автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Аналитическое асимптотическое моделирование неосесимметричных осцилляций заряженных струй жидкости и исследование их устойчивости

На правах рукописи

«^Г

ЛЕВЧУК Татьяна Васильевна

АНАЛИТИЧЕСКОЕ АСИМПТОТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕОСЕСИММЕТРИЧНЫХ ОСЦИЛЛЯЦИИ ЗАРЯЖЕННЫХ СТРУЙ ЖИДКОСТИ И ИССЛЕДОВАНИЕ ИХ УСТОЙЧИВОСТИ

05.13.18- математическое моделирование, численные методы и комплексы программ (по физико-математическим наукам)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иваново - 2004

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П. Г. Демидова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Ширяева СО.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Ясинский Ф.Н.

доктор физико-математических наук, профессор Рудый А.С.

Ведущая организация

Ярославский технический университет

Защита диссертации с о с т " <2/ " 3 0 4 г о д а

в 40 часов на заседании диссертационного Совета в Ивановском государственном университете (153377, г. Иваново, ул. Ермака,39)

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Ивановского государственного университета.

Автореферат разослан " " 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного Совета

кандидат физ.-мат. наук, доцент

Озерова В.М.

Актуальность темы. Исследование капиллярных осцилляции, устойчивости и условий разбиения на капли заряженной струи электропроводной или диэлектрической жидкости представляет интерес в связи с многочисленными приложениями феномена в различных разделах технической физики и технологии. В частности это относится к ионным коллоидным реактивным двигателям; к распиливанию топлив и лакокрасочных материалов; к получению интенсивных ионных пучков в жидкометаллических источниках ионов; к жидкостной масс-спектрометрии; к устройствам электроструйной печати; к получению ультрадисперсных порошков тугоплавких металлов и т.п. В связи со сказанным, этот физический объект неоднократно изучался как экспериментально, так и теоретически: в линейной и нелинейной постановках. Тем не менее, некоторые вопросы, связанные с устойчивостью струй до сих пор непонятны. В частности, это относится к анализу устойчивости неосесимметричных мод осцилляции, и связано это с тем, что большая часть ранее проведенных исследований была прагматически ориентирована на получение потоков монодисперсных капель. Вместе с тем с феноменом распада на капли неосесимметричных струй приходится сталкиваться при исследовании спонтанного дробления струй, выбрасываемых с вершин свободно падающих капель или менисков жидкости на торцах капилляров при реализации их неустойчивости по отношению к поверхностному заряду. Еще Рэлеем было показано, что разбиение незаряженной струи на отдельные капли происходит за счет возбуждения осесимметричной волны. Однако в последующих теоретических и экспериментальных работах неоднократно указывалось на то, что для струй, достаточно сильно заряженных (поверхностно или объемно), инкременты неустойчивости неосесимметричных волн могут превышать инкремент неустойчивости осесимметричной волны. Сказанное делает актуальным и своевременным проведенное исследование.

Цель работы. В задачу диссертационной работы входило:

1. Построение математической модели нелинейных неосесимметричных осцилляций заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.

2. Построение математических моделей линейных неосесимметричных осцилляции заряженных струй вязкой несжимаемой электропроводной и диэлектрической жидкостей.

3. Аналитическое и численное исследование закономерностей спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй. Выяснение оптимальных условий реализации неустойчивости заряженных струй.

4. Численное исследование зависимости величины инкремента неустойчивости от номера моды и значений физических параметров.

Научная новизна. В диссертационной работе получено, что оптимальными условиями для реализации неустойчивости поверхности при одинаковом значении электрического струи

обладают сразу осесимметричная и мод.

I СПетервт илг" < о» хачипТлЬ

Величины инкрементов осесимметричной моды и неосесимметричных мод заметно различаются при малых значениях поверхностной плотности заряда %о, однако, при достаточно больших значениях становятся примерно равными. Для объемно заряженных диэлектрических струй показано, что критические условия реализации неустойчивости неосесимметричных мод струи менее жесткие, чем осесимметричных, и этот эффект выражен тем более ярко, чем меньше диэлектрическая проницаемость жидкости. Влияние вязкости в данном случае сводится к уменьшению величины инкрементов и снижению значений волновых чисел, соответствующих наиболее неустойчивым волнам. Получено аналитическое выражение для формы струи как функции времени при возбуждении в начальный момент неосесимметричных мод во втором порядке малости по амплитуде капиллярных осцилляции поверхностно однородно заряженной струи идеальной несжимаемой проводящей жидкости. В том же приближении определены поле скоростей течения жидкости в струе и распределение электрического поля в ее окрестности.

Практическая ценность работы заключается в том, что в ней выведено дисперсионное уравнение для неосесимметричных капиллярных колебаний заряженных струй вязкой электропроводной и диэлектрической жидкости, позволяющее рассчитать критические условия реализации их неустойчивости. Получено аналитическое выражение для нелинейных осцилляции неосесимметричных волн на цилиндрической поверхности заряженной идеальной несжимаемой проводящей жидкости. Имея в виду многочисленные геофизические, химикотехнологические приложения рассмотренного явления, следует обратить внимание на возможность широкого практического использования результатов данной работы при получении порошков тугоплавких металлов, в реактивной космической технике, химической технологии, электрокаплеструйной печати, при распылении ядохимикатов, лакокрасочных материалов, горючего в реактивных двигателях, а также при разработке новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и термически нестабильных жидкостей.

Апробация работы. Материалы работы докладывались и обсуждались на: -Международной конференции молодых ученых «Молодая наука» (Иваново, 1991); - 9-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2002); 3-ей Областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов «Ярославский край . Паше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2002); - ХХ-ой научной конференции стран СНГ. (Одесса, 2002); -Межвузовской научно-методической конференции «Математическое образование и наука в инженерных и экономических вузах» (Ярославль, 2002); -6-ой Международной научной конференции «Современные проблемы электрофизики и электродинамики жидкостей» (Санкт-Петербург, 2003); научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов Ярославского, государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2001 -2004).

Основные защищаемые положения диссертации. На защиту выносятся следующие основные результаты:

1. Математическая модель нелинейных неосесимметричных осцилляции заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.

2. Математические модели линейных неосесимметричных осцилляции заряженных струй вязкой несжимаемой электропроводной и диэлектрической жидкостей.

3. Результаты аналитического и численного исследования закономерностей спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй.

4. Результаты численного исследования зависимости величины инкремента неустойчивости объемно и поверхностно заряженных струй от номера моды и значений физических параметров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключительного раздела «результаты и выводы», списка литературы из 172 наименований. Она содержит 135 страниц машинописного текста и 43 рисунка.

Содержание работы

Первая глава диссертации является литературным обзором, в котором: 1) прослежена эволюция представлений о механизме спонтанного распада заряженных струй; 2) проанализированы экспериментальные и теоретические данные дробления заряженных и незаряженных струй; 3) проанализированы экспериментальные и теоретические данные о влиянии вязкости на распад струй; 4) приведены примеры линейного анализа аналитического решения задачи о распаде осесимметричной струи вязкой заряженной жидкости и асимптотического анализа нелинейных осцилляции струй идеальной жидкости; 5) проанализированы основные недостатки линейной теории.

В главе отмечено, что, несмотря на обилие экспериментальных и теоретических исследований неустойчивости струй жидкости, многое в физике происходящих процессов остается до сих пор не выясненным. Сказанное, в частности, относится к анализу устойчивости неосесимметричных мод осцилляции, и связано это с тем, что большая часть проведенных исследований была направлена на получение потоков монодисперсных капель, и выяснение численными методами особенностей вынужденного капиллярного распада струй. В то же время, с феноменом спонтанного распада на капли неосесимметричных струй, выбрасываемых с вершин свободно падающих капель или менисков жидкости на торцах капилляров при реализации их неустойчивости по отношению к поверхностному заряду, исследователи знакомы давно.

