автореферат диссертации по энергетике, 05.14.02, диссертация на тему:Приближенные методы качественного анализа устойчивости электроэнергетических систем

п рГ^АЛЬО^ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ- УНИВЕРСИТЕТ - УПИ

На правах рукописи

ШЕМПЕЛЕВ Вячеслав Анатольевич

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Специальность 05 Л4.02 - Электрические ст&

часть), сети, электроэнергетические су управление ими

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

и

Екатеринбург 1993

Работа выполнена на кафедре "Автоматизированные электрические системы" Уральского государственного технического университета - УПИ, г.Екатеринбург.

Научный .руководитель - кандидат технических наук, профессор

М.П.Рудницкий, г.Екатеринбург Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

Ведущее предприятие - Уралэнергосетьпроект, г.Екатеринбург

Защита диссертации состоится ' £ " 1994 г. в 144

15 мин на заседании специализированного совета К 063.14.04 в Уральском государственном техническом университете-УШ (главный учебный корпус, ауд. Э-406). *

Вш осзнв в одном экземпляре, заверенный гербовой печатью, просим направлять по адресу: 620002, г.Екатеринбург, К-2, ЛТУгЛШ, ученому секретарю совета, телефон 44-85-74.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан -1933 г.

Ученый се1фетарь

И.М.Серый, г.Екатеринбург; кандидат технических наук, доцент В.Н.Попов, г.Челябинск

специализированного доктор технических в

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность. Анализ нарушения устойчивости электроэнергетических систем ( ЭХ ) показывает, что значительная их часть могла бы бить предотвращена за счет выполнения более точных расчетов на этапе проектирования и настройки системной автоматики или за счет правильного ведения режима. Поэтому вопросы анализа устойчивости имеют важное значение в практике эксплуатации и проектирования энергосистем. Анализ устойчивости ЭЭС, выполняемый известными количественными методами, обычно требует значительного объема вычислений и обработки имеющейся информации. Использование качественных оценок устойчивости ЭЭС позволяет существенно упростить решение во — просов ее анализа. При этом актуальна разработка качественных методов анализа как статической устойчивости, так и динамической.

Современные электроэнергетические системы относятся к категории сложных систем и по мере их развития и увеличения степени автоматизации сложность систем увеличивается. Поэтому особо важным становится вопрос получения моделей электроэнергетических систем, достаточно адекватно огражавсих изучаемые процессы, но в то же время позволяющих использовать "быстродействующие" метода анализа.

Цель и задачи исследования. Целью работы является развитие качественных методов анализа устойчивости сложных ЭЭС, используемых на этапах проектирования и эксплуатации систем, выбора настройки автоматики, а также оценка точности приближенных критериев устойчивости.

Объект исследования. Электроэнергетические системы в их позиционной идеализации при учете асинхронных моментов.

Методы исследования, в работе используются теоретические

методы исследования, основанные на общей теории анализа устойчивости рехгагав ЭЭС при малых, и Оольеих возмущениях. При этом применяются методы математического моделирования, линейной к матричной алгебры. Для подтверждения теоретических выводов использованы методы математического эксперимента, выполняемого с помощью ПЭВМ.

Научная новизна!

- подучена математическая модель, приближенно учитывающая асинхронную составляющую мощности' генераторов к пригодная для анализа возможности колебательного нарушения устойчивости;

- предложен новый критерий статической устойчивости, позволяющий приближенно ан&тизирозать возможность как апериодического, так и колебательного нарушения устойчивости;

- построены приближенные границы областей статической устойчивости ( ОСУ ) и существования статически устойчивы ре-аямов ( ОССУ? ) для трехмазиннкх эквивалентов сложных электроэнергетических систем;

- разработана консервативная модель позиционной система ЭЭС, которая позволяет ввести "хорошую" функцию Ляпунова ирг качественном исследовании динамики энергосистем.

' Практическая ценность и реализация результатов работы Разработана методика приближенного анализа статической устойчивости установившихся релямов, которая позволяет на этапа? проектирования схем развития электроэнергетических систем со-доставить различные варианты схем по условиям устойчивости. Получаемые для трехмашинных эквивалентов приближенные ОСУ 1 ОССУТ., гарантирукдие статическую устойчивость, пригодны для целей проектирования противоазарпйнсй автоматики.

Качественный анализ динамической устойчивости при проектировании ЭЭС позволяет значительно сократить-объем'вычислена

[ время, затрачиваемое на обработку полученных результатов, а ■акже перспективен для использования в реальном масатабе вре-lem. Предложенные методики реализованы в опытно-эксперимен-•альных программах.

Апробация работы. Основные положения диссертационной ра-оты докладывались и обсуждались на следущих конференциях: сесоюзнсм семинаре "Кибернетика электроэнергетических систем" Челябинск, 1990); X научной конференции "Моделирование элект-аэнергетических систем" (Каунас,1991); Республиканской науч-о-техническсй конференции "Автоматизация проектирования в лэктроэнергетике и электротехнике" (Иваново, 1991).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы грэжено в 5 печатных работах.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, че- ' ¿рех глаз, заключения, списка использованной литературы ( 147 эименозаний ), содержит 19 рисунков, 5 таблиц и 2 приложе-1я. Общий объем диссертационной работы составляет 150 страниц зеинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ '

Зо введении изложена общая характеристика диссертационной iCoth: показана ее актуальность, отражена научная новизна и >актическая ценность, описана структура работы.

В первой главе дан краткий обзор математических моделей, пользуемых для анализа. статической устойчивости режимов :ектроэнергетических систем. Отмечено, что позиционная модель демпфированием наиболее приемлема для целей исследований этической устойчивости сложных систем, т.к. ее использование сравнению с обычной позиционной моделью позволяет значи-льно расширить возможности анализа устойчивости электроэнер-

Б

готических систем, получить результата, точнее отражащке процессы, происходящие в реальных ЭЭС.

Представлен обзор основных методов исследования статической устойчивости режимов электроэнергетических систем, определения параметров предельных режимов, построения областей статической устойчивости и областей существования установившихся рекимов. Отмечено, что существующие методы анализа статической устойчивости простейших моделей не позволяют судить о колебательном нарушении устойчивости. Указаны преимущества и недостатки различных методов анализа статической устойчивости.

Для анализа динамической устойчивости предлагается использование качественных методов, в частности.метода функций Ляпунова ( ММ ). Подчеркивается, что последний имеет ряд преимуществ по сравнению с численными методам, ко не нааел ппро-кого применения из-за недостаточной разработки моделей электроэнергетических сг.стеи. Рассмотрены некоторые аспекты применения данного метода.

Во второй главе предлагается для анализа статической устойчивости использовать приближенную методам, в основе которой лэгкт 'оценка характера исходных матриц характеристического уравнения, записываемого для систем уравнений малых колебаний. Данная методика позволяет анализировать ка-: апериодический, так и колебательный характер протекания переходных процессов при малых возмущениях и дзет возможность не только проверить устойчивость конкретного регкма ЗЭС, но и подучить условия, поззодяхше вывести общие закономерности дяя целого класса режимов.

В качестве исходной математической модели используется позиционная модель с" приближенным учетом электромагнитных переходных процессов в роторных контурах за счет введения демп-

верных коэффициентов. В отом случае система уравнений движения роторов синхронных машин имеет вид: с1гС.

'де

Р?{, РГ{, РД{ - соответственно инэрцио!шая постоянная :инхронного агрегата, мощность приводного.механизма, синхронная [ асиисронная составляющие мощности I- Я синхронной машины;

б{ - угловая переменная, характеризупцая положение ротора, тноситольно вектора ЭДС (п+1) синхронной кашши ( х +1=

Синхронная мощность является функцией, зависящей только т значений углов роторов всех п+1 мзшш и определяется по ормуле

п*1 _

РС( = яиз!п а{1 + ^ 1=1 1т"'' (2)

Ц9

Ег.уп . = Ej.Ej.7jj.

