автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Расчёты уравнений состояния и непрозрачностей по модели Либермана

На правах рукописи

Об*

ОВЕЧКИН Антон Александрович

Расчёты уравнений состояния и непрозрачностей по модели Либермана

Специальность 05.13.18 Математическое моделирование, численные методы и комплексы

программ»

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 5 ОКТ 2012

Москва 2012

005053683

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте Прикладной Математики им. М.В.Келдыша Российской академии наук

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор В.Г.Новиков

Научный консультант

доктор физико-математических наук П.А.Лобода

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.С.Воробьев доктор физико-математических наук М.Б.Марков

Ведущая организация: Российский Федеральный Ядерный Центр — Всероссийский Научно-Исследовательский Институт Экспериментальной Физики

Защита состоится 15 ноября 2012 г. на заседании диссертационного совета Д 002.024.03 в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте Прикладной Математики им. М.В.Келдыша Российской академии наук

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института Прикладной Математики им. М.В.Келдыша РАН

Автореферат разослан ^О октября 2012 г.

ш секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук Н.В.Змитренко

Актуальность работы. Для моделирования различных плазменных процессов требуется знание теплофизических свойств веществ в различных условиях, в том числе при экстремально высоких давлениях и температурах [1]. Для повышения достоверности математического моделирования газодинамических и радиационных процессов в плазме важно, чтобы уравнения состояния, коэффициенты поглощения фотонов (непрозрачности) и транспортные коэффициенты (теплопроводность, электропроводность, вязкость), входящие в систему уравнений радиационной газовой динамики, были согласованы друг с другом, т.е. вычислены на основе единого теоретического подхода. Кроме того, численное моделирование предъявляет ряд требований к качеству уравнений состояния, в частности, давление и внутренняя энергия должны быть достаточно плавными функциями температуры и плотности вещества и удовлетворять различным термодинамическим тождествам и неравенствам.

Сравнение результатов расчётов по различным моделям вещества необходимо для более глубокого понимания роли моделируемых физических процессов и явлений, установления областей применимости и дальнейшего совершенствования теоретических моделей.

Ячеечные модели среднего атома [2] часто используются как основа для построения широкодиапазонных уравнений состояния. В диапазоне температур и плотностей вещества, в котором модели среднего атома не обеспечивают достаточную точность, они обычно заменяются полуэмпирическими моделями, а в последнее время часто используются результаты расчётов методом молекулярной динамики.

Учёт промежуточных состояний между связанными состояниями, локализованными в пределах атомной ячейки (ячейки Вигнера-Зейтца), и состояниями непрерывного спектра с высокой энергией, для которых применимо квазиклассическое приближение, наиболее сложен в моделях среднего атома как в смысле их теоретического описания, так и с вычислительной точки зрения. Способы учёта таких состояний зависят от постановки граничных условий. В квазизонной модели [3-5] и в модели Рошнаи [6,7] к состояниям промежуточного типа относятся состояния электронов в разрешённых энергетических зонах (такие зоны возникают при постановке граничных условий для волновых функций электронов на границе атомной ячейки). В модели Либермана [8] аналогичную роль играют резонансы плотности состояний в непрерывном спектре. Детальный учёт промежуточных состояний необходим для корректного описания ионизации давлением — разрушения внешних электронных оболочек и выдавливания дискретных уровней энергии в непрерывный спектр вследствие взаимодействия атомов в сжатом веществе.

Как известно [9], при ионизации давлением не происходит резких изменений самосогласованного потенциала, электронной плотности, термодинамических или оптических величин. Но для получения плавных зависимостей всех величин среднего атома от плотности и температуры вещества необходим достаточно полный и последовательный учёт промежуточных состояний, что требует применения специальных вычислительных методов, учитывающих физические особенности решаемой задачи.

В простейшей ячеечной модели — модели Томаса-Ферми [10] — все состояния электронов учитываются в квазиклассическом приближении и относятся к непрерывному спектру, который можно рассматривать как совокупность широких перекрывающихся энергетических зон [11]. Поэтому модель Томаса-Ферми верно передаёт асимптотики термодинамических величин при высоких плотностях вещества и до сих пор широко используется на практике. При использовании более сложных квантово-статистических моделей, таких как модель Либермана или квазизонная модель, модель Томаса-Ферми может служить для получения начального приближения для самосогласованного потенциала электронов в атоме и полезна при анализе асимптотик этих моделей в области сжатого вещества. Основными недостатками модели Томаса-Ферми являются неучёт оболочечной структуры электронной плотности и неучёт обменных эффектов. Современные квантово-статистические модели расширяют область применимости ячеечных моделей по сравнению с моделью Томаса-Ферми и её модификациями [12].

Самосогласованный потенциал и волновые функции электронов в среднем атоме могут служить основой для применения как статистических, так и детальных методик расчёта сечений поглощения фотонов в плотной высокотемпературной плазме.

Модель Либермана широко применяется для моделирования теплофизи-ческих свойств веществ в научно-исследовательских центрах США, Франции, Израиля, Великобритании, ведущих исследования по физике высоких плотностей энергии, но до последнего времени в соответствующих российских научно-исследовательских институтах реализаций этой модели не существовало.

Основными целями диссертации являются разработка численной методики расчёта уравнений состояния и коэффициентов поглощения фотонов на основе модели Либермана, проведение сравнительных расчётов и анализ их результатов для выяснения области применимости модели Либермана, её преимуществ и недостатков по сравнению с другими моделями вещества.

Практическая ценность работы состоит в создании программы ЛЕБЕОЗ, предназначенной для расчётов термодинамических, оптических и транспортных свойств плазмы в состоянии локального термодинамического равновесия на основе современной квантово-статистической модели Либермана и име-

ющей возможность распараллеливания; в верификации этой программы на многочисленных сравнительных расчётах с данными других авторов (теоретическими и экспериментальными), подтвердивших надёжность программы и достоверность получаемых с её помощью результатов. Это позволяет использовать программу RESEOS для расчёта таблиц теплофизических свойств веществ с целью дальнейшего их применения в газодинамических программах.

Научная новизна работы состоит в разработке и реализации оригинальных алгоритмов расчёта самосогласованного потенциала и спектральных коэффициентов поглощения фотонов с учётом резонансов плотности состояний в непрерывном спектре; в обобщении суперконфигурационного подхода путём эффективного учёта флуктуаций чисел заполнения части атомных подоболочек и в предложенном способе усреднения лоренцевских ширин при вычислении параметров профиля массива спектральных линий, отвечающего заданной суперконфигурации.

Основные положения, выносимые автором на защиту.

1. Реализована и исследована модель Либермана с описанием резонансов плотности состояний в непрерывном спектре, позволяющая получать плавные зависимости термодинамических и оптических величин от плотности и температуры вещества.

2. Разработаны эффективные алгоритмы учёта резонансных состояний и получены термодинамически согласованные уравнения состояния электронной компоненты различных веществ путём численного интегрирования энтропии по температуре и дифференцирования по плотности вещества.

3. Разработан и реализован оригинальный вариант суперконфигурационного подхода для расчёта сечений поглощения фотонов в спектральных линиях.

4. Разработана программа RESEOS и проведены систематические расчёты теплофизических свойств различных веществ. Проведённая верификация программы позволяет использовать её для получения данных по свойствам веществ с целью их дальнейшего применения в задачах физики высоких плотностей энергии.

Публикации и апробация работы.

Основные результаты исследований, проведённых совместно с соавторами, изложены в журнальных статьях [13,14], препринтах ИПМ им. М.В. Келдыша РАН [15-18] и сборниках трудов конференций [19-22], докладывались на XXIV Международной конференции «Взаимодействие мощных потоков энергии с веществом» (Эльбрус, 2009 г.), Научно-координационном совещании «Исследования неидеальной плазмы» (Москва, ОИВТ РАН, 2009 и 2010 гг.), Научной сессии МИФИ (Москва, 2010 г.), XIII Харитоновских научных

чтениях (Саров, 2011 г.), XI Забабахинских научных чтения (Снежинск, 2012 г.) и XIV Международной конференции по физике неидеальной плазмы (Росток, 2012 г.).

Основное содержание диссертации.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений.

В главе 1 приведены уравнения модели Либермана и рассмотрены основные свойства резонансов плотности состояний и численный метод учёта резонансов, реализованный в программе RESEOS [13].

Модель Либермана относится к ячеечным моделям вещества. Применение вариационного принципа — требования минимума большого термодинамического потенциала системы, состоящей из электронейтральной сферической атомной ячейки, содержащей центральное точечное ядро с зарядом Z (в ат. ед.) и Z электронов, и окружающих ячейку равномерно распределённых положительных и отрицательных зарядов, играющих роль внешних ионов и свободных электронов, приводит [8] к одноэлектронному уравнению Дирака (в данной работе реализован релятивистский вариант модели Либермана):

( W + f Fdj(r) = а(е + V(r) + GEij(r), ^

_ G'eijir) ~ 7 Gdj(r) = —а (е + V(r)) Felj(r).

Felj(r) Gdj(r)

Здесь —-— и —---большая и малая радиальные компоненты волно-

г г

вой функции состояния с энергией е, орбитальным квантовым числом I и квантовым числом полного момента j; х = (I — j) (2j + 1); а — постоянная тонкой структуры. Граничные условия для волновых функций электронов в модели Либермана ставятся на бесконечности, и все состояния электронов делятся на состояния дискретного и непрерывного спектра. Для нахождения дискретных уровней энергии используется фазовый метод [2].

Потенциал У (г) в (1) определяется пространственным распределением электронной плотности, для вычисления которой нужно знать волновые функции и числа заполнения электронных состояний, связанные со значениями энергий этих состояний статистикой Ферми-Дирака. А так как сами волновые функции и уровни энергии находятся путем решения уравнения Дирака, то задача является самосогласованной и решается методом итераций. Электронейтральность атомной ячейки на каждой итерации обеспечивается выбором химического потенциала.

Ввиду большого объёма вычислений программа RESEOS реализована как в однопроцессорном, так и в многопроцессорном вариантах. Распараллеливание в многопроцессорной версии проводится по значениям температуры и

плотности вещества с использованием технологии MPI [23]. Реализован счёт с продолжением: после каждой итерации промежуточные результаты сохраняются, поэтому расчёт можно прерывать, когда итерации для текущего значения температуры и плотности ещё не завершились; при возобновлении расчёт начинается с той итерации, на которой он был прерван. Головная часть программного комплекса RESEOS, содержащая все обращения к процедурам MPI, но не содержащая процедур, специфических для модели Либермана, в основном заимствована из комплекса TH_BAND [5], в котором реализована квазизонная модель.

Резонансы в модели Либермана представляют собой резкие и узкие максимумы плотности состояний, определяемой как интеграл от квадрата волновой функции состояния непрерывного спектра по объёму атомной ячейки:

го

Wlj(e) = I (F^(r) + G%(r))dr (2)

о

(го = ( ———) —радиус ячейки, щ — концентрация ядер). Резонансы появ-\47Г щ )

ляются при исчезновении дискретных уровней энергии, которое происходит при увеличении плотности или понижении температуры вещества. Роль ре-зонансов наиболее велика при высоких плотностях и низких температурах, когда они могут быть заселены большим количеством электронов. Сразу после своего появления резонанс всегда очень узок и напоминает дискретный уровень энергии. Аккуратный учёт резонансов требует использования адаптивных сеток по энергии электронов в непрерывном спектре, для построения которых нужно заранее определять область энергий, в которой находится резонанс. Для локализации резонансов в данной работе используется следующая особенность поведения радиальных волновых функций электронов непрерывного спектра (рис. 1): при энергиях ниже резонансной энергии волновая функция в двух последовательных максимумах имеет одинаковые знаки, а при энергиях выше резонансной в тех же по счёту максимумах волновая функция имеет противоположные знаки. Кроме того, в данной работе в области резонанса делается замена переменных, с тем чтобы при интегрировании плотности состояний подынтегральная функция плавно зависела от переменной интегрирования.

Указанная особенность поведения волновой функции означает, что фаза волновой функции в области резонанса резко изменяется примерно на величину 7г. При этом фаза ipa волновой функции непрерывного спектра опреде-

Рис. 1. Большие радиальные компоненты волновых функций непрерывного спектра с 1 = 2, і = 2.5 и различными значениями энергий в области резонанса: 1) — с энергией Ес = 6.15 • Ю-2 эВ, 2) — то же, но волновая функция уменьшена в 100 раз, 3) є = 6.05 • Ю-2 эВ (е < £■<-), 4) є = 6.25 • Ю-2 эВ (є > єс). Расчёт проведён для меди при температуре Т = 7.45 эВ и плотности р = 8.92 г/см3

ляется её асимптотикой на больших расстояниях —

^М-У^іп^рг-у + , р= л/е(2 + а2£) (3)

— и зависит от вида потенциала. На рис. 2 приведены профиль резонанса, возникающего в меди при выдавливании в непрерывный спектр подоболочки 3^5, и фаза волновой функции в области резонанса. Для резонансов с I = 0,

7Г

в отличие от резонансов с I ф 0, величина изменения фазы составляет —, причём фаза убывает на —, если резонанс существует незадолго до исчезно-

7Г

вения дискретного уровня, и возрастает на — после исчезновения дискретного уровня.

Узкие и высокие резонансы дают примерно такой же вклад в плотность состояний и электронную плотность, как и дискретные уровни, при исчезновении которых они возникают. Поэтому, несмотря на то, что вклады электронов дискретного и непрерывного спектра в плотность электронов и термодинамические величины при исчезновении дискретных уровней могут по отдельности сильно изменяться, суммарные величины остаются почти неизменными (см. рис. 3).

-6 -3 0 3 6 -15 -10 -5 0 5 10 15

£, 1СГ5 эВ е, Ю-5 эВ

Рис. 2. Плотность состояний гиу(е) (а) и фаза волновой функции <ро (б) для 1 = 2,] = 2.5 в области резонанса (энергия на графике отсчитывается от точки максимума плотности состояний). Расчёт проведён для меди при Т = 7.45 эВ, р = 8.92 г/см3

При увеличении плотности или понижении температуры вещества узкие резонансы уширяются и постепенно растворяются в непрерывном спектре.

В главе 2 рассмотрены различные способы вычисления термодинамических величин в модели Либермана.

Условия, накладываемые при формулировке модели Либермана (электронейтральность ячейки Вигнера-Зейтца, постоянство плотности зарядов вне ячейки, способ разделения состояний электронов на состояния атома и окружающего его фона внешних зарядов) приводят к тому, что вариационный принцип и, как следствие, термодинамические тождества, удовлетворяются лишь приближённо, т.е. исходные формулы модели Либермана для внутренней энергии, давления и энтропии термодинамически не согласованы [17,24,25]. Термодинамически согласованное уравнение состояния можно получать численным дифференцированием свободной энергии Гельмгольца по плотности и температуре вещества:

р / .2 Т)

Ре(р, т) = р -—-, (4)

Ее(р, = Т)-ТдРе^Т]. (5)

Здесь ^е, Ее и Ре — соответственно удельная свободная энергия, удельная внутренняя энергия и давление электронов. В данной работе используется предложенный в [26] подход, в котором при построении уравнения состояния за основу берутся значения энтропии электронов, рассчитанной по формулам модели Либермана, а тепловая составляющая свободной энергии вычисляется

Vr/ro

Рис. 3. Радиальная электронная плотность для меди при плотности р = 8.92 г/см3 и при двух значениях температуры. С индексом а — при Т = 7.6 эВ, с индексом б — при Т = 7.45 эВ: la, Ii —плотность электронов дискретного спектра, 2а, 16 — плотность электронов непрерывного спектра, За, 36 — суммарная плотность (кривые практически совпадают)

численным интегрированием энтропии по температуре:

г

Fe,th(p, Т) = Fe(p, Т) - Fe(p, Т = 0) = - У Se(p, Т) dT', (6)

о

после чего тепловые электронные компоненты давления Pe,th{p, Т) = Ре(р, Т) - Ре{р, Т = 0) и внутренней энергии Ee,th{p,T) =' Ее{р, Т) -Ее(р, Т = 0) находятся по формулам (4), (5) с заменой Fe(p, Т) на Fetth{p, Т).

Так как расчётная холодная кривая (зависимости Ее(р, Т = 0) и Ре{р, Т = 0)) в модели Либермана недостаточно точно описывает экспериментальные значения нормальной плотности, скорости звука и энергии сублимации, то обычно при построении широкодиапазонных уравнений состояния на основе модели Либермана используют полуэмпирические холодные кривые или холодные кривые, рассчитанные методом молекулярной динамики. В данной работе для построения холодной кривой при плотностях вещества больших плотности твёрдого тела при нормальных условиях ро используется уравнение состояния Г.М. Елисеева и Г.Е. Клинишова [27], а при р < /?о — уравнение состояния А.Т. Сапожникова и A.B. Першиной [28].

Ионные компоненты давления и внутренней энергии в данной работе вычисляются двумя способами — по модели заряженных твёрдых сфер [2] и в приближении идеального газа.

