автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Метод решения системы релятивистских уравнений хартри-фока для статистического ансамбля ионов плазмы

РГ6 од - 8 ОКТ 1996

на правах рукописи

Денисов Олег Борисович

МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ ХАРТРИ-ФОКА ДЛЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНСАМБЛЯ ИОНОВ ПЛАЗМЫ

Специальность 05.13.18-Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1996 г.

Работа выполнена в Институте Математического моделирования Российской Академии Наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Н.Ю. Орлов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Г.В. Шпатаковская

Ведущая организация: Физический институт им. П.Н. Лебедева Российской Академии Наук

на заседании Диссертационного Совета К 003.91.01 при Институте Математического моделирования РАН по адресу: 125047, Москва, Р 47, Миусская пл., 4-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ РАН.

кандидат физико-математических наук

С.С. Филиппов

Защита состоится «

»

1996 г. в час. мин.

Автореферат разослан «2'д> 1996

г.

Ученый секретарь Диссертационного совета, к.ф. - м.н.

С.Р. Свирщевский

Актуальность темы

При решении ряда важных научно-технических проблем, связанных с космическими исследованиями, исследованиями по управляемому термоядерному синтезу (УТС), задачами ядерной энергетики и некоторыми другими, возникает потребность в знании физических характеристик вещества при сверхвысоких температурах и давлениях, которые в земных условиях могут быть достигнуты лишь в результате весьма дорогостоящих экспериментов. (Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Вестник АН СССР, 1979, Т 5, с.38-49., Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. Подземные взрывы. Серия: Механика. Новое в зарубежной науке. М. Мир. 1975 г.) Речь идет о таких характеристиках вещества, как коэффициенты теплопроводности, спектральные коэффициенты поглощения фотонов, пробеги, усредненные по Планку либо по Росселанду, уравнения состояния.

Часто единственным путем определения свойств вещества, находящегося в экстремальных условиях, являются методы математического моделирования. Получение этих характеристик в широкой области температур и плотностей вещества, важной для физических приложений, с помощью теоретических моделей представляет собой очень сложную задачу.

Первые работы в этом направлении (Feynman R., Metropolis M., Teller E. Equations of state of element based on the generalized Fermi-Tomas theory: Phyé. Rev., 1949, v.75, N 10, p.1561-1573., Latter R. Temperature behavior of the Thomas-Fermy statistical model for atoms. Phys. Rev., 1955, v.99, N 6, p. 1854-1870.) привели к созданию теоретической модели вещества - модели Томаса-Ферми (ТФ), применимая в области очень больших температур и плотностей. С понижением температуры возникает необходимость в учете так называемых квантовых и обменных поправок. Этот учет привел к созданию модели ТФП, имеющей более широкую область применимости (Киржниц Д.А. Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми. ЖЭТФ, 1957, т.32, Т 1, с.115-123., Калиткин H.H., Кузьмина A.B. Таблицы термодинамических функций вещества при

высокой концентрации энергии. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР, 1975, Т 35.), а несколько позже позволил учесть и некоторые неучтенные ранее эффекты (осцилляционные поправки) (Киржниц Д. А., Шпатаковская Г.В. Осцилляционные эффекты атомной структуры. ЖЭТФ, 1972, т.62, Т 6, с.2082-2096.).

- Еще одним широко распространенным методом является метод Саха-Больцмана, когда для определения концентраций ионов плазмы используются экспериментально измеренные уровни энергии атомов и ионов (Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Наука, 1966.). Этот подход сталкивается с целым рядом трудностей. Во-первых, достаточно полные экспериментальные данные известны далеко не для всех химических элементов, не говоря уже о всевозможных их соединениях. Во-вторых, при сжатии плазмы уровни энергии смещаются и могут не соответствовать измеренным в эксперименте.

Другой моделью, применимой при температурах, более низких, чем в ТФП, является модель Хартри-Фока-Слэтера (ХФС) (Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера для вещества с заданной температурой и плотностью. Вопросы атомной науки и техники. Методики и программы числ. решения задач матем. физ. - М.: ЦНИИатоминформ, 1979, Вып. 4[6], с.16-26.), предложенная для описания состояния так называемых «чистых» веществ и более сложная задача, когда в состав плазмы могут входить различные химические элемкнты.(Орлов Н.Ю. Расчет самосогласованного потенциала для смеси веществ в приближении Хартри-Фока-Слэтера. Препринт Ин. прикл. матем. им. М.В. Келдыша АН СССР, 1979, N 131.)

