автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численные методы нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений и их применение для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем

На правах рукописи

АЛЕКСЕЕВА Татьяна Леонидовна

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ СИСТЕМ НЕЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ РАСЧЕТА УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05.13.18 «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ»

I

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск 2003

Работа выполнена в Иркутском государственном университете путей сообщения.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

БУЛАТОВ Валериан Павлович Официальные оппоненты - доктор технических наук, профессор

Ведущая организация: вычислительный центр РАН

Защита состоится « 4 » 2003 г. в Ю "-> на заседании

диссертационного совета Д 218.004.01 при Иркутском государственном университете путей сообщения.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Иркутского государственного университета путей сообщения.

Ваши отзывы по автореферату (в двух экземплярах), заверенные печатью, просим направлять по адресу: 664074, Иркутск - 74, ул. Чернышевского, 15.

ТЯТЮШКИН Александр Иванович - кандидат физико-математических наук, доцент

ТЕРЛЕЦКИЙ Виктор Анатольевич

Автореферат разослан « 4 » Л 2003 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, профессор

Н. П. Деканова

' ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Установившиеся режимы электроэнергетических систем (ЭЭС) при задании генерирующих и нагрузочных мощностей в узлах могут быть представлены математическими моделями в виде систем нелинейных алгебраических уравнений. При решении задач управления функционированием электроэнергетических систем, при расчетах электромагнитного поля в электрических машинах и других электротехнических устройствах, при расчетах нелинейных маг-

I

» нитных и электрических цепей, при операциях потокораспределения в гидравлических цепях, а также при решении целого ряда технических задач приходится многократно решать системы нелинейных алгебраических уравнений.

Методы решения систем нелинейных уравнений как теоретически, так и алгоритмически разработаны достаточно давно и имеется обширный набор научных трудов, посвященных этой задаче. Чаще всего для решения систем нелинейных алгебраических уравнений используется метод Ньютона и его различные модификации, метод итераций и метод Бройдена. К сожалению, использование всех перечисленных методов дает лишь произвольное решение системы. Тогда, как необходимо исследовать проблемы неоднозначности, т. е. нахождения нескольких решений систем уравнений, например, уравнений установившегося режима. Такое исследование важно не только для задачи расчета стационарного режима, но и для эффективного решения задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов и исследования их устойчивости.

Следует особо отметить, что все известные в классическом численном анализе методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений используются для решения задач без ограничений, наличие которых является одним из факторов, усложняющих решение таких задач.

'ш В настоящее время нахождением всех корней системы занимаются ученые С.

A. Floudas и W. Forester, а определением для них гарантированной двусторонней области интервальными методами профессор С. П. Шарый. Разработке численных методов решения систем нелинейных алгебраических уравнений посвящены научные

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

работы профессора В. П. Булатова. Преобразование задачи нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений к задаче математического программирования при решении систем квадратичных уравнений, моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях, можно найти в научных трудах Е. Г. Анциферова и В. И. Тарасова. Решением систем нелинейных алгебраических уравнений, при рассмотрении задачи нахождения области возможных режимов электроэнергетической системы, занимается профессор Л. Ю. Анапольский.

Дель работы. Целью диссертационной работы является повышение эффек- ' тивности режимов работы электроэнергетических систем на основе использования численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений.

Поставлены следующие задачи:

1. Разработать схему нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений для расчета установившихся режимов в ЭЭС с использованием задач математического программирования.

2. Разработать способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях.

3. Разработать вычислительные алгоритмы поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений для установившихся режимов ЭЭС.

4. Выполнить анализ результатов численных экспериментов и оценить эффективность различных алгоритмов расчета.

Методы исследований. Для получения результатов использовалась теория численного анализа, выпуклой оптимизации, матричная алгебра.

Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту:

1. разработаны и теоретически обоснованы три редукции задачи нахождения ;

корней систем нелинейных алгебраических уравнений применительно к задачам

математического программирования;

< >

2. представлены и обоснованы способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях;

3. разработаны вычислительные алгоритмы поиска корней систем нелинейных алгебраических уравнений;

4. представлен анализ результатов численных экспериментов и сравнительная эффективность различных алгоритмов решения исходной задачи;

5. обоснована возможность применения полученных результатов для решения задач расчета баланса мощностей в электрических сетях.

Практическая ценность

- полученные в работе результаты могут рассматриваться как инструментальное средство для решения задач по нахождению корней систем нелинейных алгебраических уравнений;

- численные методы, разработанные в диссертации, позволяют решать большой класс практических задач, имеют широкие перспективы дальнейшего развития и могут быть использованы при реализации многих математических моделей, где возникает необходимость решения систем нелинейных алгебраических уравнений. К настоящему времени предложенные в диссертации алгоритмы нашли непосредственное практическое применение для задачи определения допустимых режимов электроэнергетических систем;

- математическая модель и алгоритмы расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем применяются в учебном процессе при подготовке и повышении квалификации специалистов.

Достоверность математических моделей, численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений и алгоритмов расчета обоснована теоретически и подтверждена оценкой адекватности результатов расчета и визуального моделирования в среде МАТЪАВ, а также результатами решения тестовых задач разработанными методами и классическими методами численного анализа.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее результаты докладывались и обсуждались на международных научных конференциях: "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2000 г.), "Математика, информатика и управление" (Иркутск, 2000 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г.), на Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2002 г.), на 12-й Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2003 г.), на научно-технической конференции "Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири" (ИрИИТ, 2000 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, содержит 39 рисунков, 18 таблиц, выводы, список литературы из 132 наименований и приложений. Объем работы составляет 116 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обоснование актуальности темы, краткий обзор диссертационной работы и основные результаты исследований.

В первом разделе выполнен обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС. Изучение методики расчета показало, что большинство из них основано на классических методах решения систем нелинейных уравнений или на их модификациях. Также из рассмотренных работ следует, что при нахождении корней систем нелинейных алгебраических уравнений, сходимость и скорость сходимости итерационных методов зависит от многих факторов. Обзор методов расчета установившихся режимов электроэнергетических систем и их анализ показал, что для задач управления функционированием и дальнейшим развитием ЭЭС в настоящее время не разработаны методы расчета, которые бы быстро и надежно обеспечивали результат ре-

шения при любых заданных расчетных условиях и не зависели бы от параметров режима работы, схемы электрических сетей. Методы и алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС, гарантированно обеспечивающие решение с низкой вычислительной сложностью, необходимы для повышения эффективности работы автоматических систем диспетчерского управления, систем автоматического противо-аварийного управления режимами, автоматизированной системы управления развитием ЭЭС, стендов, необходимых для обучения обслуживающего персонала и для повышения обоснованности принимаемых решений в процессе эксплуатации ЭЭС.

Из анализа литературных источников следует, что особую актуальность приобретает разработка таких численных методов решения систем уравнений, моделирующих установившиеся режимы ЭЭС, которые позволяют получить несколько решений для оценки режимов и параметров, допустимых по условиям эксплуатации, для ввода режима в допустимую область и обеспечения статически устойчивых режимов, а также для их оптимизации. Реализация таких численных методов позволит при необходимости определять все возможные решения уравнений установившихся режимов при заданных расчетных условиях и выбирать из множества существующих решений те, которые соответствуют надежным и экономичным реальным режимам ЭЭС.

