автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование явлений упорядочения в системе газ-твердое тело

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. м.в.ломоносом ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

ТРОЩИЕВ ЮРИЙ ВИТАЛЬЕВИЧ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ УПОРЯДОЧЕНИЯ В СИСТЕМЕ ГАЗ-ТВЕРДОЕ ТЕЛС.

Специальность 05.13.16 - примононие ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (01.01.00 - математика).

•АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание

ученой степени кандидата физико-математических наук.

Москва 1991

i-í/^'T.'! шпслрн^ ¡:;i факультету гычпсV.-, K.'.Of■pK'.'Tiücn Московского государственного yirarof/v;

-и:ш1 рукоисл::тсАь: каидкхат Ф^с. т?. наук,

Г. ['. КЛОНИТ:1.

"ij" »uc игшон':нт!,;: докто !1.А..\

фио. мат. наук, ггро^ос

•■•• •;■:;.::■!: ^ичг.-л^и-^ыши Lioirri: АН CCCI".

/4"

.•5

5 ¿¿-¿^

ауд. 6 TS

..г

на

г. г .Ц '<;

ч-з.'-.'у: ' \ л П, Коскп-:, ■i вц'кслитулис-я г«:ти/пт;!ки и к:

наук, mx'îHf

оофг"

i 1

ОНЦЛЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность ' теш. В настоящее время вое более употребительным средством исследования явлений, природы становится вычислительный эксперимент Одной из сильных сторон этого метода является возможность предсказания поведения системы при различных значениях параметров.' Представляемая к защите диссертация посвящена разработке численных методов исследования пространства параметров и их применению к исследованию сверхструктур на поверхности катализатора.

Химические реакции, происходящие на поверхности твердого тела составляют основу гетерогенного катализа, широко используемого в современной химической промышленности В последние годы изучение поверхностных процессов получило мощный стимул для развития в связи с темг что методы дифракции медленных электронов и различные виды спектроскопии дали возможность получать информацию непосредственно с

^ Самарский A.A., Математическое моделирование и математический эксперимент.- Вестник АН СССР.- 1979, N5, С.38-49.

' Слинько М.Г., Некоторые проблемы математического моделирования химических процессов и реакторов.- Химическая промышленность, 1987, N1, с.3-8.

поверхности. Были обнаружены упорядоченные расположения адсорбированных частиц, изучению которых и посвящзна данная работа. Образование таких структур качественно изменяет кинетику поверхностных процессов и существенным образом влияет на зависимость между давлением и заполнением. Необходимость изучения явлений упорядочения не вызывает сомнений.

Цель работы. Диссертация имеет своей целью создание программно реализуемого комплекса методов, направленного на решение трех взаимосвязанных задач: 1) построение зависимости ■ х(а), неявно задаваемой системой уравнений ,г2)=0

(Т.'К^хКхК2—»Л при фиксированных г^ ,г2; 2) построение в плоскости (г^.а) 1-1,2 сечения поверхности бифуркаций при фиксированном г3{; 3) разбиение плоскости (г^,г2) на области, в которых зависимость хСа) имеет различное число точек бифуркации. Предполагается, что отображение Р может иметь нетривиальную группу симметрии. Аналогичные задачи рассматриваются в работах 3)4), а также частично в

Jepson A.D., Spence A., The numerical solution oi nonlinear equations having several parameters. I: Scalar equations. - SIAM J.Numer.Anal., 1985, v.22, N4, pp.736-759.

Cllffe K.A., Jepson A.D., SpenceA., The numerical solution of bifurcation problems w.1 th symmetry with application to the ilnlte Taylor problem. Procedlnga of HarwelI Laboratory, June 1985, HL85/1466.

работах5Целью диссертации является также адаптация и применение разработанных методов к уравнениям равновесного состояния решеточного газа.

Научная новизна. В работе приводится достаточно полный комплекс численных методов решения поставленных задач. Некоторые из его составных частей являются новыми (получены в соавторстве с Г.Г.Елениным). Сюда относится метод группового анализа систем уравнений для случая симметрии относительно групп матриц перестановок, метод построешя редуцированных систем без понижения размерности, метод нахождения ветвей решений в окрестности точек бифуркации и иерархия расширенно-редуцированных систем одной и той же размерности, описывающих различные вырождения точек бифуркации. Новыми являются-также результаты численного исследования равновесных упорядоченных состояний решеточного газа и их зависимости от

^ Werner B., Computation methods for bifurcation problems with symmetries and applications to steady states oi n-box reaction-diffusion models.- Hamburger Beitrage zur Angewandten Mathematik, Institut fur Angewandte Mathematik der Universität Hamburg, Reihe A, Preprint 9, August 198T.

