автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели явлений переноса в инверсных средах

На правах рукописи

1 '> : . /

ГРИШИНА Алена Александровна

Математические модели явлений переноса в инверсных средах

Специальность: 05. 13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

.1 9 НОЯ ?ппд

Ульяновск 2009

003483947

Работа выполнена на кафедре «Физика» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор Браже Рудольф Александрович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Вельмисов Петр Александрович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Вилков Евгений Александрович

Ведущая организация - Ульяновский государственный педагогический университет им. И. Н. Ульянова

Защита диссертации состоится «09» декабря в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Автореферат разослан «с5~ » кгъл-^.1^2009 ]

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор технических наук, ^ -- - В. Р. Крашенинников

профессор ' ' /

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена построению математических моделей явлений переноса в инверсных средах, объяснению на их основе отрицательных значений некоторых кинетических коэффициентов и поиску новых, ранее не известных случаев такого рода.

Актуальность темы. Разработке кинетических теорий явлений переноса в различных агрегатных состояниях вещества посвящено большое количество работ, начиная с первых десятилетий прошлого века. Хорошо известны работы Д. Энскога, Дж. Сенджерса, С. Чепмена, Дж. Ферцигера и Г. Капера по явлениям переноса в реальных газах. В статистических теориях кинетических процессов в жидкостях обычно используются уравнения Боголюбова - Борна -Грина -Кирквуда - Ивона (уравнения ББГКИ) либо их упрощенные варианты (уравнения Кирквуда и Райса - Олнетта). Однако лучшее согласие с экспериментально полученными значениями кинетических коэффициентов дают формулы Грина - Кубо, выражающие их через временные корреляционные функции. Явления переноса в твердых телах описываются на основе кинетического уравнения Больцмана. Причем, в отличие от газов и жидкостей, к диффузии, вязкости, теплопроводности и электропроводности здесь прибавляется широкий круг термоэлектрических, гальваномагнитных, термомагнитных, гальванотермомагнит-ных и термомагнитоэлектрических явлений. Кроме того, в случае кристаллических твердых тел учитывается их анизотропия.

Во второй половине XX в. появились первые публикации, показывающие, что в неравновесных средах некоторые коэффициенты в явлениях переноса принимают отрицательные значения. В частности, в работах Н. Я. Когана, В. Г. Макаряна, Н. Е. Молевича, А. И. Осипова исследовалась вторая (объемная) вязкость в акустически активных газах. В работах В. С. Галкина, С. В. Русакова, Е. Н. Пеленовского изучалась отрицательная вторая вязкость в жидкостях. Экспериментально появление отрицательной второй вязкости при распространении звуковых волн в частично ионизованных газах было показано М. Ха-сегавой (1974).

Явление абсолютной отрицательной электропроводности было теоретически предсказано В. Ф. Елесиным (1966) и В. И. Рыжием (1969), однако его экспериментальное наблюдение по техническим и технологическим причинам стало возможным лишь в XXI в. и связано с именами X. С. Й. Ван-дер-Занта, Р. Г. Мани, М. А. Зудова и др.

Для объяснения аномального поведения кинетических коэффициентов в каждом конкретном случае названные авторы привлекают различные механизмы, между тем в этих явлениях, по-видимому, имеются глубинные закономерности общего характера. Действительно, все они являются следствием неравновесного состояния среды. Браже Р. А. (2006) высказана идея, что таким общим свойством во всех случаях существования отрицательных значений кинетических коэффициентов является инверсное состояние среды.

Явления переноса с отрицательными и управляемыми значениями кинетических коэффициентов могут найти использование, например, при создании новых видов фильтрующих материалов (отрицательная вязкость), для уменьшения тепловыделения в токоведущих элементах электронных устройств (отрицательная электропроводность) и других практических приложениях. В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей описывающих условия и закономерности этих явлений в различных агрегатных состояниях вещества.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы являлось выявление общих условий и закономерностей протекания явлений переноса с отрицательными значениями кинетических коэффициентов на основе их математического моделирования в рамках концепции инверсной среды.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ ранее известных математических моделей явлений переноса, объясняющих появление отрицательных значений кинетических коэффициентов в рамках различных, не связанных между собой, физических представлений.

2. Определение условий отрицательности коэффициентов в явлениях переноса в реальных газах, жидкостях и твердых телах (в том числе, в двумерных кристаллах) на основе модифицированных моделей Энскога, Грина - Кубо и Больцмана, учитывающих возможность инверсного состояния среды.

3. Выявление возможностей существования отрицательных кинетических коэффициентов в термоэлектрических, гальваномагнитных, термомагнитных и гальванотермомапштных явлениях.

Методы исследования. В работе использованы стандартные методы математической физики, методы решения интегро-дифференциальных уравнений для функции распределения частиц среды по координатам и импульсам, методы временных корреляционных функций термодинамических потоков, методы теории групп и тензорного анализа применительно к явлениям переноса в анизотропных средах, методы программирования и графического построения в среде МАТЬАВ.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые показано, что все известные случаи появления отрицательных кинетических коэффициентов в явлениях переноса (отрицательная объемная вязкость, отрицательная абсолютная электропроводность) связаны с инверсным состоянием среды.

2. На основе известных математических моделей явлений переноса в реальных газах и жидкостях путем их обоснованного обобщения на случай инверсного состояния среды показана возможность существования не только отрицательной объемной вязкости, но и отрицательной сдвиговой вязкости.

3. Впервые показано, что в ионизованном многокомпонентном газе, содержащем инверсные компоненты, парциальные электротермические коэффициенты принимают отрицательные значения.

4. Впервые выявлена симметрия тензоров кинетических коэффициентов, описывающих явления переноса в двумерных кристаллах, определено количество независимых компонентов этих тензоров и найдены коэффициенты, могу-

щие принимать отрицательные значения: коэффициенты электропроводности и электрического сопротивления, Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги - Ледюка, магнитосопротивления, магнитотермоэдс.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные подходы, методы и модели расширяют теоретическую базу проектирования технических устройств, использующих отрицательную кинетику частиц среды (отрицательную вязкость, отрицательную электропроводность и др.). В частности, выявление того факта, что в кристаллах с инверсной электронной (дырочной) подсистемой коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги-Ледюка, магнитосопротивления, магнитотермоэдс принимают отрицательные значения, позволит разработать целый ряд новых электронных приборов, использующих это свойство. Нахождение явного вида тензоров упомянутых коэффициентов для двумерных кристаллов различных классов симметрии позволит оптимизировать ориентацию рабочих поверхностей кристаллических элементов этих устройств относительно кристаллографических осей.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью использованного математического аппарата, непротиворечивостью полученных численных оценок фундаментальным физическим законам, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов и собственными натурными экспериментами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Впервые предлагаемый общий подход к математическому моделированию явлений переноса с отрицательными значениями кинетических коэффициентов, основанный на концепции инверсной среды, приводит к выводу, что все известные случаи таких явлений обусловлены инверсным состоянием среды.

2. Математическая модель явлений переноса в инверсных реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога допущением об изначально инверсном состоянии среды, объясняет существование отрицательной объемной и отрицательной сдвиговой вязкостен, а в случае ионизованного инверсного газа

также отрицательной электропроводности и отрицательных электротермических коэффициентов.

3. Математическая модель явлений переноса в инверсных жидкостях, отличающаяся от известной модели Грина - Кубо допущением об изначально инверсном состоянии среды, объясняет существование отрицательной объемной и отрицательной сдвиговой вязкостей в такой жидкости.

4. Математическая модель явлений переноса в инверсных двумерных кристаллах, основанная на кинетическом уравнении Больцмана для инверсного состояния электронной подсистемы кристалла, не только объясняет существование абсолютной отрицательной электропроводности, но и предсказывает ряд новых эффектов: отрицательные коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги - Ледюка, магнитосонротивления и магнитотермоэдс.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная «Конференция по логике, информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно-практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (Томск, 2007); II и III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008); Пятая Всероссийская научно-практическая конференция (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно-практическая конференция «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования» (Ульяновск, 2007, 2009); Региональная научная школа-семинар «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2006, 2007, 2008); Научно-техническая конференция УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2007, 2008, 2009), Седьмая международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, из них 5 статей и 11 тезисов докладов, в том числе одна статья в издании из перечня ВАК.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 139 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы, включающего 121 наименование, 4 приложений. Работа проиллюстрирована 7 рисунками и 10 таблицами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследования, сформулированы цель и задачи работы, показана ее практическая значимость.

В первой главе диссертации представлен аналитический обзор литературы, посвященной аномальному протеканию явлений переноса. Рассматриваются отрицательная вторая (объемная) вязкость и отрицательная абсолютная электропроводность, в том числе отрицательная абсолютная электропроводность, индуцированная микроволновым излучением, и отрицательная абсолютная электропроводность, обусловленная взаимодействием носителей тока с волнами зарядовой плотности.

