автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.01, диссертация на тему:Синтез электрических цепей по заданным частотным или временным характеристикам на базе жордановой формы матрицы системы

\ГАНРОГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ РАДИОТЕХНИЧЕСКИЙ р^у ОЙ УНИВЕРСИТЕТ

2 Ь НОЯ

На правах рукописи

Петкевич Валерий Иванович

СИНТЕЗ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПО ЗАДАННЫМ ЧАСТОТНЫМ ИЛИ ВРЕМЕННЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ НА БАЗЕ ЖОРДАНОВОЙ ФОРМЫ МАТРИЦЫ СИСТЕМЫ

Специальности: 05.12.01 - Теоретические основы радиотехники;

05.09.05 - Теоретические основы электротехники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Таганрог - 1997

Работа выполнена на кафедре теоретических основ радиотехники Таганрогского государственного радиотехнического университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ: доктор технических наук,

профессор Попов В.П.

НАУЧНЫЙ СОРУКОВОДИТЕЛЬ: кандидат технических наук,

доцент Пахомкин Б.И.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор технических наук,

профессор Гайдук. А.Р.

кандидат технических наук, доцент Акопянц Х.Г.

ВЕДУЩЕЕ ПРЕДПРИЯТИЕ - Таганрогский научно-исследовател институт связи.

Защита состоится 1997 г. в часов на

заседании специализированного Совета К 063.13.02 по защите диссертаций при Таганрогском государственном

радиотехническом университете по адресу: 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке университета. Автореферат разослан "_"_ 1997 г.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах, заверенные печатью организации, просим направлять по адресу:

г. Таганрог Ростовской области, Некрасовский пер., 44, Таганрогский государственный радиотехнический университет, специализированный Совет К 063.13.02

Ученый секретарь

диссертационного совета К 063.13.02 кандидат технических наук, доцент Шеболков В. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Передача и обработка цифровых и аналоговых сигналов радиотехнических систем и систем связи требуют создания электрических устройств, которые в некотором диапазоне обладали бы заранее заданными временными или частотными характеристиками. В частности, задачи синтеза корректоров, формирующих и минимально-искажающих цепей, цепей селекции формы сигнала, генераторов сигналов произвольной формы возникают при проектировании радиолокационных приемников, приемников импульсной радиосвязи и радионавигации, а синтез различного рода фильтров находит приложение в многочисленных задачах техники связи, автоматического управления, технике измерений и т.д.

Все возрастающая сложность радиоэлектронных систем и устройств, а также жесткие сроки проектных работ, необходимые для выпуска радиоэлектронных изделий на рынок, делают автоматизацию синтеза электрических цепей абсолютно необходимой.

Существующие пакеты синтеза электрических цепей, как правило, являются узкоспециализированными, что приводит к большим трудностям как при их интеграции, так и адаптации к новым методам проектирования и вариантам технологических процессов, что значительно снижает степень их использования при проектировании радиоэлектронных устройств.

Повысить эффективность и гибкость систем автоматизированного синтеза электрических цепей можно путем разделения процесса синтеза на этапы высокоуровневого (этап получения математической модели) и низкоуровневого синтеза (этап технической реализации). Процедуры высокоуровневого синтеза позволяют генерировать промежуточные описания, которые оптимизируются и отображаются на конкретную технологию реализации средствами низкоуровневого синтеза. В настоящее время процедуры низкоуровневого синтеза достаточно разработаны.

Возникает необходимость в разработке методов и алгоритмов процесса высокоуровневого синтеза, базирующихся на использовании компактных для программной реализации и достаточно общих моделей электрических цепей, легко отображаемых на конкретную топологию и элементный базис. В связи с этим особый интерес представляет собой использование

канонических моделей Жордана, позволяющих устано! непосредственную связь между параметрами математичес модели и структурой электрической цепи. Актуальность п ставленной работы определяется разработкой машинных мете и алгоритмов высокоуровневого синтеза линейных электричес цепей (ЛЭЦ) общего вида по заданным частотным или времен характеристикам на базе канонических моделей Жордана.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ РАБОТЫ. Разработать методику и шинные алгоритмы синтеза линейных электрических цепей о( го вида по заданным частотным или временным характернее на базе канонической формы Жордана матрицы системы и по ляющих реализовать программный комплекс высокоуровне синтеза.