Рис. 4. Изотермы внутренней энергии для алюминия при Т = 0 и в интервале температур Т = 1 эВ — 1 кэВ с шагом Д lg Т = 0.2, рассчитанные по программе RESEOS

На рис. 4, 5 приведены изотермы внутренней энергии и давления в алюминии, рассчитанные по программе RESEOS, а на рис. 6 ударные адиабаты алюминия, полученные по программам RESEOS и Purgatorio1 [29], сравниваются с экспериментальными данными [30].

В главе 3 рассматривается применение модели Либермана для расчётов коэффициентов поглощения фотонов в плазме в состоянии локального термодинамического равновесия.

В плотной плазме тяжёлых элементов реализуется очень большое число состояний ионов и, как следствие, большое число спектральных линий, отвечающих переходам ионов между состояниями с различными энергиями при поглощении фотонов. Явный учёт всех спектральных линий может оказаться слишком трудоёмким и в то же время практически бессмысленным, так как отдельные линии в плотной плазме перекрываются, образуя сплошные массивы линий. В этом случае хорошо работают статистические методы, в которых совокупность близко расположенных спектральных линий заменяется плавной огибающей, имеющей такие же первые моменты распределения по энергиям фотонов.

Учёт эффекта Доплера, а также радиационной и столкновительной релаксации возбуждённых состояний ионов приводит к тому, что профиль отдельной спектральной линии приближённо описывается функцией Фойгта

1Программа Purgatorio представляет собой одну из реализаций модели Либермана.

р, г/см3

Рис. 5. Изотермы давления для алюминия при Т = 0 и в интервале температур Т = 1 эВ — 1 кэВ с шагом Д ^ Т = 0.2, рассчитанные по программе ПЕБЕОБ

р, г/см3

Рис. 6. Ударные адиабаты алюминия, полученные по программе RESEOS (сплошная кривая) и по программе Purgatorio [29] (штриховая кривая), и экспериментальные данные [30]. Вклад ионов учтён в приближении идеального газа

(см. [2]):

Здесь <т,4в (w) — сечение поглощения фотона с энергией и для перехода иона из состояния А в состояние В, Jab и £ав ~ соответственно сила осциллятора и положение центра линии для данного перехода, jab ~ лоренцевская ширина для перехода А —> В, равная сумме радиационной и столкновительной

шав ГТ~

ширин, Dab —-W — —параметр доплеровского уширения (Mi — масса

с \ Mi

иона, с —скорость света). При использовании статистических методов сечение поглощения по-прежнему описывается функцией Фойгта, но с другими параметрами:

J_

Здесь 5 = y/D2 + 2Д; /, 7 и D — усреднённые значения силы осциллятора и лоренцевской и доплеровской ширин,

*(«) (8)

Е= (^J^aAB{u)u<b)j ■ ^ , (9)

-1

cLJ , (10)

Д = ^у ^<7авИ (и - Е)2 ^ ■ ^у ^аАВ(ш),

причём при вычислении интегралов в (10) функция Фойгта К(х, у) формально заменяется на у/ж5(х).

В данной работе используется суперконфигурационный подход [31, 32], в котором усредняется сечение поглощения для группы линий, отвечающих заданному переходу электрона с подоболочки а = пГ/ на подоболоч-ку /3 = п'1']' (начальное и конечное состояния иона отличаются положением одного электрона) и заданным начальной и конечной суперконфигурациям. Под суперконфигурацией понимают совокупность электронных конфигураций с близкими средними энергиями (конфигурация определяется фиксированными числами заполнения подоболочек). Обычно в суперконфигурацию объединяют конфигурации, отвечающие фиксированным числам заполнения супероболочек —совокупностей электронных подоболочек с близкими энергиями. В [31,32] получены выражения для положения центра и дисперсии линии, отвечающей заданной начальной суперконфигурации Е (конечная суперконфигурация однозначно определяется по известным начальной суперконфигурации и одноэлектронному переходу а —»• /3). Величины и

А~р выражаются через статеуммы супероболочек, для которых в [31,33] получены реккурентные формулы, и содержат независимые вклады от каждой супероболочки а:

= *> + £<,, (11)

Здесь

= (12) <Т

£>0 = 1Р- 1а, (13)

Го

1, = е3 + 1 (V) - (*?(г) + С?(г)) йт, (14)

о

е,, —энергия подоболочки е. Величина Д^ содержит вклад связанный

с флуктуациями чисел заполнения подоболочек (при фиксированном числе заполнения супероболочки электроны могут по-разному распределяться между входящими в её состав подоболочками), и вклад Дсвязанный с мультиплетным расщеплением уровней энергии иона. Учёт мультиплетного расщепления приводит также [32] к появлению дополнительного слагаемого в выражениях для величин

Д. = яг/3 - нга (15)

(НТв — матричный элемент парного взаимодействия электронов (см. [2,31])), входящих в формулы для и но в данной работе этот эффект не учитывается.

В [31] показано, что если сечение поглощения для перехода а —> /3 усредняется по всем конфигурациям без ограничения на числа заполнения супероболочек, то это эквивалентно эффективному учёту флуктуаций чисел заполнения подоболочек, предложенному в [34,35]. Формулы для параметров спектрального профиля в приближении эффективной методики имеют вид [31,32,34,35]:

Еар = До + ^З^ПгА-, (16)

г

Да/3 = £Зг0М1- Пг) (£>? + А2аг_0г). (17)

г

Здесь

9г = 2.7'г + 1, 9г0 =9т- 5та - 6гр, пг = п(ег) = + ехр

где ег — энергия подоболочки г, ц — химический потенциал, Д^/Зг — дисперсия, связанная с мультиплетной структурой уровней энергии, для двухэлек-тронной конфигурации (см. [2,32]). При этом суммирование в (16), (17) ведётся по всем подоболочкам. Отметим, что при больших плотностях вещества сечения поглощения асимптотически выходят на приближение эффективной методики.

В [36] показано, что эффективный учёт флуктуаций чисел заполнения подоболочек, удовлетворяющих условию

пг (1 - Пг) < 1, (18)

т.е. почти полностью заполненных или почти не заполненных, не сказывается существенно на точности описания спектра, но позволяет уменьшить число учитываемых массивов спектральных линий и тем самым сократить время счёта. В [36] все подоболочки разбиваются на две группы: для первой группы числа заполнения подоболочек перебираются явно, а для второй группы флуктуации чисел заполнения учитываются эффективно. Обе группы дают независимые вклады в параметры спектрального профиля (при этом вклад во флуктуационную ширину от подоболочек, числа заполнения которых перебираются явно, отсутствует). В диссертации вводится обобщение понятия суперконфигурации [31] на основе предложенного в [36] подхода, а именно: супероболочки группируются только из подоболочек, не удовлетворяющих условию (18), а суперконфигурация объединяет все конфигурации, отвечающие супероболочкам с фиксированными числами заполнения и всем подоболочкам, не вошедшим в состав супероболочек, с произвольными числами заполнения. При этом супероболочки и подоболочки, на включённые в супероболочки, дают независимые вклады в выражения для параметров спектрального профиля:

Е% = А> + Е+ 9г0 пг Д., (19)

= ЕА*Д + Е Зг'9 "г (1 - Пг) (Я2 + . (20)

гд м

Символом {сг} здесь обозначена совокупность супероболочек. Величины е^, в С19); (20) совпадают с аналогичными величинами в (11), (12). Формулы (19), (20) реализованы в программе ЕЕБЕОБ.

В диссертации предложен способ усреднения лоренцевских ширин линий, основанный на приближённом совпадении среднего сечения поглощения (8) с суммой сечений поглощения вида (7) в далёком крыле спектрального рас-

пределения, т.е. при — E~ß\ » + что даёт

- 0 - S) ■ (s:/- (> - S))" • (21)

где и -y-ß — лореицевские ширины массивов линий, отвечающих соответственно конфигурации С и суперконфигурации Е, Pc — вероятность реализации конфигурации С, qaw.qp — числа заполнения подоболочек а и ß в конфигурации С. Формула (21) реализована в программе RESEOS в приближении эффективной методики (суперконфигурация Е содержит все возможные конфигурации).

Формулы (19), (20) обобщены в программе RESEOS на случай эффективного учёта флуктуаций числа электронов в резонансах (суммирование по г в (19), (20) дополняется интегрированием по энергии по областям резонансов, при этом в (20) волновые функции непрерывного спектра в резонансах нормируются таким образом, чтобы обеспечить плавное изменение параметров профиля при выдавливании дискретных подоболочек в непрерывный спектр). По аналогии с поглощением в линиях спектральный профиль строится и для сечения фотоионизации, отвечающего переходам электронов из дискретного в непрерывный спектр:

W ~ -L (1 - „и, fe «р (- ("-('-5>-*W)') <22> 0 ^

(ст^(ш) —сечение фотоионизации для переходов электронов с подоболочки а, еа — энергия подоболочки а). Волновые функции конечных состояний электронов в непрерывном спектре при вычислении параметров профиля Ei(s) = Е(е) - (е - £а) И <5(е) нормируются на единицу в объёме ячейки, как и волновые функции сильносвязанных состояний дискретного спектра. Сечение фотоионизации, таким образом, рассматривается как совокупность бесконечного числа «линий», каждая из которых имеет собственные значения смещения и дисперсии (т.е. параметры спектрального профиля Ei(e) и 6(е) зависят от энергии электрона в непрерывном спектре). Такое статистическое описание процессов фотоионизации [37] вводится в данной работе искусственно, чтобы обеспечить плавный переход сечения поглощения в линиях в сечение фотоионизации при исчезновении дискретных подоболочек.

Сечение тормозного поглощения, отвечающее переходам электронов между состояниями непрерывного спектра, при низких энергиях электронов вычисляется с использованием численных волновых функций, а при достаточно

0.8

Э 0.4

É-Г

0.2

0.6

0

1.1

1.3

1.5

1.7

ш, кэВ

Рис. 7. Коэффициент прохождения в плазме германия при Т = 76 эВ, р = 0.05 г/см3, полученный по программам RESEOS (1) и THERMOS (2), и экспериментальные данные [39] (3). Толщина слоя плазмы L = 3.2 • 10~3 см

высоких энергиях начального и конечного состояний электрона используется приближение Крамерса с учётом вырождения (см. [2]). На рис. 7 коэффициенты прохождения

мы) в плазме германия, вычисленные по программам RESEOS и THERMOS2 [2,38], сравниваются с экспериментальными данными [39]. По-видимому, основной причиной расхождений результатов расчётов по двум программам является использование в программе RESEOS биномиального распределения, а в программе THERMOS — распределения Гиббса для вероятностей реализации электронных конфигураций.

На рис. 8 спектральный коэффициент поглощения в твердотельной меди при Т = 0.1 эВ, полученный по программе RESEOS, сравнивается с данными [40] и [41], представляющими собой сочетание различных экспериментальных и расчётно-теоретических результатов. Расхождения кривых наблюдаются в основном при низких энергиях фотонов 10 —100 эВ), при которых данные [40] и [41] могут быть не вполне достоверными. В целом же все спектральные коэффициенты поглощения на рис. 8 хорошо согласуются между собой.

2В программе THERMOS реализована модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера [4].

T(üj) = e~pLx^

(23)

=

а(ш) (1-е г) Мі

коэффициент поглощения, L — толщина слоя плаз-

Рис. 8. Спектральный коэффициент поглощения в меди при р = 8.9 г/см3: сплошная кривая —расчёт по программе RESEOS (при X = 0.1 эВ), штриховая кривая — данные [40], штрих-пунктир —данные [41]

На рис. 9 приведены изотермы росселандовых коэффициентов поглощения в алюминии, рассчитанных по программам RESEOS и THERMOS. Видно, что росселандовы коэффициенты поглощения, рассчитанные по программе RESEOS, более плавно зависят от плотности вещества.

Выводы по проделанной работе.

Создана программа RESEOS для расчётов теплофизических свойств веществ в широком диапазоне температур и плотностей на основе релятивист^ ского варианта модели Либермана [8]. Программа реализована как в однопроцессорном, так и в многопроцессорном вариантах.

Знание особенностей поведения волновых функций непрерывного спектра в области резонанса плотности состояний позволило построить эффективные и надёжные алгоритмы учёта резонансных состояний, что необходимо для корректного описания ионизации давлением. Роль резонансов плотности состояний в модели Либермана при описании ионизации давлением качественно аналогична роли разрешённых энергетических зон в квазизонной модели [3-5] и в модели Рошнаи [6,7].

Проведены систематические расчёты уравнений состояния, коэффициентов поглощения фотонов и электропроводности для ряда элементов. Результаты расчётов в целом хорошо согласуются с результатами, полученными с помощью других реализаций модели Либермана и по другим современным моделям вещества, а также с экспериментальными данными.

Рис. 9. Изотермы росселандова коэффициента поглощения в алюминии при Т = 1, 10, 100 эВ, полученные по программам RESEOS (сплошные линии) и THERMOS (штриховые линии)

Замена холодных кривых, рассчитанных по модели Либермана, на полуэмпирические холодные кривые, применявшаяся в [26,29], в целом улучшает согласие с экспериментом при плотностях выше нормальной плотности вещества р0. В частности, ударные адиабаты сплошных веществ хорошо описываются на всём их протяжении.

Проведены расчёты тепловой части термодинамически согласованного уравнения состояния электронов в широком диапазоне температур и плотностей веществ методом, предложенным в [26] —путём численного интегрирования энтропии электронов по температуре и дифференцирования по плотности. Преимущества этого метода состоят в его устойчивости по отношению к ошибкам вычисления энтропии и в том, что требования к точности вычисления самосогласованного потенциала и энергетического спектра электронов при расчёте энтропии относительно невысоки (ниже, чем при расчёте внутренней энергии).

Особенности поведения энтропии в модели Либермана при низких температурах и плотностях ниже нормальной плотности (в частности, при Т = 0 энтропия не обращается в ноль вследствие вырожденности основного состояния среднего атома в модели Либермана) могут приводить к нефизическим зависимостям внутренней энергии и давления от плотности и температуры при р<р0,Т<1 эВ.

Проведены расчёты с использованием различных приближений дая локального обменного потенциала как с учётом, так и без учёта корреляцион-

ных поправок. Значения расчётной нормальной плотности при использовании обменно-корреляционного потенциала Хедина-Лундквиста [42] всегда немного выше, чем при использовании обменного потенциала Кона-Шэма [43]. Если не учитывается явная зависимость потенциала от температуры (как в случае потенциала Кона-Шэма или Хедина-Лундквиста), то при р > Ро значения тепловых компонент слабо зависят от того, учитывается или нет корреляционное слагаемое в потенциале; различия наблюдаются лишь при р < р0, Т < 10 эВ.

Учёт зависимости обменного потенциала от температуры [4] относительно слабо сказывается на виде основных ударных адиабат (для более лёгкого элемента бериллия эффект несколько выше, чем для более тяжёлого алюминия). Но использование обменного потенциала, зависящего явно от температуры, при низких температурах (Т < 1 эВ) и р ~ р0 может приводить к нефизическим отрицательным значениям энтропии электронов, электронной теплоёмкости и тепловых электронных компонент внутренней энергии и давления из-за наличия слагаемых, содержащих логарифм температуры, в разложении плотности обменной энергии при низких температурах [44]. Это говорит о недостаточно точном учёте тепловых эффектов при Т < 1 эВ и р ~ ро в обменном потенциале, предложенном в [4,44-46].

Уравнения состояния электронов, построенные на основе энтропии [26] и на основе свободной энергии Гельмгольца [29], практически совпадают (в данной работе в пределах точности вычислений расхождений не обнаружено). Это говорит о том, что термодинамическая несогласованность формул для внутренней энергии и для энтропии в модели Либермана незначительна.

Учёт вклада ионов в уравнение состояния в приближении заряженных твёрдых сфер (см. [2], с. 300) даёт в целом менее удовлетворительные результаты, чем в квазизонной модели, что связано с различием в распределении электронной плотности в атомной ячейке (вследствие различия граничных условий для волновых функций электронов). Приближение заряженных твёрдых сфер в модели Либермана достаточно хорошо работает для металлов вблизи нормальной плотности (для элементов с большими и средними Z результаты значительно лучше согласуются с экспериментальными данными по ударно-волновому сжатию, чем при учёте ионов в приближении идеального газа), но при плотностях в несколько раз больших или меньших нормальной обычно переоценивает ионное давление. Это приводит, в частности, к более «жёстким» по сравнению с экспериментом ударным адиабатам при больших сжатиях. В связи с этим метод вычисления ионных компонент термодинамических величин в модели Либермана требуется уточнить, в частности, в рамках модели заряженных твёрдых сфер требуется усовершенствовать способ вычисления эффективных радиусов ионов.

При увеличении плотности вещества значения термодинамических вели-

чин по модели Либермана плавно выходят на асимптотику модели Томаса-Ферми, причём в случае элементов с достаточно простой электронной структурой (алюминий, бериллий) удовлетворительное согласие тепловых электронных компонент (отличие от результатов по модели Томаса-Ферми до нескольких десятков процентов) наблюдается уже при нормальной плотности даже при температурах, близких к нулю.

