автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Моделирование траекторий быстрых протонов и ядер в прямых и изогнутых кристаллах

На правах рукописи

см-

Сафин На иль Владисович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ БЫСТРЫХ ПРОТОНОВ И ЯДЕР В ПРЯМЫХ И ИЗОГНУТЫХ КРИСТАЛЛАХ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

СУРГУТ-2006

Работа выполнена в Сургутском государственном университете ХМАО

Научный руководитель: Кощеев Владимир Петрович

доктор физико-математических наук, профессор Сургутского государственного университета

Официальные оппоненты: Галкин Валерии Алексеевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой "информатики и вычислительной техники" Сургутского государственного университета

Таратин Александр Михайлович

доктор физико-математических наук, начальник отдела ЛВЭ ОИЯИ (г. Дубна)

Ведущая организация: Научно-исследовательский институт

ядерной физики им. Д.В. Скобельцына при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова (г. Москва).

Защита состоится декабря 2006 г. в часов на заседании регионального диссертационного совета КМ 800.005.02 при Сургутском государственном университете ХМАО по адресу: 628408, г. Сургут, Тюменской обл., ул. Энергетиков, 14, зал заседаний Ученого совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке СурГУ.

Автореферат разослан « /<Р » ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета: кандидат технических / / ?

наук, доцент ¿^г^-Я-с-с^) Иванов Федор Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы

Кинетическое описание эффекта каналирования быстрых заряженных частиц в кристаллах было впервые предложено Й. Линдхардом (1969) с помощью уравнения движения диффузионного типа. Ю.В. Мартыненко (1971) предложил использовать кинетическое уравнение Фоккера-Планка в пространстве поперечных энергий для описания эффекта каналирования, а в работе М. Китагавы и Е.Х. Оцуки (1973) было впервые предложено применение кинетического уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей. В этой же работе были рассмотрены коэффициенты диффузии каналированных частиц на ядрах и электронах кристалла. В работе В.А. Базылева и др. (1986) указывалось, что решение кинетического уравнения Фоккера-Планка в пространстве поперечных координат и импульсов представляет собой весьма сложную в математическом отношении задачу, а в качестве одного из возможных методов ее решения предлагалось использовать метод численного моделирования траекторий каналированных частиц. В работе М.А. Кумахова и Г. Ширмера (1980) представлены точное решение уравнения Фоккера-Планка для гармонического потенциала плоскостного канала и приближенное решение для ангармонического потенциала плоскостного канала.

Таким образом, одной из актуальных задач теории был поиск решения уравнения Фоккера-Планка в случае, когда:

1. Непрерывный потенциал плоскостного канала учитывает тепловые колебания атомов кристалла, а также местоположения атомов в элементарной кристаллической ячейке, и раскладывается в тригонометрический ряд Фурье, а компонента Фурье потенциала изолированного атома берутся в приближениях Мольер или Дойля-Тернера.

2. Электронный коэффициент диффузии вычисляется в приближении локальной электронной плотности, а ядерный в приближении Кита-гавы-Оцуки. Электронная плотность, входящая в формулу для электронного коэффициента диффузии вычисляется в приближениях Мольер или Дойля-Тернера.

Одной из актуальных задач физики эффекта каналирования релятивистских частиц, не получивших объяснения вплоть до настоящего времени был эффект уменьшения скорости деканалирования положительно заряженных релятивистских протонов из плоскостных и осевых каналов кристаллов кремния и германия, обнаруженный в эксперименте S.K. Andersen et al. (1980).

Цели работы:

1. Разработка компьютерной программы для исследования движения каналированных ионов в каналах алмазоподобных кристаллов, учитывающую изгиб кристалла, многократное рассеяние, начальную расходимость пучка частиц, различные аппроксимации потенциала отдельного атома.

2. Изучение с помощью компьютерного моделирования динамики потока быстрых частиц (протонов, положительных ионов) в режиме плоскостного каналирования в алмазоподобных кристаллах.

3. Исследование влияния изгиба кристалла на свойства потока каналированных частиц.

Метод исследования — компьютерное моделирование. Компьютерная программа моделирования траекторий, основанная на численном решении уравнения движения частиц в каналах кристаллов с учетом многократного рассеяния. Основу математической модели движения каналированных частиц составляет решение уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей методом малого шума на небольших отрезках траектории. Решение уравнения Фоккера-Планка на небольших отрезках траектории сводится к решению системы дифференциальных уравнений первого порядка. В качестве численного метода решения системы дифференциальных уравнений применяется метод Рунге-Кутты 4 порядка точности. Для учета обратного влияния многократного рассеяния на траектории каналированных частиц применяется метод Монте-Карло. В рамках созданной компьютерной программы возможно проводить расчет по трем моделям: без многократного рассеяния (версия XV), с учетом многократного рассеяния по моделям PST (предлагаемый способ описания многократного рассеяния) и SM ("стандартная модель" — реализуется способ описания многократного рассеяния, подобный использующимся в настоящее время в существующих компьютерных программах).

Обоснованность и достоверность полученных результатов

Обоснованность полученных результатов основана на том, что в качестве исходной посылки были выбраны уравнения (уравнения Фоккера-Планка и Ньютона), описывающие движение заряженных частиц в кулоновском потенциале электронов и ядер атомов кристалла. Флуктуации потенциала и корреляционные функции флуктуаций потенциала были определены в рамках общепринятой теории. Решения уравнений движения искались с помощью метода малого шума (К.В. Гардинер (1986)) и метода многих масштабов (А. Найфе (1984)).

Достоверность результатов подтверждается хорошим согласием с экспериментальными данными (A.G. Wagh et al. (1980); S.Р. Moller et al. (1994); S.K. Andersen et al. (1980))

Научная и практическая значимость работы

Описанная в работе программа моделирования траекторий канали-рованных ионов может быть применена для теоретических оценок и предсказания новых экспериментальных результатов. Представленный метод исследования позволяет надежно интерпретировать эксперимент, а также проводить планирование и прогнозирование новых экспериментов по взаимодействию релятивистских частиц с кристаллами.

Научная новизна и результаты, вынесенные на защиту:

1. Предложен и реализован метод численного решения уравнения Фок-кера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей с помощью компьютерного моделирования траекторий кана-лированных частиц.

2. Предложены комплекс алгоритмов и программа PST (the Phase Space of Transversal coordinates and velocities) моделирования траекторий, представляющая собой алгоритмическое наполнение модели движения заряженных частиц в плоскостных каналах алмазоподобных кристаллов.

3. Полученные с помощью программы PST результаты исследования движения заряженных частиц в кристаллах.

4. Обнаруженный в компьютерном эксперименте эффект уменьшения скорости деканалирования релятивистских положительно заряженных частиц в плоскостных каналах кристаллов кремния и германия.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

- 34-36 Международные конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, МГУ, 2004-2006 г.)

- 17 Международной конференции "взаимодействие ионов с поверхностью" (ВИП-2005) (Звенигород, 2005 г.)

- Sixth International Symposium on Swift Heavy Ions in Matter (Германия, 2005г.)

- 4-6 Открытых окружных конференциях молодых ученых "наука и инновации XXI века" (Сургут, 2003-2005 г.)

Количество работ по диссертации - 19.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследования взаимодействия релятивистских частиц с кристаллами, сделан краткий обзор работ по эффекту каналирования, сформулированы проблемы, приведенные в диссертации, определен метод исследования, далее приведено краткое содержание работы.

В первой главе диссертационной работы, как предмет исследования, рассматривается теория каналирования, а так же развивается математическая модель движения быстрых заряженных частиц в плоскостных каналах кубических кристаллов, которая составляет основу компьютерного моделирования траекторий. Определяется координаты атомов в элементарной кристаллической ячейке для трех главных плоскостных направлений (параграф 1.1). На основании кинетического подхода к описанию каналирования проводится вывод системы дифференциальных уравнений для описания движения заряженных частиц в кристалле (п. 1.2). Приводятся потенциал (п. 1.3 и 1.6) и коэффициенты диффузии (п. 1.4). Описываются модели деканалирования (п. 1.7) и потерь энергии на электронах (п. 1.5).

Для описания процесса движения быстрых заряженных частиц в плоскостных каналах кристалла в данной работе предлагается использовать кинетическое уравнение Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей, которое имеет вид:

dt дх т дх дх

где F(x) — -8U(x)/dx — коэффициент сноса;

U(pc) - непрерывный потенциал плоскостного канала.

Решение будем искать методом малого шума (разложением в ряд в

соответствии с теорией возмущений):

/=/0)+/1}+ ... •

В нулевом приближении теории возмущения пренебрегаем многократным рассеянием, т.е. полагаем D — 0, уравнение Фоккера-Планка запишется:

а/(0) | . а/(0) | F(*)a/(0) _0 dt дх т дх

Мы получили уравнение Лиувилля. Решение его есть произведение двух дельта-функций Дирака: /^ = t5(x — х(/))• s{x — *(?))>

где x(t) = dx(t)/dt, x(t) — является решением уравнения Ньютона:

со следующими начальными условиями: х0 = x{t = о); xQ = x{t = о). В первом порядке теории возмущения уравнение Фоккера-Планка имеет вид:

dt дт] m дг}

здесь tj = x-x; f] = x-x - флуктуации поперечной координаты и скорости, а коэффициенты диффузии

D(x(t)) и сноса являются

функциями решения уравнения Ньютона. Таким образом, в нулевом приближении теории возмущения уравнение Фоккера-Планка описывает гладкую траекторию, а в первом приближении — флуктуации относительно гладкой траектории.

