автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.17, диссертация на тему:Развитие теории и численных методов анализа переходных процессов в электрических цепях радиотехнических устройств

О

со На правах рукописи

I— ."V

Филин Владимир Алексеевич

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Специальность 05.12.17 - Радиотехнические и телевизионные системы

и устройства

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

Санкт-Петербург 1998

Работа выполнена в Санкт-Петербургском государственном университете телекоммуникаций им. проф. М. А.Бонч-Бруевича

Научный консультант -

доктор технических наук, профессор А.Д.Артым

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор М.А.Сиверс доктор технических наук, профессор Э.В.Сырников доктор технических наук, профессор М.А.Шакиров

Ведущая организация - Российский институт радионавигации и времени

Защита диссертации состоится _1998 г. в 14 час. на заседании

диссертационного совета Д.118.01.01 Санкт-Петербургского государственного университета телекоммуникаций им. проф. М.А.Бонч-Бруевича по адресу: 191186, СПб, наб. р. Мойки, 61.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета Автореферат разослан " £" 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

¿1

д. т. н., проф. В.Ю.Волков.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Основу широких классов радиотехнических устройств различного целевого назначения составляют электрические цепи, работающие в линейном (линеаризованном) режиме. Помимо традиционных аналоговых цепей непрерывного действия к числу линейных могут быть отнесены электрические цепи с переключениями, являющиеся моделями широкого класса ключевых устройств. Именно переходные и установившиеся процессы в таких цепях определяют надежность и устойчивость работы конкретного устройства, его энергетические и качественные характеристики. В ряде случаев переходные процессы являются рабочими на всем периоде действия радиоцепей.

В научно-технической литературе уделяется большое внимание теоретическому анализу и инженерным методам расчета переходных процессов в электрических цепях. Однако непрерывный рост сложности исследуемых цепей, ужесточение требований к точности и скорости их расчета, а также сложный характер самих процессов обусловливают необходимость дальнейшего совершенствования методов их анализа.

Использование классической теории цепей и точных аналитических методов расчета переходных процессов для сложных цепей становится все более проблематичным. Известные приближенные аналитические методы имеют, как правило ограниченную применимость и не в состоянии охватить широкий круг задач радиотехнической практики.

Наиболее перспективными для целей реального проектирования оказываются методы, полностью ориентированные на применение компьютера, т.е. универсальные по отношению к типам элементов и сложности цепей, с предельно формализованной процедурой составления и численного решения уравнений переходных процессов.

Различным аспектам компьютерного расчета переходных процессов как на этапе составления уравнений, так и на этапе их численного решения посвящена обширная литература. Среди наиболее значимых работ, отразивших достижения теории цепей в области матрично-топологических методов и положивших начало разработке многих алгоритмов и программ, следует отнести работы П.Н.Матханова, П.А.Ионкина, К.С.Демирчана, В.П.Сигорского, Р.Брайента, Д.Калахана, Л.Чуа, И.Влаха, К.Сингхала и др. Методы численного

интегрирования дифференциальных уравнений электрических цепей также детально исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов (Ю.В. Ра-китский, Г.Е.Пухов, П.А.Бутырин, Л.А. Синицкий, Ю.А.Бычков, Э.Гир).

При численном анализе процессов в электрической цепи ее основной математической моделью являются дифференциальные уравнения состояния. Известны общие алгоритмы формирования этих уравнений в канонической форме, совместимой со многими численными методами их последующего решения. Однако эти алгоритмы достаточно сложны (особенно при наличии в цепи зависимых источников), требуют выполнения неоправданно громоздких матричных преобразований, дополнительной логической обработки исходных данных и результата.

Использование традиционных методов на этапе численного интегрирования дифференциальных уравнений состояния часто оказывается нерациональным и даже неприемлемым для таких классов задач, как

• быстроизменяющиеся и медленно устанавливающиеся процессы (на пример радиоимпульсы в высокодобротных полосовых цепях);

• процессы в сложных системах, включающих цепи с распределенными параметрами;

• переходные процессы в цепях с переключениями, в том числе и «жесткие процессы;

Применительно к таким, сложным видам процессов трудно назвать численный метод, который был бы свободен, хотя бы от одного из следующих недостатков:

- недостаточная точность приближенного решения на шаге;

- большие затраты машинного времени;

- сложность оценки и устранения погрешности;

- громоздкость алгоритма.

Кроме того, ни один из существующих численных методов не приспособлен к особенностям расчета и оптимизации процессов в практических задачах. Так, при анализе и синтезе полосовых цепей, формирующих радиоимпульс заданной формы, не возникает задачи расчета высокочастотного (ВЧ) наполнения такого импульса на всем временном интервале его действия, вмещающем сотни и даже тысячи периодов колебаний ВЧ. Как правило требуется выделить и подробно рассчитать лишь некоторую часть процесса, например, на заднем срезе радиоимпульса.

Другим примером является задача расчета параметров импульсных и широкополосных усилителей, электрических фильтров, формирующих цепей и других сложных линейных систем по заданным отдельным показателям их временных характеристик, (например длительности фронта переходной характеристики, величинам выбросов и т.п).

В некоторых разновидностях ключевых устройств переходный процесс может быть весьма продолжительным, а основной целью расчета является установившийся режим гармонических колебаний.

Во всех этих задачах наилучшим был бы численный метод, способный не только выполнять расчет переходного процесса малым шагом в отдельных интервалах времени, но и крупным шагом, максимально быстро, однако без потери точности осуществлять прохождение широких областей процессов, не представляющих интереса для исследователя.

Таким образом, задачи радиотехнической практики диктуют необходимость разработки новой, более эффективной методики расчета переходных процессов в электрических цепях, которая позволяла бы:

• предельно упростить и формализовать составление уравнений переходных процессов;

• получать результат численного решения для значений электрических величин переходного процесса на каждом шаге времени с любой заранее заданной точностью;

• проводить расчет процесса с максимальной скоростью путем выбора наиболее рационального шага, исходя из радиотехнических особенностей решаемой задачи;

• составлять более простую программу для компьютера.

Из изложенного следует, что поставленная научная проблема является актуальной и ее решение требует существенной теоретической доработки и развития матрично-топологических методов анализа и численных методов расчета процессов в сложных электрических цепях.

Цель и задачи работы. Целью данной диссертации является совершенствование принципов расчета переходных процессов методом переменных состояния на основе развития теории и методов анализа резистивных цепей и идеи представления функций переходного процесса на каждом шаге в виде матричного ряда Тейлора, создание на этой основе инженерной методики, алгоритмов и программ, способных существенно повысить точность и скорость

расчета процессов, а сам расчет подчинить условиям и особенностям практических задач.

Для достижения этой цели в диссертации решаются следующие задачи:

1 .Совершенствование узловых уравнений резистивных цепей, как рациональной основы формализованного расчета переходных процессов методом переменных состояния; построение универсального алгоритма на основе решений матричных узловых уравнений.

2.Теоретическое обоснование возможности аппроксимации функций переходного процесса линейной электрической цепи в виде матричного ряда Тейлора с любым числом членов на каждом шаге времени; получение практической формы такого решения и его использование для повышения точности численного решения уравнений состояния.

3.Создание инженерной методики и построение быстродействующих алгоритмов расчета процессов в радиотехнических цепях с заранее заданной точностью.

4.Программная реализация, экспериментальная проверка и оценка вычислительной эффективности разработанных алгоритмов в задачах моделирования процессов для различных классов линейных радиотехнических цепей.

5.Распространение метода матричного ряда Тейлора на электрические цепи с переключениями и внедрение разработанной методики в практику расчетов и оптимизации процессов в мощных ключевых радиоустройствах.

Методы исследования. Теоретические исследования базируются на фундаментальных принципах и методах теории электрических цепей, методах матричной алгебры, теории приближения функций степенными рядами.

Научная новизна работы состоит в создании более эффективной методики и построении новых матричных алгоритмов расчета процессов в радиотехнических устройствах на основе развития методов теории электрических цепей;

- матрично-топологический метод узловых напряжений распространен на электрические цепи общего вида, содержащие идеализированные источники напряжения и необратимые унисторные ветви; получены решения матричных узловых уравнений, служащие готовыми алгоритмами формирования дифференциальных уравнений и расчета переходных процессов методом переменных состояния;

-разработана теория и обоснован математический аппарат аппроксимации функций переходного процесса линейной электрической цепи на каждом шаге времени в виде ряда Тейлора в матричной форме;

-предложен способ вычисления членов ряда Тейлора на основе рекуррентного уравнения;

-создан и доведен до практического алгоритма новый численный метод матричного ряда Тейлора, способный значительно повысить точность и (или) скорость расчета процессов в сложных линейных радиотехнических цепях;

-метод матричного ряда Тейлора распространен на цепи с переключениями, являющиеся моделями ключевых устройств;

-представлен ряд новых результатов применения предложенной методики расчета сложных переходных процессов (быстроизменяющихся, жестких) в практических схемах мощных ключевых устройств.

