автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Моделирование осевого каналирования и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах

На правах рукописи

Штанов Юрий Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕВОГО КАНАЛИРОВАНИЯ И ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В КРИСТАЛЛАХ

05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учтшй стелен и кандидата (физико-математических наук

О г 1 - '^Г^О О ¡»1М,/ ¿1)1/.

Сургут - 2012

005019041

Работа выполнена в государственном бюджетом образовательном учреждении высшего профессионального образования «Сургутский государственный университет Ханты - Мансийского автономного округа- Югры»(СурГУ). Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Кощеев Владимир Петрович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Крючков Юрий Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент Гореликов Андрей Вячеславович

Ведущая организация: Обнинский институт атомной энергетики

(ИАТЭ) НИЯУ «МИФИ»

Защита состоится «22* мая 2012 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 800.005.06 при СурГУ, расположенном по адресу: 628412, Тюменская обл., Х.МАО - Югра, г. Сургут, пр-т Ленина, 1, зал административного еппета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СурГУ. Автореферат разослал «21» апреля 2012 г.

Отзывы и замечания по автореферату в двух экземплярах, заверенные печатью, просьба высылать по вышеуказанному адресу на имя ученого секретаря диссертационного совета.

Ученый секретарь диссертационного совета,

к.н.т., доцент О^^йЗ^з" B.C. Микшина

Общая характеристика работы Актуальность темы исследования

В настоящее время продолжаются работы но изучению процесса отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами. Это связано с тем, что задача является актуальной из-за использования изогнутых кристаллов для управления пучками частиц на ускорителях, например, таком, как протонный суиерсинхротрои в ЦЕРН. Объектом исследования являются результаты экспериментов, которые проводятся в физике высоких энергий. При проведении экспериментов регистрируются энергии, углы вылета, заряды, массы и т.д. больших ансамблей частиц (порядка 107 частиц за один сеанс). Метод компьютерного моделирования траектории каналщхлзаниых частиц является наиболее детальным методом анализа явления капалирования. В связи с этим разрабатываются алгоритмы и методы обработки для описания результатов экспериментов какой-то конкретной физической модели и комплексом моделей.

В ЦЕРН на. прогонном сунерсиихротроне были получены результаты экспериментов (Scandóle W.. Vomiero A., Dariamli S. et ni. 200S; Smndale W„ Vwme.iv A., Bayli E. fd al, 21)09), которые к настоящему вымени еще не получили своего адекватного описания. В этих работах выполнен эксперимент по отклонению п]ютоиоп и 7Г~ - мезонов с энергиями 400 и 150 ГэВ. соответственно, изогнутым кристаллом кремния.

Использование 51РМ-детекто]>ов (к^мниевых фотозлект]хшиых .умножителей) является актуальным во многих сферах деятельности науки и техники, например в медицине (Llosa G., Belmri N.. Bisogni M.G., 2001). Тем не менее спектры SiPM-детекторов со множественными пиками не описываются функцией распределения Ландау. Поэтому разработка методов и алгоритмов для обработки спектров данного тина является актуальной задачей.

Цель диссертационной работы постоит в математическом и компьютерном моделировании осевого кашиш]ювания и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах.

В соответствии, с поставленной цслыо в лиссертации 1>ешались следующие задачи: 1) разработка метода компьютерного моделхцювания траекторий каиали{юванных частиц, который позволит ¡»еализовать одни из принципов системного анализа, а именно: смену управления между управляющей и управляемой системами в точках. где изменение! динамических гкцк'менных происходит случайным образом: 2) разр<1ботка щюграммного комплекса для реализации ал «»ритма численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий быстрых наряженных частиц в осевых каналах с: учетом изгиба кристалла, многократного рассеяния, начальной расходимости и конечного размера пучка, частиц; 3) создание нового алгоритма обработки спектров с. одним и множественными пиками, которые были получены с помощью 81РМ-детекто1Х>в; 4) разработка программного комплексна для реализации новело алгоритма обработки спектров с; одним и множественными пиками, которые были получены с помощью 31РМ-детекторов. Научная новизна и практическая значимость Описанную в работе программу моделирования осевого каиалщхнзания заряженных частиц, основанную на решении уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий, можно использовать для анализа, и планирования новых экспериментальных исследований по прохождению заряженных частиц в прямых и изогнутых ориентированных кристаллах. В первую очередь комплекс п)х>дилзначен для ведущих ускорительных центров мира (ЦЕРН, Фермилаб, ИФВЭ, ПИЯФ, ОИЯИ) для решения задачи отклонения пучков быстрых заряженных частиц. Программны!! комплекс позволяет исследовать задачу отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами с очень большой статистической точностью для случая осевого

и плоскостного канали])ования. Это было достигнуто благодаря интериолиро-ванию непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Компьютерное моделирование, преследуя те же цели, что и эксперимент, имеет ряд преимуществ, такие как относительная дешевизна компьютерного эксперимента и возможность широкого варьирования параметров задачи. Также разрабагаг на программа SINSEL, которая основана на численном решении кинетического уравнения Ландау и позволяет описывать спектры с одним и множественными пиками. При фитировании спек'цхш новым решенном кинетического уравнения Ландау в программном комплексе SINSEL использовался алгоритм обработки графической информации, который позволяет раснозна.-вать спектр. Разработанный алгоритм можно использовать для сравнения результатов моделировании и эксперимента а последующих научно-исследовательских работах.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Предложен и реализован алгоритм численного }>ешеиия уравнения Фок-кера—Планка и щюстранствс энергий поперечной) движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла с помощью метода компьютерного моделщювания траекторий каналировалпых частиц.

2. Разработан программный комплекс TROPICS (Trajectory Of Particle In a Crystal Simulator) для моделирования траекторий движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла, представляющий собой алгоритмическое наполнение модели движения заряженных частиц в осевых каналах кристаллов и позволяющий вести расчеты с высокой статистической повторяемостью.

