автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные волновые процессы в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией

1 Введение

1.1 Понятие базовой модели и базовых элементов.

1.2 Теория солитонов.

1.3 Теория автоволн в средах с диффузией.

1.4 Основные задачи, решаемые в диссертационной работе

2 Тождество Лагранжа и солитонные модели волновых процессов

2.1 Дифференциальные законы сохранения.

2.2 Тождество Лагранжа и дифференциальные законы сохранения.

2.3 Тождество Лагранжа и представление Лакса-Захарова-Шабата.

2.4 Построение уравнений, допускающих солитонные решения.

2.5 Уравнения одной квазимонохроматической волны в средах с квадратичной дисперсией.

2.6 Неоднородные нелинейные уравнения.

2.7 Уравнения в пространствах конечной размерности.

2.8 Пример построения псевдопредставления Лакса в случае размерности 1+2.

2.9 Выводы.

3 Применение тождеств Лагранжа для построения соли-тонных уравнений

3.1 Простые обобщения уравнения НУШ.

3.2 Нелинейность и неоднородность квадратичной дисперсии.

3.3 Уравнения для сред с дисперсией высших порядков.

3.4 Уравнения с операторами Д'Аламбера и

Лапласа.

3.5 Взаимодействие волн в средах с дисперсией.

3.6 Трехволновое взаимодействие в неоднородной среде с линейной дисперсией.

3.7 Трехволновое взаимодействие в среде с квадратичной дисперсией.

3.8 Взаимодействие волн в непрерьюном спектре.

3.9 Выводы.

4 Метод преобразований Дарбу и структура солитонных уравнений

4.1 Построение преобразований Дарбу.

4.2 Вычисление одетых операторов для полиномиальных дисперсионных кривых.

4.3 Построение операторов для рациональной параметризации дисперсионных кривых.

4.4 Эффективная процедура вычисления формы уравнений

4.5 Примеры уравнений с полиномиальными дисперсионными кривыми.

4.6 Примеры уравнений с рациональными дисперсионными кривыми.

4.7 Выводы -., -.

5 Квадратичные формы в теории двумеризованных цепочек Тоды

5.1 Основное тождество и двумеризованные цепочки Тоды.

5.2 Некоторые обобщения и дополнения.

5.3 Периодические цепочки Тоды.

5.4 Выводы.

6 Точные решения многомерных уравнений Лиувилля в классе п-форм

6.1 Внедиагональное представление операторов Д'Аламбера и

Лапласа.

6.2 Уравнение Лиувилля с оператором

Д'Аламбера в размерности d = ?>.

6.3 Уравнение Д'Аламбера в размерности d — ?>.

6.4 Обобщенные рещения уравнения Лиувилля.

6.5 Рещения уравнений Д'Аламбера и Лиувилля в размерности d = 4.

6.6 Рещения уравнений Д'Аламбера и Лиувилля в размерное • ти d >4.

6.7 Действительные решения уравнений Лапласа и Лиувилля с оператором Лапласа.

6.8 Выводы.

7 Некоторые прикладные задачи, решаемые с помоидью моделей типа Лиувилля и цепочек Тоды

7.1 Гидродинамические нелинейные волны в критическом слое.

7.1.1 Пример 1. Волны в критическом слое плоскопараллельного течения.

7.1.2 Пример 2. Волны в критическом слое цилиндрического течения.

7.2 Уравнения генерации второй гармоники.

7.3 Гравитационное поле и волны в пространстве-времени, заполненном заряженным скалярным полем и идеальной жидкостью

7.4 Выводы.'.

8 Диффузионные цепочки Тоды

8.1 Общие свойства самоорганизующихся открытых систем и способы их описания.

8.2 Классификация моделей типа диффузионных цепочек Тоды

8.2.1 Классификация по форме 0-изоклин.

8.2.2 Классификация по модовой структуре систем

8.3 Простейшие диффузионные цепочки Тоды.

8.4 Многокомпонентные модели с двухмодовым возбуждением и простым условием автономности.

8.5 Решение уравнений автономности.

8.5.1 Метод собственных векторов.

8.5.2 Метод зависящих от времени коордршатных функций

8.6 Вывод

9 Трехмодовые модели типа диффузионных цепочек Тоды

9:1 Общая постановка задачи.

