автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей

На правах рукописи

УДК 517.9

СУКАЧЕВА ТАМАРА ГЕННАДЬЕВНА

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Великий Новгород - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого

Научный консультант: Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Г.А.Свиридюк.

доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю.Захаров,

доктор физико-математических наук,

профессор А.И.Кожанов,

доктор физико-математических наук,

профессор Ю.И.Сапронов.

Московский энергетический институт.

Защита состоится 10 июня 2004 года в 11 часов на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете им. Ярослава Мудрого по адресу: 173003, Россия, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета.

Автореферат разослан "_"_2004 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Д212.168.04 доктор физико-математических наук,

профессор ^ь&ес-А-/ С.И.Эминов

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Пусть Ы ж Р —банаховыпространства, оператор Ь € С(1А\ Т), то есть линеен и непрерывен, оператор М: с1от М —» Т линеен, замкнут и плотно определен в Ы , т.е. М 6 С1(иа оператор Г : с1от ^ —> Т , вообще говоря, нелинейный и в дальнейшем будет уточнен; вектор-функция / : П1 —> Т.

Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши

для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + ^(ы) + /(г).

(0.2)

В качестве конкретных интерпретаций указанной абстрактной задачи рассмотрены, например, задача Коши — Дирихле для системы уравнений

(1 - геУ2)^ = иЧ2у - (у • У)г> - Ур + /, 0 = V ■ г;.

(0.3)

моделирующая динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка, и задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости, которая описывается первой начально-краевой задачей для системы дифференциальных уравнений

В работе проведено качественное исследование и других более сложных нелинейных математических моделей несжимаемых вязко-упругих жидкостей (ненулевого порядка), а также моделей, являющихся их линеаризациями.

Хорошо известно, что, когда оператор Ь необратим (в частности, когда кег Ь ф {0}), задача (0.1), (0.2) разрешима не для любого начального значения иа € Ы. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ £ Ы, при которых задача (0.1), (0.2) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изуче-

ние представляет несомненный интер

библиотека

Задача (0.1), (0.2) в автономном случае (/(*) =0) изучалась ранее Г.А.Свиридюком. Поиск множества допустимых начальных данных привел его к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в его кандидатской диссертации, затем развиты в докторской диссертации. Автор данной работы тоже внес некоторый вклад в развитие этого метода [14].

Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного (/(*) = 0) уравнения (0.2) к уравнению и = В(и), заданному не па всем , а на некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в К, являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Д.В.Аносова. Пользуясь этим методом, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях фазовым пространством автономных уравнений вида (0.2) служит банахово многообразие С°° -диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения

В случае линейного уравнения (0.5) фазовое пространство просто совпадает с образом.

При исследовании разрешимости задачи Коши для уравнения соболевского типа были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторы и соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.5), а также относительно р -секториалъные операторы и соответствующие им разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.5).

В настоящее время теория относительно а -ограниченных (относительно р-секториальпых) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Некоторые направления развития этой теории намечены в кандидатских диссертациях Т.А.Бокаревой, Л.Л.Дудко, А.А.Ефремова, А.В.Келлер, Г.А.Кузнецова, М.М.Якупова. В работах Г.А.Свиридюка и В.Е.Федорова исследована задача Коши для линейного уравнения Соболевского типа в случае -радиального оператора М.

Отметим принципиальное отличие данного полугруппового подхода от метода слабых решений (Н.А.Сидоров, О.А.Романова, М.В.Фалалеев), метода регуляризации (А. И. Кожанов), и метода дифференциальных включений (R.E.Showalter, T.W.Ting).

Заметим, что к задаче Коши (0.1) для уравнения (0.2) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.3), (0,4), но и многие другие начально-краевые задачи! для уравнений и систем урав-

нений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким моделям можно отнести уравнение Баренблат-та — Желтова — Кочиной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде; уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции; уравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки, и др.

В указанных математических моделях довольно часто встречается и неавтономный случай, то есть когда в уравнении (0.2) /(г) ^0. В частности, /(<) может отвечать какому-либо внешнему воздействию, и это воздействие является функцией от времени.

Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к неавтономной абстрактной задаче (0.1), (0.2). Но непосредственное распространение метода фазового пространства на случай неавтономных уравнений сопряжено с некоторыми трудностями, и основной трудностью здесь является разработка понятия конфигурационного пространства, обобщающего понятие фазового пространства в автономном случае. Следовательно, исследование неавтономных уравнений Соболевского типа, моделирующих несжимаемые вязкоупругие жидкости, и разработка нового метода их исследования — метода конфигурационного пространства — является актуальной задачей.

Цель работы. Целью диссертации является построение теории разрешимости задачи Коши (0.1) для неавтономных полулинейных, уравнений соболевского типа (0.2.), и исследование на ее основе динамических и эволюционных моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей, а также разработка метода конфигурационного пространства, позволяющего получить описание множества допустимых начальных значений указанной абстрактной задачи и ее конкретных моделей.

Методы исследования. Основным методом исследования служит метод конфигурационного пространства, являющийся обобщением метода фазового пространства, который был использован для изучения автономных уравнений. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических (полу)групп, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Основным инструмен-

том исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей используется полугрупповой. подход, предложенный проф. Г.А.Свиридюком и развитый его учениками.

Заметим, что случай р = 0 рассматривался в докторской диссертации Г.А.Свиридюка.

Научная новизна и практическая ценность. В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Изучены линеаризованные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей различных порядков. Получено описание фазовых пространств этих задач.

2. Исследована разрешимость задачи (0.1), (0.2) при условиях, при которых оператор М является а -ограниченным относительно бирасщепляющего оператора Ь и соответствующие динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

3. Исследована разрешимость указанной задачи в предположении, что оператор М сильно (Ь,р) -секториален и и соответствующие эволюционные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

4. Описаны нормальные формы и конфигурационные пространства полулинейного неавтономного уравнения (0.2) в случаях п.п. 2 и 3. Приведены полные описания конфигурационнь х пространств указанных математических моделей.

5. Описан класс функций, в котором задача (0.1), (0.2) имеет единственное решение. Доказаны теоремы, дающие достаточные (необходимые) условия существования единственного решения задачи (0.1), (0.2), являющегося квазистационарной полутраекторией.

Отметим, что все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые; и результаты, полученные для них, являются новыми. Исследования базируются на строгих математических доказательствах, причем в соответствующих частных случаях получаются известные результаты.

Абстрактные результаты второй и третьей глав существенно дополняют и развивают представленную теорию, а также обобщают соответствующие результаты, полученные ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими и челябинскими математиками. Эти исследования позволили изучить некоторый класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей и получить для них теоремы существования единственного решения.

Необходимость качественного исследования диктуется требованиями численного анализа. Невозможна разработка какого-либо алгоритма решения без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред возможен только после решения принципиальных вопросов качественного анализа. Поэтому, несмотря на то, что диссертация содержит теоретические результаты, ее практическая ценность заключается в пропедевтике будущих возможных ошибок при построении численных алгоритмов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара им. Г.И.Петровского и Московского математического общества (МГУ, 1995, 1998 гг.) [33, 48], на Воронежской зимней математической школе в 1995 г. [44], на международной конференции по математической физике (Кисегач, Челябинск, 1995 г.), на международной конференции и Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996 г.) [35], на международной математической конференции "Topological, variational&singularities methods in nonlinear analysis" (Гданьск, 1997 г.), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия" (Челябинск, 1997 г.) [52], на третьем и четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998, 2000 гг.) [34, 38], на девятом международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1998 г.) [41], па международных конференциях в Новосибирске [29], Челябинске [30] и Великом Новгороде [49, 54].

А также были представлены на Ш международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Гамбург, 1995 г.) [43], на международной конференции по нелинейным дифференциальным уравнениям (Киев, 1995 г.) [31], па математических школах [26, 28, 36, 47], на шестой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 г.) [46], на Всероссийской конференции, посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 1998 г.) [51], на международных сиппозиумах по нелинейной теории и ее приложениям (NOLTA'93, NOLTA'95, NOLTA'96), на международной конференции в Петрозаводске [50, 53] и семинаре [27].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под рук. проф. Г.А.Свиридюка (Челябинский государственный университет), на семинаре под рук. проф. Ю.А.Дубинского (Московский энергетический институт), на семинаре под рук. проф. А.И.Прилепко (Московский государственный университет), на се-

минаре под рук. проф. А.П.Солдатова в Новгородском государственном университете (неоднократно); а также на семинарах "Математическое моделирование механики сплошных сред" (рук. член-корр. РАН В.Н.Монахов, член-корр. РАН П.И.Плотников) ИГиЛ, "Неклассические уравнения математической физики" (рук. проф.

____._.) ИМ СО РАН, "Качественная теория дифференциаль-

1В.Н. Врагов}

ных уравнений'' (рук. проф. гг. и.^рлриякЛ ИМ СО РАН, на объединенном семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета (рук. академик РАН М.М.Лаврентьев).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] — [54]. В совместных публикациях с научным консультантом Г.А.Свиридюку принадлежат постановки задач и некоторые идеи доказательств. А в совместных работах с учениками (О.П.Матвеева, М.Н.Даугавет и др. ) постановки задач принадлежат автору настоящей работы.

Работа поддержана Международным научным фондом Дж.Сороса (грант ^(1993), гранты ISSEP d95-1320, d97-756, d99-1024) и Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ 1998 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка обозначений и соглашений, заключения и списка литературы, который содержит 286 наименований. Общий объем диссертации составляет 249 страниц машинопис-пого текста.

Краткое изложение содержания диссертации

Во введении приводится постановка задачи, обосновывается актуальность темы диссертации, обсуждается историография вопроса, излагается краткое содержание диссертации.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней излагается полугрупповой подход, используемый при исследовании задачи (0.1), (0.2) и соответствующих математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

В п. 1.1 вводятся замкнутые относительно -ограниченные операторы. Пусть и и Т — банаховы пространства, оператор Ь Е а оператор М € С1(14:,Т). Введем в рассмотрение Ь-резольвентное множество

р1(М) = {реС: ((Л-м)-1 ес{г-,и)}

и Ь -спектр о1(М) = С\ р1{М) оператора М.

Оператор-функции (цЬ-М)~\ = {цЬ-М)~1Ь, Ь*(М) =

Ь {цЬ — М)~1 назовем соответственно L-резольвентой, правой L-резольвентой, левой L-резольвентой оператора М.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.1. Оператор М называется спектрально ограниченным относительно оператора L (в дальнейшем — (Ь,а) ограниченным), если

За е Кч- У/х 6 с (|м| > а ) =ф (д е р£(М) ).

Пусть оператор М (£, ст)-ограничен, а контур Г = {ц 6 С: |/х| = г > а}. Рассмотрим интегралы типа Ф.Рисса

Можно показать, что в случае (Ь,а)-ограниченности оператора М операторы Р: 1А —» Ы и : Т —* Т являются проекторами. Тогда: и = Ы° ® Ы1-, 7 = ф Т1, где и0 = кегР; Ых = ¡тР; = кег ф; Я = ш?С?. Обозначим

через Ьк(Мк) сужение Ь{М) па Ык ( ¿.отМ пик ), k =0,1.

ТЕОРЕМА 1.1. Пусть оператор М ( Ь, а )-ограничен. Тогда

(а) существует оператор М0-1 €

(ш) существует оператор Ь^1 £ С{Т1\Ы1)\

Пары (Ик,7к), k = 0,1 подпространств называются парами инвариантных пространств операторов L и М.

Пусть выполнены условия теоремы 1.1. Тогда существуют операторы В. = М0-% е £(И°) и 5 = Ь^М] 6 С{их).

В условиях теоремы 1.1 имеет место разложение L -резольвенты оператора М в ряд Лорана

(/х! - М)-1 = - £ р!Ч&Щ\1 - Я) + £

*=0

*=1

в области {ц ё С : |/х| > а}

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.2. Точка оо называется (i) устранимой особой точкой, если Я = 0,

(п) полюсом порядка р , если ВР фО, а йр+1 = О,

(Ш) существенно особой точкой, если Я4 ф О при всех д £ №

Случаи (1) и (И) будем объединять в случай "несущественно осо-баяточка".

Любой вектор 90 € кег Ь \ {0} будем называть собственным вектором оператора L. Упорядоченное множество {(рх, • • •} С Ы назовем цепочкой М-присоединенныхъектороъ собственного вектора ро , если Ь<рч+1 = М(рд д = 0,1, — ; <рч £ кег Ь \ {0\ д = 1,2,— Мощность конечной цепочки называется ее длиной. Линейная оболочка всех собственных и М-присоединенных векторов оператора L называется М-корневым линеалом. Если М-корневой линеал замкнут, то он называется М-корневым пространством оператора Ь .

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть оператор М (Ь, а) -ограничен, а точка оо является

(1) существенно особой точкой Ь-резолъвенты оператора М . Тогда М-корневой линеал оператора L содержится в Ы0 ;

(И) полюсом порядка рбИ L-резольвенты оператора М . Тогда М-корневое пространство оператора L совпадает, с 1А0 , и длина любой цепочки М-присоединенных векторов любого собственного вектора оператора L не превосходит числа р ;

(ш) устранимой особой точкой L-резольвенты оператора М . Тогда , и любой собственный вектор оператора

L не имеет М-присоединенных векторов.

Оператор Ь называется бирасщепляющим, если его образ кЬи ядро кег Ь дополняемы в пространствах Т и И соответственно.

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть оператор М £ СЦА\Т) а-ограничен относительно бирасщепляющего оператора L. Тогда любой собственный вектор оператора L имеет цепочку М-присоединенных векторов конечной длины.

В п. 1.2 изучаются аналитические группы разрешающих операторов уравнения(0.5). Здесь пространства К и Т и операторы Ь и М те же, что и в п.1. Пусть р1(М) ф 0, тогда уравнение Соболевского типа (0.5) можно редуцировать к паре эквивалентных ему уравнений

В,1а(М)й = (аЬ - М)~1Ми, Ь£а(М)/ = М(аЬ - М)"1/.

(1.2) (1.3)

где a'G pL(M). С учетом того, что операторы (aL — М) 1М = (aL - M)~laL -1 и M(aL - M)-1 = aL{aL - M)-1 -1 непрерывны, а уравнения (1-2) и (1.3) заданы на пространствах U и Т соответственно, их можно рассматривать как конкретные интерпретации уравнения

где операторы .А, В G £(V), а V — некоторое банахово пространство. Решением уравнения (1.4) называется вектор-функция v G C°°(IR;V), удовлетворяющая этому уравнению.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.3. Отображение V 6 C°°(IR; £(V)) называется группой разрешающих операторов (короче, разрешающей группой) уравнения (1.4), если

Ф Vs е m VieiR v*v* = v*+< ;

(ii) при любом i>o G V вектор-функция v(t) = есть решение уравнения (1.4).

ТЕОРЕМА 1.4. Пусть оператор М (L,a) -ограничен. Тогда существуют аналитические разрешающие группы уравнений (1.2) и (1.3), имеющие соответственно вид

где контур Г можно взять следующим Г = {р G С : |/î| > а}.

Множество kerV* = {и G V : Vlv = 0 3i G К} назовем ядром, а множество im V* — {и G V : v = Vu} — обра ¡ом а нал ити ч ее ко й группы {У : t G И}.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.4. Множество В с V называется фазовым пространством уравнения (1.4), если

(i) любое решение v = v(t) уравнения (1.4) лежит в В, т.е. Vi G H v(t) G В;

(ii) при любом существует единственное решение C°°(IR;V) задачи Коши v(0) = v0 для уравнения (1.4).

ТЕОРЕМА 1.5. Пусть оператор М (L,cг) -ограничен, причем оо — устранимая особая точка либо полюс порядка р G IN L-резольвенты оператора М. Тогда фазовое пространство уравнения (1.2) ( уравнения (1.3)) совпадает с образом соответствующей разрешающей группы (1.5).

Вд.1.3 приводятся необходимые и достаточные условия для существования фазовых пространств. Сформулируем ряд необходимых условий ( Ь, а)-ограниченности оператора М в случае, когда со — несущественная особая точка L -резольвенты (цЬ — М)~х оператора М.

(А1) Длина любой цепочки М-присоединенных векторов любого собственного вектора оператора Ь ограничена числом р £ {0}1_>1^

(А2) М-корневое подпространство Ы0 оператора L — дополняемое подпространство пространства Ы

Обозначим через Ы2 = 1/©г/°. Положим М[Ый} = Я, Ь [Ы2] = Я (АЗ) ? =

Обозначим через М0 сужение оператора М на

(А4) Существует оператор М^1 е С{Тй\Ы°) Обозначим через Ьо сужение оператора Ь на Ц° . По построению Ь0 € Положим Я=Мо1Ь0 € С{Ы°)

Обозначим через £2 ( М2 ) сужение оператора Ь ( М ) на подпространство Ы2 , а через Рг { Яг ) ~ проектор вдоль Ы° ( ) на Ы2 ( Т1 ). В силу теоремы Банаха существует оператор Ь^1 6 С{Т2\Ы2) . Введем в рассмотрение оператор Т , равный сужению оператора М0_1(/ — <Э2)М на Ы2 , и оператор 52 , равный сужению оператора Ь^ЯгМ на Ы2 . Очевидно, Т € Д^2;^0) , а 52 б С(Ы2). Построим множество Ы1 = { г: 6 Ы : и — (I — С)м2, и2 € Ы2 } , где оператор в = £ С{Ы2\ий)

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть выполнены, все условия (А1) — (А4) .Тогда оператор М (X, а )-ограничен, причем оо — несущественная особая точка L -резольвенты оператора М.

