автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Комбинированные численные модели бесстолкновительной плазмы

РГБ ОД 1 О № ^97

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК Сибирское отделение Вычислительный центр

На правах рукописи

ВШИВКОВ Виталий Андреевич

КОМБИНИРОВАННЫЕ ЧИСЛЕННЫЕ .МОДЕЛИ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск 1996

Работа выполнена в Институте вычислительных технологий Сибирского отделения Российской Академии наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ильин В.П., доктор физико-математических наук, профессор Мушер С.Л., доктор физико-математических наук Сапожников Г.А.

Ведущая организация:

Российский федеральный ядерный центр -Всероссийский научно-исследовательский институт технической физики (г. Сне-жинск)

Защита состоится " апреля 1997 года в часов на заседании Специализированного совета Д 002.10.02 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Вычислительном центре СО РАН

(030090. Новоснбнрск-90, пр. Ак. Лаврентьева, С)

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки ВЦ СО РАН по адресу:

030090. Новосибпрск-90. пр. Ак. Лаврентьева, б

Автореферат разослан

марта 1997 года

Ученый секретарь

Спеппа. |тированного совета

Г.И.Забнняко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Для современного уровня развития физики плазмы характерно широкое использование математического моделирования, которое сформировалось в 70-х годах как самостоятельное направление — вычислительная физика плазмы. В настоящее время вычислительная физика фактически стала обязательным инструментом исследования плазменных процессов. Этому способствовали следующие объективные обстоятельства: сложность поведения плазмы как системы взаимодействующих частиц с возбужденными коллективными степенями свободы, многомерность и богатство плазменных явлений, разномасштабность пространственных и временных характеристик. К другим причинам, которые способствовали значительному прогрессу вычислительной физики, следует отнести настоятельные потребности при исследованиях космического пространства и проблемы управляемого термоядерного синтеза. Важным обстоятельством развития математического моделирования в физике плазмы явилась возможность сформулировать и численно решить ряд важных одно- и двумерных задач на основе общефизических принципов и фундаментальных уравнений. К последним необходимо отнести уравнение Лиувилля, кинетические уравнения, в том числе и кинетическое уравнение Власова для бесстолкновительной плазмы, которое рассматривается вместе с уравнениями Максвелла. Введение определенных упрощающих предположений, обоснованность которых также является предметом изучения вычислительной физики, позволило получить для бесстолкновительной плазмы комбинированные или, иначе, кинетико-гидродинамические модели. В этих моделях для описания одной из компонент плазмы используется кинетическое уравнение Власова, а для других компонент — уравнения гидродинамического, типа.

Так как кинетическое уравнение зависит от большого числа переменных, то практически единственным методом его решения в нестационарных задачах с более чем одной пространственной переменной является метод частиц. Для решения уравнений гидродинамического типа и уравнений Максвелла вводится пространственная сетка, через которую осуществляется связь сеточных функций с функциями от кинетического уравнения. Такой подход берет свое начало от

работ О.Бунемана и Дж.Доусона. Решающий вклад в развитие методов численного моделирования плазменных явлений в нашей стране внесли A.A.Самарский, Н.Н.Яненко, Ю.А.Березин, В.С.Имшенник, Ю.Н.Днестровский, Ю.С.Сигов, а также их коллеги и ученики.

Использование метода частиц для решения кинетического уравне- • ния Власова предъявляло и предъявляет самые высокие требования к производительности ЭВМ. Кроме того, данный метод обладает рядом недостатков. К этим недостаткам можно отнести, например, невозможность одновременного выполнения закЬнов сохранения энергии и импульса. Поэтому существует необходимость в более глубоком обосновании и изучении самого метода частиц, свойства которого фактически неотделимы от свойств самих уравнений. Развитие вычислительной техники с появлением многопроцессорных ЭВМ требует создания новых алгоритмов, позволяющих проводить распараллеливание вычислительного процесса.

Цель работы состоит в исследовании свойств метода частиц в применении к задачам динамики разреженной плазмы и создании новых алгоритмов метода частиц, реализации созданных алгоритмов на вычислительных системах современной архитектуры, а также в исследовании на их основе конкретных проблем, представляющих научный и практический интерес: динамика ударных волн в бесстолк-новительной плазме, движение релятивистского электронного пучка, взаимодействие бесстолкновительных плазменных потоков, устойчивость границы облака плотной плазмы, взаимодействие лазерного импульса с плазмой и тонкой фольгой.

Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации без ссылок на чужие работы, являются новыми и состоят в следующем:

- в методе частиц введено понятие сеточного ядра, позволяющее строить модификации метода частиц для любой пространственной сетки; на основе сеточного ядра проведена классификация существующих модификаций метода частиц;

- рассмотрена аппроксимация методом частиц уравнений Власова; даны оценки отклонения плотности заряда в методе частиц от моделируемой плотности в зависимости от шага пространственной сетки, вида сеточного ядра и числа частиц в ячейке; рассмотрено явление "самодействия" частиц и предложен алгоритм, минимизирующий его;

- предложен метод вычисления плотности тока, позволяющий избежать решения уравнения Пуассона и увеличивающий точность решения;

- создана гибридная численная модель, в которой ионы описываются кинетическим уравнением, а электроны - уравнениями гидродинамического типа; на основе этой гибридной модели построен комплекс программ для моделирования 2Б и ЗБ разлета плазменного облака в замагниченном фоне; исследованы процессы распространения ударных волн в разреженной плазме с магнитным полем и без магнитного поля со сверхкритическими параметрами;

разработан алгоритм и создана соответствующая программа для изучения различных режимов-транспортировки релятивистских электронных пучков. Создан кинетический релятивистский электромагнитный код, на основе которого проведено моделирование взаимодействия мощного релятивистского импульса с плазмой и тонкой фольгой; * .

• - проведено распараллеливание алгоритмов с учетом конкретной архитектуры используемых многопроцессорных ЭВМ,

Методическое единство работы обеспечивается общим подходом к решению рассматриваемых нестационарных задач динамики плазмы путем "построения, численных моделей на основе различных модификаций метода Частиц в ячейках, учитывающих основные закономерности изучаемых физических явлений.

. Научная и практическая ценность. В настоящее время метод частиц в ячейках является фактически единственным методом, с помощью которого Проводится численное моделирование нестационар-■ ных задач физики разреженной плазмы. Но более широкому использованию этого метода мешают большие требования к памяти ЭВМ, поскольку качество расчетов во многом зависит от числа используемых модельных частиц, и к быстродействию ЭВМ, что связано, в первую очередь, с большой разницей во временных и пространственных масштабах ионной и электронной компонент плазмы. Для преодоления этих и других недостатков метода частиц используются различные модификации ьгетода, учитывающие специфику изучаемого явления. Довольно часто, например, при моделировании используется нефизическое, отношение массы иона к массе электрона. Другой путь заключается в применении гибридных моделей, в которых одна из компо-

нент плазмы описывается с помощью гидродинамического приближения и соответствующие уравнения решаются конечно-разностными методами. Недостатки различных модификаций метода частиц вызывают попытки тем или иным способом совершенствовать метод и приспосабливать его к конкретным физическим задачам.

Полученные в диссертации результаты имеют научный и практический интерес. Проведенные теоретические исследования вносят вклад в теорию метода частиц в ячейках, результаты этих исследований позволяют создавать устойчивые и точные алгоритмы для моделирования конкретных физических, явлений. Разработанные комбинированные методы могут быть использованы для различных задач физики плазмы; в которых коллективные процессы играют преобладающую роль.

Несмотря на значительные успехи в области исследования окружающего космического пространства, осуществляемого в научных и прикладных целях с помощью искусственных спутников Земли и орбитальных станций, существует ряд актуальных проблем, исследование которых невозможно или ограничено в силу косвенного характера получаемой информации. Это относится, в первую очередь, к явлениям взрывного характера в магнитосфере Земли, вспышкам Сверхновых звезд и торможению их остатков межзвездной средой. В данных случаях численное моделирование является, по. существу, единственным способом изучения подобных процессов и проверки существующих теоретических моделей и. гипотез. Полученные в диссертации результаты по распространению ударных волн могут быть использованы для интерпретации экспериментов по проблемам управляемого термоядерного синтеза, изучении отошедшей ударной волны при обтекании магнитосферы Земли и т.д. Проведенные исследования, позволившие выявить основные закономерности бесстолкно-вительного взаимодействия плазменных потоков в магнитном поле, структуры и характера генерируемых при этом возмущений, стабилизации желобковой неустойчивости границы разлетающегося плазменного облака фоновой плазмой имеют важное значение для теории космической плазмы и интерпретации результатов натурных и лабораторных экспериментов с лазерной плазмой. Результаты расчетов релятивистского электронного пучка представляют интерес для экспериментов по вакуумной транспортировке электронных пучков, а

также для работ по генерации СВЧ-излучёния. Модёлирование взаимодействия короткого лазерного импульса с плазмой имеет важное значение для задач ускорения, заряженных частиц и повышения частоты лазерного излучения.