Поставленная задача требует решения следующих част подзадач:

1. Разработать метод синтеза ЛЭЦ общего вида, основанньп приведении матрицы системы к канонической форме Жорданг

2. Определить критерии, позволяющие определять управляем и наблюдаемость синтезируемых электрических цепей.

3. Разработать алгоритмы получения уравнений состоят базисе Жордана для четырехполюсных и многополюсных ц по заданным отсчетам импульсной и амплитудо-часто характеристики.

4. Разработать эффективные алгоритмы редукции получаемы? делей ЛЭЦ.

5. В целях практической проверки разработанных алгори необходимо на их основе разработать систему высокоуровне синтеза электрических цепей с возможностью верифик получаемых решений.

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ основаны на использов теории абстрактной реализации линейных динамических си< основных положений линейной алгебры и функциональ анализа. Вопросы программной реализации разработа! алгоритмов решались с использованием теории распознав образов и теории реляционных запросов к базам данных.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертационной работе получен ряд новых результатов, основные из которых сводя' следующему:

1. Разработан метод синтеза ЛЭЦ общего вида, основанный на приведении матрицы системы к канонической форме Жордана и позволяющий установить непосредственную связь между алгоритмом синтеза и структурой проектируемой цепи.

2. Найдены необходимые условия управляемости и наблюдаемости многополюсных электрических цепей по спектру матрицы системы.

3. Изучены способы эквивалентных схемных преобразований цепи жордановой структуры к известным каноническим реализациям: каскадной, параллельной, параллельно-каскадной, Фробениуса, Мура. Показано, что предложенный подход является обобщением параллельных и параллельно-последовательных методов синтеза.

4. Разработаны алгоритмы получения уравнений состояния в базисе Жордана по заданным отсчетам импульсной характеристики или АЧХ для четырехполюсных и многополюсных электрических цепей.

5. Получен алгоритм редукции как жестких, так и нежестких электрических цепей при практически неизменных временных и частотных характеристиках.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Часть разработанных в рамках данной диссертационной работы методов и алгоритмов была внедрена и использована в учебном и производственном процессе:

- подсистема синтеза электрических фильтров "Filter" была передана и внедрена в ассоциации "Экономика-Молодежи" (г. Москва) в учебный процесс для проведения лабораторных работ по курсу "Вычислительная техника в инженерных и экономических расчетах и основы САПР", что позволило повысить производительность ЭВМ при проведении лабораторных заданий, а также сделало возможной постановку новых лабораторных работ;

- модуль редукции электрических цепей был передан и внедрен в НИИ "Укрэнергосетьпроект" (г. Харьков) в составе специализированного пакета программ синтеза и оптимизации электронных схем, чем было достигнуто сокращение затрат времени ЭВМ на 30-40% при решении задач синтеза схем, содержащих до 100 активных элементов при значительном повышении технической реализуемости результатов проектирования;

- основные научные и практические результаты работы использованы в НИР "Virtual'Test Bed" (1997 г., N4401), прово/ совместно с университетом штата Южная Каролина (University of Carolina).

ДОСТОВЕРНОСТЬ ИЗЛОЖЕННОГО подтверждается результ машинного моделирования получаемых решений задач синтеза в системы PSPICE.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ:

- метод синтеза линейных электрических цепей общего вида, ванный на приведении матрицы системы к канонической форме >К на;

- критерии, позволяющие определять управляемость и наблюдае электрических цепей, реализованных согласно предложенному мето;

- алгоритмы получения уравнений состояния в базисе Жордан; четырехполюсных и многополюсных цепей по заданным отс импульсной или амплитудо-частотной характеристики;

- алгоритм редукции электрических цепей в частотной и врем области одновременно;

- методика построения системы высокоуровневого синтеза эле ческих цепей, основанная на использовании канонической формы дана и позволяющая проводить как регулярный синтез, так и о ствлять быстрый поиск в базе данных известных решений.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные положения диссертационной работы обсуждались и докладывались:

- на международной научно-технической конференции "Актуа. проблемы фундаментальных наук", г. Москва, МГТУ, 1992 г.

