автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование процессов взаимодействия частиц в двухфазной среде

1 Государственное образовательное учреждение высшего профессионального об-

| разования «Мордовский государственный университет имени Н.П.Огарева»

I

|

На правах рукописи

| Борискина Ирина Петровна

и

I

! МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

1 ЧАСТИЦ В ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЕ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

I

I

АВТОРЕФЕРАТ

£

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саранск - 2003

Работа выполнена на кафедре математики и теоретической механики Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

Мартынов С.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Малыханов Ю.Б. кандидат физико-математический наук, доцент Бояркин Д.И.

Ведущая организация - Самарский государственный университет

Защита состоится 26 ноября 2003 года в 14 часов 00 мин. на заседании диссертационного совета по защите кандидатских диссертаций КМ.212.117.07 при Мордовском государственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета имени Н.П.Огарева.

Автореферат разослан « 24» октября 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат физико-математических наук М.А. Борисов

Т^оо

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования.

Актуальность проблемы связана с широким представлением таких смесей в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. В последние годы интенсивно развиваются методы аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях (электромагнитного поля, температуры, давления). Моделирование таких дисперсных сред - очень сложная задача, так как многообразие и сложность эффектов неоднофазности (силовое взаимодействие, вращение и столкновение частиц, коагуляция и т.д.) приводит к необходимости проведения все новых исследований в этой области. Одной из центральных проблем многофазных и, в частности двухфазных, сред является учет взаимодействия фаз. Поэтому получение новых аналитических, численных и экспериментальных результатов по различному роду взаимодействий фаз по-прежнему остается актуальной задачей. В работе исследование взаимодействия частиц проводилось аналитическими и численными методами.

Цель и задачи исследования.

Целью работы является математическое моделирование магнитного и гидродинамического взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости и гидродинамического взаимодействия частиц в нестационарных потоках как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости. В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

1) разработка математической модели, учитывающей взаимодействие частиц во внешнем неоднородном магнитном поле;

2) получение на основе разработанной модели аналитических выражений для сил, действующих на частицы, и численного моделирования движения частиц в вязкой жидкости с учетом их гидродинамического взаимодействия;

3) изучение влияния магнитного взаимодействия частиц на возможность образование агрегатов в магнитном поле;

4) разработка математической модели, учитывающей гидродинамическое взаимодействие частиц в нестационарном потоке как идеальной несжимаемой, так и сжимаемой жидкости;

5) получение на основе разработанной модели аналитических выражений для сил, действующих на частицы, и численного моделирования их поведения в линейном потоке идеальной несжимаемой жидкости и звуковой волне;

6) изучение влияния гидродинамического взаимодействия частиц на возможность образование агрегатов в нестационарных потоках жидкости. Методы исследования базируются на методах моделирования физических

процессов, аналитических и численных методах решения уравнений математической физики.

Научная новизна.

1. Предложена математическая модель, описывающая взаимодействие частиц во внешнем неоднородном магнитном поле в вязкой жидкости.

2. В рамках модели получены выражения для сил, действующих на частицы, и проведено численное моделирование поведение частиц в однородном и неоднородном магнитных полях с учетом и гидродинамического взаимодействия.

3. Изучено влияние магнитного взаимодействия частиц на возможность образования агрегатов из них.

4. Предложена математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие в нестационарных потоках как несжимаемой, так и сжимаемой жидкости.

5. В рамках модели получены выражения для сил, действующих на частицы, и проведено численное моделирование поведение частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне.

6. Изучено влияние гидродинамического взаимодействия частиц на возможность образования агрегатов из них в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне.

Достоверность полученных результатов подтверждается математическими методами исследования, а также непротиворечием полученных результатов с известными теоретическими и экспериментальными данными.

Практическая значимость результатов исследований.

Результаты работы заключаются в создании математической модели, описывающей поведение частиц в жидкости с учетом их магнитного и гидродинамического взаимодействия.

Полученная модель может быть использована и для моделирования поведения поляризующихся частиц, помещенных в вязкую жидкость, во внешнем электрическом поле.

Модель может быть использована при расчете процессов, происходящих в дисперсных системах и связанных с динамикой частиц в жидкости во внешнем магнитном или электрическом полях.

Основные положения, выносимые на защиту:

- математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости;

- результаты расчета сил, действующих на частицы, и скоростей, приобретаемых ими в результате взаимодействия;

- результаты исследования влияния магнитного поля на возможность образования агрегатов из частиц;

- математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости;

- результаты расчета сил, действующих на частицы со стороны жидкости в результате взаимодействия;

- результаты исследования влияния гидродинамического взаимодействия двух частиц на возможность образования агрегатов из частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне;

Апробация работы.

Основные положения и результаты диссертационной работы обсуждались на Международной летней школе по гидродинамике больших скоростей (г. Чебоксары, 16-23 июня 2002 г.); Международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 1-13 июля 2003 г.); на научном семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е.В. Воскресенского в Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева (Саранск, 2001-2003 г.г.), на конфе-j ренциях молодых ученых в Мордовском государственном университете (Са-

ранск, 2001 -2003 г.г.); научном семинаре кафедры математики и теоретической механики Мордовского государственного университета (Саранск, 20012003 г.г.).

1 Личный вклад автора в получение результатов, изложенных в диссертации:

обоснование и постановка задач в диссертации разработаны совместно с доктором физико-математических наук С.И. Мартыновым.

Вывод аналитических выражений, проведение численных расчетов, анализ результатов выполнен автором самостоятельно.

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 7 научных работ, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка используемых источников, включающего 115 работы отечественных и зарубежных авторов. Работа изложена на 127 листах машинописного текста, содержит 43 рисунков. i Содержание работы.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации, обзор литературы, содержащей теоретические и экспериментальные результаты по теме исследования, формулируются цели и задачи исследования, приведена структура диссертации.

В первом разделе диссертации рассмотрена математическая модель, описывающая магнитное взаимодействие двух частиц в потоке вязкой жидкости в неоднородном магнитном поле.

Задача о взаимодействии двух частиц является основополагающей в силу линейности уравнений и граничных условий, описывающих магнитное взаимодействие частиц и их движение в жидкости при малых числах Рейнольдса.

Пусть две сферические частицы А и В одинакового радиуса а находятся в жидкости с вязкостью Г] постоянной магнитной проницаемостью fi,. Магнитная проницаемость частиц постоянна и равна Цг (индексами 1 и 2 обозначаются параметры, относящиеся к жидкости и частице соответственно).

Сила, действующая на каждую частицу со стороны магнитной жидкости,

равна

/ --2

- р8у + + V ¡VI)+ £ щи.

2

п^Б (1.1)

Здесь р, V ,Т] - давление, скорость коэффициент динамической вязкости жидкости, Я, - компоненты вектора напряженности магнитного поля. Интеграл

берется по поверхности частицы, внешняя нормаль к которой есть вектор п. Для вычисления интеграла по поверхности частицы необходимо знать распределение давления, скорости, напряженности магнитного поля в жидкости вокруг частиц.

Уравнения, описывающие движение жидкости и распределение напряженности магнитного поля вне частиц имеют вид:

сИУУ=0, (1.2)

О = -Ур + (1.3)

=0, гогНх =0, В\ =ЦХН1 (1.4)

На систему действует внешнее магнитное поле Н, которое есть линейная функция координат:

И1 ~ но, + Е,]Х)> Ец = •

Причем тензор Ец удовлетворяет следующим условиям:

£,=0.