Асинхронная мощность при скоростях,близка к синхронной, иадт Сыть получена как величина, пропорциональная скорости эащпния ротора - первой производной от угла "по времени:

г- Г й в»

J=■^

1=1,п . (3)

В работе для получения элементов матрицы демпферных эффициентов 0 используется методика, в основе которой лежат едущие соображения. При вычислении асинхронной мощности й СМ остальная система, рассматриваемая относительно выводов ой машины, замещается эквивалентной ЭДС; Ёе1= Ед'с

с эквивалентным углом

0ei= arctg ( ВЦ / е;{> . (4).

скоростью вращения шв{ и полным сопротивлением Ze{. В этом случае представляется возможным скорость эквивалентной синхронной машины выразить через скорости синхронных машин в

ИСХОДНОЙ СМСТ8МЭ

Коэффициенты, учитывающие долю составляющих в эквивалентной скорости будут являться коэффициентам;: демпфирования, которые находятся как:

dtr-C03 ( V eij-cet> • <6>

Величины, используемые в зыразганиях (4)-(б), определяется по следующим формулам:

E*tEJ€C0S<V • еи= Vtj - <?« '

ЕеГ ¿tBJ<Sl*<0J+ GtJ> ' l-^iA/j »

—®i = cos(3 +e ,-0 ) . .US. E, J u et .

J e<

Ноэф5тиенгы, получаемые ш формулам (б), давт результаты, достаточно приемлемые с точки зрения практики.

£ля рассматриваемой модели анализ статической устойчивости выполняется методом малых колебаний. Разложение правых частей уравнения (1) в ряд Тейлора приводит к получению мат-

ричного уравнения вида.

т + о + С ЛО = 0 , (7)

с1 г2 а г

где Т - диагональная матрица инерционных постоянных с элементами Т4{= 1=1,п );

В - матрица демпферных коэффициентов; С - матрица синхронизируксих мощностей с элементами вычисляемыми б малой окрестности исследуемого положения равновесия. 2

да, -54® - векторы-столеца приращений углов и га.

&х йхг ■ ,

производных.

Уравнение (7) является системой линейных дифференциальных уравнений, для решения которой необходимо нахождение корней характеристического уравнения

г

IX + Б Я + С

= 0 (8)

1

или равнения

ао * а^2*1-1 + __ + агп-Л * &гл ~ ® • <9>

что для систем сколько-нибудь большой размерности (уже при п=5) практически сложно. Более разумно для оценки характера решений АОг(г) использовать качественные характеристики матриц Т, Б, С, что дает возможность не только проверить . устойчивость конкретного режима ЭЭС, но и получить условия, позволяющие вывести обсиэ закономерности для 9 лого класса режимов.

Известно, что уравнение идап'

XX2 + УЛ. + г

= О, ' (10)

где X, У, Ъ - квадратные матрицы,' не имеет корней с положи тельной вещественной частью, если матрицы X, У, Ъ являются не отрицательными и, кроме того, либо матрица X, либо матрица являются полокительно определенными. В этом случае исследуемо положение равновесия будет признано устойчивым.

Матрица Т - диагональная матрица с положительными элемен тами является заведомо симметричной и полокительно определен ной, т.е. полностью соответствует формулировке теоремы. Матри ца демпферных коэффициентов Б и матрица синхронизирующих мощ ностей С в общем случае несимметричны. Для того, чтобы услови теоремы полностью выполнялось, в работе предлагается перейти о несимметричных матриц Б и С к их симметричным составляющим Б и Сз. Симметризацию матрицы мокно выполнить с помощью разложе шя ее на симметричную и кососимметричную, приче! .Б1=0.5»(А +■ Ат) является симметричной, а Б2=0.5«(А - к7) кососимметричной матрицей.

В результате замены матриц Б и С на их симметричны^ составляющие Га и Св. уравнение (8) переходит в приближенно'

Г \ + Б к + С

В - 8

Таким образом, вмес-э оценки исходных несимметричных мат риц Б и С приближенная методика анализа устойчивости лрь5Дй<!5< гает использование симметричных матриц Бз и Са, характер которых определяет устойчивость (и неустойчивость ) полохени. равновесия исходной модели.

Анализ матрицы демпферных коэффициентов и расчеты дои ряда схем ЭЭС показывают, что для принятой модели матриц; демпферных коэффициентов 1ак_®е,как и ее симметричная составляющая это всегда положительно определенные матрицы.

= 0 . (11)

1

п

Кеслчлотрия матрицы С определяется наличием углов а^, которые могут характеризовать степень неконсервативноста си -стемы. Для консервативной системы, когда все 0, шеем

с -с . т.е. матрица С полюстью симметрична и удовлетворяет условиям теоремы. Очевидно, что чем Соло о неконсорвативна си -стема ■ ( больше а^ ), тем более несимметрична матрица С и тем больше отличие исходной матрицы С от ее симметричной составляющей Са.

Проведенные расчеты позволяют утверадать, что реальные энергосистемы при правильном построении позиционной модели дают параметры эквивалента, близкие к консервативным.

Допустимость применения для анализа статической устойчивости матрицы Сз может Сыть проверена по ряду критериев, основным из которых является степень близости границ областей устойчивости и существования устойчивых режимов ЗХ, получаемых по точному и приближенному критерию. Под областью существования статически устойчивых режимов понимается область, в пределах которой существует хотя бы один устойчивый режим ( положение равновесия ).

Наиболее просто задача исследования статической устойчивости решается для так называемой трехмашинной системы, когда две синхронные машины работают совместно с шинами бесконечной мощности. При анализе устойчивости сложную систему, содержащую большое количество синхронных машин, путем эквиваленти-рования всегда можно привести к виду трехмашинной системы, где две оставшиеся синхронные машины представлены эквивалентными параметрами и схема задается некоторыми эквивалентными взаимными и собственными гтроводикостями. Такой подход, с одной стороны, значительно упрощает задачу построения области статической устойчивости, облегчает понимание структуры и особен-

ностей ОСУ, с другой стороны, вполне применим для широкого круга задач, связанных с выбором и настройкой противоаварийной автоматики.

Для случая, когда не учитываются асинхронные составляющие

мощностей ( матрица демпферных коэффициентов симметричная . к

положительно-определенная), необходимым условием устойчивости

установившегося режима трехмашинной системы является требование выполнения неравенств:

г

Ь, > 0 , Ъг> О . Ь3= Ь, - 4Ьг > О , (12)

где Ъ, = ^ ♦ ,

1 Ч 2

ъ - с11сгг~ с12сг1

и

"с 1 1 2 ^

При этом корни характеристического уравнения (8), записанного для п=3, будут с. :то книшл.и, что соответствует незатухающим колебательным изменениям параметров режима. Последний случай рассматривается как критический, гребущий дополнительного анализа. Однакодля позиционной модели эх. не учитыва-• щей демпфирование, исследуемое положение равновесия должно быть, признано устойчивым, т.к. в реальных условиях при рассеянии энергии ( наличии демпфирования ) колебания будут затухать. При невыполнении какого-либо из условий (12) хотя бы один из корней. X. будет иметь«пологительную вещественную часть, т.е. будет определять статически неустойчивый режим.

Коэффициенты Ъ,,Ь2, ь3 непрерывно зависят от параметров установившегося рекимэ - углов Ст иОг. Поэтому цред-ставляется возможным в пространстве углов Дг построить непрерывные кривые"ь{(01 ,0г )=0 ({=1,3), ограничивающие области с различными по знаку значениями критериев Пересечение

областей, в пределах которых все коэффициенты Ь{ положительны, определяет в пространстве углов С1 и 0г область статической устойчивости.

Отображение кривых Ь{=0 (1=1,3) и области статической устойчивости из пространства &г в пространство узловых мощностей Р£ позволяет получить в последнем соответственно гаков же кривые к область существования статически устойчивых режимов.

Для характеристического уравнения (11) матрица ТиВ заведомо скмме тричкь'9 положительно определенные матрицы. Таким образом, для того,чтобы уравнение (11) не имело корней с положительной вещественной частью, достаточно,чтобы симметричная составляющая матрицы С была неотрицательно определенной.

Симметричная составляющая матрицы С имеет вид:

св =

СП С12 »

С21 С22

(13)

где

С, 2 = С21=Н112С0В(01- 0г)С08 а12 .

