автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование процесса диффузии многокомпонентной газовой смеси

МИНИСТЕРСТВО НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ КАЗАХСКОЙ ССР

КАЗАХСКИЙ ОЩЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАЮТ • "ТОСУДЛРСТВЫШЫЙ УНШЕРСИГЕТ им. С.М.КИРОВА

На правах рукописи

МЕССЕРЛЕ Елена Стаюгславоша

УДК 517.958

МАТЫЛАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ДИФФУЗИИ МНОГОКОМПОНЕНТНОЙ ГАЗОВОЙ СМЕСИ

05.13.16 - Применение зтислительной гехняки, штетпгческого годелярования и штематических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-ьатеиатическях науи

Алма-Ата, 19Э0

Работа выполнена в проблемной научно-исследовательской л; (Моратории математического моделирования Казахского ордена Трудового Красного Знамени государственного уотверситета им.СЛЛ. Кирова

Научные руководители: доктор 4изи*о-матаматических наук, профессор, член-корр. АН КазССР ЛУКЬЯНОВ А.Т.

кандидат фи зкко -мат емат ич е с ки ¡с наук, доцент СЗРОВАЙСКИЙ С. Я.

Официальное оппоненты: доктор технических наук, член-корр. АН КазССР УСТГО.КНКО L.I1.

кандидат физико-математических наук,старший научный сотрудник ШИН С.Н.

Ведущее предприятие: Институт прикладной математики АН СССР им. М.В.Келдыша

Защита состоятся " 20" сентября 1990 г. в № час на заседании специализированного совета K.Q58.0I.I6 в Казахском ордена Трудового Красного Знамени государственном университете ем. С.М.Кирова по адресу: 480012, г. Алма-Ата, ул.Маса* чи 39/47, КазГУ, ауд. И Л6 .

С диссертацией

можно ознакомиться в библиотеке КазГУ им.

С.М.Кирова.

Автореферат разослан " /¿_" Ci&iMCJruL- 1990 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физшсо-штемаигееокпх ^jt^ наук, додент давВГГЬЕВ II.ф.

ОЩАЛ ХЛРАКТЕРИСТШ РАБОТУ

Аннотация. Рассмотрены вопросы математического моделирования процесса диффузии многокомпонентной газовой смеси. Экспериментальное исследование трехкомпонентной диффузии показало, что 1ри определенных условиях образуются локальные градиенты суммар-юй плотности газовой смеси и возникают конвективные течения,связанные с явлением бароэффекта. В основу штематического описания фоцесса положена модель Оиши.

При помощи метода регуляризации устанавливается разрешимость сравнений. Доказывается единственность, непрерывная завистюсть >етения задачи от начальных данных и гладкость решения. Исследу-¡тся поведение системы при 1—. Находится решение соответ-¡твующей стационарной задачи.

Для рассматриваешй модели поставлены оптимизационные зада-:и с управлением в начальных условиях и функционалами общего ви-;а. Доказывается разрешимость оптимизационных задач. Проведено деленное решение уравнений для одномерного и двумерного случаев а основе метода конечных разностей. Предлагается математическая одель, включающая уравнения сохранения импульса отдельных ком-онентов. Для описания возникновения градиентов температуры, следствие градиентов концентраций компонентов, рассматривается одель трехкомпонентной диффузии с учетом гидродинамики и тепло-бмена.

Актуальность. Экспериментальное исследование газовых смесей оказало, что при определенных условиях в процессе диффузии воз-икают локальные неоднородности.

Для описания диффузии трехкомпонентной смеси Оиши была пред-экена система нелинейных уравнений о частными производными. Ре-¡гльтагы известных работ по теории нелинейных уравнений с частыми производными не могут быть непосредственно использованы ?и качественном исследовании краевых задач для подобных систем.

При изучении диффузии газовых смесей возникает необходи->сть в решении задачи оптимального управления . С целью учета >зможности вовлечения неэдюродностей в гидродинамическое те-гние необходима модель, учитывающая закон сохранения импульса дальних компонентов.

Для исследования диффузионного резонанса в многокомпонент-

Ш1 системах возникает необходимость в построении и изучении додели теплообмена о диффузией.

Целью настоящей работы является исследование вопросов математического моделирования процесса диффузии в трехяомпо-нентных газовых смесях.

