автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка

На правах рукописи

00501

Матвеева Ольга Павловна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА

05.13.18.....математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фи<шко-математических наук

: 1 мдр Ж

Великий Новгород - 201.2

005015696

Работа выполнена в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Сукачева Тамара Геннадьевна Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Колногоров Александр Валерианокич, доктор физико-математических наук Кадченко Сергей Иванович

Ведущая организация: ФГБОУ ВПО "Южно-Уральский

государственный университет" (национальный исследовательский университет)

Защита состоится 22 марта 2012 года в 14.30 на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном университете им. Ярослава Мудрого но адресу: 173003, Россия, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41, ауд. 3105/2.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного 'университета имени Ярослава Мудрого.

Автореферат разослан февраля 2012 года

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.168.04,

кандидат физико-математических наук, доцент

Токмачев М.С.

Общая характеристика работы

Цель работы. Система уравнении

к

(1 - aîV2)V( = v V2d - (и • V)u + - Vp + /,

<=i (1)

О = V • V, ^ = v-h atwi, а, 6 К_, 1 = 1, К at

моделирует динамику несжимаемой визкоупругой жидкости Кельвина Фойгта порядка К > 0. Функция г; = (vi, i>2, ..., и„), t >,• = Vi{x,t), х 6 fi (f! С ]Rn , гг = 2,3, 4, — ограниченная область с границей 3Q класса С°°) имеет физический смысл скорости течения, функция р — p(x,t) отвечает давлению жидкости. Параметры v 6 R+ и ае € К характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Параметры 0i 6 R+ , ! = 1, К, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член / = (/ii • ■ ■ I /n)i fi = /¡(^) отвечает внешнему воздействию на жидкость.

Дли системы (1) рассмотрим задачу Коти Дирихле

г(ж,0) = vu(x), р(х, 0) = jjo(x), щ{х,0) = wio(x), Мх € fi, w(a;,i)=0, Ш|(а:, i) = 0, l = V(x, i) € Sfi х R,

и задачу Тейлора

v(x, 0) = vB(x), u>i(x, 0) = Wi0(x) V:e G П,

v(x, t) = 0, wi(x,t) = 0V(x,t) еЗ&хШ, (3)

v(x,t), wi(x^t) удовлетворяют условию периодичности на dj.fi х R.

Следующая система уравнений

к

(1 - W2)vt = - (и • V)jH"]TAV2U!i --Vp + f,

1=1

0 = V(V ■ и), + ,a, 6R_, l = TTk, ^

0t = aeV26 - v ■ V6 + v ■ q моделирует эволюцию скорости v = (vj,... ,v„), Vi = Vj(x,t), градиента давления Vp = (pi,... ,pn), pi = Pi(x,t) и температуры в — в(х, t) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина^Фойгта порядка к > 0. Параметры

А £ R, f 6 R+ и аз 6 R+ характеризуют свойства жидкости, д 6 R+ — ускорение свободного падения, вектор д = (0, ...,0,1) — орт в R™. Параметры ßi £ R+ , ' = 1) к и вектор-функция / имеют тог же смысл, что и в системе (1).

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи

и(х,0) = г'0(г:), wi(x, 0) = ич0(х), 0(1,0) = вп(х), Vx е П;

_ (5)

v(x,t) = 0, w,(x,t) = 0, 6(x,t) = 0, V(z,t) 6 ЭГ2 х R+ , l = 1, к

для системы (4). Здесь S7 С Rn, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей ЗП класса С°°.

Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (1) и (4).

Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Копш

«(0) = и0 (6)

для полулинейного у^мвнепия соболевского типа

Ьй = Ми + F(u). (7)

Здесь U и F — банаховы пространства, оператор L £ C(U\ Т), то есть линеен и непрерывен (ker L ^ {0}), оператор М : dorn М —» Т , М е Cl(U\ F) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор i1: domF —> Т- нелинейный.

Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (6), (7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.

Актуальность темы. Известно, что, когда, оператор L необратим (в частности, когда ker L ^ {0}), задача (6), (7) разрешима не для любого начального значения ио £ U. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых наг чальных значений щ е U, при которых задача (6). (7) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный интерес.

Поиск множества допустимых начальных данных щ 6 и привел Г.Л.Свиридюка к созданию метода фазового пространства. В данной работе продолжены исследования, начатые в работах Г.А. Свиридюка и Т.Г. Сукаче-ной, в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Заметим, что к задаче Коти (6) для уравнения (7) сводятся не только указанные выше задачи, но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (С), (7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.

Методы исследования. Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержтшие указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий. Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (7) к уравнению й = В(и), заданному не на всем Ы, а па некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в К, являющимся фазовым пространством этого уравнения. Кроме того, в основе вычислительных экспериментов лежит метод Галеркина.