Решением последнего уравнения является функция распределения флуктуаций поперечной координаты и скорости:

fm(nj>*h (2я-Д)-1 ехр^т;2^)2 +J]2(Sxf - 2^6x6^/2Д2 где Д2 = (дхУ{дхУ -SxSx2,

если вторые моменты удовлетворяют системе уравнений d _ . d . _ dU(x)

х = х, tor^-x = — , —Sx2 — 2SxSx, dt dt dx dt

s2Ttf„\ - J --о

dt т дх2 dt т дх2 т2

где: т = у \т0 - релятивистская масса быстрой частицы, у = (1 —02уш — Лоренц-фактор, = v/c, с - скорость света, о — скорость частицы;

8х2 и 8х2 — средние квадраты флуктуаций поперечной координаты и скорости частицы, дх8х — смешанный момент, являющийся коррелятором флуктуаций поперечной координаты и поперечной скорости.

Непрерывный потенциал плоскостного канала 1/(х), учитывающий тепловые колебания атомов кристалла и местоположения атомов в элементарной кристаллической ячейке был разложен в тригонометриче-

7

ский ряд Фурье, при этом компонента Фурье потенциала изолированного атома бралась в приближениях Мольер и Дойля-Тернера. На рис. 1 приведены графики потенциалов для трех главных плоскостных направлений кристалла кремния.

,(100) i -М (ЦО)

Рис. 1. Потенциалы плоскостных каналов кристалла кремния для протонов, вычисленные в приближениях Мольер и Дойля-Тернера. Видно, что отличия по приближениям незначительные. Здесь ax = d (для (100)); ах - d/yfi (110); ax = d/-JJ (111); ¿/=5.431 A - постоянная решетки кристалла.

Коэффициент диффузии быстрых заряженных частиц был представлен как сумма электронного и ядерного коэффициентов диффузии, описывающих многократное рассеяние на электронах и ядрах кристалла соответственно. Электронный коэффициент вычислялся в приближении локальной электронной плотности, а ядерный в приближении Китагавы-Оцуки. Электронная плотность, входящая в формулу для электронного коэффициента диффузии вычислялась в приближениях Мольер и Дойля-Тернера. Графики коэффициентов диффузии, вычисленных в приближениях Мольер и Дойля-Тернера приведены на рис. 2.

Рис. 2. Коэффициенты диффузии для протонов с энергией 450 ГэВ в (111) плоскостном канале кристалла кремния в случаях, когда электронная плотность вычисляется в приближениях Мольер и Дойля-Тернера. Видно, что отличия нео о,25 о,5 о,75 1 значительные (менее 10%).

X / ах

С помощью предлагаемого метода решения уравнения Фоккера-Планка можно описать лишь небольшие отрезки траекторий, длины которых ограничивается условиями применимости метода малого шума. Для описания движения частицы по всей длине некоторого кристалла его необходимо разделить на стопку"тонких" кристаллов, в каждом из которых движение может быть описано с помощью линеаризованного уравнения Фоккера-Планка, а при переходе от одного "тонкого" кристалла к другому

1.0Е-01

2

а 1.0Е-02

"ч

о.

к 3 1.0Е-03

о"

1.0Е-04

необходимо переопределить значения поперечных координаты и скорости и таким образом учесть влияние флуктуаций на траектории.

Обратное влияние флуктуаций на траектории описывается с помощью розыгрыша значений поперечной координаты и скорости (угла) частицы (метод Монте-Карло). Розыгрыш состоит в одновременном переопределении поперечной координаты и скорости частицы и обнулении вторых моментов на данном шаге решения. Условиями розыгрыша являются условия малости флуктуаций, т.е. розыгрыш производится

при превышении пороговых значений <5*2тахили ^х2тах вторых моментов. Розыгрыш запрещается, если после предыдущего розыгрыша пройдено расстояние, меньшее Гтш, которое определяется минимальным количеством столкновений частицы с атомами кристалла, после которого возможно рассеяние (в расчетах Ттт бралось порядка длины одного шага решения, но большим 60 А).

Переопределение значений, поперечных координаты и скорости производится случайным образом, т.е. "новое" значение находится из нормального распределения со следующими параметрами: среднее значение соответствует "старому" значению координаты или скорости, а среднеквадратичное отклонение соответствует второму моменту.

Отличие стандартной модели состоит в том, что в системе уравнений движения положено д21/(х) Iдх2 = 0. Многократное рассеяние в версии БМ учитывается в рамках стандартной модели, согласно которой скорость приращения среднего квадрата угла многократного рассеяния на единице длины пути пропорциональна плотности распределения атомных электронов и ядер в той точке пространства, где находится каналированная частица.

Деканалирование можно определять следующими способами:

1. Отбор по поперечным координатам: если частица подходит к стенке канала на расстояние, соответствующее амплитуде тепловых колебаний атомов кристалла, то вероятность ее деканалирования принимается равной 1.

2. Отбор по поперечным скоростям: поперечная скорость частицы связана с углом ее направления в канале кристалла. Из теории канали-рования известно, что частица может быть каналированной, если угол ее направления в канале меньше критического угла каналиро-вания Линдхарда У7/,. Таким образом, если угол частицы, при прохо-

ждении кристалла выходит за пределы то такую частицу

можно считать деканалированной.

3. Отбор по потерям энергии: каналированные частицы, вследствие того, что они движутся в области низкой электронной плотности, имеют относительно небольшие потери энергии.

Потери энергии (скорость изменения полной энергии) рассчитываются по формуле Бете-Блоха с учетом правила равнораспределения Линдхарда и релятивистских поправок в кулоновском логарифме.

Для сравнения с экспериментальными данными рассчитывается изменение потерь энергии на единицу длины и строится гистограмма распределения частиц по удельным потерям энергии (рис. 3).

ДЕ/Д1-, кэВ/мкм

Рис. 3. Гистограмма распределения по удельным потерям энергии для 1000 протонов с энергией 15 ГэВ на глубине 0.4 мм в (100) плоскостном канале кристалла германия, рассчитанное с разрешением по энергии 0.04 кэВ/мкм. В структуре спектра можно выделить два пика: левый при 0.55 кэВ/мкм связан с каналиро-ванными частицами, правый при 0.9 кэВ/мкм — с деканалированными частицами. Вертикальной линией обозначено пороговое значение (Д£/Д£)л = 0.0855 кэВ/мкм. Указанное значение (ДШАЬ)Л найдено как значение удельных потерь энергии во втором пике, умноженное на 0.95. Число деканалированных частиц определяется как площадь под вторым пиком (закрашенная область).

Во второй главе работы описываются вопросы компьютерного моделирования траекторий заряженных частиц в кристаллах, такие как метод решения системы дифференциальных уравнений движения и алгоритмы работы программы, возможные погрешности и способы обеспечения точности решения.

Для численного решения системы дифференциальных уравнений движения применяется метод Рунге-Кутты 4 порядка точности. Выбор этого метода обусловлен тем, что имеется возможность контролировать

ход решения на каждом шаге, переопределять начальные условия, кроме того, этот метод часто используется для моделирования физических процессов и дает относительно хорошее согласие с реальными результатами.

Рассмотрим применение метода Рунге-Кутты в нашем случае: в системе из пяти дифференциальных уравнений первого порядка взаимосвязанными являются только два (уравнения на * и х ), остальные три дифференциальных уравнения (уравнения на вторые моменты) решаются с использованием полученных для данного шага решения значений х и i ив тоже время не оказывают прямого обратного влияния на уравнения для х и х. Влияние значений вторых моментов на траектории определяется с помощью розыгрыша. Причем, в зависимости от условий многократного рассеяния розыгрыш по jc или х может выполняться

как совместно, при превышении Sx2 или 6х2 критического значения, так и отдельно - только по х или только по х.

Для расчета траекторий сначала определяются начальные условия: начальная глубина /start, конечная глубина idepth, начальные поперечные координаты Xgtart и углы х start, количество шагов (узлов) решения, начальные значения вторых моментов. Исходя из начальных условий, рассчитывается величина шага по глубине h.

Вся глубина рассматриваемого слоя кристалла разбивается на отрезки (узлы решения) с шагом h. Расчет траекторий выполняется пошагово для каждой частицы. На каждом шаге решения кроме расчета новых значений х, х и вторых моментов, проверяются условия розыгрыша (многократного рассеяния), в случае выполнения которых производится переопределение значений поперечной координаты и угла, а значения вторых моментов обнуляются. Переопределение значений координаты и угла производится с помощью функции RandG (возвращает случайное число из нормального распределения; задаются параметры: среднее значение, среднеквадратичное отклонение), входящей в набор математических функций Delphi.

