автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Исследование математических моделей и методов для расчета и анализа установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии

На правах рукописи

Цэвэгжавын ОНОРМАА

ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ И МЕТОДОВ ДЛЯ РАСЧЕТА И АНАЛИЗА

УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ МОНГОЛИИ

Специальность 05 14 02 - Электростанции и электроэнергетические

системы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск 2007

003062731

Работа выполнена на кафедре электрических станций, сетей и систем ГОУ ВПО «Иркутский государственный технический университет - ИрГТУ»

Научный руководитель

доктор технических наук, профессор Тарасов Владимир Иннокентьевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук Колосок Ирина Николаевна

кандидат технических наук Охорзпп Юрпй Афапасьевнч

Ведущая организация

Национальный диспетчерский центр энергетики Монголии

(г Улан-Батор, Монголия)

Защита состоится 22 мая 2007 г в 09 часов 00 минут на заседании диссертационного совета ДООЗ 017 01 при Институте систем энергетики им Л А Ме-лентьева СО РАН, в коми 355 по адресу 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

Отзывы на автореферат в двух экземплярах с подписью составителя, заверенные печатью организации, просим направлять на имя ученого секретаря диссертационного совета по защите диссертаций при Институте систем энергетики им Л А Мелентьева СО РАН по адресу 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 130.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института систем энергетики им Л А Мелентьева СО РАН

Автореферат разослан 12 апреля 2007 г

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003 017 01 д т н, профессор

АМ Клер

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы Либерализация отношений в электроэнергетике Монголии приводит к радикальному изменению условий функционирования ее электроэнергетической системы, в результате существенно увеличивается неопределенность параметров режимов ЭЭС, возрастает вероятность работы ЭЭС в предельных режимах с пониженными запасами устойчивости и ухудшенными показателями качества электроэнергии Все эти факторы усложняют управление нормальными и аварийными режимами ЭЭС Поэтому важнейшим условием обеспечения нормального функционирования ЭЭС является совершенствование оперативно-диспетчерского управления Основным направлением этого совершенствования является автоматизация оперативно-диспетчерского управления на основе использования современных технических средств, информационного обеспечения и современных математических методов расчета и анализа электрических режимов ЭЭС

В основе большинства задач, решаемых в автоматизированных системах диспетчерского управления (АСДУ) лежит задача расчета установившихся режимов ЭЭС Система оперативного управления режимами ЭЭС предъявляет жесткие требования к методам анализа режимов Применительно к методам расчета установившихся режимов эти требования заключаются обеспечении высокой надежности и скорости сходимости итерационных процессов, их быстродействия Требование высокой действенности метода или алгоритма расчета установившихся режимов ЭЭС приобретает в настоящее время решающее значение Поэтому вопрос обеспечения гарантированной сходимости методов расчета установившихся режимов при решении задач развития и функционирования ЭЭС на основе автоматизированных систем управления приобретает первостепенное значение

К решению указанного вопроса тесным образом примыкают вопросы существования и неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Так, оценка существования решения уравнений исследуемых установившихся режимов уже на стадии их расчета с помощью простых численных критериев имеет важное значение для эффективного решения многих задач надежности, устойчивоспособности, живучести, ввода режима в допустимую область и оптимизации режимов

Эффективным решением проблемы существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС является разработка метода, по сходимости которого можно определять несуществование решения исследуемого режима

Автоматизация управления развитием и функционированием по-новому ставит и проблему неоднозначности решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Наряду с такими вопросами, как число решений уравнений установившихся режимов и их характер, возможность существования нескольких решений, отвечающих режимам, допустимым по условиям эксплуатации, в том числе, и статически устойчивым, при каких условиях и для каких режимов и

электрических систем возможно проявление неоднозначности решения, имеющими методическое значение, остро стоят вопросы условий сходимости методов расчета к тем или иным решениям, и, следовательно, вопрос адекватности решении, получаемых с помощью ЭВМ, реальным режимам ЭЭС

Большой вклад в исследование и разработку математических моделей и методов расчета и анализа установившихся режимов ЭЭС внесли Г Г Адонц, Д А Арзамасцев, В А Баринов, П И Бармоломей, В В Веников, А 3 Гамм, В М Горнштейн, В И Идельчик, JIА Крумм, В 3 Манусов, В А Строев, В И Тарасов, X Ф Фазылов, JIВ Цукерник, Н W Dommel, С Е Hart, А М Sasson, В Stott, W Е Tinney, Е Van Ness и др

Настоящая работа посвящена решеншо поставленных выше вопросов применительно к ЭЭС Монголии

Цель работы состоит в исследовании математических моделей, методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задачи расчета установившихся режимов на всех временных уровнях оперативно-диспетчерского управления ЭЭС Монголии как самостоятельной задачи, так и основы задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов, анализа возможных аварийных нарушений, оценки устойчивости, оценки оперативной надежности, советчиков диспетчера и др

Достоверность результатов работы В проводимых исследованиях в качестве расчетной схемы замещения ЭЭС Монголии принята расчетная схема, используемая Национальным диспетчерским центром энергетики Монголии Исходные режимы зимнего максимума и летнего минимума нагрузок соответствуют данным контрольных замеров Полученные результаты и выводы проверены расчетами ряда ЭЭС, близким по характеристикам ЭЭС Монголии и хорошо согласуются с известными теоретическими результатами

Научная iiomnua и значимость полученных результатов заключается в следующем

1 Исследованы свойства и особенности применения нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса мощностей и форме баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии Показана высокая эффективность применения уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в узлах, а для их решения - линейных и нелинейных методов миними )ации Полученные выводы справедливы для всех ЭЭС подобной структуры и распределительных сетей

2 Впервые проведено комплексное исследование нелинейных свойств математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии и на его основе даны практические рекомендации по оценке существования решения уравнений установившихся режимов при различных схемно-режимных условиях и в различных циклах управления, исключению негативного проявления неоднозначности решения уравнений установившихся режимов

3 Показана высокая эффективность применения регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, практически решающих проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии

4 Исследована сходимость нового класса регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации, построенных на основе последовательного решения в начале уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (К регуляризация) на примере ЭЭС Монголии Показано, что 1Б ре-гуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации сходятся практически за один шаг даже с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии

5 Обоснована применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии в различных циклах управления

Практическая ценность работы Использование полученных в работе результатов обеспечит повышение эффективности АСДУ на всех территориальных и временных уровнях управления ЭЭС Монголии за счет получения надежного инструмента расчета и анализа режимов, расширения на его основе состава решаемых в рамках АСДУ задач, направленных на повышение надежности, экономичности режимов работы и качества электроэнергии, повышения производительности труда специалистов Национального диспетчерского центра энергетики Монголии

Основные положения, выносимые на защиту

1 Результаты исследования свойств и особенностей применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии линейными и нелинейными методами минимизации

2 Результаты комплексного исследования нелинейных свойств в математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии

3 Результаты исследования сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных

4 Результаты исследования сходимости нового класса 1Б регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на международной научно-практической конферен-

ции «Наш вклад в решение акгуальных вопросов развития Монголии», Иркутск, 2004 г, международной научно-практической конференции «Россия-Монголия современное состояние и перспективы развития сотрудничества», Иркутск, 2005 г, международной научной конференции «Power mdustiy and market economy», Ulaanbaatar, Mongolia, 2005 г, всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири», Иркутск, 2005 г , всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Энергетика управление, качество и эффективность использования энергоресурсов», Благовещенск,

2005 г , двенадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва,

2006 г

Публикации По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ В том числе 2 работы в реферируемых изданиях ВАК

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения Общий объем работы составляет 160 страниц, иллюстрируется одним рисунком, содержит 58 таблиц, включает список литературы из 137 наименований

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность решаемой в работе проблемы, формулируются цель и задачи исследования, приводятся основные положения диссертации, выносимые на защиту

Глава I Численное исследование сходимости методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии

Установившиеся режимы ЭЭС при задании мощностей нагрузок и генераторов в узловых точках электрической сети описываются системами нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений высокого порядка В общем виде эти уравнения записываются как

W(X,Y) = 0, (1)

где W - вектор-функции порядка N < 2п, п - число узлов в схеме замещения ЭЭС без учета базисного, X — вектор зависимых параметров режима или вектор зависимых переменных, определяемых их решения уравнения (1), Y - вектор независимых параметров режима или вектор независимых переменных, являющихся заданными при решении уравнения (1)

Задача расчета установившихся режимов ЭЭС состоит в определении значений вектора X из (1), а также других параметров режима, являющихся функциями от X и Y (например, перетоков мощности по связям, токов в элементах ЭЭС и др) при заданных значениях вектора Y Размерность X равна размерности вектор-функции (1)

В настоящее время в качестве уравнений установившихся режимов ЭЭС применяются в основном уравнения узловых напряжений Эти уравнения могут быть представлены как в виде баланса мощностей в узлах ЭЭС

п+1 л n+1 A A

wSl=s1+u, и, SY.-u, 1 = 1> (2)

Г1 J=1

J*I ¡*l

так и в виде баланса токов

с п+1 п+1

Wh=^- + U, IY.-IUjY^O, 1=1, ,11, (3)

и, 1=1 ,=i

J*1 JÍ1

где S, = Р, + jQ, - комплекс задающей мощности в узле i, j = V-T, U , ÍJ -прямой и сопряженный комплексы напряжения в узле j, Y , Y - прямой и сопряженный комплексы взаимной проводимости ветви между узлами i и j, п -число независимых узлов в схеме замещения ЭЭС

В качестве независимых переменных Y могут быть заданы для части узлов активные и реактивные мощности генераторов и нагрузки, а для остальных узлов - активные мощности и модули напряжений В качестве зависимых переменных X могут быть приняты модули и углы напряжений узлов (полярная система координат переменных) или активные и реактивные составляющие напряжений (прямоугольная система координат переменных)

При решении уравнений (1) значение вектора Y является заданным С учетом этого представим систему уравнений (1) в виде

W(X) = {w,(X)¡i = l, ,N,N < 2n} = 0 (4)

Уравнения (2) в действительной форме в полярной системе координат имеют вид

w1(X) = {wpj,wQ¡|J = l, ,пЛ = 1, ,М}=0, (5)

где

wpi=PGl-P„1-Pcl=Pa-PHl-UI2 у1И + U, eos 5, 2Ц (cosSj у +

+ Sln5j y,jr) + u. sin5, SUJ (s>n5 y,ja -cosSj y ), 1 = 1, ,n,(6)

jes,

WQ^Qo-QH^Qc^Qc-Qm-U? ylir - U, cosS, (sinS, ylja -

JSS,

-cosSj y41) + u, smS, (?osSJ y^+sinS, yj, i = l, ,M,(7)

