автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Аналитическое определение установившихся составляющих решения уравнений состояния электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами

Введение

Глава 1 Аналитическое определение установившихся составляющих решений уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей

1.1 Аналитическое определение установившихся составляющих решения уравнений состояния первого порядка

1.2 Аналитическое определение установившихся составляющих решения уравнений состояния второго порядка, описывающих реактивные электрические цепи

1.3 Построение аналитических решений уравнений состояния электрических цепей при некоторых характерных для электротехнической практики классах воздействий

1.4 Резонансные решения уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей

1.5 Обобщенные формулы аналитического решения уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей

1.6 Выводы

Глава 2 Аналитическое определение установившихся составляющих решений неканонических уравнений состояния первого и второго порядка линейных стационарных электрических цепей

2.1 Аналитическое решение неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей

2.2 Определение аналитического решения неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей в случае простого спектра пучка матриц

2.3 Особенности аналитического решения неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей в случае комплексно-сопряженных собственных значений пучка матриц

2.4 Определение аналитического решения неканонических уравнений состояния первого порядка в случае кратности собственных значений пучка матриц

2.5 Резонансные решения неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей

2.6 Решение неканонических - жестких уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей

2.7 Определение аналитического решения неканонических уравнений состояния второго порядка, описывающих реактивные электрические цепи

2.8 Выводы

Глава 3 Аналитическое решение уравнений состояния многосвязных однородных линий

3.1 Решение уравнений состояния многосвязных линий в операторной форме

3.2 Аналитическое решение операторных уравнений состояния линий без потерь и неискажаю-щих линий для наиболее характерных типов внешних воздействий

3.3 Переход от изображений решений уравнений состояния многосвязных линий к оригиналам

3.4 Аналитическое решение уравнений состояния линий без потерь и неискажающих линий во временной области для наиболее характерных типов внешних воздействий

3.5 Выводы

Глава 4 Аналитическое определение спектральных характеристик решений уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей

4.1 Аналитическое определение спектральных характеристик решений канонических уравнений состояния первого порядка линейных стационарных электрических цепей

4.2 Спектральные характеристики решения неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей в случае простого спектра пучка матриц

4.3 Спектральные характеристики решения неканонических уравнений состояния первого порядка линейных электрических цепей в случае кратности собственных значений пучка матриц

4.4 Аналитическое определение спектральных характеристик решений канонических уравнений состояния второго порядка линейных стационарных электрических цепей

4.5 Спектральные характеристики решения неканонических уравнений состояния второго порядка линейных электрических цепей

4.6 Спектральные характеристики решений уравнений состояния многосвязных однородных линий

4.7 Выводы

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Фундаментальные математические модели электрических цепей - уравнения состояния связывают наиболее информативные (обычно с энергетической точки зрения) переменные (токи, напряжения, потокосцепления, заряды) с внешними воздействиями с помощью коэффициентов, определяемых параметрами элементов и топологией цепей. Подобные модели представляют собой известные математические структуры, отличаются информационной полнотой и компактностью. Впервые введены в 1957 году Ва8ко\у'ым для линейных стационарных электрических цепей. С 70-х годов XX века получили исключительно большое распространение в программах расчета переходных процессов цепей самого разного класса - электронных, вентильных, содержащих электрические машины и т.д., поскольку обеспечивали возможность выполнения их вычислительной части с помощью стандартного обеспечения ЭВМ. В настоящее время уравнения состояния широко используются во всех областях теории электрических цепей - задачах синтеза, диагностики, управления, анализа чувствительности, качественном анализе процессов. Большой вклад в исследование этих уравнений и создание специальных методов их обработки внесли отечественные ученые К.С. Демирчян, В.Г. Пухов, В.Г. Миронов, В.П. Сигорский, А.И. Петренко, П.А. Бутырин, Ю.В. Ракитский, Н.В. Коровкин, А.Ф. Верлань и др. С последней четверти XX века стало интенсивно развиваться новое направление использования 7 уравнений состояния, связанное с возможностью непосредственного определения в замкнутом виде аналитических выражений для переменных, характеризующих установившиеся режимы электрических цепей, т.е. определения установившихся (асимптотических) составляющих решения уравнений состояния. Подобные выражения представляют исключительный интерес, так как, во-первых, аналитические решения полностью адекватны исходным моделям, во-вторых, позволяют оценить качество решения, чувствительность цепей и систем к изменению, в-третьих, дают возможность решения целого спектра обратных задач (синтеза, управления, диагностики параметров и т.д.). Определив установившиеся составляющие решений уравнений состояния электрических цепей, легко могут быть записаны и полные решения этих уравнений, поскольку вид преходящих составляющих решений (дополняющих установившиеся составляющие до полного решения) априори известен.