Уравнение (0.5) нетрудно редуцировать к системе уравнений

где через Я, Т и 52 обозначены соответственно сужения операторов Л/0-1(/ — (¿г)Ь, — Фг)М и Ь^фгМ на подпространства и0, Ы2 и и2 соответственно, а через Ь2 обозначено сужение оператора Ь на подпространство Ы2. По построению операторы Я € С{Ы°), Т € С(Ы2-,И°), 52 6 С(и2), причем оператор Я , ниль-потентен, и его степень нильпотентности не превосходит числа р из условия (А1).

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть выполнены все условия (А1) — (А4). Тогда (1) множество И1 — фазовое пространство уравнения (0.5);

(ii) множество и1 — подпространство в lt топлинейно изоморфное подпространству Ы2 , причем Ы = 1Ай (ВЫ1;

Рассмотрим три частных случая.

Пусть L £ — бирасщепляющий оператор, и оператор М £

С{1А~,Т). Введем в рассмотрение два условия.

(В1) Любая цепочка М-присоединенных векторов любого собственного вектора оператора L имеет длину, равную р 6 1N

Обозначим через coimL = Ы G kerL дополнение к ядру ker L Пусть L — сужение оператора L на coim L. В силу теоремы Банаха существует оператор L~l £ £(imL; coiinL). Пусть выполнено условие (В1). Тогда существуют линеалы U0q = ¿-1M[W°Í-1], U°° — ker L, q= 1, 2, ..., р. Очевидно, M[U^} DimL = {0} (B2) M[U0p] (BimL = P.

ТЕОРЕМА 1.8. Пусть операторы L,M £ C(IA\F), причем оператор L — бирасщепляющий. Пусть выполнены условия (В1) и (В2). Тогда оператор М (L,<r) -ограничен, причем со — несущественная особая точка L -резольвенты оператора М.

Оператор L назовем фредгольмовым, если его индекс ind L = 0.

ТЕОРЕМА 1.9. Пусть оператор L £ С— фредгольмов, а оператор М &C(U\!F). Тогда следующие утверждения эквивалентны: (i) Оператор М ( L,a)-ограничен, причем со — несущественная особая точка L -резольвенты оператора М; (ii) выполнено условие

(А1).

ТЕОРЕМА 1.10. Пусть dimW = dimJF, и существует точка а £ С такая, что áet(aL-M) ф 0. Тогда оператор М (L, с) -ограничен, причем оо — устранимая особая точка либо полюс L -резольвенты оператора М.

В п. 1.4 рассматриваются относительно р-секториальные операторы. Здесь пространства U и Т и операторы L и М те же, что и в п.1.1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.5. Оператор М называется р-секториалъным относительно оператора L (короче, (Ь,р)-секториальным), если существуют константы и такие, что сектор

= {/« 6 € : | arg(/í - а)\ < 0 , р ф а } С /(М)

при любых цо, ни ... , нР € 5|0(М) , где =

П*=о = Щ=о

ЗАМЕЧАНИЕ 1.1. Не теряя общности, можно положить а = 0 в определении 1.5.

В п. 1.5 изучаются аналитические полугруппы разрешающих операторов уравнения (0.5).

ТЕОРЕМА 1.11. Пусть оператор M(L,p) -секториален. Тогда существует аналитическая и равномерно ограниченная разрешающая полугруппа уравнения (\.2)(уравнения (1.3)), имеющая соответствующий вид (1.5), только контур Г имеет вид Г = {н G С : \агдн\ 6 при

ТЕОРЕМА 1.12. Пусть оператор М (Ь,р)-секториален. Тогда

(\)операторы L0 : Un -> Я, М0 : W Л domМ Я1;

(И) оператор L\: Ux Tl\

(iii) существует оператор Mq1 £ ¿(.F^W0)

Здесь ZY0 и — ядра, a ¿Z1 и Т1 — образы соответствующих полугрупп (1.5). Lk (Mk) сужение оператора L (М) на Uk (Uk П

В конце этого параграфа изучены фазовые пространства уравнений (1.2) и (1.3).

ТЕОРЕМА 1.13. Пусть оператор M(L,p) -секториален. Тогда фазовое пространство уравнения (1.2)((1.3)) совпадает с образом U1

(Я)

В п. 1.6 приводятся условия, достаточные для существования единиц разрешающих полугрупп уравнений (1.2), (1.3).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.6. Оператор М называется сильно (L,p) секториалъным справа (слева), если он (L^)-секториален и при всех Л, цо, ни G S^(M)

где

(сущсствует плотный в Т линеал ? такой, что

где const = const(/)).

ТЕОРЕМА 1.14. Пусть оператор М сильно (L,p) -секториален справа (слева). Тогда существует единица полугруппы \Ul : t € 1R+} ({F1 : t G IR+} ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1.7. Оператор М называется сильно (L,p) секториальным, если он сильно (L,p )-секториален слева и при любых А, /ля е Sq(M), g = 0, 1 ,...,/>

ТЕОРЕМА 1.15. Пусть оператор М сильно (L,р) -секториален. Тогда существует оператор LJ"1 €

Вторая глава посвящена исследованию задачи (0.1), (0.2) в случае, когда оператор М является (L,cr) -ограниченным, и соответствующим динамическим моделям несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

В п.2.1 изучается разрешимость задачи Коши (0.1.) для линейного неоднородного уравнения Соболевского типа:

Здесь операторы L £ и М £ причем kerL , К

и Т — банаховы пространства.

ТЕОРЕМА 2.1. Пусть оператор М (L, а) -ограничен, оо — устранимая особая точка либо полюс порядка р £ IN L -резольвенты оператора М. Тогда при любом f е с°°{1ьа-, Л и при любом U0 £ Mf существует единственное решение и£ задачи (0.1), (2.1)

имеющее вид:

В п.2.2 с помощью результатов п.2.1 исследована задача Коши — Дирихле для системы уравнений Осколкова

{

(1 -эеУ2>, = 1/У2г> - (5 • О = V • V

V)« - (V ■ У)5 - Ур + /,

(2.2)

моделирующей в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости нулевого порядка. Здесь V = (ух,... ,«„), VII = к = \,п соответствует вектору скорости жидкости; функция р — р{х,1) отвечает давлению жидкости; вектор-функция / = (/ъ--чЛ>), /к — /к(х) характеризует объемные силы; а вектор-функция V = ({¡1,... ,{;„), щ = Ук(х) соответствует стационарному решению исходной системы. Параметр характеризует вязкие, а параметр — упругие свойства жидкости.

В этом параграфе получена теорема (теорема 2.2.1.) существования единственного решения указанной задачи и получено описание ее фазового пространства. Показано, что в рассматриваемой модели фазовым пространством является полное аффинное многообразие, диффеоморфное некоторому подпространству в U. Найден более простой вид оператора L.

В п.2.3 исследована первая начально-краевая задача для системы уравнений Осколкова

моделирующей в линейном приближении динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина - Фойгта порядка К > 0.

В п.2.4 изучена разрешимость задачи Коши — Дирихле для си-

стемы уравнений Осколкова

моделирующей в линейном приближении течение вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта порядка к >0, к = щ + п2 + ... + пм- Системы (2.3), (2.4) получены в результате линеаризации соответствующих моделей [15] , [17].

В п.п. 2.3 и 2.4 доказаны теоремы существования единственного решения указанных задач (теоремы 2.3.1 и 2.4.1), обобщающие результаты п.2.2. •

В п.2.5 рассматривается задача (0.1), (0.2) в случае относительной а-ограниченности оператора М.

Пусть и и ? — банаховы пространства, операторы Ь £ и М € С°°(Ы;Т), фупкция / : Ж -> Т. Рассмотрим задачу Коши (0.1) для уравнения

Ьй = М(и) + }.

(2.5)

Пусть оператор L бирасщепляющий, обозначим через М„0 € С(Ы; Т) производную Фреше оператора М в точке щ ЕЫ и введем в рассмотрение цепочки М'ио -присоединенных векторов оператора L, которые будем выбирать из некоторого дополнения со\тЬ = ЫОкег L к ядру кег Ь. Введем в рассмотрение условие

(А1). Независимо от выбора сситЬ любая цепочка М'Пй -присоединенных векторов любого вектора содержит

точно р элементов.

Обозначим через Ь сужение оператора Ь на сонп Ь. В силу теоремы Банаха о замкнутом графике оператор Ь : ссцт Ь 1т Ь — топлинейный изоморфизм. Положим = кег Ь и построим множества ¿/° = Л'К] , д = 1, 2, р„ где А = Ь-1М'ио. Очевидно, множества Щ С со1тЬ являются линейными пространствами, следовательно, образ есть тоже линейное пространство,

причем = {0} (если выполнено (А1)). Введем в рассмотре-

ние еще одно условие (А2). Ь^Т .

Уравнение (2.5) перепишем в виде

Ы = М'аои + Р{и) + 1 , (2.6)

где оператор Р — М — М'ио по построению. Подействовав

на уравнение (2.6) последовательно проекторами <3„,<7 = 0, 1,' ..., р, I — Я, ( —проекторы на соответствующие подпространства F), получим эквивалентную систему:

(2.7)

. 1й1 = (/-д)м(«) + /1,

где и* € 6 ВД = дЛи) + ЯяКо«1, а = о, 1, ..., р;

и1 € и1, f1 € Р1- (И1 И — некоторые подпространства пространств и ) соответственно.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.1. Из теоремы 1.8 вытекает, что в рассматриваемом случае оператор М„0 (Ь, а) -ограничен в точке Ио, причем оо — полюс порядка р оператор-функции —

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.1. Решением задачи (0.1), (2.5) называется вектор-функция , , удовлетворя-

ющая уравнению (2.5) и условию (0.1).

Хорошо известно, что, во-первых, решения задачи (0.1), (2.5) существуют не для всех «о 6 Ы. Во-вторых, даже в случае существования решения указанной задачи оно может быть неединственным.

Для устранения указанных трудностей введем два определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.2. Множество В1 С У X К назовем конфигурационным пространством уравнения (2.5), если для любой точки такой, что существует единственное решение за-

дачи (0.1), (2.5), причем (и(<),*) € В1.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.2. Если , где , то множество

называется фазовым пространством уравнения (2.5).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2.3. Решение и = u[t) задачи (2.5), для которого выполняется , где , называется квазистационарной траекторией уравнения (2.5).

Для выделения квазистационарных траекторий из множества возможных решений задачи (0.1), (2.5) наложим два условия.

Рассмотрим множество Ы = {и £ К : = const, q = 1, 2,..., р}.

Как нетрудно видеть, U — полное аффинное многообразие, моделируемое подпространством Uq ф U1. Пусть точка щ £ й, через Ощ обозначим некоторую окрестность точки

ТЕОРЕМА 2.2. Пусть: (i) операторы L £ С{Ы',Т) и М 6 С°°(U;!F), причем L — бирасще-пляющий оператор, и выполнены условия (А1) и (А2); (И) точка (ио,0) £ В0, где В1 = {(u,t) £ U х Ж : Q0{M{u)+f{t)) = 0);

(iii) вектор-функция f£Cx> (Ш;-?-);

(iv) выполнены условия (A3) , (А4).

Тогда существует единственное решение задачи (0.1),(2.5), являющееся квазистационарной траекторией, причем (u(<),t) £ В* \/t £ (—<о)

В силу условий (А1) — (А4) система (2.7) в окрестности Оио редуцируется к виду

0 = м>з + вд + /0°,

(2.8)

Lu1 = (I - Q)M(u) + f\

При доказательстве теоремы 2.2 установлено, что система (2.8) в свою очередь редуцируется к виду IRji/1)

В п.2.6 рассматривается система уравнений Осколкова

моделирующая динамику несжимаемой вяз-

коупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка. Функции

и параметры

и v имеют тот же физический смысл, что и в модели (2.2). Функция

характеризует внешнее воздействие,

которое предполагается известным. Пусть П С К", п = 2, 3, 4 — ограниченная область с границей класса

Для системы (2.9) рассматривается задача Коши — Дирихле

От системы (2.9) перейдем к эквивалентной системе

Редуцируем задачу (2.9), (2.10) к задаче (0.1), (2.5). Для этого положим

Ы = Н2 х Н2 х Нр, ?- = Н„хН,х НР).

где Ну — замыкание в норме Ь2(П) = (Ь2(П))" линеала соленоидаль-ных векторов {г; € (^Г(^))" ■' У-г> = 0}, Н* = Н^- , Нр = Обозначим через Е : —> ортопроектор. Тогда Е € £((ТУ22(П)П И^1 (П))". Положим ¡тЕ = Н2, кег Е = Н2. Операторы Ь , М : Ы Т

определим формулами

( ЕЛаЕ ЕА.П О \ ( ЪВ{иа + и,) \

Ь := ПЛ^Е ПЛЖП О , М(ц) := ПВ(и, + и,) - ир , V о О О ) \ С{иа + ит) }

где П = / - Е, Л* = 1 - жУ2 ; В{иа + и,) := + и,) - ((и, + и,) •

У)(и„ + и^),С(иа + их) := -У(\7 • (и, + и,)), и = (и„,и«,ир).

ТЕОРЕМА 2.3. Пусть п = 2, 3, 4 и Л"1 £ а(Л)и<7(Лм). Пусть / е С°°(П1;Ь2(0)) , а (и0,0) 6 В0 . Тогда для некоторого = <0(г'о) существует единственное решение (у,р) задачи (2.9), (2.10) такое, что V € С°°(Но,<о) ; Н2) , IV = 0 , а р = А£ПА?(В(ь,) + /,(«)) +

т

Здесь в' = {(к, 0 6 ^ х ж : л^пл^як) + /„(«)) + /,(*) =

является конфигурационным пространством рассматриваемой задачи.

В п.2.7 изучается задача Тейлора для системы (2.9), моделирующая ситуацию, когда вязкоупругая несжимаемая жидкость Кельвина-Фойгта запимает пространство между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами бесконечной длины. В данной ситуации ограниченную область П С 21", п = 2,3,4 (с кусочно-гладкой

границей) выбирают так, чтобы на части ее границы дги (лежащей, например, при п = 3 на двух плоскостях а и 0, перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности (т.е.

= «(х,, 500(00,8) = с^П € И). Кроме того, выбирается некоторое стационарное решение V = И(х) системы (2.9), удовлетворяющее на условию периодичности, а на — неоднородным условиям Дирихле (например, течение Куэтта), и исследуется динамика отклонения от этого стационарно-

го решения, вызванного начальным условием. Поэтому система (2.9) приобретает вид

Рассматривается задача Тейлора

I удовлетворяет условию периодичности :

для системы (2.11).

В п.2.8 исследуется задача Коши-Дирихле для системы уравнений

моделирующеи динамику несжимаемой вязкоупругои жидкости Кельвина — Фойгта порядка Л* > 0. Параметры /?/ € Ш.+ , I = определяют время ретардации (запаздывания) давления.

Заметим, что если в системе (2.13) положить К = 0 , то получим модель движения (2.9).

В п.2.9 рассматривается первая начально-краевая задача для си-

стемы уравнении

моделирующеи динамику несжимаемой вязкоуиругои жидкости Кельвина — ФоИгта высшего порядка. Параметры Лт,я определяют время ретардации (запаздывания) давления.

Заметим, что система (2.14) является системой более общего вида, чем система (2.13) и тем более (2.9). В моделях 2.6 — 2.9 соответствующий оператор М является (L, а)-ограниченным, причем любой вектор имеет точно один М-присоединенный

вектор.

Третья глава содержит результаты о разрешимости задачи (0.1), (0.2) в случае (L,p) -секториальности оператора М и исследование соответствующих эволюционных моделей несжимаемых вязкоупру-гих жидкостей.

В п. 3.1 изучается задача (0.1), (0.2) в предположении, что оператор М сильно (Ь,р)-секториален.

Пусть U и Т — банаховы пространства, оператор L £ C{U]T), ker L ф {0}; оператор М € С1(Ы\Т). Через Um обозначим линеал domM, снабженный нормой графика ||| • ||| = ||М • Ц^ 4- || • \\и. Пусть оператор F 6 Cco{UM\J:), функция / 6 CM(IR+;JF).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.1. Локальным решением (далее просто — решением) задачи (0.1), (0.2) назовем вектор-функцию и £ С°°((0,Т);Um), удовлетворяющую уравнению (0.2) и такую, что u(i) —► щ при i —+ 0 +

Пусть оператор М сильно (Ь,р)-секториален. Известно, что в этом случае решение задачи (0.1), (0.2) существует не для любого , а если решение существует, то оно может быть неединственным. Поэтому введем два определения.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.2. Множество В* С Им X IR+ назовем конфигурационным пространством уравнения (0.2), если для любой точки Щ £ Um такой, что (uo,0) £ В0 существует единственное решение задачи (0.1), (0.2), причем (u(i),f) € В*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.3. Пусть пространство U расщепляется в прямую сумму U = Uo® U\ так, чтобы ker L С Wo - Решение и = v+w, где v(t) &Uo , а w(t) € U\ при всех t 6 (0,Т), уравнения (0.2) назовем квазистационарной полутраекторией, если Li) = 0

ЗАМЕЧАНИЕ 3.1. Если Вг = ВхШ.+ , где BCUM, то множество В называется фазовым пространством уравнения (0.2). Введенное в определении 3.3 понятие квазистационарной полутраектории обобщает понятие квазистационарной траектории, введенное для динамического случая.