Качественно исследовать систему нелинейных уравнений диффузии в трехкошонентной газовой смеси. Установить разрешимость системы, единственность и гладкость решения, непрерывность решения от начальных данных. Исследовать поведение систеш при неограниченном возрастании времени. Используя полученные качественные результаты для модели процесса, рассмотреть задачу оптимального управления диффузией в многокомпонентной газовой смеси. Составить математическую модель трехкошонентной диффузии с учетом гидродинамики. Рассмотреть модель процесса диффузии, включающую уравнение сохранения массы и энергия. Провести численное исследование моделей.

Научная новизна. Проведено качественное исследование уравнений многокомпонентной диффузии, включающее в себя разрешимость систеш, ограниченность решения, единственность,непрерывную зависимость решения от начальных данных, гладкость. Исследовано поведение систеш при £—►<=<=. и найдено решение стационарной задачи. Выведены условия разрешимости оптимизационных задач о управлением в начальных условиях и функционалами общего вида. Предложена математическая юдель,учитывающая закон сохранения импульса отдельных компонентов. Рассмотрена модель трехкошонентной диффузии с учетом гидродинамики и теплообмена.

Практическая ценность. Численно исследованы математические модели трехкошонентной диффузии. Результаты работы могут быть использованы при теоретическом и экспериментальном исследовании процесса (планирование эксперимента, решение задач идентификации параметров и т.д.), а также при изучении диффузионного резонанса в многокомпонентных системах. Результаты моделирования можно использовать в газофазных химико-технологических процессах, где диффузия реагентов и продуктов реакции играет значительную роль.

Автор защищает результаты качественного исследования

модели трехкомпонентной диффузии, условия разрешимости оптимизационных задач с управлением в начальных условиях и функционалами общего вида, модель процесса многокомпонентной диффузии с учетом гидродинамики, модель трехкомпонентной диффузии с учетом теплообмена.

Апробация работа. Материалы диссертационной работы докладывались и обсуздались на П республиканской конференции по проблемам вычислительной математики и автоматизации научных исследований (Алма-Ата,1963), на IX республиканской межвузовской научной конференции по магелагике и механике (Алма-Ата, , 1989), на конференциях молодых ученых и специалистов Казахского государственного университета (I366-I9B8), на семинарах в научно-исследовательской лаборатории математического моделирования КазГУ (руководитель член-корр. АН КазССР, д.ф.-м.н. А.Т.Лукьянов), на научных семинарах КазГУ по функциональному анализу и уравнениям математической физики (руководители член-корр. АН КазССР, д.ф.-м.н. М.О.Отелбаев, д.ф.-м.н. Ш.С.Смагу-лов), на кафедре теплофизики (руководители д.ф.-м. Н.Д.Косов, д.ф.-м.н. Л.И.Курлапов), по теории оптимального управления (руководитель к.ф.-м.н. С.Я.Серовайский).

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 113 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав, выводов, списка использованных источников из 71 наименования, включает 33 рисунка.

СОДЕРШИЕ РАКШ

Во введении обосновывается актуальность теш , ее новизна, определены цель и основные направления исследований и кратко изложен материал диссертации.

Первая глава посвящена вопросам математического моделирования процесса, диффузии многокомпонентной газовой смеси. В ней рассматривается физическая модель процесса диффузии с учетом барозффекта, предлагаются математические модели.

В качестве математической модели трехкомпонентной диффузии с учетом бароэффекта рассматривается модель Ошт; в основе которой лежит представление потока £ -го компонента в виде сум-

ш диффузионного и гидродинамического

где 9}I - истинный коэффициент диффузии I-го компонента,

AZ¿ - число частиц £ -го компонента, ^ - скорость баро-эффекта. Из уравнения неразрывности, предполагая 2

ЛеЛ, иолучим

с с (х, о) = С01 (Л?), ¿=1,2,3; (2)

8 ГС

где

Из физического смысла предполагается, что

.1 С0.(л) = 1, 0±Со.(Ал?еЬ /,<?• (4)

Система уравнений (1)~(3) обладает некоторыми свойствами, имеющими реальвыб физический сшсл.

Лемма I : При выполнении условия (4) суыда концентраций С; £) , определяемых И8 (I) с начальными условиями (2), тождественно равна единице при любых граничных условиях.