Для того, чтобы симметричная' матрица Сд била неотрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее собственные значения, рассчитываемые пз уравнения

Р2 ' (сп + сггЪ * (спсгг " с«сг1> = 0 • (14)

не были отрицательными, что возможно при выполнении условия

<СП+ сгг) > (С„-. сгг)г ♦ . (15)

Кривая

М = ( с11+ Сгг) - / (с,,- сг2)г ♦ 4С;2С^ « О (16)

является границей приближенной области устойчивости.

Отобразите кривой Ы » О в пространство мокнсстей дает в последнем приближенную область существования статически устойчивых режимов.

Для сложных систем представляется возможным построить сечения многомерной приближенной области статической устойчивости и сравнить их с точными.

Результаты сравнения областей, получаемых по точным и приближенным критериям, позволяют утверждать, что в широком диапазоне величин углов а^ границы точных и приближенных областей близки ( рис.1,2 ), что делает применение приближенных критериев вполне оправданным и разумным. При этом использование приближенных границ для описания ОСУ и ОССУР при меньших временных затратах дает практически аналогичный результат. Необходимо отметить, что ОССУР является односвязной областью, не содержащей областей, в пределах которых не существует установившихся режимов, что устраняет все связанные с этим недостатки.

В третьей главе рассматривается метод функций Ляпунова, е соответствии с которым исследование синхронной динамической устойчивости ЭЭС основано на анализе устойчивости установившегося движения системы в послеаварийном режима по отношению I начальным возмущениям и позволяет судить об устойчивости ил; неустойчивости динамического перехода без нахождения траектории возмущенного движения, - т.е. без определения решений соответствующее дифференциальных уравнений.

Задача качественного исследования синхронной динашческо! устойчивости ЭЗС с помощью метода функций Ляпунова сводится 1 решению следующих основных задач:

- построение математической модели;

- подбор функции Ляпунова;

град- ■ио .10

/ 1 т.

•по / •90 0 90/

/ /у /г

•ао-

а)

ее

1- ? : -

Ч I ° ' Рисе.

-/ -

____■ _______ 0

Рис.1. ОСУ (а), и ОССУР (б) трехмашииной системы ( — точная и - - приближенная границы )

¿гэ Ьрй __*-

я /"* 90- \ к

-30 ■ !

-90

Рис.2. Сечение многомерной области устойчивости

( — приближенная граница, " - точки, принадлежала точной области устойчивости ).

- определение координат устойчивого положения равновеси. системы в гослеаварийном режиме, и начального значения функции Ляпунова ^ в точке перехода на послеаварийную характеристику

- нахождение координат неустойчивого;положения равновеси. системы4 и граничного ( критического ) значения функции Ляпуно ва Мгр ( Чкр );

- сопоставление начального и граничного значения энергий Для того, чтобы ответить на вопрос: устойчив или неустойчи динамический переход, необходимо проверить условие Ун<Укр^ За

изюние этого неравенства позволяет квалиф:щировать переход |К устойчивый.

Как известно, "хорошую" функция Ляпунова можно построить [я системы в консервативной идеализации, где под "хорошей" ¡ычно понимают такую функцию V, которая наиболее полно ап-юксимирует реальную область устойчивости системы. Для консер-тизной модели электроэнергетической системы задача анализа :тойчивости конкретного динамического перехода решается на иовании общих закономерностей,вытекащих из качественной тео-и анализа динамической устойчивости.

При этом функция Ляпунова для сложной электроэнергети-ской системы вводится как полная энергия' V системы в консер-1Тивной идеализации

V = К + А, (17).

;е

п

К - кинетическая и А - потенциальная энергии

<=1

:стемы.

Но, как известно, консервативная модель неточно отражает ойства реальных ЭЭС, з то время как позиционная модель язля-'ся более близкой по своим свойствам к реальной. При этсм 'жно получить "хорсзую" функцию для консервативной модели, по а будет давать плохие результаты для позиционной модели.

В работе предлагается подход, который позволяет построить нсерзативную модель и функцию Ляпунова, давдие результаты ализа динамической устойчивости, более близкие к реальным.

В основе методики лежит теория разделения неконсерватив-х позиционных с:!л на потенциальную и неконсерватизнуи ставляицие, согласно которой любую непрерывную вместе со юими производными первого порядка силу зависящую толь-

ко от положения системы, можно разложить на ■ потенциальную и неконсервативную составляющие

0(£)=-£га<1 А + (18)

где - А - консервативная ( или потенциальная ) сила; Н(8) - неконсервативная позиционная сила. При решении задач анализа синхронной динамической устойчивости в качестве обобщенной силы выступает вектор ЛР , координатами которого являются небалансы мощностей на валах

синхронных мэши1.

Э _

ЛР,- Р, 1=1 .п. (19)

лч

где Р*= Рг<- Чи.а1п аС|.

_Разложение-(18)-позволяет-для-либой-нвконсервативной"саш

выделить ее потенциальную составляющую и найти потенциальную энергию системы.

Для позиционной модели, в которой обобщенная сила не является консервативной, потенциальная энергия рассчитывается как

п

А = С,-ДР,(С,Сп.СгСп.....вя>] <»„. (20) .

где постоянные С, равны; С,= 8,/0п . 1=1,п.

После подстановки в (20) величин ЛР из (19) и выполне-

тая интегрирования находится значение потенциальной энергии

V5 ( э ^

ТЛ (21)

^ 8 Л = ¿.Ч«,п+1С08(вга.,я+1) -

1=1 1=1

П Г п }

- I I [ ^С03(вГ^>Ч»(ве+ б',з1п(0Г V] '

J>i

где Ч'и^сова1,, Ч^Ч^Ш .

Без учета нековсерзативной составляющей обобщенной силы в разложении (18) уравнения движения роторов синхронных машин запишутся з виде:

= " Го = Е

- q^.[25_,sln(Q<- 0,)/(Вг С^)2-(5(+5_/)соз(бгб^)/(0{-«^)] ,(22)

£=1,п.

Уравнения (22) являются ■ уравнениями новой приближенной консервативной модели позиционной системы. Функция Ляпунова для . такой модели также определяется кзк с ужа кинетической и потенциальной энергий V = К + Л, где потенциальная энергия рассчитывается по формуле (21) и непрерывка всюду в пространстве Д,, а качественное исследование устойчивости выполняется традиционным образом.

Преимущества предложенной консервативной модели для позиционной системы продемонстрированы на примере трехмашинной системы.

Для анализа динамической устойчивости рассматривался динамический переход, состоящий из короткого замыкания в одной

п

из точек системы, последующей его ликвидации и перехода к послеаварийной схеме. Сопоставлялись результаты анализа устойчивости динамического перехода, полученные численным интегрированием на заданном интервале времени уравнений движения роторов синхронных машин, записанных для позиционной модели системы,и качественного анализа для приближенных консервативных моделей ( традиционной и предложенной ) по соотношению Vh < ,VKp.

На рис.3 построены зависимости Vrp=const для традиционной консервативной модели (кривая 1 ) и предлагаемой ( кривая 2), а в таблице приведены расчеты динамических переходов при различном времени аварийного возмущения.

Анализ результатов позволяет утверждать, что предложенная методика обладает очевидными преимуществами перед классическим подходом к построению консервативной модели и функции Ляпунова : -области —динамической -устойчивости -увеличиваются,—условия-устойчивости динамического перехода оказываются более близкими к необходимым.

В четвертой главе описаны программы, используемые для проверки. теоретических результатов, полученных з работе, которые позволяют:

- выполнять расчет положений равновесия трехмзиинных систем;

- строить точные и приближенные ОСУ и ОССУР для трехмзшинных'эквивалентов сложных систем;

- получать сечения многомерных ОСУ;

- проводить анализ устойчивости динамических переходов методами численного интегрирования и функций Ляпунова с получением приближенных, границ областей динамической устойчивости. Приведены алгоритмы и отмечены некоторые особенности используемых программ. Программы написаны на языке Си и реализованы для ПЭВМ IBM РС-АТ.