Во втором разделе 2.1 рассматривается задача, в которой требуется найти все корни системы уравнений

£,(х) = 0,г = 1,/и, (1)

на множестве

¿ = {х:/у(х)<0,7 = й}, (2)

где gl(x)¡fj(x) - дифференцируемые, скалярные функции векторного аргумента х е Ь с Е". Здесь и далее будем предполагать, что число корней системы (1)-(2) на I конечно.

Идея метода решения задачи (1)-(2) состоит в построении вспомогательной задачи математического программирования, определенным образом связанной с задачей (1)-(2), причем ее допустимое множество содержит множество

R - [x: xEL, gj(x) - 0, i -1 ,m}. Затем, для нахождения корней системы (1)-(2), применяется следующая

Основная схема итерационного процесса:

Шаг 0. Находим хк - одно из локальных решений вспомогательной задачи математического программирования, соответствующее одному из корней системы (1) -(2).

Шаг 1. Определяем отсекающие полупространство, не содержащее хк, но содержащее все остальные действительные корни. Условие отсечения добавляется к условиям исходной задачи.

Шаг 2. Для нахождения вновь решается вспомогательная задача на поиск оптимума при расширенной системе условий.

Пусть <р{х) - произвольная дифференцируемая функция. Введем в рассмотрение следующую задачу

<р(х) — min, (3)

gi(x) = 0, г -(4) xGL. (5)

Очевидно, что оптимальным решением задачи (3)-(5) будет одно из решений задачи (1)-(2). Зададим функцию

V(x)-<p(x) + N%g,(x), (6)

Я

где N > 0 и от задачи с ограничениями - равенствами перейдем к задаче с ограничениями - неравенствами.

4>(х) min, (7)

(8)

где R° - {х: g/(x) г 0, i = 1 ,т, xEL}.

Введем вектор - функцию

Ф(х) = (*,(*), g2(x).....gm(x), /,(*), f2(x),..., f,(x)f

и обозначим через Х^ - множество критических точек задачи (7)-(8), а через Л^ -

множество соответствующих множителей Лагранжа. Связь между задачей (7)-(8) и (1)-(2) определяется следующей теоремой.

Теорема 1. Пусть выполняются следующие условия:

1) любая точка х* ЕЛ"^ удовлетворяет условиям регулярности (условия регулярности Абади);

2) существует е > О такое, что для любой пары (А *, х*) Я *£ А^,, х* Е Х^,

Цуф(х*)гя*||ас||я*||; (9)

3)||У<р(х)|| ^ с < оо.

Тогда найдется Ы* такое, что > ТУ* любая точка из множества Х^ является решением задачи (1)-(2).

Далее подробно обсуждаются и комментируются условия теоремы 1. Комментарий 1. В общем случае, так как функция Ц>{х) зависит от константы

N, то и множество Х^ также зависит от N. Теорема 1 утверждает, что при увеличении N, начиная с некоторого значения Ы*, множество X* "фиксируется" (т. е. не

зависит от и состоит из корней системы (1), принадлежащих множеству (2).

Комментарий 2. Перейдем к обсуждению условия 2) теоремы 1. Предположим сначала, что X = Е", тогда необходимые условия оптимальности для задачи (7)-(8) будут иметь вид

(10)

1-1

А^Дх) = 0, /' = ¡Я (И)

Я,- г 0, г ~ М, (12)

В принятых обозначениях

м

Из (10) и последнего равенства следует

УФ(х)А - Vip(x). (13)

' Пусть пара (х*, Я *), где х* - допустимая точка, удовлетворяющая условиям (10)-

(12). Если Vip(x*) = 0, то из (13) следует, что

УФ(х* )А *- 0

и, следовательно, условие 2 теоремы 1 не выполняется, что означает, что точка х*, являясь критической точкой в задачах (7)-(8) не обязательно будет корнем системы (!)•

Поскольку функция гр(х) имеет вид

т

V(x) = <p(x) + N2g,(x), 1-1

где <р(х) - произвольная дифференцируемая функция и N > 0, то за счет выбора <р(х) и N можно избежать выполнения равенства

Vv(x) - 0 (14)

для всех критических точек задачи (7)-(8). Выполнение равенства (14) означает, что критическая точка задачи (7)-(8) является критической точкой безусловной задачи

У>(х) min,

хеЕ".

Заметим, что если в определении функции Ц>{х) считать (р{х) = 0, N -1, L = Е", то получим упрощенную формулировку задачи (7)-(8)

п

2Si(*)-*mill> (15)

1-1

gi(x) ^ 0, / = Ui.. (16)

xGL. (17)

Запишем систему необходимых условий первого порядка:

(-1 1-1

Я,- г 0, / - М. (20)

Пусть ^'допустимая точка и пара (х*,А*)удовлетворяет условиям (18)-(20). Допустим, что векторы Vg1■(x*) линейно независимы. Тогда А^ =1 и из (19) имеем

Еа-А*)У£,.(х*)-о, (21)

/-1

что в свою очередь означает, что А*-1. Следовательно, в силу (19) получаем £,(**)-0./-1,л.

Таким образом, можно сформулировать следующее утверждение.

Утверждение. Пусть допустимая точка х* удовлетворяет необходимым условиям оптимальности первого порядка (18)-(20). Если векторы Vgi(x ), г'-1,и линейно независимы, то лс'есть корень системы (1),

Раздел 2.2 содержит описание построения и решения вспомогательных задач математического программирования при условии, что g¡(x),g2(x),...,g„(x) - выпуклые функции и т = п. В разделе 2.2.1 рассматривается вспомогательная задача:

(22)

Л-{*££":&(*) = 0, *е2,,/=й}, (23)

¿-{*:/у(*)*0,/-й}, (24)

где <р(х), /у (х) - гладкие, выпуклые функции.

Задаче (22)-(24) поставим в соответствие следующую задачу математического программирования:

и

тпт{^(дг) - <р(х) + -х^Я0}, (25)

где

- {*:&(*) * 0, /у(х) 5 0,1= и, ] - У}, N а 0. (26)

Исходная задача (1)-(2) эквивалентна задаче (25)-(26) в том смысле, что любой локальный минимум (25)-(26) есть решение системы (1) при определенных условиях, и наоборот. Задачу (25)-(26) назовем первой редукцией задачи (1)-(2) к задаче математического программирования. Если /(*)- функции линейные, то для поиска локального минимума в задаче (25)-(26) необходимо решить последовательность задач выпуклого программирования с одной и той же минимизируемой функцией у/(х) на последовательности многогранников Rk. Представим алгоритм решения задачи (25)-(26) по шагам:

Шаг 1. Положить к=0. Задать М.

Шаг 2. Найти точку допустимого множества Rk, где Rk = {х: g, (х) > 0, fj(x) <0,/ = Tj, г = й}.

Шаг 3. Найти точку хк - точку локального минимума у/(х)на Rk. Если к-М, то стоп, иначе перейти на Шаг 4.

Шаг 4. В точке хк построить конус Lk - {х: Vg(xk )тх < Vg(xk )тхк}.

Шаг 5. Определить ребра конуса х] = хк - XJskj, где skj - столбцы матрицы [VgCx*)]4.