Частицы помещены в поток, скорость которого V далеко от частиц в общем случае можно представить в виде многочлена произвольной степени по координатам.

Уравнения для магнитного поля Н А внутри частицы А записываются Лу/Х2Я"=0, МНЛ=0 (1.5)

Аналогичные уравнения имеют место для магнитного поля Нв внутри частицы В:

с1Ыц2Нв = 0, гоШв=0 (1.6)

(далее индексами А и В будут обозначаться параметры, относящиеся к частицам А и В соответственно).

На поверхности частицы А должны выполняться следующие граничные условия для магнитного поля:

Ц{(Н,(А) + Еух* + Н|/)П/А = а

(1.7)

Д А

Здесь и", т" - составляющие единичных векторов нормали и касательной к поверхности частицы Л, Я, (Л) = #0, +ЕцГ* - значение магнитного поля в центре частицы А, векторами Хд и Хд обозначено положение произвольной точки среды относительно центров частиц А и В соответственно (Хв = Хд -г, где г соединяет центры сфер А и В).

Граничные условия для магнитного поля на поверхности частицы В имеют вид:

М!(Я,(А) + ЕцхА + Ни + Ецфп? = I ~хв\=а,

' 1-1 (18) (Я,- (А) + Еух* +Ни+ Еу гу )т? = Н^п?, | хв | = а.

Далеко от частиц имеет место затухание возмущений: Ий-» 0, |х|-юв

На поверхности частиц должны выполняться следующие условия для ЖИДКОСТИ:

гМАНу^^+г/*/, |*д| = а (19)

и1(В) + ч=¥В(+ГиВ |лв| = а

Здесь - поступательные скорости частиц А и В относительно

А Й

жидкости; -тензоры угловых скоростей частиц А и В', и ¡(А), и,(В) -

скорость невозмущенного потока жидкости в точках, занимаемых центрами сфер А и В соответственно.

На бесконечности должны выполняться условия затухания:

V; -» 0, р -» 0 при | <»

Так как движение жидкости не зависит от приложенного магнитного поля, то система уравнений (1.2), (1.3) с граничными условиями (1.9) решается независимо от системы уравнений (1.4), (1.5) и (1.6) с граничными условиями (1.7), (1.8) для магнитного поля. Решение гидродинамической задачи (1.2), (1.3), (1.9) известно.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо решить уравнения (1.4)—(1.6) с граничными условиями (1.7), (1.8). В силу линейности уравнений и граничных условий для магнитного поля решение поставленной задачи об определении магнитного поля вне и внутри частиц можно представить как сумму решений трех задач.

Первая задача сводится к определению магнитного поля вне и внутри частиц, удовлетворяющего уравнениям (1.4)-(1.6) с 1раничными условиями:

/х,(Я„ +Н,(А))п? = ц2Н,АпА, \ха\ = а (Нь+Н,(А)Ус?=Н\л, \хл\ = а

для частицы А и

/£,(«„ +Я,(А))«,В = \хв\ = а

(Я,, +//,(А))т,в =Я,ви,й, \хв\ = а

для частицы В.

Другими словами, необходимо найти распределение поля вне и внутри частиц А и В, помещенных во внешнее однородное магнитное поле Н(А).

Вторая задача состоит в определении поля вне и внутри частиц, удовлетворяющего уравнениям (1.4)—(1.6) с граничными условиями:

»¿Нь+ЕуХ^п? =Ц2Н?п?, рА| = а

для частицы А и

цг(Ни +Еих*)п? =/х2Я,У, |1я| = а (Ни+Е9х*ус?=Н?п?, рв| = а

для частицы В.

Это задача о взаимодействии частиц в линейном магнитном поле. Третья задача - найти решение уравнений (1.4)—(1.6) с граничными условиями:

у.хНип* =цгН*п?, \хА\ = а Ньт? =Н\А, \хА\ = а

для частицы А и

/*,(//„ + V;)«,* =<"2И,Ч". \хв\ = а

(Ни+Ецг^=Н^, \хв\ = а

для частицы В.

Эта задача для случая, когда частица В находится во внешнем однородном поле , а частица А - нет. Частица А находится в поле возмущений от частицы В. Такое асимметричное взаимодействие - результат математического моделирования задачи. В сумме решения первой, второй и третьей задачи дают математическое описание взаимодействия двух частиц в градиентном магнитном поле и позволяют определить силу, действующую на частицы (1.1).

Решение каждой задачи ищется следующим образом. Так как магнитное поле потенциальное гог Н = 0, то вводя потенциал возмущений магнитного поля вне частиц <Р1 и внутри частиц <рА и (рВ, получим уравнения для них:

к Д<р, =0, Ь(рЛ =0,Д<рв =0

Решение этих уравнений ищем в виде

» Ф, = УД? + Увь? + + + с,;^* + с»кь% +...

<РА = + + + Р,^к1х9л +...

Далее выписываются выражения для тензорных коэффициентов, содержащие неизвестные скалярные функции, которые находятся из граничных условий. В диссертации получено выражения для них методом разложения по малому параметру е = а/г. Вычисления проделаны с точностью до е5.

С учетом полученных выражений для сил, действующих на частицы, найдены их скорости движения в вязкой жидкости с учетом как магнитного так и гидродинамического взаимодействия. Исследовалось возможность частиц образовывать агрегаты в однородном и градиентном магнитных полях. Для этого

I записывается система дифференциальных уравнений:

= г = 0, га = га0

^ = 0", 1 = 0, гь-гьо.

Здесь и",и1'- скорости частиц, приобретаемые ими в магнитном поле в результате магнитного и гидродинамического взаимодействия. Система уравнений решалась численно. Результаты вычислений представлены на графиках зависимости безразмерных функций а/г от времени для случая, когда магнитные частицы >1) помещены в немагнитную жидкость = 1) в однородном магнитном поле (рис. 1) и в магнитном поле проводника с током (рис. 2). Значение а/г = 0.5 соответствует контакту частиц.

а/4:

0.5к

0.4

0.3

0.2 1

_:-—,—,--; —--_ t

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Рис.1. Относительное движение частицы В в однородном магнитном поле при следующих значениях параметров и начальных условий:

Н =(Н,0,0), е =0.1, дго = 1 • Уо = 0■

200 400 600 800 1000 1200 1400

Рис. 2. Относительное движение частицы В в поле проводника с током

* *

при следующих начальных условия: хю =0, ую =2,

* Зтг * Зя

*20=0.01со5—. Уо = 2 + 0.0Ып—.

4 4

Во втором разделе диссертации рассмотрена математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости. Сила, действующая на частицы со стороны жидкости в этом случае, равна

Ъ = Пл = Р8,к +рУ,Ук

(2.1)

Следовательно, для ее вычисления необходимо знать распределение скорости V и давления р в жидкости вблизи частиц. Рассматривается случай, когда частицы помещены в течение несжимаемой жидкости, скорость которой на бесконечности 0 есть линейная функция координат:

и,=иш + Е1]Х).

Причем тензор Еу удовлетворяет условиям

£„=0, Ец = Ер Уравнения движения несжимаемой жидкости имеют вид

уу=0, + = (2.2)

дг ' О XI ОХ:

J

Скорость жидкости V представим в виде

У = й+й, -

где й - возмущение скорости.