Для расчётов коэффициентов поглощения фотонов в спектральных линиях в данной работе использован суперконфигурационный подход [31,32]. Вероятности реализации электронных конфигураций вычисляются с использованием биномиального распределения, применяющегося в рамках суперконфигурационного подхода [31]. В проведённой работе не учитывались взаимодействие конфигураций [47-51] и эффекты релаксации орбиталей [52,53]. Статистическое уширение пиков в сечении фотоионизации, связанных с отличием плотности состояний в непрерывном спектре от плотности состояний однородного электронного газа, учитывается путём введения спектрального профиля [37], аналогичного профилю спектральной линии для перехода электрона между состояниями дискретного спектра.

Как и термодинамические величины, коэффициенты поглощения фотонов (как спектральные, так и усреднённые по Росселанду и по Планку) плавно зависят от плотности и температуры вещества, в том числе в тех областях, где существенны эффекты ионизации давлением.

В настоящее время результаты расчётов по программе RESEOS используются для построения баз данных термодинамических и оптических свойств веществ, необходимых для решения различных практических задач физики высоких плотностей энергии.

Список литературы

[1] Фортов В.Е. Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе. — М.: Физматлит, 2008.

[2] Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. Методы расчёта росселандовых пробегов и уравнений состояния. — М.: Физматлит, 2000. — 400 с.

[3] Воропинов А.И., Гандельман Г.М., Подвальный В.Г. Электронные энергетические спектры и уравнения состояния твёрдых тел при высоких давлениях и температурах // УФН. — 1970. — Т. 100. — С. 193 - 224.

[4] Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера для вещества с заданной температурой и плотно-

стью // ВАНТ. Методика и программы численного решения задач математической физики. — 1979, вып. 4(6). — С. 16 - 26.

[5] Грушин А.С., Новиков В.Г. Квазизонная модель вещества // Научно-координационная сессия «Исследования неидеальной плазмы». — М., 2007. http://www.ihed.ras.ru/npp2007/presentations/grushin.pdf.

[6] Rozsnyai B.F. Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev. A. — 1972. — Vol. 5. — Pp. 1137 - 1149.

[7] Rozsnyai B.F. Shock Hugoniots based on the self-consistent average atom (SCAA) model. Theory and experiments. (Second revision) // HEDP. — 2012. - Vol. 8. - P. 88 - 100.

[8] Liberman D.A. Self-consistent field model for condensed matter // Phys. Rev. B. - 1979. - Vol. 20. - Pp. 4981 - 4989.

[9] More R.M. Pressure ionization, resonances, and the continuity of bound and free states // Advances in atomic and molecular physics. — 1985. — Vol. 21.

- Pp. 305 - 356.

[10] Feynman R., Metropolis N., Teller E. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory // Phys. Rev. — 1949. — Vol. 75.

- Pp. 1561 - 1573.

[11] Калиткин H.H. О термодинамических асимптотиках моделей вещества в экстремальных условиях // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР № 43. - М., 1986.

[12] Киржниц Д.А., Лозовик Ю.Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель вещества // УФН. - 1975. - Т. 117. - С. 3 - 47.

[13] Новиков В.Г., Овечкин А.А. Расчёты уравнения состояния по модели ограниченного атома // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22. — С. 69 - 82.

[14] Овечкин А.А., Новиков В.Г., Грушин А. С. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля // ТВТ. — 2011. — Т. 49. — С. 845 - 855.

[15] Новиков В.Г., А.А.Овечкин. Роль резонансных состояний при выдавливании дискретных уровней в непрерывный спектр // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 31. - М., 2009.

[16] Новиков В.Г., А.А.Овечкин. Расчёты уравнения состояния урана по модели ограниченного атома // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 51. - М., 2009.

[17] Новиков В.Г., А.А.Овечкин. Вычисление давления в модели ограниченного атома // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 77. - М., 2009.

[18] Новиков В.Г., А.А.Овечкин, Грушин А.С. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 24. — М., 2010.

[19] Novikov V.G., Grushin A.S., Ovechkin A.A. Quasizones and resonances in the selfconsistent field models of dense plasma //in Physics of extreme states of matter-2009. — Chernogolovka, 2009. — Pp. 157 - 159.

[20] Новиков В.Г., Овечкин А.А. Роль резонансных состояний при ионизации давлением // Сборник трудов научной сессии МИФИ-2010. — М: МИФИ.

[21] Грушин А. С., Лобова П.А., Новиков В.Г. et al. Расчёты уравнений состояния и непрозрачностей по программе RESEOS // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Труды международной конференции XIII Харитоновские тематические научные чтения. С. 328 - 335. - Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2011.

[22] Лобова П.А., Овечкин А.А., Шадрин А.А. Расчёт уравнений состояния и ударных адиабат металлов по теоретическим моделям плотного ионизованного вещества с учётом оболочечных эффектов // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Труды международной конференции XIII Харитоновские тематические научные чтения. С. 297 - 308. — Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2011.

[23] Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

[24] Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch М. EOSTA - an improved EOS quantum mechanical model in the STA opacity code // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 2006. — Vol. 99. — Pp. 35 - 54.

[25] Blenski Т., Cichocki B. Variational theory of average-atom and superconfigurations in quantum plasmas // Phys. Rev. E. — 2007. — Vol. 75, 056402.

[26] Penicaud M. An average atom code for warm matter: application to aluminium and uranium // J. Phys.: Condens. Matter. — 2009. — Vol 21 095409.

[27] Елисеев Г.М., Клинишов Т.Е. Уравнение состояния твёрдых веществ и его сплайн-аппроксимация // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР № 173. - М., 1982.

[28] Сапожников А.Т., Першина А. В. Полуэмпирическое уравнение состояния металлов в широком диапазоне плотностей и температур // ВАНТ. Методики и программы численного решения задач математической физики. - 1979, вып. 4(6). - С. 47 - 56.

[29] Wilson В., Sonnad V., Sterne P., Isaacs W. Purgatorio - a new implementation of the Inferno algorithm Ц J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 2006.

- Vol. 99. - Pp. 658 - 679.

[30] Буилман A.B., Ломоносов И.В., Хищенко К.В. База данных по ударному сжатию материалов и веществ, http://teos.ficp.ac.ru/rusbank/.

[31] Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. et al. Super-transition arrays: A model for the spectral analysis of hot, dense plasma // Phys. Rev. A. — 1989. - Vol. 40. - Pp. 3183 - 3193.

[32] Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. Effect of configuration widths on the spectra of local thermodynamic equilibrium plasmas // Phys. Rev. E. — 1995. - Vol. 51. - Pp. 4882 - 4890.

[33] Gilleron F., Pain J.-C. Stable method for the calculation of partition functions in the superconfiguration approach // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 69, 056117.

[34] Stein J., Shalitin D., Ron A. Average-atom models of line broadening in hot dense plasmas // Phys. Rev. A. - 1985. - Vol. 31. - Pp. 446 - 450.

[35] Драгалов В.В., Новиков В.Г. Распределение спектральных линий в плазме по флуктуациям чисел заполнения // ТВТ. — 1987. — Т. 25. — С. 1057

- 1061.

[36] Драгалов В.В., Никифоров А.Ф., Новиков В.Г. и др. Статистический метод расчёта поглощения фотонов в плотной высокотемпературной плазме // Физика плазмы. — 1990. — Т. 16. — С. 77 - 85.

[37] Драгалов В.В., Новиков В.Г. Приближённый учёт конфигураций ионов в расчётах сечений фотоионизации плотной высокотемпературной плазмы // ТВТ. - 1989. - Т. 27. - С. 214 - 219.

[38] Nikiforov A.F., Novikov V.G., Uvarov V.B. Quantum-statistical models of hot dense matter. Methods for computation opacity and equation of state.

- Basel: Birkhauser, 2005. — 437 pp.

[39] Foster J. M., Hoarty D. J., Smith C. C. et al. L-shell absorption spectrum of an open-M-shell germanium plasma: Comparison of experimental data with a detailed configuration-accounting calculation // Phys. Rev. Lett. — 1991.

- Vol. 67. - Pp. 3255 - 3258.

[40] National institute of standards and technologies. http://physics.nist.gov/PhysRefData/FFast/html/form.html.

[41] Center of X-ray optics, http://cxro.lbl.gov.

[42] Hedin L., Lundqvist B.I. Explicit local exchange-correlation potentials //J. Phys. C: Solid St. Phys. - 1971. - Vol. 4. - Pp. 2064 - 2083.

[43] Kohn W., Sham L.J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. - 1965. - Vol. 140. - Pp. A1133 - A1138.

[44] Horovitz B., ThiebergerR. Exchange integral and specific heat of the electron gas // Physica. — 1974. — Vol. 71. — P. 99 - 105.

[45] Perrot F. Gradient correction to the statistical electronic free energy at nonzero temperatures: Application to equation-of-state calculations // Phys. Rev. A. - 1979. - Vol. 20. - Pp. 586 - 594.

[46] Gupta U., Rajagopal A.K. Inhomogeneous electron gas at nonzero temperatures: Exchange effects // Phys. Rev. A. — 1980. — Vol. 21. — Pp. 2064 -2066.

[47] Oreg J., Goldstein W. H., Bar-Shalom A., Klapisch M. Configuration-average energy shift owing to configuration interaction // Phys. Rev. A. — 1989. - Vol. 39. - Pp. 4599 - 4609.

[48] Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. Configuration interaction in LTE spectra of heavy elements// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 1994.

- Vol. 51. - Pp. 27 - 39.

[49] Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch M., Lehecka T. Effect of configuration interaction on shift widths and intensity redistribution of transition arrays // Phys. Rev. E. - 1999. - Vol. 59. - Pp. 3512 - 3525.

[50] Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch M. The effect of configuration interaction on relativistic transition arrays Ц J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2000. - Vol. 65. - Pp. 415 - 428.

[51] Gilleron F., Bauche J., Bauche-Arnoult C. A statistical approach for simulating detailed-line spectra // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. - 2007. -Vol. 40. - P. 3057 - 3074.

[52] Blenski Т., Grimaldi A., Perrot F. Hartree-Fock statistical approach to atoms and photoabsorption in plasmas // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 55. - Pp. R4889 - R4892.

[53] Bar-Shalom. A., Oreg J. Recent progress in the EOSTA model // HEDP. -2007. - Vol. 3. - Pp. 12 - 19.

Работы автора по теме диссертации

1. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Расчёты уравнения состояния по модели ограниченного атома. // Математическое моделирование 22, 69 — 82 (2010).

V.G. Novikov, А.А. Ovechkin. Calculations of the equation of state by Liberman model. // Mathematical models and computer simulations 3, 290-299 (2011).

2. А.А. Овечкин, В.Г. Новиков, А.С. Грушин. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля. // ТВТ 49, 845 — 855 (2011).

А.А. Ovechkin, V.G. Novikov, A.S. Grushin Peculiarities of calculating entropy in self-consistent field models. // High temperature 49, 815 — 825 (2011).

А.А. Овечкин, В.Г. Новиков, А.С. Грушин. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2010, препр. № 24, 25 с.

3. V.G. Novikov, A.S. Grushin, А.А. Ovechkin. Quasizones and resonances in the selfcon-sistent field models of hot dense plasma. // in Physics of extreme states of matter-2009, Chernogolovka, 2009, p. 157 - 159.

4. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Роль резонансных состояний при выдавливании дискретных уровней в непрерывный спектр. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 31, 22 с.

5. В. Г. Новиков, A.A. Овечкин. Расчёты уравнения состояния урана по модели ограниченного атома. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 51, 26 с.

6. В.Г. Новиков, A.A. Овечкин. Вычисление давления в модели ограниченного атома. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 77, 26 с.

7. В.Г. Новиков, A.A. Овечкин. Роль резонансных состояний при ионизации давлением // Сборник трудов научной сессии МИФИ —2010, М, 2010.

8. A.C. Грушин, П.А. Лобода, В.Г. Новиков, A.A. Овечкин, В.В. Попова, А.Д. Соломянная, A.A. Шадрин. Расчёты уравнений состояния и непрозрачностей по программе RESEOS. // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Труды международной конференции «XIII Харитоновские тематические научные чтения», РФЯЦ— ВНИИЭФ, Саров, 2011, с. 328 - 335.

9. П.А. Лобода, A.A. Овечкин, A.A. Шадрин. Расчёт уравнений состояния и ударных адиабат металлов по теоретическим моделям плотного ионизованного вещества с учётом оболочечных эффектов. // Экстремальные состояния вещества. Детонация. Ударные волны. Труды международной конференции «XIII Харитоновские тематические научные чтения», РФЯЦ-ВНИИЭФ, Саров, 2011, с. 297 - 308.

© ИПМ им.М.В.Келдыша РАН, 2012

Подписано в печать 08.10.2012. Формат 60x84/16. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 75 экз. Заказ 70. ИПМ им.М.В.Келдыша РАН. 125047, Москва, Миусская пл., 4

Введение

1 Модель Либермана и её реализация в программе RESEOS

1.1 Уравнения модели Либермана.

1.2 Роль и учёт резонансов.

1.2.1 Качественное описание резонансов

1.2.2 Резонансы с I ф

1.2.3 Особенности учёта резонансов с / = 0.

2 Расчёты уравнений состояния

2.1 Формулы для давления, внутренней энергии, среднего заряда иона и энтропии

2.1.1 Ионные компоненты термодинамических величин.

2.1.2 Электронные компоненты термодинамических величин.

2.2 Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля

2.2.1 Общее выражение для энтропии.

2.2.2 Энтропия для элементов с частично заполненными подоболочками

2.2.3 Связь с моделью Томаса-Ферми при низких температурах и высоких плотностях вещества.

2.3 Результаты расчётов энтропии, давления и внутренней энергии

3 Расчёты непрозрачностей

3.1 Поглощение в линиях.

3.1.1 Лоренцевская ширина линии.

3.1.2 Эффективная методика.

3.1.3 Супер конфигурационный подход.

3.1.4 Статистическое уширение спектральных линий за счёт мульти-плетной структуры уровней энергии

3.1.5 Разбиение набора подоболочек на супероболочки и перебор суперконфигураций

3.2 Обобщение формул для спектрального профиля на случай непрерывного спектра.

3.3 Фотоионизация.

3.4 Результаты расчётов спектральных коэффициентов поглощения фотонов

3.5 Результаты расчётов средних росселандовых и плапковских коэффициентов поглощения фотонов.

Для моделирования различных плазменных процессов требуется знание теплофизи-ческих свойств веществ в различных условиях, в том числе при экстремально высоких давлениях и температурах1. Для повышения достоверности математического моделирования газодинамических и радиационных процессов в плазме важно, чтобы уравнения состояния, коэффициенты поглощения фотонов (непрозрачности) и транспортные коэффициенты (теплопроводность, электропроводность, вязкость), входящие в систему уравнений радиационной газовой динамики, были согласованы друг с другом, т.е. вычислены в рамках единого теоретического подхода. Кроме того, численное моделирование предъявляет ряд требований к качеству уравнений состояния [3,4], в частности, давление и внутренняя энергия должны быть достаточно плавными функциями температуры и плотности вещества и удовлетворять различным термодинамическим тождествам и неравенствам (давление, внутренняя энергия и энтропия должны удовлетворять соотношениям Максвелла, квадрат скорости звука и теплоёмкость должны быть положительными и т.д.).

Для установления области применимости различных моделей большое значение имеет сравнение результатов расчётов с экспериментальными данными. Экспериментальные исследования уравнений состояния и транспортных коэффициентов проводятся при ударно-волновом сжатии вещества (см. базу данных [5]) и квазиизэнтропическом сжатии серией падающих и отражённых ударных волн [6-10], при адиабатическом расширении конденсированного вещества, предварительно сжатого и разогретого во фронте мощной ударной волны [11], при статическом сжатии в алмазных наковальнях [12-14], при нагреве вещества импульсом электрического тока [15-25] или пучками ионов [26]. Большое количество работ посвящено экспериментальному измерению коэффициентов поглощения лазерного излучения и сравнению результатов измерения с теоретическими расчётами [27-59].

Перечислим некоторые широко распространённые модели вещества. Для расчётов уравнений состояния успешно применяются ячеечные модели, использующие приближение самосогласованного поля [60-62]. В этих моделях, как правило, рассматривается электронейтральная сферическая атомная ячейка, состоящая из центрального ядра и соответствующего числа электронов. Объём такой ячейки обычно равен среднему объёму, приходящемуся на один атом при данной плотности вещества (ячейка Вигнера-Зейтца). В представлении самосогласованного поля каждый электрон движется в потенциале, создаваемом ядрами и остальными электронами, пространственное распре

1 Классификацию экстремальных состояний вещества, обзор экспериментальных методой их исследования, а также технических и астрофизических приложений физики высоких плотностей энергии можно найти в [1,2]. деление которых, в свою очередь, зависит от вида потенциала, поэтому потенциал и плотность электронов должны быть согласованы между собой. В приближении среднего атома (или среднего иона) предполагается, что в термодинамическом равновесии состояния электронов в самосогласованном потенциале заполнены с некоторыми вероятностями, причём эти вероятности независимы. После этого применение вариационного принципа приводит к статистике Ферми-Дирака для средних чисел заполнения состояний электронов. Знание потенциала и плотности электронов позволяет вычислить термодинамические функции электронов в ячейке, которые затем суммируются по количеству ячеек в веществе, после чего к ним, если предположить выполненным условие аддитивности, добавляется вклад ионов.