Следующим шагом в развитии теоретических моделей вещества было создание Ионной модели вещества (Орлов Н.Ю. Ионная модель вещества. Математическое моделирование. 1992, т. 4, N 8, с. 20-30.).

Математические трудности, которые возникли при создании этой модели, связаны с тем, что методы самосогласованного поля применялись для описания статистического ансамбля атомов и ионов

плазмы, а не каждого атома или иона отдельно. Это определило необходимость создания более совершенного численного метода решения задачи по сравнению с предыдущими подходами. Такой метод был создан, однако базисная система уравнений представляла собой систему уравнений Шредингера или Дирака с приближённым учетом обменного взаимодействия. Этот подход обеспечивал надежный расчет оптических свойств плазмы для температур выше нескольких десятков электронвольт. Однако в тех расчетах, необходимость которых возникает при решении задач УТС, требуется рассмотреть диапазон температур вплоть до 1 эв. Поэтому необходимо перейти к решению более точных уравнений - уравнений Харти-Фока. Это в свою очередь требует создания мощного численного метода решения подобных уравнений. Этим и определяется актуальность данной работы.

Цель работы. Целью данной работы является создание численного метода, разработка алгоритма и комплекса программ, которые позволяют решить систему релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы.

Научная новизна. Научная новизна работы состоит в создании численного метода решения системы релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы, алгоритма и комплекса программ. Релятивистские уравнения Хартри-Фока решались ранее для отдельных атомов или ионов плазмы. В данной работе такие уравнения решены для статистического ансамбля, включающего различные атомы и ионы, причем система уравнений не распадается на подсистемы, каждая из которых описывала бы состояния только одного атома или иона плазмы. Такая объединенная система уравнений оказывается гораздо более сложной и требует разработки более мощного численного метода решения. В данной работе создан такой численный метод.

Результаты, выносимые на защиту.

1. В настоящей работе создан численный метод решения системы релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы.

2. Создан комплекс программ, который позволяет решать систему релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы.

3. Исследована область применимости численного метода на основе системы релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы. Для этого проведен теоретический вывод этой системы уравнений.

4. Проведено сравнение с экспериментальными данными и расчетами по другим моделям.

Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов подтверждается сравнениями их с расчетами других авторов, сравнением с экспериментальными данными. Полученные результаты хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Практическая значимость работы. Полученные * результаты позволяют проводить расчеты оптических характеристик «чистых» веществ в ранее недоступной области температур и плотностей. Эти результаты необходимы при решении задач радиационной газовой динамики и физики плазмы, играющих важную роль в науке и технике.

Апробация , результатов. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ИММ РАН,

Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН, на конференции «Физика низкотемпературной плазмы» (20-26 июня 1995 г., Петрозоводск).

Публикации. По результатам, представленным в диссертации, опубликовано 4 работы.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из Введения, трех Глав, каждая из которых включает несколько параграфов, Заключения. Общий объем работы -97 страниц вместе с иллюстрациями. Библиография включает 51 наименование.

Содержание работы

Во введении рассмотрены некоторые существующие теоретические методы расчета свойств веществ. Обсуждаются границы применимости существующих теоретических моделей, приведено краткое содержание работы.

В первой главе, используя метод функционала плотности, проведен вывод системы релятивистских уравнений Хартри-Фока, описывающих состояние ансамбля атомов и ионов плазмы при заданной температуре и плотности. Это делается для нахождения области применимости численного метода. После выбора подсистемы в статистики Гиббса, записи оператора Гамильтона в приближении локальной плотности производится переход к представлению вторичного квантования. Далее проводится обсуждение дополнительных условий экстремума функционала плотности. Используя вариационный принцип и метод неопределенных множителей Лагранжа, и условия экстремума функционала плотности получены: релятивистские уравнения Хартри-Фока для каждой подсистемы, формула для равновесной плотности электронов непрерывного спектра в квазиклассическом приближении, распределение Гиббса для подсистем. В первой главе перечислены все

физические приближения, использованные при выводе уравнений. Это позволяет определить теоретическую область применимости предложенного метода.