9.2 Модели с нелинейной диффузией.

9.3 Трехмодовые модели с линейной диффузией.

9.4 Математическое дополнение. Общая структура функций трехмодовых решений.

9.5 Выводы.

10 Конструирование и общий анализ моделей типа ДфЦТ

10.1 Общие свойства моделей типа ДфЦТ.

10.2 Локальная сводимость уравнений ДфЦТ к уравнениям со степенной нелинейностью.

10.3 Энтропийная интерпретация моделей ДфЦТ.

10.4 Физические и биологические основания моделей с диффузией энтропии.

10.4.1 Физические модели.

10.4.2 Биологические модели.

10.5 Выводы.

11 Уравнения нелинейной диффузии

11.1 Физические модели, связанные с уравнением нелинейной диффузии . • •.

11.2 Пространственная структура точных решений.

11.3 Динамика мод для N = 2.

11.4 Динамика мод без вращения для = 3.

11.5 Динамика мод с вращением для = 3.

11.6 Принцип суперпозиции.

11.6.1 Формулировка принципа суперпозиции.

11.6.2 Вещественные решения.

11.6.3 Новые решения с = 3.

11.6.4 Комплексифицированные решения.

11.6.5 Решения с IV > 3.

11.7 Выводы.

12 Модели нелинейных волн в волноводных линиях с нелинейным элементом экспоненциального типа.

12.1 Структура уравнений полноводных линий со связью

12.2 Принцип суперпозиции.

12.3 Классы простых решений.

12.3.1 Решения УНДф1.

12.3.2 Решения НТУ сК-2.

12.3.3 Решения НТУ с 3.

12.4 Суперпозиционные решения.

12.5 Условия сушествования суперпозиционных решений больших рангов.

12.6 Выводы.

Целью настоящей работы является создание моделей нелинейных волновых процессов в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией, математических методов их анализа на основе точных аналитических решений совокупности нелт4нейных уравнений в частных производных, а также применение полученных результатов для моделирования конкретных явлений в гидродинамике, нелинейной оптике и теории гравитации. Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Вводится понятие псевдопредставления Лакса-Ззхарова-Шабата. Решается задача разработки общего метода, названного методом тождеств Лагранжа, построения псевдопредставлений и истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата многокомпонентных нелинейных уравнений в частных производных общего полиномиального вида, в том числе многомерных. Решается задача создания метода, основанного на обобщенных преобразованиях Дарбу, вычисления формы нелинейных уравнений многокомпонентньгх: систем, в которых могут существовать К-солитонные волны с параметрами, лежащими на заданных дисперсионных кривых.

2. Решается задача создания метода построения точных решений уравнений Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в пространствах двух и большего числа измерений. Метод применяется для анализа ряда моделей в теории гравитации, нелинейной оптики и многомерных диффузионных процессов. На этой основе решается задача создания нового направления моделирования многокомпонентных моделей автоволновых процессов, в том числе, с применением нового принципа суперпозиции для нелинейных диффузионных уравнений.

3. Решается задача построения точных решений уравнений моделей нелинейных волновых процессов в конкретных системах: а) в плоских и цилиндрических сдвиговых течениях; б) в нелинейных оптических системах генерации второй гармоники, в том числе, в ранее не рассматривавшемся случае диссипации первой гармоники; в) в процессе космологической эволюции Вселенной; г) в активных двухпроводных линиях.

Новые научные результаты работы:

1. Создан новый общий метод обобщенных тождеств Лагранжа построения псевдопредставлений и истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата уравнений и систем уравнений в частных производных, в том числе и многомерных. На его основе найдены представления новых многокомпонентных нелинейных уравнений, допускающих солитонные рещения. Среди них модели взаимодействия конечного числа квазимонохроматических волн в неоднородных средах с линейной и квадратичной дисперсией, а также модели динамики квазимонохроматического непрерывного спектра волн.

2. Разработан новый метод построения точных рещений уравнений типа Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в классе п-форм в многомерных пространствах и найдены сами рещения в явном виде, что является новым результатом в теории многомерных нелинейных волновых процессов и дает новые точные решения в ряде задач теории гравитации и космологии.