Достоверность полученных результатов подтверждается многочисленными .сравнениями с данными лабораторных экспериментов, српбставлениями' с результатами работ других авторов, тестированием и контролем точности проведенных расчетов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной школе по численным методам в физике" плазмы (Звенигород 1974), IV Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Киев- 1976), VI Международ. ной, конференции по численным методам в гидродинамике (Тбилиси 1978), Всесоюзных школах-семинарах по численным методам механики вязкой жидкости (Томск 1980, Ленинград 1982, Новосибирск 1984, 1994, Свердловск 1988), Всесоюзных конференциях "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (Пермь 1986, Звенигород 1988; 1990), Всесоюзной школе "Методы аэрофизических исследований'' (Новосибирск 1986), Всесоюзной конференции "Современные проблемы физики и ее приложений" (Москва 1987), Всесоюзных конференциях по. физике'плазмы-и УТС (Звенигород 1988, 1990, 1992, 1994, 1995,1996), IV Всесоюзной школе-семинаре по'математическим.моделям ближнего космоса (Дивногорск 1988), II и III Всесоюзных конференциях по математическим проблемам ближнего космоса (Москва 1988, 1990),. II и III Всесоюзных совещаниях по 'лабораторному моделированию космических явлений (Новосибирск 1988, 1990), Международной конференции по плазменной астрофизике (Телави 1990), Всесоюзной конференции по актуальным проблемам'вычислительной и прикладной математики (Новосибирск 1990). Международной конференции по математическим моделям и численным методам механики.сплошной среды (Новосибирск 1991, 1996). Забабахинских научных ■ чтениях (Снежинск 1995), Международной конференции по физике плазмы и УТС (Инсбрук 1992), Межреспу-' бликанской школе-семинаре по численным методам механики вязкой . жидкости (Новосибирск 1992), Межреспубликанской школе-семинаре по комплексам программ математической физики (Новосибирск 1992. 1994); Межреспубликанском совещании по численным методам в за-

дачах волновой гидродинамики (Новосибирск 1992, 1994), Совещании по природным и антропогенным катастрофам (Новосибирск 1993,

1995), Сибирской конференции по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск 1994), 21 Европейской конференции по УТС и физике плазмы (Монпелье 1994), Международной школе-семинаре "Аналитические методы и оптимизация процессов жидкости и газа" (Арзамас 1994), Международном совещании-семинаре "Сопряженные задачи физической механики и экология" (Томск 1994), Международной конференции "Проблемы защиты Земли от столкновения с опасными космическими объектами" (С'нежинск 1994), Международной конференции "Прикладная математика, вычисления и приложения" (Новосибирск 1995), Международной конференции "Математические модели и численные методы механики сплошных сред" (Новосибирск

1996), Международной конференции "Параллельные вычисления и математическое моделирование" (Саров 1996), Всероссийской конференции "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач хматематической физики" (Пущино 1996).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 65 печатных работ, в том числе 1 монография. Основные результаты достаточно полно изложены в [1-52].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитируемой литературы из 191 наименования. Объем диссертации составляет 274 страницы, включая 12 таблиц в тексте и 94 рисунка на 80 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обсуждается актуальность рассматриваемой в диссертации тематики, цель работы, дается краткое содержание глав диссертации, обосновываются достоверность и новизна полученных научных результатов.

В первой главе рассмотрены алгоритмические аспекты метода частиц в ячейках. Рассмотрены вопросы восстановления плотности заряда и тока по положениям и скоростям частиц, аппроксимации силы, точности метода. Рассмотрение ведется на основе ядра Л преобразования функции распределения от дискретной по пространству к непрерывной. Введенное далее сеточное ядро позволяет аппроксимировать полученные функции в узлах сетки.