Программа PST (рис. 4) написана на языке Object Pascal в программной среде Borland Delphi. Можно выделить следующие основные блоки (или модули) программы: модуль задания начальных условий и параметров решения, решатель траекторий, модуль расчета потерь энергии, модуль графического представления результатов расчета.

В качестве начальных условий можно задавать: характеристики кристалла: кристалл (кремний, германий или алмаз, плоскостное на-

правление (100), (110) или (111); характеристики частицы: полная начальная энергия, масса (в атомных единицах массы), заряд, диапазон точек и углов влета частиц, а также вид функции распределения по углам влета (нормальное или равномерное распределение); параметры решения: количество членов разложения в ряд Фурье для потенциала и коэффициента диффузии, длина рассматриваемого слоя кристалла, количество шагов решения для заданной длины слоя кристалла, а также условия розыгрыша (многократного рассеяния).

Ф*И СЬМ* СПММАГЬНые IKUMfCVfMOCT»

? [ Н») | nv|i> j Д«ж | Д£ j [ .; . . , : : 0%

-{Г »-[¡Г 1 (ч

п. |1.00727647 «»м: . ¡0.003 rv-

' j 5.35i3S??32471fi!X-OGO& ) : Дидг^он по rayfr»«-

|1 of fo О Äo И °

• U.nucl Радммдеммы* * I

jlOUO

Расут траекторм» . |

Рис. 4. Главное окно программы.

С помощью программы можно получать следующие результаты: графики потенциалов и их производных, коэффициентов диффузии, электронной и ядерной плотностей, траектории, угловые и пространственные распределения частиц на определенной глубине, потери энергии, спектры потерь энергии, выходы (деканалирование), ориентацион-ные зависимости.

Точность расчета обеспечивалась следующими средствами:

1. Обезразмеривание динамических переменных, входящих в дифференциальные уравнения движения. Обезразмеривание проводилось таким образом, чтобы характерные интервалы изменения динамических переменных были порядка единицы.

2. Число членов разложения (пх) в ряд Фурье для потенциала и коэффициента диффузии подбиралось таким образом, чтобы вид указанных функций, а также первой и второй производных потенциала не зависели от пх. В расчетах пх = 40.

3. Длина шага решения выбиралась так, чтобы выполнялся закон сохранения энергии для подбарьерной частицы.

Третья глава работы посвящена исследованию движения быстрых заряженных частиц в прямых кристаллах. В данной главе приводятся результаты моделирования потерь энергии и выходов для протонов с энергией 15 ГэВ в кристалле германия, а также для ионов гелия с энергиями 2 МэВ и 14 МэВ в кристалле кремния.

В параграфе 3.1 описано исследование эффекта плоскостных колебаний быстрых заряженных частиц в кристаллах является актуальной задачей (К. Saitoh (1985)). Данный эффект применяется для определения местоположения атомов примеси в кристаллах (A.G. Waghetal. (1980), G.P. Pokhil et al. (1986)).

В работе A.G. Wagh et al. (1980) исследовался спектр обратного рассеяния ионов Не* для определения местоположений примесных атомов висмута. Пучок ионов Не* направлялся на кристалл кремния под небольшим углом к кристаллографической плоскостному. Проходя через кристалл, часть частиц рассеивалась (резерфордовское обратное рассеяние). Известно, что колебания в ¿спектре обратного рассеяния связаны с колебаниями частиц в каналах кристалла, а, следовательно, и с колебаниями удельных потерь энергии на электронах. Очевидно, что характер движения быстрых заряженных частиц в каналах зависит от их угла влета относительно плоскостного направления.

Рис. 5. Графики выходов 2 МэВ ионов гелия, влетающих под углами *F= 0° , 0.3°, 1.2° относительно атомной плоскости (110) с угловой расходимостью 0.05°. Расчеты проводились для 1000 ионов гелия по программе PST. Условие розыгрыша rmin = 0.01 мкм. Деканалирование рассчитывалось методом отбора по потерям энергии, пороговое значение (AE/AL)n = 242 кэВ/мкм. Представленные графики выходов рассчитаны при разрешении по глубине 0.0162 мкм. Вертикальной пунктирной линией показана граница интервала, в пределах которого рассчитывалась ориентационная зависимость рис. 8.

На рис. 5 приведены графики выходов 2 МэВ ионов гелия, влетающих под углами Ч*= 0°, 0.3°, 1.2° относительно атомной плоскости (110), рассчитанные методом отбора по потерям энергии. Здесь можно видеть колебания числа частиц, имеющих большие удельные потери энергии с глубиной.

У=0° соответствует точной ориентации пучка в плоскостном кан-нале (110): этот случай соответствует минимальным удельным потерям энергии каналированных частиц и определяет минимальный выход (/min)- Пучок, направленный по ^=0.3° имеет наибольшие удельные потери и соответствует «плечам» ориентационной зависимости (критический угол каналирования !Р= 0.27°). Направление пучка 7х = 1.2° соответствует хаотическому (неканалированному) направлению. Превышение выхода соответствующего значения для хаотического («рандомно-го») направления связано с каналированными частицами, движущимися в области повышенной электронной плотности. Отметим, что в работе F. Abel et al. (1975) было впервые экспериментально показано, что потери энергии в осцилляциях превышают рандомные.

Ориентационная зависимость строится как зависимость площади под графиком нормированного выхода от угла При этом нас интересует площадь, рассчитанная до глубины 0.05 мкм, т.к. эта глубина соответствует четверти периода плоскостных колебаний.

угол « плоскости (110), град.

Рис. 6. Ориентационные зависимости для ионов гелия с энергией 2 МэВ в (110) плоскостном канале кристалла кремния. Представленные ориентационные зависимости построены по результатам расчетов 24 пучков по 1000 ионов гелия, влетающих в кристалл под углами от 0 до 0.6° с угловой расходимостью 0.05°. Условия розыгрыша и пороговое значение удельных потерь энергии как на рис. 7. На рисунке производится сравнение ориентационных зависимостей, рассчитанных по моделям деканалирования, связанными с отборами по потерями энергии и по поперечным координатам с экспериментальными данными.

В параграфе 3.2 приводятся результаты расчета выходов для релятивистских положительно заряженных частиц, полученных по моделям SM и PST. В работе S.K. Andersen et al. (1980) сообщалось об обнаружении уменьшения скорости деканалирования положительно заряженных релятивистских частиц из плоскостных и осевых каналов кристаллов кремния и германия. До настоящего времени данный эффект не был объяснен. Также известно, что стандартная модель хорошо описывает экспериментальные данные для небольших (~МэВ) энергий (К. Saitoh (1985)).

глубина, мм

глубина, мкм

Рис. 7. Графики выхода 1000 протонов с энергией 15 ГэВ в (100) плоскостном канале кристалла германия, рассчитанные при разрешении по глубине 15 мкм (левый рисунок), и графики выхода ионов гелия с энергиями 14МэВ в (110) плоскостном канале кристалла кремния, рассчитанные при разрешении по глубине 0.43 мкм. Выходы рассчитывались методом отбора по потерям энергии.

В ходе сравнения данных, полученных с помощью моделей Р8Т и БМ, было установлено, что для низких энергий (МэВ) значения выходов по Р8Т и БМ близки, а для больших энергий выход по 5М идет выше, что не соответствует экспериментальным данным. Также было обнаружено, что для ГэВ-энергий количество актов многократного рассеяния по модели Р8Т меньше, чем по модели 8М (см. рис.8) для подбарьерных частиц.

Уменьшение числа актов многократного рассеяния для подбарьерных траекторий по модели Р8Т связано с тем, что скорость изменения среднего квадрата угла многократного рассеяния меньше, чем в модели БМ. Так в модели БМ скорость изменения среднего квадрата угла многократного рассеяния прямо пропорциональна коэффициенту диффузии, а в модели Р8Т она меньше на величину 2-бх6х-{р2и{х)/дх2Ут, поскольку для подбарьерных частиц бхдх > 0 при О2^(х) /дх2 > 0.

Рис. 8. Графики траекторий и вторых моментов, для одного протона по модели РБТ (выделенная линия) и одного протона по модели БМ с энергией 450 ГэВ в (100) плоскостном канале кристалла кремния, при начальных условия х/ах = 0.1, х — 0 (левые графики), и для 100 МэВ протонов в (110) плоскостном канале кристалла кремния, при х/ах = 0.24, х = 0. Вторые моменты представлены в

безразмерных переменных: МА = 5х2/с1г ; МС-28х2/{р-Ч^)2 .

Для надбарьерных траекторий различия между результатами, полученными по моделям РБТ и БМ, отсутствуют при углах влета частицы много больших

В параграфе 3.3 приведены потенциал и результаты расчета траекторий и потерь энергии для отрицательно заряженных частиц (антипротонов). Показаны отличия характера движения, многократного рассеяния и потерь энергии для подбарьерной и надбарьерной частиц. Так, в отличие от положительно заряженных частиц, для антипротонов потери энергии подбарьерной (каналированной) частицы, больше, чем для надбарьерной.