3. Найден новый класс моделей автоволновых процессов в активных средах с диффузией, названных диффузионными цепочками Тоды. Разработан новый метод построения точных решений уравнений моделей типа диффузионных цепочек Тоды и вычислены сами решения в явном виде. Это открывает новое направление в теории моделирования автоволн в средах с диффузией.

4. Для уравнений типа уравнений нелинейной диффузии и нелинейного телеграфного уравнения, являющихся моделями ряда гидродинамических и электромагнитных процессов, найден новый принцин суперпозиции решений, который позволяет строить из простых решений более сложные. Это позволяет более глубоко анализировать модели автоволновых процессов, связанных с этими уравнениями.

5. Найдено новое представление уравнений течения идеальной жидкости на вращающейся плоскости. С помощью разработанных методов построена новая точная модель динамики стационарных волн в критическом слое, которая раньше исследовалась лишь с помощью теории возмущений и численно. Найдены новые точные решения, описывающие течение идеальной несжимаемой жидкости вблизи критического слоя для плоской и цилиндрической геометрии.

6. Построена новая точноразрешимая модель генерации второй гармоники в случае диссипации первой гармоники. Найдены новые точные решения, описывающие динамику взаимодействия волн первой и второй гармоник, в среде с квадратичной нелинейностью и диссипацией червой гармоники.

Научно-практическая значимость работы:

Разработанные в диссертации методы позволяют на основе точных решений ис( ледовать целый ряд практически важных задач А гидромеханике, нелинейной оптике и теории гравитации.

1. Новый метод построения псевдопредставлений и представлений Лакса-Захарова-Шабата для произвольных нелинейных уравнений в частных производных, позволяет универсальным способом проверять принадлежность данного уравнения к классу уравнений, допускающих К-солитонные и квазисолитонные решения. Метод позволяет так же в каждом классе моделей выделять модели, обладающие К-солитонными решениями, что может быть использовано для аналитического моделирования целого ряда новых систем на основе метода обратной задачи рассеяния.

2. Получены новые модели взаимодействия волн для задач нелинейной оптики, гидродинамики и других прикладных задач, в том числе для случая неоднородных сред и сред "с нестандартной" нелинейностью, допускающие АА-солитонные решения.

3. Разработанный в работе новый метод построения точных многомерных уравнений Лиувилля и многомеризованных цепочек Тоды в классе п-форм позволяет решать новые типы прикладных задач в таких разделах как квантовая теория, гидродинамика, автоволновые процессы, теория гравитации и космологии, где в качестве модели использзАются эти уравнения.

4. Найденные в работе новые подходы к решению гидродинамических задач идеальной жидкости дают возможность в аналитическом виде исследовать ряд эффектов, которые ранее исследовались только приближенно или численно.

5. На основе развитых методов найдены новые классы точных решений в задачах описания автоволн в средах с диффузией. На основе точных решений для двухпроводной линии предложен новый механизм генерирования коротких импульсов в двз-Ахпроводных активных линиях.

6. Для систем, которые описываются нелинейным диффузионным уравнением и близкими к нему уравнениями, в том числе активных уравнений двухпроводных линий, найден новый принцип суперпозиции, который позволят находить новые точные решения кз простейших, со-отр,отствующие новым автоволновым явлениям в тгт:их системах.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Для каждого нелинейного уравнения аз частных производных, допускающего введение сопряженного уравнения с помощью стандартного определения сопряженного оператора, существует метод явного вычисления (метод обобщенных тождеств Лагранжа) псевдопредставления Лакса-Захарова-Шабата. Псевдопредставление реализуется на п дифференциальных матричных операторах первого порядка и матричной размерности где п - размерность координатного пространства, а т - векторная размерность уравнения- В каждом классе уравнений, имеющих псевдопредставление Лакса-Захарова-Шабата, существует и может быть явно вычислен подкласс уравнений, имеющих истинное представление Лакса-Захарова-Шабата, снабженное спектральным параметром, что позволяет применять к построению решения этих уравнений метод обратной задачи рассеяния.

2. Для каждой комплексной дисперсионной кривой, имеющей явную полиномиальную или рациональную параметризацию от одного спектрального параметра, существует и может быть явно вычислен с помощью обобщенных преобразований Дарбу класс уравнений, обладающих истинным представлением Л акса-Захарова-Шабата.

