автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Анализ сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени на основе усовершенствования и модификации методов численного расчета схем

Введение

Глава I. Численный расчет сложных электрических цепей. Состояние вопроса и постановка задачи исследования.

1.1. Современные программы анализа электронных схем.

1.2. Трудности решения систем линейных алгебраических и дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

1.3. Актуальность задачи расчета сложных электрических цепей.

1.4. О способах решения систем линейных алгебраических уравнений при анализе сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

1.5. Анализ сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени на основе явных и неявных методов численного интегрирования

1.6. Постановка задачи и цели исследования.

1.7. Выводы.

Глава 2. Анализ сложных электрических цепей на основе обобщения метода Эйлера. 2.1. О возможности получения формулы, связывающей точное решение уравнений состояния электрических цепей с результатами их приближенного численного анализа

2.2. Основные формулы - развитие и обобщение предлагаемого способа решения уравнений состояния электрических цепей на основе их приближенного численного анализа методом Эйлера.

2.3. О реализации предложенного подхода с использованием приближенного анализа электрических цепей на основе неявных методов

2.4. Решение систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей с помощью обобщенного метода Эйлера.

2.5. Выводы.

Глава 3. Разработка алгоритмов и программ анализа сложных электрических цепей обобщенным методом Эйлера.

3.1. Алгоритм обобщенного метода Эйлера для решения уравнений состояния электрических цепей.

3.2. Описание программ решения уравнений состояния электрических цепей обобщенным методом Эйлера.

3.3. Алгоритм обобщенного метода Эйлера для анализа линейных электрических цепей по постоянному току или в установившемся синусоидальном режиме.

3.4. Описание программы анализа линейных электрических цепей по постоянному току обобщенным методом Эйлера

В решениях съездов КПСС, в "Основных направлениях экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года" большое внимание уделяется энергетике и электронной технике. Развитие современной электроники и энергетики характеризуется устойчивой тенденцией к постоянному усложнению входящих в них устройств и электрических схем, описывающих эти устройства. Такая тенденция существенно усложняет расчет и проектирование приборов и устройств радиоэлектроники, автоматики, преобразовательной техники и энергетики, несмотря на широкое использование электронно-вычислительных машин.

Возникающие сложности весьма разнообразны. Они связаны с вопросами организации вычислений, применения методов, позволяющих оптимально использовать оперативную и внешнюю память ЭВМ, с формой хранения основных и промежуточных данных, характером и интен-. сивностью обмена информацией между оперативной памятью ЭВМ и внешними запоминающими устройствами и т.д. [ 18,31,47,56,59,108 ].

Однако, центральными при расчете электрических цепей и систем остаются задачи вычислительного характера, связанные не только со значительным увеличением затрат машинного времени при анализе сложных электронных схем, но и с возникновением принципиальных вычислительных проблем при большом разбросе постоянных времени в схеме (см.главу I).

По-видимому, невозможно создание абсолютно универсального метода, одинаково эффективного для расчета некоторого режима или режимов во всех классах электротехнических устройств. Поэтому разрабатываются комплексы алгоритмов и программ расчета электрических цепей, основанных на методах, взаимно дополняющих возможности друг друга. Настоящая работа выполнена в рамках развития этой уже сложившейся тенденции.

Чем больше разброс постоянных времени в цепи, тем хуже обычно обусловленность систем уравнений, описывающих эту цепь. А значит, тем менее точно и быстро может быть получено ее решение обычными методами; потеря точности - основное затруднение при анализе электрических цепей с большим разбросом постоянных времени [19,37,51,75 ].

Способы, которые позволяют эффективно анализировать системы малой и средней размерности, часто оказываются непригодными при переходе к сложным электрическим цепям.