Простейшая ячеечная модель среднего атома —модель Томаса-Ферми, первоначально предложенная в [63] и [64] для нулевой температуры, а затем обобщённая в [65] на произвольные температуры. Область применимости этой модели ограничивается высокими плотностями и температурами вещества, при которых хорошо работает квазиклассическое приближение для волновых функции электронов и вещество сильно ионизовано (как правило, с ростом температуры увеличивается диапазон плотностей вещества, в котором применима модель Томаса-Ферми).

Учёт обменного взаимодействия в квазиклассическом приближении в модели Томаса-Ферми приводит к модели Томаса-Ферми-Дирака, предложенной в [66] для случая Т = 0, а затем обобщённой в [67] на произвольные температуры. Учёт корреляционных эффектов в модели Томаса-Ферми-Дирака рассматривался в [68].

Учёт обменных эффектов в модели Томаса-Ферми требует одновременного учёта квантовых поправок того же порядка к квазиклассическим выражениям для электронной плотности и термодинамических функций электронов. Эти поправки учтены в модели Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками (или модели Томаса-Ферми-Кпржница) [69-71), в которую позднее были включены также осцилляционные поправки, учитывающие оболочечную структуру электронной плотности [72,73]. Учёт градиентных поправок в выражениях для кинетической энергии и энтропии электронов в модели Томаса-Ферми приводит к квантово-статистической модели [74-77]. В [76] проанализирована квантово-статистическая модель и сделан вывод, что эта модель даёт наилучшие результаты по сравнению с моделью Томаса-Ферми и её обобщениями (моделями Томаса-Ферми-Дирака и Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками).

Слэтером показано [78], что использование квазпклассического приближения для обменных слагаемых в уравнениях Хартри-Фока (см. [79, 80]) позволяет свести эти уравнения к одноэлектронному уравнению Шрёдингера с локальным потенциалом. Результаты Слэтера были уточнены с появлением метода функционала плотности [81-83], нашедшим впоследствии широкое применение для построения моделей вещества [84-95] и в расчётах методом квантовой молекулярной динамики [96-99].2 Метод функционала плотности основан на доказанной в [81] теореме о том, что для газа взаимодействующих электронов при Т = О, находящихся во внешнем потенциале v(r) (в частности, это может быть потенциал ядер), существует универсальный (не зависящий от внешнего потенциала) функционал электронной плотности F(p(r)), такой, что выражение

Е = J v(r) р{г) (Г? + F (p(r)) (0.1) имеет минимум при точном значении электронной плотности в основном состоянии. Величина этого минимума даёт энергию основного состояния. Аналогичная теорема доказана в [82] для произвольных температур, но в этом случае величина (0.1) имеет смысл большого термодинамического потенциала. Так как точный вид функционала F (р(г)) не известен, обычно его вычисляют в приближении локальной плотности [83], предполагающем, в частности, что обменная энергия вычисляется путём интегрирования по пространству плотности обменной энергии однородного электронного газа, вычисленной в каждой точке пространства при текущем значении электронной плотности. После этого применение вариационного принципа (требование минимума функционала (0.1) по отношению к вариациям электронной плотности) приводит к одноэлектронному уравнению Шрёдингера (в этом подходе иногда его называют уравнением Кона-Шэма) [83] с локальным обменным потенциалом, отличающимся от полученного Слэтером. Обобщение обменного потенциала Кона-Шэма [83] на произвольные температуры проведено в [77,109-111].

Существуют модификации приближения локальной плотности, дающие правильную асимптотику потенциала на больших расстояниях [112,113]. Можно выйти за рамки приближения локальной плотности, если учесть градиентные поправки в выражении для обменной энергии [114-116] 3.

Можно построить иерархию моделей [60,62], основанных на вариационном принципе (требовании минимума большого термодинамического потенциала относительно вариаций волновых функций и чисел заполнения электронных состояний), в зависимости от вида минимизируемого большого термодинамического потенциала. Если большой термодинамический потенциал взят в приближении Хартри-Фока, то требование его минимума приводит к уравнениям Хартри-Фока для вещества с заданной температурой и плотностью [117]. Если обменную энергию вычислить в квазиклассическом

2Метод функционала плотности реализован во многих пакетах программ, предназначенных для первопринцшшых расчётов электронной структуры систем многих атомов, таких как Abinit [100], FP-LMTO [101-106], VASP [107], CPMD [108].

3Точность такого «обобщённого градиентного приближения» позволяет применять метод функционала плотности в том числе в квантовой химии для расчёта структуры молекул. приближении, то требование минимума большого термодинамического потенциала приводит к уравнениям модели Хартри-Фока-Слэтера [62,110,118]. Далее, если кинетическая энергия и энтропия электронов вычисляются в квазиклассическом приближении с учётом градиентных поправок [77], то в результате получаются уравнения квантово-статистической модели, а если без учёта градиентных поправок — то уравнения модели Томаса-Ферми-Дирака. Наконец, если кинетическую энергию и энтропию электронов вычислить в квазиклассическом приближении, а обменную энергию положить равной нулю, то при минимизации большого термодинамического потенциала получаются уравнения модели Томаса-Ферми.

Модели среднего атома различаются не только видом большого термодинамического потенциала, но и способом описания энергетического спектра электронов, т.е. граничными условиями для волновых функций в уравнении Шрёдингера (или уравнении Дирака, если рассматривается релятивистский вариант той или иной модели). Как известно, в плотном веществе взаимодействие атомов приводит к тому, что вместо уровня энергии изолированного атома появляется группа очень близко расположенных уровней (энергетическая зона). Такие зоны возникают в модели Хартри-Фока-Слэтера благодаря постановке граничных условий для волновых функций электронов на границе атомной ячейки. Различные варианты модели Хартри-Фока-Слэтера (модель Ро-шнаи [119,120], уточнённая в [62]; модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера с квазипериодическими граничными условиями — квазизонная модель [110,118,121,122]) отличаются видом граничных условий.

Наряду с перечисленными моделями, уравнения которых получаются требованием минимума большого термодинамического потенциала электронов в атомной ячейке, а взаимодействие ячеек описывается путём постановки граничных условий для волновых функций на границе ячейки, широко распространены модели атома (центрального ядра с зарядом Z и Z электронов), окружённого непрерывно распределёнными положительными и отрицательными зарядами, играющими роль внешних ионов и свободных электронов. Уравнения модели получаются из требования минимума большого термодинамического потенциала всей бесконечной системы зарядов, которая должна быть в целом электронейтральна. Одной из простейших моделей такого типа является модель Либермана [123,124], в которой накладывается условие электропейтральности атомной ячейки, а плотность положительных зарядов, внешних по отношению к центральному иону, полагается равной нулю в пределах ячейки и постоянной вне ячейки, где она компенсируется постоянной по пространству и такой же по абсолютной величине плотностью внешних отрицательных зарядов'1. Зная распределение плотности заряда, мож

Неучёт нон-нонных корреляций в исходном варианте модели Либермана [123] (парная корреляционная функций ионов имеет вид «ступеньки») приводит к тому, что при вычислении полных термодпно вычислить потенциальную энергию электрона во всём пространстве, что позволяет разделить все состояния электронов на состояния дискретного и непрерывного спектра. Уравнение Шрёдингера или Дирака в этом случае решается во всём пространстве, а граничные условия для волновых функции электронов ставятся на бесконечности. Заметим, что в моделях, в которых граничные условия для волновых функции ставятся на конечном расстоянии от ядра, строгой границы между дискретным и непрерывным спектром нет и необходимо вводить состояния промежуточного типа. Важным свойством модели Либермана является возникновение резких максимумов плотности состояний (резонансов) в непрерывном спектре при исчезновении уровней энергии из дискретного спектра.5

Первоначально в [123] модель Либермана была сформулирована в двух вариантах — «модель А» и «модель Т», отличающихся способом разделения состояний электронов (а следовательно, и термодинамических функций) на состояния, относящиеся к центральному атому и к окружающему его пространству. В настоящее время более распространена «модель А», в которой вклад каждого энергетического состояния во все величины, относящиеся к центральному атому, пропорционален вероятности нахождения электрона (в данном состоянии) в пределах атомной ячейки, т.е. интегралу от квадрата волновой функции данного состояния по объёму ячейки. Именно «модель А» рассматривается в данной работе.

Условия, накладываемые при формулировке модели Либермана (электронейтральность ячейки Вигнера-Зептца, постоянство плотности зарядов вне ячейки, способ разделения состояний электронов па состояния атома и состояния окружающего фона внешних зарядов) приводят к тому, что вариационный принцип и, как следствие, термодинамические тождества, удовлетворяются лишь приближённо [127,128).

Учёт промежуточных состояний между связанными состояниями, локализованными в пределах атомной ячейки, и состояниями непрерывного спектра с высокой энергией, для которых применимо квазиклассическое приближение, наиболее сложен в моделях среднего атома как в смысле их теоретического описания, так и с вычислительной точки зрения. Способы учёта таких состояний зависят от постановки граничных условий. В квазизонной модели и в .модели Рошнаи состояния промежуточного типа учитываются с помощью энергетических зон, а в модели Либермана аналогичную роль играют резонансы плотности состояний в непрерывном спектре. Детальный учёт промежуточных состояний необходим для корректного описания ионизации давлением — разрушенамических величин вклад ионов приходится учитывать путём введения дополнительных слагаемых в давлении и внутренней энергии, не учтённых при получении уравнений модели из условия минимума большого термодинамического потенциала. Аналогичные слагаемые вводятся в моделях, в которых постановка задачи ограничивается одной ячейкой Вигнера-Зейтца [СО].

5Свойства резонансных состояний детально изучались в работах [125], [120]. иия внешних электронных оболочек и выдавливания дискретных уровней энергии в непрерывный спектр при увеличении плотности вещества. Как показано в [129], модели среднего атома, в которых граничные условия для волновых функций ставятся на границе ячейки Вигнера-Зеитца, неправильно передают поведение термодинамических величин при сжатии вещества, если в них не учитывается зонная структура спектра (в этих условиях более точные результаты может давать модель Томаса-Ферми, в которой все состояния электронов относятся к непрерывному спектру, который качественно можно рассматривать как набор широких перекрывающихся энергетических зон).

Как известно (см. [130]), при ионизации давлением не происходит резких изменений самосогласованного потенциала, электронной плотности, термодинамических или оптических величин. В различных работах доказаны теоремы о плавном (аналитическом) поведении тех или иных величин при исчезновении уровней энергии из дискретного спектра. Так, в [131] доказано, что матрица плотности невзаимодействующего Ферми-газа во внешнем потенциале, зависящем от одного параметра, является аналитической функцией этого параметра, в том числе при тех его значениях, при которых появляется или исчезает новый дискретный уровень энергии; в [132,133] аналогичная теорема доказана для статистической суммы электронов (уменьшение статсуммы электронов дискретного спектра при исчезновении дискретного уровня энергии компенсируется увеличением статсуммы электронов непрерывного спектра, так что полная статсумма непрерывна), а в [134]—для сечения поглощения фотонов.

Тем не менее некоторые ранние расчёты [73,135,136) указывали па резкие изменения термодинамических величин при ионизации давлением, которые в [73,136] интерпретировались как фазовые переходы первого рода. Эти результаты были связаны с неучётом состояний промежуточного типа и квазиклассическим описанием всех электронов непрерывного спектра, хотя в действительности при низких энергиях электронов (меньших максимума потенциального барьера, связанного с центробежной энергией в радиальном уравнении Шрёдингера) квазиклассическое описание волновых функций становится неприменимым.

В [135] для расчётов использовалась модель Хартри, являющаяся простейшим кваи-товомеханическим уточнением модели Томаса-Ферми. В модели Хартри для электронов дискретного спектра решается уравнение Шрёдингера (в [135] использовалось приближённое решение уравнения Шрёдингера с аналитическим потенциалом), а электроны непрерывного спектра по-прежнему учитываются квазиклассически. Как ужё отмечено, при высоких плотностях и низких температурах вещества такая модель может давать менее удовлетворительные результаты по сравнению с моделью Томаса-Ферми (см. [129]). Ли и Форсос усовершенствовали модель Хартри, включив в неё учёт резо-иансов [137], наличие которых связывалось с существованием максимума производной по энергии от фазы волновой функции электрона непрерывного спектра (кроме того, в отличие от [135], в [137] потенциал вычислялся согласованно с решениями уравнения Шрёдингера). Но резонансы учитывались аналогично дискретным уровням энергии (предполагалось, что интеграл от плотности состояний по области резонанса равен единице). Такая модель описывала появление резонанса при исчезновении уровня энергии из дискретного спектра, в результате чего термодинамические функции не испытывали при этом резких изменений; но, по-видимому, модель Ли и Форсоса не позволяла описать уширение и постепенное растворение резонансов в непрерывном спектре при дальнейшем увеличении плотности вещества.

В [138,139] проведён последовательный учёт резонансов в рамках модели Либермана и продемонстрировано плавное поведение электронной плотности и термодинамических величин (на примере электронного давления) при ионизации давлением.

Квантовомеханическое описание электронов непрерывного спектра в модели Либермана, включающее детальный учёт резонансов плотности состояний, требует больших вычислительных затрат, поэтому в начале 2000-х гг., с ростом вычислительных мощностей и развитием технологий параллельных вычислений, интерес к модели Либермана возрос (помимо этого, интерес к модели Либермана можно объяснить её физической простотой и наглядностью). Модель Либермана реализована в таких программах, как INFERNO [124], Purgatorio [140-142], EOSTA [127,143,144], Paradisio [145].

Квантовомеханическое описание электронов непрерывного спектра с учётом резонансов плотности состояний в обощённой ячеечной модели, предложенной Кроулп в [146], недавно реализовано [147] в программе Cassandra.

В последнее время получила развитие модель «Вариационного среднего атома в квантовой плазме» (VAAQP) [128,148-152]. Эта модель, как и модель Либермана, относится к моделям атома на фоне непрерывно распределённых положительных и отрицательных зарядов, но в ней, в отличие от модели Либермана, не требуется электронейтральность ячейки Вигнера-Зейтца (хотя вся система зарядов в целом электронейтральна). Кроме того, модель VAAQP позволяет описать фриделевские осцилляции электронной плотности на больших расстояниях от ядра, так как плотность электронов не считается постоянной за пределами ячейки. Отсутствие ограничении, существующих в модели Либермана, позволяет сформулировать модель VAAQP в полностью вариационной постановке и обеспечить выполнение теоремы вириала и всех термодинамических тождеств6.

К модели VAAQP близка модель ESODA [153], но в модели VAAQP более последовательно определена плотность свободных электронов вдали от центрального нона. В модели ESODA эта величина полагается равной плотности электронов на границе ячейки Вигнера-Зейтца, рассчитанной по модели Томаса-Ферми. Необходимость в таком дополнительном условии, замыкающем систему уравнений модели ESODA, возникает ввиду отсутствия условия электронейтральности ячейки Вигнера-Зейтца.

В [154,155] модель VAAQP обобщена путём учёта ион-ионных корреляций, согласованного с решением электронной задачи.

При проведении расчётов по модели VAAQP и сравнении результатов с результатами по модели Либермана выяснилось [151], что условие электронейтральности ячейки Вигнера-Зейтца важно для описания взаимодействия ионов в плотном веществе. Модель VAAQP, в которой это условие может не выполняться, приводит к заведомо неверным—близким к нулю — значениям среднего заряда иона в металлах при нормальной плотности и низких температурах. Как отмечено в [151], более точное значение степени ионизации в модели VAAQP, возможно, удастся получить при рассмотрении многоцентровой задачи.

Расчёты плотности состояний электронов в многоцеитровом приближении на основе методов теории рассеяния в твёрдом теле, обощённых на произвольные температуры (плазма рассматривается как аморфное твёрдое тело), проведены в [156].

В ячеечном приближении модель среднего атома можно обобщить на случай ионов разных сортов, каждому из которых соответствует своя электронейтральная ячейка со своим значением радиуса. Такое обобщение проведено в [157-159]. Как показано в [157, 158], в этом случае требование минимума большого термодинамического потенциала системы ионов приводит к условию равенства электронных давлений в каждой ячейке.

Ячеечные модели среднего атома обладают рядом недостатков, вследствие которых точность расчётов по этим моделям в некоторых интервалах температур и плотностей вещества может оказаться невысокой, особенно при низких температурах и плотностях порядка нормальной плотности вещества и ниже (при низких значениях степени ионизации). В частности, они не передают особенности кристаллической решётки твёрдых тел (чем меньшей степенью симметрии обладает решётка, тем хуже, как правило, описывается твёрдотельное состояние вещества в рамках ячеечной модели, и наоборот) и, вообще говоря, неприменимы для описания молекул. В большинстве моделей среднего атома ион-ионное взаимодействие не влияет на решение электронной задачи7, поэтому достоверность результатов уменьшается при низких температурах вблизи нормальной плотности вещества, когда слагаемые, связанные с неидеальностыо ионов, дают значительный вклад в полные термодинамические величины.

