автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.11, диссертация на тему:Комплекс программ для качественного исследования механических систем и электрических цепей

Введение.

Глава 1. Использование компьютерной алгебры в задачах моделирования механических систем.;.

1.1. Функция Лагранжа механической системы.

1.2. Уравнения движения механических систем.

1.3. Программная реализация методов моделирования механических систем.

Глава 2. Использование компьютерной алгебры в задачах качественного исследования уравнений движения механических систем.

2.1. Выделение стационарных движений механических систем

2.2. Исследование стационарных движений на устойчивость

2.3. Исследование спектра уравнений движения с помощью первых интегралов.

2.4. Программная реализация методов качественного исследования уравнений движения механических систем.

Глава 3. Использование компьютерной алгебры в задачах моделирования и качественного исследования электрических цепей. .:.

3.1. Об электромеханических аналогиях.

3.2. Использование методов аналитической механики в задачах моделирования и качественного исследования линейных электрических цепей.

3.3. Использование методов аналитической механики в задачах моделирования и качественного исследования нелинейных электрических цепей.

3.4. Программная реализация методов моделирования и качественного исследования электрических цепей.

Диссертационная работа посвящена развитию методов моделирования и качественного исследования механических систем и электрических цепей на основе средств компьютерной алгебры (КА).

Компьютерной алгеброй, символьными, аналитическими вычислениями по отечественной терминологии, принято называть научное направление, связанное с разработкой алгоритмов и программных средств - систем компьютерной алгебры (СКА), - позволяющих использовать компьютер для проведения различных операций над математическими выражениями (раскрытие скобок, приведение подобных, подстановки, факторизация и т.п.), репхения в символьном (аналитическом) виде, например, алгебраических, дифференциальных уравнений, дифференцирования и интегрирования различных функций, разложения их в ряд и т.д.

Несмотря на почти пятидесятилетнюю историю компьютерной алгебры, до сих пор не сложилось общепринятой точки зрения по вопросу: к какой области относится К А - информатике или математике. Публикации по этой тематике появляются как в журналах математических, так и по программированию. По своим задачам, методам, целям КА лежит на стыке нескольких областей. По задачам - разработка алгоритмов и программ - компьютерная алгебра близка к информатике, по целям - использование компьютера для формульных выкладок - к искусственному интеллекту. КА использует методы различных математических дисциплин: алгебры, математического анализа, дискретной математики, дифференциальных уравнений, вычислительной математики и многих других.

В научную ДИСЦИПЛИН}- компьютерная алгебра выросла из идеи использования вычислительных машин для выполнения различных преобразований алгебраических выражений и алгебраические алгоритмы, исторически, образуют ядро КА и находят применение для решения не только алгебраических задач. Для получения "точного" решения многих неалгебраических задач, таких как задачи математического анализа, дифференциальных уравнений и др., в КА, в основном, применяются алгебраические методы. Решение в .этом случае достигается, как правило, посредством некоторой алгебраизации задачи (см., например. 11-А3

Поскольку непосредственный перенос на компьютер классических методов алгебры и других математических методов, создававшихся для вычислений "вручную", не всегда является эффективным компьютерная алгебра занимается модификацией существуюш;их и разработкой новых математических алгоритмов. Алгоритмы К А описаны частично в [1]-[3]. Большая часть рассредоточена в настоящее время в трудах конференций, в журнальных статьях.

СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ И ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ ИХ РА ЗВИТИЯ. Первые программы, позволяющие использовать компьютер для преобразования алгебраических выражений, появились в нашей стране и за рубежом примерно в одно и тоже время - в начале 50-х годов XX века. Обзоры [4]-[б] содержат ссылки на программы для дифференцирования функций в символьном виде, созданные независимо X. Кариманьяном и Дж. Ноланом в США в 1953 г. В нашей стране - это, например, работы Канторовича Л. В. и его учеников (см. [7] и библиографию к [8]).

В середине 60-х годов появляются первые программные системы. Из зарубежных - РМ, MATHLAB-68, FORMAC, SYMBAL и др. (см. [6]). и если РМ была предназначена для символьных операций с полиномами и рациональными функциями многих переменных, то, например, MATHLAB-68 обладала достаточно широким спектром символьных вычислений, была способна выполнять дифференцирование, разложение полиномов на множители, вычисление неопределенных интегралов, решать дифференциальные уравнения с символьными коэффициентами. Из отечественных систем этого периода можно назвать полиномиальную систему алгебраических вычислений Смирновой Т.М. [8], интерпретируюидую систему для работы с многочленами Чубарова М.А. [9] и некоторые другие (см., например, [13]).

Семидесятые годы - середина 80-х - период активной разработки и создания СКА (систем аналитических вычислений (CAB) в отечественной терлшнологии). Этому способствовало совершенствование методов компьютерной алгебры, широкое внедрение и использование вычислительной техники, языков программирования (FORTRAN, ALGOL, PL/1, LISP и др.), в том числе и специально разработанных для символьных вычислений (Formula ALGOL (см. [6]). РЕФАЛ [11 . АНАЛИТИК [12] и т.д.), методов программирования (структурного, модульного, пошаговой детализации и т.п.). а также появление активных групп исследователей в области К А в нашей стране и за рубежом, проведение семинаров, конференций.

В США в это время создаются группы по символьным алгебраическим преобразованиям при Американской ассоциации вычислительных машин (АСМ), Обпдестве по индустриальной и прикладной математике (SIAM). Они издают бюллетени, в которых сообщают обо всех событиях и разработках КА, проводят симпозиумы, конференции.

В Европе создаются исследовательские группы при различных университетах, научно-исследовательских институтах. Европейскими организациями проводится ряд конференций по К А, например, UEROSAM 1974 (Стокгольм), UEROSAM 1979 (Марсель). Труды Европейских конференций публикуются издательством Springer-Verlag в серии Lecture Notes in Computer Science.

В нашей стране появляются активные группы в Москве, Ленинграде, Харькове, Киеве, Новосибирске, Томске, Иркутске и других городах. Проводятся Всесоюзные семинары и конференции: в Харькове в 1972 г. [14], Дубне в 1980, 1983, 1985 [15]-[17], Горьком в 1984 18], Вильнюсе в 1984 [19] и др.

Результатом было появление огромного числа систем компьютерной алгебры как специализированных (ориентированных на решение задач какой-то одной прикладной области), так и обгцего назначения (предназначенных для решения относительно широкого круга задач).