Рис. 9. Потенциал плоскостного канала (100) кристалла германия для антипротонов, рассчитанный в приближениях Мольер и Дойля-Тернера.

исследованию влияния потенциала переходной области. Потенциал переходной области ось-плоскость был получен при решении уравнения движения для каналированной частицы методом многих масштабов. Формула для такого потенциала состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой непрерывный потенциал плоскостного канала, а второе описывает влияние атомных цепочек. Было выяснено, что хотя переходная область изменяет траектории некоторых частиц, ее влияние на общий результат незначительное.

х / ах

Параграф 3.4 посвящен

В четвертой главе работы рассматриваются вопросы моделирования траекторий заряженных частиц в каналах изогнутых кристаллов. Исследуется эффективность отклонения протонного пучка с энергией 450 ГэВ кристаллом кремния, изогнутого с помощью устройства с тремя точками опоры (рис. 10). Размеры пластинки кристалла 0.9 * 10 х 50 мм, расстояние от начала кристалла до первого прижима 1 см, расстояние между прижимами 1.5 см (S.P. Moller et al. (1994)).

s

III -L-

IV

TO"

I

ШЗ

4

Z1

z3

Рис. 10. Схема трехточечного изгиба.

h — толщина, L — длина, а — расстояние между прижимами-роликами, Rp — радиус прижима-ролика (для расчетов принимается, что Rp—>0).

При таком способе изгиба кристалл можно разделить на 4 участка: I и IV участки - неизогнутые, на II участке кривизна увеличивается, на III — уменьшается.

Для учета изгиба кристалла в уравнение движения вводится дополнительное слагаемое, представляющее собой центробежную силу, действующую на частицу, движущуюся в изогнутом кристалле. Т.е. уравнение движения в этом случае запишется: т'х =-II х + кто1, где х = (£>с/Ж ; к = \т — кривизна изменяется с глубиной г г = и /; и - скорость каналированной частицы. Уравнения на вторые моменты остаются без изменений. Кривизна к определяется из решения уравнения рав-

новесия для изогнутой тонкой пластинки (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц (2001)): dtljcix" = 0. В результате решения уравнения равновесия для каждого из участков кристалла можно получить зависимости кривизны и угла изгиба от глубины кристалла.

Расчеты проводились для пучка из 301 протона с энергией 450 ГэВ в (111) плоскостном канале кристалла кремния. Начальные значения точки влета были равномерно распределены на интервале 0<х/ах< 1, т.е. заселялся один плоскостной канал; углы влета были нормально распределены вокруг среднего значения х = 0 со среднеквадратичным отклонением, равным 3 мкрад. Условия розыгрыша траекторий для программ PST и SM были одинаковыми, = 750 Ä. Были рассчитаны случаи изгиба кристалла на углы 1.4, 2.4, 3.7, 4.7, 6.3, 8.1, 8.9, 9.8, 11.7 мрад по моделям XV, SM и PST.

Деканалирование рассчитывалось по трем моделям — методами отборов по потерям энергии, по поперечным координатам и по поперечным скоростям. В случае отбора деканалированных частиц по потерям энергии мы получили завышенные значения деканалирования на II участке изогнутого кристалла, а именно, начиная с угла изгиба 6.3 мрад на

II участке изогнутого кристалла все частицы деканалируют, а далее, на

III участке число деканалированных частиц немного уменьшается, причем это число зависит от угла изгиба — чем больше угол, тем меньше частиц. Необходимо отметить, что угол изгиба 6.3 мрад соответствует кривизне kc'~kj3, где кс = \/Rc, Rc ~ 80 см — радиус Цыганова для данного случая. Результаты расчетов деканалирования по моделям, связанным с поперечными координатами и скоростями частиц совпадают, однако, на II участке деканалирование идет медленнее и уменьшения числа деканалированных частиц на III участке изогнутого кристалла не наблюдается.

На рис. 11 показаны графики выходов из режима каналирования протонов, рассчитанные по модели XV для случаев изгиба на углы 8.1, 6.3 и 3.7 мрад (линии I, 2 и 3, соответственно). Деканалированные частицы отбирались по потерям энергии. На I и IV участках изогнутого кристалла количество вышедших частиц сильно не изменяется, на II участке происходит увеличение выхода частиц. В начале III участка число деканалированных частиц немного уменьшается для углов изгиба 8.1 и 6.3 мрад. Также на рис. 11 показаны графики изменения кривизны для данных углов изгиба кристалла (линии Г, 2' и 3').

глубина, см

Рис. 11. Выходы протонов, рассчитанные методом отбора по потерям энергии. Расчет траекторий проводился без учета многократного рассеяния.

Эффект исчезновения каналированных частиц на II и III участках, полученный при отборе деканалированных частиц по потерям энергии можно объяснить тем, что начиная с угла изгиба 6.3 мрад траектории каналированных частиц попадают в область повышенной электронной плотности (см. рис. 12, 13). Т.е.,в данном случае потери энергии каналированных частиц становятся не меньше потерь энергии в разориенти-рованном кристалле.

глубина, с I

глубина, ei

Рис. 12. рафики траекторий x(t) в случае изгибов кристалла на углы 4.7 мрад (левый график) и 8.9 мрад, рассчитанные без учета многократного рассеяния. Траектории частиц, каналирующих в «широких» (111) плоскостных каналах обозначены "1", каналирующих в "узких" каналах - "2".

На рис. 12 можно видеть, что в центре кристалла (конец области II -начало области III) траектории каналированных частиц при угле изгиба кристалла 8.9 мрад колеблются в интервале х/ах ~ 0.64-5-0.72, что соответствует значениям электронной плотности, больших среднего значения, как показано на рис. 13. На рис. 14 приведены графики эффектив-ностей отклонения протонов изогнутым кристаллом. Эффективность определялась как доля каналированных частиц на выходе из кристалла.

На рис. 15 показано угловое распределение протонов на выходе из кристалла при изгибе на угол 3.7 мрад.

Рис. 13. График электронной плотности в (111) плоскостном канале кристалла кремния. Горизонтальной пунктирной линией отмечено среднее значение электронной плотности.

0,25 0,5 х / ах

■fr 0,2

О

it-

О

□ Д

□ □

¿PST OXV DSM Эксперимент

£

А £ -а—□ ■ °

+ + д

д о д

¿PST о XV □ SM

+Эксперимент

Ъ-к

° -U

д о ^ -а—О-йг-2—<!>•-

б

в, мр«д

12

в, мрвд

Рис. 14. Эффективности отклонения частиц, рассчитанные по модели деканали-рования, связанной с отбором частиц по потерям энергии (левый график) и по модели, связанной с изменением угла.

Рис. 15. Угловое распределение протонов на выходе из кристалла при изгибе на угол 3.7 мрад.

Пик при 0 — 0 мрад связан с неканали-рованными частицами, а при в = 3.7 мрад — с отклоненными частицами.

Из полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. Обнаружен интервал локальных радиусов изгиба RC'<R< Rc, в пределах которого потери энергии каналированных частиц становятся не меньше, чем потери энергии частиц в разориентированном кристалле.

2. Учет деканалирования в рамках компьютерной программы PST немного уменьшает значения эффективности отклонения по сравнению с результатами расчета без учета многократного рассеяния канали-

рованных протонов на электронах и ядрах кристалла (программа XV). Расчет эффективности отклонения в рамках компьютерной программы SM демонстрирует столь сильное деканалирование из-за многократного рассеяния, что это приводит к значительному расхождению с результатами эксперимента.

Хорошее согласие с экспериментом (S.P. Moller et al. (1994)) получено с помощью компьютерной программы PST, что связано с уменьшением скорости деканалирования релятивистских протонов вследствие применения нового подхода к описанию эволюции средних квадратов флуктуаций поперечной координаты и скорости.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы, подготовленные к защите:

1. Разработана компьютерная программа расчета параметров движения релятивистских частиц в плоскостных каналах кристаллов. Данная версия программы реализована только для алмазоподобых кристаллов и трех главных кристаллографических плоскостных каналов (100), (110) и (111). Данная версия программы реализована как для тяжелых положительно заряженных частиц (протонов, ионов), так и для тяжелых отрицательно заряженных частиц (антипротоны, п — мезоны).

2. В ходе компьютерного эксперимента обнаружен эффект уменьшение скорости деканалирования релятивистских частиц в плоскостных каналах кристалла.

3. В условиях эксперимента (S.P. Moller et al. (1994)) обнаружен интервал локальных радиусов изгиба, в пределах которого потери энергии каналированных частиц становятся не меньше, чем потери энергии частиц в разориентированном кристалле.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

S.K. Andersen, О. Fish, H. Nielsen et al. - Influence of channeling on scattering of 2—15 GeV/c protons, л+, and к incident on Si and Ge crystals I I Nuclear Physics B. 167. 1980. P. 1^*0.

M. Kitagawa, Y.H. Ohtsuki — Modified dechanneling theory and diffusion coefficients // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. № 7. P. 3117-3123.

S.P. Moller, T. Worm, M. Clément et al. - Observation of high deflection efficiency and narrow energy loss distributions for 450 GeV protons channeled in a bent silicon crystal // Nucl. Instr. Meth. in Phys. Res. B. 1994. V. 84. № 4. P. 434-442.