Практическая ценность работы состоит в:

• разработке новой инженерной методики и на ее основе алгоритмов и программ, превосходящих известные аналоги по важнейшим показателям (точность и скорость) и позволяющих на качественно новом уровне выполнять расчеты сложных процессов в радиотехнических устройствах;

• создании методических основ и соответствующего программного обеспечения для изучения ориентированных на применение компьютера разделов анализа сложных электрических цепей учебных дисциплин радиотехнического профиля; использовании разработанной методики в курсовом и дипломном проектировании, аспирантских исследованиях;

• выработке рекомендаций для научно-исследовательских организаций, основанных на результатах моделирования и оптимизации параметров и режимов ряда практических систем, в частности мощных ВЧ генераторов, ключевых радиоустройств, радионавигационных систем.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

• система обобщенных матричных узловых уравнений резистивных цепей с идеализированными источниками напряжения и невзаимными элементами, реализуемыми унисторными ветвями;

• методика и алгоритм построения матричного дифференциального уравнения состояния в канонической форме на основе решений матричных узловых уравнений цепи, приведенной к резистивной;

• метод численного решения уравнения состояния на основе ряда Тейлора в матричной форме;

• способ и алгоритм вычисления членов ряда Тейлора с помощью рекуррентного матричного уравнения.

Апробация работы. Основные положения, новые научные результаты и выводы диссертации являлись предметом обсуждения на научных семинарах кафедр ТОЭ СПбТУ, СПбЭТУ, кафедры ТЭЦ СПбГУТ, кафедры СИУРС ТЭИС, докладывались и обсуждались на Всесоюзном научно-техническом семинаре " Повышение эффективности проектирования радиотехнических систем " (Томск, 1986), на Всесоюзной научно-технической конференции "Повышение помехоустойчивости систем связи" (Ташкент, 1990), на научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава СПбГУТ (1993-1998).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 39 научных работ, в том числе 24 статьи в научных журналах и сборниках, 13 тезисов научных докладов, 2 учебных пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 135 наименований. Основная часть диссертации изложена на 210 страницах машинописного текста, содержит 60 рисунков и 4 таблицы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, представлены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава посвящена вопросам развития теории и методов анализа рези-стивных цепей применительно к задаче формализованного построения уравнений переходных процессов. Наиболее рациональным для практического использования решение этой задачи представляется на основе аппарата топологических матриц и матричных узловых уравнений. Однако до настоящего времени метод узловых напряжений не приспособлен к анализу переходных процессов методом переменных состояния. Отмечается, что проблема узлового анализа с использованием топологической матрицы узлов решена применительно к цепям, состоящим только из независимых источников тока и проводимостей (обобщенных С/0-ветвей рис. 1а). Для этого частного вида обратимых резистивных цепей известны матричные решения узловых уравнений, представляющие по сути готовые алгоритмы.

Поскольку в известном виде метод узловых напряжений допускает базовый набор ветвей, ограниченный обобщенной &0 -ветвью, то он оказывается непригодным для получения решений матричных уравнений цепей, содержащих идеализированные источники напряжения (и0-ветви рис. 16). В известных модификациях метода узловых напряжений предполагается схемное преобразование исследуемой цепи в целях устранения м0-ветвей и фактически задача сводится к анализу &д-цепи. В силу указанных причин метод узловых напряжений не нашел применения при формализации операций расчета переходных процессов методом переменных состояния, при использовании которого требуется проводить анализ цепи с эквивалентными идеализированными источниками напряжения, замещающими емкости (иос-ветвями).

Одна из задач главы состояла в теоретической доработке метода узловых напряжений в целях устранения отмеченного недостатка. Показано, что учет идеализированных источников напряжения в узловом анализе возможен при включении в топологическую А-матрицу дополнительных узлов и и0-ветвей, т.е. матрица узлов обобщается путем учета взаимосвязей независимых (НУ) и дополшггелышх (ДУ) узлов с ав - и м0-ветвями :

Gia- ветви! ц, -ветви

А =

НУ

ДУ

(1)

Предложенное разделение А -матрицы на блоки и введение соответствующих групп электрических величин для токов и напряжений позволяет без схемных преобразований решать матричные уравнения обратимых цепей с источниками тока и напряжения. Так, например, уравнение по закону токов Кирхгофа с учетом разделения узлов и ветвей на группы и А -матрицы на блоки (1) имеет вид

G/„ - ветви ц„ - ветви

НУ ^•HOk AtfKo : («о) •в

ДУ II Уы *в

= 0

(2)

Связь напряжений ветвей с узловыми напряжениями, выражается законом напряжений Кирхгофа в следующей форме:

НУ

,(®»)|| GU - ветви II А:

в

•о

и„ - ветви

HOk

Аи«о

ДУ

Ат

(3)

*ду

Показано, что, составив диагональную матрицу проводимостей ветвей GB, векторы-матрицы задающих токов i0B, напряжений иов, топологическую А-матрицу узлов (1) и используя решения матричных уравнений (2) и (3), можно определить-все искомые переменные обратимой резистивной цепи, включающей Gi0- и к0-ветви подобно тому, как это выполняется по известной методике для частного случая (7/0-цепи. В практическом отношении полученные решения матричных узловых уравнений представляют строго формализованную последовательность расчета, т.е. готовые для программирования алгоритмы.

Продолжает главу исследование возможности распространения найденных решений матричных узловых уравнений на необратимые цепи общего вида. С этой целью предложено отказаться от общепринятых моделей необратимых активных элементов, трансформаторов и гираторов в виде зависимых источников, т.е. эквивалентную схему замещения необратимой цепи общего вида представлять только посредством независимых источников, узлов и ветвей (в том числе и специальных ветвей, учитывающих невзаимные и другие свойства элементов цепи).

Ветвью, пригодной для этой цели является унисторная ветвь (5-ветвь, рис.1в), основные свойства которой, как резистивной необратимой ветви впервые приведены в известной монографии*. Однако в этой фундаментальной работе и в последующих трудах других авторов применение унисторных ветвей ограничивалось лишь топологическими методами анализа электронных схем. Вопросы же включения унисторов в матричные узловые уравнения и методика решения этих уравнений не были разработаны.

'овШ

Щ

'Я

О

/

Щ

ь

а)

б)

Чш

т Я-и»

Рис.1 Типы ветвей, введенных в матричные узловые уравнения: а - обобщенная О/в-ветвь; б - ид-ветвь; в - унисторная необратимая ¿'-ветвь.

В диссертации определены условия и предложена методика, в соответствии с которой унистор можно анализировать на равных основаниях с обычными обратимыми ветвями. Как и для случая обратимой цепи вводится понятие топологической матрицы узлов цепи с унисторами, т.е.вместо (1) используется обобщенная А-матрица

А =

- ветви | «„ - ветви

НУ I !

ду 1 А ! ¡1 1 АД»о

(4)

Особенностью этой матрицы и ее блоков А же«, А ц„0, А^ао Адио является введение коэффициента у, на который умножаются все коэффициенты инциденций унисторных ветвей их холостым узлам и принято у=0 для матричного уравнения, связывающего токи ветвей с узловыми напряжениями, и у=1 для уравнений, основанных на законах токов и напряжений Кирхгофа.

Предложенная методика включения унисторов в матричные уравнения позволила распространить матрично-топологический аппарат узлового анализа на рези-

' Мээон С., Циммерман Г. "Электронные цепи, сигналы и систолы" М.: ИЛ, 1963.

стивные цепи общего вида, содержащие наряду с б^-ветвями и и0-ветвями необратимые унисторные 5-ветви.

Как и для случая обратимой цепи полученные решения матричных уравнений служат готовыми алгоритмами для программирования и численных расчетов.