Шаг 6. Из уравнений Y^St{xk -&1 skj) = 0 найти Xkj и точки xkj =хк - Akjskj <=1

... п

пересечения лучей х1 =х - 2J s 1 с поверхностью = 0.

i=i

Шаг 7. Определить отсекающее полупространство рктх < tk не содержащее хк. При этом уравнение отсекающей плоскости имеет вид:

Ш^'ЧуЬ^'-1-

Шаг 8. Определить Rk+X = {х: х в Rk, j5kTx < tk }. Положить к = к +1 и перейти на Шаг 2.

Здесь же показывается процедура поиска локального минимума функции ^(х)на Rk.

В разделе 2.2.2 задаче (10)-(12) ставится в соответствие следующая задача математического программирования:

тах{гр(х) - <р(х) + Njg,(x) :jcGÄ0}, (27)

" м

где

' R" -{x:g,(x)*0,xeL,i-iü},Nb0. (28)

Если <р{х), g¡(x), fj{x)- выпуклые и гладкие функции, то имеем задачу максимизации выпуклой функции на выпуклом множестве. Алгоритм решения задачи (27)-(28) аналогичен изложенному в разделе 1.2.1.

Раздел 2.3 содержит алгоритм поиска решений исходной задачи (1)-(2) в случае существования кратных корней. Допустим, что для исходной системы уравнений т = п.

Поиск первого корня х1 осуществляется следующим образом. Пусть wSi' произвольная точка, например, w = 0. Решим задачу математического программирования

fx - Н|2 + Iff, g, (х) — max, (29)

i-i

g,(x)sO ,i-Üñ, (30)

xei. (31)

Для решения задачи (29)-(31) применяется метод локальной оптимизации, ис-, пользующийся в рамках второй редукции.

Если найденное локально-оптимальное решение не является корнем иссле-» дуемой системы управлений, то локальный поиск повторяется из другой стартовой точки.

Пусть найдены решения {х1,..., х*"1} системы g¡ (х) - 0, i -1, и. Предположим, что некоторые из найденных решений являются кратными корнями исследуемой

системы. В этом случае градиенты ограничений, соответствующих любому кратному корню, линейно зависимы и поэтому нельзя применить технику отсечений, использованную в предыдущих алгоритмах. Определим функцию

ср{х) - min дс - х1 . Задаче (1 )-(2) сопоставим следующую задачу itjtk-w И

.•«2

min

1 sjsk

*<<*)- max,

-1» и

X El.

Смысл введенной функции <р{х) состоит в том, что следующий найденный корень будет наиболее удален от найденных ранее.

Введением новой переменной задачу можно преобразовать к задаче с дифференцируемой целевой функцией и функциями ограничениями:

п

Xn*i+N2 g/W — max, i-i

g,(x)s;0,/-1,и, xEL.

Последнюю задачу перепишем в виде

и

1-1

• ||2

И + И ~2xTxJ zxn+uVj-], к-1,

g,(x)&Q,i -1,л,

xEL.

«2

Сделав замену переменных x„+l = z + |*| , окончательно получим:

z + H2+^|g,.(*)-max, (32)

2хтх] = (33)

£,(х)<0,1 = й, (34)

хеЬ. (35)

Задача (32)-(35) - есть задача максимизации выпуклой функции на выпуклом множестве. При поиске следующего корня число линейных ограничений (33) увеличивается на единицу.

Раздел 2.4 содержит способы преобразования систем уравнений заданных алгебраическими полиномами к системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях. В разделе 2.5 представлен способ сведения систем нелинейных алгебраических уравнений с знаконеопределенными квадратичными формами к системе с выпуклыми функциями в левых частях.

В разделе 3 обоснованы возможности применения предложенных методов решения задачи (1)-(2) для задачи расчета баланса мощностей в электрических сетях. Раздел 3.1 содержит описание модели распределительной электрической сети, состоящей из п +1 узлов. В настоящее время в качестве уравнений установившихся режимов ЭЭС применяются, в основном, уравнения узловых напряжений. Баланс мощностей для г - го узла можно записать следующим образом:

и,

\

\7-1

= = (36)

Комплексные числа (У, = (х,,у,)с действительными частями х, и мнимыми частями у,- напряжение в узле /', V}- комплексное число, сопряженное с V}.

Уц=-

\

л+1

}*} .

собственная проводимость узла /. У = (У' , У Л, при г * у, обозна^

чают проводимости ветви сети, соединяющей узлы г и /. Если узел г не соединен с

узлом ], то Уху - Ууч = 0. Кроме того, для всех /,/ = 1.....п Ущ = Уу,, Уу1] = УуР

Проводимости Ух{/, Ууу фиксированы для всех / = 1,..., п, у = 1,..., п +1. Комплексные

числа = и =(Р„,,0„) определяют активные (.Р) и реактивные (0

мощности генерации (#) и нагрузок (я) в узле /.

Узел п +1 назовем базовым узлом. Зафиксируем значение С/и+1, и будем рассматривать (36) как систему из п уравнений относительно С/^...,(/„.

Вводя новые обозначения и записывая (36) в прямоугольной системе координат, получим задачу вида (1).

Функции 1-1,...,л и /у(ж),7-1в (1)-(2) имеют некоторые специ-

фические, для данной прикладной задачи, особенности. Во-первых,

£,-(*) = хт&х + (с')гх + г, - 0, / = Ы

где (У- матрицы порядка пхп могут иметь как положительные, так и отрицательные собственные значения, с' Е.Е", г^Е1 . Следует отметить, что матрица ()'

является сильно разреженной (в среднем 2-3 не нулевых элемента в каждой строке). Множество Ь в (2) можно представить в виде

так как функции ^(ж), у = 1,...,/ являются линейными функциями.

Следовательно, для решения рассмотренной задачи можно рекомендовать изложенные в разделах 2.2-2.5 методы.

В разделе 3.2 представлена методика проверки погрешности, предложенных методов расчета баланса мощностей в электроэнергетических системах. В начале выполняется аналитический расчет параметров и величин в задаче с линейными элементами, а затем выполняется расчет разработанным численным методом и визуальное моделирование в среде универсальной интегрированной системы компьютерной математики «МАТЬАВ 6.0». Расчеты погрешностей и оценка возможностей визуального моделирования в среде МаЙаЬ для исследования установившихся режимов электроэнергетических систем позволяют сделать следующие выводы:

1. Для проверки разработанных методов расчета установившихся режимов в электроэнергетических системах можно применять визуальное моделирование

в среде Matlab с использованием моделей отдельных элементов электроэнергетических систем из библиотеки Simulink матричной лаборатории.

2. Блоки RMS и Active & Reactive Power в разделе Power System Blockset для измерения электрических величин, а также для измерения активной и реактивной мощности вносят существенные погрешности в результаты расчетов (по-

t грешность 10% и более).

3. Достаточная точность результатов расчетов может быть получена с по-^ мощью измерительного блока powergui, размещенного в оглавлении раздела

Power System Blockset, погрешности расчетов при этом не превышают ± 2%.

4. Решение задач анализа электрических режимов и определение параметров установившихся режимов в электроэнергетических системах с помощью визуального моделирования в среде Matlab затруднено из-за его ограниченных возможностей, поэтому данное моделирование можно рекомендовать для контроля адекватности результатов расчета параметрам установившихся режимов в реальных электроэнергетических системах.

