автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Анализ моделей нелинейной диффузии в многокомпонентных системах методами теории групп преобразований

На правах рукописи

ГЛАДКОВ Андрей Валерьевич

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа - 2004

Работа выполнена на кафедре математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель- доктор физико-математических наук,

профессор, Байков Виталий Анварович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор, Жибер Анатолий Васильевич

кандидат физико-математических наук, доцент, Свирщевский Сергей Ростиславович

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН

Защита состоится "декабря 2004 года в - часов на заседа-

нии диссертационного совета КР-212.288.26 при Уфимском государственном авиационном техническом университете по адресу: 450000, Уфа-центр, ул. К. Маркса 12, УГАТУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Уфимского государственного авиационного технического университета

Автореферат разослан " /¿Г "ноября 2004 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

д.ф.-м н, проф. Г Т. Булгакова

2006-4

" \гоь

гю^Зд

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследований. Многие практически важные процессы, такие как: движение в пористых средах многофазных, многокомпонентных жидкостей, нестационарная фильтрация в многопластовых системах, концентрационные волны в распределенных химических реакторах, горение, популяционные волны описываются системами нелинейных уравнений диффузионного типа.

Построение аналитических решений таких систем в общей постановке затруднительно Для преодоления этой проблемы часто используется линеаризация исходных уравнений, однако в ряде случаев этот прием может привести к отбрасыванию нелинейных эффектов, оказывающих решающее влияние на ход процессов. Особенно важным учёт нелинейности может оказаться при решении задач анализа устойчивости состояний и чувствительности решений относительно малых изменений параметров системы.

Мощным инструментом исследования нелинейных моделей является сим-метрийный анализ дифференциальных уравнений. Знание симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения, которые могут быть эффективно исиользованы при решении задач идентификации модели и разработки стратегии управления процессом, описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные относительно Группы симметрий решения можно в большинстве случаев эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями. Найденные аналитические решения, даже если они не имеют явных физических приложений могут быть использованы, например, для тестирования численных алгоритмов решения исходных уравнений.

Работы ряда авторов позволили изучить достаточно хорошо симметрий ные свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с источником Были изучены отдельные классы систем уравнений' диагональный случай с п—2 или специальные вид матрицы диффузионных коэффициентов Однако, это не охватывает многие практически важные случаи Поэтому актуальным является выделить среди этих систем модели, замечательные по своим симметрийным свойствам в общем случае, с произвольным набором компонент и недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.

Учет дополнительных факторов приводит к изменению модели описывающие данные процессы Так например, во многих приложениях наряду с процессами диффузии важным является учет малых поправок конвекции Хотя зачастую эти факторы малы они могут играть важную роль К сожалению в классическом симметрийном подходе это приводит к ухудшению

симметрийных свойств модели. евлаи-е-этим. и последнее время активно

л РОС. И иДЙ'ЖАЛЬНАЯ

развивается теория приближенн лх сэдэдэщ^эдффо инициальных уравне

С ербург 200£РК

ний До настоящего момента времени системы диффузионных уравнений с малыми конвективными членами небыли исследованы методами приближенного группового анализа

В задачах градообразования и морфогенеза, описываемые системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции. При отсутствии диффузионных членов или когда они малы система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям). Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Интерес представляет изучение связи приближенных симметрия динамических систем с отображениями таких систем.

Для вычисления симметрии существует набор программ для пакетов символьных вычислений REDUCE, Maple, Matematica облегчающих изучение симметрийных свойств дифференциальных уравнений. Однако эти программы предназначены для нахождения точных симмеггрий дифференциальных уравнений с известными коэффициентами. Использование данных программ становиться невозможным для исследования точных и приближенных симметрия дифференциальных уравнений с произвольными функциями, те. для задач групповой классификации.

Цель работы. Исследование систем диффузионных уравнений методами теории групп преобразований для выделения моделей с дополнительными симметрийными свойствами и построение их инвариантных решений. Для достижения этой цели были поставленным следующие задачи.

1. Построение иерархии моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источником, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Построение инвариантных решений для описания процесса хемотаксиса, совместной динамики температуры и объемного водосодержания в почве, а также динамики популяций бактерий.

3. Разработка алгоритма построения отображений с использованием приближенных симметрии гамильтоновых систем с малым параметром

4. Разработка прикладной программы построения приведенной системы определяющих уравнений (СОУ) для нахождения точных и приближенных точечных симметрий систем дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту:

1. Иерархия моделей систем диффузионных уравнений по точных и приближенными симметриям с произвольным количеством компонент п

2. Инвариантные решения некоторых задач естествознания, описываемые системами диффузионных уравнений.

3. Алгоритм построения универсального отображения гамильтоновой системы с малым параметром с использованием приближенных симметрия

4 Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных симметрий дифференциальных уравнений

Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:

1. Наряду с аналогами известных случаев расширения для скалярного уравнения найдены специальные классы уравнений многокомпонентной диффузии со специфическими симметрийными свойствами Предложен метод решения СОУ, одинаково хорошо применимый для исследования симмет-рийных свойств систем диффузионных уравнений с источниками, с малой конвекцией и систем анизотропных диффузионных уравнений.

2. Построено фундаментальное решение для случая, когда матрица диффузионных коэффициентов подчиняется степенному закону, также некоторые инвариантные решения, описывающие процессы хемотаксиса, совместной динамики температуры и влажности в почве, размножения бактерий в питательной среде.

3. Предложен конструктивный алгоритм построения отображения, которое может быть использовано для анализа локальной неустойчивости в гамильтоновых системах с возмущением.

4. Разработанная программа построения приведенной СОУ для решения задач групповой классификации дифференциальных уравнений

Научная и практическая ценность. Развиты методы анализа определяющих уравнений при нахождении симметрий систем диффузионных уравнений, которые могут быть применены для широкого класса подобных задач. Показана групповая природа известных решений изучаемых систем.

Практическая ценность результатов заключается в создании программы вычисления СОУ, позволяющая исследовать точные и приближенные симметрии систем дифференциальных уравнений с произвольными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты работы диссертации докладывались на

Международной конференции "Алгебраические и аналитич. методы в теории дифференц. уравнений"(Орел, 1996 г.)

- Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения"(Челябинск, 1999 г.)

- Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его нриложения"(Воронеж, 2000 г.)

- Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравне-ния"(Красноярск, 2000 г.)

- Международной конференции "МСЮ11АН 2000: Групповой анализ для нового тысячелетия "(Уфа, 2000 г.)

- XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г)

- Семинаре в университете Техаса в Остине, (США, 2003г.)

и на научных семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН, кафедры математики УГАТУ.

Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 14 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура диссертации. Диссертация изложена на 130 страницах машинописного текста, включая 5 таблиц и 14 иллюстраций, и состоит из введения, четырех глав, разделенных на 14 параграфов, заключения и приложения. В конце работы приведен список литературы, содержащий 106 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой проблемы, сформулирована цель и задачи исследования, приведено краткое содержание работы.

Глава 1 носит реферативный характер и включена автором для полноты изложения материала В ней рассматривает природа возникновения систем диффузионных уравнений. Приводится обзор некоторых задач естествознания,приводящих к системам такого вида

В параграфе 1.1 приведен вывод уравнений многокомпонентной и неизотермической диффузии с помощью термодинамических принципов.