Вторая глава посвящена разработке численного метода решения системы уравнений ионной модели вещества на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока.

Релятивистские уравнения Хартри-Фока записываются в виде:

г г

С(яМ)0в-УД6Ь) + ЩаЬк)дь-^к{аЪ) г г

+х

Ь,к

= ЕаМа + ЦС1ьЕаЬ<2ъ

Ь*а

се;-—а,--/>„ +

г г

Ь,к

С(аЪк)Ра - Ук(ЬЬ) + П(аЬк)Рь - Ук(аЬ) г г

= ЕааРа + ^УьЕаЬРЬ

(О

Здесь С= Уа, «=1/137.04 - постоянная тонкой структуры. Параметр х определяется соотношением

Г-(/ + 1) при / = / + Х т

[ / при 1 = 1-у2 Еаа, ЕаЬ- диагональные и недиагональные множители Лагранжа соответственно.

Функции Ук(ас,Гг) определяются выражением:

(буквами а,Ь... нумеруются одноэлектронные состояния).

Угловые коэффициенты С и О определяются выражением для полной энергии

£ = 1>Л + £ да[с(аЬк)Гк(аЬ)+0(аЬк)Ск(аЬ)\, (4)

«, ь, к

где С]а - числа заполнения электронных состоянии,

Гк(аЬ) - Як(аЬаЬ),

Ск(аЬ) = Як(аЬЬа),

причем

к

(5)

г>

•[^(г^гн^шг)]^ = (6)

Если в качестве подсистемы в статистике Гиббса выбрать сферическую атомную ячейку радиуса г0, в центре которой находится ядро с зарядом Z, то распределение Гиббса можно записать в виде

ri(E(i\N(0)| = Cg ехр

9

(7)

где Е^- энергия /-го иона, число электронов в ячейке, ц-

химический потенциал, g - статистический вес, в - температура в атомных единицах, С - нормировочная постоянная.

Зная набор чисел заполнения электронных состояний /-го иона {л^,}, можно записать для него систему уравнений Хартри-Фока-Дирака (1) с учетом (13)-(16) и дополнительными условиями для функций Р„'/у(г), О'^/г):

К,А 0) = 0; 0^(0) = 0 (8)

= а'/уСо) = 0 (9)

Химический потенциал // можно определить из условия "квазинейтральности" в среднем рассматриваемой подсистемы:

= (11)

<

где

(12)

и/; О

Система уравнений (7),(4),(1), -(8)-(10),(11), (12) является системой уравнений ионной модели вещества на основе приближения Хартри-Фока-Дирака.

Расчеты, проводимые ранее для отдельных атомов и ионов плазмы в приближении ХФД, не учитывали влияние электронов непрерывного спектра на те электроны, которые находятся в связанных состояниях. Однако такое влияние может быть существенным, когда рассматриваются свойства неидеальной плазмы. В данной работе проведен учет такого влияния.

Если для г -го иона плазмы известен самосогласованный потенциал Дирака-Фока-Слэтера плотность электронов непрерывного

спектра /7ц (г) можно записать, используя квазиклассическое приближение:

Рн(г), ^ г- Лк--(13>

Область А определяется условием

А ' У>[идфс(г) + £0]Г|. (14)

Здесь 9 - температура вещества в энергетических единицах, 7= -¡л/9, /и- химический потенциал, Е0- граница между состояниями дискретного и непрерывного спектров.

Численный метод, предложенный в диссертации, состоит в эффективном итерационном способе решения системы (1),(4),(7)-(14).

Важная особенность итерационного метода, использованного в работе, состоит в выборе начального приближения. Действительно, если удастся найти такое начальное приближение, которое было бы «близко» к искомому решению, эффективность численного метода существенно возрастает. В данной работе удалось найти такое начальное приближение. Оно состоит в расчете той же самой системы атомов и ионов плазмы с использованием более простых уравнений Шредингера или Дирака вместо релятивистских уравнений Хартри-Фока. Численные расчеты подтвердили «близость» такого начального приближения к искомому решению.