На примере идеального газа дается трактовка аномальным явлениям переноса с позиций физики инверсных сред. В инверсной среде эффективная абсолютная температура принимает отрицательные значения (Г<0). Тогда эффективная средняя кинетическая энергия поступательного движения частиц среды

(Е) = (3/2)квТ и их эффективная масса m - (3kBT)j(y2^i также отрицательны.

Из элементарной кинетической теории явлений переноса следует, что в инверсном идеальном газе коэффициент сдвиговой вязкости отрицателен: ?7 = Dp<0) где D = (l/3)(v)(A) - коэффициент самодиффузии ((Я) - средняя длина свободного пробега молекул газа, (v) - их средняя скорость). Что касается коэффициента самодиффузии -D, то он всегда, даже когда газ находится в инверсном состоянии, положителен, так как (v) > 0, > 0.

Согласно классической электронной теории электропроводности металлов коэффициент электропроводности с = е2л(Я)/(2/я(у)). В случае инверсной электронной подсистемы в проводнике, когда м < 0, из записанного выражения получаем сг < 0, так как все прочие величины положительны по знаку.

Применимость данного подхода к реальным газам и другим агрегатным состояниям вещества, а также к другим явлениям переноса исследуется в последующих главах.

Вторая глава посвящена явлениям переноса в инверсных реальных газах. Разработана математическая модель явлений переноса в реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога для газа из твердых сферических молекул тем, что газ находится не в состоянии, близком к равновесному, а в инверсном состоянии. В рамках данной модели, коэффициенты самодиффузии Б и теплопроводности к положительны, а коэффициенты сдвиговой и объемной С вязкости отрицательны:

7

П = + ^рУ + 0.16\р2Уг0) < 0, ^ = 1.002р27т7(0)<0,

Здесь Г = 1 + 0.625/5 + 0.287/52 +0.115/53 + ... - поправка Энскога на плотность

газа из твердых сфер, р = 2/3та3 - безразмерная плотность газа (а -

эффективный диаметр молекул). Через ^ обозначены

соответственно коэффициенты самодиффузии, сдвиговой .вязкости и

теплопроводности для разреженного или, с достаточной степенью приближения, идеального газа.

Далее на основе модели Чепмена - Энскога построена математическая модель явлений переноса в многокомпонентном реальном газе, так как во многих практических случаях мы имеем дело не с отдельным газом, а с газовыми смесями. Кроме того, эти газы могут быть частично или даже полностью ионизованы, т. е. представлять собой плазму. Из полученных выражений для кинетических коэффициентов в этом случае следует, что, если в плазме имеются инверсные компоненты, для которых эффективные значения температуры, давления, плотности и массы частиц отрицательны, то знак могут поменять лишь соответствующие парциальные коэффициенты электропроводности, парциальные электротермические коэффициенты и парциальные коэффициенты вязкости.

На рис. 1 представлены зависимости продольных (по отношению к электрическому полю) компонент тензоров электропроводности °"ц (а) и электротермических коэффициентов Ч\ (б) от величины = 8тг^, пропорциональной числу электронов в сфере дебаевского радиуса и температуры Т, в модели бинарной смеси ионизованных атомов и электронов. Расчеты проводились по формулам

о-п = 1,931

<Р\\ = 0,777

2 те ' ккпет

пге

где е - элементарный заряд, те - масса электрона, х - среднее время его пролета:

3(4,еа)2 тПкеТГ

т = ■

(2лТ т41п(1 + 102) '

При этом по заданному значению 2о и заданной температуре газа Т, которая являлась параметром, находилась концентрация п электронов, подставляемая в приведенные выражения.

Данная математическая модель подтверждена натурным экспериментом, основанном на исследовании ватт - амперной характеристики (ВтАХ) полупроводникового лазера ИЛПН - 204 на двойном гетеропереходе И-А1хОа1_хА5 _ р.ОаАэ - р+-А1хСа1.хАз (рИС. 2), излучающем на длине волны Л = 810...880нм. При толщине перехода около 6 мкм и его площади !СГ8 м2 данный лаз^п и vcrrnвиgx ппямпго напряжения 2 В. поикладываемого к

------Г* J I - 1 ' *

переходу, имел ток накачки 90 мА. Расчетное значение полной удельной проводимости лазера составляло <т«27См/м. При этом фототок, регистрируемый фотодиодом, подключенным к лазеру через волоконный световод, составлял 95 мкА. Из них 8 мкА приходилось на рекомбинационную составляющую фототока, которую можно было найти из вида ВтАХ. Соответственно, проводимость, обусловленная инверсными электронами, составляла "¡1 = (1 - 8/95)с . С учетом классов точности и номинальных показаний измерительных приборов, а также

точности задания толщины и площади п Р - перехода <т = (25,0 ± 0,5)См/м с доверительной вероятностью Р ~ 0,95.

мкА

Рис. 2 Рис. 3

Зная концентрацию электронов в области п ~ Р -перехода (ю17 -1019 м'3), можно было найти интервал значений = 4,3 -140,0 и из графика, построенного по формуле для а\\ (рис. 3), соответствующий интервал теоретически полученных значений коэффициента электропроводности: Оу = (15-46) См/м. Он включает в себя экспериментально полученное значение а, что количественно подтверждает нашу модель. Поскольку, известно, что прямой ток в п~ Р- переходе направлен против результирующего электрического поля, равного разности контактного и внешнего полей, то это явление можно интерпретировать как отрицательную электропроводность.

Эксперимент по проверке отрицательных значений коэффициентов сдвиговой и (или) объемной вязкости реальных газов представляется малореальным. Подходящей средой является активная среда аммиачного мазера, потому что там используется инверсный однокомпонентный реальный газ в чистом виде. Но дело в том, что время жизни возбужденных частиц (атомов, молекул или

12

ионов) в метастабильных состояниях обычно не превышает 1СГ8...1(Г7с. Средняя скорость движения молекул аммиака даже при температуре Т~103К составляет около 103м/с. Следовательно, лишь наиболее быстрые возбужденные молекулы, за счет которых создается инверсная населенность, в пучке успевают пролететь через разделяющее устройство и попасть в сверхвысокочастотный резонатор, расположенный сразу же за этим устройством. Разместить между разделяющим устройством и резонатором какой-либо вискозиметр вряд ли возможно.

В третьей главе приведено обобщение модели Грина - Кубо на случай инверсной жидкой среды. В соответствии с гипотезой Онсагера существует связь между коэффициентами переноса и временными корреляционными функциями соответствующих потоков, что позволяет выразить эти коэффициенты через интегралы от указанных функций. В частности, для коэффициентов самодиффузии D; теплопроводности к, сдвиговой вязкости Ч и объемной вязкости ¿Г получены выражения, совпадающие с формулами Грина - Кубо:

D = \imm-2]e-!!,lpxpx{t))cit £—>0 0

7}= lim (VkBTy]e-*{x*r^(t))dt,

£•->0, Г-Ко 0 N /

оо . .

£= lim {VkBT)-x \е-а((\-Р)лххлхх^Ш,

С->0, F->CO g \ '

где р*, Jq, ,7х\ л™ - соответственно * -компоненты импульса частицы, потока тепла и тензора потока полного импульса; Ртса =(я") + {н ~(Н)Ця1а)/д{Н)ф -(ЛГ»3(;гв)/э(ЛГ), N - число частиц, Н - гамильтониан системы, усреднение проводится по равновесному распределению Гиббса.

Анализ этих формул показывает, что при инверсии жидкости, когда эффективная масса частиц т< 0 и эффективная абсолютная температура Т < 0, коэффициенты самодиффузии D и теплопроводности к остаются положительными,

а коэффициенты сдвиговой вязкости и объемной вязкости Q, как и в инверсных газах, становятся отрицательными. Экспериментально наблюдавшаяся многими исследователями инверсия знака объемной вязкости наблюдается в акустически неравновесных (активных) средах. Эта неравновесность заключается в большем заселении частицами колебательных уровней энергии и уменьшении населенности уровней энергии, связанных с поступательными и вращательными степенями свободы частиц. Вовлечение новых степеней свободы, активно взаимодействующих с акустической волной, вызывает уменьшение ее затухания или даже усиление, что можно интерпретировать как отрицательную вторую вязкость.

Постановка эксперимента по определению отрицательной сдвиговой вязкости в настоящее время вызывает серьезные трудности. Его можно было бы осуществить в условиях работающего жидкостного лазера на красителях, когда жидкость находится в стационарном инверсном состоянии. При этом надо разместить вискозиметр в струе прокачиваемой через оптический резонатор жидкости. Однако концентрации активных веществ (красителей) в используемых растворах очень малы (например, у одного из самых эффективных красителей -родамина - всего около 2мг/мл или 0,2 % в весовом отношении). Известные методы измерения сдвиговой вязкости жидкостей имеют значительно большую погрешность.

