автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математические модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующих, инверсных и анизотропных средах

003487 145

БАРЫКИНА Елена Ивановна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ, ИНВЕРСНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Специальность: 05. 13.18- Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

Автореферат

Диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ульяновск 2009

003487145

Работа выполнена на кафедре «Физика» Ульяновского государственного технического университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор

Браже Рудольф Александрович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация - Ульяновский филиал Института радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова РАН

Защита диссертации состоится «11» ноября в 15 часов 00 минут на заседании диссертационного совета Д 212.277.02 при Ульяновском государственном техническом университете по адресу: 432027, г. Ульяновск, ул. Северный Венец, 32, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Ульяновского государственного технического университета

Самохвалов Михаил Константинович доктор физико-математических наук, профессор Миков Сергей Николаевич

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор технических наук, профессор

В. Р. Крашенинников

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена построению математических моделей отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующих, инверсных и анизотропных средах с целью отыскания новых возможностей существования этого явления.

Актуальность темы. На возможность отрицательной рефракции света впервые указал JI. И. Мандельштам в 1944 г., показавший, что это явление связано с ситуацией, когда в преломленной волне фазовая и групповая скорости направлены противоположно друг другу. В 1967 г. В. Г. Веселаго, опираясь на этот факт, показал, что в данном случае относительная диэлектрическая проницаемость s и относительная магнитная проницаемость /л среды одновременно принимают отрицательные значения и эффективный показатель преломления среды становится отрицательным. Экспериментальное подтверждение эти работы получили в 2000 г., когда Д. Р. Смитом (США) были созданы искусственные композитные материалы, обладавшие отрицательным показателем преломления для электромагнитных волн частотой около 10 ГГц. К 2008 г. были разработаны магнитодиэлектрические композитные материалы с отрицательным показателем преломления в диапазоне видимого света (В. Шалаев, США).

Отрицательно преломляющие металлодиэлектрические композитные материалы называют метаматериалами или левыми средами, имея в виду, что в преломленной волне вектор Пойнтинга образует с векторами напряженностей электрического и магнитного полей левовинтовую тройку. В англоязычной литературе их называют LHM - left-handed materials.

Эффект отрицательной рефракции света может проявляться и в так называемых фотонных кристаллах - диэлектрических средах с периодическим изменением показателя преломления в 1, 2, или 3-х пространственных измерениях. Период чередования слоев с различным показателем преломления выбирается из условий брэгговской дифракции света, благодаря чему в фотонных кристаллах существуют разрешенные и запрещенные зоны для энергии фото-

3

нов. Теоретически отрицательная рефракция света в фотонных кристаллах на частотах, близких к границам запрещенных зон, была обоснована М. Натоми (Япония, 2000 г.).

Интерес к отрицательно преломляющим материалам вызван тем, что на их основе могут быть реализованы технические устройства с принципиально новыми, уникальными функциональными возможностями, в частности, совершенные линзы со сверхволновым разрешением, маскирующие объект покрытия и другие средства новой отрасли знания - трансформационной оптики и электродинамики.

Практическая реализация как метаматериалов, так и фотонных кристаллов технологически сложна и определяется возможностями нанотехнологий. При этом большую роль играют методы предварительного математического моделирования на основе современных пакетов прикладных программ.

Вместе с тем большое число эффектов, возникающих при распространении электромагнитных волн в различных средах, еще не рассмотрены с позиций отрицательной рефракции. Например, слабо исследовано влияние на показатель преломления среды таких физических свойств среды как дисперсия, инверсия энергетических состояний свободных носителей заряда и анизотропия. В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей отрицательной рефракции электромагнитных волн в различных средах и определение условий существования этого явления.

Цель :: задачи исследования. Цель работы - методами математического моделирования показать и обосновать возможность существования отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе, оптического диапазона в некомпозиционных диспергирующих средах, средах с инверсной электронной подсистемой и анизотропных средах.

Поставленная цель достигается решением следующих задач: 1. Анализ известных теоретических и экспериментальных работ по отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе, оптического

диапазона. Выявление недостатков, присущих известным отрицательно преломляющим материалам.

2. Математическое моделирование процессов распространения электромагнитных волн в средах с резонансными условиями для электрической поляризации и намагниченности и определение условий существования в них отрицательной рефракции на основе численных расчетов.

3. Математическое моделирование процессов распространения электромагнитных волн в средах с инверсной электронной подсистемой и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

4. Математическое моделирование процессов распространения света в сильно анизотропных кристаллах, в частности, в жидких кристаллах и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

5. Математическое моделирование процессов распространения света в двумерных кристаллах и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

6. Формулирование условий экспериментального обнаружения и подтверждения предсказанных эффектов.

Методы исследования. В работе использованы стандартные методы математической физики, в частности, математической теории дисперсии, методы кристаллооптики, методы теории групп и тензорного анализа применительно к оптическим явлениям в анизотропных средах, методы программирования в среде Maple.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующей магнитодиэлектрической среде, отличающаяся от известных моделей учетом периодического намагничивания среды в поле достаточно интенсивной волны. Исследованы возможности отрицательной рефракции данных волн в плазмоподобных и магнитоупорядоченных электропроводящих средах.

2. Построена математическая модель отрицательной рефракции света в анизотропных средах, отличающаяся от известных моделей подобного типа более наглядной формой представления конечных результатов и учетом дихроичных свойств среды. Исследована возможность существования отрицательной рефракции света в реальных жидких кристаллах.

3. Впервые построена математическая модель отрицательной рефракции в оптически анизотропных двумерных кристаллах.

Практическая значимость работы состоит в том, что построенные математические модели определяют физические условия и ограничения реализации отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе, оптического диапазона в ранее не рассматриваемых средах. К ним относятся плазмоподоб-ные среды, магнитоупорядоченные металлы, жидкие и двумерные кристаллы. Результаты работы могут найти применение при создании устройств трансформационной оптики и электродинамики. Например, жидкие кристаллы могут быть использованы в устройствах оптической обработки информации в качестве жидкокристаллических амфотерных, т. е. изменяющих знак показателя преломления под воздействием управляющего электрического поля, переключателей направления светового луча. Двумерные и квазидвумерные отрицательно преломляющие кристаллы могут быть использованы в нанофотонике в качестве планарных дефлекторов лазерного излучения. Магнитоупорядоченные металлы могут быть использованы для дифракционно-неограниченной фокусировки ко-

г.ЛТ".'«'.' тмгшттллп ттпитаттт ттллтг тл ПЛ«Я]П"3 1 1 П~^ Р

ичЛАПЛ лллсрпохл ШУШVло^ио IV IV V.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью использованных математических методов, согласованностью построенных математических моделей с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

На защиту выносятся: 1. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей магнитодиэлектрической среде, отличающаяся учетом ее периодического намагничивания в магнитном поле волны,

из которой следует возможность наблюдения отрицательной рефракции в высокотемпературной плазме и магнитоупорядоченных металлах.

2. Математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных средах, в частности, в нематических жидких кристаллах, обладающих дихроизмом, позволяющая численными методами определить условия существования отрицательной рефракции.

3. Математическая модель отрицательно рефракции света в двумерных кристаллах, определяющая условия существования отрицательной рефракции луча, скользящего по поверхности кристалла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная «Конференция по логике, информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2009); Всероссийская научно - практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУ СУР - 2007» (Томск, 2007); Девятая Международная конференция "Физика в системе современного образования" (Санкт-Петербург, 2007); II и III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008); Пятая Всероссийская научно - практическая конференция (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно - практическая конференция «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования» (Ульяновск, 2007, 2009); Региональная научная школа-семинар «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2006, 2007, 2008); Научно-техническая конференция УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2007,2008,2009).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 печатных работ, из них 5 статей и 12 работ в материалах и трудах конференций, сборниках тезисов докладов, в том числе одна статья в издании из перечня ВАК.

Личное участие автора в проведенных исследованиях отражено как в наличии самостоятельных публикаций (работы [7, 10, 11, 17]), так и в работах, выполненных в соавторстве. Основные теоретические положения разработаны совместно с профессором Браже Р. А. Все графические результаты, компьютерные программы их получения, а также численные оценки получены автором самостоятельно. Результаты, представленные в работах [2, 14] получены совместно с профессором Браже Р. А. и ассистентом Гришиной А. А. При этом на долю автора приходится исследование оптических свойств двумерных кристаллов. Результаты, содержащиеся в работе [5], получены совместно с профессором Браже Р. А. и доцентом Мефтахутдиновым Р. М. На долю автора приходятся вывод уравнения Френеля для двумерных кристаллов, разработка программы для построения графиков и участие в обсуждении полученных результатов.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 121 страницах и состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения, списка литературы, включающего 121 наименование. Работа проиллюстрирована 22 рисунками и 11 таблицами.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы исследования, сформулированы цель и задачи работы, показана ее практическая значимость.