Из систем обпдего назначения наибольшую известность в этот период приобрели REDUCE. MACSYMA, MATHLAB, SCRATCHPAD (см. [4]-[6]). Среди отечественных - АВТО-АНАЛИТИК, АЛГЕБРА-0, САВАГ (см., например, [10, 13, 15]). Следует отметить оригинальную разработку коллектива Института кибернетики АН УССР, создавшего под руководством В.М. Глушкова аппаратную реализацию языка для аналитических вычислений и систему аналитических вычислений АНАЛИТИК на компьютерах МИР-1, МИР-2 [20], впоследствии также МИР-3, СМ-1410, ЕС-2680 [21, 22 .

СКА данного периода представляли собой уже достаточно сложные программные системы, структура которых включала метод представления нечисловых данных, язык, позволяющий манипулировать с ними, библиотеку функций для выполнения как необходимых базисных алгебраических операций, так и реализующих различные математические методы. СКА могли работать с полиномами, рациональными функциями, степенными и тригонометрическими рядами, матрицами, тензорами, выполнять в символьном виде дифференцирование, интегрирование некоторого класса функций, решать системы линейных уравнений и т.п. Общение с системой осуществлялось в пакетном и (или) диалоговом режиме.

Развитие вычислительной техники, методов программирования в 80-90-е годы также нашло отражение в СКА. Широкое внедрение персональных компьютеров, рабочих станций с развитым пользовательским интерфейсом привело к переносу некоторых хорошо известных систем компьютерной алгебры (напр., REDUCE, MACSYMA) на эту технику и появлению новых систем, специально разработанных для персональных компьютеров (напр., muMATH [23]). Для последних характерен дружественный пользовательский интерфейс, широкие графические возможности.

Другой особенностью современных СКА является стремление сделать общение пользователя с системой более естественным, дать ему возможность строить решение задачи с помощью понятий соответствующей предметной области. Для этого в язык ряда современных СКА вводятся понятия абстрактных типов данных, идеи объектно-ориентированного программирования, что позволяет расширять основные конструкции языка системы, определять данные с требуемыми свойствами и операциями над ними. Примером СКА. входной язык которой базируется на понятиях абстрактных типов данных. яв.ляот-ся SCRATCHPAD Н (см. обзор [5]).

Одну из наиболее серьезных проблем КА представляет проблема "разбухания" промежуточных выражений в процессе вычисления, что приводит к малой эффективности символьных вычислений. В ряде современных СКА решить эт}Л задачу пытаются за счет распараллеливания вычислений [24]-[27 .

Обсуждаются также идеи создания интеллектуальных СКА, способных осупдествлять планирование решения задачи, основанное на анализе исходных данных, доступных математических знаний и промежуточных результатов (см. [28, 29] и обзор [5]).

Современные СКА характериззАются широким спектром функциональных возможностей. Они охватывают различные разделы алгебры, математического анализа, дифференциальных уравнений, дискретной математики, теории чисел и многих других. Например, одна из известных в настоящее время систем компьютерной алгебры MAPLE [48] наряду с операциями, являющимися для СКА базовыми - преобразование математических формул (упрощение, подстановки, факторизация и т.п.), полиномиальная алгебра, точная арифхмети-ка над рациональными и целыми числами произвольной величины, арифметические операции над вещественными числами произвольной точности и т.д. - содержит библиотеки программ для решения задач по теории чисел, математической статистике, математической логике, линейной оптимизации, теории графов, комбинаторике и др.

Широкий спектр функциональных возможностей СКА делает их привлекательными для приложений. СКА находят применение в различных областях науки (математика, механика, физика, химия, астрономия и т.п.), технике, обучении (см. [4],[30]-[33], [49]) и др.

ПРИМЕНЕНИЕ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ АЛГЕБРЫ В МЕХАНИКЕ. Приложения К А всегда играли важную роль в последней. Своими математическими возможностями многие известные СКА во многом обязаны успехам, достигнутым при помощи КА в таких областях как небесная механика, общая теория относительности, квантовая электродинамика [4, 6]. Непосредственно из задач физики высоких энергий возникла система REDUCE. Различные приложения компьютерной алгебры всегда служили и служат для нее источником новых идей, алгоритмов. Поэтому во все ведущие конференции по К А включаются секции по ее применению. Проводятся конференции, посвященные исключительно приложениям КА: IMACS (напр., Прага-98, Мадрид-99, Санкт-Петербург-2000), CASC (напр., Санкт-Петербург-98, Мюнхен-99, Самарканд-2000) и др.

Астрономия и механика стали одними из первых областей, где начали использоваться символьные вычисления. Ряд систел/г компьютерной алгебры возник в связи с попытками механизировать громоздкие алгебраические расчеты в небесной механике. Зарубежные СКА, например, МАО, TRIGMAN, CAMAL (см. [4, 6]), отечественные AMC, АЛИТА, POLY, УПП, СТР (см. [13, 15]) создавались специально для работы с рядами Пуассона, Фурье, Чебышева и т.п.

К первым задачам в области механики, при решении которых использовались символьные вычисления, принадлежит задача получения уравнений движения сложных механических систем, моделируемых системами связанных твердых или деформируемых тел (см., например, библиографию к [34]). Возникающие при решении задачи "вручную" трудоемкие аналитические выкАтадки в чигш тс.хничсч-ком плане становились препятствием к рассмотрению более сложных моделей.

Не менее сложной задачей по громоздкости вычислений представляется качественный анализ построенных уравнений движения. Громоздкие операции возникают, например, при выделении стационарных решений уравнений движения, получении условий их устойчивости, исследовании бифуркаций и т.п.

Тематика, связанная с компьютерной реализацией методов моделирования и анализа слолхных .механических систем, в 70-80-е годы нашла отражение в программных разработках ДИНАМИКА [35, 36

МЕХАНИК [37], НОРМАЛИЗАЦИЯ [38], в работах Бячкова А.Б., Ве-личенко В.В., Городецкого О.М., Гутника С.А., Долгова Г.А., Ефимова Б.Г., Климова Д.М. и Руденко В.М., Коноплева В.А., Кульветис Г.П. и Кульветене Р.В., Чубарова М.А., Шульгина A.M. (см. [13 -19],[39, 40]) и многих других.

