автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Методы повышения эффективности автоматизированного анализа жестких радиотехнических цепей

На правах рукописи-

ПИЛИПЕНКО Александр Михайлович

МЕТОДЫ ПОВЫШЕНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ

АВТОМАТИЗИРОВАННОГО АНАЛИЗА ЖЕСТКИХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Специальность: 05.12.04 - Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог 2005

Работа выполнена на кафедре Теоретических основ радиотехники Таганрогского государственного радиотехнического университета

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Балим Г. М. (ТРТУ, г. Таганрог)

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Крутчинский С. Г. (ТРТУ, г. Таганрог)

кандидат технических наук, доцент Акопянц X. Г.

(РГУПС, г. Ростов-на-Дону)

Ведущая организация:

ГКБ «Связь» (г. Ростов-на-Дону)

Защита состоится «ЗЛ 200года в^^ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.259.01 при Таганрогском государственном радиотехническом университете (ТРТУ) по адресу: 347928, Ростовская обл., г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ТРТУ

Отзыв на автореферат, заверенный гербовой печатью организации, просим направлять по адресу:

347928, Ростовская обл., г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, Таганрогский государственный радиотехнический университет, ученому секретарю диссертационного совета Д212.259.01

Автореферат разослан «_/£_» нолБрл 2005"года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат технических наук, доцент

В. В. Савельев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы.

Возможности современной вычислительной техники позволяют выполнить численными методами схемотехнический анализ радиотехнического устройства, результаты которого могут быть вполне адекватны результатам экспериментального исследования физического макета. При использовании современных прикладных программ для моделирования электронных схем (PSpice, Micro-Cap, Electronic Workbench и других), неизбежно возникают проблемы численного схемотехнического анализа устройств, переходные процессы в цепях которых описываются быстрыми и медленными компонентами, отличающимися по скорости установления на несколько порядков. Такое свойство радиотехнической цепи называется жесткостью, а системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), моделирующие цепи такого типа, называются жесткими СОДУ.

Проблемы жесткости наиболее часто проявляются в следующих случаях: 1) при анализе цепей с сосредоточенными параметрами, таких как генераторы гармонических сигналов, широкополосные усилители с обратными связями, устройства с нелинейными элементами, имеющими высокую вариацию дифференциальных параметров; 2) при анализе цепей с распределенными параметрами, представленных в виде многозвенных структур с сосредоточенными параметрами; 3) при идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей.

Методы численного интегрирования СОДУ и алгоритмы параметрической оптимизации, используемые в современных пакетах схемотехнического моделирования, либо имеют ряд существенных недостатков, либо вообще непригодны при анализе жестких моделей радиотехнических цепей. Поэтому требуется выявить недостатки известных методов и разработать новые, более эффективные методы для анализа жестких цепей.

Значительный вклад в развитие теории методов решения жестких задач анализа радиотехнических цепей внесли И. Г. Черноруцкий, В. Н. Ильин, Я. К. Трохименко, В. Б. Дмитриев-Здоров, а также Ю. В. Ракитский, Н. Н. Калиткин, Р. П. Федоренко. Работы по данной теме ведутся отечественными исследователями, и интенсивно продолжаются за рубежом, однако существует ряд нерешенных проблем, связанных с использованием известных методов для автоматизированного анализа жестких моделей, что говорит об актуальности темы диссертационной работы. Новые методы решения жестких СОДУ и алгоритмы параметрической идентификации для задач детального анализа радиотехнических цепей необходимы для повышения эффективности разработки радиоэлектронных устройств при полной или частичной замене натурного эксперимента развитым численным моделированием.

Целью работы является создание и обоснование новых эффективных методов и моделей для решения с гарантированной точностью жестких задач теории радиотехнических цепей.

В соответствии с поставленной целью в диесерг^цедщдеЬЛру!ц ыешались

I мвлиогекА ]

L ¿япвщ

следующие задачи:

1. Критический анализ эффективности (точности и устойчивости) известных численных методов решения СОДУ и идентификации параметров жестких моделей радиотехнических цепей и их компонентов.

2. Разработка и обоснование более эффективного, чем известные методы, численного метода решения СОДУ, предназначенного для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

3. Формулировка и обоснование более эффективных, чем известные методы, численных методов решения СОДУ высокого порядка, предназначенных для моделирования цепей с распределенными параметрами.

4. Разработка численных методов оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Обоснование алгоритма оптимизации и моделей компонентов радиотехнических цепей, позволяющих уменьшить влияние жесткости при идентификации параметров моделей.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Результаты исследования точности и устойчивости современных методов численного анализа жестких радиотехнических цепей.

2. Модифицированные численные методы анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих жестким моделям линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

3. Модифицированные численные методы анализа цепей с распределенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих различным моделям звеньев с сосредоточенными параметрами, аппроксимирующих распределенную структуру-

4. Методы оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Алгоритм оптимизации и результаты исследования его точности на известных и скомпилированных в данной работе статических и динамических моделях диода и полевого транзистора.

Научная новизна.

1. Разработан модифицированный метод решения СОДУ, предназначенный для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами, разностная схема которого учитывает все исходные данные для задачи Коши и обеспечивает квадратичную зависимость глобальной погрешности от временного шага.

2. Предложен метод решения жестких СОДУ высокой размерности (моделирующих распределенные цепи с малыми потерями), построенный на основе итераций Зейделя.

3. Разработан алгоритм, позволяющий количественно оценить жесткость моделей компонентов радиотехнических цепей. Впервые определены жесткость и обусловленность ряда моделей полупроводникового диода и полевого транзистора.

4. Предложен метод параметрической идентификации моделей компонен-

тов радиотехнических цепей, позволяющий уменьшить влияние жесткости на поиск минимума многомерной целевой функции и тем самым повысить точность определения параметров моделей.

Практическая значимость.

1. Разработанный метод численного анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами обеспечивает увеличение порядка точности по сравнению с известными методами при той же вычислительной сложности.

2. Предложенные методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами обеспечивают линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении необходимой точности и устойчивости решения.

3. Результаты исследования жесткости моделей компонентов радиотехнических цепей позволяют обосновать выбор методов идентификации параметров для обеспечения требуемой точности определения параметров.

4. Результаты исследования обусловленности моделей полупроводникового диода позволяют сформулировать требования к точности и области измерения характеристик прибора при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров.

5. Предложенный метод параметрической идентификации, позволяет определять параметры жестких моделей компонентов радиотехнических цепей с гарантированной точностью не менее 4 - 5-ти значащих цифр.

Методы исследования.

В работе использованы методы теории цепей, теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, математической статистики, линейного и нелинейного программирования.

Внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы нашли применение в разработках, выполненных в интересах предприятия «Научно-исследовательская лаборатория автоматизации проектирования» (г. Таганрог), при выполнении госбюджетных работ № 11170, №11055/1 на кафедре ТОР ТРТУ, а также используются в учебном процессе кафедры ТОР ТРТУ в курсах «Математические основы моделирования цепей и сигналов» и «Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭА».

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались:

- на семинарах кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ;

- на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002 - 2005 гг.

- на 6-й и 7-й Всероссийских научных конференциях «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Таганрог. ТРТУ, 2002, 2004 г.г.

- на международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания», Таганрог: ТРТУ, 2004.

- на семинаре НИИ многопроцессорных вычислительных систем. Таганрог, 2004 г.

Публикации.

По результатам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 4 статьи в центральной печати.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация изложена на 156-ти страницах, содержит 68 рисунков, 19 таблиц и список литературы из 64-х наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цель и основные задачи работы, показана ее научная новизна и практическая значимость, выделены основные положения и результаты, выносимые на защиту.

В первой главе показано, что при анализе и оптимизации радиотехнических цепей часто приходится решать, так называемые, жесткие задачи.

Рассмотрены применяемые для решения жестких задач методы интегрирования СОДУ и методы оптимизации. Отмечены известные недостатки этих методов, препятствующие их использованию или делающие их малоэффективными при анализе жестких радиотехнических цепей.

Сформулированы основные задачи работы, заключающиеся в разработке модифицированных методов решения СОДУ, моделирующих жесткие радиотехнические цепи, и в разработке методов идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей, с учетом жесткости задачи численной оптимизации.

Во второй главе исследуются проблемы известных численных методов решения СОДУ и методов идентификации параметров при анализе жестких радиотехнических цепей.

Предложена методика исследования локальных и глобальных погрешностей методов интегрирования СОДУ, заключающаяся в численном решении тестовых задач различной жесткости, моделирующих радиотехнические цепи. Показано, что методы анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами целесообразно разрабатывать на основе простейших неявных одношаговых методов - метода трапеций, обладающего наименьшей асимптотической локальной погрешностью и метода Эйлера, обеспечивающего ¿-устойчивость решения. Для анализа цепей с распределенными параметрами, необходимы итерационные методы, позволяющие обеспечить линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи, поскольку размерность таких задач оказывается достаточно большой.

Недостатки известных методов параметрической идентификации показаны при численном исследовании ряда моделей компонентов радиотехнических цепей, используемых в программах автоматизированного анализа. Показано, что для эффективного применения методов оптимизации, при определении

параметров моделей компонентов радиотехнических цепей, необходимо иметь информацию о жесткости идентифицируемых моделей. При высокой жесткости модели для обеспечения наибольшей точности идентификации и достоверности окончания спуска целесообразно использовать наиболее медленный, но наиболее надежный в данном случае метод случайного спуска.

В третьей главе сформулирован и обоснован более эффективный, чем известные методы, численный метод решения СОДУ, предназначенный для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

Рассмотрен известный метод экспоненциальной подгонки, разностная схема которого для СОДУ

Ä/iÜ = f(f,x), x(f0) = x0,/e[f0,r], (1)

имеет вид

+ М(0,5 - rflf ('„ ,х„) + (0,5 + лЖ'„+!, хй+])], (2) где А - шаг интегрирования, tj = 0,05 - подгоночный параметр.

Метод (2) имеет минимальный порядок точности и не обладает L-устойчивостью, что препятствует его использованию для решения практических задач.

Разработан метод локальной подгонки - одна из модификаций метода (2), которая позволяет обеспечить ¿-устойчивость этого метода, при сохранении минимального порядка точности. Для повышения порядка точности, на основе метода экспоненциальной подгонки был разработан еще один алгоритм - метод глобальной подгонки, ¿-устойчивость этого метода обеспечивается, если np:i больших шагах решения использовать в (2) значения г) близкие к 0,5, а при малых шагах - близкие к нулю, то есть использовать вместо постоянного значения г] функцию т\* = F(h). В качестве функции r|* = F(h) с целью экономии вычислительных ресурсов предложено использовать степенной многочлен

т

Эрмита т-го порядка Г| * (И) = (А/h^)' .

i-O

Доказательство эффективности метода глобальной подгонки основывалось на решении модельной задачи:

dx/dt = Ах, х(0) = х0,/ е [0,Т] (3)

с начальными условиями х0 = [l О]г и с различной жесткостью, то есть с различным отношением | X | ш/1X | „щ, собственных чисел матрицы А.

На рисунке 1 приведены зависимости глобальной погрешности

Д = | хп - x(tn ) | от шага интегрирования при решении задачи (3) методом глобальной подгонки с различным порядком функции rj * (А) (рисунок 1, а соответствует жесткости |x.|max/|x|min= 103, рисунок 1,6- IXl^/l A.|min= 106) Для сравнения на этом же рисунке приведены зависимости Д(А) неявного метода Эйлера (штриховая линия), метода трапеций (штрихпунктирная линия) и метода трапеций с пассивным сглаживанием (пунктирная линия).

Рисунок 1

Из рисунка 1 следует, что при малых шагах зависимость Д(й) для метода глобальной подгонки и метода трапеций имеет одинаковый наклон, то есть порядок глобальной погрешности методов одинаков. При та*/1X | щщ) обеспечивается квадратичная зависимость погрешности метода глобальной подгонки от шага интегрирования.

Для дополнительного доказательства эффективности метода глобальной подгонки была рассмотрена жесткая нелинейная задача анализа работы амплитудного детектора в режиме большого сигнала. При этом для метода глобальной подгонки результаты исследования глобальной погрешности получились аналогичными приведенным на рисунке 1, кроме того, было показано, что метод трапеций с пассивным сглаживанием в данном случае, в отличие от линейных задач, не обладает никакими преимуществами перед классическим методом трапеций.

При решении жестких задач анализа радиотехнических цепей метод глобальной подгонки по точности близок к методу трапеций, а по аппроксимации быстрых компонент решения - к неявному методу Эйлера. Таким образом, метод глобальной подгонки, обеспечивает большую эффективность по сравнению с известными методами при анализе жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

В четвертой главе разработаны эффективные численные методы решения СОДУ высокой размерности, предназначенные для моделирования цепей с распределенными параметрами.

Разработанные методы основаны на использовании итераций Зейделя для решения неявных разностных схем Рунге-Кутта. Разностная схема неявного метода Рунге-Кутта 1-го порядка точности при непосредственном применении для его решения итераций Зейделя имеет вид:

Хк,п+\ = Хк,п+0,5 + Х2 п+0 5, хк-\,п+0,Ь'Хк,п+} >"••' Х/,п+1 > )>

где хк - к-й элемент вектора х; / - порядок СОДУ, к = 1, 2, ..., / в (4) и к = /, /-1.....1 в (5).