В то же время, большая размерность электрической цепи и описывающей ее системы уравнений сама по себе не есть необходимое условие наличия большого разброса постоянных времени в системе и плохой обусловленности соответствующих систем уравнений. Обусловленность системы уравнений, как таковая, связана (в первом приближении) с разбросом постоянных времени рассчитываемой цепи, то есть с разбросом собственных чисел матрицы системы и будет тем хуже, чем больше этот разброс, который может быть велик и при небольшой размерности системы уравнений [ 97,98,112,116,121 3. Поэтому плохая обусловленность и связанная с ней потеря точности решений часто возникает даже при анализе сравнительно простых цепей, описываемых системами невысоких порядков.

В связи с этим под сложными электрическими цепями далее будем понимать все электрические цепи, расчет которых из-за большого разброса их постоянных времени затруднителен.

Указанные вычислительные трудности имеют место при расчете как линейных, так и нелинейных цепей. Эти проблемы столь важны, что исследователи особо выделяют классы "неудобных" для расчета цепей и создают специальные метода их решения. Например, имеется обширная литература по исследованию так называемых жестких систем, которые характеризуются, как правило, большим разбросом постоянных времени [34,46,51,84,85,100,105,IIO,III] .

Задача анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени возникает при расчете самых различных режимов в электрических цепях: при расчете энергетических систем и линейных электрических цепей в установившемся синусоидальном режиме, при анализе переходных процессов в электрических цепях на основе уравнений переменных состояния, при расчете нелинейных электрических цепей в установившемся периодическом режиме при периодических воздействиях и т.д.

К последней из упомянутых задач сводится, в частности, расчет электронных схем вторичных источников питания радиоэлектронной аппаратуры.

Подробное рассмотрение перечисленных основных задач анализа электрических цепей (см. главу I) позволяет сделать вывод о том, что практически все они сводят расчет электрических цепей к задаче многократного решения систем линейных алгебраических уравнений или же к близкой к ней задаче обращения матриц. Следовательно, эта задача образует одну из основных вычислительных задач расчета электрических цепей, и от того, насколько надежен алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений,. во многом зависит эффективность программы расчета электрической цепи в целом.

В большинстве программ анализа электрических цепей для реше

- 9 ния систем линейных алгебраических уравнений используется алгоритм L If -факторизации /7 73,79,105 "D . Однако, практика показывает, что этот метод не всегда эффективен в случае плохо обусловленных систем, возникающих при расчете сложных схем. Описанные в литературе специальные способы и алгоритмы решения таких задач, по-видимому, также не во всех случаях позволяют получить приемлемые результаты и, как правило, не учитывают специфики электрических цепей С 4,37,42,97,103,114,123 □ .

Поэтому актуальной является задача развития методов анализа сложных электрических цепей путем разработки способа решения систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени, а также соответствующего ему алгоритма и программного обеспечения. Решение этой задачи рассматривается во второй и третьей главах диссертации.

Принципиальные затруднения возникают также при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени. Явные методы, имеющие сравнительно простые вычислительные алгоритмы, обладают известным недостатком - потерей устойчивости даже при небольшом шаге расчета С 7,11,46,55,73,105 3 . Поэтому широко применяются более устойчивые неявные методы численного интегрирования. Однако, во-первых, они громоздки в вычислительном отношении, и, во-вторых, требуют решения систем алгебраических уравнений, что само по себе часто оказывается проблематичным Г 86 3 .

В связи с этим актуальна разработка такой модификации какого-либо простого метода численного интегрирования (например, метода Эйлера), которая позволила бы, сохранив преимущества явных методов, значительно увеличить шаг расчета систем линейных дифференциальных уравнений электрических цепей. Эта задача решается ния систем линейных алгебраических уравнений используется алгоритм L U -факторизации [73,79,105 ]. Однако, практика показывает, что этот метод не всегда эффективен в случае цепей с большим разбросом постоянных времени. Описанные в литературе специальные способы и алгоритмы решения таких задач, по-видимому, также не во всех случаях позволяют получить приемлемые результаты и, как правило, не учитывают специфики электрических цепей [4,37,42,97,103,104,114,123 ] .