^L^y ija Si » Уиг

У UJC

Ууг —

w1(X) = {wH,wQI,wuk|J = l, ,n,l = l, ,M,k = l, ,K}=0, (8)

и в прямоугольной системе координат

Vw<31'wuk где

WI.=Po,-P№-Pa=P<h-PH.-U? Упа+U,, Z(U,a У,а +

jeS,

+ Uji yv) + U„ 2(U)r y4.~uja y„), 1 = 1, ,n, (9)

jes,

= <501 - (5Н1 - <3„ = (За, - Он, - и,2 У11Г - ц. 2 (и)Г У8. -

-и,. у,г) + и„ у„.+и„ учг), 1=1, ,м, (10)

м

= ,К, (11)

и2=и2+и2, М+К=п В выражениях (6) - (11) обозначены Р0,,<3С1, Рн,, <3н1> Ра>Рс1 ~ соответственно активная и реактивная мощности генерации, нагрузки, активная и реактивная сетевые мощности узла 1, упа,уиг,уча, Уцг - соответственно активная и

реактивная составляющие собственной проводимости узла 1 и взаимной проводимости ветви между узлами 1 и и^З^и^и,, - модуль, фаза, активная и реактивная составляющие напряжения и узла 1, у с - емкостная проводимость ветви 1 ^ на землю, g1> Ь, - соответственно активная и реактивная проводимости шунтов, подключенных в узле 1, и13ал - заданный постоянным модуль напряжения узла 1, э, - множество индексов узлов, смежных с узлом 1, п - число узлов схемы замещения ЭЭС без учета базисного, М - число узлов с заданными в качестве независимых переменных активными и реактивными мощностями генераторов и нагрузок, К - число узлов с заданными в качестве независимых переменных активными мощностями и модулями напряжений

Уравнения (3) в действительной форме записываются в полярной, системе координат

™1(Х) = Кч,луы,'№рк|*1 = 1, ,М,к = 1, ,К}=0, (12)

где

УУ[а1 = (Р0.-Рн1)соз5,,(дв1-дН1)51п51_и1(со55[ у_+яп51 Ут) +

+ £и,(со85, уца+5н^ уцг),1 = 1, ,М, (13)

^в({>0:-рн1)8ш81-(д01-дн|)с088,+и|(сот81 уцг_8тб1

-£и,(соз8, учг-5ш6] уца), 1 = 1, ,М, (14)

выражения для , 1 = 1, , К, записываются аналогично (б), и в прямоугольной системе координат

™1(Х) = {ш1ч^и^рк,луик!.ь 1 = 1, , М, к = 1, ,К)=0, (15)

где

СРс, -Рн^Ца^О, -<3н.)и„

и,2

+ Е(иа] уч. + ич учг),1=1, ,М, (16)

WI = 4 01 п — и V -и V +

тт2 31 У па п У иг ^

у* 1п ^ а У иг ^п У иа

Уч.)п = 1, ,м, (17)

функции \\ и \Уи, определяются выражениями (9) и (11) соответственно

В главе показано, что матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, записанных в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных, являются плохо обусловленными Плохая обусловленность матриц Якоби этих уравнений связана как с особенностью структуры электрической сети ЭЭС Монголии - слабозамкнуто-стыо, радиальностью и протяженностью, так и неоднородностью параметров схемы замещения, вызванной наличием в электрической сети большого числа разнотипных трансформаторов и автотрансформаторов, большого числа как длинных, так и коротких воздушных линий разных уровней напряжения, значительного количества воздушных линий, активные составляющие сопротивлений которых близки, и даже равны по величине реактивным составляющим сопротивлений Кроме того, режимы ЭЭС Монголии характеризуются и высокой степенью неоднородности в значениях нагрузок узлов, что еще больше ухудшает обусловленность матриц Якоби их уравнений Поэтому метод Ньютона, реализующий итерационный процесс

Х(р*1> =Х(р) +дх®, р = 0, 1, 2, , (18)

где ДХ,,® на каждом шаге (18) определяется решением системы линейных уравнений

Л(Х(Р)) АХ<Р) =-\У(Х(р)), (19)

Л(Х(Г)) - матрица Якоби уравнений (4) в точке Х®, является неэффективным как при решении уравнений (5), так и уравнений (8) установившихся режимов ЭЭС Монголии

Эффективно задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии может быть решена только итерационными методами, обладающими высокой действенностью К таким методам относятся линейные и нелинейные методы минимизации

Линейные методы минимизации ньютоновского типа При использовании методов минимизации ньютоновского типа задача решения уравнений установившихся режимов (4) сводится к определению нулевого минимума функции

Ф(Х) = £ЧУ?(Х)=!!/^(Х)!]2 (20)

1=1

в соответствии с вычислительной схемой

Х<р+1) = Х(р) + А.р АХ®, р = 0, 1, 2, , (21)

где Х(р+1), Х(р) - значения переменных соответственно на (р +1) и (р) шагах итерационного процесса (21), АХ® - направление минимизации функции (20),

определяемое на каждом шаге (21) решением системы линейных уравнений (19), "к - параметр, определяющий длину шага вдоль направления АХ^'

Сходимость и скорость сходимости итерационного процесса (21) при решении задачи (4) в значительной степени определяются вел!гчиной и способом выбора параметра X в (21)

Наиболее высокой действенностью и низкой временной сложностью из методов ньютоновского типа обладает метод, в котором величина параметра определяется из условия достижения на каждом шаге (21) точного минимума функции (20)

Действенность методов ньютоновского типа зависит от того, насколько не выпукла минимизируемая функция в заданной исходным приближением Х(0)

области П = {Хе 11к|ф(Х) < ф(Х(0))} В случаях выпуклости или слабой невыпуклости функции (20) в области О эти методы демонстрируют высокую действенность при решении задачи (4)

В случаях значительной невыпуклости функции (20) однопараметрические методы ньютоновского типа (21) часто являются неэффективными Реализую линейную схему минимизации, эти методы не всегда в таких случаях могут с необходимой точностью отследить изменение рельефа минимизируемой функции Неточность прогноза поведения функции (20) по линейной траектории спуска нередко приводит к сходимости этих методов не к нулевому минимуму функции (20), а к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби

В главе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в уатах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф в заданных исходными приближениями Х(0) = = иш, 5] = 0|1 = 1, ,п, ] = 1, ,п + 1},Х(0) ={ии =и„,ип =0|1 = 1, ,п} областях О. = {X е |ф(Х) < (Х(0))} При этом функция на периферийных учасгках указанных областей сильно невыпукла Невыпуклость функции сопровождается прохождением поверхности вырождения якобиана уравнений баланса мощностей в непосредственной близости от точек «нулевых» исходных приближений как при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов, так и при задании в них активных мощностей и модулей напряжений Поверхность вырождения якобиана уравнений баланса мощностей имеет сложную конфигурацию не только в окрестности нулевых исходных приближений, но и окрестности решений уравнений установившихся режимов, отвечающих реальным режимам ЭЭС Невыпуклость квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах и сложный вид этой невыпуклости часто приводит к сходимости линейных методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, которые не все! да являются «стационарными»

Нелинейные методы минимизации Наиболее эффективными для решения задачи (4) из методов этого класса являются метод квадратичного спуска и метод минимизации по плоскости, реализующие итерационные процессы

Х(рп) = хср) + ^ дх(р)+х2р АХ^, (22)

и х'р+1) = Х(р) + ар АХ<р)+ур ДХ(Р), (23)

где вектор АХ1 в (22), как и вектор АХН в (21), определяется из решения системы уравнений (19), вектор ЛХ2 - по выражению ДХ^' = -ц ЛХ5Р) + АХ(Р), а вектор АХ - из решения системы уравнений

•1(ХСр)) АХ(Р)=-|(\У" АХ<Р), АХ<Р>), (24)

где у - величины шагов по принятым направлениям спуска, XV" - матрица вторых частных производных уравнений (4) в точке Х(р), (а,Ъ) - скалярное произведение векторов, р - параметр, определяемый из условия минимального отклонения квадратичной аппроксимации от специальным образом заданной кривой спуска в плоскости векторов АХ1 и АХ

Выбор направления минимизации функции (20) в методе (23) определяется из условия достижения ее глобального минимума на плоскости (АХ), АХ)

Ф(Х(р)+а АХ|р) + у0 ДХ(Р)) = ттф(Х(р) + а АХ<р) +у • ДХ(р)) (25)

р р а у

а в методе (22) - условием достижения минимума функции (20) на кривой, принадлежащей этой плоскости

Ф(Х(Л)) = Ф(Х(Р) + Хр АХ® + ^ АХ^р,) = гшпф(Х(р)+Х АХ{Р)+А? АХ<Р)) (26)

Методы (22) и (23) обладают значительно более высокой действенностью при решении задачи (4), чем линейные методы минимизации ньютоновского типа (21) Однако, близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметриче-ского метода минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии не к решению уравнений (5), (8), а к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности

Эффективность решения задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами минимизации значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах

Сходимость методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации определяется не только видом переменных, свойствами функции (20), но и конфигурацией поверхности, определяемой уравнением вырождения матрицы Якоби с1еМХХ) = 0

Поверхности, определяемые уравнением с1еи(Х) = 0, для уравнений баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных различны Поэтому и области сходимости решения уравнений ус-

тановившихся режимов в форме баланса мощностей и форме баланса токов методами, сходимость которых определяется свойствами матрицы Якоби, в общем случае, также различны Особенностью систем уравнений баланса токов является их линейность при заданных нулевых значениях мощностей генераторов и нагрузки в узлах Число таких узлов, а следовательно и число линейных уравнений, может быть достаточно велико В расчетной схеме замещения ЭЭС Монголии число таких узлов превышает 50% Поэтому более 50% уравнений баланса токов, описывающих установившиеся режимы ЭЭС Монголии, являются линейными Естественно, что такое число линейных уравнений уменьшает общую нелинейность задачи расчета установившихся режимов ЭЭС' Монголии (4), улучшает геометрические свойства функционала (20), значительно влияющие на сходимость методов минимизации и улучшает такие вычислительные характеристики, как надежность и скорость сходимости их итерационных процессов

В главе показано, что функция (20) уравнений баланса токов в узлах выпукла в заданных исходными приближениями областях П = {Х'0) е Г?41 |ф(Х) < (Х(0))} Поэтому методы Ньютона и минимизации ньютоновского типа