Этот факт позволяет исключить из сиотемы концентрацию третьего компонента

ы

<¡=3-1

Съ=1-СгСг- (6)

1 е и и а 2. Уравнения (5) являются параболическими при выполнении следующих условий

-- сйфс - 4 (2>6 - (й* (Щ -З^гоф 5)

Лемма 3. Решение системы (1)-(3) предполагает неизменность общего количества газов в исследуемом объеме

а1Л Следствие I. В любой момент времени ¿±0 в исследуемом объеме находится (Х)с(ос количество ¿-го газа, ¿=1,2,3. л 1

Следствие 2. Общее количество газовой смеси, содержащейся в области й , совпадает с мерой множества Я .

Для построения более полной модели, учитывающей не только влияние бароэф|>екта, но и поля тяготения, вязкости, локального градиента давления, рассматривается поток с -го компонента в виде:-» —г —,

-ЦуиШ^+ТУП^Яъ, ¿=1,2, ъ ,

где & - скорость с -го компонента вследствие влияния си-0

ли тяжести, вязкости, парциального давления. Из уравнения неразрывности, предполагая =0 , П-^П-^^-СОП^, следует ¿=1 1 £-(

Уравнения сохранения и.¡пульса для систеш (7) выбраны в виде: (и)

1*4 6

Начальные и граничные условия для системы (7),(8) имеют ввд:

3

Используя предположение ,2 = ¿С&Я, для системы (7)-

(10) доказаны леммы 1,3 ¿"следствия 1,2.

В процессе многокомпонентной диффузии при отсутствии в начальный момент времени градиента температуры смеси вследствие диффузионных и гидродашамичэскюс потоков компонентов в

системе возникают локальные температурные градиенты. Дая изучения найлодаемого явления и исследования влияния теплового излучения газовой смеси и стенок диффузионного аппарата на процесс возникновения термодиффузионного резонанса используется уравнения сохранения количества вещества и энергии:

ал •■

+ сййЗ. 1= <>г,Ъ\

(И)

дь

(12)

где ¿7 — —^ ^ ЫХй^, V/ - гидродинамическая скорость смеси, Т -'температура смеси, , ^пмЛ Т ^

(14)

оп дп.

Во второй главе исследуется система уравнений диффузии трехкошонентной газовой смеси с учетом бароэффекта (5), (6), (2),(3) для пространственного одномерного случая при D¿=faод¿ Разрешимость систеш устанавливается при пошщи метода регуляризации. Для этого вводится функция

'О, (ЗДеф'ия/, * =

где

о;IIIС, с*, «и в-од^

и регудяризованная задача имеет вид

К ¡2 X

где ^ А-^-ш*

Определение. Функцию С^е [/,¿>(37^ Н'(0>1))Пи\о,Т,; Н (0,0)^)1 назовем обобщенным решением задачи (15),(16) ,ес-

А

ли выполняются равенства

С*(х,0) = Со(ос), ¿е€(0,Ь) ■ , Теорема I. Пусть (^£[¿¿(6,Ь)] иЗ Тогда существует обобщенное решение задачи (15),(16). Задача (15),(16) эквивалентна системе

пр.

Методом срезок доказывается Теорема 2. Решение регуляриаованной задачи (15),(16) при О—Со —и (О,С) .¿=1.2 удовлетворяет неравенствам

0 * г) £ <, е а, ¿'= л«?.

Из теоремы 2 следует, что решение регуляризованной задачи сов-

падает с решением исходной задачи (17),(18). Тогда из теоремы I имеем существование решения системы (17),(18).

Теорема 3. При выполнении условий теоремы I решение задачи (17),(18) единственно в пространстве

Що, ъ; и <т)пн 1(о,ъ; е

Для системы (17),(18) доказала непрерывная зависимость решения от начальных данных. Обозначим через С и решение задачи (17), (18) при начальных значениях С0 и С0к соответственно. ^

Теорема 4. Пусть сильно в .

Тогда С сильно в . а

При Сое [^(О^)]^ задача (17), (18) имеет решение из более сильного класса, чем в теореме I. ^

Теорема 5. Пусть С0€[Н1{0,Ь)] и выполнено второе условие теоремы! Тогда решение системы (17), (18) принадлежит пространству (0,Т<; Нг(0, ^ПНЧ^Ъ > Ьг(0,¿])]г

Исследуется поведение системы при ¡-оо и находится решение стационарной задачи.

Теорема 6. Решение задачи (17),(Ю) существует при всех i— 0 15 сходится к решению соответствующей стационарной задачи « ^

им

ирг -¿-»-оо в норме пространства

[н'М .