Gatermann K.,Hohmann A., Symbolic Exploitation of Symmetry in Numerical Pathfollowlng. - Konrad-Zuse-Zentrum für Informatlonstechnlk. Berlin, Preprint SC 90-11, November 1990.

^ Abbott J.P., An efficient algorithm for the determination of certain bifurcation points.- SIAM, J.Comp, and Applied Math., v.4, N1, 1978, pp.19-27.

давления и энергий латералышх взаимодействий.

. Практическая ценность. Исследования проводились в рамках отраслевой темы "Математическое моделирование процессов й гетерофазных системам газ-твердЬе тело и газ жидкость". Кроме того разработанные алгоритмы ц программы могут быть применены для параметрического анализа достаточно широкого класса нелинейных задач.

Апробация работы. Основные результаты, работы докладывались диссертантом на международной конференции IMACS "Mathematical Modelling and Applied Mathematics" (Москва, 1990) и на всесоюзной конференции "Математическое моделирование: нелмнейвыа проблемы и вычислительная ■ математика" (г. Зеленоград, 1990), з также научным руководителем диссертанта на международной конференции "Workshop Bifurcation Theory and Application" (Вольтерсдорф, Германия, 1991). Результаты опубликованы в восьми печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из ввведения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации 148 страниц, включая 26 рисунков. Библиография содержит 69 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обосновывается актуальность исследуемой проблемы; определяются цели работы; дается краткий обзор литературы; излагается краткое содержание.

Глава Ь. В первом параграфе кратко описывается методика вывода урпшбний, описывающих равновесные состояния слоя адсорбата о учетом возможности образования сверхструктур8'9^10^. Дал80 дается математическая постановка задач для полученного класса систем нелинейных уравнений вида (1) Р(Ха,г7,г2;=0, Р^хям^к", где х - вектор состояния слоя адсорбата, а - параметр, определяемый давлением газа, г{ (I=1,2) - параметры латерального взаимодействия мевду адсорбированными частицами.

Задача А. Построить бифуркационную диаграмму, т.е. зависимость х(а), неявно задаваемую системой (1) при фиксированных и г2.

Задача Б. Постоить в плоскости Гг{,а) сечение поверхности бифуркаций плоскостью (г3_^,а) (1=1,2).

Задача В. Построить бифуркационную карту, т.е. разбить плоскость параметров (г1гг2) на области, в которых

Хилл Т., Статистическая механика. - М.: ИЛ, 1960.-486 с.

Товбин Ю.К., Кинетика и равновесие в упорядоченных системах.- ДАН СССР. - 1984. - Т. 277, N4,-0. 917-921.

Еленин Г.Г., Крылов В.В., Уравнения равновесия многокомпонентного неидеального газа на подрешетках.-Математическое моделирование, 1990, т.2, N1, с.85-104.

зависимость х(а) имеет различное число точек бифуркации.

Системы (1) имеют нетривиальные конечные группы симметрии с:

(2) с = (СеР(п>:п): \а,а,г1,г2 Р(сх,а,г1,гр)=сг(х,а,г1,г2)}, где Р(пхп) - группа матриц перестановок. Симметрия усложняет бифуркационное поведение решений и требует создания специальных методов исследования.

В <¡2 дается краткий обзор теоретических знаний необходимых в - дальнейшем. Решения классифицируются по 1тризнаку ругулярности и по признаку групповой инвариантности. Приводится принцип минимального разрушения симметрии необходимое условие структурной устойчивости точки бифуркации, называемой точкой разрушения симметрии.

В §3 стрятся подгруппы групп симметрии систем (1), называемые грушами движений фрахментов, и приводится план численного построения груш симметрии систем (1).

В §4 для построения графа структурно устойчивых ветвлений предлагается ввести понятие структуры целочисленного вектора, определенным образом отражающего групповую инвариантность решений. Доказываются утверждения, позволяющие провести групповой анализ на языке структур ['П.

Глава В §1 приводятся методы продолжения но параметру решений систем нелинейных уравнений 12', применяемые при

11) Golubitski M..Schaefîer D., Singularities and Groups In Bifurcation Theory. - New York, Springer, 1989, v.2., 440p.