3. Получено ново; решение кинетического уравнения Ландау и виде ряда, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса.

4. Разработан программный комплекс SINSEL (Simulator New Of Solution

Equation of Landau), кагорый основан на новом решении кинетического уравнения Ландау.

Апробация работы Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика. фундаментальных взаимодействий» ИТЭФ, г. Москва, 2009, 2011 гг.:

- 40, 41 Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц е кристаллами (г. Москва, МГУ, 2010, 2011 гг.);

- 20 Международной конференции «Взаимодействии ионов с поверхностью» (ВИП-2011) (г. Звенигород, 2011 г.);

- V Международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебыше-ва и их приложение к современным проблемам естествознания»(г. Обнинск, 2011 г.);

- XII Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров 2011» (г. Обнинск);

-XVI научной конференции молодых ученых и специалистов ОМУС-2012. (г. Дубна, ОИЯИ);

- Всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области физических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (г. Томск, 2011 г.);

- X, XI окружной конференции молодых ученых «Наука и инновации XXI века» (г. Сургут. 2009, 2010 гг.).

Количество работ - 8.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 2 статьях в журнале «Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования» и в одной статье в журнале «Письма в ЖТФ», рекомендованных ВАК

Министерства образования и науки РФ; два свидетельства о регистрации программных комплексов TROPICS и SINSEL зарегистрированы в Роспатенте.

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Личный вклад соискателя состоит в проведении всех расчетов, компьютерного эксперимента, сравнении полученных данных сданными экспериментов и анализе результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, включает 44 рисунка, 5 таблиц, а также содержит список литературы из 80 наименований и приложение. Общий объем работы - 107 страниц.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована цель и аргументирована научная новизна исследования, показана практическая значимость полученных ¡результатов, представлены выносимые на защиту научные положении и сделан краткий обзор раГхст но эффекту ка-налировашш.

В первой главе диссертационной работы рассматривается теория осевого каналирования как математическая модель движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла, которая составляет основу компьютерно!« моделирования траекторий. Приводят«! непрерывный потенциал и коэффициент диффузии. Непрерывный потенциал осевого канала U{x, у), учитывающий тепловые колебания и местоположения атомов в элементарной кристаллической ячейке, был разложен и двойной тригонометрический ряд Фурье, при этом компонента Фурье потенциала изолированно!« атома

бралась в приближениях Мольер. Коэффициент диффузии быстрых заряженных частиц был представлен как сумма электронного и ядерного коэффициентов диффузии, описывающих многократное рассеяние на электронах и ядрах кристалла соответственно. Электронный коэффициент вычисляется в приближении локальной электронной плотности {Линдхард Й., 1969). а ядерный - в приближении Китаганы—Оцуки (Kituyawa М.. Ohtsuki У.В., 1973).

Во второй главе разрабатывается алгоритм для проведения компьютерного эксперимента осевого каналирования в пространстве поперечных энергий. Задаются щюмежуточные задачи, которые необходимо решить для выполнения поставленных целей. В качестве реализации алгоритма был выбран один из аистемпъа: методов системного анализа - моделирование на ЭВМ и проверка адекватности алгоритма экспериментальными результатами. Также отмечено, что в алгоритме реализуется основной принцип системного анализа - иерархичность строенияреализацию кото]х>го рассмотрим ниже.

В п. 2.1 описывается программный комплекс TROPICS, который включает в себя набор алгоритмов, вынесенных в отдельную библиотеку TROPICSLib. и графический ипте]х}>ейс. TROPICS использует: библиотеку MatliGL для по строения графиков (mathnl.fif.net): ОрепМР (Антонов А.С., 2009) для распараллеливания на процессоре и Qt для построения графического интерфейса. (Боровский А.Н., 2012; Шлее М.. 2010). Библиотека MathGL позволяет строить графики высокого качества и сохранять их в самые распространенные форматы. Графическая составляющая комплекса благодаря Qt поддерживает систему плагинов, при помощи кото[юй можно расширить возможности комплекса, встроив необходимый алгоритм. При разработке комплекса использовалась система управления версиями Subversion (Pilato М.С. et. id., 2008), а также для TROPICSLib с помощью системы документирования Doxygen (Books Н., 2011) разработана справка. Для задания параметров пуч-

ка частиц используется распределение Гаусса, поэтому для получения случайных чисел, удовлетворяющих нормальному распределению, используется алгоритм, описанный в работе (Кнут Д.Э., 2011). Комплекс TROPICS является зарегистрированным, бесплатным и использует лицензию GPL. Программный комплекс работает под управлением ОС Linux или Windows. Здесь же описываются алгоритмы для моделирования детектирующей системы частиц. Приводятся основные действия дли работы с программой и некоторые ее графические окна. В конце приводится алгоритм «подкачки страниц» для снятия ограничения количества налетающих частиц в пучке от оперативной памяти ЭВМ. позволяющий обрабатывать большие массивы данных. В результате этого алj«ритма стало возможным щюводить моделирование с количеством частиц начиная от 10000. Стоит также отметить, ч то со снятием ограничения количества частиц от- оперативной памяти ЭВМ снизились требования щюграммпого комплекса к скорости и объему оперативной памяти. Но и результате возросли требования к скорости и емкости жесткой) диска, так как файл данных расчёта может занимать 10-15 ГэВ и больше места на жестком диске.

В п. 2.2 приводится векторная реализация методов Рунге-Кутты для решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений, блок-схема метода Рунге-Кутты с постоянным и переменным шагом. Следуя работе {Хай-рер Э., Нсрсетт С., Ваннер Г., 1900). все методы Рунге-Кутты составлены ч«:рез таблицы Бутчера. Благодаря библиотеке STL языка С-г* стало возможным реализовать методы Рунге-Кутты в векторном виде.