Основой для многочисленных программных разработок послужила система REDUCE. На языке этой системы создавались отдельные программы и комплексы программ для моделирования и исследования механических систем.

В перечисленных работах для построения уравнений движения использовались методы аналитической механики, вариационные принципы, основные теоремы механики и т.п. Анализ построенных уравнений проводился численно илп аналитически. Использовались приближенные и численные методы решения уравнений. Методы качественной теории ОДУ применялись для классификации стационарных решений, исследования их на устойчивость и т.д.

С помош;ью созданных программных систем был решен ряд достаточно сложных задач (см., напрп.мер, [19, 39, 74]). Тем не менее тематика, связанная с моделированием и исследованием движения механических систем с применением КА, не потеряла своей значимости. Многие проблемы, касаюш:иеся построения и анализа сп.лшольных (аналитических) моделей с помощью компьютера, остались. Одно из центральных мест среди них занимает проблема разработки и эффективной реализации алгоритмов аналитических вычислений.

Вопросы моделирования и исследования систем твердых тел с применением аналитических вычислений в 90-е годы нашли отражение в работах Бячкова А.Б., Величенко В.В., Коноплева В.А. Погорелова Д., Гутника С.А. (см. [41]-[45]) и других. Исследованию гамильтоновых систем с помощью К А посвящены работы [46, 47

Многие "старые" СКА прекратили свое супдествование. появилось большое число новых систем, например, AXIOM, DERIVE, уже упоминавшаяся MAPLE, MATHEMATICA, MuPAD, новые версии REDUCE, MACSYMA (см. обзор [49]), из отечественных - АНАЛИТИК [52], FABULA [53], в которых нашли отражение современные методы программирования, более эффективные алгоритмы компьютерной алгебры. Все это заставляет многих исследователей обратиться к прежним задачам, применяя к ним современные методы исследования.

Предлагаемая работа представляет собой продолжение и развитие идей, которые лежат в основе пакетов прикладных программ ДИНАМИКА и МЕХАНИК. Объединяющей здесь служит идея использования символьных вычислений для моделирования и исследования движения механических систем. Общей является также .методика анализа систем.

В настоящей работе предпринята попытка, исходя из накопленного за прошедшее десятилетие опыта применения различных СКА. подойти к задаче компьютерного моделирования и анализа механических систем с новых позиций, опираясь на результаты, полученные в теории К А, проектировании и разработке СКА: развитые методы преобразования математических выражений, решения задач линейной и полиномиальной алгебры, дифференцирования, интегрирования, вычисления ПОД и т.д.; развитые входные языки, которые позволяют пользователю вести общение с СКА в форме, близкой к обычному математическому языку, создавать собственные программы, расширяющие возможности системы; широкий спектр структур данных, допускающих описание достаточно сложных объектов исследования и т.п.

Возможности современных СКА позволяют реализовывать на компьютере достаточно сложные методы моделирования и исследования механических систем со значительно меньшими трудозатратами, чем при использовании традиционных средств программирования, например, языков Си, Паскаль, Фортран и т.п., что, в свою очередь, дает возможность уделять больше внимания содержательной стороне задачи, вводить в рассмотрение большее число объектов.

Непосредственный перенос на компьютер классических методов моделирования и исследования механических систем не всегда является эффективным, поэтому предпринимались попытки приспособить существующие алгоритмы к компьютерной реализации (см. 35]-[38],[44]). Эта задача нашла отражение и в настоящей работе.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ. Целью диссертационной работы служит программная реализация на основе К А методов моделирования и качественного исследования механических систем.

В качестве механической рассматривается система связанных абсолютно твердых тел и материальных хичек. находящаяся под действием потенциальных и непотенциальных сил. Для описания движения такой системы используется формализм Лагранжа, Гамильтона, Рауса. Качественный анализ уравнений движения проводится с помощью первых интегралов исследуемой системы и по 1-му приближению.

В круг исследуемых объектов вводятся также линейные и нелинейные электрические цепи, моделирование и анализ которых осуществляется методами, используемыми для механических систем.

Для компьютерной реализации .методов людолироваштя и качественного исследования механических систем и электрических цепей используются средства СКА MATHEMATICA версий 3.0/4.0 для Windows [50, 51]. На языке этой системы разработан комплекс про-грахмм, позволяющий решать указанные задачи в символьном виде на компьютере (автоматически или с вмешательством человека в процесс решения).

Работа состоит из трех глав, Заключения и Приложения.

В первой главе приведены алгоритмы моделирования механических систем: построение функции Лагранжа, уравнений движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, Гамильтона, Рауса. Обсуждается их компьютерная реализация, приводятся примеры моделирования конкретных механических систем.

Вторая глава содержит описание ряда методов качественного анализа уравнений движения: выделение стационарных решений на основе теоремы Рауса-Ляпунова и исследование их на устойчивость на основе указанной теоремы и теоремы Ляпунова об устойчивости по 1-му приближению, исследование спектра системы с помощью первых интегралов. Обсуждается компьютерная реализация перечисленных методов, приводятся примеры исследования конкретных механических систем.

В третьей главе приведены системы электромеханических аналогий, описаны алгоритмы моделирования и качественн(Л о анализа линейных и нелинейных электрических цепей. Обсуждается компьютерная реализация указанных методов, приводятся примеры исследования конкретных электрических цепей.

В Заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Приложение содержит примеры работы программ моделирования и качественного анализа механических систем и электрических цепей.

Результаты диссертации докладывались на междуьицАодных конференциях. Основное содержание работы опубликовано в виде статей 541-[621.

Результаты работы описанных программ - списки Р, 2а, Ус -записываются в БД и служат исходными данными для программы построения уравнений состояния нелинейной электрической цепи.

Вывод УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ КЬС-ПЕПЖ. На основе списков Р, и г'с по формулам (3.3.1), (3.3.2) формируются выражения для функции смешанного потенциала и уравнений состояния цепи. Построенные уравнения сохраняются в БД.

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ РЬС-ЦЕПЕЙ НА УСТОЙЧИВОСТЬ. Описываемая здесь программа по исходным данным, характеризующим состояние исследуемой электрической цепи, осуществляет проверку условий теорем 1-4 (§3.3). Предполагается, что по известным уравнениям состояния цепи предварительно получена оценка числа ее положений равновесия.