В первой главе диссертации представлен аналитический обзор литературы, посвященной известным случаям отрицательной рефракции электромагнитных волн в металлодиэлектрических композитах и фотонных кристаллах, а также получены новые результаты, связанные с рефракцией таких волн в инверсных средах.

Общим условием наблюдения отрицательной рефракции в изотропных диссипативныхмагнитодиэлектриках с £ = вг + ¡е, и /л-¡лг+ щ является условие Лахтакиа, которое для пассивных сред (г, >0> 0) записывается в виде

Оно, естественно, выполняется, когда одновременно £,<0 и ^<0, В этом случае действительная часть комплексного показателя преломления становится отрицательной:

<0В частном случае недиссйпативных сред (= 0, ц, = 0) последнее выражение становится условием для сред Веселаго (п = -Jsfl < 0). Для таких сред в зарубежной литературе принято название DNNIM - double-negative index materials (двухотрицательные материалы с отрицательным показателем преломления).

Условие Лахтакиа может выполнятся также в более общем случае, когда лишь одно из слагаемых отрицательно: ег <0 (//, >0) либо цг <0 (ег >0), и оно по модулю превышает положительное слагаемое. Такие среды принято называть SNNIM - single-negative negative index materials (одноотрицательные материалы с отрицательным показателем преломления).

Создание магнитодиэлектрических композитов типа DNNIM или SNNIM связано с искусством такого подбора размеров, геометрии и периодичности расположения металлических резонансных элементов в диэлектрической среде, чтобы в нужном диапазоне частот обеспечить требуемые дисперсионные характеристики для диэлектрической и магнитной проницаемостей.

В фсжонных кристаллах эффект отрицательной рефракции возникает исключительно благодаря их структуре, характеризующейся периодическим изменением показателя преломления. Магнитные свойства у фотонных кристаллов отсутствуют. С физической точки зрения рефракция электромагнитных волн в фотонных кристаллах аналогична дифракции рентгеновского излучения в обычных кристаллах. Проходящий через множество слоев фотонного кристалла луч сильно ослабляется, а дифрагированный луч, наоборот, при каждом отражении от этих слоев усиливается (в максимумах дифракции). При этом в

некотором диапазоне волновых чисел обратной решетки фотонного кристалла наблюдается отрицательная рефракция.

В результате проведенного анализа отмечено, что магнитодиэлектричес-ким мегаматериалам на основе периодически распределенных резонансных металлических элементов присущи следующие недостатки: сильная зависимость показателя преломления от частоты, угла падения и поляризации падающего излучения; большое поглощение проходящего излучения; невозможность плавного и динамического (посредством внешних полей) управления показателем преломления; сложность получения протяженных по площади, гибких пленок с показателем преломления п< 1.

В случае фотонных кристаллов к этим недостаткам присоединяются еще два: сложность создания трехмерных фотонных кристаллов с периодом решетки порядка длины световой волны; ограниченность разрешения совершенных линз, созданных на их основе, периодом решетки.

В связи отмеченными недостатками возникает задача исследования методами математического моделирования возможностей существования отрицательной рефракции электромагнитных волн в некомпозиционных средах.

Вторая глава посвящена построению математической модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующих магнитодиэлектри-ческих средах (плазмоподобные среды и магнитоупорядоченные металлы). Математическая модель основана на уравнении вынужденных колебаний электрона в электрическом поле электромагнитной волны, уравнении для силы кругового электрического тока, возникающего в магнитном поле этой волны, уравнениях для поляризуемости и намагниченности среды, уравнениях для диэлектрической и магнитной проницаемостей среды на частоте волны и условия Лахтакиа отрицательности действительной части показателя преломления. Модель приводит к следующим зависимостям действительных и мнимых значений относительной диэлектрической и относительной магнитной проницаемостей изотропной магнитодиэлектрической среды от частоты со:

_, (Ог СОТ (О, 1

~ 1 2 2 » Е! — < гт > ю 1 + йГг «а 1+ г

. ©Гюг(1-®2г2) «у 2(У2Г2

+ 2 2ч/, М,=Мш—г.-пгтт-

со (1 + дгг ) со (\+а т у

Здесь сог - частота релаксации проводимости, г - время свободного пробега электрона, /ит - относительная магнитная проницаемость среды вложения. Проанализированы характерные предельные случаи высоких частот (бесстолкновительный режим, <у»1/г) и низких частот (столкновительный режим, со «1/г).

В табл. 1 приведены значения показателя преломления ионосферы и высокотемпературной плазмы для различных длин волн излучения, рассчитанные по приведенным выражениям для е и ц. Из нее следует, что лишь высокотемпературная плазма является отрицательно преломляющей средой, причем средой Веселаго, для электромагнитных волн гигагерцевого и терагерцевого диапазонов. Для радиоволн килогерцевого диапазона обе среды являются средами Лахтакиа. Большая по величине отрицательная действительная часть показателя преломления показывает, что угол преломления хотя и отрицательный, но близок к нулю. Большая положительная мнимая часть говорит о сильном затухании таких волн.

Таблица 1

ЗйаЧсКйЯ ПОКаЗаТСЛл ПрСЛС'иЛСКИл М&ГНИТСДИЗЛСХТрИЧССКСЙ СреДГЛ для некоторых длин

электромагнитных волн

Среда Л =560 Я =3-10"1 1=3-105

нм м м м

Ионосфера (слой Е) 1 1 0,999 7,6-104(-1 + 0

Высокотемпературная плазма (термоядерный реактор, Т~108 К) 1 -2,2 -3,2-106 4,(И0,5(-1 + ()

Следует иметь в виду, что для высокотемпературной плазмы построенная математическая модель может применяться с ограничениями, обусловленными появлением пространственной дисперсии.

В табл. 2 представлены численные оценки показателя преломления некоторых типичных магнитно-мягких ферромагнетиков. Из нее следует, что для радиоволн рассмотренные материалы являются средами Лахтакиа с отрицательной действительной частью показателя преломления, убывающей с ростом частоты волны. В килогерцевом диапазоне величины пг —103...-104, в терагер-цевом - и, —1...-2, что соизмеримо по величине со значениями показателя преломления света в обычных оптически прозрачных диэлектриках. В оптическом диапазоне все рассмотренные материалы являются средами Веселаго, имеют действительные отрицательные значения показателя преломления, правда, огромной величины: пг ~ -103. Во всех случаях, кроме терагерцевых радиоволн, угол преломления хотя и отрицательный, но близок к нулю, а более низкочастотные радиоволны сильно затухают.

Таблица 2

Значения показателя преломления для некоторых магнитно-мягких ферромагнетиков

Материал Л=560 нм Л= 3-104м Я=3-10"1 м Я=3-105м

80 НМ-супермаллой - 1,4-10' 1,б(-1+0 52(-1+0 5,2-10'((-1+0

49КФ-сплав Бе-Со - 2,7-103 2Д(-1+1) 67(-1+1) бД-Ю'Н+О

79 НМ -7.0-101 1,4 (-1+/) 43(-1+() 4,3-103(-1+/)

49 КФ-ВИ-пермендор -2,8-10' 1,5(-1+0 47(-1+0 4,7-103(-1+г)

68НМП -2,0-103 1,8(-1+/) 58(-1+/) 5,8-10'(-1+0

Приведенные численные оценки получены в предположении, что пиковая мощность падающего на среду импульсного лазерного излучения не ниже 10"...1012 Вт. Уменьшение величины отрицательного показателя преломления в оптическом диапазоне возможно только за счет уменьшения магнитной прони-

цаемости ферромагнетика цт и одновременного увеличения мощности лазерного излучения.

В третьей главе приведена математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных кристаллах. При изучении распространения света в кристаллах среду можно считать магнитоизотропной (относительная магнитная проницаемость ц «1), но электрически анизотропной (относительная диэлектрическая проницаемость является тензором к).

Рассмотрены одноосные кристаллы, в которых одна из главных осей тензора диэлектрической проницаемости совпадает с оптической осью кристалла, а две другие направлены произвольно. В случае сильной анизотропии кристалла, лучевой вектор необыкновенной волны может заходить в область отрицательной рефракции. Математическая постановка задачи основана на законе Снеллиуса, выражении для показателя преломления необыкновенной (в кристалле) волны и уравнении связи углов между оптической осью и направлением волнового и лучевого векторов соответственно. Показано, что отрицательная рефракция возможна, если параметры а = п0/пе и а (угол между нормалью к кристаллу и его оптической осью) принимают значения в области, лежащей вне проекции поверхности

где Щге =~(а2 -\^а/(а2 +Щ2а), на плоскость (а,а).