В п. 2.3 выполняется построение одномерной и двумерной сплайн-интерполяций ДЛЯ ускорения вычисления производных от непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Одномерная интерполяция строится с помощью разделенных разностей, а двумерная интерполяция - с помощью ряда Тейлора. Благодаря работе (Калиткип H.H.. 1978) построена двумерная ку-

9

сочно-гладкая эрмитова интерполяция на трсугагыюй сетке. Прямоугольник разбивается па два треугольника, в каждом из них строится эрмитов бикубический сплайн с дополнительным условием, связанным со значением функции в центре масс треугольника (см. рис.1). Такой подход обладает преимуществами: получается многочлен минимальной степени (не г[юбу<гг информации о смешанной производной функции), и расходуется меньше памяти ЭВМ. Стоит также отметить, что именно бикубическая эрмитовая интерполяция используется во всех компьютерных экспериметах, выполненных с помощью ТКОР 1С Б.

Результаты интерполяции, показывают, что интерполяция осуществляется достаточно хорошо. Наибольшее скоиленио ошибок наблюдается в точках резкого изменения вида функции, то есть r точках расположения атомов кристалла. Но главный плюс интерполяции заключается в скорости вычисления непрерывного потенциала с помощью приближающего сплайна. Время расчета непрерывного потенциала для посцюения поверхности при использовании интерполяции составляет 0.083-0.087 сек, а для случая без использования интерполяции - 34-37 сек. Итого выигрыш в скорости составляет более 400 раз, что, несомненно, ускоряет основную задачу моделирования.

В п. 2.4 приводится выражение для расчета средней амплитуды тепловых колебаний атомов кристалла (Gemmel D.S., 1974)- В (п. 2.5) рассмат-

ривается кристаллическая структура тииа алмазной, приводится выражение дли расчета межплоскостного расстояния для 1>ешетки произвольной синго-нии, также представлено электрическое поле в кристалле кремния. В п. 2.6 рассматривается поворот кристаллографической плоскости или оси на yiлы Эйлера с помощью матриц поворота, благодаря которым можно получить любую необходимую кристаллографическую плоскость или ось.

В п. 2.7 на основании кинет ического подхода к описанию каналирования осуществляется вывод системы дифференциальных уравнений для описания движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла, который является обобщением работы (Кощеев В.П., Холодов А.К., Моргун Д.А., 4009) на случай осевого каналирования. Кинетическое уравнение Фоккера— Планка (Мартыненко К).В., 1971) в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных час тиц в осевых каналах для толстого кристалла и мест вид

^of^ = И^'*)' Р(Е±, t)\ + ^ [В(Еи t) ■ Р(Е±, t)], (1)

где Р(Ех, t) - функция распределения частиц по поперечной энергии Е± в момент времени t.

Р< мнение кинетического уравнения Фоккера—Планка будем искать методом компьютерного моделирования траекторий каиали}х)ванных частиц. Толстый кристалл, ы котором справедливо кинетическое уравнение Фоккера—Планка. разбивается на стопку тонких, в каждом из которых коэффициенты дрейфа Л(Е_1, t) и коэффициент диффузии В(Е±, t) ощнгделяются аналогично работе (Кощеев В.П., Холодов А.К., Моргун Д.А., 2009) следующим образом

¿(25.1,4) = 0, B(Ex,t

pEf = D(x,y) [j2 + f], (2)

где х = х(1) и у — у(Ь) - ¡жшйши1 уравнений Ньютона

дйеи(х, у) тх =---

^ дйеИ{х,у) ' (3)

=--щ—

где иец(х, у) = 11(х, у)—рух/Ях —руу/Иу; т - масса канали|юванной частицы; и(х,у) - непрерывный осевой потенциал; р - импульс, каналщювниной частицы; V - скорость заряженной частицы в направлении оси 02; Ях, Яу ~ радиусы изгиба кристалла в направлении оси ОХ и ОУ. соответственно, которые изменяются с глубиной г\ г = V • I.

Начальные условия к уравнению (3) имеют вид: Хо = 3(0), уа = у(0), жц = = х(0),Щ = у(0). Тогда уравнение (1) перейдет в уравнение диффузии

дг 2 дЕ'{

(4)

которое является приближенным уравнением Фоккера—Планка на небольших отрезках траектории. Решением уравнения диффузии является функция распределения Гаусса

Ро(Е„1)= (2жЩ)-1/аец>[- (5)

где = Щ(хп + уп) + С/е//(Ж„, уп) - значение; иоперечиой энергии в момент времени

Моделирование многократного рассеяния производится при превышении порогового значения среднего квадрата флуктуации поперечной энергии $Е\тах. Многократное рассеяние запрещается, если после предыдущего рассеяния пройдено расстояние меньше тт{п, которое определяется минимальным ко личеством столкновений частицы с атомами кристалла, после кото{юго возможно [Рассеяние. Многократное рассеяние, которое моделируется с помощью набора соотношений для переопределения поперечных ско{юстей па момент

превышения критическою значения среднего квадрата флуктуации поперечной энергии дЕ'1тах

Ли2 = -л/-2ЩЫР0(Е1_),

ТП *

^и+1 = + Лисов ф, (б)

^у|п+1 = + ДиСО йф,

где 1)х, г>у - щюекгщи скорости каналщхжанной частицы. Случайные величины Рд(-Бх) и ф равномерно распределены па интерватах 0 < Ро(Е±) < 1 и О < ф < 2я\

В результате задача, осевого каналирования в пространстве поперечных энергий сводится к решению управляемой системы (3) совместно с управляющим уравнением (2) и переопределением скоростей с помощью соотношений (6). В чтом же пункте выполняется обезразмериваиие системы (2) и уравнения (3), которое состоит н приведении парамет1юв движения к постоянной |)е-шеткн кристалла <1. Рассмотрим, как наблюдается один из принципов системного анализа - иерархичность строения, который хорошо наблюдается на пример; разработанной модели. Происходит интегрирование системы (3), которая называется ущиаллнпцей, так как от ее значений зависит решете уравнения (2). Это уравнение играет роль управляемой систслт. На момент времени, когда, частица на шаге п прошла глубину больше ттах и 5Е\п > 6Е± , унраляемая система начинает оказывать влияние на управляющую систему. То есть управляемая система становится управляющей, а управляющая -управляемой. После розыгрыша происходит смена управления в системе, и цикл повторяется. Этот цикл можно пронаблюдать на рис. 2. На графике для скорости и средне«) квадрата, флуктуации видны резкие изменения величин, что свидетельствует о розыгрыше скоростей и о смене управления в системе. Тем самым видно, как наблюдается смена иерархичности строения в задаче осевого каналирования п пространстве поперечных энергий.