В третьей главе ставятся оптимизационные задачи с управлением в начальных условиях и функционалами общего вида, выводятся условия их разрегишсти.

Процесс трехкошюнентшй диффузии с учетом бароэффекта описывается уравнениями

У; ^ (0,Ь)> (20)

Ш. -п Ш

дх х,0~ ' дх

1е(0,ъ)> с = ¿,¿,3

В качестве управления шйирается начальное распределение концентраций уо . В зависимости от регулярности уо имеются различные возможности в достижении желаемэго результата. В связи с этим рассматривается две задачи оптимального управления.

Определим начальные условия для системы (19),(20) на множестве 3

йг{уое[Ьг(о,1)}3\ о^РЭ^. •

Задача I. Задача оптимального управления состоит в отыскании функции У о из некоторого выпуклого, замкнутого подмножества из ¿7/ » минимизирующей функционал

, а,ум у ал)) си,

где р^ , 3,1 ~ ограниченные снизу функции Каратеодорл на 0 и Г)], соответственно.

Определим начальные условия для систеш (19)-(20) на множестве

Задала 2. Необходимо найти такую функции из некоторого выпуклого, замкнутого, ограниченного подмножества Цэ из и^ , которая минимизирует функционал

о е

где Я(? , (р , - ограниченные функции Каратеодори на О > (О, Ь] и С^Г»} соответственно.

Для доказательства существования решения оптимизационных задач I и 2 установлена слабая непрерывность решения задачи (19)-(20) по начальным значениям. Теорема 7. Пусть

I) р1 •) - выпукла почти для всех

и для любого (р£ К , Э-1(Ь, •) - выпукла почти для всех

±е(о,п) •

2) Ff Fi*(W)> V4>,4*eR n.S. на Q ,

V4>f ftR "-б.нафл),

где p.*, ¿¿* - возрастайте, выпуклые, полунепрерывные cmi-sy, неотрицательные функции, причем

Km £Ш = +оо, eimZÏSVh**о.

у—кх, цх г//

Тогда существует решение задачи I. Теорема 8. Пусть

I) F„o Ч>, V» •) - выпукла почти для всех (Pc,t)eQ и доя любых ifttyeR > Si? (t, •) - выпукла почти для всех te(Q,TÔ ;

З^ЛЩ-ЗеЧWW), VW€R п.Ь.ча (0,Т<),

где ~ возрастающие, выпуклые, полунепрерывные снизу

неотрицательные функции, причем

ит am — ■

у—оо Iff г/г—юо V

Тогда существует решение задачи 2.

Повышение гладкости управления приводит к сужению класса допустимых управлений, но к расширению класса минимизируемых функционалов.

Четвертая глава посвящена численному решению рассматриваемых систем уравнений. Проводятся расчеты одномерной и двумерной модела (1)-(3). Построение конечномерного приближения задачи осуществлялось конечно-разностным методом. Для решения разностных уравнений использовалась неявная разностная схема и метод прогонки. В расчетах использовались параметры из физических экспериментов.

В результате численного решения задачи в одномерном случае установлено возникновение локального градиента суммарной

плотности при Сои = 0.4; Со. = 0.6. При этом весь процесс до

п& Лг v

установления стационарного состояния можно условно разбить на

3 этапа.

I. Возникновение и развитие неоднородности. До условной

перегородки образуется тяжелый, а после - легкий

слои смеси. С течением времени точки локального максимума и мишмуш сдвигаются от перегородки к началу и концу ячейки соответственно.

2. Выход на локальное распределение суммарной плотности. При этом неоднородности рассасываются, градиенты концентраций газов уменьшаются.

3. Выход на стационарный реяим, представляющий собой равновесное распределение концентраций и суммарной плотности. Численное решение систеш (1)-(3) в одномерном случае показало возникновение неоднородностей при некоторых значениях начальных концентраций компонентов. Эти значения совпадают с полученными экспериментально.

В двумерном случае для получения разностной схемы для системы (Г)-(З) применялся интегро-пнтерполяционный метод. При решении разностных уравнений использовался метод переменных направлений. Анализ численных результатов показал качественное совпадение с результатами расчетов в одномерном случае. Но на первом этапе после образования тяжелого и легкого слоев в двумерном случае наблюдается инверсия плотности: до перегородки плотность становится меньше, чем после нее. Кроме того, до перегородки и после образуются участки, соответственно высокой и низкой плотности. Далее происходит перераспределение суммарной плотности в системе таким образом, что в точках ' минимума суммарная плотность принимает локально максимальное значение и наоборот. На первом этапе значения градиентов суммарной плотности по второй пространственной переменной пренебрежимо малы по сравнению с общим перепадом суммарной плотности.