На поверхности частиц А и В должны выполняться следующие граничные условия:

Здесь векторы ¿/ДА), {У,(В) - скорости невозмущенного потока жидкости в точках, занимаемых центрами сфер А и В соответственно; векторы УА, Vе - абсолютные линейные скорости частиц А и В, приобретаемые в результате взаимодеиствия с потоком жидкости и между собой; п , п - единичные векторы нормали к поверхностям частиц А и В. Линейные скорости VА, Vе

сфер есть неизвестные функции вектора г и параметра — = е. Для их опреде-

г

ления необходимо решать уравнения движения частиц.

Далеко от частиц имеет место затухание возмущений, вызванных присутствием частиц в жидкости:

н —»0 |х|-»<*> (2.4)

Так как рассматривается случай потенциального движения жидкости, то введем потенциал для скорости возмущения жидкости:

Тогда из (2.2) получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости в виде:

У2<р = 0 (2.5)

Второе уравнение системы (2.2) служит при этом для определения давле-

ния.

Решение уравнения (2.5) с граничными условиями (2.3) и (2.4) может быть представлено, в силу их линейности, как сумма решений двух задач:

задача 1 - о «вмороженных частицах» с потенциалом скорости возмущений д>1;

задача 2 - о движении частиц в покоящейся на бесконечности жидкости с потенциалом скорости возмущений <Р2.

Задача 1 о «вмороженных частицах» заключается в нахождении решения уравнения (2.5) со следующими граничными условиями на поверхности сфер А и В соответственно:

1Э*,- ,г3

V 1

Эх, 113

4 =0, \хл\ = в;

В I I

п1 =0> |*5| = а;

На бесконечности требуется выполнение условия (2.4). Задача 2 заключается в нахождении решения уравнения (2.5) со следующими граничными условиями на поверхности сфер А и В:

„А д(р2 _ Т,А„А п, •—— = С,- л- , \ХА\ = а

ах, 1 1

п = и!>п?, \хв\ = а. дх1 > 1

Здесь относительные линейные скорости частиц А и В обозначаются соответст-

венно 0А, 0в и равны

и* = - и¡(А) У? =УВ -и¡(В)

Аналогично задаче о взаимодействии частиц в магнитном поле, потенциалы возмущений ищем в виде

(р, = //,(£? -1*) + ^(I* + ф + Сик(ф -ф) +... <р2 = ЯХ + + + ^ + С,;,^ + С"кф +...

Далее выписываются выражения для тензорных коэффициентов, содержащие неизвестные скалярные функции, которые находятся из граничных ус-I ловий. В диссертации получено выражения для них методом разложения по ма-

* лому параметру е = а/ г. Вычисления проделаны с точностью е5. Полученные

выражения позволяют вычислить силу (2.1). I В диссертации рассматривается случай, когда частицы помещены в тече-

ние сжимаемой жидкости, скорость которой на бесконечности 0 есть линейная функция координат, зависящая от времени

и1(1) = ий1{1) + Ец{1)х] Только теперь тензор Ец удовлетворяет условиям

Если характерный размер Я течения, на котором происходит изменение величин в жидкости за счет сжимаемости, удовлетворяет условию А» г, где г - расстояние между частицами, то вблизи частиц уравнения для распределе-I ния скорости и давления и граничные условия записываются в виде аналогич-

ном для несжимаемой жидкости (2.2) -(2.4). Следовательно, для решения задачи можно воспользоваться результатами, полученными для взаимодействия частиц в несжимаемой жидкости. Отличие заключается только в условии, что теперь 0. Это легко учитывается дополнительным слагаемым в выражении для потенциала (р.

сР1 = А[Ьа0 + ьв0)+ Я, - ¿?)+ ^ У + Ь$)+ С1]к -Ь*к )+...

Здесь А - неизвестный скалярный коэффициент, который, как и другие скалярные функции, содержащиеся в тензорных коэффициентах, зависит от параметра а/г и находятся из граничных условий аналогично схеме для несжимаемой жидкости.

Найденные распределения скорости давления позволяют найти силы, действующие на частицы со стороны несжимаемой или сжимаемой жидкости.

В третьем разделе диссертации с учетом полученных выражений для сил, действующих на частицы, исследуется динамика частиц в стационарном однородном потоке несжимаемой жидкости, нестационарном линейном потоке несжимаемой жидкости и звуковой волне. Для этого рассматривается система дифференциальных уравнений

' = 0, га=га0, Уа=У0а, г=0, гь=гьо, УЬ=У0а

Здесь Ра, Ёь- силы, действующие на частицы в результате гидродинамического взаимодействия, полученные во втором разделе диссертации. Система уравнений решалась численно. Рассмотрено влияние различных факторов на поведение частиц в звуковой волне: отношение плотности частиц к плотности жидкости, первоначальное ориентация частиц относительно скорости набегающего потока жидкости, начальная фаза волны. Результаты численного моделирования показывают, что возможно как сближение частиц, так и их удаление друг от друга.

На графиках представлены (рис. 3 и 4) зависимость безразмерной функций г от времени в звуковой волне для случая, когда плотность частиц в два раза меньше плотности жидкости.

лЧ

йг

т а ГЬ -рЬ (¡1

Рис. 3. Движение сферы 5(0,0.1,0) относительное сферы А{ 1,0,0) при начальной фазе волны у/ =я/4

0.95

0.9

0.85

Рис. 4. Движение сферы В( 1.1,0,0) относительное сферы Л(1,0,0) при начальной фазе волны у/=я/4

Полученные результаты по динамике частиц в звуковой волне могут быть использованы для вычисления интенсивности рассеяния энергии звуковой волны с учетом взаимодействия частиц. Для этого в диссертации приводится модифицированная формула интенсивности рассеяния энергии звуковой волны на двух частицах, включающая слагаемые, учитывающие гидродинамическое взаимодействие частиц

/ = 16яр <

Ж

> — + 167ф< С

с1Н]л

1

>—. 3 с

Здесь Н; тензорные коэффициенты, определяемые из задачи о взаимодействии частиц в однородном нестационарном потоке и включающими в себя скорости частиц, приобретаемые ими в результате гидродинамического взаимодействия, скобками «< >» обозначены усредненные по времени параметры.

В заключении подводятся итоги и намечаются возможности развития проведенных исследований.

Основные результаты, выносимые на защиту:

Предложена математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействие двух твердых частиц в потоке вязкой несжимаемой жидкости.

В рамках модели получены выражения для сил, действующих на частицы, и скоростей частиц, приобретаемых ими в результате магнитного и гидродинамического взаимодействия

Проведено численное моделирование динамики частиц в однородном и линейном магнитном полях. Изучено влияние магнитного и гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов из частиц.

Предложена математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух твердых частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости.

В рамках модели получены выражения для сил, действующих на частицы, в результате гидродинамического взаимодействия

Проведено численное моделирование динамики частиц в нестационарных потоках несжимаемой жидкости и звуковой волне. Изучено влияние магнитного и гидродинамического взаимодействия на возможность образования агрегатов из частиц. Показано, что гидродинамическое взаимодействие может служить причиной образования структур в дисперсных системах. »

Основные результаты работы изложены в следующих публикациях:

1. Баранов В.Е., Борискина И.П., Мартынов С.И. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости // Тез. докл. Международной летней научной школы, 16-22 июня 2002, Чебоксары. -Казан, матем. общ., 2002. - С. 34-35.

