автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Численное решение уравнений диффузии трехкомпонентной газовой смеси

ргб ад

1 h ПЮН 1993

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫМ НАЩОНАЛЬНЫЙ УНИЗЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАгАБИ

На правах рукошси

АСКАРОВА Жанар Ятаевна

УДК 519.633

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДИФФУЗИИ ТРЕХКОМПОНЕНТНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ

05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

'АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алматы 1993

Работа выполнена в Казахском государственном национально] университете имени Аль-Фараби и в Алматинском государственно! университете имени АСая.

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор, член-корреспондент ИАН РК СМАГУЛОВ Ш.С. кандидат физико-математических наук, доцент СЕРОВАЙСКИЙ С.Я.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор ДШГАШГИН К.Е. (ИММ НАН РК)

кандидат физико-математических наук, Доцент КЕНЖЕТАЕВ К.К. (Казахский сель.-хоз. институт)

Ведущая организация: Институт прикладной математики

НАН и МО РК (г.Караганда)

Защита состоится ъШЬИ 1993г. в 10 часов на заседании специализированного совета К 058.01.16 при Казахском государственном национальном университете им. Аль-Фараби по адресу: 480012, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Масанчи, 39/47, КазГНУ, ШПМ, ауд._.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке КазГНУ^

Отзывы на афтореферат высылать по адресу: 480121, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Тимирязева, 46, Казахский государственный национальный университет имени Аль-Фарзби, Ученому секретарю (С.Е.Нысанбаева).

Автореферат разослан щ2& " ОЛ/ЦкЫ], 1993г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

НЫСАШАЕВА С.Е.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

.Актуальность^ Вопросы математического моделирования нелиней. физических процессов являются одним из ведущих направлений кладной математики и имеют вакные практические приложения, ссические процессы диффузии достаточно хорошо исследованы как ически, так и математически. При исследовании смеси газов воз-ают качественно новые физические явления, трудно поддающиеся периментальному исследованию. Возникновение не'только диффу-нных потоков, но и порождаемых ими различных конвективных те-ий значительно затрудняет задачу исследования. В этой связи вставляет интерес разработка математических методов решения ач диффузионных многокомпонентных систем.

Для описзния процесса диффузии трехкомпснентной газовой сме-японским исследователем Y.Olshi была предложена система нели-зых уравнений, которая является интересным объектом исследова-с позиций теории дифференциальных уравнений, математического элирования и вычислительной математики.

При экспериментальном и теоретическом изучении диффузии га-ос смесей возникает необходимость в качественном исследовании юнных•методов решения используемой модели, а также в разра-се эффективных алгоритмов их численного решения.

„Цель__работы^ Основной целью настоящей работы является

:нованке численных методов решения уравнений диффузии трехком-штной газовой смеси для одномерного и двумерного случаев, этом предполагается рассмотреть вопросы устойчивости, единст-юсти и сходимости решения предложенных разностных схем к ре-го рассматриваемых дифференциальных уравнений. Доказать схо-ють итерационного метода решения. На основании исследуемых гастных схем провести численное решение задача. _Научная_новизна. Предлагается применение различных методов оксимации для уравнений диффузии трехкомпонентной газовой и. Для одномерной модели методами Роте, пространственной цо~ скретизацш и полной дискретизации получены априорные оценки ния разностных схем в классе Соболева. Дается обоснование

методов, откуда следуют, во-первых, теорзма существования

обобщенного решения исходного дифференциального уравнения, ьо-вторых, сходимость соответствующих методов аппроксимации к решению исходного уравнения. Доказана теорема единственности и устойчивости решения. Дается обоснование итерационного метода решения разностной схемы. С помощью метода дробных шагов рассмотрена двумерная модель. Доказаны существование обобщенного решения двумерной задачи, сходимость и устойчивость метода дробных шагов.

Теоретическое и практическое значение результатов. Установленные свойства решения уравнений диффузии многокомпонентной газовой смеси представляют интерес для теории нелинейных уравнений с частными производными. Они свидетельствуют о высоких возможностях применения методов аппроксимации для исследования задач математической физики. Техника обоснования численных методов решения рассматриваемой системы может быть использована при разработке эффективных алгоритмов решения широкого класса прикладных задач. Результаты численного исследования моделей трехкомпонентной диффузии газовой смеси могут быть использованы при теоретическом и' экспериментальном исследовании процесса (планирование эксперимента; решение задач идентификации параметров процесса и т.д.), а также при изучении явления диффузионного резонанса в многокомпонентных. системах.