Поэтому актуальной является задача развития методов анализа сложных электрических цепей путем разработки способа решения систем линейных алгебраических уравнении электрических цепей с большим разбросом постоянных времени, а также соответствующего ему алгоритма и программного обеспечения. Решение этой задачи рассматривается во второй и третьей главе диссертации.

Принципиальные затруднения возникают также при численном интегрировании систем дифференциальных уравнений электрических цепей с большим разбросом постоянных времени. Явные методы, имеющие сравнительно простые вычислительные алгоритмы, обладают известным недостатком - потерей устойчивости даже при небольшом шаге расчета [ 7,11,46,55,73,105 ]. Поэтому широко применяются более устойчивые неявные методы численного интегрирования. Однако, во-первых, они громоздки в вычислительном отношении, и, во-вторых, требуют решения систем алгебраических уравнений, что само по себе часто оказывается проблематичным [ 86 ] .

В связи с этим актуальна разработка такой модификации какого-либо простого метода численного интегрирования (например, метода Эйлера), которая позволила бы, сохранив преимущества явных методов, значительно увеличить шаг расчета систем линейных дифференциальных уравнений электрических цепей. Эта задача решается

- 10 во второй и третьей главах диссертации.

В работе также рассматривается задача отыскания достаточно эффективного явного метода расчета некоторых классов нелинейных цепей. Базой для разработки такого метода явилось использование аппарата степенных рядов, в частности, рядов Тейлора [ 5,12,22, 80,81,82 ] . Эта задача решается в пятой главе данной работы.

В главе 6 описывается применение разработанных методов и алгоритмов для исследования вынужденных режимов в цепях вторичных источников питания.

Все сформулированные выше задачи были поставлены и решены в рамках единой цели, определяющей содержание данной работы -усовершенствование существующих и разработка новых методов и алгоритмов для расчета сложных электрических цепей.

Новые результаты, полученные в диссертации, заключаются в следующем:

1. Доказано, что имеет место формула, связывающая точное решение системы уравнений состояния линейной (линеаризованной) электрической цепи с приближенным решением, полученным на основе явного метода Эйлера.

2. На основе полученной формулы разработан метод решения уравнений состояния сложных линейных (линеаризованных) электрических цепей с большим разбросом постоянных времени (обобщенный метод Эйлера).

3. Разработан способ решения одной из основных и актуальных составных частей общей задачи анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени - способ расчета сложных линейных электрических цепей по постоянному току; способ наиболее эффективен для того случая, когда задача анализа электрической цепи встречает принципиальные вычислительные затруднения, связанные с большим разбросом постоянных времени в схеме.

4. Разработаны алгоритмы и соответствующие им программы для анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени предложенными методами.

5. Установлена эффективность предложенных методов и алгоритмов для анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

6. Предлагается методика использования алгоритмической структуры разработанных методов (см. п.п.2-3) в аппарате применения рядов Тейлора для расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей; разработаны соответствующие алгоритм и программа. Преимуществами метода являются сравнительно высокая точность и возможность увеличения точности без изменения расчетных формул и перестройки алгоритма и программы, реализующей метод. Последнее обстоятельство особенно важно, когда возникает необходимость в оценке достоверности (погрешности) расчета режима цепи, и при выполнении расчетов цепей, требующих значительной точности.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Метод решения одной из основных составных частей общей задачи анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени - метод анализа сложных линейных электрических цепей по постоянному току. Метод наиболее эффективен для того случая, когда задача анализа электрической цепи встречает принципиальные вычислительные затруднения, связанные с большим разбросом постоянных времени в схеме. Алгоритм и программа, реализующие метод.

2. Способ анализа переходных процессов в сложных линейных (линеаризованных) электрических цепях с большим разбросом постоянных времени, обладающий повышенной числовой устойчивостью и точностью по отношению к шагу расчета. Соответствующие алгоритм и программа.

3. Обоснование эффективности предложенных методов и алгоритмов для анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

4. Методика расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей на основе использования алгоритмической структуры методов п.п.1-2 "Основных положений, выносимых на защиту" в аппарате применения радов Тейлора. Соответствующие алгоритм и программа.