Но косвенная проверка подтверждает построенную математическую модель. Действительно, аппроксимационная формула, связывающая сдвиговую и вторую вязкости (Елизарова Т. Г., 2006) выглядит следующим образом: С = т](5/3-у)г где У - показатель адиабаты, который связан с числом степеней свободы частиц ' соотношением 7 = 1 + 2/г, ПрИЧСМ 'min 3. Следовательно, знаки и С совпадают, и если объемная вязкость инверсной жидкости отрицательна, то и ее сдвиговая вязкость должна быть отрицательной.

Четвертая глава посвящена явлениям переноса в инверсных двумерных кристаллах. Исследована их симметрия и физические свойства.

Вначале исследована симметрия равновесных физических свойств двумерных кристаллов. Получены матрицы тензорных коэффициентов, описывающих упругие, диэлектрические, термоэлектрические и тепловые свойства таких кристаллов. Определено число независимых компонентов соответствующих тензоров для каждого класса симметрии. Пьезоэлектрический и пироэлектрический эффекты, вследствие наличия центра симметрии, в двумерных кристаллах отсутствуют.

Получены матрицы коэффициентов, описывающих явления переноса в двумерных кристаллах. Из полученных результатов следует, что все явления переноса, описываемые симметричными полярными тензорами второго ранга (теплопроводность, электропроводность, диффузия, термоэлектрические явления), в двумерных кристаллах характеризуются, в общем случае, тремя независимыми кинетическими коэффициентами (для скаленагональной сингонии). Для двумерных кристаллов ортогональной сингонии независимых кинетических коэффициентов два. Двумерные кристаллы тетрагональной и гексагональной сингонии характеризуются одним независимым кинетическим коэффициентом, т. е. по отношению и указанным явлениям переноса эти кристаллы являются изотропными.

По отношению к явлениям переноса с участием магнитного поля, описываемым тензорами третьего ранга, магнитное поле, ориентированное в плоскости двумерного кристалла, не вызывает никакого эффекта. Если же магнитное поле ориентировано перпендикулярно кристаллу, то его влияние по разному сказывается на явлениях, описываемых антисимметричными и несимметричными тензорами третьего ранга. По отношению к эффектам Холла и Риги -Ледюка двумерные кристаллы являются изотропными, так как описываются одним независимым кинетическим коэффициентом. Для описания эффектов Нернста и Эттингсгаузена, в общем случае, требуется четыре кинетических коэффициента (скаленагональная сингония). Двумерные кристаллы классов 2тт, 4 и б характеризуются двумя коэффициентами. Наиболее симметричные клас-

сы 4тт и бтт по отношению к этим эффектам являются изотропными (описываются одним кинетическим коэффициентом).

Явления переноса, описываемые тензорами четвертого ранга (эффекты магнитосопротивления, магнитотеплопроводности, магнитотермоэдс и маг-нитотермоэлектрический эффект), в общем случае, описываются двенадцатью независимыми кинетическими коэффициентами (класс 2). Для классов 4, 4тт, 6 требуется, соответственно, 7, 6, 4 и 5 коэффициентов. Минимальное число этих коэффициентов требуется для класса бтт - 4.

Из кинетического уравнения Больцмана, описывающего явления переноса в электропроводящих твердых телах, получен явный вид кинетических коэффициентов переноса. Инверсия среды по-разному влияет на знак соответствующих кинетических коэффициентов. Полученные в данном разделе результаты исследования влияния инверсии подсистемы носителей заряда в кристаллах представлены в табл. 1.

Таблица I

Поведение компонентов тензоров кинетических коэффициентов при инверсии электронной подсистемы кристалла

Компоненты, не изменяющие знак Компоненты, изменяющие знак

ку (к-ты теплопроводности) ау (к-ты электропроводности)

(к-ты диффузии) Ру (к-ты электрич. сопротивления)

ач (термоэлектрические к-ты) Пу (к-ты Псльтье)

гу (к-ты Томсона) Ъу (к-ты Бриджмена)

Рук (к-ты Холла) аук (к-ты Нернста)

Рук (к-ты Эттингсгаузена) Кук (к-ты Риги - Ледюка)

Куы (к-ты магнитотеплопровод.) Рун (к-ты магнитосопротивления)

Руи (магнитоэлектротерм. к-ты) ауы (к-ты магнитотермоэдс)

Из полутора десятков исследованных явлений переноса в твердых телах, в том числе в двумерных кристаллах, лишь семь могут описываться отрицательными коэффициентами. Из них лишь одно явление - абсолютная отрицательная проводимость (АОП) - к настоящему времени имеет экспериментальное подтверждение.

Известны АОП в квазиодномерных проводниках с волной зарядовой плотности (Н. S. J. Van der Zant et al, 2001; С. В. Зайцев-Зотов, 2004), АОП в трехмерных полупроводниках с неравновесным распределением электронов по энергетическим состояниям (В. Ф. Елесин, 1966, 2005), АОП в двумерных электронных системах, индуцированная микроволновым излучением (В. И. Рыжий, 1969, 2005). Показано, что во всех приведенных случаях мы имеем дело с инверсным распределением носителей заряда по энергетическим состояниям.

Экспериментальные условия, при которых становятся отрицательными коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги — Ледюка, магнитосопротив-ления и магнитотермоэдс, еще предстоит отыскать. Достоверность этих эффектов пока что подтверждается математической строгостью построенных моделей и их непротиворечивостью фундаментальным законам физики.

В заключении приведены основные результаты работы:

1. На основе анализа большого числа работ по явлениям переноса впервые показано, что отрицательные значения кинетических коэффициентов обусловлены инверсным состоянием среды. При этом сами коэффициенты выражаются через отрицательную эффективную массу частиц или отрицательную эффективную абсолютную температуру.

2. Предложена математическая модель явлений переноса в реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного состояния газа, а при малых отклонениях от его инверсного состояния. Показано, что объемная и сдвиговая вязкости инверсного газа являются отрицательными.

3. Предложена математическая модель явлений переноса в многокомпонентном ионизованном газе, находящемся в скрещенных электрическом и магнитном полях, отличающаяся от известной модели Чепмена - Энскога тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного состояния газа, а при малых отклонениях от его инверсного состояния. Показано, что в таком газе парциальные коэффициенты объемной и сдвиговой вязкостен, электропроводности и электротермического эффекта для инверсных компонентов являются отрицательными.

Математическая модель отрицательной электропроводности инверсного электронного газа подтверждена в эксперименте с использованием полупроводникового лазера на двойном гетеропереходе.

4. Предложена математическая модель явлений переноса в жидкостях, отличающаяся от известной модели Грина - Кубо тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного состояния жидкости, а при малых отклонениях от ее инверсного состояния. Показано, что в таких жидкостях объемная и сдвиговая вязкости являются отрицательными.

5. Впервые определены структура и количество независимых компонентов тензоров, описывающих равновесные и кинетические свойства двумерных кристаллов.

6. Предложена математическая модель явлений переноса в двумерных кристаллах, основанная на кинетическом уравнении Больцмана для малых возмущений распределения электронов по координатам и импульсам относительно их инверсного состояния. Показано, что в кристаллах с инверсной электронной подсистемой отрицательные значения могут принимать не только коэффициенты электропроводности (электрического сопротивления), но и

коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги - Ледюка, магнитосопротивления и магнитотермоэдс. В приложениях 1-4 представлены таблицы, описывающие симметрию двумерных кристаллов, правила их установки и симметрию равновесных и неравновесных физических свойств.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи, опубликованные в изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Браже, Р. А. Математические модели явлений переноса в инверсных газах / Р. А. Браже, А. А. Елизарова ('Гришина') // Математическое моделирование. -2008.-Т. 20,-№5.-С. 110-118.

Статьи и тезисы, опубликованные в других изданиях:

1. Барыкина, Е. И. Физические свойства инверсных двумерных нанокристаллов / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина') // Электронная техника: Сб. науч. тр. - Ульяновск. - 2007. - С. 3-9.

2. Браже, Р. А. Явления переноса в двумерных кристаллах с инверсной электронной подсистемой / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Вестник УлГТУ. - 2007. -№4. -С. 35-39.

3. Браже, Р. А. Явления переноса в двумерных нанокристаллах / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Прикладная математика и механика. - 2009. - Т. 8. - С. 29-37.

4. Браже, Р. А. Математическая модель явлений переноса в инверсных жидкостях / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Вестник УлГТУ. - 2009. - № 1. - С. 18-21.

5. Елизарова (Гришина), А. А. Явления переноса в инверсных газах / А. А. Елизарова (Гришина) // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск. - 2006. - С. 4.