Исторически первым и к настоящему времени наиболее исследованным является уравнение состояния линейных стационарных электрических цепей х(0 = Ах(0 + ^ х(0) = х0, (В.1)

А = {дг/ } е Кт*т - вещественная матрица, коэффициенты которой определяются топологией электрической цепи и значениями ее элементов, х = х(?) = [х^), х2(*), ••• Х1я(0]Т т -мерный вектор переменных состояния (обычно токов (потокосцеплений) в индуктивных элементах и напряжений (зарядов) на емкостных элементах). Переменные состояния х(0 в данном случае представляют собой некоторое множество переходных токов (потокосцеплений) (Оу) и переходных напряжений (зарядов) иск (ОЫ; термин переход8 ные говорит о том, что эти переменные относятся к переходному процессу в цепи.

Вектор воздействий f = i(t) = [/, (*), /2(0, - /т (ОГ е > который можно представить в виде I = Ву, где у = = [уг(0, v2(í), ••• V,, (?)]Т е Я"- вектор входных величин, коэффициенты которого суть функции источников ЭДС и тока,

В е 1\т/п - вещественная матрица, определяющая вклад входных величин в баланс токов и напряжений (потокосцеплений и зарядов). Смысл термина переменные состояния здесь связан с тем обстоятельством, что энергия, запасенная в реактивных элементах цепи -энергия магнитного поля катушек и энергия электрического поля конденсаторов, выражается именно через оговоренные выше токи (потокосцепления) 1ц и напряжения (заряды) иСк

ЧЬ '

И; м/ =

2 Л V

2Ь • У

Ь .14 киСк

Wэ, =

2С здесь к У

7=1,., N1, к=1,., Ыс, А^ и Ыс - общее число катушек и конденсаторов. При этом порядок уравнения (В.1) определяется не суммарным числом накопителей N1 +N0, а числом (А^ +Нс)-(гь+гс), где и гс - число особых разрезов, состоящих исключительно из индуктивных элементов и источников тока, и особых контуров, состоящих исключительно из конденсаторов и источников ЭДС. Если такие особые разрезы и контура в цепи отсутствуют, то процедура формирования уравнения состояния вида (В.1) очень проста и вполне доступна студентам-второкурсникам. При наличии особых разрезов и контуров она становится алгоритмически довольно громоздкой, и при этом связана с рядом вычислительных операций обращения матриц - возможного источника ошибок. 9

В теоретическом и практическом плане большой интерес представляют две дихотомии решения уравнения (В.1): х(0 = хсв(0 + хпр(0, хсв(0 = еАгх0, хпр(0=еА' *т, (В.2) где хсв(0 - свободная составляющая переменной х(/), изменение которой во времени обусловлено начальным запасом энергии электрического и магнитного поля, Хщ^) - принужденная составляющая соответствует полному решению х^ = х уравнения состояния х = х(0) = 0 цепи с той же топологией и с теми же источник&миЭДС и тока. Подобные представления

В.2) обычно используют при численных решениях уравнений (В.1) м методами, основанными на вычислениях матричных экспонент е , интегралов от матричных экспонент А'1{еА1-\) и других специальных матриц, что составляет суть так называемых системных и других численно-аналитических методов интегрирования /Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.М., 1979; Демирчян КС., Бутырин ПЛ., 1988; Бутырин ПЛ., 1994; Волошина М.Л., 1989/. Другая дихотомия х(0 = х'(0 + х"(0, х"(0 = [х(0)-х'(0)], (В.З) где х'(/) - установившаяся составляющая переменных состояния, характеризующая установившуюся переменную в новом режиме (или ее асимптоте, если рассматриваются непериодические процессы), х"(/) - преходящая составляющая, равная разности полного решения и его установившейся составляющей. Ее можно определить и как решение уравнения состояния х = Ах цепи с той же топологией, но без источников ЭДС и тока, с начальными условиями х(0) - х'(0). Вид х"(/) априори известен. Выражение установившейся составляющей х'(0 в замкнутом аналитическом виде было получено в ра

10 ботах /Бутырин П.А., 1985; Демирчян КС., Бутырин П. А., 1988/ с

00 использованием интеграла Лапласа F+(/?;/) = ^e~pr f(t + r)dr, затем о

К.С. Демирчяном и П.А. Бутыриным была отмечена явная связь этого выражения с известным интегралом Дюамеля /Демирчян КС., Бутырин П.А., Бородкин В.Н., Миронов В.Г., 1999/. Техника такого вывода была основана на том обстоятельстве, что установившаяся составляющая решения имеет изображение Лапласа Х'(р) с полюсами, совпадающими с полюсами изображения F(р) функции воздействия f(Y). Следует заметить, что интегралы типа 00

F~(p;t) = je~pT/(t-r)dr ранее были хорошо изучены специалистао ми по динамическим системам применительно к поиску решения уравнений в фазовых переменных

P„(D)x = /k, P„(D) = f>;Dz, D° = 1 /Михайлов Ф.А., i=о dt

Теряев В.Д., Булеков В.П., 1979/.

