автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные волны на поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси

На правах рукописи

БАСИНСКИЙ Константин Юрьевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 '.Ш

Тюмень - 2012

005016418

005016418

Работа выполнена на кафедре математического моделирования ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет»

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук.

доцент

Баринов Василий Александрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Перегудии Сергей Иванович

(Санкт-Петербургский государственный университет)

Заслуженный деятель науки РФ доктор технических наук, профессор Шабаров Александр Борисович (Тюменский государственный университет)

Ведущая организация: ФГБУН Институт механики сплошных сред

УрО РАН

Защита диссертации состоится «29» мая 2012 г. в 15:00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.274.14 при ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет» по адресу 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская 15А, ауд. 410.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Тюменский государственный университет».

Автореферат разослан « » апреля 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

А. А. Ступников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Изучение влияния вязкости на распространение поверхностных волн имеет важное как теоретическое, так и практическое значение. В гидрофизике и океанологии до настоящего времени оставались неизвестными точные условия существования волнового режима течения вязкой жидкости. Отсутствовали точные критерии, при выполнении которых необходимо учитывать воздействие вязкости на волновое движение. Следовательно, отсутствовало обоснование применения упрощенных моделей (идеальная жидкость) волновых течений. С точки зрения теории волн актуальным остается исследование нелинейных волновых моделей с учетом вязкой диссипации, т.к. неизвестно ее влияние на волновые характеристики (частота, декремент затухания) и траектории движения. Для решения нелинейной задачи на свободной поверхности идеальной жидкости Стоксом был предложен метод последовательных приближений. В дальнейшем этот метод получил развитие в работах А.И. Некрасова, JI.H. Сретенского, Я.И. Секерж-Зеньковича, Ю.З. Алешкова и других авторов. Однако в случае вязкой жидкости применение этого метода испытывает существенные трудности, вызванные: диссипацией волнового движения; наличием второго динамического условия (для касательных напряжений) на свободной поверхности. В линейном приближении Ламбом было найдено дисперсионное уравнение для комплексной частоты, которое используется вплоть до настоящего времени, например, в работах Д. Джозефа, А.И. Григорьева, A.A. Абрашкина и других авторов. При этом до сих пор не были найдены точные выражения для частоты и декремента затухания волны (дисперсионные соотношения).

Математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси построена в работах В.А. Ба-ринова, H.H. Бутаковой, где получено решение линейной краевой задачи, а также выражения фазовой скорости и декремента затухания волны, найдено решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру. Однако остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от

высоты волны, наличие течения Стокса. Результаты исследования нелинейных эффектов могут найти применение при решении экологических проблем загрязнения в прибрежных зонах океанов, а также в других приложениях.

Цели работы - исследование влияния диссипативных факторов (вязкость, межфазное трение) в линейных и нелинейных моделях волнового движения жидкости. Для достижения этой цели ставятся следующие задачи:

1. В рамках линейной модели определение в аналитическом виде дисперсионных соотношений для волн на поверхности вязкой жидкости; определение точных границ волновых моделей слабовязкой и сильновязкой жидкости, изучение влияния вязкости на траектории жидких частиц.

2. Модификация нелинейных волновых моделей с целью упрощения решения соответствующих краевых задач.

3. Разработка метода нелинейного моделирования волнового движения слабовязкой жидкости и двухфазной смеси.

4. Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости, исследование нелинейных эффектов, соответствующих этому движению.

5. С помощью разработанного метода определение и исследование нелинейных эффектов при волновом движении двухфазной смеси.

6. Разработка компьютерной программы для моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени в зависимости от известных параметров жидкости и волны.

Методы исследования. Для построения моделей движения жидкости со свободной поверхностью использованы методы гидродинамики и теории волн. При анализе полученных математических моделей использовались методы математической физики, в частности методы возмущений, аналитические и приближенные методы решения краевых задач, методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и высшей алгебры. Расчеты для конкретных сред были выполнены с использованием пакета Maple и среды программирования Delphi.

На защиту выносятся результаты, соответствующие четырем пунктам паспорта специальности 05.13.18 - математическое моде-

лирование, численные методы и комплексы программ по физико-математическим наукам.

Пункт 1: Разработка новых математических методов моделирования объектов и явлений.

1. Новая нелинейная модель волнового движения вязкой жидкости со свободной поверхностью, полученная методом исключения касательных напряжений из динамических граничных условий.

Пункт 2: Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей.

2. Метод переменной во времени частоты, являющийся обобщением метода последовательных приближений Стокса для дисси-пативных волновых процессов.

Пункт 5: Комплексные исследования научных и технических проблем с применением современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

3. Аналитическое решение задач о волнах на поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси. Для линейных волн найдены точные ограничения на относительную вязкую частоту, при которых возможно волновое движение, и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой. Получены аналитические дисперсионные соотношения для нелинейной модели с точностью третьего приближения по волновому параметру. Установлено, что при глубине слоя вязкой жидкости большей длины волны частота и декремент затухания мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя. Установлено, что нелинейная частота волны с течением времени стремится к своему линейному значению. Для конкретных сред численно рассчитаны зависимости частот и амплитуд волн от времени, траектории частиц жидкости и дисперсной фазы для различных глубин. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере волнового движения, а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной поверхности. Определены обобщения нелинейных эффектов Стокса для слабовязкой жидкости и двухфазной смеси.

Пункт 8: Разработка систем колтьютерного и имитационного моделирования.

4. Программа для ЭВМ «ЬЛГГодесШгу», предназначенная для компьютерного моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени в зависимости от задаваемых параметров жидкости и волны.

Научная новизна результатов работы по трем областям специальности 05.13.18 сводится к следующим положениям:

Математическое моделирование:

1. В линейном приближении найдены выражения для фазовой скорости и декремента затухания волны для бесконечно глубокого слоя жидкости. Получена система алгебраических дисперсионных уравнений для конечного слоя жидкости. Исследованы линейные траектории жидких частиц.

2. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой.