По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на конференции профессорско-преподавательского состава Ленинградского ордена Ленина кораблестроительного института в 1984 году, на конференциях профессорско-преподавательского состава Ленинградского ордена Ленина электротехнического института им. В. И. Ульянова (Ленина) в 1979 и 1982 годах, на городском семинаре "Автоматизация проектирования электронных цепей" (Ленинград, 1980 год), на Всесоюзной школе-семинаре "Автоматизация проектирования средств вычислительной техники и перспективы применения микропроцессоров" (Минск, 1978 год), на Всесоюзной научно-технической конференции "Проблемы преобразовательной техники" (Киев, 1979 год), на 26 международном коллоквиуме в г.Ильменау (ГДР) в 1981 году

26 IHTERRATIONALES V/ISSENSCHAFTLlCH£S KOLLOQUlM

19ft, TBCHA/JSCHB HOCHSCHULE ILMEVAtf, VOfiTtA&S*EIH£ Ai . Theoretische Eiextrotechnic)^ на УП и IX Всесоюзном совещании-семинаре "Актуальные проблемы автоматизации проектирования ЭВМ" в 1979 и 1981 годах; материалы диссертации были использованы в главе 2 книги "Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ" под ред.Л.В.Данилова и Е.С.Филиппова (М.: Радио и связь, 1983).

В диссертации применена следующая нумерация формул, таблиц и рисунков: первая цифра обозначает номер главы, вторая - номер параграфа в данной главе, третья - порядковый номер формулы, таблицы или рисунка в данном параграфе. Формулы в приложении 4 на первом месте имеют дополнительно индекс "П".

- 14

Основные результаты проведенных исследований по анализу сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени на основе усовершенствования и модификации методов численного расчета схем заключается в следующем:

1. Получена формула, связывающая точное решение системы уравнений состояния линейной (линеаризованной) электрической цепи с приближенным решением, полученным на основе явного метода Эйлера.

2. Разработан метод решения уравнений состояния сложных линейных (линеаризованных) электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

3. Разработан способ решения одной из основных и актуальных составных частей общей задачи анализа электрических цепей с большим разбросом постоянных времени - способ расчета сложных линейных электрических цепей по постоянному току (решение плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений электрических цепей). Способ наиболее эффективен для того случая, когда задача анализа электрической цепи встречает принципиальные вычислительные трудности, связанные с большим разбросом постоянных времени в схеме (например, при анализе нелинейных электрических цепей в установившемся периодическом режиме при периодических воздействиях, при расчете переходных процессов в сложных электрических цепях на основе неявных методов численного интегрирования и т.д.).

4. Разработаны алгоритмы и соответствующие им программы предложенных методов анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

5. Установлена эффективность разработанных методов для анализа сложных электрических цепей с большим разбросом постоянных времени.

6. Разработана методика использования алгоритмической структуры методов, названных в п.п.2-3 "Заключения", в аппарате применения рядов Тейлора для расчета переходных процессов в некоторых классах нелинейных электрических цепей. Преимуществами метода являются сравнительно высокая точность и возможность увеличения точности без изменения расчетных формул и перестройки алгоритма и программы, реализующих метод. Последнее обстоятельство особенно важно, когда возникает необходимость оценки достоверности (погрешности) расчета режима цепи и при выполнении расчетов цепей, требующих значительной точности. Разработаны соответствующие алгоритм и программа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Анализ электронных схем на ЭЦВМ / А.И.Петренко, В.П.Сигорский, В.Г.Слипченко, О.Ф.Цурин. Львов: Вшца школа, 1975. - 195 с.

2. Андреева Л.П. О практическом применении ортогонального степенного метода. В кн.: Вычислительные методы и программирование. - М.: МГУ, 1965, с.61-88.

3. Бабанов Ю.Н., Седаков Ю.Е., Щербаков В.В. Сходящийся метод расчета статического режима радиоэлектронных схем. Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1976, т.19, № I, с.128-130.