Во второй главе строится математическая модель линейных осцилляции (как осесимметричных, так и неосесимметричных) заряженной струи вязкой несжимаемой идеально проводящей жидкости, поддерживаемой при постоянном потенциале Ф0, движущейся с постоянной скоростью Ц, ВДОЛЬ

оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности, а также исследуются условия реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности струи. Все рассмотрение проводится в рамках метода возмущений, в движущейся со скоростью движения струи цилиндрической системе координат Г,ф,2, орт п2 которой совпадает по направлению с осью симметрии струи. В качестве малого параметра выбрано отношение амплитуды деформации поверхности к радиусу струи (вызванной ее

капиллярными колебаниями).

В первом параграфе выписаны уравнения гидродинамики и электростатики, а так же гидродинамические граничные условия на свободной поверхности струи, все приведенные уравнения записаны в безразмерных переменных, в которых

Во втором параграфе рассмотрено равновесное состояние системы, которому соответствуют неподвижный цилиндрический столб жидкости с известными значениями лапласовского давления под свободной цилиндрической поверхностью жидкости и давления электрического

поля на поверхность равномерно заряженного с поверхностной плотностью

О 2

заряда бесконечного цилиндра фиксированного радиуса

В третьем параграфе линеаризуются электрогидродинамические уравнения методом разложения граничных условий в окрестности равновесной цилиндрической поверхности г = I позволяет вместо исходной нелинейной краевой задачи получить линейную задачу первого порядка малости по

В четвертом параграфе ищется решение сформулированной задачи методом скаляризации, в рамках которого поле скоростей раскладывается на сумму трех ортогональных векторных полей при помощи

векторных дифференциальных операторов :

где Ч,j(f,i) - произвольные скалярные функции. Подставляя поле скоростей выраженное через скалярные функции в

линеаризованные электрогидродинамические уравнения и учитывая свойства векторных дифференциальных операторов Л( получим систему скалярных уравнений, решения которой для скалярных функций Ч1у(Р»*) и электрического потенциала в цилиндрической системе координат

записываются в виде разложений по волнам, бегущим вдоль оси OZ:

= Сх1т )ехр(/ти ф) ехр(; £г) ехр{5/) • сОс % = ||]Су/.(/г)ехр(»/и^)ехрОЪ)ехр(л/)-^,; (/ = 2,3);

<р - САКт (кг)ехр(т^)ехр(/Аг)ехр(5/) ■ <1к.

В виде аналогичного разложения ищется функция

{¿Д ехр(/ти^)схр(/Аг)ехр(5<) • ¿к.

Здесь к - волновое число, 8- комплексная частота, да- азимутальное число, характеризующее неосесимметричность решений, 1т(х), Кт(рс) модифицированные функции Бесселя первого и второго рода; С( и О -коэффициенты разложений; V - коэффициент кинематической вязкости,

В четвертом параграфе получено дисперсионное уравнение, связывающее частоты колебаний поверхности струи 5 с волновым числом к

+ /^(/)[/2*2(/2 + к2)-12т{т-1^12-2т(т-1))+12к2т{Зт + 1)~ -4к2т(к2+т(т2 -1)))-2(/2 + к2{к2-т(т2 -1 ))р2(/)-- Рт (к^12 (/2*2 + т2 (т2 -1))+ /2/и(/2 + к2(4т- 5))+

В случае маловязкой жидкости, когда выполняется условие I»к дисперсионное уравнение (1) принимает вид:

(2)

При малой вязкости линейное по 5 слагаемое в этом уравнении можно опустить. Тогда несложно видеть, что при />0 это соотношение определяет инкремент нарастания неустойчивости цилиндрической волны

(3)

Приравнивая нулю первую производную от инкремента по волновому числу, можно найти волновое число капиллярной волны с максимальным значением инкремента, и подставив его в (3), получить величину самого инкремента. На рис. 1а и рис. 1Ъ приведены результаты подобных расчетов. Из рис. 1а видно, что величины инкрементов осесимметричной моды (т = 0) и неосесимметричных мод (т = 1,2,3,4), заметно различающиеся при малых значениях лу, при достаточно больших значениях поверхностной плотности заряда Хо (при больших значениях параметра ту) становятся примерно равными. Причем согласно рис.7 волновые числа неосесимметричных волн заметно превышают волновое число осесиммметричной волны. Сказанное означает, что при одном и том же значении электрического потенциала струи создаются оптимальные условия для реализации неустойчивости одновременно как осесимметричной так и нескольких неосесимметричных мод колебаний поверхности, различающихся волновыми числами наиболее неустойчивых волн. Таким образом, струя будет дробиться на капли различных размеров и

будет неустойчива по отношению к реализации "хлыстообразного" движения конца струи, наблюдающегося в экспериментах.

В более общей ситуации, когда линейным по 5 слагаемым в (2) пренебрегать нельзя, положительный корень уравнения (2), соответствующий инкременту неустойчивости, запишется в виде:

5 = -vG(m,k)+[v2G2{m,k)+f{m,k)]

m

(4)

Несложно видеть, что в используемом приближениии критические условия реализации неустойчивости струи от вязкости не зависят. Влияние вязкости в данном случае сводится к уменьшению величин инкрементов и снижению значений волновых чисел, соответствующих наиболее неустойчивым волнам. Однако степень этого влияния различна при разных к и для различных т. Результаты свидетельствуют о том, что учет вязкости, хотя бы и малой, дает преимущество развитию неустойчивости неосесимметричных волн. Чтобы исследовать влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи в ситуации V ~ 1, был проведен анализ асимптотики

дисперсионного уравнения (1), когда /як или к2 »(s/v). В таком приближении, разложение с сохранением линейных по

слагаемых, и пренебрежение компонентами дисперсионного уравнения, содержащими степени к более низкие чем пятая, позволило получить квадрат-

ное по 5 уравнение. В работе приведены результаты численного расчета по полученному уравнению зависимостей величин инкремента и волнового числа наиболее неустойчивой волны от параметра w для т=0 и m=1 при V = 3. Оказалось, что при использованной в расчетах большой вязкости величина инкремента неосесимметричной волны с т=1 существенно превышает инкремент осесимметричной волны, однако абсолютные значения величин

инкрементов в обоих случаях снижаются по сравнению с величинами инкрементов для маловязких струй. Интересно отметить, что при т=0 в области малых значений волновых чисел (к<0,75) величина инкремента немного снижается при увеличении м> от нуля до единицы. Этот эффект связан с особенностями зависимости (немонотонностью на этом участке) / —

В третьей главе строится математическая модель линейных осцилляции объемно заряженной струи вязкой несжимаемой диэлектрической жидкости, движущейся с постоянной скоростью вдоль оси симметрии невозмущенной цилиндрической поверхности, исследуются условия реализации неустойчивости капиллярных колебаний поверхности струи. Представляет интерес исследование устойчивости неосесимметричных мод в другом предельном случае объемно заряженных струй идеально диэлектрической жидкости с диэлектрической проницаемостью е. В рамках модели "вмороженного" заряда предполагается, что заряд распределен равномерно с объемной плотностью Как и в случае электропроводной струи задача решается в рамках метода возмущений и в качестве малого параметра также выбрана величина Все расчеты были проведены в цилиндрической

системе координат которой совпадает по направлению с осью

симметрии невозмушенной струи.