Используемые выше и далее по диссертации терминология - установившиеся и преходящие, свободные и принужденные составляющие решений уравнений состояния соответствуют принятой в книге К.С. Демирчяна и П.А. Бутырина "Моделирование и машинный расчет электрических цепей" - М.: Высшая школа, 1988, допущенной Государственным комитетом по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов электротехнических и электроэнергетических специальностей вузов. Эта терминология используется в утвержденном и запущенном к изданию новом варианте Государственного стандарта Российской Федерации

11

Электротехника. Основные понятия, термины и определения" ( планируемый срок выхода из печати 2001 год). Для цепей, состоящих исключительно из реактивных элементов (ЬС- элементов, т.е. из катушек индуктивностей и конденсаторов) позднее были изучены уравнения состояния вида = Ax + f, х(0) = х0, х(0) = х0, х(0Д(0еГ, АеВГт (В.4) называемые в диссертации, следуя /Демирчян КС., Бутырин П. А. 1988/ уравнениями состояния второго порядка, в отличие от уравне ний состояния первого порядка (В.1). Здесь также вводятся дихото' х(0 = х'(0 + х"(0, х"(0 = соз[(- А)1/2х](х0 -х'0) + (- А)1/2зш[(- А)1/2/]с±о - *о) (В.6)

В /Бутырин ПЛ., 1985; Демирчян КС., Бутырин ПЛ., 1988/ находится аналитический вид установившейся составляющей, разрабатывается техника вычисления матричных функций, входящих в решение данного уравнения состояния /Волошина М.Л., 1989/. Подобными уравнениями состояния второго порядка можно описывать и ЛЬСМ - цепи /Демирчян КС., Бутырин П.А., 1988/, но именно для ЬС - цепей (реактивных цепей) они часто описываются в однородном базисе (когда переменные х(?) только токи в индуктивных элементах и напряжения в емкостных элементах), что более наглядно соответствует физике и энергетике процесса. мии х(0 = хсв(0 + хпр(0,

В.5) о

12

В последнее время интерес специалистов по теоретической электротехнике привлекают алгебро-дифференциальные уравнения состояния вида

Вх = Ах + Г, х(0) = х0, х(0Д0€ЕДт, А,ВеДи,х'\ (В.7)

Вх = Ах + {, х(0) = х0, х(0) = х0, х(0Д(0 е Г, А,В е Дих,я, (В.8) называемых далее неканоническими уравнениями состояния соответственно первого и второго порядков. Главное из достоинств таких уравнений - в тривиальности процедуры их формирования, не требующей глубокого топологического анализа как при формировании уравнений (В.1) и (В.4). Предпосылками к возможности аналитического решения неканонических уравнений состояния служат достигнутые в последние годы успехи математиков по построению необходимых для такого решения компонент - резольвент пучков матриц, левых и правых жордановых цепочек и т.д. Используется понятие регулярного пучка матриц Т)(Л) = ЛВ - А (в нашем случае т.к. В - положительно определена как матрица коэффициентов, то пучок матриц регулярен /Тантмахер Ф.Р., 1988; Ланкастер, 1978/). В теории матриц исследуется возможность приведения регулярного пучка матриц к строго эквивалентному каноническому виду. Показывается, что регулярный пучок матриц &(Л) = ЛВ - А, для которого ранг матрицы В меньше степени характеристического многочлена, может быть приведен к строго эквивалентному квазидиагональному виду, однако такое приведение численно неустойчиво /Бояринцее Ю.Е., 1988; Михайлов В.Б., Михайлова И.Л., 1992/. Основу эффективной реализации численно-аналитических методов составляет формула для вычисления резольвенты

ЩА) = (ЛВ - А)-1 регулярного пучка матриц с произвольным (простым или кратным) спектром /Михайлов В.Б., 1993/\

13

Х^Оо+О^ + .-. + О,-^ г-1 где Лк - собственное значение пучка, тпи - размер его жорданова ящика в канонической форме пучка (кратность), 5 - общее число жордадановых цепочек пучка матриц для некоторого Лк, к= /=1 ,.,тк, Оо,• • •, Qr l - матрицы алгебраической части решения системы, г - индекс алгебро-дифференциальной системы. Эффективный алгоритм определения числовых матриц Оо,., Ом для г> 1 описан в /Михайлов В.Б., Михайлова И.Л., 1992/. Если цепь не содержит особых контуров и особых разрезов !Чуа О., Пен-Мин Лин, 1980; Демирчян КС., Бутырин П.А., 1988/, матрица алгебраической части решений уравнений (2.3) и (2.4) 0=0. При этом алгоритм определения жордановых цепочек прост и описан, например, в /Гантмахер Ф.Р., 1988/. В Михайлов В.Б., 1993/ приводится следующий алгоритм вычисления ищ, \щ - векторов из правой и левых жордановых цепочек пучка матриц ЩЛ) = ЛВ - А, уравнения (В.7) для некоторого Лк, кратности тк,к=1 1. ,тк

Причем мщ, ущ - вектора из правой и левых жордановых цепочек, удовлетворяющие (2.4) связаны уравнениями нормировок: новых ящиков = т, ищ, чщ - векторы из правой и левых жорк= 1 п

14 v*(0Bu*U)=1> i + j = mk+l v*(0Bu*0") = i + j*mk+l

Перспектива использования в теоретической электротехнике неканонических уравнений состояния несомненна, поскольку при наличии лаконичности и информационной компактности они не требуют столь громоздких процедур формирования.

