автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Интервальные и двусторонние методы для расчета с гарантированной точностью электрических и магнитных систем

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ СОВРЕМЕННОГО СОСТОЯНИЯ ТЕОРИИ ИНТЕРВАЛЬНЫХ И ДВУСТОРОННИХ МЕТОДОВ

1.1. Достижения и проблемы теории интервальных методов

1.2. Анализ состояния теории двусторонних численных методов

2. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ И ДВУСТОРОННИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

2.1. Двухстадийные методы численного интегрирования уравнений состояния электрических цепей

2.1.1. Описание используемого подхода

2.1.2. Алгоритмы уточнения двусторонних оценок решения задачи

Коши на основе формулы Тейлора

2.1.3. Сравнение вычислительной эффективности двухстадийного метода и метода Мура на примере расчета переходного процесса в нелинейной электрической цепи

2.1.4. Расчет переходного процесса в цепи лампового генератора синусоидальных колебаний

2.1.5. Расчет переходного процесса в электрической цепи паратрансформатора

2.2. Эффективные двусторонние и интервальные методы для решения уравнений состояния цепи в случае больших промежутков интегрирования 54 2.2.1. Двусторонний метод с апостериорной оценкой погрешности на основе сеточных функций Грина

2.2.1.1. Описание метода

2.2.1.2. Исследование сходимости двустороннего метода

2.2.1.3. Исследование эффективности метода при решении задачи расчета ЬС - контура в случае колебательного разряда нелинейной емкости

2.2.1.4. Применение двустороннего метода для расчета переходного процесса в цепи резонансного регулятора выходного напряжения . 65 2.2.2. Двусторонний метод с апостериорной оценкой погрешности на основе непрерывных функций Грина

2.2.2.1. Описание двустороннего метода

2.2.2.2. Исследование сходимости двустороннего метода

2.2.2.3. О возможных модификациях метода

2.2.2.4. Расчет ЬС-контура при колебательном разряде нелинейной емкости

2.2.2.5. Расчет переходного процесса при включении Ы1С-цепи с нелинейной индуктивностью на постоянное напряжение

2.3. Интервальный метод для интегрирования жестких систем ОДУ и его применение для расчета процессов в нелинейных электрических цепях

2.3.1. Описание одношагового интервального метода

2.3.2. Пример использования интервального метода (2.41)-(2.45) для расчета нелинейной электрической цепи

2.4. Расчет переходных процессов в электрических цепях с учетом погрешности исходных данных

2.4.1. Описание двустороннего метода

2.4.2. Пример вычисления двусторонних оценок для решений уравнений робастной модели колебательного разряда нелинейной емкости

2.4.3. Расчет переходного процесса в нелинейной ЬЯС-цепи с учетом погрешности ее характеристик и параметров

2.4.4. Расчет цепи выпрямителя с учетом погрешности ее характеристик и параметров

2.4.5. Метод решения КЗПМ при помощи оптимизации моментов переключений

3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПРОЦЕССОВ КОММУТАЦИЙ С УЧЕТОМ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ДУГИ

3.1. Методы расчета на основе энергетических статических и динамических моделей дуги

3.2. Методы расчета максимальных напряжений на дуге при отключении цепей постоянного тока контакторами с узкощелевыми дугогасительными камерами

3.2.1. Математическая модель процесса дугогашения

3.2.2. Приближенное решение системы уравнений (3.1)-(3.7) при помощи традиционных конечно-разностных методов

3.2.3. Результаты расчетов и их сравнение с экспериментальными данными

3.2.4. Двусторонний в асимптотическом смысле метод решения системы уравнений (3.1 )-(3.7)

4. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ И ДВУСТОРОННИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ РАСЧЕТА

И ОПТИМИЗАЦИИ МАГНИТНЫХ СИСТЕМ

4.1. Интервальные и двусторонние методы для расчета магнитных цепей

4.2. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в расчетах электротехнических устройств

4.2.1. Интервальные методы нелинейной оптимизации. Описание алгоритмов и анализ их вычислительной эффективности

4.2.1.1. Постановка задачи глобальной нелинейной оптимизации и алгоритм её решения методом исследования целевой функции на экстремум

4.2.1.2. Описание алгоритма интервального метода оптимизации

4.2.1.3. Примеры решения оптимизационных задач и сравнение вычислительных качеств интервальных и традиционных вещественных алгоритмов 193 4.2.2. Применение интервальных и двусторонних методов для решения задачи оптимизации электромагнитов с учетом неустранимой погрешности

4.2.2.1. Постановка задачи оптимизации электромагнита постоянного

4.2.2.2. Численный метод решения задачи оптимизации

5.21)-(5.30)

4.2.2.3. Двусторонний метод исследования чувствительности оптимизационной модели 208 5. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО И МАГНИТНОГО ПОЛЕЙ

5.1. Алгоритм двусторонней оценки решения одномерных краевых задач на основе метода стрельбы и его применение для расчета переменного электрического поля в диэлектрическом слое

5.1.1. Описание метода

5.1.2. Пример применения двустороннего метода для расчета переменного электрического поля в диэлектрическом слое

5.2. Расчет с гарантированной точностью электрического и магнитного полей на основе метода граничных интегральных уравнений (МГИУ)

5.2.1. Интервальные методы решения интегральных уравнений теории потенциала

5.2.2. Методы решения с гарантированной точностью ГИУ с использованием потенциала двойного слоя в случае существования

Проблема нахождения численного решения различных задач с гарантированной точностью постоянно находится в центре внимания исследователей.