3. Разработан метод переменной во времени частоты, являющийся обобщением метода Стокса для диссипативных процессов, с помощью которого решена нелинейная задача о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Проведен качественный анализ изменения частоты нелинейной волны.

4. Определены нелинейные эффекты для волнового движения слабовязкой жидкости.

5. Получены решение и дисперсионные соотношения для нелинейных капиллярно-гравитационных волн. Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.

6. Методом переменной во времени частоты решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Найдено асимптотическое решение с точностью третьего приближения по волновому параметру. Найдены нелинейные добавки к фазовой скорости волны. Определены нелинейные траектории частиц жидкой и дисперсной фазы, а также выражения приповерхностного течения Стокса обеих фаз смеси.

7. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере движения, а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к

свободной поверхности. Нелинейная фазовая скорость в случае, когда частицы дисперсной фазы имеют большую, чем несущая фаза плотность, больше, чем в случае более легких частиц.

Численные методы:

8. Численное определение частоты волны и декремента затухания линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины. Численная реализация метода малого параметра для конкретных сред, требующая применения численных методов для определения нелинейной частоты волны и частицы.

Комплексы программ:

9. Разработана программа для ЭВМ «ЬУТга]ес1огу», которая предназначена для компьютерного моделирования нелинейной траектории частицы слабовязкой жидкости в зависимости от введенных параметров жидкости и волны, отображает динамику движения частицы с течением времени. Алгоритм вычисления траекторий основан на применении аналитических формул, полученных для волновых траекторий и численных методов для определения частоты частицы и волны. В программе реализована возможность построения траекторий одновременно нескольких частиц, определяемых разными лагранжевыми координатами, что позволяет оценить глубину проникновения волновых возмущений.

Достоверность и обоснованность полученных результатов и выводов определяется применением хорошо разработанных математических методов, в том числе метода малого параметра, а также тем, что из полученных в диссертации результатов следуют как частные случаи классические результаты теории поверхностных волн.

Научно-практическая значимость. Результаты, полученные в диссертации: развивают теорию поверхностных волн; позволяют рассчитать время затухания волны; моделируют нелинейные волновые движения как вязкой и двухфазной среды; позволяют определить границы применения упрощенных моделей; могут быть использованы для разработки волновых методов определения загрязнения водных бассейнов.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на X Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 2010), III региональ-

ной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных ГГ-решений» (Тюмень,

2010), ХЫ1 международной научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2011), Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Стерлитамак, 2011), Всероссийской научно-практической конференции «Математика и математическое моделирование» (Саранск,

2011), IV региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений» (Тюмень, 2011), XI Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики» (Санкт-Петербург, 2012).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ, в том числе 5 в изданиях из списка, рекомендованного ВАК РФ, получен сертификат о государственной регистрации программ для ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Объем диссертации составляет 119 страниц. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Список литературы содержит 75 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы диссертационной работы, дается обзор работ, непосредственно примыкающих к теме диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткое содержание работы.

Первая глава диссертации посвящена постановке нелинейной краевой задачи о волновом движении на свободной поверхности вязкой жидкости. Рассматривается слой вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Свободная поверхность слоя граничит со средой пренебрежимо малой плотности, характеризующейся постоянным давлением Ра (в частности, атмосферным). Декартовая система координат задана так, что плоскость г* =0 совпадает с

невозмущённой поверхностью, а ось г противоположно направлена вектору силы тяжести g. Движение жидкости происходит в

плоскости х*г* со скоростью и* ,х* ,г*),0,\*(1* ,х* ,г*)).

Звездочкой, там, где это необходимо, обозначены физические (размерные) величины.

Пусть в положительном направлении оси х* распространяется волна длины Я . Длина волны много больше ее высоты (А ).

В области, занятой жидкостью выполняются уравнения неразрывности и движения

л * 1

«ЙУ11*=0, —^г + (и*У)и* =--Ур* +—Ди*, (1)

дt Р Р

Здесь р* = Р — Ра + р^* - динамическое давление, р - плотность, Р - давление, /л - коэффициент динамической вязкости.

На свободной поверхности г =£*(/,**) задаются кинематическое и динамическое условия

. а|\ .эГ

у = "л7~ т-г»

ьг дх (2)

р-р8?+оК-Тя+Т,^г = 0, (р- +оК + Тя)^+Т,=0,

ох ах

т ~ дч* „ ди* т / ди* ду* ^ „

где Тп = 211-т = -2ц—т, т,=ц\-т + -т, К = -Ч п.

от. дх ^дг дх

Здесь о - коэффициент поверхностного натяжения, К - кривизна поверхности, п - вектор нормали к свободной поверхности.

При бесконечном заглублении скорость жидкости должна затухать, т.е. выполнено условие

и= о, у* = 0, г* ->-оо. (3)

Система уравнений (1) и граничных условий (2), (3) является замкнутой и составляет нелинейную краевую задачу для определения характеристик волнового движения.

Во второй главе в линейном приближении исследуется распространение поверхностных волн по свободной поверхности вязкой жидкости.

Первый параграф посвящен определению скорости волнового движения, возмущения давления и формы свободной поверхности. Вводятся следующие безразмерные переменные и величины

и* = ес0и, р* =грс\р, = е|/к, р0= цк/рс0, 1 = кс{, х = кх*, 1 = к£, а = с / с0=а) / а)0, сд=с*+с*, 4=%/к> с1=ак1Р> У1=сЦс20, К\=СЦС1, У1+К20=\, где с0 и <и0 - соответственно фазовая скорость и частота волны линейной задачи для идеальной жидкости, сна)- фазовая скорость и частота волны, е = к^^ - малый волновой параметр, к = 2п/Х - волновое число. Параметр а должен удовлетворять

естественному ограничению 0 < а2 < 1.

В безразмерных переменных задача (1)-(3) принимает вид

ди

£Йу и = 0, а--г0 Аи + Ур = -е(иУ)и,

у —а— = еи—, 2 — её, Э/ дх

дх

(ди Эу^

дх

-3/2

,, д\ (диду\д£

дх

1 + е

-3/2

+ 2у,

ду_ дг

дх

2 = 2 =

и -> 0, 2 — 00.