,Апробация работы.. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре под руководством член-корр. ИАН РК, профессора Ш.С.Смагулова и к.ф.м.н., доцента Н.Т.Данаева "Численные метода механики сплошной среда"; на научном семинаре по теории оптимального управления под руководством к.ф.-м.н., доцента С.Я.Серовайского в КазГНУ им. Алъ-Фараби; на общефакультетском научном семинаре "Теория дифференциальных уравнений и ее приложе-ний"под руководством к.ф.-м.н..доцента Ж.А.ТокиОетона, к.ф.-м.н., доцента Е.Ы.Бидайбекова и к.ф.-м;н., доцента О.С.Сатыбалдиева в АТУ ил. Абая; на конференции -молодых ученых и специалистов (Алматы, 1993г.).

.Структура и объем работы. Диссертационная работа изложена на 144 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, выводов, списка литературы из 56 наименований, включает 16 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНКЕ РАБОТЫ

Во введении дается общая характеристика работы.

В первой главе описываются процессы диффузии в многокомпонентных газовых смесях и исследуются вопросы математического моделирования этих процессов. Экспериментальные исследования по изучению процесса диффузии многокомпонентных газовых смесей, проведенные на кафедре теплофизики КазГНУ имени Аль-Фараби, показали, что при определенных условиях на чисто диффузионный перенос вещества накладываются дополнительные конвективные, потоки, существенно искажающие диффузию. В процессе взаимной диффузии газов, имеющих существенные различия в истинных коэффициентах диффузии, создаются неизобарные условия. В связи с этим при математическом моделировании исследуемого процесса учитывается явление бароэффекта.

В качестве математической модели процесса диффузии трехком-понентной газовой смеси с учетом бароэффекта была выбрана модель,

предложенная У.01зШ: ^

дг

= §гай С^} - (117 —-^Г В^ вгай С^

сз 3

2 с, з=1

И)

(х,П € а = О х (€,Т); 3=1,2,3-,

с начальными и граничными условиями:

С3(х,0) = С01(х), х € а, >1,2,3; • (2)

дС^х.г) Зп

= 0, (х,Г) € Б, 3=1,2,3; (3)

где С^ - концентрация 3-го компонента, - истинный коэффициент

диффузии 3-го компонента, Б - граница П, й - внешняя нормаль к Б.

Вторая глава посвящена качественному исследованию одномерных уравнений (1)-(3). В первом параграфе доказывается принцип максимума для рассматриваемых уравнений на дифференциальном уровне. Будем считать, что коэффициенты диффузйи Б^, 3=1,2,3 являются постоянны?® величинами и удовлетворяют неравенству:

б

о < б $ $ В2 < С3 < V

Леша I. Пусть выполнены, условия: з

аоз{х) = 1' о < Сол(х) * 1, X € п. 3=1,2.3.

3=1

Тогда решение задачи (1)-(3) удовлетворяет неравенствам:

о <с3(х,о<1. №,г) е о, л=1,2,з

(4)

(5)

(б)

и справедливо равенство: д

£ с^х.г) = 1 (7)

3=1

Свойство (7) позволяет исключить из системы (1) концентрацию третьего компонента. Полученную систему уравнений запишем в векторном виде:

дС д Г дС 1 — = — Б(С) — , дг дх [ дх J

С(х,0) = С0(Х).

дС дх

= О,

х=0

дС дх

{х.г) € о, X € п, =0, X € (0,Т>

(8) (9) (10)

где С.^.Сг). С0 = (С01,С02),

иг(в1-в3)с1 -(Вг-Б3)С1

В(С) =

1-(Вг1)з)С2 Б2-(02-В3)С2

(11)

Устанавливается эквивалентность системы (8) системе (1). Следовательно, утверждение леммы I справедливо и для системы (8).