Наряду с этим рассмотрена формулировка Стефана-Максвела позволяющая описывать в разумном приближении процессы изотермической многокомпонентной диффузии с помощью набора обычных бинарных коэффициентов диффузии. В параграфе 1 2 рассмотрены различные модели описываемые системами диффузионных уравнений для конкретных приложений- совместной динамика температуры и влажности, хемотаксиса, коррозии в канализационных трубах, горение в многокомпонетных средах и др. Так например система нелинейных диффузионных уравнений с источником может описывать хемотаксиса - направленное движение клеток (таксиса) под воздействием химического раздражителя (хемоатптрактангпа). Эта модель состоит из системы двух связанных адвекционно - диффузионных параболи-

ческих уравнений вида

~ = ЯоЛЯ + ^р), (1)

^ - (2)

В этих уравнениях р = р(х, £) > 0 - плотность клеток в точке х и момент времени и 5 = 5(х, £) > 0 - плотность хемо-аттрактанта Положительные константы Д) и I? - коэффициенты диффузии хемоаттрактанта и клеток соответственно, и Х(5) - функция чувствительности клеток (хемотаксическая чувствительность). Роль функции р) заключается в описании взаимодействия между двумя этими сущностями.

Рассмотренные модели описываются следующими системами диффузионных уравнений: системой диффузионных уравнений источниками (стоками)

I + <3>

системой анизатропных диффузионных уравнений

Зу дь

.£1; ,(4) системой диффузионных уравнений с малыми конвективными членами

Здесь у = у (х, ¿) - вектор - функция из тг компонент (у = {у,} , г = 1... п); Л (у) - квадратная матрица диффузионных коэффициентов с с!е1 Л Ф О, М (у) - квадратная матрица конвективных членов и О (у) - вектор-функция источников (стоков). Данная работа посвящена исследованию данных систем методами теории групп преобразований.

В параграфе 1.3 вводятся основные понятие групп преобразований дифференциальных уравнений. Проведен анализ работ по исследованию скалярных уравнений диффузии и систем диффузионных уравнений методами теории групп. Обсуждаются имеющиеся подходы к построению симметрии с помощью пакетов символьной математики

В Главе 2 исследуются групповые свойства системы линейных и нелинейных диффузионных уравнений (3) и (4). Показано что групповые свойства систем переповторяют все свойства своего скалярного аналога. Вместе с тем, появляются дополнительные случаи расширения групп, вплоть до бесконечных Построенные симметрии были использованы для построения инвариантных решений.

В параграфе 2 1 исследуются групповые свойства систем линейных и нелинейных диффузионных уравнений с источником (3) по точечным симметрия м

Ядро основных ?рупп Система (3) при произвольных Л(у) и Q(y) допускает группу переносов по t и эг t' — t + ai, х' = х + аг-

При Q = 0 добавляется третье преобразование - неоднородное растяжение по i и х: t — ¿ехр(2аз), х = хехр(аз)

Допускаемые операторы в общем случае ищутся в виде-

д $ X = £(t, X, у)— + r){t, х, у)— + тг(i, X, у) • V (6)

Проведение полной групповой классификации представляет сложную задачу Классификация случаев расширения проводилась в предположении, что координата оператора 7г имеет вид

w=m(x,t)p(y), M(y) = Ny + k, (7)

где m(x,t) - скалярная функция своих аргументов, N - константная матрица и к - константный вектор. Хотя представление (7)является частным, все известные примеры систем вкладываются в этот случай. В рамках такого предположения удается проклассифицировать определяющие уравнения до конца.

Используя невырожденное линейное преобразование вида у = Bz + q, где В - матрица, q - вектор, можно привести матрицу N к жордановой форме. Это позволяет существенно редуцировать количество случаев расширения. Данное преобразование, является преобразованием эквивалентности систем (3)-(5): исходная и преобразования система допускают подобные группы преобразований и не различаются при групповой классификации.

При решение определяющий уравнений необходимо решить следующую систему для определения матрицы диффузионных коэффициентов А

{Ny + k) - VA = а А + NA - AN, а = const (8)

В случае когда NA — AN = О система представляется систему п2 независимых уравнений и может быть решена методом характеристик Для случае NA - AN ф 0 разработан метод последовательного интегрирования уравнений системы. Последовательность интегрирования зависит от размера жор-дановых клеток матрицы N. Элементы полученной матрицы являются произвольными функциями (п— 1)-го инварианта дифференциального оператора (Ny + к) • V . Различаются два случая нахождения инвариантов Либо когда линейная система уравнений N у + к = 0 имеет решение или в случае ее несовместности В первом случае линейной заменой можно исключить к.

Далее в сделанных выше предположениях проводится построение иерархии моделей с нахождением спецификаций матрицы Л(у) и вектора (¿(у) -при которых происходит расширение основной алгебры Ли Представление спецификаций матрицы Л(у) и вектора <3(у)-, при которых допускаются до-полнителные преобразования, зависит от вида жордановой формы матрицы N. Перечисление спецификаций для всех случаев матрицы N с произвольным набором компонент п не представляется возможным. Поэтому результаты классификации представлены виде уравнений, которым удовлетворяют Л и <3 и выписаны соответствующие дополнительные операторы.

В каждом конкретном случае матрицы N построенный метод решения позволяет выписать явные представления спецификаций. Для случаев N — Е и N — 0 в работе выписаны явные представления матрицы Л(у) и вектора <?(у)- Следует отметить, что в случае диагональной матрицы N — diag{Al, Аг,.. , А„} определяющие уравнениям представляет собой систему поэлементных уравнений, решение которых может быть выписано явно для любых п.

Когда N — Е или N = 0 мы получаем аналоги известных скалярных случаев

1. А = {уп + кп)ст{1и12,...,1п-1), = з=т^г=л.

Уп + "'П

2. Л = ехр(ст^)ф2(/ь/2,..., /„_,), = з 1.

\ Кл/ К] Кп

3. А — (уп + к„)~* ФЗ (1\, /г, ■ ••, /п-0, I, = 3 = 1^1 _

Уп ~г

дл 1 П 1 лл

ФЗм = ФЗ,„ = 3«, - Е { = = ГХ1ГТ-3 к=: к Здесь и далее Ф произвольные матрицы своих аргументов, а и П(/х, /г,..., 1п-\) - произвольная вектор - функция своих аргументов. В частности когда <5 = 0 в случае 1 и 2 система допускает один дополнительный оператор, а в случае 3 - два дополнительных оператора.

Наряду с этим, существует случай 4 не имеющий скалярного аналога

4. Л = Ф4(/ь/2,..., /„_!), Лк = 7 = ¿ = 1^=1

К^ Кц

где 7 - константный вектор. Когда 7 ф Ак, система допускает два дополнительных оператора, в случае когда 7 = Ак, система допускает вплоть до бесконечных групп преобразований.

В параграфе 2.2 исследуются групповые свойства систем нелинейных анизатропных (х £ й3) диффузионных уравнений вида (4).