Рис.3. Области динамической устойчивости ЭЭС при различных способах построения консервативной модели

Результаты анализа динамической устойчивости

града Ун сгонная Угр "Нов Ун 2Я " 7гр Интегрирование

0.15 410 659 427 1178 Устойчив

0.2 810 669 877 1178 Устойчив

0.22 1011 669 1114 1173 Устойчив

0.23 1117 669 1244 1178 Неустойчив ____

22

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Предложен метод вычисления элементов матрицы демпфе{ ных коэффациетов, позволяющий приближенно учесть асинхроннь составляющие.мощностей синхронных машин при анализе ста-п ческой устойчивости и анализировать возможность как апериод ческого, так и колебательного нарушения устойчивости. Получа« мая при этом матрица является положительно определенной.

2. Получен новый критерий статической устойчивости, осн< ванный на использовании в качестве оценки исходных несимме' ричных матриц демпферных коэффициентов 3 и синхронизируют мощностей С их симметричными составляющими Бз и Сз. характ которых определяет устойчивость (или неустойчивость) положен равновесия исходной модели. Приведенный в работе критерий по воляэт приближенно анализировать возможность как апериод ческого, так и колебательного нарушения устойчивост Выполненные расчеты показывает, что отличие точных приближенных границ областей устойчивости и существования д реальных систем не превышает 52.

3. Описан метод построения приближенных границ облай статической устойчивости и существования статически устойчш режимов для трехмашинных эквивалентов сложных электроэнергет ческих систем, пригодных для целей проектирования автоматик;

4. Для позиционных систем предложенная консервативная > дель позволяет получить более "точную" функцию Ляпунова, ощ ки по которой ближе к необходимым, чем при традиционном построении. Это приводит к увеличению области динамичес] устойчивости и позволяет квалифицировать некоторые дина] чвские переходы как устойчивые ( каковыми они и являются ), Т> время как классический подход определял их как неустой

вые. Т.а. применение новой функции Ляпунова при всех преимуществах качественна методов анализа динамики дает результат более близкий к численному интегрированию, чем ранее используе-мт метода.

5. Созданы программные реализации предложенных методик.

Основные положения диссертации изложены в следующих работах:

f.Рудницкий Ы.П., Киселева И.П., Шемпелев В.А. Анализ ди-наш-ческой устойчивости электроэнергетических систем при автоматизированном проектировании . // Тезисы докладов Всесоюзного семинара "Кибернетика электроэнергетических систем". Челябинск: ЧТИ, 1990. С.116-117.

2.Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. Области существования статически устойчивых режимов простейших моделей электроэнергетических систем / УПИ. Свердловск, 1991. 17 с. Деп. в Ин-формэнерго, 29.ОТ.91. N 3308-3H91.

3.Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. Принципы построения консервативных моделей в задачах*, качественного исследования динамики электроэнергетических систем / УГТУ-УШ1. Екатеринбург, 1993. 15 с. Деп. в Информэнерго. 18.10.93. Н 3395-эн93.

4.Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. функциональное подобие простейших моделей электроэнергетических систем // Тезисы докладов X научной конференции "Моделирование электрических систем". Каунас: ЮТНЭ, 1991. С.48-49.

б.РудаицкиЗ и.П., Шемпелев В.А., Киселева И.П. Программа реализации методов расчета динамической устойчивости на ПЭВМ для автоматизированного проектирования ЭЭС // Тезисы докладов республиканской научно-технической конференции "Автоматизация проектирования в электроэнергетике и электротехнике". Иваново: ИЭИ, 1991. С. 49-50.

Подписало в печать 21.12.93 Формат 60x84 I/I6

бумага Шюская печать Усл.п.д. 1,39

Уч.-изд,я. 1,09 Тира* ICO Заказ 755 Бесплатно

Радавдионно-и здагвласкай отдел УПУ-УШ 620002, Екатеринбург, УГТУ-УШ, 8-й учебный корпус. Ротапринт УГТУ-УШ. 620002, Екатеринбург, УПУ-УШ, 8-й уч.к

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОСНОВЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Модели электроэнергетических систем, используемые для анализа устойчивости.

1.1.1. Понятие модели.

1.1.2. Требования, предъявляемые к моделям и направления их развития .!.-.

1.1.3. Полные математические модели основных элементов электроэнергетических систем

1.1.4. Упрощенные математические модели ЭЭС.

1.2. Анализ статической устойчивости электроэнергетических систем.

1.2.1. Общие положения анализа статической устойчивости

1.2.2. Критерии статической устойчивости установившихся режимов ЭЭС.

1.2.3. Определение параметров предельных по статической устойчивости режимов

1.2.4. Определение границ ОСУ и ОСУР.

1.3. Анализ устойчивости динамических переходов в ЭЭС

1.4. Выводы

2. АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМОВ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С УЧЕТОМ ДЕМПФИРОВАНИЯ

2.1. Математическая модель электроэнергетической системы, используемая для анализа статической устойчивости

2.2. Определение элементов матрицы демпферных коэффициентов

2.2.1. Физика демпфирования.

2.2.2. Расчет демпферных коэффициентов в простейшей системе

2.2.3. Определение элементов матрицы демпферных коэффициентов

2.3. Критерий статической устойчивости установившихся режимов сложных электроэнергетических систем

2.3.1. Расчет параметров установившихся режимов

2.3.2. Анализ статической устойчивости положений равновесия

2.4. Построение областей устойчивости и областей существования

2.5. Анализ областей устойчивости и существования установившихся режимов трехмашинных эквивалентов сложных электроэнергетических систем

2.5.1. Анализ областей устойчивости и существования установившихся режимов позиционной модели ЭЭС

2.5.2. Приближенный анализ областей устойчивости и существования устойчивых режимов позиционной модели

ЭОС с учетом демпфирования

2.6. Анализ результатов, получаемых по приближенной методике оценки статической устойчивости применительно к сложным системам

2.Т. Выводы.

3. КАЧЕСТВЕННЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДОВ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

3.1. Элементы общей теории исследования динамической устойчивости ЭЭС по методу функций Ляпунова

3.2. Построение уточненной консервативной модели сложных позиционных ЭЭС и вычисление значение функции Ляпунова

3.2.1. Традиционный метод построения консервативных моделей позиционных систем

3.2.2. Общие положения разделения сил на составляющие

3.2.3. Использование общей теории разделения сил применительно к анализу динамической устойчивости ЭЭО

3.2.4. Анализ устойчивости динамических переходов трехмашинных систем.

3.3. Выводы

4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОГРАММЫ АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ

ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

4.1. Определение и анализ положений равновесия трехмашин-ных систем

4.2. Построение границ областей устойчивости и областей существования трехмашинных ЭЭС.',.

4.3. Построение сечений многомерных областей статической устойчивости.

4.4. Анализ динамической устойчивости трехмашинных систем

4.5. Приближенное определение шунта несимметричного короткого замыкания.

4.6. Выводы

Электроэнергетические системы ( ЭЭС ) обеспечивают своим нормальным функционированием работу промышленности, транспорта, быта населения - всю жизнедеятельность страны. Одним из главных требований, предъявляемых к ЭЭС, является надежность в снабжении потребителей электроэнергией, основным условием которой является устойчивость их работы. Однако по мере объединения электростанций и энергосистем на параллельную работу, создания крупных по мощности и охватывающих большую территорию энергообъединений увеличивается опасность нарушения устойчивости. Тем не менее рациональное проектирование, оптимизация схем и режимов эксплуатации, надлежащий выбор системной автоматики и ее уставок позволяет обеспечить нормальную работу та-^ ких систем.

Исследование устойчивости электроэнергетических систем является одной из основных задач, решаемых при проектировании ЭЭС, выборе и оперативном ведении режимов, конструировании и эксплуатации устройств системной автоматики. При этом по мере усложнения ЭЭС существенно усложняется и анализ их устойчивости и появляется необходимость в разработке новых его методов.

Актуальность. Анализ нарушений устойчивости электроэнергетических систем показывает, что значительная их часть могла бы быть предотвращена за счет выполнения более точных расчетов устойчивости на этапе проектирования и настройки системной автоматики или за счет правильного ведения режима. Поэтому воп-» росы анализа устойчивости имеют важное значение в практике эксплуатации и проектирования электроэнергетических систем. у Анализ устойчивости ЭЭС, выполняемый известными количественны7 ф ф ми методами, обычно требует значительного объема вычислений и обработки имеющейся информации. Использование качественных оценок устойчивости ЭЭС позволяет существенно упростить решение вопросов ее анализа. При этом актуальна разработка качественных методов анализа как статической устойчивости ( апериодической и колебательной ), так и динамической.