0.04 0.06

г. мм

Ъ

ъ

К

ту

дУг.ц(х.у) дх

а..

ду

члг о.ол 0.06

2, НИ

Рис. 2. График траектории, скорости и среднего квадрата флуктуации для одного протона с энергией 450 ГчВ в (100) плоскостном канате кристалла кремния в приближении Мольер при начальных условиях: х/Л = 0.01, и^/еи = 0.01, ЙЕ2,^,* = 0.1 чВ2. Шаг иытегрщювания равняйся 0.1014 мкм. а т1ти = 0.11 мкм; г толщина кристалла, связанная со скоростью каналированной частицы и соотношением г = и <1 — 5.4307 А, г = 5.35 мкрад.

14

В п. 2.8 рассматриваются вопросы адекватности алгоритма численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла. Для этого исследуется движение быстрых заряженных частиц в изогнутом кристалле кремния (Scandale И'.. Vomk.ro A., Barimrdi S. et. al. 2008 и Scandale W.. Vomiero A.. Bagli E. et al. 2009). Поданным первой работы были измерены угловые распределения протонов с энергией 400 ГэВ в 2 мм кристалле кремния п направлении {111). Кристалл был изогнут па радиус кривизны 40 м. Угловое разрешение детектирующей системы Авх = Ав„ = 3 мкрад. При расчете использовался игаг интегрирования 0.0333 мкм, JËPmax = 1 эВ2,тт*„ = = 0.04 мкм,<Г£2(0) = 0. Для учета асимметрии распределений пучок был раяориентирован по оси OY на -7 мкрад (см. рис.3). Видно, что результаты компьютерного моделирования, представленные ira рис. 3. не отличаются от экспериментальных. Также было выполнено суммирование по оси ОХ для рис. Зс и сделано сравнение с. экспериментом (см. рис. 4). Видно, что полученное распределение при угле ралорнентации 14 мкрад описывает экспериментальное. Также в этом пункте исследуется движение 7г± - мезонов с энергией 150 ГэВ в также изогнутом кристалле кремния. В п. 2.9 приводятся доводы в пользу достоверности разработанной модели.

В третьей главе рассматривается новое решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии, которое позволяет описывать как спектры с одним Ш1КОМ. так и спектры со множественными осцилляционными пиками. Проводится подробный вывод нового решения, а также выражения для определения его параметров, которые находят из фитируемых спектров. Новое решение кинетического уравнения Ландау совпадает с рядом, полученным эмпирическим путем п работе (Bellamy Е. Н.. ВсЛШМпг G., Budagov J. et al., 1994). Кинетическое уравнение Ландау (Ландау Л. Д., 1969) для потерь

100 50 0 -50 -100

б) „ о Ä Ф

в)

-50 -100 100 50 0 -50 -100

-100 -50 0

50 100

50 100 -80 -40 0

Qx, мкрад

40 60

Риг. 3. Распределение прогонов с энергией 400 Г-зВ по углам отклонения -sa кристаллом Si. (111). полученное с помощью компьютерного моделирования (слева) и приближении Мольер и эксперимента (Scandale W.. Vomiert) A., Baricorit S. et al., 2008) (справа). Pa-зориетшшя в направлении оси ОХ и OY: а) -40 мкрад; -7 мкрад, б) -15 мкрад; -7 мкрад. в) 0 мкрад: -7 мкрад. Количество частиц 10000, время расчета составило '2 ч.

Рис. 4. Распределение протонов с энергией 400 ГэВ по углам отклонения .« кристаллом Si, (111), полученное с помощью компьютерного моделирования и приближении Мольер и эксперимента (Scandaie W.. Vomie.m A., Barimrdi S. et al., 2(Ю8). Разориснгация в направлении оси ОХ и OY: а) 14 мкрад; 0 мкрад и для случая б) и эксперимента - 0 мкрад; О мкрад. Расходимость в направлении оси ОХ и OY равнялась 5 мкрад и а мкрад соотига-ственио. Количество частиц равно 5000, время расчета составило 46 мин.

энергии быстрых частиц в веществе имеет вед

+оо

df(A,t) dt

= | w(e, t) [/(Д -e,t)~ f(A, i)] de, (7)

где /(Л, í) - плотность вероятности того, что на момент времени t частица потеряла энергию Д; ш{е, t) - плотность ве]юятности тот, что в единицу времени частица потеряет энергию е; в})емя t связано с глубиной проникновении г с помощью соотношения г ~ vt; v - скорость частицы.

Интегрирование в уравнении (7) выполняется в бесконечных пределах, так как функция локализована в окрестности е = Д£. Функция распределения нормирована на единицу /(Д, t) и удовлетворяет начальному условию /(Д, 0) = 5(Д), где 5(Д) - дельта-функция Дирака. Л.Д. Ландау выбрал {функцию ш(е) в виде резерфордовского сечения рассеяния заряженной частицы на свободных электронах (Ландау Л.Д., 1969). В последующих работах (см.. например, литературу в (Bichsel Н., 2006)) было учтено рассеяние на связанных электронах. Здесь предложен иной подход к выбору функции u(s). Следуя работе (Ахимер А.И., Шульга Н.Ф., 1993), разложим /(Д - е) в ряд Тейлора, получим

ял-.о-дд.,,-^!*^... <s,

В качестве ы{е, t) выберем ядро, которое использовал в своей работе Л.Д. Ландау, и подставим (8) в (7). Решение будем искать и виде /(Д, t) — g(A, t)+..., тогда получим уравнение Фоккера—Планка для описания потерь энергии, ¡м> шением которого является функция распределения Гаусса

где ^ = wL(e, t)£d£ и = J^ шь(е, t)s2de: а Д7- среднее и ~Щ- средний квадрат флуктуацпй потерь энергий быстрых заряженных частиц на небольшом отрезке траектории.