Научная новизна. В диссертации изучены модели несжимаемых вязко-упругих жидкостей ненулевого порядка в автономном случае. Получено описание фазовых пространств следующих задач:

- задачи Копти-Дирихле для системы, моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы;

- задачи Тейлора для системы, моделирующей динамику несжимаемой вяз-

коупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка;

- первой начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой пязкоупругой жидкости Кельвина—Фойпа ненулевого порядка, и для соответствующей обобщенной системы.

Разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка, разработана и реализована программа для персональных компьютеров нахождения численного решения этой задачи.

Все указанные задачи в данной постановке рассматриваются впервые, и результаты, полученные для них, являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Коти-Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решенггя задач.

Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Апробация работы. Основные результаты диссертации представлялись на VI межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 1990), на конференции "Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетия"(Челябинск, 1997), на третьем Си-

бирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1998), ни. XII межвузовской научной конференции "Математические методы в технике и технологиях"(Великий Новгород, 1999), па международной научно-методической конференции "Современные интеллектуальные тсхиологии"(Великий Новгород, 2000). па международной научной конференции "Дифферециальные и интегральные уравнения. Математические модели "(Челябинск, 2002), на международных научно-методических конференциях "Математика в вузе"( Петрозаводск, 2003, 2010, 2011), на XI Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Кисловодск, 2010), на международной конференции "Физика и технические приложения волновых систем"(Челябинск, 2010), на XII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике(Казань, 2011). Также результаты докладывались и обсуждались на семинаре профессора Е.Ю. Панова в Новгородском государственном университете имени Ярослава Мудрого(Великий Новгород).

Работа поддержана программой "Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 годы)", проект № 2.1.1/2301.

Публикации. Все результаты диссертации своевременно опубликованы [1]-[18], причем работы [1] [4| опубликованы в журналах, включенных в список ВАК по специальности 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка обозначений и соглашений, заключении и списка литературы, который содержит 130 наименований работ российских и зарубежных авторов. Общий объем диссертации составляет 107 страниц машинописного текста.

Краткое изложение содержания диссертации

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы, обсуждается историография вопроса, излагается краткое

содержание диссертации.

В первой главе излагается абстрактная задача Коти (6) для полулинейного уравнения соболевского типа, (7). Глава носит вспомогательный характер.

В п. 1.1 рассматривается задача (в), (7) в случае, когда оператор М является (Ь,р)—ограниченным относительно бирасщспляющего оператора Ъ. Здесь вводятся понятия решения задачи Коши для уравнения соболевского типа (7), фазового пространства, квазистационарной траектории уравнения (7), проходящей через точку Мо, и доказывается теорема существования и единственности квазистационарной траектории уравнения (7).

В п. 1.2 рассматривается задача (б), (7) в предположении, что оператор М сильно (£, р)-секторинлен. Здесь приводятся необходимые условии существования квазистационарных полутраекторий и достаточные условия существования единственного решения задачи (6), (7). являющегося квазистационарной полутраекторией. Понятие квазистациоиарной полут][/аектории обобщает на эволюционный случай понятие квазистацианариай траектории, которое вводилось в п.1.1.

Во второй главе изучаются различные динамические модели несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка. Во всех этих моделях оператор М является (Ь,р)—ограниченным, причем любой вектор <р € кег 1Д{0} имеет точно один М-нрисоединспный вектор.

В п. 2.1 исследуется задача (1), (2). С этой целью редуцируем задачу (1), (2) к задаче (0), (7). Для этого положим Ы = фЦоЦ, Р = где

иа = Н2 х Н2 х Н„ , = Я, х Н* х Нр ; ЪЦ = Н2П Н2 х Н2 , = Ь2 = Н„ х Н, , г = 1, К. Здесь Н2 — подпространство соленоидальных векторов пространства Н2П Н1, Н2 = (1К22(П))", Н^ (Ж* (П))"; Н2 -ортогональное ( в смысле Ь2(П) = (¿а(Г2))п) дополнение к Н2 ; Н„ и Нж — замыкания подпространств Н2 и Н2 в норме Ь2 соответственно; Нр = Н„- .

Обозначим через 2 : Ь2(П) —» Н^ ортопроектор вдоль Н,.. Тогда £ 6 £(Н2П Н1) , причем ил Е = Н2, кег 2 = Н2.

