автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Методы анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами

На правах рукописи

Шинтяков Дмитрий Васильевич

МЕТОДЫ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА ЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КРАТНЫМИ СИНГУЛЯРНЫМИ ЧИСЛАМИ

Специальность: 05.13.01 Системный анализ, управление и обработка информации (в технике и технологиях)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург 2009 г.

003469380

Работа выполнена на кафедре вычислительных систем и сетей Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения»

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Мироновский Леонид Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Тимофеев Адиль Васильевич кандидат технических наук, вед. научный сотрудник Куликов Виктор Николаевич

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет

Защита диссертации состоится ииУ^ ^ 2009 г. в /^час. /¿>мин. на заседани;

диссертационного совета Д 212.233.02 при Государственном образовательном учрежденш высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный унйверсите аэрокосмического приборостроения» по адресу: 190000, Санкт-Петербург, ул. Большая Морская д. 67.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного образовательной учреждения высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственны! университет аэрокосмического приборостроения».

Автореферат разослан 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета 1ГЛ п

доктор технических наук, профессор I Осипов Л.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

К управляемым динамическим системам относится широкий круг технических объектов. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и усложнение управляемых динамических систем, поэтому, несмотря на богатый арсенал существующих методов, задача анализа и синтеза различных классов таких систем не теряет своей актуальности. В частности, для теории и практики представляет интерес исследование специального класса линейных динамических систем с кратными ганкслевыми сингулярными числами. Ганкелсвы сингулярные числа динамической системы являются ее важнейшими инвариантами и могут применяться в решении задач из разных областей теории управления. Они естественным образом возникают при построении сбалансированного представления системы, которое имеет широкое применение в теории ми-нимальиых реализаций. В задачах редукции знание сингулярных чисел позволяет оценить порядок редуцированной системы и степень различия в поведении исходной и редуцированной систем. В задачах технической диагностики 9ингулярные числа могут применяться как эффективные диагностические признаки.

Наличие двух, трех или большего количества групп кратных сингулярных чисел существенно влияет на свойства системы и се частотные характеристики. Далее такие системы называются бисингулярпыми, трисингулярными и полисингулярными соответственно.

Важные результаты, касающиеся систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, были получены в работах Гловера (K.GIover), Обера (R. Ober), Макиежовеки (J.Maciejowski), Невашшны (R. Nevanlinna), Пика (G. Pick), Нехари (Z. Nehari) и др. В частности, Обером были исследованы сбалансированные представления таких систем, Гловером было найдено разложение передаточных функций полисингулярных систем в сумму фазовых слагаемых, Нехари решил проблему расширения произвольной системы до ближайшей фазовращательной.

В то же время основное внимание в известных работах уделялось системам с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как теория бисингулярных, трисингулярных и полисингулярных систем развита недостаточно. Кроме того, в известных'работах при изучении ганкелсвых сингулярных чисел делается акцент на описание в пространстве состояний (сбалансированное представление, грамианы управляемости и наблюдаемости), приводящее на практике к громоздким и трудоемким вычислениям.

Отсюда следует актуальность исследования линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами. При этом представляется целесообразным наряду с описанием в пространстве состояний использовать такие классические способы задания линейных систем, как передаточные функции и частотные характеристики.

Цель работы и задачи исследования: Целью диссертации является разработка методов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и исследование их свойств.

К числу основных направлений исследования относятся:

- постановка и решение задач анализа бисингулярных систем, включая отыскацие алгебраических критериев бисингулярности; разработку методов определения ганкелевых сингулярных чисел системы непосредственно по передаточной функции; получение канонических форм бисингулярных систем и исследование их частотных характеристик;

- постановка и решение задач параметрического и структурного синтеза бисингулярных динамических систем с заданными характеристиками;

- разработка алгоритмов и программ анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами и применение их для решения прикладных задач.

(

При этом под параметрическим синтезом понимается задача построения бисингулярных систем с заданными значениями ганкелевых сингулярных чисел и других параметров системы. Рассмотрено две постановки задачи синтеза, когда в качестве дополнительных параметров выступают коэффициенты ее характеристического полинома, либо передаточные функции моносингулярных систем, входящих в состав блочно-сбалансированного представления синтезируемой системы.

Методы исследования: при получении теоретических результатов использовались методы системного анализа, классической и современной теории управления, аппарат линейной алгебры, а также теория инвариантов динамических систем.

При выполнении аналитических выкладок использовался пакет MAPLE. Численное моделирование и компьютерные эксперименты проводились в среде MATLAB и SIMULINK.

Научная новизна: в результате проведенных исследований получены следующие научные результаты:

- проведен анализ и установлены свойства канонических представлений систем, получены алгебраические критерии бисингулярности;

- поставлена и решена задача структурного синтеза бисингулярных систем с заданными сингулярными числами на базе фазовращательных блоков;

- поставлена и решена задача параметрического синтеза бисингулярных систем с заданными сингулярными числами и характеристическим полиномом;

- введено понятие АФХ-эквивалентных систем и получено описание систем с совпадающими диаграммами Найквиста, решена задача синтеза таких систем;

- разработаны способы декомпозиции АФХ-эквивалентных систем и отыскания их минимальных представлений.

Практическая ценность диссертации заключается в разработке эффективных алгоритмов анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами. Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ на языке пакета MATLAB и позволяют:

- осуществлять построение известных и новых канонических форм линейных систем с кратными сингулярными числами;

- синтезировать бисингулярные и полисингулярные системы с заданными параметрами; оценивать значения сингулярных чисел систем непосредственно по амплитудно-частотной характеристике;

- анализировать и синтезировать АФХ-эквивапентные системы с совпадающими диаграммами Найквиста.

Полученные результаты полезны для решения ряда прикладных задач аппроксимации, редукции и технической диагностики.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Методы анализа систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и способ оценивания сингулярных чисел непосредственно по передаточным функциям и частотным характеристикам.

2. Методы и алгоритмы структурного и параметрического синтеза систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

3. Алгоритмы анализа и декомпозиции передаточных функций полисингулярных систем.

4. Методы анализа и синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

Внедрение результатов работы:

Результаты работы были использованы при выполнении НИР по грантам РФФИ № 04-0100464 (Экстремальные задачи математической диагностики динамических систем), № 04-0790354 (Информационно-поисковая система графологического анализа и идентификации рукописных текстов) и № 08-08-00228 (Техническая диагностика систем автоматического управления на основе алгебраических инвариантов), а также нашли применение в учебном процессе кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.

Апробация работы. Основные положения докладывались и обсуждались на Х1У-М международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2005 г.), на конференции «Компьютерные технологии, коммуникации, численные методы и математическое моделирование» (СПбГТУ, 2007 г.), на 1У-Й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (С.-Петербург, 2006г.), на восьмой - десятой научных сессиях ГУАП, а также на научных семинарах лаборатории компьютерного моделирования кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.

Публикации: По теме диссертации опубликованы 10 печатных работ, в том числе две статьи в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, а также списка литературы из 97 наименований. Изложение известных результатов снабжено ссылками, заимствованные теоремы приводятся без доказательств.

Основной материал изложен на 119 страницах машинописного текста и содержит 27 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели диссертационной работы и решаемые задачи, основные положения, выносимые на защиту, кратко изложено содержание работы по разделам.

Первая глава посвящена обзору инвариантов и канонических форм линейных скалярных динамических систем. Такие системы могут быть заданы описанием в пространстве состояний

Х = АХ+Ьи, у = сХ, (1)

где А - квадратная л х я -матрица; bac- вектор-столбец и вектор-строка, d - константа, и к у-входной и выходной сигналы, Х-вектор состояния. Передаточная функция системы имеет вид

Q(p)~cipE-А)'1 Ь~

P°+an-lP" +... + <з1/7 + а0

В главе даются основные определения, перечисляются канонические формы представления линейных динамических систем, их свойства и связанные с ними инварианты. Особое внимание уделяется представлениям, которые связаны с ганкелевыми сингулярными числами системы.

Ганкелевыми сингулярными числами называются сингулярные числа оператора, который отображает входной сигнал линейной системы, действующий на интервале времени (-оо, 0), в ее выходной сигнал на интервале времени (0, со). Наряду с нулями и полюсами, ганкелевы сингулярные числа входят в число основных инвариантов системы. Они непосредственно связаны с управляемостью и наблюдаемостью системы, с ее статическим коэффициентом усиления и некоторыми другими характеристиками. Так, если у системы несколько сингулярных чисел близки к нулю, порядок такой системы может быть уменьшен без существенного искажения ее динамики.