В области теоретической электротехники данная проблема также относится к разряду одной из приоритетных.

В настоящее время в научной практике в качестве универсального средства решения самых разнообразных задач широко применяются численные методы.

Многие традиционные численные методы имеют недостаток, связанный с отсутствием эффективных способов надежного контроля погрешности приближенного решения. В литературе по численным методам, как правило, приводятся теоретические оценки погрешности метода, которые затруднительно или нерационально использовать на практике.

Известно несколько подходов к практическому решению рассматриваемой проблемы. Все они подразделяются на две группы. В методах первой группы контроль погрешности приближенного решения осуществляется на основе асимптотических оценок, выполняющихся не всегда, а только при некоторых, причем достоверно неизвестных, значениях параметров метода, например, при достаточно малом шаге интегрирования. К группе этих методов относятся практическое правило Рунге, экстраполяция по Ричардсону, двусторонние в асимптотическом смысле методы [1 -4]. Основной недостаток данных методов - отсутствие гарантий достоверности полученных оценок. При решении многих практически важных задач данный подход недостаточно надежен.

§

По этой причине существует большая практическая потребность в методах второй группы, позволяющих получать приближенное решение с гарантированной точностью. К этой группе относятся интервальные и двусторонние в строгом смысле методы [5 - 9]. Разработка эффективных методов этого типа для решения практически важных задач, как правило, является существенно более сложной задачей, чем конструирование их вещественных аналогов.

Огромный прогресс в решении рассматриваемой проблемы был достигнут в результате создания в течение нескольких последних десятилетий методов интервального анализа. В этих методах операции осуществляются не только над точечными объектами, но и над числовыми интервалами и более сложными множествами [5].

Альтернативным подходом является разработка методов строгой оценки погрешности приближенного решения на основе различного рода операторных неравенств.

На практике наряду с погрешностью численного метода часто требуется учитывать также неустранимую погрешность, связанную с неточностью применяемой математической модели. Это в полной мере относится к задачам электротехники, так как большинство коэффициентов математических моделей теоретической электротехники находятся из эксперимента. Данная проблема является одной из центральных в теории электрических измерений, в теории диагностики электрических цепей, а также в теории чувствительности и допусков электрических цепей [10 - 13, 119 -122]. До недавнего времени решение соответствующих задач осуществлялось, как правило, при помощи методов линеаризации и малого параметра [10 - 11]. Эффективность данных традиционных подходов существенно снижается по той причине, что в отличие от погрешности численного метода, величина неустранимой погрешности математической модели может быть относительно большой, причем ее нельзя уменьшить в процессе решения задачи. Для решения соответствующей проблемы также могут успешно применяться интервальные и двусторонние методы, особенно в тех случаях, когда исходная информация задана в интервальном виде (так называемая интервальная неопределенность). В научной литературе представлены также другие традиционные подходы к решению рассматриваемых проблем [26 - 28]. Описанные в [26 - 28] методы основаны на сеточной аппроксимации области варьируемых параметров цепи. Для расчетов электронных микросхем относительно широко используются методы теории статистических многофакторных экспериментов, методы имитационного моделирования (Монте-Карло) [119 - 121]. Данные методы применимы в случаях как интервальной, так и статистической неопределенности исходной информации о параметрах цепей, и часто используются совместно с методами теории чувствительности [121]. Однако эти методы имеют существенные недостатки: они весьма трудоемки, истинные законы распределения вероятностей для случайных значений параметров цепей неизвестны и обычно принимаются нормальными, что, как многократно отмечалось специалистами [120], далеко не всегда обоснованно. По указанным причинам оценка достоверности результатов, полученных методами статистического моделирования, является весьма затруднительной.

Один из наиболее существенных недостатков и статистических методов, и метода малого параметра связан со сложностью учета функциональной погрешности. Если данная погрешность в решаемой задаче допускает параметризацию вектором относительно малой размерности, то вышеперечисленные методы оказываются в принципе применимыми, хотя и не дают абсолютной гарантии точности. Однако на практике часты случаи, когда параметризация погрешности затруднительна или приводит к чрезмерному увеличению размерности задачи. Для этих случаев высокую эффективность показал предложенный в диссертации подход на основе применения принципа максимума Понтрягина в сочетании с двусторонними и интервальными методами.

Существенно, что интервальные и двусторонние методы могут в принципе применяться для решения задач стохастического моделирования электрических цепей, в том числе с учетом погрешностей функций распределения вероятностей значений параметров цепи.