обеспечивают при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС' Монголии в форме баланса токов, в отличие от уравнений баланса мощностей, не только надежную, но и быструю сходимость

Обусловленность матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов лучше, чем обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса мощностей Неоднородность параметров сети и ее <онфигу-рация проявляется значительно слабее в ухудшении обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов, чем матрицы Якоби уравнений баланса мощностей В значительной мере это обуславливается тем, что диагональные элементы матрицы Якоби уравнений баланса токов зависят не только от параметров сетевых элементов, но и от активных и реактивных мощностей генераторов и нагрузки в узлах, что и определяет их доминирование в строке, повышающее обусловленность матрицы Якоби

В силу незначительного числа генераторных узлов в расчетной схеме ЭЭС Монголии задание в них постоянными модулей напряжений не приводит к ухудшению обусловленности матрицы Якоби уравнений баланса токов Напротив, задание постоянными напряжений в генераторных узлах ЭЭС Монголии улучшает обусловленность матрицы Якоби уравнений баланса токов в узлах

Выпуклость функции (20) уравнений баланса токов в узлах в обпасти заданных исходных приближений и решений уравнений (12), (15) подперждает-ся и характером сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметриче-ского метода минимизации Сходимость методов обеспечивается в пэдавляю-щим большинстве случаев за 2 шага с очень высокой точностью реше дня Итерационные процессы метода квадратичного спуска и двухпараметричеокого метода минимизации практически совпадают, т е глобальные минимумы фуикции (20) в плоскостях векторов (АХ,, ДХ) практически «лежат» на кривых квадра-

тичной аппроксимации в этих плоскостях Примеры сходимости рассмотренных в работе методов приведены в таблице

Глава II. Примепеппе регулпризовапных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации Для применения метода диагональной релаксации система уравнений (15)-(17) записывается в следующем виде

Р -Р

1 И1 1 01

ч2 ,

'¿К у^+и.

Уш +-

и

и„

и >1

Уцг) =

иб У ,6а > 1 = 1 > ,П,

<зн,-сь

и.2

и. +

р -Р

1 Н1 гся

и?

(27)

и„

- у -и

Щ 1 уг I]

~иб У,ог» 1 = 1. >п>

и

гДе Уна = НУ ¡¡г +81 > Уш = 2(УЧГ + - активная и реактивная составляю-

^ ^ 2

щие собственной проводимости узла 1, у , уцг- соответственно активная и реактивная составляющие проводимости ветви между узлами 1 и^ g1,b1 - активная и реактивная проводимости шунтов узла 1, у - емкостная проводимость ветви 1 -;) на землю, 11б - напряжение базисного узла, у,б,,у,6г - активная и реактивная составляющая проводимости ветви между узлом 1 и базисным узлом, п - число узлов схемы замещения ЭЭС без учета базисного В матричном виде системы уравнений (27) записывается [П + Б(Х)]хХ = А, (28)

Х(Х) БС(Х)" [БС(Х)

где В, С - соответственно симметрические матрицы собственных и взаимных реактивных и активных проводимостей узлов порядка п, Б(Х) - трехдиаго-нальная симметрическая матрица, диагональные элементы которой равны

В С

где П = -в , Б(Х) =

С

1>в,(Х) =

и2

■.ПС1(Х):

РН,-Ро:

и,2

ЧТ

1 = 1, ,п,

Х = {иг,иа}т, А = и4 (С14,-В,4) , С14 ={у1Аа|1 = 1, ,п},В14={уйг|1 = 1, ,п} Метод диагональной релаксации реализует следующий итерационный процесс решения системы уравнений (28)

[П + Б(ХСр))]хХ(р+1)=А (29)

Замечательной особенностью метода (29) является то, что определенная уже на первом шаге его итерационной последовательности (29) точка Х(1) попадает в область Q = {XeR2n|signdetJ(X) = const}, ф(Х)< ф(Х(1))>, в которой выполняется условие

-М^с<оо (30)

jjgradq>(X)]J

где gradp(X) - градиент функции (20)

Выполнение условия (30) достаточно для сходимости методов (21), (22) и (23) в области Q к решению уравнений установившихся режимов (4)

В работе исследована сходимость регуляризованных методов Ньютона -диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа - диагональной релаксации, квадратичного спуска - диагональной релаксации, двухпараметри-ческого метода минимизации - диагональной релаксации при решении уравнений (5), (8), (12) и (15), в которых роль стартового выполняет метод диагональной релаксации При этом методом диагональной релаксации выполняется только один шаг Показано, что указанные регуляризованные методы обеспечивают при расчетах любых режимов ЭЭС Монголии более надежную и быструю сходимость, чем «классические» Некоторые примеры сравнения сходимости регуляризованных и «классических» методов приведены в таблице

IS регуляризованные методы минимизации Реализуют вычислительную схему, основанную на последовательном решении сначала уравнении баланса токов в узлах, а затем - баланса мощностей Применение такой вычислительной схемы с одной стороны максимально учитывает все вычислительные преимущества токовой формы записи уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, с другой - позволяет максимально использовать преимуществе уравнений баланса мощностей при решении задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режима, оценки существования решения и др

В главе обоснована реализация IS регуляризации, в которой уравнения баланса токов в узлах решаются в прямоугольной системе координат тэлько на первом шаге регуляризованной процедуры

Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпа-раметрический метод минимизации обеспечивают сходимость практически за один шаг с обычно задаваемых нулевые исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии (таблица) Регуляризованные на основе метода диагональной релакеащш и IS регуляризации метод квадратичного опуска и двухпараметрический метод минимизации практически решает проб нему гарантированного решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи этих уравнений и вида переменных при любых заданных расчетных условиях

Таблица

Сходимость методов при решении уравнений установившегося режима ЭЭС Монголии

Сходимость (число итераций N3 при решении уравнений установившихся режимов в форме

баланса мощностей в узлах ЭЭС в баланса токов в узлах ЭЭС в

Метод полярной системе координат прямоугольной системе коор- полярной системе коор- прямоугольной системе ко-

с исходных приближений

Ш ' иср н ш ин ин иср н ш ихх ин иср н иб ип Ш иср н те ин

Метод Ньютона расх расх расх 4_ расх расх расх. 4 3 3 3 3 2 2 2 2

расх расх 5 расх расх расх 5 расх. 3 3 3 3 2 2 3

Метод минимизации ньютоновского типа * 4 3 7 ¡7 * 23 4 3 9 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 2 2

Метод квадратичного спуска • * 3 3 5 « 7 * 6 3 2 5 2 2 \ 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2

Двухпараметричесхий метод минимизации * * 4 2 * * ж 2 2 2 2 2 2 2 2

* * 3 5 * * 3 * 2 г г 2 2 Т 2 2

Регулярпзованный метод Ньютона -дигго- 2 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 1 2 2

нальной релаксации 3 3 3 4 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2

Регуляр изо ванный метод минимизации ньюто- 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2

новского типа -диагональной релаксации 3 3 3 4 1 2 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2

Регуляр изо ванный метод квадратичного спуска 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2

- диагональной релаксации 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 3 1 1 1 2

Регуляр изо ванный двухпараметрический метод 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2

минимизации - диагональной релаксации 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2

15 регуляр изо ванный метод минимизации нью- 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2

тоновского типа 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1

1Б регуляр то ванный метод квадратичного 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

спуска 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1~ 1 1 1 1

1Б регуляр изованный двухпараметрический 1 1 1 ! 1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1

метод минимизации 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1

указано в числителе - чя: то итераций ори задан к» в генераторных углах Р в О 8 знаменателе - число итераций при задании в генератор и»1Х узлах Рви • итерационный процесс сгодится к яоьерхяост я ьыроэгаеяяя матрицы Якоб в

и« - исходное приближение соответствующе* номинальным значениям напряжений узлов и нулевым значениям их аргументов игр н - исходное приближение соответствующее средним номинальным значениям напряжений узлов и нулевым значениям их аргументов ив исходное приближение характеризуемое напряжениями узлов равными напряжению базисного узла, в их нулевыми аргументами иIX исходное приближение соответствующее напряжениям в узлах и их аргументам в режиме холостого хода.

Глава 1П. Исследование существования, неоднозначное ги и сходимости различных решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задакил в генерирующих узлах активных и реактивных мощностей генераторов

- среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС, существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости,

- возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам

При задании в генераторных узлах активных мощностей и модул! й напряжений генераторов

- только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режимам,

- только одно из решений соответствует статически устойчивым режимам,

- допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов совпадает с областью статической устойчивости режимов ЭЭС Монголии

Таким образом, практически важным свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещению и мощности генерирующих источников является то, что независимо от расчетных условий реальному режиму ЭЭС соотзетствует «большее» решение Остальные решения уравнений установившихся режимов соответствуют в большинстве случаев режимам с недопустимо низкими величинами напряжений в узлах и, следовательно, являются неприемлемыми в практике эксплуатации

Сходимость методов минимизации к тому или иному решению уравнений установившихся режимов ЭЭС (4) зависят от формы записи уравнений установившихся режимов, способов задания и исходных данных для генераторных узлов (узлы РС2 или РЦ), заданного исходного приближения, способов задания нагрузки (постоянной величиной мощности или статической характеристикой по напряжению) Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии с обычно принимаемых исходных приближений возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов При этом и один тот же метод с одного и того же исходного приближения, но при разных формах записи уравнений установившегося режима может сойтись к разным решениям Неоднозначность решения уравнений установившихся режимов проявляется только при расчетах нагруженных режимов, близких к предельным по существованию решения при заданных расчетных условиях и при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощности й генераторов При этом решения отличаются один от другого незначительно Такие расчетные случаи достаточно редки В подавляющем же числе расчетных случаев рассмотренные в работе методы сходятся к «большим» решениям, соответствующим реальным режимам ЭЭС В главе показано, что все обычно зада-

ваемые исходные приближения принадлежат области сходимости «большего» решения уравнений установившихся режимов

В главе показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии Рассмогреиные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов минимизации и диагональной релаксации и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях

Задача решения уравнений (8) при их несовместности сводится к определению минимума функционала (20) В точке минимума функционала (20)

/?/ш/ср(Х) = 2ЛТ(Х) \У(Х) = 0, (31)