Природными кристаллами с высокой степенью анизотропии являются жидкие кристаллы типа нематиков. При этом многие из них обладают дихроизмом - избирательным поглощением луча определенной поляризации (как правило, обыкновенного). На рис. 1 показано построение Гюйгенса для оптически отрицательного кристалла. Обыкновенный луч не показан, так как может быть сильно ослаблен вследствие дихроизма.

Бшг -

"¿ёГе

Рис. 1. Построение Гюйгенса для волновых поверхностей в случае сильно анизотропного отрицательного кристалла.

Используя вышеприведенное условие, можно определить область параметров а и а = п0/пе, при которых возможна отрицательная рефракция необыкновенного луча. Светлая часть рис. 2, а соответствует таковым параметрам при любых углах г падения света (показатель преломления обыкновенной волны п0 = 1,5). Типичные жидкие кристаллы характеризуются степенью анизотропии Ап = п0- пе =0,1...0,3. Из рис. 2, а видно, что ат,„~3,0. Тогда максимальное значение показателя преломления необыкновенного луча иепш = 0,5, что практически не реализуется в известных нематических жидких кристаллах.

Однако с ростом п0 и уменьшением угла падения указанная область существенно увеличивается. Так для углов падения меньших 15° (рис. 2, б), область требуемых значений Ап приближается к величинам, вполне реализуемым для известных нематических жидких кристаллов. Действительно, для реальных кристаллов с п0 =1,5 и Ап = 0,24, пе =1,26, а = 1,19, что попадает в диапазон допустимых для отрицательной рефракции значений.

а

б

Рис. 2. Области параметров (светлая часть) а и а, при которых реализуется отрицательная рефракция необыкновенного луча для углов падения от 0 до 90 (а) и от 0 до 15° (б).

По сравнению с магнитодиэлектриками и фотонными кристаллами жидкие кристаллы имеют следующие преимущества: простота наблюдения отрицательной рефракции в оптическом диапазоне; возможность управления ориентацией оптической оси с помощью внешнего поля. Недостатком использования жидких кристаллов является слабая прозрачность в упорядоченной фазе, что ограничивает их использование в качестве отрицательно преломляющих сред тонкими, менее миллиметра толщиной, слоями.

Четвертая глава посвящена отрицательной рефракции электромагнитных волн в двумерных кристаллах. В таких кристаллах могут существовать лишь поворотные оси симметрии четного (не выше 6-го) порядка и проходящие через них плоскости симметрии. Все кристаллы являются центросимметричными, так как точка пересечения плоскостью кристалла перпендикулярной к ней поворотной оси четного порядка есть центр симметрии. Тензор диэлектрической проницаемости в случае двумерного кристалла имеет четыре компоненты, причем е2\=е\2- Итоговые сведения по симметрии тензора диэлектрической проницаемости представлены в табл. 3.

Таблица 3

Вид тензора диэлектрической проницаемости двумерных кристаллов

Сингония Вид тензора Еу

Скаленагональная £,2 £22

Ортогональная е„0 0 га

Тетрагональная и гексагональная 0 *„

Основное уравнение кристаллооптики (уравнение Френеля) для двумерных кристаллов имеет вид:

1$е„+1$еху-в„еуу= 0.

В зависимости от класса симметрии двумерные кристаллы делятся на две группы: оптически анизотропные (классы 2 и 2тт) и оптически изотропные (классы 4, 4mm, 6, 6mm). В оптически изотропных кристаллах Ехх = £уу=£ = const, и уравнение Френеля становится уравнением окружности:

2 2 2 пх+пу=п ,

где п = 4е. В оптически анизотропных двумерных кристаллах уравнение Френеля сводится к уравнению эллипса:

Важное отличие оптических свойств двумерных кристаллов от трехмерных состоит в том, что в них отсутствует двойное лучепреломление даже в оптически анизотропных классах симметрии.

Показано, что при наличии сильной анизотропии в двумерных кристаллах классов 2 и 2mm возможно явление отрицательной оптической рефракции, ана-

логичное отрицательной рефракции необыкновенного луча в трехмерных кристаллах с сильным двулучепреломлением.

Выращивая двумерные нанокристаллы с достаточно большой разницей е^ и £уу, можно реализовать в них отрицательную рефракцию скользящей по

поверхности кристалла световой волны. Такие двумерные (квазидвумерные) кристаллы классов 2, 2тт могут найти применение в устройствах оптической обработки информации.

В заключении отмечается, что на основе построенных математических моделей предложены новые классы сред, в которых возможна отрицательная рефракция электромагнитных волн (плазмоподобные среды, магнитоупорядо-ченные металлы и сильно анизотропные среды). Цель диссертационного исследования, таким образом, достигнута.

Основные результаты работы:

1. На основе анализа большого числа теоретических и экспериментальных работ по отрицательной рефракции электромагнитных волн, изучения физической природы этого явления в магнитодиэлектрических композитных средах и фотонных кристаллах выявлены принципиальные недостатки, присущие известным отрицательно преломляющим средам: специфические требования к частоте и поляризации падающего излучения, узкая полоса рабочих частот, большое поглощения излучения и др.

2. Впервые исследованы дисперсионные свойства инверсной магнитоди-электрической среды. Показано, что в инверсных электропроводящих средах без специального подбора дисперсионных характеристик отрицательная рефракция существовать не может.

3. Вопреки традиционным для физической литературы утверждениям, впервые показано, что направления вектора групповой скорости и вектора Пойнтинга могут быть и противоположными. Так, например, обстоит дело в случае обратных волн отрицательной энергии в инверсной магни-тодиэлектрической среде.

4. Построена оригинальная математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в изотропной электропроводящей магнито-диэлектрической среде, отличающаяся учетом ее периодического намагничивания в магнитном поле самой волны при условии ее достаточной интенсивности. Показано, что отрицательная рефракция может наблюдаться в высокотемпературной плазме для сверхвысокочастотных радиоволн вплоть до терагерцевых частот, а в магнитоупорядоченных металлах - в оптическом диапазоне.

5. Построена оригинальная математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных средах, в частности, в нематических жидких кристаллах, отличающаяся от других моделей подобного типа более наглядным графическим представлением результатов и учетом дих-роичных свойств среды.

6. Впервые построена математическая модель отрицательной рефракции скользящего светового луча в двумерных кристаллах. Сделаны прогнозы относительно возможностей практического использования этого явления.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

Статьи, опубликованные в изданиях, включенных в перечень ВАК:

1. Барыкина, Е. И. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде, допускающей инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Изв. Вузов. Поволжский регион,- 2008. -№ 1.-С. 102-109.

Статьи и тезисы, опубликованные в других изданиях:

2. Барыкина, Е. И. Физические свойства инверсных двумерных нанокристаллов / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Электронная техника: Сб. науч. тр. - Ульяновск. - 2007. - С. 3-9.

3. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела идеальный диэлектрик-электропроводящая среда, допускающая инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Вестник УлГТУ. - 2008. - № 1. - С. 37-39.

4. Барыкина, Е. И. Условия возникновения отрицательной рефракции света в фотонных кристаллах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Вестник УлГТУ. - 2009. -№ 1.- С. 22-26.

5. Барыкина, Е. И. Распространение электромагнитных волн в двумерных нанокристаллах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // Прикладная математика и механика: сб. научн. тр. - Ульяновск: УлГТУ. - 2009. -Т. 8.-С. 23-28.

6. Барыкина, Е. И. Формирование у студентов современных представлений об оптической рефракции при помощи обобщенного построения Гюйгенса / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Мат. Всероссийской научно-практич. конф. «Формирование научных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск. - 2007. - С. 131-135.

7. Барыкина, Е. И. Электрические и магнитные свойства нормальных и инверсных электропроводящих сред в поле электромагнитной волны / Е. И. Барыкина // Мат. Всероссийской научно-практич. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР - 2007». - Томск. -2007.-С. 14-16.

8. Барыкина, Е. _И. "Левые" двумерные кристаллы / Е. И. Барыкина! Р. А. Браже // Мат. конф. «Наноэлнетроника, нанофотоника и нелинейная физика». -Саратов. - 2007. - С. 43-44.

9. Барыкина, Е. И. Новый подход к описанию оптической рефракции в диспергирующих и инверсных средах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Мат. девятой Межд. конф. "Физика в системе современного образования". - Санкт-Петербург. - 2007. - С.486-487.

10. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела идеальный диэлектрик-электропроводящая среда, допускающая инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина // Мат. конф. «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». - Саратов. - 2008. -С. 16-18.

