автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.13, диссертация на тему:Анализ и синтез аналоговых степенных полиномиальных фильтров радиосигналов, принимаемых в негауссовских шумах

2 1 ДНК 1933

На правах рукописи

Первунинский Николай Станиславович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ АНАЛОГОВЫХ СТЕПЕННЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ, ПРИНИМАЕМЫХ В НЕГАУССОВСКИХ ШУМАХ

Специальность 05.12.13. - Устройства радиотехники и средств связи

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1998

Работа выполнена в Северо-Западном заочном политехническом институте.

Научный руководитель - кандидат технических наук, доцент Воронцов В.Н

Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор Пащенко Е.1

кандидат технических наук, доцент Пахомов И.С

Ведущее предприятие - государственное предприятие "ВНИИМ Д.И.Менделеева".

Защита состоится часов

заседании диссертационного совета РК 063.38.01 при Северо-Запад заочном политехническом институте по адресу: 191186, Санкт-Пегерб ул.Миллионная, 5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Северо-Западного заоч! политехнического института.

Ученый секретарь диссертационного Совета 1 к.т.н., доцент,

Воронцов Е

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

ктуальность темы. Одной из главных задач в радиотехнике является задача гьтрации полезного сигнала из шумового окружения оптималышм образом. На возможности продуктивного применения статистических методов в ачах линейной фильтрации радиосигналов впервые было указано в отах Колмогорова А.Н. и Винера Н.

[оследующне работы в области фильтрации детерминированных и хастических сигналов, выполненные Стратоновичем Р.П., Тихоновым В.И., 1маном P.E. и др. решают задачу фильтрации с использованием как [ейных, так и нелинейных фильтров при рассмотрении мешающих действий в виде гауссовских помех Tim а белого или окрашенного шума,

0 в классе марковских моделей сигналов и помех.

(Месте с тем во многих, прикладных задачах радиосвязи, радионавигации и иофизики наблюдаемые случайные процессы и используемые модели налов являются существенно негауссовскими.

1 последнее время в радиотехнической литературе появились работы {.Малахова, О.И.Шелухина, Ю.П.Кунченко и других ученых, в которых ожены основы для применения в анализе процессов обработки сигналов в ауссовских шумах конечной последовательности моментных и кумулянтных пеций.

'ем не менее, вопросы фильтрации радиосигналов в негауссовом шумовом ужении проанализированы, пока недостаточно. Это объясняется как тощими место аналитическими трудностями, возникающими при ользовании традиционной техники описания случайных процессов »гомерными функциями распределения, так и сложностями вычислительного актера, связанными с необходимостью применения численных методов хеши интегральных уразнений типа рядов Вольтера.

!ыполнение исследований в классе степенных операторов позволяет дставить нелинейную задачу фильтрации последовательностью линейных жционалоп от степенных преобразований наблюдаемых случайных

процессов. Одновременно с упрощением вида операторов фильтрац решение задачи фильтрации представляется через последовательно моментных и кумулянтных функций, параметры которых в практике аналз даже достаточно сложной помеховой обстановки можно получить более прос

К настоящему времени не полностью решены и такие вопросы, ]

ь

описание моделей сигналов различного вида, используемых радиосистемах, набором моментных функций высших порядков многомоментной и, в частности, для двумоментной плотно распределения.

Полиномиальные фильтры, использующие степенные преобразова] стационарных входных сигналов, строятся с использованием априор] известных кумулянтных и моментных функций высших порядков только двумоментного распределения.

Получение такой информации опытным путем выполняется проще, чем случае использования многомоментных функций.

Важным для практического построения помехоустойчивых сис фильтрации сложных сигналов является и сравнительный ана эффективности нелинейных степенных полиномиальных фильтров различ структуры, при работе со случайными процессами негауссовского та Знание оптимальных характеристик таких систем позволяет переходит рассмотрению. различных квазиоптимальных структур, обеспечивакн построение реальных систем с требуемыми техническими характеристиками.

Актуальность темы обусловлена необходимостью проведения теоретических исследований степенных полиномиальных филы радиосигналов, принимаемых на фоне негауссовских случайных мешаю] воздействий, определения оптимальных параметров математических физических фильтров данного типа, оценку и сравнение их по эффективнс при работе с различными видами помех.

Цели и задачи работы. Целью диссертационной работы является разрабс методов анализа и синтеза степенных полиномиальных фильт]

хпечивающих оптимальную фильтрацию радиосигналов в негауссовских мах.

Цля достижения данной цели в работе решаются следующие задачи: [. Разработка математических методов и средств статистического ¡ледования нелинейных степенных полиномиальных фильтров с различными эаметрами, решающих задачу фильтрации сигналов в негауссовском мовом окружении оптимальным образом.

I. Проведение сравнительного анализа эффективности рассматриваемых льтров с применением аналитического аппарата моментных и ¿улянтных функций двумоментного распределения, при описании осматриваемых моделей радиосигналов и негауссовских случайных шумовых эцессов.

Решение задачи синтеза физически-реализуемых степенных ииномиальных фильтров различных порядков.

I. Разработка методики имитационного моделирования фильтров на ЭВМ выполнение имитационного моделирования основных характеристик осматриваемых в работе фильтров.