Функцию ш(е, t) определим следующим образом: w(e,t) = ц ■ dg(e,t)/dt и подставляем со в (7)

df(A,t) dt

+00

fJ.^^f(A-e,t)ds, (9)

(10)

где ц - свободный параметр, определяемый из эксперимента. Решение уравнения (7) будем искать, используя преобразование Фуры? по Д. таким обрат зом, получим характеристическую функцию /(*), которую затем разложим п степенной ряд и, применяя обратное гцхюбразование Фурье, получим новое решение кинетического уравнения Ландау

/(Д) = ехр(—/г) [¿(Д) + ¿ ^ехрЬ(Д~пД^/2пЩ| »=1 П- y¡2imSA* J

В рамках теории был создан и запатентован щхлраммпый комплекс SINSEL, который имеет лицензию GPL и работает под управлением операционных систем Windows и Linux. Сравнение теории и эксперимента выполнялось в рамках обратной задачи. Первое слагаемое в функции распределения (10) описывает ту часть пучка частиц, которые не испытывают потерь энергии. При обработке результатов эксперимента такие частицы не рассматриваются. Флуктуации потерь энергии быстрых частиц в веществе будем описывать с помощью второго слагаемого в с{х>рмуле (10), которое свернем с функцией распределения Гаусса и нормируем на единицу

F(A) = 1 Y ^ exp [ - (Д - пХ)2/2(Щ + уЩ)]

где íAq - стандартное отклонение, которое связано с энергетическим разрешением спектрометрического тракта.

Среднее значение потерь энергии будем определять из энергетического спектра по формуле

д = £„ДпГ(дп)

Еп^(Дп) ' (12)

19

где п - номер канала энергетического спектра; У( Д„) - число отсчетов в п-м канале, которому соответствует потенциальная энергия Дп.

Среднее значение потерь энергии и Д£ связаны между собой формулой

(13)

Уравнение (13) решалось при помощи W-функции Ламберта (Дубтюв А.Е., Дубипова И.Д., Сайков С.К., 2006).

Комплекс SINSEL имеет два модуля, в одном из которых происходит вычисление нового решения кинетического уравнения Ландау по формуле

(11). Полученное распределение можно сравнить со спектром, который распознал помощью алгоритма обработки графической инс]>ормации. Рассмотрим алгоритм работы с программой SINSEL. Сначала экспериментальный спектр распознают, затем, передавая управление главному окну, определяют параметры AS,A но значениям спектра. После этого выполняют численное решение трансцендентного уравнения с помощью W-функции Ламберта, из которого определяют параметр fi. Варьируется параметр SA'j для наилучшего согласия с экспериментом и затем выполняют расчет новой) решения кинетического уравнения Ландау.

Фитированы амплитудные спектры (Dolgoshein В.. Bolagam V., Buzhan Р., et ei.,2006 и Simon F.. Soldner С.. 2010), которые; представлены на рис. 5 и рис. б, соответственно. На рис. 5 параметр Ае для епект)хш Sr90(o) (сплошная толстая линия) и Pw238(D) (пунктирная линия) найден из спектра LED (сплошная тонкая линия), а остальные параметры найдены по формулам

(12), (13). Для рис. б параметр Ае найден как расстояние между пиками, а параметры SA'j варьировались для наилучшего согласия с экспериментом.

Каналы

Риг. Г». Амплитудные спектры (Dolyoxliciu В., BaUufura V.. Bnzhmt Р.. «/ «/.. tKUMI) .пя LED (сплошная топкая липпя). ,у1я /3-ча<лнп. испущенных при распаде irnmi» Srm. и «••мсти«, испущенных при распаде тотопа Риш. Спектры для Sr^iо) (сплошная пиггая линия) и Pu23a(D) (пунктирная лшшя) Пыли фитнрованм полым решением кинетического уравнения Ландау (11) со следующими параметрами: ¡л = 12.35.ТЩ1'2 = 15.97, Д7 =

Каналы

Рис. 0. Амплитудный спектр (Simon F., Söldner С.. ä010) электронов (радиоактивный «(гтчннк тотоп Srm) ( гплоггшпя линия), фнтщюванный новым решением кин/ггтнч-кот

уравнения Ландау (11) (пунктирная линия) е параметрам»: ß = 14.50,6A'f/2 = 1.40, Д7 = _ _

~ 14.50, Д = 189.39, Дд = 1. Цена канала: 21552 электронов,.'канал.

В заключении сформулированы основные {юзультаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработан метод компьютерного моделирования траекторий каналнро-' ванных частиц, с помощью которо«) получено решение кинетическою уравнения Фоккера—Планка и пространстве поперечных энергий.

2. Разработана компьютерная программа TROPICS для исследования движения кшIалированных частиц (положительных и отрицательных: протонов, ионов, антипротонов, тг-мезонов и до.) в осевых и плоскостных каналах кристаллов, учитывающая изгиб кристалла. многократное рассеяние, начальную расходимость пучка частиц, различные аипроксима-ции потенциала отдельною атома.

3. Разработан алгори тм. основанный на новом решении кинетическою уравнении Ландау, записанного в виде ряда, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса, и ориентированный на обработку снект]Х)в с одним и множественными пиками, которые были получены

с помощью SiPM-детекторов.

4. Разработана компьютерная щюграммн SINSEL, которая основана на новом решении кинетического уравнения Ландау и позволяет обрабатывать спектры с одним и множественными пиками.