Классический способ определения ганкелевых сингулярных чисел основан на рассмотрении грамианов управляемости и наблюдаемости Ц'с и Это квадратные матрицы, удовлетворяющие уравнениям Ляпунова

А№с+№САТ +ЬЬТ =0, АтРУ„ + ^А + стс = 0. (2)

Положительные числа сг,, ..., стп - арифметические квадратные корни из собственных чисел матрицы - называются ганкелевыми сингулярными числами системы (1). Они не зависят от-выбора базиса в пространстве состояний. Если система устойчива, управляема и наблюдаема, то все они вещественны и положительны. Числа а, отражают усилительные свойства системы, максимальное из них равно ганкелсвой норме передаточной функции.

При помощи линейной замены переменных систему (1) можно привести к виду, в котором 1рамианы равны и диагональпы:

о-,><т2>...^сг„>о, (3)

\ \ причем диагональными элементами грамианов служат ганкелевы сингулярные числа.

Реализация системы (1), удовлетворяющая условию (3), называется сбалансированным представлением. Такое представление системы единственно, если все сингулярные числа различны по величине. При наличии кратных сингулярных чисел сбалансированное представление определено с точностью до некоторой ортогональной замены переменных.

Основным объектом, рассматриваемым в диссертации, являются линейные динамические системы, имеющие ганкелевы сингулярные числа высокой кратности. Изучаются несколько типов таких систем, разрабатываются методы их анализа, синтеза и варианты структурной реализации.

В случае систем с различными ганкелевыми сингулярными числами сбалансированное представление является канонической формой. Если в системе имеются кратные сингулярные числа, то используется каноническая форма Обера, матрицы описания в пространстве состояний которой принимают блочный вид. Соответствующий этим матрицам сигнальный граф имеет вид, показанный на рисунке 1.

Каждая цепочка интеграторов на этой диаграмме описывает подсистему, все сингулярные числа которой равны. Это позволяет представить систему с кратными сингулярными числами в виде схемы из нескольких систем с одинаковыми сингулярными числами, связанных системой обратных связей. По отдельности каждая лестничная схема описывает фазовращательный блок.

ЧгХз/

Чп^/

\r~tiY

Рисунок 1. Структура системы с кратными сингулярными числами в канонической форме Обера (входной и выходной сигналы не показаны).

Если не раскрывать структуру отдельных фазовращателей, каноническая форма Обера образует структурную схему, показанную на рисунке 2 для случая системы с тремя различными сингулярными числами. Эта структура.представляет собой несколько фазовращателей, соединенных обратными связями так, что выход каждого из них поступает на входы всех остальных. Коэффициенты обратных связей однозначно определяются значениями сингулярных чисел и не зависят от параметров самих фазовращателей.

Рисунок 2. Структура системы с тремя различивши сингулярными числами.

Другую каноническую форму представления линейных динамических систем с кратными сингулярными числами порождает фазовое разложение Гловера.

Теорема 1. Пусть 0(р) - устойчивая рациональная передаточная функция порядка п с ганкелевыми сингулярными числами ет, >аг >...>ап, где ст. имеет кратность г,- и гх +г2 + ...+г1/ =л. Тогда существует представление (2(р) вида

0» = ст,Ф, (/>) + <т2Ф2 (р)+ ...+■ а„Ф„ (р), 7

где Ф^(р) - устойчивые фазовращательные передаточные функции.

Из теоремы непосредственно следует, что любая устойчивая система может быть представлена в виде параллельного соединения устойчивых фазовращателей со статическими коэффициентами усиления, равными ганкелевым сингулярным числам.

Предельным случаем кратных сингулярных чисел являются системы, у которых все сингулярные числа равны. В диссертации для таких систем используется термин моносингулярные системы. Частным случаем моносингулярных систем являются фазовращательные системы (all-pass systems), АФХ которых равна константе. В общем случае, моносингулярная система отличается от фазовращателыюй только наличием произвольной прямой связи с входа на выход. Её передаточная функция имеет вид:

QHp) = k-M- + d. (5)

А(-р)

Поскольку у фазовращательных систем АЧХ постоянна, их диаграмма Найквиста (АФХ) имеет вид окружности с центром в начале координат. Следовательно, АФХ произвольной моносингулярной системы также имеет вид окружности, с центром на действительной оси. Радиус этой окружности равен сингулярному числу системы, а центр находится в точке (d, О).

В случае, когда ¿N), моносингулярная система становится фазовращательной, а се частотные характеристики принимают особенно простой вид: АЧХ становится константой, а АФХ приобретает вид окружности с центром в начале координат. Моносингулярные системы с нулевым свободным членом d в формуле (5) будем называть центрированными.

Таким образом, у моносингулярных систем имеется простая связь сингулярных чисел с частотными характеристиками и передаточной функцией. В качестве примера мопосингулярной системы на рисунке 3 а показана схема моста Вина-Робинсона, который используется при построении генераторов синусоидальных колебаний.

Его передаточная функция определяется следующим выражением

fa.L-mi±i_, t=rL

з (ТрУ+зтр + 1

Диаграмма Найквиста имеет вид окружности радиуса сг =1/6 (рисунок 3 б).

о)

Рисунок 3. Мост Вина-Робинсона (а) и его диаграмма Найквиста (б).

В главе 2 рассматривается класс бисингулярных систем, и исследуются его свойства.

Определение. Линейная динамическая система называется бисингулярной, если ее ганке-левы сингулярные числа могут принимать только два различных значения.

Бисингулярные системы являются более сложным объектом, чем мопосингулярные и обладают рядом замечательных свойств. Для них решаются задачи их структурного представления, исследуются свойства частотных характеристик и разрабатываются алгоритмы параметрического синтеза.

Для решения задач параметрического синтеза, анализа и диагностирования бисингулярных систем важно уметь строить структурные схемы, обладающие свойством бисингулярности, а также представлять заданные бисингулярные передаточные функции в виде таких схем. По аналогии с представлением передаточЕЮЙ функции в виде суммы модальных компонент, представляется естественным строить бисингулярнуго структурную схему из моносингулярных блоков. В диссертации рассматривается два различных подхода к такому построению.

Первый подход основывается на сбалансированной канонической форме Обера. Имеет место следующая теорема о структурном представлении бисингулярных передаточных функций.

Теорема 2. Структурная реализация бисингулярной передаточной функции всегда может быть представлена в виде композиции двух моносингулярных блоков и Зг с перекрестными связями (рисунок 4). Здесь подсистемы и £з имеют передаточные функции вида

= 1,2, то есть являются фазовращательными с сингулярными числами сг| и

Л,(р)

ог соответственно. Построенная таким образом система будет иметь ганкелевы сингулярные числа, равные сп и аг, их кратность будет равна порядку подсистем и

Рисунок 4. Структурная схема бисингулярной системы. Передаточная функция системы, найденная по схеме, запишется следующим образом:

^ЫРШрЬ^ШР^ЯЛР)

й(р) = (а^а1)-2-+</. (6)

<т2 сг,

Здесь 01(р),02(р) - передаточные функции фазовращателей; Q(p) - передаточная функция бисингулярной системы, сингулярные числа которой равны а \ и сг 2; <1 - произвольная константа. Бисингулярные системы, у которых свободный член сН), по аналогии с моносингулярными, будем называть центрированными.

Формула (6) дает решение задачи синтеза бисингулярных систем любого порядка с заданными сингулярными числами. Из существования и единственности канонической формы Обера

9

следует, что передаточная функция любой бисингулярной системы может быть представлена в виде (6), причем единственным образом. Соответствующие алгоритмы декомпозиции и синтеза бисингулярных передаточных функций, разработанные в диссертации, реализованы в виде программ в пакете Ма11аЬ.

Полученное решение позволяет строить бисингулярные передаточные функции с заданными сингулярными числами для любого выбора передаточных функций моносингулярных блоков 0.\(р),<2г(р)- Его недостатком является то, что оно не дает возможность непосредственно задавать полюсы конструируемой передаточной функции.

Другой подход к синтезу дает фазовое разложение Гловсра (4). Записывая его для случая бисингулярной системы, получаем, что передаточная функция любой бисингулярной системы всегда может быть представлена в виде суммы двух фазовращательных слагаемых и константы:

ш=

ш

Ар)

Мр)

М-рЩ-р) А(рМр) '

(7)

где Ах (р) - полином степени г() с1 - константа, для центрированных систем равная нулю. На языке структурных схем это означает, что бисингулярную систему всегда можно реализовать в виде параллельного соединения двух фазовращателей.

Необходимо отмстить, что обратное утверждение в общем случае неверно, и два произвольных фазовращателя, соединенных параллельно, не образуют бисингулярной системы. По этой причине формула (7) не может быть напрямую использована для синтеза бисингулярных систем. В диссертации разработан алгоритм синтеза бисингулярных систем, опирающийся на эту формулу, который позволяет явно задавать характеристический полином конструируемой системы.