3. Обобщенные модели взаимодействия волн в неоднородной нелинейной среде с различным типом дисперсии, в том числе волн в непрерывном квазимонохроматическом спектре, обладают истинным представлением Лакса-Захарова-Шабата при условиях, диктуемых методами тождеств Лагранжа и преобразований Дарбу.

4. Существует метод явного вычисления точных решений уравнения Лиувилля в многомерных пространствах и много-меризованных цепочек Тоды, выражающихся в классе п-форм, где п-размерность координатного пространства. Полученные решения могут быть использованы для исследования нелинейных процессов в теории гравитации и космологии.

5. С / ществуют базовые модели автоволновых ттроцессов, допускающие точные решения в классе квадратичных форм, названные в работе диффузионными цепочками Тоды, которые могут быть использованы для моделирования автоволн в активных системах с диффузией. Существует и явно указан набор общих условий, при которых в реальных системах могут применяться модели типа диффузионных цепочек Тоды. Для уравнений типа уравнения нелинейной диффузии существует новый принцип суперпозиции решений, позволяющий из простых решений строить более сложные точные решения, описывающие автоволновые явления в различных активных системах с диффузией.

6. Для уравнений Эйлера двумерных течений жидкости на вращающейся плоскости существует новое представление в форме совг»хестности системы четырех комплексных .инейных дифференциальных уравнений (п се вд о представление Лакса-Захарова-Шабата) относительно логарифма функции тока. Новое представление позволяет находить новые точные решения для течений жидкости на плоскости и, в частности, волнообразных течений вблизи критического слоя.

Достоверность полученных результатов определяется совокупностью доказанных в работе математических утверждений и прямыми проверками соответствия полученных точных решений исследуемым нелинейным уравнениям, а также сравнением полученных результатов с уже имеющимися результатами и литературными данными.

Вклад автора в разработку проблемы. Диссертация является результатом обобщения работ, выполненных автором за период с 1994 по 2002 год. Все положения диссертации, выносимые на защиту, получены самим автором диссертации. В совместных работах автору принадлежит разработка теоретических основ исследуемых моделей, анализ результатов и большая часть конкретных расчетов точных решений. Остальная часть расчетов точных решений была проведена его аспирантами, дипломниками и коллегами.

Значение работы.

Разработанные автором универсальные методы построения псевдопредставлений Лакса-Захаррва-Шабата и на их основе метод вычисления истинных представлений Лакса-Захарова-Шабата вместе с методом обобщенных преобразований Дарбу, дают полное рещение фундаментальной проблемы выделения в каждом заданном классе нелинейных уравнений в частных производных, уршнений, допускающих М-солитонные решения, и являются существенрым вкладом в теорию математического моделирования нелинейных волновых процессов в многокомпонентных системах с дисперсией. На основе этих методов найдены новые точнорешаемые модели взаимодействия волн в неоднородных средах с нестандартными нелинейностями в том числе волн в квазимонохроматическом спектре. Разработанные автором методы построения точных решений двумерных и многомерных уравнений Лиувилля и связанных с ними многомеризованых цепочек Тоды на основе нового внедиагонального представления операторов Лапласа и Д'Аламбера являются новым направлением в теории аналитического моделирования многомерных волновых процессов, что позволило исследовать новые точнорешаемые модели в гидродинамике, нелинейной оптике и теории гравитации. Автором открыто новое направление в моделировании автоволновых процессов в активных средах с диффузией, основанное на точнорешаемых уравнениях типа цепочек Тоды и нелинейных диффузионных и телеграфных уравнениях.

Публикации и апробация.