Разностные схемы неявных методов Рунге-Кутта с итерациями Зейделя (НМРКИЗ) 2-го порядка точности и выше могут быть представлены аналогия-

но (4), (5), но в этом случае число итераций должно быть не меньше порядка точности метода. На рисунке 2, а и рисунке 2, б приведены области устойчивости НМРКИЗ 1-го и 2-го порядков соответственно.

Рисунок 2

Приведенные на рисунке 2 области устойчивости рассчитывались при решении СОДУ (3) второго порядка при различных значениях параметра й = аг1!и агг ~ элементы матрицы А).

Полученные в работе результаты показывают, что методы построенные на непосредственном применении итераций Зейделя Л(а)-устойчивы, если матрица А, которую часто называют матрицей Якоби системы, близка к диагонально-доминирующей и, наоборот, максимально неустойчивы при нулевых элементах на главной диагонали матрицы А. Это означает, что непосредственное применение итераций Зейделя целесообразно только для анализа сравнительно узкого класса ИЬ и /?С-цепей.

Показано, что и при наличии нулевых элементов на главной диагонали матрицы А возможно существование ^-устойчивого метода, трудоемкость которого пропорциональна размерности задачи.

Пусть вектор х„ + [ сеточной функции { х„ } определен следующим алгоритмом:

1. На первом полушаге определяем значение первого элемента искомого вектора хгп+0_5 путем решения неявным методом Эйлера системы из первых

двух уравнений исходной СОДУ, принимая х3„+0 5 = хъп .

2. Определяем х^+05 путем решения системы из 2-го и 3-го уравнений СОДУ, используя найденное ранее значение хх„+0 5 и принимая х*+0 5 = х* .

3. Определяем аналогично пп. 1, 2 последовательно х3п+0 5, х*+0,5 > ■••>

*и+о,5 и на последнем / - 1 шаге две переменные , х'п+05.

4. На втором полушаге определяем последовательно за / - 1 шагов последовательность так же как и на первом полушаге, но в обратном порядке: *=/,/- 1, ...,2, 1.

Последовательность действий, устанавливаемая изложенным выше алго-

ритмом, также приводит к симметричным итерациям Зейделя, но не для дифференциальных уравнений первого порядка, как в (4), (5), а для СОДУ второго порядка, то есть к блочным итерациям.

На рисунке 3, а показана область устойчивости (не заштрихована), определенная для приведенного алгоритма. На рисунке 3, б показана область устойчивости при замене метода Эйлера неявным методом Рунге-Кутга 2-го порядка. Области устойчивости на рисунке 3 определялись для СОДУ (3) третьего порядка при наличии нулевых элементов на главной диагонали матрицы А. Полученные результаты показывают, что метод 1-го порядка точности оказывается ^-устойчивым, а метод 2-го порядка точности А(а)-устойчивым.

" 1ш(АХ)

1т(йХ)

15 ✓

✓

10

✓

5

-5 0

20 Яе(АХ) -5

Рисунок 3

Метод блочных итераций может использоваться для анализа и оптимизации нелинейных распределенных структур без потерь (включая источник и нагрузку), устройств формирования ударных волн в нелинейных средах. Время решения СОДУ предлагаемым методом пропорционально размерности системы, что позволяет использовать высокую дискретность по пространственной координате для повышения точности расчета.

В пятой главе исследуются проблемы идентификации параметров жестких моделей компонентов радиотехнических цепей. Рассмотрены различные статические модели полупроводникового диода (ПД) и полевого транзистора (ПТ), а также модели барьерной емкости />-л-перехода. Описаны разработанные методы и алгоритмы для идентификации параметров моделей.

Наиболее распространенной статической моделью ПД, используемой во всех ЯТТСЯ-подобных симуляторах, является схемная модель, состоящая из линейного сопротивления Я, включенного последовательно с управляемым собственным напряжением щ источником тока, который моделирует режимы слабой и сильной инжекции и описывается следующим выражением

ехр

-1

1КР

(6)

1 1кр + /5[ехр(м7 /Мр7.)~ 1] где первый сомножитель - модель идеального диода Шокли, ц>г и N - ее параметры, !кТ - ток, соответствующий переходу от режима слабой инжекции к сильной. Часто используется упрощенная модель с управляемым источником тока, который описывается моделью идеального диода Шокли (далее «БР1СЕ0-

модель»), очевидно, что ее можно получить из ЯТТСЕ-модели, положив 1КР = «>.

Исследована модифицированная модель ПД, также учитывающая оба типа инжекции и содержащая только управляемый собственным напряжением и источник тока:

ехр

2,5ф +

'«-У к 4ф

-1

[1 + а4(«/ф)4], (7)

где ик - ЩтЩ(1КР/15) + 1) - напряжение смещения, соответствующее переходу от режима слабой инжекции к сильной, а4 - эмпирический коэффициент,

Ф = .

Для идентификации параметров моделей (6) и (7) оптимизировалась (минимизировалась) сумма квадратов относительных погрешностей в каждой точке вольт-амперной характеристики (ВАХ):

е=»£ш(«*)/**]-1}2 = £(8,,*>2. (8)

1

где {¡к,ик},к-1,2,..., ТУ, - экспериментальные значения ВАХ диода.

Жесткость задачи оптимизации, и, следовательно, жесткость оптимизируемой модели, в соответствии с определением, оценивалась отношением

(9)

где х и у — направления, вдоль которых минимизируемая функция <2 убывает наиболее медленно и наиболее быстро, соответственно.

Числитель и знаменатель в формуле (9) являются соответственно максимальным и минимальным собственными значениями матрицы <2"(«0 (« - вектор параметров). Алгоритм оценки жесткости задачи оптимизации основан на переходе от исходного базиса параметров к базису, содержащему направления х и у, путем поворотов в каждой из плоскостей исходного базиса.

Алгоритм оптимизации заключается в редукции размерности задачи численной минимизации и применении метода случайного спуска. Редукция размерности задачи состоит в исключении из минимизируемой функции тех параметров а„ которые можно выразить аналитически через остальные параметры, используя необходимые условия минимума дQlдa, = 0.

Вследствие отсутствия явного выражения /(и), определить жесткость £/7С£-модели не удалось. Для оценки жесткости ЯР/СЕО-модели определялась жесткость модели, полностью ей эквивалентной, но в отличие от нее, описываемой явным выражением

и = ф1п[(///5) +1] + Ш. (10)

Явное выражение г<(/) позволило при численной оптимизации преобразовать трехмерную минимизируемую функцию

5(/я,ф,Л)= £{["0*)/«*]-1}2 (И)

в одномерную 5[/5,ф(/х)./{(/5)], где ср(/5) и определялись на каждом

шаге спуска аналитически из системы дБ/дЯ = 0, 35/9ф = 0, Точно так же четырехмерная функция £?(/& ф, ик, а 4) преобразовывалась при спуске в двумерную, используя аналитическое решение системы д0,1д15 = 0, Э£?/<Эа4 = 0.