Завершает главу обоснование возможности использования найденных решений системы матричных узловых уравнений для предельно формализованного расчета матричных коэффициентов Ос,н Б иош уравнения состояния электрической цепи

общего вида:

Ф/а(г)! Л = ^ (О = (5)

(0

где уа(0 = ¡и0СВ(Г) | ¡01В(г)!Г У„Л(0 = ¡ис„^(0:1

соответственно матрицы-столбцы переменных состояния и задающих источников напряжения и тока; П> = || Э | Б

Показано, что поскольку замещение емкостей и индуктивностей исследуемой цепи дополнительными источниками напряжения (г/вс-ветвями) и тока (/¡¡¿.ветвями) приводит к цепи, по виду не отличающейся от резистивной, то для нее оказываются справедливыми все найденные решения матричных узловых уравнений. Связывая в матричной форме дифференциальные уравнения для емкостей и индуктивностей с гоответствующими уравнениями цепи, приведенной к резистивной, можно получить золную систему уравнений состояния:

а

о ! ь ~

МО', №(0=Ну(0,

(6а,б)

где С 3 и Ь*- диагональные матрицы соответственно обратных емкостей и

■в---'в

шдуктивностей ветвей;

= ^/'(О | ив№)(о||т матрица-столбец токов емкостей и напряжений индук-•ивностей;

Н = | Н^Л* матричный коэффициент передачи цепи, приведенной к рези-

1ТИВНОЙ.

Таким образом, задача нахождения коэффициентов Ось, О иош уравнения (5) фактически сводится к вычислению коэффициента передачи Н на основе найден-

ных в работе решений системы матричных узловых уравнений, цепи, приведенной к резистивной.

Вторая глава посвящена развитию теории расчета переходных процессов на этапе численного решения матричного дифференциального уравнения состояния (5). Анализируются известные численные методы и отмечается, что наиболее распространенными среди них являются разностные методы, решение на основе которых дает дискретные значения функций переходного процесса в отдельных близких точках, т.е. на малых шагах времени. Низкая точность аппроксимации процесса на каждом шаге, отсутствие эффективного контроля точности решения в этих методах заставляют выбирать размеры шагов весьма малыми, в результате при расчете сложных процессов общее число шагов и время расчета могут оказаться неприемлемыми.

Исследуется возможность устранения недостатков разностных методов посредством разложения функций переходного процесса линейной цепи в ряд Тейлора на каждом шаге времени. Из теории известно, что для переходных процессов в цепях, описываемых аналитическими функциями времени (гармоническими, экспоненциальными и при наличии кратных корней - множителями времени /), решение в виде ряда Тейлора является единственным, устойчивым и сходящимся. Из сходимости ряда следует - при достаточном числе членов разложения остаточный член может быть сделан сколь угодно малым, что обеспечивает любую гарантированную точность. При этом добавление одного члена разложения обычно гораздо эффективнее, чем дробление шага на множество частей.

Отмечается, что для практической реализации этих преимуществ необходим достаточно простой метод разложения функций переходного процесса в ряд Тейлора с произвольным числом членов. Во многих исследованиях, посвященных вопросам численного анализа обыкновенных дифференциальных уравнений и их приложениям к расчету цепей отмечается возможность представления решения в виде ряда Тейлора, но простых и эффективных способов вычисления членов ряда никто из авторов не предлагал.

Идея решения проблемы вычисления членов ряда в виде рекуррентного уравнения предложена проф. А.Д.Артымом в середине 80-х. В дальнейшем автором диссертации разработаны практические формы использования этого решения, проведена апробация в ряде важных практических задач и в одной из совместных работ закреплен приоритет на предложенные идеи.

Принцип получения рекуррентного уравнения, позволяющего вычислять заданный член разложения в ряд Тейлора по двум предыдущим, иллюстрируется на про

стейшем примере цепи разряда емкости С на резистор уравнение состояния которой имеет вид:

В качестве нулевого приближения (первого члена ряда Тейлора) для аналитического решения и(!) = и0е°' используется начальное напряжение, т.е.

ипР °(1) = и(0) =и д ■ Первое приближение (два члена ряда Тейлора) можно получить, интегрируя уравнение (7а), взяв правую часть в нулевом приближении

= иг*л(1)=и,+Юий (8а,б)

Используя иПр1(помощью уравнения (7а) аналогично можно найти второе приближение:

, Пр.2,.) (2

= 11^(1) = ид + юи0 + ~пги0. (9а,б)

Повторение операций уточнения позволяет получить усеченные ряды Тейлора, аппроксимирующие решение и(0~ (/0еЛдля произвольных (£-2)-го, (¿-1)-го и ¿-го приближений, из которых следует рекуррентное уравнение

= (10)

согласно которому последующее приближение решения может быть получено через два предыдущих с помощью простейших операций.

Отмечается, что для учета функций воздействия (источников напряжения и тока) - эти функции должны быть разложены в ряды Тейлора. Степень приближения (число членов ряда Тейлора) должна соответствовать степени приближения переменной состояния. В силу принципа суперпозиции для линейных цепей влияние каждого члена разложения функции воздействия можно рассчитывать независимо.

Продолжает главу изложение теории ряда Тейлора в матричной форме. Показано, что для линейной цепи произвольной сложности справедливы уравнения, аналогичные приведенным выше. Для п-го шага при изменении времени I в пределах матричные функции переменных состояния \cift), значений источников

(?) и функция воздействия \'(г) могут быть представлены в /с-м приближении (Цр.к) в виде степенных рядов типа усеченного рада Тейлора:

= (Иа-в)

где матричные коэффициенты с нулевыми индексами равны значениям матриц при Г=0:

У(„а) = Ус,(0); У00 = у,11а(0); Уо = У(0).

При определении согласно (5) решения для \ы(() в к-м приближении решение в (к-1)-м приближении считается известным, т.е. определяется соотношением

Оо^-'ЧО+К-у^+ъ^ ■▼„_,}/*/*-=

-УТЛО+п-уы-*11к, (12)

где

уы • = - ^'"'(О- (13)

Из (12), (13) следует рекуррентное уравнение

-)+/' к »с, • №м>(0 - +

{у^^'со-у^^'сг)}. (и;

Уравнение (14) дает решение для матрицы переменных состояния ма на каждом шаге А в виде ряда Тейлора с любым числом членов разложения и позволяет от решения с низкими степенями (к-\), (£-2)-1триближения-перейти к более высокой степени приближения.

Таким образом, если функции воздействий заданы в виде степенных рядов, тс соответствующая матрица \ Ша, т.е. члены ряда известны для любых к, а матрицг \С1 - в нулевом приближении (начальные условия), то (14) позволяет повысить сте

пень приближения от нулевого до требуемого значения к. Следовательно, получен: возможность неограниченного увеличения точности решения на каждом шаге пуга

внесения простых поправок к решениям более низких степеней. Показано, что по трудоемкости переход к следующему приближению с помощью (14) примерно соответствует переходу к следующему шагу в обычных алгоритмах.

Рекуррентное уравнение дает простой и надежный критерий точности расчета на каждом шаге:

¿5, (15)

т.е. расчет проводится до такого приближения, при котором дальнейшее уточнение практически не оказывает влияния на результат численного решения, и тогда можно оборвать вычисление приближений на данном шаге и переходить к следующему.

Как показали исследования, другой важной отличительной особенностью метода матричного ряда Тейлора является возможность представления решения внутри шага (0 < г < к) в непрерывной (аналитической) форме:

Уа(г) = уа(0)+|[У?/(А)-У2(м)(й)]^ (16)

По существу предложен принципиально новый алгоритм вычислений. Вместо расчета дискрет переходного процесса рассчитываются коэффициенты матричного ряда Тейлора, по которым может быть найдено значение функции переходного процесса для любого момента времени внутри заданного шага, а сам шаг может быть в сотни, тысячи и более раз больше обычного шага в существующих программах. В ряде случаев в качестве такого "шага" может быть взят переходный процесс во всем заданном интервале времени.

Завершает главу сопоставление предложенного метода с известными численными методами решения уравнений состояния (Рунге-Кутта, матричных экспонент). Приводится оценка и сравнение погрешностей методов.

Анализ показывает, что при заданном разложении матричной функции воздействия в степенной ряд (например расчет свободных колебаний, переходных характеристик, переключений при наличии в цепи только постоянных источников напряжения и тока, воздействий в виде функций гармонических колебаний, импульсов и др.) метод матричного ряда Тейлора обладает бесспорным преимуществом перед другими, поскольку позволяет, начиная от нулевого у^°(/г)и первогоу^л (И), переходоггь

ко все более высоким приближениям путем вычисления поправок согласно простому рекурентному уравнению (14). Этим обеспечиваются большие возможности повышения точности расчетов и сокращения машинного времени.

Разностные методы типа Рунге-Кугга не дают столь простых возможностей перехода от данной степени приближения к последующей. Кроме того, достаточно простые и удобные формулы Рунге-Кутта известны лишь для относительно низких степеней приближения (наиболее употребительные - до 4-й степени). Метод матричных экспонент дает конечные результаты, в точности совпадающие с результатами по метод}' матричного ряда Тейлора, однако при этом процедура расчета оказывается гораздо более сложной и не позволяет выразить решение с более высокой точностью через решения с более низкими степенями точности.