По теме диссертации опублржовано более 40 работ из них 18 статей (14 в центральной печати) , 1 монография и 1 учебно-методическое пособие. Все выносимые на защиту положения представлены в опубликованных автором работах (частично совместно с коллегами). Результаты работ были представлены и докладывались: 1) на IX Всероссийской конференции по гравитации и астрофизике в г. Владимире (1999); 2) на конференции Математические методы моделирования физических, биологических, экономических и социальных систем, Ульяновск, 1999; 3) на заседании научного семинара лаборатории под. рук. проф. Баранце-ва Р.В. "Аэрогидродинамики" СПб.ГУ, С-Петербург, 1999; 4) на Всероссийской конференции "Модели неравновесных систем", Красноярск, 1999 г.; 5) на И международной конференции "Проблемы теоретической кослюлогии" г. Ульяновск, 2000 г.: 6) на всероссийской конференции фундаментальные проблемы физики" ФПФ- 2000, г. Саратов, 2000 г.; 7) на Всероссийской астрономической конференции, С.Петербург, 2001 г., 8) на международной конференции азиа- око-тихоокеанского региона по Теории гравитации и астрофизике Москва, 2001 г. 9) на международной конференции " Современные проблемы теоретической и математической физики, Волга-13", Казань, 2001 г.; 10) на конференции Математические методы моделирования физическг.х, биологических, экономических и социальных систем, Ульяновск, 2001 г.

12.6 Выводы

В главе рещены следующие задачи.

1. Исследованы общие свойства моделей двухпроводной линии с активным элементом экспоненциального типа для нескольких приблимоделей.

2. Найдено несколько классов точных решений для моделей с не нулевой индуктивностью и без индуктивности. Эти решения указывают на возможность генерации импульсов в таких линиях при определенных условиях.

3. Показано существование принципа суперпозиции, аналогичного принципу суперпозиции уравнения нелинейной диффузии. С помощью этого решения найдены новые точные решения.

Заключение

1. Разработан универсальный метод построения псевдопредставлений Лакса-Захарова-Шабата для произвольных нелинейных дифференциальный уравнений, допускающих в соответствии со стандартным определением линейного сопряженного оператора введение сопряженного уравнения, основанный на использовании обобщенных тождеств Лагран-жа.

2. Для каждого класса уравнений, имеющих псевдопредставление Лакса- Захарова-Шабата, указан способ явного вычисления подкласса уравнений, имеющих истинное представление Лакса-Захарова-Шабата, снабженное спектральным параметром.

3. Для каждой комплексной дисперсионной кривой, имеющей явную полиномиальную или рациональную параметризацию от одного спектрального параметра, указан метод вычисления класса нелинейных уравнений, обладающий истинным представлением Лакса-Захарова-Шабата, основанный на использовании обобщенного метода преобразований Дарбу.

4. Найдены истинные представления Лакса-Захарова-Шабата для моделей взаимодействия К-волн в неоднородной нелинейной среде с линейной и квадратичной дисперсией и. самодействия волн с непрерывным квазистатическим спектром в нелинейных средах с произвольной дисперсией. Проведены исследования этих моделей и показано существование представлений ЛЗШ для моделей взаимодействия Н-волн с нестандартной нелинейностью.

5. Разработан метод построения точных рещений уравнений Лиувил-ля в многомерных пространствах и многомеризованных цепочек Тоды, выражающихся в классе п-форм, где п-размерность координатного пространства. Вычислены в явном виде рещения указанных уравнений для размерностей пространств п=:2,3,4.

6. Для описания автоволновых процессов в активных средах с диффузией предложены и исследованы новые базовые модели допускающие точные решения в классе квадратичных форм, названные в работе диффузионными цепочками Тоды. Показана возможность их использования для описания автоволновых явлений в реальных физических, химических и биологических системах.

7. Для уравнений типа уравнения нелинейной диффузии доказано су-шествование нового принципа суперпозиции решений, позволяющего из простых решенш! строить более сложные решения.

8. Для уравнений Эйлера двумерных течений жидкости на вращающейся плоскости найдено новое представление в форме совместности системы четырех комплексных линейных дифференциальных уравнений, относительно логарифма функции тока. С помощью этого представления найдены новые точные решения для течений жидкости на плоскости, и в частности, решения, описывающие волнообразные течения вблизи критического слоя.

9. Для уравнений генерации второй гармоники в среде с линейной дисперсией, квадратичной нелинейностью и диссипацией первой гармоники доказано существование специального свойства симметрии, позволяющего получать точные решения для случая с ненулевым коэффициентом диссипации первой гармоники из решений с нулевым коэффициентом диссршации. Пайден новый класс точных решений, связанный таким с решениями, выражающимися через решения уравнения Л иу вил ля.