Современные электроэнергетические системы относятся к категории больших систем и по мере их развития и увеличения степени автоматизации сложность систем увеличивается. Поэтому особо важным становится вопрос получения моделей электроэнергетических систем, достаточно адекватно отражающих изучаемые процессы, но в тоже время позволяющих использовать "быстродействующие" методы анализа.

Цель и задачи исследования. Целью работы является разви-< тие качественных методов анализа устойчивости сложных ЭЭС, пригодных для планирования, оперативного управления режимами систем и для настройки автоматики, а также оценка точности приближенных критериев устойчивости.

Объект исследования. Электроэнергетическая система, как объект исследования, является сложной системой кибернетического типа / 11, 12 /.

Для сложных систем характерны четыре главных свойства:

- целостность - все части системы служат одной главной цели и должны рассматриваться в единстве;

- многосвязность - меаду параметрами существует большое число различных связей, обычно значительно превосходящее число самих параметров, и, при этом изменение одного'какого-либо параметра, как правило, сказывается на состоянии многих других;

- эмерджентность - наличие у системы свойств, которых нет V у составляющих ее элементов;

- динамичность - заметны наблюдателю и существенны для решаемой задачи изменения значений и состава параметров и характеристик системы на обозримом интервале времени.

Помимо общих свойств ЭЭС характеризуется рядом специфических технологических особенностей:

- управление режимами в ней должно обеспечить управление совокупностью процессов, длительность которых весьма различна ( от долей секунд для электромеханических переходных процессов, до десятков минут при плановом изменении нагрузки );

- описание всех процессов, происходящих в ЭЭС, при помощи общей математической модели, в принципе, возможно, но это потребовало бы обработки огромного объема информации и возникли бы значительные трудности с использованием созданной модели в виду ее сложности.

4 Последнее обстоятельство приводит к необходимости математического моделирования не всего непрерывного процесса развития и функционирования ЭЭС, а отдельных взаимосвязанных временных этапов ( разработки, реализации и эксплуатации ). На каждом выделенном этапе решаются определенные вопросы, связанные с анализом состояний ЭЭС, и строятся различные математические модели для решения разнообразных задач /43 ,125 /.

Вопросам исследования устойчивости уделяется значительное внимание как в процессе проектирования схем развития, так и при эксплуатации ЭЭС. •

Научная новизна.

- предложен новый критерий статической устойчивости, позволяющий приближенно анализировать возможность как апериодического, так и колебательного нарушения устойчивости;

- с использованием этого критерия построены приближенные границы областей статической устойчивости ( ОСУ ) и существования статически устойчивых режимов ( ОССУР ) для трехмашинных щ эквивалентов сложных электроэнергетических систем;

- разработана консервативная модель позиционной модели ЭЭС, которая позволяет ввести "хорошую" функцию Ляпунова при качественном исследовании динамики энергосистем.

Практическая ценность и реализация результатов работы. Разработана методика приближенного анализа статической устойчивости установившихся режимов, которая позволяет на этапах проектирования схем развития электроэнергетических систем сопоставить различные варианты схем по условиям устойчивости. Получаемые для трехмашинных эквивалентов приближенные ОСУ и ОССУР, гарантирующие статическую устойчивость, пригодны для целей проектирования противоаварийной автоматики.

Качественный анализ динамической устойчивости при проектировании ЭЭС позволяет значительно сократить объем вычислений и время, затрачиваемое на обработку полученных результатов, а также перспективен для использования в реальном масштабе времени. Предложенные методики реализованы в опытно-экспериментальных программах.

Апробация работы. Основные положения диссертиционной работы доютдывались и обсуждались на следующих конференциях: Всесоюзный семинар "Кибернетика электроэнергетических систем" (Челябинск, 1990); X научная конференция "Моделирование электроэнергетических систем" (Каунас,1991); Республиканская научно-техническая конференция "Автоматизация проектирования в электроэнергетике и электротехнике" ( Иваново, 1991 ).

Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 5 печатных работах / 114,118,119,120,121 /.

Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка использованной литературы ( 147 наименования ). Содержит 19 рисунков, 5 таблиц и 2 приложения. Общий объем диссертационной работы составляет 159 страниц машинописного текста.

В первой главе "Основы анализа устойчивости электроэнергетических систем" дан краткий обзор математических моделей, используемых для анализа статической устойчивости режимов электроэнергетических систем. Отмечено, что позиционная модель с демпфированием наиболее приемлема для целей исследовании статической устойчивости сложных систем, т.к. ее использование по сравнению с обычной позиционной ^моделью позволяет значительно расширить возможности анализа устойчивости электроэнергетических систем, получить результаты, точнее отражающие процессы, происходящие в реальных ЭЭС.

Представлен обзор основных методов исследования статической устойчивости режимов электроэнергетических систем, определения параметров предельных режимов, построения областей статической устойчивости и областей существования установившихся режимов. Отмечено, что существующие методы анализа статической устойчивости простейших моделей, не позволяют судить о колебательном нарушении устойчивости. Указаны преимущества и недостатки различных методов анализа статической устойчивости.

Для анализа динамической устойчивости предлагается использование качественных методов, в частности метода функций Ляпунова ( ММ ). Подчеркивается, что последний имеет ряд преимуществ по сравнению с численными методами, но не нашел широкого применения из-за недостаточной разработки необходимых моделей электроэнергетических систем и • трудностей программной реализации. Рассмотрены некоторые аспекты применения данного метода.

Во второй главе "Анализ статической устойчивости установившихся режимов электроэнергетических систем с учетом демпфирования" предлагается для анализа статической устойчивости использовать приближенную методику, в основе которой лежит оценка характера исходных матриц характеристического уравнения, записываемого для системы уравнений малых колебаний. Данная методика позволяет анализировать как апериодический, так и колебательный характер протекания переходных процессов при малых возмущениях и дает возможность не только проверить устойчивость конкретного режима ЭЭС, но и получить условия, позволяющие вывести обще закономерности для целого класса режимов.

В третьей главе "Качественный анализ динамических переходов электроэнергетических систем" рассмотрены этапы исследования динамической устойчивости электроэнергетических систем методом функций Ляпунова. При этом сделан краткий обзор методов построения математических моделей, используемых для качественного анализа, способов получения различных функций Ляпунова и отыскания критериальной седловой точки.

Предложена консервативная модель позиционной системы, которая позволяет построить функцию Ляпунова, дающую результаты качественного анализа более близкие к необходимым, чем рассмотренные методы. Теоретические выкладки, полученные для многомашинной системы, применены для расчета трехмашинной ЭЭС.

В четвертой главе "Экспериментальные программы анализа устойчивости электроэнергетических систем" описаны программы, используемые для проверки теоретических результатов, полученных в работе. Приведены алгоритмы и отмечены некоторые особенности используемых программ.

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору М.П.Рудницкому за общее руководство работой.

4.6. Выводы

Предложенные программы, используемые для проверки теоретических результатов, полученных в работе, позволяют:

- выполнять расчет положений равновесия при анализе статической устойчивости установившегося режима и динамической устойчивости методом функций Ляпунова;

- строить точные и приближенные области статической устойчивости и существования статически устойчивых режимов для трехмашинных эквивалентов сложных ЭЭС;

- получать сечения многомерной области статической устойчивости сложных ЭЭС;

- проводить анализ устойчивости динамических переходов методами численного интегрирования и функций Ляпунова, с получением приближенных границ областей динамической устойчивости.

Все программы написаны на языке Си и реализованы для ПЭВМ IBM РС-АТ. Последующие работы в направлении совершенствования алгоритмов расчета и сервисных возможностей позволят использовать приведенные методики создания промышленных программ.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Объединение электростанций и энергосистем на параллельную работу, создание крупных по мощности и протяженных по территории энергообъединений увеличивает опасность нарушения устойчивости, что вызывает необходимость совершенствования методов анализа устойчивости, позволяющих обеспечить нормальную работу таких систем.