В равновесном состоянии значения потенциалов электрического поля внутри и снаружи струи определится выражениями:

давление электрического поля на поверхность объемно заряженного бесконечного цилиндра фиксированного радиуса равно:

Выражение для добавки к давлению электрического поля первого порядка малости рЕ имеет вид:

где <р^п ,07е* - электрические потенциалы внутри и снаружи струи первого порядка малости, имеющие вид:

<рм - |^С4/т(Аг)ехр(гот^)ехр(|'Аг)ехр(5/)сй;,

где С4 и С5 - коэффициенты разложения, зависящие от к и т.

Процедура скаляризации векторных гидродинамических уравнений и получения из системы граничных условий дисперсионного уравнения аналогична предыдущему случаю. Дисперсионное уравнение отличается от (1) только видом функции /{т,Х,к), зависящей в рассматриваемом случае от объемной плотности заряда //д:

/(т,/и9,к)=1-кг ~тг +

Анализ результатов показал, что с уменьшением величины диэлектрической проницаемости жидкости абсолютные значения инкрементов неустойчивости и волновые числа наиболее неустойчивых волн снижаются. Кроме того, область значений параметра Ж, в которой реализуется неустойчивость, сдвигается в область больших значений Ж В проанализированной ситуации объемно заряженных диэлектрических струй инкременты неустойчивости неосесимметричных мод в случае малых диэлектрических проницаемосткй (например, для жидкого водорода) оказываются даже выше, чем для осесимметричной. При достаточно больших значениях параметра Ж величины инкрементов неустойчивости неосесимметричных мод превышают инкремент осесимметричной моды, а величины волновых чисел наиболее неустойчивых волн снижаются по сравнению с осесимметричной. Это означает, что на финальной стадии реализации неустойчивости, проявляющейся в разбиении струи на капли, струя будет дробиться на капли разных размеров, и для получения на практике потоков монодисперсных капель следует создавать осесимметричной моде преимущественные условия, например, искусственно увеличивая ее амплитуду, как это делается при вынужденном капиллярном распаде струй. Интересно, что

при низкой диэлектрической проницаемости для мод ст ^ 2 область значений параметра W при которых волновые числа наиболее неустойчивых мод прини-

Рис.2. Зависимости от безразмерного параметра W, характеризующего поверхностный заряд, величины безразмерного инкремента и безразмерного волнового числа наиболее неустойчивой волны, рассчитанные при »> = 0,1 и £ = 20. Цифры у кривых - значения азимутального параметра т.

мают разумные с точки зрения практики разбиения струй на капли значения, существенно сдвигается в сторону больших величин W.

Влияние вязкости на закономерности реализации неустойчивости струи качественно такое же как и в ранее исследованном случае поверхностно заряженной электропроводной струи.

В четвертой главе строится математическая модель нелинейных осцилляции заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.

Рассматривается движущаяся с постоянной скоростью 17о бесконечная струя постоянного радиуса Я идеальной несжимаемой идеально проводящей жидкости с плотностью р и коэффициентом поверхностного натяжения (Г. Внешняя среда отсутствует, в окружающем струю пространстве создано электростатическое поле, перпендикулярное оси струи. Вследствие этого на поверхности распределен заряд, поверхностная плотность которого в равновесном состоянии

В первом параграфе с учетом потенциальности течения формулируется задача о расчете временной эволюции виртуального волнового возмущения поверхности струи из уравнений Лапласа для потенциала поля скоростей течения жидкости в струе Т и электростатического потенциала Ф в окрестности струи, условий ограниченности решений на оси струи и в бесконечности, граничных условий на свободной поверхности и условие эквипотенциальности поверхности струи. Краевая задача дополнена условиями сохранения заряда и объема участка струи, длина которого равна длине волны

И

Я = lit ¡к. Решение проводится методом многих масштабов в безразмерных переменных, в которых p—a=R~U

В силу того, что начальные условия произвольного вида могут привести к чрезмерной громоздкости получаемого решения, в нелинейных задачах об отыскании периодических волновых профилей поверхности идеальной жидкости принято выбирать начальные условия так, чтобы решение принимало наиболее простой вид. В работе рассматривается волна, распространяющаяся по поверхности струи в положительном направлении оси OZ и принимается, что форма свободной поверхности жидкости описывается выражением:

г = \ + е- /{<р\а{Т>). exp(i 0) + /l(7j)-exp(-i0)j + о{е2}\

где 0 = kz — 0Tq , Тл - основной временной м а с ш т i^; to - частота; f{<p)

действительная функция, описывающая форму поперечного сечения струи; 471) - комплексная функция, зависящая от медленного времени Tt=£-t. Горизонтальная черта означает комплексное сопряжение.

Рассмотрение ограничим случаем, когда форма поперечного сечения струи определяется какой-либо одной гармоникой, т.е. периодическая функция /\<р) имеет вид:

/(р) = ст -ехр(и1<и) + Cw -ехр(-/т9>);

здесь т — целое число.

Во втором параграфе, в рамках метода многих масштабов с точностью до второго порядка малости включительно искомые функции представляются в виде рядов по степеням е и полагается, что их эволюция во времени определяется двумя временными масштабами: основным Т0 = t и более медленным

<!>{r,<p,z,i) = Ф°(г) + е • Ф(,)(г,р,г,7*в, г • Ф(2)(г,^г,Г0)+о(е3).

В третьем параграфе описывается равновесное состояние системы,

которому соответствует неподвижный (в движущейся со скоростью Vt системе координат) цилиндрический столб жидкости с постоянной поверхностной плотностью заряда Электрическое поле в окрестности невозмущенного однородно заряженного цилиндрического столба определяется потенциалом

Потенциал невозмущенной волновым движением поверхности цилиндрической струи равен нулю: Ф^ = 0. Динамическое граничное условие в нулевом приближении позволяет определить равновесный перепад давлений на поверхности струи Ар = 1 — .

Использование оператора для вычисления производной

по времени и разложение граничных условий позволяют вместо исходной краевой задачи получить задачи различных порядков малости. Решение поставленной задачи получено с точностью до второго порядка малости.

В четвертом параграфе приводится выражение описывающее форму нелинейно осциллирующей струи:

Несложно видеть, что кроме волны с волновым числом к, существующей в начальный момент времени, на поверхности струи за счет нелинейного взаимодействия возбуждается волна с удвоенным волновым числом 2к. Между этими двумя волнами имеет место резонансное взаимодействие, определяющееся наличием обращающихся при определенных условиях в ноль знаменателей у коэффициентов а1 и а. Интересно отметить, что из выражений для коэффициентов а1и а2 видно, что резонансно взаимодействуют волны с различными волновыми и азимутальными числами, т.е. с различной симметрией. Влияние величины поверхностной плотности электрического заряда на струе на закономерности реализации резонансного взаимодействия сводится к изменению положения резонанса (к изменению волновых чисел и азимутальных параметров взаимодействующих волн при варьировании Вдали от положений резонансов влияние наличия электрического заряда на струе проявляется в появлении возможности реализации неустойчивости

ф(°)(г) = -4^1пг

неосесимметричных мод при достаточно больших плотностях заряда: при

^ 1. Влияние заряда поверхности струи на форму поперечного сечения струи реализуется через зависимость от % коэффициентов Оу, определяющих добавку второго порядка малости.

Критические условия реализации неустойчивости поверхности неосесимметричной струи в смысле разбиения ее на отдельные капли определяются из линейного приближения. Поправки к критическим условиям реализации неустойчивости, связанные с нелинейным взаимодействием не могут быть значительными и привести к существенному изменению существующих представлений о реализации неустойчивости поскольку имеют второй порядок малости.