10. Для уравнения нелинейной диффузии, являющегося моделью для ряда гидродинамических, биологических и физических процессов, найдены новые классы точных решений, описывающие разнообразные автоволновые явления в активных систохмах с диффузией.

1. Журавлёв В.М. О новом представлении двумерных уравнений ди-намикинесжимаемой жидкости.// Прикладная математика и механика, т. 58. N6, 61 (1994).

2. Журавлев В.М. Точно интегрируемая модель трехволнового взаимодействия в неоднородной нелинейной среде. //Письма в ЖЭТФ, т.61, В.4, 254 (1995)

3. Журавлев В.М. Модели нелинейных волновых процессов, допускающие солитонные рещения. // ЖЭТФ, т.ИО, N 6, с. 910-929 (1996)

4. Журавлёв В.М. Об одном классе моделей автоволн в активных средах с диффузией, допускающих точные рещения. //Письма в ЖЭТФ, т. 65, N3, 285 (1997).

5. Журавлёв В.М. Диффузионные цепочки Тоды в моделях нелинейных волн в активной среде. //ЖЭТФ, т. 114, N5, 1897-1914 (1998).

6. Журавлев В.М. Точные решения уравнений Лиувилля в многомерных пространствах. // ТМФ, т.120, N1, с.3-19 (1999)

7. Журавлев В.М. Точные решения уравнений нелинейной диффузии в двумерном координатном пространстве. // ТМФ, т. 124, N2, с.265-278 (2000)

8. Журавлёв В.М. Введение в теорию солитонов и метод преобразований Дарбу. Методич. пособ. Ульяновск. Изд. УлГУ (1995), с.60

9. Журавлев В.М., Коробко Д.А. О динамике солитонов нелинейного уравнения Шредингера с источником. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 1(3), с. 3-8 (1997).

10. Журавлев В.М. Квадратичные формы и точные решения уравнений двумеризованных цепочек Тоды. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 3-11 (2000).

11. И. Журавлев В.М., Корнилов Д.А. Класс точных решений в модели трехволнового взаимодействия в среде с квадратичной дисперсией. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 57-63 (2000)

12. Журавлев В.М. Точно интегр-лруемые модели взаимодействия волн с непрерывным спектром. // Извес/тля вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, т. 9, N 2, с. 76-81 (2001)

13. Журавлев В.М. Модели автоволновых процессов в средах с диффузией и уравнения типа Лиувилля. //Известия вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, (в печати) (200л')

14. Журавлев В.М., Корнилов Д.А., Особенности динамики взаихмо-действия первой п второй гармоник в отсутствие фазового синхронизма //Известия вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, (в печати) (2002)

15. Журавлев В.М, Антонов Д.И. Точно интегрируемые модели пяти-волнового и шестиволнового взаимодействий в неоднородной нелинейной среде. //Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 68-70 (2000)

16. Zhuravlev V.M., Kornilov D.A. Latent mass effect in an inhomogeneous cosmological model with a self-interacting scalar field and a perfect fluid. // Grav.& Cosm. V. 5, N4 325-328 (1999)

17. Журавлев B.M., Червон СВ. Модели космологической инфляции, допускающие естественный выход на радиационно-доминирующую стадию и эру преобладания вещества.// ЖЭТФ, т. 118, N 2, (2000)

18. Журавлев В.М. Новью методы построения точных рещений уравнений Эйнщтейна в теории гравитации и космологии. // Тезрюы докладов. На международной конф. "Проблемы теоретической космологии UISS-2000", Ульяновск, 2000.

19. Журавлев В.М. Нелинейные волновые процессы в многокомпо-нентых средах с дисперсией и диффузией. 4"очнорещаемые модели. Ульяновск. Изд. УлГУ (2001) 216 с.

20. Zhuravlev V.M., Chervon S.V., Shubulkm D.Yu. The effective chiral model of plane-symmetric gravitational field. // Grav & Cosm., v.3. No. 4 (1997)

21. Журавлев В.М. Связь решений уравнений Лиувилля и уравнений Шредингера. // Тезисы докладов. На международной конф. "Современные достижения в теоретической и математической физике. Волга -13", Казань, 2001.