Погрешность расчета установившихся режимов в электрической схеме с помощью представленных, в первом разделе диссертации, численных методов не превышает 0.41%. Таким образом, разработанный численный метод решения систем нелинейных алгебраических уравнений обеспечивает достаточную для научно-исследовательских работ точность расчетов.

В разделе 4 описана форма проведения экспериментального исследования. В разделе 4.1 приведены результаты численных экспериментов, проведен анализ сравнительной эффективности предложенных алгоритмов решения, а также их сравнение с методом Ньютона, для которого производилась случайная выборка начального приближения (мультистарт). i Основные результаты эксперимента сведем в таблице 1.

В таблице используются следующие обозначения:

"алг.1", "алг.2", "алг.З" - решение первой, второй в третьей редукцией соответственно,

"иг" - среднее число итераций необходимое для нахождения одного корня, 'Ч" - время счета в минутах, "пит" - число найденных корней.

Таблица 1. Среднее время и число итераций, необходимое для решения

случайно сгенерированных задач.

размерность алг.1 алг.2 алг.З

ЙГ 2x2 8 9 7

1 0.033 0.036 0.014

йг 3x3 3 18 И

1 0.100 0.105 0.03

¡й- 4x4 8 36 31

1 0.30 0.22 0.18

кг 90 200 120

е 5x5 1.4 1.11 0.54

пит 32 32 32

¡й- 200 251 190

1 6x6 6.83 6.30 2.98

пит 64 64 64

ЙГ 220 270 210

1 7x7 27.31 19.63 4.48

пит 128 128 128

1 8x8 109.23 78.93 56.77

пит 256 256 256

1 9x9 130.8 121.1 115.53

пит 512 512 512

1 10x10 594.43 564.25 499.36

пит 1024 1024 1024

Таким образом, вычислительный эксперимент показывает эффективность и быстродействие алгоритма, построенного для нахождения кратных корней системы нелинейных алгебраических уравнений. При использовании первой и второй редукции дополнительное время требуется для осуществления техники отсечений, а также для нахождения точек допустимого множества (для первой редукции), которое значительно больше (для задач небольшой размерности), чем для поиска корня наиболее удаленного от найденных ранее. С увеличением размерности задачи разница в скорости сходимости уменьшается. Если рассматривать применение предложенных алгоритмов с точки зрения количества найденных корней системы, то вычислительный эксперимент показывает, что при использование метода Ньютона, для которого производилась случайная выборка начального приближения (мультистарт) было найдено около 50% решений. Для задач малой размерности удавалось находить все решения, но время для счета потребовалось больше, чем для любой из предложенных в работе редукций.

Здесь же рассмотрены примеры, показывающие возможность применения изложенной в разделе 2 методики к задаче нахождения допустимых режимов электроэнергетических систем.

В разделе выводы сформулированы основные результаты работы.

Все изложение сопровождается примерами и подкреплено иллюстрациями.

ВЫВОДЫ

1. Разработанная схема расчета позволяет находить необходимое число корней систем нелинейных алгебраических уравнений, вызванных множеством состояний электроэнергетических систем и порождающих неоднозначность решений.

2. Разработанные способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях позволяют использовать тех-

нику отсечений, лежащую в основе предложенных редукций, к задачам определения допустимых режимов электроэнергетических систем.

3. Экспериментальными исследованиями установлено, что разработанные варианты алгоритмов позволяют находить множество решений и близки по скорости к лучшим, использующимся на практике, алгоритмам.

4. В ходе реализации разработанных редукций в виде вычислительных программ предложено введение мультистарта. В первой редукции он применяется для поиска допустимой точки множества, во второй - для исключения ложных решений, в третьей редукции для нахождения корня, отличного от ранее найденных.

5. Разработанные численные методы нахождения допустимых режимов в электроэнергетических системах применимы для решения более общих задач нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

6. Продемонстрировано, что решение задач анализа электрических режимов и определение параметров установившихся режимов в электроэнергетических системах с помощью визуального моделирования в среде МаЙаЬ затруднено из-за его ограниченной действенности и значительных вычислительных сложностей. Поэтому данное моделирование можно рекомендовать для контроля адекватности результатов расчета параметрам установившихся режимов в реальных электроэнергетических системах.

7. Исследованиями установлено, что разработанные численные методы расчета системы нелинейных алгебраических уравнений обеспечивают достаточную точность расчетов для научно-исследовательских работ.

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1. Алексеева Т. Л., Волокитин С. С. О свойствах метода гипербол // Межвузовский сборник научных трудов. - Иркутск, 1997. с. 141 - 145

2. Булатов В. П., Алексеева Т. Л. Численные метода поиска всех вещественных корней систем алгебраических уравнений и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара " Методы оптимизации и их приложения".

I - Иркутск, 1998.- Т.1.- С. 21-31. »

3. Алексеева Т.Л. Методы отсечения в глобальной оптимизации и их применение к поиску всех решений систем нелинейных алгебраических уравнений // Материалы конференции "Дискретный анализ и исследование операций". - Новосибирск, 2000. С. 117

4. Алексеева Т. Л. Вычислительный аспект методов отсечения при решении систем нелинейных алгебраических уравнений и их приложения / Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири // Тезисы докладов на-

• учно-технической конференции. Ч. 1. - Иркутск: ИрИИТ, 2000. С. 169-173.

5. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. К нахождению корней систем квадратичных уравнений / Методы оптимизации и их приложения // Труды XII Байкальской международной конференции. - Иркутск, 2001. - С. 3-10.

6. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. Методы решения систем квадратичных алгебраических уравнений и их применение для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем // Материалы конференции "Дискретный анализ и исследование операций". - Новосибирск, 2002. - С.172.

7. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. Комбинирование методов локальной и гло-' бальной оптимизации для решения задачи о нахождении корней системы нелиней; ных алгебраических уравнений // Информационный бюллетень Ассоциации математического программирования. №10. Научное издание. Екатеринбург: УрО РАН, 2003.-С. 23.

Подписано в печать 20.05.2003. Формат 60x84'/, Бумага офсетная. Печать трафаретная. Гарнитура Times. Усл. печ. л. 11,7. Уч.-изд. л. 12,3. Тираж 100 экз. Заказ № 5093.

Глазковская типография 664039, Иркутск, ул. Гоголя, 53. Тел. (3952) 38-78-40

í

I

I

t m

I

I

I

I

I7525 Р 17 52 5

Введение.

1. Методы расчета установившихся режимов электроэнергетических систем, их анализ и задачи исследования.

2. Численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем.

2.1. Общая схема решения уравнений узловых напряжений для электроэнергетической системы.

2.2. Некоторые редукции к выпукло - вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств.

2.2.1. Первая редукция.

2.2.2. Вторая редукция.

2.3. Алгоритм поиска решений уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем, в случае существования кратных корней

2.4. Способы преобразования систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

2.5. Преобразование исходных уравнений электроэнергетической системы к уравнениям с выпуклыми функциями в левых частях.