Операторы Ь , М : М->/ определим формулами

' Ь 0 \

о Ек / '

Ь

/

где Ь =

£4,2 О

О

О ПЛШП О ^ 0 0 0

. П = I - Е, Л* = 1 - а;Vі :

/

М(и) = Мій + М2(и),

где Мі = ( ДЕД ... ,%ЕД \

М„ Мі2 М21 М22

М„ =

/

І/ЕД І/ЕД О І/ПД і/ПД -I ЕС ПС О

Л/12 =

/

V

, М21 содержит ЛГ строк вида ( /, /, 0 ), Л/22 =

АПД ... /З^ПД О ... О

с^ [сц,...,а«-], М2 = (ЕВ(и„ 4-«,,) + /„, ПВ(и„ + ия) +0, ..., 0)г. Здесь В(и„ + и„) = -((и, + и*) ■ У)(и„ + и*), С(и„ + и„) = У(У • (иа + и„)).

/

Теорема 1. Пусть / Є Ь2, а щ В. Тогда для некоторого ¿о = ¿о(ио) существует единственное, решение задачи (1), (2), являющееся квазистационарной траекторией, и = (и„, 0, р, .... тк) класса и такое, что и Є В для всех і Є (—¿съА))-

Здесь В = {и Є й : А'ІТіА^ІВІисг) + /„) + /„. = ир}~ фазовое пространство рассматриваемой задачи.

В п. 2.2 рассматривается первая начально-краевая задача для обобщенной системы уравнений

г ічт-1

(1 - агУ2)і>, = ^У2г> - (у ■ V)v■^-]Г ^ Лт,.У2шт,„ - Ур + /, 0 = У • г),

дЫтЯ

дг <3-шІПі "9Ґ

= и + агаи'от,о , т = 1, г,

■ = + атшт<„ , з = 1, гат - 1, ат Є]

моделирующей динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта ненулевого порядка.

В п. 2.3 впервые рассматривается задача Тейлора для системы уравнений п. 2.1. Задача Тейлора для системы (1) моделирует ситуацию, когда вяз-коупругая несжимаемая жидкость Кельвина-Фойгта занимает пространство между двумя вращающимися коаксиальными цилиндрами бесконечной длины. Область Г2 С К", га = 2,3,4 (с кусочно-гладкой границей) выбирается так. чтобы на ее границе с^Л (лежащей, например, при п = 3 на двух плоскостях а и Р, перпендикулярных оси цилиндров) выполнялось условие периодичности (т.е. г,'(М)|э[1па = и(хЛ)\эпп0, гиг(х,4)|апла = Щэппр, 1 = 1, К, дС1 П (а и /3) = ЗхП, € К). Выбирается некоторое стационарное решение V = Ъ(х), щ = щ(х) системы (1), удовлетворяющее на с^Г! условию периодичности, а на = дО. \ с^П неоднородным условиям Дирихле, и исследуется динамика отклонения V = 1<(х, ¿), к/; = (х, Ь) от этого стационарного решения, вызванного начальным условием. Поэтому система (1) приобретает вид

к

(1 - 8еУ2)г.'( = - {V ■ - (й • V) V - (у • - ^Р,

< 1=1

0 = У-У, ^ = ь + а,еК_, 1 = 1, К.

Для полученной системы рассмотрим задачу Тейлора (3). Редукция к задаче (6), (7) проводится аналогично, как для задачи п. 2.1. Доказывается теорема о существовании единственного решения этой задачи, являющегося квазистационарной траекторией. Описывается фазовое пространство модели.

В третьей главе исследуются эволюционные модели вязкоупругой несжимаемой жидкости Кельвина—Фойгта ненулевого порядка.

В п. 3.1 изучается начально-краевая задача (5) для системы ненулевого порядка (4). Доказывается теорема существования единственного решения указанной задачи.

Теорема 2. Пусть А-1 0 <?(-А) и сг(у1сг). Тогда при люболь щ таком, что щ £ А и некотором Т 6 существует единственное решение и 6

Соо((0,Т); Ы,\1) :шдачи (3),(13), являющееся квазистационарной полутраекторией, причем -іі(і) Є А-

Здесь А = {и : «6 Км, ,щ = 0, ир = РіТ72щ-ддио+/)}

- фазовое пространство рассматриваемой задачи.

В п. 3.2 впервые исследуется обобщенная задача термоконвекции несжимаемой вязко.упругой жидкости. Дано полное описание фазового пространства указанной прикладной задачи и доказывается теорема о существовании единственного решения этой задачи, являющегося квазистацнонарной полутраекторией. В задачах п. 3.1 и п. 3.2 оператор М является сильно (Ь, \)~секториальиьш.

П. 3.3 содержит описание программного продукта, разработанного в вычислительной среде Мар1е, который иллюстрирует нахождение численного решения начально-краевой задачи для модифицированной системы уравнений (4) и строит графическое изображение этого решения при различных значениях параметров.