В диссертационной работе преимущественно исследуется случай интервальной неопределенности задания исходных данных моделей электрических и магнитных систем. Этот подход эффективен при решении таких традиционных задач теории цепей, как анализ допусков и расчет наихудшего случая. Если погрешность исходных данных относительно велика, то для достижения достаточной эффективности интервального или двустороннего метода может потребоваться соответствующее совершенствование алгоритма вычислений.

Значительный вклад в развитие теории методов решения уравнений электрических цепей внесли П.А. Бутырин, С.Н. Басан, К.С. Демирчян, В.Г. Миронов, Ю.В. Ракитский и многие другие ученые.

В отличие от традиционных, так называемых, вещественных методов, интервальные и двусторонние методы лишь сравнительно недавно начали внедряться в практику электротехнических расчетов

13]. Теория интервальных и двусторонних методов создана и развивается благодаря работам Г.Алефельда, Б.С.Добронца, С.А.Калмыкова, С.Г.Михлина, Р.Е.Мура, К.Никеля, Ю.Херцбергера, С.А.Чаплыгина, Ю.И.Шокина, В.В.Шайдурова, и других ученых. Работы по данной теме ведутся как отечественными исследователями, так и за рубежом. Существенный вклад в создание научного направления интервальных методов расчета электрических цепей в нашей стране внесли Н.В Киншт., М.А. Кац [13]. Работы по данной теме ведутся как отечественными исследователями, так и за рубежом [25 - 28]. В [13] анализируется проблема расчета электрических цепей при априорной неопределенности информации об их параметрах. Такие цепи получили в [13] название интервальных. В указанной работе рассматриваются возможности применения методов интервального анализа для расчета стационарных режимов в электрических цепях и решения задач диагностирования интервальных цепей. В статье осуществлен сравнительный анализ элементарных интервальных методов расчета электрических цепей. На основании этого анализа делается вывод, что традиционные формулы преобразований, используемые в теории цепей, даже в простейших случаях оказываются неэффективными. В комплексной области условия сходимости итерационных методов дополнительно ухудшаются. Ситуация усугубляется "проклятием размерности", нелинейностью и невыпуклостью интервальных вольт-амперных характеристик элементов цепи. Если использовать формулы, в которые переменные входят заведомо монотонным образом, то интервальная арифметика дает удовлетворительные результаты. Однако здесь встает вопрос о необходимости соответствующих символьно-аналитических методов.

В [13] сделан вывод, что неисследованные области в рассматриваемой проблеме представляют собой обширное поле деятельности. В качестве одной из наиболее актуальных названа проблема интервального анализа переходных процессов, которая решается в данной диссертации.

В работах зарубежных иследователей [26 - 28] решается проблема интервального анализа линейных систем. Основным результатом работ [26 - 28] является утверждение, что данные расчета режимов на последовательности все более подробных сеток сходятся к некоторым предельно достижимым параметрам режима со сколь угодно малой ошибкой.

Научное направление интервальных методов расчета электрических цепей за рубежом также находится еще в стадии своего становления. Об этом свидетельствует тот факт, что доклады на международных конференциях IEEE Int. Symp. on CS по теме интервальных методов в электротехнике носят пока еще спорадический характер и часто отсутствуют [29].

Таким образом, теория интервальных и двусторонних методов теоретической электротехники еще далека от завершения. Многие известные методы не в полной мере удовлетворяют потребностям практики.

Автором диссертации проведено исследование с целью разработки и обоснования новых эффективных методов решения с гарантированной точностью ряда актуальных задач теоретической электротехники. Указанная цель предполагает решение следующих задач.

1. Разработка и обоснование новых интервальных и двусторонних методов с улучшенными характеристиками устойчивости и сходимости для численного интегрирования ОДУ состояния электрических и магнитных цепей.

2. Формулировка и обоснование численных методов высокого порядка точности для интегрирования нелинейных систем ОДУ с интервальными данными.

3. Исследование эффективности указанных методов при расчете нелинейных электрических и магнитных цепей с учетом основных составляющих погрешности приближенного решения: погрешности численного метода, неустранимой погрешности модели и вычислительной погрешности.

4. Разработка интервальных и двусторонних методов и математических моделей для расчета переходных процессов в цепях с электрической дугой.

5. Разработка интервальных и двусторонних методов для расчета и оптимизации магнитных систем в случае приближенно заданных исходных данных.

6. Формулировка и обоснование новых эффективных интервальных и двусторонних методов для расчета электрических и магнитных полей.

В основном в работе рассматриваются целевые модели электрических и магнитных систем. Полученные результаты применимы, как правило, к нелинейным цепям общего вида. В третьей и пятой главах исследуются интервальные и двусторонние методы расчета на основе линейных полевых моделей электро- и магнитостатики. м

В первой главе работы содержится анализ современного состояния теории интервальных и двусторонних методов и ее приложений»

Во второй главе работы изложено обоснование и приводятся примеры практического применения интервальных и двусторонних методов для численного интегрирования задачи Коши для уравнений состояния нелинейной цепи. По характеристикам скорости сходимости для случая нелинейных задач Коши предложенный двусторонний метод принципиально превосходит известные методы [5 - 9] при практически одном порядке объема вычислительных затрат на шаге интегрирования. Результаты вычислительных экспериментов и теоретический анализ показали, что обоснованные методы позволяют во многих важных случаях более эффективно решать задачу расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях. Для расчета с гарантированной точностью динамических процессов в электрических цепях на больших интервалах времени, практически применимы только предложенные в диссертации методы.