G.P. Pokhil, A.F. Tulinov, A.A. Turinge et al. - A planar channeling technique to study the structure of the complexes formed by arsenic in silicon at high arsenic concentrations // Nucl. Instr. Meth. in Phys. Res. B. V. 13. 1986. P. 84-86.

K. Saitoh — Surface oscillations and statistical equilibrium of planar channeling // Journal of the Physical Society of Japan. 1985. V. 54. № 9. P. 3615-3621.

F. Scheuter, H. Hofmann — On propagation of a fissioning system across the barrie towards scission // Nuclear Physics A. 394. 1983. P. 477-500.

A.G. Wagh, J. Williams, E. Uggerhoj - The effect of planar oscillations on the impurity yield in the backscattered He+ spectrum // Труды VII Международной конференции по атомным столкновениям в твердых телах. Т. 2. - М.: Изд-во Московского ун-та. 1980. С. 222-226.

B.А. Базылев, В.И. Глебов, В.В. Головизнин - Квантовая теория неупругого рассеяния отрицательно заряженных частиц в ориентированных кристаллах//ЖЭТФ. 1986. Т. 91. В. 1(7). С. 25-36.

К.В. Гардинер — Стохастические методы в естественных науках: Пер. с англ. М.: Мир. 1986. 528 с.

М.А. Кумахов, Г. Ширмер - Атомные столкновения в кристаллах. М.: Атомиздат. 1980. 192 с.

Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц — Теоретическая физика. Том. 6. Теория упругости, М.: Физматлит. 2001.

Й. Линдхард — Влияние кристаллической решетки на движение быстрых заряженных частиц // УФН. 1969. Т. 99. Вып. 2. С. 249-296.

Ю.В. Мартыненко//ФТТ. 1971. Т. 13. №4. С. 1055.

А. Найфе - Введение в методы возмущений. М.: Мир. 1984. 535 с.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ В РАБОТАХ:

1. Н.В. Сафин — Движение быстрых протонов в изогнутом кристалле // "Наука и инновации XXI века" Материалы открытой окружной конференции молодых ученых. 27—28 ноября 2003 года СурГУ. 2003-Т. 1.-С. 31-33.

2. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов - Бесстолк-новительный нагрев и охлаждение каналированных ионов в переходной области ось-плоскость // Тезисы докладов XXXIV международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф. Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО - 2004. - С. 36.

3. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, А.К. Холодов, Н.В. Сафин, Е.В. Кулясов - Потенциальная энергия взаимодействия быстрых ионов с атомами кристалла // Тезисы докладов XXXIV международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф. Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО - 2004. - С. 37.

4. Н.В. Сафин, В.П. Кощеев - Деканалирование ионов гелия в переходной области ось-плоскость кристалла кремния // "Наука и инновации XXI века" Материалы V открытой окружной конференции молодых ученых. 25-26 ноября 2004 года СурГУ. - 2004. - С. 1819.

5. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов - Флуктуа-ционный механизм потерь энергии каналированных ионов // Тезисы докладов XXXV международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф. Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО - 2005. - С. 42.

6. Н.В. Сафин, В.П. Кощеев, Д.А. Моргун - Деканалирование ионов в переходной области ось-плоскость // Тезисы докладов XXXV международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф. Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО.-2005.-С. 43.

7. V.P. Koshcheev, D.A. Morgun, А.К. Kholodov, N.V. Safin - Stopping power of fast ions in planar channeling // Sixth International Symposium on Swift Heavy Ions in Matter, May 28-31, 2005, Aschaffenburg (Germany). - 2005. - P. 58.

8. В.П. Кощеев, A.K. Холодов, H.B. Сафин, Д.А. Моргун - Флуктуацион-но-динамическое описание потерь энергии быстрых ионов в плоскостных каналах кристалла // Сборник тезисов: Труды семнадцатой международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2005)", 25-29 августа 2005 г. Звенигород, Россия, Т. 1. - С. 274-276.

9. Н.В. Сафин, В.П. Кощеев, Д.А. Моргун - Моделирование траекторий каналированных ионов в фазовом пространстве // Сборник тезисов: Труды семнадцатой международной конференции "Взаимодействие ионов с поверхностью (ВИП-2005)", 25-29 августа 2005 г. Звенигород, Россия, Т. 1. - С. 301-304.

10. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, А.К. Холодов, Н.В. Сафин, Е.В. Кулясов — Потенциальная энергия взаимодействия быстрых ионов с атомами кристалла // Сборник научных трудов СурГУ, 2005. - С. 61-65

11. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К.Холодов - Бесстолк-новительный нагрев и охлаждение каналированных ионов в переходной области ось-плоскость // Сборник научных трудов. Выпуск 23. Физико-математические и технические науки. Сургут: Изд-во СурГУ. 2005. - С. 55-60.

12. Н.В. Сафин — PST — модель расчета траекторий релятивистских частиц // "Наука и инновации XXI века" Материалы открытой окружной конференции молодых ученых. 24-25 ноября 2005 года СурГУ. 2005. С. 31-32.

13. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов - Механизм уменьшения плоскостного деканалирования релятивистских протонов // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т. 32. - В. 9. - С. 1-6.

14. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов — Компьютерное моделирование траекторий каналированных ионов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2006. - № 7. - С. 48-51.

15. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов - Флуктуаци-онно-динамическое описание потерь энергии быстрых ионов в плоскостных каналах кристалла // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2006. — № 10. - С. 1-3.

16. Н.В. Сафин, Д.А. Моргун, В.П. Кощеев — Отклонение протонов изогнутым кристаллом кремния // Сборник научных трудов. Выпуск Физико-математические и технические науки. Сургут: Изд-во СурГУ. 2006. в печати.

17. Е.В. Кулясов, Н.В. Сафин, Д.А. Моргун, В.П. Кощеев - Компьютерное моделирование спектральной интенсивности излучения при каналировании релятивистских электронов в (100) плоскости кристалла алмаза // Сборник научных трудов. Выпуск Физико-математические и технические науки. Сургут: Изд-во СурГУ. 2006. в печати.

18. Н.В. Сафин, Д.А. Моргун, В.П. Кощеев - Компьютерное моделирование спектра потерь энергии протонов в изогнутом кристалле кремния // Тезисы докладов XXXVI международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф.Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО - 2006. - С. 36.

19. Е.В. Кулясов, Н.В. Сафин, Д.А. Моргун, В.П. Кощеев - Компьютерное моделирование спектральной интенсивности излучения релятивистских электронов в переходной области ось-плоскость // Тезисы докладов XXXVI международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами Под ред. Проф. А.Ф. Тулинова. - М.: Изд-во УНЦ ДО - 2006. - С. 72.

Сафин Наиль Владисович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ БЫСТРЫХ ПРОТОНОВ И ЯДЕР В ПРЯМЫХ И ИЗОГНУТЫХ КРИСТАЛЛАХ

05.13.18 — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Оригинал-макет подготовлен в редакционном отделе издательского центра СурГУ. Тел. (3264) 23-25-75.

Подписано в печать 16.11.2006 г. Формат 60x84/16. Печать трафаретная. Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1,3. Тираж 120. Заказ № 133.

Отпечатано полиграфическим отделом издательского центра СурГУ. г. Сургут, ул. Лермонтова, 5. Тел. (3462) 32-33-06

Сургутский государственный университет 628400, Россия, Ханты-Мансийский автономный округ, г. Сургут, ул. Энергетиков, 14.

Введение.

1 глава Теория каналирования.

1.1 Геометрия кристаллов.

1.2 Характеристики алмазоподобных кристаллов.

1.3 Потенциальная энергия взаимодействия быстрых ионов с атомами кристалла.

1.4 Коэффициенты диффузии.

1.5 Уравнение движения.

1.5.1 Описание флуктуаций.

1.5.2 Уравнение Фоккера-Планка.

1.6 Потенциал переходной области ось-плоскость.

1.7 Потери энергии.

1.8 Модели деканалирования.

2 глава Моделирование движения релятивистских заряженных частиц в каналах кристалла.

2.1 Компьютерное моделирование процессов, связанных с каналированием.

2.2 Модель движения заряженных частиц в каналах кристалла.

2.3 Компьютерная реализация модели PST.

2.3.1 Версии XV и SM.

2.3.2 Обезразмеривание параметров движения.

2.3.3 Описание программы.

2.3.3.1 Модуль задания начальных условий и параметров движения.

2.3.3.2 Решатель траекторий.

2.3.3.3 Модуль расчёта потерь энергии.

2.3.3.4 Реализация методов расчёта деканалирования.

2.4 Алгоритм работы с программой.

2.5 Достоверность результатов.

3 глава Моделирование движения быстрых заряженных частиц в прямых кристаллах.

3.1 Исследование плоскостных колебаний.

3.2 Исследование деканалирования релятивистских частиц.

3.3 Движение отрицательно заряженных частиц.

3.4 Исследование влияния переходной области ось-плоскость.

4 глава Исследование влияния изгиба на траектории заряженных частиц в каналах кристаллов.