Основные выводы. На основе метода, фазового пространства в данной работе проведено качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоуиругих жидкостей Кельвина—Фойгта ненулевого порядка. В диссертации получены следующие основные результаты:

к

Рис. 1: Численное решение системы (4).

- изучена модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, получено описание фазового пространства задачи;

- изучена обобщенная модель динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка и приведено описание фазового пространства этой задачи;

- исследована разрешимость задачи Тейлора для модели динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка, описано ее фазовое пространство;

- изучена модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости ненулевого порядка и ее фазовое пространство;

- описано фазовое пространство для обобщенной модели термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка;

- во всех моделях доказаны теоремы, дающие достаточные условия существования единственного решении соответствующих задач, являющиеся квазистационарными (полу)траекториями;

- разработан алгоритм численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей плоскопараллельную термоконвекцию несжимаемой жидкости ненулевого порядка, и реализована, программа для персональных компьютеров нахождения численного решения указанной задачи.

Публикации автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в ведущих рецензируемых научных журналах, }хжомаи)оваппых ВАК:

[1] Сукачева, Т.Г. Задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Изв. вузов. Математика.- 2001 - .\«11(474).- С.46-53.

[2] Матвеева, О.П. Квазистационарные траектории задачи Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка

/О.П. Матвеева //Вести. ЮУрГУ. Сер.: Мат. моделирование и программирование,- 2010,- выпуск 5,-.\'41С(192).- С.39-47.

[3] Сукачева, Т.Г. Об однородной модели термоконвекции несжимаемой вяз-коупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, 0.11. Матвеева // Вестн. СамГТУ. Сер.: Физ.-мат. науки. - 2010. -№5(21) - С. 33-41.

[4) Матвеева, О.П. Фазовое простраство обобщенной однородной модели тер-мокопвекции / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Вестн. ЮУрГу. Сер.: Мат. моделирование и программирование. - 2011. - выпуск 8, - ,\!17(234). -С. 62-09.

Другие научные публикации:

[5| Сукачева, Т.Г. Об одной нестационарной задаче динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Деп. ВИНИТИ 17.04.96. №1262-В96. -Новгород.-1С>с.

[С] Матвеева, О.П. О разрешимости нестационарной задачи динамики несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта первого порядка /О.П. Матвеева // Матем. моделирование и краевые задачи.: труды VI межвуз. конференции. 29-31 мая 1990 г.- 4.2. -Самара. 1996 - С.05-СС.

[7] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории в нестационарной модели термокоивекции несжимаемой вязкоупругой жидкости /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Современные проблемы математики накануне третьего тысячелетня: тезисы докладов,- Челябинск.- 1997.- С.27.

[8) Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраекгории в нестационарной задаче термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости высокого порядка / Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Неклассические уравнения математической физики: Третий Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-98), посвященный памяти

С.Л.Соболева (Новосибирск, 22-27 июня 1998г.)- Новосибирск: Изд-во Инта математики,- 1998.- С.90-105.

[9¡ Сукачева, Т.Г. Теория неавтономных уравнений соболевского типа и ее приложения /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-12.: сборник трудов международной конференции. -1999. -Великий Новгород.-T.l,- С. 04.

[10] Матвеева, О.П. Нестационарная задача термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева /'/' Математика в вузе. Современные интеллектуальные технологии.: материалы научно-методической конференции.- Великий Новгород,- 2000,- С.152.

[llj Матвеева, О.П. Об одной модели динамики жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева //' Дифференциальные и интегральные уравнения. Ма-тем. модели.: тезисы докладов междун. конференции 4-8 февраля 2002.-Челябипск. -2002,- C.G8.

[12] Сукачева, Т.Г. Квазистационарные полутраектории одного класса полулинейных уравнений соболевского типа /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева /У Уравнения соболевского типа.: сборник научных работ.- Челябинск.-2002,- C.11G-137.

[13] Сукачева, Т.Г. О некоторых моделях движения вязкоупругих несжимаемых жидкостей /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева// Математика в вузе.: материалы международной научно-методической конференции. -Петрозаводск,- июнь 2003. - Санкт-Петербург,- 2003,- C.18G-187.

[14] Матвеева, О.П. Задача Тейлора для модели несжимаемой вязкоупругой жидкости ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Обозрение прикладной и промышленной математики.-М., 2010.-Т.17, вып.З-С.445.

[15] Матвеева, О.П. О задаче Тейлора для модели движения несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева //Математика в вузе.: труды XXII международной научно-методической конференции.- Петрозаводск. 29 шоня-02 июля.- 2010 С.126-128.