Компьютерные программы TROPICS и SINSEL размещены в свободном доступе на сайтах http://tropics.sf.net и http://siusel.sf.net соответственно.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Штанов Ю.Н. Модели]х)ваиие iijxuiecca отклонения протонов и тт~ - мезонов кристаллом времиия // Письма в ЖТФ.

2012. Т. 38, № 12. С. 87-94.

2. Кощеев В. П., Моргун Д. А., Штанов Ю.Н. Новое решение кинетического

уравнения Ландау дли потерь энергии быстрых частиц в кристаллах /,'

Поверхность. Рентгеновские, синхротроиные и иейт]юнные исследования. 2012. № 1. С. 105-107.

3. Кощеев В. П., Моргун Д. А.. Панина Т.А.. Штанов Ю.Н. Влияние квантовых флуктуаций на движение релятивистских протонов в кристаллах // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и ней'пюнные исследования. 2012. № 2. С. 78-82.

4. Штанов Ю.Н., Кощеев В. П., Моргун Д. A. TROPICS /,/ Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2012610689. М.: Роспатент, 2012.

5. Штанов Ю.Н., Кощеев В. П., Моргун Д. A. SINSEL // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611121. М.: Роспатент, 2011.

6. Кощеев В.П., Моргун Д.А., Панина Т.А., Штанов Ю.Н. Влияние квантовых флуктуаций на процесс отклонения частиц изогнутым кристаллом /'/ Сборник тезисов: Труды 20 международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2011)». Т. 1. Звенигород: М., 2011. С. 200-203.

7. Штанов Ю.Н. Моделирование нового решения кинетического уравнения Ландау при помощи программного комплекса SINSEL // Сборник тезисов лауреатов Всероссийского конкурса научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области физических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки / Томский политехнический университет. Изд-во Томского политехнического университета, 2011. С. 240-241.

8. Моргун Д.А., Кощеев В.П., Штанов Ю.Н., Панина. Т.А. Численное решение кинетического уравнения Фоккера-Планка методом пропагатора в задаче моделирования эффекта осевого каналирования // Тезисы докладов XII Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров 2011». Обнинск, 2011. С. 105-107.

Подписано в печать 18.04.2012 г. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,3. Уч.-пзд. л. 1,4. Тираж 100. Заказ № П-38.

Отпечатано полиграфическим отделом Издательского центра СУрГУ. г. Сургут, ул. Энергетиков, 8. Тал. (3402) 76-30-67.

ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет ХМАО-Югры» 628412, Россия, Ханты-Мансийский агаономный округ, г. Сургут, up-т Ленина, 1. Теп. (3462) 76-29-00, факс (3462) 76-29-29

61 12-1/973

ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет ХМАО - Югры»

На правах рукописи

Штанов Юрий Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЕВОГО КАНАЛИРОВАНИЯ И ПОТЕРЬ ЭНЕРГИИ БЫСТРЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В КРИСТАЛЛАХ

05.13.01 - «Системный анализ, управление и обработка информации»

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель д. ф.-м. н., профессор Кощеев Владимир Петрович

Сургут - 2012

Содержание

Введение ......................................................................................3

Глава 1. Теория осевого каналирования............................................9

1.1. Потенциальная энергия взаимодействия частиц с атомами кристалла .... 9

1.2. Коэффициент диффузии............................................................14

1.3. Уравнения движения и многократное рассеяние................................22

1.4. Средний квадрат флуктуации поперечной энергии..............................24

1.5. Потери энергии при прохождении частицы через слой вещества..............25

Глава 2. Моделирование траекторий движения частиц........................27

2.1. Основные модули и возможности программы..........................28

2.2. Векторная реализация методов Рунге—Кутты для решения систем ОДУ . . 37

2.3. Построение одномерной и двумерной сплайн-интерполяции для ускорения вычисления функций со сложным характером поведения......................42

2.4. Расчёт средней амплитуды тепловых колебаний атомов кристалла ..........56

2.5. Кристаллическая структура........................................................56

2.6. Поворот кристаллографической плоскости или оси на углы Эйлера............62

2.7. Модель описания осевого каналирования с помощью кинетического уравнения Фоккера-Планка в пространстве поперечных энергий......................62

2.8. Движение быстрых заряженных частиц протонов и тг* - мезонов в направлении оси (111) изогнутого кристалла кремния..................................69

2.9. Достоверность модели и полученных результатов ..............................80

Глава 3. Новое решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии ..........................................................................................82

•3.1. Вывод нового решения кинетического уравнения Ландау для потерь энергии 82

3.2. Программный комплекс ЗПЧ'ЭЕЬ ..................................................90

Заключение ..................................................................................98

Литература.......................................................99

Введение

В настоящее время продолжаются работы по изучению процесса отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами. Это связано с тем, что задача является актуальной из-за использования изогнутых кристаллов для управления пучками частиц на ускорителях, например, таком, как протонный суперсинхротрон в ЦЕРН. Объектом исследования являются результаты экспериментов, которые проводятся в физике высоких энергий. При проведении экспериментов регистрируются энергии, углы вылета,, заряды, массы и т.д. больших ансамблей частиц (порядка 107 частиц за один сеанс). Метод компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц является наиболее детальным методом анализа явления каналироваиия. В связи с этим разрабатываются алгоритмы и методы обработки для описания результатов экспериментов какой-то конкретной физической модели и комплексом моделей.

В настоящее время при проведении компьютерного эксперимента, в плоскостных каналах кристалла используют программы [1, 2], а в осевых каналах кристалла компьютерные модели Шульги Н.Ф. и др. [3, 4]; комплекс алгоритмов SCRAPER Язынина И .А. и др. [5]; программу Тихомирова В.В. [6, 7] и программу Маслова А.К. и др. [8]. Комплекс SCRAPER учитывает миогооборотиый характер движения частиц в реальной структуре ускорителя и многократное взаимодействие их с кристаллами и применялся для моделирования коллимации пучков и эффективности вывода. В работе [6] разработай алгоритм для моделирования многократного объёмного отражения между различными плоскостями в изогнутом кристалле кремния.