Как было выше отмечено, одной из наиболее актуальных в теоретической электротехнике и в других прикладных науках является проблема адекватного учета при решении задач погрешности исходных данных. Эта проблема имеет особенно важное значение в задачах теории измерений и при анализе допусков.

Если погрешности достаточно малы и (или) не требуется гарантия точности оценок решения, то на практике обычно применяются методы теории чувствительности .

Как отмечено в [13], непосредственное применение интервальных методов в подобных задачах часто приводит к более грубым оценкам гарантированной точности. Методы математического программирования (оптимизации) более точны, но трудоемки. Во второй главе диссертационной работы содержится описание, обоснование и примеры применения в задачах теоретической электротехники алгоритма предложенного автором метода решения рассматриваемой проблемы, основанного на интеграции принципа максимума Понтрягина и методов интервального анализа. Эффективность предложенного метода продемонстрирована на примерах решения актуальных задач теории нелинейных электрических и магнитных цепей.

Практически важной задачей теоретической электротехники является моделирование переходных процессов в электрических цепях с учетом дуги отключения. В третьей главе работы рассмотрены двусторонние методы для расчета величины коммутационных перенапряжений, имеющих место при дугогашении. Расчеты осуществлялись с использованием моделей процесса дугогашения двух основных типов: энергетической модели Майра и модели динамики плазмы дуги. Предложены и исследованы двусторонние как в строгом, так и в асимптотическом смысле методы на основе конечно-разностных схем с полярными остаточными членами.

В четвертой главе работы рассмотрено применение интервальных и двусторонних методов в проектных и поверочных расчетах магнитных систем. В этой главе работы описан интервальный метод глобальной нелинейной оптимизации и приводится пример его применения для оптимального проектирования электромагнитов постоянного тока с учетом погрешностей метода магнитных цепей и расчетной тепловой модели, неточности используемой характеристики намагничивания, погрешности численного метода оптимизации.

Интервальные и двусторонние методы для расчета электрического и магнитного полей рассмотрены в пятой главе работы. Для решения одномерных краевых задач предложен интервальный вариант метода стрельбы. Для случая задач большей размерности проведено исследование метода расчета полей на основе редукции исходной краевой задачи к граничным интегральным уравнениям и последующем применении к ним соответствующих интервальных и двусторонних методов.

В приложениях содержатся математические доказательства утверждений о свойствах предложенных методов.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики ЮжноРоссийского государственного технического университета (НПИ) в соответствии с научным направлением «Интеллектуальные электромеханические устройства, системы и комплексы» от 25.01.1995 г. № 3.15, которое относится к «Приоритетным направлениям развития науки и техники», утвержденным Председателем Правительства РФ 21 июля 1996 г. № 2727 п.-П.8, раздел «Математическое моделирование и методы прикладной математики».

Часть исследований выполнялась по х/д №4874 между ЮРГТУ (НПИ) и Всероссийским научно-исследовательским, проектно-конструкторским и технологическим институтом электровозостроения.

Результаты работы докладывались и обсуждались на 2-й Международной научно-технической конференции "Состояние и перспективы развития электроподвижного состава" (г. Новочеркасск, 4-6 июня 1997 г.), на 3-й Всероссийской научнотехнической конференции с международным участием "Теория цепей и сигналов" (г. Таганрог, 11-15 сентября 1996 г.), на 3-м Всероссийском симпозиуме "Математическое моделирование и компьютерные технологии" (г. Кисловодск, 1999 г.), на ежегодных научно-технических конференциях ЮРГТУ (НПИ).

Основное содержание диссертации опубликовано в работах [19-24, 35,36,38, 44, 52, 56-60, 67, 93,94, 107- 110, 115 - 117].

Диссертация содержит введение, пять глав, заключение, список литературы и приложение.

Выводы

Расчет с гарантированной точностью стационарных электрических и магнитных полей в линейных средах может осуществляться при помощи интервального варианта метода граничных интегральных уравнений. Данный метод, по сравнению с известными, имеет дополнительные преимущества для случая внешних краевых задач.

Разработаны эффективные алгоритмы вычисления интервальных оценок для потенциала поля, основанные на редукции соответствующей краевой задачи к ГИУ второго рода с потенциалами двойного слоя.

При наличии на границе области угловых точек может быть целесообразным использование процедуры регуляризации на основе интегрального преобразования Меллина.

Улучшение точности решения при неизменных вычислительных затратах может быть достигнуто также при помощи уменьшения шага разбиения границы в окрестности угловых точек.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведено исследование проблемы решения с гарантированной точностью ряда актуальных задач теоретической электротехники. В качестве основного средства решения данной проблемы использован математический аппарат интервального анализа и двусторонних методов.