6. Браже, Р. А. Формирование у студентов современных представлений о явлениях переноса с точки зрения физики инверсных сред / Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Мат. всероссийской научно-практич. конф. «Формирование научных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск. - 2007. - С. 11-14.

7. Елизарова, А. А. (Гришина) Математические модели отрицательной вязкости и отрицательной электропроводности в инверсных средах и перспективы их практического применения / А. А. Елизарова (Гришина) // Мат. всероссийской научно-практич. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР - 2007». - Томск. - 2007. - С. 124-126.

8. Браже, Р. А. Отрицательная электропроводность инверсных нанокристаллов / Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Мат. конф. «Наноэлнетроника, нано-фотоника и нелинейная физика». - Саратов. - 2007. - С. 18-19.

к) д

9. Браже, Р. А. Двумерные нанокристаллы как материалы для радиотехнических устройств / Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Тр. пятой всероссийской научно-практич. конф. «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем». - Ульяновск. - 2007. - С. 277-280.

10. Браже, Р. А. Математические модели инверсных жидкостей / Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Тр. межд. «Конференции по логике, информатики, науковедению». - Ульяновск. - 2007. - Т. 4. - С. 42.

11. Браже, Р. А. Математическая модель отрицательной электропроводности в двумерных кристаллах с инверсной электронной подсистемой / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск. - 2007. - С. 29-30.

12. Гришина, А. А. Особенности протекания явлений переноса в электропроводящих двумерных кристаллах с инверсной электронной подсистемой / А. А. Гришина // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск. - 2008. - С. 33.

13. Гришина, А. А. Явления переноса в двумерных кристаллах, допускающих инверсию электронной подсистемы / А. А. Гришина // Мат. конф. «Наноэлек-троника, нанофотоника и нелинейная физика». - Саратов. - 2008. - С. 30-33.

14. Браже, Р. А. Математические модели явлений переноса в инверсных средах / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Тр. седьмой межд. конф. «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов ». - Ульяновск. - 2009. - С. 49-51.

15. Гришина, А. А. Преодоление стереотипов мышления в вопросах газо- и гидродинамики: отрицательная вязкость / А. А. Гришина // Мат. всероссийской научно-практич. конф. «Формирование научных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск. - 2009. - С. 57-59.

Гришина Алена Александровна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА В ИНВЕРСНЫХ СРЕДАХ

Автореферат Подписано в печать 29.10.2009. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1, 00. Тираж 100 экз. Заказ 1235.

Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32.

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Отрицательные кинетические коэффициенты в явлениях переноса (аналитический обзор)

1.1. Отрицательная вязкость.

Термодинамически неравновесные среды (18). Акустически активные среды (20). Вторая вязкость (22). Отрицательная вязкость (24).

1.2. Отрицательная абсолютная электропроводность.

Отрицательная электропроводность, индуцированная микроволновым излучением (25). Отрицательная электропроводность, обусловленная взаимодействием носителей тока с волнами зарядовой плотности (27).

1.3. Трактовка аномальных явлений переноса с точки зрения физики инверсных сред.

Понятие инверсной среды (28). Отрицательная абсолютная температура

29). Отрицательная вязкость идеального газа (30). Отрицательная электропроводность инверсного электронного (дырочного) газа (30).

1.4. Выводы по главе

Глава 2. Математическая модель явлений переноса в инверсных газах

2.1. Явления переноса в инверсном однокомпонентном реальном газе.

Модель Энскога (34). Математическая постановка задачи (34). Нулевое приближение (36). Первое приближение (37). Кинетические коэффициенты (39). Распространение модели Энскога на инверсные газы (40). Отрицательная вязкость инверсного реального газа (41).

2.2. Явления переноса в многокомпонентном ионизованном газе, имеющем инверсные компоненты

Требования к газу (44). Отрицательная вязкость инверсных компонентов ионизованного газа в модели Чепмена - Энскога (45).

2.3. Экспериментальная проверка построенных математических моделей.

Лазерные среды (51). Схема эксперимента (53). Полученные результаты (54).

2.4. Выводы по главе 2.

Глава 3. Математическая модель явлений переноса в инверсных жидкостях

3.1. Элементы статистической теории кинетических процессов в инверсных жидкостях.

Уравнения Боголюбова (59). Модель Кирквуда (61). Вычисление коэффициентов переноса через временные корреляционные функции (63). Явления переноса в инверсных жидкостях (66).

3.2. Верификация математической модели.

Известные экспериментальные результаты и их трактовка (67). Трудности прямой экспериментальной проверки наличия отрицательной сдвиговой вязкости (69). Косвенная проверка справедливости модели (70).

3.3. Выводы по главе

Глава 4. Математическая модель явлений переноса в инверсных двумерных кристаллах

4.1. Симметрия двумерных кристаллов и их равновесных

Симметрия двумерных кристаллов (73). Симметрия равновесных физических свойств двумерных кристаллов (77). Симметрия и физические свойства нанотрубок (79).

Теплопроводность (81). Электропроводность (81). Диффузия (82). Термоэлектрические явления (83). Гальваномагнитные явления (84). Термомагнитные явления (85). Гальванотермомагнитные явления (85). Термомагнитоэлектрические явления (86). Матрицы коэффициентов, описывающих явления переноса в двумерных кристаллах (86).

4.3. Явления переноса в двумерных кристаллах с инверсной электронной подсистемой.

Электропроводность (90). Теплопроводность (93). Диффузия (95). Термоэлектрические явления (96). Гальваномагнитиые явления (97). Термомагнитные явления (100). Гальванотермомагнитные явления (101). Термомагнитоэлектрические явления (103). Общая характеристика влияния инверсии (104).

4.4. Верификация построенной модели.

Известные экспериментальные результаты (106). АОП в физических свойств

4.2. Явления переноса в двумерных кристаллах квазиодномерных проводниках с волной зарядовой плотности (107). АОП в трехмерных полупроводниках с неравновесным распределением электронов по энергетическим состояниям (111). АОП в двумерных электронных системах, индуцированная микроволновым излучением (112).

4.5. Выводы по главе 4.

Классическая термодинамика дает полное количественное описание равновесных (обратимых) процессов. Для описания необратимых процессов, включающих в себя явления переноса, используется термодинамика неравновесных процессов. Впервые термодинамическое описание таких процессов было использовано в 1854 г. В. Томсоном (Кельвином). Изучение неравновесных процессов термодинамическими методами было продолжено JI. Онсагером, установившим в 1931 г. соотношения взаимности для коэффициентов феноменологических законов, которым подчиняются необратимые процессы. Как самостоятельная наука неравновесная термодинамика получила свое развитие в работах Дж. Мейкснера, И. Пригожина и С. де Грота. В термодинамически неравновесных процессах связь между потоками физических величин (теплоты, импульса и др.) и градиентами, вызывающими эти потоки (градиент температуры, градиент концентрации и др.), описываются уравнениями, в которые входят кинетические коэффициенты, такие как теплопроводность, диффузия, вязкость и т. д. В общем случае все явления переноса описываются кинетическим уравнением Больцмана, которое представляет собой уравнение баланса числа частиц в элементе фазового объема и выражает тот факт, что изменение функции распределения со временем происходит вследствие движения частиц под действием внешних сил и столкновений между ними [1].

Явления переноса состоят в том, что происходит упорядоченный, направленный перенос массы (диффузия), импульса (внутреннее трение), внутренней энергии (теплопроводность) и заряда (электропроводность). Математические модели явлений переноса представлены в работах [2-4]. В классической теории явлений переноса принято считать, что кинетические коэффициенты могут принимать только положительные значения, но в последнее время все чаще появляются работы, указывающие на условия, при которых возможны отрицательные значения кинетических коэффициентов переноса. Известны, например, отрицательный коэффициент второй (объемной) вязкости в акустически активных средах [15-23, 25-38, 40], отрицательный коэффициент электропроводности в поперечном квантующем магнитном поле [42, 44, 46, 106, 119], а также в проводниках с волной зарядовой плотности [55, 56] и в двумерных электронных системах с индуцирующим микроволновым излучением [43, 49, 50, 54]. Правда, теоретическое объяснение в каждом отдельном случае (вязкость, электропроводность и т. п.) опирается на различные, не выявляющие общей природы аномалии, физические законы. Между тем в этих явлениях, по-видимому, имеются глубинные закономерности общего характера. Действительно, все они, как отмечают сами авторы цитируемых работ [40, 54, 106], являются следствием неравновесного состояния среды. В работе [57] высказана идея, что общим свойством во всех случаях существования отрицательных значений кинетических коэффициентов является инверсное состояние среды. В такой среде в состояниях с большей энергией находится большее количество частиц, чем в состояниях с меньшей энергией. Инверсное состояние среды достигается использованием энергетической накачки. С формальной точки зрения инверсной среде соответствует эффективная отрицательная абсолютная температура. Поэтому инверсные системы часто называют системами с отрицательной температурой. Любая инверсная система является активной системой, так как обеспечивает превращение энергии накачки в полезную работу по усилению подаваемых в нее внешних сигналов.