Современные электроэнергетические системы и электрические сети характеризуются увеличением мощностей источников и потребителей электроэнергии, укрупнением систем и увеличением протяженности электрических линий, многосторонним электроснабжением и кольцеванием электрических сетей, повышением гибкости управления режимами работы. К важной научно — технической проблеме относятся задачи обеспечения рациональных установившихся режимов в электроэнергетических системах (ЭЭС) и оценки статической устойчивости режимов, ввода режима в допустимую область изменения его параметра и оптимизации режима, а также другие задачи, связанные с функционированием этих сложных систем.

Установившиеся режимы ЭЭС при задании генерирующих и нагрузочных мощностей в узлах могут быть представлены математическими моделями в виде систем нелинейных алгебраических уравнений. При решении задач управления функционированием электроэнергетических систем, при расчетах электромагнитного поля в электрических машинах и других электротехнических устройствах, при расчетах нелинейных магнитных и электрических цепей, при операциях потокораспределения в гидравлических цепях, а также при решении целого ряда технических задач приходится многократно решать системы нелинейных алгебраических уравнений следующего вида: о, (в.1) на множестве

L = {x:fj(x)<0,j = lJ}, (В.2) где gj(x),fj(x) - дифференцируемые, скалярные функции векторного аргумента xgLcE" .

Поэтому методом расчета установившихся режимов ЭЭС, алгоритмом расчета и обеспечению сходимости итерационных решений посвящено большое количество научных работ в России и за рубежом.

Методы решения систем нелинейных уравнений как теоретически, так и алгоритмически разработаны достаточно давно и имеется практически необозримое число научных трудов, посвященных этим задачам [1-18]. Использование стандартной техники нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений, а именно, метода Ньютона, его различных модификаций, метода итераций, метода Бройдена и других дает лишь произвольное решение системы. Однако в интересующей нас задаче необходимо исследование проблемы неоднозначности решения систем уравнений, например, уравнений установившегося режима в электрических сетях. Такое исследование важно не только для задачи расчета стационарного режима, но и для эффективного решения задач ввода режима в допустимую область, оптимизации режимов и исследования их устойчивости. Кроме того, в [15] было показано, что достаточные условия сходимости метода Ньютона по Канторовичу при решении уравнений установившегося режима электрических сетей могут не выполняться. Поэтому нельзя гарантировать его сходимость с любого исходного приближения. Следовательно, при практическом использовании метода Ньютона нужно иметь "хорошее" начальное приближение, так как в противном случае возможна расходимость метода.

При применении метода простых итерации алгоритм вычисления прост, но возможны случаи зацикливания итерационного процесса [12]. Применение таких методов, как метод простой итерации и метод Зейделя в энергетических расчетах также нецелесообразно ввиду их медленной сходимости [4].

Следует особо отметить, что все известные в классическом численном анализе методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений используются для решения задач без ограничений, наличие которых является одним из факторов усложняющих решение таких задач.

Для эффективного функционирования электроэнергетической системы необходимо обеспечивать экономичные способы передачи, распределения электроэнергии, высокую надежность с минимальными ущербами для электропотребителей и для предприятий электроснабжения, устойчивую работу системы [19-20]. Баланс мощностей в электрических сетях описывается системами квадратичных алгебраических уравнений, а такие системы, как правило, имеют множество решений. В [1] при решении систем квадратичных уравнений, моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях, используется следующая редукция задачи (В.1) к задаче вогнутого программирования: тах{К*) = !>/(*)} (в-3) 1 при условии xeR = {x:gi(<x)<0,i = Un,xeL} (В.4)

Если значение локального максимума в задаче (В.3)-(В.4) отрицательно, то система уравнений (В.1)-(В.2) не имеет на множестве L решений. В противном случае множество ее решений совпадает с множеством точек локального максимума в задаче (В.3)-(В.4). К сожалению, задача (В.3)-(В.4) может обладать % множеством точек локального максимума, в которых значение у/(х) отрицательно и которые в процессе решения приходиться распознавать и отсекать, порождая при этом новые точки локального максимума.

В ряде работ [2, 3], [17, 21, 22] рассматривается вопрос анализа уравнений установившихся режимов электрических сетей и итерационных методов их расчета применительно к трехмашинной электроэнергетической системе. Следует отметить, что в приведенной выше литературе предлагаются способы нахождения области существования решений уравнений установившихся режимов.

Таким образом, результаты научных работ, а также накопленный опыт их применения для улучшения эксплуатации и совершенствования проектирования ЭЭС не обеспечивают в полной мере решение производственных и научно - технических проблем. Поэтому представляют значительный научный и практический интерес разработки методов расчета, обладающих широкими возможностями и высокой действенностью при решении задач надежного функционирования ЭЭС и повышения их эффективности.

Как правило, в практических ситуациях произвольное решение системы не удовлетворяет постановщика задачи. Особый интерес представляют методы построения всех решений системы или методы, позволяющие найти решение, удовлетворяющее некоторым заданным свойствам (надежности, устойчивости, экономичности и т. д.). В настоящее время нахождением всех корней системы (В.1)-(В.2) занимаются ученые С. A. Floudas и W. Forester [23-26], а определением для них гарантированной двусторонней области интервальными методами профессор С. П. Шарый [27]. Разработке численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений посвящены научные работы профессора В. П. Булатова [28-32].

В первом разделе диссертационной работы выполнен обзор научно-исследовательских работ, направленных на разработку методов и алгоритмов расчета установившихся режимов ЭЭС. Сформулированы цель работы и задачи исследования.

Во втором разделе диссертационной работы рассмотрены некоторые редукции задачи (В.1)-(В.2) к выпукло-вогнутым задачам с ограничениями в форме неравенств. Приведены алгоритмы поиска различных корней системы (В.1), а также алгоритм поиска решений систем нелинейных алгебраических уравнений специального вида, в случае существования кратных корней. Рассмотрен вопрос о преобразовании системы нелинейных алгебраических уравнений с знаконеопределенными квадратичными формами к системе с выпуклыми функциями в левых частях. Приведен способ сведения уравнений и систем уравнений, заданных алгебраическими полиномами, к эквивалентным системам уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

В третьем разделе описана модель распределительной электрической сети и приведен анализ решения и исследования этой задачи. Проведена проверка погрешности методов предложенных в первом разделе при рассмотрении задачи определения баланса мощностей электроэнергетических системах.

В четвертом разделе приведены результаты численных экспериментов, анализ сравнительной эффективности предложенных алгоритмов решения, а также их сравнение с методом Ньютона, для которого производилась случайная выборка начального приближения (мультистарт). Рассмотрены задачи определения баланса мощностей в электрических сетях.

Основные результаты, составляющие научную новизну и выносимые на защиту:

1. разработаны и теоретически обоснованы три редукции задачи нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений применительно к задачам математического программирования;

2. представлены и обоснованы способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функ-. циями к системам с выпуклыми функциями в левых частях;

3. разработаны вычислительные алгоритмы поиска корней системы нелинейных алгебраических уравнений;

4. представлен анализ результатов численных экспериментов и сравнительная эффективность различных алгоритмов решения исходной задачи;

5. обоснована возможность применения полученных результатов для решения задач расчета баланса мощностей в электрических сетях.