Исходными данными для программы служат: (1) Р - смещан-ный потенциал электрической цепи, (2) VI, - списки переменных состояния цепи, (3) уравнения состояния цепи.

На первом шаге работы программы выполняется анализ входных данных: (1) если Р = и УС ф г£ = 0, то такое описание соответствует ЕС-цепи и здесь применяется Теорема ц (2) если Р = (Р, (}, (}} ж Ус = 0, А1 ф 0) то такое описание соответствует РРцепи и здесь применяется Теорема 2; (3) если Р = (Р, С, Ро} ж Ус Ф 0, 11 ф 0, то такое описание соответствует РлС-цепи.

В последнем случае проводится анализ структуры функций Р и С: (а) если Р- квадратичная форма относительно А1,., гл, то применяется Теорема 3; (Ь) если С - квадратичная форма относительно VI,.,Уд, то применяется Теорема 4; (с) ни одно из перечисленных условий не выполнено. Последнее означает, что описание (списки Р, Ас), характеризующее состояние электрической цепи, не удовлетворяет ни одной из теорем. Работа программы завершается.

Проверка условий теорем 1-4 реализована в виде отдельных процедур. Назовем их Т1,Т2,Тг,Т1 соответственно.

Тх (теорема Гг реализована аналогично). По списку ((}, С, (}} формируется выражение для функции смешанного электрической потенциала цепи Р := —О, по уравнениям состояния - матрица С, ж проводится их анализ на положительную определенность.

В соответствии с алгоритмом построения смешанного потенциала (§3.3), Р есть функция вида

Р = -Л + -vA + Е Г fi{v)dv, где а, А - постоянные матрицы s х 1 и s х 5 соответственно, и анализ на положительную определенность Р сводится к исследованию на положительную определенность матрицы А и функции F = T,i /о' fi{v)dv.

Для исследования матриц Л и С на положительную определенность применяется критерий Сильвестра, который позволяет получить необходимые и достаточные условия положительной определенности матриц (квадратичных форм). Программная реализация указанного критерия выполнена в виде процедуры Silvester (см. §2.4).

Положительная определенность F следует из свойств функций fi{v) (см. [114]): функции fi{v) определены и непрерывны при всех значениях V, /¿(0) = О иfi{y)v > О, интегралы JQ°fi{v)dvпредставляют собой расходящиеся функции.

Результатом работы описанной процедуры служат системы неравенств вида (AiA > О, .,Д5Л > 0} и (AiA > О,., ААА > 0}, полученные с помощью процедуры Silvester для матриц А ж С соответственно. Здесь а/л, АгЛ - 1-е диагональные миноры матриц А, С соответственно. Анализ неравенств может быть проведен при помощи программы 89

Тз (Теорема Т4 реализована аналогично). Здесь проверяются условия Теоремы 3, налагаемые на матрицы L, Си функции F,G,PQ.

По уравнениям состояния цепи формируются матрицы L, С.

Условия их положительной определенности получаются с помощью процедуры Silvester и представляют системы неравенств вида: AL = {Ai, > 0,., а.л > 0}, Ас = {AiA > о,.,а,л > 0}, где А/,, а/л - 1-е диагональные миноры матриц L, С соответственно.

Симметрические свойства L, С следуют из алгоритмов построения смешанного потенциала и уравнений состояния цепи, согласно которым матрицы L, С диагональные.

Как было получено ранее, функция F представляет собой квадратичную форму относительно ii,., v вида: где А - постоянная матрица г х г, - постоянная матрица 1 х г.

По функции F формируется матрица А и исследуется на положительную определенность, проверяются ее симметрические свойства.

Условия положительной определенности матрицы получаются с помощью процедуры Silvester и представляют систему неравенств вида: АА = (AiA > О,., ЛЛ.Л > 0}, где Алл - 1-е диагональный минор матрицы А.

Симметрические свойства матрицы А проверяются при помощи условия: aim = Amh если / ф т.

Следующим гпагом выполняется проверка условия 3 теоремы.

Функции B(v) теоремы здесь соответствует функция - G(v). Последняя, в соответствии с алгоритмом построения смешанного потенциала, имеет вид

GA-G = ~Fv + AvABv + Е /о" fiAdvy где B,W - постоянные матрицы s х s и 1 х s соответственно (описание свойств функций fi{vi) см. процедуру Ti), и проверка условия 3 теоремы сводится к исследованию на положительную определенность функции G.

Анализ функции G на положительную определенность проводится аналогично функции Р в процедуре Ti. Результатом является система неравенств вида Ал = {AiA > о,., Алл > 0}, где Алл - l-ik диагональный минор матрицы В.

Если хотя бы одно из проверяемых условий не выполнено, работа программы завершается. Проверка условия 4.

1) Вычисляется L := Ьл. Так как L - положительно определенная и диагональная матрица, то Lu := У/ЬЦ {I = 1,. ,г) при равенстве нулю остальных элементов.

2) Аналогично вычисляется матрица С '.— С 2 ; Слла — 1/\fGmra — 1,., s) при равенстве нулю остальных элементов.

3) Так как А - положительно определенная, то можно получить матрицу А\— А'А. Здесь используются средства языка MATHEMATICA для вычисления обратной матрицы (функция /ntierse (см. [51])).

4) Используя функцию PQ — аау> найдем матрицу 7 размера г х s. Здесь применяются подстановки в математические выражения языка MATHEMATICA: 7ЛЛ := (PQ - A'o{,.->o}){.,.„->i}

5) Формируется матрица К := ЬА'уС и вычисляется ||РГ| .

Согласно [114], ||РГ|р = тахАА.-ц(Кх, Кх). Использование свойства ограниченности положительно определенной функции на ограниченном множестве позволяет свести задачу вычисления матричной нормы ПЯЛ к задаче исследования квадратичной формы х'АК'АКх на положительную определенность.

Здесь используется процедура Silvester, которая по заданной матрице К = К'АК формирует систему неравенств вида = -AAiA > О,. ., AsjA > 0}, где А/А - 1-й диагональный минор матрицы К.

Результатом работы описанной процедуры являются системы неравенств ДА, А а, А a, А a, А a, которые представляют условия, налагаемые на характеристики исследуемой электрической цепи. Анализ полученных неравенств может быть проведен при помогци программы [89 .