Описание модельных частиц при помощи ядра R впервые было сделано в работах Лангдона А.Б. и Сигова Ю.С. Введенные ядра использовались ими для исследования влияния дискретной модели на дисперсионные свойства плазмы, для проверки выполнения локальных законов сохранения. В диссертации сеточные ядра R использованы для выяснения точности метода.

В методе частиц функция распределения частиц по скоростям имеет вид:

f(r,v,t) = £ Н(г,г^))5(ь - Vj(t)), i= i

где J - полное число частиц, R(f, ?) - функция, характеризующая величину и форму частицы, а также распределение плотности заряда внутри частицы. В принципе, ядро R может быть любым, лишь бы оно выполняло свою главную задачу - проводило сглаживание сил и устраняло близкие взаимодействия, которые не играют существенной роли в разреженной плазме. Однако необходимость простой реализации н аппроксимации приводит к тому, что в практических расчетах используется небольшое число прстейших ядер.

Если заданы координаты и скорости частиц, то, пользуясь ядрами R, можно найти плотности заряда и тока всюду в расчетной области, а по ним определить значения электрического и магнитного полей. Поскольку уравнения Максвелла решаются в большинстве случаев конечно-разностными методами, то достаточно знать значения плотностей заряда и тока в узлах пространственной сетки. В диссертации предлагается простой алгоритм, позволяющий аппроксимировать плотности заряда и тока в узлах сетки, при котором полный заряд частиц автоматически сохраняется. В этом случае плотности вычисляются так же, как и раньше, но ядро R заменяется на сеточное ядро R. Сеточное ядро связано с исходным ядром в простейшем одномерном случае формулой

1 Н/2

Rix) = _ f Rix- x')dx', —h/2

где h — шаг пространственной однородной сетки. В главе приводятся примеры сеточных ядер, соответствующих некоторым исходным ядрам.

В этой же главе рассмотрен вопрос аппроксимации сил, действующих на отдельные частицы. Введена функция 5, характеризующая способ интерполяции силы. В зависимости от вида функции, Б .и сеточного ядра Л,. получаются различные формулы для -вычисления силы. Приведены примеры'. ■ . , ■ ' ,

Используемые на практике модели частиц классифицируются по -способу восстановления плотности -заряда (и тока).- Описаны известные модели N0?, РЮ, СЮ,* дада связь их с'сеточным ядром Л.

При вычислениях методом частиц погрешность рёшения возникает на следующих этапах: , ' . .

1) Погрешность при переходе от непрерывной функции распределения к дискретной. Уже при этом переходе возникает неустранимая погрешность, зависящая от числа частиц в пространственной ячейке, от размера и формы частиц, от шага сетки.

2) Погрешность, возникающая лри движении частиц, даже если уравнения движения решаются точно. •

3) Погрешность, которая появляется. изтза того, что уравнения . движения решаются разностными методами.

В работе рассмотрена погрешность/вычисления плотности заряда в методе частиц, возникающая при переходе от непрерывной функции распределения к дискретной. Пусть р{х) - исходная плотность : заряда, определенная на отрезке [О,Ь\ и пусть частицы распределены, так, что / 1 р{х)(1х — д. Плотность в узлах сетки х'к определяется по формуле />к — цЕ Л{т-к — х}). При.этих предположениях получим, что

5к = \рк-рЫ1<1{ПЩ + £

а2Р

сж

йх

+

дх2

+СА]

таг[0,Ь]

где £][/£] - сумма модулей всех разрывов функции Л, Д1 частных случаях получаем:

а) ХОР . -

Н. В

х ^ (}ср , ^

ок < тг Н--тахх

к ~ N 24

д2Р

дх2

6) PIC

Sk <

max

m+12maX'

1 h2

x dx2

ôV

где pcp - средняя плотность заряда на отрезке [О, L], N — J/К - среднее число частиц в ячейке. Из этих формул видно, что погрешность убывает при увеличении числа частиц в ячейке, причем в модели NGP пропорционально 1/7V, а, в модели PIC пропорционально 1/Л'2. Это говорит о том, что с точки зрения восстановления плотности более предпочтительной является модель PIC.

Поскольку заряд частицы распределяется по узлам сетки, находящихся в окрестности частицы, а электрическое и магнитное поля вычисляются по значениям плотности заряда и тока в узлах сетки, то возникает так называемая "самодействие", т.е. сила, с которой частица действует сама на себя. В §3 предлагается способ существенного уменьшения "самодействия" частиц.