Результаты моделирования ПД представлены в таблице 1, где а - средне-квадратическая погрешность моделирования, 18 | гаах. - максимальная относительная погрешность. Жесткость задачи численной минимизации определялась до и после редукции размерности минимизируемой функции. Размерность указана в индексе г).

Таблица 1_

Диод М1ЛФЗ15 РЯ102

Модель (7) (10) БР1СЕ (7) (10) 8Р1СЕ

к, ФА 7,158 7,826 7,89 1,481 31,81 1,36

Ф, мВ 25,31 25,52 25,5 31,10 40,76 31,1

Л, Ом - 1,249 1,23 - 69,46 24,2

аА -КГ' - 1,963 - - - 1,058 - -

г, мА 8,99 - 810' 23,8 - 17,0

1 8/1 шах, % 1,04 - 1,68 5,6 - 7,0

С„ % 0,129 - 0,192 0,665 - 0,71

Л2 330 46 - 38 14 -

Пз 1,310" 1,1-10' - МЮ" 2,5Л03 -

Сечения минимизируемой функции 5, при идентификации параметров модели (10) для диода Пи02 показаны на рисунке 4. На рисунке 4, а показаны сечения трехмерной функции Я(/5,ф,/?), на рисунке 4, б - редуцированной

двумерной функции <р(/5,Л), Л)]. Из рисунка 4 видно, что т^з > 103, а

Т12<Ю2.

Рисунок 4

Показано, что понятие обусловленности (робастности) может быть использовано для описания свойств задач параметрической идентификации, поскольку для этих задач выбор и небольшие изменения исходных данных могут резко влиять на полученные результаты. Для численной оценки обусловленности задач параметрической идентификации можно использовать следующие

критерии: 1) зависимость определяемых параметров от диапазона измерений; 2) зависимость определяемых параметров от точности измерений. Оценка обусловленности необходима для определения точности идентификации параметров модели.

Компактная полуфизическия модель (7) имеет тот же порядок точности, что SPICE-модель при том же числе параметров. При этом модель (7) лишена недостатков SPICE-модели, таких как плохая обусловленность и плохая повторяемость результатов при изменении начальных условий процедуры экстракции. Преимущества модели (7) следующие: ВАХ диода задается в явном виде, что позволяет увеличить скорость и точность анализа электронных цепей; задача численной оптимизации для предложенной модели не является жесткой, поэтому возможна быстрая и точная экстракция параметров модели методом наименьших квадратов; хорошая обусловленность модели обеспечивает слабую зависимость определяемых параметров от выбираемого для измерений диапазона токов.

Наиболее распространенной моделью для аппроксимации ВАХ ПТ является трехпараметрическая модель Шичмена-Ходжеса:

О, при Vc й 0;

IdA^Vg-V^VosH + XV^), при VDS < VG; (12)

[pKc2(l + XKœ), при

где /д - ток стока, VG$ и Vds - напряжения на затворе и стоке относительно истока соответственно, р, X - параметры модели, VG = VGS- Vn.

Рассмотрена модель с непрерывной второй производной c2ID !ôv})S :

0, при VG <0;

Р(2Vg-VdsWds, при VDS<VG- (13)

PT2FC-Vsat¥sat ^os-V^KVos-^rf ; при ^ I+cvvs-Vsat)

Новые параметры a, b, c, Vsat определяются в явном виде

с = 1/{Х.(1 — d)[VG — (Vq ~ f^sAj-)^]}, я = с +A, b = cd\, VSAT=VG ~ф+к%2-1)/Х

из очевидных условий непрерывности первой и второй производной тока стока. У низкочастотных транзисторов можно полагать d= 0,5...0,8, а у высокочастотных ~d-0,2...0,5.

При идентификации параметров моделей ПТ использовались описанные выше алгоритмы оптимизации и оценки жесткости. В качестве минимизируемой функции, использовалась

S=tUD{VGS],VDSj)lloj' 1]2 = ZS,2- (14)

J=1 7=1

Для модели (12) параметры р и X линейно входят в (14), то есть функция .SW/oA) ПРИ спуске преобразовывается в одномерную S[$(VT0),\(Vr0),VT0] и параметры (12) определяются весьма быстро. Для модели (13) параметр р

входит в (14) линейно, поэтому, трехмерная минимизируемая функция Уто, X) при численном спуске преобразовывалась в двумерную ^[РС^го'^-Х^го Д] • Для уменьшения времени идентификации параметров модели (13) в качестве начальных условий можно использовать предварительно определенные параметры модели (12). Результаты моделирования ПТ сведены в таблице 2.

Таблица 2

Транзистор Модель Р, мА/В2 А, В'1 УпъВ о, % тах|6,|, % Пз Л2

КПЗ 07 А (12) 2,612 0,258 -1,366 0,619 9,3 3,5 10' 40

2,751 1,334 - 1,357 0,364 5,9 2,4 10' 0,87-10'

КПЗ 2Б (12) 0,612 0,223 -3,120 1,16 15,9 7,1-103 13

(13) 0,677 1,257 - 3,091 1,05 12,7 8,010' 0,46-10'

Полученные результаты показывают, что модифицированная модель ПТ (13) повышает точность моделирования по сравнению с моделью Шичмена-Ходжеса.

Исследованы свойства двух моделей барьерной емкости /^-«-перехода. Показано, что в отдельных случаях г) > 105 и без редуцирования размерности задачи оптимизации идентификация параметров становится невозможной.

Предложенный и реализованный в программе МАТНСАБ алгоритм, позволяет впервые численно оценить жесткость моделей различных компонентов радиотехнических цепей. Показано, что уменьшение размерности минимизируемой численно функции приводит к существенному снижению ее жесткости, что при прочих равных условиях позволяет повысить точность определения параметров, что необходимо, например, для моделирования дифференциальных (балансных, мостовых) цепей.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты диссертационной работы.

В приложении приведена программа идентификации параметров полевого транзистора и тестовая В АХ полевого транзистора КПЗ 07 А.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1 Разработан новый метод решения жестких СОДУ, основанный на методе экспоненциальной подгонки. Показано, что предлагаемый метод, названный методом глобальной подгонки, обеспечивает большую эффективность по сравнению с известными методами при анализе жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

2 Разработаны новые методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами. Предложенные методы основаны на применении итераций Зейделя для решения неявных разностных схем Рунге-Кутта, что позволило обеспечить линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении высокой точности и устойчивости решения.

3 Для обоснования эффективности численно-аналитического метода оп-

тимизации предложен алгоритм оценки жесткости при идентификации параметров моделей и впервые исследована жесткость и обусловленность различных статических и динамических моделей полупроводникового диода и полевого транзистора.

4. Показано, что исследование обусловленности модели позволяет сформулировать требования к точности и области измерений характеристики компонента при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров.