Решение задачи о расчете нелинейных осцилляции заряженной струи уже во втором порядке малости по амплитуде деформации невозмущенной цилиндрической поверхности струи позволяет обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию, с волной, появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики и имеющей вдвое большее волновое число. Положение резонансных ситуаций зависит от величины волнового числа и поверхностной плотности электрического заряда на струе. В частности, осесимметричная мода может взаимодействовать с модой, ответственной за синусоидальную деформацию струи (т=1). При нелинейном резонансном взаимодействии волн на заряженной струе энергия всегда перекачивается от более длинных волн к более коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн. Из начально воздужденной моды с т=1 энергия может перекачиваться как в осесимметричную моду с вдвое большим волновым числом, так и в неосесимметричную с т=2 также с вдвое большим волновым числом. Вовлечение в нелинейное резонансное взаимодействие мод с возможно лишь при значительных плотностях поверхностного заряда па струе.

m=0, Ж =0.5. т=1, Ж=1.

1 о

Рис.3. Рельефы поверхности струи, определяемые различными модами,

при А = 2,/ = 0.5*Г.

Результаты и выводы.

1. Построена аналитическая асимптотическая математическая модель нелинейных неосесимметричных осцилляции заряженной струи идеально проводящей невязкой несжимаемой жидкости.

2. Предложены аналитические математические модели линейных неосесимметричных осцилляции струи вязкой несжимаемой жидкости для идеально проводящей поверхностно заряженной струи и для объемно заряженной диэлектрической струи.

3. Аналитическими и численными методами исследована линейная устойчивость неосесимметричных мод осцилляции поверхностно заряженных идеально проводящих и объемно заряженных диэлектрических вязких жидкостей.

4. Выполнен численный анализ аналитически выведенного дисперсионного уравнения неосесимметричных осцилляции заряженной струи вязкой идеально проводящий жидкости, который показал, что при достаточно

большом заряде, приходящемся на единицу длины струи, инкременты неустойчивости неосесимметричных мод сравниваются с инкрементом неустойчивости осесимметричной моды, что приводит к полидисперсному распаду сильно заряженных струй, образующихся при спонтанном распаде сильно заряженных капель и менисков жидкости.

5. Проделан численный анализ аналитически выведенного дисперсионного уравнения неосесимметричных осцилляции объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости, в результате которого показано, что при большом заряде, приходящемся на единицу длины струи, инкременты неустойчивости неосесимметричных мод превышают инкремент неустойчивости осесимметричной моды, приводя к полидисперсному распаду таких струй. Указанный эффект усиливается при уменьшении диэлектрической проницаемости жидкости.

6. Полученные данные о близости критических условий реализации неустойчивости осесимметричной и неосесимметричных мод осцилляции сильно заряженных струй позволили дать простое истолкование наблюдающемуся в экспериментах хлыстообразному движению спонтанно распадающихся струй.

7. В результате численного анализа дисперсионных уравнений получено, что при близости критических (для реализации неустойчивости осесимметричной и неосесимметричных мод колебаний поверхности струи) величинах зарядов, приходящихся на единицу длины струи, волновые числа наиболее неустойчивых волн уменьшаются с повышением номера неосесимметричной моды. Это позволяет сделать вывод, что длина не распавшейся части струи в основном определяется неустойчивостью мод с малыми номерами. Этот эффект становится более ярко выраженным при снижении диэлектрической проницаемости жидкости и при увеличении ее вязкости.

8. Проведенный анализ математической модели нелинейных осцилляции заряженной струи идеально проводящей несжимаемой невязкой жидкости во втором порядке малости по амплитуде начальной деформации позволил обнаружить резонансное взаимодействие волны, определяющей начальную виртуальную деформацию, с волной, имеющей вдвое большее волновое число и появляющейся вследствие нелинейности уравнений гидродинамики. Показано, что положение резонансных ситуаций зависит от величины поверхностной плотности электрического заряда на струе.

9. В результате исследования выведенного аналитического выражения для формы поверхности нелинейно осциллирующей струи получено, что: осесимметричная мода может нелинейным образом взаимодействовать с модой, ответственной за изгиб струи (т=1); энергия осцилляции всегда перекачивается от более длинных волн к более коротким, независимо от симметрии взаимодействующих волн.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Левчук Т.В., Рыбакова М.В., Ширяева СО. Об устойчивости неосесимметричной заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // Дисперсные системы. ХХ-я научная конференция стран СНГ. 23-27.09.2002. Одесса. Украина. Тезисы докладов. 2002. С. 179-180.

2. Левчук Т.В., Волкова М.В. Математическое моделирование распада неосесимметричной заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // Математика и математическое образование. Теория и практика. Ярославль. 2002.С.161-163.

3. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. О спонтанном распаде заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // ЭОМ.2003.№1.С.38-43.

4. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. Об устойчивости неосесимметричной заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.4. С.5-12.

5. Левчук Т.В., Ширяева СО. О спонтанном распаде заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости // Сб. докладов 6-й международной научной конференции. «Современные проблемы электрофизики и электрогидродинамики жидкостей». Санкт-Петербург. 2003. С160-162.

6. Ширяева СО., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости//ЖТФ. 2003. Т.73. Вып.П. С.22-30.

, ¿23 7®

Введение

Глава 1. Обзор. '

1.1. Диспергирование жидкости. Распад струи.

1.2. Линейная устойчивость цилиндрической струи.

1.2.1. Математическая модель линейных осцилляций струи и дробления на капли.

1.2.2. Необходимые обобщения линейной модели.

1.2.3. Заряженные струи.

1.3. Нелинейные осцилляции струй.

Исследование капиллярных осцилляций, устойчивости и условий разбиения на капли заряженной струи электропроводной или диэлектрической жидкости представляет интерес в связи с многочисленными приложениями феномена в различных разделах технической физики и технологии. В связи со сказанным этот физический объект неоднократно изучался как экспериментально, так и теоретически: в линейной и'нелинейной постановках. И все таки некоторые вопросы, связанные с устойчивостью струй до сих пор непонятны. Сказанное, в частности, относится к анализу устойчивости неосесимметричных мод осцилляций, и связано это с тем, что большая часть ранее проведенных исследований была прагматически ориентирована на

1 У I получение потоков монодисперсных капель. Тем не менее с феноменом распада на капли неосесимметричных струй приходится сталкиваться при исследовании спонтанного дробления струй, выбрасываемых с вершин свободно падающих капель и менисков жидкости на торцах капилляров, при реализации их 1 неустойчивости по отношению к поверхностному заряду

Цель работы. В задачу диссертационной работы входило:

1. Построение математической модели нелинейных неосесимметричных осцилляций заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной жидкости.

V I

2. Построение математических моделей линейных неосесимметричных осцилляций заряженных струй вязкой несжимаемой электропроводной и диэлектрической жидкостей.

3. Аналитическое и численное исследование закономерностей ' спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй. Выяснение оптимальных условий реализации неустойчивости заряженных струй.

4. Численное ' исследований зависимости величины инкремента неустойчивости от номера моды и значений физических параметров.

Научная новизна. В диссертационной работе развит метод операторной I скаляризации линеаризованных векторных уравнений движения жидкости.