Далее в этом и во втором параграфе рассматривается задача, соответствующая значению параметра е = 0 . Поле скоростей находится в виде суммы потенциальной и вихревой составляющей и = и0 + и!. Решение линейной задачи найдено в виде

У0 = Ае " яп/, и0 =Ае а сое/, % = х-1 + с1,

(4)

р = Ае а (acos^ + ^sinx), £ = —-je a'(«cosx + ísin^),

a + s

2v0A fe—'г/ ,ч , . \ . л

v, =—2 2 e a L(acosaz —ssinazjcos^-l-^asmaz+scosazjsin^J,

a2+s2

e " {[(aa + 6s) eos az + (a6 —as) sin az] eos x +

+[(as — ab) eos az + (aa + bs) sin az] sin , где d - начальная фаза волны, ¡5 - безразмерный декремент затухания волны (/?£О0 - размерный), s = 2v0—¡3, a = as/(2vl), b = vQ/s. Для относительной частоты и безразмерного декремента затухания найдены следующие выражения

4 V3 s

^ = 2v0-JjÍ2r2cos^yr

-1 , 0 < v0 < 0.66,

P = 2v0- Jjhr2 cosf -11, 0.66 < v0 < 1.31,

= yi2vQ+l, 6 = arctg

'бТз^+^+^-п^

1 + 18Vg — 54I/q

Выражения (4) при предельном переходе у0 -> 0 дают известные решения для идеальной жидкости.

Графики зависимости «(у0), /3^0), приведены на рис. 1.

В силу безразмерности функций и переменной эти графики универсальны для любой жидкости.

При определении декремента затухания было найдено условие (критерий) существования затухающих прогрессивных волн: волновое движение возможно, если 0 < у0 < N ~ 1.31. Для этой области изменения у0 относительная частота а проходит весь диапазон

значений: 0<а(у0)< 1, а(0) = 1, а(7У) = 0. Безразмерный декремент затухания лежит в пределах: О < /3 < , = /?(ЛО = = у32 (//) ~ 0.7 . В физических величинах этот критерий имеет вид

Рис. 1. Зависимость а, в от Vo: линия 1 - а(уо), линия 2 ~Р(уо), линия 3 - 5-(г0)

В третьем параграфе проведены расчеты параметров волнового движения для конкретных жидкостей. Установлено, что с ростом вязкости фазовая скорость убывает. Чем меньше длина волны, тем быстрее это убывание. Для разных плотностей значения фазовой скорости совпадают только при нулевой вязкости (идеальная жидкость), а с увеличением вязкости фазовая скорость жидкости меньшей плотности убывает быстрее. Декремент затухания с увеличением вязкости возрастает. Это возрастание больше для волны меньшей длины и жидкости меньшей плотности.

В четвертом параграфе в линейном приближении определены траектории жидких частиц. Траектории являются разомкнутыми вследствие затухания волны. Для примера построены траектории движения жидких частиц с лагранжевыми координатами х1 = 1 и г1=0; — 1 при значениях динамического коэффициента вязкости

/ы = 10"3 кг/(м*с) (рис. 2а, б) и ¿1 = 100 кг/(м*с) (рис. За, б). При малом значении вязкости траектории практически являются окружностями, что соответствует классическим результатам. Из рисунков видно, что с увеличением глубины частицы жидкости дви-

жутся по траекториям меньшее амплитуды. На рис. За приведен пример влияния касательных напряжений на форму траектории частицы вследствие большого значения динамической вязкости. Однако, этот эффект наблюдается только вблизи свободной поверхности, при заглублении большая вязкость жидкости сказывается только лишь на скорости затухания движения частиц (рис. 36).

1,00003

Рис. 2а. Траектория движения частицы при ц = 0.001 кг/(м*с), ъ^ = 0

0,000 -

-0,005 -

2* -0,015-

0,99997 0,99999 1 1,00001 -1,00000-Г1-'

-1,00001 --1,00002-)] 2* -1,00003-1 -1,00004-1,00005-1,00006-1

Рис. 26. Траектория движения частицы при /г = 0.001 кг/(м*с), = -1

0,99999 1 1,00002

-1 ■

-1,00001 --1,00002 -

гг*

Ъ -1,00003 -1,00004 -1,00005

Рис. За. Траектория движения час- Рис. 36. Траектория движения частицы при ц = 100 кг/(м*с), = 0 тицы при [4, = 100 кг/(м*с), г^ = -1

В пятом параграфе в результате сравнения амплитуд потенциальной и вихревой составляющей скорости определена область значений относительной вязкости

0<^0<0.4, (5)

при которых жидкость можно считать слабовязкой и искать решение в виде затухающих потенциальных волн. Кроме того, в модели слабовязкого приближения необходимо пренебречь вторым дина-

мическим условием (2), т.к. оно может быть удовлетворено только вихревым решением. Тогда линейная волновая задача для слабовязкой жидкости принимает вид ди

сИу и = 0, а--vnДu + V» = О,

д( о

2f 2 „ dvo г,

vo P-YÜ + IC-j-2v0^- = 0, z = 0.

. , /2§ + к2 —J — 2v0 — dt ' дх2 0 dz

Решение данной задачи найдено в виде

и0=Ле а (cos%,sinx), р = Ае а (асos^ + ^sin^).

_ét

l = Aea{acosx-£sinx), a2 + p2 = 1, p = v0.

Таким образом, в рамках потенциальной модели дисперсионные соотношения имеют более простой вид, чем для вихревой модели.

В шестом параграфе решена линейная задача о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины. Для определения частоты и декремента затухания волны получены дисперсионные уравнения, для решения которых применялись численные методы решения систем уравнений. Установлено, что при глубине слоя большем длины волны решение задачи практически равно решению линейной задачи для бесконечно глубокого слоя.

В третьей главе рассматривается нелинейная задача о плоских гравитационных волнах (0 = 0) на свободной поверхности слабовязкой жидкости, когда выполняется условие (5).