Другой важный прием, обеспечивающий высокую эффективность численного метода, связан со структурой самих релятивистских уравнений Хартри-Фока. Многочисленные исследования, проведенные в Физико-техническом институте им. А.Ф. Иоффе, показали, что можно пренебречь некоторыми слагаемыми, в этих уравнениях без заметной потери точности результатов. Данные этих исследований широко использованы в диссертационной работе и обеспечили еще один шаг к повышению эффективности численного метода.

В диссертационной работе создан комплекс программ, позволяющий решить такую систему уравнений найденным численным методом.

В третье главе проводится сравнение результатов расчетов по ИМ на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока с экспериментами и расчетами по другим моделям.

Проведено сравнение относительных концентраций для базовых ионов алюминия при Т=20 эв, р=5-10 2 г/см^ рассчитанных по ионной модели в приближении ДФС и на основе релятивистских

уравнений Хартри-Фока. При расчетах в приближении ДФС релятивистские эффекты учтены лишь для оболочки с главным квантовым числом п=1, а при расчетах на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока - для всех рассматриваемых оболочек. Видно, что с переходом к релятивистским уравнениям Хартри-Фока в рассматриваемом примере концентрации ионов изменяются незначительно.

Рассчитаны одноэлектронные уровни энергии по ионной модели на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока, в зависимости от номера итерации S для первого (j = l) базового иона. Видно, что итерации быстро сходятся. Это свидетельствует, что начальное приближение (приближение ДФС ионной модели) выбрано весьма удачно.

Рассчитаны одноэлектронные уровни энергии по ионной модели на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока с учетом и без учета влияния электронов непрерывного спектра, а также относительные расхождения этих величин в %. Видно, что влияние электронов непрерывного спектра при выбранной температуре и плотности довольно заметно, и оно тем выше, чем выше лежит одноэлектронный уровень энергии.

Проведено сравнение средних по Росселанду коэффициентов поглощения в зависимости от температуры вещества,

рассчитанных по моделям ХФС, данным библиотеки SESAME и результаты расчетов по ИМ для меди при /> = 0.1 г/см3 . Сравнение результатов показывает, что данные рассматриваемых моделей согласуются между собой лишь при температуре выше 0.5 kev. При более низких температурах данные ИМ заметно отличаются от данных двух других моделей, причем при температурах около 10 электронвольт различие ИМ с моделью ХФС достигает десятков раз, а с данными SESAME - сотен раз. Это свидетельствует о том, что применение данных ХФС или SESAME при расчетах, например, сжатия лазерных мишеней, может приводить к ощутимым ошибкам.

Проведено сравнение потенциалов ионизации Ne (при T=1 ev,

р = 10~3(8т/ зЪ и Si (при T=1 ev, р = \0~4(8т/ 3)) между V / cm J v / cm J

расчетами по ИМ на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока, ИМ в приближении обменного взаимодействия и экспериментальными данными (MOORE, С.Е. 1949 Atomic Energy Levels. (NBS - 467, Washington).). Сравнение показало, что более адекватные теоретические уравнения дают более точные численные результаты.

В заключении сформулированы основные результаты работы:

1. В настоящей работе создан численный метод решения системы релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы.

2. Создан комплекс программ, который позволяет решать систему релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы.

3. Исследована область применимости численного метода на основе системы релятивистских уравнений Хартри-Фока для статистического ансамбля ионов плазмы. Для этого проведен теоретический вывод этой системы уравнений.

4. Проведено сравнение с экспериментальными данными и расчетами по другим моделям.

Основные публикации по теме диссертации

1. Денисов О.Б., Орлов Н.Ю. Ионная модель вещества на основе релятивистских уравнений Хартри-Фока / / Математическое моделирование, 1993, т. 5, N 2, с. 4-15.

2. Денисов О.Б., Орлов Н.Ю. Теоретический вывод системы уравнений ионной модели вещества в релятивистском приближении. Математическое моделирование, 1996, т. 8, N 2, с. 48-56.

3. Денисов О.Б., Орлов Н.Ю. Некоторые результаты расчетов оптических свойств меди. Математическое моделирование, 1995, т. 7, N 12, с. 125-127.

4. Голосной И.О., Денисов О. Б., Орлов Н. Ю. Использование ионной модели вещества с учетом плазменных микрополей для расчета оптических свойств алюминия. Математическое моделирование, 1994, т.6, N9, с. 3-6.