Явления переноса с отрицательными и управляемыми значениями кинетических коэффициентов могут найти использование, например, при создании новых видов фильтрующих материалов (отрицательная вязкость), для уменьшения тепловыделения в токоведущих элементах электронных устройств (отрицательная электропроводность) и других практических приложениях. В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей описывающих условия и закономерности этих явлений в различных агрегатных состояниях вещества.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационной работы являлось выявление общих условий и закономерностей протекания явлений переноса с отрицательными значениями кинетических коэффициентов на основе их математического моделирования в рамках концепции инверсной среды.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ ранее известных математических моделей явлений переноса, объясняющих появление отрицательных значений кинетических коэффициентов в рамках различных, не связанных между собой, физических представлений.

2. Определение условий отрицательности коэффициентов в явлениях переноса в реальных газах, жидкостях и твердых телах (в том числе, в двумерных кристаллах) на основе модифицированных моделей Энскога, Грина - Кубо и Больцмана, учитывающих возможность инверсного состояния среды.

3. Выявление возможностей существования отрицательных кинетических коэффициентов в термоэлектрических, гальваномагнитных, термомагнитных и гальванотермомагнит-ных явлениях.

Методы исследования. В работе использованы следующие методы математического моделирования и численного эксперимента:

- стандартные методы математической физики, приводящие к дифференциальным уравнениям в частных производных (задачи теплопроводности, вязкости, электропроводности и др.);

- метод Чепмена - Энскога математического описания процессов переноса в многокомпонентной равновесной плазме;

- метод интегро-дифференциальных уравнений для функции распределения частиц среды по координатам и импульсам (уравнения Боголюбова - Борна - Грина - Кирквуда - Ивона);

- метод временных корреляционных функций термодинамических потоков (формулы Грина - Кубо);

- методы теории групп и тензорного анализа применительно к явлениям переноса в двумерных кристаллах;

- методы программирования и графического построения в среде MATLAB.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Впервые показано, что все известные случаи появления отрицательных кинетических коэффициентов в явлениях переноса (отрицательная объемная вязкость, отрицательная абсолютная электропроводность) связаны с инверсным состоянием среды.

2. На основе известных математических моделей явлений переноса в реальных газах и жидкостях путем их обоснованного обобщения на случай инверсного состояния среды показана возможность существования не только отрицательной объемной вязкости, но и отрицательной сдвиговой вязкости.

3. Впервые показано, что в ионизованном многокомпонентном газе, содержащем инверсные компоненты, парциальные электротермические коэффициенты принимают отрицательные значения.

4. Впервые выявлена симметрия тензоров кинетических коэффициентов, описывающих явления переноса в двумерных кристаллах, определено количество независимых компонентов этих тензоров и найдены коэффициенты, могущие принимать отрицательные значения: коэффициенты электропроводности и электрического сопротивления, Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги - Ледюка, магнитосопро-тивления, магнитотермоэдс.

Практическая значимость работы состоит в том, что предложенные подходы, методы и модели расширяют теоретическую базу проектирования технических устройств, использующих отрицательную кинетику частиц среды (отрицательную вязкость, отрицательную электропроводность и др.). В частности, выявление того факта, что в кристаллах с инверсной электронной (дырочной) подсистемой коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги - Ледюка, магнитосопротивления, магнитотермоэдс принимают отрицательные значения, позволит разработать целый ряд новых электронных приборов, использующих это свойство. Нахождение явного вида тензоров упомянутых коэффициентов для двумерных кристаллов различных классов симметрии позволит оптимизировать ориентацию рабочих поверхностей кристаллических элементов этих устройств относительно кристаллографических осей.

Достоверность полученных результатов обусловлена корректностью использованного математического аппарата, непротиворечивостью полученных численных оценок фундаментальным физическим законам, а также подтверждается экспериментальными и теоретическими результатами других авторов и собственными натурными экспериментами.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Впервые предлагаемый общий подход к математическому моделированию явлений переноса с отрицательными значениями кинетических коэффициентов, основанный на концепции инверсной среды, приводит к выводу, что все известные случаи таких явлений обусловлены инверсным состоянием среды.

2. Математическая модель явлений переноса в инверсных реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога допущением об изначально инверсном состоянии среды, объясняет существование отрицательной объемной и отрицательной сдвиговой вязкостей, а в случае ионизованного инверсного газа также отрицательной электропроводности и отрицательных электротермических коэффициентов.

3. Математическая модель явлений переноса в инверсных жидкостях, отличающаяся от известной модели Грина —Кубо допущением об изначально инверсном состоянии среды, объясняет существование отрицательной объемной и отрицательной сдвиговой вязкостей в такой жидкости.

4. Математическая модель явлений переноса в инверсных двумерных кристаллах, основанная на кинетическом уравнении Больцма-на для инверсного состояния электронной подсистемы кристалла, не только объясняет существование абсолютной отрицательной электропроводности, но и предсказывает ряд новых эффектов: отрицательные коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги-Ледюка, магни-тосопротивления и магнитотермоэдс.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная «Конференция по логике, информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно — практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУ СУР - 2007» (Томск, 2007); II и III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008); Пятая Всероссийская научно-практическая конференция (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно - практическая конференция «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования» (Ульяновск, 2007); Региональная научная школа-семинар «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2006, 2007, 2008); Научно - техническая конференция УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2007, 2008, 2009); Седьмая международная конференция «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов» (Ульяновск, 2009).

Личное участие автора в проведенных исследованиях отражено в самостоятельных публикациях (работы [5, 7, 12, 13, 15]) и в работах, выполненных в соавторстве. Основные теоретические положения разработаны совместно с научным руководителем профессором Браже Р. А. Все графические результаты, компьютерные программы их получения, численные оценки, эксперименты и выводы сделаны автором лично. Результаты, содержащиеся в работе [89], получены совместно с профессором Браже Р. А. и ассистентом Барыкиной Е. И. При этом на долю автора приходится исследование электрических свойств двумерных кристаллов.

В первой главе диссертации приведен аналитический обзор работ, посвященных явлениям переноса с аномальными значениями кинетических коэффициентов. Рассмотрены такие относительно недавно открытые явления, как отрицательная объемная вязкость, отрицательная абсолютная электропроводность, индуцированная микроволновым излучением и отрицательная электропроводность, обусловленная взаимодействием носителей тока с волнами зарядовой плотности. Приведена трактовка этих явлений с точки зрения физики инверсных сред.

Вторая глава посвящена явлениям переноса в инверсных газах. Разработана математическая модель явлений переноса в реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога для газа из твердых сферических молекул тем, что газ находится не в состоянии близком к равновесному, а в инверсном состоянии. Показано, что в таком газе и объемная, и сдвиговая вязкости отрицательны. Аналогичным образом модифицирована модель Чепмена — Энскога для многокомпонентного газа. Показано, что парциальные коэффициенты электропроводности и парциальные электротермические коэффициенты в случае инверсии соответствующих компонентов газа принимают отрицательные значения. Приведены результаты натурного эксперимента по определению обусловленной инверсными электронами электропроводности полупроводникового лазера на двойном гетеропереходе я-A^Ga^As - £>-GaAs - /?+-AlxGa!.xAs3 косвенно подтверждающие выводы разработанной математической модели электропроводности бинарной смеси ионизованных атомов и электронов.

В третьей главе приведено обобщение модели Грина - Кубо на случай инверсной жидкой среды. Показана возможность существования не только отрицательной объемной (второй) вязкости, но и отрицательной сдвиговой вязкости жидкости. Приведена косвенная верификация математической модели на основе сравнения полученных результатов с результатами других авторов.

Четвертая глава посвящена явлениям переноса в инверсных двумерных кристаллах. Здесь рассмотрена симметрия двумерных кристаллов и их равновесных физических свойств. Рассмотрена математическая модель явлений переноса в таких кристаллах, допускающих инверсию электронной подсистемы. Рассмотрены теплопроводность, электропроводность, термоэлектрические явления (эффекты Пельтье, Томсона, Бриджмена), гальваномагнитные явления (эффекты Холла и магнитосопротивления), термомагнитные явления (эффекты Риги — Ледюка и магнитотеплопроводности), гальванотермомагнитные явления (эффект Нернста и магнитотермоэлектрической эффект), термомагнитоэлектрические явления (эффект Эттингсгаузена и магнито-электротермический эффект). Определен круг явлений, допускающих отрицательные значения кинетических коэффициентов. Проведена косвенная верификация построенной модели на основе известных экспериментальных результатов других авторов.