- на Первой Всероссийской научной конференции студент аспирантов "Техническая кибернетика, радиоэлектроника и си управления", г.Таганрог, 1993 г.

- на Второй Всероссийской конференции "Теория цепей и сигналс Таганрог, 1994 г.

- на Всероссийской научной конференции студентов и аспир "Новые информационные технологии. Информационное, программ аппаратное обеспечение", г. Таганрог, 1996 г.

- на семинарах кафедры теоретических основ радиотехники ТРТУ.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные научные результаты диссертационной работы опубликованы в 3-статьях, 4 тезисах доклада.

СТРУКТУРА ДИССЕРТАЦИИ. Диссертационная работа состоит из введения, пяти разделов, заключения и двух приложений.

Работа изложена на 108 стр. текста, содержит 78 рисунков, 2 таблицы, список литературы из 179 наименований и 2 приложения.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранного направления исследований, излагаются цель и задачи работы, основные положения, выносимые на защиту, а также краткое содержание разделов работы.

В первом разделе дается краткий обзор современного состояния автоматизированного синтеза электрических цепей и его теоретических основ: теории аппроксимации и теории реализации линейных динамических систем. Проводится анализ известных систем автоматизированного синтеза электрических цепей, определяется цель и задачи исследований.

Во втором разделе рассматриваются вопросы разработки теоретических положений и практического алгоритма синтеза линейных электрических цепей (ЛЭЦ) общего вида, на основе эквивалентном преобразовании матрицы системы к форме

Жордана: X = фАО 'х + Ву ; у = Сх. Показано, что приведение матрицы системы к канонической форме Жордана равносильно созданию такой структуры цепи, которая, не нарушая характер свободных процессов, позволяла бы разнести электрические процессы с разными постоянными времени в различные участки цепи и рассматривать их независимо от процессов, протекающих в других участках цепи.

Математической модели проектируемой цепи в форме Жордана ставится в соответствие схемная модель параллельно-каскадной структуры, состоящая из шести базовых фрагментов, однозначно соответствующих типу и кратности собственных чисел матрицы системы. Соответствие между спектром матрицы системы и структурой модели показано на рис. 1.

ее-8-8—е-в-6-

ч«—в—в—9—е-

^—в-

не—е-

1 о о X, 1 о о к, —в-Ьоо Гя.'/-*-«^ о о о о

простые собственные числа (СЧ) СЧ алгебраической кратности

СЧ геометрической кратности

Вещественное

Комплексно-сопряженная пара

к,(р) = с;е,'в; =

с; -ь;

(Р-*.)

К,(Р)=-Т

2>:ь;(Р а,) р' + 2а,р + а, + р^

3*

и

с. С

1

к,(Р)=1"2

(р-О"

К.(р)=1'1 7-7

2г;Ь'т(р а,) ¿Г, (р' + 2а,р + а; +р?>™

Г А г,

3й

о

К,

©

к,

Аг,|

А,

О

_кн

с; ■ Ь;

К,(Р) = X к,(р). к (р) = С;® 'в; = -±—^ |-| р -

к.(р)-2Мр). к,(Р) = —

2с;ь;(р а,)

р' + 2а,р +■ а; + р;

в- 3.

и *

Рис. 1. Реализация возможных типов клеток Жордана матр системы элементарными электрическими цепями первого и вто{ порядка.

У

Такой подход позволяет свести задачу синтеза к определению числа элементарных блоков и расчету параметров элементов подсхем, реализующих эти фрагменты. Приведены схемные решения и расчетные соотношения для реализации шести типовых блоков, реализующих:

- простое вещественное собственное число;

- пару комплексно-сопряженных собственных чисел;

- вещественное собственное число алгебраической кратности;

- пару комплексно-сопряженных чисел алгебраической кратности;

- вещественное собственное число геометрической кратности;

- пару комплексно-сопряженных чисел геометрической кратности.