Ядро основных групп Система (4) при произвольных Л,(У) допускает группу переносов по времени t и трем пространственным переменным х, у и 2: if — t + oi, х' — х + аг, у' = У + аз, г' = z + а.4, и неоднородное растяжение х — хе"ь, у = уеа\ z — ze°5, t = ie2"5

Используя метод решения определяющих уравнений и технику построения иерархии моделей развитый в параграфе 2.1 были построены случаи расширения основной алгебры Ли для случая Л, ф г ф j- Л, ф const, i,j = 1,2,3 Построены известные аналоги скалярного уравнения и некоторые новые случаи расширения.

Результаты полученные п. 2.2 используются в параграфе 2 4 для построения автомодельных решений для нелинейной диффузии без источника с импульсными начальными условиями Рассматривается следующая задача Коши:

.....*)£}•<9) ■

где Ф - матрица своих аргументов, 5 (х — хо) дельта-функция Дирака в xq. Инвариантное решение имеет вид:

y(x,i)=(i-io)_I^H из — Х~Х\ fc + 2/O, (Ю)

(t -

где <р (ui) определяется из следующей системы нелинейных ОДУ

~kT2Wip = ^ [Ф£] + ^ = °0nSt ^

В случае когда п — 2, данная систему решена в квадратурах. Для более частного случая, когда Ф =7 (jj^j Ф0, где 7 j произвольная функция, уравнение (11) может быть решено в предположении, что матрица Фо имеет два различных собственных числа Aj, Л2 и соответствующих собственных вектора ш, п.

Параграф 2.5 посвящен описанию программы DEPEAS построения системы определяющих уравнений для нахождения точечных точных и приближенный симметрии систем дифференцальных уравнений. Программа за-регистрированна в РОСПАТЕНТе (свидетельство N 2004612395) Программа оформлена в виде библиотеки процедур (package) для Maple. Библиотека включает три процедуры LieSymmetry Kernel (процедура генерации СОУ), SystemReducer ( процедура упрощения полученной СОУ), ApproximateSym (процедура построения СОУ для приближенных симметрий). В отличии от существующих программ использование алгоритмов синтаксического анализа объектов входящих в исходную систему позволяет- строить СОУ для проведения групповой классификации этих систем.

В Главе 3 рассматриваются вопросы использование методов приближенного группового анализа для исследования систем диффузионных уравнений с малыми конвективными членами, а также построения подходов к изучению локальной неустойчивости динамических систем на примере га-мильтоновых систем с возмущением

В параграфе 3 1 изучаются методами приближенного группового анализа системы диффузионных уравнений с малой конвекцией (5)

Ядро основных групп Система (5) при произвольных Л(у) и М(у) допускает 5-ти параметрическую группу приближенных преобразований, порождаемую следующими существенными операторами

В данной главе, как и в Главе 2 симметрии уравнения (5) изучаются в предположении линейности координаты ж по переменным у, так что

7Г = тго + Е7Г! = то{х, (у) + етпх(х, t(у), щ (у) = JV,y + ки

где mt(x,t) скалярные функции своих аргументов, a JV, и кг константные матрицы и вектора соответственно. Рассмотрены случаи наследование симметрии и для случаев когда спецификации матрицы Л являются аналогами степенного и экспоненциальных законов Не смотря на это. наследование симметрии и построение иерархии в других случаях может быть выполнено с использованием аналогичных методик.

В параграфе 3.2 с использованием приближенных симметрии построены приближенно-инвариантные решения систем вида (5) для случая Л =

% = Л)|}+е/МН(/2,/з, -,/„)£, (12)

Ук

где Ф произвольная функция своих аргументов Ik = —, к = 2..п, матрица Н

У\

определена специальным соотношениям с матрицей Ф, /3 — const Решение уравнения удовлетворяет условию сохранения интеграла

/оо

y{x,t)dx = Eq + eEi. (13)

•00

Уравнение (12) и начальное условие (13) инвариантно относительно следующего оператора

У = (<r + 2)(l-£^xo)(i-io)^+ (V-xo)-^Or-xo)2)^ + (-l + ^^o-xjjfy.V). (14)

Приближенно-инвариантное решение может быть представлено в виде

а вектор функции и ф(ш) удовлетворяют следующей системе обыкновенных дифференциальных уравнений

где иг — ((р\ф{ — ^Рхф\]!- В случае е = 0 данная задача идентична задаче рассмотренной в п.2.3.

Для построения подходов к изучения локальной неустойчивости динамических систем с использованием приближенных симметрий в параграф 3.3 посвящен изучению приближенных симметрий возмущенной гамильтоновой системы с гамильтонианом Н — На (I)+е#1 (I, Здесь I — (/], ..., /т), Ч> = (уь </?2, - • ■, 4>т) ~~ канонически сопряженные переменные, í - время, е - малый параметр. Доказана о наследовании полной группы преобразований невозмущенной системы в виде приближенной группы преобразований с любым порядком точности. Так же ноказано, что гамильтонова симметрия невозмущенной системы, порождаемая законом сохранения, наследуется в приближенную гамильтонову симметрию системы с возмущением.

В параграфе 3.4 предложены два подхода к построению дискретных отображений соответствующих гамильтоновой системе с использованием приближенных гамильтоновых симметрий Такие отображение (отображения за период, отображения вблизи сепаратрис) используются при анализе локальной неустойчивости гамильтоновых систем и являются переходом от от непрерывной модели к дискретной.

В первом подходе отображение получается из условий приближенного сохранения приближенных законов сохранения Рч за период Т- ^ = о (е), = о (е) Это является аналогом известного метода построения

соответствующих отображений.

Предложен другой подход к построению универсального отображения с использованием приближенных симметрий Для этого используются два оператора У] = Х\ + Х\, У2 = Ал| + Щ, где черта означает замену всех переменных (/, <р, £) на новые (/, <р, где I и {два произвольных момента времени Отображение за период Т может быть получено из равенства нулю приближенных инвариантов С\, С% этих симметрий и с использованием дополнительного условия согласования I = 1(1+Т), ф — <р^+Т), I = 1+Т. Таким

у » ((1 _ £/3(х - х0))<р(ш) - х0)\1 - ¿оГ^'М + ¿¿И)

(15)

_1__

а + 2 (1ы

«=2 1

образом отображение за период является приближенно- инвариантным относительно этих симметрии. Данные подходы были рассмотрены на примерах возмущения нелинейного осциллятора малыми периодическими толчками с периодом Т ив случае когда H\~V (х) cos (ut).

В Главе 4 полученные результаты по симметрийным свойствам систем диффузионных уравнений используются для решения конкретных прикладных задач. А именно для построение инвариантных решений описывающих хемотаксис, совместную динамику температуру и объемное водосодержания в почве, а также динамику популяций бактерий.

Параграф 4.1 посвящен иерархии моделей и инвариантным решениям хемотаксиса. Система (1)-(2), описывающая процесс хемотаксиса, является частным случаем системы (3) когда

Используя иерархию моделей построенную в п.2.1 в данном случае удается полностью классифицировать данную систему по точным точечным сим-метриям. Выявлено три спецификации функции X'(S) и соответствующие функции источника ip(S,p) с разными симметрийными свойствами. Спецификации X'(S) имеет вид: произвольная функция, B/(S + а), константа. Для каждого из этих случаев выписаны соответствующие функции источника ip(S,p). Предположение (7) оказывается оправданным.