22. Журавлев В.М. Двухкомпонентные космологические модели с переменным уравнением состояния вещества и тепловым равновесием компонент. // ЖЭТФ, т. 120, N5, 1142-1161 (2001)

23. Журавлев В.М. Автоволны в двухпроводных линиях с экспоненциальным активньтлг элементом. // Письма в ЖЭТФ, т. 75, N1, с. 1146 (2002)

24. Журавлев В.М. Уравнение Шредингера и динамика заряженной жидкости. Сборник трудов Международной Открытой Сессии "Modus Academicus". Компьютервые технологии, наука и образование в XXI веке, 2001. // Изд. УлГУ, 2002

25. Журавлев В.М. О связи уравнений Лиувилля и Шредингера. // Тезисы докладов XIII международной школы-семинара по теоретической и математической физике "Петровские чтения. Волга-13'2001", с. 56, ООО Регентъ,Казань

26. Журавлев В.М., Корнилов Д.А. Точные решения в классе неоднородных космологических моделей с идеальной жидкостью и скалярным полем. // Ученые записки Ульяновского государственного унивесрите-та. Серия физическая. 2001, N 2 (И) с. 3-101. Библиография

27. Адлер В.Э., Шабат А.Б. // ТМФ, 111, N 3, с. 323 (1997)

28. Алексеев Г.А., Андреев В.А. Итоги науки и техники. Сер. "Классическая теория поля и теория гравитации.", 4, 4 (1992).

29. Антонов Д.И., Журавлев В.М. //Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 68-70 (2000)

30. Ахманов С.А.,Выслоух В.А.,Чиркин A.C. Оптика фемтосекунд-ных лазерных импульсов. М:Наука, (1988), 310 с.

31. Багров В., Самсонов // ФЭЧАЯ, 28, в.4, с. 951-1012 (1997)

32. Белинский В.А., Захаров В.Е. //ЖЭТФ, 75, N 6, 1953 (1978).

33. Борисов A.B., Мамаев И.С. Гамилътоновы структуры и алгебры Ли в гамилътоновой механике. Издательский дом "Удмуртский университет", 1999

34. Бурцев С.П.,Захаров В.Е., Михайлов A.B. // ТМФ, 70, N3, 323 (1987).

35. Бхатнагар П. Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М. :Мир, (1983), 135 с.

36. Вайнберг С. Гравитация и космология. М.:Мир, 696 с. (1975).

37. Выслоух В.А., Чередник И.В. // ТМФ, 77, 32 (1988).г:, Гельфанд И.М.,Дикий Л.А. // УМЕ, 30, в.5, б"' (1975).

38. Громов Е.М.,Накаряков В.М.,Таланов В.И. ЖЭТФ, 100, в.6, 1785 (1991).

39. Давыдов A.C. Солитоны в молекулярных ситемах. Киев: Наукова думка, (1984), 288 с.

40. Дикий Л.А. Нелинейные волны /Под ред. Гапонова-Грехова. М.:Наука, (1979), с. 36.

41. Додд Р.,Эйлбек Дж.,Гиббон Дж.,Моррио X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.:Мир,1988,с.694.

42. Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега-де Фриза. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. 24. М.:ВИПИТИ, с.81-181, (1984)

43. Журавлев В.М. // ТМФ, т. 124, N2, с.265-278 (2000)

44. Журавлев В.М. // ТМФ, т.120, N1, с.3-19 (1999)

45. Журавлев В.М. // Письма в ЖЭТФ. 61, в.4, 254 (1995)

46. Журавлев В.М. // ЖЭТФ, т.110, N 6, с. 910-929 (1996)

47. ЖАуравлёв В.М. Введение в теорию солитонов и метод преобразований Дарбу. Методич. пособ. Ульяновск. Изд. УлГУ (1995), с. 60

48. Журавлёв В.М. // ПММ, 58, N6, 61 (1994).

49. Журавлев В.М., Коробко Д.А. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 1(3), с. 3-8 (1997).

50. Журавлев В.М. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 3-11 (2000).