где grad(p(X) - градиент функции (20) в точке X, (X) - матрица, транспонированная к матрице Якоби уравнений (8) Поскольку в случае несовместности уравнений (8) ср(Х) ^0, то в решении уравнений (31) выполняется равенство с!е1.1(Х) = 0 Таким образом, точка минимума функционала ср(Х) при несовместности уравнений (8) лежит на поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений (8) При приближении итерационных процессов (22), (23) к поверхности вырождения матрицы Якоби неограниченно возрастает величина коэффициента Р, вычисляемого на каждом шаге итерационных процессов (22) и (23) и равного

1 |(\у"лх5р),ах5р))'| _ |\У(хСр) + ах<р))|

|\у(х(р))| ~ |[\у(х®){|

Поэтому критерием несовместности уравнений исследуемых установившихся режимов ЭЭС может быть принято условие резкого возрастания величины коэффициента р в ходе итерационных процессов (22) и (23) до значений, значительно превышающих единицу, т е условие

Рад »1 (33)

при задании исходным приближением параметров исходного нормального режима В случаях, если расчет выполняется с точки нулевого исходного приближения, критерием несовместности уравнений установившихся режимов может быть принято условие резкого возрастания величины коэффициеота р в ходе итерационных процессов регуляризованных на основе метода диагональной релаксации методов (22) и (23) В качестве численной величины критерия достаточно принять значение р(р)тах £ 100

Условия применения критерия (33) для оценки неосуществимости установившихся режимов ЭЭС Монголии формулируются следующим образом

Если величина коэффициента Рр (32) на шаге р итерационного процесса ре-гуляризованного метода квадратичного спуска - диагональной релаксации или регуляризованного двухпараметрического метода минимизации - диагональной

в =лгц - ' '—' = ----(32)

релаксации возросла до заданной пороговой величины (например Рр >> 100), то исследуемый установившийся режим неосуществим при заданных расчетных условиях

Второй критерий основан на применении следствия известной тесремы Гу-ревича-Слободского-Тарасова, гласящего «Уравнения исследуемого установившегося режима ЭЭС (8) не имеют решения в области Сх, являющейся связной компонентной множества {с1еиГ(Х)>0} при заданном векторе независимых переменных У*, если хотя бы в одной точке X е Сх и соответствующей ей точкеХ=Х + 2ДХн, знаки якобианов исследуемых уравнений (8) противоположны, ДХН - вектор, определяемый из решения системы уравнений (19)» На основании свойств решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии второй критерий неосуществимости режимов в работе сформулирован следующим образом

Если хотя бы в одной точке Х(р) итерационной последовательное! и регуля-ризованного метода квадратичного спуска - диагональной релаксации или ре-гуляризованного двухпараметрического метода минимизации - диа! ональной релаксации при решении квадратичных уравнений исследуемого устгновивше-гося режима и в соответствующей ей точке Х<р) = Х(р) + 2АХ1Р), где вектор ДХ, определяется на каждом шаге регуляризованного метода из решения системы уравнений (19), знаки якобианов различны, тогда исследуемый установившийся режим неосуществим при заданных расчетных условиях

Многочисленные расчеты показали, что во всех случаях неосуществимости рассмотренных аварийных и послеаварийных режимов первый кррггерий «срабатывал» уже на 1-2 шагах итерационных процессов регуляризоватых на основе метода диагональной релаксации методов (22) и (23)

При осуществимости исследуемых установившихся режимов методы сходились за 1-2 шага

При применении второго критерия неосуществимость исследуемых режимов выявлялась в 74% случаев уже на первом шаге регуляризованных методов (22), (23) и в 20% - на втором

Все результаты расчетов были непротиворечивы, т е не было з фиксировано ни одного случая, когда оценки неосуществимости исследуемы? режимов по двум критериям расходились При этом не было ни одного случая «ложной» работы ни первого, ни второго критерия, т е случая, когда либо первый, либо второй критерий указывал бы на неосуществимость режима, а решен 1е уравнений исследуемого режима существовало

Результаты проведенных исследований показали, в частности, ч го уравнения послеаварийных режимов при одних и тех же расчетных возмущениях в одних и тех же исходных нормальных режимах могут быть совместными в одном базисе расчета, и несовместными - в другом Так, большинство расчетных возмущений приводили к несовместности уравнений послеаварийньгс режимов в базисе расчета, когда генераторы учитывались значениями Р0 и , в то вре-

мя как в базисе расчета при задании генераторов значениями Р0 и ио, отвечающих тому же исходному нормальному режиму, эти же возмущения не приводили к несовместности уравнений послеаварийных режимов

Расчеты показали необходимость задания генераторов при расчете послеаварийных режимов значениями активных мощностей и модулей напряжения на их шинах, учитывающем при решении задачи расчета установившихся режимов в ее классической постановке действие автоматического регулирования возбуждения генераторов

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основная направленность диссертационного исследования связана с эффективным решением задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии имеющей важное самостоятельное значение и являющейся составной частью большинства задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС всех территориальных и временных уровнях иерархии управления

Достижение главной цели потребовало решения ряда вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии Основные результаты работы состоят в следующем

1 Задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии решением нелинейных уравнений баланса мощностей в узлах численными методами, основанными на вычислении первых производных уравнений (матрицы Якоби), является плохо обусловленной Поэтому метод Ньютона, нашедший широкое применение при решении многих задач анализа режимов ЭЭС, модифицированный метод Ньютона и его известные модификации являются неэффективными при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии

2 Более эффективны при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии методы, основанные на идее минимизации квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов в направлении вектора, определяемого решением линеаризованной системы исходных уравнений - ньютоновского направления минимизации Однако, сходимость таких методов существенно зависит от вида функции невязок в области заданных исходных приближений

В работе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в } злах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф, что часто приводит к сходимости методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, которые не всегда являются «стационарными»

3 Исследована сходимость метода квадратичного спуска и двухпараметри-ческого метода минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии Показано, что близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощ-

ностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного (,пуска и двухпараметрического метода минимизации к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности

4 Эффективность решения задачи расчета установившихся режи\ ов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах

Применение токовой формы записи уравнений узловых напряжений позволяет исключить негативное влияние неоднородности параметров электрической сети на обусловленность матриц Якоби, улучшить «геометрические» свойства квадратичного функционала невязок уравнений, «отодвинуть» поверхности вырождения матрицы Якоби от «нулевых» исходных приближений и траекторий итерационных процессов линейных и нелинейных методов минимизации

Сходимость рассмотренных в работе методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного и двухпараметрического метода минимизации при решении уравнений баланса токов в узлах более высокая в прямоугольной системе координат переменных

5 Рассмотрено применение регуляризованных методов Ньютона - диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа - диагональной релаксации, квадратичного спуска - диагональной релаксации, двухпараметрического метода минимизации - диагональной релаксации, в которых роль стартового метода играет метод диагональной релаксации

Показано, что регуляризованные методы обладают более надежной и быстрой сходимостью, чем «классические» методы при расчете устаног ившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи уравнений и вида переменных этих уравнений Регуляризованный метод квадратичного спуска - диагональной релаксации и регуляризованный двухпараметрический метод минимизации — диагональной релаксации обеспечивают сходимость расчета за один-два шага с обычно задаваемых нулевых исходных приближении при расчете любых режимов ЭЭС Монголии

6 Рассмотрены регуляризованные методы минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации, основанные на последовательном решении в начале уравнений баланса тс ков в узлах, а затем - уравнений баланса мощностей (1Б регуляризация)

Показано, что 1Б регуляризованные методы квадратичного спуска я двухпа-раметрический метод минимизации обеспечивают сходимость практически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений щы расчете любых режимов ЭЭС Монголии

7 Регуляризованные на основе метода диагональной релаксации и 1Б регуляризации метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации практически решают проблему гарантированного получения решения уравнений любых установившихся режимов ЭЭС Монголии

8 Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов

среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС, существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости, возможно существо-вагше по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам

При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режимам, только одно из решений соответствует статически устойчивым режимам, допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов ЭЭС совпадает с областью статической устойчивости режимов

Важным практическим свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является соответствие реальных режимов «большим» решениям их уравнений

9 Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и и, является более физичной и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями ихРиС>

10 Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях

Список цитированной литературы

1 Тарасов В И Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов ЭЭС -Новосибирск Наука, 2001 -168 с

2 Тарасов В И Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС -Новосибирск Наука, 2001 -214 с

3 Тарасов В И Теоретические основы анализа установившихся режимов ЭЭС -Новосибирск Наука, 2002 -344 с

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Научные статьи, опубликованпые по списку ВАК

1 Тарасов В И Экспресс-оценка неосуществимости послеаварийных режимов сложных электроэнергетических систем / В И Тарасов, Онормаа Цэвэг-жав//ВестникИрГТУ -Иркутск ГОУ ВПО ИрГТУ, 2006 -№4(28) -с 50-55

2 Тарасов В И О сходимости методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем в токовой форме /

В И Тарасов, Онормаа Цэвэгжав // Вестник ИрГТУ -Иркутск ГОУ ВПО Ир-ГТУ, 2007 -№1 (29) - с 48

Публикации в других изданиях

3 Онормаа Цэвэгжав К вопросу анализа установившихся режимо з в задачах оперативно-диспетчерского управления единой электроэнергетичес кой системы Монголии //материалы Международной научно-практической конференции «Наш вклад в решение актуальных вопросов развития Монголии» -Иркутск, 2004 -с 130-137

4 Онормаа Цэвэгжав К задаче управления режимами электроэшргетиче-ских систем Монголии //труды Международной научно-практическом конференции «Россия-Монголия совремегаюе состоягаге и перспективы развития сотрудничества» -Иркутск, 2005 -с 300-309

5 Tarasov V I Aspects of modelmg and calculating steady states of Mongolia's electric power system m modem conditions /VI Tarasov, Onormaa Tseve^yav //The international scientific conference on "Power industry and market economy" -Ulaanbaatar, Mongolia, 2005 -c 463-472

6 Тарасов В И Вопросы сходимости решения уравнений устаногившихся режимов электроэнергетических систем протяженной и неоднородной структуры / В И Тарасов, Онормаа Цэвэгжав, H С Темникова //Материалы В< ероссий-ской научно-технической конференции «Повышение эффективности гроизвод-ства и использования энергии в условиях Сибири» -Иркутск, -2005 -с 403414

7 Тарасов В И Исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем в токовой форме / В И Тарасов, Онормаа Цэвэгжав, А И Шалагинов // Энергетика управление, качес гво и эффективность использования энергоресурсов Сборник трудов четвертой всероссийской научно-технической конференции с международным участием -Благовещенск -2005 -с 67-72

8 Тарасов В И Критерии неосуществимости послеаварийных режимов электроэнергетических систем / В И Тарасов, Онормаа Цэвэгжав, Л И Дерев-нина // Энергетика управление, качество и эффективность использования энергоресурсов Сборник трудов четвертой всероссийской научно-технической конференции с международным участием -Благовещенск -2005 -с 7 (-78

9 Онормаа Цэвэгжав Повышение надежности и эффективности расчетов установившихся режимов электроэнергетической системы Монголии // Радиоэлектроника, электротехника и энергетика Двенадцатая Международная научно-техническая конф студентов и аспирантов Тез докл В 3-х т -М МЭИ, 2006 Т 3 -с 351-353

Подписано в печать 10 04 2007 Формат 60 х 84 / 16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ л 1,25 Уч-изд л 1,5 Тираж 100 экз Зак 228 Поз плана 26н

ИД № 06506 от 26 12 2001 Иркутский государственный технический университет 664074, Иркутск, ул Лермонтова, 83

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ПРИ РАСЧЕТЕ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

1.1. Уравнения установившихся режимов электроэнергетических систем

1.2. Оценка обусловленности матрицы Якоби уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

1.3. Линейные методы минимизации ньютоновского типа.