УТетоды исследования. В работе используется расчетно-аналитический метод, ;менты теории вероятностей и математической статистики, метод ментно-кумулянтного описания сигналов и помех, аппарат интегрального шеления, теория матриц, математическое моделирование, эксперимент. Научная новизна работы состоит в теоретическом обобщении и создании тлитического метода статистического исследования характеристик швейных степенных полиномиальных фильтров различных модификаций, мнительного анализа их эффективности при фильтрации сигналов в гауссовских шумах, синтезе структуры фильтров с оптимальными раметрами.

В рамках рассматриваемого подхода автором получены следующие новые учные результаты:

- найдены новые рекуррентные соотношения для вычислен! определителей матриц высоких порядков, существенно сокращающие объ< вычислительной работы и позволяющие получать лаконичные аналитичесю выражения при анализе степенных полиномиальных фильтров;

- получены аналитические соотношения для описания моментных кумулянтных функций двумоменгаого распределения моделей сигналов различивши видами амплитудной модуляции и исследованы спектры эп сигналов;

- поставлена и решена задача синтеза оптимальных математичесю стационарных степенных полиномиальных фильтров инерционного безынерционного типов. Проанализированы их характеристики при работе негауссовскими шумами с различными параметрами;

- решена задача синтеза физических степенных полиномиальш фильтров различных порядков;

- выполнена регуляризация семейства решений в задаче оптимальн степенной полиномиальной функциональной фильтрации. Рассмотри методы решения системы интегральных уравнений корректно поставленное задачи полиномиальной фильтрации;

- разработаны алгоритмы математического моделирования случайна процессов с заданными значениями моментов и кумулянтов, в частноа коэффициента асимметрии и эксцесса. Проведено имитационное моделирован на ЭВМ разработанных методов синтеза случайных процессов;

- разработаны алгоритмы построения математических моден степенных полиномиальных фильтров сигналов в негауссовских шум; Проведено имитационное моделирование на ЭВМ оптимальных струю полиномиальных фильтров.

Результаты диссертационной работы представляют собой совокупно< научно-технических обобщений в области анализа и синтеза степени полиномиальных функциональных фильтров радиосигналов в шу\

1уссовского типа и отвечают задачам теории и практики ектирова1шя радиоаппаратуры систем радиовещания и радиосвязи. Практическая ценность работы состоит в расширении области менения аналитических методов статистического анализа и синтеза потехнических систем при решешш задачи проектирования степенных иномиальных фильтров радиосигналов в негауссовских шумах, в том те:

найдены кумулянтные функции высших порядков сигналов с литудной и балансной амплитудной модуляцией, которые могут быть ользованы при анализе преобразований амплитудно-модулированных гало в в негауссовских шумах;

получены новые рекуррентные соотношения, позволяющие находить Персию ошибки фильтрации без промежуточных вычислений оптимальных э степенного полиномиального фильтра, а лишь используя априорную юрмацшо в виде моментно-кумулянтного описания входного сигнала и 1а;

исследована эффективность степенных полиномиальных фильтров 1алов принимаемых на фоне негауссовских шумов, определены имальные параметры операторов фильтрации, зависящие от вида помехи и [•ношения сигнал-помеха; разработанная методика проведения имитационного моделирования на основных характеристик степенных полиномиальных фильтров позволяет водить сравнительный анализ эффективности работы фильтров при шчных параметрах входного сигнала и шума. Та защиту выносится:

решение задачи фильтрации анналов в негауссовских шумах [енными полиномиальными стационарными фильтрами;

метод описания аналоговых сигналов с амплитудной и балансной литудной модуляцией информационных параметров с помощью моментных мулянтных функций высших порядков;

- новые рекуррентные соотношения, упрощающие матричн преобразования и вычисление определителей матриц высоких порядков;

- результаты исследования характеристик степенных полиномиалън фильтров радиосигналов в негауссовских шумах и методика сшгг фильтров с оптимальными параметрами;

- имитационные модели степенных полиномиальных фильтров сигнало! негауссовских шумах, описываемых последовательностью кумулянта функций.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной рабе докладывались и обсуждались на 52-й научно технической конфереш Санкт-Петербургского НТОРЭС им. А.С.Попова.

Реализация результатов работы. Результаты диссертационной рабе использованы и внедрены в ВНИИМ им. Д.И.Менделеева, при выполни НИР по темам 01.08.01.06.; 01.08.01.10., что подтверждается актом внедрения.

Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 7 работ.

Личный вклад автора в разработку проблемы. Основные научные положен теоретические выводы и рекомендации, содержащиеся в диссертациои работе и публикациях получены автором самостоятельно.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит го введи пяти глав, заключения, списка литературы и четырех приложений. Раб содержит 175 страниц основного текста, 26 рисунков, 5 таблиц, спи цитируемой литературы из 64 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность диссертационной те сформулированы цель и основные задачи работы, определена научная нови практическая ценность полученных результатов и приведена краткая аннота работы.