При отсутствии источника ip(S, р) = 0 система (1)-(2) для любых видов функции X'(S) допускает два дополнительных преобразования- неоднородное растяжение по t и х, и растяжение переменной р Соответствующие им конечные преобразования имеют вид t = £ехр(2аз), х — х ехр(аз), р = рехр(а4).

Случай Xf(s) = const соответствует общепринятому в литературе случаю, когда функция чувствительности клеток представляется линейным законом = гДе X некоторая константа. В этом случае система допускает пятое преобразование сдвиг по S: S = S + 05.

Q

В случае когда = —-где В и а - постоянные, система (1)-(2)

Ь + а

допускаеа' пятое преобразование растяжение по SS=S ехр(а5) Этот случай интересен тем, что он соответствует случаю когда функция чувствительности клеток подчиняется закону Всбера - Фехнера, гласящий, что реакция на раздражитель пропорциональна его относительной интенсивности. То есть сила ощущения X(S) логарифмически зависит от физической интенсивности раздражителя (S) : X(S) = kfoS + с. где кис некоторые постоянные, определяемые сенсорной системой.

Наличие функции источника ц> в системе, как правило, приводит к тому,

Л(5,р) =

А> о

_-X\S)p D

что вместо набора дополнительных преобразований система допускает лишь одно дополнительное преобразование представляющее их комбинацию. Так например, с произвольной функцией Х'(3) - и ц> = арР, где а и /3 некоторые постоянные, система дополнительно допускается следующее преобразование

I = I ехр(2/?аз), х — х ехр(/?аз), р = р ехр(а3).

В случае когда <р (5, р) = 0 система допускает дополнительные операторы

Инвариантное решение относительно оператора У — Xз + аХА + аХ5 имеет вид

р = 4«ф1(ш)1 5 = /?1пЮ + Ф2(ш), " =

Функции Ф^ш) и Ф-2(о;) удовлетворяют следующей системе уравнений обыкновенных дифференциальных уравнений

■ ш-

4Ф2 п 1. „(¿ф;

- + (17)

аФ, - = -4.Х-¿-Л - + 2^) (18)

сРФ1 Ми

В случае /3 = 0 уравнение (17) имеет решение Ф2М = С1 + 2^ег£('

V -^о,

где Сь Сг - константы В диссертации рассмотрены два случая 5(0, £) = 1, 5(оо,£) = 0 и 5(0, £) = 0, 5(оо, £) = 1 для которых решение (18) получено численно В обоих этих случаях р(0,1) = 1, р'(оо,£) = 0.

В случае 5(0, £) = 1,5(сю, ¿) = 0 когда хемотаксическая чувствительность х отлична от нуля, диффузия клеток замедляется, и клетки стремятся оставаться в зоне повышенной концентрации хемоаттарктанта. Происходит эффект группировки клеток (см. Рис. 1 - а).

В случае 5(0, £) = 0,5(оо,£) = 1 при увеличении значения хемотакси-ческой чувствительности х от О ДО 2 приводит к более быстрой диффузии плотности клеток в зону повышенной концентрации хс м оатт р а к 1 а н та При значениях хемотаксической чувствительности более 2, но менее 3 происходит образование фронта (см Рис. 1 - Ь).

В параграфе 4.2 построено инвариантное решение описывающее совместную динамику температуры и объемного водосодержания в почве при периодических граничных условиях.

Рис.4: Распределение клеток и хемоатрактанта

Система диффузионных уравнений без источника в частности описывает совместную динамику температуры у\ (x,t) и объемного содержания воды в почве j/2 {x,t), с периодическими граничными условиями Экспериментально было установлено, Jackson для Аделянского плато в Аризоне и Rose для песчаных почв на севере Австралии, что элементы матрицы диффузионных коэффициентов А (у) близки к константным значениям матриц-

А? =

Ag =

2.23 х Ю-3 4.18 х 10~3 5.31 х 10"8 5.07 х 10"5

Инвариантное решение может быть найдено в виде 2

2.16 х 10~3 8.56 х 10~5 6.21 х Ю-8 5.11 х Ю-5

у (х, t) = £.), <Pi{x,6) = ехр{-а,-х}cos (&), (19)

i=i

= иЛ — а,х, а, =

и представляет собой двухволновое решение Здесь пг - собственные вектора матрицы ЛИ, соответствующие различным собственным значениям Л, Константы С, определяются из граничных условий j/i(0, t) = —7|t cos(o;i). У2(0, t) = Mocos(wt).

При изменении коэффициента Л12 от le-5 (Jakson) до le-3 (Rose) не приводит к сильному изменению собственных значений матрицы. Это обусловливается тем, что коэффициент Л21 очень мал 1е-8, а на изменение собственных значений влияет комплекс Л12Л21. Таким образом, в обоих моделях эффективная глубина проникновения возмущений температуры и влажности одинакова. Однако изменение коэффициента Л12 от le-5 (Jakson) до 1е-3 (Rose) приводит к изменению второго собственного вектора. Вклад компоненты влажности на решение температуры Тоф^х, fi) определяется добавкой порядка

п1/п1М0(ф2(х,^)-ф1(х,^)).

Здесь То и Mq начальное отклонение температуры и влажности Таким образом относительно поправка к решению может быть оценена как

п\/п\М0/П {ф2{х,Ь)/ф\{х,Ь) - 1) -

В случае Rose отношение тл\/п\ ~ —0.04, а в случае Jackson п\/п\ « -1.9. Отношение максимального отклонения водосодержания к максимальному отклонению температуры составляет Mq/Tq ~ 0.1/6 ~ 0.016.

В параграфе 4.3 обсуждаются инвариантные решения линейных систем диффузионных уравнений со знакопеременным источником Система линейных диффузионных уравнений с нелинейным источником является обобщением задачи Колмогорова-Петровского-Пискунова о распространении гена:

^ = + Л = diag{Ai, А2,.. ,А„}, (20)

h.

Лг Уп

Инвариантное решение в этом случае можно представить в виде

ах^

,,(M = ^)exp{-4Ml + ae_at)}. (21)

В случае когда Aj = А и вектор-функция источника Ф имеет следующую структуру: Ф, = 0 .... Vn-i), » = l,n- 1, Фп = 0, инвариантное

решение имеет вид

yt (x,t) = ехр{- -—}е I l<pt(t),i = l,n,tp„=l,

4А (1 + ае "')

(22)

V, (t) = К1 (* + , Nt fa) = f —--г = t + io.

В заключении сформулированы основные результаты диссертации

В приложении А приведен листинг программы для DEPEAS

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В Л Байкову за постановку задач и многочисленные ценные советы и замечания

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1 Построена иерархия моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источниками, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Разработан алгоритм построения отображений с использованием приближенных симметрии гамильтоновых систем с малым параметром

3. Построены инвариантные решения описывающие- направленное движение клеток под воздействием химического раздражителя (хемотаксис), сов местную динамику температуры и объемного водосодержания в почве и динамику популяций бактерий

4. Разработана программа построения приведенной системы определяющих уравнений, которая может быть использована для решения задач групповой классификации по точным и приближенным симметриям

Основные публикации по теме диссертации:

1. Байков В.А., Гладков A.B., Вилтшае Р.Дж. Групповая классификация систем диффузионных уравнений,// "Алгебраические и аналитич. методы в теории дифференц уравнений" Труды Междунар. конференции -Орел: Изд. Орловского гос. ун-та, 1996. - С. 11-13.