1.4. Нелинейные методы минимизации.

1.4.1. Метод квадратичного спуска.

1.4.2. Двухпараметрический метод минимизации.

1.5. Численное исследование сходимости решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса токов в узлах методами минимизации.

1.6. Выводы.

ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ РЕГУЛЯРИЗОВАННЫХ МЕТОДОВ МИНИМИЗАЦИИ ДЛЯ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

2.1. Регуляризованные методы минимизации на основе метода диагональной релаксации.

2.1.1. Метод диагональной релаксации.

2.1.2 Численное исследование сходимости регуляризованных методов минимизации на основе метода диагональной релаксации.

2.2. Регуляризованные методы минимизации на основе последовательного решения уравнений установившихся режимов в токовой и мощностной формах записи.

2.3. Выводы.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ, НЕОДНОЗНАЧНОСТИ И СХОДИМОСТИ РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЭС МОНГОЛИИ.

3.1. Неоднозначность решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.2. Сходимость различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3. Исследование существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3.1. Оценка существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии по сходимости регуляризованных методов минимизации.

3.3.2. Применение критерия несовместности для оценки существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии.

3.3.3. Результаты численного исследования применимости критериев неосуществимости установившихся режимов для ЭЭС Монголии.

3.4. Выводы.

Актуальность работы. Либерализация отношений в электроэнергетике Монголии приводит к радикальному изменению и усложнению условий функционирования ее электроэнергетической системы (ЭЭС). Это связано как со структурными преобразованиями электроэнергетики (дезинтеграцией вертикально-интегрированной ЭЭС, созданием конкурирующих генерирующих, сбытовых компаний и обеспечивающих их взаимодействие сетевых компаний), так и с принципиально новым характером совместной работы указанных выше компаний в составе технологически единой ЭЭС на основе реализации механизмов конкуренции на оптовом и розничных рынках электроэнергии при рациональной системе государственного регулирования отношений их участников [1,2].

В результате этого существенно увеличивается неопределенность параметров режимов ЭЭС даже в оперативных условиях вследствие колебания оптовых цен на электроэнергию и, соответственно, потокораспределения в ЭЭС, возрастает вероятность работы ЭЭС в предельных режимах с пониженными запасами устойчивости и ухудшенными показателями качества электроэнергии, увеличивается опасность возникновения аварийных ситуаций с непредсказуемым развитием событий и тяжелыми последствиями для ЭЭС и ее потребителей. Все эти факторы радикально усложняют управление нормальными и аварийными режимами ЭЭС.

В связи с этим от оперативно-диспетчерского управления в новых условиях требуется все большая точность управления режимами, что в настоящее время вызывает значительные трудности ввиду явного несоответствия используемых технических и программных средств современным условиям. Поэтому для надежного и качественного управления режимами необходимо переходить на новые технологии управления, методики и программные средства планирования электрических режимов в различных временных циклах управления, в том числе и в реальном времени, на основе современных технических средств сбора, передачи, обработки, отображения и документирования информации, современных вычислительных средств и информационных технологии, новейших математических методов, интегрированных в современные автоматизированные системы диспетчерского управления (АС-ДУ) ЭЭС [3-27].

В основе большинства задач, решаемых в автоматизированных системах диспетчерского управления (АСДУ) лежит задача расчета установившихся режимов ЭЭС, эффективность решения которой во многих случаях определяет возможность и эффективность решения других задач анализа режимов в рамках АСДУ. Поэтому одним из путей совершенствования и развития АСДУ ЭЭС является разработка и применение новых методов и алгоритмов, позволяющих на качественно новом уровне решать задачи анализа электрических режимов и, в первую очередь, задачу определения параметров установившихся режимов [3-27].

Система оперативного управления режимами ЭЭС предъявляет жесткие требования к методам анализа режимов. Применительно к методам расчета установившихся режимов эти требования заключаются обеспечении высокой надежности и скорости сходимости итерационных процессов и их быстродействия [21-23].

Требование высокой действенности метода или алгоритма расчета установившихся режимов ЭЭС приобретает в настоящее время решающее значение при реализации функций реального времени АСДУ, в системах автоматического противоаварийного управления (САПУ), при решении задач исследования надежности и живучести современных сложных ЭЭС при проектировании и управлении их функционированием, разработке и настройке систем противоаварийного управления ЭЭС, разработке эффективных систем тренажа и обучения оперативного персонала на полномасштабных цифровых режимных тренажерах [3-27]. Применение самых совершенных высокопроизводительных ЭВМ оказываются бесполезным при несходимости итерационного процесса метода. Поэтому вопрос обеспечения гарантированной сходимости методов расчета установившихся режимов при решении задач развития и функционирования ЭЭС на основе автоматизированных и, тем более, автоматических систем управления, приобретает первостепенное значение.

К решению указанного вопроса тесным образом примыкают вопросы существования и неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС. Так, оценка существования решения уравнений исследуемых установившихся режимов уже на стадии их расчета с помощью численных критериев имеет важное значение для эффективного решения многих задач надежности, устойчивоспособности, живучести, ввода режима в допустимую область и оптимизации режимов, что позволяет значительно повысить обоснованность принятия решения и его уровень при управлении функционированием ЭЭС и обеспечивает тем самым повышение качества управления, а значит надежность и экономичность работы ЭЭС.

Эффективным решением проблемы существования решения уравнений установившихся режимов ЭЭС может быть разработка метода, по сходимости которого можно было бы определять несуществование решения исследуемого режима.

Автоматизация управления развитием и функционированием по-новому ставит проблему неоднозначности решений уравнений установившихся режимов ЭЭС. Наряду с такими вопросами, как число решений уравнений установившихся режимов и их характер, возможность существования нескольких решений, отвечающих режимам, допустимым по условиям эксплуатации, в том числе, и статически устойчивым, при каких условиях и для каких режимов и электрических систем возможно проявление неоднозначности решения, имеющими методическое значение, остро стоят вопросы условий сходимости методов расчета к тем или иным решениям, и, следовательно, вопрос адекватности решений, получаемых с помощью ЭВМ, реальным режимам ЭЭС.

Большой вклад в решение этих вопросов внесли Г. Г. Адонц, Д.А. Арзамасцев, В.А. Баринов, П.И. Бартоломей, В.А. Веников, А.З. Гамм,

В.М. Горнштейн, В.И. Идельчик, J1.A. Крумм, В.З. Манусов, В.А. Строев, В.И. Тарасов, Х.Ф. Фазылов, JI.B. Цукерник, H.W. Dommel, С.Е. Hart, A.M. Sasson, B.Stott, W.E. Tinney, E. Van Ness и др.

Настоящая работа посвящена решению поставленных вопросов применительно к ЭЭС Монголии.

Цель диссертационной работы состоит в исследовании математических моделей, методов и алгоритмов, обеспечивающих эффективное решение задачи расчета установившихся режимов на всех временных уровнях оперативно-диспетчерского управления ЭЭС Монголии как самостоятельной задачи, так и основы задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов, анализа возможных аварийных нарушений, оценки устойчивости, оценки оперативной надежности, советчиков диспетчера и др.

Задачи исследования. Задачами работы являются:

1. Исследование свойств и особенностей применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

2. Исследование сходимости линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в формах и системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

3. Исследование сходимости регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей и форме баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

4. Исследование сходимости регуляризованных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) линейных и нелинейных методов минимизации при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

5. Исследование неоднозначности решения уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных схемно-режимных условиях ее функционирования.

6. Исследование существования решения нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при различных режимных условиях ее функционирования и применимости численных критериев оценки осуществимости режимов при заданных расчетных условиях.

Методы исследования. Для решения поставленных задач в работе использовались элементы теоретических основ электротехники, линейной алгебры, теории матриц, математического анализа, вычислительной математики и нелинейного программирования.

Для выполнения расчетных исследований использовался программный комплекс, разработанный на кафедре электрических станций, сетей систем Иркутского государственного технического университета и апробированный в практике эксплуатации ряда ЭЭС Российской Федерации.

Достоверность результатов работы. В проводимых исследованиях в качестве расчетной схемы замещения ЭЭС Монголии принята расчетная схема, используемая Национальным диспетчерским центром энергетики Монголии. Исходные режимы зимнего максимума и летнего минимума нагрузок соответствуют данным контрольных замеров. Полученные результаты и выводы проверены расчетами ряда ЭЭС, в том числе Сибирских ЭЭС, близким по характеристикам ЭЭС Монголии и хорошо согласуются с известными теоретическими результатами.

Научная новизна и значимость полученных результатов по мнению автора заключается в следующем:

1. Исследованы свойства и особенности применения нелинейных уравнений узловых напряжений в формах баланса мощностей и баланса токов в полярной и прямоугольной системах координат переменных этих уравнений для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано высокая эффективность применения уравнений узловых напряжений в форме баланса токов в узлах, а для их решения - линейных и нелинейных методов минимизации. Полученные выводы справедливы для всех ЭЭС подобной структуры и распределительных сетей.

2. Впервые проведено комплексное исследование нелинейных свойств математического описания установившихся режимов ЭЭС Монголии - вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений нелинейных уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии и на его основе даны практические рекомендации по оценке существования решения уравнений установившихся режимов при различных схемно-режимных условиях и в различных циклах управления, исключению негативного проявления неоднозначности решения уравнений установившихся режимов.