2. Sédimentation of a large number of particles in a viscous fluid. // Abstracts of international summer scientific school on high hydrodynamics - 2002, June 16-23. -Cheboksary-Russia, Kazan, 2002. - P. 33.

3. Vitaliy E. Baranov, Irina P. Boriskina, Sergey I. Martynov. Sédimentation of a large number of particles in viscous fluid. Editor of English version. Cortana Corporation. Cheboksary, Russia / Washington, USA. - 2002. - P. 425-428.

4. Борискина И.П. Взаимодействие двухфазных сред с магнитным полем. - Саранск, 2003. - 23 с. (Препринт СВМО, Мордовский госуниверситет: 58).

5. Борискина И.П., Мартынов С.И. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости. // Тр. СВМО. - 2003. - Т. 5, № 1.-С. 93-97.

6. Борискина И.П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле // Вестник МГУ - Саранск: МГУ, 2003. № 4 - С. 20-23.

7. Борискина И.П. Движение частиц в неоднородном магнитном поле // Материалы Vin Научной конференции молодых ученых Мордовского госуниверситета им. Н.П. Огарева. - Саранск: МГУ, 2003. - С. 20-23.

Подписано в печать 20.10.03/ 0бъем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ № 1677. Типография Издательства Мордовского университета 430000, Саранск, ул. Советская, 24

И 65 00

2.00^-А

(¿500

/П

Г /

i

ч

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ С МАГНИТНЫМ ПОЛЕМ

1.1. Постановка задачи о вычислении силы, действующей на две сферические частицы в вязкой жидкости в неоднородном магнитном поле.

1.2. Взаимодействие двух частиц в однородном магнитном поле

1.3. Взаимодействие двух частиц в линейном магнитном поле

1.4. Решение асимметричной задачи.

1.5. Сила, действующая на частицы в неоднородном магнитном поле с учетом парных взаимодействий.

1.6. Движение частиц в вязкой жидкости в однородном магнитном поле.

1.7. Движение частиц в вязкой жидкости в неоднородном магнитном поле.

ГЛАВА 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЧАСТИЦ В НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПОТОКАХ ЖИДКОСТИ

2.1. Постановка задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в нестационарном потоке жидкости.

2.2. Взаимодействие двух частиц в идеальной несжимаемой жидкости.

2.3. Силы, действующие на частицы в идеальной несжимаемой жидкости.

2.4. Взаимодействие двух частиц в идеальной сжимаемой жидкости.

2.5. Силы, действующие на частицы в идеальной сжимаемой жидкости.

ГЛАВА 3. ДИНАМИКА ЧАСТИЦ 3.1. Влияние гидродинамического взаимодействия частиц на их движение в потоке идеальной несжимаемой жидкости с постоянной скоростью

3.2. Динамика частиц в потоке идеальной несжимаемой жидкости с переменной скоростью с учетом парных взаимодействий.

3.3. Динамика частиц в звуковой волне с учетом парных взаимодействий.

3.4. Влияние взаимодействия частиц на рассеяние звука.

Диссертация посвящена математическому моделированию взаимодействий частиц в двухфазной смеси. Актуальность проблемы связана с широким представлением таких смесей в различных природных процессах и областях человеческой деятельности. В последние годы интенсивно развиваются методы аналитического и численного моделирования поведения таких сред при различных внешних воздействиях (электромагнитного поля, температуры, давления) [1-7]. Однако многообразие и сложность эффектов неоднофазности (силовое взаимодействие, вращение и столкновение частиц, коагуляция и т.д.) приводит к необходимости проведения все новых исследований в этой области. Одной из центральных проблем многофазных и, в частности двухфазных, сред является учет взаимодействия фаз. Поэтому получение новых аналитических, численных и экспериментальных результатов по различному роду взаимодействий фаз по-прежнему остается актуальной задачей.

В двухфазных смесях (суспензии, аэрозоли, эмульсии) существует два принципиально разных механизма взаимодействия частиц. Первый механизм связан с силами, непосредственно действующими между частицами. Примером таких сил могут служить силы, обусловленные наличием зарядов или диполь-ных моментов у частиц, причем заряды и дипольные моменты частиц могут быть обусловлены как действием внешнего поля, так и существовать в отсутствии его. Исследованию такого рода взаимодействий в двухфазных средах посвящены многочисленные работы [8 - 23]. Такое взаимодействие представляет интерес при исследовании столкновений и миграции частиц в жидкости, а также их структурирования. В результате действия сил притяжения между частицами возможно образование более крупных агрегатов, с последующим выпадением их в осадок или образованием структуры в смеси [24 - 36]. Изменение аг-регативного состояния диспергированной фазы существенно влияет на реологические свойства среды в целом [37- 48].

Второй механизм связан с взаимодействием между собой частиц диспергированной фазы (твердых частиц, капель, пузырьков) через движение несущей фазы (жидкость, газ). Например, в суспензии распределение скорости и давления жидкости вблизи какой-либо частицы зависит от расположения других частиц. Следовательно, движение одной частицы влияет на движение всех остальных, и наоборот. Такое взаимодействие частиц влияет на все процессы, происходящие в двухфазной среде [49-69].

В первой главе диссертации рассмотрена математическая модель взаимодействия частиц, помещенных в вязкую жидкость, во внешнем магнитном или электрическом поле. Примером двухфазной среды, имеющей сильное взаимодействие с магнитным полем, служит магнитная жидкость [2]. Так как магнитные свойства несущей и диспергированной фаз, вообще говоря, различны, то и взаимодействие каждой фазы с магнитным полем происходит различным образом. Одна из важнейших задач при моделировании поведения таких сред состоит в определении сил, действующих со стороны магнитного поля на каждую из фаз. В работах [3, 4, 12, 13] находилась сила, действующая на несущую и диспергированную фазы со стороны магнитного поля. Учитывалась зависимость магнитной проницаемости всей смеси от концентрации частиц или магнитной проницаемости несущей фазы от температуры. Основой для таких вычислений служила задача о взаимодействии с магнитным полем одной частицы, помещенной в жидкость носитель. Средняя сила, действующая на единицу объема диспергированной фазы, считалась равной произведению этой силы на число частиц в единице объема смеси. Магнитное взаимодействие частиц при этом не учитывалось. Однако такое взаимодействие частиц приводит к изменению силы, действующей на каждую частицу в объеме, и, следовательно, к изменению средней силы, действующей на единицу объема диспергированной фазы. Кроме того, одним из эффектов взаимодействия с магнитным полем, является структурирование в магнитной жидкости, что приводит к изменению ее реологических свойств [38-48]. Механизмом, отвечающим за такое структурирование, является магнитное рование, является магнитное взаимодействие частиц. Например, взаимодействие частиц обладающих постоянным магнитным моментом. Такое взаимодействие называется диполь-дипольным. Известно выражение для энергии взаимодействия двух частиц, обладающих дипольным моментом [70]. Влияние внешнего магнитного поля при этом сводится к изменению ориентации вектора магнитного момента каждой частицы, и, следовательно, к изменению сил и моментов, действующих между частицами. Аналогичное взаимодействие существует между поляризованными частицами в электрическом поле. Для частиц, поляризующихся во внешнем поле, для вычисления сил, действующих на них со стороны магнитного поля, необходимо решать задачу об определении поля вне и внутри частиц. В работах [14-23] вычислялась сила, действующая на тело, погруженное в ограниченный объем магнитной жидкости в однородном магнитном поле, или, находящееся вблизи плоской границы поляризующейся жидкости. В диссертации решена задача о взаимодействии двух частиц, намагничивающихся или поляризующихся во внешнем неоднородном магнитном или электрическом поле, помещенных в неограниченный объем жидкости. Получены выражения для сил, действующих на частицы со стороны магнитного или электрического поля, и изучена динамика их движения в вязкой жидкости с учетом гидродинамического взаимодействия. Показано, что в однородном магнитном поле частицы, магнитная проницаемость которых больше, чем несущей жидкости, стремятся к объединению при их ориентации близкой к вектору напряженности внешнего поля. При других ориентациях частиц происходит их удаление друг от друга. Для частиц, магнитная проницаемость которых меньше, чем несущей жидкости, объединение происходит практически при тех же ориентациях, что и для магнитных частиц, а именно,. при ориентации близкой к вектору напряженности магнитного поля возможно их объединение. Отклонение от этой ориентации приводит к появлению сил отталкивания между частицами. Полученные в диссертации результаты согласуются с выводами, сделанными в работе [14] относительно ориентаций, при которых происходит притяжение или отталкивание частиц с одинаковыми магнитными свойствами в однородном магнитном поле. На примере неоднородного магнитного поля, создаваемого проводником с током, показано, что агрегирование частиц в объеме жидкости практически невозможно: силы притяжения между частицами намного меньше сил, заставляющих частицы двигаются в одном направлении. Это приводит к тому, что частицы либо достигают поверхности проводника раньше, чем происходит их объединение (случай магнитных частиц в немагнитной жидкости), либо удаляются в бесконечность.