4. Бармаков Ю.Н., Бахов В.А., Ильин В.Н., Камнева Н.Ю.,

5. Бахвалов Н. С. Численные методы. В 2-х т. М.: Наука, 1975, т.1. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения.- - 631 с.

6. Белецкий А.Ф. Основы теории линейных электрических цепей. -М.: Связь, 1967. 608 с.

7. Белов Б.И., Норенков И.П. Расчет электронных схем на ЭЦВМ. -М.: Машиностроение, 1971. 144 с.

8. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1966, т.1. - 632 с.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. В 2-х т. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1966, т.2. - 664 с.

10. Бирюк Н.Д. Применение рядов Тейлора в анализе параметрических цепей. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1975, т.18, № 9, с.II4-II5.

11. Бондаренко В.М. Вопросы анализа нелинейных электрических и электронных цепей. Киев: Наукова думка, 1967. - 160 с.

12. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы. Анализ электроэнергетических систем: Пер. с англ. М.: Энергия, 1979. - 192 с.

13. Бухтияров А.М., Маликова Ю.П., Фролов Г.Д. Практикум по программированию на ФОРТРАНе (ОС ЕС ЭВМ) / Под ред.Н.А.Криниц-кого. М.: Наука, 1979. - 304 с.

14. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977. - 304 с.

15. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980. - 400 с.

16. Воеводин В.В. Развитие методов решения задач алгебры в вычислительном центре университета. Вестник МГУ. Сер.1 Математика. Механика, 1970, В 2, с.69-82.

17. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгоритмы. М.: Наука, 1966. - 248 с.

18. Волков И.В., Шлапак В.А. Машинные методы анализа систем стабилизированного тока. В сб.: Регуляторы и стабилизаторы тока. - Киев: Наукова думка, 1977, с.3-12.

19. Всесоюзное научно-техническое совещание "Исследование решения на ЦВМ уравнений установившегося режима электрических систем". Хроника. Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт, 1977, & I, с.166-168.

20. Гаврилов Л. П. Анализ электронных схем методом степенных рядов. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1975, т. 18, Ji 9,с. 50-53.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. - 575 с.

22. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. М.: Физматгиз, 1958. - 439 с.

23. Глориозов E.I., Ссорин В.Г., Сыпчук П. П. Введение в автоматизацию схемотехнического проектирования. М.: Советское радио, 1976. - 224 с.

24. Годунов С.К. Решение систем линейных уравнений. Новосибирск: Наука, Сиб.отд-ние, 1980. - 177 с.

25. Данилов Л.В. Электрические цепи с нелинейными R -элементами. М.: Связь, 1974. - 136 с.

26. Данилов Л.В., Макеев Б.Н. Некоторые вопросы численного расчета преобразовательных схем. В кн.: Проблемы преобразовательной техники. Тез. докл. Всесоюзн. научн.-техн. конф. Киев, 1979, ч.5, с.199-201.

27. Данилов Л.В., Макеев Б.Н. Определение точного решения уравнений линейных электрических цепей по результатам приближенного численного анализа. Электронное моделщювание, 1981, Ш I, с. 22-27.-164

28. Дафф И. С. Обзор исследований по разреженным матрицам. -ТИИЭР, 1977, т.65, № 4, с.5-46.

29. Дезоер Ч.А., Ку Э.С. Основы теории цепей: Пер. с англ. У Под ред. В.А.Смирнова. М.: Связь, 1976. - 288 с.

30. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики / Под общ. ред.Б.П.Демидовича. М.: Физматгиз, I960. - 659 с.

31. Демирчян К.С., Ракитский Ю.В. Новые методы оптимизации численных расчетов электрических цепей и полей. Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, № 2, с.46-52.

32. Демирчян К.С., Ракитский Ю.В. Устойчивый метод ортогонализа-ции векторов для расчета электрических цепей. Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, № 4, с.72-77.

33. Дёч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z -преобразования: Пер. с нем. Г.А.Вольперта. -М.: Наука, 1971. 288 с.