5. Показано, что применение численно-аналитического метода оптимизации для рассмотренных моделей позволяет уменьшить жесткость задачи численной оптимизации и обеспечить точность определения параметров соизмеримую с точностью измерений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. ¿-устойчивый экспоненциально подогнанный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы ХЬУП научно-технической конференции ТРТУ». - Таганрог: ТРТУ, 2002. № 1 (24). - С. 17.

2. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К численному анализу жестких узкополосных систем // Радиотехника. 2002. № 6. - С. 36-39.

3. Пилипенко А. М. Модификация метода трапеций для анализа жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений // VI Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. - Таганрог: ТРТУ, 2002. - С. 7-8.

4. Пилипенко А. М. Идентификация параметров полевого транзистора методом наименьших квадратов // VI Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. - Таганрог: ТРТУ, 2002. - С. 14.

5. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. О точности идентификации параметров моделей полевого транзистора // Материалы международной научной конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем». Ч. 2. - Таганрог: ТРТУ, 2002, - С. 10-11.

6. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем итерациями Зейделя // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы ЯЛТП научно-технической конференции ТРТУ». - Таганрог: ТРТУ, 2003. № 1 (30). - С. 18-19.

7. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Применение итераций Зейделя для решения обыкновенных дифференциальных уравнений динамических систем в реальном масштабе времени // Материалы международной научной конференции «Динамика процессов в природе, обществе и технике: информационные аспекты». - Таганрог: ТРТУ, 2003. - С. 17-22.

8. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем Рунге-Кутта итерациями Зейделя. - Таганрог: ТРТУ, 2003. - 25 с. - Депонировано в ВИНИТИ, № 1287-В 2003 от 10.07.03.

№21 958

9. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование трехпарамегрической модели высокочастотного полевого транзистора II Известия вузов. Эл< ОППА ка. 2003. №6.-С. 22-26. -

10. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование жесткости 9П8П? барьерной емкости р-п перехода // Материалы международной научно!

ренции «Анализ и синтез как методы научного познания». - Таганрог: ТРТУ, 2004.-С. 9-13.

11. Пилипенко А. М. Исследование жесткости простейших моделей полевого транзистора // VII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. -Таганрог: ТРТУ, 2004. - С. 8-9.

12. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К оценке точности двухузловой статической модели полупроводникового диода // Сборник научных статей «Современные проблемы теории радиотехнических сигналов, цепей и систем». -Таганрог: ТРТУ, 2004. - С. 68-72.

13. Пилипенко А. М., Бирюков В. Н. Оценка точности идентификации параметров балансного смесителя // Материалы международной научной конференции «Информационный подход в естественных, гуманитарных и технических науках». Ч. 4. - Таганрог: ТРТУ, 2004. - С. 52-54.

14. Пилипенко А. М. Об обусловленности задач параметрической идентификации // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы Ь научно-технической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ». - Таганрог: ТРТУ, 2004. №8 (43) - С. 13-18.

15. Пилипенко А. М. Особенности параметрической оптимизации статических моделей полевого транзистора // Материалы международной научной конференции «Оптимальные методы решения научных и практических задач». Ч. 4. - Таганрог: ТРТУ, 2005. - С. 51-56.

16. Бирюков В. Н,, Пилипенко А. М. Численный анализ волновых процессов // Математическое моделирование. Т. 17, №5,2005. - С. 123-128.

В работах, выполненных в соавторстве личный вклад диссертанта, заключается в следующем: в [1,2,6, 7, 8, 10,12,16] - разработаны и реализованы методы решения поставленных задач на ЭВМ; в [5, 9] - разработаны и реализованы на ЭВМ программы идентификации и оценки жесткости исследуемых моделей, проведена их экспериментальная проверка; в [13] - проведены теоретические исследования влияния точности идентификации параметров моделей на параметры балансных схем.

Тип. ТРТУ Заказ N2 390 . Тираж 100 экз

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1: ОБЗОР ИЗВЕСТНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА ЖЕСТКИХ РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1 Жесткие задачи анализа радиотехнических цепей

1.2 Точность и устойчивость численных методов решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.3 Жесткость систем обыкновенных дифференциальных уравнений

1.4 Современные численные методы решения жестких систем

1.5 Методы идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей

Актуальность работы. Известные программы схемотехнического проектирования используются чаще всего для проверки работоспособности радиотехнических цепей. Однако возможности современной вычислительной техники позволяют выполнить численными методами более детальные исследования, сопоставимые с результатами физического макетирования. Для этого необходимо учитывать большое число параметров радиотехнической цепи. Как показано в книге Ю. В. Ракитского [1], учет большого числа параметров при построении математических моделей радиотехнических цепей часто требует для полного описания процессов на любом отрезке времени функций двух типов, убывающих быстро и медленно. Функции первого типа убывают очень быстро, так что большую часть времени наблюдаются функции второго типа, которые убывают очень медленно. Однако, в любой момент времени сохраняется возможность появления быстрозатухающего процесса, описываемого функциями первого типа. Такое поведение радиотехнической цепи называется жесткостью, а системы обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ), моделирующие цепи такого типа, называются жесткими СОДУ.

Жесткость наиболее часто проявляется в следующих задачах анализа радиотехнических цепей, которые рассмотрены в работах JI. О. Чуа [2], В. В. Дикусара [3], В. Б. Дмитриева-Здорова [4]:

1. При анализе цепей с сосредоточенными параметрами, таких как генераторы гармонических сигналов, широкополосные усилители с обратными связями, устройства с нелинейными элементами, имеющими высокую вариацию дифференциальных параметров.

2. При анализе цепей с распределенными параметрами, представленных в виде многозвенных структур с сосредоточенными параметрами.

3. При идентификации параметров моделей компонентов радиотехнических цепей.

Решение первой и второй задачи состоит в численном интегрировании

СОДУ цепи. В работах Н. Н. Калиткина [5, 6] показано, что современные численные методы интегрирования СОДУ при решении жестких задач имеют ряд недостатков, связанных с необходимостью использовать мелкий шаг интегрирования, что приводит к росту времени анализа и погрешности округления. В результате в программах автоматизированного анализа электронных цепей (иногда в одной и той же программе) используются различные методы решения СОДУ. Чаще всего - метод Гира, метод трапеций и неявный метод Эйлера (как наиболее надежный при решении жестких задач). При моделировании указанных выше цепей, которые далее будем называть жесткими, методы Гира и трапеций теряют свою эффективность из-за особенностей их устойчивости, а неявный метод Эйлера дает весьма приближенные результаты, поскольку имеет минимальный порядок точности.