11. Барыкина, Е. И. Направление групповой скорости и потока энергии в обратных волнах с положительной и отрицательной плотностью энергии / Е. И. Барыкина // Мат. Всероссийской научно-практич. конф. «Формирование научных умений в процессе реализации стандартов образования». - Ульяновск. -2009.-С. 62-64.

12. Барыкина, Е. И. Математическая модель диэлектрической проницаемости электропроводящей среды, допускающей инверсию электронной подсистемы, в поле электромагнитной волны / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Тр. Межд. «Конференции по логике, информатики, науковедению». - Ульяновск. - 2007. -Т. 4.-С. 35-38.

13. Барыкина, Е. И. Математические модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспрегирующих, инверсных и анизотропных средах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Мат. VII Межд. конф. «Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов ». - Ульяновск. - 2009. - С. 40-41.

14. Барыкина, Е. И. Двумерные нанокристаллы как материалы для радиотехнических устройств / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, Гришина А. А. // Тр. пятой Всероссийской научно-практич. конф. «Современные проблемы

создания и эксплуатации радиотехнических систем». - Ульяновск. - 2007. -С. 277.

15. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн в атмосфере на границе раздела с плазменными объектами / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Тр. пятой Всероссийской научно-практич. конф. «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем». - Ульяновск. -2007.-С. 263-265.

16. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела диэлектрик-электропроводящая среда с инверсной электронной подсистемой / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». -Ульяновск. - 2007. - С. 30-31.

17. Барыкина, Е. И. Отрицательная рефракция света в жидких кристаллах / Е. И. Барыкина // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». - Ульяновск. - 2008. - С. 19.

Барыкина Елена Ивановна

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ РЕФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ, ИНВЕРСНЫХ И АНИЗОТРОПНЫХ СРЕДАХ

Автореферат Подписано в печать 02.10.2009. Формат 60x84/16. Бумага писчая. Усл. печ. л. 1,16. Тираж 100 экз. Заказ 1099 Типография УлГТУ, 432027, г. Ульяновск, Северный Венец, 32.

Список основных обозначений.

Введение.

Глава 1. Отрицательная рефракция электромагнитных волн (аналитический обзор)

1.1. Отрицательная рефракция в изотропных недиссипативных диспергирующих средах.

Что мы имеем в виду, когда говорим об отрицательной рефракции? (16). Физическая природа отрицательной рефракции (18).

1.2. Особенности отрицательной рефракции электромагнитных волн в изотропных недиссипативных диспергирующих средах

Требования к закону дисперсии (19). Положительная и отрицательная рефракция (21).

1.3. Особенности отрицательной рефракции электромагнитных волн в инверсных средах.

Понятие инверсной системы (24). Преломление электромагнитных волн на границе раздела с инверсной средой (25). Волны отрицательной и нулевой энергии (27). Возможности существования отрицательной рефракции электромагнитных волн в инверсной среде (29).

1.4. Условия отрицательной рефракции электромагнитных волн в изотропных диссипативных диспергирующих средах.

Условия существования обратных волн положительной энергии в изотропной диссипативной магнитодиэлектрической среде (30). Одноотрицательные и двухотрицательные среды с отрицательным показателем преломления (32).

1.5. Отрицательная рефракция в фотонных кристаллах.

Фотонные кристаллы (33). Природа отрицательной рефракции света в фотонных кристаллах (35).

1.6. Перспективы экспериментального наблюдения отрицательной рефракции в оптическом диапазоне.

Металлодиэлектрики с отрицательным показателем преломления (42). Фотонные кристаллы с отрицательной рефракцией (46). Недостатки существующих материалов с отрицательной рефракцией и поиски альтернативных решений (47).

Глава 2. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующей магнитодиэлектрической среде

2.1. Постановка задачи математической теории дисперсии электромагнитных волн.

Модельные требования к среде (49). Математическая постановка задачи (52).

2.2. Диэлектрическая проницаемость магнитодиэлектрической среды в поле электромагнитной волны.

Закон дисперсии (54). Низкие частоты (56). Высокие частоты (57).

2.3. Магнитная проницаемость магнитодиэлектрической среды в поле электромагнитной волны.

Закон дисперсии (59). Низкие частоты (62). Высокие частоты (62).

2.4. Возможности существования отрицательной рефракции в магнитодиэлектрических средах.

Плазма (64). Магнитоупорядоченные металлы (65). Инверсная магнито-диэлектрическая среда (70).

2.5. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела диэлектрик — электропроводящая магнитодиэлектрическая среда, допускающая инверсию электронной подсистемы.

Высокие частоты (71). Низкие частоты (73).

2.6. Сопоставление предложенной математической модели с моделью отрицательной рефракции в метаматериалах.

Периодическая структура с отрицательным показателем преломления (75).

2.7. Промежуточные выводы по главе 2.

Глава 3. Математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных дихроичных средах

3.1. Отрицательная рефракция необыкновенного луча в сильно анизотропных кристаллах.

Анизотропные среды (80). Математическая постановка задачи (83). Условия, при которых возможна отрицательная рефракция (83).

3.2. Отрицательная рефракция света в жидких кристаллах.

Особенности рефракции света в жидких кристаллах (86). Жидкие кристаллы, пригодные для наблюдения отрицательной рефракции (88).

3.3. Верификация построенной математической модели.

Сильно двупреломляющие кристаллы (90). Жидкие кристаллы (91).

3.4. Промежуточные выводы по главе 3.

Глава 4. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в двумерных кристаллах

4.1. Симметрия двумерных кристаллов и их оптических свойств.

Группы симметрии (93). Тензор диэлектрической проницаемости и его симметрия (94).

4.2. Распространение скользящих электромагнитных волн в двумерных кристаллах.

Волновое уравнение (96). Уравнение Френеля (97).

4.3. Отрицательная рефракция электромагнитных волн в двумерных кристаллах.

Математическая формализация задачи (98). Условия, при которых возможна отрицательная рефракция (100).

4.4. Промежуточные выводы по главе 4.

Всплеск интереса к отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе света, когда преломленный луч отклоняется по другую сторону от нормали к границе раздела сред, возник в начале XXI в. после публикаций группы ученых из Университета Сан-Диего (США), сообщивших о создании композитных материалов, обладающих отрицательным показателем преломления [1, 2]. Теоретически возможность существования сред с отрицательным показателем преломления была исследована советским физиком В. Г. Веселаго еще в 1967 г. [3].

Веселаго показал, что в средах с одновременно отрицательными значениями диэлектрической и магнитной проницаемостей показатель преломления изменяет свой знак вследствие того, что изменяет свое направление на противоположное вектор Пойнтинга, образуя с векторами напряженностей электрического и магнитного полей левовинто-вую тройку. Такие среды он назвал "левыми". Веселаго показал также [3], что в левых средах должны наблюдаться и другие аномальные явления: изменение знака групповой скорости в доплеровском сдвиге частоты, обращение эффекта Вавилова — Черенкова, рассеивание света выпуклой линзой и, наоборот, его фокусировка вогнутой линзой. Кроме того, в работе [3] имеются указания на то, что плоскопараллельная пластинка толщиной d из левого вещества с показателем преломления п = — 1 может фокусировать в точку излучение точечного источника, находящегося на расстоянии / < d от нее.

Как отмечено рядом ученых [4, 5], В. Г. Веселаго, в действительности, не был первым, кто теоретически исследовал преломление света в среде с отрицательной групповой скоростью. Детальный анализ отрицательной рефракции, имеющей место в этом случае, был дан еще в 1944 г. JI. И. Мандельштамом на одной из лекций, прочитанных в Московском государственном университете и вошедших в Полное собрание его трудов [6], а позже опубликованных отдельно [7]. Кроме того, сам факт существования структур, в которых волна имеет отрицательную групповую скорость, к 1967 г. также не являлся секретом. Механические модели одномерных сред подобного типа были исследованы еще в 1904 г. Лэмбом [8], показавшим, что в так называемых обратных волнах фазовая скорость противоположна по направлению групповой скорости и потоку энергии. В сверхвысокочастотной электронике уже широко использовалась лампа обратной волны [9].

Тем не менее, именно статья Веселаго [3], благодаря простоте своего изложения и широкой известности журнала, в котором она была опубликована, приобрела характер основополагающей работы в теории отрицательно преломляющих сред, называемых также левыми средами или средами Веселаго. В англоязычной литературе такие среды называют NIM (negative index materials) или LHM (left-handed materials). В последнее время все большее распространение получает термин "метаматериалы" (от греч. meta - после, через), указывающий на то, что свойства этих материалов зависят не от их химического состава, а от особенностей искусственно созданной конструкции из нано-размерных емкостных и индуктивных элементов, резонансные свойства которых таковы, что приводят к отрицательным значениям диэлектрической и магнитной проницаемостей в определенном частотном диапазоне.