Во второй главе диссертации рассмотрена математическая модель второго механизма взаимодействия частиц в двухфазной среде — взаимодействия через движение несущей фазы. В двухфазной среде жидкость — частицы или газ — частицы такое взаимодействие частиц называется гидродинамическим. Если большое число частиц в жидкости расположены случайным образом и среднее расстояние между двумя ближайшими частицами велико по сравнению с их размерами, то наиболее важными гидродинамическими взаимодействиями будут взаимодействия между парами частиц, оказавшимися близко одна от другой, поскольку группы из трех и более близко расположенных частиц встречаются еще реже. Моделированию гидродинамического взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости посвящено большое число работ [52, 59-62, 66-69]. В работах [66-69] разработан метод, позволяющий моделировать при малых числах Рейнольдса гидродинамическое взаимодействие большого числа частиц, помещенных в вязкую жидкость, скорость которой на бесконечности представляется полином произвольной степени по координатам. Сущность метода заключается в представлении решений уравнений Лапласа и Пуассона в мульти-польном виде с тензорными коэффициентами, вид которых определяется видом невозмущенного потока жидкости.

Для нестационарных течений жидкости необходимо использовать уравнения, моделирующих движения жидкости при больших числах Рейнольдса. В первом разделе главы 2 диссертации выписаны условия, при которых возможно использовать эти уравнения. Одним из способов нахождения решений этих уравнений является представление скорости жидкости в потенциальном виде. Условия, при которых такое представление имеет физический смысл, приведены в первом разделе второй главы диссертации. Для потенциальных течений жидкости задача сводится к нахождению решения уравнения Лапласа для потенциала, а значит можно использовать метод, разработанный в работах [6669]. Используя этот метод, во втором разделе главы 2 диссертации моделируется гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке несжимаемой жидкости, невозмущенная скорость которого представляется в виде полинома первой степени по координатам. Найдены выражения для скорости и давление в жидкости вокруг частиц с учетом их гидродинамического взаимодействия. Скалярные величины в этих выражениях определялись в виде асимптотического ряда по малому параметру, представляющему собой отношение размера частиц к расстоянию между ними. Используя найденные распределения скорости и давления, в третьем разделе главы 2 получены выражения для сил, действующих на частицы со стороны жидкости.

Особый интерес в последние годы представляет моделирование волновых процессов в многофазных, в частности двухфазных, средах [5-7, 71-98]. Экспериментальные исследования [71-77, 98] показали, что внутренняя структура природных и технологических многофазных сред существенно влияет на волновые процессы в них. При этом возникает и обратная задача — моделирования влияния волновых процессов на саму структуру среды. Одним из интереснейших волновых процессов, с точки зрения моделирования и практических приложений, является распространение звука. Распространение слабых возмущений в двухфазной среде и влияние на характеристики этих возмущений (скорость, декремент затухания) различных факторов (внешнего магнитного и электрического полей, фазовых переходов, концентрации неоднородностей и т.д.), изучалось во многих работах [5-7, 98-101]. В частности, изучалось влияние звуковых волн на движение частиц, взвешенных в жидкости или газе [102-104]. С этой целью вычислялись силы, действующие этой целью вычислялись силы, действующие на частицы в звуковой волне со стороны несущей фазы. Однако при этом гидродинамическое взаимодействие частиц не учитывалось. В четвертом разделе главы 2 диссертации предложена математическая модель гидродинамического взаимодействия частиц в нестационарном потоке сжимаемой жидкости, невозмущенная скорость которого представляется в виде полинома первой степени по координатам. Для частиц, расстояние между которыми много меньше характерного размера, на котором проявляется сжимаемость жидкости, решение задачи аналогично решению задачи о гидродинамическом взаимодействии частиц в нестационарном потоке

• несжимаемой жидкости. Найдены выражения для скорости и давление в жидкости вокруг частиц с учетом их гидродинамического взаимодействия. Скалярные величины в этих выражениях определялись в виде асимптотического ряда по малому параметру, представляющему собой отношение размера частиц к расстоянию между ними. Вычисления проделаны с точностью до слагаемых пятого порядка по малому параметру. Полученные выражения позволили вычислить в пятом разделе главы 2 силы, действующие на частицы со стороны жидкости с учетом гидродинамического взаимодействия.

В главе 3 диссертации представлены результаты по численному моделированию динамики частиц в нестационарных потоках идеальной жидкости. В первом разделе главы 3 моделировалось движение двух частиц в однородном стационарном потоке несжимаемой идеальной жидкости. Как известно, для системы тел в таких потоках должен выполняться парадокс Даламбера, то есть суммарная сила на все тела со стороны жидкости равна нулю вдоль скорости потока. Отличной от нуля может быть только сила перпендикулярная вектору скорости набегающего потока жидкости. Однако, как указывается в [105, с. 75], при наличии в потоке нескольких тел нельзя утверждать, что составляющая силы воздействия потока, параллельная скорости, для каждого тела в отдельности равна нулю". Поэтому, учет гидродинамического взаимодействия частиц приводит к появлению отличной от нуля силы, действующей на частицы, которые под действием этой силы приходят в движение. Как показывает численное моделирование, поведение частиц существенно зависит от их первоначального положения относительно потока жидкости. В зависимости от этого частицы либо стремятся сблизиться вплоть до контакта, либо разойтись на бесконечность.

Во втором разделе главы 3 моделируется поведение частиц в нестационарном потоке идеальной жидкости.