В первом параграфе, исключением из второго динамического условия задачи (1)-(3) вязких касательных напряжений, строится математическая модель, описывающая волновое движение слабовязкой жидкости. Для решения задачи во втором параграфе предлагается модифицировать метод последовательных приближений Стокса, полагая частоту волны неизвестной функцией времени, что обосновано затуханием волнового движения и зависимостью фазовой скорости от амплитуды волны. Безразмерные уравнения и граничные условия имеют вид

íi2 Эй

div u = 0, --- -v0Au + Vp = -e(uV)u, (6)

a-ta! dt

V---— = ей—, г =

а — 1а Ы дх

ду

дг \ дг

и О, г -> — оо.

¿М

т\ * 2 = ££>

Здесь а = с(/)/с0 = «и(')М> , с0 = ^¡ф .

В силу малости волнового параметра е граничные условия на свободной поверхности г = е£((,х) , разложением в ряд Маклорена входящих в них функций, сводятся к условиям на фиксированной поверхности 2 = 0.

Исходя из ограничения на относительную вязкую частоту, решение задачи находится в виде затухающих прогрессивных волн. Неизвестные функции представляются в виде рядов по параметру е °° _ д » р

п=1 п=1

00 р / 00 \ / 00

§ = « = а0 1 + 2еЧ(0, = & 1 + 2=4(0

1=1 \ П=1 / \ »1=1

Здесь /?(/) - безразмерный декремент затухания (/Г = /9<у0 -размерный), а0, /30 - значения «, /?, соответствующие линейной задаче. Выписываются системы уравнений и граничных условий для определения трех приближений, которые затем разрешаются. Получены выражения для относительной фазовой скорости, декремента затухания, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности с точностью до третьего приближения. Относительная частота и безразмерный декремент затухания имеют вид

а = а.

£ = 1 + е2а0А21 е ° (\ + 4у20~Лу40) .

Найденные выражения показывают, что частота и декремент зависят от высоты волны и времени, с течением которого затухают, стремясь к своим линейным значениям. Эти формулы являются обобщением нелинейного эффекта Стокса на случай слабовязкой жидкости.

В третьем параграфе, исходя из полученного решения задачи (6), где отсутствует в явном виде декремент затухания /? , предлагается ограничиться разложением в ряд относительной частоты. При этом в нелинейных приближениях амплитудные коэффициенты полагаются функциями времени, подлежащими определению. Найдено решение задачи, которое совпадает с решением, полученным в предыдущем параграфе.

В четвертом параграфе определяются нелинейные траектории частиц слабовязкой жидкости. Найдено выражение переносной скорости Стокса

где гь - лагранжева координата частицы.

Переносная скорость зависит не только от глубины, на которой находится частица, но и от времени. Со временем приповерхностное течение затухает, и траектории частиц стремятся к линейным.

Установлено, что движение жидкой частицы состоит из двух затухающих движений: непериодического и вращательного. Непериодическое происходит тем быстрее, чем ближе частица к свободной поверхности. Оно обеспечивает разомкнутость траекторий частиц. Вращательное движение осуществляется по круговым спиралеобразным траекториям, которые со временем сходятся к центру начальной окружности. Стремление к центру тем быстрее, чем больше значение вязкости жидкости.

Четвертая глава посвящена решению нелинейной задачи о капиллярно-гравитационных волнах на свободной поверхности сла-

бовязкой жидкости. Решение находится в виде затухающих прогрессивных волн методом переменной во времени частоты с точностью до третьего приближения. Относительная частота найдена в виде

где «о - значение а, соответствующее линейной задаче.

Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.

В пятой главе рассматривается нелинейная задача о волновом движении на поверхности бесконечно глубокого слоя двухфазной смеси.

В первом параграфе приводится нелинейная краевая задача о волнах на поверхности слоя двухфазной смеси с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое, которая во втором параграфе разрешается методом переменной во времени частоты. Предполагается: несущая фаза - идеальная несжимаемая жидкость, вязкость которой проявляется только на межфазной границе; дисперсная фаза - сферические частицы радиуса а; волна длиной А (А > > t;*m3x, А > > а ) распространяется в направлении оси х*; = £ - малый волновой параметр, к = Injk - волно-

вое число. В предположении, что частота волны - неизвестная функция времени, безразмерные уравнения и граничные условия на свободной поверхности для волновых возмущений принимают вид

+4уУо (З/о + Уо ~ 12) ■+16к20 (3у2, - 2) •

• (1 - Зк1у20 )Д(Зу20 - 2)2 + 24уУ0)]}.

V, - га.

:oV-(yv,) = 0,

Л 1 + 2«о

( ^ ) 1 Зу, зи.ап д\ч , ч _ ^ 2 /(//с) 2(г/с)

(у2У)У2 -га^ -у,)-^| + 2 2(4с) ^ д( 91 >}

[(^V) ^ - (у2V) У2 ] = О,

5 л \1 1 ^ (1 - ав) Эу. л \

2 %с) а/ 2 (г/с) Э/

/*2 + уЛ (1 - «О ) (у2 V) VI - (1 - «О )(^У) V! - ГД0у (у2 - V! ) -

+

+£

+ [(V!V) V, -(у2V)У2] = О,

(! - «о) у1г - + £ {^[(1 - «о) + «0У2х ]-

г/с)

м

2 —00> / = 1,2.

Безразмерные величины связаны с физическими равенствами г = £сУ, х = кх*, г = кг*, = р° / р°, г = Я/р°ксо,

Р° = 0 " «0)рГ + «0Р2> с = с* (0/с0 = ш* 0)/Ч,

«*=£«07, У*=£С0У,., р* = Р1-Ра+р°ёг'= Ер°с20р.

Здесь («0, с0 - частота, фазовая скорость линейной волны; а0, а - концентрация дисперсной фазы, ее возмущение; V*, Рп р° -вектор скорости, давление, истинная плотность г'-й фазы; р°, Ра -плотность покоящейся смеси, атмосферное давление; Я = 9г]/2а2 -

коэффициент межфазного трения (г] - динамическая вязкость); коэффициент 5 = 1; 0 в зависимости от учета силы присоединенных масс.