В 2000 г. идею Веселаго о фокусирующих свойствах плоскопараллельной пластинки из материала с отрицательным показателем преломления подхватил английский физик Дж. Пендри [10], показавший, что в этом случае отсутствует дифракционный предел на размер фокального пятна, присущий обычным линзам. Подобное фокусирующее устройство Пендри назвал совершенной линзой (perfect lens). Это означает, что можно создавать оптические микроскопы с недоступным ранее разрешением.

В 2006 г. Дж. Пендри выступил с новой идеей: если окружить объект материалом, показатель преломления которого плавно изменяется от 0 на внутренней поверхности до 1 на внешней, то свет будет огибать объект, и последний станет невидимым для наблюдателя [11]. Идея была успешно проверена путем компьютерного моделирования и реализована экспериментально в микроволновом диапазоне [12].

Интерес к отрицательно преломляющим материалам вызван тем, что на их основе могут быть реализованы технические устройства с принципиально новыми, уникальными функциональными возможностями, в частности, совершенные линзы со сверхволновым разрешением, маскирующие объект покрытия и другие средства новой отрасли знания — трансформационной оптики и электродинамики.

Практическая реализация как метаматериалов, так и фотонных кристаллов технологически сложна и определяется возможностями нанотехнологий. При этом большую роль играют методы предварительного математического моделирования на основе современных пакетов прикладных программ.

Вместе с тем большое число эффектов, возникающих при распространении электромагнитных волн в различных средах, еще не рассмотрены с позиций отрицательной рефракции. Например, слабо исследовано влияние на показатель преломления среды таких физических свойств среды как дисперсия, инверсия энергетических состояний свободных носителей заряда и анизотропия. В связи с этим возникает актуальная задача построения математических моделей отрицательной рефракции электромагнитных волн в различных средах и определение условий существования этого явления.

Цель и задачи исследования. Цель работы — методами математического моделирования показать и обосновать возможность существования отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе оптического диапазона, в некомпозиционных диспергирующих средах, средах с инверсной электронной подсистемой и анизотропных средах.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

1. Анализ известных теоретических и экспериментальных работ по отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе оптического диапазона. Выявление недостатков, присущих известным отрицательно преломляющим материалам.

2. Математическое моделирование процессов распространения электромагнитных волн в средах с резонансными условиями для электрической поляризации и намагниченности и определение условий существования в них отрицательной рефракции на основе численных расчетов.

3. Математическое моделирование процессов распространения электромагнитных волн в средах с инверсной электронной подсистемой и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

4. Математическое моделирование процессов распространения света в сильно анизотропных кристаллах, в частности, в жидких кристаллах и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

5. Математическое моделирование процессов распространения света в двумерных кристаллах и определение условий существования в них отрицательной рефракции.

6. Формулирование условий экспериментального обнаружения и подтверждения предсказанных эффектов.

Методы исследования. В работе использованы стандартные методы математической физики, в частности, математической теории дисперсии, методы кристаллооптики, методы теории групп и тензорного анализа применительно к оптическим явлениям в анизотропных средах, методы программирования в среде Maple.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующей магнитодиэлектри-ческой среде, отличающаяся от известных моделей учетом периодического намагничивания среды в поле достаточно интенсивной волны. Исследованы возможности отрицательной рефракции данных волн в плазмоподобных и магнитоупорядочен-ных электропроводящих средах.

2. Построена математическая модель отрицательной рефракции света в анизотропных средах, отличающаяся от известных моделей подобного типа более наглядной формой представления конечных результатов и учетом дихроичных свойств среды. Исследована возможность существования отрицательной рефракции света в реальных жидких кристаллах.

3. Впервые построена математическая модель отрицательной рефракции в оптически анизотропных двумерных кристаллах.

Практическая значимость работы состоит в том, что построенные математические модели определяют физические условия и ограничения реализации отрицательной рефракции электромагнитных волн, в том числе оптического диапазона, в ранее не рассматриваемых средах. К ним относятся плазмоподобные среды, магнитоупорядочен-ные металлы, жидкие и двумерные кристаллы. Результаты работы могут найти применение при создании устройств трансформационной оптики и электродинамики. Например, жидкие кристаллы могут быть использованы в устройствах оптической обработки информации в качестве жидкокристаллических амфотерных, т. е. изменяющих знак показателя преломления под воздействием управляющего электрического поля, переключателей направления светового луча. Двумерные и квазидвумерные отрицательно преломляющие кристаллы могут быть использованы в нанофотонике в качестве планарных дефлекторов лазерного излучения. Магнитоупорядоченные металлы могут быть использованы для дифракционно-неограниченной фокусировки коротких лазерных импульсов длительностью порядка 10~10- 1СГ9 с.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью использованных математических методов, согласованностью построенных математических моделей с известными теоретическими и экспериментальными результатами.

На защиту выносятся:

1. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей магнитодиэлектрической среде, отличающаяся учетом ее периодического намагничивания в магнитном поле волны, из которой следует возможность наблюдения отрицательной рефракции в высокотемпературной плазме и магнитоупорядоченных металлах.

2. Математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных средах, в частности, в нематических жидких кристаллах, обладающих дихроизмом, позволяющая численными методами определить условия существования отрицательной рефракции.

3. Математическая модель отрицательно рефракции света в двумерных кристаллах, определяющая условия существования отрицательной рефракции луча, скользящего по поверхности кристалла.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Международная «Конференция по логике, информатике, науковедению» (Ульяновск, 2007); Международная конференция "Математическое моделирование физических, экономических, технических, социальных систем и процессов" (Ульяновск, 2009); Всероссийская научно — практическая конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2007» (Томск, 2007); Девятая Международная конференция "Физика в системе современного образования" (Санкт-Петербург, 2007); II и III конференции молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2007, 2008); Пятая Всероссийская научно - практическая конференция (с участием стран СНГ) «Современные проблемы создания и эксплуатации радиотехнических систем» (Ульяновск, 2007); Всероссийская научно — практическая конференция «Формирование учебных умений в процессе реализации стандартов образования» (Ульяновск, 2007, 2009); Региональная научная школа-семинар «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники» (Ульяновск, 2006, 2007, 2008); Научно-техническая конференция УлГТУ «Вузовская наука в современных условиях» (Ульяновск, 2007, 2008, 2009).

Личное участие автора в проведенных исследованиях отражено как в наличии самостоятельных публикаций (работы [19, 26, 87, 103]), так и в работах, выполненных в соавторстве. Основные теоретические положения разработаны совместно с профессором Браже Р. А. Все графические результаты, компьютерные программы их получения, а также численные оценки получены автором самостоятельно. Результаты, представленные в работах [116, 121], получены совместно с профессором Браже Р. А. и ассистентом Гришиной А. А. При этом на долю автора приходится исследование оптических свойств двумерных кристаллов. Результаты работы [118] получены совместно с профессором Браже Р. А. и доцентом Мефтахутдиновым Р. М. На долю автора приходятся вывод уравнения Френеля для двумерных кристаллов, разработка программы построения графиков и участие в обсуждении полученных результатов.

В первой главе приведен аналитический обзор работ, посвященных явлению отрицательной рефракции. Рассмотрены особенности отрицательной рефракции электромагнитных волн в изотропных недиссипативных и диссипативных диспергирующих средах. Исследован вопрос распространения электромагнитных волн в инверсных средах. Обсуждаются перспективы наблюдения отрицательной рефракции в оптическом диапазоне частот и недостатки существующих материалов с отрицательной рефракцией.

Вторая глава посвящена построению математической модели отрицательной рефракции электромагнитных волн в диспергирующей магнитодиэлектрической среде. Получены и исследованы законы дисперсии диэлектрической и магнитной проницаемостей магнитодиэлектрической среды в поле электромагнитной волны. Обсуждаются условия возникновения отрицательной рефракции в данных средах.

В третьей главе исследована отрицательная рефракция света в сильно анизотропных кристаллах с двулучепреломлением. Рассмотрены особенности рефракции света в жидких кристаллах, определены условия, необходимые для наблюдения отрицательной рефракции.

Четвертая глава посвящена построению математической модели отрицательной рефракции в двумерных кристаллах. Исследована симметрия двумерных кристаллов и их оптических свойств. Получены условия, при которых возникает отрицательная рефракция электромагнитных волн в двумерных кристаллах.

Основные результаты и выводы работы сводятся к следующему:

1. На основе анализа большого числа теоретических и экспериментальных работ по отрицательной рефракции электромагнитных волн, изучения физической природы этого явления в магнито-диэлектрических композитных средах и фотонных кристаллах выявлены принципиальные недостатки, присущие известным отрицательно преломляющим средам: специфические требования к частоте и поляризации падающего излучения, узкая полоса рабочих частот, большое поглощения излучения и др.