4.1 Влияние изгиба кристалла на траектории каналированных частиц.

4.1.1 Эффективный потенциал.

4.1.2 Способы изгиба кристалла.

4.1.3 Уравнение деформации.

4.2 Экспериментальные данные.

4.3 Компьютерное моделирование.

4.4 Результаты моделирования и выводы.

В представленной работе рассматривается применение метода компьютерного моделирования для исследования ориентационных эффектов, возникающих при движении быстрых заряженных частиц через кристаллы. Это каналирование и связанные с ним явления, такие как, выход частиц из каналов (деканалирование), потери энергии и многократное рассеяние. Основное проявление эффекта каналирования состоит в том, что положительно заряженные частицы, движущиеся по направлениям, соответствующим каналам кристалла, могут проникать на большую глубину, чем по другим направлениям, для отрицательных частиц, наоборот, пробеги по этим же направлениям наименьшие. Увеличение проникновения происходит потому, что при прохождении заданного расстояния по каналированной траектории теряется меньшая энергия, так как эта траектория лежит в области низкой электронной плотности. Также, в работе исследуется влияние изгиба и ориентации кристалла на движение через него частиц.

Исследование ориентационных свойств кристаллов началось в начале 20 века с экспериментов по дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке, в ходе которых было доказано упорядоченное расположение к* атомов в кристалле. В 1912г. немецкий физик И.Штарк (J.Stark) предсказал возможность каналирования, сделав предположение о влияние упорядоченного расположения атомов кристалла на движение заряженных частиц, в частности протонного пучка и предлагал проверить это экспериментально. В 1960-х годах было проведено первое компьютерное моделирование [1], а затем и эксперименты по прохождению ионов с энергиями порядка МэВ через кристаллы. Во второй половине 1960-х годов была опубликована работа И.Линдхарда [2], где разрабатывалась теория каналирования. На основе применения законов классической механики к описанию движения быстрых заряженных частиц в кристаллической решётке. В рамках теории Линдхарда было обосновано применение диффузионной модели и непрерывного потенциала взаимодействия, а также определены условия каналирования.

В 1976г. Э.Н.Цыганов (Объединённый институт ядерных исследований, Дубна) в работе [3] предсказал возможность отклонения релятивистских заряженных частиц изогнутыми кристаллами, что было позже подтверждено экспериментально. В работе [3] предлагалось использовать электрическое поле изогнутого кристалла для управления пучками заряженных частиц. При этом предполагалось, что каналированные положительно заряженные частицы будут следовать изгибу кристалла до некоторого критического радиуса изгиба каналов ("радиус Цыганова"), который определяется максимальной напряжённостью усреднённого вдоль плоскостей электрического поля атомов кристалла и энергией каналированной частицы. Экспериментально была обнаружена также возможность фокусировки пучков заряженных частиц.

В настоящее время подобный способ отклонения заряженных частиц изогнутыми кристаллами широко применяется для формирования и транспортировки пучков заряженных частиц и вывода их из ускорителей. Достигнута эффективность отклонения более 50% [4]. Применение изогнутых кристаллов для таких целей имеет ряд преимуществ, например, меньшие физические размеры отклоняющего устройства по сравнению со способом отклонения заряженных частиц внешними магнитными полями, меньший радиационный фон, отсутствие затрат энергии.

В ходе исследований каналирования в изогнутых кристаллах были обнаружены такие эффекты, как объёмный захват [5] и объёмное отражение [6], интересные для кристаллооптики заряженных пучков. Среди современных работ по этим эффектам можно назвать работу [7], где описывается эксперимент по отклонению протонного пучка с энергией 70 ГэВ в (111)-плоскостных каналах равномерного изогнутого кристалла кремния. В проведённом эксперименте наблюдалось объёмное отражение протонов. В работе [8] приводятся физические основы и рассматриваются режимы работы применяемой в ИФВЭ схемы вывода протонов из ускорителя с использованием коротких кристаллов кремния, а также обсуждаются способы изгибов кристаллов. В обзоре [9] сообщается об экспериментах, проведённых в ЦЕРН с целью изучения каналирования в изогнутых кристаллах. Исследовалось влияние на эффективность отклонения энергии каналированных частиц и различных способов изгиба кристалла. В работе [10] рассматриваются особенности движения каналированных частиц и даётся обзор результатов исследования каналирования частиц в изогнутом кристалле. В обзоре [11] указываются результаты исследований каналирования в изогнутых кристаллах, а также области применения изогнутых кристаллов.

Кроме управления пучками частиц изогнутым кристаллом, явление каналирования можно применять и в других целях. Так, изогнутый кристалл можно использовать в физических экспериментах для измерения магнитного момента короткоживущих частиц по прецессии их спина. Теоретические основы поворота спина в электрическом поле плоскостного канала изогнутого канала описаны в работе [12]. Данная возможность была экспериментально подтверждена. При прохождении легких заряженных частиц через кристаллы можно получить жёсткое монохроматическое излучение, т.е. возможно создание источников излучения в гамма- и рентгеновском диапазонах [13]. С помощью пропускания тяжёлых заряженных частиц можно анализировать совершенство кристаллической решётки, определять наличие дефектов и местоположения атомов примесей. Во всех этих направлениях получены интересные результаты, что поддерживает большой интерес к эффекту каналирования и связанным с ним явлениям. Косвенным подтверждением актуальности подобных исследований можно назвать тот факт, что ежегодно проводятся научные конференции, выходит множество публикаций по взаимодействию частиц с кристаллами.

Возможность применения эффекта каналирования для анализа структуры кристалла связана с явлениями плоскостных колебаний быстрых заряженных частиц в кристаллах и резерфордовского обратного рассеяния, которые являются проявлениями процесса установления статистически равновесного пространственного распределения каналированных частиц. Наличие примесей или дефектов в кристалле в зависимости от их расположения приводит к изменению интенсивности обратного рассеяния. Таким образом, анализируя спектры обратного рассеяния можно точно установить местоположение дефекта или атома примеси. Исследованиям в данной области посвящены работы [14-16], и других авторов. Например, в работе [17] исследуется спектр обратного рассеяния для ионов гелия с энергией 1.9 МэВ в железе, в [14] приводятся спектры обратного рассеяния ионов гелия с энергией несколько МэВ в кристалле кремния с примесями висмута, а в работе [16] анализируются спектры для кристалла кремния с примесью мышьяка с помощью метода "неравновесного каналирования". В работе [15] описано применение компьютерной программы, основанную на моделировании в фазовом пространстве поперечных координат и импульсов методом Монте-Карло для изучения плоскостных колебаний при плоскостном каналировании; процесс установления статистического равновесия показан на графиках эволюции распределения частиц в фазовом пространстве.

Также проводятся исследования каналирования отрицательно заряженных частиц. Например, в работе [18] представлены результаты экспериментального исследования каналирования антипротонов с энергией 1.4 МэВ в осевом канале <100> кристалла кремния толщиной 0.5 мкм.

В работе (см. например, [19]) экспериментально было обнаружено, так называемое, резонансное деканалирование ионов при переходе из осевых в плоскостные каналы, состоящее в раскачке поперечных колебаний каналированных ионов при совпадении периода собственных колебаний ионов в каналах с временем пролета между соседними атомными цепочками.

В работе [20] сообщалось об обнаружении нового эффекта, возникающего при каналировании первоначально изотропного пучка тяжёлых ионов в кристалле кремния. В эксперименте наблюдалось изменение интенсивности в угловых распределениях ионов, прошедших через кристалл. Наблюдалось либо уменьшение (охлаждение), либо увеличение (нагрев) поперечной энергии, при чём, указанные эффекты зависят от сорта и энергии каналированных ионов, а также от толщины кристалла. Предполагается, что такое перераспределение связано с потерями энергии на электронах и захватом частиц в каналы. Указывается, что данное явление не объясняется классической теорией каналирования, и не было воспроизведено с помощью компьютерного моделирования.

Преимущественное развитие теории каналирования проходило в рамках метода кинетических уравнений движения, описывающих эволюцию плотности потока каналированных частиц как в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей, так и в пространстве поперечных энергий. Кинетическое описание эффекта каналирования быстрых заряженных частиц в кристаллах было впервые предложено И. Линдхардом [2] с помощью уравнения движения диффузионного типа. Ю.В.Мартыненко в работе [21] предложил использовать кинетическое уравнение Фоккера-Планка в пространстве поперечных энергий для описания эффекта каналирования, а в работе [22] было впервые предложено применение кинетического уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей. В этой же работе были рассмотрены коэффициенты диффузии каналированных частиц на ядрах и электронах кристалла. В работе [23] указывалось, что решение кинетического уравнения Фоккера-Планка в пространстве поперечных координат и импульсов представляет собой весьма сложную в математическом отношении задачу, а в качестве одного из возможных методов её решения предлагалось использовать метод численного моделирования траекторий каналированных частиц. В [24] представлены точное решение уравнения Фоккера-Планка для гармонического потенциала плоскостного канала и приближённое решение для ангармонического потенциала плоскостного канала.