2. Байков В.А., Гладков A.B., Вилтшае Р.Дж. Системы нелинейных диффузионных уравнений- симметрийный анализ //MGA VII. Proc. of the Int. Conf. , Nordfjordeid, Norway, 1997, P. 9-15 (на англ. яз.)

3 Байков В.А./Гладков A.B. Групповой анализ систем диффузионных уравнений с источником.// "Спектральная теория дифференц операторов и смежные вопросы" Т руды Междунар конференции - Ч. 1. - Стерли-тамак' Изд Стерлитамак гос. пед. ин-та, 1998.- С. 126-127

4. Байков В.А., Гладков A.B., Вилтшае Р.Дж. Симметрийный классификационный анализ связанной нелинейной диффузии // J. Phys А: Math.Gen 1998 - Vol 31 -, Р 7483-7499. (на англ. яз.)

5. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром.// Актуальные проблемы математики. Мат. методы в естествознании- Межвуз. сборник. Изд-во УГАТУ. 1999. С 27-31.

6. Гладков A.B., Царегородцев A.A. Групповые свойства анизотропных систем диффузионных уравнений.// Актуальные проблемы математики. Мат методы в естествознании.МежвузсборникИзд-во УГАТУ 1999С 90-94

7. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии и инвариантные решения некоторых моделей, имеющих хаотическое поведение // "Симметрия и дифференциальные уравнения": Доклады межд. конференции, Красноярск Изд-во ИВМ, 2000, с.31-34.

8 Гладков A.B., Дмитриева В.В., Шарипов P.A. О некоторых нелинейных уравнениях, сводящихся к уравнениям диффузионно! о тина.// ТМФ, 2000 -T.123-N 1-е.26-37.

9. Гладков A.B. Приближенные симметрии и отображения гамильтоновых систем с малым параметром// Вестник УГАТУ£001,- N3.-C. 214 - 218.

10 Гладков A.B. Гамильтоновы системы с малым параметром: приближенные симметрии и первые интегралы //"MOGRAN 2000: Modern Group Analysis for the New Millennium"- Proc of the Int Conf. / - USATU Publisher, Ufa, Russia. - P. 69-70.

11 Гладков A.B. Приближенные симметрии, инвариантные решения и отображения гамильтоновых систем с малым параметром // "Современные исследования в математике и механике"- Труды XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ. Москва, Изд.: ЦПИ при мехмате МГУ. Часть первая. С 100-103

12. Гладков A.B. Вычисление определяющих уравнений для построения точных и приближенных симметрий дифференциальных уравнений с использованием пакета символьных вычислений Maple.// Актуальные проблемы математики Мат. модели современного естествознания: Межвуз сборник. Изд-во УГАТУ. 2004. С. 115-121

13. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ N 2004612395 (РФ). Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных точечных симметрий систем дифференциальных уравнений (DEPEAS) Гладков A.B. - М.: Роспатент,

14. Байков В.А., Гладков А.В. Приближенные симметрии систем диффузионных уравнений. , / "MOGRAN X: Group analysis of differential equations"- Матер, межд. копф, Larnaka, Cyprus, 2004, P. 15

2004.

Соискатель

Гладков A.B.

ГЛЛДКОВ Андрей Валерьевич

АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ

В МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМАХ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ГРУПП ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 12.11.2004. Формат 60x84 1/16 Бумага писчая. Печать плоская. Гарнитура Times New Roman Усл. печ. л. 1.0. Усл. кр.-отт. 1.0. Уч.-изд.л. 0.9. Тираж 100 экз. Заказ N 626

Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии Республики Башкортостан 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12

РЫБ Русский фонд

2006-4 1206

19 Hûfl 2004

Введение

1 Модели многокомпонентной диффузии и теория групп преобразований

1.1 Неизотермическая и многокомпонентная диффузия.

1.2 Системы диффузионных уравнений: модели и приложения

1.3 Методы теории групп преобразований и системы диффузионных уравнений . . . . '.•.

2 Системы диффузионных уравнений: точные симметрии, иерархия моделей, инвариантные решения

2.1 Симметрийные свойства диффузионных систем с источником

2.2 Симметрийные свойства систем анизатропных диффузионных уравнений.

2.3 Автомодельные решения для нелинейной диффузии без источника с импульсными начальными данными.

2.4 Программа DEPEAS построения системы определяющих уравнений в среде Maple.

3 Приближенный симметрийный анализ систем диффузионных уравнений

3.1 Приближенные симметрии систем диффузионных уравнений с малыми конвективными членами.

3.2 Приближенные решения диффузионных систем с малым параметром

3.3 Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром

3.4 Приближенные инвариантные решения и отображения гамильтоновых систем с малым параметром

4 Инвариантные решения и приложения

4.1 Модель хемотаксиса: иерархия моделей, инвариантные решения

4.2 Распространение периодических колебаний при многокомпонентной фильтрации

4.3 Инвариантные решения для линейных систем диффузионных уравнений со знакопеременным источником.

Многие практически важные процессы, такие как: движение в пористых средах многофазных, многокомпонентных жидкостей, нестационарная фильтрация в многопластовых системах, концентрационные волны в распределенных химических реакторах, горение, популяционные волны описываются системами нелинейных уравнений диффузионного типа.

Построение аналитических решений таких систем в общей постановке затруднительно. Для преодоления этой проблемы часто используется линеаризация исходных уравнений, однако, в ряде случаев, этот прием может привести к отбрасыванию нелинейных эффектов, оказывающих решающее влияние на ход процессов. Особенно важным учёт нелинейности может оказаться при решении задач анализа устойчивости состояний и чувствительности решений относительно малых изменений параметров системы.

Мощным инструментом исследования нелинейных моделей является сим-метрийный анализ дифференциальных уравнений. Знание симметрии позволяет исследователю найти инвариантные решения, которые могут быть эффективно использованы при решении задач идентификации модели и разработки стратегии управления процессом, описываемым ею. В практических приложениях эти инвариантные, относительно группы симметрий, решения в большинстве случаев можно эффективно построить, и часто они оказываются единственными известными точными решениями. Найденные аналитические решения, даже не имея явных физических приложений, могут использоваться, к примеру, для тестирования численных алгоритмов решения исходных уравнений.

Работы ряда авторов позволили хорошо изучить симметрийные свойства скалярных уравнений нелинейной теплопроводности с источником. Были изучены отдельные классы систем уравнений: диагональный случай с п=2 или специальные виды матрицы диффузионных коэффициентов. Однако, это не охватывает многие практически важные случаи. Поэтому актуальным является выделение среди этих систем моделей, замечательных по своим симмет-рийным свойствам в общем случае - с произвольным набором компонент и недиагональной матрицей диффузионных коэффициентов.

Учет дополнительных факторов приводит к изменению модели, которая описывает данные процессы. Так например, во многих приложениях, наряду с процессами диффузии, важным является учет малых поправок конвекции. Несмотря на то, что эти факторы зачастую малы, они могут играть важную роль. К сожалению, в классическом симметрийном подходе это приводит к ухудшению симметрийных свойств модели. В связи с этим, в последнее время активно развивается теория приближенных симметрий дифференциальных уравнений. До настоящего момента времени системы диффузионных уравнений с малыми конвективными членами не были исследованы методами приближенного группового анализа.