Выполненные исследования дают основание полагать, что предложенный автором метод с указанными свойствами позволяет устранить основные недостатки традиционных численных методов, т.е. обеспечивает:

-любую заданную точность расчета на каждом шаге ;

-расчет процессов с максимальной скоростью за счет выбора оптимального шага;

-составление простой программы для компьютера.

Третья глава диссертации посвящена вопросам программной реализации разработанных матрично-топологических методов, их практической проверки и оценки вычислительной эффективности при моделировании процессов в различных классах линейных радиотехнических цепей.

Приводится полный, предельно формализованный алгоритм численного анализа переходных процессов, включающий все необходимые этапы. Вычисление коэффициентов дифференциального уравнения состояния (5) и полный расчет электрических величин переходного процесса выполняются на основе решений матричных узловых уравнений цепи, приведенной к резистивной, а численное решение уравнения состояния - методом матричного ряда Тейлора.

В соответствии с предложенным алгоритмом разработана и составлена на языке ТУРБО-ПАСКАЛЬ универсальная программа TRANS. Результаты расчетов по разработанной программе сопоставлялись с аналогичными результатами, полученными с помощью стандартных программ. Для большинства исследованных цепей получены точные аналитические решения, служащие расчетным эталоном, т.е. погрешность численного решения оценивается выражением:

и-и.

£ =

11АНАЛ

100%,

где и и иАИАЛ - мгновенные значения контрольного напряжения соответственно при численном и аналитическом решениях.

Представлены результаты расчета переходных характеристик сложных, в том числе и неустойчивых линейных систем. Показано, в частности, что, применяя метод матричного ряда Тейлора и используя на кавдом шаге степень приближения (число членов ряда) ¿=30, можно рассчитать практически весь переходный процесс в ФНЧ Батгерворта 5-го порядка за 2-3 шага, гарантируя при этом погрешность е<0,1 %. Аналогичный расчет стандартным методом трапеций (степень приближения на шаге кг=2) для обеспечения указанной погрешности требует значительно большего числа шагов и машинного времени.

Именно вычисление коэффициентов ряда Тейлора вместо расчета отдельных близких точек самой функции переходного процесса позволяет при заданной точности получать выигрыш в скорости расчета. Это открывает новые возможности при практическом использовании метода матричного ряда Тейлора в задачах синтеза и оптимизации сложных линейных систем во временной области, т. е. по заданным требованиям к их временным характеристикам.

Продолжает главу исследование возможности повышения вычислительной эффективности расчета переходных процессов в высокодобротных радиоцепях. Приводится теоретическая оценка ожидаемого выигрыша по точности расчета радиоимпульса при переходе от 2-го приближения на шаге (метод трапеций), например, к десятому (метод матричного ряда Тейлора). Показано, что увеличение объема вычислений в 5 раз позволяет повысить точность в Ю10 раз. Очевидно, что столь большой выигрыш в точности практически не нужен, поскольку обычно не возникает необходимости производить вычисление на каждом шаге с погрешностью 10"13. Однако такой выигрыш позволяет обеспечить приемлемую для практики погрешность при резком сокращении числа шагов и соответственно времени расчета, т.е. метод позволяет обменивать избыток точности на скорость вычислений.

Иллюстрацией, подтверждающей приведенную оценку является проведенный в работе расчет переходных процессов в ПФ Батгерворта 10-го порядка (рис.2) при входном воздействии «[(0 = Получено точное эталонное аналитическое

решение для напряжения на выходе фильтра иС) = иШАЛ. Параметры фильтра выбраны так, что полоса пропускания А а) во много раз меньше частоты резонанса со0 контуров (для расчетов принято £2-&д / Лео = 300).

Расчет по стандартной программе (метод трапеций) показал, что достаточная точность совпадения с эталонной кривой (5^3,8%) при сравнительно небольших затратах машинного времени (1,5 мин для компьютера ШМ 486ск50) достигается лишь на 1/10 части расчетного интервала, составляющего 1500Г (Т-2л/ ¿2) (рис.3, линия а).

Метод матричного ряда Тейлора обеспечивает расчет всего процесса до момента I = 1500 Г с погрешностью £ <0,1% при шаге И = 0,1 Г и числе приближений на шаге ц = 7-9 за 55 с машинного времени.

При оптимальной величине шага Аост -ЗТн числе приближений на шаге # = 5759 расчет всего процесса с погрешностью £ <0,1% выполнен за 6 секунд. Отмечается, что способность метода работать с оптимальным шагом открывает возможность очень быстрого расчета огибающей ВЧ процесса. При необходимости выполнения детального расчета некоторой части процесса метод позволяет легко перейти на малый шаг (рис.4) и осуществить такой расчет.

С целью более полного анализа вычислительной эффективности метода проводилось моделирование всего процесса цепи рис.2 и при других величинах шага И. Результаты приведены в таблице:

Шаг расчета Ъъгг Число шагов Ы=1500& Число приближений на шаге q Объем вычислений V - дЫ

£<0,1% £ < 0,01% £ <0.1% £ <0.01%

0,1 15 103 7-9 10-12 135 103 180 103

0,5 3 Ю3 18-19 20-21 57 103 63 103

1,0 1,5 103 27-28 29-30 42 103 45 103

2,5 0,6 103 51-52 53-54 31.2 103 32,4 103

3,0 0,5 10* 57-59 60-62 29,5 103 31 103

3,5 0,43 103 72-74 76-77 31,8 103 34 103

4,0 0,37 103 96-98 102-104 36,3 103 38,5 103

Из таблицы следует, что общий объем вычислений и соответственно машинное время достигают минимума только при оптимальной величине шага Итг = 37'.

Результаты (см. таблицу) также подтверждают, что способность метода путем простых операций варьировать числом членов ряда Тейлора позволяет легко контролировать и при необходимости повышать или снижать точность расчета. Например, повышение точности в 10 раз достигается увеличением на 2-3 единицы числа приближений (членов ряда Тейлора) на каждом шаге. При этом для оптимального шага (и близких к нему) общий объем вычислений и время расчета увеличиваются незначительно.

«.(0 = = 21(()'С05£2Г

и2© = = «с5(0

Рис.2. Анализируемый полосовой фильтр Баттерворта 10-го порядка с нормализованными параметрами Л= 1; С/=С<=2бю Л11=¿5= 1 /(2 2зш Я/10), С2=0=!/(2£РяпЗ /Г/10); Я/10; С>2;13= 1/2ГР

1 .Б 1.0 е. е и. 0

Рис.3. Временная зависимость выходного напряжения анализируемого фильтра с шагом /г=0.1X

1.5 1.0

о.5

о.о

-0.5

.о

-1 .5

-2.0 -о.о

и 2 „___

" в ^

■

- ■

...... ■

1 /г

500.0

т ооо.о

1500.0

Рис.4. Временная зависимость выходного напряжения анализируемого фильтра с шагами «„,„=371 Л=0.1Г

Завершает третью главу диссертации исследование вопроса применения метода матричного ряда Тейлора к расчету процессов в цепях с распределенными параметрами, в частности, при решении задачи аппроксимации длинной линии во временной области.

Известны методики замены длинной линии цепочечным эквивалентом, основанные на анализе в частотной области. Однако повышение степени соответствия переходных процессов в реальной линии процессам в замещающем ее эквиваленте требует дополнительной оценки погрешности такой аппроксимации непосредственно во временной области. Традиционные численные методы (Эйлера, трапеций, Рун-ге-Кутга и др.) в общем случае не обеспечивают высокой точности расчета за практически приемлемое машинное время и малопригодны для решения задач подобного рода.

Исследована идеальная линия без потерь, согласованно нагруженная на волновое сопротивление. Задача состояла в определении минимально необходимого числа звеньев, при котором цепочечный эквивалент с погрешностью е ~ 2-3% воспроизводит на выходе (с определенной задержкой) гармоническое воздействие. Получены результаты расчета для различных величин параметра нормированной к периоду воздействия задержки Гз / Т. Например, при гз / 7=0,32 для аппроксимации реальной длинной линии с указанной погрешностью требуется цепочечный эквивалент с числом звеньев л =20. Для такой цепи расчет методом матричного ряда Тейлора при величине шага А = 0,05 Т (20 точек на периоде колебаний) требует 16-17 приближений (числа членов). Для сравнения отмечается, что заданная погрешность расчета переходного процесса до момента времени Г = 2 00Т на основе стандартного метода Рунге-Кутга 4-го порядка требует уменьшения шага расчета в 103 раз, что приводит к увеличению в 300-350 раз машинного времени.

Четвертая глава диссертации посвящена исследованию возможностей применения предложенных методов к дискретным системам различного функционального назначения и внедрению этих методов в практику расчета процессов в мощных, в том числе и ключевых радиоустройствах. Проведена классификация различных видов дискретных систем, в основу которой положена структура линейной части цепи на различных интервалах развития переходного процесса.