3 первой гдаве приведена классификационная схема фильтров, шльзуемых в задачах оценки параметров фильтрации и обнаружения налов, принимаемых в смеси с шумовыми случайными процессами, ормулирована задача фильтрации сигналов в шумах в постановке, когда в lecTisc критерия оптимизации фильтра принята средняя квадратическая нбка фильтрации c\(t), равная, для случая простой фильтрации, тематическому ожиданию квадрата отклонения сигнала на выходе льтра т|(0 от значения полезной составляющей x(t) входного 5людаемого случайного процесса с(/)

=[-пСО — } • (1)

В качестве наблюдаемого входного процесса принимается аддитивная смесь зцессов x(t) и n(t), где под n(t) понимается реализация шумового щесса. В общей постановке задачи фильтрации принято, что интервал :мени наблюдения teE1, где под Е1 понимается отрезок (-оо, со ). 3 классе аппроксимирующих полиномиальных фильтров вьщеляются пенные полиномиальные фильтры S-ro порядка, дающие оценку выходного эцесса оператором

!(/) =Е Ф,[?(0], (2)

/=1

; Ф/К(01 - линейный функционал от центрированного случайного щесса q(t), подвергнутого нелинейному преобразованию путем операции Iведения в степень /, / = 1,.., s.

]дя безьгаерциоиного преобразования функционал Ф,[£(/)] превращается в икцию

mm=«.s'oW=- mm (з>

: Oj, i — 1,у - постоянные параметры фильтра; и, (0 - моментная функция i-ro порядка процесса q(t). В степешюм полиномиальном функциональном фильтре

Ф.Ш1 = J K,(t,т)(с!(т)-m,(z))dx , (4)

El

: Ki(t, x) - ядра оператора, определяемые в ходе решения задачи синтеза дыра, обеспечивающего минимальное значение критерия (1). Из (4), при K,(t,z) - a,8(i - х) (8(х)- дельта функция Дирака), имеем запись нкционалов в виде (3). В тоже время подстановка (3) в (2) позволяет

интерпретировать оценку г|(0, как разложение вектора х(1) в пространстве образованном системой линейно независимых векторов ^[>(0, Ввод

этом пространстве скалярное произведение

(Со,^) = ЩШ г](Ш /,У = 1,...5 , (5)

получаем условие линейной независимости случайных процессов Б порядка в виде положительной определенности матрицы Грамма

г, = ||[4Й>]||1</=1/ (6)

Доказано необходимое в анализе соотношение для алгебраичес* дополнений А^ элементов а^ квадратичной матрицы Б-го порядка имеют вид

А^А^-МцЩи^А^лМ, = (7)

где А1-определитель матрицы Б-го порядка;

А к1[Мц] - алгебраическое дополнение элемента ац в матрице мине Мц, полученное из матрицы а = 4 вычеркиванием ьй строки и ]

столбца, / = 1, ..,5'.

С использованием (7), выражение для ошибки фильтрации безынерционн полиномиальным фильтром Б-го порядка записывается в виде

о}(0 = о*-± д^-, (8)

здесь До = 1; а* - дисперсия процесса х(1); Д, , - определитель матрицы Г,,

которой ¡-й столбец заменен на столбец Ьх= ; Да-, к - /, / -

11 "рА,.Л

определитель матрицы Грамма к-го порядка.

Исследование с?(0 для различных значений превышешш сигнала I шумом, при заданных величинах кумулянтных функций негауссова случайных процессов х(1) и п(0, показывает, что с увеличением поря; фильтра Б наблюдается уменьшение ошибки фильтрации. Причем оши( фильтрации уменьшается значительно в ситуации, когда превыше] сигнала над шумом меньше единицы и достигает значений 6 дб в сравни со случаем, когда порядок 8= 1 (линейный фильтр).

Вторая глава посвящена описанию моделей сигналов и шум используемых в радиосистемах информационного типа, последовательное]

ментных и кумулянтных функций высшего порядка (Б>2) двумоментного спределения и анализ спектров кумулянтных функций.

Анализ моментных функций радиосигнала с амшштудной модуляцией (АМ) лолнен в предположении, что модулирующая функция нормирована по плитуде ¡Цг)1 <1 и не коррелированна с фазой 9 высокочастотного лебания ча стоты со 0 ■

В качестве случайного процесса 1(0 рассматривается модель в виде гнала, полученного на выходе низкочастотного фильтра с импульсной рактеристикой вида: 11(0=схр(-^2/2),

и входном воздействии стационарного негауссовского

льта-коррелированного белого шума п.О), обладающего кумулянтными икциями:

&з(°>Т2<.....15)=055(Х2)'"8(ТЗ)-

Анализ полученных выражений для кумулянтных функций двумоментного спределешш показывает, что рассматривая в такой постановке модель гнала с АМ, можно определить, что полученный сигнал является щественно негауссовским случайным процессом. Так для случая сигнала балансной АМ, кумулянтный коэффициент четвертого порядка у4 =1,5 оэффициент эксцесса), хотя у3 =0 (коэффициент ассиметрии). В качестве модели сигналов с амплитудной модуляцией принято описание да

х(0=А(1+кЦ0)со8(юо1+ф), (9)

е А,ю0,ф - амплитуда , частота и фаза сигнала; к- индекс модуляции (0<к<1); I) - модулирующая функция.

Выражения для моментных функций (р+ф-го порядка, р^=1,2... , умоментного распределения для сигнала (9) принимают вид 1хм(!р, и + т)Ч) =Л™ М Ср(/д№тМ)ам(0м, г'«]), (10)

;е а?р:<1(0^[тм) = Щ?.р(01ч((+т)] - моментная функция (р+д)-го порядка эдулирующей функции >.(1);

ар,?(ОМ,ги)=Лфо5^(ио/+Ф)со59(юо(?+г)+Ф)] - моментная функщ двумоментного распределения (р+ф-го порядка функции перенесши

со5(ш0г+ф);

Ск - ——^—- - число сочетаний из к по п.