Таким образом, одной из актуальных задач теории был поиск решения уравнения Фоккера-Планка в случае, когда:

1. Непрерывный потенциал плоскостного канала учитывает тепловые колебания атомов кристалла, а также местоположения атомов в элементарной кристаллической ячейке, и раскладывается в тригонометрический ряд Фурье, а компонента Фурье потенциала изолированного атома берутся в приближениях Мольер или Дойля-Тёрнера.

2. Электронный коэффициент диффузии вычисляется в приближении локальной электронной плотности, а ядерный в приближении Китагавы-Оцуки. Электронная плотность, входящая в формулу для электронного коэффициента диффузии вычисляется в приближениях Мольер или Дойля-Тёрнера.

Одной из актуальных задач физики эффекта каналирования релятивистских частиц, не получивших объяснения вплоть до настоящего времени был эффект уменьшения скорости деканалирования положительно заряженных релятивистских протонов из плоскостных и осевых каналов кристаллов кремния и германия, обнаруженный в эксперименте [25].

Одним из способов исследования явлений, связанных с прохождением заряженных частиц через кристаллы является компьютерное моделирование, получившее в настоящее время большие возможности из-за развития компьютерной техники. Компьютерное моделирование траекторий каналирован-ных частиц является в настоящее время единственным методом, позволяющим планировать экспериментальные исследования на количественном уровне, и в тоже время является наиболее гибким методом исследования. Разрешение по поперечной координате и скорости, число и длины отрезков прослеживаемых траекторий частиц и другие параметры могут быть легко оптимизированы в зависимости от цели компьютерного эксперимента. Кроме того, компьютерное моделирование значительно дешевле физических экспериментов.

В данной работе предлагается программа компьютерного моделирования движения релятивистских заряженных частиц в алмазоподобных кристаллах. Математическая модель программы основывается на численном решении уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей. С помощью предлагаемой компьютерной программы 9 проводятся численные эксперименты по изучению плоскостных колебаний ионов гелия в кристалле кремния, деканалирования релятивистских протонов и влияния изгиба кристалла кремния на движение через него протонов. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Цели работы:

1. Разработка компьютерной программы для исследования движения канали-рованных ионов в каналах алмазоподобных кристаллов, учитывающую изгиб кристалла, многократное рассеяние, начальную расходимость пучка частиц, различные аппроксимации потенциала отдельного атома.

2. Изучение с помощью компьютерного моделирования динамики потока быстрых частиц (протонов, положительных ионов) в режиме плоскостного каналирования в алмазоподобных кристаллах.

3. Исследование влияния изгиба кристалла на свойства потока каналирован-ных частиц.

Метод исследования - компьютерное моделирование. Компьютерная программа моделирования траекторий, основанная на численном решении уравнения движения частиц в каналах кристаллов с учётом многократного рассеяния. Основу математической модели движения каналированных частиц составляет метод численного решения уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей, которое решается методом малого шума на небольших отрезках траектории. В качестве численного метода решения системы дифференциальных уравнений применяется метод Рунге-Кутты 4 порядка точности. Для учёта обратного влияния многократного рассеяния на траектории каналированных частиц применяется метод Монте-Карло. В рамках созданной компьютерной программы возможно проводить расчёт по трём моделям: без многократного рассеяния (версия XV), с учётом многократного рассеяния по моделям PST (предлагаемый способ описания многократного рассеяния) и SM ("стандартная модель" - реализуется способ описания многократного рассеяния, подобный использующимся в настоящее время в существующих компьютерных программах).

Обоснованность и достоверность полученных результатов Обоснованность полученных результатов основана на том, что в качестве исходной посылки были выбраны уравнения (уравнения Фоккера-Планка и Ньютона), описывающие движение заряженных частиц в кулоновском потенциале электронов и ядер атомов кристалла. Флуктуации потенциала и корреляционные функции флуктуаций потенциала были определены в рамках общепринятой теории. Решения уравнений движения искались с помощью метода малого шума [26] и метода многих масштабов [27].

Достоверность результатов связана с хорошим согласием полученных в результате моделирования результатов с экспериментальными данными [4], [14] и [25].

Научная и практическая значимость работы

Описанная в работе программа моделирования траекторий каналированных ионов может быть применена для теоретических оценок и предсказания новых экспериментальных результатов. Представленный метод исследования позволяет надёжно интерпретировать эксперимент, а также проводить планирование и прогнозирование новых экспериментов по взаимодействию релятивистских частиц с кристаллами.

Научная новизна и результаты, вынесенные на защиту:

1. Предложен и реализован метод численного решения уравнения Фоккера-Планка в фазовом пространстве поперечных координат и скоростей с помощью компьютерного моделирования траекторий каналированных частиц.

2. Предложен комплекс алгоритмов и программа PST (the Phase Space of Transversal coordinates and velocities) моделирования траекторий, представляющая собой алгоритмическое наполнение модели движения заряженных частиц в плоскостных каналах алмазоподобных кристаллов.

3. Результаты исследования движения заряженных частиц в кристаллах, полученные с помощью программы PST.

4. Обнаруженный в компьютерном эксперименте эффект уменьшения скорости деканалирования релятивистских положительно заряженных частиц в плоскостных каналах кристаллов кремния и германия.

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались на следующих научных конференциях:

- 34-36 Международные конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (Москва, МГУ, 2004-2006г.)

- 17 Международной конференции "взаимодействие ионов с поверхностью" (ВИП-2005) (Звенигород, 2005г.)

- Sixth International Symposium on Swift Heavy Ions in Matter (Германия, 2005г.)

- 4-6 Открытых окружных конференциях молодых учёных "наука и инновации XXI века" (Сургут, 2003-2005г.)

Количество работ по диссертации -19.

В работах [45,46] рассматривается взаимодействие многозарядных ионов с атомами кристалла и строится потенциальная энергия такого взаимодействия в приближении экранированного кулоновского потенциала. Показано, что вид потенциальной энергии зависит как от заряда ядра иона, так и от заряда самого иона. В [47-49] приводится математическая модель компьютерной программы моделирования траекторий PST. Работы [50-53] посвящены исследованию влияния потенциала переходной области ось-плоскость на движение каналированных частиц, в частности в [50,51] приводится вывод потенциала переходной области, исходя из решения уравнения движения каналированных частиц методом многих масштабов, а также производится компьютерное моделирование траекторий быстрых заряженных частиц в этом случае с целью обнаружения эффектов резонансного нагрева и охлаждения. В [52,53] учитывается влияние переходной области на выход ионов

12 гелия в связи с исследованиями плоскостных колебаний. В [54-56] на основе ланжевеновского подхода к теории каналирования [29] предлагается новый метод расчёта средней скорости потерь энергии каналированных частиц на электронах кристалла, а также представлены результаты расчётов спектров потерь энергии. Исследованию эффекта уменьшения скорости деканалирова-ния релятивистских протонов посвящена работа [58]. В [59-61] производится моделирование траекторий протонов в изогнутых кристаллах. Результаты моделирования, полученные с помощью разработанной программы PST, также опубликованы в [62,63], где производится моделирование траекторий каналированных релятивистских электронов с целью расчёта спектральной интенсивности излучения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приведём основные результаты работы:

1. Разработана компьютерная программа для исследования движения каналированных ионов в каналах алмазоподобных кристаллов, учитывающую изгиб кристалла, многократное рассеяние, начальную расходимость пучка частиц, различные аппроксимации потенциала отдельного атома.

2. С помощью компьютерного моделирования по предложенной программе были исследованы: динамика потока быстрых частиц (протонов, положительных ионов) в режиме плоскостного каналирования в алмазоподобных кристаллах, влияние потенциала переходной области ось-плоскость, влияния изгиба кристалла на свойства потока каналированных частиц.

По результатам компьютерного моделирования можно сделать следующие основные выводы:

1. Обнаружено уменьшение скорости деканалирования релятивистских положительно заряженных частиц в плоскостных каналах кристалла.

2. Переходная область ось-плоскость не оказывает заметного влияния на характер движения каналированных частиц.

3. В условиях эксперимента (S.P. Moller et al. (1994)) обнаружен интервал локальных радиусов изгиба, в пределах которого потери энергии каналированных частиц становятся не меньше, чем потери энергии частиц в разориенти-рованном кристалле.

В отношении созданной компьютерной программы PST необходимо отметить, что данная версия программы реализована только для алмазоподо-бых кристаллов и трёх главных кристаллографических плоскостных каналов (100), (110) и (111). Данная версия программы реализована как для тяжёлых положительно заряженных частиц (протонов, ионов), так и для тяжёлых отрицательно заряженных частиц (антипротоны, я'-мезоны). Однако, схема описания кристалла, применяемая в программе, может быть использована для описания любых атомных кристаллов, также можно описать и другие плоскостные направления.