В дискретных системах первой группы при всех коммутациях топология схемы не меняется, а изменяется лишь входное воздействие, причем эти изменения совпадают с моментами переключения активных приборов или вентилей. Процессы в таких системах описываются линейными дифференциальными уравнениями с посто-

янными коэффициентами, а в правых частях этих уравнений появляются разрывные (кусочно-аналитические) функции.

В дискретных системах второй группы переключения изменяют конфигурацию схемы, и параметры линейной части цепи можно считать неизменными лишь на отдельных интервалах времени. Процессы в такой системе с переменной структурой в пределах каждого интервала между переключениями также описываются линейными дифференциальными уравнениями, значения коэффициентов которых и порядок могут изменяться на границах интервалов.

К системам третьей группы отнесены схемы и режимы устройств, в которых структура линейной части цепи изменяется дискретно внутри интервала между коммутациями, причем моменты изменения конфигурации цепи не фиксированы во времени, а являются функциями параметров схемы. Такие системы относятся к классу нелинейных с дискретно изменяющимися параметрами.

Отмечается, что замена стандартных методов и соответствующих программ (типа PSPICE, MICRO-CAP и др.) аппаратом матричного ряда Тейлора радикальным образом улучшает методику численного анализа процессов в дискретных системах, придавая ей способности:

-многократного ускорения расчета, путем выполнения его шагом от переключения до переключения, избавляя от необходимости подробного расчета переходных процессов малым шагом на длительных временных интервалах;

-представления аналитической формы решения для токов и напряжений схемы в любой момент внутри интервала между переключениями;

-существенного упрощения задачи нахождения моментов переключений активных приборов, диодов, тиристоров;

-эффективной числовой обработки "жестких" уравнений переходных процессов, характерных для ключевых схем.

На основе предложенных матрично-топологических методов разработана математическая модель обобщенной схемы мощного генератора ВЧ и соответствующая программа, которая была использована для решения следующих практических задач:

¡.Максимизация электронного КПД в генераторах класса С с независимым возбуждением.

2 Построение оптимальной цепи обратной связи мощных автогенераторов.

3.Выявление и устранение перенапряжений на фронтах радиоимпульса, формируемого в оконечном каскаде сверхдлинноволнового (СДВ) радионавигационного передатчика.

4. Расчет оптимальных режимов импульсно-фазового тиратронного передатчика с 2-х контурной системой, минимизирующих уровень остаточных колебаний радиоимпульса.

При решении первой из указанных задач время моделирования процессов и расчета энергетических характеристик генератора для одного варианта исходных данных не превышало 3-4 с (для компьютера 486с1х50), что позволило выполнить обсчет большого числа вариантов и получить подробный справочный материал в виде графиков и таблиц для проектирования режима с максимальным КПД. В работе приводятся зависимости электронного КПД и мощности потерь на сетке от угла отсечки, рассчитанные для генератора на триоде ГУ-66А. Анализ этих зависимостей показал, что существует оптимальная расстройка анодного контура, получаемая путем повышения его резонансной частоты по сравнению с рабочей частотой генератора и обеспечивающая при прочих равных условиях дополнительное повышение КПД на 2-3%.

Полученный вывод был использован при решении задачи построения оптимальной цепи обратной связи мощных автогенераторов. Как показали результаты моделирования, реальная частота автоколебаний в классической схеме автогенератора выше резонансной, т.е. является неоптимальной для КПД. Предложено включить в цепь сетки корректирующую индуктивность, обеспечивающую необходимые для максимизации КПД фазовые условия самовозбуждения. Определены требуемые значения корректирующей индуктивности для практически используемых углов отсечки. Как показали результаты моделирования выполненная коррекция цепи обратной связи позволяет повысить на 7-8% КПД промышленных автогенераторов.

Исследована задача моделирования и оптимизации радиоимпульса, формируемого в оконечном каскаде мощного СДВ радионавигационного передатчика, содержащего антенну с добротностью около 600, радиочастотный фильтр из 7 реактивных элементов, фильтр источника питания. Информация передается через частоту и фазу радиоимпульса, содержащего примерно 10 тысяч периодов колебаний ВЧ. Попытки рассчитать даже часть такого радиоимпульса с требуемой точностью при помощи стандартных программ приводили к неприемлемо большому расчетному времени.

Расчет всего радиоимпульса по предложенной методике при величине шага h = Т/10 (10 точек на периоде ВЧ колебаний) с погрешностью е «0,5% потребовал выполнения 10-12 приближений (числа членов ряда Тейлора) на каждом шаге. Время расчета для компьютера IBM 486dx50 составило не более 3 мин.

Исследования показали, что в исходной схеме передатчика наиболее интенсивными, т.е. наиболее опасными для лампы и элементов фильтра, являются перенапряжения, возникающие на заднем срезе радиоимпульса (рис.5). Кроме того, столь интенсивный процесс заметно влияет на следующий радиоимпульс, т.е. ухудшает качество передаваемой информации.

Введение в схему ограничительных диодов позволило существенно улучшить форму радиоимпульса и снизить длительность переходного процесса на заднем срезе (рис.6). Отмечается, что при включенном диоде, моделируемом малым сопротивлением (3-4 Ом), процессы в электрической цепи передатчика на некоторой части периода ВЧ колебаний описываются "жесткой" системой уравнений, численное решение которых традиционными методами сопряжено с определенными трудностями. Применение метода матричного ряда Тейлора обеспечивает повышенную точность расчета на интервале "жесткости" лишь увеличением числа приближений на шаге до 42-43 по сравнению с 10-12 приближениями для случая без диодов.

Предложенный автором численный метод расчета переходных процессов использован также при решении задачи подавления остаточных колебаний радиоимпульса, излучаемого передатчиком ИФРНС без применения дополнительных коммутирующих устройств. В результате поиска оптимального решения путем моделирования процессов установлено, что дополнительное подавление остаточных колебаний за счет повторного включения тиратрона в 2-х контурной системе составляет около 30-40 дБ, что существенно улучшает условия поиска сигнала и электромагнитной совместимости.

В целом исследования, выполненные в четвертой главе диссертации дают основание полагать, что математическое моделирование процессов в мощных ключевых радиоустройствах на основе предложенных матрично-топологических методов и алгоритмов представляется наиболее рациональным способом численного анализа и оптимизации режимов практических схем, позволяющим существенно улучшить качество и снизить сроки проектирования.

Рис.5. Зависимость анодного напряжения в исходной схеме СДВ радионавигационного передатчика

6000 7000

О ЮОО 2000 ЗООО 4-000 5000

Рис.6. Зависимость анодного напряжения СДВ передатчика при введении в схему ограничительных диодов

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа вносит определенный вклад в решение научной проблемы совершенствования теории и методов расчета переходных процессов в радиотехнических цепях и имеет важное практическое применение.

Основные результаты работы:

1. Дано развитие системы матричных узловых уравнений резистивных цепей, как рациональной основы формализованного расчета переходных процессов. Формализованы понятия дополнительных узлов и «о-ветвей, что позволило обобщить топологическую матрицу узлов и получить простой алгоритм решения узловых уравнений цепи с идеализированными источниками напряжения, без схемных преобразований последней.

2. Метод узловых напряжений распространен на резистивные цепи общего вида, включающие невзаимные унисторные ветви. Введено понятие топологической матрицы цепи с уннсторами, что позволило, как и для случая обратимой цепи с источниками напряжения и тока, получить решения узловых уравнений.

3. Разработана и реализована в виде матричного алгоритма методика применения полученных решений узловых уравнений для составления уравнений переходных процессов методом переменных состояния.

4. Проведено теоретическое обоснование возможности аппроксимации функций переходного процесса линейной электрической цепи в виде матричного ряда Тейлора на каждом шаге времени. Получено рекуррентное уравнение, позволяющее с помощью простых операций вычислять любое число членов ряда, т.е. переходить от заданной к более высокой степени точности решения на каждом шаге без изменения алгоритма расчета.

5. На основе математического аппарата матричного ряда Тейлора создан новый метод численного решения уравнений переходных процессов в линейных электрических цепях, который устраняет основные недостатки известных методов, т.е. обеспечивает:

• результат расчета на каждом шаге с любой заданной точностью:

• расчет процессов с максимальной скоростью за счет выбора оптимального шага;

• решение внутри шага в непрерывной (аналитической) форме.

6. Разработана универсальная программа расчета переходных процессов в линейных радиотехнических цепях, в которой реализованы предложенные автором

эффективные алгоритмы составления и численного решения уравнений переходных процессов.