[16] Матвеева, O.II. Задача Тейлора для обобщенной модели вязкоупругой несжимаемой ненулевого порядка /О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Физика и технические приложения волновых систем.: материалы IX международной конференции. 13-17 септября.-Челябипск: Изд-во ЧслГУ. -2010.-С.193-194.

|17| Сукачева, Т.Г. Квазистациопарные полутраектории в однородной модели термокопвекции ненулевого порядка /Т.Г. Сукачева, О.П. Матвеева // Обозрение прикладной и промышленной математики.-М., 2011.-Т.18, вып.З.-Ч.2.-С.332-333.

|18] Матвеева, O.II. Обобщенная однородная модель термоконвекции несжимаемой вязкоупругой жидкости / О.П. Матвеева, Т.Г. Сукачева // Маг тематика в вузе.: труды XXIII международной научно-методической конференции - Петрозаводск. 29 июня-03 июля - 2011 .- С.147-148.

МАТВЕЕВА Ольга Павловна

Исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка

Подписано к печати 16.02.2012. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Гарнитура Times New Roman. Усл. печ. л.1. Тираж 100 экз. Заказ №41.

Отпечатано в ЗАО «Новгородский технопарк». 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Тел. (816 2) 73-76-76.

61 12-1/631

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования "Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого"

На правах рукописи

Матвеева Ольга Павловна

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ЖИДКОСТЕЙ НЕНУЛЕВОГО ПОРЯДКА

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и

комплексы программ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент Т. Г. Сукачева

Великий Новгород - 2012

Содержание

Обозначения и соглашения 3

Введение 6

1 Абстрактная задача Коши для полулинейного уравнения соболевского типа 26

1.1 Случай р-ограниченного оператора .............. 26

1.2 Случай р-секториального оператора...................34

2 Вязкоупругие жидкости ненулевого порядка 42

2.1 Модель динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости . 42

2.2 Обобщенная модель динамики вязкоупругой несжимаемой жидкости........................................................50

2.3 Задача Тейлора для модели динамики ненулевого порядка 57

3 Термоконвекция вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка 65

3.1 Модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости............................ 65

3.2 Обобщенная модель термоконвекции вязкоупругой несжимаемой жидкости .................... 74

3.3 Вычислительный эксперимент для модели термоконвекции ненулевого порядка............. 82

Заключение 87

Список литературы

89

Обозначения и соглашения

1. Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами готического алфавита. Исключение составляют множества с уже устоявшимися названиями, например:

N — множество натуральных чисел, М — множество действительных чисел, М+ = { г в М : г > 0 }, С — множество комплексных чисел, О, — подмножества в Мп,

— пространства Соболева, Ьр(0,) — пространства Лебега,

— пространства Гельдера и т.д. Элементы множеств обозначаются строчными буквами латинского алфавита, в особых случаях — строчными буквами греческого алфавита.

2. Множества операторов обозначаются рукописными заглавными буквами латинского алфавита, например:

С{Ы\ З7) — множество линейных непрерывных операторов, действующих из банахова пространства Ы в банахово пространство

С1(Ы; Т) — множество линейных замкнутых операторов, плотно определенных в пространстве Ы и действующих в пространство Т\

Ск(и; Т), к Е Ки {оо} — множество операторов, имеющих непрерывные производные Фреше порядка к, определенных на Ы и действующих в Т. Отметим, что вместо С{Ы]Ы), С1(Ы]Ы) и Ск(Ы;Ы) для краткости будем писать соответственно С(Ы), С1(Ы) и Ск(Ы).

Элементы множеств операторов обозначаются заглавными буквами

латинского алфавита.

Для линейного оператора L приняты следующие обозначения:

dorn L — область определения L,

im L — множество значений (образ) L,

ker L — ядро (нуль-пространство) L,

coimL — некоторое дополнение к ядру L,

p{L) — резольвентное множество L,

a(L) — спектр L.

3. Множество, снабженное какой-либо структурой ( как правило алгебраической или топологической), называется пространством.

4. Все рассуждения проводятся в вещественных банаховых пространствах, однако при рассмотрении "спектральных" вопросов вводится их естественная комплексификация.

5. Все контуры ориентированы движением "против часовой стрелки" и ограничивают область, лежащую "слева" при таком движении. Если ориентация контура противоположна сказанной, то делаются специальные оговорки.

6. Буквами / и О (или цифрой 0) обозначаются соответственно "единичный" и "нулевой" операторы, области определения которых ясны из контекста.

7. Словом const обозначаются различные константы.

8. Символ • лежит в конце доказательства.

9. Во введении к дисертации используется бинарная нумерация формул, а в рамках всей диссертации — тернарная нумерация утверждений, замечаний и формул.