Использование качественных оценок устойчивости ЭЭС позволяет существенно упростить решение вопросов ее анализа. Возможно применение качественных методов анализа на этапах проектирования и эксплуатации систем, выбора настройки автоматики. При этом актуальна разработка качественных методов анализа как статической устойчивости, так и динамической.

В работе предложены методы анализа устойчивости , позволяющие сократить время на получение и обработку результатов исследования устойчивости сложных электроэнергетических систем.

С учетом того что, современные ЭЭС являются достаточно сложными системами, содержащими большое количество элементов, особо важным становится вопрос получения моделей электроэнергетических систем, адекватно отражающих изучаемые процессы, но в тоже время позволяющих использовать "быстродействующие" ме- тоды анализа. В работе предлагается для анализа статической устойчивости сложных систем использовать позиционную модель с приближенным учетом асинхронных составляющих мощностей генераторов за счет введения матрицы демпферных коэффициентов.

Для анализа статической устойчивости предложена приближенная методика исследования, которая позволяет на основе проверки характера симметричных составляющих матриц демпферных коэффициентов и синхронизирующих мощностей судить об устойчивости анализируемого положения равновесия и учесть возможность как апериодического, так колебательного развития процесса.

Проведенные исследования позволяют утверждать, что результаты анализа статической устойчивости установившегося режима, получаемые по приближенной методике, практически идентичны результатам точных методов. Так, в широком диапазоне величин углов границы точных и приближенных областей близки (отличие до 5 % ), и только при большой степени неконсервативности системы ( несимметрии матрицы С ) отличие границ становится существенным, что для реальных ЭЭС маловероятно. При этом область существования статически устойчивых режимов является односвязной областью, не содержащей "дыр", что устраняет все недостатки присущие неодносвязным системам.

Для случая трехмашинной системы, вполне применимого для широкого круга задач, связанных с выбором и настройкой проти-воаварийной автоматики, построены приближенные области статической устойчивости и существования статически устойчивых режимов.

Для анализа динамической устойчивости в работе предлагается использование метода функций Ляпунова, позволяющего судить об устойчивости или неустойчивости динамического перехода без нахождения траектории возмущенного движения, т.е. без определения решений соответствующих дифференциальных уравнений. При этом используемая в работе консервативная модель позиционной системы дает возможность получить более "точную" функцию Ляпунова, оценки по которой ближе к необходимым, чем при традиционном ее построении. Это приводит к увеличению области динамической устойчивости и позволяет квалифицировать некоторые динамические переходы как устойчивые ( каковыми они и являются) в то время как классический подход определял их как неустойчивые ,

Совершенствование экспериментальных программ, используемых при получении и проверке теоретических результатов, позволит использовать их в промышленной эксплуатации. У

135

1. Азарьев Д.И., Веников В.А., Литкенс И.В. и др. Основные положения по определению устойчивости энергетических систем // Электричество, 1963, N 11. С.1-9.

2. Амбарников Г.А. Некоторые вопросы применения второго метода А.М.Ляпунова для исследования устойчивости сложных электрических систем: Автореф. дис. канд. техн. наук. Свердловск, 1981. 24 с.

3. Амбарников Г.А. Прямые методы определения координат точки неустойчивого равновесия консервативной модели сложной электрической системы // Применение метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1975. С.91-96.

4. Амбарников Г.А., Рудницкий М.П. Приближенная математическая модель электрической системы и исследование ее устойчивости // Труды второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. С. 172-181.

5. Андерсон П.,Фуад А. Управление энергосистемами и устойчивость: Пер. с англ./ Под ред. Я.Н.Луганского. М.: Энергия, 1980.

6. Андреюк В.А. Вывод достаточных условий устойчивости нв большом" системы синхронных машин. Л.: Изд. НИИПТ, 1957. С.239-257.

7. Э.Андреюк В.А. Применение второго метода Ляпунова для исследования динамической устойчивости электроэнергетических систем // Второй метод Ляпунова и его применение в энергетике, ч.П. Новосибирск: Наука, 1966. С. 171-183.

8. Арзамасцев Д.А., Бартоломей П.И., Холян A.M. АСУ и оптимизация режиов энергосистем. М.: Высшая школа, 1983. 208 с.

9. Арзамасцев Д.А., Липес А.В., Мызин А.Л. Модели оптимизации развития энергосистем. М.: Высшая школа, 1987. 272 с.

10. Арзамасцев Д.А., Красникова Т.Я., Рудницкий М.П. Аппроксимация областей устойчивости сложных электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. N 2. С.82-93.

11. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. 240 с.

12. Варинов В.А. К исследованию апериодической статической устойчивости сложных электроэнергетических систем // Электричество. 1976. N7. С.31-35.

13. Баринов В.А. Определение запаса статической апериодической устойчивости сложных электрических -систем // Изв. АН СССР.Энергетика и транспорт. 19Т1. N 5. С.24-28.

14. Баринов В.А., Крюков A.A., Маркович И.М. О выявлении статической устойчивости электрической системы при отсутствии самораскачивания // Изв. АН СССР.Энергетика и транспорт. 1969. N 6. С.59-64.

15. Баринов В.А., Литвиненко Е.А. Определение установившихся режимов и пределов апериодической устойчивости // Электричество. 1981. N 11. С.6-11.

16. Баринов В.А., Совалов С.А. Режимы энергосистем: методы анализа и управления. М.: Энергоатомиздат, 1990. 440 с.

17. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

18. Богатырев Л. Л. К поиску управляющих воздействий, повышающих устойчивость электроэнергетических систем // Изв. АН СССР.Энергетика и транспорт. 1983. N 1. С.78-87.

19. Богатырев Л.Л., Стихии Г.П. Использование методов теории распознавания образов для управления режимами сложных электроэнергетических систем // Электричество. 1978. N 2. С.6-11.

20. Богатырев Л.Л., Ильичев Н.Б., Паздерин A.B. Семиотическая модель управления аварийными режимами энергосистем // Моделирование энергетических систем. Тезисы докладов Всесоюзной научно-технической конференции. Рига. 1987. С.40-41.

21. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехтеориздат, 1955. 448 с.

22. Богомолова И.А. Оценка устойчивости режима узловой модели электрической сети // Автоматическое управление и проти-воаварийная автоматика в крупных энергообъединениях. Л.: Энергоатомиздат. 1987. С.45-58.f

23. Важнов A.M. Основы теории переходных процессов синхронной машины. Л.: Госэнергоиздат, 1960. 312 с.

24. Важнов А.И. Переходные процессы в машинах переменного тока. Л.: Энергия. Ленингр. отд-ние, 1980. 256 с.

25. Вайман М.Я. Области допустимых отклонений при исследовании синхронной динамической устойчивости энергосистем вторым методом Ляпунова // Электричество. 1971. N 1. С.19-22.

26. Вайман М.Я. Устойчивость нелинейных механических и электромеханических систем. М.: Машиностроение, 1981. 126 с.

27. Васин В.П. Граница области существования режима трех-машинной электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1982. N 2. С.40-45.

28. Васин В.П. Расчеты режимов электрических систем. Проблема существования решения. М.: МЭИ, 1981. 72 с.

29. Васин В.П. Области существования режима электроэнергетической системы и их аналитические оценки // Метода исследования устойчивости сложных электрических систем и их использом вание. Сб. тр./ин-та Энергосетьпроект. М.: Энергоатомиздат.1985. С.71-77.

30. Васин В.П. Области существования установившихся режи- • мов электрических систем. М.: МЭИ, 1982. 84 с.

31. Васин В.П. Структура области существования самоустанавливающегося режима электроэнергетической системы в пространстве активны» мощностей // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1981. N 1. С.6-18.

32. Веников В.А., Литкенс И.В., Дуго В.И. Демпферные коэффициенты. М.: МЭИ. 1979. 72 с.

33. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высшая школа, 1978. 415 с.

34. Веников В.А.,Литкенс И.В. Математические основы теории автоматического управления режимами энергосистем. М.: Высшая школа, 1964. 202 с.