В силу того, что оператор М сильно (Ь,р)-секториален, пространства U и J- расщепляются в прямые суммы Ы = И0 Ф U1 , T = , где

образы аналитических разрешающих полугрупп'

( Г С Sq„[M) — контур такой, что argц —+ ±0 при —► +оо)

линейного однородного уравнения (0.5).

Обозначим через Ljt(Mfc) сужение оператора L(M) на Uk (Uk П domM), k= 0,1. Тогда Lk : UkTk, Mk : ¿/VldomM Tk, k =

0, 1, причем сужения Mq и Li операторов М и L на пространства i/0ndomM и U1 соответственно являются линейными непрерывными операторами и имеют ограниченные обратные операторы. Эти результаты следуют из п.п. 1.5 и 1.6.

В силу этих результатов приведем задачу (0.1), (0.2) к эквивалентной форме

Д«о = и°+<7(и) + 0(<) и0(0) = и», ü1 = Su1 + ff (u) + h{t) и1 (0) = ul,

(3.1)

где ик € Uk, к = 0,1, и = i/' + u1, операторы R = M^Lo, S = G = Mä1(I-Q)F. H = L?QF g = M^[I-Q)f h = L?Qf

Здесь Q (E £(F)(= C(F;F)) — проектор, расщепляющий пространство T требуемым образом.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3.4. Систему уравнений (3.1) назовем нормальной форм ой уравнения (0.2).

В дальнейшем ограничимся изучением таких квазистационарных полутраекторий уравнения (0.2), для которых Bù° = 0. Для этого предположим, что оператор R — бирасщепляющий. Положим U00 = ker R, а через U01 = U0 © U°° обозначим некоторое дополнение к подпространству Uao. Тогда первое уравнение нормальной формы (3.1) редуцируется к виду

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть оператор М сильно (L,p) -секториален, а оператор R — бирасщепляющий. Пусть существует квазистпацио-нарная полутраектория и = u(t) уравнения (0.2). Тогда она удовлетворяет соотношениям 0 = îî00 + и01 + G (и) + g(t), u01 = const.

Теорема 3.1 устанавливает необходимые условия существования квазистационарной полутраектории уравнения (0.2). Перейдем к рассмотрению достаточных условий.

Известно, что при условии сильной (L,p) -секториальности оператора M оператор 5 секториален. Значит, он порождает на Ux аналитическую полугруппу, которую мы обозначим через {Ul : t > 0}, так как в действительности оператор U[ есть сужение оператора U1 на II1

Из того, что _ следует, что существует проектор

С[Ы), соответствующий данному расщеплению. Можно показать, что Р € C{Uu). Тогда пространство Um расщепляется в прямую сумму Цм = UlfQlAh так, что вложение Ы^ С Uk, k=0,1, плотно и непрерывно.

ТЕОРЕМА 3.2. Пусть оператор М сильно (L,р) -секториален, оператор R — бирасщепляющий, оператор F Ç. С00(Км;?), а вектор-функция / G C°°(IR,+; Т). Пусть

(i) в некоторой окрестности Оио С Um точки и0 выполнено соотношение

(ii) проектор Рц 6 C{U0M), и оператор I + PRG'uо : U^ —> U^ —

топлинейный изоморфизм (Ы^—Ым С\14т);

(iii) для аналитической полугруппы {U[ : t > 0} выполнено условие

То?да существует единственное решение задачи (0.1), (0.2), являющееся квазистационарной полутраекторией уравнения (0.2).

Теперь пусть ¿4 и 3~к — банаховы пространства, операторы Ак £ £(i4,.Ffc), а операторы Вк £ Cl{Uki ^к), к — 1,2. Построим пространства Ы = U\ х Ui, Т = Т\ х Ti и операторы L — А\ ® Аг, М = В,® В-ь- По построению оператор L £ С{Ы\ J7), а

оператор ,

ТЕОРЕМА 3 3. Пусть операторы В к сильно (Ак,Рк) секториальны, к = 1,2; причем pi > Тогда оператор М сильно -секториален.

В п.3.2 исследуется задача Коши-Дирихле для системы уравнений

которая моделирует эволюцию скорости v = (üj, v..., v„), v, = v,(x,t), градиента давления p = (pi, рг> ■••! Pn), Pt — P>(x,t) и температуры в = в{х, t) простейшей неньютоновской жидкости — несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка. Параметры Л £ HR, v £ JR+ характеризуют упругие и вязкие свойства жидкости соответственно, а параметр ге 6 IR+ характеризует теплопроводность жидкости; g £ IR+ — ускорение свободного падения; вектор 7 = (0, ..., 0, 1) — орт в 1R" ; свободные члены

отвечают внешнему

воздействию на жидкость.

В данном параграфе исследуется разрешимость первой начально-краевой задачи

для системы (3.2).

Доказана теорема существования единственного решения задачи (3.2), (3.3), являющегося квазистациопарной полутраекторией. В этой ситуации оператор М является сильно 1)-секториальным. Дается описание конфигурационного пространства рассматриваемой задачи.

В п. 3.3 и 3.4 впервые исследуется задача термоконвекции пе-сжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого и высшего порядка соответственно. Здесь оператор М также является сильно 1) -секториальным. Дано полное описание конфигурационного пространства указанных математических моделей.

В заключении формулируются основные выводы из диссертации и указываются некоторые возможные пути развития проведенных исследований.

Основные выводы. На основе полугруппового подхода в данной работе проведено качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина — Фойгта.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Изучены линеаризованные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей различных порядков. Получено описание фазовых пространств этих задач.

- Исследована разрешимость задачи (0.1), (0.2) при условиях, при которых оператор М является а -ограниченным относительно бирас-щепляющего оператора L и соответствующие динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

- Исследована разрешимость указанной задачи в предположении, что оператор М сильно ^,р)-секториален и и соответствующие эволюционные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

- Описаны нормальные формы и конфигурационные пространства полулинейного нсавтономпого уравнения (0.2) в указанных случаях. Приведены полные описания конфигурационных пространств указанных моделей.

- Доказаны теоремы, дающие достаточные (необходимые) условия существования единственного решения задачи (0.1), (0.2), являющегося квазистационарной полутраекторией.

Все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые; и результаты, полученные для пих, являются новыми. Исследования базируются на строгих математических доказательствах, причем в соответствующих частных случаях получаются известные результаты.

Абстрактные результаты второй и третьей глав существенно дополняют и развивают представленную теорию и обобщают соответствующие результаты, полученные ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими и челябинскими математиками. Эти исследования позволили изучить некоторый класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей и получить для них теоремы существования единственного решения.

Однако этими задачами приложения указанной теории не исчерпываются. По-видимому, на основании построенной теории возможно рассмотрение систем для потока указанных жидкостей в магнитном поле Земли. Можно провести изучение различных математических моделей и в автономном случае. Исследования в данном направлении в настоящее время активно ведет О.П.Матвеева.

Представляет интерес и качественное исследование линеаризованных математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей в случае, когда параметр (см., например, систему (2.2)) принадлежит спектру соответствующего оператора, определяемого оператором L, а также исследование соответствующих задач термоконвекции. В этом направлении успешно работает М.Н.Даугавет.

Вполне возможно говорить и о развитии полугруппового подхода к исследованию полулинейных уравнений Соболевского типа в случае, когда оператор Л/ в уравнении (0.2) является радиальным. Но это дело будущего.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории разрешимости задачи Коши для уравнений Соболевского типа. Они могут найти применение в исследованиях, проводимых в Воронежском, Новосибирском, Новгородском, Уральском и Челябинском университетах, ИМ СО РАН, а также в других университетах и математических институтах.

Итак, в дапной диссертации заложены основы полугруппового подхода к исследованию математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей, и дальнейшее развитие этого подхода представляет несомненный интерес. Поэтому можно говорить о новом научном направлении, основы которого заложены в указанной работе.

Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за постоянное внимание к работе и многочисленные беседы, способствовавшие ее написанию.

Работы автора по теме диссертации:

[1] Свиридюк Г.А, Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вяз-коупругих сред // ДАН СССР. 1989. Т.308, №4. С.791 — 794.

[2] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31, №5. С.109 — 119.

[3] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Заметки о линейных моделях вяз-коупругих сред// Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. Вып.1. Челябинск. 1996. С. 135 — 147.

[4] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. 1991. №1. С.З — 20.

[5] Свиридюк Г.А, Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Матем. 1989. №10. С.44 — 47.

[6] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости// Ма-тем. заметки. 1998. Т. 63, №3. С. 442 — 450.

[7] Свиридюк Г.А, Сукачева Т.Г. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Диффе-ренц. уравп. (Качеств, теория). Рязань, 1990. С.108 — 115.

[8] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №2. С.250 — 258.

[9] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Линейные операторы, <7-ограниченные относительно фредгольмовых операторов // Деп. ВИНИТИ. 1995. № 1401-В95. 14 с.

[10] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Необходимые и достаточные условия относительной -ограниченности линейных операторов // Докл. АН (Россия). 1995. Т.345, №1, С.25 — 27.

[11] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко Л.Л. Относительная <г-ограниченность линейных операторов // Изв. вузов. Математика. 1997. №7(422), С.68 — 73.

[12] Сукачева Т.Г. Дальнейшие результаты о разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1992. №5. С.70 — 72.

[13] Сукачева Т.Г. Задача Тейлора для жидкости Кельвина-Фойгта. // Деп. ВИНИТИ 9.03. 1989. № 1577-В89. Новгород. 12 с.

[14] Сукачева Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа// Автореферат диссерт. на соискание ученой степени кандидата физ.-матем. наук. Воронежский государственный университет. 1990. 16 с.

[15] Сукачева Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вяз-коупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Дифференц. уравн. 1997. Т.ЗЗ, №4. С.552 — 557. .

[16] Сукачева Т.Г. Об одном обобщении теоремы Сарда // Функц. анализ. Ульяновск. 1989. С.92 — 94.

[17] Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Изв. вузов. Матем. 1998. №3(430). С.47 — 51.

[18] Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости// Дифференц. уравнения. 2000. ^36, №8. С. 1106 — 1112.

[19] Сукачева Т.Г. Фазовые пространства полулинейных сингулярных уравнений динамического типа // Деп. ВИНИТИ 9.01.1989. № 194^89. Новгород. 28 с.

[20] Сукачева Т.Г., Антонова А.Ю., Даугавет М.П., Ефимова Ю.А. Линеаризованная система Осколкова высшего порядка // Деп. ВИНИТИ 7.07.00. № 1880-В00. Великий Новгород. 25 с.

[21] Сукачева Т.Т., Антонова А.Ю., Даугавет М.Н., Ефимова Ю.А. Линеаризованная система Осколкова ненулевого порядка // Деп. ВИНИТИ 7.07.00. № 1879-В00. Великий Новгород. 25 с.

[22] Сукачева Т.Г., Викторова Т.С. О разрешимости задачи Тейлора для несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойг-та // Деп. ВИНИТИ 17.04.96. № 1263-В96. Новгород. 15 с.

[23] Сукачева Т.Г., Даугавет М.Н. Линеаризованная модель движения вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка// Сибирский журнал индустриальной математики. Октябрь - декабрь, 2003. Том У1, №4 (16) С.Ш - 118.

[24] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупрутой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Изв. вузов. Матем. 2001. №11(474). С.46 — 53.

[25] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Об одной нестационарной задаче динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта первого порядка// Деп. ВИНИТИ 17.04.96. № 1262-В96. Новгород. 16 с.

ТЕЗИСЫ ДОКЛАДОВ:

[26] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Морфология фазовых пространств// III Всес. школа "Понтрягинсие чтения". Кемерово. 1990. С.63.

[27] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О линейных моделях вязкоупру-гих сред// Семинар "Моделир. устойчивости физических процессов". Киев. 1991. С.79.

[28] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости задачи Коши для полулинейного сингулярного дифференциального уравнения с нетеровым оператором при производной// XVI Школа по теории операторов в функц. простр. Тез. докл. Н.Новгород. 1991, С.203.

[29] Sukacheva T.G. The Cauchy problem for nonautonomic sobolev-type equations// Материалы международной конференции "Выпуск-пик НГУ и научно-технический прогресс". Часть 1. Новосибирск. 1999. С.55.

[30] Sukacheva T.G. Cauchy problem for nonautonomic sobolev-type equations// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной научной конференции. 22-26 июня 1999 г. ЧелГУ. Челябинск. 1999. С. 128.

[31] Sukacheva T.G. Cauchy problem for some class of nonstationary operator equations // Proceed, of international conference on nonlinear dif. equations. Kiev. Book of abstracts. 1995. P. 162.

[32] Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса сингулярных опе-. раторных уравнений // XIV Школа по теории операторов в

функц. простр. Тез. докл. Новгород. 1989. ч.Ш. С.53.

[33] Сукачева Т.Г. Задача Коши для полулинейного нестационарного уравнения типа Соболева// Успехи матем. наук. 1995. Т.50, №4. С.143.

[34] Sukacheva T.G. Quasi-stationary semi-trajectories in the nonstationary thermoconvection the viscoelastic incompressible fluid of the highest order// Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти С.Л.Соболева (1908-1989). Тезисы докл. Часть П. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН. 1998. С. 135.

[35] Сукачева Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса операторных дифференциальных уравнений // Материалы международной конф. и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева. Т.2. М.: Изд-во мех,-матем. фак-та МГУ. 1996. С.323 — 325.

[36] Сукачева Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса уравнений типа Соболева //ВВМШ. Современные методы в теории краевых задач. "Понтрягинские чтения-VII". Тез. докл. 17-23 апреля 1996 г. Воронеж. 1996. С. 171.

[37] Сукачева Т.Г. Конкретные интерпретации абстрактной задачи Коши для одного класса операторных дифференциальных уравнений// Вестник Чел. унив. Сер. Матем. Мех. Вып.1. Челябинск. 1991. С.151.

[38] Сукачева Т.Г. Линеаризованные системы уравнений Осколкова ненулевого порядка // Четвертый сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), по-

священный памяти М.А.Лаврентьева (1900-1980). Тезисы докл. Часть I. - Новосибирск: Изд-во Института математики СО РАН. 2000/ С. 82.

[39] Сукачева Т.Г. Медленные многообразия в системе Осколкова// Тез. XII итог, научн. конф. Челябинск. 1988. С. 19.

[40] Сукачева Т.Г. Медленные многообразия задачи Тейлора для системы Осколкова// Уральск, регион, конф. III "Функц. диф. ур. и их прил." Тез. докл. Пермь. 1988. С.294.

[41] Sukacheva Т. G. Nonautonomic sobolev-type equations.// Abst. of the Ninth Intern. Coll. Diff. Eq. Bulgaria. - Plovdiv. August 18-23, 1998. P.185.

[42] Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа С.Л.Соболева//ХИ Школа по теории операторов в функц. простр. Тез. докл. Тамбов. 1987. ч.И. С.89.

[43] Sukacheva T.G. On a Nonstationary Model of Dinamics of Incompressible Viscoelastic Fluid. Proceed. HI ICIAM-95. book of abstracts. Hamburg. 1995. P.454.

[44] Сукачева Т.Г. О разрешимости задачи Коши для полулинейного нестационарного уравнения типа Соболева// Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной мате-матии и механики. Тез. докл. ВЗМШ (г. Воронеж, 25 янв.- февр. 1995 г.). Воронеж. 1995. С.222.

[45] Сукачева Т.Г. О разрешимости задачи Коши для полулинейного сингулярного уравнения// XV Школа по теории операторов в функц. простр. Тез. докл. Ульяновск. 1990. ч.П. С.84.

[46] Сукачева Т.Г. О разрешимости пестационарной задачи термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости // Матем. мо-делир. и краевые задачи. Тр. VI межвуз. копф. 29-31 мая 1996 г. 4.2. Самара. 1996. С. 101 - 103.

[47] Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости первого порядка// Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. ВЗМШ (г. Воронеж, 28 января — 4 февраля 1997 г.) Воронеж. 1997. С. 156.

[48] Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарных задач термоконвекции несжимаемых вязкоуирутах жидкостей// Успехи ма-тем. наук. 1998. Т.53, №4. С. 177.

[49] Сукачева Т.Г., Антонова А.Ю., Даугавет М.Н., Ефимова Ю.А. Линеаризованные системы Осколкова // Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии. Материалы международной научно-методической конференции. Великий Новгород. 2000. С. 178.

[50] Сукачева Т.Г., Даугавет М.П. Об одной линеаризованной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта// Математика в вузе. Материалы международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь 2003. Санкт-Петербург. 2003. С.185 - 186.

[51] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Задача термоконвекции вязко-упругой несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// "Алгоритмический анализ некорректных задач". Тезисы докладов Всероссийской конференции, посвященной памяти В.К.Иванова. 2-6 февраля 1998 г. Екатеринбург. 1998. С. 248249.

[52] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термоконвекцич несжимаемой вязкоупругой жидкости// "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия". Тезисы докладов конференции в рамках форума "Наука, культура и образование России накануне третьего тысячелетия". Челябинск. 1997. С. 27.

[53] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. О некоторых моделях движения вязкоупрутах несжимаемых жидкостей// Математика в вузе. Материалы международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь 2003. Санкт-Петербург. 2003. С.186 -187.