3. Показана высокая эффективность применения регуляризованных на основе метода диагональной релаксации линейных и нелинейных методов минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, практически решающих проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии.

4. Исследована сходимость нового класса регуляризованных линейных и нелинейных методов минимизации, построенных на основе последовательного решения уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) на примере ЭЭС Монголии. Показано, что IS регуляризованные метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации сходятся практически за один шаг даже с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

5. Обоснована применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии в различных циклах управления.

Практическая ценность работы. Использование полученных в работе результатов обеспечит повышение эффективности АСДУ на всех территориальных и временных уровнях управления ЭЭС Монголии за счет получения надежного инструмента расчета и анализа режимов, расширения на его основе состава решаемых в рамках АСДУ задач, направленных на повышение надежности, экономичности режимов работы и качества электроэнергии, повышения производительности труда специалистов Национального диспетчерского центра энергетики Монголии.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертации докладывались и обсуждались на:

1. Международной научно-практической конференции «Наш вклад в решение актуальных вопросов развития Монголии», Иркутск, 2004 г.;

2. Международной научно-практической конференции «Россия-Монголия: современное состояние и перспективы развития сотрудничества», Иркутск, 2005 г.;

3. Международной научной конференции «Power industry and market economy», Ulaanbaatar, Mongolia, 2005 y.;

4. Всероссийской научно-технической конференции «Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири», Иркутск, 2005 г.;

5. Всероссийской научно-технической конференции с международным участием «Энергетика: управление, качество и эффективность использования энергоресурсов», Благовещенск, 2005 г.;

6. Двенадцатой международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика», Москва, 2006 г.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ, в том числе 2 работы в реферируемых изданиях ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы и приложения. Общий объем работы составляет 160 страниц, иллюстрирован одним рисунком, содержит 58 таблиц.

3.4. Выводы

1. При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генерирующих узлах активных и реактивных мощностей генераторов:

- среди решений возможно существование по крайней мере двух, отвечающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; существование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости;

- возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

2. При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов:

- только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режимам;

- только одно из решений соответствует статически устойчивым режимам;

-допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями. Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов совпадает с областью статической устойчивости режимов ЭЭС Монголии.

3. Важным практическим свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является соответствие реальных режимов «большим» решениям их уравнений независимо от способов задания исходных данных для генераторных узлов.

4. При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов. Для исключения этих случаев даны практические рекомендации.

5. Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и U, является более физичной для ЭЭС Монголии и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями их Р и Q.

6. Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, возможных аварийных и послеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов минимизации и диагональной релаксации и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основная направленность диссертационного исследования связана с эффективным решением задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии, имеющей важное самостоятельное значение и являющейся составной частью большинства задач анализа режимов при управлении развитием и функционированием ЭЭС на всех территориальных и временных уровнях иерархии управления.

Достижение главной цели потребовало решения ряда вопросов существования, неоднозначности и сходимости различных решений уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии, тесным образом связанных с основным вопросом работы и имеющих важное самостоятельное значение. Результаты выполненных исследований отражены в выводах каждой главы. Приведем наиболее важные теоретические и практические результаты.

1. Задача расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии решением нелинейных уравнений баланса мощностей в узлах численными методами, основанными на вычислении первых производных уравнений (матрицы Якоби), является плохо обусловленной как в полярной, так и прямоугольной системах координат переменных. Плохая обусловленность матриц Якоби этих уравнений связана как с особенностью структуры электрической сети ЭЭС Монголии - слабозамкнутостью, радиальностью и протяженностью, так и неоднородностью параметров схемы замещения, вызванной наличием в электрической сети большого числа ступеней напряжения, и следовательно, большого числа разнотипных трансформаторов и автотрансформаторов; большого числа как длинных, так и коротких воздушных линий разных уровней напряжения; значительного количества воздушных линий, активные составляющие сопротивлений которых близки, и даже равны по величине реактивным составляющим сопротивлений.

Режимы ЭЭС Монголии характеризуются и высокой степенью неоднородности в значениях нагрузок узлов, что еще больше ухудшает обусловленность матриц Якоби их уравнений,

Поэтому метод Ньютона, нашедший широкое применение при решении многих задач анализа режимов ЭЭС, модифицированный метод Ньютона и его известные модификации являются неэффективными при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии.

2. Более эффективны при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии методы, основанные на идее минимизации квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов в направлении вектора, определяемого решением линеаризованной системы исходных уравнений - ньютоновского направления минимизации. Однако, сходимость таких методов существенно зависит от вида функции невязок в области заданных исходных приближений.

В работе показано, что квадратичная функция невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных имеет очень сложный рельеф в заданной исходным приближением X(0) = {Uj = UiH0M;

8j =0|i = l,.,n; j = l.n + l> области Q = {XeRN|cp(X)<ф(Х(0))}. При этом функция на периферийных участках этой области сильно невыпукла.

Невыпуклость функции в указанной области сопровождается прохождением поверхности вырождения якобиана уравнений баланса мощностей в непосредственной близости от точек «нулевых» исходных приближений как при задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов, так и при задании в них активных мощностей и модулей напряжений.

Поверхность вырождения якобиана уравнений баланса мощностей имеет сложную конфигурацию не только в окрестности нулевых исходных приближений, но и окрестности решений уравнений установившихся режимов, отвечающих реальным режимам ЭЭС.

Невыпуклость квадратичной функции невязок уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии в форме баланса мощностей в узлах и сложный вид этой невыпуклости часто приводит к сходимости методов минимизации ньютоновского типа при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии к точкам на поверхности вырождения матрицы Якоби, которые не всегда являются «стационарными».

3. Исследована сходимость метода квадратичного спуска и двухпара-метрического метода минимизации при решении уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии. Показано, что близость точек «нулевых» исходных приближений к поверхности вырождения матрицы Якоби уравнений баланса мощностей в узлах может приводить к сходимости метода квадратичного спуска и двухпараметрического метода минимизации к локальным минимумам, лежащим на этой поверхности.

4. Эффективность решения задачи расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии рассмотренными в работе методами значительно повышается при использовании в качестве уравнений установившихся режимов уравнений баланса токов в узлах.

Применение токовой формы записи уравнений узловых напряжений позволяет исключить негативное влияние неоднородности параметров электрической сети на обусловленность матриц Якоби, улучшить «геометрические» свойства квадратичного функционала невязок уравнений, «отодвинуть» поверхности вырождения матрицы Якоби от «нулевых» исходных приближений и траекторий итерационных процессов линейных и нелинейных методов минимизации.

Сходимость рассмотренных в главе методов минимизации ньютоновского типа, квадратичного и двухпараметрического метода минимизации при решении уравнений баланса токов в узлах, более высокая в прямоугольной системе координат переменных.

5. Рассмотрено применение регуляризованных методов Ньютона - диагональной релаксации, минимизации ньютоновского типа - диагональной релаксации, квадратичного спуска - диагональной релаксации, двухпараметри-ческого метода минимизации - диагональной релаксации, в которых роль стартового метода играет метод диагональной релаксации, для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Показано, что регуляризованные методы обладают более надежной и быстрой сходимостью, чем «классические» методы при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии независимо от формы записи уравнений и вида переменных этих уравнений. Даже метод Ньютона, обладающий наименьшей действенностью из рассмотренных методов, демонстрирует в сочетании с методом диагональной релаксации качественно более высокие вычислительные характеристики при расчете установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Регуляризованный метод квадратичного спуска - диагональной релаксации и регуляризованный двухпараметрический метод минимизации - диагональной релаксации обеспечивают сходимость за один-два шага с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

6. Рассмотрены регуляризованные методы Ньютона, минимизации ньютоновского типа, квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации, основанные на последовательном решении в начале уравнений баланса токов в узлах, а затем уравнений баланса мощностей (IS регуляризация) для расчета установившихся режимов ЭЭС Монголии.

Уравнения установившихся режимов в токовой форме решаются в прямоугольной системе координат переменных методом минимизации ньютоновского типа, обладающим более надежной сходимостью, чем метода Ньютона и меньшей трудоемкостью, чем методы квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации.

Показано, что IS регуляризованные методы квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации обеспечивают сходимость прак тически за один шаг с обычно задаваемых нулевых исходных приближений при расчете любых режимов ЭЭС Монголии.

7. Регуляризованные на основе метода диагональной релаксации и IS регуляризации метод квадратичного спуска и двухпараметрический метод минимизации практически решают проблему гарантированного получения решения уравнений баланса мощностей и баланса токов в узлах в полярной и прямоугольной системах координат переменных при расчетах любых установившихся режимов ЭЭС Монголии.

8. Показано, что при расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии и задании в генераторных узлах активных и реактивных мощностей генераторов:

- среди решений возможно существование по крайней мере двух, отве чающих режимам с допустимыми уровнями напряжений в узлах ЭЭС; суще ствование таких решений возможно только при рассмотрении сильно нагруженных режимов, близких к предельным по "расчетной" устойчивости;

- возможно существование по крайней мере двух решений, соответствующих статически апериодически устойчивым режимам.

При задании в генераторных узлах активных мощностей и модулей напряжений генераторов:

- только одно из решений отвечает допустимым по напряжению режи мам;

- только одно из решений соответствует статически устойчивым режи мам;

- допустимые по значению напряжений решения являются "большими" решениями. Область существования "большего" решения уравнений установившихся режимов ЭЭС совпадает с областью статической устойчивости режимов.

Важным практическим свойством уравнений установившихся режимов ЭЭС Монголии при существующей конфигурации электрической сети, структуре, размещении и мощности генерирующих источников является соответствие реальных режимов «большим» решениям их уравнений.

При расчетах установившихся режимов ЭЭС Монголии возможно проявление неоднозначности решения уравнений исследуемых установившихся режимов. Для исключения этих случаев даны практические рекомендации.

9. Математическая модель установившихся режимов, в которой все генераторы вводятся в расчет значениями Р и U, является более физичной и поэтому более предпочтительной перед моделью, учитывающей генераторы значениями их активной и реактивной мощностями.

10. Показана применимость двух численных критериев оценки осуществимости установившихся режимов при анализе ремонтных, аварийных и по-слеаварийных режимов ЭЭС Монголии. Рассмотренные критерии целиком базируются на математическом и программном аппарате рассмотренных в работе регуляризованных методов и позволяют быстро и эффективно оценить осуществимость исследуемых установившихся режимов при заданных расчетных условиях.