10. Основные результаты каждого параграфа называются теоремами. Вспомогательные результаты, необходимые при доказательстве теорем, называются леммами. Второстепенные результаты и возможные обобщения формулируются в замечаниях.

Введение

Постановка задач

Система уравнений

к

(1 - ае\72Ц = - (у ■ + ^ - Х7р + /,

О — V • г;, ^ (°л)

ди>1 -——

-т— = V + а/од, а; е 1 = 1, К т

моделирует динамику несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина — Фойгта порядка К > 0 [43]. Функция V — (г>1, г>2, г>п), Щ — Уг{х,£), а; Е (Г2 С Мп , п = 2,3,4, — ограниченная область с границей дО, класса С°°) имеет физический смысл скорости течения, функция р = р(х, £) отвечает давлению жидкости. Параметры V Е М+ характеризуют вязкие и упругие свойства жидкости соответственно. Па-

раметры ¡3i G Ш+ , I = 1, К, определяют время ретардации (запаздывания) давления. Для системы (0.1) рассмотрим задачу Коши — Дирихле

v(x,0) = v0{x), р(х,0) = р0(х),

wi(x, 0) = wi0(x), VxeCl, (0.2)

v(x, t) = 0, wi(x, t) = 0, 1 = 1, К, V(x, t) edil x R, и задачу Тейлора

v(x, 0) = vq(x), wi(x, 0) = Щ0(х) \/x G Q,

v{x, t) = 0, wi(x, t)= 0 V(z, t) G <92f2 x R, (0.3)

v{x,t), Wi(x, t) удовлетворяют условию периодичности на X Ж .

Система уравнений

к

(1 - А У2)^ = - (V ■ - ддв - Ур + /,

1=1

<

0 = У(У-и),

(0.4)

Ои!1 , --г

—— = V + ,агек_, 1 = 1, к

т

вь = азУ20 - V ■ Чв + у ■ д

моделирует эволюцию скорости V — (г>ь ..., г>п), У{ = Уг(х, ¿), градиента давления Vр = (р\,... ,РП),Р{ = Рг(х, £) и температуры в = в(х, £) несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта порядка к > 0 [28, 43]. Параметры ЛЕЕ, и Е М+ и эе Е М+ характеризуют свойства жидкости, д Е М.+ — ускорение свободного падения, вектор д = (0, ...,0,1) — орт в Параметры Д Е , I = 1, к определяют время ретардации (запаздывания) давления. Свободный член / = (/1,..., /„), fi= /¿(ж) отвечает внешнему воздействию на жидкость.

Рассмотрим разрешимость первой начально-краевой задачи

для системы (0.4). Здесь П С ]КП, п = 2,3,4 — ограниченная область с границей 80, класса С°°.

Аналогично ставятся начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений, обобщающих системы (0.1) и (0.4).

Все рассматриваемые модели сводятся к разрешимости задачи Коши

у(х, 0) = ь0(х), 0) = ги;0(ж),

0(х,О) = 6о(х),

у(х, ¿) = 0, и)1(х, Ь) = 0,

(0.5)

в(х, г) = о, У(х, 6 <90 х м+ , 1=1, к

и{ 0) = щ

(0.6)

для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьй = Ми + F(u). (0.7)

Здесь U и J- — банаховы пространства, оператор L Е C{U; Т), то есть линеен и непрерывен (ker L ^ {0}), оператор М : domM —» J7, М Е Cl(U\ J7) линеен, замкнут и плотно определен в U, а оператор F : dorn F —> Т- нелинейный.

Уравнения вида (0.7) часто называют "соболевскими" [12, 34, 45, 50, 98, 99, 107], так как впервые начально-краевые задачи для линейных уравнений в частных производных, не разрешенных относительно производных по времени, начал изучать С.Л.Соболев, который одним из первых исследовал задачу Коши для уравнения

Autt + cu2uzz = 0,

моделирующего малые колебания вращающейся жидкости [80].

Целью работы является качественное исследование математических моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка на основе теории разрешимости задачи (0.6), (0.7) и описание их фазовых пространств, а также проведение вычислительного эксперимента.

Актуальность темы диссертации

Известно, что, когда оператор L необратим (в частности, когда ker L ^ {0}), задача (0.6), (0.7) разрешима не для любого начального значения щ Е Ы. Поэтому актуальным является поиск таких допустимых начальных значений щ Е Ы, при которых задача (0.6), (0.7) однозначно разрешима. Такой случай возникает во всех перечисленных выше прикладных задачах, поэтому его изучение представляет несомненный

интерес. Впервые этот факт был отмечен в [97], а затем многие авторы неоднократно обращали внимание на это обстоятельство (см., например, [24, 25, 35, 92, 93, 112]).