[54] Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Теория неавтономных уравнений соболевского типа и ее приложения// Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12. Сборник трудов международной конференции. 1999. Великий Новгород. Т.1. С.64.

Лицензия ЛР № 020815 от 21.09.98. Подписано в печать 04.04.2004. Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,9. Уч.-изд. л. 2,0. Тираж 100 экз. Заказ № 84. Издательско-полиграфический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Отпечатано в ИПЦ НовГУ им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

№1 07 80

Обозначения и соглашения.

Введение

1. ПОЛ У ГРУППОВОЙ ПОДХОД

1.1. Замкнутые относительно а -ограниченные операторы

1.2. Аналитические групны разрешающих операторов с ядрами.

1.3. Условия существования фазовых пространств

1.4. Относительно р-секториальные операторы

1.5. Аналитические полугруппы разрешающих операторов с ядрами.

1.6. Единицы разрешающих полугрупп и существование обратного оператора.

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ

2.1. Задача Коши для линейного неоднородного уравнения

2.2. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости нулевого порядка.

2.3. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка

2.4. Линеаризованная модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости высшего порядка.

2.5. Задача Коши для полулинейного уравнения

2.6. ■ Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка

2.7. Задача Тейлора для жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка.

2.8. Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка

2.9. Модель движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта высшего порядка

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ МОДЕЛИ НЕСЖИМАЕМЫХ

ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ

3.1. Задача Коши для полулинейного уравнения

3.2. Неавтономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка.

3.3. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка

3.4. Задача термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости высшего порядка

Постановка задачи и цель работы. Пусть U и Т — банаховы пространства, оператор L £ J7), то есть линеен и непрерывен, оператор М : domM —» J7 линеен, замкнут и плотно определен в ZY, т.е. М £ Cl(Uj^7), а оператор i*1 : domF —> Т, вообще говоря, нелинейный и в дальнейшем будет уточнен; вектор-функция / : 1R —► Т.

Диссертация посвящена исследованию однозначной разрешимости задачи Коши и(0) = и0 (0.1) для полулинейного неавтономного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + F(u) + /(*). (0.2)

В качестве конкретных интерпретаций указанной абстрактной задачи рассмотрены, например, задача Коши — Дирихле для системы уравнений

1 - азУ2>* = v42v - (■v • V)v -Vp + f, 0 = V-v, моделирующая динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта нулевого порядка, и задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости, которая описывается первой начально-краевой задачей для системы дифференциальных уравнений

1 - AV2)vt = z/V2v - (v • V)v - p - д1в + f\ 0 = V(V • v), (0.4)'

6t = seV20 - v • V0 + v • 7 + /2.

Уравнения вида (0.2) часто называют "соболевскими" или "типа Соболева" [19, 66, 105, 146, 227, 230, 241], так как впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С.Л.Соболев, который одним из первых исследовал задачу Коши для уравнения

Autt +to2uzz = 0, моделирующего малые колебания вращающейся жидкости [199].

Нашей целью является качественное исследование линеаризованных и нелинейных математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей различных порядков на основе построенной нами теории разрешимости задачи (0.1), (0.2) и описание их фазовых и конфигурационных пространств.

Обоснование интереса к проблеме. Хорошо известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда ker L ф {0}), задача (0.1), (0.2) разрешима не для любого начального значения w0 £ U. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ £ Ы, при которых задача (0.1), (0.2) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный интерес. Впервые этот факт был отмечен в [226], а затем многие авторы неоднократно обращали внимание на это обстоятельство (см., например, [43, 44, 71, 216, 217, 244]).

Задача (0.1), (0.2) в автономном случае (f(t) = 0) изучалась ранее Г.А.Свиридюком: Поиск множества допустимых начальных данных и0 6 U привел его к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в [156], затем метод был развит в [252] и [147].

Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (0.2) к уравнению й = В(и), заданному не на всем Ы, а на некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в Ы [175, 184], являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Л.В.Аносова [4].

При исследовании разрешимости задачи Коши для линейного однородного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми (0.5) были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторы (то есть такие операторы, относительный спектр которых ограничен) и соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.5) [148, 163, 170]. Очевидно, что класс относительно а -ограниченных (то есть относительно спектрально ограниченных) операторов включает в себя операторы с ограниченным спектром вида L~lM в случае существования оператора L-1 £ С{Т\1Х). Кроме того, были введены в рассмотрение относительно р-секториальные операторы, класс которых включает в себя секториальные операторы вида L~XM в случае существования оператора L~l 6 С{Т\Ы), и соответствующие им разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.5) [172, 164, 168] .

Заметим, что однопараметрическая полугруппа операторов с ядрами — объект настолько новый для изучения, что о нем нет сведений не только в классических трактатах [45, 214], но и в современных обзорах теории полугрупп операторов [11, 53].

Используя указанный метод, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях [157, 158, 159, 160,165,171,175] фазовым пространством автономных уравнений вида (0.2) служит банахово многообразие -диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.5). В случае линейного уравнения (0.5) фазовое пространство просто совпадает с образом.

Укажем на принципиальное отличие данного подхода от метода слабых решений [192, 196], метода регуляризации [56, 55, 59] « и метода дифференциальных включений [241, 242].

В настоящее время теория относительно сг-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.5) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [149], учебном пособии [189] и монографии [243] приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно сг-ограниченных и ^-секториальных операторов и соответствующих им групп л» и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.5). Некоторые направления развития этой теории намечены в [35, 37, 52, 74, 152, 208, 219].

Заметим, что к задаче Коши (0.1) для уравнения (0.2) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.3), (0,4), но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким моделям можно отнести ^ уравнение Баренблатта — Желтова — Кочиной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде; уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции; уравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки и др.

В указанных математических моделях довольно часто встречается и неавтономный случай, то есть когда в уравнении (0.2) f(t) ф 0. В частности, f(t) может отвечать какому-либо внешнему воздействию, и это воздействие является функцией от времени.

Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к неавтономной абстрактной задаче (0.1), (0.2). Но непосредственное распространение метода фазового пространства на случай неавтономных уравнений сопряжено с некоторыми трудностями, и основной трудностью здесь является разработка понятия конфигурационного пространства, обобщающего понятие фазового пространства в автономном случае. Следовательно, исследование неавтономных уравнений соболевского типа, моделирующих несжимаемые вязкоупругие жидкости, и разработка нового метода их исследования — метода конфигурационного пространства — является актуальной задачей.

Методы исследования. Основным методом исследования служит метод конфигурационного пространства, являющийся обобщением метода фазового пространства, который был использован для изучения автономных уравнений. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических (полу)групп, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Основным инструментом исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей используется полугрупповой подход, предложенный проф. Г.А.Свиридюком * и развитый его учениками [149], [243].

Заметим, что случай р = 0 рассматривался в докторской диссертации Г.А.Свиридюка [147].

Историография вопроса. В истории изучения задачи (0.1), (0.2) можно выделить два направления. К первому мы отнесем результаты, лежащие в области функционального анализа, приложения которых к начально-краевым задачам для уравнений в частных производных носят характер иллюстративных примеров. Ко второму направлению относятся результаты, лежащие целиком в области теории уравнений с частными производными, хотя, быть может, эти результаты получены методами функционального анализа. Сначала рассмотрим те работы, в которых исследуется абстрактная задача (0.1), (0.2).

Впервые исследование решений задачи Коши (0.1) для линейного уравнения соболевского типа

Lu = Mu + f (0.6) в случае, когда L и М — постоянные (т х п) -матрицы, и Е IRn, / £ IRm было проведено в классических работах 4 Л.Кронекера и К.Вейерштрасса, и здесь мы сошлемся на монографию Ф.Р.Гантмахера [23] , где на основе применения результатов К.Вейерштрасса для регулярных пучков матриц и исследований Л.Кронекера для сингулярных пучков, построено общее решение задачи (0.1), (0.6). (Пучок матриц М + XL называется регулярным, если L и М — квадратные матрицы одного и того же порядка, и определитель \M + \L\ не равен тождественно нулю; во всех остальных случаях пучок называется сингулярным).

Заметим, что если пучок fiL — М регулярен, то оператор

М и-ограничен относительно оператора L. Действительно, в данном случае определитель det(fiL — M) является многочленом степени не выше п. Поэтому он имеет не более п корней, лежащих в комплексной плоскости. Следовательно, L-спектр aL(M) оператора М состоит из конечного числа точек, и значит, ограничен.

Это несложное рассуждение позволило выделить весьма простые достаточные условия а-ограниченности оператора М относительно оператора L и применить их к исследованию автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида (0.2) [161]. Затем эти результаты были развиты в работах [179, 183, 245]. Отметим отличие наших результатов от результатов школы Ю.Е.Бояринцева, в монографии которого проведено исследование уравнений вида (0.6) посредством различных обобщенных обращений особенных и прямоугольных матриц и даны некоторые рекомендации и методы для численных расчетов[10].

Н.В.Зубов [41] получил локальную теорему существования v единственного решения задачи Коши для квазилинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Ax = f(x,t), x(t0) = х0, (0.7)

А — квадратная постоянная особенная матрица порядка п, х £ IRn, f е C2((-t0 - Г, t0 + Т); IRn). Доказано, что начальные данные должны удовлетворять некоторой системе алгебраических уравнений, и что решение может быть получено методом последовательных приближений.

Задаче Коши (0.7) с А = A(x,t), iankA(x,t) = const в окрестности точки посвящены многие из работ

В.Ф.Чистякова (например, [216]). Автор вводит понятие допустимого для системы (0.7) начального условия £0 , а также критерий "ранг-степень", на основе которых и доказывает локальные теоремы существования и единственности решения задачи Коши (0.7). (Ненулевой многочлен det(A\ — Б), где А и В — постоянные матрицы, удовлетворяет критерию "ранг-степень", если степень многочлена равна рангу А). В.Ф.Чистяков наряду с квазилинейным уравнением (0.7) исследовал линейное уравнение (0.6) в предположении / = f(t), и £ 3Rn, L = L(t), М = M(t), —матрицы, причем L{t) вырождена [217]. На основе введенного автором понятия индекса системы доказана теорема о существовании общего решения системы (0.7) в предположении, что индекс пучка матриц не превышает двух.

М.И.Вишик [13] впервые исследовал задачу (0.1), (0.6) в случае, когда Т = {Т, <•, •>) — сепарабельное гильбертово пространство; U С Т ^ причем вложение плотно и непрерывно; L и М —фредгольмовы операторы, причем L самосопряжен и положительно определен. Методом Галеркина — Петрова установлено существование единственного решения и : [О, Г] —» U задачи (0.1), (0.6), описана непрерывная зависимость решения от правой части / = f(t) и начального данного щ. Изучено также асимптотическое при t +оо поведение решений задачи (0.1), (0.6).

Разработкой теории однородной задачи (0.1), (0.5) занимались С.Г.Крейн и его ученики: С.П.Зубова, В.Б.Осипов, К.И.Чернышов [43, 44, 70, 71]. В их работах впервые было от* мечено, что задача (0.1), (0.5) однозначно разрешима при всех начальных данных, лежащих в некотором подпространстве U, причем ее решение при всех t Е IR также лежит в этом подпространстве.

Действуя в духе традиции Л.Кронекера и К.Вейерштрасса, они исследовали разрешимость этой задачи в зависимости от регулярности операторного пучка ЛL + М.

С.Г.Крейн и В.Б.Осипов изучали задачу (0.1), (0.5) при условии, что L,M £ методом, предложенным С.Г.Крейном и С.Д.Эйдельманом , основанным на построении функции Ляпунова [70].' В работе показано, что если не существует оператор L~l, но оператор М или при некотором А оператор (AL-fM)-1 существует, то решения уравнения (0.5) заполняют некоторое собственное подпространство , в котором задача Коши однозначно разрешима.

С.П.Зубова и К.И.Чернышов [43, 44] провели полное исследование уравнения (0.5), когда L \1Л —» Т —замкнутый фредголь-мов оператор, а Мб С(Ы]Т). В регулярном случае задача Коши однозначно разрешима при всех начальных данных из некоторого подпространства с конечным дефектом. Ее решение при всех t Е JR тоже лежит в этом подпространстве. В нерегулярном случае решение существует лишь при начальных данных, удовлетворяющих счетному числу условий, причем решение неединственно. Для неоднородного уравнения (0.6) в регулярном случае решение существует только для функций f(t) , обладающих определенной гладкостью и удовлетворяющих некоторым условиям согласования с начальными данными. В нерегулярном случае от f(t) требуется бесконечная'гладкость и на нее налагается счетное число условий согласования. В [73] замечено, что частные случаи [43, 44] рассматривались в [65, 113].

С.Г.Крейн и К.И.Чернышов [71] на основе детального изучения свойств линейных операторных пучков исследовали вопрос о поведении решений при е —> 0 сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений вида

Ь + еК)~^Мщ (0.8) где линейные операторы К, L, М :Ы —» Т, причем L замкнут,, фредгольмов и ker L ф {0} , а К ограничен. Показано, что при определенных условиях решение u(t,e) уравнения (0.8) стремится к решению невозмущенного уравнения (е = 0).

В [198] изучался вопрос о существовании интегральных многообразий для уравнения (0.8) в случае М = M(i),— oo < t < +оо, операторы K>L,M : U —* Т, причем L замкнут, плотно определен, фредгольмов ( indL = 0). Оператор К ограничен и при малых е оператор Ь + £К обратим. Предполагается, что все М-жордановы цепочки оператора L имеют одинаковую длину. Тогда [72] уравнение (0.8) сводится к некоторой системе дифференциальных и алгебраических уравнений , имеющей интегральное многообразие, которое при дополнительных ограничениях является устойчивым. Изучено поведение траекторий в окрестности интегрального многообразия, установлен принцип сведения для интегрального многообразия (более подробно см. [68]).

В работе С.П.Зубовой [42] построено решение задачи

L + еК)^ = Mu{t,е\ 0 < t < Т, at u(0,e) = и°(е) eU и приведено условие, необходимое и достаточное, чтобы u(t,e) стремилось к некоторому решению предельного (е = 0) уравнения. L, К, М : U —* Т — линейные операторы, причем К и М — ограниченные операторы, a L — замкнутый фредголь-мов (indZ' = 0) оператор с плотной в Ы областью определения; е Е (0, So). Предполагается, что оператор L + £К + /лМ обратим при достаточно малых значениях £ ф 0, ц ф 0 (оператор L + £К не обязан быть обратимым). Рассматривается случай, когда указываемая задача имеет решения в некотором подпространстве пространства U, а решения предельного уравнения принадлежат другому подпространству. При £ —»■ 0 происходит переход из одного подпространства в другое.

Б.Кведарас и И.Мационис [51] занимались исследованием задачи Коши (0.1), (0.6) в случае, когда L,M £ C(U), f(t) — сильно измеримая функция на [0,^о] со значениями в Ы. Авторы [51] исследуют вопрос о разрешимости уравнения (0.6), и отчасти однородного уравнения (0.5), при тех же условиях на оператор L, что и в [70] , но без каких-либо условий на М. Показано, что и в этом случае решения уравнений тоже заполняют некоторые подпространства U. Найдены условия однозначной разрешимости задачи Коши; указаны случаи, когда неоднородное уравнение не разрешимо, однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение.

Используя метод [51], Б.Кведарас [50] изучал свойства решений однородной задачи (0.5) с L = L(t),M = M(t), рассматриваемой в банаховом пространстве U. Как утверждает автор, предлагаемый метод построения отдельных решений не требует знания фундаментального решения и удобен при практическом отыскании решений. В частности, им можно пользоваться при нахождении приближенных решений.

В [91] исследовалось уравнение (0.5) в случае, когда L, М — вырожденные ограниченные операторы в банаховом пространстве U. Получены необходимые и достаточные условия существования подпространства вырожденной системы обыкновен- ' ных дифференциальных уравнений, которое определяется значениями присоединенных векторов L, в случае, когда операторы L и М коммутируют и оператор L имеет каноническую форму Жордана.

В работе А.Г.Руткас [141] методами классического и локального преобразования Лапласа и спектральной теории операторных пучков исследована задача Коши (0.1) для уравнения (0.6) в случае, когда L, М 6 С{Ы\Т. При изучении однородного уравнения основную роль играют аналитические свойства и рост функции R\ = (М + AL)-1L. В статье охарактеризованы нормальные решения, корректная и диссипативная задача Коши, введено понятие диссипативности пары операторов L и М в гильбертовых пространствах, даны описания начального многообразия или его частей при различных условиях. Результаты применяются к задачам рассеяния и прохождения сигналов в дискретных структурах.

Исследования [141] были обобщены Н.И.Радбель [135] на случай, когда в однородном уравнении (0.5) операторы L, М :U Т являются замкнутыми. На основе спектральных свойств операторного пучка M+XL исследуются свойства начального многообразия задачи Коши, определяется корректная и диссипа-тивная задачи Коши, доказана теорема, оценивающая близость этих условий к достаточным. Рассмотрен частный случай, когда domL С domM.

Н.А.Сидоров и М.А-.Фалалеев [196] рассматривали задачу Коши (0.1), (0.6) с операторами L, М £ С1(Ы;Т), причем имеет место вложение domL С domM. Оператор L имеет полный М-жорданов набор, f(t) — достаточно гладкая функция. Считая, что такие задачи не имеют классических решений, авторы исследовали разрешимость в классе обобщенных функций (распределений) и построили "обобщенные" решения дифференциального уравнения (0.6).