Практическая ценность:

- полученные в работе результаты могут рассматриваться как инструментальное средство для решения задач по нахождению корней систем нелинейных алгебраических уравнений;

- численные методы, разработанные в диссертации, позволяют решать большой класс практических задач, имеют широкие перспективы дальнейшего развития и могут быть использованы при реализации многих математических моделей, где возникает необходимость решения систем нелинейных алгебраичсских уравнений. К настоящему времени предложенные в диссертации алгоритмы нашли непосредственное практическое применение на задаче определения допустимых режимов электроэнергетических систем;

- математическая модель и алгоритмы расчетов установившихся режимов электроэнергетических систем применяются в учебном процессе при подготовке и повышении квалификации специалистов.

Достоверность математических моделей, численных методов решения нелинейных алгебраических уравнений и алгоритмов расчета обоснована теоретически и подтверждена оценкой адекватности результатов расчета и визуального моделирования в среде MATLAB, а также результатами решения тестовых задач разработанным методом и классическими методами численного анализа.

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы и ее результаты докладывались и обсуждались на международных научных конференциях: "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 1998 г.), "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2000 г.), "Математика, информатика и управление" (Иркутск, 2000 г.), "Методы оптимизации и их приложения" (Иркутск, 2001 г.), на Российской конференции "Дискретный анализ и исследование операций" (Новосибирск, 2002 г.), на 12-й Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (Екатеринбург, 2003 г.), на научно-технической конференции "Повышение эффективности работы железнодорожного транспорта Сибири" (ИрИИТ, 2000 г.), а также на научных семинарах и конференциях ИрГУПС.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 7 научных работ [16,30, 33 - 37].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 разделов, содержит 39 рисунков, 18 таблиц, выводы и список литературы из 132 наименований и приложений. Объем работы составляет 116 страниц.

102 ВЫВОДЫ

1. Разработанная схема расчета позволяет находить необходимое число корней систем нелинейных алгебраических уравнений, вызванных множеством состояний электроэнергетических систем и порождающих неоднозначность решений.

2. Разработанные способы преобразования систем нелинейных алгебраических уравнений с квадратичными и полиномиальными функциями к системам с выпуклыми функциями в левых частях позволяют использовать технику отсечений, лежащую в основе предложенных редукций, к задачам определения допустимых режимов электроэнергетических систем.

3. Экспериментальными исследованиями установлено, что разработанные варианты алгоритмов позволяют находить множество решений и близки по скорости к лучшим, использующимся на практике, алгоритмам.

4. В ходе реализации разработанных редукций в виде вычислительных программ предложено введение мультистарта. В первой редукции он применяется для поиска допустимой точки множества, во второй - для исключения ложных решений, в третьей редукции для нахождения корня, отличного от ранее найденных.

5. Разработанные численные методы нахождения допустимых режимов в электроэнергетических системах применимы для решения более общих задач нахождения корней систем нелинейных алгебраических уравнений с выпуклыми функциями в левых частях.

6. Продемонстрировано, что решение задач анализа электрических режимов и определение параметров установившихся режимов в электроэнергетических системах с помощью визуального моделирования в s среде Matlab затруднено из-за его ограниченной действенности и значительных вычислительных сложностей. Поэтому данное моделирование можно рекомендовать для контроля адекватности результатов расчета параметрам установившихся режимов в реальных электроэнергетических системах.

7. Исследованиями установлено, что разработанные численные методы расчета системы нелинейных алгебраических уравнений обеспечивают достаточную точность расчетов для научно-исследовательских работ.

104

1. Анциферов Е. Г., Тарасов В. И. К решению систем квадратичных уравнений моделирующих распределение нагрузок в электрических сетях // Изв. высших учебных заведений. Математика, 1994, № 12.

2. Анапольский JI. Ю., Тарасов В. И. Анализ уравнений установившихся режимов электрических сетей постоянного тока и итерационных методов их расчета // Изв. АН. Энергетика, 1994, № 4, С. 65-79.

3. Анапольский JI. Ю., Тимофеев С. В. Решение уравнений установившихся режимов электроэнергетических систем с помощью рядов // Изв. АН. Энергетика, 1997, № 3, С. 146-156.

4. Арзамасцев Д. А., Бартоломей П. И., Скляров Ю. С. О методах решения систем уравнений узловых напряжений на ЦВМ // Изв. вузов СССР, Энергетика, 1997, № 8, С. 11-18.

5. Бартоломей П. И. Методы апроксимации и решения уравнений установившегося режима электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1985, № 1, С. 160-165.

6. Бартоломей П. И., Липес А. В. Применение новых способов записи и решения уравнений узловых напряжений // Электричество, 1971, № 1.

7. Горобец Г. Г. Еще раз о методе секущих для решения систем нелинейных и трансцендентных уравнений // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1989.

8. Гуревич В. Л., Тарасов В. И. Об одном методе решения систем квадратичных уравнений // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1988.

9. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. -Москва.: Физматгиз, 1960. 660 с.

10. Дэннис Дж., мл., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988.-440 с.

11. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975. - 559 с.

12. Пульников А. А. Методы решения систем уравнений нелинейных электрических и магнитных цепей // Электричество, 1999, № 3.

13. Пуртов В. А. Методы Ньютоновского типа в задачах НЛП // Док. ВИНИТИ, 1985, №6416-85, 13 с.

14. Пуртов В. А. Решение задач нелинейного программирования методом Ньютона // Методы оптимизации и их приложения, Иркутск, 1988.

15. Черняк В. Я. О влиянии нелинейности решаемой системы на сходимость методов Якоби, ПВР и УВР — Ньютона // Численные методы анализа и их приложения'. - Иркутск, 1983.

16. Алексеева Т. Л., Волокитин С. С. О свойствах метода гипербол // Межвузовский сборник научных трудов. Иркутск, 1997. с. 141 - 145

17. Анапольский Л. Ю. Об области возможных режимов электроэнергетической системы в пространстве активных мощностей // Изв. АН. Энергетика, 1991, № 4, С. 92-100.

18. Крумм Л. А. Методы приведенного градиента при управлении электроэнергетическими системами. Новосибирск: Наука, 1977.

19. Баринов В. А., Совалов С. А. Режимы энергосистем: Методы анализа и управления. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 440 с.

20. Мурашко А. Н., Охорзин Ю. А., Крумм Л. А. и др. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1987.

21. Анапольский Л. Ю., Жолудев А. И. Экстремальные задачи для определения области возможных режимов электроэнергетической системы и путей утяжеления режимов // Изв. АН. Энергетика, 1992, № 3, С. 59-67.

22. Анапольский Л. Ю., Тарасов В. И., Тимофеев С. В. Анализ уравнений установившихся режимов трехмашинной электроэнергетической системы // Изв. АН. Энергетика, 1996, № 2, С. 138-151.23. http://citeseer.ni.nec.com

23. Pardalos P. M., Generation of Large-Scale Quadratic Programs, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 13. No. 2 (1993), p. 133.

24. Pardalos P. M., Construction of test problems in quadratic bivalent programming, ACM Transactions on Mathematical Software, Vol. 17. No. 1 (1991), pp. 74-87.

25. Floudas C. A., Pardalos P. M., Recent Advances in Global Optimization, Princeton University Press, 1992.

26. Шарый С. П. Новый подход в интервальной глобальной оптимизации / Методы оптимизации и их приложения // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, 2001. - С. 289-295.