Программная реализация алгоритмов построения лагранжиана линейной и смешанного потенциала и уравнений состояния нелинейной электрической цепи вьшолнена, в основном, при помощи списковых операций языка MATHEMATICA. Использовались возможности построения рекурсивных программ в MATHEMATICA. Так в виде рекурсивной выполнена программа получения лагранжиана цепи методом контурных токов, что упрощает программирование обработки списков, представляющих описание индуктивно связанных электрических цепей.

Для вывода уравнений состояния нелинейной цепи применялись средства для вычисления производных функций в символьном виде, операции над математическими выражениями, списками.

Для программной реализации теорем 1-4 использовались средства матричной алгебры СКА MATHEMATICA: умножение матриц, вычисление определителей, обратных матриц и т.п., а также операции над списками, математическими выражениями, подстановки и др.

Программы построения функций Лагранжа, Релея линейной ЙЬС-цепи, смешанного потенциала, вывода уравнений состояния и исследования на устойчивость нелинейной RLC-цепи объединены в единый пакет Circuits с помощью операторов языка MATHEMATICA BeginPackage и EndPackage. Обращение к функциям пакета осуществляется по соответствующему имени. Приведем пример работы с пакетом.

Пример.

-Ccircuits.m; (* загрузка пакета *) Построение лагранжиана линейной цепи *) LoopMethod; (* методом контурных токов *)

NodeMethod; (* методом узловых,потенциалов *) Для нелинейной цепи *) MixedPotential; (* построение смешанного потенциала *)

EquationsCircuit; (* вывод уравнений состояния *) Theorems; (* исследование на устойчивость *)

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Результатом настоящей работы следует считать разработанный на языке системы компьютерной алгебры МАТНЕМАТ1СА комплекс программ для моделирования и качественного исследования механических систем и электрических цепей и решенный с помощью указанного комплекса ряд конкретных задач.

В качестве механических рассматриваются системы связанных твердых тел и материальных точек, находящиеся под действием потенциальных и непотенциальных сил. Все связи голономные. Системы имеют структуру незамкнутой кинематической цепи или дерева.

Описание движения механических систем проводится на основе формализма Лагранжа, Рауса, Гамильтона: используются функция Лагранжа и уравнения движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, Гамильтона, Рауса. Для качественного анализа уравнений движения применяются методы качественной теории ОДУ, устойчивости движения.

В качестве электрических рассматриваются линейные и нелинейные (принадлежащие классу "полных") цепи, моделирование и качественное исследование которых выполняется перечисленными выше методами.

Для решения указанных задач с помощью компьютера и исследования возможности и эффективности применения здесь средств компьютерной алгебры на языке СКА МАТНЕМАТ1СА разработан комплекс программ, который позволяет в символьном виде: - построить функцию Лагранжа механической системы по ее геометрическому описанию;

- получить уравнения движения механической системы в форме уравнений Лагранжа, Гамильтона, Рауса (для систем с "вырожи II с» и и денной кинетической энергией программно реализован обобщенный гамИльтонов формализм Дирака);

- выделить стационарные движения механической системы (используется общая схема Рауса-Ляпунова, в том числе и для систем с циклическими интегралами);

- провести исследование стационарных движений на устойчивость на основе теоремы Рауса-Ляпунова;

- провести исследование стационарных движений на устойчивость по 1-му приближению;

- провести исследование спектра линейных систем уравнений движения с помощью линейных и квадратичных первых интегралов;

- построить функцию Лагранжа, Релея линейной электрической цепи по графу цепи;

- получить уравнения состояния линейной электрической цепи в форме уравнений Лагранжа 2-го рода, Гамильтона; Рауса и провести их качественный анализ: выделение стационарных репюний и исследование их на устойчивость, анализ спектра уравнений с помощью линейных и квадратичных первых интегралов;

- построить смешанный потенциал нелинейной электрической цепи по графу цепи;

- получить уравнения состояния нелинейной электрической цепи и провести исследование стационарных решений на устойчивость.

С использованием перечисленных программ решен ряд задач механики и теории электрических цепей. В частности,

- получены функция Лагранжа и уравнения движения в форме уравнений Лагранжа 2-го рода для механических систем, в качестве которых рассматривались цепочка п [п = 1,.,4) гироскопов Лагранжа и система п (п = 1,.,50) гироскопов Лагранжа типа "ёж", находящиеся под действием поля сил постоянной тяжести, симметричный спутник с присоединенной системой 2-х гироскопов Лагранжа, совершающий движение по круговой орбите под действием сил центрального ньютоновского поля тяготения (для геометрического описания первой из перечисленных механических систем в качестве системы осей, связанных с телом, применялись полуподвижные оси, кинематических переменных - углы Крылова, для геометрического описания 2-х последних использовались соответственно подвижные оси и углы Эйлера);

- для цепочки п (п = 1,. ,3) гироскопов Лагранжа построены функция и уравнения Рауса, для спутника с присоединенной с помощью вязкоупругого подвеса точечной массой, совершающего движение по круговой орбите под действием сил центрального ньютоновского поля тяготения получены функция и уравнения Гамильтона;

- получены функция и уравнения Гамильтона в плоской задаче 3-х тел с учетом лучевого взаимодействия (применялась схема Дирака построения функции Гамильтона для систем с "вырожденной" кинетической энергией);

- в задаче анализа бифуркаций в окрестности семейства перманентных вращений волчка C.B. Ковалевской вокруг вертикальной ff м оси "ж" получены множества стационарных решений системы, ответвляющиеся от указанного;

- в задаче исследования устойчивости по первому приближению перманентных вращений системы п (п = 1,., 2) гироскопов Лагран-жа в поле сил постоянной тяжести получены как необходимые, так и достаточные условия устойчивости в форме условий Рауса-Гурвица и Сильвестра соответственно;

- для линеаризованных в окрестности регулярной прецессии уравнений движения гиростата на ноже и механической системы с гироскопическими связями получены соответственно линейные и квадратичные с симметрической матрицей первые интегралы; для выделенных квадратичных интегралов получены необходимые и достаточные условия знакоопределенности в форме неравенств Сильвестра;

- методом контурных токов и узловых потенциалов получены функция Лагранжа и уравнения состояния в форме уравнений Ла

2U U и U /

-го рода многозвенной линейной электрической цепи (цепь состоит из п (п = 10,20,50,100) последовательных контуров); построены функции и уравнения Гамильтона, Рауса для случая п = 10;

- для линейной 10-ти контурной цепи указанного вида получены необходимые и достаточные условия устойчивости в форме условий Рауса-Гурвица;

- построен смешанный потенциал нелинейной многозвенной электрической цепи (цепь образована п (п = 5,10, 50,100) последовательными контурами); получены условия устойчивости для 5-ти контурной цепи указанного вида.