И.В.Мельникова и А.И.Филинков [97] исследовали корректность задачи Коши для уравнения второго порядка d2u Tdu %r . . — = L— + Mu, и(0) = и0, и'(0) = щ с замкнутыми операторами L, М в банаховом пространстве U. Показано, что в случае коммутирующих операторов L, М существует связь между корректностью задачи Коши на различных классах начальных данных и экспоненциальной ограниченностью решения. Установлена связь между корректностью. задачи Коши и корректностью системы уравнений первого порядка, к которой сводится уравнение. Все результаты получены на основе теории семейства К, N-функций, построенной в [92], порожденного операторами L, М и существование которого эквивалентно корректности задачи Коши [95]. При этом решение имеет вид u(t) = K(t)u0 + N(t)ui.

И.В.Мельникова и М.А.Альшанский [96] исследовали корректность задачи Коши в банаховом пространстве для уравнения-^.5) методами теории полугрупп и теории С-полугрупп.

Favini [229] ввел в рассмотрение задачу

-Lu{t) = Mu(t) + f(t) (0 < t < oo) (0.9)

X 6 limLu(i) = u0, (0.10) где L,M \ U —* T — замкнутые линейные операторы. Из существования, производной функции Lu(t) не следует, вообще говоря, дифференцируемость u(t), а из (0.10) не следует существование предела u(t) в нуле. Теоремы существования и единственности задачи (0.9), (0.10) сформулированы в терминах оператора M(XL — М)~К

В работе [223] рассматривалась задача Коши для операторного дифференциального уравнения (0.10) (ker L ф {0}), приводимого заменой v(t) = Lu{t) к дифференциальному включению + Kv{t) Э /(t). (0.U)

Здесь К = ML~l — линейное отношение, разложение которого сводит (при некоторых предположениях) включение (0.11), и тем самым уравнение (0.9), к уравнению без вырождения. Результаты получены на основе теоремы о выделении операторной однозначной части линейного отношения в рефлексивном вещественном банаховом пространстве.

Отметим, что автор [238] изучал задачу (0.6) полугрупповыми методами, отказавшись от требования замкнутости или даже замыкаемости операторов L и М.

J.E.Lagnuese [236] исследовал уравнение (0.6), исходя из ряда физических задач, в гильбертовом пространстве с самосопряженным оператором L (кетL ф {0}) и оператором М\ причем domM D domL и domM* D dom£. Кроме того, предполагается, что ker L инвариантно относительно М. Найдены условия однозначной разрешимости, включающие в себя некоторые условия гладкости f(t) и согласованности с начальным данным (см. также [231]).

R.E.Showalter [239] рассматривал абстрактную нелинейную задачу Коши (0.1), (0.2), когда L = L(t), М = M(t), f = f(t, и) в сепарабельном рефлексивном банаховом пространстве; L(t) предполагаются слабо измеримыми по t, а нелинейный член. f(t,u) измерим по t и Липшицев по и. Рассмотрены три типа решений: слабое, обобщенное и строгое. В различных предположениях получены теоремы (локальные и глобальные) существования и единственности рассматриваемых решений; обсуждается их взаимосвязь.

Далее обратимся к тем работам, в которых исследуется разрешимость начально-краевых задач для уравнения (0.2) в конкретных интерпретациях, возникших при моделировании различных реальных процессов.

С.Л.Соболев, используя методы гильбертова пространства, v установил корректность начально-краевой задачи для исследуемого им уравнения [199].

С.А.Гальперн с помощью Фурье-анализа и метода обобщенных функций показал, что задача Коши для уравнения вида

M(t, JL)ut + Lit, £)„ = о разрешима, и ее решение единственно и регулярно в классе функций, суммируемых с производной [21, 22].

А.Г.Костюченко и Г.И.Эскин [66] установили разрешимость задачи Коши для уравнений "типа Соболева — Гальперна" в классе экспоненциально растущих функций.

H.A.Levine [235] доказано, что если u(t) сильно непрерывно дифференцируемое решение уравнения du

L— = -Ми + F(u), F{ 0) = 0, «(0) = u0, где L и М — линейные положительно определенные операторы на плотной области определения вещественного или комплексного гильбертова пространства, a F удовлетворяет некоторым условиям, то интервал [0, Т) существования и ограничен. Рассматриваются приложения этих "абстрактных" результатов к конкретным уравнениям.

R.E.Showalter, T.W.Ting [242] рассматривали уравнение (0.6), в котором операторы L и М являются дифференциальными, причем L эллиптичен. L и М не зависят от i, но содержат переменные коэффициенты: п п

1 j=i г 3 п п д д п д м=- Е Е +Е :+т(ж)' t=i j=i г 3 t=i г где и = u(x,t) — скалярная функция, х Е П, Q С IRn — ограниченная область; domL и domM — плотные подмножества в гильбертовом пространстве U = L2(Q), L : domL Ы, М : domM —» U. Для уравнения (0.6) в гильбертовом пространстве U решается обобщенная смешанная краевая задача. Доказана теорема существования и единственности решения (0.6), показана его регулярность; обсуждено асимптотическое поведение решений. Рассматривается связь решения u\(t) "псевдопараболического " уравнения:

АА + I)u'x(t) - Aux(t) = 0, А < 0 и решения u(t) уравнения теплопроводности u'(t) - Au(t) = 0, которые удовлетворяют одному и тому же начальному и однородному краевому условию.

К работам данного направления также можно отнести исследования А.И.Кожанова [60], А.Л.Гладкова [24]. Так, например, последний рассматривал задачи для уравнения

1 - А)щ - А(|«Г2«) = / в П х IR при р > 2. Им же доказаны теоремы о непрерывной зависимости решений этих задач от начальных и граничных условий.

M.Bohm [221, 222] изучает нелинейное псевдопараболическое уравнение, моделирующее процесс диффузии в трещиноватых средах. Формулируя задачу для обыкновенного дифференциального уравнения и используя аппроксимацию Иосиды, автор получает оценки, из которых следует существование решений в гельдеровых и соболевских пространствах. Далее показывается единственность решения и непрерывная зависимость от начальных данных.

К абстрактной задаче (0.1), (0.2) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупругих жидкостей, "которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформаций после снятия напряжений" [110]. Связь тензора напряжений а й тензора скоростей деформаций D определяет тип жидкости. Соотношение между <т и D, называемое определяющим или реологическим, имеет вид

L Ы М Яга с1+Е =21/(1+£ ~рЕ'

1=1 тп=1 где {A;} I = 1, ., L — времена релаксаций, {эзт} т = 1, ., М — времена запаздывания , р — давление жидкости.

Простейшими из них являются жидкости Максвелла (L = 1, М = 0), жидкости Кельвина — Фойгта (L = 0,'М = 1) и жидкости Олдройта (L = М = 1). В жидкостях Максвелла напряжения после прекращения движения уменьшаются как ехр(—iAi-1), в жидкостях Кельвина — Фойгта при снятии напряжений скорость деформации уменьшается как ехр(—tsei'1), а в жидкостях Олдройта наблюдается как экспоненциальное релаксирование напряжений, так и экспоненциальное запаздывание деформаций.

Заметим, что в [176, 180] предлагается новая механическая модель несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта.

Подстановкой соответствующего реологического соотношения в уравнения движения несжимаемой жидкости щ + (и- V)u = Vo" + /, V • и = 0. в [109] получена система, представляющая собой обобщение системы уравнений Навье — Стокса, в которую она переходит при L = М = 0.

А.П.Осколков [101, 104] исследовал разрешимость в гельде-ровых и соболевских пространствах начально-краевой задачи в цилиндре Q х(0,Т) и(х, 0) = и0(х), х eft, u(x,t) = 0, (x,t) едПх (0,Т) для уравнения

Л - V2)uf = vV2u -Vp + f, V • и = 0, v — положительный параметр, Л > —Ai (Ai — наименьшее собственное число спектральной задачи —V2t> + Vp = Xv: V-v = 0, v = 0 на <9П).

В [101, 109] исследована разрешимость в пространстве L2(Q) начально-краевой задачи для "квазилинейной" системы уравнений

А - V2)ut = vV2u - (u • V)u - Vp + f, V • и = 0 в цилиндре Q х (0,Т), Q С IRn, п = 2, 3, 4 при А > -Аь

А.П.Осколков вместе с учениками Н.А.Каразеевой, А.А.Котсиолисом и Р.Д.Шадиевым [48, 67] построил теорию глобальной разрешимости на [0,оо] начально-краевых задач для течений жидкостей Олдройта (п = 2) и жидкостей Кельвина — Фойгта (п = 3 ), на основе которой возникла теория аттракторов и динамических систем, порождаемых этими начально-краевыми задачами. В [67] получены глобальные априорные оценки на полуоси IR+ для решений уравнений движения жидкостей Олдройта и жидкостей Кельвина — Фойгта.

В [105] уравнение движения жидкостей Кельвина — Фойгта сводится к операторному уравнению (0.3), t Е IR+, для которого исследуется ряд нелокальных проблем.

Заметим, что в [102, 106, 107] А.П.Осколковым рассматривались £ - аппроксимации для уравнений вязкоупругих сред и уравнений водных растворов полимеров.

В работах C.Guillope [232, 233] рассматривалось уравнение движения жидкости Олдройта. Полученные результаты аналогичны результатам А.П.Осколкова [101, 104, 109].

Теперь отметим работы, в которых проводились исследования в двух направлениях: разработка абстрактных результатов о разрешимости задачи (0.1), (0.2) и приложение полученных результатов к конкретным уравнениям и системам уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производной по времени.

К таким работам можно отнести [192], в которой Н.А.Сидоров и О.А.Романова изучали уравнение jt{Lu) = Ми + <?(«, t) + /(*) (0.12) с условием

0) = 0.

L : domL С U —» Т и М : domM С U —> Т — замкнутые линейные операторы с плотными областями определения. Оператор L имеет конечный индекс. С помощью некоторых результатов теории ветвления и псев до обратных операторов построено общее решение и псевдорешение задачи Коши для линейного уравнения (G(u,t) = 0), доказаны теоремы существования для нелинейной задачи.

Отметим, что О.А.Романова [140] изучала периодические решения уравнения (0.12) при тех же условиях на L и М, что и в [192], но кроме этих условий, еще предполагается, что domL С domM, где domM = U , если imЬф imL. Используя известный результат о построении о;-периодических решений дифференциального уравнения с фредгольмовым оператором при производной, автор строит и -периодические решения в регулярном случае для линейного уравнения, а также доказывает теоремы существования ш -периодических решений нелинейного уравнения.

На основе подхода [155, 156] автором [252, 253] обобщены соответствующие абстрактные линейные результаты [43] на случай задачи Коши (0.1) для полулинейного сингулярного уравнения

Lu = М(и), (0.13) где L :Ы —» Т — линейный непрерывный , фредгольмов оператор, а оператор М Е C°°(U; Т) нелинеен и гладок. Исследована разрешимость задачи Коши (0.1), (0.13) при условии lankPM^Q < dim kerb,

Q (P) —проектор на cokerL (ker L) вдоль imL(coimL) в T (U), a M'UQ — производная Фреше оператора M в точке и0 Е U. Доказана теорема, дающая достаточные условия разрешимости абстрактной задачи (0.1), (0.13). Описана процедура сведения сингулярной задачи (0.1), (0.13) к регулярной задаче й = Ф(«), и(0) = и0, (0.14) определенной на некотором множестве Л4, которое является фазовым пространством уравнения (0.13). (Под фазовым пространством уравнения (0.13) понимается непустое подмножество М. С U со свойствами: а) М. —гладкое банахово многообразие, регулярно вложенное в 1Л\ б) \/щ £ Л4 существует единственное решение задачи (0.1), (0.13) в) Л4 содержит все решения уравнения (0.13)). Установлена структура множества Л4. Полученные абстрактные результаты прилагаются к конкретным задачам: моделям движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого и ненулевого порядка.

Проблема описания множества допустимых начальных значений задачи (0.1), (0.13) для соответствующей линейной задачи в динамическом случае, когда имеет место нестрогое вложение Ul С Um (в отличие от эволюционного случая, когда вложение Ым С Ul строго), полностью решена С.П.Зубовой и К.И.Чернышовым- [43]. {Ul, Ым — области определения domL, domM операторов L, М с заданными на них нормами графика.)

В [147] заложен фундамент единой концепции, в рамках которой возможно рассмотрение как динамического, так и эволюционного случаев задачи (0.1), (0.13). Были введены в рассмотрение относительно ограниченные ж относительно секториалъные операторы, которые при исследовании задачи (0.1), (0.5) играют ту же роль, какую ограниченные и секториальные операторы играют при исследовании задачи (0.1), (0.4) с линейным оператором Т. Это привело к необходимости рассмотрения аналитических групп (полугрупп) с ядрами, среди которых — группы (полугруппы) разрешающих операторов уравнения (0.5) [8, 35, 208].

В тезисах докладов [166, 167, 169] отмечались релаксационные эффекты уравнения

L + eK)u = M(u), где L : domL —► Т — линейный замкнутый фредгольмов опера* тор indL = 0 с плотной ъ U областью определения;' К :U Т — линейный непрерывный оператор; М Е C°°(U\F) — нелинейный оператор.

Обзор некоторых других нелинейных уравнений, не разре-. шенных относительно производной, имеется в [73] (п. 2.26).

В настоящее время интерес к исследованию указанных уравнений не ослабевает, о чем свидетельствует, например, монография [29].

Содержание диссертации. Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию неавтономных уравнений соболевского типа (0.2), моделирующих несжимаемые вязкоупру-гие жидкости. Работа состоит из трех глав.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней приводятся все необходимые сведения из теории относительно р-секториальных операторов и соответствующих им полугрупп, поскольку эта теория является основой наших исследований и используется в дальнейших наших рассмотрениях.

В п.п. 1.1 — 1.3 приведены результаты из теории относительно спектрально ограниченных операторов и порождаемых ими * разрешающих групп уравнения (0.5). Отметим, что несколько неуклюжий термин "относительно спектрально ограниченный оператор" [148, 163] введен для того, чтобы впредь не было путаницы с термином "относительно ограниченный оператор", введенным ранее по другому поводу Т.Като [49, гл. 6]. Изложенные здесь результаты обобщают и существенно развивают результаты С.Г.Крейна и К.И.Чернышова [71], которые установили расщепление пространств Ы — + К1, Т = + Тх и расщепление действий операторов L, М :Ык —> Тк, к = 0, 1, в * случае, когда оператор М £ С(Ы\ F) спектрально ограничен относительно фредгольмова оператора L. Их подход заключается в разложении оператор-функции (L — АМ)-1М в окрестности точки нуль в ряд Лорана и последующем изучении соотношений между членами этого ряда.

Подход, изложенный в п.п. 1.1 — 1.3, заключается в буквальном следовании случаю ограниченного оператора. Именно, здесь строятся разрешающие группы уравнения (0.5) и последовательно рассматриваются все относящиеся к ним вопросы. Не оставлены без внимания и прикладные аспекты данной теории. В настоящее время очень сложно проверить относительную спектральную ограниченность какого-либо оператора в приложениях. Поэтому выделены достаточные (а в некоторых случаях и необходимые) условия (Al) — (А4) относительной спектральной ограниченности, которые охватывают достаточно широкий класс прикладных задач. Основную роль в этих условиях играют относительно присоединенные векторы, которые впервые ввел в рассмотрение В.А.Треногин [12].

Результаты первой главы (п.п. 1.4 — 1.6), касающиеся от-г носительно р-секториальных операторов, не имеют аналогов в мировой математической литературе. Здесь вводятся относительно р-секториальные операторы и порождаемые ими аналитические разрешающие полугруппы уравнения (0.5). Несмотря на старание буквально следовать случаю секториального оператора, здесь приходится решать ряд нетрадиционных для теории полугрупп операторов проблем. В качестве примера можно привести проблему существования единиц разрешающих полугрупп. Для решения этой проблемы потребовалось новое понятие сильной (L}p) - векториальности оператора М справа или слева. Это понятие совершенно естественно в случае секториального оператора, однако приведенный в п. 1.6 контрпример утверждает существование (L,p) -секториального, но не сильно (L,p) -секториального оператора М.

К сожалению, изложение первой главы не лишено недостатков. К ним, в частности нужно отнести отсутствие условий типа (Al) — (А4), благодаря которым можно было бы проверять (L,p) -секториальность оператора М в приложениях.

Во второй и третьей главах содержатся основные результаты, выдвигаемые на защиту. Вторая глава посвящена исследованию задачи (0.1), (0.2) в случае, когда оператор М является (L, сг)-ограниченным относительно оператора L, и соответствующие динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

В п.2.1 изучается разрешимость задачи Коши (0.1) для линейного неоднородного уравнения (0.6).

П.п.2.2 — 2.4 содержат применение соответствующей линейной теории к исследованию линеаризованных моделей движения несжимаемых вязкоупругих жидкостей. В этих параграфах получены теоремы существования единственного решения задачи Коши-Дирихле для соответствующих линеаризованных систем уравнений и получено описание их фазового пространства. Показано, что во всех рассматриваемых моделях фазовым пространством является полное аффинное многообразие, диффео-морфное некоторому подпространству в U. Заметим, что задачи п.2.3 и п.2.4 поставлены и изучены впервые, а результаты, полученные для них, можно рассматривать как обобщение соответствующих результатов п.2.2.