35. Веников В.А.Строев В.А.,Идельчик В.И. К определению предельных по апериодической устойчивости режимов электрических систем // Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973. N 1. С.46-53.

36. Веников В.А., Строев В.А., Идельчик В.И. Оценка статической устойчивости электрических систем на основе решения уравнений установившихся режимов // Изв.АН СССР. Энергетика и транспорт. 1971. N 5. С.18-23.

37. Веников В.А., Суханов O.A. Принципы кибернетического моделирования электрических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1974. N 3. С. 112-122.

38. Веников В.А., Цукерник Л.В. Развитие методов исследования устойчивости электрических систем // Электричество. 1978. N 2. С.1-7.

39. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с%

40. Воропай H.И. Упрощение математических моделей динамики электроэнергетических систем. Новосибирск: Наука, 1981. 112 с.

41. Горев A.A. Избранные труды по вопросам устойчивости. М.: Госэнергоиздат, 1960. 260 с.

42. Горев A.A. Переходные процессы синхронных машин. М.;Л.: Госэнергоиздат, 1950. 552 с.

43. Городский Д.А. Асинхронный ход синхронной машины в системе // Электричество. 1945. N 3.

44. Горушкин В.И., Латышев Т.О. Исследование статической, устойчивости энергосистемы с помощью уравнений установившихся режимов // Электричество. 1969. N 5. С.79-82.

45. Горюков Ю.П., Ножин Л.Э., Щербачев О.В. Программы расчетов сложных электрических систем, предельных по сползанию // Доклады на II Всесоюзном научно-техническом совещании по устойчивости и надежности энергосистем СССР. М.: Энергия. 1969. С.49-56.

46. Гуревич Ю.Е., Лйбова Л.Е., Окин A.A. Расчеты устойчивости и противоаврийной автоматики в энергосистемах. М.: Энер-гоатомиздат, 1990. 390 с.

47. Гусейнов Ф.Г. Упрощение расчетных схем электрических систем. М.: Энергия, 1978. 184 с.

48. Гусейнов Ф.Г., Гусейнов A.M. Об учете демпфирования в математических моделях электрических систем при решении задач электромеханических и переходных процессов // Вопросы развития и режимов энергетических систем, вып.44. М.: Изд. ЭНИНа, 1975. С.20-24.

49. Жданов П.С. Вопросы устойчивости электрических систем / Под ред. Л.А.Жукова. М.: Энергия, 1979. 456 с.

50. Заславская Т.Б., Абраменкова Н,А., Шиловский C.B. Определение области статической устойчивости трехмашинной энергосистемы // Труды ин-та Энергосетьпроект. М.: Энергоиздат. 1981. Вып.22. С.28-39.

51. Идельчик В.И. Расчеты и оптимизация режимов электрических сетей и систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 288 с.

52. Идельчик В.И. Расчеты установившихся режимов электрических систем. М.: Энергия, 1977. 192 с.

53. Идельчик В.И. Пример анализа существования и единственности решения уравнений установившегося режима // Электричество. 1983. N 6. С.56-59.

54. Идельчик В.И., Тарасов В.И., Строев В.А. О связи статической устойчивости и сходимости итерационного процесса при расчете установившегося режима электрической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1972. N 6. С.32-38.

55. Ильичев Н.Б. Методы ситуационного управления аварийны-^ ми режимами электроэнергетических систем для обеспеченияустойчивости: Автореф.дис.канд.техн.наук. Свердловск, 1987. 24 с.

56. Казовский Е.Я. Переходные процессы в электрических машинах переменного тока. М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1962. 624с.

57. Калюжный А.Х., Соколов Ю.В. Исследование устойчивости • и квазиустановившихся противоаварийных режимов с учетом динамики частоты // Изв. Сибирского отделения АН СССР. Серия техн. науки. 1978. N 13/3. С.158-162.

58. Кимбарк Э. Синхронные машины и устойчивость электроэнергетических систем. Перевод с англ. М.;Л.:Госэнергоиздат, 1960. 392 с.

59. Конторович A.M., Крюков A.B. Определение предельных режимов энергосистемы методом непрерывного утяжеления // Труды ЖШ. Л.: ЛПИ. 1981. Вып.380. С.104-108.

60. Конторович A.M., Крюков A.B. Использование уравнений предельных режимов в задачах управления ЭЭС // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. N 3. С.25-33.

61. Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. Для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1977. 831 с.

62. Коробчук К.В. Методика расчета с помощью ЦВМ етати-ц ческого предела мощности сложных энергосистем // Анализ режимов электроэнергетических систем при помощи вычислительных машин. Киев: Изд. ин-та Электродинамики АН СССР. 1968. N 3. С.80-93.

63. Т4.Коротков В.А. Возможные методы построения функций Ляпунова для электрических систем // Труды второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. С.79-95.

64. Красникова Т.Я. Определение областей статической устойчивости и выбор управляющих воздействий в электроэнергетических системах: Автореф. дис. канд.техн.наук. Свердловск, 1981. 24 с.

65. Крючков И.В. Аппроксимация областей существования режима трехмашинной электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1983. N 1. С.150-152.

66. Кузьмин П.А. Малые колебания и устойчивость движения. М.: Наука, 1973. 206 с.

67. Лайбл Т. Теория синхронной машины при переходных процессах. Перевод с нем. М.;Л.: Госэнергоиздат, 1957. 206 с.

68. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978. 280 с.

69. Литкенс И.В., Пуго В.И. Колебательные свойства электрических систем. М.: Энергоатомиздат, 1988. 216 с.

70. Литкенс И.В., Пуго В.И., Абдул-заде В.М. Демпферные коэффициенты синхронных генераторов в многомашинных электрических системах // Электричество. 1984. N 3. С.8-13.

71. Лоханин Е.К. К ускорению численного интегрирования уравнений переходных процессов // Работы в области устойчивости энергосистем: Тр. ВНИИЭ. М.;Л.: Энергия, 1966. Вып.26. С.218-251.

72. Лоханин Е.К., Васильева Г.В., Крылова Р.Н. Определениезапаса статической устойчивости сложных электрических систем // Вопросы обоснования и выбора параметров развивающихся энергосистем. Тр. ин-та энергосетьпроект. 1974. Вып.4 С.78-86.

73. Лукашов Э.С., Калюжный А.Х. Исследование статической устойчивости сложных электроэнергетических систем с учетом изменения частоты // Электричество. 1976. N 8. С.8-13.

74. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.;Л.: Гл. ред. общетехн. лит., 1935.

75. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

76. Маркович И.М. Режимы энергетических систем. М.: Энергия, 1969. 352 с.

77. Маркович И.М., Совалов С.А.' Практические критерии статической устойчивости электрической системы // Электричество.ч 1945. N 3 С.17-23.

78. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения.1. М.: Наука, 1976. 320 с.

79. Методические указания по определению устойчивости энергосистем. 4.1 / Под ред. Д.А.Азарьева, В.А.Веникова, Л.Г. Мамиконянца и др. М.: СПО Союзтехэнерго, 1979. 184 с.

80. Морошкин Ю.В. К исследованию устойчивости позиционных энергосистем // Труды второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. С.215-227.

81. Морошкин Ю.В: Метод малого параметра применительно к построению позиционных и консервативных моделей электрических систем // Применение метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1975. С.96-99.

82. Морошкин Ю.В. Статическая устойчивость позиционной * электрической системы с демпфированием // Вопросы обоснованияи выбора параметров развивающихся энергосистем. Тр. ин-та энергосетьпроект. 19Т4. Вып.4 С.125-130.

83. Нелинейные системы автоматического управления. Методы синтеза нелинейных систем автоматического управления / Под ред. Попова Е.П. М.: Машиностроение, 1970. 416 с.

84. Неуймин В.Г. Методы расчета и анализа нормальных и послеаварийных режимов электрических систем: Автореф. дис. канд. техн. наук. Свердловск, 1987. 22 с.

85. Основы ПВК для анализа устойчивости ЭЭС в проектной к практике и синтеза устройств адаптивной противоаварийной автоматике: Отчет по НИР:/ УрО Энергосетьпроекта. Руководитель М.П.Рудницкий N 3180 378 - 12/2 Свердловск, 1990. 213 с.