К п\(к-п)\

По моментным функциям (10) однозначно определяются кумулянтш функции рассматриваемых сигналов, а из прямого преобразования Фурье < кумулянтных функций имеем спектры сигналов с амплитудной и балансш амплитудной модуляциями.

В работе выполнен анализ кумулянтных функций сигнал! модулированных по амплитуде для высших порядков кумулянтных функций до шестого порядка включительно. Полученные выражения необходимы д исследования процессов фильтрации данных сигналов принимаемых на фо] негауссовских шумов, а также применимы для синтеза помех с заданных требованиями к кумулянтным функциям высших порядков при имитационнс моделировании радиосистем.

В третьей главе решается задача фильтрации для стационарш степенных полиномиальных, функциональных математических фильтров вц (2) с функционалами типа (4). Оптимальные ядра в стационарном фильт принимаются зависящими от разности аргументов х) = К,((-х), / = !,.., Ограничиваясь рассмотрением случая стационарных сигналов и шумов, переходом в частотную область, с помощью преобразования Фурье, решен задачи в этом случае получается из решения линейной системы уравнений Е = 0^(00), / = 1,6', (11)

где /г;(со), ^(м), а^(га) - преобразования по Фурье соответствен!

ядер АГ,-(0 и моментных функций, определимых значениями скалярш произведений (£0£0 ) и

Из решения системы (11) определяются оптимальные частотм

характеристики /г,(©) /-го субканала полиномиального математическо фильтра, через которые, с применением соотношения (7), можно вырази ошибку фильтрации в виде:

2 2 1 V "f K'M2 j /.-54

SI . , —r^-aco, (I2)

е * 271 м-io Д,(Ю)Дм(Ю) v j

;е At(o)), Ár = {;' - 1, /'} - определитель системы (11) при s=k; A¡¡( со) -определитель матрицы коэффициентов системы (11) для s=/, при

U-XÍ ||г

мене в ней столбца с номером г столбцом |¡ai'jí(ra)¡|fc¡ .> До(и) = 1.

Решения h, (ю), получаемые из системы уравнений (11), не всегда позволяют шти оптимальные ядра K,(t) обратным преобразованием Фурье по причине сходимости вычисляемых интегралов. Поэтому рассмотрены обобщешхые тераторы crenemibix полиномиальных функциональных фильтров двух адов:

Л(0 =¿ J KAt-x)^(x)dx (13)

k=\ di <=i-=°

и

л(0 {2 K,{t-xr^{x)dx}, (14)

к=о dt

te q, Ьк и q¡, q¡a - постоянные параметры соответствующего обобщенного тератора.

Показано, что операторы (13) и (14) имеют одинаковое значение ошибки ильтрацни сигнала при оптимально выбранных параметрах фильтра, шичина которой совпадает со значением al определенной из (12). ледовательно, в случае, когда решения /г,(ю) системы (11) не позволяют айти ядра оператора внда (4), необходимо воспользоваться представлением ¡(со) в виде:

ki(fa) = Ki(ai) + Qi(fa),i = l,..,s , (15)

те О,(со) - полином степени qi от величины (Ja)k, к- \,..,q; K¡ (ю) - рациональная функция по со. Правая часть выражения (15) позволяет однозначно определить араметры и структуру оптимального фильтра, соответствующую оператору 14).

В четвертой главе решается задача синтеза физического степенного гационарного полиномиального фильтра, рассматривается корректная

задача фильтрации, приводятся методы решения корректной задачи синтез

физического степенного полиномиального фильтра, исследуютс

характеристики фильтра на отдельных частых случаях задачи фильтрации.

Переход от математического фильтра с коэффициентами передачи //,(© найденными из решения системы уравнений (11), к физическому (физическ

реализуемому фильтру) с импульсной характеристикой hf(t) существующе для всех t е Е\, где Е\ - интервал вещественной оси от 0 до со, осуществляете путем представления (факторизащш) определителя ДДсо) в виде

АДЮ) = Т5(со)Т;(ю), (16)

где Tj (со) - функция аналитическая, 0гра1шче1шая и не имеет нулей нижней полуплоскости комплексного переменного со, а Т*(сй) - аналитичн; ограниченна и не имеет нулей в верхней полуплоскости. Разложение (К всегда выполнимо (ДДсо) > 0, Vco е Е1), а использование свойств функци VP* (со) позволяет записать выражение для определения hf (0 из системы (11 в виде

/'= т > О, и hf (г) = 0, для всех т < 0.

Решения /гf (т), найденные из соотношений (17), являются корням системы интегральных уравнений

I / hf(x)Fjj(z -x)dx = cci/т), J = I, ..,s, (18)

i=XE[

где Fjj (v), ai/v), j,i - 1, ,.,s - обратные преобразования Фурье от спектре соответственно /),,(со) и а^со).

Решение системы (18) связано с определением корней систем

интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода в пространстве Е. Известно, что такая задача является некорректно поставленное

незначительные погрешности в задании функций оцДт) или F;>,(т), /,/ = 1, ..,.v могут привести к значительным изменениям в решениях hf(t).