Как и в случае с моносингулярпыми системами, для бисингулярных систем оказывается возможным выявить явную взаимосвязь между частотными характеристиками и ганкелевыми сингулярными числами, причем паиболее простую форму эта взаимосвязь имеет для центрированных бисингулярных систем. Она сформулирована® следующей теореме. \

Теорема 3. Амплитудно-частотная характеристика центрированной бисингулярной системы лежит в горизонтальной полосе (<т, -<т2, ¿г, + <т2), ширина которой равна удвоенному значению меньшего сингулярного числа. Амплитудно-фазовая характеристика (годограф Найквиста) лежит в круговой полосе (кольце), ограниченной двумя концентрическими окружностями с радиусами С|-сг2 и <т,+о-г.

1т(й(н»))

Рисунок 5. АФХ бисингулярной системы. 10

Эта теорема следует из формулы фазового разложения (7). Возможный вид ЛФХ для произвольной бисингулярной системы показан на рисунке 5.

Далее в главе вводится понятие циклической бисингулярной системы.

Определение. Назовём бисингулярную систему циклической, если она образована двумя одинаковыми фазовращателями, то есть в формуле (6) б| (/>) = б2 (Р) •

Введение дополнительных ограничений на вид систем очевидным образом приводит к появлению у них дополнительных свойств. Одно из основных свойств циклических систем можно сформулировать в виде следующей теоремы, доказанной в работе.

Теорема 4. Диаграмма Найквиста любой циклической бисингулярной системы с ганксле-выми сингулярными числами сг,, <т2 представляет собой лемнискату Бута, описываемую уравнением

(х2 + у2)2 = (!71 ±С2)212 +(а, то2)2/.

В эту формулу из параметров системы входят только значения ганкелевых сингулярных чисел, из чего следует, что вид ЛФХ циклической бисингулярной системы не зависит от передаточной функции составляющих ее фазовращателей и определяется только значениями сингулярных чисел.

Например, если ганкелевы сингулярные числа имеют значения 1 и 3, то у любой циклической бисингулярной системы АФХ (годограф Найквиста) будет иметь вид, показанный на рисунке 6, независимо от того, чему равны корни характеристического уравнения.

1т

у **Ч

г ч

/ ч

Рисунок 6. АФХ циклической бисингулярной системы.

Для бисингулярных систем разработаны два алгоритма синтеза. Первый алгоритм, основанный на схеме с перекрестными связями (рис. 4), позволяет получить описание системы сразу в сбалансированном виде. Он дает контроль над кратностью каждого из сингулярных чисел, но не позволяет напрямую задать характеристический полином получающейся бисингулярной системы.

Второй алгоритм опирается на фазовое разложение Гловера. Он позволяет непосредственно задать характеристический полином и сингулярные числа синтезируемой системы и строить по ним передаточную функцию. Суть этого алгоритма синтеза заключена в следующем. Сначала по заданному знаменателю передаточной функции А(р) формируется вспомогательный полином

С(р) = ii сг, А(р) + SI<J2 А(-/>), i, = ±1, s2 =±1,

который затем разбивается на произведение двух вещественных сомножителей: С(р) = а (р) ¡3 (р) порядков гг2. В общем случае, такая факторизация не единственна, и каждое разбиение дает одно решение. После того, как факторизация выбрана, числитель искомой передаточной функции определяется по формуле В(р) = а (р) Р(-р).

Глава 3 посвящена исследованию класса полисингулярных систем, для которого предложено название циклические полисингулярные системы. Как было показано в главе 1, любая линейная динамическая система с кратными сингулярными числами может быть представлена в виде схемы с перекрестными связями, составленной из нескольких фазовращательных (моносингулярных) звеньев. Циклические полисингулярные системы - это класс полисингулярных систем, построенных на одинаковых фазовращателях. Правомерны вопросы о том, какими особыми свойствами будут обладать циклические системы; в каких случаях они могут возникать; каков вид их частотных характеристик и как синтезировать модели подобных систем.

Для циклических бисингулярных систем было установлено, что форма кривой, на которой лежит АФХ, представляет собой лемнискату Бута, параметры которой не зависят от передаточной функции составляющих ее фазовращателей к определяются только значениями сингулярных чисел. Аналогичное свойство независимости вида диаграммы Найквиста от передаточной функции элементарного фазовращателя, справедливо для любых циклических полисингулярных систем и является основным их свойством.

Пусть имеется структурная схема, составленная из к одинаковых моносингулярных блоков. Передаточная функция такой системы имеет следующий вид ()(р) = Г(у(р)), где ц(р)— передаточная функция моносингулярных блоков, а Р{р) - некоторая дробно-рациональная функция (отношение двух полиномов). Тогда вся структура будет являться в общем случае к-сингулярной, где к- количество одинаковых блоков.

Например, структура из трех фазовращательных блоков, показанная на рисунке 7, имеет передаточную функцию, выражаемую как дробно-рациональная функция третьего порядка от я(р)-

Рисунок 7. Пример структуры из одинаковых фазовращательных блоков.

Подобные системы будем называть циклическими полисингулярными системами. Значения сингулярных чисел таких систем определяются только структурой и коэффициентами усиления связей; их кратность равна порядку элементарной моносингулярной системы. Вид диаграммы Найквиста циклической полисингулярной системы не зависит от того, какая элементарная моносингулярная система выбрана для построения схемы, и определяется исключительно системой связей. Это позволяет ввести понятие АФХ-эквивалентных систем.

Определение. Две системы с передаточными функциями Q,(p) и Q2(p) назовем АФХ-эквивалентными, если их диаграммы Найквиста лежат на одной и той же алгебраической кривой.

В диссертации доказано, что нечетная замена аргумента в передаточной функции не меняет вида диаграммы Найквиста. Отсюда вытекает простой способ построения систем, АФХ-эквивалентных исходной. В соответствии с ним для построения АФХ-эквивалентной системы нужно в исходной передаточной функции Q(p) выполнить замену переменной р-*<р(р),тт р(р) - нечетная функция.

Таким образом, достаточное условие АФХ-эквивалентности двух скалярных систем. Его можно сформулировать следующим образом. Две системы с передаточными функциями Qt (р) и Qi(p) будут иметь совпадающие диаграммы Найквиста, если Ог(р) = Q,(<p(p)), где

<р(р) = ^^ - рациональная нечетная функция <р(-р) = -<р(р).

а(р)

Чтобы отношение полиномов Ь(р) и а(р) было нечетным, необходимо, чтобы они имели противоположную четность. Среди рациональных функций rp(z) первого порядка есть два

к

семейства нечетных функций: р,(z) = kz, <pI(z) = —, где к е R,к * о .

z

Среди рациональных функций второго порядка, которые отображают ось z в себя также имеются два семейства нечетных функций:

Ш , а* 0, 6>0, y;(z)=2 а* О, А>0. z + b az

Структурной интерпретацией замены переменных р-кр2(р) является замена в структурной схеме интеграторов — на колебательные звенья ?" .

Р Р +ь

Например, если в передаточной функции второго порядка Q(p) = — выполнить

р +Зр + 7

замену переменных р->-~—, то новая передаточная функция будет иметь четвертый поря-р +1

док: Q(P)~ а ^ « ^ -.Хотя передаточные функции Q(p) и существенно

р +3р +9р + Зр + 1

различны, их диаграммы Найквиста будут иметь одинаковый вид, отличаясь только количеством обходов по контуру диаграммы.

АФХ-эквивалентность означает совпадение алгебраических кривых, на которых лежат годографы Найквиста систем. Однако совпадение кривых не обязательно означает полное совпадение самих годографов. В частности, может наблюдаться ситуация, когда годограф Найквиста одной системы только частично покрывает годограф другой.

Это иллюстрируется на рисунке 8, на котором показаны АФХ двух систем: апериодического звена первого порядка Q. (р) = —— и системы второго порядка с передаточной функци-

р +1

ей Q2 (р) —--—, полученной нечетной заменой переменных р ~> F . Их АФХ лежат

р2 + р-1 рг-1

на одной и той же окружности, описываемой уравнением (х - 0,5)2 + у2 = 0,25, но перекрываются лишь частично.

Подобные ситуации возникают в тех случаях, когда нечетная функция замены переменных <р(р) отображает мнимую ось в ее часть. Среди функций второго порядка, обладающих таким свойством, можно выделить два семейства:

<р'Лр) =

„2 2 , ' £7/7—1

а*0, 6*0, <р'2(р) =

1

а2р2 -1

МР) Ър

Первая функция отображает мнимую ось на отрезок бесконечных интервала /со; -

, а*0, 6/0.

.2 а

■2а , 'V ,сс|-

1 2а ' 2а

, вторая - на два полу-

4 Ш 0 •Ч\ Ьв ¿«в 4 ¿в

УЛ Л/ " 7 I ................/•

-0.5 0 0 5

Ра

Рисунок 8. Частичное совпадение А.ФХ..

Нечетная замена переменных сохраняет не только диаграмму Найквиста, но и ганкелевы сингулярные числа системы, причем их кратность увеличивается пропорционально порядку замены переменных. Обратное утверждение неверно, т.е. совпадения сингулярных чисел недостаточно для совпадения диаграмм Найквиста систем.