51. Журавлев В.М., Корнилов Д.А. // Ученые записки УлГУ, сер. физическая, N 2(9), с. 57-63 (2000)

52. Журавлев В.М. // Известия вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, 9, N 2, с. 76-81 (2001)

53. Журавлев В.М. //Известия вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, (в печати) (2001)20! Журавлев В.М., Корнилов Д.А., //Известия вузов, сер. прикладная нелинейная динамика, (в печати) (2001)

54. Журавлев В.М. Нелинейные волны в многокомпонентных системах с дисперсией и диффузией. Точнорептаемые модели. Изд. Ул-ГУ, Ульяновск, (2001)

55. Заславский г.M., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. От маятника до турбулентности и хаоса. М.:Наука (1988)

56. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков СП., Питаевский Л.П. Теория солитонов: метод обратной задачи. М:Наука, (1980) 319с.

57. Захаров В.Е., Шабат А.Б. //Функц. анализ и его прил., 6, 3, 43 (1974).

58. Захаров В.Е. Солитоны. /Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри., М:Мир, 270 (1983).

59. Захаров В.Е.,Манаков СВ. //Функц. анализ и его нрил. 19, В.2, 11 (1985).

60. В.Е.Захаров, СВ.Манаков, //ЖЭТФ, 69, в. 5, 1654 (1975)

61. Карпман В.И., Маслов Е. А perturbation theory for immerse scattering transformation. //,ЖЭТФ, 73, 537 (1977).

62. Келехсаева И.A. //Физ. плазмы, 21, N 4, 364 (1995)

63. Кившарь Ю.С.,Конотоп В.В. //Квантовая электрон., 16, 868 (1989)

64. Кузнецов Е.А., Михайлов А.Б. // ТМФ, 30, 193 (1977).

65. Кричевер И.М. //УМН, 32, в.6, с.183-208 (1977)

66. Ландау Л.Д.,Лифшиц Е.М. Теория поля. М.:Наука, (1988).

67. Лезнов А.Н., Савельев М.В. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем. М.:Наука, (1985) 279 с.

68. Линде А. Д., Физика элементарных частиц и инфляционная космология., М.: Наука, (1990)

69. Льюис Дж. Ценность. Сопряженная функция. М:Атомиздат, (1972)

70. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, (1972)

71. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.:Наука, (1982)

72. Мезенцев В.К., Турнцын C.K. //Кв. электроника 18, N 5, 610 (1991).

73. Михайлов A.B., Шабат А.Б. // ТМФ, 62, 163, (1985); 66, N1, 47 (1986).

74. Михайлов A.B., Шабат А.В., Ямилов Р.И. // УМН 42, в.4, 3 (1987)

75. Ю.Мозер. Интегрируемые гамилътоновы системы и спектральная теория. Ижевск:Изд. РХД, с. 294 (1999).

76. Нелинейные электромагнитные волны. /Под ред. П.Усленги. М:Мир, (1983), 312 с.

77. Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. М.:Мир, (1989).

78. Попов А.Д. //ТМФ, 89, 402 (1991)

79. Скотт Э. Рождение парадигмы. В сб. Нелинейные электромагнитные волньг / под. ред. Л.Усленги. М.:Мир, с. 33 83, (1983)

80. Рыбаков Ю.П. // Вестник РУДП, сер. Физика, N3, в.1, 130-137 (1995)

81. Рыбин A.B., Салль М.А. //ТМФ, 63, N3, (1982)

82. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. М.гНаука, (1997), 316 с.

83. Соколов В.В. //УМН, 43, в.5, 133 (1988)

84. Свинолупов СИ.,Соколов В.В. //УМЫ, 47, в.З, 115 (1992).

85. Свинолупов СИ., Соколов В.В. //ТМФ, 100, N 2, 214 (1994).

86. Свинолупов СИ.,Ямилов Р.И. //ТМФ, 98, N.2, 207 (1994).

87. Солитоны. /Под ред. Р.Буллафа, Ф.Кодри. М:Мир, (1983).

88. Сухоруков A.n. Нелинейные волновые процессы взаимодействия в оптике и радиофизике. М.:Наука, (1988).

89. Тагиев З.А., Касумова Р.Дж., Амиров Ш.Ш. //Оптика и спектроскопия, 75, в. 4, 908 (1993).

90. Тахтаджан Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамилътонов подход в теории со-литонов. М.; Наука, 1986.67