Наряду с уравнениями состояния линейных стационарных электрических цепей с сосредоточенными параметрами в диссертации рассматриваются уравнения состояния линейных стационарных электрических цепей с распределенными параметрами dt ди (x,t) -Gu (x,t) дх di(x,t)

B.9) j(X0 dt " dx где х- текущая координата линии, i(x,t), u(x,t)eRm- векторстолбцы искомых токов и напряжений, e(x,t), \(xj) е Rm - заданные внешние воздействия, матрицы коэффициентов R,G,L,СеRmxm- квадратные матрицы погонных сопротивлений, проводимостей, собственных и взаимных индуктивностей и емкостей, соответственно, m - число связных линий (порядок системы). Решение этих уравнений также может быть расщеплено на свободную и принужденную составляющие, установившуюся и преходящую (см. Глава 3). После появления классической монографии /Костенко М.В., Перелъман Л.С., Шкарин Ю.П., 1973/ в методах решения уравнений состояния с внешними воздействиями был достигнут большой прогресс, особенно если говорить о численной их обработке / Колечитский Е.С., Плис А.И., Плис В.И., Расторгуев В.А., 1998; Коровкин И.В., Селина Е.Е., 1992, 1999/. Появилась возможность

15 решения этих уравнений аналитически, основанная на технике решения уравнений состояния стационарных цепей. Перечисленные 5 типов уравнений состояния, описывающих линейные стационарные цепи с сосредоточенными и распределенными параметрами, являются предметом рассмотрения настоящей диссертации. Целью этого рассмотрения является анализ возможностей, разработка методов и инженерных методик построения именно установившихся составляющих решений уравнений состояния этих типов в замкнутом аналитическом виде. Дело в том, что в электротехнической практике в силу физической природы функционирования источников энергии (источников электродвижущих сил и источников тока) к их математическому описанию оказывается удобным привлекать ограниченный класс функций - гармонических, степенных, экспоненциальных, 5 - функций, произведений и композиций этих функций, модуляций с их использованием, поинтерваль-ному заданию воздействий в виде кусочно-синусоидальных, кусочно-полиномиальных и т.д. В этом смысле и точное аналитическое решение установившейся реакции цепи имело бы смысл выражать именно через композиции функций этого же класса, как наиболее изученных в электротехнике, удобных для дальнейшей обработки с целью получения интегральных оценок и т.д. Неограниченное число вариаций подобных воздействий делает невозможным исследование решений для каждого конкретного вида воздействий (исключение составляет только наиболее распространенное воздействие - постоянное и синусоидальное). Необходимы более универсальные выражения, позволяющие строить установившуюся составляющую решения в том же классе функций, что и перечисленные выше функции воздействий, причем строить в замкнутом аналитическом виде как точное, а не приближенное решение. При этом предполагается, что при любых других функциях воздействия, заданных аналитически (разумеется, при разных ограничениях в виде условий Дирихле и ограниченности экспоненциальности роста) разрабатываемая методика так же эффективно позволит построить установившуюся составляющую решения. Полагается также, что установившаяся составляющая решения ищется как во временной, так и в частотной области, что зачастую более важно доя оценки интегральных свойств исследуемой цепи и решений их уравнений состояния. Уравнения состояния нестационарных электрических цепей х(/) = А(/)х(/) + f, х(0) = х0, описывающих электрические машины, вентильные преобразователи и т.д., крайне важные в прикладном отношении объекты электротехники рассматривались в теории даже до появления работ Вавкоду'а, так поиск установившихся составляющих уравнений состояния электрических машин восходит к первой половине XX века - см. труды Конкордия, Фортескы-о, Парка, Горева и др. Техника решений подобных уравнений использует специальные приемы (теорема Флоке-Ляпунова, поинтервальная аппроксимация постоянными матрицами и т.д.) и сводится к построению аналитических решений некоторых эквивалентных уравнений с постоянными коэффициентами. В диссертации эта техника не рассматривается, но предполагается, что полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении нестационарных уравнений состояния на этапе решения оговоренных эквивалентных уравнений состояния с постоянными коэффициентами. В этом же смысле полученные в диссертации результаты исследований могут быть использованы и при численно-аналитическом решении различных классов нелинейных уравнений, если при этом используются процедуры аппроксимации последних линейными уравнениями (итерации Пикара и т. д.).

17

В методическом плане диссертационная работа основана на результатах, ранее полученных академиком АН СССР К.С. Демирчяном и член-корреспондентом РАН П.А. Бутыриным и представляет собой распространение этих результатов на новые классы уравнений состояния, прежде всего неканонических (В.6) и (В.7), так и использование новых типов интегральных преобразований. В работе используются следующие типы интегральных преобразований:

00 преобразование Лапласа F(р) = J е~рт f {r)dz, о преобразование Лапласа для функций со сдвигом аргумента

00 r-{p-t) = \e-p*f{t±r)dr, о

00 синус - преобразование Фурье F (s ) = J / (T)smsrdt, о синус - преобразование Фурье для функций со сдвигом аргумента

00

F(s;t) = F±(s;t) = J f(t± T)smsrdT, о двойное преобразование Лапласа

00 00 00 Ф±(а;Р2) = J'e~p^\Pl-t)dt = j\ï<p^f{t±T)dzdt,

О 0 0 двойное синус - преобразование Фурье

00 00 00 0(s;р) = \e~piF(s;t)dt = J feptf(t ± T)sinszdidt.