В работе рассмотрены следующие классы задач: расчет переходных процессов в нелинейных электрических цепях, в том числе с учетом электрической дуги, решение краевых задач для электрического и магнитного полей, учет погрешности исходных данных, робастные модели, модели чувствительности и нелинейная оптимизация электротехнических систем.

Предложены и обоснованы эффективные методы для решения с гарантированной точностью систем уравнений состояния нелинейных электрических цепей: двухстадийный интервальный метод и двусторонние методы с апостериорной оценкой погрешности на основе формулы Грина. По свойствам устойчивости предложенные двусторонние методы существенно превосходят другие известные интервальные и двусторонние методы при практически одном порядке объема вычислительных затрат на шаге интегрирования. Обоснованные в работе методы позволяют осуществлять расчет с гарантированной точностью переходных процессов в нелинейных электрических цепях в случае больших промежутков интегрирования.

Осуществлен сравнительный анализ вычислительных качеств различных интервальных и двусторонних методов при решении конкретных задач теории переходных процессов в нелинейных электрических цепях.

Разработаны интервальные методы для решения практически важных задач теоретической электротехники с учетом погрешности исходных данных. Рассмотрены примеры практического применения данных методов к робастным моделям теории нелинейных электрических цепей.

Проведено исследование процессов коммутаций в электрических цепях с учетом дуги отключения. Разработаны математические модели и приближенные методы для расчета параметров переходного процесса в электрических цепях при дугогашении. Предложен и исследован двусторонний в асимптотическом смысле метод решения системы уравнений процесса дугогашения на основе применения парных конечно-разностных схем с полярными остаточными членами.

Рассмотрены конкретные примеры расчета характеристик отключающей способности дугогасительных камер с магнитным дутьем.

Предложены и исследованы интервальные методы глобальной нелинейной оптимизации и двусторонние методы для оценки чувствительности оптимизационных моделей электротехнических систем. Рассмотрено применение интервальных и двусторонних методов для решения задачи оптимизации электромагнитов в случае приближенно заданных исходных данных.

Проведено исследование на предмет возможности использования для расчета электрического и магнитного полей ряда интервальных и двусторонних методов.

Обоснован алгоритм двусторонней оценки решения одномерных краевых задач на основе метода стрельбы и рассмотрен пример его применения для расчета переменного электрического поля.

Разработаны интервальные методы для расчета электрического и магнитного полей, основанные на редукции исходных краевых задач к граничным интегральным уравнениям с регулярными операторами.

Предложены и апробированы на конкретных задачах электро- и магнитостатики интервальные методы решения интегральных уравнений теории потенциала.

Ряд программ и алгоритмов, реализующих обоснованные в работе модели и методы принят к практическому использованию во Всероссийском научно-исследовательском, проектно-конструкторском и технологическом институте электровозостроения в целях автоматизации исследований и повышения качества проектирования коммутационных аппаратов. ill 2,

1. Бахвалов Н.С. Численные методы,- М.: Наука, 1973.

2. Михлин С.Г. Некоторые вопросы теории погрешностей.-М.: Наука, 1988.

3. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики.- М.: Наука,1989.- 608 с.

4. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи.- М.: Мир,1990.- 512 с.

5. Калмыков С.А., Шокин Ю.И., Юлдашев З.Х. Методы интервального анализа.- Новосибирск: Наука, 1986. 224 с.

6. Добронец Б.С., Шайдуров В.В. Двусторонние методы.-Новосибирск: Наука, 1990. 208 с.

7. Two-sided methods based on defects: IMACS-GAMM Int. Symp. Numer. Meth. and Error Bounds, Oldenburg, July 9-12, 1995/ Dobronets Boris S.//Math. Res.- 1995.- C. 64-73.

8. Алефельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления.- М.: Мир, 1987.- 360 с.

9. Moore R.E. Interval analysis. Englewood Cliffs. N.J.: Prentice-Hall, 1966.

10. Байда Л.И., Добротворский H.C., Душин E.M. и др. Электрические измерения. Под ред. А.В. Фремке и Е.М. Душина,-Л.: Энергия. Ленингр. Отд-ние, 1980.-392 с.

11. Чуа Л.О., Пен-Мин Лин. Машинный анализ электронных схемалгоритмы и вычислительные методы). М.: Энергия, 1980. 12. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей,- М.: Высш. Шк., 1988.- 335 с.

12. Киншт Н.В., Кац M.А. Интервальный анализ в задачах теории электрических цепей. Электричество, №10/99, 45-57.

13. Вербицкий В.И., Горбань А.Н., Утюбаев Г.Ш., Шокин Ю.И. Эффект Мура в интервальных пространствах// ДАН СССР. -1989. Т.304, № 1.-С. 17-21.

14. Nickel К. Freiburger Intervall Berichte, 1979, N79/4.

15. Harrison G.W. Stability of linear systems with uncertain parameters. -■ Internat. J. Systems Sei., 1978, v.9, p. 1043 1053.