2. Впервые исследованы дисперсионные свойства инверсной магнитодиэлектрической среды. Показано, что в инверсных электропроводящих средах без специального подбора дисперсионных характеристик отрицательная рефракция существовать не может.

3. Вопреки традиционным для физической литературы утверждениям, впервые показано, что направления вектора групповой скорости и вектора Пойнтинга могут быть и противоположными. Так, например, обстоит дело в случае обратных волн отрицательной энергии в инверсной магнитодиэлектрической

4. Построена оригинальная математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в изотропной электропроводящей магнитодиэлектрической среде, отличающаяся учетом ее периодического намагничивания в магнитном поле самой волны при условии ее достаточной интенсивности. Показано, что отрицательная рефракция может наблюдаться в высокотемпературной плазме для сверхвысокочастотных радиоволн вплоть до терагерцевых частот, а в магнитоупорядоченных металлах - в оптическом диапазоне.

5. Построена оригинальная математическая модель отрицательной рефракции света в сильно анизотропных средах, в частности, в нематических жидких кристаллах, отличающаяся от других моделей подобного типа независимым подходом к проблеме, более наглядными графическими представлениями результатов и учетом дихроичных свойств среды.

6. Впервые построена математическая модель отрицательной рефракции скользящего светового луча в двумерных кристаллах. Сделаны прогнозы относительно возможностей практического использования этого явления.

Оценка степени достижения сформулированной цели диссертационного исследования. Как указано во введении основной целью диссертационной работы являлось отыскание новых возможностей существования отрицательной рефракции электромагнитных волн на основе математического моделирования этого явления. В результате проведенного исследования состояния вопроса и на основе разработанных математических моделей показано, что наряду с ранее известными средами, в которых доказано существование отрицательной рефракции электромагнитных волн, это явление возможно также в следующих средах:

1. Плазмоподобные среды, в том числе высокотемпературная плазма и ионосфера.

2. Магнитоупорядоченные металлы.

3. Жидкие кристаллы (нематики).

4. Двумерные кристаллы.

Таким образом, цель настоящего диссертационного исследования можно считать достигнутой.

Критическая оценка предложенных новых моделей по сравнению с известными показывает, что

1. Отрицательная рефракция в плазмоподобных средах ограничена сверху терагерцевым диапазоном сверхвысокочастотных радиоволн и использованием мощных коротких импульсов когерентного излучения (~ Ю-15 с) и энергией в импульсе ~ 10 Дж.

2. Отрицательная рефракция в магнитоупорядоченных металлах возможна на оптических частотах, но также при использовании импульсного лазерного излучения, хотя и с существенно большей длительностью импульсов (~ Ю-10 . Ю-9 с).

3. Отрицательная рефракция света в жидких кристаллах, хотя и была математически смоделирована автором независимо и оригинальным способом, как выяснилось, была предсказана ранее другими исследователями [108, 109], причем, с похожими результатами.

4. Математическая модель отрицательной рефракции света в двумерных кристаллах, насколько известно автору, предложена впервые.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Среды с отрицательным и управляемым показателем преломления имеют большие перспективы применения в оптических устройствах. На них возлагаются надежды по созданию так называемых "совершенных линз" с субволновым разрешением и "плащей-невидимок", укрывающих объект от внешнего наблюдателя. К настоящему времени такие среды, в том числе и для оптического диапазона, уже созданы: это магнитодиэлектрические композиты (метаматериалы) и фотонные кристаллы. Созданы они благодаря использованию самых современных нанотехнологий и ценой значительных финансовых затрат, однако обладают рядом существенных недостатков, препятствующих их широкому применению.

В частности, метаматериалам на основе периодически распределенных резонансных металлических элементов присущи следующие недостатки: сильная зависимость показателя преломления от частоты, угла падения и поляризации падающего излучения; невозможность плавного и динамичного управления показателем преломления; сложность получения протяженных по площади гибких пленок. В случае фотонных кристаллов к этим недостаткам добавляются еще два: сложность создания трехмерных фотонных кристаллов с периодом решетки порядка длины световой волны; ограниченность разрешения "совершенных линз" на их основе периодом решетки.

В настоящей работе, на основе построенных математических моделей, предложены новые классы сред, в которых возможна отрицательная рефракция электромагнитных волн, в том числе для оптического диапазона. Расширяющие перечень отрицательно преломляющих материалов, предложенные среды (плазмопободные среды, изотропные магнитоупорядоченные материалы, дихроичные анизотропные среды, в том числе жидкие кристаллы, двумерные кристаллы) обладают по сравнению с метаматериалами и фотонными кристаллами большей дешевизной и простотой получения, а в ряде случаев и менее жесткими требованиями к частоте, углу падения и поляризации падающего луча. Это позволяет надеяться, что указанные материалы займут свою нишу в практических приложениях явления отрицательной рефракции.

1. Smith, D. R. Composite medium with simultaneously negative permeability and permittivity / D. R. Smith et al. // Phys. Rev. Lett. -2000.-V. 84.-P. 4184-4187.

2. Shelby, R. A. Microwave transmission through a two-dimensional, isotropic, left-handed metamaterial / R. A. Shelby et al. // Apll. Phys. Lett. 2001. -V. 78. - P. 489 - 491.

3. Веселаго, В. Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и // / В. Г. Веселаго // УФН. -1967.-Т. 92. -№ 3. С. 517-526.

4. Рухадзе, А. А. Недоразумения и недобросовестность в науке. Часть 3. Отрицательный индекс /А. А. Рухадзе, А. А. Самохин // "Академия тринитаризма". М., 22.07.2004. - Эл. № 77 - 6567. -Публ. 11366.

5. Агранович, В. М. Пространственная дисперсия и отрицательное преломление света / В. М. Агранович, Ю. Н. Гартштейн. // УФН. 2006. - Т. 176. -№ 10.-С. 1051 - 1068.

6. Мандельштам, Л. И. Полное собрание трудов. Т. 5. / Л. И. Мандельштам. М.: Изд-во АН СССР, 1950 см. лекции, прочитанные 26 февраля 1940 г. и 5 мая 1944 г.. - 468 с.

7. Мандельштам, Л. И. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / Л. И. Мандельштам. М.: Наука, 1972.-437 с.

8. Lamb, Н. On group-velocity / Н. Lamb // Proc. London Math. Soc. 1904.-No. l.-P. 473-479.

9. Шевчик, В. H. Упрощенная теория генератора обратной волны / В. Н. Шевчик // Радиотехника и электроника. 1958. - Т. 3. -181 с.

10. Pendry, J. В. Negative refraction makes a perfect lens / J. B. Pendry // Phys. Rev. Lett. 2000. - V. 85. - P. 3966 - 3969.

11. Pendry, J. B. Controlling electromagnetic fields / J. B. Pendry et al. // Science. -2006. -V. 312. -P. 1780 1782.

12. Schurig, D. Metamaterial electromagnetic cloak at microwave frequencies / D. Schurig et al. // Science. 2006. - V. 314. -P. 977-980.

13. Schuster, A. An introduction to the theory of optics / A. Schuster. -London: Edward Arnold, London, 1904. 356 p.

14. Pocklington, H. C. Growth of a wave-group when the group velocity is negative / H. C. Pocklington // Nature. 1905. - V. 71. -P. 607-608.

15. Малюжинец, Г. Д. Замечание о радиационном принципе / Г. Д. Малюжинец // ЖТФ. 1951. - Т. 21. - С. 940 - 942.

16. Сивухин, Д. В. Энергия электромагнитной волны в диспергирующей среде / Д. В. Сивухин // Оптика и спектроскопия. -1957.-Т. 3.-С. 308-312.

17. Арцимович, JI. А. Элементарная физика плазмы / JI. А. Арци-мович. -М.: Атомиздат, 1969. 192 с.

18. Веселаго, В. Г. Электродинамика материалов с отрицательным коэффициентом преломления / В. Г. Веселаго // Электронный ресурс. Режим доступа: http://physics.mipt.ru/SIV/Optman/ Veselago.pdf.

19. Барыкина, Е. И. Отражение и преломление электромагнитных волн на границе раздела идеальный диэлектрик -электропроводящая среда, допускающая инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Вестник УлГТУ. -2008. -№ 1.-С. 37-39.

20. ОТИиа, Д. Лазерная техника / Д. О'Шиа, Р. Колен, У. Роде. -М.: Атомиздат, 1980. 256 с.

21. Браже, Р. А. Обобщенная математическая модель инверсной среды и ее практические приложения / Р. А. Браже // Прикладная математика и механика: Сб. науч. тр. Ульяновск: УлГТУ. - 2006. - Вып. 7. - С. 61 - 70.