В п. 2.5 исследуется задача Коши (0.1) для неавтономного уравнения (0.2) при условиях, при которых оператор М является (L, сг) -ограниченным относительно бирасщепляющего оператора L [9]. Эти условия формулируютя с помощью понятия относительно присоединенных векторов [12] и достаточно просто проверяются в приложениях.

Сформулирована и доказана теорема 2.5.1, дающая доста-. точные условия существования единственного локального решения задачи (0.1), (0.2), являющегося квазистационарной траекторией.

Необходимость введения понятия "квазистационарная траектория" обусловлена тем, что решение задачи (0.1), (0.2) может быть неединственным. Отметим, что А.С.Зильберглейтом используется понятие квазистационарного решения [40].

Для удобства рассмотрений вводится новое понятие — понятие конфигурационного пространства, — обобщающего понятие фазового пространства в автономном случае (определение 2.5.2).

В п. 2.6 исследуется задача Коши — Дирихле для системы уравнений, моделирующей движение несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка, в п. 2.7 — задача Тейлора для этой системы. П. 2.8 и п. 2.9 посвящены моделям движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого и высшего порядка соответственно. Во всех этих моделях оператор М является (L, а) -ограниченным, причем любой вектор ф Е ker L \ {0} имеет точно один М-присоединенный вектор. Приведены полные описания конфигурационных пространств рассматриваемых задач.

Третья глава содержит результаты о разрешимости задачи (0.1), (0.2) в случае (L,p) -секториальности оператора М, и исследование соответствующих эволюционных моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

В п. 3.1 изучается задача (0.1), (0.2) в предположении, что оператор М сильно (L,p) -секториален.

В теореме 3.1.1 приводятся необходимые условия существования квазистационарных полутраекторий, а в теореме 3.1.2 — достаточные условия существования единственного решения задачи (0.1), (0.2), являющегося квазистационарной полутраекторией. Понятие "квазистационарной полутраектории" обобщает на эволюционный случай понятие "квазистационарной траектории", введенное в п.2.5.1.

П.п. 3.2 — 3.4 посвящены приложениям полученных в п.3.1 абстрактных результатов к исследованию эволюционных моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

В п. 3.2 исследуется неавтономная система термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта нулевого порядка. В этой ситуации оператор М является сильно

X, 1) -секториальным.

В п.3.3 и 3.4 впервые исследуется задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого и высшего порядка соответственно. Здесь оператор М также является сильно (Z, 1)-секториальным. Даны полные описания конфигурационных пространств указанных прикладных задач.

Все указанные нелинейные прикладные задачи во второй и третьей главах в данной постановке рассматриваются впервые; и результаты, полученные для них, являются новыми.

Абстрактные результаты второй и третьей глав существенно дополняют и развивают представленную теорию, а также обобщают соответствующие результаты, полученные ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими [43, 71] и челябинскими [208] математиками. Эти исследования позволили изучить некоторый класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей и получить для них теоремы существования единственного решения.

Необходимость качественного исследования диктуется требованиями численного анализа. Невозможна разработка, какого-либо алгоритма решения без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред возможен только после решения принципиальных вопросов качественного анализа. Поэтому, несмотря на то, что диссертация содержит теоретические результаты, ее практическая ценность заключается в пропедевтике будущих возможных ошибок при построении численных алгоритмов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на совместных заседаниях семинара им. Г.И.Петровского и Московского математического общества (МГУ, 1995, 1998 гг.) [250, 272], на Воронежской зимней математической школе в 1995 г. [266], на международной конференции по математической физике (Кисегач, Челябинск, 1995 г.), на международной конференции и Чебышевских чтениях, посвященных 175-летию со дня рождения П.Л.Чебышева (Москва, 1996 г.) [255], на международной математической конференции "Topological, variational&singularities methods in nonlinear analysis" (Гданьск, 1997 г.), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия" (Челябинск, 1997 г.) [281], на третьем и четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998, 2000 гг.) [254, 258], на девятом международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям (Пловдив, 1998 г.) [261], на международных конференциях в Новосибирске [246], Челябинске [247] и Великом Новгороде [274, 285].

А также были представлены на III международном конгрессе по индустриальной и прикладной математике (Гамбург, 1995 г.) [265], на международной конференции по нелинейным дифферен-. циальным уравнениям (Киев, 1995 г.) [248], на математических школах [178, 181, 256, 271], на шестой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1996 г.) [270], на Всероссийской конференции, посвященной памяти В.К.Иванова (Екатеринбург, 1998 г.) [279], на международных сиппозиумах по нелинейной теории и ее приложениям (NOLTA'93, NOLTA'95, NOLTA'96), на международной конференции в Петрозаводске [278, 284] и семинаре [180].

Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре под рук. проф. Г.А.Свиридюка (Челябинский государственный университет), на семинаре под рук. проф. Ю.А.Дубинского (Московский энергетический институт), на семинаре под рук. проф. А.И.Прилепко (Московский государственный университет), на семинаре под рук. проф.

A.П.Солдатова в Новгородском государственном университете (неоднократно); а также на семинарах "Математическое моделирование механики сплошных сред" (рук. член-корр. РАН

B.Н.Монахов, член-корр. РАН П.И.Плотников) ИГиЛ, "Неклассические уравнения математической физики" (рук. проф. В.Ы.Врагов)) ИМ СО РАН, "Качественная теория дифференциальных уравнений" (рук. проф. Г1'. И .,'^е.ттеня~к1) ИМ СО РАН, на объединенном семинаре кафедры теории функций Новосибирского государственного университета (рук. академик РАН М.М.Лаврентьев).

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность научному консультанту профессору Георгию Анатольевичу Свиридюку за помощь, поддержку и многочисленные беседы, способствовавшие написанию данной работы, проф. А.П.Осколкову за постановку задач и постоянный интерес к данным исследованиям, коллегам по работе за теплый микроклимат; Международному научному фонду Дж.Сороса и Российскому фонду фундаментальных исследований за финансовую поддержку (грант ISF(1993), гранты ISSEP d95-1320, d97-756, d99-1024, грант РФФИ(1998)).

-371. ПОЛУГРУППОВОЙ подход

Заключение

Таким образом, на основе полугруппового подхода, в данной работе удалось рассмотреть определенный класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей, провести их качественное исследование.

В диссертации получены следующие основные результаты:

- Изучены линеаризованные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей различных порядков. Получено описание фазовых пространств этих задач.

- Исследована разрешимость задачи (0.1), (0.2) при условиях, при которых оператор М является сг-ограниченным относительно бирасщепляющего оператора L и соответствующие динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

- Исследована разрешимость указанной задачи в предположении, что оператор М сильно (L,p) -секториален и и соответствующие эволюционные модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей.

- Описаны нормальные формы и конфигурационные пространства полулинейного неавтономного уравнения (0.2) в указанных случаях. Приведены полные описания конфигурационных пространств указанных моделей.

- Доказаны теоремы, дающие достаточные (необходимые) условия существования единственного решения задачи (0.1), (0.2), являющегося квазистационарной полутраекторией.

Отметим, что все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые; и результаты, полученные для них, являются новыми. Исследования базируются на строгих математических доказательствах, причем в соответствующих частных случаях получаются известные результаты.

Абстрактные результаты второй и третьей глав существенно дополняют и развивают представленную теорию и обобщают соответствующие результаты, полученные ранее для линейного абстрактного уравнения воронежскими и челябинскими математиками. Эти исследования позволили изучить некоторый класс математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей и получить для них теоремы существования единственного решения.

Однако этими задачами приложения указанной теории не исчерпываются. По-видимому, на основании гипотезы [212], возможно рассмотрение систем для потока указанных жидкостей в магнитном поле Земли. Можно провести изучение различных математических моделей и в автономном случае. Исследования в данном направлении в настоящее время активно ведет О.П.Матвеева [284].

Представляет интерес и качественное исследование линеаризованных математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей в случае, когда параметр эз-1 (см., например, модель (2.3.1)) принадлежит спектру соответствующего оператора, определяемого оператором JS, а также исследование соответствующих задач термоконвекции. В этом направлении успешно работает М.Н.Даугавет [278].

Необходимость качественного исследования указанных математических моделей продиктована требованиями численного анализа. Разработка какого-либо алгоритма решения невозможна без точного указания множества, в котором находится решение задачи как траектория. Только после решения принципиальных вопросов качественного анализа возможен численный анализ конкретных моделей динамики вязкоупругих сред. Поэтому, несмотря на то, что диссертация содержит теоретические результаты, ее практическая ценность заключается в пропедевтике будущих возможных ошибок при построении численных алгоритмов.

Вполне возможно говорить и о развитии полугруппового подхода к исследованию полулинейных уравнений соболевского типа в случае, когда оператор М в уравнении (0.2) является (L,p)-радиальным [243]. Но это дело будущего.

Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории разрешимости задачи Коши для уравнений соболевского типа. Они могут найти применение в исследованиях, проводимых в Воронежском, Новосибирском, Новгородском, Уральском и Челябинском университетах, ИМ СО РАН, а также в других университетах и математических институтах.

Итак, в данной диссертации заложены основы полугруппового подхода к исследованию математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей, и дальнейшее развитие этого подхода представляет несомненный интерес. Поэтому можно говорить о новом научном направлении, основы которого заложены в указанной работе.

1. Агранович М.С., Вишик М.И. Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида // Успехи матем. наук. 1964. Т. 19 №3. С.53 — 161.

2. Александрян Р.А. Спектральные свойства операторов, порожденных системами дифференциальных уравнений типа С.Л.Соболева // Тр. ММО. 1960. Т.9. С.455 — 505.

3. Амфйлохиев В:Б., Войтхунский Я.И., Мазаева Н.П., Ходорковский Я.С. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Труды Ленингр. кораблестр. ин-та. 1975. Вып.96. С.З — 9.

4. Аносов Д.В. Фазовое пространство. В кн.: Математическая энциклопедия. Т.5. С.587. — М.: Советская энциклопедия, 1985.

5. Баренблатт Г.И., Желтое Ю.П., Кочина И.Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // ПММ. 1960. Т.24, №5. С.58 — 73.

6. Березанский ЮЖ. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

7. Берг ИЛефстрем И. Интерполяционные пространства. М.: Мир, 1980.

8. Бокарева Т.А. Исследование фазовых пространств уравнений типа Соболева с относительно секториальными oneраторами. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Санкт-Петербург, 1993. — 107 с.

9. Борисович Ю.Г., Звягин В.Г., Сапронов Ю.И. Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере-Шаудера // Успехи матем. наук. 1977. Т.32, №4. С.З — 54.

10. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Наука, 1988. — 156 с.

11. Васильев В.В., Крейн С.Г., Пискарев С.И. Полугруппы операторов, косинус оператор-функции и дифференциальные уравнения // Итоги науки и техн. Сер. Матем. анализ. ВИНИТИ. 1990. Т.28. С.87 — 202. .

12. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. — 527 с.

13. Вишик М.И. Задача Коши для уравнений с операторными коэффициентами, смешанная краевая задача для систем дифференциальных уравнений и приближенный метод их решения // Мат. сб. 1956. Т.38, вып.1. С.51 — 148.

14. Власенко Л.А., Руткас А.Г. Теоремы единственности и аппроксимации для одного вырожденного операторно-дифференциального уравнения // Матем.' заметки. 1996. Т.60, №4 . С.597 — 601.

15. В о ль мир А.С. Устойчивость деформируемых систем. М. Наука, 1967.

16. Ворович И.И., Юдович В.И. Стационарные течения вязкой несжимаемой жидкости // Мат. сб. 1961. Т.53, вып.2. С.393 — 428.

17. Врагов В.Н. Краевые задачи для неклассических уравнений математической физики // Новосибирск: Новосибирский госуниверситет. 1983. 84 с.

18. Vragov V.N., Kozhanov A.I., Pyatkov S.G., Glazatov S.N. On the theory of nonclassical equations of mathematical phisics // Conditionally well-posed problems. Moscow, Utrecht: TVP/TSP. 1993. P.299 — 321.

19. Габов С.А., Шевцов В.А. Об одном дифференциальном уравнении типа уравнения Соболева // ДАН СССР. 1984. Т.286, №1. С.14 — 17.

20. Гаевский X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторно-дифференциальные уравнения // М.: Мир. 1978. 336 с.

21. Галъперн С.А. Задача Коши для общих систем линейных уравнений с частными производными// Успехи матем. наук. 1963. Т.18, вып.2. С.239 — 249.

22. Галъперн С.А. Задача Коши для уравнений Соболева // Сиб. матем. журн. 1963. Т.4, JNM. С.758 — 774.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988.— 552 с.

24. Гладков А.Л. О растущих решениях эволюционных и стационарных линейных уравнений с частными производными второго и третьего порядков: Автореф. дис. на соиск. учен, степ. канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. — М., 1985. — 11 с.

25. Горевчук О.В. Краевая задача для одного класса нелиней-' ных вырождающихся параболических уравнений // Сиб. матем. журн. 1997. Т.38, №6. С.1222 — 1239.

26. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. — М.: Наука, 1965. — 448 с.

27. Данфорд П., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 726 с.

28. Демиденко Г.В. Задача Коши для псевдопараболических систем // Сиб. матем. журн. 1997. Т.38, №6. С.1251 — 1266, 1440.

29. Демиденко Г.В., Успенский С.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно производной. Научная книга, Новосибирск, 1998.

30. Демиденко Г.В., Янов С.И. О смешанных краевых задачах в четверти пространства для одного класса систем не типа Коши-Ковалевской // Дифференц. уравн. 1998. Т.34, №3. С.348 — 358, 430.

31. Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод-со свободной поверхностью // ДАН СССР. 1972. Т.202, №5. С.1031 — 1033.

32. Диткин В.В. О некоторых спектральных свойствах пучка линейных ограниченных операторов // Мат. заметки. 1982. Т.31, №1. С.75 — 79.

33. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка // Матем. сб. 1973. Т.90(132), №1. С.З — 22.

34. Дубинский Ю.А. Смешанные задачи для некоторых классов дифференциальных уравнений с частными производными // Труды Моск. матем. о-ва. 1969. Т.20. С.205 — 240.

35. Дудко Л.Л. Исследование полугрупп операторов с ядрами //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Новгород: НовГУ. 1996.88 с.

36. Егоров И.Е., Федоров В.Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка.- Новосибирск: ВЦ СО РАН, 1995. 133 с.

37. Ефремов А.А. Исследование оптимального управления линейными уравнениями типа Соболева //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1996. 102 с.

38. Зеленяк Т.И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. Новосибирск, 1970. — 164 с.

39. Зеленяк Т.И. Об обобщенных собственных функциях оператора, связанного с одной задачей С.Л.Соболева j j Сиб. мат. журн. 1968. Т.9, №5. С.1075 — 1095.

40. Зилъберглейт А.С. О квазистационарных решениях нелинейных автономных систем // Дифференц. уравн. 1989. Т.25, №10. С.1807 — 1809.

41. Зубов Н.В. Теорема существования и единственности для одной нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, не приводимой к нормальному виду //В кн. Матем. теория управления техн. объектами. — JI. Изд. ЛГУ, 1982. С.19 —26.

42. Зубова С.П. О задаче Коши для дифференциального уравнения с сингулярным возмущением в банаховом пространстве // ДАН СССР. 1982. Т.264, вып.2. С.286 — 291.

43. Зубова С.П., Чернышов К.И. О линейном дифференциальном уравнении с фредгольмовым оператором при производной // Дифференц. уравнения и их применение. 1976. Т.14. С.21 — 39.

44. Зубова С.П., Чернышов К.И. О дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной //В сб. Методы решения операторных уравнений. Воронеж. 1978. С.62 —- 65.

45. Иосида К. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — 524 с.

46. Канторович Л.В,, Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

47. Капитанский JI.В., Пилецкас К.Е. О некоторых задачах векторного анализа.// Записки научн. сем. ЛОМИ. 1984. Т.138. С.65 — 85.

48. Каразеева И.А., Еотсиолис А.А., Осколков А.П. Об аттракторах и динамических системах, порождаемых начально-краевыми задачами для уравнений движения линейных вязкоупругих жидкостей // Препринт ЛОМИ им. В.А.Стеклова. Р.-10-88. — Ленинград, 1988. — 58 с.

49. Като Т. Теория возмущений линейных операторов.- М.: Мир, 1972. — 740 с.

50. Кведарас Б. О свойствах решений вырожденного линейного дифференциального уравнения // Лит. мат. сб. 1977. Т.17, №1.0.115 — 125.

51. Кведарас В., Мационис И. Задача Коши для вырожденного дифференциального уравнения // Лит. мат. сб. 1975. Т.15, №3. С.121 — 131.

52. Келлер А.В. Исследование ограниченных решений линейных уравнений типа Соболева //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1997. 115 с.

53. Клемент Ф., Хейнманс X., Ангенент С., ван Дуйн К., де Шахтер В., Однопараметрические полугруппы. Абстрактные дифференциальные уравнения с приложениями. — М.: Мир, 1992. — 351 с.

54. Кожанов А.И. Задача с косой производной для некоторых псевдопараболических и близких к ним уравнений // Сиб. матем. журн. 1996. Т.37, №6. С. 1335 — 1346.

55. Кожанов А.И. Краевая задача для одного класса уравнений третьего порядка // ДАН СССР. 1979. Т.249, №3. С.536 — 539.

56. Кожанов А.И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка. — Новосибирск: НГУ, 1990. — 132 с.