Еще в 1976 г. Э.Н. Цыгановым в работе [9] было предсказано, что отклонять быстрые заряженные частицы можно с помощью изогнутых кристаллов, которое впоследствии было подтверждено в ОИЯИ г. Дубна. С использованием изогнутых кристаллом были открыты такие эффекты, как объемный захват [10], объемное отражение [11], поворот спина [12]. Среди современных работ по этим эффектам можно назвать работу [13], которая была выполнена на протонном суперсинхротроне в ЦЕРН, в которой наблюдается эффект многократного объемного отражения ультрарелятивистских протонов с энергией 400 ГэВ сборкой из нескольких изогнутых кристаллов кремния. В работах [14, 15), также наблюдается многократное объемное отражение протонов с энергией 400 ГэВ и - мезонов с энергией 150 ГэВ, соответственно, различными плоскостями в изогнутом кристалле кремния.

В ЦЕРН на протонном суперсинхротроне были получены результаты экспериментов [16, 17], которые к настоящему времени еще не получили своего адекватного описания. В этих работах выполнен эксперимент по отклонению протонов и тг~ - мезонов с энергиями 400 и 150 ГэВ, соответственно, изогнутым кристаллом кремния.

Использование SiPМ-детекторов (кремниевых фотоэлектронных умножителей) является актуальным во многих сферах деятельности науки и техники, например в медицине [18]. Тем не менее спектры SiPM-детекторов со множественными пиками не описываются функцией распределения Ландау. Поэтому разработка методов и алгоритмов для обработки спектров данного типа является актуальной задачей. В 1944 г. Л. Д. Ландау впервые получил функцию распределения для описания потерь энергии в тонких слоях вещества и получил выражение для наиболее вероятных и средних потерь энергии [19]. В 1957 г. П.В. Вавилов получил точное решение задачи о флуктуациях ионизационных потерь тяжелых частиц в тонких мишенях [20]. Попытки описывать спектры со множественнми пиками, полученные от светодиода были сделаны в работе [21] с помощью ряда, состоящего из произведения функции распределения Пуассона и распределения Гаусса, который был получен эмпирическим путём.

Цель диссертационной работы состоит в математическом и компьютерном моделировании осевого каналирования и потерь энергии быстрых заряженных частиц в кристаллах.

В соответствии с: поставленной целью в диссертации решались следующие задачи: 1) разработка метода компьютерного моделирования траекторий каналироваиных частиц, который позволит реализовать один из принципов системного анализа, а именно: смену управления между управляющей и управляемой системами в точках, где изменение динамических переменных происходит случайным образом; 2) разработка программного комплекса для реализации алгоритма численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий быстрых заряженных частиц в осевых каналах с учетом изгиба кристалла, многократного рассеяния, начальной расходимости и конечного размера пучка частиц; 3) создание нового алгоритма обработки спектров с одним и множественными пиками, которые были получены с помощью SiPM-детекторов; 4) разработка программного комплекса, для реализации нового алгоритма обработки спектров с одним и множественными пиками, которые были получены с помощью SiPM-детекторов.

Научная новизна и практическая значимость

Описанную в работе программу моделирования осевого каналирования заряженных

частиц, основанную на решении уравнения Фоккера—Планка в пространстве поперечных энергий, можно использовать для анализа и планирования новых экспериментальных исследований по прохождению заряженных частиц в прямых и изогнутых ориентированных кристаллах. В первую очередь комплекс предназначен для ведущих ускорительных центров мира (ЦЕРН, Фермилаб, ИФВЭ, ПИЯФ. ОИЯИ) для решения задачи отклонения пучков быстрых заряженных частиц. Программный комплекс позволяет исследовать задачу отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами с очень большой статистической точностью для случая осевого и плоскостного каналирования. Это было достигнуто благодаря интерполированию непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Компьютерное моделирование, преследуя те же цели, что и эксперимент, имеет ряд преимуществ, такие как относительная дешевизна компьютерного эксперимента и возможность широкого варьирования параметров задачи. Также разработана программа SINSEL, которая основана на численном решении кинетического уравнения Ландау и позволяет описывать спектры с одним и множественными пиками. При фитировании спектров новым решением кинетического уравнения Ландау в программном комплексе SINSEL использовался алгоритм обработки графической информации, который позволяет распознавать спектр. Разработанный алгоритм можно использовать для сравнения результатов моделирования и эксперимента в последующих научно-исследовательских работах.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Предложен и реализован алгоритм численного решения уравнения Фоккера—Планка в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла с помощью метода компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц.

2. Разработан программный комплекс TROPICS (Trajectory Of Particle In a Crystal Simulator) для моделирования траекторий движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла, представляющий собой алгоритмическое наполнение модели движения заряженных частиц в осевых каналах кристаллов и позволяющий вести расчеты с высокой статистической повторяемостью.

3. Получено новое решение кинетического уравнения Ландау в виде ряда, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса.

4. Разработан программный комплекс SINSEL (Simulator New Of Solution Equation of Landau), который основан на новом решении кинетического уравнения Ландау.

Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях:

- Научной сессии-конференции секции ЯФ ОФН РАН «Физика фундаментальных взаимодействий» ИТЭФ, г. Москва, 2009, 2011 гг.;

- 40, 41 Международных конференциях по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, МГУ, 2010, 2011 гг.);

- 20 Международной конференции «Взаимодействия ионов с поверхностью» (ВИП-2011) (г. Звенигород, 2011 г.);

- V Международной конференции «Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания»(г. Обнинск, 2011 г.);

- XII Международной конференции «Безопасность АЭС и подготовка кадров 2011» (г. Обнинск);

- XVI научной конференции молодых ученых и специалистов ОМУС-2012. (г. Дубна, ОИЯИ);

- Всероссийском конкурсе научно-исследовательских работ студентов и аспирантов в области физических наук в рамках Всероссийского фестиваля науки (г. Томск, 2011 г.);

- X, XI окружной конференции молодых ученых «Наука и инновации XXI века» (г. Сургут, 2009, 2010 гг.).