С корректно поставленной относятся задача о решении системы егральных уравнений Фредгольма 2-го рода, которые по (18) исываются системой

I / к*(ОРя,т(х-№ + №?(т) = аиО,т),п=1,..,8, (19)

Р - параметр регуляризации решений, ассмотрены различные численные методы определения

уляризованного семейства решений системы (19), связанные с менением итерационного метода, метода квадратур, метода разложения э по ортонормированной системе функций.

ешение системы (19) получено для задачи фильтрации зимонохроматического сигнала х(1) набжодаемого вместе с реализацией ауссовского случайного процесса.

[ятая глава посвящена описанию принципов построения имитационных [елей полиномиальных, фильтров инерционного и безынерционного типов ЭВМ. Приводятся результаты экспериментальной проверки основных ретических результатов, полученных в предыдущих главах с ользованием разработанных имитационных моделей. В качестве оритмического языка был выбран Фортран 4 в версии ПЭВМ 1ВМ РС АТ. >пыт работы с имитационными моделями степенных полиномиальных гьтров показал, что цифровое моделирование задач фильтрации воляет:

исследовать полиномиальные фильтры в условиях реальной работы макета гемы фильтрации сигналов;

определять допустимость приближений, которые могут быть сделаны при ретическом анализе и на этапе аппаратурной реализации фильтров; оценить принципиальные свойства исследуемой системы, свободные от гний, сопутствующих реальному схемному воплощению и выявлять ее енциальные возможности.

Исследования на имитационных моделях требуют значительно мень материальных затрат, дают воспроизводимые результаты при повтори испытаниях и проводятся в более короткие сроки, чем в слу* лабораторных или натурных испытаний аппаратурных реализаи исследуемых систем.

На имитационной модели, представленной на рис.1, проведены испытан полиномиального степешюго безынерционного фильтра с порядком 8=1 ;2;

Рис.1

где ГСП - генератор случайных последовательностей;

БОКФ - блок определения коэффициентов фильтра; БСПФ - безынерционный степенной полиномиальный фильтр; НК1 ,НК2 - накопители. Испытания подтвердили результаты аналитических исследований, представленных в материалах первой главы.

Имитационное моделирование степенного стационарн

полиномиального функционального фильтра показывает, что в обла малых отношений сигнал / помеха учет априорной информации негауссовском характере случайного мешающего процесса дает бс

летный выигрыш в ошибке фильтрации в полиномиальном фильтре порядка 2;3, нежели в случае больших превышений сигнала над шумом. В области ггыпих превышений сигнала над шумом (<7>10) эффект от применения полнительной нелинейной обработки входных сигналов, связанный с пользованием степенных преобразований при порядке фильтра 8=2;3, к ачительному уменьшению ошибки фильтрации сигналов не приводит. В работе приводится описание алгоритмов, используемых при синтезе учайных величин и случайных процессов с требуемыми значениями мулянтов высших порядков и кумулянтных функций для негауссовских учайных последовательностей.

В заключении сформулированы основные результаты работы, которые одятся к следующему:

Проведена классификация фильтров радиосигналов с выделением класса пимальиых степенных полиномиальных фильтров.

Найдены новые рекуррентные соотношения для вычисления определителей 1Триц высоких порядков, существенно сокращающие объем вычислительной [боты и позволяющие получать лаконичные аналитические выражения при [ализе степенных полиномиальных фильтров.

Выполнен анализ и синтез полиномиального безынерционного фильтра Б-й епени. Отмечено, что наблюдается уменьшение дисперсии ошибки иьтрации при увеличении степени Б полиномиального преобразования как ¡я негауссовских, так и для случая гауссовских помех при негауссовском крормационном сигнале. Получены описания моделей различных видов сигналов и помех в виде атистических характеристик во временной и частотной области. Показано, го сигналы с АМ и БАМ имеют существенно негауссовский характер. Выполнен анализ и синтез математического полиномиального инерционного ильтра Б-й степени.

6. Исследована эффективность математических полиномиальных инерционш фильтров при фильтрации сигналов с балансной амплитудной модуляцис принимаемых на фоне негауссовской помехи.

7. Решена задача синтеза физических степенных полиномиальных инерционш фильтров различной степени Б. Рассмотрен метод решения интегральна уравнений с физически реализуемыми ядрами с применением преобразован Лапласа.

8. Выполнена регуляризация семейства решений в задаче оптимальн полиномиальной степенной функциональной фильтрации. Рассмотрены мето; решения системы интегральных уравнения корректно поставленной Тихонову задачи полиномиальной фильтрации. Получены алгорит? численных методов определения ядер регуляризованных оператор полиномиальной фильтрации радиосигналов.

9. Проведено исследование различных алгоритмов генерации негауссовск случайных величин с заданными значениями кумулянтных коэффициент! Показано, что генераторы случайных величин, использующие нелинейн преобразования, обеспечивают характеристики распределения результируюш случайных величин лежащие в границах доверительных вероятностей уров

0.9...0.95.

10. Выполнено имитационное моделирование на ЭВМ разработанных метол синтеза случайных процессов, приведены алгоритмы и написаны програм! построения математических моделей безынерционных степени полиномиальных фильтров сигналов в негауссовских шумах. Проведено имитационное моделирование на ЭВМ оптимальных структур полиномиальн фильтров.