О 0 0

В результате работы должно быть получено достаточно систематическое описание установившихся составляющих решений уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей с использованием перечисленных видов интегральных преобразований. Проблемы дальнейшей обработки полученных выражений, записанных как в виде матричных функций, так и через соответствующие обычные функции как элементов спектрального расщепления этих матричных функций в диссертации не рассматривается. Эти вопросы досконально разобраны в докторской диссертации П.А. Бутырина (1993 г.), кандидатской диссертации М.Л. Волошиной (1989 г.) и частично в книге /Демирчян КС., Бутырин П.А., 1988 /.

Цель работы Распространение развитого в работах К.С. Де-мирчяна и П.А. Бутырина подхода к построению аналитических решений уравнения состояния на новые классы уравнений состояния линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, прежде всего неканонического вида, уравнения состояния для цепей с распределенными параметрам; исследование возможностей применения новых видов интегральных преобразований для решений этих уравнений во временной и частотных областях; совершенствование методики реализации подхода для наиболее характерных видов воздействующих функций применительно к электротехнической практики.

Достижение поставленной цели в диссертации связывается с решением следующих задач исследования:

1. Разработка методов построения в замкнутом аналитическом виде решений уравнений состояния первого и второго порядка линейных стационарных цепей с сосредоточенными параметрами во временной и частотной областях

- канонического вида

- неканонического вида

2. Исследование возможности использования интегральных преобразований для определения в замкнутом аналитическом виде ус

19 тановившихся составляющих решений уравнений состояния электрических цепей : преобразований Лапласа для функций со сдвигом аргумента, синус- преобразования Фурье со сдвигом аргумента, двойного преобразования Лапласа, двойного синус- преобразования Фурье.

3. Определение с помощью разработанной методики для уравнений состояния линейных электрических цепей аналитических выражений резонансных решений и частных решений, обусловленных характерными для электротехнической практики классами входных воздействий.

4. Разработка методов построения в замкнутом аналитическом виде решений уравнений состояния линейных электрических цепей с распределенными параметрами во временной и частотной областях.

Методы исследования и достоверность Все основные теоретические результаты, методы и методики диссертации получены с использованием классических положений теории электрических цепей, теории дифференциальных уравнений, теории матриц и функционального анализа. Достоверность результата основана на корректности применения классических положений перечисленных выше теорий для достижения заявленной цели и подтверждена решением многочисленных примеров (более 40), сравнении достигнутых результатов с результатами, полученными другим путем, непосредственной подстановкой аналитических выражений решений в исходные уравнения состояния.

20

Краткое содержание работы

Во введении отмечается актуальность темы диссертации, формулируется цель работы и излагаются основные положения диссертации.

В первой главе рассматриваются вопросы определения в замкнутом аналитическом виде установившихся составляющих решений канонических уравнений состояния линейных стационарных электрических цепей. Для формализации процедур используется операционный подход с использованием преобразований Лапласа для функции 00 со сдвигом аргумента \ е ± т)с1т, 0 синус-преобразования Фурье со сдвигом аргумента

00 ± т^тят/Зт и аппарат матричных функций. Преобо разование Р "(/?;£) в сравнении с преобразованием ¥+(р;() имеет более наглядную физическую интерпретацию, в связи с чем представляет интерес рассмотрение возможностей его использования для построения установившихся составляющих решений канонических уравнений состояния электрических цепей. Детально разбираются особенности построения соответствующих аналитических выражений для различных классов типичных для электротехнической практики воздействующих функций и создается методика формального построения этих аналитических выражений. Получение в замкнутой форме аналитических выражений для установившихся составляющих решений этих уравнений с использованием преобразования

Б "(/?;/) и сопоставление этих результатов с ранее полученными для преобразования ~Р+(рдает возможность объединения этих выра

21 жений и построения обобщенных формул. В результате закрывается проблема аналитического решения канонических уравнений состояния электрических цепей с использованием преобразований Лапласа 00 — со сдвигом аргумента ¥~{р\1)=\е (I ± т)с1т и синус0 преобразования Фурье со сдвигом аргумента

00 я;?) = |/(7± т)$\г\8тс1т . о

Во второй главе разрабатывается формальная методика определения в замкнутом аналитическом виде установившихся составляющих решений неканонических уравнений состояния первого и второго порядка линейных стационарных электрических цепей без приведения этих уравнений к нормальной форме Коши. Получены формулы для определения аналитических решений неканонических уравнений состояния с использованием понятий теории матриц (регулярного пучка матриц ) и интегральных преобразований для функций со сдвигом аргумента. Построены Таблицы изображений 00 fy.it±т)йт^ (0 = ^/(0- Рассмотрены особен0 ности аналитического описания резонансных решений неканонических уравнений состояния линейных электрических цепей, решений неканонических жестких систем.