27. Булатов В. П. Методы погружения в задачах оптимизации. Новосибирск: Наука, 1977.- 161 с.

28. Анциферов Е. Г., Ащепков Л. Т., Булатов В. П. Методы оптимизации и их приложения. Ч. 1. Математическое программирование. Новосибирск: Наука, 1990.- 158 с.

29. Булатов В. П., Алексеева Т. Л. Численные метода поиска всех вещественных корней систем алгебраических уравнений и их приложения // Труды XI международной Байкальской школы-семинара " Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 1998.- Т.1.- С. 21-31.

30. Булатов В. П. Необходимые условия экстремума и методы глобальной оптимизации // Труды XII Байкальской международной конференции "Методы оптимизации и их приложения". Иркутск, 2001. - С. 41-51.

31. Алексеева Т.Л. Методы отсечения в глобальной оптимизации и их применение к поиску всех решений систем нелинейных алгебраических уравнений // Материалы конференции "Дискретный анализ и исследование операций". Новосибирск, 2000. С. 117

32. Алексеева Т. Л., Хамисов О. В. К нахождению корней систем квадратичных уравнений / Методы оптимизации и их приложения // Труды XII Байкальской международной конференции. Иркутск, 2001. - С. 3-10.

33. Влычков П.М., Гамов Н.К. Повышение скорости и улучшение сходимости и надежности решения уравнений установившегося режима электрических систем // Электричество, 1982, №7, С. 63-66.

34. Смирнов К.А. О числе решений уравнений установившегося режима электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1983, №5, С. 75-83.

35. Автоматизация управления энергообъединениями / В.В. Гончуков и др. М.: Энергия, 1979. -432 с.

36. Автоматизированные системы диспетчерского управления в энергетике и пути их совершенствования / Л.Г. Мамиконянц и др. // Электричество, 1987, №3, С. 1-6.

37. Воропай Н.И., Ершевич В.В. и др. Управление мощными энергообъединениями / Под ред. С.А.Совалова. М.: Энергоатомиздат, 1984. -256 с.

38. Совалов С.А. Режимы единой энергосистемы. М.: Энергоатомиздат, 1983. -384с.

39. Технический прогресс энергетики СССР / А.А. Троицкий и др. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 224 с.

40. Автоматизированная система оперативно-диспетчерского управления электроэнергетическими системами / О.Н. Войтов, В.Н. Воронин, А.З. Гамм и др. Новосибирск: Наука, 1986. - 203 с.

41. Анализ и управление установившимися состояниями электроэнергетических систем / И.А. Мурашко и др. — Новосибирск: Наука, 1987.-239 с.

42. Семенов В.А. Автоматизированные системы диспетчерского управления. — М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985. 100 с.

43. Leonidopoulos G. Fast linear method and convergence improvement of load flow merical solution method // Elec. Power Syst., 1989, 16, №1, P. 22-31.

44. Wi J.S., Chen J.F., Huang C.L., Pan C.T. A new approach for static load flow // Modell. Simul. and Contr. 1985, A3., №4, P. 29-31.

45. Амирикян P.А., Шарабханян И.И. Повышение эффективности расчета установившихся режимов сложных электрических систем // Изв. Вузов Энергетика, 1985, №5, С. 52-56.

46. Информационное обеспечение диспетчерского управления в электроэнергетике / Ю.И. Алимов, А.З. Гамм и др. — Новосибирск: Наука, 1985. -223с.

47. Математические методы и вычислительные машины в энергетических системах / Под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1975. - 216с.

48. Адонц Г.Т. Расчет установившихся режимов электрической системы, разделенной на многополюсники // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1971, №1, С. 82-91.

49. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния ЭЭС. М.: Наука, 1976.-220с.

50. Гамм А.З., Герасимов Л.Н., Голуб И.И. и др. Оценивание состояния в электроэнергетике. М.: Наука, 1983. - 302с.

51. Манусов В.З., Лыкин А.В. Вероятностный анализ установившихся режимов электрических систем // Электричество, 1981, №4, С. 7-12.

52. Бартоломей П.И. и др. Повышение эффективности метода Ньютона при расчетах установившихся режимов больших электрических систем // Электричество, №8, С. 1-5.

53. Давыдов В.В., Липес А.В. Усовершенствование алгоритмов расчета установившегося режима энергосистемы // Электричество, 1988, № 6, С. 54-58.

54. Kraft L.A., Heydt G.T. Adaptive acceleration factors for the Newton-Raphson power flow study // Elec. Mach. And Power Syst., 1986, v 11, №4, P. 337-346.

55. Vemura K. Approximated Jacobians in Newton's power flow method // Proc/ 4-th PSCC, Grenoble, 1972, v.l, P.3/2.

56. Бартоломей П.И., Окуловский C.K. Итерационное решение систем линейных уравнений в электроэнергетических задачах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1982, №4, С. 19-27.

57. Ерохин П.М. Итерационные и интегральные методы расчета установившихся режимов электрической системы. — Дис. канд. техн. наук,-Свердловск, 1975.- 185с.

58. Ковшар Л.Г., Коробчук К.В., Цукерник Л.В. К вопросу об однозначности результатов и сходимости итерационного расчета установившегося электрического режима энергосистемы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1966, №4, С. 108-110.

59. Шелухин Н.Н. О связи между сходимостью итерационного решения уравнений стационарного режима энергосистемы и ее устойчивостью // Проблемы технической электродинамики, 1972, №36, С. 24-29.

60. Galiana F.D., Banakar R. Approximation formulae for dependent load flow variables // IEEE. PAS-100, 1981, №3, P. 1128-1137.

61. Баламешов А.Б., Мамедяров O.C. Расчет установившегося режима сложных электрических сетей методом Гаусса-Зейделя с вторичной коррекцией И Электричество, 1985, №10, С. 7-11.

62. Применение вычислительных методов в энергетике / Ю.Ф. Архинцев и др. Под ред. В.А. Веникова. М.: Энергия, 1980. - 216с.

63. Стот Р. Обзор методов расчета потокораспределения // ТИИЭР, 1974, Т.62, №7, С. 64-80.

64. Васин В.П. Методы глобального анализа режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1990, №5, С. 26-39.

65. Применение вычислительных методов в энергетике / Под ред. В.А. Веникова и Ю.Ф. Архинцева. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 136с.

66. Горушкин В.И., Латышева Т.С. Исследование статической устойчивости энергосистемы с помощью уравнений установившихся режимов // Электричество, 1969, №5, С. 79-81.

67. Паламарчук С.И. Сходимость линеаризованного разделенного алгоритма расчета потокораспределения // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1983, №2, С. 143-149.

68. Журавлев В.Г., Розенкранц Е.А. Расчет установившихся режимов электрических сетей методом агрегирования // Электричество, 1984, №9, С. 5052.

69. Войтов О.Н. и др. Методы и алгоритмы расчета установившихся режимов ЭЭС при дефиците активной и реактивной мощности // Сб. науч. Тр. ЭНИН. — Фрунзе, 1988, С. 21-32.

70. Конторович A.M., Шелухин Н.Н. Расчет режимов энергосистем при больших небалансах мощности и изменениях частоты // Электричество, 1982, №7, С. 1-6.