В приложениях 1-4 представлены таблицы, описывающие симметрию двумерных кристаллов, правила их установки и симметрию равновесных и неравновесных физических свойств.

Основные результаты и выводы работы сводятся к следующему:

1. На основе анализа большого числа работ по явлениям переноса впервые показано, что отрицательные значения кинетических коэффициентов обусловлены инверсным состоянием среды. При этом сами коэффициенты выражаются через отрицательную эффективную массу частиц или отрицательную эффективную абсолютную температуру.

2. Предложена математическая модель явлений переноса в реальных газах, отличающаяся от известной модели Энскога тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного состояния газа, а при малых отклонениях от его инверсного состояния. Показано, что объемная и сдвиговая вязкости инверсного газа являются отрицательными.

3. Предложена математическая модель явлений переноса в многокомпонентном ионизованном газе, находящемся в скрещенных электрическом и магнитном полях, отличающаяся от известной модели Чепмена —Энскога тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного отклонения от равновесного состояния газа, а при малых отклонениях от его инверсного состояния. Показано, что в таком газе парциальные коэффициенты объемной и сдвиговой вязкостей, электропроводности и электротермического эффекта для инверсных компонентов являются отрицательными.

Математическая модель отрицательной электропроводности инверсного электронного газа подтверждена в эксперименте с использованием полупроводникового лазера на двойном гетеропереходе.

4. Предложена математическая модель явлений переноса в жидкостях, отличающаяся от известной модели Грина -Кубо тем, что рассматриваются релаксационные процессы, возникающие не при малых отклонениях от равновесного состояния жидкости, а при малых отклонениях от ее инверсного состояния. Показано, что в таких жидкостях объемная и сдвиговая вязкости являются отрицательными.

5. Впервые определены структура и количество независимых компонентов тензоров, описывающих равновесные и кинетические свойства двумерных кристаллов.

6. Предложена математическая модель явлений переноса в двумерных кристаллах, основанная на кинетическом уравнении Больцмана для малых возмущений распределения электронов по координатам и импульсам относительно их инверсного состояния. Показано, что в кристаллах с инверсной электронной подсистемой отрицательные значения могут принимать не только коэффициенты электропроводности (электрического сопротивления), но и коэффициенты Пельтье, Бриджмена, Нернста, Риги — Ледюка, магнитосопротивления и магнитотермоэдс.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Отличительной особенностью данной работы является исследование нового методологического подхода — концепции инверсной среды - для единого с физической точки зрения объяснения причины появления отрицательных значений кинетических коэффициентов (вязкости, электропроводности и др.) в некоторых уравнениях явлений переноса. Показано, что во всех случаях, когда это имеет место, среда является инверсной, а энергетические состояния частиц в ней описывается инверсным распределением Больцмана. Ввиду того, что различным средам (газам, жидкостям, твердым телам) и разным явлениям переноса, где возникают отрицательные кинетические коэффициенты, посвящено огромное число, главным образом теоретических, работ, описанные здесь математические модели таких явлений представляются более наглядными и универсальными по сравнению с имеющимися. По сути дела, в диссертации решена задача создания целостной картины аномального протекания явлений переноса в инверсных средах.

1. Физическая энциклопедия. В 5 т. Т. 3 / Гл. ред. Прохоров А. М.

2. М. : Большая Российская энциклопедия, 1992. — 672 с.

3. Ферцигер, Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер, Г. Капер. М.: Мир, 1976. - 534 с.

4. Займан, Дж. Электроны и фононы: пер. с англ. / под ред. В. А. Бонч-Бруевич. М. : Издательство иностранной литературы, 1962.-488 с.

5. Гиршфельдер, Дж. Молекулярная теория газов и жидкостей / Дж. Гиршфельдер. М . : Мир, 1961. - 929 с.

6. Бажин, Н. М. Термодинамика для химиков / Н. М. Бажин, В. А. Иванченко, В. Н. Пармон. М. : Химия, КолосС, 2004. -416 с.

7. Осипов, А. И. Термодинамика вчера, сегодня, завтра / А. И. Осипов // Соровский образовательный журнал. — 1999. -№5.-С. 91-97.

8. Браже, Р. А. Концепции современного естествознания. В 2 ч. Ч. 2: Концепции современного естествознания : учеб. пособие / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов. Ульяновск. : УлГТУ, 2003.- 126 с.

9. Косарев, А. В. Динамика эволюции неравновесных диссипатив-ных сред / А. В. Косарев. Оренбург : ИПК «Газпромпечать» ООО «Оренбурггазпромсервис», 2001. - 144 с.

10. Эткин, В. А. Термодинамика неравновесных процессов переноса и преобразования энергии / В. А. Эткин. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1991. - 168 с.

11. Фабер, Т. Е. Гидроаэродинамика / Т. Е. Фабер. М. : Постмар-кет, 2001.-560 с.

12. Елизарова, Т. Г. Квазигазодинамическае уравнения и аппрокси-мационная формула для объемной вязкости / Т. Г. Елизарова, В. В. Серегин // Вестник Московского ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. 2006. -№ 1. - С. 15-18.

13. Галкин, В. С. К теории объемной вязкости и релаксационного давления / В. С. Галкин, С. В. Русаков // Прикладная математика и механика.-2005.-Т. 69.-№6.-С. 1051-1064.

14. Осипов, А. И. Кинетические и газодинамические процессы в неравновесной молекулярной физике / А. И. Осипов, А. В. Уваров // УФН. 1992. - Т. 162. - № 11. - С. 1-42.

15. Панченков, Г. М. Теория вязкости жидкости / Г. М. Панченков. -М. : Мир, 1947.-152 с.- 15.Макарян, В. Г. Новые стационарные структуры в акустически активной среде / В. Г. Макарян, Н. Е. Молевич // ПЖТФ. 2003. -Т. 29,-№8. -С. 11-18.

16. Молевич, Н. Е. Параметрическое усиление волн завихренности в акустически активной среде / Н. Е. Молевич // ПЖТФ. 2001. -Т. 27.-№ 14.-С. 51-55.

17. Молевич, Н. Е. К вопросу о длине образования разрыва в акустически активной среде / Н. Е. Молевич // ЖТФ. 2001. - Т. 71. -№ 12.-С. 83.

18. Завершинский, И. П. Акустические волны в частично ионизованном газе / И. П. Завершинский, Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич // Акустический журнал. 1992. - Т. 38. - № 4. - С. 703-709.

19. Молевич, Н. Е. Вторая вязкость в термодинамически неравновесных средах / Н. Е. Молевич, А. И. Ораевский // ЖЭТФ. -1988. Т. 94. - № 3. - С. 128-132.

20. Коган, Е. Я. Звуковые волны в неравновесном молекулярном газе / Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич // Изв. Вузов MB и ССО СССР. Физика. 1986. - № 7. - С. 53-58.

21. Макарян, В. Г. Структура слабых ударных волн в стационарно неравновесной среде / В. Г. Макарян, Н. Е. Молевич // ПЖТФ. -1992. Т. 5. - № ю. - С. 23-65.

22. Молевич, Н. Е. Акустическое течение газа / Н. Е. Молевич // ПЖТФ. -2001. -Т. 27. -№21. -С. 26-28.

23. Молевич, Н. Е. Волны в среде с отрицательной второй вязкостью / Н. Е. Молевич, А. Н. Ораевский // Труды ФИАН. -1992.-Т. 222.-С. 45-95.

24. Красильников, В. А. Введение в физическую акустику / В. А. Красильников, В. В. Крылов. М. : Наука, 1984. - 400 с.

25. Осипов, А. И. Вторая вязкость в термодинамически неравновесном газе / А. И. Осипов, А. В. Уваров // Вестник Московского ун-та. Физика. Астрономия. 1987. - Т. 28. - № 6. - С. 52-56.

26. Макарян, В. Г. Структура газодинамического возмущения в термодинамически неравновесной среде с экспоненциальной моделью релаксации / В. Г. Макарян, Н. Е. Молевич // Механика жидкости и газа. 2004. -№ 5. - С. 181-191.

27. Коган, Н. Е. Возбуждение вихревых структур в неравновесном молекулярном газе // Е. Я. Коган, С. С. Моисеев, Н. Е. Молевич, А. В. Тур // ЖТФ. 1985. - Т. 55. -№ 10. - С. 2036-2038.

28. Коган, Е. Я. Распространение звука в колебательно возбужденном газе / Е. Я. Коган, В. Н. Мальнев // ЖТФ. - 1977. -Т. 47. -№ 3. - С. 653-656.

29. Коган, Н. Я. Возбуждение волн в неравновесном газе с VRT -механизмом релаксации / Н. Я. Коган // ЖТФ. — 1985. Т. 55. — № 4. - С. 754-756.