Решение третьей задачи состоит в оптимизации (минимизации) многомерных функционалов, имеющих, так называемую, овражную структуру. Задача минимизации таких функционалов является жесткой. Овражные функционалы характеризуются наличием некоторой области притяжения, в которой норма вектора-градиента минимизируемого функционала существенно меньше, чем в остальной части пространства. Практически все методы оптимизации, используемые в программах анализа цепей, позволяют достаточно быстро попасть в область притяжения из начальной точки, но далее процесс спуска резко замедляется и останавливается в некоторой точке, расположенной не обязательно вблизи точки истинного минимума. Кроме того, в результате недифференцируемости минимизируемого функционала вблизи дна оврага, потенциальная минимальная погрешность метода наименьших квадратов не может быть реализована, причем алгоритмы, использующие численное дифференцирование, оказываются наименее точными. Это связано с тем, что на практике характеристики компонентов цепей измеряются с погрешностью, намного превышающей погрешность представления чисел в компьютере, и при этом на дне овражной структуры наблюдается цифровой шум.

Фактически эффективность алгоритмов решения задачи оптимизации падает не с увеличением размерности задачи, а с увеличением ее жесткости которая, как правило, растет с увеличением размерности, что показано в работе Р. П. Федоренко [7].

Исходя из всего выше сказанного, очевидно, что методы анализа радиотехнических цепей в существующих пакетах автоматизированного проектирования либо имеют ряд существенных недостатков, либо вообще непригодны при анализе жестких моделей. Поэтому требуется выявить недостатки известных методов и разработать новые методы анализа жестких цепей, более эффективные, то есть более точные и устойчивые, по сравнению с известными методами.

Значительный вклад в развитие теории методов решения жестких задач анализа радиотехнических цепей внесли И. Г. Черноруцкий, В. Н. Ильин, Я. К. Трохименко, В. Б. Дмитриев-Здоров, а также Ю. В. Ракитский, Н. Н. Калиткин, Р. П. Федоренко. Работы по данной теме ведутся отечественными исследователями, и интенсивно продолжаются за рубежом, однако существует много нерешенных проблем связанных с использованием известных методов для автоматизированного анализа жестких моделей, что говорит об актуальности темы диссертационной работы. Новые методы решения жестких СОДУ и алгоритмы параметрической идентификации для задач детального анализа радиотехнических цепей необходимы для повышения эффективности разработки радиоэлектронных устройств при полной или частичной замене натурного эксперимента развитым численным моделированием.

Целью работы является создание и обоснование новых эффективных методов и моделей для решения с гарантированной точностью жестких задач теории радиотехнических цепей.

В соответствии с поставленной целью в диссертационной работе решались следующие задачи:

1. Критический анализ эффективности (точности и устойчивости) известных численных методов решения СОДУ и идентификации параметров жестких моделей радиотехнических цепей и их компонентов.

2. Разработка и обоснование более эффективного, чем известные методы, численного метода решения СОДУ, предназначенного для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами.

3. Формулировка и обоснование более эффективных, чем известные методы, численных методов решения СОДУ высокого порядка, предназначенных для моделирования цепей с распределенными параметрами.

4. Разработка численных методов оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Обоснование алгоритма оптимизации и моделей компонентов радиотехнических цепей, позволяющих уменьшить влияние жесткости при идентификации параметров моделей.

Основные положения и результаты, выносимые на защиту.

1. Результаты исследования точности и устойчивости современных методов численного анализа жестких радиотехнических цепей.

2. Модифицированные численные методы анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих жестким моделям линейных и нелинейных радиотехнических цепей.

3. Модифицированные численные методы анализа цепей с распределенными параметрами и результаты исследования их точности и устойчивости при решении тестовых задач соответствующих различным моделям звеньев с сосредоточенными параметрами, аппроксимирующих распределенную структуру.

4. Методы оценки жесткости и обусловленности моделей компонентов радиотехнических цепей.

5. Алгоритм оптимизации и результаты исследования его точности на известных и скомпилированных в данной работе статических и динамических моделях диода и полевого транзистора.

Научная новизна.

1. Разработан модифицированный метод решения СОДУ, предназначенный для анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами, разностная схема которого учитывает все исходные данные для задачи Коши и обеспечивает квадратичную зависимость глобальной погрешности от временного шага.

2. Предложен метод решения жестких СОДУ высокой размерности (моделирующих распределенные цепи с малыми потерями), построенный на основе итераций Зейделя.

3. Разработан алгоритм, позволяющий количественно оценить жесткость моделей компонентов радиотехнических цепей. Впервые определены жесткость и обусловленность ряда моделей полупроводникового диода и полевого транзистора.

4. Предложен метод параметрической идентификации моделей компонентов радиотехнических цепей, позволяющий уменьшить влияние жесткости на поиск минимума многомерной целевой функции и тем самым повысить точность определения параметров моделей.

Практическая значимость.

1. Разработанный метод численного анализа жестких цепей с сосредоточенными параметрами, обеспечивает увеличение порядка точности по сравнению с известными методами при той же вычислительной сложности.

2. Предложенные методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами обеспечивают линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении необходимой точности и устойчивости решения.

3. Результаты исследования жесткости моделей компонентов радиотехнических цепей позволяют обосновать выбор методов идентификации параметров для обеспечения требуемой точности определения параметров.

4. Результаты исследования обусловленности моделей полупроводникового диода позволяют сформулировать требования к точности и области измерения характеристик прибора при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров.

5. Предложенный метод параметрической идентификации, позволяет определять параметры жестких моделей компонентов радиотехнических цепей с гарантированной точностью не менее 4 - 5-ти значащих цифр.

Методы исследования. В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, вычислительной математики, теории цепей, математической статистики, линейного и нелинейного программирования.

Внедрение результатов работы. Основные результаты диссертационной работы нашли применение в разработках, выполненных в интересах предприятия «Научно-исследовательская лаборатория автоматизации проектирования» (г. Таганрог), при выполнении госбюджетных работ № 11170, №11055/1 на кафедре ТОР ТРТУ, а также используются в учебном процессе кафедры ТОР ТРТУ в курсах «Математические основы моделирования цепей и сигналов» и «Основы компьютерного проектирования и моделирования РЭА».

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались: на семинарах кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ; на ежегодных научно-технических конференциях профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников ТРТУ, 2002 - 2005 гг. на 6-й и 7-й Всероссийских научных конференциях «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Таганрог. ТРТУ, 2002, 2004 г.г. на международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания», Таганрог: ТРТУ, 2004. на семинаре НИИ многопроцессорных вычислительных систем. Таганрог, 2004 г.

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 4 в центральной печати.