57. Кожанов А.И. Некоторые классы нестационарных уравнений с растущими младшими членами // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, Ш. С.875 — 885.

58. Кожанов А.И. О краевых задачах для некоторых классов уравнений высокого порядка, не разрешенных относительно старшей производной // Сиб. матем. журн. 1994. Т.35, №2. С.359 — 376.

59. Кожанов А.И. О свойствах решений для одного класса псевдопараболических, уравнений // ДАН СССР. 1992. Т.326, №5. С.781 — 786.

60. Кожанов А.И. Смешанная задача для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка // Матем. сб. 1980. Т.118, №4. С.504 — 522.

61. Кожанов А.И. Существование "почти регулярных" решений граничной задачи для одного класса линейных соболевских уравнений нечетного порядка j J Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1997. Т.4, Ш. С.29 — 37.

62. Кожанов А.И. Существование регулярных решений первой краевой задачи для одного класса уравнений соболевского типа переменного направления // Матем. заметки Якут. гос. ун-та. 1997. Т.4, №2. С.39 — 48, 136.

63. Кожанов А. И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений // Препр./ Ин-т матем. СО РАН. 1998, №54. С.1 —28.

64. Козлов В.А. О спектре операторного пучка, порожденного задачей Дирихле для эллиптического уравнения в угле // Мат. заметки. 1989. Т.45, №5. С.117 — 118.

65. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Метод обращения возмущенных на спектре линейных операторов и некоторые его применения //В сб. Проблемы асимптотической теории нелинейных колебаний. — Киев.: 1977. С.107 — 114.

66. Костюченко А.Г., Эскин Г.И. Задача Коши для уравнения типа Соболева-Гальперна// Тр. Моск. матем. об-ва. 1961. Т.9. С.401 — 423.

67. Котсиолис А.А., Осколков А.П., Шадиев Р.Д. Глобальные априорные оценки на полуоси t > 0, асимптотическая устойчивость и периодичность по времени "малых" решений уравнений движения жидкостей Олдройта и жидкостей

68. Кельвина-Фойгта. Препринт ЛОМИ. Р-10-89. Л., 1989. — 65 с.

69. Крейн С.Г. О сингулярно возмущенных линейных дифференциальных уравнениях в банаховом пространстве // Лиф. уравнения. 1985. Т.21, №11. С.1814 — 1817.

70. Крейн С.Г. О функциональных свойствах операторов векторного анализа и гидродинамики// ДАН СССР. 1953. Т. 93, Ш 6. С. 969-972.

71. Крейн С.Г., Осипов В.Б. Функции Ляпунова и задачи Коши для некоторых систем уравнений в частных производных // Диф. уравнения. 1970. Т.6, №11. С.2053 — 2061.

72. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Сингулярно возмущенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве // Препринт ин-та математики СО АН СССР. Новосибирск. 1979. 18 с.

73. Крейн С.Г., Чернышов К.И. Поведение решений общих линейных систем, мероморфно зависящих от малого параметра // ДАН СССР. 1981. Т.260, вып.З. С.530 — 535.

74. Крейн С.Г., Хазан М.И. Дифференциальные уравнения в банаховом пространстве //В кн. Соврем, проблемы математики. Матем. анализ. — изд. ВИНИТИ. 1983, вып.21. С.130 — 264.

75. Кузнецов Г.А. Исследование относительно спектральных свойств линейных оераторов //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1999.

76. Лаврентьев М.М. (мл.) О разрешимости краевых задачах для некоторых параболических уравнений с вырождениями // Сиб. матем. журн. 1987. Т.28, №2. С.79 — 95.

77. Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, изд. 2. — М.: Наука, 1970. — 288 с.

78. Ладыженская О.А. О решении нестационарных операторных уравнений // Матем. сб. 1956. Т.39(81), Ш. С.491 — 524.

79. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уралъцева Н.Е. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. — М.: Наука, 1967. — 736 с.

80. Ладыженская О.А., Уралъцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. изд. 2. — М.: Наука, 1973. — 576 с.

81. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика, изд. 3. — М.: Наука, 1986. — 736 с.

82. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1967. — 203 с.

83. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.: Мир, 1972. — 587 с.

84. Мазья В.Г. Пространства С.Л.Соболева. — Л.: Изд-во Ле-нингр. ун-та, 1985.

85. Маркус А.С. Введение в спектральную теорию полиномиальных операторных пучков. Кишинев: Штиинца, 1986.

86. Марсден Дою., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла, и ее приложения. — М.: Мир, 1980. — 368 с.

87. Масленникова В.Н. Оценки в Lp и асимптотика при t —* оо решения задачи Коши для системы Соболева// Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1968. Т.103. С.117 — 141.

88. Масленникова В.Н. Явные представления и априорные оценки решений граничных задач для систем Соболева // Сиб. матем. журн. 1968. Т.9, №5. С.1182 — 1198.

89. Матвеева И.И. Задача Коши для систем с вырожденной матрицей при производной по времени // Сиб. матем. журн. 1998. Т.39, т. С.1338 — 1356.

90. Матвеева Н.П., Монахов В.Н. Встречные потоки решений квазилинейных параболических уравнений с вырождением при производной по времени j j Матем. заметки ЯГУ. 1998. Т.5. Вып. 2. С.37 — 45.

91. Матвеева Н.Н., Монахов В.Н., Попов С.В. Оценка модуля пространственной производной решения задачи о встречных потоках для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды. 1998. Вып 113. С.103 — 106.

92. Маценис И. Структура решения вырожденной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Диф. уравнения и их применение. Вильнюс. 1986. Вып.38. С.53 — 57.

93. Мельникова И.В. Корректность задачи Коши для уравнений второго порядка и свойства обобщенной резольвенты // Леи ВИНИТИ. 1982. № 5523-82. Свердловск. 10 с.

94. Мельникова И.В. Метод интегрированных полугрупп для ' задачи Коши в банаховых пространствах// Сиб. матем. журн. 1999. Т.40, №1. С.119 — 129.

95. Мельникова И.В. Свойства d-полугрупп Лионса и обобщенная корректность задачи Коши // Дифференц. уравнения. 1998. Т.31, №3. С.23 — 34, 95.

96. Мельникова И.В. Семейство М, N оператор-функций уравнений второго порядка в банаховом пространстве// Изв. вузов. Математика. 1985. №2. С.45 — 52.

97. Мельникова И.В., Альшанский М.А. Корректность вырожденной задачи Коши в банаховом пространстве // Докл. РАН. 1994. Т.336, Ш. С.17 —20.

98. Мельникова И.В., Филинков А.В. Связь корректности задачи Коши для уравнений и систем в банаховом пространстве// Докл. РАН. 1988. Т.300, №2. С.280 — 284.

99. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.- 504 с.

100. Морен К: Методы гильбертова пространства. — М.: Мир, 1965. — 570 с.

101. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

102. Осколков А.П. К теории жидкостей Фойгта // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1980. Т.96. С.233 — 236.

103. Осколков А.П. Метод штрафа для уравнений вязкоупругих сред. The penalty method for the equations of viscoelastic media // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1995. Т.224. С.267 — 278. Англ.

104. Осколков А.П. Начально-краевая задача с проскальзыванием для уравнений водных растворов полимеров со штрафом // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1994. Т.210. С.241 — 250.

105. Осколков А.П. Начально-краевые задачи для уравнений движения жидкостей Кельвина-Фойгта и жидкостей Олдройта // Труды матем. ин-та АН СССР. 1988. №179. С.126 — 164.

106. Осколков А.П. Нелокальные проблемы для одного класса нелинейных операторных уравнений, возникающих в теории уравнений типа С.Л.Соболева // Записки научн. семин. ЛОМИ. 1991. Т.198. С.31 — 48.

107. Осколков А.П. Нелокальные проблемы для уравнений жидкостей Кельвина-Фойгта и их е-аппроксимаций // Записки научн. семин. ПОМИ. 1995. Т.221. С.185 — 207.

108. Осколков А.П. Начально-краевая задача с проскальзыванием для уравнений водных растворов полимеров со штрафом // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1994. Т.210. С.241 — 250.

109. Осколков А.П. Об асимптотическом поведении при t —► оо решений начально-краевых задач для уравнений движениявязкоупругих жидкостей// Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1989. Т. 171. С. 174-181.

110. Осколков А.П. О некоторых нестационарных линейных и квазилинейных системах, встречающихся при изучении движения вязких жидкостей // Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР. 1976. Т.59. С.133 — 177.

111. Осколков А.П. О нестационарных течениях вязкоупругих жидкостей// // Труды матем. ин-та АН СССР. 1983. №159. С.101 — 130.

112. Осколков А.П., Ахматов М.М., Котсиолис А.А. Об уравнениях движения линейных вязкоупругих жидкостей и уравнениях фильтрации жидкостей с запаздыванием// Зап. науч. семин. ЛОМИ АН СССР. 1987. T.i63. С.132 — 136.

113. Петрушко И.М. Краевые задачи для уравнений смешанного типа // Труды Матем. ин-та им. Стеклова. 1968. Т.103. С.181 — 200.

114. Плоткин Я.Д.} Турбин А.Ф. Разложения сингулярно возмущенных аналитических полугрупп операторов // Препринт ин-та математики АН УССР. 1978. №19. 44 с.

115. Плотников П.И. Слабые пределы решений нелинейного уравнения второго порядка с малым параметром при старшей производной // Актуал. пробл. соврем, мат. 1996. Т.2. С.119 —131.

116. Поволоцкий А.И., Свиридюк ГА. Задача Коши для сингулярного уравнения типа Соболева // Функц. анал. Лин. пр-ва. Ульяновск, 1986, С.130 — 135.

117. Поволоцкий А.И., Свиридюк Г.А. О дихотомии решений одного класса уравнений типа Соболева // Операторы и их прилож. Ленинград, 1988. С.71 — 75. .

118. Подгаев А.Г. О граничных задачах для некоторых квазилинейных параболических уравнений с неклассическими вырождениями // Сиб. матем. журн. 1987. Т.28, №2. С.129 — 139.

119. Полубаринова-Кочииа П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1997. 664 с.

120. Пятков С.Г. Базисность по Риссу собственных и присоединенных элементов линейных самосопряженных пучков // Мат. сборник. 1994. Т.185, №3. С.93 — 116.

121. Пятков С.Г. Индефинитные спектральные задачи и их приложения к теории краевых задач для уравнений математической физики. // Дисс. . докт. физ.-матем. наук. Новосибирск, 1994. — 242 с.

122. Пятков С.Г. Индефинитные эллиптические спектральные задачи // Сибир. матем. жур. 1998. Т.39, №2. С.409 — 426.

123. Пятков С.Г. Краевые задачи для некоторых уравнений и систем, возникающих в теории электрических цепей // Ак-туал. вопр. соврем, матем. 1995. Т.1. С.121 — 133.

124. Пятков С.Г. Некоторые свойства собственных функций линейных пучков // Сибир. матем. жур. 1989. Т.30, №4. С.111 —124.

125. Пятков С.Г. О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков // Матем. заметки. 1992. Т.51, вып.1. С.141 — 148.

126. Пятков С.Г. О разрешимости одной краевой задачи для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // ДАН СССР. 1985. Т.285, №6. С.1322 — 1327.

127. Пятков С.Г. Разрешимость краевых задач для одного уравнения смешанного типа второго порядка // Неклассические диф. уравнения в частных производных: Сб. научн. трудов/ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. Новосибирск. 1988. С.77 — 90.

128. Пятков С.Г. О свойствах собственных функций одной спектральной задачи и их приложения // Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики: Сб. научн. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1984. С.115 — 130.

129. Пятков С.Г. Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения фукционального анализа к задачам математической физики: Сб. научн. тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т математики. 1986. С. 65-84.

130. Pyatkov S.G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Sibirian Adv. Math. 1994. V.4, №2. P.87 — 127.

131. Pyatkov S. G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems. Operator theory: Advances and Applications. Birkhauser Verlag Basel-Switzeland. 1998. V.102. P. 179 — 200.

132. Pyatkov S.G. Maximal semidefinite invariant subspaces for some classes of operators // Conditionally well-posed problems. Moscow, Utrecht: TVP/TSP. 1993. P.336 — 338.

133. Pyatkov S.G. Riesz's bases from the eigenvectors and associated vectors of elliptic eigenvalue problems with an indefinite .weight function // Sibirian J. Differential Equations. 1994. V.l, №2. P.87 — 104.

134. Pyatkov S. G. Some properties of eigen functions of linear pencils and applications to mixed type operator-differential equations // Partial Diff. equations. Banach center publications. Warrzava. 1992. V.27, Part 2. P.373 — 382.

135. Радбелъ Е.И. Неканонические дифференциальные уравнения и возмущенные полугруппы// Донецк, гос. ун-т. Донецк, 1998. - 10 с. - Библиогр.: 6 назв. - Рус. - Деп. в ГНТБ Украины 23.11.98, №465-Ук98.

136. Радбелъ Н.И. О начальном многообразии и диссипативно-сти задачи Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = 0 // Дифферент уравн. 1979. Т.15, №6. С.1142 — 1143.

137. Рид М., Саймон В. Методы современной математической физики. Т.1. М.: Мир, 1977.

138. Рисс Ф., Секефалъви-Еадъ Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

139. Романко В.К. Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений // Дифференц. уравнения. 1977. Т.13, №2. С.324 — 335.

140. Романко В.К. Разрешимость граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высокого порядка // Дифференц. уравнения. 1978. Т. 14, №6. С.1081 — 1092.

141. Романова О.А. О периодических решениях дифференциальных уравнений с вырождениями // В кн. Вопросы устойчивости и оптимизации динамических систем. — Иркутск.: изд. Ирк. ун-та. 1983. С. 151 — 160.

142. Руткас А.Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) "// Дифференц. уравн. 1975. Т.11, №11. С.1996 — 2010.

143. Сабинина Е.С. Об одном классе квазилинейных параболических уравнений, не разрешенных относительно производной по времени // Сиб. матем. журн. 1965. Т.6, №5. С.1074 — 1100.

144. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах // Успехи матем. наук. 1996. Т.51, №1. С.101 — 132.

145. Сапронов Ю.И., Царев С.Л. Глобальное сравнение конечномерных редукций в гладких вариационных задачах // Матем. заметки. 2000. Т.58, №5. С.745 — 754.

146. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного операторного уравнения типа Соболева с неположительным оператором при производной // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №10. С.1823 — 1825.

147. Свиридюк Г.А. Задача Коши для линейного сингулярного операторного уравнения типа Соболева // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №12. С.2168 — 2171.

148. Свиридюк Г.А. Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах // Дисс. . докт. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1993. 213 с.

149. Свиридюк Г.А. Квазистационарные траектории полулинейных динамических уравнений типа Соболева // Изв. РАН. Сер. матем. 1993. Т.57, №3. С.192 — 207.

150. Свиридюк Г.А. К общей теории полугрупп операторов // Успехи матем. наук. 1994. Т.49, №4. С.47 — 74.

151. Свиридюк Г.А. К общей теории псевдопараболических уравнений // Деп. ВИНИТИ. 1984. № 6552-В84. 25 с.

152. Свиридюк Г.А. Линейные соболевские уравнения // Дёп. ВИНИТИ. 1985. № 4265-В85. 39 с.

153. Свиридюк Г. А. Линейные уравнения типа Соболева и сильно непрерывные полугруппы разрешающих операторов с ядрами // Докл. РАН. 1994. Т.337, №5. С.581 — 584.

154. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного класса эволюционных и динамических уравнений // ДАН СССР. 1989. Т.304, №2. С.301 — 304.

155. Свиридюк Г.А. Многообразие решений одного сингулярного псевдопараболического уравнения // ДАН СССР. 1986. Т.289, №6. С.1315 — 1318.

156. Свиридюк Г.А. Некоторые математические задачи фильтрации и движения жидкостей // 01.01.02. — Дифференц. уравнения и математическая физика: Автореф. дисс. на со-иск. уч. ст. канд. физ.-матем. наук. — Воронеж. 1987. 16 с.

157. Свиридюк Г.А. Некоторые математические задачи фильтрации и движения жидкостей // Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Ленинград: ЛГПИ им. А.И.Герцена. 1987.

158. Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения. 1988. Т.24, №10. С.1846 — 1848.

159. Свиридюк Г.А. Об одной задаче динамики вязкоупругой жидкости // Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №11. С.1992 — 1998.

160. Свиридюк Г.А. Об одной модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости // Изв. вузов. Математика. 1988. №1. С.74 — 79.

161. Свиридюк Г.А. Об одной модели слабо сжимаемой вязко-упругой жидкости // Изв. вузов. Матем. 1994. №1. С.62 — 70.

162. Свиридюк Г.А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравн. 1987. Т.23, №9. С.1637 — 1639.

163. Свиридюк Г.А. О разрешимости задачи Коши для операторного уравнения типа С.Л.Соболева //В межвуз. сб. научн. тр. Приближение функций специальными классами операторов. Вологда. 1987. С.162 — 170.

164. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором // ДАН СССР. 1991. Т.318, Ш. С.828 — 831.

165. Свиридюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно секториальными операторами // Докл. РАН. 1993. Т.329, №3. С.274 — 277.

166. Свиридюк Г.А. Разрешимость задачи термоконвекции вяз-коупругой несжимаемой жидкости // Изв. вузов. Матем. 1990. №12. С.65 — 70.

167. Свиридюк Г.А. Релаксационная динамика уравнения Хоф-фа // XIV Школа по теории операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. Новгород. 6-14 сент. 1989 г. Ч. III. С.ЗЗ.