Ulrich K., State of art in numerical methods for

решении поставленных задач.

В §2 предлагается метод построения редуцированных систем уравнений той ие размерности, что и системы (1) [7]. Решениями редуцированных систем являются решения исходных систем, инвариантные относительно заданных подгрупп группы с;.хМ9триу. Использование редуцированных систем позволяет сводить исследование сложных структурно устойчивых точек разрушения симметрии к исследованию простых точек самопересечения. Редуцированные системы имвют вид

(3) й + ¡тх,а,г1,г2) = О,

где С и Н - линейные оператора, обладающие определенными свойствами.

В §3 предлагается численный метод поиска ветвей решений а окрестности точек бифуркации, основанный па применении стандартных методов продолжения по параметру к возмущенной системе уравнений вида

(4) ¥ (1,а,г1,г2) яеКп.

Дается вид возмущения для простых точек самопересечения и для сложных структурно устойчивых точек разрушения симметрии [83. Глава 3. В §1 вводится скалярная функция

(5) и, которая в окрестности простых точек самопересечения и точек

continuation and bifurcation problems with applications in continuum mechanics - A survey and comparative study, -Institut fur Angewandte Mathematik;, Unlversltet Hannover, Weliengarten 1, D-3000, Hannover 1, July 1988.

поворота обращается в нуль там и только там, где обращается в нуль якобиан |Р2| (при условии, что векторы V и в обладают определенными свойствами). Приводятся выражения для вычисления первых и вторых производных зтой функции.

В §§2,3 предлагается иерархия расширенно-редуцированных систем уравнений, описывающих различные типы вырожденных состояний точек бифуркации, в которых может изменяться их число [61. Эта иерархия используется для решения поставленных задач с помощью метода продолжения по параметру. Все системы уравнений имеют одну и ту же размерность, что позволяет непосредствонно использовать особые точки систем более низкого уровня в качестве начальных точек для решения систем более высокого уровня.

Глава 4. В §1 даэтся краткое описание комплекса программ ФРАШЕНТ, предназначенного для проведения группового анализа систем (1). Приводятся группы симметрии и графы структурно устойчивых ветвлений для систем размерности не больше 9.

В §2 дается краткое описание комплекса программ АРИАДНА, предназначенного для решения трех поставленных выше задач с использованием уже имеющейся иформации о структурно устойчивых ветвлениях. Приводятся результаты полного численного исследования системы уравнений размерности 4, описывающей все сверхструктуры с перодом не больше двух по каждому из направлений на квадратной решетке [1-5].

Основные результаты диссертации опубликованы-в работах:

1) Еленин Г.Г., Трощиев Ю.В., Численный анализ изотермы адсорбции нвидеаяьаого слои ямсороота. лространетвенно-однородное покрытие поверхности.- Доп. ВИНИТИ, 1989.

2) Еленин Г.Г., Трициеп Ю.В., Численный анализ изотермы адсорбции неидеального слоя адсороата. Сш'рхсгруктура С(2x2).- Дсп. ВИНИТИ, 1989.

3) Еленин Г.]'., Трощиев Ю.В., Равновесное покрытие поверхности слоем адсорбэта. Существование, единствешюсть и множественность тривиального решения.- Математическое моделирование, 1989, т.1, N 12, 149-159 с.

4) Еленин Г.Г., Трощиев Ю.В., Существовании, единственность и множественность решений, соответствующих сверхетруктуие С(2*2) ч неидеальном слое адсороата. Математическое моделирование, 199(J, т.2, N 1, 12ь- МЗ с.

5) Еленин Р.Г., Трощиев Ю.В., Качественный анализ решений, соответствующих сверхструктуре Р(2*1) г. нсидеалыюм слое эдеорбата.- Мат. моделировании, 1990, т.2, М ¿, 117 128 и.

6) YelenJn G.G., Troshchiov Yu.V., The research of parameter-dependence of solution of non-linear systems of equations on computers. - Mathematical Modelling, and Applied Mathematics, international 1MACS • Conference , Juno 18-23

1990, Moscou - Vilnius, Abstracts, pp. 17-19.

Y) Еленин Г.Г.,Трошев Ю.В., Редукция систем нолиноШ:мх уравнений с симметрией.- Мат.моделирование,1991, гЗ, N6, с.72-83. 8) Еленин Г.Г., Трощиев Ю.В., Численный метод ветвления в сложных точках бифуркации. - Математическое моделирование,

1991, т.З, N •(, с.92-101.