86. Павлова М.В. Оценка областей существования установившихся режимов электроэнергетических систем в проектной практике: Автореф. дис. канд. техн. наук. Свердловск, 1989. 24 с.

87. Подшивалов В.Н. Связка функций Ляпунова для систем с демпфированием // Режимы и устойчивость энергетических систем. Тр. СибНИИЭ, вып.26. М.: Энергия.' 1975. С.57-60.

88. ЮО.Подшивалов В.Н., Коротков В.А. Численный метод построения функции Ляпунова для позиционной модели энергосистемы //Режимы и устойчивость энергетических систем. Тр. СибНИИЭ, вып.26. М.: Энергия. 1975. С.60-65.

89. Попов В.Н. Повышение эффективности практического использования метода функций Ляпунова для исследования устой-и чивости сложных электроэнергетических систем: Автореф. дис.канд. техн. наук. Свердловск, 1981. 24 с.

90. Попов В.Н., Рудницкий М.П. Анализ устойчивости в "большом" нелинейной системы второго порядка с использованием аппроксимации нелинейности функцией релейного типа // Теория устойчивости и ее приложения. Новосибирск: Наука. 19Т9. С.122-128.

91. Постников М.Н. Введение в теорию Морса. М.: Наука, 1971,. 568 с.

92. Применение аналоговых вычислительных машин в энергетических системах / под.ред. Н.И.Соколова. М.: Энергия,1970.

93. Путилова А.Т. Анализ устойчивости сложных электроэнергетических систем по критериям Ляпунова // Труды второго семинара-симпозиума по применению метода функций Ляпунова в энергетике. Новосибирск: Наука, 1970. с.151-171.

94. Рудницкий М.П. Асинхронные характеристики синхронных машин. Екатеринбург: Отчет СИПИ, тема 21-109-91, 1992. 15 с.

95. Рудницкий М.П. Некоторые вопросы результирующей и динамической устойчивости энергетических систем: Дис. на соискание ученой степени кандидата технических н!ук. Свердловск, 1965. 318 с.

96. Рудницкий М.П. Определение критических режимов электроэнергетических систем // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1973. N2. С.57-65.

97. Рудницкий М.П. Оценка запасов устойчивости нормальныхрежимов // Доклады на III Всесоюзном научно-техническом совещании по устойчивости и надежности энергосистем СССР. Л.: Энергия, 1973. С.115-122.

98. Рудницкий М.П. Применене второго метода Ляпунова к анализу динамической устойчивости сложных электрических систем // Вопросы оптимизации, развития и эксплуатации электрических систем. Труды У1Ш, вып. 154. Свердловск: изд. УПИ, 1966.

99. Рудницкий М.П. Статическая устойчивость сложных электроэнергетических систем. Учебное пособие. Свердловск, изд. У1Ш им.С.М.Кирова, 1981, 87 с.

100. Рудницкий М.П. Элементы теории устойчивости и управления режимами энергосистем. Учебное пособие. Свердловск, изд. УПИ им.С.М.Кирова, 1984, 96 с.

101. Рудницкий М.П., Красникова Т.Я. Методика аппроксимации областей статической устойчивости сложных электроэнергетических систем // Режимы и АСУ энергетических систем. Новосибирск: КЭТИ, 1981. G.99-110.

102. Рудницкий М.П., Красникова Т.Я., Павлова М.В. Анализ * условий существования установившихся режимов электроэнергетической системы // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1990.1. N 1. С.98-104.

103. Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. Области существования статически устойчивых режимов простейших моделей электроэнергетических систем / УПИ: Свердловск, 1991. 17 с. Деп. -в Инфор-мэнерго, 29.07.91. N 3308-эн91.

104. Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. Принципы построения консервативных моделей в задачах качественного исследования динамики электроэнергетических систем / УГТУ-УПИ: Екатеринбург, 1993. 15 с. Деп. в Мнформэнерго, 18.10.93. N 3395-ЭН93.

105. Рудницкий М.П., Шемпелев В.А. Функциональное подобие простейших моделей электроэнергетических систем // X научная конференция Моделирование электрических систем. Тезисы докладов . Каунас: ИФТНЭ, 1991. С.48-49.

106. Серый И.М., Янко-Триницкий A.A. Зависимость динамической перегрузочной способности синхронного двигателя при ударных нагрузках от его параметров // Изв. Высших учебных заведений. Электромеханика. 1959. N 12. С.62-71.

107. Серый И.М., Янко-Триницкий A.A. Упрощенный метод определения допустимых набросов нагрузки на* синхронный двигатель в зависимости от длительности их действия // Изв. Высших учебных заведений. Электромеханика. 1959. N 1. С.54-61.

108. Смирнов К.А. О критериях статической устойчивости + энергосистем // Электричество. 1978. N 3. С.12-16.v 125.Совалов С.A. Режимы единой энергосистемы. M.: Энергоатомиздат, 1983. 384 с.

109. Совалов С.А., Баринов В.А. Математическое моделирование переходных процессов электроэнергетических систем // Электронное моделирование. 1980. N 6. С.29-34.

110. Совалов O.A., Баринов В.А. Определение установившихся режимов и статической устойчивости электроэнергетических систем // Методы исследования устойчивости энергосистем и мероприятия по ее обеспечению. Тр. ин-та Энергосетьпроект. М.: 1979. С. 19-27.

111. Совалов O.A., Баринов В.А. Сходимость итерационных процессов установления режимов как критерия статической устойчивости // Электричество. 1977. N 2. С.1-7.

112. Совалов С.А., Баринов В.А. Принципы построения и осо-» бенности математических моделей электроэнергетических систем

113. Электричество. 1981. N 4. С.1-7.

114. Страхов C.B. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих машины переменного тока. М.;Л.:Госэнергоиздат, 1960.

115. Тагиров М.А. Краткий обзор методов оценки областей устойчивости по функции Ляпунова // Труды СибНИМЭ, вып.34. Л.: Энергия, 1977. С.94-98.

116. Тагиров М.А., Путилова А.Т. Критерии различения особых точек многомерных динамических систем // Режимы и устойчивость энергетических систем. Тр. СибНИИЭ, вып.26. М.: Энергия, 1975. С.39-43.

117. Ульянов O.A. Электромагнитные переходные процессы. М.: Энергия, 1970. 520 с.

118. Ушаков Е.И. Математическая модель электрической системы // Изв. АН ССОР. Энергетика и транспорт. 1983. N 2.

119. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Наука, 1969, т.1. 608 с.

120. Фролов В.И., Дмитренко Г.В. Некоторые оценки областей устойчивости простейшей некойсервативной модели электрической системы // Расчеты режимов и устойчивой работы энергосистем. Тр.ВНИИЭ. М.: Энергия. 1976. вып.51. С.141-156.

121. Хачатуров A.A. О расчете предельных режимов // Тр. ВНИИЭ. М.: Энергия. 1968. N 33. С.80-86.

122. Цукерник Л.В., Коробчук К.В. Некоторые вопросы анализа статической устойчивости сложных энергосистем // Доклады на III Всесоюзном науяно-техническом совещании по устойчивости и надежности энергосистем СССР. Л.: Энергия, 1973, С.122-126.

123. Щедрин H.H. Упрощение электрических систем при моделировании. М.;Л.: Энергия, 1966. 159 с.

124. Электрические системы. Математические задачи электроэнергетики: учебник для вузов / Под ред. В.А.Веникова. М.: Высшая школа, 1981. 288 с.

125. Янко-Триницкий А.А. Новый метод анализа работы синхронных двигателей при равнопеременных нагрузках. М.;Л.: Госэ-нергоиздат, 1958. 103 с.

126. Muyadu Н., Tanguchi Т. Construction of Lyapunov function for power systems. "Proс. Inst. Elec. Eng." 1972, 14, N 2, pp.1197-1202.

127. Nelles D. Comparison of the various mathematical generator models for calculation of transient electromechanical phenomena. "Proc. of the 4-th PSCC". Grenoble, 1972.

128. Skar Sherwin J. Stability of multi-machine power systems with nontriYial transfer conductances // SIAM J. Appl. Math, 1980, 39. N 3. p.475-491.