Основное содержание диссертации отражено в следующих работах:

1. Первунинский Н.С. "Кумулянтные двумоментные функции гармоничес! сигналов." Деп.в ВИНИТИ №259-В98, 1998.

Первушшский Н.С. "Характеристики полиномиальных согласованных учайных величин." Деп.в ВИНИТИ №3864-В96, 1996.

Первунинский Н.С. "Случайные величины с бигауссовым распределением." :п.в ВИНИТИ №3865-В96, 1996.

Первунинский Н.С. "Степенные полиномиальные фильтры радиосигналов в гауссовских шумах." / Тезисы докладов 52 научно-технической конференции ГОРЭС им.А.С.Попова, 1997

Первунинский Н.С. "Рекуррентные соотношения для определителей" Деп.в ДНИТИ №1429-В96, 1996.

Первушшский Н.С. "Полиномиальные преобразования случайных процессов" ;п.в ВИНИТИ №1428-В96, 1996.

Первунинский Н.С. "Полиномиальные безынерционные фильтры 3-й степени" гп.в ВИНИТИ №1430-В96, 1996.

Подписано в печать 12.11.98. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная П.л. 1. Б.л. 0,6. РТП РИО СЗПИ Тираж 70. Заказ 799.



Северо-Западный заочный политехнический институт

На правах рукописи

Первунинский Николай Станиславович

АНАЛИЗ И СИНТЕЗ АНАЛОГОВЫХ СТЕПЕННЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ РАДИОСИГНАЛОВ, ПРИНИМАЕМЫХ В НЕГАУССОВСКИХ ШУМАХ

Специальность 05.12.13. - Системы и устройства радиотехники

и связи

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 1998

Оглавление

Введение..........................................................................................................................................................................................5

Глава 1. Задача оценивания и фильтрации параметров стохастических

процессов..........................................................................................................................................10

1.1. Постановка задачи фильтрации..............................................................................................10

1.2. Классификация фильтров..................................................................................................................14

1.3. Рекуррентные соотношения для определителей............................................22

1.4. Полиномиальные преобразования случайных величин....................28

1.5. Характеристики полиномиальных преобразований согласованных случайных величин................................................................................................36

1.6. Полиномиальный безынерционный фильтр Б-степени....................42

1.7. Выводы................................................................................................................................................................................49

Глава 2. Моментное и кумулянтное описание случайных

процессов............................................................... .'.....:.: ;;гИА........................51

2.1. Модель модулирующей функции и ее спектр................................................51

2.2. Кумулянтные двумоментные функции гармонических

сигналов....................................................................................................................................................................................56

2.3. Моментные функции двумоментного распределения стационарных случайных процессов и их спектры..............................................63

2.4.Моментные кумулянтные функции сигналов с АМ и БАМ..........67

2.5. Спектральные плотности сигналов с АМ и БАМ....................................73

2.6. Выводы..............................................................................................................................................................................79

Глава 3. Степенная полиномиальная фильтрация радиосигналов на

фоне негауссовских помех............................................................................................................................................81

3.1. Степенной полиномиальный инерционный фильтр 8-го порядка........................................................................................................................................................................................81

3.2. Степенные спектральные плотности моментных функций квазимонохроматического сигнала с балансной АМ......................................88

3.3. Модель негауссовского шума................................................... 91

3.4. Оптимальная линейная фильтрация квазимонохроматического сигнала с балансной АМ (8=1) в негауссовском шуме....................................................................................................................................................94

3.5. Оптимальная нелинейная полиномиальная фильтрация степени 8=2 квазимонохроматического сигнала с балансной АМ ................................................................................................. 100

3.6. Выводы........................................................................................ 105

Глава 4. Физически реализуемый фильтр и оптимизация параметров степенных полиномиальных фильтров................................................... 106

4.1. Структурные схемы обобщенных степенных полиномиальных фильтров..........................................................................................................................106

4.2. Оптимизация параметров последовательного обобщенного

степенного полиномиального фильтра......................................................................................109

4.3 Оптимизация параметров параллельного обобщенного

степенного полиномиального фильтра....................................................................................116

4.4. Оптимальный физический стационарный степенной полиномиальный функциональный фильтр (ФССПФФ) Б-го порядка

............................................................................................. 121

4.5. Регуляризация решений в задаче синтеза физического стационарного степенного полиномиального функционального фильтра (ФССПФФ)........................................................................ 131

4.6. Приближенные методы определения регуляризованного семейства решений при синтезе ФССПФФ 8-го порядка......... 137

4.7. Выводы....................................................................................... 143

Глава 5. Имитационное моделирование степенных полиномиальных фильтров на ЭВМ................................................................................... 144

5.1. Структурная схема моделирования степенных полиномиальных фильтров S-ro порядка..........................................................................144

5.2. Способы генерации случайных величин................................. 151

5.3. Генерация негауссовских случайных величин с применением экспоненциальных функциональных преобразователей ......................................................................................................................................................157

5.4. Алгоритм реализующий генерацию массива случайных чисел с эталонным гауссовым распределением........................................................163

5.5. Алгоритм определения параметров генераторов случайных величин............................................................................................. 166

5.6. Алгоритм генерации негауссовских случайных величин...... 170

5.7. Программа Filter реализующая модель полиномиального безынерционного фильтра S-ro порядка......................................................................172