В задачах градообразования и морфогенеза, которые описываются системами диффузионных уравнений с источниками, неустойчивость является источником сложной эволюции. При отсутствии диффузионных членов, или, когда они малы, система представляет собой динамическую систему. Одним из инструментов анализа локальной неустойчивости в динамических системах является переход к дискретным аналогам (отображениям). Особенно хорошо этот подход развит для гамильтоновых систем с возмущением. Интерес представляет изучение связи приближенных симметрий динамических систем с отображениями таких систем.

Для вычисления симметрий существует набор программ для пакетов символьных вычислений REDUCE, Maple, Mathematica облегчающих изучение симметрийных свойств дифференциальных уравнений. Однако эти программы предназначены для нахождения точных симметрий дифференциальных уравнений с известными коэффициентами. Использование данных программ становится невозможным при исследовании точных и приближенных сим-, метрий дифференциальных уравнений с произвольными функциями, т.е. для задач групповой классификации.

Цель работы. Исследование систем диффузионных уравнений методами теории групп преобразований для выделения моделей с дополнительными симметрийными свойствами и построение их инвариантных решений. Для достижения этой цели были поставлены следующие задачи:

1. Построение иерархии моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источником, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Построение инвариантных решений для описания процесса хемотаксиса, совместной динамики температуры и объемного водосодержания в почве, а также динамики популяций бактерий.

3. Разработка алгоритма построения отображений с использованием приближенных симметрий гамильтоновых систем с малым параметром.

4. Разработка прикладной программы построения приведенной системы определяющих уравнений (СОУ) для нахождения точных и приближенных точечных симметрий систем дифференциальных уравнений.

Результаты, полученные лично автором и выносимые на защиту:

1. Иерархия моделей систем диффузионных уравнений по точным и приближенным симметриям с произвольным количеством компонент п.

2. Инвариантные решения некоторых задач естествознания, описываемые системами диффузионных уравнений.

3. Алгоритм построения универсального отображения гамильтоновой системы с малым параметром с использованием приближенных симметрий

4. Программа построения системы определяющих уравнений для нахождения точных и приближенных симметрий дифференциальных уравнений. Научная новизна. В работе получены следующие оригинальные результаты:

1. Наряду с аналогами известных случаев расширения для скалярного уравнения найдены специальные классы уравнений многокомпонентной диффузии со специфическими симметрийными свойствами. Предложен метод решения СОУ, одинаково хорошо применимый для исследования симмет-рийных свойств систем диффузионных уравнений с источниками, с малой конвекцией, а также систем анизотропных диффузионных уравнений.

2. Построено фундаментальное решение для случая, когда матрица диффузионных коэффициентов подчиняется степенному закону, также некоторые инвариантные решения, описывающие процессы хемотаксиса, совместной динамики температуры и влажности в почве, размножения бактерий в питательной среде.

3. Предложен конструктивный алгоритм построения отображения, которое может быть использовано для анализа локальной неустойчивости в гамильтоновых системах с возмущением.

4. Разработана программа построения приведенной СОУ для решения задач групповой классификации дифференциальных уравнений.

Научная и практическая ценность. Развиты методы анализа определяющих уравнений при нахождении симметрии систем диффузионных уравнений, которые могут быть применены для широкого класса подобных задач. Показана групповая природа известных решений изучаемых систем.

Практическая ценность результатов заключается в создании программы вычисления СОУ, которая позволяет исследовать точные и приближенные симметрии систем дифференциальных уравнений с произвольными коэффициентами.

Апробация работы. Основные результаты работы диссертации докладывались на:

- Международной конференции "Алгебраические и аналитич. методы в теории дифференц. уравнений"(Орел, 1996 г.)

- Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (Челябинск, 1999 г.)

- Воронежской зимней математической школе "Современный анализ и его приложения" (Воронеж, 2000 г.)

- Международной конференции "Симметрия и дифференциальные уравнения "(Красноярск, 2000 г.)

- Международной конференции "МОСКАИ 2000: Групповой анализ для нового тысячелетия"(Уфа, 2000 г.)

- XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2001 г.)

- Семинаре в университете Техаса в Остине, (США, 2003г.) и на научных семинарах Института математики с ВЦ УНЦ РАН, кафедры математики УГАТУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 14 работах [8] - [И], [14] - [18], [37], [44] - [46], [63].

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертации

1. Построена иерархия моделей на основе их симметрийных свойств для систем диффузионных уравнений с источниками, систем анизатропных диффузионных уравнений и диффузионных систем с малыми конвективными членами.

2. Разработан алгоритм построения отображений с использованием приближенных симметрий гамильтоновых систем с малым параметром.

3. Построены инвариантные решения описывающие: направленное движение клеток под воздействием химического раздражителя (хемотаксис), совместную динамику температуры и объемного водосодержания в почве и динамику популяций бактерий.

4. Разработана программа построения приведенной системы определяющих уравнений, которая может быть использована для решения задач группа повой классификации по точным и приближенным симметриям.

1. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // Успехи мат. наук. - 1963. - Т. 18, N 6. - С. 91 - 192.

2. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Квазилокальные симметрии уравнений типа нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 295, iV 1. - С. 75 - 78.

3. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии уравнений с малым параметром. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1987. - N 150. -28 с.

4. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии // Матем. сборник. 1988. - Т. 136, вып. 4. - С. 435 - 450.

5. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Методы возмущений в групповом анализе. М.: ВИНИТИ, 1989 / Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики. Новейшие достижения". - Т. 34. -С. 85 - 147.но

6. Байков В.А., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Приближенные симметрии и законы сохранения // Труды Математического института им. В.А. Стек-лова. М., 1991. - Т. 200. - С. 35 - 45.

7. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии гамильтоновых систем с малым параметром // Актуальные проблемы математики. Мат. методы в естествознании Межвуз. научн. сборник. - Уфа: Изд. УГА-ТУ, 1999.-С. 27-31.

8. Байков В.А., Гладков A.B. Приближенные симметрии и инвариантные решения некоторых моделей, имеющих хаотическое поведение // Симметрия и дифференциальные уравнения: Доклады международной конференции Красноярск: Изд-во ИВМ, 2000. - С. 31 - 34.

9. Воронков В.Г., Семенов H.H. Распространение холодного пламени в горючих смесях, содержащих 0.03 % сероуглерода // Ж. физ. хим. 1939.- Т. 13, N 12. С. 1695 - 1727.

10. Современные проблемы математики. Новейшие достижения". Т. 28. -С. 95 - 205.

11. Гладков A.B. Приближенные симметрии и отображения гамильтоновых систем с малым параметром // Вестник УГАТУ, 2001- N. 3- С. 214-218.

12. Гладков A.B., Дмитриева В.В., Шарипов P.A. О некоторых нелинейных уравнениях, сводящихся к уравнениям диффузионного типа // ТМФ -2000. Т. 123, N 1 - С. 26 - 37.