В §2 - §4- для исследования уравнений (8)-(10) применяются метод Роте, метод пространственной полудаскретизации и метод полной дискретизации. На основе указанных методов аппроксимации уравнения (8) аппроксимируются следующими дифференциально-разностными и разностным уравнениями:

n n-1 n

С - С д f n дС

= — D(C ) —

дХ t дх

n=1,..,N; x t Q (12)

c'(t) - ÍD(C (í)) С (t)l =o, tí (0,T); 1=0, M (13)

- (D(Ch(n)) n)]_ = 0, (xítt¿ € 0* <U)

Ch(0) - C0h, 1=0,1,..,M+1; Ch (n)| =0, n=Q,1,..,N (15)

Sh •

Для каждого из этих методов аппроксимации устанавливается разностный аналог принципа максимума:

О < С*От) < 1, 0 « C,h(t) ^ 1, О ^ С^(п) < 1, ,2,3

и доказывается эквивалентность построенных для систем (1) и (8) разностных схем.

Определим пространства: У^Ь^О.Т.'Н1 (П)) П Н1 (0,T;H~1 (f3))J , У, = [ь2(0,Т;Н1(П)) П )]2,

где Ш2 - пространство ьектор-функций второго порядка, каждая из функций которого принадлежит пространству Z.

Теорема I. Пусть Выполнены условия лелт I. и условия:

1) О < а «С D, « \ 4 D3, '

2) К = 3D1 + D2 - 2D3 > О,

3) CQ(x) € [12(0,Х)]г.

Тогда задача (8)-(10) идеей обобщенное решение С из У и гатерпо-

-х , п

jtsaifjaí 1С }, {Fh£7h>, fC^}, построенные по решения* {С }, {Ch>,

(С (п)) разностных схем (12), (13), (14), сходятся сильно в

—С _т

[I^(Q))¿ к 0(x,t), а их производные 1дС /дхУ и íoC /dii, СдР^а/дх} и iOT.G./dt}, {дс'/дх) и idc!/dfi сходятся слабо в

h. h. tí n n n

[L2 (Q) 32 к дС/дх и 6C/dt соответственно„

В ходе доказательства данной теоремы каждым из указанных методов выводятся априорные оценки решения разностных схем в классе Соболева и с использованием аппарата восполнений сеточных функций доказывается существование обобщенного решения исходной задачи в пространстве У и сходимость к нему решений разностных схем.

В пятом параграфе рассматривается устойчивость и единственность решения. Справедлива

Лемма 2. Пусть выполнены, условия теорежи I. Тогда разностная схема (14), (15) устойчива по начальным данным в норме пространства У1Ь, т. е. справедливо соотношение:

|2 л * „г « * ,2

rnx |ty»>| + £ г je (П)| < \oJ[

*

где Ch(n) = Cih(n) - C2h(n),

C1 {n), C2h(п) я&лятся решетят схем (14)-(15) с началъньит данным. С1„,(х) и С2п,(х) соответственно.

Uli Uli

Следствие I. Решение разностной схемы (14), (15) единственно о пространстве У1Ь.

На основе этих результатов и доказанной сходимости решения разностной схемы к обобщенному решению дифференциальной задачи доказывается

Теорема 2. Пусть выполнены уеловия леммы 2. Тогда решение задачи (8)-(10) единственно и устойчиво по начальным данныл.

Разностная схема (14),(15) представляет из себя систему нелинейных алгебраических уравнений. На практике такие, задачи решаются, как правило, итерационно. В шестом параграфе устанавливается сходимость итерационного процесса.

Схему (14) запишем в следующей форме:

= (D<Ch> Ch )- • € °h (16) т V т J -V

= О, п=0,N. (17)

Итерационный процесс построим следующим образом:

си ~ °h f -к -к+Ц

[D(Ck ) Ch }_ . (xt,in) € Д (18)

X -"X

где Ch =< C(xlttn); ch = С(х1^п+1);

к - номер итерации на п+1 слое по времени. Имеет место

Теорема 3. Пусть решение разностной схелы (16),(17) обладает, достаточной гладкостью:

,2

Gh €

[сх>г

и выполнены условия тэорелн Г. Тогда, при достаточно яшом х, при к — «>, илеет леелю сходимость:

"к+1

Сн -

КМ'

причел скорость сходимости оценивается неравенством:

¡Г - КО f -Ц.

где О з const < со.