7. Выполнено моделирование процессов в различных видах линейных цепей, на примере которых доказано, что применение новой методики дает бесспорный выигрыш в точности и скорости расчетов по сравнению с традиционными численными методами.

8. Определены классы задач линейных (линеаризованных) цепей электро- и радиотехнических устройств, решение которых на основе предложенных матрично-топологических методов представляется наиболее эффективным :

- переходные процессы в цепях формирования и фильтрации сигналов, в частности в электрических фильтрах высоких порядков как при согласованной, так и несогласованной (произвольной) нагрузках;

- переходные процессы в радиопередающих, радиоприемных устройствах и усилителях различных типов, в том числе апериодические и квазигармонические процессы в многоконтурных цепях;

- анализ и синтез цепей формирования видеоимпульсов (например модуляторов) и радиоимпульсов с заданными значениями изменения амплитуды и фазы;

- переходные процессы в сложных микросхемах, например, в операционных усилителях;

- переходные процессы в силовых цепях, содержащих трансформаторы, электрические машины, линии передачи и т.п.;

9.0боснована возможность распространения метода матричного ряда Тейлора на электрические цепи с переключениями, в частности, на мощные и ключевые радиоустройства различного функционального назначения. Предложенный метод позволяет радикально усовершенствовать методику численного анализа процессов в таких системах:

- многократно повысить скорость расчета путем выбора шага от переключения до переключения;

- упростить процедуру нахождения моментов переключения активных при боров, диодов, тиристоров;

- обеспечить эффективный расчет "жестких" процессов в ключевых схемах;

Ю.Разработана математическая модель обобщенной схемы мощного генератора

ВЧ, на основе которой:

- исследованы реальные процессы установления колебаний в мощных генераторах класса С и найдены оптимальные соотношения между рабочей частотой и пара-

метрами анодной и сеточной цепей, максимизирующие электронный КПД в режимах независимого возбуждения и автоколебаний;

- выявлены и устранены причины перенапряжений на заднем срезе радиоимпульса, формируемого в оконечном каскаде СДВ радионавигационного передатчика;

- выполнен расчет оптимальных режимов импульсно-фазового радионавигационного передатчика с 2-хконтурной системой, минимизирующих уровень остаточных колебаний радиоимпульса.

11. Разработанные методы, алгоритмы и программы внедрены в ряде организаций при решении практических задач проектирования промышленных генераторов, выходных каскадов мощных радионавигационных систем, в учебном процессе кафедры ТЭЦ университета, дипломных работах, аспирантских исследованиях.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Филин В.А., Артым А.Д. Повышение скорости и точности расчетов переходных процессов на компьютере // Обработка сигналов в системах связи: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ.- СПб, 1996,- Вып. 162.

2. Филин В.А., Артым А.Д. Матрично-топологические методы анализа переходных процессов в пассивных RLC-цепях // Электричество, 1994. № 8.

3. Филин В.А., Артым А.Д., Плотников H.A. Переходные характеристики фильтров //51 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,- СПб, 1998.

4. Филин В.А. Применение матрично-топологических методов для моделирования на ЭВМ процессов в электрических цепях ключевых радиоустройств// Анализ и моделирование сигналов и систем связи: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ,- СПб, 1994,- Вып.159.

5. Филин В.А. Новая методика компьютерного моделирования переходных процессов в электрических цепях радиотехнических устройств // 50 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,- СПб, 1997.

6. Филин В.А., Х.А.Аль-Номан Программа ускоренного анализа и оптимизации процессов установления ВЧ колебаний в оконечном каскаде радионавигационного передатчика // 49 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,-СПб, 1996.

7. Филин В.А. Машинное моделирование и оптимизация автоколебательных режимов генераторов высокой частоты // 48 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,- СПб, 1995.

8. Филин В.А. Ключевой генератор класса Е в автоколебательном режиме // 48 НТК проф-преп. состава: Тез, докл. / СПбГУТ,- СПб, 1995.

9. Филин В.А. Расчет переходных процессов в электрических цепях ключевых устройств методом рекуррентных уравнений // 47 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ.- СПб, 1994.

10. Филин В.А. Влияние искажений формы анодного напряжения на выбор оптимального режима СО генератора высокой частоты // 47 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,- СПб, 1994.

11. Филин В.А. Ускоренный расчет переходных процессов в генераторах высокой частоты методом рекуррентных уравнений // Синтез и анализ алгоритмов оптимальной обработки сигналов: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ,-СПб, 1993,-Вып. 158.

12. Филин В.А. Методика ускоренного расчета на ЭВМ процессов установления колебаний в высокодобротных полосовых цепях // 46 НТК проф-преп. состава: Тез. докл. / СПбГУТ,- СПб, 1993.

13. Филин В.А. О выборе оптимального шага в задачах численного расчета процессов установления радиоимпульсов в полосовых цепях // Анализ и моделирование сигналов и систем связи: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ,- СПб, 1993,- Вып.157.

14. Филин В.А. Максимизация электронного КПД в мощных генераторах высокой частоты // Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ,- СПб, 1996,-Вып.162.

15. Филин В.А. Численное моделирование и оптимизация радиоимпульса в двухконтурной системе импульсно-фазового радионавигационного передатчика // Обработка сигналов в системах связи: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ.- СПб, 1996,- Вып.162.

16. Филин В.А. Повышение эффективности численного расчета переходных процессов в искусственной длинной линии на основе метода переменных

состояния // Обработка сигналов в системах связи: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ,- СПб, 1992,- Вып. 156.

17. Филин В.А., Артым А.Д. Оценка эффективности применения и реализация ряда Тейлора в матричной форме при расчете на ЭВМ переходных процессов в сложных линейных электрических цепях // Системы передачи информации и обработки сигналов: Сб. науч. тр. учеб. завед. связи / СПбГУТ.- СПб. 1991,- Вып.155.

18. Филин В.А., Артым А.Д. Матрично-гопологические методы анализа переходных процессов в электрических цепях: Учеб. пособие / СПбГУТ,- СПб, 1993.

19. Филин В.А. Выбор числа звеньев цепочечного эквивалента антенного фидера для сверхдлинноволнового радиопередатчика // Системы передачи и распределения информации: Сб. науч. тр. / MB и ССО РУ - Ташкент, 1992.

20. Филин В.А. Метод повышения эффективности цифровых моделей ключевых генераторов и усилителей // Всесоюз. НТК. Повышение помехоустойчивости систем связи: Тез. докл. - Ташкент, 1990.

21. Филин В.А., Клименко О.Л. Оптимальные характеристики цепи обратной связи усилителя класса D II Моделирование и оптимизация систем передачи информации: Сб. науч. тр.- ТашПИ,- Ташкент, 1990.

22. Филин В.А., Клименко О.Л. Метод оптимизации цепи обратной связи усилителя класса D // Радиотехника.- 1989,- № 12.

23. Филин В.А., Клименко О.Л. Численный анализ спектра выходного сигнала усилителя с ШИМ при бигармоническом воздействии // Теория и средства современных систем связи: Сб. науч. тр.- ТашПИ.- Ташкент, 1988.

24. Филин В.А., Клименко О.Л. Численный анализ спектра выходного сигнала усилителя с ШИМ при бигармоническом воздействии // Теория и средства современных систем связи: Сб. науч. тр.- 'ГашПИ.- Ташкент, 1988.

25. Филин В.А. Результаты численного анализа быстроосциллирующих переходных процессов в полосовых фильтрах // СПб, электротехн. ин-т свя-зи.1992. - Деп. в ЦНТИ "Информсвязь", 1992,- № 1873 св.

26. Филин В.А., Клименко О.Л. Максимизация глубины обратной связи в ключевых усилителях//Радиотехника,- 1990.9.

27. Филин В.А., Клименко О.Л. Алгоритм численного анализа переходных процессов в ключевых генераторах и усилителях. // Радиотехника,- 1991,- №3.

28. Филин В.А, Цифровые модели ключевых устройств с широтно-импульсной модуляцией П Всесоюз. НТС Проблемы моделирования радиотехнических систем: Тез. докл.- Томск, 1985.

29. Филин В.А. Электронное моделирование переходных процессов в линейных электрических цепях: Учебное пособие / ТЭИС,- Ташкент, 1984.

30. Филин В.А. Аналитические зависимости оптимальных частотных характеристик цепи коррекции УНЧ класса О // Теория передачи информации по каналам связи: Сб. науч. тр. учеб. ин-тов связи / ЛЭИС.- Л., 1983.

31. Филин В.А., Вогман В.Д. Определение постоянной времени цепи, формирующей процесс запуска конвертора // Радиотехника - 1982 - № 9.

32. Филин В.А., Клименко О.Л. Программа моделирования и анализа динамических процессов в замкнутых системах с ШИМ / ЛенЦТИ, 1992.- Инф. л. №25.