1. Монгол улсын хууль «Эрчим хучний тухай». 2001 оны 02-р сарын 01-ний одор. Монгол улсын засгийн газар. Улаанбаатар хот.2. «Монгол улсын Эрчим хучний нэгдсэн систем» хотолбор. Дэд бутцийн Яам. Улаанбаатар. 2001 он. х. 21.

2. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния ЭЭС. -М.: Наука, 1976.-220с.

3. Крумм J1.A. Методы приведенного градиента при управлении ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 1977.-207с.

4. Автоматизация управления энергообъединениями / В.В.Гончуков, В.М.Горнштейн, Л.А.Крумм и др.: Под ред. Совалова С.А. -М.: Энергия, 1979. -432с.

5. Крумм Л.А. Методы оптимизации при управлении ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 1981.-317с.

6. Горнштейн В.М., Мирошниченко Б.П., Пономарев А.В., Тимофеев В.А., Юровский Г.М. Методы оптимизации режимов энергосистем. -М.: Энер-гоиздат, 1981. -336с.

7. Управление энергосистемами: Переводы докладов Международной конференции по большим электрическим системам / Под ред. Ю.Н.Руденко, В.А.Семенова. -М.: Энергоиздат, 1982. -112с.

8. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Голуб И.И., Гришин Ю.А., Колосок И.Н. Оценивание состояния в электроэнергетике. -М.: Наука, 1983. -302с.

9. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / Войтов О.Н., Воронин В.Н., Гамм

10. A.З., и др. -Новосибирск: Наука, 1986. -203с.11 .Автоматизированные системы диспетчерского управления в энергетике и пути их совершенствования / Мамиконянц Л.Г., Митюшкин К.Г., Орнов

11. B.Г. и др. // Электрическтво. 1987. №3. -с. 1-6.

12. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем / Н. А. Мурашко, Ю. А. Охорзин, Л. А. Крумм и др. -Новосибирск: Наука, 1987. -240 с.

13. Орнов В. Г., Рабинович М. А. Задачи оперативного и автоматического управления энергосистемами. -М.: Энергоатомиздат, 1988. -225с.

14. Н.Режимная управляемость систем энергетики / Кощеев Л.А., Руденко Ю.Н., Ставровский Е.Р. и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние. 1988. -234с.

15. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике / А. 3. Гамм, Ю. Н. Кучеров, С. И. Паламарчук и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. -294 с.

16. Методы и модели исследования живучести систем энергетики / Антонов Г.Н., Черкесов Г.Н., Криворуцкий Л.Д. и др. -Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1990. -285 с.

17. П.Баринов В.А., Совалов С. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. -М.: Энергоатомиздат, 1990. -440 с.:ил.

18. Методы управления физико-техническими системами энергетики в новых условиях / Н. И. Воропай, Н. Н. Новицкий, Е. В. Сеннова и др. -Новосибирск.: Наука, СИФ РАН, 1995, -335с.

19. Надежность систем энергетики: достижения, проблемы, перспективы / Г.Ф. Ковалев, Е.В. Сеннова, М.Б. Чельцов и др. / Под ред. Н.И. Воропая. -Новосибирск: Наука, Сибирское предприятие РАН, 1999.-434 с.

20. Автоматизация диспетчесркого управления в электроэнергетике / Под общей ред. Ю.Н. Руденко и В.А. Семенова. -М.: Издательство МЭИ, 2000. -648 с.

21. Тарасов В.И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск.: Наука, 2001. -168 с.

22. Тарасов В.И. Нелинейные методы минимизации для расчета установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск.: Наука, 2001.-214 с.

23. Тарасов В.И. Теоретические основы анализа установившихся режимов ЭЭС. -Новосибирск: Наука, 2002. -344 с.

24. Надежность либерализованных систем энергетики / В.А. Баринов, В.А., Савельев, М.Г., Сухарев и др. -Новосибирск: Наука, 2004. -333 с.

25. Управление электроэнергетическими системами новые технологии и рынок. -Сыктывкар, 2004. -298 с.

26. Вестник УГТУ-УПИ. Энергосистема: Управление, качество, конкуренция: Сборник докладов II Всероссийской научно-технической конференции. -Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2004 №12(42). -500с.

27. Вестник УГТУ-УПИ. Проблемы управления электроэнергетикой в условиях конкурентного рынка: Сборник трудов / отв. Ред. П.И. Бартоломей. -Екатеринбург: ГОУ ВПО «УГТУ-УПИ», 2005 №12(64). -338 с.

28. Фазылов Х.Ф. Теория и методы расчета электрических систем. Ташкент: Изд-во АН УзССР, 1953. -175 с.

29. Фазылов Х.Ф. Методы режимных расчетов электрических систем. -Ташкент: Наука, 1964. -100с.

30. Крумм Л.А. Применение метода Ньютона Рафсона для расчета стационарного режима сложных электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 5. -с. 7-15.

31. Идельчик В.И. Ускорение сходимости решения при расчете стационарного режима энергосистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 3. -с. 17-25.

32. Гамм А.З., Крумм J1.A., Шер И.А. Общие принципы расчета стационарного режима электрической системы с разбивкой на подсистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1965. № 6. -с. 7-16.

33. Гамм А.З., Крумм Л.А., Шер И.А. Два алгоритма расчета стационарного режима сложных электрических систем с разбивкой на подсистемы // Изв.АН СССР. Энергетика и трансп. 1966. № 1. -с. 51-63.

34. Гамм А.З., Крумм JI.A., Шер И.А. Оптимизации режима сложной электрической системы градиентным методом с разбивкой на подсистемы // Электричество. 1967. № 1. -с. 21-29.

35. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Скляров Ю.С. О методах решения систем уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1967. №5.-с. 11-18.

36. Идельчик В. И. К вопросу о влиянии погрешностей исходных данных на результат расчета стационарного режима энергосистем. // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1968. №2. -с. 9-15.

37. Гамм А.З. К вопросу об увеличении эффективности алгоритмов расчета режима электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1968. №3.-с. 3-13.

38. Dommel N.W., Tinney W.F. Optimal power flow solutions // IEEE. PAS-87. 1968. №10. P.1866-1876.

39. Гороховир Д.И., Журавлев В.Г. Применение метода преобразования цепей для расчета нормального режима электрических систем // Электричество. 1969. №5.-с. 6-10.

40. Латышева Т.С. О сходимости итерационных методов расчета установившихся режимов электрических сетей // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп, 1969. № 5. -с. 95-98.

41. Латышева Т.С. Расчет установившихся режимов электрической сети при заданных мощностях в узлах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп, -1970. №1. -с. 157-161.

42. Гамм А.З. Построение цепочечных схем расчета стационарного режима электрической сети // Тр.энергетической секции. -Красноярск: Красн.книж.изд-во. 1970.-е. 143-150.

43. Гамм А.З. О нумерации узлов при расчетах установившихся режимов электрических систем методов Ныотона-Рафсона // Электричество. 1970. №2. -с. 59-61.

44. Идельчик В. А. Свойства решения уравнений стационарного режима сложных энергосистем. -Иркутск: изд. ИПИ, 1970. 4.1. -57с. Ч.Н. -105с.

45. Dommel N.W., Tinney W.F., Powell W.L. Further developmentin in Newton's method for power system applications // IEEE inter Power Meet. New York,1970. Paper 70CP161-PWR.

46. Веников В. А., Строев В. А., Идельчик В. И., Тарасов В. И. Оценка статической устойчивости электрических систем на основе решения уравнений установившегося режима. // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1971, № 5.-с. 18-23.

47. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Апериодическая устойчивость и сходимость решений уравнений установившегося режима // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. -Иркутск: ИПИ, 1971.-е. 47-62.

48. Кузьмин Я.Ф., Махнитко А.Е. Использование метода Ньютона для построения алгоритмов расчета режимов электрических сетей //Изв. АН Латв.ССР. Серия физ. и техн.наук. 1971. № 4.

49. Бартоломей П.И., Липес А.В. Применение новых способов записи и решения уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Электричество. 1971. № 8. -с. 25-30.

50. Sasson A., Trevino С., Aboytes F. Improved Newton's load flow through a minimsation technique // IEEE. PAS-90,1971. №6. P. 1974-1981.

51. Stott B. Effective starting process for Newton-Raphson load flows // Proc. IEE,1971. V.118. P.983-987.

52. Горнштейн B.M., Максимов Ю.А., Петухов Д.Г., Тимофеев В.А. Развитие методов расчета потокораспределения в электрической сети // Тр. ВНИИЭ. -М.: Энергия, 1971. № 38. -с. 39-50.

53. Идельчик В.И., Лазебник А.И. Аналитическое исследование сходимости решения уравнений установившегося режима электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. № 3. -с. 47-56.

54. Гамм А.З. Методы расчета нормальных режимов электроэнергетических систем на ЭВМ. -Иркутск: ИПИ, 1972. -186с.

55. Идельчик В. И., Тарасов В. И., Строев В. А. О связи статической устойчивости и сходимости итерационного процесса при расчете установившегося режима электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. №6.-с. 32-38.

56. Веников В.А., Строев В. А., Идельчик В. И., Тарасов В. И. К определению предельных по апериодических статической устойчивости режимов электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1973. № 1.-е. 46-53.

57. Стотт Р. Обзор методов расчета потокораспределения. ТИИЭР. 1974. Т.62. №7. -с. 64-80.

58. Фазылов Х.Ф., Брискин И.Л., Насыров Т.Х. Алгоритмы расчетов установившихся режимов больших электрических систем // Электричество. 1972. №9. -с. 11-14.

59. Тарасов В.И. Ускорение сходимости метода по параметру при расчетах установившихся режимов электрических систем // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск: ИПИ, 1972. -с. 19-29.

60. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Липес А.В. Расчеты и анализ установившихся режимов больших электрических систем. Часть I // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1974. №10. -с. 3-11.

61. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Липес А.В. Расчеты и анализ установившихся режимов больших электрических систем. Часть II // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1975. №1. -с. 3-10.

62. Хачатрян B.C. Определение установившихся режимов больших ЭЭС с применением метода Ньютона-Рафсона // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1974. №4. -с. 36-48.

63. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Исследование на ЦВМ существования, неоднозначности и сходимости решения уравнений установившегося режима ЭЭС // Электричество. 1974. №2. -с. 20-24.

64. Stott В., Alsac О. Fast Decoupled Load Flow // IEEE. PAS-93. 1974. N 3. -P. 859-870.

65. Манусов B.3., Лыкин A.B., Сидоркин Ю.М. Алгоритм метода Ныотона-Рафсона для решения уравнений узловых напряжений в обобщенной форме // Изв. вузов СССР. Энергетика, 1974. №9. -с. 3-7.