34. Джумаев К. Сравнительный анализ методов решения плохо обусловленных линейных алгебраических систем на основе численного эксперимента. В кн.: Оптимизация и организация вычислений. Киев, 1972, с.62-70.

35. Долбня В.Т., Ягуп В.Г., Лазарев Н.И. 0 расчете на ЦВМ электромагнитных процессов в вентильных цепях, содержащих нелинейные индуктивности. Вестн. Харьковск. политехи, ин-та, 1977, » 132, с.58-60.

36. Дробушевич Г.А. Программирование на ФОРТРАНе. Минск, изд-во Беларус. гос. ун-та им.В.И.Ленина, 1976. - 272 с.

37. Жихарев М.С. Вопросы качественного и количественного исследования электрических цепей, содержащих управляемые и неуправляемые вентили. Дис. . канд. техн. наук. - Л., 1977. - 101 с.

38. Загускин В.Л. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. М.: Физматгиз, I960. - 216 с.

39. Загускин В. Л. Численные методы решения плохо обусловленных задач. Ростов-на-Дону: РГУ, 1976. - 192 с.

40. Золотницкий В.М., Макеев Б.Н. Некоторые вопросы анализа линейных цепей с плохо обусловленными матрицами. 26 Internationales Wissenschaftliclies Kolloquim 1981, Technische Hochschule Ilmenau, Vortragsreihe A1. Theoretieche Elektro-technik, c.75-76.

41. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Курс высшей математики и математической физики. М.: Наука, 1978. - 304 с.

42. Ильин В.Н. Машинное проектирование электронных схем. М.: Энергия, 1972. - 280 с.

43. Исследование решения на ЦВМ уравнений установившегося режима электрических цепей: Тез. докл. Всесоюзн. научн.-техн. совещ. Ереван, 1976. 334 с.- 166

44. Камке Э. Сцравочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Пер. с нем. 5-е изд., стереотип. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

45. Калниболотский Ю.М., Казанджан Н.Н., Романенко Е.А., Гоголева Л.М. Комплекс программ для частотного анализа линейных электронных схем. Изв. вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, т.23, В 6, с.99-101.

46. Канторович Л.В., Акимов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959. - 684 с.

47. Каширский И.С., Трохименко Я.К. Обобщенная оптимизация электронных схем. Киев: Техника, 1979. - 192 с.

48. Коган С.С. Теория и расчет фильтров для установок дальней связи. М.: Гос. изд-во лит-ры по вопросам связи и радио, 1950. - 178 с.

49. Коляда Ю.В., Сигорский В.П. Полуявные алгоритмы численного интегрирования "жестких" уравнений. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1975, т. 18, №3, с.83-84.

50. Коляда Ю.В., Сигорский В.П. Численные алгоритмы анализа цепей на инженерных ЭВМ. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1978, т.21, Л 6, с.88-91.

51. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Учебное пособие для вузов. В 2-х т. М.: Наука, 1976, т.2. - 399 с.

52. Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем. -М.; Связь, 1978. 336 с.

53. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. Справочное руководство: Пер. с англ. / Под ред. А.М.Лошшца. М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

54. Ларченко Н.Е. О критериях обусловленности матриц и точности решения систем нормальных уравнений: Тр. Моск. ин-та инженеров землеустройства. М.: Недра, 1964, т.22, с.57-65.

55. Ломоносов В.Ю. Периодические процессы в нелинейных цепях. -Электричество, 1952, Л 7, с.55-58.

56. Макеев Б.Н. Алгоритм и программная реализация нового способа анализа одного класса нелинейных электрических цепей. -Ленинград, 1984. 13 с. - Рукопись представлена Ленингр. кораблестроительным ин-том. Деп. в ВИНИТИ 20 сент. 1984,6320-84.

57. Макеев Б.Н. Метод расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях. Ленинград, 1984. - 7 с. - Рукопись представлена Ленингр. кораблестроительным ин-том. Деп. в ВИНИТИ 20 сент. 1984, Jfe 6321-84.