Количество работ - 8.

Публикации

Материалы, изложенные в диссертации, опубликованы в 2 статьях в журнале «Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования» и в одной статье в журнале «Письма в ЖТФ», рекомендованных ВАК Министерства образования и науки РФ; два, свидетельства о регистрации программных комплексов TROPICS и SINSEL зарегистрированы в Роспатенте.

Личный вклад автора

Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Личный вклад соискателя состоит в проведении всех расчетов, компьютерного эксперимента, сравнении полученных данных с данными экспериментов и анализе результатов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и заключения, включает 44 рисунка, 5 таблиц, а также содержит список литературы из 80 наименований и приложе-

ние. Общий объем работы - 107 страниц.

В первой главе на основании ланжевеновского подхода к описанию осевого канали-рования представлены основные математические модели:

- движения быстрых заряженных частиц в кристаллах;

- электронный и ядерный коэффициенты диффузии для учета рассеяния на электронах и ядрах;

- среднего квадрата флуктуации поперечной энергии;

- потерь энергии при прохождении частицы через слой вещества осевого канала кристалла на ядрах и электронах.

Вторая глава посвящена вопросам компьютерного моделирования отклонения быстрых заряженных частиц изогнутыми кристаллами. Ставятся задачи, которые необходимо было решить при разработки программного комплекса. TROPICS, который позволяет решать задачи отклонения быстрых заряженных частиц осевыми и плоскостными изогнутыми каналами кристалла. Приводятся основные модули, возможности программы и ее интерфейс, а также алгоритм «подкачки страниц», позволяющий обрабатывать большие массивы данных. В результате этого алгоритма стало возможным проводить моделирование с количеством частиц, начиная от 10000 и выше. Для достижения поставленных целей, разработана векторная реализация методов Рунге—Кутты с постоянным, переменным шагом, а также приводится блок-схема алгоритма. Далее построена одномерная и двумерная эрмитова интерполяция для ускорения вычисления производных от непрерывного потенциала и коэффициента диффузии. Приводятся выражения для расчета средней амплитуды тепловых колебаний атомов кристалла,, поворота кристаллографической плоскости и оси на углы Эйлера, а также рассматривается кристаллическая структура типа алмазной. Получены выражения для численного решения кинетического уравнения Фоккера—Планка в пространстве энергий поперечного движения быстрых заряженных частиц в осевых каналах кристалла. Для проверки адекватности построенных алгоритмов и моделей выполнен компьютерный эксперимент по отклонению протонов и ^ - мезонов изогнутым кристаллом кремния в направлении оси (111). Результаты компьютерного эксперимента показывают хорошее согласие с экспериментальными результатами.

В третьей главе представлено решение кинетического уравнения Ландау для потерь энергии с новым ядром, которое записано в виде ряда,, каждый член которого имеет вид функции распределения Гаусса и позволяющее обрабатывать спектры с одним и множественными пиками, полученные с помощью SiPM-детекторов. Разработай программный

комплекс ЗШЗЕЬ. который основан на новом решении кинетического уравнения Ландау, состоящий из модуля фитироваиия и обработки графической информации с помощью распознавания спектров с одним и множественными пиками.

Глава 1

Теория осевого каналирования

Если частица движется между атомными цепочками, то такой процесс называют осевым каналированием, если частица движется между атомными плоскостями, то говорят о плоскостном каналировании. Эффект каналирования был открыт в начале 1960-х годов в результате наблюдений аномально больших пробегов тяжелых ионов в кристаллических материалах. Благодаря работе И. Линдхарда [22], в которой представлены основы теории каналирования, стало существенно проще проводить теоретический анализ эффекта каналирования. Кроме того, представленные положения теории подтвердились экспериментально, также были введены критерии каналирования, которые используются и сегодня. Линдхард для описания движения тяжёлых каналированных частиц использовал законы классической механики, а для описания взаимодействия каналированной частицы с атомами кристалла предложил диффузионную модель и малоугловое приближение. Также он определил главное условие для каналирования частиц - угол падения частицы на цепочку, начиная с которого происходит захват частицы в режим каналирования. Этот угол называется критическим углом каналирования и определяется следующим образом

■Фь = (2 ■ У^/ту2)1'2,

где величина Утах («глубина» потенциальной ямы) определяется зарядом ядра, постоянной решетки, температурой Дебая и т.д.; то, у - масса и скорость каналированной частицы.

Если частицы испытывают рассеяние на большие углы, то такие частицы выбывают из процесса каналирования. Такой процесс называют декапалированием.

1.1. Потенциальная энергия взаимодействия частиц с атомами кристалла

Основная идея, упрощающая теоретический анализ эффекта каналирования в целом, состоит в замене истинного потенциала атомов кристалла потенциалом, усреднённым по координатам атомов в кристаллографической оси. Такое приближение особенно эффективно, если угол падения частицы на ось достаточно мал. Линдхард предложил использовать

о

1Л

о

и_I_I_I_I_I_I_I_I_I_I_l_J_I_I_I_I_I_1—1.

' о

2 3

4 х10«

ъ, А

Рис. 1.1. Движение частицы в кристалле. Процесс: а) деканалирование, б) захват частицы в режим каналирования (реканалирование).

в малоугловом приближении вместо потенциалов отдельных атомов усреднённый непрерывный потенциал.

Свойства системы уравнения движения частицы определяет потенциал взаимодействия частиц с атомами кристалла. Потенциал взаимодействия имеет вид

где ипиа( г ) - потенциал взаимодействия быстрой частицы с ядрами атомов кристалла, ие1(/Й) - потенциал взаимодействия быстрой ч