Получено, что оптимальными условиями для реализации неустойчивости поверхности при одном и том же значении электрического потенциала струи 1 обладают сразу' осеоимметричная ■ и несколько неосесимметричных мод. Величины инкрементов осесимметричной моды и неосесимметричных мод заметно различаются при малых значениях поверхностной плотности заряда при достаточно больших значениях Хо становятся примерно равными. Для объемно заряженных диэлектрических струй показано, что критические условия реализации неустойчивости неосесимметричных мод струи менее жесткие, чем осесимметричных, и этот эффект выражен тем более ярко, чем меньше диэлектрическая проницаемость жидкости. Влияние вязкости в данном случае сводится к уменьшению величины инкрементов и снижению значений волновых чисел, соответствующих наиболее неустойчивым волнам. Во втором порядке малости по амплитуде капиллярных осцилляций поверхностно однородно заряженной струи идеальной несжимаемой проводящей жидкости . получено аналитическое выражение для формы струи как функции времени при возбуждении в начальный момент неосесимметричных мод. В том же приближении определены поле скоростей течения жидкости в струе и распределение электрического поля в ее окрестности.

Научная и практическая ценность работы заключается в том, что в ней выведено дисперсионное уравнение для неосесимметричных капиллярных ^ ■ ■> »•Я'" • ' ' .' ;". '/■. ■ ■ ^ '' ' V ' ■ колебанйй заряженных струй вязкой электропроводной и диэлектрической жидкости в линейном приближении. Получено аналитическое выражение для нелинейных осцилляций неосесимметричных волн на поверхности заряженной идеальной несжимаемой проводящей жидкости. Имея в виду многочисленные геофизические, химикотехнологические приложения рассмотренного явления, следует обратить внимание на возможность широкого практического использования результатов данной работы при получении порошков ' тугоплавких металлов, в реактивной космический технике, химической технологии, электрокаплеструйной печати, при распылении горючего в реактивных двйгателях, ядохимикатов и лакокрасочных материалов, также

5 | связано с разработкой новых средств масс-спектрометрического анализа нелетучих и термически нестабильных жидкостей.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель нелинейных неосес^мметричных осцилляций заряженной струи идеальной несжимаемой электропроводной жидкости, ч ' "2,, Математические модели линейных неосесимметрйчньш'осцилляций заряженных струй вязкой несжимаемой электропроводной и диэлектрической жидкостей.

3. Результаты аналитического и численного исследования закономерностей спонтанного распада заряженных неосесимметричных струй.

4. Результаты численного исследования зависимости величины инкремента неустойчивости объемно и поверхностно заряженных .струй от номера моды и значений физических параметров. ^

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и < I • обсуждались* на?: -Международной конференции молодых»-; ученыгх «Молодая наука» (Иваново, 1991); - 9-ой Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов» (Москва, 2002); 3-ей Областной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых вузов «Ярославский край. Наше общество в третьем тысячелетии» (Ярославль, 2002); - ХХ-ой научной конференции стран СНГ. (Украина. Одесса, 2002); - Межвузовской научно-методической конференции , ' «Математическое образование и наука в инжейерны^ и экономических вузах» (Ярославль, 2002); -6-ой Международной научной конференции «Современные Ч • проблемы 'электрофизики и Электродинамики жидкостей>* ((£&нкт-Петербург, 2003); научных семинарах лаборатории математического моделирования физических процессов Ярославского государственного университета им. П.Г. Демидова (Ярославль, 2001-2004). • •

1 к I 6

1. Baily A.G. Electrostatic atomization of liquids (revue)// Sci.Prog., Oxf. 1974. V.61.'P. 555-581. 1 ■

2. Me Carthy M., Molloy N. Review of stability of liquid jets and the influence of nozzle design// Chem. Eng. J. 1974. Vol. 7. N 1. P. 1-20.

3. Коженков В.И., Фукс H.A. Электрогидродинамическое распыление ! 1 жидкости (обзору/Успехи Химии. 1976. T.45.№l2. C.p274-2284. •

4. Бураев Т.К., Верещагин И.П., Пашин Н.М. Исследование процесса ' '' расйыления жидкостей в' электрическом поле//Сб. Сильные ^лёктрЙческие поляв технологических процессах. М.: Энергия. 1979. №.3. с.87-105.

5. Bogy D. Drop formation in a circular liquid jet//Ann. Rev.Fluid Mech. 1979. V. 11. !P.207-228. 1

6. Габович M. Д. Жидкометаллические источники ионов (обзор)// УФН. 1983. ТЛ40. №.1. С.137-151.

7. Дудников В.Г., Шабалин А.Л. Электрогидродинамические источники ионных пучков (обзор)//Препринт 87-63 ИЯФ СО АН СССР. Новосибирск.:1.! 1987.66 с. Ч

8. Григорьев В. А. Криодисперсная технология: состояние и перспективы 4 ' разйитйй//Ёестн: АН ССС1». 1987: № 4. С. 84-90. л'*1"» ' '

9. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Сыщиков Ю.В. Электростатическоеt ,монодиспергирование жидкостей йак метод получения двухфазных систем (обзор)//ЖПХ. 1989. Т.62. №9. С.2020-2026.

10. Fenn J.B., Mann M., Meng C.K. et al. Electrospray ionization for mass spectrometry of large biomolecules (revue)// Science. 1989. V.246. №4926. P.64-71.

11. Григорьев А.И. Неустойчивости заряженных капель в электрических полях (обзор) //Эок 1990. №6. С.23-32.

12. Шевченко С.И., Григорьев А.И., Ширяева С.О. ЭГД распыление жидкости (обзор)//Научное приборостроение. 1991. Т. 1. № 4. С.3-21.

13. Григорьев А.И., Ширяева С.О., Шевченко С.И. ЭГД неустойчивости в дисперсных системах (обзор)// Научное приборостроение. 1991. Т.1. №3. С.25-43.

14. Григорьев А.И., Ширяева С.О. Капиллярные неустойчивостиt ,заряженной поверхности капель ' и электродисг?ергирование жидкостей (обзор)// Изв. РАН. МЖГ. 1994. №3. С.3-22.

15. Белоно^ско Д.Ф., Григорьёв А.И. Деление заряженных капель во внешнем электрическом поле на части сравнимых размеров (обзор) // ЭОМ. 2000. №4. С.17-27.1.. ». ■ I ; I •

16. Думский В. Ф., Никитин Н. В., Соколов М. С Монодисперсные аэрозоли. М.: Наука, 1975.

17. Холин Б. Г. Центробежные и вибрационные грануляторы сплавов ираспылители жидкостей. М.: Машиностроение, 1977.1 !

18. Фукс Н. А., Сутугин А. Г. Монодисперсные ^аэрозоли// Успехи химии. 1965. Т. 34. №2. С. 276-299.

19. Безруков* В. И. Основы проектирования струйных печатающих устройств для ЭВМ и множительных средств оргтехники. М.: Минприбор, 1981.

20. Тимохин А. Д. Получейие потоков монодисйерсных нейтральных и1.,заряженных макрочастиц// Тр. Моск. энерг. ин-та. 1981. Вып. 545! С. 3-24.

21. Пажи Д. Г., Галустов В. С. Основы техники распыливания жидкости. ч" < ■"■■ ; ' .' '

22. Нагорный В. С Электрокаплеструйные регистрирующие устройства. JL: Машиностроение, 1988.

23. Капиллярные МГД-течения со свободными границами/ А. Ф. Колесниченко, И. В. Казачков, В. О. Водянюк, Н. В. Лысак. Киев: Наук, думка, 1988.

24. Маску W.A. Some investigations on the deformation and breaking of water i ' >drops in strong electric fields//Pros. Roy. Soc., London. 1$31. V.133. №A822. P.565587.