22. Барыкина, Е. И. Новый подход к описанию оптической рефракции в диспергирующих и инверсных средах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Мат. девятой Межд. конф. "Физика в системе современного образования". Санкт-Петербург. - 2007. - С. 486 - 487.

23. Рабинович, М. И. Введение в теорию колебаний и волн / М. И. Рабинович, Д. И. Трубецков. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. - 560 с.

24. Островский, JI. А. Волны отрицательной энергии в гидродинамике / JI. А. Островский, С. А. Рыбак, Т. Ш. Цимринг // УФН. -1986. Т. 150. - Вып. 3. - С. 417 - 437.

25. Браже, Р. А. Плотность потока энергии контактных электрогидродинамических волн в полупроводниках / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов, Т. А. Новикова // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. — 2001. Т. 4. - № 1. -С. 9-12.

26. Sturrok, P. A. In what sense do slow waves carry negative energy? / P. A. Sturrok // J. Apll. Phys. 1960. - V. 31. - P. 2052 - 2056.

27. Depine, R. A. A new condition to identify isotropic dielectric-magnetic materials displaying negative phase velocity / R. A. Depine, A. Lakhtakia // Microwave Opt. Tech. Lett. 2004. -V. 41.- No. 4.-P. 315-316.

28. McCall, M. W. The negative index of refraction demystified / M. W. McCall, A. Lakhtakia, and W. S. Weiglhofer // Eur. J. Phys. 2002. - V. 23. - P. 353 - 359.

29. Chettiar, U. K. Dual-band negative index metamaterial: double negative at 813 nm and single negative at 772 nm / U. K. Chettiar et al. // Opt. Lett. -2007. V. 32.-No. 12. -P. 1671 - 1673.

30. Yuan, H.-K. A negative permeability material at red light / H.-K. Yuan et al. // Optics Express. 2007. - V. 15. - № 3. -P. 1076-1083.

31. Benisty, H. Photonic crystals / H. Benisty et al. Springer, 2005.

32. Ивченко, E. JI. Резонансные трехмерные фотонные кристаллы / Е. JI. Ивченко, А. Н. Поддубный // ФТТ. 2006. - Т. 48. -Вып. З.-С. 540-547.

33. Prasad, Р. N. Nanophotonics / Р. N. Prasad. John Wiley and Sons, 2004.-415 p.

34. Vujic, D. Pulse reshaping in photonic crystal waveguide and microcavities with Kerr nonlinearity: Crystal issues for all-optical switching / D. Vujic, S. John // Phys. Rev. A. 2005. - V. 72. -P. 013807.

35. Hu, G. Y. Highly tunable superparamagnetic colloidal photonic crystals / G. Y. Hu, Y. Yin // Angewandte Chemie International Edition. V. 46. - 39. - P. 7428 - 7431.

36. Pucci, A. Photoinduced formation of gold nanoparticles into vinyl alcohol based polymers / A. Pucci et al. // J. Mater. Chem. 2006. -V. 16.-P. 1058- 1066.

37. Park, S. H. Assembly of mesoscale particles over large areas and its application in fabricating tunable optical filters // Langmuir. 1999. -V. 23.-P. 266-273.

38. Park, S. H. A three-dimensional photonic crystal operating in the visible region / S. H. Park, B. Gates, Y. Xia // Advanced Materials. 1999. - V. 11.-P. 466-469.

39. Vlasov, Y. A. On-chip natural assembly of silicon photonic bandgap crystals / Y. A. Vlasov et al. // Nature. 2001. - V. 414. -No.6861. -P. 289-293.

40. Yao, P. Fabrication of three-dimensional photonic crystals with multilayer photolithography / P. Yao et al. // Optics Express. 2005. -V. 13.-No. 7.-P. 2370-2376.

41. Jugessur, A. Engineering the filter response of photonic crystals microcavity filters / A. Jugessur, P. Pottier, and R. De La Rue // Optics Express. -2005. V. 12. -No. 7. -P. 1304 - 1312.

42. Liang, G. Q. Fabrication of two-dimensional coupled photonic crystal resonator arrays by holographic lithography / G. Q. Liang et al. //Appl. Phys. Lett. 2006. -V. 89. - P. 041902.

43. Duneau, M. Holographic method for a direct growth of three-dimensional photonic crystals by chemical vapor deposition / M. Duneau, F. Delyon, and M. Audier // J. Appl. Phys. 2004. - V. 96.-No. 5.-P. 2428-2436.

44. Arshak, K. Focused ion beam lithography-overview and new approaches / K. Arshak et al. // Proc. 24th International Conference on Microelectronics (MIEL 2004). V. 2. - P. 459 - 462.

45. Белов, П. А. Эффекты обратных волн и отрицательной рефракции на оптических частотах / П. А. Белов, К. Р. Симовский // Электронный ресурс. Режим доступа: ysa.ifino.ru/ data/ publications/ВООКООб/ paperOOl .pdf.

46. Пинскер, 3. Г. Рентгеновская кристаллооптика / 3. Г. Пинскер. -М.: Наука, 1982.-389 с.

47. Барыкина, Е. И. Условия возникновения отрицательной рефракции света в фотонных кристаллах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Вестник УлГТУ. 2009. - № 1. - С. 22 - 26.

48. Леманов, В. В. Особенности рассеяния света на гиперзвуковых волнах в одноосных кристаллах / В. В. Леманов, О. В. Шакин // Письма в ЖТЭФ.- 1971.-Т. 13.-С. 549-553.

49. Леманов, В. В. Рассеяние света на упругих волнах в одноосных кристаллах / В. В. Леманов, О. В. Шакин // ФТТ. 1972. - Т. 14. -Вып. 1.-С. 229-236.

50. Гуляев, Ю. В. Дифракция света на звуке в твердых телах / Ю. В. Гуляев, В. В. Проклов, Г. Н. Шкердин // УФН. 1978. -Т. 124.-С. 61-111.

51. Киттель, Ч. Введение в физику твердого тела / Ч. Киттель. М.: Мир, 1978. - 792 с.

52. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела / Н. Ашкрофт, Н. Мермин. -М.: Мир, 1979.-399 с.

53. Анималу, А. Квантовая теория кристаллических твердых тел / А. Анималу. М.: Мир, 1981. - 574 с.

54. Программный пакет для расчета зонных диаграмм фотонных кристаллов MIT Photonic Bands / Электронный ресурс. -Режим доступа: http://ab-initio.mit.edu/wiki/index.php/MITPho-tonicBands.

55. Пакет программ для расчета зонных диаграмм фотонных кристаллов RSOFT BandSolve/ Электронный ресурс. Режим доступа: http://www.rsoftdisign.com/products/componentdesign/ BandSolve.

56. Notomi, М. Theory of light propagation in strongly-modulated photonic crystals: refraction-like behavior in the vicinity of the photonic band gap / M. Notomi // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. -No. 16.-P. 10696-10705.

57. Notomi, M. Negative refraction in photonic crystals / M. Notomi // Opt. and Quant. Electronics. 2002. - V. 34. - P. 133 - 143.

58. Luo, C. L. All-angle negative refraction without negative effective index / C. L. Luo, S. G. Johnson, J. D. Jannopopoulous, J. B. Pendry // Phys. Rev. B. 2002. - V. 65. - P. 201104.

59. Luo, С. L. All-angle negative refraction in three-dimensionally periodic photonic crystals / C. L. Luo, S. G. Johnson, J. D. Janno-popoulous // Appl. Phys. Lett. 2002. - V. 81. - No. 13. -P. 2352-2354.

60. Zengerle, R. Light propagation in singly and doubly periodic planar waveguides / R. Zengerle // J. Mod. Optics. 1987. - V. 34. -P. 1589- 1617.

61. Camly, R. E. Surface polaritons on uniaxial antiferromagnetics / R. E. Camly, D. L. Mills // Phys. Rev. B. 1982. - V. 26. - P. 1280 - 1287.

62. Pendry, J. B. Extremely low frequency plasmons in metallic mesostructures / J. B. Pendry et al. // Phys. Rev. Lett. 1996. -V. 76.-P. 4773-4776.

63. Proto, J. A. Transmission resonances on metallic gratings with very narrow slits / J. A. Porto, F. J. Garcia-Vidal, and J. B. Pendry // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 83. - P. 2845 - 2848.

64. Pendry, J. B. Magnetism from conductors and enhanced nonlinear phenomena / J. B. Pendry et al. // IEEE Trans. Micr. Theory Techniques. 1999. - V. 47. - P. 2075 - 2084.

65. Shelby, R. A. Experimental verification of a negative index of refraction / R. A. Shelby, D. R. Smith, and S. Schultz // Science. -2001. V. 292.-P. 77-79.