В третьей главе разрабатывается формальная методика определения аналитических решений во временной и операторной области уравнений состояния многосвязных однородных линий с использованием изображений Лапласа для функции со сдвигом аргумента. Полученные при этом выражения обобщают известные результаты по решению уравнений длинных линий на многомерный случай. Де

22 тально разбираются особенности построения соответствующих аналитических выражений для различных классов типичных для электротехнической практики воздействующих функций. В четвертой главе разрабатывается формальная методика определения в замкнутом аналитическом виде спектральных характеристик решений канонических и неканонических уравнений состояния непосредственно по их виду с использованием двойного преобразования Лапласа и двойного синус-преобразования Фурье с построением соответствующих Таблиц изображений.

Разрабатыватся методика определения спектральных характеристик установившихся составляющих решений уравнений состояния многосвязных однородных линий.

Научная новизна состоит в решении задачи построения в замкнутом аналитическом виде установившихся составляющих решений неканонических уравнений состояния линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, исследовании возможностей применения для этого различных типов интегральных преобразований.

Впервые разработаны и выносятся на защиту следующие научные положения:

1. Методика построения во временной области в замкнутом аналитическом виде решений уравнений состояния канонического вида первого порядка с использованием преобразований Лапласа неканонического вида первого и второго порядка с ис

23 пользованием преобразований Лапласа и синуспреобразования Фурье I).

2. Методика построения в частотной области в замкнутом аналитическом виде решений уравнений состояния канонического вида первого порядка с использованием двойного преобразования Лапласа Ф~(р\',р2), решений уравнений состояния неканонического вида первого и второго порядка с использованием двойного преобразования Лапласа Ф±(р1;р2), двойного синус-преобразования Фурье Ф(я; 0.

3. Методика определения в замкнутом аналитическом виде во временной, операторной и частотной областях решений уравнений состояния многосвязных однородных линий.

Практическая ценность. Разработанная инженерная методика построения аналитических решений уравнений состояния линейных электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами отличается доступностью самому широкому классу специалистов - научных и инженерных работников, студентов. Ориентированная на практическое применение в инженерных, научных, учебных задачах, эта методика позволяет формально просто находить выражения токов и напряжений установившихся процессов электрических цепей в замкнутом аналитическом виде, дос

25

4.7 Выводы

172

1. Получены компактные выражения для аналитического определения спектральных характеристик решений канонических уравнений состояния первого порядка линейных стационарных электрических цепей с использованием двойного преобразования Лапласа непосредственно по виду уравнения, без их предварительного решения во временной области.

2. Разработана методика построения в замкнутом аналитическом виде спектральных характеристик решений канонических уравнений состояния второго порядка линейных стационарных электрических цепей с использованием двойного синус -преобразования Фурье.

3. Для наиболее характерных в электротехнической практике простейших (постоянные, экспоненциальные, гармонические функции), воздействующих функции построены таблицы изображений

Ф~(р1;р2), Ф+т(р{,р2), ф;/?).

4. Разработана методика построения в замкнутом аналитическом виде спектральных характеристик решений неканонических уравнений состояния первого порядка линейных стационарных электрических цепей с использованием двойного преобразования Лапласа без приведения этих уравнений к нормальной форме Коши.

5. Разработана методика построения в замкнутом аналитическом виде спектральных характеристик решений неканонических уравнений состояния второго порядка линейных стационарных электрических цепей с использованием двойного синус -преобразования Фурье без приведения этих уравнений к нормальной форме Коши.

173

6. Разработана методика построения спектральных характеристик установившихся составляющих решений уравнений состояния многосвязной однородной линии.

174

Заключение

Основными результатами диссертационной работы являются следующие результаты:

1. Разработана формальная методика определения в замкнутом аналитическом виде во временной области установившихся составляющих решений уравнений состояния канонического вида и неканонического вида первого и второго порядка, описывающих линейные стационарные электрические цепи с сосредоточенными параметрами с использованием преобразований Лапласа и синус-преобразования Фурье.

2. Для наиболее характерных для электротехнической практики воздействий (кусочно-полиномиальные, кусочно-синусоидальные, импульсно- модулированные и т.д.) построены таблицы соответствующих интегральных преобразований, позволяющие формально просто строить аналитические решения установившихся составляющих различных классов уравнений состояния по виду функций воздействия.

3. Разработаны методы определения резонансных решений канонических и неканонических уравнений состояния, т.е. решений для случаев полного или частичного совпадения собственных частот цепей с полюсами функций воздействия.

4. Разработана методика определения в замкнутом аналитическом виде во временной, операторной и частотной областях решений уравнений состояния линейных электрических цепей с распределенными параметрами.

178

5. Разработана формальная методика определения в замкнутом аналитическом виде спектральных характеристик установившихся составляющих решений уравнений состояния канонического вида и неканонического вида первого и второго порядка, описывающих линейные стационарные электрические цепи с сосредоточенными параметрами с использованием двойного преобразования Лапласа и двойного синус-преобразования Фурье.

179

1. Базуткин В.В., Дмоховская Л.Ф. Расчеты переходных процессов и перенапряжений. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 328 с.