Задача построения систем, АФХ-эквивалентных заданной, решается путем нечетной замены аргумента в исходной передаточной функции. С практической точки зрения больший интерес представляет обратная задача, когда по заданной передаточной функции требуется определить, суперпозицией каких двух дробно-рациональных функций она является. В терминах АФХ-эквивалентносги эта задача имеет следующую постановку: найти систему минимального порядка, АФХ-эквивалентную заданной и определить нечётную замену переменных, связывающую эти системы (задача декомпозиции).

В диссертации предложены два алгоритма решения этой задачи. В основе первого из них, которой назван корневым, лежит взаимосвязь нулей и полюсов двух передаточных функций Я(р) 11 6(р) > связанных дробно-рациональной заменой переменных ()(р) = ц{<р{р)) где <р(р) - нечетная функция порядка п. Доказано, что в результате такой суперпозиции каждый

из нулей передаточной функции q(p) расщепляется на и нулей. Аналогичное расщепление происходит и с полюсами q(p). Поэтому для решения задачи декомпозиции надо разбить все нули и полюса заданной полисингулярной передаточной функции Q(p) на группы по и, перебрав все возможные варианты. Это позволяет определить нули и полюсы функций ç(p) и q{z), что решает задачу декомпозиции с точностью до постоянных множителей.

Второй алгоритм, названный матричным, опирается на свойства сбалансированного представления Обера. В соответствии с ним исходную полисингулярную передаточную функцию Q(p) необходимо представить в виде матричного описания в пространстве состояний и выполнить переход к канонической форме Обера. Если задача декомпозиции имеет решение, диагональные квадратные блоки системной матрицы А будут совпадать, за исключением углового элемента. Вычеркнув в каждом диагональном блоке все переменные состояния, кроме первой, получим матричное описание искомой передаточной функции q(p). Функцию замены переменных <р{р) можно найти, зная q(p) и Q(p).

В отличие от корневого алгоритма, подход на основе канонической формы Обера не является комбинаторным, что делает его более пригодным для решения задач декомпозиции высоких порядков. Однако матричный подход непригоден для неустойчивых передаточных функций. Кроме того, построение сбалансированного представления Обера - процедура, сопряженная с большими вычислительными затратами, поэтому корневой алгоритм более эффективен, если порядок передаточной функции не очень велик.

Глава 4 посвящена применению сингулярных чисел для решения прикладных задач. В качестве первой задачи исследованы возможности применения сингулярных чисел для технической диагностики динамических систем. Рассмотрены случаи диагностирования линейных объектов с аналитической и динамической избыточностью. Для них разработаны алгоритмы обработки массивов входной и выходной информации, использующие вычисление сингулярных чисел.

< В частности, алгоритм диагностирования объектов с аналитической избыточностью содержит три шага. На первой из них требуется выполнить измерения п доступных сигналов v(f) проверяемого объекта в N равноотстоящих моментов времени и построить (и х /^-матрицу измерений V.

На втором шаге, считая первые к>п измерений правильными, находят сингулярные числа (и х ¿)-подматрицы Vo.

Если существует пулевое (или близкое к нулю) сингулярное число, то на третьем шаге вычисляют соответствующий сингулярный вектор Hi и формируют диагностический признак вида A(i) = H[v(t), который должен быть равен нулю при отсутствии дефектов.

Матрица измерений, имеющая одно нулевое сингулярное число, позволяет ответить на во-■ прос, исправен объект или нет. Если она имеет несколько нулевых сингулярных чисел, то можно поставить и решить задачу локализации одиночных дефектов.

Отдельно исследован вопрос контроля бисингулярных систем. Для тестового контроля подобных систем проще всего было бы выбрать в качестве диагностических признаков реальные значения сингулярных чисел. Однако они недоступны для непосредственного измерения, поэтому их использование в качестве прямых диагностических признаков неудобно. В связи с этим для организации контроля бисингулярных систем предложен новый метод, основанный на использовании фазового разложения Гловера.

Согласно этому разложению передаточная функция любой бисингулярной системы может быть представлена в виде суммы константы d и двух фазовращатсльных передаточных функций

0,{р) = а + сг,ф, (Р)+О-2Ф 2 (Р),

где <71, 02- ганкелевы сингулярные числа.

Чтобы устранить два первых слагаемых, поставим параллельно проверяемой бисингуляр-ной системе корректирующее звено с передаточной функцией ст,Ф,(р), как это по-

казано на рисунке 9. Тогда такая комбинация систем будет представлять собой фазовращатель с передаточной функцией сг2Фг(р). Его амплитудно-частотная характеристика должна иметь вид горизонтальной прямой А(а>) = п2, что легко поддается инструментальному контролю.

УI

Рисунок 9. Контроль бисингулярной системы.

Соответствующая диаграмма Найквиста для исправного объекта - окружность радиуса <т2 с центром в начале координат. Появление параметрических дефектов будет искажать вид амплитудно-частотной характеристики (делать ее криволинейной), что и послужит диагностическим признаком.

Пусть, например, проверяемый объект имеет бисингулярную передаточную функцию четвертого порядка с ганкелевыми сингулярными числами 1 и 3

\ _ 68,56р3 + 223,2/ + 720,5/? + 272

р4+13р3+66/>2+122р + 68

Фазовое разложение этой передаточной функции имеет вид:

6(р) = 2 + 3-^-^64 + (р-23,б4)(р-2)(р-1)(р--Юр + 34)=2 + 3 р + 23,64 (р + 23,64)(р + 2)(р + 1)(р2 + Юр + 34)

Следовательно, для тестового контроля системы достаточно поставить параллельно проверяемому объекту корректирующее звено первого порядка с передаточной функцией:

„ , ч ^ / л „ „-Р + 23,64 141,24 р+23,64 р + 23,64

На рисунке 10 а приведены графики АЧХ для исправного и неисправного случаев. Криволинейный график получен при искажении коэффициента при р3 в знаменателе передаточной функции (3(р): 13—>13+е, е=2. Соответствующие диаграммы Найквиста приведены на рисунке 10 б (единичная окружность отвечает исправному объекту).

Описанная процедура тестового контроля не требует подключения к внутренним точкам объекта. Размерность корректирующего звена, используемого в тестовом режиме, существенно меньше размерности проверяемого объекта. Проведенные компьютерные эксперименты

показали работоспособность предложенного варианта тестового контроля и высокую чувствительность к параметрическим дефектам.

а) б)

Frequency (гэй/sec) ™ '

Рисунок 10. Частотные характеристики исправной и неисправной систем.

В качестве второй прикладной задачи в главе 4 рассмотрены линейные электрические схемы, содержащие резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности. Исследованы условия появления в таких цепях кратных ганкелевых сингулярных чисел и решена задача синтеза циклических полисингулярных электрических схем.

Рассмотрим схему, составленную из элементов с операторными сопротивлениями г(р),

—и обычных резисторов. Пусть входным сигналом будет напряжение, подаваемое на две г(р)

произвольные точки схемы, а выходным - напряжение, снимаемое с двух других произвольных точек.

Тогда напряжения и токи в схеме будут связан^ системой линейных уравнений Кирхгофа,

а передаточная функция схемы будет иметь вид Q(r) = t где коэффициенты полиномов

А(г(р))

А(г), В(г) определяются структурой схемы и значениями активных сопротивлений.

Тем самым передаточная функция Q(p) представляет собой суперпозицию двух дробно-рациональных функций Q{r) и г(р). Если внутренняя функция нечетная, то схема будет иметь л разных ганкелевых сингулярных чисел, кратность каждого из которых равна т, где л - порядок внешней функции, т - порядок внутренней функции.

Следовательно, если операторное сопротивление элемента г будет нечетной функцией от р, то рассматриваемая электрическая схема будет циклической полисингулярной,. Простейшими из линейных элементов, операторное сопротивление которых является нечетной функцией

от р, являются конденсатор г = — и катушка индуктивности r = Lp.

Ср

Рассмотрим возможные виды соединения элементов. При последовательном соединении операторные сопротивления элементов складываются, поэтому параллельное соединение эле-

ментов с нечетным по р операторным сопротивлением также будет иметь сопротивление, являющееся нечетным выражением от р. То же верно для параллельного и мостового соединений, следовательно, любая схема, состоящая из конденсаторов и катушки индуктивности и не содержащая резисторов, будет обладать операторным сопротивлением, которое является нечетной функцией р.

Пример подобной схемы приведен на рисунке 11, где сопротивления Я,, Л2, произвольные, обе индуктивности одинаковы, обе емкости также одинаковы.

Рисунок 11. Пример бисингулярной электрической схемы.

На рисунке 11 пунктиром выделены два одинаковых блока, каждый из которых состоит из индуктивности и конденсатора. Помимо этих блоков схема содержит только резисторы, поэтому она должна быть циклической полисингулярной с двумя ганкелевыми сингулярными числами, каждое из которых имеет кратность 2.