66. Linden, S. Magnetic response of metamaterials at 100 THz / S. Linden, C. Enkrich, M. Wegener et all. // Science. 2004. -V. 306.-P. 1351 - 1353.

67. Shalaev, V. M. Negative index of refraction in optical metamaterials / V. M. Shalaev // Opt. Lett. 2005. - V. 30. - P. 3356 - 3358.

68. Drachev, V. P. Experimental verification of an optical negative index material / V. P. Drachev et al. // Laser Phys. Lett. 2006. -V. 3. - No. l.-P. 49-55.

69. Klar, T. A. Negative-index metamaterials: going optical / T. A. Klar et al. // IEEE J. of Selected Topics in Quantum Electronics. 2006. -V. 12.- No. 6.-P. 1106-1115.

70. Dolling, G. Negative-index metamaterial at 780 nm wavelength /

71. G. Dolling, H. Wegener, С. M. Soukoulis, and S. Linden // Opt. Lett. 2007. - V. 32. - P. 53 - 55.

72. Zhang, X. Image resolution depending on slab thickness and object distance in a two-dimensional photonic-crystal-based superlens / X. Zhang // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. - P. 195110.

73. Parimi, P. V. Imaging by flat lens using negative refraction / P. V. Parimi et al. // Phys. Rev. Lett. 2004. - V. 93. - No. 7. -P. 073902.

74. Luo, C. Subwavelength imaging in photonic crystals / C. Luo et al. //Phys. Rev. В.-2003.-V. 68.-P. 045115.

75. Chien, H.-T. Directed diffraction without negative refraction /

76. H.-T. Chien et al. // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. - P. 113101.

77. Li, Z.-Y. Evaluation of lensing in photonic crystal slab exhibiting negative refraction / Z.-Y. Li, L.-L. Lin // Phys. Rev. B. 2003. -V. 68.-P. 245110.

78. Kuo, C.-H. Optical transmission of photonic crystal structures formed by dielectric cylinders: Evidence for non-negative refraction / C.-H. Kuo, Z. Ye // Phys. Rev. B. 2004. - V. 70. - P. 056608.

79. Гинзбург, В. JI. Распространение электромагнитных волн в плазме / В. JI. Гинзбург. М.: Наука, 1960. - 552 с.

80. Силин, В. П. Электромагнитные свойства плазмы и плазмо-подобных сред / В. П. Силин, А. А. Рухадзе. М.: Атомиздат, 1961.-244 с.

81. Савельев, И. В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. Волны и оптика / И. В. Савельев. — М.: Наука, 1988.-496 с.

82. Смоленский, Г. А. Ферриты и их техническое применение / Г. А. Смоленский, В. В. Леманов. Л.: Наука, 1975. - 219 с.

83. Мизун, Ю. Г. Ионосфера Земли / Ю. Г. Мизун. М.: Наука, 1985.- 158 с.

84. Барыкина, Е. И. Математическая модель отрицательной рефракции электромагнитных волн в электропроводящей среде, допускающей инверсию электронной подсистемы / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже // Изв. Вузов. Поволжский регион. -2008. -№ 1.-С. 102- 109.

85. Бардин, Дж. Электропроводность металлов / Дж. Бардин // УФН. 1941. - Т. 25. - Вып. 1. - С. 19-54. (Пер. из J. Appl. Phys.- 1940.-V. 11.-P. 88).

86. Кошкин, Н. И. Справочник по элементарной физике / Н. И. Кошкин, М. Г. Ширкевич. М.: Наука, 1986. - 256 с.

87. Преображенский, А. А. Магнитные материалы и элементы / А. А. Преображениский, Е. Г. Бишард. М.: Высш. шк., 1986. -352 с.

88. Chen, Н. S. Glassy metals / Н. S. Chen // Repts. Progr. Phys. -1980.-V. 43.-P. 353.

89. Gilman, J. J. Overview of the technology and significance of metallic glasses / J. J. Gilman // J. Phys. Collogue C-8. 1980. -V. 41.-P. 811.

90. Комник, Ю. Ф. Физика металлических пленок / Ю. Ф. Комник. М.: Атомиздат, 1979. - 264 с.

91. Зырянов, П. С. Электропроводность ферромагнитных металлов в радиочастотном поле / П. С. Зырянов, Т. Г. Изюмова // Физика металлов и металловедение. 1959. - Т. 8. - № 6. — С. 801-806.

92. Семененко, Е. Е. О минимуме электросопротивления антиферромагнитного металла (Cr) / Е. Е. Семененко // Письма в ЖЭТФ. 1966. - Т. 3. - Вып. 11. - С. 433 - 447.

93. Белов, К. И. Эффект Холла в ферритах / К. И. Белов, Е. П. Свирина // УФН. 1968. - Т. 96. - Вып. 1. - С. 31 - 38.

94. Прецизионные сплавы. Справочник / Под. ред. Б. В. Молотилова. М.: Металлургия, 1983. - 440 с.

95. Виноградова, М. Б. Теория волн / М. Б. Виноградова, О. В. Руденко, А. П. Сухоруков. М.: Наука, 1979. - 384 с.

96. Браже, Р. А. Отрицательная оптическая рефракция в кристаллах с сильным двулучепреломлением / Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // ЖТФ. 2007. - Т. 77. - Вып. 6. -С. 116-118.

97. Барыкина, Е. И. Отрицательная рефракция света в жидких кристаллах / Е. И. Барыкина // Тез. шк.-сем. «Актуальные проблемы физической и функциональной электроники». -Ульяновск. 2008. - С. 19.

98. Справочник по электротехническим материалам. Т. 3. / Под ред. Ю. В. Корицкого, В. В. Пасынкова, Б. М. Тареева. Л.: Энергоатомиздат, 1988. - 728 с.

99. Zhang, Y. Total negative refraction in real crystals for ballistic electrons and light / Y. Zhang, B. Fluegel, and A. Mascarenhas // Phys. Rev. Lett. 2003. - V. 98. - № 15. - P. 157404-1 - 157404-4.

100. Lu, Y. Negative refraction at the interface of uniaxial anisotropic media / Y. Lu et al. // Opt. Commun. 246. 2005. - P. 429 - 435.

101. Luo, H. Amphoteric refraction at the interface between isotropic and anisotropic media / H. Luo et al. // Opt. Commun. 254. 2005. -P. 353-360.

102. Zhao, Q. Tunable negative refraction in nematic liquid crystals / Q. Zhao, L. Kang, B. Li, and J. Zhao // Appl. Phys. Lett. 2006. -V. 89. — P. 221918-1-221918-3.

103. Pishnyak, O. P. Electrically controlled negative refraction in a nematic liquid crystal / O. P. Pishnyak, and O. D. Lavrentovich // Appl. Phys. Lett. 2006. - V. 89. - P. 251103-1 - 251103-3.

104. Ю.Багавантам, С. Теория групп и ее применение к физическим проблем / С. Багавантам, Т. Венкатарайуду. М.: ИЛ, 1959. -301 с.

105. Сиротин, Ю. И. Основы кристаллофизики / Ю. И. Сиротин, М. П. Шаскольская. М.: Наука, 1975. - 680 с.

106. Вустер, У. Применение тензоров и теории групп для описания физических свойств кристаллов / У. Вустер. М.: Мир, 1977. -388 с.

107. Шувалов, Л. А. Современная кристаллография. Т. 4. Физические свойства кристаллов / Л. А. Шувалов, А. А. Урусовская, И. С. Желудев и др. М.: Наука, 1981.-496 с.

108. Шубников, А. В. Симметрия в природе и искусстве / А. В. Шубников, В. А. Копцик. М.: Наука, 1972. - 339 с.

109. Шаскольская, М. П. Очерки о свойствах кристаллов / М. П. Шаскольская. -М.: Наука, 1978. 192 с.

110. Барыкина, Е. И. Физические свойства инверсных двумерных нанокристаллов / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, А. А. Елизарова (Гришина) // Электронная техника: Сб. науч. тр. / Под ред. Д. В. Андреева. Ульяновск : УлГТУ, 2007. - С. 3 - 9.

111. Най, Дж. Физические свойства кристаллов / Дж. Най. М.: Мир, 1967.-385 с.

112. Барыкина, Е. И. Распространение электромагнитных волн в двумерных нанокристаллах / Е. И. Барыкина, Р. А. Браже, Р. М. Мефтахутдинов // Прикладная математика и механика: сб. научн. тр. Ульяновск: УлГТУ. - 2009. - Т. 8. - С 23 - 28.

113. Барыкина, Е. И. "Левые" двумерные кристаллы / Е. И. Барыкина^ Р. А. Браже // Мат. конф. «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика». — Саратов. 2007. -С. 43-44.