25. Magarvey R., Outhouse L. Nt>te oh the break' up of ¡charged liquid jet// J. Fluid Mech. 1962. Vol.13. №1. РЛ51-157.

26. Huebner A., Chu H. Instability and breakup of charged liquid jets// J. Fluid Mechl 1971. Vol.491. №2. P.361-372.

27. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В., Рыбакова М.В. О спонтанном распаде заряженной струи вязкой электропроводной жидкости // ЭОМ. 2003.№1. С.38-43.

28. Ширяева С.О., Григорьев А;И., Левчук |Г.В., Рыбакова М.В. Об устойчивости неосесимметричиой заряженной струи вязкой электропроводной жиДйостй'//1 ЖТФ. 2003. "ЬЛЪ. ВыпЖС.5-12. •• "" . ' * . " ' ' '

29. Ширяева С.О., Григорьев А.И., Левчук Т.В. Об устойчивости неосесимметричных мод объемно заряженной струи вязкой диэлектрической жидкости // ЖТФ. £003. Т.73. Вып.11. С.22-30.

30. Распыливание жидкостей/ Ю. Ф. Дитякин, Л. А. Клячко, Б. В. Но'$йкой,В.' Й. Я^одкин! КГ: Машиностроение. 1977. С. 1-20^ г""

31. Зябицкий А. А. Теоретические основы формирования волокон. М.: Химия, 1979.

32. Колесниче'нко А.Ф. Технологические МГД установки1 и процессы. Киев: Наукова Думка, 1980. 190 с.

33. Ладиков Ю.П., Ткаченко В.Ф. Гидродинамические неустойчивости в металлургических процессах. М: Наука, 1983. 246 с.1.,

34. Безруков В.И. Основы электрокаплеструйны^технологий. СПб: Изд. Судостроение. 2001. 237 с.Пб .' Ос^оуйов Г .X. Взаимодействие электрических И гидродинамических полей. М: Наука, 1979. 320 с.

35. Основы электрогазодинамики дисперсных систем. М: Энергия, 1974. 480 с. ' ' у

36. Нагорный B.C. Электрогазо- и электрогидродинамическое управление CTpS.fШй! й йбТбками газа и жидкости^ 1. Физико-математичебкйе1 ос!йовь1. //' ' ПМТФ. 2000. Т.41. №2. С.25-31.

37. Нагорный B.C. Электрогазо- и электрогидродинамическое управление струяки и потокамй газа и жидкости. 2. Электрофизические основы. // ПМТФ. 2000. Т.41. №3. С.34-42.

38. Nayfeh F.H. Nonlinear stability of a liquid jet //Phys. Fluids. 1970. №4. P.841-847.

39. Rutland D., Jamerson G. A nonlinear effect i'rythe capillary instability of liquid jets// J. Fluid Mech. 1971. V.46. №2. P.267-271.Nonlinear-breakup of a liquid1 jet.'// Phys^ Ftuid^ 1974. V!17.10. P.1913-1914.

40. Новиков А. А. Нелинейные капиллярные волны на поверхности струи вязкой жидкости /ДИзв. АН СССР. МЖГ. 1977. № 2. С. 179-182.

41. Chaudhary К., Redekopp L. The nonlinear capillary instability of a liquid jet. Pt.l. Theory.// J. Fluid Mech. 1980. V.96. P.257-274.

42. Блаженкой B.B., Гиневский А.Ф., Гунбйн В.Ф., Дм!ит£>иев A.C., Щеглов С.И. Нелинейная эволюция волн при вынужденном капиллярном распаде струй// Изв. АН СССР. МЖГ. 1993. №3. С.54-60.

43. Горшков В.Н., Чабан М.Г. Нелинейные электрогидродинамические явления и генерация капель в заряженных проводящих струях// ЖТФ. 1999.Т.69. Вып. 11.С. 1-9.Г

44. Асланов С.К. К теории распада жидкой струи на капли// ЖТФ. 1999. Ч- • Т.6% Вып. 11 .<2.1.32-133: ■ , A' •V""

45. Rayleigh, Lord. //Proc. Roy. Soc., London. 1879. V.28. P.406-409.

46. Rayleigh, Lord. On the capillary phenomena of jets// Proc. Roy. Soc.,1.V- . • » • I1.ndon. 1879. V.29. № 196. P.71-97.

47. Rayleigh, Lord. // Proc. London Math. Soc. 1879. V.10. P.473.

48. Rayleigh, Lord. On equilibrium of liquid conducting masses charged with , ' electricity //Phil. Mag. 1882. V.14. P.184-186. ■ j.

49. Weber C.'Zum den Zerfall eines Flussigkeitstrahles//' Z. Angew. Math. Mech. 1931. Bd 11. H. 3. S. 136-154.

50. Ламб Г. Гидродинамика. Л.: Гостехтеориздат, 1947. 928 с.

51. Левич В. Г. Физико-химйческая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. I ! 700 с. ' f

52. Keller J. В., Rubinow S. I., Tee Y. O. Spatial instability of a jetИ Phys. 4" * Flxfflfc. l^i'Vori^ 2052-2055.'' ' ' . " ' '

53. Bogy D. B. Wave propagation and instability in a circular semi-infinite liquid jet harmonically forced at the nozzle// Trans. ASME. J. AppL Mech. 1978. VoL 45. №3. P. 469^-474.

54. Bogy D. B. Breakup of a liquid jet: third perturbation Cosserat solution// Phys. Fluids. 1979. V.22. №2. P.224-230.

55. Владимиров В.В., Горшков В.Н. Особенности образования капель при развитии неустойчивости Рэлея в цилиндрических нитях жидкости//ЖТФ. 1990. Т.60. №11.С.197-200.

56. Горшков В.Н., Мозырский Д.В Самовозбуждение коротковолновых; Iструктур и распад на капли в ограниченных нитях жидкости// ЖТФ. 1996. Т.66. Вып. 10. С. 15-25

57. Колпаков А.В. Слияние и дробление капель в атмосфере. Одесса: Изд. ОНУ им И.И. Мечникова. 2003. 164 с.

58. Петров Г.И. Калинин Т.Д. Применение метода малых колебаний кисбйёдованию'распадахтруй топлива в воздухе.//Тех. запискиMÀTI, ' 1947. Mb 4. ' 15 -23 с.

59. Fenn R.W., Middleman S. Newtonian jet stability: the role of air resistance.// AlChE, Journal 1969. 12. № 3. P. 379-383.

60. Grant R.P., Middleman S. Newtonian jet stability .//AlChE, Journal 1966. 12. № 4. P. 669-678.

61. Haenlein A. Uber den Zerfall eines Flussigkeitstrahles// Forschung. Ing. Wes. 1931. Bd 2. H. 4. S. 139-149. '. ' j

62. Iciek J. The hydrodynamics of a free, liquid jet and their influence on direct if corife 'iiëaVtraiigM. Hydrodynamics of a free,' cyliûdrioâï îiquM jet// Int. J.Multiphase Flow. 1982. VoL 8. NT/ P. 239-249.

63. Iciek J. The hydrodynamics of a free, liquid jet and their influence on direct contaèt heat transfer I: Conditions of change of liquid outfldw type through sharp inlet edged orifice. Int. J Multiphase Flow, 1983, 9, № 2 P. 167-179.

64. Rutland D., Jamerson G. Theoretical prediction of the sizes of drops formed in the breakup of capillary jets// Chem. Eng. Sci. 1970. Vol-. 25. N 11. P. 1689-1698.