Личный вклад автора. Все включенные в диссертацию результаты получены в основном лично соискателем, либо при его непосредственном участии. В работах, выполненных в соавторстве, участие автора состояло в постановке экспериментов, анализе и обработке экспериментальных данных, разработке методов решения поставленных задач на ЭВМ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения, изложенных на 156-ти страницах и проиллюстрированных 68-ю рисунками и 19-ю таблицами, а также списка литературы из 64-х наименований

5.6 Основные результаты и выводы

Ф Предложен и реализован в программе MATHCAD графоаналитический метод, позволяющий впервые численно оценить жесткость моделей различных компонентов радиотехнических цепей. Экспериментальная проверка показала, что большинство из рассмотренных выше моделей можно отнести к жестким.

Стандартные методы спуска первого и второго порядка, используемые, например, в программе MATHCAD и программе автоматизированного анализа цепей MICROCUP-V не позволяют в общем случае получить наименьшую от-ir носительную погрешность идентификации параметров моделей, что, как показано в совместной работе автора диссертации с В. Н. Бирюковым [64], необходимо, для моделирования дифференциальных (балансных, мостовых) цепей. Очевидно, это связано с высокой жесткостью исходных моделей.

Уменьшение размерности минимизируемой численно функции приводит к существенному снижению ее жесткости, что при прочих равных условиях позволяет повысить точность определения параметров. Численный эксперимент с помощью программы MATHCAD подтвердил, что редукция размерности задачи с соответствующим снижением ее жесткости, позволяет в ряде случаев уменьшить погрешность определения параметров до приемлемого уровня без существенного увеличения времени решения задачи. Однако для контроля точности и в этом случае приходится прибегать к методу случайного спуска.

Практическое решение задачи идентификации параметров элемента невозможно без исследования обусловленности модели, позволяющего оценить погрешность идентификации параметров. В работе введено содержательное понятие обусловленности (робастности) модели и на примере статической модели диода приведена разработанная методика определения обусловленности.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработан новый метод решения жестких СОДУ, основанный на методе трапеций и методе экспоненциальной подгонки. В отличие от этих методов, в предлагаемом методе соотношение между явной и неявной компонентами не фиксировано, а зависит от шага интегрирования. В итоге при больших шагах его глобальная погрешность близка к погрешности неявного метода Эйлера, а при малых - к погрешности метода трапеций. Показано, что предлагаемый метод, названный методом глобальной подгонки, обеспечивает большую эффективность по сравнению с известными методами при анализе жестких цепей с сосредоточенными параметрами. Для доказательства эффективности метода были численно исследованы его устойчивость, глобальные и локальные погрешности, для этого были решены различные тестовые СОДУ, описывающие математические модели, как линейных цепей различной жесткости, так и жесткие нелинейные цепи.

2. Разработаны методы решения жестких СОДУ высокой размерности для анализа цепей с распределенными параметрами. Предложенные методы основаны на применении итераций Зейделя для решения неявных разностных схем Рунге-Кутта. Это позволяет использовать для анализа цепей с распределенными параметрами метод Рунге-Кутта 2-го порядка, обеспечивая линейный рост вычислительных затрат с ростом размерности задачи при сохранении необходимой точности и устойчивости решения. Для доказательства эффективности предложенных методов исследованы их устойчивость, глобальные и локальные погрешности, для этого были решены различные тестовые СОДУ, описывающие базовые модели звеньев, аппроксимирующих линии передачи.

3. Для обоснования эффективности численно-аналитического метода оптимизации метода предложен алгоритм оценки жесткости при идентификации параметров моделей и впервые исследована жесткость и обусловленность различных статических моделей полупроводникового диода, моделей барьерной емкости р-n перехода и статических моделей полевого транзистора.

4. Показано, что исследование обусловленности модели позволяет сформулировать требования к точности и области измерений характеристики моделируемого компонента при заданной точности определения параметров или при известной точности и области измерений получить оценку точности определения параметров модели компонента.

5. Показано, что применение численно-аналитического метода оптимизации для рассмотренных моделей позволяет уменьшить жесткость задачи численной оптимизации и обеспечить точность определения параметров соизмеримую с точностью измерений. Для уменьшения жесткости задачи численной оптимизации производилась редукция размерности минимизируемой функции. При поиске начальных приближений для инициализации процедуры идентификации предложена система иерархичности моделей, на основании которой удается в качестве исходных данных при определении параметров сложных моделей использовать параметры более простых моделей.

146

1. Ракитский Ю. В., Устинов С. М., Черноруцкий И. Г. Численные методы решения жестких систем. - М.: Наука, 1979. - 208 с.

2. Чуа Л. О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы. Пер. с англ. М.: Энергия, 1980. - 640 с.

3. Дикусар В. В., КошькаМ., Фигура А. Метод введения параметров для жестких систем в рамках теории явных разностных схем. Сб. Нелинейная динамика и управление / под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. -Вып.1 -М.: Физматлит, 2001. С. 293-302.

4. Дмитриев-Здоров В. Б. Асимптотические адаптируемые модели для автоматизированного анализа электрических цепей. Диссертация на соискание ученой степени кандидата техн. наук. Таганрог 1985

5. Калиткин Н. Н. Численные методы решения жестких систем // Математическое моделирование. 1995. - Т.7, № 12 - С. 8-11.

6. Калиткин Н. П., Папченко С. Л. Оптимальные схемы для жестких неавтономных систем // Математическое моделирование. 1999 - Т. 11, № 6. -С. 52-82.

7. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику: Учеб. пособие для вузов. М.: Изд-во Моск. Физ.-техн. Ин-та, 1994. - 528 с.

8. Попов В. П. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. 4-е изд., перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 2003 - 575 с.

9. Носов Ю. Р., Петросянц К. О., Шилин В. А. Математические модели элементов интегральной электроники. М.: Сов. Радио, 1976.

10. Щебет В. В. Алгоритмы идентификации параметров моделей двухполюсных элементов радиотехнических цепей. Диссертация на соискание уч. степени канд. техн. наук. Таганрог, Таганрогск. гос. радиотехн. ун-т, 2003. 148 с.

11. Барнс Д. Электронное конструирование: методы борьбы с помехами. -М.: Мир, 1990.

12. Демирчан К. С., Нейман JI. Р., Коровкин Н. В., Чечурин В. М. Теоретические основы электротехники. В 3-х т. Учебник для вузов. Том 2. 4-е изд. Спб.: Питер, 2004.

13. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под. ред. Холл Д., Уатт Д. — М.: Мир, 1979.

14. Пантелеев А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 2001, 376 с.

15. Бирюков В. Н. Выбор контрольного члена в явных методах численного интегрирования СОДУ // Известия ТРТУ. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2000. -№1 (15). - С. 25.

16. Пьявченко О. Н. Экстраполяционно-интерполяционная схема интегрирования по формуле трапеций в микропроцессорных системах реального времени // Радиотехника. 2001. - № 7. - С. 88-92.

17. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Физматлит, 2000.

18. Дику cap В. В. Методы теории управления при численном интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1994.-Т. 30, № 12-С. 2116-2121.