Поиск множества допустимых начальных данных щ Е Ы привел Г.А.Свиридюка к созданию метода фазового пространства. Основы этого метода были заложены в [51], затем метод был развит в [57] и [82] .

При исследовании разрешимости задачи Коши для линейного однородного уравнения соболевского типа

Ьй = М и (0.8)

были введены в рассмотрение относительно спектрально ограниченные операторы (то есть такие операторы, относительный спектр которых ограничен) и соответствующие им группы разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8) [56, 58, 110]. Очевидно, что класс относительно сг-ограниченных (то есть относительно спектрально ограниченных) операторов включает в себя операторы с ограниченным спектром вида Ь~1М в случае существования оператора Ь~1 Е С{Т\ Ы). Кроме того, были введены в рассмотрение относительно р-секториальные операторы, класс которых включает в себя секториальные операторы вида Ь~гМ в случае существования оператора Ь~1 Е и соответствующие им

разрешающие полугруппы операторов уравнения (0.8) [59, 63, 65] .

Используя указанный метод, удалось показать, что в ряде интересных с точки зрения приложений случаях [52, 53, 54, 55, 62, 66, 71] фазовым пространством автономных уравнений вида (0.7) служит банахово многообразие С°°-диффеоморфное образу разрешающей группы (полугруппы) уравнения (0.8). В случае линейного уравнения (0.8) фазовое

пространство просто совпадает с образом.

Укажем на принципиальное отличие данного подхода от метода слабых решений [78, 79], метода регуляризации [31, 32, 33] и метода дифференциальных включений [106, 107].

В настоящее время теория относительно сг-ограниченных (относительно р-секториальных) операторов и соответствующих им групп (полугрупп) операторов с ядрами интенсивно развивается. Основной целью этой теории является поиск условий, при которых фазовое пространство уравнения (0.8) совпадает с образом группы (полугруппы) разрешающих операторов. В существующем ныне обзоре [61], учебном пособии [76] и монографии [111] приведены основные известные к настоящему времени результаты теории относительно сг-ограниченных и р-секториальных операторов и соответствующих им групп и полугрупп разрешающих операторов с ядрами уравнения (0.8). Некоторые направления развития этой теории намечены в [17, 19, 29, 36, 60, 86, 96].

Задача (0.6), (0.7) в автономном случае при р = 0 изучалась ранее Г.А.Свиридюком в его докторской диссертации [57] , в неавтономном случае при р > 0 Т.Г.Сукачевой [85] . В данной работе продолжены исследования, начатые в [57, 85], в ней впервые изучены автономные модели несжимаемой вязкоупругой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Заметим, что к задаче Коши (0.6) для уравнения (0.7) сводятся не только указанные выше задачи для систем (0.1), (0.4), но и многие другие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы. К таким

моделям можно отнести уравнение Баренблатта — Желтова — Кочи-ной, описывающее фильтрацию жидкости в трещиновато-пористой среде; уравнение Буссинеска — Лява, моделирующее продольные волны в тонком упругом стержне с учетом поперечной инерции; уравнение, моделирующее эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки и др.

Таким образом, имеется класс конкретных прикладных задач, которые сводятся к абстрактной задаче (0.6), (0.7). Следовательно, исследование моделей несжимаемых вязкоупругих жидкостей Кельвина-Фойгта ненулевого порядка является актуальной задачей.

Методы исследования

Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Содержание указанного метода составляют различные результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории относительно р-секториальных операторов и аналитических полугрупп операторов, теории дифференцируемых банаховых многообразий.

Идея метода фазового пространства заключается в сведении автономного уравнения (0.7) к уравнению й = В(и), заданному не на всем Ы, а на некотором (гладком банаховом) многообразии, вложенном в Ы [71, 72], являющимся фазовым пространством этого уравнения в смысле Д.В. Аносова [2].

Основным инструментом исследования служит понятие относительно р-секториального оператора и вырожденных полугрупп операторов. То есть при исследовании математических моделей несжимаемых вязко-

упругих жидкостей используется полугрупповой подход, предложенный проф. Г.А.Свиридюком и развитый его учениками [61], [111].

Так как диссертация кроме качественных исследований содержит еще и результаты вычислительных экспериментов, здесь необходимо еще упомянуть метод Галеркина, лежащий в их основе.