Решение уравнений дифрузии многокомпонентной газовой смеси с учетом гидродинамики (7)-(10) проводилось в пространственно-одномерном случае. Построена- неявная консервативно-транспортивная схема с разностями против потока. Весь процесс до установления стационарного состояния можно условно разбить на 4 этапа. Качественные картины первых двух этапов совпадают с соответствующими этапами одномерной модели (1)-(3). К концу второго этапа значение суммарной плотности смеси в верхней по-

ловие ячейки становится больше ее значения в нижней части. Третий этап - монотонное распределение суммарной плотности. Общий перепад суммарной плотности сначала растет, а затем медленно начинает уменьшаться. Четвертый этап характеризуется появлением локальных неоднородностей по всей длине. Происходит постоянное перераспределение суммарной плотности: в точке локального минимума через некоторое время наблюдается максимум и наоборот. Далее происходит выход на равновесное распределение суммарной плотности и концентраций.

Проведен расчет двумерной модели трехкомпонентной диффузии с учетом гидродинамики и теплообмена (П)-(14). В результате численного решения задачи установлено возникновение в области условной перегородки локальных градиентов суммарной плотности и температуры. Максимальный перепад температуры смеси в системе наблюдается в начале процесса, когда градиенты концентраций компонентов набольшие. Впоследствии неоднородности рассасываются и наступает равновесное распределение суммарной плотности, а затем к температуры, смеси.

В течение всего процесса распределение суммарной плотности качественно имеет такой же характер, как и для системы (I)-(3) в двумерном случае. Возникновение градиентов температуры является следствием существования в системе градиентов концентраций компонентов и не определяется наличием локальных градиентов суммарной плотности.

шводы

I. В работе катодом математического моделирования исследовав процесс диффузии многокомпонентной газовой смеси. Рассмотрены уравнения трехкомпонентной диффузии с учетом бароэффекта. Предложена математическая модель, учитывающая возможность вовлечения локальных градиентов суммарной плотности смеси в гидродинвмическое течение. Для возникновения температурных градиентов в закрытой системе с теплоизолированными границами рассмотрена модель грехкошонентной диффузии с учетом гидродинамики и теплообмена.

2. Проведено качественное исследование нелинейных параболических уравнений, описывающих диффузию трехкомпонентной смеси. Установлена разрешимость системы, ограниченность решения, единственность, непрерывная зависимость реиения от начальных данных, гладкость. Исследуется поведение системы при t О-З .

3. Поставлены оптимизационные задачи с управлением в начальных условиях и функционалами общего вида. Выведены условия разрешимости оптимизационных задач. Показано, что за счет повышения регулярности управления могут быть ослаблены ограничения на критерий оптимальности.

4. Проведены численные расчеты исследуемых уравнений для одно- и двуыерасго случаев. Установлено возникновение и эволюция локальных неоднородном ей средней плотности. Проведено численное исследование двумерной модели с учетом гидродинамики и теплообмена. Показано возникновение градиентов температуры в процессе диффузии при постоянной в начальный дамент времени температуре. Полученные результаты достаточно хорошо согласуются с экспериментальным данными.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Белов С.М., Косов Н.Д., Лукьянов А.Т., Мессерле Е.С., Серовайский С.Я. Исследование модели процесса изотермической диффузии в трехкомпонентных газовых смесях // Изв. АН КазССР. Сер.физ.-мат. - 1989. - Л 6. - С. 70-76.

2. Белов С.М., Мессерле Е.С. Модель изотермической диффузионной неустойчивости в трехкомпонентных газовых смесях //Математическое моделирование нестационарных процессов. -Алма-Ата, 1268. - С. 25-29..

3. Мессерле Е.С. Исследование уравнений диффузии многокомпонентных систем с учетом бароээфекта //Тезисы П Республиканской конференции по проблемам вычислительной математики

и автоматизации научных исследований. - Алма-Ата, 1988. - Т. I. - С. 79.

4. Мессерле Е.С. Исследование уравнений диффузии многокомпонентных систем с учетом баровффекта Н Тезисы конферен-