Граничные условия заданные на свободной поверхности я = при помощи разложения в ряд Маклорена переносятся

на фиксированную поверхность г = 0. Решение нелинейной задачи ищется в виде рядов по малому параметру е

у2=2у-ч„,

п=\ п—1 П=1

и=1 я=1 п=2

Выписываются системы уравнений и граничных условий для определения первых трех приближений. Решение задачи найдено в виде затухающих прогрессивных волн. Получено выражение для относительной частоты, из которого следует, что с течением времени частота стремится к значению соответствующему линейной задаче. На рис. 4 приведены графики зависимости фазовой скорости волны (к = 5 м) от времени I для смеси с более легкой (р°2 = 500 кг/м3) и более тяжелой (р\ = 1500 кг/м3) дисперсной фазой, чем несущая жидкость (р°=1000 кг/м3, г] = \0~ъ кг/(м*с)). Дисперсная фаза моделируется в виде шариков радиуса а = 0,15-Ю-2 м. Из графиков видно, что максимальное значение фазовая скорость принимает в начальный момент времени и с течением времени уменьшается, стремясь к линейному значению.

В случае р\ > р\ фазовая скорость больше, чем при р\< р\. Из графиков зависимости амплитуды волны от времени, приведенных на рис. 5, видно, что волновое движение затухает раньше, чем фазовая скорость достигает линейного значения.

В третьем параграфе определяются нелинейные траектории частиц несущей и дисперсной фазы. Найдено решение с точностью

е2, а также выражения переносной скорости Стокса каждой фазы. Переносная скорость зависит не только от глубины, на которой на-

ходится частица, но и от времени, с течением которого затухает. Движение частиц состоит из двух затухающих движений непериодического и вращательного. Для иллюстрации на рис. 6, 7 приведены траектории частиц дисперсной фазы при р\ = 500 кг/м3 и р\ =1500 кг/м3. Из графиков видно, что более легкие частицы заглубляются по мере движения, а более тяжелые, наоборот, поднимаются ближе к свободной поверхности.

с*, м/с

2,797002,796502,796002,79550-

500 1000 1500 2000 **> с

Рис. 4. Зависимость фазовой скорости с* от времени 1*:

200 400 600 800 1000 1*, с

Рис. 5. Зависимость амплитуды волны А* от времени Г":

--- р\ =500кг/м3,-р\ =1500кг/м3 ---р\ =500кг/м3,-р\ =1500кг/м3

Х*,м

О 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

Х*,м

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

г*, и

-0,15-

Рис. 6. Траектория движения частицы дисперсной фазы при р\ =500 кг/м3

Рис. 7. Траектория движения частицы дисперсной фазы при р'=1500 кг/м3

В заключении приведены основные результаты и выводы диссертации:

1. Для линейной задачи о волнах на поверхности вязкой жидкости найдены выражения для фазовой скорости и декремента зату-

хания волны. Исследовано влияние вязкости на траектории движения жидких частиц.

2. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение, а также границы применимости модели слабовязкой и сильновязкой жидкости.

3. Получена система дисперсионных уравнений для линейных волн на слое вязкой жидкости конечной глубины. Численно установлено, что конечность слоя изменяет частоту и декремент затухания, если глубина меньше длины волны. Если глубина больше, то частота и декремент мало отличаются от случая бесконечно глубокого слоя.

4. С точностью третьего приближения методом переменной частоты, являющимся обобщением метода Стокса для диссипатив-ных процессов, решена задача о распространении волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Получены нелинейные выражения скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Установлено, что с течением времени фазовая скорость стремится к ее линейному значению. Найдены нелинейные траектории движения частиц слабовязкой жидкости, а также выражение для приповерхностного течения. Выражения для частоты и скорости приповерхностного течения являются обобщением нелинейных эффектов Стокса на случай слабовязкой жидкости.

5. Исследовано влияние поверхностного натяжения на волновое движение слабовязкой жидкости. Установлено, что капиллярно-гравитационная волна движется быстрее гравитационной, но при этом амплитуды их убывают с одной скоростью.

6. Найдено решение с точностью третьего приближения нелинейной задачи о поверхностных волнах на слое дисперсной смеси методом переменной частоты. Тем самым, показана универсальность данного метода для диссипативных волновых процессов. Найдена нелинейная поправка к фазовой скорости волны. Исследованы траектории движения частиц несущей и дисперсной фазы. Установлено, что дисперсные частицы с меньшей, по сравнению с несущей жидкостью, плотностью заглубляются по мере движения,

а частицы с большей плотностью поднимаются ближе к свободной поверхности. Найдены выражения для скорости приповерхностного течения несущей и дисперсной фазы.

7. Разработана программа для ЭВМ «1ЛГГга]еси>гу», предназначенная для компьютерного моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени.

В приложении приведено описание интерфейса программы «ЬУТпцесияу», предназначенной для моделирования движения частицы слабовязкой жидкости с течением времени в зависимости от задаваемых параметров жидкости и волны.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование волновых движений вязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. 2009. №6. С. 144-151.

2. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Развитие метода Стокса для слабовязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. 2010. №6. С. 127 - 133.

3. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Решение нелинейной задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 2011. Сер. 10. Вып. 2. С. 9-16.

4. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны Стокса на поверхности слабовязкой жидкости // Вестн. Удм. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2011. Вып. 2. С. 112-122.

5. Басинский К.Ю. Нелинейные капиллярно-гравитационные волны на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Вестник Тюмен. ун-та. №7. 2011. С. 123-127.

Публикации в других рецензируемых изданиях

6. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып.11. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук». 2009. С.10-17.

7. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Волновые траектории частиц вязкой жидкости // Сборник трудов третьей региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1Т-решений». - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. С. 27-32.

8. Басинский К.Ю. Нелинейные волны на поверхности слабовязкой жидкости // Сборник трудов третьей региональной научно-практической конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений». - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2010. С. 32-36.

9. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Влияние вязкости жидкости на распространение поверхностных волн // Труды 10-ой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». -СПб.: Наука, 2010. С. 205-208.

10. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейное моделирование волн на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып. 12. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук». 2010. С. 18-27.

11. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волновые траектории частиц слабовязкой жидкости // Сборник науч. трудов «Математическое и информационное моделирование». Вып.12. Тюмень: Изд-во «Вектор Бук». 2010. С.27-34.

12. Басинский К.Ю. Распространение капиллярно-гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости // Процессы управления и устойчивость: Труды 42-й международной научной конференции аспирантов и студентов / Под ред. A.C. Ерёмина, Н.В. Смирнова. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2011. С. 86-91.

13. Басинский К.Ю. Моделирование нелинейных капиллярно-гравитационных волн // Сборник трудов четвертой региональной на-учно-пракгаческой конференции «Современные проблемы математического и информационного моделирования. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT-решений». - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2011. С. 12-17.

14. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Труды Всероссийской научной конференции с международным участием «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Уфа: Гилем, 2011. С. 36-39.

15. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Моделирование нелинейных волн на свободной поверхности слабовязкой жидкости // Труды Всероссийской научно-практической конференции «Математика и математическое моделирование». — Саранск: Изд-во Мордов. гос. пед. ин-та, 2012. С. 31-36.

16. Баринов В.А., Басинский К.Ю. Нелинейные волны на поверхности двухфазной смеси. Труды 11-ой Всероссийской конференции «При-

кладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2012. С. 196-200.

17. Баринов В.А., Басинский К. Ю. Нелинейные волны на поверхности слабовязкой жидкости. Труды 11-ой Всероссийской конференции «Прикладные технологии гидроакустики и гидрофизики». - СПб.: Наука, 2012. С. 200-203.

18. Басинский К.Ю. «ЬХП^'есЬгу» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012612513 от 20.03.2012.

Подписано в печать 20.04.2012. Тира;« 100 экз. Объем 1,0 уч.-изд. л. Формат 60x84/16. Заказ 280.

Издательство Тюменского государственного университета 625003, г. Тюмень, ул. Семакова, 10. Тел./факс (3452) 45-56-60; 46-27-32 E-mail: izdatelstvo@utmn.ru

61 12-1/854

ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Басинский Константин Юрьевич

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ

05.13.18 -Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук, доцент В. А. Баринов

Тюмень - 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.................................................................................4

Глава 1. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ...................................................................9

1.1. Уравнения и граничные условия...................................................9

1.2. Нелинейная краевая задача..................... ................................10

Глава 2. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ............................................................... 12

2.1. Постановка и решение задачи.................... ............................. 12

2.2. Фазовая скорость, декремент затухания и амплитуда волны.............15

2.3. Расчеты для конкретных сред...................................................20

2.4. Траектории жидких частиц......................................................25

2.5. Слабовязкое приближение......................................................30

2.6. Задача о волнах на слое конечной глубины.................................33

Глава 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ................36

3.1. Постановка задачи.......................... .....................................36

3.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания.................................................................37

3.3. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды......................................................................... 50

3.4. Волновые траектории частиц слабовязкой жидкости.....................59

Глава 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ СЛАБОВЯЗКОЙ

ЖИДКОСТИ............................................................................65

4.1. Постановка задачи............................................................... 65

4.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и декремента затухания..................................................................66

Глава 5. МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН НА ПОВЕРХНОСТИ ДВУХФАЗНОЙ СМЕСИ.......................................81

5.1. Постановка задачи.................................................................81

5.2. Решение нелинейной задачи методом переменных частоты и амплитуды...............................................................................82

5.3. Волновые траектории частиц несущей и дисперсной фазы............104

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.........................................................................109

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................111

ПРИЛОЖЕНИЕ.......................................................................118

ВВЕДЕНИЕ

Диссертация посвящена нелинейному моделированию распространения волн на свободной поверхности вязкой жидкости и двухфазной смеси, а также разработке приближенных аналитических методов исследования нелинейных волновых моделей.

Теория волн на поверхности жидкости оформилась в самостоятельный раздел гидромеханики и математической физики в классических работах Ж.Л.Лагранжа, О.Коши и С.Пуассона. Линеаризация задачи о волнах, положенная в основу теории волн бесконечно малой амплитуды, предложена О.Коши [67]. Теория волновых движений жидкости развивалась главным образом в связи с вопросами качки корабля, волнового сопротивления, а также теории приливных волн в каналах и реках. Среди тех, кто способствовал развитию линейной теории волн, следует отметить П. Лапласа, М.В. Остроградского, Дж. Эри, Дж. Стокса, У. Кельвина, Дж. Рэлея, Г. Ламба и других ученых.

Подавляющее большинство краевых задач, описывающих

распространение волн, являются нелинейными, что не позволяет получать их

точные аналитические решения. Эффективный метод решения нелинейной

задачи о незатухающих прогрессивных волнах на поверхности идеальной

жидкости первым разработал Дж. Стоке [74]. Этот метод известен как метод

малого параметра (или последовательных приближений). В дальнейшем этот

метод получил широкое применение при решении различных прикладных

задач. Значительный вклад в его разработку и обоснование внесли Рэлей,

Пуанкаре, Лайтхилл [49] и др. Наиболее полное изложение данного вопроса

можно найти в работах Ван-Дайка [35] и Найфэ [ 52, 53]. Теория нелинейных

волн на поверхности идеальной жидкости была усовершенствована в работах

А.И. Некрасова[54], Леви-Чивита[72], Н.Е. Кочина[44], Л.Н. Сретенского

[63], Я.И. Секерж-Зеньковича [60, 61], Ю.З.Алешкова [3] и других авторов.

Дальнейшее развитие этой теории было связано с рассмотрением

4

нелинейных задач о волнах на поверхности жидкости более сложной физической природы и применением метода Стокса к их решению. Так теория волн на поверхности неоднородной жидкости отражена в современных работах [4, 5, 36, 37, 51, 56, 57]. Вопросам корректности постановок таких задач и устойчивости решений посвящены работы [38, 40]. Развитие метода малого параметра для решения нелинейных краевых задач о магнитогидродинамических поверхностных волнах представлено в работах [6, 9, 45, 73]. Таким образом, аналитические исследования нелинейных поверхностных волн проводятся давно и охватывают достаточно широкое многообразие моделей. Однако, в этих моделях как правило рассматриваются бездиссипативные волновые движения жидкостей, т.е. в них не учитывается влияние диссипативных факторов, например, вязкости. Хотя еще в 1845г. Дж. Стоке указывал на важность учета вязкости жидкости при рассмотрении волновых задач [75]. В своей работе он пытался найти функциональную зависимость между декрементом затухания волны и коэффициентом вязкости.