Полученные результаты сопоставлялись с известными.

Вычисления проводились на Pentium-lOO/Celeron-500 (32 Mb и 64 Mb соответственно). Использовалась СКА МАТПЕМАТ1СА 3.0/4.0 для Windows.

1. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.:Мир, 1991, 350 с.

2. Бухбергер В., Коллинз Дж., Лоос Р. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, 391 с.

3. Дэвенпорт Дж. Интегрирование алгебраических функций. М.: Мир, 1985, 190 с.

4. Гердт В.П., Тарасов СВ., Ширков Д.В. Аналитические вычисления на ЭВМ в приложении к физике и математике //УФН, Т.130, Вып. 1, с.113-147.

5. Абрамов С.А., Зима Е.В., Ростовцев В.А. Компьютерная алгебра //Программирование. 1992. N5, с.4-25.

6. Хюльзен Я., Калме Ж. Системы компьютерной алгебры //В кн.: Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос Р. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, с.277-307.

7. Канторович Л.В. Об одной математической символике, удобной при проведении вычислений на машине //ДАН, Т.113, N4, 1957, с.738-741.

8. Смирнова Т.Н. Проведение на ЭВМ М-20 полиномиальных выкладок с помощью прорабов. Л.: Наука, 1967, 143 с.

9. Чубаров М.А., Золотарева Г.И., Сонина Э.Б. Интерпретирующая система ИСМ для операций над многочленами //Цифровая и вычислительная техника и программирование. М.: Советское радио. 1969, с.138-143.

10. Арайс Е.А. Система Авто-Аналитик //Программирование. 1985. N1, с.50-56.

11. Базисный Рефал и его реализация на вычислительных машинах (методические рекомендации). М.: ЦНИПИАСС, Вып. У-40, 1977, 258 с.

12. Глушков В.М., Гринченко Т.А., Дородницына A.A. и др. АНАЛИТИК-74 //Кибернетика. 1978, N5, с.114-147.

13. Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Брумберг В.А. и др. Системы аналитических вычислений на ЭВМ (аналитические пакеты прикладных программ). М.: Информатор N1, 1983, 65 с.

14. Вычислительная математика и вычислительная техника. Всесоюзный семинар. Харьков: ФТИНТ АН УССР, N3, 1972, 152 с.

15. Аналитические вычисления на ЭВМ'и их применение в теоретической физике. //Материалы Рабочего совещания по системам и методам аналитических вычислений на ЭВМ и их применению в теоретической физике. Дубна: ОИЯИ, 1980, 187 с.

16. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. //Материалы Совещания по системам и методам аналитических вычислений на ЭВМ и их применению в теоретической физике. Дубна: ОИЯИ, 1983, 260 с.

17. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике. //Труды Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике. Дубна: ОИЯИ, 1985, 420 с.

18. Системы для аналитических преобразований в механике //Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Горький, 1984, 147 с.

19. Теория и практика автоматизированных систем аналитических преобразований. //Тезисы докладов республиканской научной конференции. Вильнюс, 1984, 93 с.

20. Аналитик. Справочное пособие. Киев: Наукова Думка, 1987, 144 с.

21. Трошева М.В., Ефимов Г.В., Самсонов В.А. Эволюция использования компьютеризированных аналитических вычислений в задачах механики. М. Препринт N16-95, 1995, 44 с.

22. Берман B.C., Климов Д.М. Система muMATH muSIMP для символьных вычислений на персональном компьютере. М.: Препринт N289, 1987, 31 С.

23. Зима Е.В. Построение параллельных циклических программ в системах компьютерной алгебры //Программирование. 1992. N5, с.63-69.

24. Ganzha V.G., Vorozhtsov E.V. Parallel Implementation of Stability Analysis of Difference Scheme with Mathematica //Extended Abstracts of International Conference Computer Algebra in Scientific Computing, St.Peterburg, 1998, pp.57-58.

25. Klaus и we Parallel Standard Bases Computations //Proceedings of International Workshop. New Computer Technologies in Control Systems. Pereslavl-Zalessky, 1995, p.69.

26. Нойен В. Некоторые примеры параллельных вычислений с использованием системы Reduce //ФПМ, Т.5, Вып.З, 1999, с.747-756.

27. Calmet J., Tjandra I.A. On the Design of an Artificial Intelligence Environment for Computer Algebra Systems //IV Международное совещание по аналитическим вычислениям на ЭВМ в физических исследованиях. Дубна: ОИЯИ, 1990, с. 17.

28. Andrianov S.N. Computer Algebra Application for Dynami-cal Systems Modeling Mathematica //Extended Abstracts of International Conference Computer Algebra in Scientific Computing, St. Peterburg, 1998, pp. 12-19.

29. Хюльзен Я., Калме Ж. Применения компьютерной алгебры //В кн.: Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос Р. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, с.308-325.

30. Гердт В.П., Григорьев Д.Ю. Обзор: Алгоритмы, системы и применения компьютерной алгебры //В кн.: Бухбергер Б., Коллинз Дж., Лоос Р. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.: Мир, 1986, с.373-383.

31. Alkiviadis G. Akritas, Zamir Bavel Classical Mathematics with Mathematica //Вестник Тамбовского университета, Т.4, Вып.4, 1999, с.437-451.

32. Vorotnitski Yu.I., Zemskov S.V., Kouleshoff A.A., Pazniak Yu.V. Electronic Course of Higher Mathematics on the Base of Mathematica //Proceedings of 2nd International scientific conference, Minsk, Belarusian state univ., 1999, p.129-131.

33. Ефимов Г.Б. Аналитические выкладки в цикле вычислительного эксперимента //Материалы Совещания по системам и методам аналитических вычислений на ЭВМ и их применению в теоретической физике. Дубна: ОИЯИ, 1983, с.58-63.

34. Бурлакова Л.А., Почтаренко М.В. Новые возможности в пакете символьных вычислений для решения задач общей механики //Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. Новосибирск: Наука, 1986, с.105-112.