58. Макеев Б.Н. Об одном методе решения плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений. Изв. ЛЭТИ им. В. И. Ульянова (Ленина), 1981, вып.286, с.27-30.

59. Макеев Б.Н., Новожилова Л.М. К выбору метода решения систем линейных алгебраических уравнений в программах анализа электронных схем. Изв. ЛЭТИ им.В.И.Ульянова (Ленина), 1982, вып.310, с.38-40.

60. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на ФОРТРАНе: Пер. с англ. / Под ред.Б.М.Наймарка. М.: Мир, 1977. - 584 с.- 168

61. Максимович Н.Г. Об одном методе решения систем алгебраических уравнений в применении к расчету электрических цепей.

62. В кн.: Математическое моделирование и электрические цепи: Тр. семинара по методам математического моделирования и теории электрических цепей. Киев: АН УССР, 1963, вып.1, с.191-200.

63. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств: Пер. с англ. / Под ред.В.Б.Лидского. М.: Мир, 1977. - 584 с.

64. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Минск: Вышэйша школа, 1974. - 766 с.

65. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Линейные цепи.: Учебн. пособие для вузов. М.: Высшая школа, 1972. -336 с.

66. Матханов П.Н. Основы анализа электрических цепей. Нелинейные цепи. М.: Высшая школа, 1977. - 272 с.

67. Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965. -384 с.

68. Моделирование и оптимизация на ЭВМ радиоэлектронных устройств / З.М.Бененсон, М.Р.Елистратов, Л.К.Ильин и др.: Под ред. З.М.Бененсона. М.: Радио и связь, 1981. - 272 с.

69. Молчанов И.Н. О некоторых требованиях к вычислительным программам линейной алгебры. Ж.вычисл.матем. иматем.физ., 1980, т.20, № 3, с.550-561.

70. Молчанов И.Н. О некоторых требованиях к пакетам программ для решения научно-технических задач. Кибернетика, 1977, JI I, с.55-62.

71. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. В 2-х т. М.-Л.: Энергия, 1966, т.2. -407 с.

72. Норенков И.П., Жук Д.М., Маничев В.Г., Трудоношин В.А. Анализ электронных схем при совместном применении явных и неявных методов интегрирования. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1979, т.22, J6 6, с.27-31.

73. Петренко А.И., Тимченко А.П., Слюсар П.Б. Сравнение программ схемотехнического проектирования на базе набора тестовых задач. Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, т.23, № 6,с.5-12.

74. Подольский М.Р., Захария А.И., Саноцкий Ю.В. Особенности методов редукции и L U -разложения при анализе схем на ЭВМ. -Изв.вузов СССР. Радиоэлектроника, 1980, т.23, J& 6, с. 83-85.

75. Пухов Г.Е. Дифференциальные преобразования функций и уравнений. Киев: Наукова думка, 1980. - 420 с.

76. Пухов Г.Е. Методы анализа и синтеза квазианалоговых электронных цепей. Киев: Наукова думка, 1967. - 568 с.

77. Пухов Г.Е. Преобразования Тейлора и их применение в электротехнике и электронике. Киев: Наукова думка, 1978. - 259 с.

78. Пярнпуу А. А. Программирование на АЛГОЛе и ФОРТРАНе. М.: Наука, 1978. - 336 с.

79. Ракитский Ю.В. Новые численные методы решения систем обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Труды / Ленингр. политехн. ин-т им.М.И.Калинина, 1973, вып.З. Теория и техника вычислительных устройств, Jfc 332, с.88-97.

80. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.

81. Расчет электрических цепей и электромагнитных полей на ЭВМ / М.Г.Александрова, А.Н.Белянин, В.Брюкнер и др.: Под ред.Л.В. Данилова и Е.С.Филиппова. М.: Радио и связь, 1983. - 344 с.

82. Салтыков А.И., Макаренко Г.И. Программирование на языке ФОРТРАН / Под ред.Н.Н.Говоруна. М.: Наука, 1976. - 256 с.