Показано, что наличие собственного числа алгебраической кратности к в спектре матрицы системы приводит к появлению в электрической цепи ветви, содержащей к идентичных каскадно соединенных звеньев первого или второго порядка. Собственное число геометрической кратности к реализуется параллельным соединением к звеньев, идентичных по структуре, но с различными коэффициентами передачи.

Решение задачи синтеза рассмотрено как для электрических цепей с одним входом и одним выходом, так и для многополюсных цепей. Структурные схемы четырехполюсной и многополюсной электрических цепей, реализованных в канонической форме Жордана, приведены на рис. 2 и рис. 3 соответственно.

Рис. 2. Структурная схема четырехполюсной электрической цепи в канонической форме Жордана.

Характерной особенностью предложенного алгоритма является возможность редукции получаемых моделей за счет исключения гЬпягментгж с. минимальными постоянными времени, благодаря

временной и пространственной декомпозиции электрически процессов.

в канонической форме Жордана.

Приводятся алгоритм и псевдокод программы синтеза ЛЭЦ н базе приведения матрицы системы к форме Жордаш Рассматриваются примеры использования предложенног алгоритма для синтеза четырехполюсных и многополюсных цепей Показано, что реализация уравнений состояния в базисе Жордан приводит к созданию многополюсных электрических цепей которые легче поддаются качественному анализу и имеют боле простую структуру, чем эквивалентные реализации на баз передаточной матрицы.

В третьем разделе диссертации рассматриваются вопрос! реализуемости, управляемости и наблюдаемости электрически: цепей, получаемых согласно предложенному алгоритму Показано, что метод синтеза ЛЭЦ, основанный на приведенш матрицы системы к базису Жордана (метод разделения движений позволяет локализовать неуправляемые и ненаблюдаемые участю проектируемой цепи, причем любую неуправляемую и ненеблюда-

емую электрическую цепь можно представить в виде параллельного соединения ее управляемых и наблюдаемых частей. Найдены критерии, позволящие определить управляемость и наблюдаемость цепей по спектру матрицы системы.

Показано, что для того, чтобы электрическая цепь порядка N была управляемой и наблюдаемой необходимо, чтобы

е ^ , а матрица наблюдения С е См"\ где М - количество входов, а Ь - количество выходов многополюсника. В случае, если спектр матрицы системы имеет простую структуру, то управляемость и наблюдаемость определяются коэффициентами управления и наблюдения соответственно. В случае, если спектр матрицы системы содержит собственные значения алгебраической кратности, то управляемость и наблюдаемость электрической цепи определяется ее частью, не содержащей полюсов алгебраической кратности. Если электрическая цепь имеет в спектре своей матрицы системы собственные числа геометрической кратности, то она будет неуправляемой и ненаблюдаемой независимо от коэффициентов и вида матриц управления и наблюдения.

Изучены способы эквивалентных схемных преобразований цепи жордановой структуры к известным каноническим структурам: каскадной, параллельной, параллельно-каскадной, Фробениуса, Мура, что позволяет проводить регулярный синтез с возможностью контроля целого ряда допустимых решений.

Показано, что в зависимости от структуры спектра матрицы системы синтез электрических цепей методом разделения движений является обобщением параллельных либо параллельно-последовательных методов синтеза. Показано, что в случае, если спектр матрицы системы не содержит кратных собственных чисел, мы имеем аналог параллельного метода синтеза, основанного на разложении передаточной функции на элементарные дроби. При наличии собственных чисел алгебраической кратности получаем аналог параллельно-каскадного метода синтеза. Если в спектре матрицы системы присутствуют собственные числа геометрической

кратности, то не существует взаимно-однозначного соответствия м матрицей системы и передаточной функцией.

Определено место метода синтеза на базе Жордановой формы известных способов синтеза (см. рис. 4), исследованы вог эквивалентных преобразований получаемых моделей к цепям разлг структур.