30. Завершинский, И. П. Ионизованная вторая вязкость в плазме и эволюция акустических волн / И. П. Завершинский, Е. Я. Коган // ПЖТФ. 1988. — Т. 14.-№ 16.- С. 1483-1486.

31. Борисов, А. А. О формировании волны пузырьковой детонации / А. А. Борисов, О. В. Шарылов // Изв. СО АНСССР. Сер. Тех. Наук. 1990. - № 2. - С. 50-59.

32. Завершинский, И. П. О механизме усиления звука в слабо ионизованном газе / И. П. Завершинский, Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич // ЖЭТФ. 1991. - Т. 99. - № 8. - С. 422-427.

33. Галечан, Г. А. О механизме формирования анизотропии коэффициентов усиления звука в газоразрядной плазме / Г. А. Галечан и др. // Препринт № 1. Ереван : Институт прикладных проблем физики АН РА, 1991. 20 с.

34. Молевич, Н. Е. Влияние объемной вязкости на распространение звука в неравновесных газовзвесях / Н. Е. Молевич,

35. B. Е. Ненашев // Акустический журнал. — 2000. Т. 49. - N° 2.1. C. 539-544.

36. Молевич, Н. Е. Дисперсия скорости звука и вторая вязкость в средах с неравновесными химическими реакциями / Н. Е. Молевич // Акустический журнал. 2003. - Т. 49. - № 2. - С. 229-232.

37. Hasegawa, М. Amplification of sound waves in partially ionized gases / M. Hasegawa // Phys. Soc. Jap. 1974. - V. 37. -P. 193-199.

38. Пелиновский, E. H. Взрывная неустойчивость нелинейных волн в средах с отрицательной вязкостью / Е. Н. Пелиновский, В. Е. Фридман // Прикладная математика и механика. 1974. -Т. 38.-№6.-С. 990-995.

39. Молевич, Н. Е. ВРМБ в среде с отрицательной второй вязкостью / Н. Е. Молевич, А. Н. Ораевский //Квантовая электроника. -1987.-Т. 14.-№8.-С. 1678-1684.

40. Korschunov, S. Е. On stability of shock waves with finite relaxation zone / S. E. Korschunov // Izv. Akad. Nauk Mekn. Zhidk. I Gasa. - 1982.-№5.-P. 176.

41. Коган, E. Я. Коллапс акустических волн в неравновесном молекулярном газе / Е. Я. Коган, Н. Е. Молевич // ЖТФ. 1986. -Т. 56. -№ 5. - С. 941-943.

42. Островский, JI. А. О приближенных уравнениях для волн в средах с малыми нелинейностями и дисперсией / A. JI. Островский, Е. Н. Пелиновский // Прикладная математика и механика. -1974. Т. 38.-№ 1.-С. 121-124.

43. Елесин, В. Ф. Явление абсолютной отрицательной проводимости в неравновесных трехмерных полупроводниках / В. Ф. Елесин//У ФН. 2005. - Т. 175.-№2.-С. 197-201.

44. Рыжий, В. И. Особенности фотопроводимости тонких пленок в скрещенных электрическом и магнитном полях / В. И. Рыжий // ФТТ. 1969. - Т. 11. - № 9. - С. 2577-2579.

45. Александров, А. С. Спектральные закономерности осцилляции фототока в квантующем магнитном поле на неравновесных фотоэлектронах в />-InSb / А. С. Александров // ЖЭТФ. 1973. -Т. 64. -№ 1.-С. 231-243.

46. Рыжий, В. И. О магнетофононных осцилляциях проводимости полупроводников на горячих электронах / В. И. Рыжий // ЖЭТФ. 1973. - Т. 64. - № 3. - С. 643-649.

47. Александров, А. С. О влиянии стационарных магнитных полей до 15 Т на спектр поперечного фототока в jo-InSb / А. С. Александров, А. Н. Кулямзин // ФТТ. 1977. - Т. 19. - № 5. -С. 1518-1519.

48. Гантмахер, В. Ф. Магнитопримесные резонансы как индикатор инверсной функции распределения фотоэлектронов в полупроводниках / В. Ф. Гантмахер, В. Н, Зверев // УФН. 2005. -Т. 175.-№2.-С. 201-205.

49. Kromer, Н. Proposed negative mass microwave amplifier / H. Kromer//Phys. Rev. -1958.-V. 109.-P. 1856.

50. Mani, R. G. Zero-resistance states induced by electromagnetic waves in a 2DEG / R. G. Mani et al. // Nature. 2002. - V. 420. -P. 646.

51. Zudov, M. A. Evidence for a now dissipation less effect in 2D electronic transport / M. A. Zudov et al. // Phys. Rev. Lett. 1958. -V. 90.-P. 046807.

52. Шикин, В. Т. Отрицательная абсолютная электропроводность / В. Т. Шикин // ПЖЭТФ. 2003. - Т. 77. - № 7. - С. 281

53. Ryzhii, V. Absolute negative conductivity in two-dimensional electron systems associated with acoustic scattering stimulated by microwave radiation / V. Ryzhii, V. Vyurkov // Phys. Rev. B. -2003.-V. 68.-P. 165406.

54. Ryzhii, V. Microwave photoconductivity in two-dimensional electron systems due to photon-assisted interaction of electrons with leaky interface phonons / V. Ryzhii // Phys. Rev. B. 2003. - V. 68. -P. 193402.

55. Рыжий, В. И. Абсолютная отрицательная проводимость, индуцированная микроволновым излучением, и состояния с нулевым сопротивлением в двумерных электронных системах: история и современное состояние / В. И. Рыжий // УФН. — 2005. Т. 175. -№2.-С. 205-213.

56. Зайцев-Зотов, С. В. Размерные эффекты в квазиодномерных проводниках с волной зарядовой плотности / С. В. Зайцев-Зотов // УФН. 2004. - Т. 174. - № 6. - С. 585-608.

57. Zant, Н. S. J. Negative resistance and local charge-density-wave dynamics / H. S. J. Zant // Phys. Rev. Lett. 2001. - V. 87. -P. 126401.

58. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. — Ижевск : НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. 243 с.

59. Rayleigh (Strutt J.W.). On convection currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side // Scientific papers, Cambridge University Press. 1916. - V. 6. - P. 447-H-53.

60. Teylor, J. The instability of liquid surface when accelerated in direction perpendicular to their planes. P. 1 // Proc. of Roy. Soc. London. 1950.-V. A 201.-P. 192-196.

61. Браже, P. А. Математические модели явлений переноса в инверсных газах / Р. А. Браже, А. А. Елизарова // Математическое моделирование. 2008. - Т. 20. - № 5. - С. 110-118.

62. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. Т. 2. Термодинамика и молекулярная физика / Д. В. Сивухин. М. : Наука, 1975. - 321 с.

63. Enslcog, D. Kinetische theorie der warmeleitung, reibung und selbstdiffusion in gewissen werdichteten gasen und fliisigkeiten // Kungl. Svengka Vet. Ak. Handl., 1922. - № 4.

64. Ферцигер, Дж. Математическая теория процессов переноса в газах / Дж. Ферцигер, Г. Капер. — М. : Мир, 1976. — 658 с.

65. Sengers, J. V. Termal conductivity and viscosity of simple fluids / J. V. Sengers // Int. Jorn. Heat Mass Transfer, 1965. V. 8. -P. 1103.

66. Sengers, J. V. Denisty expansion of the viscosity of a moderately densed gas / J. V. Sengers // Phys. Rev. Lett. 1965. -V. 15. -P. 515.

67. Hanlay, H. G. M. Analisis of the transport coefficients for simple dense fluids: application of the modified Enskog theory / H. G. M. Hanlay, R. D. Mr. Carty, E. G. D. Cohen // Physica. -1972.-V. 60.-P. 322.

68. Чепмен, С. Математическая теория неоднородных газов / С. Чепмен, Т. Каулинг. М. : ИЛ, 1960. - 384 с.

69. Боголюбов, Н. Н. Избранные труды по статистической физике / Н. Н. Боголюбов. М. : Наука, 1979. - 342 с.

70. Фишер, И. 3. Статистическая теория жидкостей / И. 3. Фишер. -М. : Физматгиз, 1961. 280 с.

71. Зубарев, Д. Н. Статистическая механика неравновесных процессов. В 2т. Т. 1 / Д. Н. Зубарев, В. Г. Морозов, Г. Репке. Физико-математическая литература, 2002. - 432 с.

72. Kirkwood, J. G. The statistical mechanical theory of transport processes. Part 1. Genezal Theory / J. G. Kirkwood // J. Chem. Phys. -1946.-V. 14.-P. 180.

73. Green, M. S. Markoff random processes and the statistical mechanics of time-phenomena / M. S. Green // J. Chem. Phys. II. Irreversible processes in fluids / M. S. Green // J. Chem. Phys. -1954.-V. 22.-P. 398.