В третьем разделе главы 3 представлены результаты по численному моделированию поведения частиц в звуковой волне. Рассмотрено влияние различных факторов на поведение частиц в звуковой волне: отношение плотности частиц к плотности жидкости, первоначальная ориентация частиц относительно скорости набегающего потока жидкости, относительно начальной фазы волны. Результаты показывают, что возможно как сближение частиц, так и их удаление друг от друга.

В заключении подводятся итоги, намечаются возможности развития проведенных исследований и формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту:

- математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости;

- результаты расчета сил, действующих на частицы, и скоростей, приобретаемых ими в результате взаимодействия;

- результаты исследования влияния магнитного поля на возможность образования агрегатов из частиц;

- математическая модель, описывающая гидродинамическое взаимодействие двух частиц в нестационарном потоке идеальной несжимаемой и сжимаемой жидкости;

- результаты расчета сил, действующих на частицы со стороны жидкости в результате взаимодействия;

- результаты исследования влияния гидродинамического взаимодействия двух частиц на возможность образования агрегатов из частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне.

- результаты исследования влияния гидродинамического взаимодействия двух частиц на возможность образования агрегатов из частиц в линейном потоке несжимаемой жидкости и в звуковой волне.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации рассмотрены задачи моделирования взаимодействия частиц в магнитном поле и в потоке жидкости. Исследовано влияние магнитного и гидродинамического взаимодействия на возможность объединения частиц в агрегаты. Полученные результаты в задаче о магнитном взаимодействии двух частиц могут быть использованы при моделировании взаимодействия двух поляризующихся частиц в электрическом поле. Дальнейшее продолжение исследований связано с обобщением рассмотренных в диссертации моделей на случай большого числа взаимодействующих частиц.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

- математическая модель, описывающая магнитное и гидродинамическое взаимодействия двух частиц в вязкой жидкости;

- результаты расчета сил, действующих на частицы, и скоростей, приобретаемых ими в результате взаимодействия;

1. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред // Успехи матем. наук. — 1965. Т. 20. - № 5. - С. 121 - 180.

2. Гогосов Б.В., Налетова В.А., Шапошникова Г.А. Гидродинамика намагничивающейся жидкости // В сб.: Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ. 1981.- Т. 16. - С. 76 - 208.

3. Gogosov V.V., Naletova V.A., Shaposhnikova G.A. Hydrodynamics of dispersive magnetizable media including Brown motion // IEEE Trans, Mag. 1980. -Vol. 16.-№2.- P. 301 -308.

4. Gogosov V.V., Naletova V.A. Shaposhnikova G.A. New phenomena in barbotage and sedimentation in magnetic fluids // IEEE Trans. Mag. 1980. - Vol. 16.-№2.-P. 226-232.

5. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. — М.: Наука, 1978.-336 с.

6. Губайдулин А.А., Ивандаев А.И., Нигматулин РЛ., Хабеев Н.С. Волны в жидкостях с пузырьками // В сб.: Итоги науки и технике. Механика жидкости и газа. ВИНИТИ. 1982. - Т. 17. - С. 160 - 249.

7. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных систем . Т. 1,2.- М.: Наука, 1987.

8. Verwey Е., Overbeckk Th. Theory of the stability of lyophobicsols and of the adhesion of strongly charged particles in solution of electrolytes. Elsevier: Amsterdam, 1948.

9. Adler P.M. Influence of Colloidal Forces on a Closely-Fitting Sphere in a Fluid-Filled Tube//Phys. Chem. Hydrod. 1983. - V. 4. -№ 1. -P. 1-10.

10. Van De Ven T.G. Interactions between colloidal particles in simple shear flow// Adv. Colloid Interface Sci. 1982. Vol. 17. - P. 105-127.

11. Zeichner G.R., Scholwalter W.R. Effect of Hydrodynamic and Colloidal Forces on the Coagulation of Dispersions // J. Colloid Int. Sci. 1979. — Vol. 71. — № 2.-P. 237-253.

12. Мартынов С.И., Налетова В.А., Тимонин Г.А. Движение частицы в неоднородно нагретой намагничивающейся или поляризующей жидкости. В сб.: Современные проблемы электрогидродинамики. М., МГУ, 1984. - С. 133-144.

13. Блум Э.Я. О термофорезе частиц в намагничивающихся суспензиях. // Магнитн. гидродин. 1979. - № 1. - С. 23-27.

14. Вислович А.Н., Лобко С.И., Лобко Г.С. Взаимдействие твердых тел, взвешенных в магнитной жидкости в однородном поле // Магнит, гидродин. -1986.-№4.-С. 43-51.

15. Налетова В.А., Моисеева Л.А., Турков В.А. Левитация магнита в магнитной жидкости в сферическом сосуде // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика, механика. 1997. - № 4. - С. 32-34.

16. Квитанцев А.С., Налетова В.А., Турков В.А. Левитация магнитов и тел из магнитомягких материалов в сосудах, заполненных магнитной жидкостью // Известия РАН. МЖГ. 2002. - № 3. - С. 12-20.

17. Квитанцев А.С., Налетова В.А., Турков В.А. Моделирование движения магнитов и немагнитных тел в ограниченных объемах магнитной жидкости // Тр. ин-та прикл. матем. и механ. НАН Украины. 2001. - № 6. - С. 90-91.

18. Налетова В.А., Турков В.А. Вынужденные колебания магнита в намагничивающейся жидкости в вибрирующем сосуде // Труды МИР АН. 1998. № 223. - С.233-237.

19. Naletova V.A., Kvitantsev A.S., Turkov V.A. Movement of a magnet and a paramagnet body inside a vessel with a magnetic fluid // J. Magnetism and Madnetic Materials. 2003. - Vol. 258-259. - P. 439-442.

20. Вислович A.H., Гаранин B.H., Бирич B.B. Внешнее и внутреннее взаимодействие сферических тел магнитной жидкости // Тр. 10-й междунар. конфер. по магнит, жид. Плес. -2002. С. 215-220.

21. Вислович А.Н., Сухоцкий А.Б. Силы, действующие на пластину в магнитной жидкости в магнитном поле с экспоненциальной неоднородностью // Изв. РАН. МЖГ. 2001. - № 6. - С. 3-14.

22. Hayes Ch. F. Observation of association in ferromagnetic colloid // J. Colloid. Interface Sci. 1975. - Vol. 52. - № 2. - P. 239-242.

23. Van De Ven T.G., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersions:1.. Pairs of interacting spheres in shear flow // J. Colloid Interface Sci. 1976. — Vol. 57. -P.505 - 516.

24. Van De Ven T.G., Mason S.G. The microrheology of colloidal dispersions:

25. V. Primary and secondary doublets of spheres in shear flow. // J. Colloid Interface Sci. 1976. - Vol. 57. - P. 517-534.

26. Popplewell J., Charles S.W., Hoon S.R. Aggregate formation in metallic ferromagnetic liquids. // IEEE Trans. Mag. 1980. - Vol. 16. - № 2. - P. 191-196.

27. Krueger D.A. Review of agglomeration in ferrofluids. // IEEE Trans. Mag. 1980.- Vol. 16.-№2.-P. 251-253.

28. Варламов Ю.Д., Каплун А.Б. Исследование процессов структурообра-зования в магнитных жидкостях. // Магнит, гидр. 1983. - № 1. - С. 33-39.