16. Harrison G.W. Compartmental models with incertain flow rates.-Math. Biosci., 1979, v.43, p. 131 139.

17. Nickel K.L.E. Using Interval Methods for the Numerical Solution of ODE's//ZAMM, 1986, Vol. 66, N 11, 513-523.

18. Некрасов С.А. Эффективные интервальные и двусторонние методы для расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях. //Изв. вузов. Электромеханика. №3. 2001. С. 38-41.

19. Некрасов С.А. Интервальный метод для интегрирования жестких систем ОДУ и его применение для расчета процессов в нелинейных электрических цепях./ Изв. вузов. Сев. Кавк. регион. Техн. науки. 2001 г. №3.

20. Некрасов С.А. Двусторонние методы интегрирования начальных и краевых задач./ Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т.35, №10, 1995, с. 1189- 1202 .2ЛЧ

21. Некрасов С.А. Двусторонние методы численного интегрирования начальных и краевых задач// Изв. вузов. Электромеханика. 1993. №1. С. 75-78.

22. Kolev L. Interval analysis a new tool for modelling and investigating system.- Proceeding Int. AMSNE cong. Modeling and simulation, Athens, 1984, June 27-29, vol. 1.2.

23. Edward P. Oppenheimer, Antony N. Michel. Application of Interval Analysis Techniques to Linear Systems: Part 1 Fundamental results.- IEEE Trans. On Circuit and Systems, 1988, vol. 35, № 9.

24. Edward P. Oppenheimer, Antony N. Michel. Application of Interval Analysis Techniques to Linear Systems: Part 2 -Interval Matrix Exponential Function.- IEEE Trans. On Circuit and Systems, 1988, vol. 35, № 10.

25. Edward P. Oppenheimer, Antony N. Michel. Application of Interval Analysis Techniques to Linear Systems: Part 3 -Initial Value Problems.- IEEE Trans. On Circuit and Systems, 1988, vol. 35, № 10.29.1993 IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems.

26. Данилов JI.B. и др. Теория нелинейных электрических цепей,- Л.: Энергоатомиздат, 1990.-256 с.

27. Основы теории цепей/ Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В., А.В. Нетушил, С.В. Страхов.- М.: Энергия, 1975.- 752 с.

28. Нерретер В. Расчет электрических цепей на персональной ЭВМ. -М: Энергоатомиздат, 1991. 220 с.

29. Рахимов О.С. Сравнительная оценка методов расчета переходных процессов в нелинейных электрических цепях,- Изв. вузов. Электромеханика, 1988, №3, с. 113-114.

30. Веников В.А. Переходные электромеханические процессы в электрических системах. М.: Высш. шк., 1985.

31. Некрасов С.А. Двусторонний метод решения задач Коши// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1986. Т. 26. №5. С. 771-776.

32. Некрасов С.А. О цостроении двусторонних приближений к решению задачи Коши// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т.28. №5. С. 660-668.

33. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

34. Некрасов С.А. ЭВМ в роли математика обзор приложений системы REDUCE. // Изв. вузов. Электромеханика, 1993, №4, с. 98- 107.

35. Дэвенпорт Дж., Сирэ И., Турнье Э. Компьютерная алгебра. М.: Мир, 1991.

36. Еднерал В.Ф., Крюков А.П., Родионов А.Я. Язык аналитических вычислений REDUCE.- М.: Изд-во МГУ, 1988.-176 с.

37. Климов Д.М., Руденко В.М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики.- М.: Наука, 1989.-215 с.

38. Мамедов И.Д. Условие самовозбуждения параметрического трансформатора с взаимно ортогональными магнитопроводами.// Изв. вузов. Электромеханика, 1984, №7, с. 54 57.

39. Кудрявцев Л.Д. Математический анализ, т.2.- М.: Высшая шк., 1970.- 422 с.

40. Некрасов С.А. Интервальные методы и алгоритмы глобальной нелинейной оптимизации и их применение в области проектирования электротехнических устройств. / Электричество, 2001, №8, с. 43-49.

41. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике .- М.: Наука, 1978.832 с.

42. Губанов В.В., Андреев В.П. Аналоговая модель резонансного регулятора выходного напряжения// Изв. вузов. Электромеханика. №6. 1989. С.86-92.

43. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве,- М.: Наука, 1970,- 536 с.

44. Кулон Ж.-Л., Сабоннадьер Ж.-К. САПР в электротехнике,- М.: Мир, 1988.-208 с.

45. Справочник по автоматическому управлению/ Под ред. A.A. Красовского.- М.: Наука, 1987.-712 с.

46. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач,- М.: Наука, 1988,- 552 с.

47. Ермольев Ю.М., Гуленко В.П., Царенко Т.И. Конечно-разностный метод в задачах оптимального управления. Киев: Наук. Думка, 1978.- 164 с.

48. Некрасов С.А. Методы интегрирования ОДУ с интервальными данными на основе принципа максимума и их применение для расчета электрических цепей с учетом неустранимой погрешности // Изв. вузов. Электромеханика. № 4. 2001. С. .