Передаточная функция этой системы имеет четвертый порядок:

2(р) =_2 _, , =

Полученный результат указывает путь построения электрических схем с кратными сингулярными числами. Для этого достаточно взять любую исходную электрическую схему порядка m и заменить в ней все реактивные элементы одной и той же LC-схемой порядка к. Результирующая схема порядка тк будет иметь те же ганкелевы сингулярные числа, что и исходная, но кратность каждого из них возрастет в к раз. Диаграммы Найквиста исходной и результирующей схем будут совпадать, т.е. они будут АФХ-эквивалентными.

Представляет интерес и решение обратной задачи по анализу возможности перехода от сложной полисингулярной электрической цепи к более простой схеме с той же диаграммой Найквиста. С математической точки зрения для этого нужно выполнить декомпозицию исходной передаточной функции Q(p), представив ее в виде суперпозиции Q(p) = q(<p(p)), где (р(р) - некоторая нечетная функция.

В диссертации предложен алгоритм декомпозиции, позволяющий для любой исходной дробно-рациональной передаточной функции выяснить, допускает ли она декомпозицию и если да, найти функции q и <р. Алгоритм реализован в виде программы superp_decomp на языке

МАТЬАВ. Его можно применять для представления сложных полисингулярных передаточных функций в виде более простых схем из однотипных элементов.

В качестве примера была рассмотрена линейная электрическая схема, содержащая 10 элементов (резисторов, конденсаторов, индуктивностей). Передаточная функция схемы при номинальных значениях параметров имеет вид

в(р). -Зр'-Тр'-бр'-Тр'-Зр

6р" + 44/ +112р" + +1 12/ + А4р + 6

Анализ этой передаточной функции с помощью программы Бирегр_с1есотр показал, что она может быть представлена в виде суперпозиции Q(p) - q^(p(p)), где

( ч_ ~3/ - 7

б/ + 44/ +94/; +60' р

Полученная декомпозиция показывает, что исходную электрическую схему можно реализовать в виде схемы из трех одинаковых блоков с операторным сопротивлением р +1 / р (это последовательное соединение единичных индуктивности и емкости) и некоторого количества резисторов.

Кроме того, в главе 4 описано разработанное в диссертации программное обеспечение для решения задач по анализу и синтезу систем с кратными сингулярными числами. Наряду с упомянутой программой 8ирегр_Ьесотр в его состав входят:

* программа Ьа1геа1о, обеспечивающая построение сбалансированной канонической формы для произвольных систем (в том числе с кратными сингулярными числами);

■ программа д!оуегс!с построения фазового разложения Гловера для произвольной передаточной функции;

■ программа ткЫапд синтеза бисингулярной системы в блочно-сбапансированной форме по двум заданным моносингулярным системам и сингулярным числам;

■ программа ро1у2ЬЫпд синтеза бисингулярной системы с заданными сингулярными числами и характеристическим полиномом;

а также ряд других программ.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В работе были получены следующие основные результаты:

1) Проведен анализ канонических форм линейных динамических систем и найдены блоч-но-сбалансированное и фазовое канонические представления бисингулярных систем, сформулированы критерии бисингулярностии и цикличности передаточных, функций.

2) Установлена взаимосвязь ганкелевых сингулярных чисел с частотными характеристиками для моносингулярных и бисингулярных систем, методы оценки ганкелевых сингулярных чисел таких систем непосредственно по частотным характеристикам и передаточным функциям.

3) Разработаны алгоритмы параметрического и структурного синтеза бисингулярных систем с заданными ганкелевыми сингулярными числами.

4) Введено понятие АФХ-эквивалентных систем, получены критерии АФХ-эквивалентности и разработаны алгоритмы анализа и декомпозиции систем с совпадающими диаграммами Найквиста.

5) Предложен метод тестового контроля бисингулярных систем, использующий диагностическое устройство пониженного порядка.

6) Разработаны методы анализа и синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1) Мироновский, Л.Л. Частотные характеристики фазовращательных и бисингулярных систем / Л.А. Мироновский, Д.В. Шингиков // Информационно-управляющие системы. 2007. Ж5. С.36-41.

2) Мироновский, Л. А. Связь ганкелевых сингулярных чисел системы с се частотными характеристиками / Л. А. Мироновский, Д. В. Шинтяков II Изв. вузов. Сер. Приборостроение. 2009. ЛИ. С.20-25.

3) Шинтяков, Д.В. Сигнатурио-симмстричные реализации динамических систем / Д.В. Шинтяков // Вестник экономического общества студентов и аспирантов: Межвуз. студ. науч. журнал / МБИ. 2004. №5. С.126.

4) Шинтяков, Д.В. Взаимосвязь ганкелевых сингулярных чисел и частотных характеристик линейных систем / Д.В. Шинтяков, Л.А. Мироновский II Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации: Тр. XIV междунар. науч.-техн. семинара / СГАУ. 2005. С. 118.

5) Шинтяков, Д.В. Алгоритм поиска матриц Адамара нечетного порядка / Д.В. Шинтяков // Сб. докл. Девятой научной сессии ГУАП: Сб. докл. В 3 ч. Часть И. Технические науки / ГУАП. 2006. С.207-211.

6) Курмаев, И.Р. Фазовое разложение передаточной функции / И.Р. Курмаев, Д.В. Шинтяков И Тр. межвуз. научной конф. по научному программному обеспечению / Изд-во Политехи, ун-та. 2007. С.156-158.

7) Шинтяков, Д.В. АФХ-эквивалентные передаточные функции / Д.В. Шинтяков // Сб. докл. Десятой научной сессии ГУАП / ГУАП. СПб. 2007. С.231-233.

8) Курмаев, И.Р. Корневой алгоритм декомпозиции АФХ-эквивалентной системы / И.Р. Курмаев, Д.В. Шинтяков // Тр. межвуз. научной конф. по научному программному обеспечению / СПб., Изд-во Политехи, ун-та. 2007. С. 135-138.

9) Шинтяков, Д.В. Тестовый контроль бисингулярных систем / Д.В. Шинтяков // Сб. докл. пятой Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы. экономики и новые технологии преподавания" / МБИ. СПб. 2006. Т. 2. С.204-207.

10) Шинтяков, Д.В. Фазовращательные и бисингулярные системы / Д.В. Шинтяков, Л.А. Мироновский // Сб. докл. Восьмой научной сессии ГУАП ! ГУАП. СПб. 2005. С.513-516.

\

Формат 60х84\16. Бумага офсетная Печать офсетная. Тираж 100. экз. Заказ № 289.

Редакционно-издзтельский центр ГУ АЛ 190000, Санкт-Петербург, Б. Морская ул., 67

Введение.

1. Инварианты и канонические формы динамических систем.

1.1. Скалярные линейные стационарные динамические системы.

1.2. Инварианты динамических систем.

1.3. Сингулярные числа и функции оператора свертки и ганкелева оператора.

1.3.1. Линейные операторы динамической системы и их сингулярные функции.

1.3.2. Свойства ганкелевых сингулярных чисел динамических систем.

1.4. Эквивалентные преобразования линейных систем.

1.5. Канонические представления динамических систем.

1.5.1. Сопровождающие канонические формы.

1.5.2. Жорданова каноническая форма.

1.5.3. Последовательная каноническая форма.

1.5.4. Цепные канонические формы.

1.5.5. Двухдиагональные канонические формы.

1.5.6. Сбалансированные представления динамических систем.

1.5.7. Сбалансированная каноническая форма.

1.5.8. Фазовое разложение Гловера.

1.6. Системы с кратными сингулярными числами.

1.7. Моносингулярные динамические системы.

1.7.1. Свойства моносингулярных систем.

1.7.2. Частотные характеристики моносингулярных систем.

1.8. Взаимосвязь сингулярных чисел и частотных характеристик систем.

1.9. Выводы и результаты.

2. Анализ и синтез бисингулярных систем.

2.1. Структура бисингулярных систем.

2.2. Частотные характеристики бисингулярных систем.

2.3. Синтез бисингулярных систем с заданным характеристическим полиномом.

2.4. Выводы.

3. Анализ циклических полисингулярных систем.

3.1. Циклические бисингулярные системы.

3.2. Сингулярные числа циклических систем.

3.3. АФХ-эквивалентные передаточные функции.

3.3.1. Достаточное условие АФХ-эквивалентности.

3.3.2. Частичное совпадение диаграмм Найквиста.

3.3.3. Сингулярные числа АФХ-эквивалентных систем.

3.3.4. Неоднозначность декомпозиции.

3.4. Корневой метод декомпозиции АФХ-эквивалентной системы.

3.5. Матричный подход к задаче декомпозиции.

3.6. Линейные электрические схемы с кратными сингулярными числами.

3.7. Полисингулярность схем из одинаковых блоков.

3.8. Выводы.