Достоверность полученных результатов можно обосновать хорошим согласием с экспериментальными результатами. Для обеспечения точности расчётов были применены такие приёмы, как подбор шага численного решения дифференциальных уравнений таким образом, чтобы соблюдался закон сохранения энергии для подбарьерной траектории без многократного рассеяния, подбор количества членов пх разложения в ряд Фурье таким образом, чтобы соответствующие функции не изменяли свой вид при увеличении пх. Однако, для расчётов бралась не большая статистика (100, 301 или 1000 частиц), что, конечно, вносит определённую погрешность и это необходимо учитывать при сравнениях результатов расчётов. К сожалению, взять большее число частиц для расчётов не было возможности, т.к. для этого необходимы как большой объём компьютерной памяти, так и время. Так, например, расчёт одного пучка из 301 протона в изогнутом кристалле, длиной 5 см занимает 36 часов и около 100 Гб памяти.

1. M.T.Robinson, O.E.Oen Computer studies of the slowing down of energetic atoms in crystals // Physical reviews, V.132, N.6,1963, p.2385-2398.

2. Й.Линдхард Влияние кристаллической решётки на движение быстрых заряженных частиц // УФН. 1969. Т.99. Вып.2. С.249-296.

3. E.N.Tsyganov Some aspects of the mechanism of a charge particle penetration through a monocrystal // Preprint Fermilab TM-682. Batavia. 1976. P 1-6.

4. S.P.Moller et al. Observation of high deflection efficiency and narrow energy loss distributions for 450 GeV protons channeled in a bent silicon crystal//Nucl.Instr.Meth.B. 1994.

5. O.I.Sumbaev The theory of volume capture by a curved crystal in the channeling regime // Preprint LIYaF-1201.1986.

6. А.М.Таратин, С.А.Воробьёв Объёмный захват протонов в режим каналирования в изогнутом кристалле // Журнал технической физики. 1985. Т.55. В.8. С.1598-1604.

7. Yu.M.Ivanov, A.A.Petrunin, V.V.Skorobogatov et al. Volume reflection of a proton beam in a bent crystal // Physical Review Letters. 2006. PRL 97, 144801 p. 1-4.

8. А.Г.Афонин, В.Т.Баранов, В.М.Бирюков и др. Вывод пучка протонов из ускорителя ИФВЭ с помощью коротких кристаллов кремния // Препринт ИФВЭ 2003-33. Протвино, 2003.49с.

9. A.Baurichter, C.Biino, M.Clement et al. Channeling of high-energy particles in bent crystals - Experiments at the CERN SPS // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res. В164-165.2000. p.27-43.

10. В.Г.Барышевский // Письма в ЖТФ. 1979 Т.5. С. 182.

11. М.А.Кумахов-Излучение каналированных частиц в кристаллах. М.: Энергоатомиздат. 1986. 161с.

12. K.Saitoh Surface oscillations and statistical equilibrium of planar channeling // Journal of the Physical Society of Japan. 1985. Vol.54. No.9. p.3615-3621.

13. G.P.Pokhil, A.F.Tulinov, A.A.Turinge etal. A planar channeling technique to study the structure of the complexes formed by arsenic in silicon at high arsenic concentrations // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res. В13,1986, p.84-86.

14. F.Abel, G.Amsel, M.Bruneaux et al. Backscattering study and theoretical investigation of planar channeling processes. I. Experimental results // Physical Review B. 1975. V.12. N.l 1. p.4617-4627.

15. U.I.Uggerh0j, H.Bluhme, H.Knudsen et al. Channeling of antiprotons // Nucl.Instr.Meth. in Phys.Res. B207,2003, p.402-408.

16. Yu.V.Bulgakov Phenomena observable in the transition from axial to planar channeling // Труды VII Международной конференции по атомным столкновениям в твёрдых телах. Т.1 .-М.: Изд.-во Московского университета, 1981. С.41-43.

17. W.Assmann, H.Huber, S.A.Karamian et al. Transverse cooling or heating of channeled ions by electron capture and loss // Physical Review Letters. 1999. V.83. N.9. P1759-1762.21 .Ю.В.Мартыненко // ФТТ. 1971. T13. N4. c.1055.

18. M.Kitagawa, Y.H.Ohtsuki Modified dechanneling theory and diffusion coefficients // Phys. Rev. B. 1973. V. 8. N 7. P. 3117-3123.

19. B.A. Базылев, В.И. Глебов, B.B. Головизнин Квантовая теория неупругого рассеяния отрицательно заряженных частиц в ориентированных кристаллах //ЖЭТФ. 1986. Т.91. В.1(7). с.25-36.

20. М.А.Кумахов, Г.Ширмер Атомные столкновения в кристаллах. М.: Атомиздат, 1980.192 с.

21. S.K.Andersen et al. Influence of channeling on scattering of 2-15 GeV/c protons, 7t+, and 7t incident on Si and Ge crystals // Nuclear Physics В167, 1980, p. 1-40.

22. К.В.Гардинер Стохастические методы в естественных науках: Пер. с англ. -М.: Мир. 1986. - 528с.

23. А.Найфе Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984.

24. Ч.Китель Введение в физику твёрдого тела. М.: Наука, 1978.701 с.

25. В.П.Кощеев Ланжевеновский подход к теории каналирования. Сургут: СурГУ, 2001.

26. J.F.Bak et al. Measurement of average electron densities in Si and Ge using MeV 8-rays produced by channeled high-energy projectiles // Nuclear Physics A389,1982, p.533-566.

27. В.А.Рябов Эффект каналирования. M.: Энергоатомиздат, 1994. 240 с.

28. F.Scheuter, H.Hofmann On propagation of a fissioning system across the barrier towards scission // Nuclear Physics A394,1983, p.477-500.

29. В.П.Кощеев// Известия вузов. Физика. №10,1999, с.73-74.

30. D.S.Gemmell Channeling and related effects in the motion of charged particles through crystals // Reviews of Modern Physics, V.46, N.l, 1974.p. 129-227.

31. J.F.Bak et al. Detailed investigation of the channeling phenomena involved in bending of high-energy beams by means of crystals // Nuclear Physics B242,1984, p. 1-30.

32. V.Biryukov Computer simulation of beam steering by crystal channeling // Physical Reviews. E. 1995. V. 51. N. 4. P. 3522-3528.

33. J.P.Biersak, J.F.Zeigler SRIM-2003.26 // www.SRIM.org

34. E.X. Оцуки. Взаимодействие заряженных частиц с твёрдыми телами. М.: Мир, 1985. 277 с.

35. В.В.Каплин, С.А.Воробьёв // Письма в ЖТФ. 1978, Т4, В4, С.196.

36. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Том.6. Теория упругости, М.: Физматлит, 2001.

37. W.M.Gibson et.al. Deflection of high energy channeled charged particles by elastically bent silicon single crystal // Nucl.Inst.Meth. in Phys.Res. 1984. V.B2. P.54-59.

38. H.Akbari, X.Altuna et al. // Phys. Lett. B.313.491.1993.

39. J.S.Forester et al. Channeling // Nuclear Physics B318,1989, p.302-318.

40. J.A.Ellison et.al. GeV channeling in bent crystals with slowly varying curvature // Nucl.Inst.Meth. in Phys.Res. 1984. V.B2. P.9-12.

41. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, A.K. Холодов, H.B. Сафин, Е.В. Кулясов -Потенциальная энергия взаимодействия быстрых ионов с атомами кристалла // Сборник научных трудов СурГУ, 2005. с.61-65

42. Н.В.Сафин PST- модель расчёта траекторий релятивистских частиц // "Наука и инновации XXI века" Материалы открытой окружной конференции молодых ученых. 24-25 ноября 2005 года СурГУ. 2005. с.31-32.

43. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов Компьютерное моделирование траекторий каналированных ионов // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. - 2006. -№7.-с.48-51.

44. Н.В.Сафин, В.П.Кощеев Деканалирование ионов гелия в переходной области ось-плоскость кристалла кремния // Наука и инновации XXI века: Материалы V открытой окружной конференции молодых ученых. 25-26 ноября 2004 года СурГУ.- 2004.- с. 18-19.

45. V.P. Koshcheev, D.A. Morgun, А.К. Kholodov, N.V. Safin Stopping power of fast ions in planar channeling // Sixth International Symposium on Swift Heavy Ions in Matter, May 28-31,2005, Aschaffenburg (Germany). -2005. -p.58.

46. В.П. Кощеев, Д.А. Моргун, Н.В. Сафин, А.К. Холодов Флуктуацион-но-динамическое описание потерь энергии быстрых ионов в плоскостных каналах кристалла // Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования - 2006 - №10 - с. 1-3.

47. В.П.Кощеев, Д.А.Моргун, Н.В.Сафин, А.К.Холодов Механизм уменьшения плоскостного деканалирования релятивистских протонов // Письма в ЖТФ. - 2006. - Т.32. - В.9. - с. 1-6.

48. Н.В.Сафин Движение быстрых протонов в изогнутом кристалле // Наука и инновации XXI века: Материалы открытой окружной конференции молодых ученых. 27-28 ноября 2003 года СурГУ. 2003 Т.1 -с.31-33.

49. Н.В. Сафин, Д.А. Моргун, В.П. Кощеев Отклонение протонов изогнутым кристаллом кремния // Сборник научных трудов. Выпуск 24. Физико-математические и технические науки. Сургут: Изд-во СурГУ. 2006. в печати.