13. Гладков A.B., Царегородцев A.A. Групповые свойства анизотропных систем диффузионных уравнений // Актуальные проблемы математики. Мат. методы в естествознании Межвуз. научн. сборник. - Уфа: Изд. УГАТУ, 1999. - С. 90 - 94.

14. Данилов Ю.А. Групповой анализ систем Тьюринга и их аналогов. Препринт / Институт атомной энергии АН СССР. - М., 1980. - N 3287.

15. Дородницын В.А. Групповые свойства и инвариантные решения уравнения нелинейной теплопроводности с источником и стоком. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1979. - N 57. - 31 с.

16. Дородницын В.А., Князева И.В., Свирщевский С.Р. Групповые свойства уравнения нелинейной теплопроводности с источникомв двумерном и трехмерном случаях. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М, 1982. -N 79.- 24 с.

17. Занг В.-Б. Синергетическая экономика: Время и премены в нелинейной экономической теории М.: Мир, 1999. - 335 с.

18. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1984. - 271 с.

19. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1988- 368 с.

20. Зельдович Я.Б., Компанеец А.С. К теории распространения тепла при теплопроводности, зависящей от температуры. Сборник, посвещенный семидесятилетию академика А.Ф. Иоффе. - М.: Изд-во АН СССР, 1950.- С. 61 71.

21. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983. - 280 с.

22. Князева И.В., Попов М.Д. Групповая классификация диффузионных уравнений. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР.- М., 1986. N 6.

23. Козлов В.В. О группах симметрий динамических систем // ПММ. 1988.- Т. 52, N 4.-0. 531 541.

24. Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике Ижевск: Изд-во Удмуртского гос. ун-та, 1995. - 450 с.

25. Козлов В.В. Методы качественного анализа в механике твердого тела -Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2000. 256 с.

26. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С., Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме. Бюлл. МГУ. 1937. - 1 -N 6 - С. 1-26.

27. Овсянников J1.B. Групповые свойства уравнений нелинейной теплопроводности // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 125, N 3. - С. 492 - 495.

28. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 400 с.

29. Роде A.A. Основы учения о почвенной влаге Т.1 JL: Гидрометеоиздат, 1965. - 664 с.

30. Румер Ю.Б., Рыбкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кибернетика М.: Наука, 1977. - 552 с.

31. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений М.: Наука, 1987 - 477 с.

32. Свирщевский С.Р. Групповые свойства модели теплопереноса с учетом релаксации теплового потока. Препринт / Институт прикладной математики АН СССР. - М., 1988. - N 105. - 16 с.

33. Трещев Д.В. Механизм разрушения резонансных торов гамильтоновых систем // Матем. сборник. 1989. - Т. 180, вып. 10. - С. 1325 - 1346.

34. Физическая энциклопедия // Гл. ред. A.M. Прохоров М.: Сов. энциклопедия, 1988. - Т. 1. Ааронова - Бома эффект - Длинные линии - 704 с.

35. Франк-Каменецкий Д.А. Диффузия и тпелопередача в химической кинетике М.: Наука, 1967. - 490 с.

36. Фущич В.И., Штелень В.М. О приближенной симметрии и решениях нелинейного волнового уравнения с малым параметром // Докл. АН УССР. Сер. А. 1989. - N 8. - С. 18 - 21.

37. Aronson D.G. and Weinberger H.F. Multidimensional nonlinear diffusion arising in population genetics // Adv.Math. 1978. - Vol. 30.-P. 33 - 76.

38. Baikov V.A., Gladkov A.V. Approximate symmetries of systems of diffusion equations // Materials of International Conference MOGRAN X. Larnaka: University of Cyprus, 2004. - P. 15

39. Baikov V.A., Gladkov A.V. and Wiltshire R.J. Systems of nonlinear diffusion equations: a Lie symmetry analysis // Proceedings of the International Conference MGA VII Nordfjordeid, Norway, 1997. - P. 9 - 15.

40. Baikov V.A., Gladkov A.V. and Wiltshire R.J. Lie Symmetry classification analysis for nonlinear coupled diffusion //J. Phys. A: Math. Gen. 1998. -Vol. 31 - P. 7483-7499.

41. Bagderina Y.Y. Approximate Lie group analysis and solutions of 2D nonlinear diffusion-convection equations // J. Phys. A: Math. Gen. -2003. Vol. 36. -P. 753 - 764.

42. Baumann G., Lie symmetries of differential equations //A mathematica program to determine Lie symmetries. Wolfram Research Inc., Champaign, Illinois, MathSource 0202-622 1996.

43. Bohm M., Devinny J., Jahani F,., Rosen I.G. A moving boundary model for the corrosion of sewer pipes at sewage level // Preprint, CAMS at the Univ. of Southern California 1996.

44. Buchunchyk V.V. On symmetries of generalized diffusion equation // Proceedings of the International Conference "Symmetry in Nonlinear

45. Mathematical Physics Kiev: Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, 1997. Vol. 1. - P. 237 - 240.

46. Champagne B., Winternitz P. A MACSYMA programm for calculating the symmetry group of a system of differential equations// Report CRM-1278 (Centre de Recherches Mathemématiques, Montréal, Canada) 1985.

47. Curtiss C.F. and Bird R.B. Multicomponent diffusion in polymeric liquids // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1996. - Vol. 93(15), - P. 7440 - 7445.

48. Deru M.P., Kirkpatrick A.T. Ground-coupled heat and moisture transfer from buildings, part 1 analysis and modeling // Journal of Solar Energy Engineering. - 2002. - Vol. 124, issue 1. - P. 10 - 16.

49. Foxman E.F., Kunkel E.J., Butcher E. C. Integrating Conicting Chemotactic Signals: The Role of Memory in Leukocyte Navigation //J. Cell Biol. 1999 - Vol. 147, N 3 - P.577 - 587.

50. Fudym O., Batsale J.C., Santander R. and Bubnovich V. Analytical solution • of coupled diffusion equations in semi-infinite media // Journal of Heat Transfer. 2004. - Vol. 126, issue 3. - P. 471 - 475.

51. Fushchich W.I., Shtelen W.M. On approximate symmetry and approximate solutions of the non-linear wave equation with a small parameter // J. Phys. A: Math. Gen. 1989. - Vol. 22. - P. L887 - L890.

52. Ganguly J. Diffusion kinetics in minerals: principles and applications to tectono-metamorphic processes // EMU Notes in Mineralogy 2002. - Vol. 4, ch. 10, - P. 271 - 309.

53. Galbraith G.H., Mclean R.C., Gillespie I., Guo J., Kelly D. Nonisomethermal moisture diffusion in porous building materials // Building research and information. 1998. - Vol. 26, no. 6, - P. 330 - 339.

54. Gazizov R.K. Lie algebras of approximate symmetries // Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. - P. 96 - 101.

55. Gazizov R.K. Representation of general invariants for approximate transformation groups //J. Math. Anal, and Appl. 1997. - Vol. 213, N 1. - P. 202 - 228.

56. Glicksman M.E. Diffusion in solids: field theory, solid-state principles and applications // ISBN: 0-471-23972-0 1999. - 498 p.

57. CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Ed. N.H.Ibragimov, CRC Press, Boca Raton, Florida, USA.

58. Vol. 1: Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws, 1994;

59. Vol. 2: Applications in Engineering and Physical Sciences, 1995.

60. Vol. 3: New Trends in Theoretical Development and Computational Methods,1996.

61. Hickman M. The use of Maple in the search of symmetries // Research report N 77 1993 - Departament of Mathematics ( University of Canterbury, Christchurch, New Zealand)

62. Horstmann D. Stevens A. A constructive approach to traveling waves in chemotaxis // J. Nonlinear Science 2004 - Vol. 14, N 1 - P. 1 - 25.

63. Hereman W. Review of symbolic software for the computation of Lie symmetries of differential equations // Euromath Bulletin 2 1999 - Vol. 2, N 1

64. Jackson R.D., Diurnal Changes in soil water content during drying // A R.R. Bruce et al. (Editors) Field soil water regime. //Soil Sci. Soc. Amer. Proc., Special Pub. 1973. - 5 - P. 37 - 55.

65. Jackson R.D., Reginato R.J., Kimball B.A. and Nakayama F.S. Diurnal soil-water evaporation: comparison of measured and calculated soil-water fluxes // Soil Sci. Soc. Amer. Proc. 1974. - 38 - P. 861 - 866.

66. Jury W.A., Letey J, Stolzy L.H. Flow of water and energy under desert conditions // Water in Desert Ecosystems, edited by Evans D.D., Thames J.L. 1981- P. 92 - 113.

67. Keller E.F. and Segel L.A. Model for chemotaxis // J. Theor. Biol., 1971. -Vol. 30 P. 225 - 234.

68. Keller E.F. and Segel L.A. Traveling bands of chemotaxis // J. Theor. Biol.,. 1971. Vol. SO, N 2 - P. 238 - 248.

69. KennedjC.R., ArisR. Traveling waves in a simple population model involving growth and death // Bull. Math. Biol.- 1980.- Vol. 42- P. 397 429.

70. Liang Y., Richter F.M. and Watson E.B. Diffusion in silicate melts: II multicomponent chemical diffusion in CaO — — SÍO2 at 1500 °C and 1 GPa // Geochim. Cosmochim. Acta.- 1996. Vol. 60, - P. 5021 - 5035.

71. Lauffenburger D., Aris R., Keller K. Effects of cell motility and Chemotaxis on microbial population growth // Biophys. J. 1982 - 40 - P. 209 - 219.

72. Lauffenburger D. Quantitative studies of bacterial Chemotaxis and microbial population dynamics // Microbial Ecology 1991 - 22, P. 175 - 185.

73. Le D., Smith H.L. Steady states of models of microbial growth and competition with Chemotaxis // J.M.A.A. 1999 - 229 - P. 295 - 318.

74. Loomis T.P. Multicomponent diffusion in garnet: I. Formulation of isothermal models // Am. J. Sei. 1978. - 278 - P. 1099-1078.

75. Mungall James E., Romano Claudia, and Dingwell Donald B. Multicomponent diffusion in the molten system K20 — Na20 — А12Оз — Si02 H20 // American Mineralogist. - 1998. - Vol. 83, - P. 685 - 699.

76. Munier A., Burgan J.R., Gutierres J., Fijalkov E., Feix M.R. Group transformations and the nonlinear heat diffusion equation // SIAM, J. Appl. Math. 1981. - Vol. 40, N 2. - P. 191 - 207.

77. Murray J.D. Mathematical biology // Springer Verlag. 1989.

78. Nikitin A.G. and Wiltshire R.J. Symmetries of systems of nonlinear reaction-diffusion equations // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. 2000. - Vol. 30. - Part 1. - P. 47 - 59.

79. Noether E. Invariante variations probleme // Kgl. Ges. Wiss., Nachr., Göttingen, Math. Phys. Kl. - 1918. - P. 235 - 257. (Перевод в кн.: Вариационные принципы механики. - М.: Физматгиз, 1959. - С. 611 - 630.)

80. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes-I // Phys. Rev. -1931. 37. - P. 405 - 426.

81. Onsager L. Reciprocal relations in irreversible processes-II // Phys. Rev. -1931. 38. - P. 2265 - 2279.

82. Oron A., Rosenau P. Some symmetries of the nonlinear heat and wave equations // Phys. Lett. A. 1986. - Vol. 118, N 4. - P. 172 - 176.

83. Patlak C.S. Random walk with persistence and external bias // Bull, of Math. Biophys. 1953 - 15 - P. 311 - 338.

84. Philip J.R. and D.A. de Vries Moisture movement in porous media under temperature gradient // Transactions American Geophysical Union 1957 -38 (2)- P. 222 - 231.

85. Rose C.W. Water transport in soil with a daily temperature wave. I Theory and experiment // Aust.J.Soil.Res. 1968. - a. - 6, - P. 31 - 44.

86. Rose C.W. Water transport in soil with a daily temperature wave. II Analysis // Aust.J.Soil.Res. 1968. - b. - 6, - P. 31 - 44.

87. Sánchez-Madrid F., Pozo M.A. Leukocyte polarization in cell migration and immune interactions // The EMBO J. 1999 - Vol. 18, N 3. - P. 501 - 511.

88. Sanjuan N., Cárcel J.A., Clemente G., Mulet A. Modelling of the rehydration process of brocolli florets // European food research and technology. 2001. - Vol. 212, N4.-P. 449 - 453.

89. Schwarz F. The package SPDE for determining symmetries of partial differential equations // User's Manual. Distributed with REDUCE 3.3 (Rand Corporation, Santa Monica, California) 1987.

90. Sophocleous C. Potential symmetries of nonlinear diffusion-convection equations //J. Phys. A: Math. Gen. 1987. - Vol. 29. - P. 6951 - 6959.

91. Taylor Ross, Krishna R. Multicomponent Mass Transfer // 1993. - 616 p.

92. Unal G. Algebraic integrability and generalized symmetries of dynamical systems // Physics letters A. 1999. - Vol. 260, - P. 352 - 359.

93. Wang G., Reckhorn S.B., Grathwohl P. Volatile organic compounds volatilization from multicomponent organic liquids and diffusion in unsaturated porous media // Vadose Zone Journal, Soil science society of America- 1999.- 2. P. 692 - 701.

94. Wiltshire R.J. The use of Lie transformation groups in the solution of the coupled diffusion equation // J. Phys. A:Math.Gen. 1994. - Vol. 27. -P. 7821 - 7829.

95. Wiltshire R.J. Perturbed Lie symmetry and systems of non-linear diffusion equations //J. Nonlinear Mathematical Physics. 1996. - Vol. 3, N 1-2. -P. 130 - 138.

96. Yung C.M., Verburg K., Baveye P. Group classification and symmetry reductions of the non-linear diffusion-convection equation ut = (D(u)ux)x — K'(u)ux // Int. J. Non-Linear Mechanics. 1994. - Vol. 29, AT 3. - P. 273 -278.

97. Zhang Z.-T., Dong Y.-D., Li R.-H. Research on the multicomponent diffusion theory and its application to the calculation of evaporation histories of multicomponent droplets // Proceedings of Gas Turbine Symposium and Exposition Beijing: 1985. - P. 7.

98. Zulehner W., Ames W.F. Group analysis of a semilinear vector diffusion equation // Nonlinear Anal., Theory, Methods, Appl. 1983. P. 945.