Теоретическая и практическая значимость

Результаты диссертации имеют как теоретический, так и практический характер. К результатам теоретической значимости следует отнести то, что впервые описаны фазовые пространства задачи Коши-Дирихле и первой начально-краевой задачи для моделей динамики несжимаемых вязкоупругих жидкостей ненулевого порядка и соответствующих моделей термоконвекции, а также для задачи Тейлора модели динамики ненулевого порядка. Полученные результаты содержат исчерпывающую информацию о фазовых пространствах задач, имеющих прикладной характер. Эти результаты могут учитываться при построении численных алгоритмов решения задач. Это было уже отмечено в конечномерном варианте линейной теории уравнений соболевского типа [40, 67, 68] .

Предложенный программный продукт может быть использован для нахождения численного решения начально-краевой задачи для системы, моделирующей термоконвекцию несжимаемой жидкости Кельвина-Фойгта ненулевого порядка.

Историография вопроса

Об уравнениях, не разрешенных относительно старшей производной, впервые упоминается в работах А. Пуанкаре. Систематически изучать начально-краевые задачи для уравнений вида (0.8), где L и М (возмож-

но, матричные) дифференциальные операторы в частных произодных по "пространственным" переменным, стал С. J1. Соболев в 40-х годах прошлого столетия. В работе [80] им было получено уравнение, моделирующее колебания гравитирующей жидкости, и изучена задача Коши для него. Эта работа легла в основу нового направления, которое первоначально развивалось учениками С. Л. Соболева - Р. А. Александря-ном [1], С. А. Гальперном [14], А. Г. Костюченко и Г. И. Эскиным [34], Т. И. Зеленяком [22] и другими. Работу в том же напрвлении продолжили В. Н. Врагов [И], А. И. Кожанов [31], [32] и С. Г. Пятков [18].

С.Л.Соболев, используя методы гильбертова пространства, установил корректность начально-краевой задачи для исследуемого им уравнения [80].

Первым абстрактные уравнения вида (0.8) в их связи с уравнениями в частных производных начал изучать Р. Е. Шоуолтер [105], [108]. Независимо от него М. И. Вишик [9] рассмотрел задачу Коши для уравнения (0.8) и разработал численные методы ее решения. Р. Е. Шоуолтер [108] и независимо от него Н. А. Сидоров со своими учениками [78], [79] первыми начали изучать полулинейные уравнения вида (0.7) с различными вырождениями оператора L и получать приложения абстрактных результатов к конкретным начально-краевым задачам для уравнений в частных производных.

Первыми, кто начал изучать разрешимость задачи Коши для абстрактного линейного операторного уравнения (0.8), были С. Г. Крейн [35] и его ученики. В их работах впервые было отмечено, что задача (0.6), (0.8) однозначно разрешима при всех начальных данных, лежащих в

некотором подпространстве U, причем ее решение при всех i G t также лежит в этом подпространстве. К этим работам примыкают результаты И. В. Мельниковой и ее учеников [42], [104].

Уравнения вида (0.7) и конкретные их интерпретации называют уравнениями соболевского типа [34], [44], [71], [103],[105], [111] . Далее всюду мы считаем этот термин синонимом терминов "вырожденные дифференциальные уравнения" [100], [104] и "дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной" [16], "неклассические дифференциально-операторные уравнения" [18], "псевдопараболические" и "псевдогиперболические" уравнения [16], [101] и "уравнения не типа Коши - Ковалевской" [38]. Уравнения соболевского типа являются самостоятельной частью обширной области неклассических уравнений математической физики. Важность и необходимость создания общей теории уравнений вида (0.7), (0.8) отмечали И. Г. Петровский [47] и Ж.-Л. Лионе [39].

К абстрактной задаче (0.6), (0.7) можно редуцировать начально-краевые задачи для уравнений, описывающих движение вязкоупругих жидкостей, "которые способны к релаксации напряжений при деформировании или проявляют феномен задержанного развития деформаций после снятия напряжений "[46]. Связь тензора напряжений а и тензора скоростей деформаций D определяет тип жидкости. Соотношение между и и D, называемое определяющим или реологическим, имеет вид

l qI М дт

+ Е Xiw)a = 21/(1 + Е - Ре>

1 = 1 771=1

где {А/} 1 — 1, ■ ■ ■, Ь — времена релаксаций, {ает} т = 1, ..., М времена запаздывания , р — давление жидкости.

Простейшими из них являются жидкости Максвелла (Ь = 1, М = 0), жидкости Кельвина — Фойгта (Ь = 0, М = 1) и жидкости Олдройта (Ь = М — 1). В жидкостях Максвелла напряжения после прекращения движения уменьшаются как ехр(—¿Ах-1), в жидкостях Кельвина — Фойгта при снятии напряжений скорость деформации уменьшается как ехр(—а в жидкостях Олдройта наблюдается как экспоненциальное релаксирование напряжений, так и экспоненциальное запаздывание деформаций.

Подстановкой соответствующего реологическ