33. Филин В.А. Программа ускоренного расчета переходных процессов в полосовых радиоцепях / ЛенЦНТИ, 1992,- Инф. л. № 25.

34. Филин В.А., Семейкин В.Д. Дидактические материалы по ТЭЦ (линейные цепи): Учебное пособие / ТЭИС,- Ташкент, 1988.

35. Филин В.А. Исследование и проектирование максимальной отрицательной ОС в усилителях класса £). Автореф. дис.... канд. техн. наук / ЛЭИС. -Л., 1982.

36. Филин В.А., Артым А.Д. Эквивалентные частотные характеристики усилителя в режиме О с отрицательной ОС // Радиотехника. 1981, Т.36, № 10.

37. Филин В.А. Численный анализ устойчивости усилителя класса О с обратной связью. ЛЭИС - Л., 1981. - Деп. В ЦНТИ "Информсвязь" №62, 24.02.81

38. Филин В.А. К расчету частотных характеристик оптимальной корректирующей цепи усилителя класса Б // Системы и средства передачи информации по каналам связи: Сб. науч. тр. учеб. ин-тов связи/ЛЭИС,- Л., 1981.

39. Филин В.А. Автоматизация анализа динамических свойств и качественных показателей усилителя класса О с отрицательной обратной связью: Информ. листок / ЛенЦНТИ, 1981,№1047-81.

Подписано к печати 28.05.98. ЛР № 020475 от 29.04.97 Объем 2 печ.л. Тир. 60 экз. Зак №__.

Тип. СПбГУТ. 191186, СПб, наб.р.Мойки, 61.

/ ; /

У?-&

( ^ / * !,

Государственный университет телекоммуникаций _______________________им. проф. М.А. Бонч-Бруевича

Президиум ВАК России

(решение от" Ж " 19 г., № Щ/Ц |

присудил ученую степень

доктора;;

Начальник управления БАК России

ФИЛИН ВЛАДИМИР АЛЕКСЕЕВИЧ

На правах рукописи

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ И ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Специальность 05.12.17 -Радиотехнические и телевизионные системы

и устройства

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук

Научный консультант: доктор технических наук, профессор

А. Д. Артым

Санкт-Петербург 1998

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность проблемы. Основу широких классов радиотехнических устройств различного целевого назначения составляют электрические цепи, работающие в линейном (линеаризованном) режиме. Помимо традиционных аналоговых цепей непрерывного действия к числу линейных могут быть отнесены электрические цепи с дискретно меняющимися параметрами, определяемыми моментами переключения активных приборов. Именно переходные и установившиеся процессы в таких цепях определяют надежность и устойчивость работы конкретного устройства, его энергетические и качественные характеристики. В ряде случаев переходные процессы являются рабочими на всем периоде действия радиоцепей.

В научно-технической литературе уделяется большое внимание теоретическому анализу и инженерным методам расчета переходных процессов в электрических цепях. Однако непрерывный рост сложности исследуемых цепей, ужесточение требований к точности и скорости их расчета, а также сложный характер самих процессов обусловливают необходимость дальнейшего совершенствования методов их анализа.

Использование классической теории цепей и точных аналитических методов расчета переходных процессов для сложных цепей становится все более проблематичным. Известные приближенные аналитические методы имеют, как правило, ограниченную применимость и не в состоянии охватить широкий круг задач радиотехнической практики.

Наиболее перспективными для целей реального проектирования являются методы, полностью ориентированные на применение компьютера, т.е. универсальные по отношению к типам элементов и сложности цепей, с предельно формализованной процедурой составления и численного решения уравнения переходных процессов.

Различным аспектам компьютерного расчета переходных процессов как на этапе составления уравнений, так и на этапе их численного решения

посвящена обширная литература. Среди наиболее значимых работ, отразивших достижения теории цепей в области матрично-топологических методов и положивших начало разработке многих алгоритмов и программ, следует отнести работы П.Н. Матханова, П.А. Ионкина, К.С. Демирчана, В.П. Сигорского, Брайента, Д. Калахана, Л Чуа, И. Влаха, К. Сингхала и др. Методы численного интегрирования дифференциальных уравнений электрических цепей также детально исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов (Ю.В. Ракитский, Г.Е. Пухов, П.А. Бутырин, Гир и другие).

При численном анализе процессов в электрической цепи ее основной математической моделью является дифференциальное уравнение состояния. Известны общие алгоритмы формирования этих уравнений в канонической форме, совместимой со многими численными методами их последующего решения. Однако эти алгоритмы достаточно сложны (особенно при наличии в цепи зависимых источников), требуют выполнения неоправданно громоздких матричных преобразований, дополнительной логической обработки исходных данных и результата.

Использование традиционных методов на этапе численного интегрирования дифференциальных уравнений состояния часто оказывается нерациональным и даже неприемлемым для таких классов задач, как

- быстроизменяющиеся и медленно устанавливающиеся процессы (например радиоимпульсы в высокодобротных полосовых цепях);

- процессы в сложных системах, включающих цепи с распределенными параметрами;

- переходные процессы в цепях с переключениями, в том числе и жесткие процессы.

Применительно к таким, сложным видам процессов трудно назвать численный метод, который был бы свободен хотя бы от одного из следующих недостатков:

- недостаточная точность приближенного решения на шаге;

- большие затраты машинного времени;

- сложность оценки и устранения погрешности;

- громоздкость алгоритма.

Кроме того, ни один из существующих численных методов не приспособлен к особенностям расчета и оптимизации процессов в практических задачах. Так, при анализе и синтезе полосовых цепей, формирующих радиоимпульс заданной формы не возникает задачи расчета высокочастотного (ВЧ) наполнения такого импульса на всем временном интервале его действия, вмещающим сотни и даже тысячи периодов колебаний ВЧ. Как правило, требуется выделить и подробно рассчитать лишь некоторую часть процесса, например, на заднем фронте радиоимпульса.

Другим примером является задача расчета параметров импульсных и широкополосных усилителей, электрических фильтров, формирующих цепей и других сложных линейных систем по заданным отдельным показателям их временных характеристик (например, длительности фронта переходной характеристики, величинам выбросов и т.п.).

Ви и

некоторых разновидностях ключевых устройств переходный процесс может быть весьма продолжительным, а основной целью расчета является установившийся режим.

Во всех этих задачах наилучшим был бы численный метод, способный не только выполнять расчет переходного процесса малым шагом в отдельных интервалах времени, но и крупным шагом, максимально быстро, однако без потери точности осуществлять прохождение широких областей процессов, не представляющих интереса для исследователя.

Таким образом, задачи радиотехнической практики диктуют необходимость разработки новой, более эффективной методики расчета переходных процессов в электрических цепях, которая позволяла бы:

- предельно упростить и формализовать составление уравнений переходных процессов;

- получать результат численного решения для электрических величин переходного процесса на каждом шаге времени с любой заданной точностью;

- проводить расчет процесса с максимальной скоростью путем выбора наиболее рационального шага, исходя из радиотехнического аспекта

м _

решаемой задачи;

- составлять возможно более простую программу для компьютера.

Из изложенного следует, что поставленная научная проблема является актуальной и ее решение требует существенной теоретической доработки и развития матрично-топологических методов анализа и численных методов расчета процессов в сложных электрических цепях.

Цель и задачи работы. Целью данной диссертации является усовершенствование принципов расчета переходных процессов методом переменных состояния на основе развития теории и методов анализа резистивных цепей и идеи представления функций переходного процесса на каждом шаге в виде матричного ряда Тейлора, создание на этой основе инженерной методики, алгоритмов и программ, способных существенно повысить точность и скорость расчета процессов, а сам расчет подчинить условиям и особенностям практических задач.

Для достижения этой цели в диссертации решаются следующие задачи:

1. Совершенствование узловых уравнений резистивных цепей, как рациональной основы формализованного расчета переходных процессов методом переменных состояния; построение универсального алгоритма на основе решений матричных узловых уравнений.

2. Теоретическое обоснование возможности аппроксимации функций переходного процесса линейной электрической цепи в виде матричного ряда Тейлора с любым числом членов на каждом шаге времени; получение практической формы такого решение и его использование для повышения точности численного решения уравнений состояния.

3. Программная реализация, экспериментальная проверка и оценка вычислительной эффективности разработанных алгоритмов в задачах моделирования процессов для различных классов линейных радиотехнических цепей,

4. Распространение метода матричного ряда Тейлора на дискретные системы и внедрение разработанной методики в практику расчетов и оптимизации процессов в мощных ключевых радиоустройствах. Методы исследования. Теоретические исследования базируются на

фундаментальных принципах и методах теории электрических цепей, методах матричной алгебры, теории приближения функций степенными рядами.