При низких плотностях вещества, когда можно пренебречь взаимодействием ионов, требование электронейтральности атомных ячеек может оказаться слишком жёстким и не выполняться на практике. В этом случае можно получить систему уравнений самосогласованного поля в плазменном приближении [60], близкую к системе уравнений

7Псключеш1е составляют модель SCAALP [94,100] и модель, предложенная в [154,155], в которых ионные и электронные компоненты термодинамических величин согласованы друг с другом, т.е. отвечают минимуму полного термодинамического потенцш1ла всей системы зарядов. химической модели (химические модели, рассматривающие плазму как совокупность ионов разного сорта и свободных электронов, широко используются для расчётов термодинамических и оптических свойств плазмы в тех случаях, когда эффекты кулонов-ской неидеальности относительно малы [161—166]). Но, как показывают расчёты [167], при высоких температурах (Т > 10 эВ) уравнения состояния, рассчитанные по современной химической модели и современной ячеечной модели среднего атома, хорошо согласуются как при низких плотностях вещества, где априори применима химическая модель8, так и при достаточно высоких плотностях (на порядок превышающих нормальную плотность ро)9. Кроме того, как указано в [130], модель среднего атома не учитывает флуктуации самосогласованного потенциала (при удалении от центрального ядра среднеквадратичное отклонение потенциала от среднего значения стремится к постоянной величине). Впоследствии в [146] был предложен способ учёта флуктуаций плазменного микрополя в модели среднего атома.

Несмотря на свою относительную грубость, модели среднего атома обладают широкой областью применимости, в частности, современные модели среднего атома представляются одними из наиболее перспективных для описания свойств «тёплого плотного вещества» в малоисследованной области температур и плотностей: Т < 100 эВ, 0.01 ро < р < Юро (такие условия реализуются при взаимодействии короткого и мощного лазерного излучения пли пучков тяжёлых ионов с веществом, в Z-шшчах, при ударно-волновом сжатии сплошных и пористых веществ и в других приложениях физики высоких плотностей энергии (см. [1])). Модели среднего атома часто используются в сочетании с полуэмпирическими моделями или результатами расчётов методами молекулярной динамики как основа для построения широкодиапазонных уравнений состояния [3,168-170].

Модели для расчёта сечений поглощения фотонов и основанные на них программы различаются по степени детализации спектра поглощения. Существуют программы, такие как FAC [171], IIULLAC [172-174], OPAL [175,176], TOPAZ [177], ABAKO/RAPCAL [178], предназначенные для расчётов сечений поглощения с детальным учётом состояний ионов. Волновые функции электронов в таких программах обычно находятся путём

8При очень низких плотностях могут нарушаться условия термодинамического равновесия. В данной работе эти условия предполагаются выполненными.

9Можно показать, что различие термодинамических величин, рассчитанных по модели среднего атома (например, модели Лнбермана или модели Хартри-Фока-Слэтера) и по химической модели СР-SC [104], связанное с применением теории возмущений для учёта кулоновской неидеалыюсти в хими V{r) г2 dr ческой модели, имеет порядок 0(Г2), где Г = ----параметр неидеальностн (Ер = — -——-f г2 dr о средняя потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром и с другими электронами атома, V(r) —самосогласованный потенциал, 0 — температура). решения системы уравнений Хартри-Фока или её модификаций. Для упрощения расчётов часто используется некоторый параметрический потенциал [179,180]. Область применимости детальных расчётов ограничена низкими плотностями вещества, когда число реализующихся в плазме состояний ионов относительно невелико.

При более высоких плотностях вещества хорошо работают статистические методы, в которых совокупность близко расположенных спектральных линий заменяется плавной огибающей, имеющей такие же первые моменты распределения по энергиям фотонов. В модели UTA («unresolved transition arrays») [181-189] группа спектральных линий, для которой строится плавная огибающая, отвечает фиксированным начальной и конечной электронным конфигурациям иона (электронная конфигурация определяется числами заполнения электронных подоболочек). В модели STA («super transition arrays») [190-208] плавная огибающая строится для группы линий, отвечающей фиксированным начальной и конечной суперконфигурациям. Под сунерконфигу-рацией понимают совокупность конфигураций с близкими значениями энергий (обычно в суперконфигурации объединяют конфигурации, отвечающие фиксированным числам заполнения суиероболочек — совокупностей электронных подоболочек с близкими энергиями) [190]. Модель UTA содержится в модели STA как частный случай (когда каждая супероболочка состоит из единственной подоболочкп).

В [209-211] построена модель PRTA («Partially resolved transition arrays»), в которой совокупность спектральных линий, отвечающих переходам между заданными начальной и конечной электронными конфигурациями, заменяется набором гауссовых огибающих, а не одной огибающей, как в модели UTA. Тем самым спектр поглощения вычисляется с более высокой точностью, чем в модели UTA, но с гораздо меньшими вычислительными затратами, чем при детальном учёте состояний ионов. Другой способ детализации спектра, полученного по модели UTA, основан на использовании метода Ланцоша [212]. Как показано в [212], метод Ланцоша позволяет получить детальный спектр за конечное число итераций. Как в модели PRTA, так и в методе Ланцоша сечение поглощения можно вычислять с заданной точностью, исследуя его на сходимость. В первом случае для этого нужно увеличивать количество атомных подоболочек, вклад которых в мультиплетную структуру уровней энергии иона учитывается явно, а не статистически, как в модели UTA. Во втором случае нужно увеличивать число итераций в методе Ланцоша.

При использовании статистических методов расчёта сечений поглощения волновые функции электронов в различных программах вычисляют как путём решений уравнений Хартри-Фока (в [201,202] с помощью вариационного принципа получена система уравнений Хартри-Фока для заданной суперконфигурации), так и на основе различных химических или ячеечных моделей. Суперконфигурационный подход успешно применяется также для расчётов уравнений состояния [158,159,164,195,213] и транспортных коэффициентов [214].

При больших сжатиях и высоких температурах отдельные спектральные линии, отвечающие заданному переходу электрона за счёт энергии поглощённого фотона с под-оболочки о. на подоболочку /3, могут почти полностью перекрываться. В этом случае можно все возможные конфигурации ионов объединить в одну суперконфигурацию и представить сечение поглощения для перехода а —> /3 в виде одной плавной огибающей (приближение эффективной методики). Формулы для параметров соответствующего спектрального профиля различными способами получены в [190,215-217].

В зависимости от решаемой задачи сечение поглощения фотонов можно вычислять с различной степенью детальности, причём можно комбинировать признаки, по которым выделяется группа спектральных линий, для которой строится плавная огибающая. Пример такого комбинированного подхода рассмотрен в диссертации. В качестве других примеров можно привести модель PRTA и программу SCORGG [218].

Область применимости статистических методов можно расширить, если сечение поглощения для той или иной группы линий заменять не плавной огибающей, а некоторым вероятностным распределением спектральных линии, сохраняющим средние величины (общее количество линий и первые моменты распределения по энергиям фотонов) [210,219,220]. Такой подход позволяет получать значения росселандовых пробегов фотонов, близкие к детальному расчёту, даже при низких плотностях вещества.

Волновые функции и уровни энергии электронов, значения среднего заряда иона и другие величины, рассчитанные по моделям среднего атома или химическим моделям, успешно используются в различных моделях расчёта транспортных коэффициентов [140,160,221-227].

Таким образом, в настоящее время существует большое количество теоретических моделей и методов для описания теплофизических свойств веществ в различных, в том числе в экстремальных, условиях. Так как экспериментально экстремальные состояния вещества ещё недостаточно изучены, а современные физические эксперименты часто очень дорогостоящи, большое значение имеют сравнение и анализ результатов расчётов по различным моделям. Практическое применение модели для решения различных задач физики плазмы требует расчёта таблиц теплофизических свойств веществ в широком диапазоне температур и плотностей. Требования к точности и надёжности таких таблиц возрастают с ростом числа приложений и сложности задач физики высоких плотностей энергии. В то же время на практике до настоящего времени широко используются модели Томаса-Ферми и Томаса-Ферми с поправками в сочетании с полуэмпирическпми моделями при низких температурах. Область применимости таких моделей, вообще говоря, не удаётся оценить, оставаясь в рамках этих моделей.

Модель Либермана, несмотря на её востребованность для моделирования теплофизиче-ских свойств веществ в различных научно-исследовательских центрах США, Франции, Израиля, Великобритании, ведущих исследования по физике высоких плотностей энергии, до последнего времени не находила широкого применения в российских научно-исследовательских институтах. Всё это послужило основанием для поставленной перед автором задачи численной реализации модели Либермана для расчётов уравнений состояния и непрозрачпостей плазмы различных элементов, а также проведения сравнительных расчётов и анализа их результатов для выяснения области применимости модели, её преимуществ и недостатков по сравнению с другими моделями вещества. Реализация модели потребовала как использования существующих, так и разработки новых достаточно эффективных и надёжных вычислительных алгоритмов, описанных в данной работе. Большой объём вычислений потребовал создания многопроцессорной версии программы для проведения параллельных вычислений, для чего автором была использована разработанная в ИПМ им. М.В. Келдыша РАН A.C. Грушиным многопроцессорная версия программы THBAND, реализующей квазизонную модель. Расчёты коэффициентов поглощения фотонов потребовали использования моделей описания спектра поглощения на основе модели среднего атома. Для вычисления сечения поглощения в спектральных линиях в данной работе использовался суперконфигурационный подход [190], обобщённый в [207] на случай эффективного учёта флуктуаций чисел заполнения части электронных подоболочек; основные идеи методики расчёта сечения фотоионизации, использованной в данной работе, изложены в [217].

Значительное внимание в данной работе уделено математическим свойствам модели Либермана —таким как наличие резонансов плотности состояний в непрерывном спектре, особенности поведения энтропии электронов при низких температурах, термодинамическая несогласованность исходных формул модели для электронных компонент давления, внутренней энергии и энтропии — и их физической интерпретации. Проиллюстрирована необходимость последовательного учёта резонансов плотности состояний для описания ионизации давлением. Рассмотрены методы построения термодинамически согласованного уравнения состояния. Проиллюстрирована зависимость расчётных значений термодинамических величин и транспортных коэффициентов от используемого приближения для локального обменного потенциала. Проведено сравнение результатов расчётов коэффициентов поглощения фотонов с использованием суперкоп-фигурациопиого подхода и эффективной методики10 [216] для описания поглощения в линиях. Для оценки области применимости модели в основном использовался апостериорный подход, заключающийся в данном случае в сравнении результатов расчётов с

Эффективная методика является частным случаем обощённого суперконфигурационного подхода, основная идея которого предложена в [207]. результатами по другим моделям и с экспериментальными данными.

В диссертацию включены те результаты расчётов, которые, с точки зрения автора, имеют методическое значение и позволяют лучше понять особенности модели Либер-мана и роль заложенных в неё приближений.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений.

Заключение

Сделаем выводы по проделанной работе.

Создана программа ИЕЗЕОЗ для расчётов теплофизических свойств веществ в широком диапазоне температур и плотностей на основе релятивистского варианта модели Либермана [123]. Программа реализована как в однопроцессорном, так и в многопроцессорном вариантах.

Знание особенностей поведения волновых функций непрерывного спектра в области резонанса плотности состояний позволило построить эффективные и надёжные алгоритмы учёта резонансных состояний, что необходимо для корректного описания ионизации давлением. Роль резонансов плотности состояний в модели Либермана при описании ионизации давлением качественно аналогична роли разрешённых энергетических зон в квазизонной модели [110,121,122] и в модели Рошнаи [119,120].

Проведены систематические расчёты уравнений состояния, коэффициентов поглощения фотонов и электропроводности для ряда элементов. Результаты расчётов в целом хорошо согласуются с результатами, полученными с помощью других реализаций модели Либермана и по другим современным моделям вещества, а также с экспериментальными данными.

Замена холодных кривых, рассчитанных по модели Либермана, на полуэмпирические холодные кривые, применявшаяся в [141,145], в целом улучшает согласие с экспериментом при плотностях выше нормальной плотности вещества ро. В частности, ударные адиабаты сплошных веществ хорошо описываются на всём их протяжении.

Проведены расчёты тепловой части термодинамически согласованного уравнения состояния электронов в широком диапазоне температур и плотностей веществ методом, предложенным в [145] — путём численного интегрирования энтропии электронов по температуре и дифференцирования по плотности. Преимущества этого метода состоят в его устойчивости по отношению к ошибкам вычисления энтропии и в том, что требования к точности вычисления самосогласованного потенциала и энергетического спектра электронов при расчёте энтропии относительно невысоки (ниже, чем при расчёте внутренней энергии).

Особенности поведения энтропии в модели Либермапа при низких температурах и плотностях ниже нормальной плотности (в частности, при Т = 0 энтропия не обращается в ноль вследствие вырожденности основного состояния среднего атома в модели Либермапа) могут приводить к нефизическим зависимостям внутренней энергии и давления от плотности и температуры при р < р0, Т < 1 эВ.

Проведены расчёты с использованием различных приближений для локального обменного потенциала как с учётом, так и без учёта корреляционных поправок. Значения расчётной нормальной плотности при использовании обменпо-корреляционного потенциала Хедина-Лундквиста [250] всегда немного выше, чем при использовании обменного потенциала Кона-Шэма [83]. Если не учитывается явная зависимость потенциала от температуры (как в случае потенциала Кона-Шэма или Хедина-Лундквиста), то при Р ~ Ро значения тепловых компонент слабо зависят от того, учитывается или пет корреляционное слагаемое в потенциале; различия наблюдаются лишь при р < ро, Т < 10 эВ.

Учёт зависимости обменного потенциала от температуры [110) относительно слабо сказывается на виде основных ударных адиабат (для более лёгкого элемента бериллия эффект несколько выше, чем для более тяжёлого алюминия). Но использование обменного потенциала, зависящего явно от температуры, при низких температурах (Т < 1 эВ) и р ~ р0 может приводить к нефизическим отрицательным значениям энтропии электронов, электронной теплоёмкости и тепловых электронных компонент внутренней энергии и давления из-за наличия слагаемых, содержащих логарифм температуры, в разложении плотности обменной энергии при низких температурах [109]. Это говорит о недостаточно точном учёте тепловых эффектов при Т < 1 эВ и р ~ р0 15 обменном потенциале, предложенном в [77,109-111].

Уравнения состояния электронов, построенные на основе энтропии [145] и на основе свободной энергии Гельмгольца [141], практически совпадают (в данной работе в пределах точности вычислений расхождении не обнаружено). Это говорит о том, что термодинамическая несогласованность формул для внутренней энергии и для энтропии в модели Либермана незначительна.

Учёт вклада ионов в уравнение состояния в приближении заряженных твёрдых сфер (см. [60], с. 300) даёт в целом менее удовлетворительные результаты, чем в квазизонной модели, что связано с различием в распределении электронной плотности в атомной ячейке (вследствие различия граничных условий для волновых функций электронов). Приближение заряженных твёрдых сфер в модели Либермана достаточно хорошо работает для металлов вблизи нормальной плотности (для элементов с большими и средними 2 результаты значительно лучше согласуются с экспериментальными данными по ударно-волновому сжатию, чем при учёте ионов в приближении идеального газа), но при плотностях в несколько раз больших или меньших нормальной обычно переоценивает ионное давление. Это приводит, в частности, к более «жёстким» по сравнению с экспериментом ударным адиабатам при больших сжатиях. В связи с этим метод вычисления ионных компонент термодинамических величин в модели Либермана требуется уточнить, в частности, в рамках модели заряженных твёрдых сфер требуется усовершенствовать способ вычисления эффективных радиусов ионов.

При увеличении плотности вещества значения термодинамических величин по модели Либермана плавно выходят на асимптотику модели Томаса-Ферми, причём в случае элементов с достаточно простой электронной структурой (алюминий, бериллий) удовлетворительное согласие тепловых электронных компонент (отличие от результатов по модели Томаса-Ферми до нескольких десятков процентов) наблюдается уже при нормальной плотности даже при температурах, близких к нулю.

Для расчётов коэффициентов поглощения фотонов в спектральных линиях в данной работе использован суперконфигурационный подход [190,193]. Вероятности реализации электронных конфигураций вычисляются с использованием биномиального распределения, применяющегося в рамках суперконфигурационного подхода [190]. В проведённой работе не учитывались взаимодействие конфигураций [184,192,196,197,220] и эффекты релаксации орбпталей [143,201]. Статистическое уширение пиков в сечении фотоионизации, связанных с отличием плотности состоянии в непрерывном спектре от плотности состояний однородного электронного газа, учитывается путём введения спектрального профиля [217], аналогичного профилю спектральной линии для перехода электрона между состояниями дискретного спектра.