29. Диканский Ю.И., Вегера Ж.Г., Суздалев В.Н., Смерек Ю.Л. О магнитных жидкостях с дисперсией немагнитных включений различной формы // Тр. 10-й междунар. конфер. по магнит, жид. Плес. 2002. - С. 108-113.

30. Елфимова Е.А. Эффективная магнитная проницаемость агрегированной феррожидкости: влияние фрактальных агрегатов // Тр. 10-й междунар. конфер. ко магнит, жид. Плес. 2002. - С. 142-147.

31. Иванов А.О. Ориентационное упорядочение в феррожидкостях: приближение плотности функционала энергии и теория среднего поля И Тр. 10-й междунар. конфер. ко магнит, жид. Плес. 2002. - С. 156-161.

32. Голубятников А.Н. Модельные возможности структурирования магнитных жидкостей // Тр. 10-й междунар. конфер. ко магнит, жид. Плес. 2002. -С. 227-230.

33. Диканский Ю.И., Нечаева О.А. Структурная самоорганизация в тонком слое магнитной жидкости в электрическом и магнитном полях // Тр. 10-й междунар. конфер. ко магнит, жид. Плес. 2002. - С. 270-275.

34. Kriger I.M., Dougherty T.J. A mechanism for Non-Newtonian Flow in Suspension of Rigid Spheres. // Trans. Soc. Rheol. 1959. - Vol. 3. - P. 137-152.

35. Варламов Ю.Д., Каплун А. Б. Исследование вязкости и магнитных свойств некоторых магнитных жидкостей. В сб.: Материалы III Всес. школы-семинара по магнита, жидкостям. Плес, 1983. - С.48 - 49.

36. Мартынов С.И. О вязкости магнитной жидкости // Т.2. Тезисы докладов 5-ой Всесоюзной конференции по магнитным жидкостям. Плес. 1988. — С. 6.

37. Мартынов С.И. Влияние образования и разрушения агрегатов на вязкость магнитной жидкости // Магнит, гидр. 1989. - № 1. - С.47-52.

38. Martynov S.I. Influence of interaction between particles on the viscosity of a suspension. Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo, 1989. — №4.-7 p.

39. Martynov S.I. Viscosity of a suspension: some aspects of the problem -Preprint Series, Institute of Mathematics, University of Oslo, 1990. — № 1. 7 p.

40. Martynov S.I. Dependence of viscosity of a suspension on the formation and destruction of aggregate in it. // Volume of Abstracts 1st Liquid Matter Conference, Lion, France. 1990. - V. 14. - A28.

41. Мартынов С.И. Агрегирование частиц и вязкость суспензии. // Инженерно-физический журнал. 1998. - Т. 71. -№ 4. - С. 691- 697.

42. Соколов В.В., Турков В.А. Моделирование влияния магнитного поля на упругие свойства композитов // В сб. «Математические модели в образовании, науке и промышленности», Междун. академия наук высш. шк. С.-Петерб. -2003.-С. 197-201.

43. Naletova V.A., Kiryushin V.V., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. Magnetic and elastic properties of a structured magnetic fluid // Magnetohydrody-namics. 2001. - Vol. 37. № 1-2. - P. 206-211.

44. Naletova V.A., Turkov V.A., Shkel Y.M., Klinberberg D.J. Model of magnetizable elastic material // J. Magnetism and Madnetic Materials. 1999. — Vol. 202. -P. 570-573.

45. Cooley M.D.A., O'Neill M.E. On the slow rotation of a sphere about diameter parallel to a nearly plane wall. // J. Inst. Math, and Appl. 1968. Vol. 4. - P. 163.

46. Cooley M.D.A., O'Neill М.Е. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approach of sphere to a plane wall or stationary sphere. // Matematika. -1969.-Vol. 16.-P. 37.

47. Batchelor G. K. Sedimentation in a Dilute Dispersion of Spheres. // J. Fluid Mech. 1972. - Vol. 52. - Part 2. - P. 245-256.

48. Batchelor G. K., Green J. T. The hydrodynamic interaction of two small freely-moving spheres in a linear flow field. // J. Fluid Mech. 1972. - Vol. 56. Part 2. -P.375-400.

49. Batchelor G. K., Green J. T. The determination of the bulk stress in a suspension of spherical particles to order с2. И J. Fluid Mech. 1972. - Vol. 56. Part 3. -P. 401-427.

50. Batchelor G. K. Brownian Diffusion of Particles with Hydrodynamic Interaction. // J. Fluid Mech. 1976. - Vol. 74. Part 1. - P. 1-29.

51. Batchelor G. K. The Effect of Brownian Motion on the Bulk Stress in a Suspension of Spherical Particles. // J. Fluid Mech. 1977. - Vol. 83. Part. 1. - P. 97-117.

52. Batchelor G. K. Sedimentation in a Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres. Part 1. General theory. // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 119. - P. 379408.

53. Batchelor G. K., Wen C.S. Sedimentation in a Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres. Part 2. Numerical results. // J. Fluid Mech. 1982. - Vol. 124. -P. 495-528.

54. Batchelor G. K. Diffusion in a Dilute Polydisperse System of Interacting Spheres. //J. Fluid Mech. 1983. - Vol. 131. - P. 155-175.

55. Зинченко А.З. К расчету гидродинамического взаимодействия капель при малых числах Рейнольдса. // Прикладная математика и механика. -1978. — Вып. 5. С. 955-959.

56. Зинченко А.З. Медленное асимметричное движение двух капель в вязкой среде. // Прикладная математика и механика. 1980. - Т. 44. — Вып. 1. — С. 49-59.

57. Зинченко А.З. Расчет близкого взаимодействия капель с учетом внутренней циркуляции и эффектов скольжения. // Прикладная математика и механика. 1981. - Вып. 4. - С. 759-763.

58. Зинченко А.З. Гидродинамическое взаимодействие двух одинаковых жидких сфер в линейном поле течения. // Прикладная математика и механика. 1983. - Т. 47. - Вып. 1. - С. 759-763.

59. Brady J.F., Bossis G. The rheology of concentrated suspensions of spheres in simple shear flow by numerical simulation. // J. Fluid Mech. 1985. — Vol. 155. — P. 105-129.

60. Chang C., Powell R. Dynamic simulation of bimodal suspensions of hydro-dynamically interacting spherical particles. // J. Fluid Mech. — 1992. Vol. 253. - P. 1-25.

61. Chang C., Powell R. The rheology of bimodal hard-spheres dispersions. // Phys. Fluids. 1994. - Vol. 6. - P. 1628-1636.

62. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие частиц // Изв. РАН, МЖГ. 1998. - № 2. - С. 112-119.

63. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в суспензии. — Казань. — 1998. 135 с.

64. Мартынов С.И. Взаимодействие частиц в течении с параболическим профилем скорости. // Изв. РАН. МЖГ. 2000. - № 1. - С. 84-91.

65. Мартынов С.И. Гидродинамическое взаимодействие и деформация капель. // Инж.-физ. ж. 2001. - Т. 74. - № 3. - С. 155-160.

66. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.-620 с.

67. Садовский М.А., Писаренко В.Ф. Сейсмический процессов блоковой среде. М.: Наука, 1991. - 96 с.

68. Родионов В.Н. Очерк геомеханики. — М.: Научный мир, 1996. — 64 с.