66. Venikov V.A., Stroyev V.A., Idel'chik V.I., Tarasov V.I. Estimation of Electrical Power System Steady-State Stability in Load Flow Calculations // IEEE PES Summer Meeting Energy Resources Conf., Analeim, Cal, July, 1974.

67. Venikov V.A., Stroyev V.A., Idel'chik V.I., Tarasov V.I. Estimation of Electrical Power System Steady-State Stability in Laoad Flow Calculations // IEEE PAS, 1975. N3.

68. Идельчик В.И. Предел по существованию решения уравнений установившегося режима // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. -Иркутск: ИПИ, 1975.-с. 6-21.

69. Крумм J1.A. Обобщение метода Ньютона при управлении энергетическими системами // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1976. №3. -с. 3-20.

70. Грицай М.А., Журавлев В.Г. Расчет потокораспределения в электрической сети по методу определяющих величин // Электричество. 1976. № 6. -с. 17-22.

71. Tinney W.F., Hart С.Е. Power flow solution by Newton-s method. // IEEE. PAS-86. 1977. №1. P.1449-1456.

72. Sachdev M.S., Medicherla Т.К. A second order load flow technique // IEEE. PAS-96. 1977. N 1.-P. 189-195.

73. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. -М.: Энергия, 1977.-192 с.

74. Iwamoto S., Tamura Y. A fast load flow methd retaining non-linearity technique//IEEE. PAS-97. 1978. N5.-P. 1586-1599.

75. Колесникова Н.О., Крылов В.А., Писаренко В.П., Хрущева В.В. Расчет ус-тановившиегося режима сложных энергосистем модифицированным методом Ньютона // Проблема нелинейной электротехники. -Киев: 1981. Т.2. -с. 70-73.

76. Roy L., Mohan Rao S. Second order 3-phase load flow // Elec. Power and Energy Syst. 1981.-Vol. 3.N l.-P. 50-56.

77. Sachedey M.S., Abrahim S.A. A mobified second order load flow technique ising rectangular coordinates // Can.Commun. and Energy Conf., Motreal. 1982. P. 13-15.

78. Бартоломей П.И., Окуловский C.K. Итерационное решение систем линейных уравнений в электроэнергетических задачах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1982. №4.-с. 19-27.

79. Бартоломей П.И., Окуловский С.К., Авраменко А.В., Ярославцев А.А. Повышение эффективности метода Ньютона при расчетах установившихся режимов больших электрических систем // Электричество. 1982. №8. -с. 15.

80. Влычков П.М., Гамов И.К. Повышение скорости и улучшение сходимости и надежности решения уравнений установившегося режима электрических систем // Электричество. 1982. №7. -с. 63-66.

81. Tripathy S., Prasad P. Load flow solutions for ill-conditioned power system by a Newton-like method//IEEE. PAS-101.1982.N 10. P. 3648-3656.

82. Rao P.S.N., Rao K.S.P., Nanda J. An exact fast load flow method including second order tems in rectangular coordinates // IEEE. PAS-101. 1982. N9. P. 3261-3268.

83. Roy L., Rao N.D. Real time monitoring of power system using a fast second order method // Prog. IEE. Part. C. V.130. May 1983. P. 103-110.

84. Насвицевич Б.Г. Адаптивные алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС ньютоновского типа // Вопросы развития автоматизированной системы оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами. -Иркутск: 1984. -с. 78-87.

85. Насвицевич Б.Г. Охорзин Ю.А. Алгоритм выбора шага в методе Ньютона при расчете установившихся режимов в оценивании состояния ЭЭС // Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнерге-тике.-Новосибирск: Наука, 1985. -с. 90-97.

86. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Основы теории расчета установившихся режимов электрических систем. -Ташкент: Фан, 1985. -76 с.

87. Тарасов В.И. Ускоренные методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. // Экономия электроэнергии в электроэнергетических системах. Сборник научных трудов. -М.: МЭИ. №104. 1986.

88. Tarasov V.I., Gurevich V.L., Slobodskoy A.M. Method of Solution of Ill-conditioned Load flow Systems // 9th Power Systems Computation Conference Proceedings (PSCC). Cascais, p. 319-322.1987.

89. Nanda J., Bijwe P.R., Kothari D.P., Sheney D.L. Second order decoupled load flow // Elect. Mach. and Power Syst. 1987. 12 N4-5. P. 301-312.

90. Тарасов В.И. О рациональном синтезе методов и алгоритмов расчета установившихся режимов при оперативном управлении ЭЭС // Вопросы развития автоматизированной системы оперативно-диспетчерского управления ЭЭС. -Иркутск: СЭИ, 1987. -с. 68-78.

91. Тарасов В.И., Гуревич B.JI., Слободской A.M. Новые методы расчета установившихся режимов электрических систем // II Всесоюзн.научн.-техн.конф. по моделированию электроэнергетических систем: Тезисы докл. Рига: 1987.-е. 197-198.

92. Гуревич В.Л., Тарасов В.И. Метод расчета установившихся режимов электроэнергетических систем в прямоугольных координатах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 5. -с. 50-60.

93. Крумм Л.А., Насвицевич Б.Г. Исследование и развитие обобщенных методов ньютоновского типа при анализе установившихся режимов ЭЭС и управлении ими // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 2. -с. 25-36.

94. Крылов В.А., Писаренко В.П., Колесникова И.Ф. Математическое моделирование элементов электрической сети при расчете нормального режима модифицированным методом Ньютона // Техническая электродинамика, 1988. №1. -с. 78-83.

95. Строев В.А., Смирнова С.Н., Пискаренко И.В. Об одной алгоритмической реализации метода Ньютона для расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем // Сб. научн. тр. №186. -М.: МЭИ. 1988. -с. 5-12.

96. Гуревич В.Л., Тарасов В.И. Об одном методе решения систем квадратичных уравнений // Методы оптимизации и их приложения. -Иркутск: СЭИ СО АН СССР. 1988. -с. 154-166.

97. Тарасов В.И. Повышение эффективности расчетов установившихся режимов электрических систем // Изв. СО АН СССР. СТН.87. Вып.2. 1988. -с. 114-120.

98. Слободской А. М., Тарасов В. И. Двухпараметрический метод минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1989. № 2. -с. 55-65.

99. Слободской А. М., Тарасов В. И. Нелинейный метод минимизации для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. вузов. Энергетика. 1989. № 12. -с. 28-31.

100. Тарасов В.И., Слободской А. М. Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем методом минимизации // Электричество. 1990. №5.-с. 16-21.

101. Тарасов В. И., Слободской А. М. Методы криволинейного спуска для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1990. № 2. -с. 53-66.

102. Тарасов В. И., Слободской А. М. Методы анализа послеаварийных режимов при исследовании живучести электроэнергетических систем // Методы и модели исследования живучести систем энергетики. -Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990. -с. 185-193.

103. Тарасов В.И., Слободской А. М. Расчет установившихся режимов электроэнергетических систем методом минимизации // Электричество. 1990. №5.-с. 16-21.

104. Тарасов В.И. Об одном методе расчета установившихся режимов электрических сетей // Электричество. 1996. №7. -с. 56-63.

105. Тарасов В.И. Об одном двухпараметрическом минимизационном методе расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. // Известия Российской Академии наук. Энергетика. 1997, № 6.

106. Тарасов В.И. Регуляризованные методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Электричество. 2002. №12. -с. 2-9.

107. Ковшар Л.Г., Коробчук К.В., Цукерник Л.В. К вопросу об однозначности результатов и сходимости итерационного расчета установившегося электрического режима энергосистемы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1966. №4.-с. 108-110.

108. Смирнов К.А. О единственности решения при расчете оптимального распределения мощностей в энергосистеме // Проблемы электроэнергетики. М.: Наука, 1966. -с. 46-70.

109. Гарашук В.И. О неоднозначности результатов расчетов режимов электрических сетей на ЦВМ // Применение математических методов и вычислительных машин в энергетике. -Кишинев, Вып. 2.1968.

110. Адонц Г.Т. О сходимости итерации к единственному решению в расчетах установившихся режимов электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1971. № 3. -с. 45^49.

111. Идельчик В.И., Лазебник А.И. Аналитическое исследование существования и единственности решения уравнений установившегося режимаэлектрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1972. № 2. -с. 51-59.

112. Горушкин В.И., Латышева Т.С. Об областях единственности решения уравнений установившегося режима электрической сети с заданными мощностями в узлах // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1974. № 1. -с. 56-63.

113. Смирнов К.А. О числе решений уравнений установившегося режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. -1983. № 5. -с. 75-83.

114. Идельчик В.И., Тарасов В.И. Исследование на ЦВМ существования, неоднозначности и сходимости решения уравнений установившегося режима ЭЭС // Электричество. 1974. № 2. -с. 20-24.

115. Фазылов Х.Ф., Насыров Т.Х. Критерии существования и единственности реального решения на ЦВМ уравнений установившегося режима электрических систем. -Ереван: АрмНИИЭ, 1976. -с. 252-257.

116. Васин В.П. Структура области существования самоустанавливающегося режима ЭЭС в пространстве активных мощностей // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1981. № 1. -с. 6-18.

117. Васин В. П. Структура множества установившихся режимов ЭЭС. Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1981, № 4. -с. 6-18.

118. Грицай М.А. Существование режима электроэнергетической системы. -Кишинев: Штинца, 1987. 121с.

119. Бык Ф.Л., Зельманов Е.И., Кобец Б.Б., Тарнопольский В.Г. Упрощенный достаточный критерий существования режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1989. № 4.-е. 1623.

120. Гуревич В. Л., Слободской А. М., Тарасов В. И. Критерий существования установившихся режимов сложных электроэнергетических систем. // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1991. № 2. -с. 37-45.

121. Нестеренко Н.Г., Кобец Б.Б., Бык Ф.Д. Оценка областей существования режима для консервативных моделей электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и трансп. 1991. № 5. -с. 76-81.

122. Фадеев Д. К., Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -М.: Физматгиз, 1963. -734с.

123. Гамм А. 3., Голуб И. И., Обнаружение слабых мест в электроэнергетическом системе // Энергетика и транспорт. 1993. с.5-8.

124. Гамм А.З., Голуб И.И. Сенсоры и слабые места в электроэнергетических системах. -Иркутск: СЭИ СО РАН, 1996. -99с.

125. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. -М.: Мир, 1985. -509с.

126. Методические указания по устойчивости энергосистем. -М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004.-16с.