Научная новизна работы состоит в создании эффективной методики и построения новых матричных алгоритмов расчета процессов в радиотехнических устройствах на основе развития методов теории электрических цепей:

- усовершенствован матрично-топологический метод узловых напряжений применительно к задаче формирования дифференциальных уравнений состояния электрических цепей;

- разработана теория и обоснован математический аппарат аппроксимации функций переходного процесса линейной электрической цепи на каждом шаге времени в виде ряда Тейлора в матричной форме;

- предложен способ вычисления членов ряда Тейлора на основе рекуррентного уравнения;

- создан и доведен до практического алгоритма новый численный метод матричного ряда Тейлора, способный значительно повысить точность расчета процессов в сложных линейных радиотехнических цепях;

- метод матричного ряда Тейлора распространен на дискретные системы, в частности на цепи с переключениями, являющиеся моделями ключевых устройств;

- представлен ряд новых результатов применения предложенной методики расчета сложных переходных процессов (быстропеременных, жестких) в практических схемах мощных ключевых устройств.

Практическая ценность работы состоит

- в разработке новой инженерной методики и на ее основе алгоритмов и программ, превосходящих известные аналоги по важнейшим показателям (точность и скорость) и позволяющих на качественно новом уровне выполнять расчет сложных процессов в радиотехнических устройствах;

- в создании методических основ и соответствующего программного обеспечения для изучения ориентированных на применение компьютера разделов анализа сложных электрических цепей учебных дисциплин ТЭЦ и ТОЭ; в использовании разработанной методики в дипломном проектировании, аспирантских исследованиях;

- в выработке рекомендаций для научно-исследовательских организаций, основанных на результатах моделирования и оптимизации параметров и режимов ряда практических схем мощных ВЧ генераторов, ключевых радиоустройств, радионавигационных систем.

Основные научные положения, выносимые на защиту:

- система обобщенных матричных узловых уравнений резистивных цепей с идеализированными источниками напряжения и независимыми унисторными ветвями;

- методика и алгоритм построения матричного дифференциального уравнения состояния в канонической форме на основе решения матричных узловых уравнений цепи, приведенной к резистивной;

- метод численного решения уравнения состояния на основе ряда

гр и 1

I еилора в матричнои форме;

- способ и алгоритм вычисления членов ряда Тейлора с помощью рекуррентного уравнения.

Апробация работы. Основные положения, новые научные результаты и выводы диссертации являлись предметом обсуждения на научных семинарах кафедр ТОЭ СпбТУ, СПбЭТУ, кафедры ТЭЦ СПбГУТ, кафедры СиУРС ТЭИС, докладывались и обсуждались на Всесоюзном научно-техническом семинаре «Повышение эффективности и проектирования радиотехнических систем» (Томск, 1986 г.), на Всесоюзной научно-технической конференции «Повышение помехоустойчивости систем связи» (Ташкент, 1990 г.), на научно-технических конференциях пофессорско-преподавательскош состава СПбГУТ (1993-1998 гг.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 39 научных работ, в том числе 24 статьи в научных журналах и сборниках, 13 тезисов научных докладов. 2 учебных пособия.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений и списка литературы, включающего 135 наименований. Основная часть диссертации изложена на 210 страницах машинописного текста, содержит 60 рисунков и 4 таблицы.

Данная диссертация является итогом исследований, выполненных автором на кафедре Теории электрических цепей Санкт-Петербургского университета телекоммуникаций. Тема, направленность и цели работы в значительной степени сложились под влиянием научных идей, предложенных д.т.н., проф. А.Д. Артымом в разные периоды его плодотворной научной деятельности. Автор выражает глубокую признательность своему учителю Анатолию Дмитриевичу Артыму за постоянную помощь и поддержку в работе над диссертацией и внимание к научным результатам.

ГЛАВА 1.

РАЗВИТИЕ МАТРИЧНО-ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА

ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ 1.1. Состояние вопроса и цели исследования Анализ существующих методов. Основные положения теории и методы матрично-топологического анализа с использованием матриц инциденций разрабатывались и получали распространение в машинных методах расчета электрических цепей в течение последних двух десятилетий. Различным аспектам этого вида анализа посвящена обширная литература, однако наиболее значимые работы, отразившие достижения теории цепей и положившие начало разработке многочисленных алгоритмов и программ принадлежат П. Н. Матханову [1], П. А. Ионкину [7, 28], Д. Калахану [2], Л. Чуа, Пен-Мин-Лину [4], В. П. Сигорскому, А. И. Петренко [3], И. Влаху, К. Сингхалу [6] и др,

В работах этих авторов сформулирована и решена проблема узлового анализа с использованием матрицы инциденций применительно к цепям, состоящим только из независимых источников тока и проводимостей. Для этого частного вида обратимых резистивных цепей получены матричные решения уравнений с использованием топологической матрицы узлов. Основные этапы решения этих уравнений сводятся к следующему.

Рассматриваемые Спо -цепи состоят из обобщенных О10 -ветвей (рис. 1,

1 а), представляющих параллельные соединения резистивной проводимости и источника задающего тока / . В частных случаях это могут быть G-

ветви (/ — 0) или I -ветви (О = 0). Ветвь О! условно считается

* В некоторых зарубежных источниках, например в [4] вместо проводимости &в рассматривается ветвь

источника задающего напряжения И()В с внутренним резистивным сопротивлением Ив . Однако преобразование источника напряжения в эквивалентный источник тока дает рассматриваемую обобщенную

О/-]

ветвь.

пассивной, поэтому для отображения такой ветви с помощью графа (рис. 1.1 б) общее условное направление EL, иг и /в для /0 или Gi0-ветви является

встречным по отношению к току i0B активного элемента, (рис. 1.1а)

Для описания направленного графа с Ny узлами и Ng ветвями достаточно указать инцидентность всех ветвей Ny -1 независимым узлам при помощи топологической А-матрицы независимых узлов, или, кратко, матрицы узлов.

Ветви Ву

н Bi в2

е

3

а в Уа ап Щг

и с И У2 а21 а22

M

ы

е У у Ny-1 а Щ,-1,2

в

Я а

a

ш„

a

2МЯ

а,

(1.1)

л ы

Матричное уравнение по закону токов Кирхгофа (ЗТК) для О/0 -цепи имеет вид А • * = О , (1.2)

где

i ' i

(1.3)

- вектор-матрица токов всех Ыв ветвей.

Матричное уравнение по закону напряжений Кирхгофа (ЗНК), связывающее напряжения ветвей с узловыми напряжениями имеет вид

"д= Аг и , (1.4)

где А - транспонированная матрица узлов;

и =

V

и.

и : и :

У, 5 У 2 '

U

в2

U

БЫ»

(1.5)

(1.6)

- вектор-матрицы, соответственно, узловых напряжении и напряжении всех N5 ветвей.

ÍM.

z0Bj [Ж

Gb i

Щ

* Bj

а)

б)

Рис. 1.1. Обобщенная Gz'o-ветвь (а) и её граф (б).

'Щ

UOB)

о

Щ

VBj

+

а)

б)

Рис. 1.2. г/о-ветвь (а) и её граф (б).

В матричной форме для всех Мв обобщенных ветвей справедливо уравнение 1в = Овив- 10В у (1.7)

где 1В и ив даны уравнениями (1.3), (1.6) )

0 ... О .. О

G

О G

О

о

... G

(1.8)

диагональная матрица проводимостей резистивных G- ветвей

о в

В, 5 В2 '--------В;КВ

(1.9)

вектор-матрица задающих токов ветвей.

Подстановки (1.2) в (1.7) и затем в (1.4) дают

; = э .А и -I*

В В у ОВ 2

А*> А-О.-и,, - А• 10В = А Ов А и -А-/„ =0, (1.10а,б) <3У = ИУ = *г'оу> (1-И а,б)

где квадратная матрица узловых проводимостей О и матрица-столбец

задающих узловых токов 10У

G = A-G • Ат

А- г

о в

(1.12 а,б)

Хорошо известные из литературы решения матричных узловых уравнений (1.10) и (1.11) представляют готовые алгоритмы.

Поскольку в известном виде метод узловых напряжений допускает базовый набор ветвей, ограниченный обобщенной Gi0 -ветвью, то он оказывается непригодным для цепей, содержащих идеализированные задающие источники напряжения (ио -ветви), имеющие нулевое внутреннее сопротивление. Это объясняется авторами тем, что при наличии в цепи элементов с нулевым сопротивлением матрица проводимостей ветвей G

(1.8) должна содержать бесконечно большую составляющую. По этой

причине метод узловых напряжений фактически не нашел применения при формализации операций расчета перехо