71. Арутюнян С.Г. К расчету установившихся режимов сложных энергосистем // Изв. Вузов Энергетика, 1981, №3, С. 12-16.

72. Гуревич В.Л. и др. Критерий существования установившихся режимов сложных электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1991, №2, С. 37-45.

73. Калюжный А.Х., Лукашев Э.С., Соколов Ю.В. Анализ установившихся режимов и апериодической устойчивости ЭЭС с учетом изменения частоты // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1977, №6, С. 70-76.

74. Рудницкий М.П., Красникова Т.Я., Павлова М.В. Анализ условий существования установившихся режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1990, №1, С. 98-104.

75. Горнштейн В.М. и др. Методы оптимизации режимов энергосистем, М.: Энергоиздат, 1981.-336с.

76. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. - 288с.

77. Bandler J.W., EI-Kady М.А. A new method for computerized solution of power flowequatrons //IEEE. PAS-101, 1982, №1, P. 1-9.

78. Андреюк B.A., Сказываева H.C. Метод расчета на ЭВМ установившихся режимов энергосистемы // Сб. научн. тр. НИИПТ. Л.: Энергия, 1980. С. 3-8.

79. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М.: Мир, 1979. - 536с.

80. Allam M.F. Fast exact state estimation algorithm based on quadratic equations using sparse matrix inversion // Elec. Power and Energy Syst., 1984, v.2, №2, P. 7982.

81. Воевода А.И., Воропай Н.И., Кроль A.M. и др. Восстановление электроэнергетических систем после крупных аварий // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1991, №1, С. 16-27.

82. Воропай Н.И. и др. Моделирование тяжелых послеаварийных режимов при исследовании живучести электроэнергетических систем // IX Всесоюзн. науч.-технич. Конф. По моделированию электроэнергетических систем. -Рига, 1987, С. 401-402.

83. Лисеев М.С., Шарафутдинов Х.Х. Метод расчета потокораспределения при имитации ремонтных и послеаварийных режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР Энергетика и транспорт, 1987, №4, С. 80-87.

84. Методы решения задач реального времени в электроэнергетике / А.З. Гамм, Ю.Н. Кучеров, С.И. Паламарчук и др. Новосибирск: Наука, 1990.- 294с.

85. Ekwue О.Е., Adams R.N. Algorithmic development of the second order load flow for real-time applications // Proc. 8-th PSCC, Helsinki, 1984, P. 724-731.

86. Karfka R.J., Fink L.L., Bain N.J., Grin H.G. An advanced dispatch simulator with advanced dispatch algorithm // IEEE/ Comput. Appl. Power, 1989, v2, №4, P. 30-35.

87. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. - 320с.

88. Анциферов Е.Г., Булатов В.П. Алгоритм симплексных погружений в выпуклом программировании // Журнал вычислит, математики и матем. Физики, 1987, Т.27, №3, С. 377-384.

89. Горнштейн В.М., Максимов Ю.А., ПетуховД.Г., Тимофеев В.А. Развитие методов расчета потокораспределения в электрической сети // Тр. ВНИИЭ, -М.: Энергия, 1971, №38, С. 39-50.

90. Тарасов В. И. Методы минимизации ньютоновского типа для расчета установившихся режимов электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 2001.- 168 с.

91. Габриелян P.M. Учет обусловленности матриц при расчете установившихся режимов электрических систем // Электричество, 1980, №5, С. 49-51.

92. Коробчук К.В., Цукерник JI.B. Итерационный метод расчета установившегося режима и собственных и взаимных сопротивлений при анализе статической устойчивости сложной энергосистемы // Проблемы технической электродинамики, 1972, №36, С. 15-23.

93. Rao P.S.N., Rao K.S.P., Nanda J. An exact fast load flow method including second order terms in rectanqular coordinates // IEEE. PAS-101, 1982, №9. P. 32613268.

94. Адонц Г.Т. Алгоритм расчета установившегося режима энергосистемы с учетом нелинейных характеристик генераторов и нагрузок // Электричество, 1970, №2, С. 11-14.

95. Адонц Г.Т. О сходимости итерации к единственному решению в расчетах установившихся режимов электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1971, №3, С. 45-49.

96. Стот Р. Обзор методов расчета потокораспределения // ТИИЭР, 1974, Т.62, №7, С. 64-80.

97. Дорофеев В.М. и др. Программа расчетов потерь электроэнергии в питающих и распределительных сетях // Всесоюзн. науч. конф. Снижение потерь в электроэнергетических системах. Баку, 1981, С. 199-201.

98. Тарасов В.И. О выборе исходного приближения и вида переменных при расчете установившихся режимов электрических систем / Ирк. полит, инст. — Иркутск, 1986. -27 с. Деп. В Информэнерго 09.06.86, №2193.

99. Васин *В.П. Структура области существования самоустанавливающегося режима ЭЭС в пространстве активных мощностей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1981, № 1, С. 6-18.

100. Гуревич B.JL, Тарасов В.И. Метод расчета установившихся режимов электроэнергетических систем в прямоугольных координатах // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт, 1987, №5, С. 50-60.

101. Фадеев Д. К., Фадеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. -Физматгиз, 1963.- 735 с.

102. Совалов С.А., Семенов В.А. Противоаварийное управление в энергосистемах. -М.: Энергоатомиздат, 1988. 416с.

103. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы. -Москва: Мир, 1982.

104. Карманов В. Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1986.-288 с.

105. Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983. - 384 с.

106. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969.

107. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. -М.: Наука, 1972. 232 с.

108. Парлетт Б. Симметричная проблема собственных значений. Численные методы. Москва: Мир, 1983. - 384 с.

109. Уилкинсон Дж. X. Алгебраическая проблема собственных значений. -Москва: Наука, 1970. 564 с.

110. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы // М.: Мир, 1997.

111. Электроэнергетические системы в примерах и иллюстрациях: Учеб. пособие для вузов / Ю. Н. Астахов, В. А. Веников, В. В. Ежков и др. / Под ргд. В. А. Веникова. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 504 с.

112. Гамм А.З., Колосок И. Н. Обнаружение грубых ошибок телеизмерений в электроэнергетических системах. Новосибирск: Наука, 2000. - 152 с.

113. Методическое пособие и сборник задач по теоретическим основам электротехники. Под ред. А. В. Баева. Челябинск: Челябинский политехнический институт им. Ленинского комсомола, 1972. - с.

114. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB: учебный курс. -Питер, 2000. 432 с.

115. A. Brooke, D. Kendrick, A. Meeraus GAMS. A user's guide. GAMS development corporation, 1996. 270 p.

116. Манзон Б. M. Maple V Power Edition. M.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1998. - 240 с.

117. Труды Иркутского политехнического института // Вопросы применения математических методов при управлении режимами и развитием электрических систем. Иркутск, 1971. 225 с.

118. Колесниченко Б. В., Петренко JI. И. Расчеты электрических сетей на программируемых микрокалькуляторах. Киев: Выща школа, 1988. - 207 с.

119. Савина Н. В., Мясоедов Ю. В., Дудченко JI.H. Электрические сети в примерах и расчетах: Учебное пособие. Благовещенск, Издательство АмГУ, 1999.-238 с.