49. Меркурьев Ю.А. Минимаксные оценки параметров моделей управляемых объектов в условиях интервальной неопределенности исходной информации: Автореф. дис. . канд. техн. наук.- М., 1981.

50. Дмитриев М.Г., Добронец Б.С. Двустороннее решение задачи оптимального управления// Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации.- М.: ВИНИТИ и ГКНТ, 1985,- С. 55.1. ПЧ

51. Хольм Р. Электрические контакты. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.-464 с.

52. Бахвалов Ю.А., Лобанова Л.С., Некрасов С.А., Шабанова З.В. Автоматизация расчетов параметров дуговой эрозии и ресурса контактов. Изв. вузов. Электромеханика.- 1986.-№5,- С.39-50.

53. Дорофеенко В.М., Лобанова Л.С., Некрасов С.А., Шабанова З.В. Комплекс математических моделей, методик и программ для расчета технических параметров реле цепей управления электровозов. Электровозостроение: Сб. науч. тр. ВЭлНИИ,-1988,- Т.29-С. 94-99.

54. Никитенко А.Г., Некрасов С.А. Расчет параметров коммутационной способности электромеханических аппаратов автоматики. Электротехника.- 1998.- №1.- С.17-20.

55. Некрасов С.А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре. Дис. канд. техн. наук.- Новочеркасск, 1992.

56. Некрасов С.А. Математическое моделирование процессов тепло-, массо- и электропереноса в коммутационной и электроразрядной аппаратуре. Автореф. на соиск. учен. степ. канд. техн. наук. Новочеркасск, 1992.

57. Устойчивость горения электрической дуги/П.А. Кулаков, О.Я. Новиков, А.Н. Тимошевский.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1992.- 199 с. (Низкотемпературная плазма. Т.5).

58. Таев И.С. Электрические контакты и дугогасительныеустройства аппаратов низкого напряжения.- М.: Энергия, 1973.-423с.

59. Теория столба электрической дуги/В.С. Энгелыпт, В.Ц. Гурович, Г.А. Десятков и др.- Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.376 с.-(Низкотемпературная плазма. Т.1).

60. Математическое моделирование и автоматизация проектирования тяговых электрических аппаратов/ А.Г. Никитенко, В.Г. Щербаков, Б.Н. Лобов, Л.С. Лобанова; Под ред. А.Г. Никитенко, В.Г. Щербакова. М.: Высш. школа, 1996.- 544 с.

61. Кукеков Г.А. Выключатели переменного высокого напряжения.-Л.: Энергия, 1972.- 338 с.

62. Проектирование электрических аппаратов: Учебник для вузов/Г.Н. Александров, В.В. Борисов, Г.С. Каплан и др.; Под ред. Г.Н. Александрова.- Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1985.-448 с.

63. Лобанова Л.С., Некрасов С.А. Методы расчета максимальных напряжений на дуге при отключении цепей постоянного тока контакторами с узкощелевыми дугогасительными камерами Электровозостроение: Сб. науч. тр. ВЭлНИИ.- Новочеркасск, 2001, Т. -С.

64. Райзер Ю.П. Физика газового разряда. М.: Наука, 1987.- 592 с.

65. Панков П.С. Модифицированный алгоритм глобальной оптимизации с использованием миноранты по области.- В кн.: Алгоритмы. Вып. 47. Прикладные программы дискретной математики. Ташкент, 1982, с. 92-97.

66. Панкова Г.Д. Пакет программ для доказательных вычислений и его применения к построению эффективного алгоритма поиска глобального экстремума.- В кн.: Математические методы в исследовании операций: Тез. докл. Междунар. конф. София, 1980, с. 72-73.

67. Hansen Е. Global optimization using interval analysis : the one-dimensional case. J. Optim. Theory Appl. 29, 331 344 (1979).

68. Hansen E. Global optimization using interval analysis the multidimensional case. Numer. Math. 34, 247 - 270 (1980).

69. Strom Т. Strict estimation of the maximum of a function of one variable//BIT.- 1971.- V. 11 .-P. 199-211.

70. Mancini L.J., McCormick G.P. Bonding global minima// Math, of Operations Research.- 1976.- V.I.- P.50-53.

71. Bendzulla C. INTERVAL-FORTRAN-Praecompiler// Rechentechnik Datenverarbeitung.-1980.-B. 17, N 11.- S. 10-12.

72. Глазунов H.M. Расширение системы REDUCE-2 средствами проведения вычислений, учитывающих погрешности округления ЕС ЭВМ// Системы для аналитических преобразований в механике. Тезисы докладов всесоюзных конференций.- Горький: ГПУ, 1984,-С. 142-143.

73. Юлдашев З.Х. Алгоритмы реализации машинной интервальной арифметики для ЭЦВМ БЭСМ-6. Госфонд алгоритмов и программ СССР, П001726.- Аннот.: Алгоритмы и программы (ВНТИЦ).- 1976.- №2,- С.64.

74. Юдаев Г.С. Алгоритмы и программы нелинейной оптимизации.-Новочеркасск, 1992.- 203 с.

75. Стронгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах,- М.: Наука, 1978.- 240 с.