4. Применение сингулярных чисел при решении прикладных задач.

4.1. Сингулярные числа в задачах технической диагностики.

4.1.1 Применение сингулярных чисел матрицы измерений для технической диагностики. 88 4.1.2. Тестовый контроль бисингулярных систем.

4.2. Программное обеспечение для анализа и синтеза динамических систем с кратными сингулярными числами.

4.2.1. Программа построения сбалансированного канонического представления.

4.2.2. Матричный алгоритм декомпозиции.

4.2.3. Корневой алгоритм декомпозиции.

4.3. Синтез полисингулярных электрических схем.

4.4. Выводы.

Актуальность темы

К управляемым динамическим системам относится широкий класс технических систем. В настоящее время наблюдается интенсивное развитие и усложнение управляемых динамических систем, поэтому, несмотря на богатый арсенал существующих методов, задача анализа и синтеза различных классов таких систем не теряет своей актуальности. В частности, для теории и практики представляет интерес исследование специального класса линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами. Ганкелевы сингулярные числа динамической системы являются ее важнейшими инвариантами и могут применяться в решении задач из разных областей теории управления. Они естественным образом возникают при построении сбалансированного представления системы, которое имеет широкое применение вте-ории минимальных реализаций. В задачах редукции знание сингулярных чисел позволяет оценить порядок редуцированной системы и степень различия в поведении исходной и редуцированной систем. В задачах технической диагностики сингулярные числа могут применяться как эффективные диагностические признаки.

Наличие двух, трех или большего количества групп кратных сингулярных чисел существенно влияет на свойства системы и ее частотные характеристики. Далее такие системы называются бисингулярными, трисингулярными и полисингулярными соответственно.

Важные результаты, касающиеся систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, были получены в работах Гловера (К. Glover), Обера (R. Ober), Макиежовски (J. Maciejowski), Неванлины (R. Nevanlinna), Пика (G. Pick), Нехари (Z. Neliari) и др. [3-5, 7-16]. В частности, Обером были исследованы сбалансированные представления таких систем, Гловером было найдено разложение передаточных функций полисингулярных систем в сумму фазовых слагаемых, Нехари решил проблему расширения произвольной системы до ближайшей фазовраща-тельной. В то же время основное внимание в известных работах уделялось системам с различными ганкелевыми сингулярными числами, в то время как теория бисингулярных, трисингу-лярных и полисингулярных систем развита недостаточно.

Отсюда следует актуальность исследования линейных динамических систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, что важно для решения многих прикладных задач.

Кроме того, в известных работах при изучении ганкелевых сингулярных чисел делается акцент на описание в пространстве состояний (сбалансированное представление, грамианы управляемости и наблюдаемости), приводящее на практике к громоздким и трудоемким вычислениям. В связи с этим представляется актуальным исследование систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами, использующее такие классические способы математического описания линейных систем, как передаточные функции и частотные характеристики.

Цель работы и задачи исследования

Целью диссертации является разработка методов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами и исследование их свойств.

К числу основных направлений исследования относятся:

- постановка и решение задач анализа бисингулярных систем, включая отыскание алгебраических критериев бисингулярности; разработку методов определения ганкелевых сингулярных чисел системы непосредственно по передаточной функции; получение канонических форм бисингулярных систем и исследование их частотных характеристик;

- постановка и решение задач параметрического и структурного синтеза1 бисингулярных динамических систем с заданными характеристиками, включая разработку алгоритмов синтеза систем с заданными ганкелевыми сингулярными числами и полюсами передаточной функции;

- разработка алгоритмов и программ анализа и синтеза систем с кратными сингулярными числами и применение их для решения прикладных задач.

При этом под параметрическим синтезом понимается задача построения бисингулярных систем с заданными значениями ганкелевых сингулярных чисел и других параметров системы. Рассмотрено две постановки задачи синтеза, когда в качестве дополнительных параметров выступают коэффициенты ее характеристического полинома, либо передаточные функции пары моносингулярных систем, входящих в состав блочно-сбалансированного представления синтезируемой системы.

Методы исследования

При получении теоретических результатов использовались методы системного анализа, классической и современной теории управления, аппарат линейной алгебры, а также теория инвариантов динамических систем.

При выполнении аналитических выкладок использовался пакет МАРЬЕ. Численное моделирование и компьютерные эксперименты проводились в среде МАТЬАВ и БШиЬШК.

Научная новизна

При решении поставленных задач получены следующие новые научные результаты:

- Проведен анализ и установлены свойства канонических представлений систем с кратными сингулярными числами, получены алгебраические критерии бисингулярности.

Поставлена и решена задача структурного синтеза бисингулярных систем с заданными сингулярными числами на базе фазовращательных блоков.

- Поставлена и решена задача параметрического синтеза бисингулярных систем с заданными сингулярными числами и характеристическим полиномом.

Введено понятие АФХ-эквивалентных систем и получено описание систем с совпадающими диаграммами Найквиста, решена задача синтеза таких систем.

- Разработаны способы декомпозиции АФХ-эквивалентных систем и отыскания их минимальных представлений.

- Найдено уравнение диаграммы Найквиста для циклических бисингулярных систем.

Практическая ценность

Практическая ценность диссертации заключается в разработке эффективных алгоритмов анализа и синтеза линейных динамических систем с кратными сингулярными числами. Разработанные алгоритмы позволяют: синтезировать бисингулярные динамические системы с заданными параметрами; определять сингулярные числа бисингулярных систем непосредственно по амплитудно-частотной характеристике; синтезировать системы с совпадающими диаграммами Найквиста. Разработан комплекс программ на языке пакета МАТЬАВ для построения канонических форм динамических систем.

Полученные результаты полезны для решения ряда прикладных задач аппроксимации, редукции и технической диагностики.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Методы анализа систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами и способ определения сингулярных чисел непосредственно по передаточным функциям и частотным характеристикам.

2. Методы и алгоритмы структурного и параметрического синтеза систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

3. Алгоритмы декомпозиции передаточных функций систем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

4. Способ синтеза линейных электрических схем с кратными ганкелевыми сингулярными числами.

Внедрение результатов работы

Результаты работы были использованы при выполнении НИР по грантам РФФИ № 04-0100464 (Экстремальные задачи математической диагностики динамических систем), № 04-077

90354 (Информационно-поисковая система графологического анализа и идентификации рукописных текстов) и № 08-08-00228 (Техническая диагностика систем автоматического управления на основе алгебраических инвариантов), а также нашли применение в учебном процессе кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.

Акты внедрения приведены в приложении 2.

Апробация работы

Основные положения докладывались и обсуждались на Х1У-м Международном научно-техническом семинаре «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации» (Алушта, 2005 г.), на конференции «Компьютерные технологии, коммуникации, численные методы и математическое моделирование» (СПбГТУ, 2007 г.), а также на 1У-й Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания (Смирновские чтения)» (С.-Петербург, 2006г.), на восьмой - десятой научных сессиях ГУАП.

Основные положения докладывались и обсуждались на научных семинарах лаборатории компьютерного моделирования кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП.

Публикации

По теме диссертации опубликованы 10 печатных работ, в том числе две статьи в журналах, рекомендуемых ВАК.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и приложений, а также списка литературы из 97 наименований. Изложение известных результатов снабжено ссылками, заимствованные теоремы приводятся без доказательств.

4.4. Выводы

В главе рассмотрены возможности применения сингулярных чисел для диагностирования динамических систем, а также продемонстрировано применение разработанных методов синтеза и анализа полисингулярных динамических систем. В частности, приведены описания и примеры работы двух различных алгоритмов декомпозиции передаточных функций с кратными сингулярными числами. Приведенные примеры показывают, что данные алгоритмы можно применить для представления сложных полисингулярных передаточных функций в виде более простых схем из одинаковых моносингулярных элементов. Также приведено описание алгоритма построения сбалансированной канонической формы для систем с кратными сингулярными числами, который может применяться для представления математических моделей динамических систем в виде схем из моносингулярных элементов.

Для решения поставленных в главе задач разработан пакет программ, выполняемых в вычислительной среде Matlab. Список основных программ включает в себя следующие программы:

Программа построения сбалансированной канонической формы для произвольных систем (в том числе с кратными сингулярными числами): balrealo.

Программа синтеза бисингулярной системы по сингулярным числам и характеристическому полиному poly2bising.

Программа декомпозиции циклической полисингулярной передаточной функции superpdecomp.

Программа управления сингулярными числами при помощи обратной связи по состоянию fitsigvals.

Программа построения фазового разложения Гловера для передаточной функции gloverdc. Может применяться в синтезе диагностирующего устройства малого порядка для бисингулярных систем.

Программа синтеза бисингулярной системы по двум заданным моносингулярным системам и сингулярным числам mkbising.

Программы вычисления марковских параметров и моментов передаточной функции системы marpar; moments.