Как и термодинамические величины, коэффициенты поглощения фотонов (как спектральные, так и усреднённые по Росселанду и но Планку) плавно зависят от плотности и температуры вещества, в том числе в тех областях, где существенны эффекты ионизации давлением.

В данной работе не удалось получить релятивистский аналог матричного элемента производной от потенциала в выражении для силы осциллятора. Использовавшееся выражение для матричного элемента в релятивистском случае не в точности эквивалентно выражению для матричного элемента радиуса. Это отличие может приводить к погрешностям при описании спектра поглощения, особенно при расчёте сечения фотоионизации внутренних оболочек тяжёлых элементов.

В настоящее время результаты расчётов по программе ИЕЭЕОЭ используются для построения баз данных термодинамических и оптических свойств веществ, необходимых для решения различных практических задач физики высоких плотностей энергии.

1. Фортов В.Е. Экстремальные состояния вещества на Земле и в космосе. — М.: Физматлит, 2008.

2. Киржниц Д.А. Экстремальные состояния вещества (сверхвысокие давления и температуры) // УФН. 1971. - Vol. 4. - Pp. 489 - 508.

3. More R.M., Warren K.H., Young D.A., Zimmerman G.B. A new quotidian equation of state (QEOS) for hot dense matter // Phys. Fluids. 1988. - Vol. 31. - Pp. 3059- 3078.

4. Прокопов Г. П. Аппроксимация табличных уравнений состояния для расчёта газодинамических задач // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 80. — М., 2004.

5. Бушман А.В., Ломоносов И.В., Хищенко К.В. База данных по ударному сжатию материалов и веществ, http://teos.ficp.ac.ru/rusbank/.

6. Nellis W.J. Dynamic compression of materials: Metallization of fluid hydrogen at high pressures // Rep. Progr. Phys. 2006. - Vol. 69. - P. 1195.

7. Фортов В.E., Терновой В.Я., и др. Ионизация давлением неидеальной плазмы в мегабарпом диапазоне динамических давлений // ЖЭТФ. — 2003. — Т. 124. — С. 288.

8. Fortov V.E., Ilkaev R.I., et al. Phase transition in strongly non-ideal deuterium plasma, generated by quasiisentropical compression at megabars // Phys. Rev. Lett. — 2007.- Vol. 99, 185001.

9. Фортов B.E. Мощные ударные волны и экстремальные состояния вещества. —-М.: Букос, 2005.

10. Жерноклетов М.В. Ударное сжатие и изоэнтропическое расширение природного урана // ТВ Т. 1998. - Т. 36. - С. 231.

11. R.G. Greene Н. Luo A.L. Ruoff. Al as a simple solid: High pressure study to 220 GPa (2.2 Mbar) // Phys. Rev. Lett. 1994. - Vol. 73. - Pp. 2075 - 2078.

12. Cynn H., Yoo C.-S. Equation of state of tantalum to 174 GPa // Phys. Rev. B. — 1999. Vol. 59. - Pp. 8526 - 8529.

13. Baer В. J., Cynn H., Iota V., Yoo G.-S. Phase diagram and equation of state of praseodymium at high pressures and temperatures // Phys. Rev. B. — 2003. — Vol. 67, 134115.

14. Renaudin P., Blancard C., Faussurier G., Noiret P. Combined pressure and electrical-resistivity measurements of warm dense aluminum and titanium plasmas // Phys. Rev. Lett. 2002. - Vol. 88, 215001.

15. Renaudin P., Blancard C., Clerouin J. et al. Aluminum equation-of-state data in the warm dense matter regime // Phys. Rev. Lett. — 2003. — Vol. 91, 075002.

16. Clerouin J., Slarrett C., Faussurier G. et al. Pressure and electrical resistivity measurements on hot expanded nickel: Comparisons with quantum molecular dynamics simulations and average atom approaches // Phys. Rev. E. 2010. — Vol. 82, 046402.

17. Foord M. E., Reisrnan D. В., Springer P. T. Determining the equation-of-state isentrope in an isochoric heated plasma // Rev. Sci. Instrum. — 2004. — Vol. 75.- Pp. 2586 2589.

18. Korobenko V. N., Rakhel A. D., Savvatimski A. I., Fortov V. E. Measurement of the electrical resistivity of hot aluminum passing from the liquid to gaseous state at supercritical pressure // Phys. Rev. B. — 2005. — Vol. 71, 014208.

19. Korobenko V. N., Rakhel A. D. Electrical resistivity and equation of state measurements on hot expanded aluminum in the metal-nonmetal transition range // Phys. Rev. B. 2007. - Vol. 75, 064208.

20. Clerouin J., Noiret P., Korobenko V. N., Rakhel A. D. Direct measurements and ab initio simulations for expanded fluid aluminum in the metal-nonmetal transition range 11 Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 78, 224203.

21. Коробеико B.H., Рахель А.Д. Переход расширенного жидкого железа в неметаллическое состояние при сверхкритическом давлении // ЖЭТФ. — 2011. — Т. 139.- С. 746 754.

22. Korobenko V. N., Rakhel A. D. Observation of a first-order metal-to-nonmetal phase transition in fluid iron // Phys. Rev. B. 2012. - Vol. 85, 014208.

23. Hoarty D.J., Guymer T., James S.F. et al. Equation of state studies of warm dense matter samples heated by laser produced proton beams // HEDP. — 2012. — Vol. 8.- Pp. 50 54.

24. Perry T.S., Davidson S.J., Serduke S.J.D. et al. Opacity measurements in a hot dense medium // Phys. Rev. Lett. 1991. - Vol. 67. - Pp. 3784 - 3787.

25. Abdallah, Jr., Clark R.E.H. X-ray transmission calculations for an aluminum plasma // J. Appl. Phys. 1991. - Vol. 69. - Pp. 23 - 26.

26. Springer P. T., Perry T. S., Fields D. F. et al. Measurements and models of the opacity of hot, dense plasma // AÎP Conf. Proc. 1991. - Vol. 257. - Pp. 78 - 85.

27. Springer P. T., Fields D.F., Wilson B.G. et al. Spectroscopic absorption measurements of an iron plasma // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - Pp. 3735 - 3738.

28. Silva L. B. Da, MacGowan B. J., Kania D. R. et al. Absorption measurements demonstrating the importance of delta n =0 transitions in the opacity of iron // Phys. Rev. Lett. 1992. - Vol. 69. - Pp. 438 - 441.

29. Springer P. T., Fields D.F., Wilson B.G. et al. Spectroscopic measurements of rosseland mean opacity // J. Quant. Spectrosc. Radiât. Trans. — 1994. Vol. 52. — Pp. 371 - 377.

30. Wmhart G., Eidmann K., Iglesias C.A. et al. XUV opacity measurements and comparison with models //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 1995. — Vol. 54. — Pp. 437 446.

31. Perry T.S., Budil K.S., Cauble R. et al. Quantitative measurement of mid-z opacities // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 1995. — Vol. 54. — Pp. 317 -324.

32. Perry T. S., Springer P. T., Fields D. F. et al. Absorption experiments on x-ray-heated mid-Z constrained samples // Phys. Rev. E. — 1996. — Vol. 54. — Pp. 5617 -5631.

33. Winhart G., Eidmann K., Iglesias C.A., Bar-Shalom, A. Measurements of extreme uv opacities in hot dense Al, Fe and Ho // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 53. - Pp. R1332- R1335.

34. Orzechowski T.J., Rosen M.D., Cornblum II. N. et al. The rosseland mean opacity of a mixture of gold and gadolinium at high temperatures // Phys. Rev. Lett. — 1996. — Vol. 77. - Pp. 3545 - 3548.

35. Springer P. T., Wong K.L., Iglesias G.A. et al. Laboratory measurement of opacity for stellar envelopes // J. Quant. Spectra sc. Radiat. Trans. — 1997. Vol. 58. — Pp. 927- 935.

36. Back C.A., Perry T.S., Bach D.R. et al. Opacity measurements: Extending the range and filling in the gaps //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. 1997. — Vol. 58. — Pp. 415 - 425.

37. Merd'ji II., Miballa T., Blenski T. et al. Absorption spectroscopy of a radiatively heated samarium plasma // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. - Pp. 1042 - 1046.

38. Colombant D., Klapisch M., Bar-Shalom A. Increase in Rosseland mean opacity for inertial fusion hohlraum walls // Phys. Rev. E. 1998. - Vol. 57. — Pp. 3411 - 3416.

39. Smith C.C. Configuration broadening of high-Z transition array profiles //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. 1998. - Vol. 59. — Pp. 109 - 116.

40. Busquet M., Jiang Z., Cote C. Y. et al. Analysis of the M-shell spectra emitted by a short-pulse laser-created tantalum plasma // Phys. Rev. E. — 1998. — Vol. 61. — Pp. 801 808.

41. Chenais-Popovics C., Merdji H., Missalla T. et al. Opaity studies of iron in the 15 -30 eV temperature range // ApJS. 2000. - Vol. 127. - Pp. 275 - 281.

42. Perry T.S., Davidson S.J., Serduke S.J.D. et al. Opacity measurements in a hot dense medium // ApJS. 2000. - Vol. 127. - Pp. 433 - 436.

43. Thais F., Bastiani S., Blenski T. et al. Absorption of local thermodynamic equilibrium aluminum at different densities // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 2003. — Vol. 81. ~ Pp. 473 485.

44. Renaudin P., Blancard C., Bruneau J. et al. Absorption experiments on X-ray-heated magnesium and germanium constrained samples //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans.- 2006. Vol. 99. -- Pp. 511 - 522.

45. Arnault P., Blenski T., Dejonghe G. Interpretation of some X-ray and XUV absorption experiments using SCO // HEDP. 2007. - Vol. 3. - Pp. 1 - 7.

46. Hoarty D.J., Harris J.W.O., Graham P. et al. Measurements of niobium absorption spectra in plasmas with nearly full M-shell configurations // HEDP. — 2007. Vol. 3.- Pp. 325 334.

47. Whittaker D.S., Edwards M.H., Tallents G.J. Simulations of hot, dense iron plasma opacity at 89 eV and comparison with experiment // HEDP. — 2007. — Vol. 3. — Pp. 314 324.

48. Loisel G., Arnault P., Bastiani-Ceccotti S. et al. Absorption spectroscopy of mid and neighboring Z plasmas: Iron, nickel, copper and germanium // HEDP. — 2009. — Vol. 5. Pp. 173 - 181.

49. Bailey J.E., Rochau G.A., Mancini R.C. et al.

50. Bailey J. E., Rochau G. A., Hansen S. B. et al. Experimental investigation of iron plasma opacity models // A IP Conf. Proc. 2009. - Vol. 1161. - P. 40.

51. Tallents G.J., Booth N., Edwards M.H. et al. Measurements of opacity and temperature of warm dense matter heated by focused soft X-ray laser irradiation // HEDP. — 2009.- Vol. 5. Pp. 110 - 113.

52. Blenski T., Loisel G., Poirier M. et al. Opacity of iron, nickel and copper plasmas in the x-ray wavelength range: Theoretical interpretation of 2p-3d absorption spectra // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 84, 036407.

53. Blenski T., Loisel G., Poirier M. et al. Theoretical interpretation of X-rays photoabsorption in medium-Z elements plasmas measured at LULI2000 facility // HEDP. 2011. - Vol. 7. - Pp. 320 - 326.

54. Gilles D., Turck-Chieze S., Loisel G. et al. Comparison of Fe and Ni opacity calculations for a better understanding of pulsating stellar envelopes // HEDP. — 2011. Vol. 7. - Pp. 312 - 319.

55. Wagcnaars E., Whittaker D.S., Tallents G.J. A method to probe Rosseland and Planck mean opacities with high-order harmonics // IIEDP. 2011. — Vol. 7. — Pp. 17 -26.

56. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы. Методы расчёта росселандовых пробегов и уравнений состояния. — М.: Физматлит, 2000. — 400 с.

57. Nikiforov A.F., Novikov V.G., Uvarov V.B. Quantum-statistical models of hot dense matter. Methods for computation opacity and equation of state. — Basel: Birkhauser, 2005. 437 pp.

58. Синько Г. В. Использование метода самосогласованного поля для расчёта термодинамических функций электронов в простых веществах // ТВТ. — 1983. — Т. 2. С. 1041 - 1052.

59. Thomas L.H. The calculation of atomic fields // Proc. Camb. Phil. Soc. — 1926. — Vol. 23. Pp. 542 - 548.

60. Fermi E. A statistical method for the determination of some atomic properties and the application of this method to the theory of the periodic system of elements // Z. fur Phys. -- 1928. Vol. 48. - Pp. 73 - 79.

61. Feynman R., Metropolis N., Teller E. Equations of state of elements based on the generalized Fermi-Thomas theory // Phys. Rev. — 1949. — Vol. 75. — Pp. 1561 -1573.

62. Dime P. A.M. Ц Proc. Cambridge Phil. Soc. 1930. - Vol. 26. - P. 376.

63. Cowan R. D., Ashkin J. Extension of the Thomas-Fermi-Dirac statistical theory of the atom to finite temperatures // Phys. Rev. — 1957. Vol. 105. — Pp. 144 - 157.

64. Lewis H. W. Fermi-Thomas model with correlations // Phys. Rev. — 1958. — Vol. 111. Pp. 1554 - 1557.

65. Киржниц Д.А. Квантовые поправки к уравнению Томаса-Ферми // ЖЭТФ. — 1957. Т. 32. - С. 115 - 123.

66. Киржниц Д. А. О границах применимости квазиклассического уравнения состояния вещества // ЖЭТФ. 1958. - Т. 35. - С. 1545 - 1557.

67. Калиткин Н.Н. Модель Томаса-Ферми с квантовыми и обменными поправками // ЖЭТФ. 1960. - Т. 38. - С. 1534 - 1540.

68. Киржниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Осцилляционные эффекты атомной структуры // ЖЭТФ. 1972. - Т. 62. - С. 2082 - 2096.

69. Киржниц Д.А., Лозовик Ю.Е., Шпатаковская Г.В. Статистическая модель вещества // УФН. 1975. - Т. 117. - С. 3 - 47.

70. Калиткин Н.Н. Квантово-статистическое уравнение состояния // Сб. Вопросы физики низкотемпературной плазмы. С. 102 105. — Минск: Наука и техника, 1970.

71. Калиткин Н.Н., Кузьмина Д.В. Квантовостатистичсское уравнение состояния // Физика плазмы. 1976. - Т. 2. - С. 858 - 868.

72. More R.M. Quantum-statistical model for high-density matter // Phys. Rev. A. — 1979. Vol. 19. - Pp. 1234 - 1246.

73. Perrot F. Gradient correction to the statistical electronic free energy at nonzero temperatures: Application to equation-of-state calculations // Phys. Rev. A. — 1979.- Vol. 20. Pp. 586 - 594.

74. Slater J. C. A simplification of the Hartree-Fock method // Phys. Rev. — 1951. — Vol. 81. Pp. 385 390.

75. Кирэюнии, Д.А. Полевые методы теории многих частиц. — М.: Госатомиздат, 1963.

76. Cowan R.D. The theory of atomic structure and spectra. — Berkeley: University of California press, 1981.

77. Hohenberg P., Kohn W. Inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1964. — Vol. 136. Pp. B864 - B871.

78. Mermin N.D. Thermal properties of the inhomogeneous electron gas // Phys. Rev. — 1965. Vol. 137. - Pp. A1441 - A1443.

79. Kohn W., Sham L.J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects // Phys. Rev. 1965. - Vol. 140. - Pp. A1133 A1138.

80. Dharma-Wardana M.W.C., Perrot F. Density-functional theory of hydrogen plasmas // Phys. Rev. A. 1982. - Vol. 26. — P. 2096.

81. Perrot F. Ion-ion interaction and equation of state of a dense plasma: Application to beryllium // Phys. Rev. E. 1993. - Vol. 47. - Pp. 570 - 582.

82. Perrot F., Dharma-Wardana M. W.C. Equation of state and transport properties of an interacting multispecies plasma: Application to a multiply ionized A1 plasma // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 52. - Pp. 5352 - 5367.

83. Perrot F., Dharma-Wardana M.W.C. Spin-polarized electron liquid at arbitrary temperatures: Exchange-correlation energies, electron-distribution functions, and the static response functions // Phys. Rev. B. 1962. - Vol. 62. - Pp. 16536 - 16548.

84. Iyetomi H., Ichimaru S. Density-functional theory of correlations in dense plasmas: Improvement on the hypernetted-chain scheme // Phys. Rev. A. — 1983. — Vol. 27.- Pp. 3241 3250.

85. Chihara J. The direct correlation function of inhoinogeneous quantum liquids //J. Phys. C: Solid State Phys. 1984. - Vol. 17. - Pp. 1632 - 1642.

86. Chihara J. Liquid metals and plasmas as nucleus-electron mixtures //J. Phys. C: Solid State Phys. 1985. Vol. 18. - Pp. 3103 - 3118.

87. Chihara J. Effective interionic interaction in liquid metals: liquid metallic hydrogen // J. Phys. C: Solid Slate Phys. 1986. - Vol. 19. - Pp. 1665 - 1677.