83. Сборник научных программ на ФОРТРАНе: Руководство для программиста: Пер. с англ. С.Я.Виленкина. М.: Статистика, 1974, вып. 2. Матричная алгебра и линейная алгебра. - 221 с.

84. Сешу С., Балабанян Н. Анализ линейных цепей: Пер. с англ. / Под ред. Г.И.Атабекова. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. -552 с.

85. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Сов.радио, 1976. - 608 с.

86. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ./Ред. Дж.Холл и Дж.Уатт: Пер. с англ. / Под ред.А.Д.Горбунова. М.: Мир, 1979. - 312 с.

87. Средства отладки программ в ОС ЕС ЭВМ: Справочное пособие / В.И.Ерофеев, Ю.П.Миркушов, В.И.Першиков, А.П.Соколов: Под ред. В.Н.Лебедева. М.: Статистика, 1979. - 245 с.

88. Тихонов А.Н., Кузнецов Н.Н. 0 вычислительной математике. -Вестник МГУ. Сер. Вычислительная математика и кибернетика, 1977, В 3, с.3-6.

89. Тыоарсон Р. Разреженные матрицы: Пер. с англ. / Под ред. Х.Д.Икрамова. М.: Мир, 1977. - 192 с.

90. Уилкинсон Дж.Х. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ. / Под ред. В.В.Воеводина и В.Н.Фаддеевой. -М.: Наука, 1970. 564 с.

91. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -M.-JL: Физматгиз, 1963. 734 с.

92. Фаддеева В.Н. Сдвиг для систем с плохо обусловленными матрицами. Ж.вычисл.матем. и матем.физ., 1965, т. 5, Л 5, с.907--911.

93. Фаддеева В.Н., Колотшшна Л.Ю. Вычислительные методы линейной алгебры. Набор матриц для тестирования: Материалы по математическому обеспечению ЭВМ: В 3-х ч. / Под ред.В.В.Воеводина. Л.: ЛОМИ, 1982, 4.1. 131 с.

94. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений: Пер. с англ. / Под ред.Х.Д.Икрамова. -М.: Мир, 1980. 279 с.

95. Форсайт Дж., Моулер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений: Пер. с англ. / Под ред.Г.И.Марчука. М.: Мир, 1969. - 167 с.

96. Хэпп X. Диакоптика и электрические цепи: Пер. с англ. / Под ред. В.Г.Миронова. М.: Мир, 1974. - 330 с.

97. Численный анализ на ФОРТРАНе / Под ред.В.В.Воеводина. М.: МГУ, 1974, вып. 6. - 80 с.

98. Численный анализ на ФОРТРАНе / Под ред. В.В.Воеводина.

99. М.: МГУ, 1974, вып.9. 148 с.

100. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы: Пер. с англ. / Под ред. В.Н.Ильина. М.: Энергия, 1980. - 640 с.

101. Шакиров М.А. Преобразования и диакоптика электрических цепей. Л.: ЛГУ, 1980. - 196 с.

102. Bauer P. On the definition of condition numbers and on their relation to closed methods for solving linear systems* Proceed Int. Conference of Inform* Process UNESCO, Paris, 1960» p* 109-110.

103. Berry R*D# An optional ordering of electronic circuit equations for a sparse matrix solution* IEEE Transactions on circuit theory, 1971, v. CT-18, N 1, p. 40-50*

104. Cash J*R* Diagonally implicit Runge-Kutta formulae with error estimates* J* of the Institute of Mathematics and its Applications, 1973» v* 24, N 3, p* 293-301*

105. Enright V* On the efficient and reliable numerical solution of large linear systems of ODEfs. IEEE Transactions on Automatic control, 1979, v. 24, U 6, p* 905-908*

106. Gear C*W* The automatic integration of ordinary differential equations* Communications of the ACM, 1971, v* 14, N 3, Р* 176-180*

107. Gregory R*T*, Karney D.L. A collection of matrices for testing computational algorithms. Hew York-London-Sydney-Toronto, 1969, Wiley & Sons ♦ — 154 p *