69. Ostrovsky LA. Wave processes in media with strong acoustic nonlinearity // J. Acoust. Soc. Amer. 1991. - 90. -№ 6. - C. 3332-3337.

70. Bereznev I A., Nikolaev A.V. Experimental investigations of nonlinear seismic effects //Phys. Earth Planetary Int. 1988. Vol. 50. P. 83-87.

71. Johnson PA., Shankland T.J., O'Cornell R.J., Al-brighU.N. Nonlinear generation of elastic waves in crystalline rock // J. Geophys. Res. 1987. Vol. 92. - P. 3597-3602.

72. Johnson PA., McCall K.R. Observation and implications of nonlinear elastic wave response in rock // Geophys. Res. Lett. 1994. - Vol. 21. — P. 165-168.

73. Banner B.P., Wanamaker B.J. Acoustic nonlinearitis produced by a single macroscopic fracture in granite, in Review of Progress in Quantitative NDE, edited by D.O. Thompson and D.E. Chimenti, Plenum, New York. 1991. - Vol. 10B. - P. 1861-1867.

74. Гамбурцева Н.Г., Николаев A.B., Хаврошкин О.Б., Цыплаков В.В. Со-литонные свойства телесейсмических волн // ДАН СССР. 1986. — Т. 291. - № 4.-С. 30-32.

75. Achenbach J.D. Wave propagation in Plastic Solids. North-Holland, Amsterdam. 1973.

76. Бреховских JI.M., Годин О А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989.- 416 с.

77. Красильников В.А., Крылов В.В. Введение в физическую акустику. -М.: Наука, 1984.-400 с.

78. Кутателадзе С.С., Накоряков В.Е. Теплообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1984. - 304 с.

79. Biot MA. Theory of propagation of elastic waves in a fluid-saturated solid. Low frequency range // J. Acoust. Soc. Amer. 1956. - Vol. 28. - P. 168-178.

80. Ляхов Г.М. Волны в грунтах и пористых многокомпонентных средах. -М.: Наука, 1982.-288 с.

81. Николаевский В.Н. Вязкоупругость с внутренними осцилляторами как возможная модель сейсмоактивной среды // ДАН СССР. — 1985. — № 6. — С. 1321-1324.

82. Бахвалов Н.С., Эглит М.Э. Процессы в периодических средах, не описываемые в терминах средних характеристик // ДАН СССР. — 1983 № 4. С. 836-840.

83. Бахвалов Н.С, Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. - 352с.

84. Вахненко В.А., Кулич В.В. Длинноволновые процессы в периодической среде // ПМТФ. 1992. - № 6. - С. 49-56.

85. Вахненко В.А., Даниленко В А., Кулич В.В. Осредненное описание ударноволновых процессов в периодических средах // Хим. физика. — 1993. — № 3.-С. 383-389.

86. Вахненко В.А. Диагностика свойств структурированной среды длинными нелинейными волнами // ПМТФ. 1996. - № 5 .- С. 35-42.

87. Вахненко В.А., Даниленко В.А. Асимптотическая модель нелинейных волн в природных многокомпонентных средах // Геофиз. журнал. — 1996. — № 5. -С. 12-18.

88. Вахненко В.А. Увеличение нелинейного эффекта в среде с микроструктурой // Акустич. журнал . 1999. - Т.45. - № 2. - С. 183-189.

89. Курбатов М.В., Рыбак С.А. О структуре поля в среде с нерегулярно расположенными сосредоточенными неоднородностями // Акустич. журнал. — 1999. Т. 45. - № 3. - С. 370-375.

90. Photiadias DM. Fluid loaded structures with one dimensional disorder // Applied Mechanics Reviews. 1996.- V. 49. - № 2. - P. 100-125.

91. Cha P.D., Morganti C.R. Numerical statistical investigation on the dynamics of finitely long, nearly periodic chains //AIAA. 1994. - V. 32. - № 11. - P. 2269-2275.

92. Anderson P.W. Absence of diffusion in certain random Lattice //Phys. Rev. — 1958. V. 109. 5. - P. 1492-1505.

93. Газарян ЮЛ. Об одномерной задаче о распространении волн в среде со случайными неоднородностями // ЖЭТФ. 1969. - Т. 56. - № 6. — С. 18561871.

94. Карелин А.В., Полунин В.М., Чернышова А.А. Модуляция ультразвукового импулься намагниченной магнитной жидкостью // Тр. 10-й междунар. конфер. ко магнит, жид. Плес. 2002. - С. 71-75.

95. Полунин В.М., Игнатенко Н.М. Об упругих свойствах ферромагнитной жидкости // Магнитн. гидродинамика. 1980. - № 3. - С. 26-30.

96. Гогосов В.В., Мартынов С.И., Цуриков С.Н., Шапошникова Г.А. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. I. Учет агрегирования частиц // Магнит, гидродинамика. — 1987. № 2. - С. 19-27.

97. Гогосов В.В., Мартынов С.И., Цуриков С.Н., Шапошникова Г.А. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. II. Анализ экспериментов; определение размеров агрегатов. // Магнит, гидродинамика. — 1987. — № 3. — С. 15-21.

98. Горьков Л.П. О силах, действующих на малую частицу в акустическом поле в идеальной жидкости // ДАН СССР. 1961. - Т. 140. - № 1. - С.88-91.

99. Каневский И.Н. Постоянные силы, возникающие в звуковом поле // Акустич. журнал. 1961. - Т. 7.-№ 1.-С. 3-16.

100. Шутилов В.А. Основы физики ультразвука. Л.: ЛГУ, 1980. - 280 с.

101. Седов Л.И. Механика сплошной среды. -М.: Наука, 1985. — Т. 2. —999 с.

102. Борискина И.П. Взаимодействие двухфазных сред с магнитным полем. Саранск, 2003. -23 с. (Препринт СВМО, Мордовский госуниверситет: 58).

103. Баранов В.Е., Борискина И.П., Мартынов С.И. Осаждение большого числа частиц в вязкой жидкости // Тез. докл. Международной летней научной школы, 16-22 июня 2002 г. Чебоксары. - 2002. - С. 34-35.

104. Vitaliy E. Baranov, Irina P. Boriskina, Sergey I. Martynov. Sedimentation of a large number of particles in viscous fluid. Editor of English version. Cortana Corporation. Cheboksary, Russia / Washington, USA. 2002. - P. 425-428.

105. Борискина И.П. Взаимодействие частиц в неоднородном магнитном поле // Вестник МГУ Саранск: МГУ, 2003. - № 4 -С. 20-23.

106. Борискина И.П. Движение частиц в неоднородном магнитном поле // Материалы VIII Научной конференции молодых ученых Мордовского госуниверситета им. Н.П. Огарева. -Саранск: МГУ, 2003. С. 20-23.

107. Борискина И.П., Мартынов С.И. Влияние гидродинамического взаимодействия на движение частиц в идеальной жидкости. // Тр. СВМО. -2003. Т. 5. -№ 1. - С. 93-97.

108. Лебедев А.В., Хилько'А.И. Рассеяние плоской волны на двух упругих шарах и сферических оболочках // Акустич. журнал. 1997. - Т.43. - № 4. -С. 521-530.

109. Ландау Л Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.736 с.

110. Рэлей. Теория звука. М.: ИЛ., 1955. - Т. 1. - 503 с.