88. Chihara J. Comparison of integral equations for correlations in liquid metallic hydrogen // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33. - Pp. 2575 - 2582.

89. Ofer D., Nardi E., Rosenfeld Y. Interionic correlations in plasmas: Thomas-Fermi hypernetted-chain density-functional theory // Phys. Rev. A. — 1988. — Vol. 38. — Pp. 5801 5809.

90. Blancard C., Faussurier G. Equation of state and transport coefficients for dense plasmas // Phys. Rev. E. 2004. - Vol. 69, 016409.

91. Dharma-wardana M. W. C. Static and dynamic conductivity of warm dense matter within a density-functional approach: Application to aluminum and gold // Phys. Rev. E. 2006. - Vol. 73, 036401.

92. Surh M. P., Barbee T.W., Yang L. H. First principles molecular dynamics of dense plasmas // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 86. - Pp. 5958 - 5961.

93. Faussurier G., Silvestrelli P. L., Blancard C. Finite-temperature exchange-correlation functional in an ab initio molecular dynamics code // HEDP. — 2009. — Vol. 5. — Pp. 74 79.

94. Lambert F., Clerouin J., Danel J.-F. et al. Direct verification of mixing rules in the hot and dense regime // Phys. Rev. E. 2008. - Vol. 77. - P. 026402.

95. Morales M.A., Benedict L.X., Clark D.S. et al. Ab initio calculations of the equation of state of hydrogen in a regime relevant for inertial fusion applications // HEDP. — 2012. Vol. 8. — P. 5 - 12.100. http://www.abinit.org/.

96. Methjessel M. Elastic constants and phonon frequences of Si calculated by a fast full-potential linear inuffin-tin-orbital method // Phys. Rev. B. 1988. — Vol. 38. — P. 1537.

97. Methfessel M., Rodriguez С.О., Andersen O.K. Fast full-potential calculations with a converged basis of atom-centered linear muffin-tin orbitals: Structural and dynamic properties of silicon // Phys. Rev. B. 1989. - Vol. 40. - P. 2009.

98. Methfessel M., van Shilfgaarde M., Casali R.A. The uses of the LMTO method. In Electronic structure and pihysical properties of solids / Ed. by Dreysse H. // Vol. 535 of Lecture notes in Physics. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

99. Wills J. M., Eriksson O., Alouani M., Price D.L. The uses of the LMTO method. In Electronic structure and physical properties of solids / Ed. by Dreysse H. // Vol. 535 of Lecture notes in Physics. — Berlin: Springer-Verlag, 2000.

100. Savrasov S. Linear-response theory and lattice dynamics: a muffin-tin-orbital approach // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54. - P. 16470.

101. Sin'ko G., Smirnov N. Structural transitions in indium under high pressure: ab-initio electronic structure calculations // Phys. Rev. B. — 2006. — Vol. 74. — P. 134113.107. http://www.vasp.at/.108. http://www.cpmd.org/.

102. Horovitz В., Thieberger R. Exchange integral and specific heat of the electron gas // Physica. 1974. - Vol. 71. — P. 99 - 105.

103. Никифоров А.Ф., Новиков В.Г., Уваров В.Б. Модифицированная модель Хартри-Фока-Слэтера для вещества с заданной температурой и плотностью // ВАНТ. Методики и программы численного решения задач магпематической физики. — 1979, вып. 4(6). — С. 16 26.

104. Gupta U., Rajagopal А.К. Inhomogeneous electron gas at nonzero temperatures: Exchange effects // Phys. Rev. A. 1980. - Vol. 21. - Pp. 2064 - 2066.

105. Liberman D. A. New potential function for atomic and solid-state calculations // Phys. Rev. B. 1970. - Vol. 2. - P. 244.

106. Liberman D. A., Albritton J. R., Wilson B. G., Alley W. E. Self-consistent-field calculations of atoms and ions using a modified local-density approximation // Phys. Rev. /1. 1994. - Vol. 50. - Pp. 171 - 176.

107. Perdew ,J.P., Wang Y. Accurate and simple density functional for the electronic exchange energy: Generalized gradient approximation // Phys. Rev. B. — 1986. — Vol. 33. Pp. 8800 - 8802.

108. J. P. Perdew K. Burke, Ernzerhof M. Generalized gradient approximation made simple // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77. - Pp. 3865 - 3868.

109. Legrand P., Perrot F. Virial theorem and pressure calculations in the GGA //J. Phys.: Condens. Matter. 2001. - Vol. 13. - P. 287 - 301.

110. Matzubara T. A new approach to quantum-statistical mechanics // Prog, of Theoret. Phys. 1955. - Vol. 14. - Pp. 351 - 378.

111. Никифоров А.Ф., Новиков В.P., Уваров В.Б. Применение модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера для расчёта уравнений состояния вещества // ВАНТ. Методики и программы численного решения задач математической физики. — 1979, вып. 4(6). С. 27 - 35.

112. Rozsnyai B.F. Relativistic Hartree-Fock-Slater calculations for arbitrary temperature and matter density // Phys. Rev. A. 1972. -- Vol. 5. — Pp. 1137 - 1149.

113. Rozsnyai B.F. Shock Hugoniots based on the self-consistent average atom (SCAA) model. Theory and experiments. (Second revision) // IIEDP. — 2012. — Vol. 8. — P. 88 100.

114. Воропипов А.И., Ранделъман Г.М., Подвальный B.F. Электронные энергетические спектры и уравнения состояния твёрдых тел при высоких давлениях и температурах // УФН. 1970. - Т. 100. - С. 193 - 224.

115. Грушип А.С., Новиков В.Г. Квазизонная модель вещества // Научно-координационная сессия «Исследования неидеальной плазмы». — М., 2007. http://www.ihed.ras.ru/npp2007/presentations/grushin.pdf.

116. Liberman D.A. Self-consistent field model for condensed matter // Phys. Rev. B. — 1979. Vol. 20. - Pp. 4981 4989.

117. Liberman D.A. INFERNO: a better model of atoms in dense plasmas // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. 1982. - Vol. 27. - Pp. 335 - 339.

118. More R.M., Gerjuoy E. Properties of resonant wave functions // Phys. Rev. A. — 1973. Vol. 7. - Pp. 1288 1303.

119. Olson J. J. Anderson-McMillan prescription for the density of states of liquid iron // Phys. Rev. B. 1975. - Vol. 12. - Pp. 2908 - 2916.

120. Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch M. EOSTA an improved EOS quantum mechanical model in the STA opacity code // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 2006. — Vol. 99. - Pp. 35 - 54.

121. Bleriski Т., Cichocki В. Variational theory of average-atom and superconfigurations in quantum plasmas // Phys. Rev. E. 2007. - Vol. 75, 056402.

122. Калиткин H.H. О термодинамических асимптотиках моделей вещества в экстремальных условиях // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР № 43. — М., 1986.

123. More R.M. Pressure ionization, resonances, and the continuity of bound and free states // Advances in atomic and molecular physics. 1985. — Vol. 21. - Pp. 305 -356.

124. Kohn W., Majumdar C. Continuity between bound and unbound states in a Fermi gas // Phys. Rev. 1965. - Vol. 138. - Pp. A1617 - A1620.

125. Petschek A. G. On the compensation between the bound state and continuum contribution to the partition function // Phys. Lett. A. — 1971. — Vol. 34. — Pp. 411 413.

126. Petschek A. G., Cohen H. D. Continuous approximate treatment of ionization-potential lowering // Phys. Rev. A. 1972. - Vol. 5. - Pp. 383 - 389.

127. D'yachkov L.G., Kobzev G.A. Analiticity of the absorption coefficient as a function of the interaction parameter // J. Phys. B: At. Mol. Phys. 1981. - Vol. 14. - P. L689.

128. Zink J. W. Shell structure and the Thomas-Fermi equation of state // Phys. Rev. — 1968. Vol. 176. - Pp. 279 - 284.

129. Кирж.ниц Д.А., Шпатаковская Г.В. Осцилляции упругих параметров вещества // ЖЭТФ. 1974. - Т. 60. - С. 1928 - 1943.

130. Lee С. М., Thorsos Е. I. Properties of matter at high pressures and temperatures // Phys. Rev. A. 1978. - Vol. 17. - Pp. 2073 - 2076.

131. Blenski Т., Ishikawa K. Pressure ionization in the spherical ion-cell model of dense plasmas and a pressure formula in the rclativistic Pauli approximation // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - Pp. 4869 - 4881.

132. Ishikawa K., Blenski Т., Takahashi H. et al. Pressure ionization of dense plasmas in spherical ion-cell model with spin-orbit interactions // AIP Conf. Proc. — 1995. — Vol. 369. Pp. 398 - 403.

133. Hansen S.B., Isaacs W.A., Sterne P.A. et al. Electrical conductivity calculations from the Purgatorio code // in Proceedings of NEDCP, UCRL-PROC-218150. 2005.

134. Wilson B., Sonnad V., Sterne P., Isaacs W. Purgatorio a new implementation of the Inferno algorithm // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Trans. — 2006. — Vol. 99. — Pp. 658 - 679.

135. Sterne P.A., Hansen S.B., Wilson B.G., Isaacs W.A. Equation of state, occupation probabilities and conductivities in the average atom Purgatorio code // HEDP. — 2007. Vol. 3. - Pp. 278 - 282.

136. Bar-Shalom A., Or eg ./. Recent progress in the EOSTA model // HEDP. 2007. -Vol. 3. - Pp. 12 - 19.

137. Bar-Shalom A., Oreg J. The relativistic virial theorem in plasma EOS calculations // HEDP. 2009. - Vol. 5. - Pp. 196 - 203.

138. Penicaud M. An average atom code for warm matter: application to aluminium and uranium // ,/. Phys.: Condens. Matter. 2009. - Vol. 21, 095409.

139. Crowley B.J.B. Average-atom quantum-statistical cell model for hot plasma in local thermodynamic equilibrium over a wide range of densities // Phys. Rev. A. — 1990.- Vol. 41. Pp. 2179 - 2191.

140. Pattison L.K., Crowley B.J.B., Harris J.W.O., Upcraft L.M. The calculation of free electron density in Cassandra 11 HEDP. 2010. - Vol. 6. - Pp. 66 - 69.

141. Blenski T., Cichocki B. Variational approach to the average-atom-in-jellium and superconfigurations-in-jellium models with all electrons treated quantum-mechanically // HEDP. 2007. - Vol. 3. - Pp. 34 - 47.

142. Piron R., Blenski T. Cichocki B. Variational average atom in quantum plasmas (VAAQP)—first numerical results // J. Phys. A: Math. Theor. 2009. - Vol. 42, 214059.

143. Piron R., Blenski T., Cichocki B. Variational average-atom in quantum plasmas (VAAQP) a check of thermodynamic consistency // HEDP. - 2009. - Vol. 5.- P. 258 262.

144. Piron R., Blenski T. Variational-average-atom-in-quantum-plasmas (VAAQP) code and virial theorem: Equation-of-state and shock-Hugoniot calculations for warm dense Al, Fe, Cu, and Pb // Phys. Rev. E. 2011. - Vol. 83, 026403.

145. Piron R., Blenski T. Variational average-atom in quantum plasmas (VAAQP) Recent progress, virial theorem and applications to the equation-of-state of warm dense Be // HEDP. - 2011. - Vol. 7. - Pp. 346 - 352.

146. Pain J.С. Quantum-statistical equation-of-state models of dense plasmas: high-pressure Hugoniot shock adiabats // Contrib. Plasma Phys. — 2007. — Vol. 47.- Pp. 421 434.

147. Starrett C.E, Saurrwn D. Fully variational average atom model with ion-ion correlations 11 Phys. Rev. E. 2012. - Vol. 85, 026403.

148. Starrett C.E, Saumon D. A variational average atom approach to closing the quantum Ornsteine-Zernike relations // HEDP. 2012. - Vol. 8. - Pp. 101 - 104.

149. Wilson B.G., Johnson D.D., Alam A. Multi-center electronic structure calculations for plasma equation of state // HEDP. 2011. — Vol. 7. Pp. 61 - 70.

150. Новиков В.Г. Учёт индивидуальных состоянии ионов в модифицированной модели Хартри-Фока-Слэтера // ТВ Т. 1992. - Т. 30. С. 701 - 708.

151. Pain J.-С., Blenski Т. Self-consistent approach for the thermodynamics of ions in dense plasmas in the superconfiguratiori approximation //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2003. - Vol. 81. - Pp. 355 - 369.

152. Pain J.-C., Dejonghe G., Blenski T. A self-consistent model for the study of electronic properties of hot dense plasmas in the superconfiguration approximation // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2006. - Vol. 99. - Pp. 451 - 468.

153. Graboske H.C., Jr., Harwood D.J., Rogers F. J. Thermodynamic properties of nonideal gases. I. Free-energy minimization method // Phys. Rev. — 1969. — Vol. 186. — Pp. 210- 225.

154. Грязное В.К., Жерноклетов М.В., Зубарев В.Н. и др. Термодинамические свойства неидеальпой плазмы Аг и Хе // ЖЭТФ. 1980. - Т. 78. - С. 573 - 585.

155. Калиткин Н.Н., Риту с И. В., Миронов A.M. Ионизационное равновесие с учётом вырождения электронов // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша АН СССР Л'2 46.- М., 1983.

156. Loboda P.A., Popova V. V., Shadrin A.A. Chemical-picture-based modeling of thermodynamic properties of dense multicharged-ion plasmas using thesuper-configuration approach // Contrib. Plasma Phys. — 2009. — Vol. 49. — Pp. 738- 747.

157. Potekhin A.Y., Massacrier G., Chabrier G. Equation of state for partially ionized carbon at high temperatures // Phys. Rev. E. — 2005. — Vol. 72, 046402.

158. Massacrier G., Potekhin A.Y., Chabrier G. Equation of state for partially ionized carbon and oxygen mixtures at high temperatures // Phys. Rev. E. — 2011. — Vol. 84, 056406.

159. Елисеев Г.М., Клинишов Г.Е. Уравнение состояния твёрдых веществ и его сплайн-аппроксимация // Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР № 173. — М., 1982.

160. Грушип А.С., Никифоров А.Ф., Новиков В.Г. Построение широкодиапазонного уравнения состояния вольфрама // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 7.- М., 2005.

161. Benedict L. X., Ogitsu Т., Trave A. et al. Calculations of high-pressure properties of beryllium: Construction of a multiphase equation of state // Phys. Rev. E. — 2009. — Vol. 79, 064106.

162. Gu M.F. Indirect X-ray line-formation processes in iron L-shell ions // Astrophys. J.- 2003. Vol. 582. - Pp. 1241 - 1250.

163. Bar-Shalom A., Klapish M., Oreg J. HULLAC, an integrated computer package for atomic processes in plasmas // ,/. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2001. — Vol. 71. — P. 169.

164. Bar-Shalom A., Klapish M., Oreg J. Theoretical aspects of HULLAC // AIP Conf. Proc. 2002. - Vol. 635. - P. 92.

165. Klapish M., Busquet M., Bar-Shalom A. A new and improved version of HULLAC // AIP Conf. Proc. 2007. - Vol. 926. - P. 206.

166. Rogers F.G., Iglesias C.A. The OPAL opacity code: new results, UCRL-JC-119032 // in Proceedings of the Astron. Soc. of the Pacific Conf. Ser. Hague, Netherlands, 1994.

167. Iglesias C.A., Rogers F.J. Updated OPAL opacities // Astrophys. J. — 1996. — Vol. 464. Pp. 943 - 953.

168. Iglesias C.A., Chen M.H., Sonnad V., Wilson B.G. A new detailed term accounting opacity code for mid-Z elements: TOPAZ // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2003. Vol. 81. - Pp. 227 - 236.

169. Minguez E., Florido R., Rodriguez R. et al. Opacity calculation for target physics using the ABAKO/RAPCAL code // HEDP. 2010. - Vol. 6. - Pp. 57 - 65.

170. Klapisch M., Schwob J.L., Fraenkel B.S., Oreg J. // J. Opt. Soc. Ame. 1977. -Vol. 67. - P. 148.

171. Rogers F.G., Wilson B.G., Iglesias C.A. Parametric potential method for generating atomic data // Phys. Rev. A. 1988. - Vol. 38. - Pp. 5007 - 5020.

172. Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapish M. Variance of the distribution of energy levels and of the transition arrays in atomic spectra // Phys. Rev. A. — 1979. — Vol. 20. — Pp. 2424 2439.

173. Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapish M. Variance of the distribution of energy levels and of the transition arrays in atomic spectra. II. Configurations with more than two open subshells // Phys. Rev. A. 1982. - Vol. 25. - Pp. 2641 - 2646.

174. Bauche-Arnoult C., Bauche J., Klapish M. Variance of the distribution of energy levels and of the transition arrays in atomic spectra. III. Case of the spin-orbit-split arrays // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 31. - Pp. 2248 - 2259.