Третья глава посвящена качественному исследованию двумерных уравнений диффузии трехкомпонентной газовой смеси. В первом параграфе, также, как' в главе I, доказывается принцип максимума для исходной двумерной задачи. Исходная система заменяется системой из двух уравнений, доказывается эквивалентность систем. •Рассматривается следующая краевая задача:

дС д ( дС 1 д f дС 1

— = — В(Ф(С» — + — 0(ф(О) — , (15)

dt tot дх } ду { ду J

{х,у,t) е Q = Q - (0,1/; C(X,'J,0) = G0(x,у), ' (х,у) € С5 = <0,Ь) « (0.W); (20)

ОС

— = 0, (X,у) € Э, t € (О.Т). ап

Во втором параграфе доказывается, что обобщенное решение задачи (19)-'(21) существует и может быть получено как предел приближений, получаемых с помощью метода дробных шагов. Основным аппаратом при этом являются разностные "энергетические неравенства Для разностной аппроксимаций уравнений (19) используем схему:

п+1/2 п

С - С 1 Г 11 - п+1/2 Ь-п

п+1 п+1/2

С -С

Ь, (0)0

•и

+ Ъг(С)С

Ь - п+1/2 11 - п+

(0)0 + Ь2(С)С

(22)

С = С^х.у), 1,г=0,Ы;

= С-

= О, С.

х=0

I х=Ь

у I = С-

7=0 '

= 0, " п=0,И;

у=«|

X у

где Сок(х,у) = | | С0(5,т)) й? <й)

1 * х-Ь.у-Ь,

(23)

Ь,С =[В(ф(С))Сх]_, Ъ2с =(с(ф(с))Су]_.

Выводятся априорные оценки на решение разностной схемы (22),(23): Леша 3. Пусть выполнены условия:

а

Я = 1» о <Соа(х,у) < 1, IX.у) € г., 3=1,2,3;

2) С^х.у^ € Ш2^)!

2.

3) ^ гаах

<Эф бф

— , тах —

ах ду

2 4-у

, 2 , 2.-2-2

4) 1- 2tD3+ hgjh, hg > 0; '

5) 54D*+ 33Dg+ 6D,D.r 71D3 > 0, 35D,- 1TD3 > 0, 7Dr 4D3 > 0,

n

mo для последовательности функций Ch, определенных но точках решетки с помощью метода дробных шагов (22), имеют место неравенства:

v^s КГ^ь[(if+Kf]*

°Ь.» VT "

♦ Л,^ I [«J2 + [elf] < 7 - const,

Q. ' ^

Чп.Т

I n i2

Phjx- < COnSt-

С использованием полученных результатов, доказывается сходимость кусочно-линейных восполнений решения разностной схемы к обобщенному решению исходной задачи. Это свойство Формулируется в виде:

Теореыа 4. Пусть выполнены условия лежт 3. Тогда задача (19)-(21) имеет, обобщенное решение С € У.

В третьем параграфе доказывается устойчивость разностной схемы по начальным данным..

Лемма 4. Пусть дополнительно к условиям леалн 3 выполнены условия:

1) 55D2 + 3D\ +• 4D,D3 - 70D^ > О,

2) 101D1 - 65D3 > О, 23D, - 17D3 >0.

Тогда разностная схе.«а (22), (23) устойчива по шчаиъни.и Занны.», я.е. имеет место оценка:

где С = С - С , С и С ~ решения разностной схемы с начальныш даншлш с'0 и С*0\ соответственно.

Таким образом, в данной главе установлено существование решения двумерной задачи при услоьш гладкости решения и параллельно дано обоснование метода дробных шагов.

В последней - четвертой главе на основе исследованных разностных схем проведено численное решение уравнений диффузии трех-компонентной газовой смеси в одномерном и двумерном случае. Одномерная модель решалась по схеме (14),(15) на сетке с количеством узлов 30 № = 2.4.14'1СГ3), х = 5 сек. методом итераций. Для решения систем линейных алгебраических уравнений, возникших при линеаризации разностной схемы (14), использовался метод прогонки. Решение искалось с точностью а = 10~3.

Для нахождения истинных коэффициентов диффузии использовалась формула:

3/2

а Т„

D3 » Djiar.t) « —-f ^ wg -—— , J=1,2,3,

РЕ k.i

Ц.

(1.1)'

где a s const, - молекулярный вес, P - общее гидростатическое давление, Т - температура, cJk - эффективные сечения, flJk приведенный интеграл столкновений для модели твердых сфер. Значение Функции С3, необходимое для вычисления D^, J=1,2,3 находилось ка каждой итерации по формуле:.

= 1 - С1 ~ <V

Рассматривалась газовая смесь, включающая гелий (С1), аргон (Г!а) и азот (С3). В расчетах использовались параметры из физических экспериментов. В качестве характеристики, которая описывает смесь з целом, определялось значение средней плотности смеси по формуле:

р хд

<р> = iГ71

где R - универсальная газовая постоянная.