Теоретическое изучение влияния вязкости на волновое движение жидкости началось ближе к середине XX века и проводилось в основном в линейном приближении. К основополагающим исследованиям этого периода можно отнести работу Г. Ламба [47]. В ней найдено решение линейной задачи на поверхности слоя вязкой жидкости бесконечной глубины в виде комплексных функций, состоящих из потенциальной и вихревой части. Для определения комплексной частоты Ламб получил алгебраическое уравнение четвертой степени (дисперсионное уравнение). Решение этого уравнения (дисперсионные соотношения) было выписано только в приближении слабовязкой жидкости, когда вихревой частью решения пренебрегают по сравнению с потенциальной. В дальнейших работах в основном использовались результаты, полученные Ламбом, например [2, 32, 48, 50, 68]. При этом оставались ненайденными: точное решение дисперсионного уравнения (аналитические выражения для частоты и декремента затухания);

5

условия существования волнового режима течения; ограничения применимости моделей слабо- и сильновязкой жидкости. Наличие этих проблем приводило к результатам отличным от полученных Ламбом, например [58, 65, 66, 69, 70, 71]. В работе [70] в случае слабовязкого приближения найдено выражение для декремента затухания вдвое меньше полученного Ламбом. В работе [58] при рассмотрении линейной задачи в полной форме также установлено, что найденная Ламбом зависимость

и Т"ч и

декремента от кинематическои вязкости не выполняется. В этой статье численно получено ограничение на значения относительной вязкости, при котором волновое движение возможно. Это и ограничения на применимость моделей слабо- и сильновязкой жидкости играют важную в океанологии и гидрофизике. Они позволяют правильно выбирать модели при расчетах волновых движений жидкости [41]. Таким образом, даже в линейном приближении задачу о волнах на поверхности вязкой жидкости нельзя считать полностью решенной. Поэтому в рамках линейного приближения целью диссертационной работы является аналитическое определение точных: дисперсионных соотношений, условий существования волнового движения, ограничений на модели слабо- и сильновязких жидкостей.

Решений нелинейных задач о волнах на поверхности вязкой жидкости, учитывающих известные нелинейные эффекты Стокса до настоящего времени не было. Отдельные попытки применить метод Стокса к таким задачам были предприняты в работах [1, 32, 33, 64]. За линейное приближение в них взято решение Ламба. Нелинейное исследование свелось к нахождению второго приближения стандартным методом Стокса. Применение этого метода к получению третьего приближения для вязкой жидкости приводит к неразрешимой ситуации - появляются неопределяемые функции времени. Поэтому в этом приближении стандартным методом нельзя получить решение. Но, как известно, только в третьем приближении проявляются нелинейные эффекты Стокса: наличие поправки к фазовой скорости и приповерхностное течение. Поэтому разработка эффективного

б

аналитического метода, который обобщает метод Стокса на нелинейные задачи для вязкой жидкости, является еще одной целью данной диссертационной работы.

Волновое движение двухфазной смеси из-за межфазного трения является диссипативным. Поэтому решение нелинейной задачи о таком движении является еще одной целью диссертационной работы. Нелинейная математическая модель распространения волн по свободной поверхности слоя дисперсной смеси была приведена в работах [10, 12, 13]. В них также приводится решение линейной краевой задачи, выражения фазовой скорости и декремента затухания волны. Решение нелинейной задачи с точностью второго приближения по амплитудному параметру приведено в [7, 11], при этом остаются не исследованными нелинейные эффекты, которые проявляются только в третьем приближении: зависимость фазовой скорости от высоты волны, наличие течения Стокса. Для решения задачи в трех приближениях в данной диссертации применяется метод переменной во времени частоты, использованный для задачи о волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Получена нелинейная добавка к фазовой скорости, определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

Первая глава диссертации посвящена постановке нелинейной краевой задачи о волновом движении на свободной поверхности вязкой жидкости. Приводятся уравнения, описывающие движение жидкости, и граничные условия на свободной поверхности жидкости.

Во второй главе рассматривается линейная задача о плоских волнах на слое вязкой жидкости бесконечной глубины. Найдено точное решение задачи, а также выражения для частоты, фазовой скорости и декремента затухания волны. Аналитически определено критическое значение относительной вязкости, при котором возможно волновое движение и условие, при выполнении которого жидкость можно считать слабовязкой. Определены траектории жидких частиц. Найдены дисперсионные уравнения

7

для задачи линейной задачи о волнах на поверхности слоя вязкой жидкости конечной глубины.

В третьей главе рассматривается нелинейная задача о распространении гравитационных волн по свободной поверхности слабовязкой жидкости. Для решения задачи предложен метод переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности. Определены нелинейные траектории жидких частиц, а также выражение переносной скорости Стокса.

В четвертой главе рассматривается нелинейная задача о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности слабовязкой жидкости. Задача решена методом переменной во времени частоты. С точностью до третьего приближения найдены выражения для относительной фазовой скорости, скорости волнового движения, динамического давления и формы свободной поверхности.

В пятой главе приводится постановка задачи о волнах на поверхности среды с равномерным распределением дисперсной фазы в покоящемся слое. Приводятся уравнения, описывающие движения двухфазной среды, и граничные условия на свободной поверхности слоя. Решена нелинейная задача о плоских волнах на слое дисперсной смеси бесконечной глубины. Решение найдено с точностью до третьего приближения по малому амплитудному параметру методом переменной во времени частоты. Найдена поправка к фазовой скорости волны, определены скорости волнового движения, возмущения давления и концентрации дисперсной фазы, а также форма свободной поверхности. Исследованы траектории частиц несущей и дисперсной фазы.