74. Кубо, Р. Некоторые вопросы статистическо-механистической теории необратимых процессов / Р. Кубо // В. сб. : Термодинамика необратимых процессов. Пер. Под ред. Д. Н. Зубарева. М. : ИЛ. - 1962. - 345 с.

75. Резибуа П. Классическая кинетическая теория жидкостей и газов / П. Резибуа. М. : Мир, 1980. - 423 с.

76. Ландау, Л. Д. Статистическая физика. Ч. 1. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1976.-584 с.

77. Kroto, Н. W. Buckminsterfiillerene / Н. W. Kroto, J. R. Heath, S. С. O'Brien et al//Nature. 1985.-V. 318.-№ 6042.-P. 162-163.

78. Елецкий, А. В. Фуллерены и структуры углерода / А. В. Елецкий, Б. М. Смирнов // УФН. 1995. - Т. 165. - № 9. -С. 977-1009.

79. Novoselov, К. S. Two-dimensional atomic crystals / К. S. Nov-oselov et al//PNAS.-2005.-№ 102.- P. 10451-10453.

80. Багавантам, С. Теория групп и ее применение к физическим проблемам / С. Багавантам, Т. Венкатарайуду. М. : ИЛ, 1953. -С. 40.

81. Сиротин, Ю. И. Основы кристаллофизики / Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская . М. : Наука, 1975. - 680 с.

82. Най, Дж. Физические свойства кристаллов / Дж. Най. — М. : Мир, 1967.-385 с.

83. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 5 ч. Ч. 1. Статистическая физика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1976.-471 с.

84. Шувалов, Л. А. Современная кристаллография. Т. 4. Физические свойства кристаллов / Л. А. Шувалов, и др.. М. : Наука, 1981.-495 с.

85. Бонч-Бруевич, В. Л. Физика полупроводников/ В. Л. Бонч-Бруевич, С. Г. Калашников. -М. : Наука, 1977. 672 с.

86. Блатт, Ф. Дж. Теория подвижности электронов в твердых телах / Ф. Дж. Благг. М.-Л. : Мир, 1963. - 224 с.

87. Болтакс, Б. И. Диффузия в полупроводниках / Б. И. Болтакс. -М. : Физматгиз, 1961. 462 с.

88. Барыкина, Е. И. Физические свойства инверсных двумерных кристаллов / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже., А. А. Елизарова // Электронная техника. 2007. - С. 3-9.

89. Харрисон, У. Теория твердого тела / У. Харрисон. М. : Мир, 1972.-616 с.

90. Браже, Р. А. Явления переноса в двумерных кристаллах с инверсной электронной подсистемой / Р. А. Браже, А. А. Гришина // Вестник УлГТУ. 2008. - С. 35-38.

91. Орешкин, П. Т. Физика полупроводников и диэлектриков / П. Т. Орешкин. М.: Мир, 1977. - 448 с.

92. Савельев, И. В. Курс общей физики. Т. 2 / И. В. Савельев. М. : Наука, 1988.-496 с.

93. Телесин, Р. В. Курс физики. В 5 т. Т. 3: Электричество / Р. В. Телесин, В. Ф. Яковлев. М. : Просвещение, 1970. - 488 с.

94. Сивухин, Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Т. 3: Электричество и магнетизм / Д. В. Сивухин. -М. : Наука, 1983. 687 с.

95. Калашников, С. Г. Электричество / С. Г. Калашников. М. : Наука, 1985.-576 с.

96. Абрикосов, А. А. Основы теории металлов / А. А. Абрикосов. -М. : Гл. ред. физико-математическая литература, 1987. 519 с.

97. Стильбанс, Л. С. Физика полупроводников / Л. С. Стильбанс. -М. : Сов. Радио, 1967.-452 с.

98. Аскеров, В. М. Электронные явления переноса в полупроводниках / В. М. Аскеров. М. : Наука, 1985. - 318 с.

99. Цидильковский, И. М. Термомагнитные явления в полупроводниках / И. М. Цидильковский. М. : Наука, 1960. -296 с.

100. Блатт, Ф. Дж. Термоэлектродвижущая сила металлов / Ф. Дж. Блатт, П. А. Шредер, К. JI. Фойлз, Д. Грейг. М. : Металлургия, 1980. - 248 с.

101. Лифшиц, И. М. Электронная теория металлов / И. М. Лифшиц, М. Я. Азбель, М. И. Каганов. М.: Наука, 1971. - 415 с.

102. Suryanarayanan, R. Collossal magnetoresistance and re-etrant charge ordening in single crystalline two layer Mn perovskite LaSr 2. О [7] / R. Suryanarayanan et al. // Solid State Commun. 1999. -V. 113.-№5.-P. 267-271.

103. Matsukawa, M. Enhanced giant magnetothermal conductivity in doubl layered manganite La 1, 2. Sr [1, 8] Mn [2] О [7] / M. Matsukawa et al. / Phys. Rev. B. - 2000. - V. - 62. - № 7. -P. 5327-5330.

104. Елесин, В. Ф. О возможности осуществления отрицательной проводимости на неравновесных носителях тока в полупроводниках / В. Ф. Елесин, Э. А. Маныкин // Письма в ЖЭТФ. 1966. -Т. З.-С. 26-31.

105. Елесин, В. Ф. О возможности отрицательной проводимости на неравновесных электронах в квантующем магнитном поле / В. Ф. Елесин // Письма в ЖЭТФ. 1968. - Т. 7. - С. 229-232.

106. Wilson, J. A. The transition metal dichal cogenides / J. A. Wilson, A. D. Yoffe // Adv. Phys. 1969.-V. 18.-P. 193.

107. Shchegolev, I. F. Electric and magnetic properties of linear conducting chains / I. F. Shchegolev // Phys. Status solidi (a). 1972. -V. 12.-P. 9.

108. Friedel, J. Organic superconductors / J. Friedel // Contemp. Phys. -1982.-V. 23.-P. 583.

109. Larkin, A. I. Effect of inhomogeneities on the structure of the mixed state of superconductors / A. I. Larkin // Soviet Physics JETP. 1970. -V. 31. - P. 784-792.

110. Ефетов, К. Б. Волна зарядовой плотности в случайном потенциале / К. Б. Ефетов, А. И. Ларкин // ЖЭТФ. 1977. - Т. 72. -С. 2350-2361.

111. Fukuyama, Н. Dynamics of the charge-density wave. I. Impurity pinning in a single chain / H. Fukuyama, P. A. Lee // Phys. Rev. B. — 1978.-V. 17.-P. 535.

112. Lee, P. A. Electric field depinning of charge density waves / P. A. Lee, Т. M. Rice // Phys. Rev. B. 1979. - V. 19. - P. 3970.

113. Артеменко, С. H. К теории кинетических явлений в пайерл-совских диэлектриках / С. Н. Артеменко, А. Ф. Волков // ЖЭТФ. -1981.-Т. 80.-С. 2018-2030.

114. Артеменко, С. Н. Электронно-дырочный баланс и полупроводниковые свойства квазиодномерных проводников с волной зарядовой плотности / С. Н. Артеменко, В. Я. Покровский, С. В. Зайцев Зотов // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 110. - С. 1069-1080.

115. Артеменко, С. Н. К теории фрелиховской проводимости проводников с соизмеримой волной зарядовой плотности / С. Н. Артеменко, А. Ф. Волков // ЖЭТФ. 1981. - Т. 81. -С. 1872-1889.

116. Иткис, М. Е. ЭДС, возникающая в квазиодномерном проводнике TaS3 под действием лазерного излучения /

117. М. Е. Иткис, Ф. Я. Надь, В. Я. Покровский // ЖЭТФ. 1986. -Т. 90.-С. 307-317.

118. Бородин, Д. В. Когерентность волны зарядовой плотности и проскальзывание фазы в малых образцах квазиодномерного проводника TaS3 / Д. В. Бородин, С. В. Зайцев Зотов, Ф. Я. Надь // ЖЭТФ. - 1987. - Т. 93. - С. 1394-1409.

119. Александров, А. С. Спектральные осцилляции фототока в ан-тимониде индия, обусловленные абсолютной отрицательной проводимостью в квантующем магнитном поле / А. С. Александров и др. // Письма в ЖЭТФ. 1970. - Т. 12. - С. 57-60.

120. Гантмахер, В. Ф. Магнитопримесные резонансы как индикатор инверсой функции распределения фотоэлектронов в полупроводниках / В. Ф. Гантмахер, В. Н. Зверев // УФН. -2005. Т. 175. - № 2. - С. 201-205.

121. Yang, С. L. Observation of microwave-induced zero-conductance state in corbino rings of a two-dimensional electron system / C. L. Yang et al. // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 91. - P. 096803.