Двумерная модель решалась по схеме (22),(23) на сетке с количеством узлов 30 » 30 (И, = 2.4137-10"3, = С 9310-Ю"4) и с шагом по времени и = 5 сек. методом итераций с использованием интегро-интерполяционного метода. Решение кавдого из уравнений |,22) с условиями (23) находится методом прогонки с точностью £ = ю-*. Итерационный процесс сошелся после 5 итераций.

В результате численного решения задачи установлено возникновение локальных градиентов средней плотности смеси при начальных значениях С0Но = 0.4, С0Дг = 0.6. С течением времени неоднородности уменьшаются и характеристики процесса становятся монотонными с последующим выходом на стационарный режим.

На рис.1,2 приложения в конце автореферата представлены рас-, пределения средней плотности смеси при С0Не = 0.4, С0Аг = 0.6,

Р = 6-Ю5 Па, ? = Ос.(1); г = 5с.(2); г = 20с.(3);

t = 30с.(4); г = 60с.(5); г = 100с.(6); * = 375с.(7);

г = 450с.(8); г = 750с.(9) для одаомерной модели. Распределение концентраций имеет монотонный характер в течение всего процесса. Его графос представлен на рис.3 при t = 60с. (1 - Не, 2 - Аг, 3 - К,).

На рис.4-6 представлены распределения средней плотности смеси при Г = 45с.', г = 150с., г = 565с. для двумерной модели.

Результаты численного решения системы (8)-(10) совпадают с найденным решением стационарной задачи, достаточно хорошо согласуются с результатами эксперимента, с результатами ранее проведенных расчетов, служат цодтвервдением качественного анализа схем.

Выводы:

1) Рассмотрена математическая модель процесса диффузии многокомпонентной газовой смеси с учетом бароэффекта. Для исследуемой системы уравнений доказан принцип максимума.

2) Доказана сходимость методов аппроксимации (методоз Роте, пространственной полудискретизации и полной дискретизации) к решению исходного уравнения в одномерном случае. Доказаны устойчивость построенной разностной схемы по начальным данным, сходимость итерационного метода решения.

3) С помощью метода дробных шагов рассмотрена двумерная модель.

Доказаны существование решения двумерной задачи, сходимость и устойчивость метода дробных шагов.

4) На основании исследованных разностных схем проведено численное' решение задачи в широком диапазоне изменения параметров. Полученные численные результаты хорошо согласуются с результатами эксперимента.

В заключение автор выражает благодарность член-корр. ИАН РК, проф. Ш.С.Смагулову, доценту С.Я.Серовайскому, а также доценту

H.Т.Данаеву и зав. каф. ИиВТ АГУ им.АОая, доценту Е.Ы.БидайОекову за ценные советы и замечания и поддержку.

Публикации по теме диссертации:

I. Аскарова Ж.Я. Метод Роте для уравнений диффузии многокомпонентной газовой смеси./Ред. журн."Изв.АН КазССР. Сер.физ.-мат." -Алматы, 1990. - 14с. - Деп. в ЕЙНИТИ 12.02.90, № 774-90.

2. Аскарова Ж.Я. Метод конечных разностей для уравнений диффузии многокомпонентной газовой смеси. //Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат., 1991. X 1. С.11-14.

3. АскарсГва Ж.Я. Итерационный метод решения уравнений диффузии трехкомпонентной газовой смеси./Ред. журн. "Изв. АН РК. Сер.физ,-мат." - Алматы, 1992.- Юс. - Деп. в ВИНИТИ 01.12.92, * 3410-В92.

4. Аскарова Ж.Я. Чиссленное исследование уравнений диффузии многокомпонентной газовой смеси.//Тез.докл. конфвр. молодых ученых и специалистов КазГНУ, Алматы, 1993 (в печати).

ПРИЛОЖЕНИЕ

<р>| 6.7Н0'

6.5610*

А 4

/ / / /

^ /

/

/ I

/

/

г

Ь / / ^

У ./ X

£/6-Я?3

Рис.1

007 X

6М16*

X XX

&4М03

\Х • • \х

007 X

г

?ис. г

с

&09-ÎÔ

точо*

$.21-JO1

Ù ---——--—--

ао7 а>

Рис.з

Рис.4

Рис. б