2. Баскаков С.Н. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 1983. - 536 с.

3. Баскаков С.Н. Радиотехнические цепи с распределенными параметрами. М.: Высшая школа, 1980. - 152 с.

4. Бернас С., Цен 3. Математические модели элементов электроэнергетических систем.//Пер. с польск. -М.: Энергоатомиздат, 1982. -312 с.

5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. -М.: Высшая школа, 1978. 528 с.

6. Бояринцев Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.- 157 с.

7. Бояринцев Ю.Е., Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные системы: Методы решения и исследования. Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН , 1998. - 224 с.

8. Бояринцев Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1996. - 261 с.

9. Булеков В.П. Вычисление реакции линейной системы операторным способом на воздействие, приложенное в конечный момент времени.//Изв. Вузов. Приборостроение, 1971, №5, с. 38-41

10. Булеков В.П., Фукс С.М. Левое дискретное преобразование Лапласа. Тр. МАИ, 1972, вып. 233, с. 39-46180

11. Бутырин П.А. Диагностика линейных многополюсников.//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1983, №6, с. 81-85

12. Бутырин П.А. Применение функций от операторов для определения аналитических решений уравнений состояния//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1985, №4, с. 44-56

13. Бутырин П.А. Применение функций от операторов для определения аналитического решения абстрактных дифференциальных уравнений. XI Всесоюзная школа по теории в функциональных пространствах.: Тез. докл., ч. IY. Челябинск, 1986,- с. 25

14. Бутырин П. А. Разработка аналитических и численно-аналитических методов решения уравнений состояния электрических цепей.: Дисс. докт. техн. наук. 1993. - 304 с.

15. Бутырин П.А., Тихомирова М.П. Решение уравнений состоянияоднородных многосвязных линий//Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1987, №2, с. 19-24

16. Бутырин П.А., Жохова М.П. Решение уравнений состояния электрических цепей с экспоненциально-полиномиальными воздействиями. Эл. магн. процессы в электрических установках и машинах: Сб. научных трудов, Омск, 1990, №2, с. 34-36

17. Бутырин П.А., Жохова М.П. Установившиеся составляющие решений неканонических уравнений состояния электрических цепей.// Электричество, 2001, №3, с. 33-37

18. Бутырин П.А., Жохова М.П. Аналитическое решение установившихся составляющих решений алгебро-дифференциальных уравнений электрических цепей.//Труды IV Межд. конференции181

19. Электротехника, электромеханика, электротехнологии" ICEE -2000, 18-20 сентября 2000 г., Изд. МЭИ, с. 181

20. Валеев Г.К., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Наукова думка, 1981. - 412 с.

21. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. - 320 с.

22. Волошина М.Л. Разработка методов и математического обеспечения вычисления матричных функций применительно к задаче решения уравнений состояния электрических цепей.: Дисс. канд. техн. наук., 1989. 258 с.

23. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 552с.

24. Гринберг Г.А., Бонштедт Б.И. Основы точной теории волнового поля линии передачи.// Журнал теоретической физики (ЖТФ), 1954, Том XXIV, Вып. 1, с. 83-88

25. Данилов Л.В., Матханов П.Н., Филиппов Е.С. Теория нелинейных электрических цепей. Л.: Энергоатомиздат, 1990. - 256 с.

26. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977. - 228 с.

27. Демирчян К.С., Бутырин П.А., Бородкин В.Н., Миронов В.Г. История развития теоретической электротехники.//Изв. РАН. Энергетика, 1999, №3

28. Демирчян К.С., Бутырин П.А., Калугин Е.И. Аналитические решения уравнений состояния электрических цепей. Препринт № 03-124 Ин-та высоких температур АН СССР. М.: 1983. - 48 с.

29. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М.: Высшая школа., 1988. - 335 с.

30. Демирчян К.С., Ракитский Ю.В. Новые численные методы интегрирования жестких систем дифференциальных уравнений элек182трических цепей. В кн.: Проблемы электроники и автоматики. -Киев,: Наукова думка, 1976. - 300 с.

31. Демирчян К.С., Ракитский Ю.В. О фильтрации составляющих с большими производными в дифференциальных систе-мах.//Препринт/ИВТ АН СССР, 1984, 56 с.

32. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. М.: Высш. шк., 1988. - 335 с.

33. Заде JL, Дезоер И. Теория линейных систем. М.: Наука, 1970. -703 с.

34. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил A.B., Страхов C.B. Основы теории цепей. М.: Энергоатомиздат, 1989.

35. Жуховицкий Б.Я., Негневицкий И.Б. Теоретические основы электротехники. Т. 2. М.: Энергия, 1972. - 200 с.

36. Кодингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1969. - 512 с.

37. Коровкин Н.В., Селина Е.Е. Эффективный алгоритм численного моделирования волнового процесса в электрических устройствах. Электрические процессы в электрических машинах и аппаратах. -Омск: Из-во Омского политехн.ин-та. 1983, с. 103-109.

38. Коровкин Н.В., Селина Е.Е. Моделирование волновых процессов в распределенных электро-магнитных системах. С-Пб.: Из-во СПБГТУ, 1992.- 102 с.