Рис. 4. Связь метода синтеза ЛЭЦ, основанного на жордановом представлении матрицы системы с другими способами синтеза.

В четвертом разделе рассматриваются вопросы получения уравнений состояния в базисе Жордана по заданным частотным или временным характеристикам, а также вопросы редукции получаемых решений. В главе были разработаны следующие алгоритмы получения уравнений состояния в базисе Жордана:

- по заданным отсчетам импульсной характеристики четырехпо-люсной цепи;

- по отсчетам семейства импульсных характеристик многополюсной электрической цепи;

- по заданным отсчетам АЧХ четырехполюсной цепи;

- по отсчетам семейства АЧХ многополюсной электрической цепи.

Предложенные алгоритмы отличаются простотой машинной реализации и, в основном, сводятся к составлению и решению систем линейных уравнений.

Приводится пример получения и реализации уравнений состояния в базисе Жордана по заданным отсчетам импульсной характеристики.

Показано, что методы редукции электрических цепей, основанные на исключении схемных фрагментов с минимальными постоянными времени, неэффективны для нежестких цепей. Для таких цепей более предпочтительна редукция, основанная на использовании взаимосвязи между базисами Жордана и Мура. Такой подход позволяет понижать порядок нежестких электрических цепей при практически неизменных временных и частотных характеристиках. Приведен пример редукции электрической цепи.

В пятом разделе приводится структура и излагаются принципы работы системы высокоуровневого синтеза, основанной на использовании жордановой формы матрицы системы, и позволяющей не только проводить регулярный синтез, но и осуществлять быстрый поиск в базе данных известных решений задач синтеза. Структура системы синтеза приведена на рис. 5. Подробно рассматривается принцип работы ряда составных частей системы:

- графического интерфейса для задания частотных и временных характеристик;

- подсистемы поиска решений в базе данных:

Блок графического ввода требуемых частотных и временных характеристик

_N1/_

Блок выделения основных качественных признаков из введенных характеристик

База данных известных решений

. Подсистема поиска решения 5 в базе данных

Получение уравнений состояния в форме Жордана

Формирование принципиальной :'хемы электрической цепи, расчет параметров элементов

Анализ дополн! требований к п] электрической / тельных юектируемой 1епи

N /

Подключение программы Р5РК

Вывод результатов

Процедура дополнения базы данных

Рис. 5. Организация системы синтеза электрических цепей.

- процедур анализа и верификации получаемых результатов;

- подсистемы синтеза нового решения.

Приводится псевдокод используемых алгоритмов синтеза и алгоритмов поиска известных решений.

Дается сравнительный анализ предложенной системы с известными пакетами синтеза электрических цепей. Показано, что, несмотря на ряд недостатков программной реализации, предлагаемая система синтеза обладает следующими преимуществами:

1. Используются одни и те же базовые алгоритмы для синтеза четырехполюсных и многополюсных электрических цепей в частотной и временной области.

2. Непосредственная связь алгоритма синтеза со структурой проектируемой цепи позволяет реализовать любую электрическую цепь на базе шести типовых блоков первого и второго порядков.

3. Гарантируется получение управляемых и наблюдаемых моделей электрических цепей.

4. Существует возможность получения электрических цепей различных структур и элементного базиса.

5. Наличие мощной системы поиска известных решений для задач, не требующих точного воспроизведения заданных частотных или временных зависимостей.

6. Открытая архитектура и "обучаемость" системы синтеза.

7. Поддержка директив дополнительного анализа и верификация результатов синтеза.

8. Возможность редукции получаемых решений.

Приведены примеры использования разработанных

программ для синтеза ряда электрических цепей.

В заключении сформулированы основные научные и практические результаты работы.