175. Oreg J., Goldstein W. II., Bar-Shalom, A., Klapisch M. Configuration-average energy shift owing to configuration interaction // Phys. Rev. A. 1989. — Vol. 39. — Pp. 4599 4609.

176. Blenski T., Morel S. Thermal Hartree-Fock theory in opacity calculation // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1995. - Vol. 54. - Pp. 65 - 72.

177. Gilleron F., Pain J.-C., Bauche J., Bauche-Arnoult C. Impact of high-order moments on the statistical modeling of transition arrays // Phys. Rev. E. — 2008. — Vol. 77, 026708.

178. Pain J.-C., Gilleron F., Bauche J., Bauche-Arnoult C. Effect of third- and fourth-order moments on the modeling of unresolved transition arrays // HEDP. 2009. — Vol. 5. - Pp. 294 - 301.

179. Gilleron F., Pain J.-C. Efficient methods for calculating the number of states, levels and lines in atomic configurations // HEDP. 2009. - Vol. 5. - Pp. 320 - 327.

180. Gilleron F., Pain J.-C., Porcherot Q. et al. Corrections to statistical modeling of spectra for plasmas at moderate or low temperatures // HEDP. — 2011. — Vol. 7. — Pp. 277 284.

181. Bar-Shalom. A., Oreg J., Goldstein W.H. et al. Super-transition arrays: A model for the spectral analysis of hot, dense plasma // Phys. Rev. A. — 1989. — Vol. 40. — Pp. 3183 3193.

182. Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. Recent developments in the super transition array model for spectral simulation of LTE plasmas // AIP Conf. Proc. — 1991. — Vol. 257. Pp. 68 - 77.

183. Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. Configuration interaction in LTE spectra of heavy elements //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 1994. — Vol. 51. — Pp. 27- 39.

184. Bar-Shalom A., Oreg J., Goldstein W.H. Effect of configuration widths on the spectra of local thermodynamic equilibrium plasmas // Phys. Rev. E. 1995. — Vol. 51. — Pp. 4882 - 4890.

185. Bar-Shalom A., Oreg J. Photoelectric effect in the super transition array model // Phys. Rev. E. 1996. - Vol. 54. - Pp. 1850 - 1856.

186. Oreg J., Bar-Shalom A., Klapisch M. Operator technique for calculating supereonfiguration-averaged quantities of atoms in plasmas // Phys. Rev. E. — 1997.- Vol. 55. Pp. 5874 - 5882.

187. Bar-Shalom, A., Oreg J., Klapisch M., Lehecka T. Effect of configuration interaction on shift widths and intensity redistribution of transition arrays // Phys. Rev. E. -1999. Vol. 59. - Pp. 3512 - 3525.

188. Bar-Shalom A., Oreg J., Klapisch M. The effect of configuration interaction on relativistic transition arrays // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2000. — Vol. 65. Pp. 415 - 428.

189. Gilleron F., Pain J.-C. Stable method for the calculation of partition functions in the superconfiguration approach // Phys. Rev. E. — 2004. — Vol. 69, 056117.

190. Wilson B.G., Gilleron F., Pain J.-C. Further stable methods for the calculation of partition functions in the superconfiguration approach // Phys. Rev. E. 2007. — Vol. 76, 032103.

191. Blenski Т., Ishikawa К. Relation between the super-transition-array method in opacity calculations and the Hartree-Fock approximation at nonzero temperature // Phys. Rev. E. 1995. - Vol. 51. - Pp. 1602 - 1604.

192. Blenski Т., Grirrialdi A., Perrot F. Hartree-Fock statistical approach to atoms and photoabsorption in plasmas // Phys. Rev. E. — 1997. — Vol. 55. Pp. R4889 -R4892.

193. Blenski Т., Grimaldi A., Perrot F. A Hartree-Fock statistical approach to atoms in plasmas — Electron and hole countings in evaluation of statistical sums // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1997. - Vol. 58. - Pp. 495 - 500.

194. Perrot F., Blenski Т., Grimaldi A. Calculation of plasma transmission spectra using the superconfiguration method with orbital relaxation effects // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1997. - Vol. 58. - Pp. 845 - 849.

195. Blenski Т., Grimaldi A., Perrot F. A superconfiguration code based on the local density approximation // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2000. — Vol. 65. — Pp. 91 100.

196. Faussurier G., Wilson B. G., Chen M. H. Generalization of super-transition-array methods to hot dense plasmas by using optimum independent particle reference systems // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 65, 016403.

197. Pain J.-C., Gilleron F., Faussurier G. Jensen-Feynman approach to the statistics of interacting electrons // Phys. Rev. E. 2009. - Vol. 80, 026703.

198. Драгалов В.В., Никифоров А.Ф., Новиков В.Г. и др. Статистический метод расчёта поглощения фотонов в плотной высокотемпературной плазме // Физика плазмы. 1990. - Т. 16. — С. 77 - 85.

199. Loboda P.A., Netsvetayev D.S., Popova V.V., Samolovskikh L.B. Calculations of LTE opacities for ICF-target modelling Ц J. Phys. A: Math. Gen. — 2006. Vol. 39. — P. 4781 4786.

200. Iglesias C.A., Sonnad V. Partially resolved transition array model for atomic spectra // HEDP. 2012. Vol. 8. - Pp. 154 - 160.

201. Iglesias C.A. Statistical line-by-line model for atomic spectra in intermediate coupling // HEDP. 2012. - Vol. 8. - Pp. 253 - 259.

202. Iglesias C.A. Partially resolved transition array model in intermediate coupling // HEDP. 2012. - Vol. 8. - Pp. 260 - 265.

203. Rozsnyai B.F., Bloom S. W., Resler D.A. Computation of spectral arrays in hot plasmas using the Lanczos algorithm // Phys. Rev. A. 1991. — Vol. 44. — Pp. 6791 - 6799.

204. Pain J.-C., Dejonghe G., Blenski T. Quantum-mechanical model for the study of pressure ionization in the superconfiguration approach // ,/. Phys. A: Math. Gen. — 2006. Vol. 39. - Pp. 4659 - 4666.

205. Pain J.C., Dejonghe G. Electrical resistivity in warm dense plasmas beyond the average-atom model // Contrib. Plasma Phys. — 2010. — Vol. 50. — Pp. 39 -45.

206. Stein J., Shalitin D., Ron A. Average-atom models of line broadening in hot dense plasmas // Phys. Rev. A. 1985. - Vol. 31. - Pp. 446 - 450.

207. Драгилов В.В., Новиков В.Г. Распределение спектральных линий в плазме по флуктуациям чисел заполнения // ТВ Т. 1987. - Т. 25. - С. 1057 - 1061.

208. Драгалов В.В., Новиков В.Г. Приближённый учёт конфигураций ионов в расчётах сечений фотоионизации плотной высокотемпературной плазмы // ТВТ. — 1989.- Т. 27. С. 214 - 219.

209. Porcherot Q., Pain J.-C., Gilleron F., Blenski T. A consistent approach for mixed detailed and statistical calculation of opacities in hot plasmas // HEDP. — 2011. — Vol. 7. Pp. 234 239.

210. Bauche J., Bauche-Arnoult C., Wyart J.F. et al. // Phys. Rev. A. 1991. - Vol. 44.- P. 5707.

211. Gilleron P., Bauche J., Bauche-Arnoult C. A statistical approach for simulating detailed-line spectra //J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 2007. - Vol. 40. - P. 3057- 3074.

212. Apfelbaum E. M. The transport coefficients and the ionic composition of aluminum in liquid and gaseous phases // High Temperatures-High Pressures. — 2008. Vol. 37.- P. 253 260.

213. Murillo M. S. Viscosity estimates of liquid metals and warm dense matter using the Yukawa reference system // HEDP. 2008. - Vol. 4. - Pp. 49 - 57.

214. Johnsona W.R., Guetb C., Bertsch G.F. Optical properties of plasmas based on an average-atom model //J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. — 2006. — Vol. 99. — P. 327 340.

215. Johnson W.R. Low-frequency conductivity in the average-atom approximation // IIEDP. 2009. - Vol. 5. - Pp. 61 - 67.

216. Faussurier G., Blancard C., Renaudin P., Silvestrelli P. L. Electrical conductivity of warm expanded A1 // Phys. Rev. B. 2006. - Vol. 73, 075106.

217. Apfelbaum E. M. Calculations of electrical conductivity of Ag and Au plasma // Contrib. Plasma Phys. 2012. - Vol. 52. - Pp. 41 - 44.

218. Новиков В.Г., А.А.Овечкип. Роль резонансных состояний при выдавливании дискретных уровней в непрерывный спектр // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 31. М., 2009.

219. Goldberg A., Rozsnyai B.F., Thompson P. Intermediate-coupling calculation of atomic spectra from hot plasmas // Phys. Rev. A. ~ 1986. — Vol. 34. Pp. 421 - 427.

220. Каразия Р.Й. Введение в теорию рентгеновских и электронных спектров свободных атомов. — Вильнюс: Мокслас, 1987.

221. Драгалов В.В., В.Г.Новйков. Сравнение и анализ методов расчёта ионного состава равновесной плазмы при высоких температурах // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша АН СССР № 148. М., 1986.

222. Новиков B.F., Овечкин А.А. Расчёты уравнения состояния по модели ограниченного атома // Математическое моделирование. — 2010. — Т. 22. — С. 69 -82.

223. Овечкин А.А., Новиков В.Г., Грушии А.С. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля // ТВТ. — 2011. Т. 49. — С. 845 855.

224. Новиков В.Г., А.А.Овечкин. Расчёты уравнения состояния урана по модели ограниченного атома // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 51. — М., 2009.

225. Новиков В.Г., А.А.Овечкин. Вычисление давления и модели ограниченного атома // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 77. М., 2009.

226. Новиков В.Г., А.А.Овечкип, Грушин А. С. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 24. - М., 2010.

227. Novikov V.G., Grushin AS1., Ovechkin A. A. Quasizones and resonances in the selfconsistent held models of dense plasma // in Physics of extreme states of matter-2009. Chernogolovka, 2009. - Pp. 157 - 159.

228. Новиков В.Г., Овечкин А.А. Роль резонансных состояний при ионизации давлением // Сборник трудов научной сессии МИФИ-2010. — М: МИФИ.

229. Pelissier J.-L. Finite temperature model-potential theory of metals // Physica A. — 1981. Vol. 105. - P. 607 - 619.

230. Perrot F., Dharma-Wardana M. W.C. Exchange and correlation potentials for electron-ion systems at finite temperatures // Phys. Rev. A. — 1984. — Vol. 30. — Pp. 2619 -2626.

231. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Статистическая физика. // Т. 5. М.: Наука, 1964.

232. Сапожников А. Т., Першина А.В. Полуэмпирическое уравнение состояния металлов в широком диапазоне плотностей и температур // ВАНТ. Методики и программы численного решения задач математической физики. — 1979, вып. 4(6).- С. 47 56.

233. Szichman H., Krumbein A. D. Semiempirical calculations of the zero-degree-Kelvin isotherm in metals // Phys. Rev. A. 1986. - Vol. 33. - Pp. 706 - 714.

234. Костерин H.H., Новиков В.Г., Грушии А. С. Построение кривых холодного сжатия с использованием квазизоиной модели и пакета ABINIT // Препринт ИПМ им М.В. Келдыша РАН № 41. — М., 2012. http://library.keldysh.ru/preprint.asp?id=2012-41.

235. Hedin L., Lundqvist B.I. Explicit local exchange-correlation potentials // J. Phys. C: Solid St. Phys. 1971. - Vol. 4. - Pp. 2064 - 2083.

236. Gupta U., Rajagopal А.К. Exchange-correlation potential for inhomogeneous electron systems at finite temperatures // Phys. Rev. A. 1980. — Vol. 22. — Pp. 2792 -2797.

237. Tanaka S.; Mitake S., Ichimaru S. Parametrized equation of state for electron liquids in the Singwi-Tosi-Land-Sjolander approximation // Phys. Rev. A. 1985. Vol. 32.1. P. 1896.

238. Iyelomi II, Ichimaru S. Free energies of electron-screened ion plasmas in the hypernetted-chain approximation // Phys. Rev. A. 1986. Vol. 34. — Pp. 433 -439.

239. Ichimaru S., Iyetomi H., Tanaka S. Statistical physics of dense plasmas: Thermodynamics, transport coefficients and dynamic correlations // Phys. Rep. — 1987. Vol. 149. - P. 91.

240. Iglesias C.A., Sonnad V., Wilson B.G., Castor J.I. Frequency dependent electron collisional widths for opacity calculations // HEDP. 2009. - Vol. 5. - P. 97 - 104.

241. Варшалович А.Д., Москалёв A.H., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. — Л.: Наука, 1975.

242. Regemorter Н. Van. Rate of collisional excitation in stellar atmospheres // Astrophys. J. 1962. - Vol. 136. - P. 906.

243. Lotz W. Electron-impact ionization cross-sections for atoms up to Z = 108 // Z. Phys.- 1970. Vol. 232. - Pp. 101 - 107.

244. Pain J.C., Dejonghe G., Blenski T. Equation of state of dense plasma mixtures: application to the Sun center // Contrib. Plasma Phys. — 2012. — Vol. 52. — Pp. 23- 27.

245. Moszkovski S.A. On the energy distribution of terms and line arrays in the atomic spectra // Progr. Theor. Phys. 1962. - Vol. 28. - Pp. 1 23.

246. Layzer D. Proof of Moszkowski's formula for the variance of term energies in an electronic configuration of the form In // Phys. Rev. — 1963. — Vol. 132. — P. 2125.

247. Handbook of optical constants of solids. — New York: Academic Press, 1985.

248. Beynon T.D., Landeg D.K.K. Scattering resonances in dense plasmas // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 1990. - Vol. 44. - Pp. 129 - 134.

249. Blenski T. Photoabsorption in dense plasmas // ApJS. 2000. - Vol. 127. - Pp. 239- 244.

250. Hansen S., Sterne P., Wilson B. Optical conductivities from an average-atom model // International workshop on warm dense matter. Porquerolles, France, 2007. http://www.luli.poytecknique.fr/wdm07/WDM07-13-06-07/WDM07-Hansen.pdf.

251. Gilles D., Turck-Chieze S., Loisel G. et al. Comparison of Fe and Ni opacity calculations for a better understanding of pulsating stellar envelopes // HEDP. — 2011. Vol. 7. - Pp. 312 - 319.

252. Serduke F.J.D., Minguez E., Davidson S.J., Iglesias C.A. WorkOp-IV summary: lessons from iron opacities // J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer. 2000. — Vol. 65.- Pp. 527 541.

253. Final Report of the Third International Opacity Workshop & Code Comparison Study.- Garshing: Max-Plank Institut fur Quantenoptik, 1995.

254. Final Report of the Fourth International Opacity Workshop & Code Comparison Study. — Madrid: Institute of Nuclear Fusion, 1998.

255. Seaton M.J. Opacity project data on CD for mean opacities and radiative accelerations // Man. Not. R. Astron. Soc. 2005. - Vol. 362. - P. LI.

256. National institute of standards and technologies, http://physics.nist.gov/PhysRefData/FFast/htinl/ibrm.html.

257. Center of X-ray optics, http://cxro.lbl.gov.

258. Baiko D.A., Kaminker A.D., Potekhin A. Y., Yakovlev D.G. Ion structure factors and electron transport in dense coulomb plasmas // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81.- Pp. 5556 5559.

259. Potekhin A.Y., Baiko D.A., Haensel P., Yakovlev D.G. Transport properties of degenerate electrons in neutron star envelopes and white dwarf cores // Astronomy and Astrophysics. 1999. - Vol. 346. — Pp. 345 - 353.

260. Milchberg H.M., Freeman R.R., Davey S.C., More R.M. Resistivity of a simple metal from room temperature to 106 К // Phys. Rev. Lett. 1988. - Vol. 61. - P. 2364.

261. Работы автора по теме диссертации

262. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Расчёты уравнения состояния по модели ограниченного атома. // Математическое моделирование 22, 69 — 82 (2010).

263. V. G. Novikov, A. A. Ovechkin. Calculations of the equation of state by Liberman model. // Mathematical models and computer simulations 3, 290 — 299 (2011).

264. А.А. Овечкин, В.Г. Новиков, А.С. Ррушин. Особенности вычисления энтропии в моделях самосогласованного поля. // ТВТ 49, 845 — 855 (2011).

265. V.G. Novikov, A.S. Grushin, A.A. Ovechkin. Quasizones and resonances in the selfcon-sistent field models of hot dense plasma. // in Physics of extreme states of matter — 2009, Chernogolovka, 2009, p. 157 159.

266. B.P. Новиков, А.А. Овечкин. Роль резонансных состояний при выдавливании дискретных уровней в непрерывный спектр. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 31, 22 с.

267. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Расчёты уравнения состояния урана по модели ограниченного атома. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 51, 26 с.

268. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Вычисление давления в модели ограниченного атома. // М: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2009, препр. № 77, 26 с.

269. В.Г. Новиков, А.А. Овечкин. Роль резонансных состояний при ионизации давлением // Сборник трудов научной сессии МИФИ —2010, М, 2010.