168. Свиридюк Г.А. Релаксационные колебания эволюционных и динамических систем теории вязкоупругих сред // Успехи матем. наук. 1988. Т.43, вып.4. С. 169.

169. Свиридюк Г.А. Фазовые пространства полулинейных уравнений типа Соболева с относительно сильно секториальным оператором // Алгебра и анализ. 1994. Т.б, №5. С.216 — 237.

170. Sviridyuk G.A. Relaxation Effects of Dynamics of Semilinear Sobolev Type Equation // CDQ-IV, Rousse'89. Bulgaria. 1989. P.470.

171. Свиридюк Г.А., Апетова Т.В. Фазовые пространства линейных динамических уравнений типа Соболева // Докл. РАН. 1993. Т.ЗЗО, №6. С.696 — 699.

172. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Сборки'Уитни фазовых пространств некоторых полулинейных уравнений типа Соболева // Матем. заметки. 1994. Т.55, №3. С.З — 10.

173. Свиридюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс полулинейных уравнений типа Соболева // ДАН. 1991. Т.319, №5. С.1082 — 1086.

174. Свиридюк Г.А., Келлер А.В. Инвариантные пространства линейных уравнений типа Соболева с относительно р-секториальными операторами // Тез. конф. "Алгоритм, и числен, анализ некорр. задач." Екатеринбург, 1995. С.111.

175. Свиридюк ГА., Сукачева Т.Г. Быстро-медленная динамика вязкоупругих сред // ДАН СССР. 1989. Т.308, №4. С.791 — 794.

176. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного" класса полулинейных уравнений типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1990. Т.31, №5. С.109 — 119.

177. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Заметки о линейных моделях вязкоупругих сред// Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. Вып.1. Челябинск. 1996. С.135 — 147. .

178. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Медленные многообразия одного класса полулинейных уравнений типа Соболева // Вестник ЧелГУ. Сер. Матем. Мех. 1991. №1. С.З — 20.

179. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Морфология фазовых пространств// III Всес. школа "Понтрягинсие чтения". Кемерово. 1990. С.63.

180. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Матем. 1989. №10. С.44 — 47.

181. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О линейных моделях вязко-упругих сред// Семинар "Моделир. устойчивости физических процессов". Киев. 1991. С.79.

182. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости задачи Коши для полулинейного сингулярного дифференциального уравнения с нетеровым оператором при производной// XVI. Школа по теорий операторов в функц. простр. Тез. докл. Н.Новгород. 1991, С.203.

183. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости// Матем. заметки. 1998. Т. 63, №3. С. 442 — 450.'

184. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

185. Дифференц. уравн. (Качеств, теория). Рязань, 1990. С.108 — 115.

186. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений j j Дифференц. уравнения. 1990. Т.26, №2. С.250 — 258.

187. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Линейные операторы, а-ограниченные относительно фредгольмовых операторов // Деп. ВИНИТИ. 1995. № 1401-В95. 14 с.

188. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Необходимые и достаточные условия относительной а-ограниченности линейных операторов // Докл. РАН. 1995. Т.345, № 1, С.25 — 27.

189. Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г., Дудко JI.JI. Относительная сг-ограниченность линейных операторов // Изв. вузов. Математика. 1997. №7(422), С.68 — 73.

190. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Аналитические полугруппы с ядрами и линейные уравнения типа Соболева // Сиб. матем. журн. 1995. Т.36, №5. С.ИЗО — 1145.

191. Свиридюк Г.А., Федоров В.Е. Линейные уравнения соболевского типа // Учебное пособие. Челябинск. 2002. ЧелГУ. 179 с.

192. Свиридюк Г. А., Федоров В.Е. О единицах аналитических полугрупп ператоров с ядрами // Сиб. матем. журн. 1999. Т.40, №3. С.604 — 616.

193. Сидоров Н.А. N-ступенчатый итерационный метод в теории ветвления решений нелинейных уравнений// Сиб. матем. журн., 1997. Т.38, №2. С.383 — 395.

194. Сидоров Н.А., Романова О.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением // Диф. уравнения. 1983. Т.19, №9. С.1516 — 1526.

195. Сидоров Е.А., Синицыи А.В. О ветвлении решений системы Власова-Максвелла // Сиб. матем. журн., 1996. Т.37, №6. С.1367 — 1379.

196. Сидоров П.А., Синицын А.В. Исследование точек бифуркации и нетривиальных ветвей решений стационарной системы Власова-Максвелла // Матем. заметки., 1997. Т.62, №2. С.268 — 292.

197. Сидоров Н.А., Синицын А.В. О нетривиальных решениях и точках бифуркации системы Власова-Максвелла // Докл. РАН., 1996. Т.349, т. С.26 — 28.

198. Сидоров Н.А., Фалалеев М.В. Обобщенные решения дифференциальных уравнений с фредгольмовым оператором при производной // Диф. уравнения. 1987. Т.23, №4. С.726 —728.

199. Скубачевский А.Л. . Эллиптические дифференциально-разностные уравнения с вырождением// Тр. моек, матем. об-ва. 1998. Т.59. С.240 — 285.

200. Соболев С.Л. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР, сер. матем. 1954. Т.18. С.З — 50.

201. Солонпиков В.А. О краевых задачах для линейных уравнений.общего вида // Тр. матем. ин-та им. В.А.Стеклова. 1965. Т.83. С.З — 163.

202. Солонпиков В.А. Об оценках тензоров Грина для некоторых краевых задач // ДАН СССР. 1960. Т.130, №5. С.988 — 991.

203. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные' операторы. — М.: Мир, 1980. — 664 с.

204. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сшюшных сред. — М.: Мир, 1975. — 592 с.

205. Уизем Д-ж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 528 с.

206. Успенский С.В., Янов С.И. Об алгебраических моментах решения первой начально-краевой задачи для системы Соболева в случае специальных областей // Сиб. матем. журн. 1999. Т.40, №1. С.191 — 200.

207. Федоров В.Е. Бесконечно дифференцируемые полугруппы операторов с ядрами // Сиб. матем. журн. 1999 .Т.40, №6. С.1409 — 1421.

208. Федоров В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000.Т. 12, вып.З. С. 173 — 200.

209. Федоров В.Е. Исследование разрешающих полугрупп линейных уравнений типа Соболева //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1996. 116 с.

210. Федоров В.Е. О разрешимости одной задачи теории фильтрации // Сб. трудов Всерос. семинара "Динамика многофазных сред". Новосибирск, 1999. C.il5 — 119.

211. Фокин М.В. Существование сингулярного спектра и асимптотика решений задачи Соболева // Тр. Ин-та матем. СО РАН. 1994. Т.26. С.107 — 195.

212. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. — М.: Мир, 1985. — 376 с.

213. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т.З. Псевдодифференциальные операторы. — М.: Мир, 1987.

214. Хилле Е.,Филлипс Р.С. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962. — 829 с.

215. Хуснутдинова Н.В. Об условиях ограниченности градиента решений вырождающихся параболических уравнений. // Динамика сплошной среды: Сб. научн. тр./ СО АН СССР. Ин-т гидродинамики. 1985. Вып.72. С. 120 — 128.

216. Чистяков В.Ф. О свойствах квазилинейных вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений //В кн. Динамика нелинейных систем. —- Новосибирск. — 1983. С.163 — 173.

217. Чистяков В.Ф. О понятии индекса сингулярной системы // В кн. Диф. уравнения и численные методы. — Новосибирск. — 1986. С.123 — 128.

218. Шкаликов А.А. О принципах отбора и свойствах части собственных и присоединенных элементов пучков операторов // Вестн. МГУ. Сер. Матем., механ. 1988. Вып.4. С.16 — 25.

219. Якупов М.М. Фазовые пространства некоторых задач гидродинамики //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Челябинск: ЧелГУ. 1999.

220. Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permable catalysis, vol.1. — Oxford: University Press, 1979. — 428 p.

221. Bohm M.y Showalter R.E. Diffusion in fussured media// SIAM J. Math. Anal. 1985. V.16, №. P.500 — 519.

222. Bohm M. Well-posedness of fussured-media equation// Math. Nachr. 1989. V.140. P.49 — 58.

223. Buzario M.L., Gobbo Some properties of linear operators of accretive type // Rend semin. mat. Univ. e politechn. — Torino. 1984. V.42, №1. P.105 — 116.

224. Carrol R. W.} Showalter R.E. Singular and Degenerate Cauchy Problems. Academic Press, 1976.

225. Chen P.J., Gurfin M.E. On a theory of heat conduction involving two temperatures // Z.Angew. Math. Phys. 1968. V.19. P.614 — 627.

226. Coleman B.D., Duffin R.J., Mizel V.J. Instability, uniqness and nonexistance theorems for the equation ut = uxx — uxxt on a strip // Arch. Rat. Mech. Anal.' 1965:-'V.19. P.100 — 116.

227. Demidenko G.V. Lp -theory of boundary value problems for Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. Banach center publ. V.27. — Warzava. 1992. P.101 — 109.

228. Favini A. Sobolev type equations // Part. Diff. Eq. Banach center publ. V.27. — Warzava. 1992. P. 101 — 109.

229. Grabmuller H. Relativ akkretive operatoren und Approximation von Evolutions gleichungen //2. Arat I. Math. Nachr. 1975. V.66. P.67 — 87.

230. Guillope C., Saut J. G. Existance results for the flow of viscoelastic fluids with a differential constitutive law// Nonlinear Anal. Theory, Method к Appl.1990. V.15, №9. P.849 — 869. '

231. Guillope C., Saut J.C. Existance and stability of steady flows of weakly viscoelastic fluids // Preprint № 90-55. Universite de Paris-Sud Mathematiques.

232. Eirsh M. W. The dynamical systems approach to the differential equations // Bull. Amer. Math. Soc. 1984. V.ll, №1. P.l — 64.

233. Levine H.A. Some nonexistance and instability theorems for solutions of formally parabolic equations of the form Dut = -Au + F(u) // Arch. Rat. Mech. Anal. 1973. V.51, №5. R371 — 386.

234. Lagnuese J.E. Singular differential equations in Hilbert space J j SIAM J. Math. Anal. 1973. V.4, №4. P.623 — 637.

235. Povoas M. On some singular hyperbolic evolution equations // J. Math. Pures Appl. (9). 1981. V.60. P.133 — 192.

236. Sauer N. Linear evolution equations in two Banach spaces // Proc. Royal Soc. Edinburgh. 1982. V.A91, №3-4. P.287 — 303. •

237. Showalter R.E. Existence and represantation theorems for a semilinear Sobolev equation in Banach space // SIAM J. Math. Anal. 1972. V.3, №3. P.527 — 543.

238. Showalter R.E. Partial differential equations of Sobolev-Galperin type // Pacific J. Math. 1963. V.31, №3. P.787 — 793.

239. Showalter R.E. The Sobolev type equations. I (II) // Appl. Anal. 1975. V.5, JM. P. 15 — 22 ( №2. P.81 — 89).

240. Showalter R.E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations // SIAM J. Math. Anal. 1970. V.l, №1. P.l — 26.

241. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators// Utrecht: VSP, 2003. 228 p.'

242. Ting T. W. Certain non-steady flows of second order fluids // Arch. Rat. Mech. Anal. 1963. V.14, №1. P.28 — 57.

243. Сукачева Т.Г. Дальнейшие результаты о разрешимости сингулярной системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1992. №5. С.70 — 72. .

244. Sukacheva Т. G. The Cauchy problem for nonautonomic sobolev-type equations// Материалы международной конференции "Выпускник НГУ и научно-технический прогресс". Часть Г. Новосибирск. 1999. С.55.

245. Sukacheva T.G. Cauchy problem for nonautonomic sobolev-type equations// Дифференциальные и интегральные уравнения. Тезисы докладов международной научной конференции. 22-26 июня 1999 г. ЧелГУ. Челябинск. 1999. С.128.

246. Sukacheva Т. G. Cauchy problem for some class of nonstationary operator equations // Proceed, of international conference on nonlinear dif. equations. Kiev. Book of abstracts. 1995. P.162.

247. Сукачева Т.Г. Задача Коши для одного класса сингулярных операторных уравнений // XIV Школа по теории операторов в функц. простр. Тез. докл. Новгород. 1989. ч.Ш. С.53.

248. Сукачева Т.Г. Задача Коши для полулинейного нестационарного уравнения типа Соболева// Успехи матем. наук. 1995-Т.50, №4. С.143.

249. Сукачева Т.Г. Задача Тейлора для жидкости Кельвина-Фойгта. // Деп. ВИНИТИ 9.03. 1989. Ш 1577-В89. Новгород. 12 с.

250. Сукачева Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа //Дисс. . канд. физ.-матем. наук. Новгород: НовГПИ. 1990.

251. Сукачева Т.Г. Исследование фазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа// Автореферат диссерт. на соискание ученой степени кандидата физ.-матем. наук. Воронежский государственный университет. 1990. 16 с. N

252. Сукачева Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса уравнений типа Соболева //ВВМШ. Современные методы в теории краевых задач. "Понтрягинские чтения-VII". Тез. докл. 17-23 апреля 1996 г. Воронеж. 1996. С.171.

253. Сукачева Т.Г. Конкретные интерпретации абстрактной задачи Коши для одного класса операторных дифференциальных уравнений// Вестник Чел. унив. Сер. Матем. Мех. Вып.1. Челябинск. 1991. С.151.

254. Сукачева Т.Г. Медленные многообразия в системе Осколкова// Тез. XII итог, научн. конф. Челябинск. 1988. С.19.

255. Сукачева Т.Г. Медленные многообразия задачи Тейлора для системы Осколкова// Уральск, регион, конф. III "Функц. диф. ур. и их прил." Тез. докл. Пермь. 1988. С.294.

256. Sukacheva T.G. Nonautonomic sobolev-type equations.// Abst. of the Ninth Intern. Coll. Diff. Eq. Bulgaria. Plovdiv. August 18-23, 1998. P.185.

257. Сукачева Т.Г. Об одной модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Дифференц. уравн! 1997. Т.ЗЗ, №4. С.552 — 557.

258. Сукачева Т.Г. Об одном обобщении теоремы Сарда // Функц. анализ. Ульяновск. 1989. С.92 — 94.

259. Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа С.Л.Соболева//ХП Школа по теории операторов в функц. простр. Тез. докл. Тамбов. 1987. ч.П. С.89.

260. Sukacheva T.G. On a Nonstationary Model of Dinamics of Incompressible Viscoelastic Fluid. Proceed. Ill ICIAM-95. book of abstracts. Hamburg. 1995. P.454.

261. Сукачева Т.Г. О разрешимости задачи Коши для полулинейного сингулярного уравнения// XV Школа по теорииоператоров в функц. простр. Тез. докл. Ульяновск. 1990. ч.П. С.84.

262. Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Изв. вузов. Матем. 1998. №3(430) . С.47 — 54.

263. Сукачева Т.Г. . О разрешимости нестационарной задачи термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости первого порядка// Соврем, методы теории функций и смежные проблемы. Тез. докл. ВЗМШ (г. Воронеж, 28 января — 4 февраля 1997 г.) Воронеж. 1997. С.156.

264. Сукачева Т.Г. О разрешимости нестационарных задач термоконвекции несжимаемых вязкоупругих жидкостей// Успехи матем. наук. 1998. Т.53, №4. С. 177.

265. Сукачева Т.Г. Фазовые пространства полулинейных сингулярных уравнений динамического типа J j Деп. ВИНИТИ 9.01. 1989. № 194-В89. Новгород. 28 с.

266. Сукачева Т.Г., Антонова А.Ю., Даугавет М.П., Ефимова Ю.А. Линеаризованные системы Осколкова // Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии. Материалы международной научно-методической конференции. Великий Новгород. 2000. С. 178.

267. Сукачева Т.Г., Антонова А.Ю., Даугавет М.Н., Ефимова Ю.А. Линеаризованная система Осколкова высшего порядка // Деп. ВИНИТИ 7.07.00. № 1880-В00. Великий Новгород. 25 с.

268. Сукачева Т.Г., Антонова А.Ю., Даугавет М.Е., Ефимова Ю.А. Линеаризованная система Осколкова ненулевого порядка // Деп. ВИНИТИ 7.07.00. № 1879-В00. Великий Новгород. 25 с.

269. Сукачева Т.Г., Викторова Т.С. О разрешимости задачи Тейлора для несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта // Деп. ВИНИТИ 17.04.96. № 1263-В96. Новгород. 15 с.

270. Сукачева Т.Г., Даугавет М.Н. Линеаризованная модель движения вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка// Сибирский журнал индустриальной математики. Октябрь декабрь, 2003. Том YI, №4 (16) С.111 - 118.

271. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка// Изв. вузов. Матем. 2001. №11 (474). С. 46-53.

272. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости// "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия". Тезисы докл. конф. Челябинск. 1997. С. 27.

273. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Об одной нестационарной задаче динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта первого порядка// Деп. ВИНИТИ 17.04.96. № 1262-В96. Новгород. 16 с.

274. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. О некоторых моделях движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей// Математика в вузе. Материалы международной научно-методической конференции. Петрозаводск, июнь 2003. Санкт-Петербург. 2003. С.186 187.

275. Сукачева Т.Г., Матвеева О.П. Теория неавтономных уравнений соболевского типа и ее приложения// Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12. Сборник трудов международной конференции. 1999. Великий Новгород. Т. 1. С. 64.