Набор вспомогательных программ: unimod - синтез моносингулярной системы по полюсам; balrealallpass - балансирования моносингулярной системы; программа синтеза простейшей циклической системы минимального порядка cyclicsys.

С помощью разработанных программ продемонстрирован метод синтеза электрических схем с кратными сингулярными числами.

Заключение

В диссертации разработаны методы анализа и синтеза динамических систем с кратными сингулярными числами.

Рассмотрены линейные динамические системы с двумя различными сингулярными числами. Исследованы свойства частотных характеристик таких систем, их канонические представления, вид передаточной функции. Найдена в явном виде взаимосвязь между значениями сингулярных чисел и видом АФХ. Исследованы свойства бисингулярных систем, на основе которых сформулирован способ непосредственного определения сингулярных чисел по частотным характеристикам.

Предложены алгоритмы синтеза бисингулярных систем с заданными параметрами: сингулярными числами, а также элементарными фазовращателями или характеристическим полиномом.

Рассмотрены полисингулярные системы, реализуемые в виде структур из одинаковых блоков. Для таких систем изучена взаимосвязь сингулярных чисел с частотными характеристиками, доказана независимость АФХ от элементарных блоков, исследован вид передаточной функции и матричное представление.

Исследовано совпадение афх у динамических систем, предложена формула для синтеза передаточных функций с совпадающими афх, показано, что совпадение ачх приводит к совпадению сингулярных чисел.

Разработаны два алгоритма для поиска передаточной функции простейшей системы управления, имеющей такую же афх, как и заданная.

Эти результаты имеют следующее практическое применение.

Благодаря полученным результатам значительно упрощается поиск сингулярных чисел для бисингулярных систем. Это может быть использовано в диагностировании по сингулярным числам.

Используя разработанные алгоритмы декомпозиции передаточных функций, можно представлять сложные передаточные функции в виде схем из одинаковых блоков, что может упростить синтез сложных систем управления.

Для линейных электрических цепей предложен способ по структуре цепи определить количество и кратность сингулярных чисел. Этот способ конструктивен и позволяет синтезировать линейные электрические цепи с сингулярными числами заданной кратности и совпадающими АФХ.

Разработан комплекс программ для пакета Matlab, расширяющие его возможности при работе с линейными динамическими системами, имеющими кратные сингулярные числа. В состав комплекса входят:

Пакет программ для построения канонических форм динамических систем.

Программа построения сбалансированной канонической формы для систем с кратными сингулярными числами.

Программы построения фазового разложения Гловера.

Программы анализа и синтеза моносингулярных и бисингулярных линейных динамических систем различных порядков.

Полученные результаты были использованы в учебном процессе кафедры вычислительных систем и сетей ГУАП (курсы «Методы оптимизации», «Моделирование», «Основы теории инвариантов»), а также при разработке программ для полуавтоматического выделения и распознавания рукописных контуров в растровых изображениях.

1. Anderson В. D. О., Jury Е. 1., Mansour M. Schwarz matrix properties for continuous and discrete time systems // Intern. J. Control. 1976. No. 23. P.1-16.

2. Arkhangelskiy O.I., Mironovskiy L.A. Diagnosis of Dynamical Systems Using Operator Norms // Engineering Simulation. 1996. V.13. P.789-804.

3. Chou C.T., Maciejowski J.M. System identification using balanced parametrizations // IEEE Trans. Auto. Contr. 1997. V.42. No.7. P.956-974.

4. Chui N. L. C., Maciejowski J. M. An unbiased subspace algorithm with the state sequence approach // Proceedings of MTNS 98, Padova, Italy. 1998.

5. Doyle J., Francis В., Tannenbaum A. Feedback control theory. -New York: Macmillan Publ. Co., 1992.-XI. 227 p.

6. Egorov A.N., Mironovskiy L.A. Use of Dynamic System Zeros in Engineering Diagnostics Problems // Engineering Simulation. 1997. V.14. P.893-906.

7. Francis B.A. A course in Hinf control theory. Lecture notes in control and information sci. Springer Verlag. 1987. V.88. 157c.

8. Francis B.A. Linear Systems. Toronto: University of Toronto. 2002.

9. Francis B.A., Doyle J.C. Linear control theory with on Hinf optimality criterion.A survey // SI AM J. Control and Optimization. 1987. V.23. No.4. P. 815-844. •

10. Glad Т., Ljung L. Control theory. Multivariable and nonlinear methods. Tailor&Francis, London. 2000. 467 p.

11. Glover K. All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems // Intern. J. Control. 1984. V.39. No.6. P.l 115-1193.

12. Kailath T. Linear Systems. Englevvood Cliffs. New York. 1980. 592 p.

13. Kerrigan E.C, Maciejowski J.M. Properties of a new parameterization for the control of constrained systems with disturbances // American Control Conference. 2004. P.4669-4674.

14. Latham, G.A. and B.D.O. Anderson. Frequency-weighted optimal Hankel norm approximation of state transfer functions // Systems and Control Letters. 1985. V.5. P. 229-236.

15. Maciejowski J.M. Balanced realizations in system identification. Proc. 7"th IF AC Symp.Identification and Parameter Estimation, York. UK. 1995.

16. Maciejowski J.M., Ober R.J. Balanced parametrizations and canonical forms for system identification // Proc. 84h IF AC Symp.Identification and Parameter Estimation, Beijing, China. 1988.

17. Mironovskii L.A. Functional diagnosis of dynamical systems.-Survey // Automation and Remote Control. 1980. No.8. P.96-121.

18. Mironovskii L.A. Functional Diagnosis of Nonlinear Discrete-Systems // Automation and Remote Control. 1989. V. 50. No.6. P.838-843.

19. Mironovsky L.A. et all. A Uniform Algorithm for the Transformation of Multivariable Systems into Canonical Forms // Linear Algebra and its Applications. 1991. V.147. P.441-467.

20. Moore B.C. Principal component analysis in linear systems: controllability, observability and model reduction. // IEEE Trans. Automat. Control. 1981. AC-26. No.l. P. 17-32.

21. Ober R. J. A note on a system theoretic approach to a conjecture by Peller-Khrushchev // Systems & Control Letters. 1987. V.8. No.4. P.303-306.

22. Ober R. J. A Parametrization Approach to Infinite-Dimensional Balanced Systems and their Approximation // IMA Journal of Mathematical Control and Information. 1987. No.4. P.263-280.

23. Ober R. J. Balanced parameterization of classes of linear systems // SIAM J. Control and Optimization. 1991. V. 29. No.6. P. 1251-1287.

24. Ober R., Montgomery-Smith S. Bilinear transformation of infinite-dimensional state-space systems and balanced realizations of nonrational transfer functions // SIAM Journal on Control and Optimization. 1990. V.28. No.2. P.438-465.

25. Ober R.J, Sefton J.A. Stability of control systems and graphs of linear systems // Systems & Control Letters. 1991. V. 17. No.4. P.265-280.

26. Ober R.J. On Stieltjes functions and Hankel operators // Systems & Control Letters. 1996. V.27. No. 5. P.275-277.

27. Ober R. J. Topology of the set of asymptotically stable minimal systems // Int. J. Control. 1987. V.46. No. 1. P.263-280.

28. Pick G. Uber die Beschrankungen analytischer Funktionen, welche durch vorgegebene Funktionswerte bewirkt werden // Math. Ann. 77. 1916. P.7-23.

29. Sefton J.A., Ober R.J. Uncertainty in the weighted gap metric: a geometric approach // Automática. 1993. V.29. No 4. P.1079-1100.

30. Sefton J.A., Ober R.J. On the gap metric and coprime factor perturbations // Automatica. 1993. V.29. No.3. P.723-734.

31. Wilson D.A. Convolution and Hankel operator norm for linear systems. // IEEE Trans. Automat. Control. 1989. AC-34. No. 1. P. 94-97.

32. Wilson D.A. The Hankel Operator and its Induced norms // Int. J. Control. 1985. V.42. P.65-70.

33. Адамян B.M., Аров Д.З., Крейн М.Г. Аналитические свойства пар Шмидта ганкеле-ва оператора и обобщенная задача Шура-Такаги // Матем. сб. 1971. Т.86. Вып.1. С.34-75.

34. Аладьев В. 3. Системы компьютерной алгебры: Maple: Искусство программирования. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2006. 792с.

35. Александров В.В. и др. Оптимизация динамики управляемых систем. Учеб. пособ. М.: МГУ. 2000. 304с.

36. Арнольд В.И. Цепные дроби. М.: МЦНМО. 2001. 40с.

37. Архангельский О.И., Мироновский Л.А. Диагностирование динамических систем с помощью операторных норм // Электронное моделирование. 1995. No5. С.40-49.

38. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа. 1998. 574с.

39. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Линейные операторы динамической системы //Автоматика и телемеханика. 2000. No.l 1. С. 57-68.

40. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Спектральные характеристики линейных систем на ограниченном интервале времени //Автоматика и телемеханика. 2002. No.6. С.З-22.

41. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Флип-метод определения сингулярных функций ганкелева оператора и оператора свертки //Автоматика и телемеханика. 1999. No.l 1. С.3-18.

42. Балонин H.A., Мироновский Л.А. Матрицы Адамара нечетного порядка //Информационно-управляющие системы. 2006. No.3. С.46-50.

43. Барабанов А. Е., Первозванский А. А. Оптимизация по равномерно-частотным показателям (Н-теория) // Автоматика и телемеханика. 1992. No. 9. С.3-32.

44. Бокова Я. М., Веремей Е. И. Вычислительные аспекты спектрального метода Над -оптимального синтеза И Теория и системы управления. 1995. No. 4. С.88-96.

45. Бритов Г.С., Мироновский Л.А. Диагностика линейных систем автоматического регулирования //Техническая кибернетика. 1974. No.l. С.52-60.

46. Бритов Г.С., Мироновский Л.А: Расчет тестового режима линейных систем управления // Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика. 2006. No.l 1. С.44-49.

47. Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Энциклопедия линейной алгебры. Электронная система ЛИНЕАЛ: Учеб. пособие для вузов. СПб.: БХВ-Петербург. 2006. 544 с.

48. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Физматлит. 2004. 560 с.

49. Голован А.А., Мироновский Л.А., Парусников Н.А. Алгоритмический контроль навигационной информации с использованием аналитической избыточности // Оборонная техника. 1998. No.6-7. С.35-43.

50. Гонсалес Р., Вудс Р., Эддинс С. Цифровая обработка изображений в среде MATLAB. Пер. с англ. М.: Техносфера. 2006. 611с.

51. Грехем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. М.: Мир. 1998. 703с.

52. Дорф Р., Бишоп Р. Современные системы управления: Перевод с англ. М.: Лаборатория базовых знаний. 2002. 832с.

53. Егоров А.Н., Мироновский JI.A. Использование нулей динамических систем в задачах технической диагностики // Электронное моделирование. 1996. No.6. С.34-42.

54. Зайцев В. Ф., Полянин> Л.Д. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Физматлит. 2001. 576 с.

55. Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике. М.: Изд-во МГТУ им Н.Э. Баумана. 2001. 496с.

56. Игнатьев М.Б., Мироновский Л.А., Юдович В. С. Контроль и диагностика робото-технических систем. Л.: ЛИАП. 1985. 160с.

57. Имаев Д.Х. и др. Анализ и синтез систем управления. Учеб. пособие. СПб-Сургут: ЛЭТИ. 1997. 197с.

58. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. 2-е изд. М.: Изд-во УРСС. 2004. 400с.

59. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. 6-е изд. СПб.: Лань. 2003. 576 с.

60. Конев В.Ю., Мироновский Л.А. Идентификация сингулярных чисел динамических систем // Информационный бюллетень "Алгоритмы и программы". 1991. No.2. С.20-23.

61. Курмаев И.Р., Мироновский Л.А. Фазовое разложение Гловера для бисингулярных систем. Сб. докл. Научная сессия ГУАП. СПб., 2006. В 3 частях. Ч 2. С.126-128.

62. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 3. Синтез регуляторов систем автоматического управления / Под редакцией Пупкова К.А. и Егупова Н.Д. Изд-во МГТУ им. Баумана. 2004.

63. Мироновский Л. А. Функциональное диагностирование динамических систем. М.: МГУ. 1998.256с.

64. Мироновский Л.А. Линейные системы с кратными сингулярными числами // Автоматика и телемеханика. 2009. No.l. С.51-73.

65. Мироновский Л. А. Аналоговые и гибридные модели динамических систем. Учеб. пособ. Л.: ЛИАП. 1985. 114с.

66. Мироновский Л. А., Шинтяков Д. В. Связь ганкелевых сингулярных чисел системы с ее частотными характеристиками // Известия вузов. Приборостроение. 2009. No.l. С.20-25.

67. Мироновский Л.А. Ганкелев оператор и ганкелевы функции линейных систем. //Автоматика и телемеханика. 1992. No.9. С.73-86.

68. Мироновский Л.А. Диаграммы Найквиста циклических бисингулярных систем. //Информационно-управляющие системы на железнодорожном транспорте. 2006. No.4. С.15.

69. Мироновский Л.А. Инварианты математических моделей. Часть 1. Л.: ЛИАП. 1991. 42 с. Часть 2. СПб.: ГААП. 1993. 103с.

70. Мироновский Л.А. Моделирование конечномерных систем. Моменты и марковские параметры. Л.: ЛИАП. 1988. 78 с.

71. Мироновский Л.А. Функциональное диагностирование динамических систем (обзор). //Автоматика и телемеханика. 1980. No.8. С.96-121.

72. Мироновский Л.А., Слаев В.А. Инварианты в метрологии и технической диагностике // Измерительная техника. 1996. No.6. С.3-14.

73. Мирошник И.В., Бобцов А.А. Линейные системы автоматического управления. СПб.: ГИТМО (ТУ). 2001. 245 с.

74. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля и их приложения (пер. с англ.). М.-Ижевск: НИЦ "РХД". 2005. 1077 с.

75. Первозванскнй А.А. Курс теории автоматического управления. М.: Наука. 1986. 616 с.

76. Петрова К.Ю. Анализ чувствительности диагностирования по сингулярным функциям // Третья научная сессия аспирантов СПб.: СПбГУАП. 2000. С. 158-160.

77. Петрова К.Ю. Оптимизация чувствительности терминального диагностирования в ' фазовом пространстве // Материалы конференции "Компьютерные технологии,коммуникации, численные методы и математическое моделирование". СПб.: СПбГТУ. 2001. С. 17-18.

78. Петрова К.Ю. Программный продукт для сравнения методов тестового диагностирования // Материалы конференции "Компьютерные технологии, коммуникации, численные методы и математическое моделирование". СПб.: СПбГТУ. 2001. С. 18.

79. Петрова К.Ю. Сингулярные числа звеньев первого и второго порядков // Вторая научная сессия аспирантов. СПб.: СПбГУАП. 1999. С. 155-159.

80. Петрова К.Ю. Терминальные методы диагностики линейных динамических систем //Четвертая научная сессия аспирантов. СПб.: СПбГУАП. 2001. С. 157-159.

81. Поршнев C.B. MATLAB 7. Основы работы и программирования. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2006. 320 с.

82. Потемкин В. Г. MATLAB 6: среда проектирования инженерных приложений. М.: Диалог-МИФИ. 2003. 448с.

83. Сдвижков О. А. Математика на компьютере: Maple 8. M.: Солон-Пресс. 2003. 176с.

84. Скоробогатько В.Я. Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. М.: Наука. 1983. 312с.

85. Толчеев В.О., Ягодкина Т.В. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. М.: МЭИ. 1997. 108с.

86. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре: Учебное пособие для вузов. 2-е изд. СПб.: Изд-во Лань. 2002. 416с.

87. Филлипс Ч., Харбор Р. Системы управления с обратной связью. М.: Лаборатория базовых знаний. 2001. 615с.

88. Чен К., Джиблин Л., Ирвинг A. MATLAB в математических исследованиях. М.: Мир. 2001.346с.

89. Шинтяков Д.В. Тестовый контроль бисингулярных систем. V Международная научно-практическая конференция "Актуальные проблемы экономики и новые технологии преподавания". СПб.: МБИ. 2006. Т. 2. С.204-207.

90. Шинтяков Д.В., Мироновский Л.А. Фазовращательные и бисингулярные системы // Восьмая научная сессия ГУАП. СПб.: ГУАП. 2005. С.513-516.

91. Шинтяков Д.В. Сигнатурно-симметричные реализации динамических систем. Вестник экономического общества студентов и аспирантов №5 // Межвузовский студенческий научный журнал. СПб.: МБИ. 2004. С.126.

92. Шинтяков Д.В.Алгоритм поиска матриц Адамара нечетного порядка // Научная сессия ГУАП: Сб. докл.: В 3 ч. Часть II Технические науки. СПб.: ГУАП. 2006. С.207-211.

93. Курмаев И.Р. Шинтяков Д.В. Фазовое разложение передаточной функции. // Труды межвузовской научной конференции по научному программному обеспечению. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2007. С. 156-158.

94. Шинтяков Д.В. АФХ-эквивалентные передаточные функции // X научная сессия ГУАП. СПб.: ГУАП. 2007. С.231-233.

95. Мироновский Л.А., Шинтяков Д.В. Частотные характеристики фазовраща-тельных и бисингулярных систем // Информационно-управляющие системы. 2007. N05. С.36-41.

96. Курмаев И.Р., Шинтяков Д.В. Корневой алгоритм декомпозиции АФХ-эквивалентной системы // Труды межвузовской научной конференции по научному программному обеспечению. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2007. С.135-138.