65. Keur R, Stone J. Some effects of fluid jet dynamics on ink jet printing//

66. EE Trans. Ind. Appl. 1976. VoL IA-12. N 1. P. 86-90. 'i ,

67. Pimbley W, Lee H. Satellite droplet formation in a liquid jet// IBM J. Res. Develop. 1977. VoL 21. N 1. P. 21-30.

68. Епихин Б.E., Шкадов В.Я. Численное моделирование неоднородного распада капиллярных струй // Изв. РАН. МЖГ. 1993. №2. С. 12-17.

69. Глонти Г. А. К теории устойчивости жидких струй в электрическом1.у- ■ . I •поле // ЖЭТФ. 1958. Т.34. №5. С.1328-1330.

70. Schneider J., Lindbland С., Hendrick Jr. Stability of an electrified liquid jet//J. Appl. Phys. 1967. V.38. №6. P.2599-2606.i

71. Michael D., O'Neil M. Electrohydrodynamic instability of a cylindricalviscous jet// Can. J. Phys. 1969. V.47. P.1215-1220. Г

72. Saville D. Electrohydrodynamic stability: effect of charge relaxation at theг'" • ■»«■'•■ • ■»«,'•,",.'; ' . ■ > •', у' V"'" v ' ■ • • •interface of a liquid jet//J. Fluid Mech."l971. V.48. №4.,P.&15-827.

73. Saville D. Stability of electrically charged viscous cylinders. // Phys. of Fluids. 1971. V.14. №6. P.1095-1099.i y. • ' i

74. Huebner A.L. Disitegration of charged liquid jets// J. Fluid Mech. 1969. V.38. Part.4. P.679-688.

75. Френкель Я.И. Действие электрического поля на струю жидкости//Сб. На заре новой физики. JI.: Наука. 1970. С.238-243.1.(

76. Garmendia L., Smith I. The effects of an electroitatic field and air stream on water jet break-up length// Can. J. Chem. Eng. 1975. V.53. P.606-610.

77. Toraita V., Sudou K., Tshibashi Y. Effect of ,a magnetic and an electrical field on the behavior of liquid jets// Bull. JSME. 1979. V.22. №172. P.1390-1398.

78. Кожевников В. И., Чеканов В. В., Литовский Е. И. Свободные! У. ' ' • Iвертикальные струи над деформированной поверхностью магнитной жидкости в электрическом поле// Магнитная гидродинамика. 1982. №4. С.118-120.

79. Grossmann S., Muller A. Instabilities and decay rates of charged viscous liquid jets// Z. Phys. B: Condersed Matter. 1984. V.57. P.161-174.

80. Назин С. С., Изотов А. Н., Шикин В. Б. Об устойчивости заряженной струи// ДАН СССР. 1985. Т.283. №1. С.121-125.

81. Герценштейн С .Я., Мусабеков П. М., Рудницкий А. Я., Уразов Ш. Н. Неустойчивость и распад наэлектризованных капиллярных струй// ДАН СССР.1989. Т.306. №5. С.1073-1077. '1 »

82. Taylor G. Electrically driven jet // Proc. Roy. S&c., London.' 1969. V.A313. P.453-470.104'. Taylor G. Disitegration of water drop in an electric field // Proc. Roy. Soc., London. 1964. V.A280. P.383-397.

83. Baily A.G. Electrostatic spraying of liquids// Phys. Bull. 1084. V.35. №4. P.146-148.

84. Zeleny J. The electrical discharge from liquid points and a hydrostatic method of measuring the electric intensity at their surfaces // Phys. Rev. 1914. V.3. №2. P.69-91.1 ■ i

85. Zeleny J. On the condition of instsbility f of electrified drops withapplication to the electrical discharge from liquid points. // Proc. Cabrige Phil. Soc. 191'4.V.18. Parti. P.71-83. "

86. Zeleny J. Instability of electrified liquid surfaces // Phys. Rev. 1917. V. 10. №1. P. 1-6.

87. Zeleny J. The role of surface instability in electrical discharge from drops of alcohol and water in air at atmospheric pressure. // Phys. Rev. 1935. V.47. №7. p.638.

88. English W.N. Corona from water drop. // Phys. Rev. 1948. V.74. №2.i 1 1 i . ' P. 179-189. ' T

89. Drozin V.G. The electrical dispersion of liquids as aerosols. // J. Coll. Sci. 1955. V.10. №2. P.168-164. " ' '

90. Vonnegut В., Neubauer R.L. Production of monodispers liquid particles by electrical atomization. // J. Coll. Sci. 1952. V.7. №6. P.616-622.! I- ' <

91. Navab M.A., Mason S.G. The preparation of uniform emulsions by electrical dispersion//J. Coll. Sci. 1958. V.13. P.179-187.1..130 Г

92. Schjultze К. Das Verhalten verschidener Flüssigkeiten bei red Electrostütiscnen'Zerstäubung //Zeitschrift für angewandte Physik. 1961. B.13. №1. S.ll-16.

93. Kleber W. Der Mechanismis der Electrostatischen Lackerzerstabung// Plaste und Kautschuk. 1963. №8. S.502-508.

94. Carson R.S., Hendrics C.D. Natural pulsayions in electrical spraying of liquids // AIAA Journal. 1965. V.3. №6. P.1072-1075.

95. Hines R.L. Elecrostatic atomization and spray'painting //J. Appl. Phys. 1966. V.37. №7. P.2730-2736. ' f

96. Jones A.R., Thong K.C. The production of charged monodispers fuel droplets by electrical dispersion// J. Phys. D: Appl. Phys. 1971. V.4. P. 1159-1165.

97. Коженков В.И., Кирш A.A., Фукс H.A. О механизме образования монодисперсных туманов при электрическом распылении жидкости //ДАН. ССС^. 1973. Т.213!'№4. С.879-880.

98. Коженков В.И., Кирш A.A., Фукс H.A. Исследование процесса образования монодисперсных аэрозолей при электрическом распылении жидкости//КЖ. 1974. Т.36. №6. С.1168-1171.1 1 I

99. Бураев Т.К., Верещагин И.П. Физические процессы при распылении жидкости в электрическом поле // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1971. №i>. С.70-79. ' ' 1 ; "

100. Бураев Т.К., Пашин М.М. Качественная картина распыления жидкости в электрическом поле // Электричество. 1971. №4. С.78-79.! 1 < . '. : I

101. Robinson K.S., Turnbull R.J., Kim К. Electrostatic spraying of liquid insulators // IEEE Trans, on IA. 1980. V.IA-16. №2. P.308-316.

102. Wilson J. M. A linear source of electrostatically carged spray // J. Agric. Engng. Res. 1982. V.27. P.355-362.'1.,

103. Hayati I., Bailey A.J., Tadros Th.F. Investigations into the mechanism electrohydrodynamic spraying of liquids. Part 1.// J. Coll. I,nt. Sci. 1987. V.117. №1.P.205-221. ' 'f

104. Hayati I., Bailey A.J., Tadros Th.F. Investigations into the mechanism *» 1 electtohydrOdynamic spraying of liqtii4s. Part 2,// J. Coll. Int. S,fei!.-vr98«7. V.l 17. №1.P.222-230.

105. Попов С.И., Петрянов И. В. К механизму электростатического расйыливания жидкостей// ДАН СССР. 1970. Т. 195. №4. С.893-895.

106. Кириченко В.Н., Полевов В.Н., Супрун Н.Н., Петрянов-Соколов И.В. Перенос заряда при электрогидродинамическом распылении жидкости// ДАН СССР. 1988. Т.301. №3. С.814-817.