В диссертации принята тройная нумерация формул. Первая цифра указывает номер главы, вторая - номер параграфа, третья - номер формулы.

Глава 1

НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1.1. Уравнения и граничные условия

Рассматривается слой вязкой несжимаемой жидкости бесконечной глубины. Свободная поверхность слоя граничит со средой пренебрежимо малой плотности, характеризующейся постоянным давлением Ра (в частности, атмосферным). Декартовая система координат задана так, что

* л •■ *

плоскость г = U совпадает с невозмущеннои поверхностью, а ось z противоположно направлена вектору силы тяжести g. Движение жидкости

происходит в плоскости х z со скоростью и = (u (t ,х ,z ),U,v (t ,х ,z )J.

Звездочкой, там, где это необходимо, обозначены физические (размерные) величины.

В области, занятой жидкостью выполнены уравнения неразрывности и движения [34, 62]

div u*=0, ^¡- + (u*V)u* =-—VP + —Au*+g, (111)

dt p p

где p - плотность, P - давление, fi - коэффициент динамической вязкости.

На свободной поверхности z (t ,х) задаются кинематическое и динамическое условия. Первое состоит в том, что частица жидкости не сходит со свободной поверхности [3, 50]

* dt* *

v = аГ11 аГ' (1Л'2)

Динамическое условие для касательных и нормальных напряжений имеет вид [8, 59]

где

(п+т„фт, = ь, (п-г.)+г.|С=о,

„ „ ^ т ^ ду „ ди

П = Р~Ра + аК, = -2// —

дг ох

(1.1.3)

(1.1.4)

Т,=м

^ ди ду

V

дг дх

К =

дг£!дх

1 + (д^/дх

3/2

Здесь а - коэффициент поверхностного натяжения, К - кривизна поверхности.

При бесконечном заглублении скорость жидкости должна затухать, т.е. выполнено условие

* ЛЛ * г\ *

и =0, V =0, 2 —>-СО.

(1.1.5)

1.2. Нелинейная краевая задача

2

Пусть в положительном направлении оси х распространяется волна длины X. Длина волны много больше ее высоты (Л» £тах). Для постановки волновой задачи необходимо ввести волновое возмущение давления р (динамическое давление)

Р = Ра-р&+р. (1.2.1)

Подставляя выражение (1.2.1) в уравнения (1.1.1) и граничные условия (1.1.2), (1.1.3), (1.1.5) получаем систему, описывающую волновое движение вязкой несжимаемой жидкости. В области, занятой жидкостью выполняются уравнения неразрывности и движения

Эи* 1

¿//уи*=0, —+ (и*У)и* =--V/?* + —Ди*, (1.2.2)

дt р р

На свободной поверхности г задаются кинематическое и

динамическое условия

дВ* * д£

дt дх

(1.2.3)

(р-р§?+стК + Тп)^г + Т5=0,

р*-р8?+СгК-Тп+А = О,

дх

где Тп и Т5 определены в (1.1.4).

При бесконечном заглублении выполняется условие затухания волнового движения

и* = 0, V* = 0, г*->-оо. (1.2.4)

Глава 2

ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА О ВОЛНАХ НА ПОВЕРХНОСТИ

ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

2.1. Постановка и решение задачи

Рассмотрим плоскопараллельное движение вязкой несжимаемой жидкости в плоскости XV, вызванное распространением по свободной поверхности слоя прогрессивной волны. В этом случае все величины, входящие в (1.2.2)-(1.2.4), зависят только от переменных /*, х*, г*. Для прогрессивных волн также принимается, что переменная х* входит в решение только в комбинации х* - с{, где с - фазовая скорость волны, подлежащая определению.

Обезразмерим уравнения и граничные условия (1.2.2)-(1.2.4), считая, что все волновые возмущения одного порядка малости. В качестве малого параметра возьмем

Е ~ к^тах >

где к = 2ж/Я - волновое число, - максимальное значение высоты свободной поверхности. Параметр б мал в силу, сделанного в 1.2, предположения о длине волны (Л » Введем следующие безразмерные переменные и величины:

11 = 11*/ес0, р = р*/ерс1, £ = Ц "/е, у0 = рк/рс0, t = kct*, х-кх*, г = кг*, а = с/с0 = со/со0, с2=с2+с2,

с1=ё!к> с2а=сгк1р, у1=сЦс1, 4=СЦС1 Г1+К]= 1.

Здесь с0 и сой - соответственно фазовая скорость и частота волны линейной задачи для идеальной жидкости, со - частота волны. Параметр а должен удовлетворять естественному ограничению

0<а2<1. (2.1.1)

После обезразмеривания исходная нелинейная задача (1.2.2)-(1.2.4) примет вид

ди

сИу и = 0, а--У0Ди + Ур = -£(иУ)и,

Ы

V - а-^ - £м ——, г = ед,

сЧ дх

(2.1.2)

дх

1 + *2

\дх)

-3/2

-2к

ду &

= -£У,

V

ди ду^ — + —

дг дх

дх

, г =

у„

ди ду & дх

р-^+К

д2%

дх2

1 + 82

Гд

-3/2

дх

\ил /

ду

дг

дх

II —> 0, 2 —» -СО.

Линеаризуем задачу, положив в (2.1.2) е = О,

ди

сИум = 0, а--^о + У/? = О,

2 ? ~ ду .

V

ди ду дг дх

У

(2.1.3)

= 0, г = 0, (2.1.4)

и -» 0, г->-оо. (2.1.5)

Второе и третье условия (2.1.4) будем называть первым и вторым динамическим условием соответственно. Применив оператор V к уравнению движения (2.1.3), получим линеаризованное уравнение Фридмана [43] Др = 0. Из которого следует, что давление - гармоническая функция по пространственным переменным. Поэтому, хотя бы часть поля скоростей, создающего это возмущение давления, должна быть потенциальной. В то же

время второму динамическому условию гармонические функции не удовлетворяют. Следовательно, поле скоростей помимо потенциальной составляющей должно содержать и вихревую. Исходя из этого, представим скорость в виде

и = и0+и15 и0 = У(р, и^гоЩ Ф =

где - единичный вектор оси у