19. Бирюков В. Н. Автоматизированный анализ цепей: Численные методы. Конспект лекций. 4.2. Таганрог: изд-во ТРТУ, 2002. 40 с.

20. Аттетков А. В. и др. Методы оптимизации. Учеб. для студ. втузов. М: Изд-во МГТУ, 2001, 300 с.

21. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985.-509 с.

22. Ильин В. Н. Основы автоматизации схемотехнического проектирования. М.: Энергия, 1979. - 392 с.

23. Antognetti P., Massobrio G. (Eds.) Semiconductor Device Modeling with SPICE. New York: McGraw-Hill, 1987.

24. Трохименко Я. К. Предисловие к тематическому выпуску "Автоматизация схемотехнического проектирования"/ Радиоэлектроника. 1991. - Т. 34.-№6.-С. 3

25. Титце X., Шенк К. Полупроводниковая схемотехника: Справ, руководство. Пер с нем. / Под ред. А. Г. Алексенко М.: Мир, 1982. - 512 с.

26. Дьяконов В. П. MATLAB: Учебный курс. Спб: Питер, 2001 560 с.

27. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. L-устойчивый экспоненциально подогнанный метод численного интегрирования дифференциальных уравнений // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы XLVII научно-технической конференции». -Таганрог: ТРТУ, 2002. № 1 (24), С. 17.

28. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К численному анализу жестких узкополосных систем // Радиотехника. 2002. № 6. С. 36-39.

29. Press W. Н., Tenkolsky S. A., Flannery В. P. The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1988. P. 992

30. Бирюков В. H. Автоматизированный анализ цепей: Модели элементов. Конспект лекций. Ч. 1. Таганрог: ТРТУ, 2001. - 46 с.

31. Манаев Е. И. Основы радиоэлектроники. 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Радио и связь, 1990. - 512 с.

32. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. Нью-Йорк, 1970. Пер. с англ. М.: Сов. Радио, 1977. - 368 с.

33. Калиткин Н. Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512 с.

34. Нейман J1. Р., Демирчан К. С. Теоретические основы электротехники. Т. 1 3-е изд. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 536 с.

35. Giovanni de Micheli and Alberto Sangiovanni-Vincentelli. Characterization of integration algorithms for the timing analysis of MOS VLSI circuits // Circuit theory and applications. 1982. - vol. 10. - P. 299-309.

36. Банакова И. В., Бирюков В. Н., Марков Ю. Н. Численный анализ RL, RC и LC-цепей во временной области // Радиоэлектроника. 1993. - Т. 36. -№ 3. - С. 74-76. (Изв. высш. учебн. заведений)

37. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем итерациями Зейделя // Известия ТРТУ. Спец. вып. «Материалы XLVIII научно-технической конференции». Таганрог: ТРТУ, 2003. № 1(30) С. 18-Г' 19

38. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Решение неявных разностных схем Рунге-Кутта итерациями Зейделя. Таганрог: ТРТУ, 2003. - 25 с. -Депонировано в ВИНИТИ, № 1287-В 2003 от 10.07.03.

39. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Численный анализ волновых процессов // Математическое моделирование. Т. 17, №5, 2005. С. 123-128.

40. М. Kondo, Н. Onodera, and К. Tamaru. Model-adaptable MOSFET рагате-ter-extraction method using intermediate model /7 IEEE Trans. Computer-Aided Design, 1998. V. 17. May. P. 400.

41. Разевиг В. Д. Применение программ P-CAD и P-SPICE для схемотехнического моделирования на ПЭВМ. В 4-х вып. Вып. 2. Модели компоненf ■тов аналоговых устройств. М.: Радио и связь, 1992.

42. McAndrew С. С. Practical Modeling for Circuit Simulation // IEEE J. Solid-State Circuits. Mar. 1998. V. 33. P. 439.

43. Бирюков В. H. Модель полупроводникового диода для машинного анализа // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1992. № 6. С. 78.

44. Бирюков В. Н., Шипитько А. А. Двухузловая модель полупроводникового диода // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ. 1997. № 4. С. 51.

45. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. К оценке точности двухузловой стати1. Тческой модели полупроводникового диода // Сб. научных статей «Современные проблемы теории радиотехнических сигналов, цепей и систем». Таганрог: ТРТУ, 2004. С. 68-72

46. Пирумов У. Г. Численные методы: Учеб. пособие для студ. втузов. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Дрофа, 2003. - 224 с.

47. Бирюков В. Н., Гатько Jl. Е. Определение значения постоянной Больц-мана // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, ! 997, № 2 (5). С. 190 191.

48. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование жесткости моделей барьерной емкости р-n перехода // Материалы международной научной конференции «Анализ и синтез как методы научного познания». Таганрог: ТРТУ, 2004.-С. 9-13

49. Попов В. П. Формальная аппроксимация вольтамперных характеристик полевых транзисторов // Радиотехника и электроника 1966. - Т. XI, № 11 - С. 2088-2089.

50. Бирюков В. Н. Модификация модели Шичмена Ходжеса // Известия ТРТУ. Таганрог: ТРТУ, 1999, № 2 (12). С. 40 - 41.

51. Hajj I. N., Skelboe S. Time-domain analysis of nonlinear systems with finite number of continuous derivatives // IEEE Trans. Circuits and Systems. 1979. -Vol. 27.-N. 5.-P. 297-303.

52. McAndrew С. C., Bhattacharyya B. 1<L, and Wang O. A. C-continuous depletion capacitance model // IEEE Trans. Computed-Aided Design. 1993. - Vol. 12.-N. 6.-P. 825-828.

53. Аваев H. А., Губарев JI. M. Учебное пособие к лабораторным работам по микроэлектронике / Под ред. П. А. Аваева. М.: Изд-во МАИ, 1993. -55 с.

54. Бирюков В. Н. Применение аппроксимации плавного канала в МДП-транзисторах при зависимости подвижности носителей от поперечногоэлектрического поля // Радиотехника и электроника. 1974. - Т. 19 - № 7. -С. 1556-1558.

55. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. О точности идентификации параметров моделей полевого транзистора //Сборник трудов конференции «Моделирование как инструмент решения технических и гуманитарных проблем». 4.2. Таганрог: ТРТУ, 2002. - С. 10-11.

56. Бирюков В. Н., Пилипенко А. М. Исследование трехпараметрической модели высокочастотного полевого транзистора // Известия вузов. Электроника. № 6, 2003. С. 22-26

57. Пилипенко А. М. Исследование жесткости простейших моделей полевого транзистора // VII Всероссийская научная конференция студентов и аспирантов «Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления». Тезисы докладов. Таганрог. 2004, с. 8-9

58. Пилипенко А. М. Особенности параметрической оптимизации статических моделей полевого транзистора // Материалы международной научной конференции «Оптимальные методы решения научных и практических задач». Ч. 4. Таганрог: ТРТУ, 2005. - С. 5 1-56.