Приложения к диссертации содержат соотношения для вычисления элементов передаточной матрицы для пары комплексно-сопряженных собственных значений алгебраической кратности 2 (приложение 1) и геометрической кратности 2 (приложение 2).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные научные результаты и положения, полученш диссертационной работе, состоят в следующем:

1. Разработан метод синтеза ЛЭЦ общего вида, основаннь приведении матрицы системы к канонической форме Жор, Подобный подход позволяет свести процесс синтеза к п лельному соединению набора подсхем из числа шести тип блоков и определению параметров элементов этих под1 Реализация электрических цепей в базисе Жордана привод построению электрических схем, которые легче подде качественному анализу и имеют более простую структуру, эквивалентные реализации на базе передаточной матр Предлагаемый метод применим как для синтеза во временной, в частотной области и позволяет реализовывать четырехполюс! многополюсные цепи общего вида посредством одного и тог базового алгоритма.

2. Найдены критерии, позволяющие определять управляв! и наблюдаемость проектируемых четырехполюсных многополюсных электрических цепей. Показано, что реали: электрических цепей в базисе Жордана позволяет локализ неуправляемые и ненаблюдаемые участки проектируемой Подобный подход позволяет представить любую неуправляем ненаблюдаемую электрическую цепь в виде параллел соединения ее управляемых и наблюдаемых подсхем.

3. Изучены способы эквивалентных схемных преобразоЕ цепи жордановой структуры к известным каноннче структурам: каскадной, параллельной, параллельно-каска, Фробениуса, Мура, что позволяет проводить регулярный сии возможностью контроля целого ряда допустимых решений зависимости от структуры спектра матрицы системы с электрических цепей методом разделения движений явл обобщением параллельных либо параллельно -последовател методов синтеза.

4. Разработаны алгоритмы получения уравнений состоя! базисе Жордана по заданным отсчетам импульсной амплитудно-частотной характеристики для четырехполюсш многополюсных электрических цепей. Предложенные ал гори™

отличаются простотой машинной реализации.

5. Предложены методы редукции электрических цепей в форме Жордана путем исключения фрагментов с минимальными постоянными времени. Получен алгоритм редукции нежестких электрических цепей при практически неизменных временных и частотных характеристиках.

6. Разработана система высокоуровневого синтеза электрических цепей, основанная на использовании канонической формы Жордана и позволяющая проводить как регулярный синтез, так и осуществлять быстрый поиск в базе данных известных решений.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

1. Дудка В.Б., Лучкив А.И., Петкевич В.И. Синтез линейных цепей на основе канонических моделей // Тезисы докладов международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук". Москва, МГТУ, 1992, с. 102.

2. Петкевич В. И. Синтез линейных цепей на основе канонических моделей // Тезисы докладов 1-й Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов "Техническая кибернетика, радиоэлектроника и системы управления", Таганрог ТРТИ, 1993, с. 34.

3. Петкевич В.И. Вопросы управляемости и наблюдаемости линейных трактов радиоприемных устройств, реализованных в форме Жордана // Тезисы докладов 40-й научно-технической и научно-методической конференции профессорско-преподавательского состава, аспирантов и сотрудников Таганрогского государственного радиотехнического института, Таганрог ТРТУ, 1994, с. 48.

4. Петкевич В.И. Синтез линейных электрических цепей методом разделения движений // Сборник научных трудов молодых ученых. Таганрог, ТРТУ, 1995, с. 135-142.

5. Петкевич В.И. Синтез линейных электрических цепей, имеющих жорданово-нормальную форму матрицы системы // Известия N 1, Материалы ХХХХ ИТК, Таганрог, ТРТУ, 1995,

с. 47-48.

6. Петкевич В.И. Синтез линейных электрических цепей мет разделения движений // Известия ВУЗов. Электромеха! Новочеркасск, N 4, 1995, с. 4-8.

7. Петкевич В.И. Использование сбалансированных моделей редукции электрических цепей // Тезисы докладов Всероссий научной конференции студентов и аспирантов "Н информационные технологии. Информационное, программнс аппаратное обеспечение", Таганрог, ТРТУ, 1996, с. 156-157.

В работе [1], опубликованной в соавторстве, лично Петке В.И. принадлежат следующие результаты:

- алгоритмы получения схемных моделей электрических ц< соответствующих собственным значениям алгебраической геометрической кратности;

- алгоритм упрощенной декомплексизации матрицы Жордана.

Соискатель

В.И. Петкевич