76. Математика и САПР: В 2-х кн. Кн. 2./ Жермен-Лакур П.,Жорж П.Л, Пистр Ф., Безье П.- Мир, 1989.-264 с.

77. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.- М.: Мир, 1975.- 547 с.ь

78. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс/ Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1988.- 128 с.

79. Любчик М. А. Оптимальное проектирование силовых электромагнитных механизмов.- М.: Энергия, 1974.- 392 с.

80. Никитенко А. Г. Критерии оптимальности и классификация электромагнитных механизмов// Электротехническая промышленность. Сер. Аппараты низкого напряжения. 1979. Вып. 7(83). С. 10- И.

81. Любчик М. А. Силовые электромагниты аппаратов и устройств автоматики постоянного тока.-М.: Энергия, 1968.- 151 с.

82. Электромеханические аппараты автоматики/ Б.К. Буль, О.Б. Буль, В.А. Азанов, В.Н. Шоффа.-М.: Высш. шк, 1988,- 303 с.

83. Основы теории электрических аппаратов / Б.К. Буль, Г.В. Буткевич, А.Г. Годжелло и др. М.: Высш. Шк., 1970,- 600 с.

84. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1982.

85. Eirola Timo. A posteriori error bounds for the back-and-forth shooting method. "Numer. Funct. Anal. And Optim.", 1987, 9, №1-2, 1-18 (англ.).

86. Сильвестр Питер, Феррари Рон. Метод конечных элементов для радиоинженеров.- М.: Мир, 1986.

87. Хижняк H.A. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики.- Киев: Наукова думка, 1986.

88. Некрасов С.А. Обучение студентов дедуктивной технологии моделирования на основе методов и систем инженерии знаний. Методы активизации познавательной деятельности студентов: Сб. науч. тр./НГТУ.- Новочеркасск, 1993,- С. 189-193.

89. Михлин С.Г.Линейные уравнения в частных производных.- М.: Высш. школа, 1977.- 431 с.

90. Ивлиев Е.А., Иоссель Ю.Я. К расчету электрической емкости методом площадок./УЭлектричество, 1983. №7. С.65-68.

91. Ивлиев Е.А. Расчет сопротивления растекания электродных систем в слоистой среде.//Изв. вузов. Электромеханика, 1988, №3, с. 17-22.

92. Алексидзе М.А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач.- М.: Наука, 1991.- 352 с.

93. Шапиро З.Я. Первая граничная задача для эллиптических систем дифференциальных уравнений.//Мат. сб.- 1951.- Т.28(70), №1.- с. 55-78.

94. Лопатинский Я.Б. Об одном способе приведения граничных задач для систем дифференциальных уравнений эллиптического типа к регулярным интегральным уравнениям.// Укр. Мат. журн.-1953,-Т.5, №2.-С. 131-151.

95. Краснов И.П. Расчетные методы судового магнетизма и электротехники.

96. Джураев А.Д. Метод сингулярных интегральных уравнений.-М.: Наука, 1987.-416 с.

97. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962.-256 с.

98. Шульга H.A., Болкисев A.M. Колебания пьезоэлектрических тел.- Киев : Наукова думка, 1990.-228 с.1Z. 0%

99. Агранович M.C. Эллиптические сингулярные интегро-дифференциальные операторы.// Успехи мат. наук.- 1965.-Т.20, вып. 5 (125).-С.4-120.

100. Панич О.И. Введение в общую теорию эллиптических краевых задач.- Киев: Вища шк., 1986.-128 с.

101. Некрасов С.А. Интегральные уравнения задачи Стефана. Ч. 1. Дифференциальные уравнения.- 1996.- Т.32, №6.

102. Некрасов С.А. Интегральные уравнения задачи Стефана. Ч. 2. Дифференциальные уравнения.- 1996.

103. Власов Ю.В., Некрасов С.А., Хентов В.Я. Методика косвенной оценки угла смачивания по геометрическим размерам пробной капли. Матем. моделирование.- 1994.- Т.6, №9.- С. 33-40.

104. Некрасов С.А. Интервальные и двусторонние методы оптимизации электромагнитов в случае приближенно заданных исходных данных // Изв. вузов. Электромеханика. № 2. 1986. С.22-25.

105. Самарский A.A., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений.- М.: Наука, 1978.

106. Киншт Н.В., Герасимова Г.Н., Кац М.А. Диагностика электрических цепей,- М.: Энергоатомиздат, 1983.

107. Анализ нелинейных электрических цепей методом имитационного моделирования./ Голубев В.П., Шевченко А.И., Яковенко В.В.//Изв. вузов. Электромеханика., 1991.-№9.-С.53-54.

108. Шашихин В.Н. Оптимизация интервальных систем. Автоматика и телемеханика, №11, 2000, с. 94-103.

109. Лобанова Л.С., Некрасов С.А., Шабанова З.В. Оптимизация материалоемкости в разрывных контактах. Специальные коммутационные элементы: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн. конф., г. Рязань, 19-21 сент. 1984 г. С. 12-13.