107. Кириченко В.Н., Шепелев Д.Д., Полевбв Петрянов-Соколов И.В.Поперечное пасщепление струи в сильном электрическом поле // ДАН СССР. Ч» * 1№2»«G.284*2871 . . ; J ' М" •• •<■/••,•

108. Кириченко В.Н., Михайлова А.Д., Полевов В.Н. Удельный заряд жидкости в процессах ЭГД-распыления и формирования микроволокон// ДАН СССР. 1990. Т.315у№4. С.819-823. . •. . •

109. Cloupeau М., Prunet Foch В. Electrostatic spraying of liquids in cone-jet modes // J. Electrostatics. 1989. V.22. P. 135-159.

110. Fernandes De La More J„, Loscertales I.G. The .current emitted by highly , ' conducting Taylor cones // J. Fluid Meph. 1994. V.260. P^l 55-184. •

111. Gomez A., Tang K. Charge and fission of droplets in electrostatic sprays // 4 < Ph^Ffyidk'199^. V.&:J№P.:404^413a ,* ; J A" "• '

112. Shiryaeva S.O., Grigor'ev A.I. The semifenomenological classification of the modes of electrostatic dispersion of liquids // J. Electrostatics. 1995. V.34. P.51-59. i >■■ 1 ■ •

113. В. H. Кириченко, Петрянов-Соколов И. В., Супрун Н. Н., Шутов А. А. Асимптотический радиус слабопроводящей жидкой струи в электрическом поле // ДАН СССР. 1986. Т.289. №4. С.817-820.• • ' 'Гv f. .-I ■ .'fll. (.и :<• ;" V ' , 1 ' \ у' У"'" w ' '

114. Кириченко В. Н., Супрун Н. Н., Петрянов-Соколов И. В. Области существования свободных стационарных жидких струй ,в рильном внешнем электрическом поле// ДАН СССР. 1987. Т.295. №2. С.308-311.

115. Кириченко В. Н., Супрун Н. Н., Петрянов-Соколов И. В. Форма свободной стационарной жидкой струи в сильном однородном электрическомIполе// ДАН СССР. 1987. Т.295. №4. С.553-555. ,Г

116. Canan-Calvo A.M. On the theory of electrohydrodynamically driven eapj^aryjets //;J,;pwdJ\4ec!t).anics. 1997. V.335. P. 1,65-188;.4 ' ' I ' < * t- % \ » 1

117. Шутов А.А., Захарьян А.А. Заряженная струя несжимаемой жидкости в электрическом поле. // ПМТФ. 1998. Т.39. №4. С.12-15.1,42. Шутов АГА. Форма слабопроводящей струи в сидьцом электрическом поле. // ПМТФ. 1991. Т.32. №2. С.20-25.

118. Зубарев Н.М. Точное решение задачи о равновесной конфигурации двумерной заряженной жидкометаллической капли // Письма в ЖТФ. 1999. Т.25. Вып.23. С.55-60.

119. Зубарев Н.М. Точное решение задачи о равновесной конфигурации зарШёпрЫк йЬ^ерХностй жидкого .Металла // ЖЭ.ТФ. 1999У 'Т.Т16. '№6(12).' С. 1990-2005.

120. Зубарев Н.М., Зубарева О.В. Анализ равновесных конфигураций заряженных цилиндрических струй проводящей жидкости// Письма в ЖТФ. 2004. Т.30. Вып.1. С.51-55.

121. Turnbull R. Self-acceleration of a charged jet// IEEE Trans. Ind. Appl. 1989. V. 25. N4. P. 699-704.t , (

122. Гиневский А. Ф., Мотин'А.Й. Особенности капиллярного распада струй диэлектрической вязкой жидкости с поверхностным зарядом // ИФЖ.1^91.Т.60. №4. С.57^-581. '

123. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a slightly viscous jet// J. Fluid Mech. 1994. Vol.274. P.93-113.

124. Mestel A.J. Electrohydrodynamic stability of a highly viscous jet// J. Fluid Mech. 1996. Vol.312. №2. P.311-326.f

125. Шкадов В.Я., Шутов A.A. Устойчивость поверхностно заряженнойвя^9Й струц,Д Э^ктричерком поде//J13B. РАН. МЖГ. li998>№^Tl.C,,^9-4p., . ,

126. Shkadov V.Ya., Shutov A.A. Disintegration of a charged viscous jet in aIhigh electric field // Fluid Dynamic Res. 2001. V.2$. P.23-39.r

127. Бухаров A.B., Гиневский А. Ф., Коновалов H.A. Влияниеэл^тричес.когР. ,;.поля. да капиллярный , распад ÇTpyi^ ^щерродита. //, ИФЖ.1991.Т.60. №4. С.582-586.

128. Гиневский А. Ф. Особенности капиллярного распада струй заряженных диэлектриков // Исследование процессов и систем монодисперсного распада жидкости. Сб. н. тр. МЭИ. №119. М: Изд. МЭИ. 1986. С. 18-26.

129. Гиневский А.Ф., Дмитриев A.C., МоТин А.И. Неустойчивость капиллярной струи, заряженной в поле коронного разряда// Тезисы докл. VI Всес.,совещ. по эл^ктр. обработке материалов. Кишинев. 1990г С. 103-104.

130. Шкадов В.Я., Шутов A.A. Устойчивость поверхностно заряженной вязкой струи в электрическом поле// Итоги науки и техники. Сер. "Механикажидкости и газа". 1984. Т. 1. С. 27-35.»

131. Герценштейн С.Я., Мусабеков П.М., Руднидкий А.Я., Умаркулов К. О немонодистерсном распаде капиллярных струи в нестационарномlt эл$ртиче,скф4 Pjwç// Докл. АН СССР. 1989.Т. 306. №5, С. ф7^Ц,77,. ,1.>. I I134

132. Маркова М.П., Шкадов В.Я. Нелинейное развитие капиллярных волн в жидкой струе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1972. №7. С.30-37.1.,

133. Разумовский H.A. Математическая модель вынужденногокапиллярного распада струй // ИФЖ. 1991. Т.60. №4. С.558-561.

134. Едтов В.М., Щмарьян. JI.E. Численное моделирование капиллярногораспада струй полимерных жидкостей// Изв. РАН. МЖГ. 1997. №5. С.97-106.

135. Ширяева С.О., Григорьев А.И. //ЖТФ. 1994. Т.64. Вып.З. С.5-12.

136. Разумовский H.A., Чесноков Ю.Г. Капиллярные волны на поверхности растягивающейся цилиндрической струи жидкости// Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1999. № 6. С.97-104.

137. Жаров А.Н., Григорьев А.И., Ширяева С.О. О внутреннем нелинейном четырехмодовом взаимодействии капиллярных осцилляций заряженной КАПЛИ//ПЖТФ. 2003. Т.29. Вып.9. С.75-82.

138. Ширяева С.О. О 'влиянии собственного заряда нелинейно11 ■ tосциллирующей капли на внутреннее резонанснфе взаимодействие мод// ПЖТФ. 2003. Т.29. Вып. 17. С.28-35.f. ,( •. mfn 'Л. <■••>'•. I . ,.",.■;{ . 1 ' > tf' V'"' V' '' 'л'- ■. ' ' '4 t ' «• * ^ .

139. Жаров А.Н., Ширяева С.О., Григорьев А.И. О нелинейных осцилляциях заряженной капли в третьем порядке малости по амплитуде одномодового начального возбуждения // ЖТФ. 2003. Т.73.,Вщп.6. С.36-45.

140. Справочник по специальным функциям. / Под ред.1 Абрамович М., Стиган И. М.: Наука, 1979. 831 с.'ГЧ» • "Г'1) •'.( 'Л^чГу' У"'" '.f. 1 • .