыслов В.А., Григорьев А.И., Рыбакова (Волкова) М.В. Неустойчивость движущейся заряженной капли во внешнем электростатическом поле // ЭОМ. 2002. № 4. С.50-54.

104. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Волкова М.В., Коромыслов В.А. О резонансном взаимодействии нелинейных осцилляций заряженной капли, находящейся во внешней диэлектрической среде // ЭОМ. 2003. №5. С.30-36.

105. Ширяева С.О. Линейное взаимодействие волн на заряженной границе раздела сред при наличии тангенциального скачка поля скоростей // ЖТФ. 2001. Т.71. Вып.З. С.9-16.

106. Григорьев А.И. Равновесная форма и устойчивость заряженной капли, обдуваемой потоком газа в электростатическом поле //ЖТФ. 2002. Т.72. Вып.7. С.41-47.

107. Варшалович Д.А., Москалев А.Н., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. JL: Наука. 1975. 439 с.

108. Коромыслов В.А., Волкова М.В. Нелинейные осцилляции капли, движущейся относительно среды // Сб. Материалы Всероссийской научной конференции, посвящешгые 200-летию ЯрГУ им. П.Г. Демидова. Ярославль: Изд. ЯрГУ. 2003. С.53-56.

109. Гаибов А.Р., Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Центрально-симметричное акустическое излучение нелинейно осциллирующей заряженной капли // Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.4. С.22-27.

110. Гаибов А.Р., Григорьев А.И. Об акустическом излучении нелинейно колеблющейся заряженной капли // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.7. С.13-20.

111. Гаибов А.Р., Григорьев А.И. О некоторых особенностях акустического излучения капли, связанного с ее нелинейными осцилляциями. // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып. 10. С.23-28.

112. Стаханов И.П. Об устойчивости шаровой молнии // ЖТФ. 1974. Т.44. Вып.7. С.1373-1379.

113. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Коромыслов В.А. Капиллярные колебания и устойчивость заряженной вязкой капли в диэлектрической среде// ЖТФ. 1998. Т.68. Вып.9. С. 1-8.

114. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. Устойчивость заряженной капли вязкой электропроводной жидкости в вязкой электропроводной среде //ЖТФ. 1999. Т.69. Вып. 10. С.34-42.

115. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Белоножко Д.Ф. О росте амплитуды осцилляций основной моды заряженной капли при внутреннем нелинейном резонансе // Письма в ЖТФ. 2003. Т.29. Вып.6. С.69-75.

116. Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В., Ширяева С.О. Электростатическое монодиспергирование жидкостей как способ получения двухфазных систем // ЖПХ. 1989. Т.62. N.9. С.2020-2026.

117. Ryce S.A., Wyman R.R.Asimmetiy in the electrostatic dispersion of liquids //Canad. J. Phys. 1964. V.42. P.2185-2194.

118. Ryce S.A., Patriarche D.A. Energy consideration in the electrostatic dispersion of liquids // Canad. J. Phys. 1965. V.43. P.2192- 2199.

119. Бейтуганов M.H. Об обусловленных сильными электрическими полями физических явлениях в облаках // Метеорология и гидрология. 1989. N.9. С.42-49.

120. Scott N.C., Basaran O.I., Byers С.Н. Characteristics of electric field induced oscillations of translating liquid droplets // Ind. Eng. Chem. Res. 1990. V.2. P.901-909.

121. Mochizuki t., Могу Y.H., Kaji N. Bouncing motion of liquid drops between parallel plate electrodes // AIChE Journal. 1990.V.36. N.7. P.1039-1045.

122. Зубарев H.M. Точные решения уравнений движения жидкого гелия со свободной заряженной поверхностью // ЖЭТФ. 2002. Т.121. Вып.З. С.624-636.

123. Жаров А.Н., Ширяева С.О. Заряженные пузырьки в жидкости // ЭОМ. 1999. Т.6. С. 9-21.

124. Диденкулов И.Н., Селивановский Д.А., Семенов В.Е., Соколов И.В. Влияние вязкости на Рэлей-Тейлоровскую неустойчивость сильно нелинейных сходящихся-расходящихся сферических течений жидкости // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1999. Т.42. Т.2. С.183-197.

125. Ширяева С.О., Кузьмичев Ю.Б., Голованов А.С., Белоножко Д.Ф. Особенности реализации неустойчивости Кельвина-Гельмгольца при конечной толщине внешней среды // ЭОМ. 2000. №2. С.25-34.