5.8. Выводы...................................................................................... 179

Заключение ............................................................................................. 180

Библиографической список используемой литературы.......................... 183

Приложения..............................................................................................................................................................................187

Введение

Одной из основных задач в радиотехнике является задача фильтрации полезного сигнала из шумового окружения. На возможности продуктивного применения статистических методов в задачах линейной фильтрации впервые было указано в работах Колмогорова А.Н. и Винера Н. [1,2,3]. Последующие работы в области фильтрации детерминированных и стохастических сигналов, выполненные Стратоновичем Р.П., Тихоновым В.И., Калманом P.E. и др. [4,5,6] решают задачу фильтрации с использованием как линейных, так и нелинейных фильтров при рассмотрении мешающих воздействий в виде гауссовских помех типа белого или окрашенного шума, либо в классе марковских моделей сигналов и помех. Вместе с тем во многих прикладных задачах радиосвязи, радионавигации и радиофизики, наблюдаемые случайные процессы и используемые модели сигналов являются существенно негауссовскими.

Традиционным описанием любых случайных процессов является описание в виде многомерной плотности распределения, определение которой для многих реальных процессов практически затруднительно. В работах профессоров Малахова А.Н., Шелухина О.И., Кунченко Ю.П. и др. [7,8,9,10] заложены основы для применения в анализе процессов обработки сигналов в негауссовских шумах конечной последовательности моментных и кумулянтных функций, что позволяет при большом числе членов последовательности получить погрешности описания, сводящиеся к приемлемому минимуму.

Вопросы фильтрации радиосигналов в негауссовом шумовом окружении проанализированы, на наш взгляд, пока недостаточно. Это объясняется как имеющими место аналитическими трудностями, возникающими при использовании традиционной техники описания случайных процессов многомерными функциями распределения, так и сложностями вычислительного характера, связанными с необходимостью применения численных методов решения интегральных уравнений типа рядов Вольтера.

Выполнение исследований в классе степенных операторов позволяет представить нелинейную задачу фильтрации последовательностью линейных

функционалов от степенных преобразований наблюдаемых случайных процессов. Одновременно с упрощением вида операторов фильтрации решение задачи фильтрации представляется через последовательность моментных и кумулянтных функций, параметры которых в практике анализа даже достаточно сложной помеховой обстановки можно получить более просто.

К настоящему времени [11,12,13] не полностью решены и такие вопросы, как описание моделей сигналов различного вида, используемых в радиосистемах, набором моментных функций высших порядков для многомоментной и, в частности, для двумоментной плотности распределения.

Полиномиальные фильтры, использующие степенные преобразования стационарных входных сигналов, строятся с использованием априорно известных кумулянтных и моментных функций высших порядков только для двумоментного распределения. Получение такой информации опытным путем выполняется проще, чем в случае использования многомоментных функций.

Важным для практического построения помехоустойчивых систем фильтрации сложных сигналов является и сравнительный анализ эффективности нелинейных степенных полиномиальных фильтров различной структуры при работе со случайными процессами негауссовского типа. Знание оптимальных характеристик таких систем позволяет переходить к рассмотрению различных квазиоптимальных структур, обеспечивающих построение реальных систем с требуемыми техническими характеристиками.

Актуальность темы обусловлена необходимостью проведения теоретических исследований степенных полиномиальных фильтров радиосигналов, принимаемых на фоне негауссовских случайных мешающих воздействий, определения оптимальных параметров математических и физических фильтров данного типа, оценку и сравнение их по эффективности при работе с различными видами помех.

Целью диссертационной работы является разработка методов анализа и синтеза степенных полиномиальных фильтров, обеспечивающих оптимальную фильтрацию радиосигналов в негауссовских шумах.

Для достижения данной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка математических методов и средств статистического исследования нелинейных степенных полиномиальных фильтров с различными параметрами, решающих задачу фильтрации сигналов в негауссовском шумовом окружении оптимальным образом.

2. Проведение сравнительного анализа эффективности рассматриваемых фильтров с применением аналитического аппарата моментных и кумулянтных функций двумоментного распределения, при описании рассматриваемых моделей радиосигналов и негауссовских случайных шумовых процессов.

3. Решение задачи синтеза физически реализуемых степенных полиномиальных фильтров различных порядков.

4. Разработка методики имитационного моделирования фильтров на ЭВМ и выполнение имитационного моделирования основных характеристик рассматриваемых в работе фильтров.

В работе используется расчетно-аналитический метод, элементы теории вероятностей и математической статистики, метод моментно-кумулянтного описания сигналов и помех, аппарат интегрального исчисления, теория матриц, математическое моделирование, эксперимент.

Научная новизна работы состоит в теоретическом обобщении и создании аналитического метода статистического исследования характеристик нелинейных степенных полиномиальных фильтров различных модификаций, сравнительного анализа их эффективности при фильтрации сигналов в негауссовских шумах, синтезе структуры фильтров с оптимальными параметрами.