35. Банщиков А.В., Бурлакова Л.А., Иванова Г.И., Симонов СА. Пакет символьных вычислений МЕХАНИК. Задачи и структура //Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. Новосибирск: Наука, 1986, с.96-105.

36. Новиков М.А. Нормализация автономных систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ //Пакеты прикладных программ. Технология разработки. Новосибирск: Наука, 1984, с. 155-160.

37. Грошева М.В., Климов Д.М. Опыт использования аналитических преобразований на ЭВМ в задачах механики. //Препринт N296. М., 1987, 39 с.

38. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989, 215 с.

39. Аналитические преобразования на ЭВМ в автоматизации научно-исследовательских работ //Тезисы докладов Всесоюзной конференции. Вильнюс, 1990, 91 с.142! Computer Algebra Applications //Extended Abstracts of Contributions. Kiev, Ukraine, 1993, 55 p.

40. Gutnik S. Application of Computer Algebra Methods for Stability Analysis of Symmetrical Satellites Systems //Abstracts of 6th IMACS International IMACS Conference on Applications of Computer Algebra, St.Peterburg, 2000, pp.44-45.

41. Pogorelov D. On Computer-Aided Modeling of Multibody Systems with many Degrees of Freedom //Proceedings of International Workshop. New Computer Technologies in Control Systems. Pereslavl-Zalessky, 1995, p.57.

42. Yaskevich A. Algorithms for Generation of Efficient Rigid Body Systems Motion Equations in Symbolic Form //Proceedings of International Workshop. New Computer Technologies in Control Systems. Pereslavl-Zalessky, 1995, p.75.

43. Vladimir P. Gerdt, Soso A. Gogilidze Constrained Hamiltonian Systems and Grobner Bases //Proceedings of the Second Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Munich, 1999, Springer, pp. 139-146.

44. Гребеников E.A., Козак-Сковородкина Д., Яку бак М. Методы компьютерной алгебры в проблеме многих тел. М.: Изд-во РУДН, 2001, 213 с.

45. Говорухин В.П., Цибулин В.Н. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997, 208 с.

46. Васильев Н.Н., Гердт В.П., Еднерал В.Ф., Ширков Д.В. Компьютерная алгебра в научных и инженерных приложениях //Программирование. 1996. N6, с.34-47.

47. S. Wolfram Mathematica; А System for Doing Mathematics by Computer. Addison Wesley Publ. Co., 1988, 907 p.

48. Stephen Wolfram The Mathematica Book. Wolfram Media/С am-bridge University Press,1996.

49. Клименко В.П., Фишман Ю.С., Ляхов А.Л., Кондратов СВ., Швалюк Т.Н. АНАЛИТИК-2000 язык компьютерной алгебры //Тезисы докладов IV Сибирского конгресса по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000). 2000, с. 107108.

50. Калинина Н.А., Хегай Ж.Э. Средства проведения формульных преобразований в булевых алгебрах в системе FABULA //Проблемы систем информатики. Новосибирск: Ин-т систем информатики им. А.П. Ершова СО РАН, 1999, с.202-215.

51. Иртегов В.Д.,Титоренко Т.Н. О моделировании и исследовании некоторых задач с помощью компьютерной алгебры. // Программирование. N1, 1997, с.68-74.

52. Титоренко Т.Н. Анализ механических и электрических систем с помощью ЭВМ. // Труды 3-й Международной конференции женщин-математиков, Нижний Новгород, 1996, Вып.2, с.270-277.

53. Иртегов В.Д., Титоренко Т.Н. Об использовании ЭВМ'при исследовании инвариантных многообразий. // Труды Второй Мейсдународной конференции "Математические алгоритмы". Нижний Новгород, 1997, с. 83-87.

54. Титоренко Т.Н. Уравнения Гамильтона в случае вырожденности динамических систем.// Труды IV междун. конф. женщин-математиков. Спец. вып. журнала "Известия высших учебных заведений. Радиофизика" Н.Новгород: НИРФИ, 1997, Т.4, Вып. 2., с. 102-108.

55. Титоренко Т.Н. О первых интегралах и их выделении с помощью ЭВМ // Труды V междун. конф. женщин-математиков; Спец. вып. журнала "Известия высших учебных заведений. Радиофизика." Н.Новгород: НИРФИ, 1998, Т.5, Вып. 1. с.108-116.

56. Irtegov v., Titorenko Т. One Algorithm of Finding Solutions for the Systems with First Integrals. // Proceedings of the Second Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Munich, 1999, Springer, pp. 233-239.

57. V.D. Irtegov, T.N. Titorenko Using the system "Mathematica" in problems of mechanics //Mathematics and Computers in Simulation. Special Issue: Computer Algebra for Dymamics Systems and Mechanics, 2001, vol. 57, issue 3-5, pp. 227-237.

58. Лурье A.И. Аналитическая механика. М.: Физматгиз, 1961, 824 с.

59. Ланцош К. Вариационные принципы механики. М.: Мир, 1965, 408 с.

60. Виттенбург Й. Динамика системы твердых тел. М.: Мир, 1980, 292 с.

61. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Наука, 1975.

62. Литвин-Седой М.З. Механика систем связанных твердых тел //М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Т.5, 1982, с.3-61.

63. Румянцев В.В. Об устойчивости движения гиростатов //ПММ. Т.25, N1, 1961, с.9-16.

64. Савченко А.Я., Болграбская И.А., Кононыхин Г.А. Устойчивость движения систем связанных твердых тел. Киев: Наукова Думка, 1991, 168 с.

65. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел. //Механика твердого тела. N4, 1972, с.52-73.

66. Дирак П. Обобщенная гамильтонова механика //Вариационные принципы механики. 1959, с.705-722.

67. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. //М.: ВИНИТИ. Итоги науки и техники. Серия: Современные проблемы математики. Т.З, 1985, 304 с.

68. Бордюг Б.А. Методы компьютерной алгебры в задачах управления движением шагающих аппаратов //Препринт 88.42. Киев, Институт математики АН УССР, 1988, 23 с.

69. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научная книга, 1997, 390 с.

70. Чубаров М. А. Алгоритмы аналитического решения задач линейной алгебры //Тезисы докладов Всесоюзной конференции Системы для аналитических преобразований в механике. Горький, 1984, с. 124-127.

71. Симонов С. А. Алгоритм DETSIMV вычисления определителя в символьном виде на ЭВМ. //Пакеты прикладных программ. Итоги и применения. Новосибирск: Наука, 1986, с.44-53.

72. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: Гос-техиздат, 1947, 392 с.

73. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.-Л.: ГИТ Л, 1950, 472 с.

74. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.; Наука, 1978, 304 с.

75. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979, 432 с.

76. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

77. Иртегов В.Д. Инвариантные многообразия стационарных движений и их устойчивость. Новосибирск: Наука, 1985, 144 с.

78. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1965, 207 с.

79. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967, 575 с.

80. Кац A.M. К вопросу о критерии апериодической устойчивости //ПММ, Т.XV, Вып. 1, 1951, C.120.

81. Новиков М.А. Резонансы в задачах механики и теории управления //Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.ф.-м.н. Иркутск, 1988, 14 с.

82. Кузьмин Г.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973, 206 с.

83. Банщиков A.B., Бурлакова Л.А. Об алгоритмах символьных вычислений при исследовании устойчивости //Программирование. N3, 1997, с.72-80.

84. Бухбергер Б. Базисы Гребнера. Алгоритмический метод в теории полиномиальных идеалов //В кн.; Бухбергер В., Коллинз Дж., Лоос Р. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические вычисления. М.; Мир, 1986, с.331-372.

85. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Алгоритм Бухбергера //В кн.; Компьютерная алгебра. Системы и алгоритмы алгебраических вычислений. М.:Мир, 1991, с. 126-139.

86. Летичевский A.A. О распараллеливании алгоритма Бухбергера //Кибернетика и системный анализ. N2, 1995, с.52-61.

87. Быков В.И., Кытманов A.M., Лазман М.З. Методы исключений в компьютерной алгебре многочленов. Новосибирск; Наука, 1991, 233 с.

88. Gerdt V.P. Involutive division technique: Some generalizations and optimizations //Preprint of the Joint Institute for Nuclear Research N E5-98-151. Dubna, 1998, 20 p.

89. Григорьев Д. Ю. Эффективные алгоритмы для символьного решения систем полиномиальных уравнений и неравенств //Труды Международного совещания по аналитическим вычислениям на ЭВМ и их применению в теоретической физике. Дубна; ОИЯИ, 1985, с.202-207.

90. Гутенмахер Л.И. Электрические модели. М.-Л.: АН СССР, 1949, 404 с.

91. Комисаренко Ю.Я. Применение методов теории нелинейных цепей к анализу систем гидроавтоматики //Электроника и моделирование. Киев: Наукова думка, 1974, вып.2, с. 117-120.

92. Карзанов Б.Л. Электрическое моделирование плоской задачи теории упругости для несжимаемого материала в перемещениях на четырехслойных сетках //Электроника и моделирование. Киев: Наукова думда, 1975, вып.5, с.9-12.

93. Ницецкий Л.В. Электромоделирование гравитационных полей //В Сб.: Электрическое моделирование. Рига: Рижский политехнический институт, 1961, с.49-55.

94. Деннис Дж.Б. Математическое программирование и электрические цепи. М.; Иностранная лит-ра, 1961, 215 с.

95. Уайт Д. С, Вудсон Г.Х. Электромеханическое преобразование энергии. М.-Л.: Энергия, 1964, 527 с.

96. Максимов М.А. Оценка сложности алгоритма формирования уравнений электричес-. ких цепей функциями Лагранжа //Теоретическая электротехника. Львов; Вища школа, вып. 30, 1981, с.95-99.

97. Синицкий Л.А. Методы аналитической механики в теории электрических цепей. Львов: Вища школа, 1978, 139 с.

98. Синицкий Л.А. Элементы качественной теории нелинейных электрических цепей. Львов; Вища школа, 1975, 152 с.

99. Пентегов И.В., Волков И.В. Лагранжиан электрической цепи и его применение //Электричество. 1969, N5, с.59-63.

100. Вайман М.Я. Исследование систем, устойчивых "в большом". М.; Наука, 1981, 255 с.

101. Гарднер М.Ф., Бэрнс Дж.Л. Переходные процессы в линейных системах. М.: Физмат-лит, 1961, 551 с.

102. Татур Т.А., Татур В.Е. Анализ электрических цепей. Часть I. Установившиеся процессы. М.: МЭИ, 1994, 184 с. л

103. Сешу С, Балабамян Н. Анализ линейных цепей. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963, 551 с.

104. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973, 300 с.

105. Евстигнеев В.А., Касьянов В.Н. Теория графов. Алгоритмы обработки деревьев. Новосибирск: ВО Наука. Сибирская издательская фирма, 1994, 360 с.

106. Липский В. Комбинаторика для программистов. М.: Мир, 1988, 213 с.

107. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.; Наука, 1967, 472 с. ,

108. Brayton R.K., Moser J.К. А theory of nonlinear networks-1 //Quaterly of Applied Mathematics, 1964, vol.22, N 1, pp.1-33.

109. Brayton R.K., Moser J.K. A theory of nonlinear networks-2 //Quaterly of Applied Mathematics, 1964, vol.22, N 2, pp.81-104.

110. Один класс нелинейных электрических цепей //В кн.: Руш Н., Абетс П., Лалуа М. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. М.: Мир, 1980, с. 198-202.

111. Арайс Е.А. Символьный анализ радиоэлектронных цепей в системе АВТОАНАЛИТИК //Изв. Вузов СССР, Радиоэлектроника, 1977, т.20, N6, с.111-113.

112. Петренко А.И., Матросова Г.А. Формирование математических моделей электронных схем с применением аналитических преобразований //Кибернетика, 1981, N2, с.60-64.

113. Молчанов А.А., Зинченко И.Ф. Метод формального представления аналитических преобразований //Изв. Вузов СССР, Радиоэлектроника, 1986, т.29, N1, с.60-64.120. Шаповалов

114. Р.Г. Численно-аналитическое моделирование радиотехнических устройств средствами систем компьютерной алгебры //Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук. Таганрог, 1998, 16 с.

115. Tim Wichmann, Ralf Рорр, Walter Hartong, Lars Hedrich On the Simplification of Nonlinear DAE Systems in Analog Circuit Design //Proceedings of the Second Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing, Munich, May 31-June 4, 1999, pp.485-498.

116. Неймарк Ю.И., Фуфаев H.A. Динамика неголономных систем. М.: Физматлит., 1967, 519 с.