39. Коровкин Н.В., Селина Е.Е. Анализ волновых процессов в системах с распределенными параметрами методом синтетических схем.// Электричество, 1999, №1, с. 49-58

40. Колечитский Е.С., Плис А.И., Плис В.И., Расторгуев В.А., Напряжение и токи, индуцированные в воздушной линии внешним полем.// Электричество, 1998, №3, с. 21-25183

41. Костенко М.В., Перельман JI.C., Шкарин Ю.П. Волновые процессы и электрические помехи в многопроводных линиях высокого напряжения. М.: Энергия, 1973. - 272 с.

42. Ланкастер. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978. - 280 с.

43. Мирзабекян Г.З. Численные методы в технике высоких напряжений. -М.: Моск. энерг. ин-т., 1983. 68 с.

44. Миронов В.Г., Казанцев Ю.А., Кузовкин В.А. Методы машинного расчета линейных электрических цепей. М.: МЭИ, 1988. - 95 с.

45. Миронов В.Г., Кузовкин В.А., Казанцев Ю.А. Моделирование на ЭВМ режимов в нелинейных цепях. М.: МЭИ, 1990. - 127 с.

46. Миронов В.Г., Стасив П.Г. Перспективы использования диакоп-тического подхода при анализе динамических режимов электрических цепей.// Электричество, 1990., № 12

47. Миронов В.Г. Макромоделирование подсхем сложных линейных электрических цепей для детерминированного и статического анализа.// Электричество, 1998., № 12, с. 57 64

48. Михайлов В.Б. Применение в САПР РЭА численно-аналитических методов в декомпозиционной постанов184ке.//Информатика. Сер. Автоматизация и проектирование, 1993, Вып. 3, с. 10-24

49. Михайлов В.Б. Численно-аналитические методы моделирования в линейной и нелинейной постановках.// Интелектуальные интегрированные САПР РЭА и БИС. М.: Наука, 1990, С. 67-75

50. Михайлов В.Б. Проблема собственных значений и анализ линейных трактов радиотехнических устройств с многополюсными элементами.//Известия ЛЭТИ. Сборник научных трудов. Вып. 294, с. 3-11

51. Михайлов Ф.А. Теория и методы исследования нестационарных линейных систем. М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1986. - 320 с.

52. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В. П. и др. Динамика нестационарных дискретных систем М.: Наука, 1979.

53. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В. П. и др. Анализ и синтез нестационарных линейных систем операторным методом.//Изв. Вузов. Приборостроение, 1977, т. 20, №10

54. Михайлов Ф.А., Теряев Е.Д., Булеков В. П. и др. Динамика непрерывных линейных систем с детерминированными и случайными параметрами. М.: Наука, 1979. - 561 с.

55. Нейман К.С., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. -Л.: Энергоатомиздат, 1984. -т.1 536 с.

56. Поливанов K.M. Теоретические основы электротехники. Т. 3. -М.: Энергия, 1975. 208 с.

57. Ракитский Ю.В. Жесткая дифференциальная система. Матем. энциклопедия /Под ред. И.М. Виноградова М.: Советская энциклопедия. - 1979. - т. 2 - с. 410-417.

58. Ракитский Ю.В., Устинов С.М., Черноруцкий И.Г. Численные методы решения жестких систем. М.: Наука, 1979. - 208 с.185

59. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, Т.1, 1988. - 336 с.

60. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы. М.: Мир, Т.2, 1988. - 360 с.

61. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электрических схем. М.: Сов. радио, 1976. - 608 с.

62. Стрейц В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления./ Пер. с англ. М.: Наука, 1985. -296 с.

63. Уилсон Дж. Алгебраическая проблема собственных значений: Пер. с англ. М.: Наука, 1970. - 564 с.

64. Фадеева В.Н., Колотилина Л.Ю. Вычислительные методы линейной алгебры. Набор матриц для тестирования. Л.: ч.1., 1982. -131 с.

65. Френке Л. Теория сигналов. М.: Сов радио, 1974. - 344 с.

66. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ./ Пер. с англ. М.: Мир, 1989.-655 с.

67. Чуа О., Пен-Мин Лин Машинный анализ электронных схем. -М.: Энергия, 1980.-640 с.

68. Bashkow T.R. The A matrix, new network description.// IRE Trans., 1957, V. CT-4, № 2

69. Bryant P.R. The expicit form of Bashkow's A matrix.// IRE Trans. (Correspondence), 1962, V. CT-9, № 3, p. 303

70. Moler C., Morrison D. Replacing square roots by Pythogorean Sums.// IBM J.Res.Develop. 1983. V.24 -p.577-581

71. Ule M. Leitung modelle fur ullgemeine Netzwerkanalyseprogramme.// Zeitshrift electr. Inform, u. Energietechnik. 1982. - №12. - p.417-486

72. Folinger O. Laplace und - Furier - Transformation.// Berlin, 1982.186

73. Reinboldt W.C. Differential algebraic systems as differential equations on manifolds.// Math. Comp. - 1984. - Vol. 43., № 168. - p 473-482