В рамках рассматриваемого подхода автором получены следующие новые научные результаты:

- найдены новые рекуррентные соотношения для вычисления определителей матриц высоких порядков, существенно сокращающие объем вычислительной работы и позволяющие получать лаконичные аналитические выражения при анализе степенных полиномиальных фильтров;

- получены аналитические соотношения для описания моментных и кумулянтных функций двумоментного распределения моделей сигналов с различными видами амплитудной модуляции;

- поставлена и решена задача синтеза оптимальных математических стационарных степенных полиномиальных фильтров инерционного и безынерционного типов. Проанализированы их характеристики при работе с негауссовскими шумами с различными параметрами;

- решена задача синтеза физических степенных полиномиальных фильтров различных порядков;

- выполнена регуляризация семейства решений в задаче оптимальной степенной полиномиальной функциональной фильтрации. Рассмотрены методы решения системы интегральных уравнений корректно поставленной задачи полиномиальной фильтрации;

- разработаны алгоритмы математического моделирования случайных процессов с заданными значениями моментов и кумулянтов. Проведено имитационное моделирование на ЭВМ разработанных методов синтеза случайных процессов;

- разработаны алгоритмы построения математических моделей степенных полиномиальных фильтров сигналов в негауссовских шумах. Проведено имитационное моделирование на ЭВМ оптимальных структур полиномиальных фильтров.

Практическая ценность работы состоит в расширении области применения аналитических методов статистического анализа и синтеза радиотехнических систем при решении задачи проектирования степенных полиномиальных фильтров радиосигналов в негауссовских шумах, в том числе:

- найдены кумулянтные функции высших порядков сигналов с амплитудной и балансной амплитудной модуляцией, которые могут быть использованы при анализе преобразований амплитудно-модулированных сигналов в негауссовских шумах;

- получены новые рекуррентные соотношения, позволяющие находить дисперсию ошибки фильтрации без промежуточных вычислений оптимальных ядер степенного полиномиального фильтра, а лишь используя априорную информацию в виде моментно-кумулянтного описания входного сигнала и шума;

- исследована эффективность степенных полиномиальных фильтров сигналов принимаемых на фоне негауссовских шумов, определены оптимальные параметры операторов фильтрации, зависящие от вида помехи и соотношения сигнал-помеха;

- разработанная методика проведения имитационного моделирования на ЭВМ основных характеристик степенных полиномиальных фильтров позволяет проводить сравнительный анализ эффективности работы фильтров при различных параметрах входного сигнала и шума.

Результаты диссертационной работы представляют собой совокупность научно-технических обобщений в области анализа и синтеза степенных полиномиальных функциональных фильтров радиосигналов в шумах негауссовского типа и отвечают задачам теории и практики проектирования радиоаппаратуры систем радиовещания и радиосвязи.

Глава 1. Задача оценивания и фильтрации параметров стохастических процессов

1.1. Постановка задачи фильтрации

В достаточно общем виде задачу фильтрации можно

сформулировать так [14,15,16]: Пусть непосредственному наблюдению

доступен случайный процесс £(1), являющийся детерминированной

функцией Р от полезного сигнала Б^Ц!;)) и некоторой помехи п(1:):

4(1)=Р[8(1Л(1)),п(1)]. (1.1.1)

Полезный сигнал Э^Д^)) является функцией времени Ь и сообщения

представляющего собой некоторый случайный процесс. Отрезок времени 1 в (1.1.1) ограничен интервалом наблюдения 1е[а,Ь], где а,Ь-некоторые константы . Предполагаются априорно известными следующие

сведения относительно наблюдаемого процесса £,(1):

1. известен способ комбинирования сигнала и помехи (задана функция

Н'));

2. сигнал Б^Д^)) является известной функцией аргументов I и ЦО;

3. Известны все необходимые статистические характеристики случайных процессов 1(1) и п(1).

Знание реализации 2,(1),1е [а,Ъ] заменяет априорные статистические сведения о сообщении на апостериорные. Располагая

апостериорными сведениями, в задаче фильтрации решается вопрос о том, какому преобразованию Ф0 следует подвергнуть наблюдаемый процесс 4(1), чтобы получить функцию !(/) = Ф0 [£,(/)], которая может служить наилучшим (по некоторому критерию) описанием реализации случайного

процесса Аф), содержащегося в Щ).

Преобразование Ф0[-] оптимальным образом использует априорные и апостериорные сведения о сигнале и помехе в целях определения сигнала.

Л

Оператор Ф0[] формирует наилучшую оценку !(/) сообщения А,(1) для

любого te[a,b], поучаемую из информации, содержащейся в апостериорной вероятности (условной плотности вероятности) p(X(t)/£(t)) сообщения X(t).

Критерии, по которым ищется наилучшая оценка, могут быть различными. Поскольку при фиксированном t случайный процесс вырождается в случайную величину, то в принципе можно пользоваться критериями вида:

- максимум апостериорной плотности вероятности [17,18,19];

Л

- минимум дисперсии ошибки s(t)=X(t)-X(/) [1,4,21];

- максимум функционального полинома [8].

Данные критерии находят широкое применение в теории оценок параметров сигналов. Однако в задачах фильтрации более подходящими оказываются критерии, характеризующие качество воспроизведения реализации сообщения Ä,(t), te[a,b] в целом для всего рассматриваемого интервала времени. Таким, часто используемым в радиотехнике, критерием является критерий минимума среднеквадратической ошибки фильтрации [1,14,20]:

min , (1.1.2)

где М - символ операции, связанной с вычислением математического ожидания.

В (1.1.2) вероятностное осреднение пр