В следующем параграфе рассмотрен вопрос о согласовании вычисления плотности тока и плотности заряда как между собой, так и с уравнениями Максвелла. Предлагаемый способ вычисления плотности тока позволяет избежать решения уравнения Пуассона на каждом шаге по времени, что особенно важно для нестационарных трехмерных задач. Одновременно этот способ устраняет нефизические токи, которые могут привести к неустойчивости и ошибкам в расчетах.

В последнем параграфе этой главы приведено исследование, отражающее взгляды автора на проблему устойчивости в. методах решения задач физики плазмы. Рассматривается проблема шланговой неустойчивости альвеновских волн. В приближении Чу-Гольдбергера-Jloy получена система, уравнений являющаяся неустойчивой при линейном анализе устойчивости. В связи с этим все конечно-разностные схемы, построенные для этой системы уравнений, также являются неустойчивыми. Рассмотрено несколько методов решения полученной системы уравнений. Делается вывод, что лучшей схемой является та, у которой инкременты возрастания гармоник наиболее близки к инкрементам возрастания соответствующих гармоник исходной системы дифференциальных уравнений.

Во второй главе рассматриваются различные гибридные одномерные модели, с помощью. которых решаются задачи об эволюции

ударных волн в плазме без магнитного поля и в магнитном поле, а также задача о движении релятивистского электронного пучка в вакууме. Приводятся соответствующие схемы расчета.

В первом параграфе решается задача о распространении волн большой амплитуды и о распаде произвольного разрыва плотности ионов в неизотермической плазме, когда температура электронов значительно превышает температуру ионов (Те 2]). Для решения этих задач выбрана комбинированная модель, в которой рассматривается движение только ионной компоненты, а плотность электронов описывается распределением Больцмана р(г) = раехр(ар/Те). Применение такой комбинированной модели вызвано очень большой разницей в характерных временах движений электронов и ионов. Необходимость использования метода частиц возникает вследствие того, что гидродинамическое описание ионно-звуковых волн в неизотермической плазме с Т; = 0 справедливо только для волн сравнительно небольшой амплитуды

При больших амплитудах и скоростях регулярная солитонная структура волн разрушается и возникает многопотоковое течение. Расчеты показали, что при увеличении амплитуды импульса сжатия происходит перестройка структуры волн. Если при малых амплитудах волна движется с образованием солитонов, то при больших амплитудах происходит опрокидывание переднего фронта и появляется группа частиц, обгоняющих передний фронт. На профиле потенциала образуется уходящее вперед характерное "подножие". При еще больших амплитудах начальное сжатие непрерывно размывается без образования резкого фронта.

При изучении распада произвольного разрыва плотности ионов начальные условия задавались в виде

Здесь С - величина перепада плотности, хц - положение разрыва. Исследование эволюции разрыва плотности ионов в неизотермической плазме показало, что в зависимости от отношения плотностей С существуют четыре качественно различных режима распада разрыва и образования ударной волны:

(ртах <9* = 1.26Те/е,и < 1.58{Те/ггц)1/2.

С- 1

1) При С < 5 образуется осцилляторная ударная волна, опрокидывания фронта и перемешивания частиц не происходит.

2) 5 < С < 13. При этих амплитудах происходит опрокидывание ударной волны с пульсационным отражением частиц и образованием подножия. Основная волна имеет резкий передний фронт.

3) С > 13, но потенциал за ударной волной <р < 2.4. В этом случае образуется ударная волна с резким фронтом между основной волной и подножием, профиль потенциала не имеет осцилляций, происходит непрерывное отражение частиц (рис. 1).

4) Если перепад исходной плотности становится таким, что (р становится больше 2.4, то образования ударной волны не происходит, образуется пучок частиц, который летит в фоновой плазме (рис. 2).

Во втором параграфе представлены алгоритм и результаты численного решения об одномерных нестационарных ударных волнах, распространяющихся поперек магнитного поля в разреженной плазме. В такой плазме ударные волны с амплитудами, ниже некоторых критических, могут быть описаны уравнениями двухкомпонентной газодинамической модели плазмы, причем необходимая для формирования таких волн диссипация обуславливается рассеянием электронов на флуктуациях электромагнитного поля. По мере увеличения амплитуды крутизна профиля плотности частиц в волне и, соответственно, скачок потенциала возрастают. Когда амплитуда достигает критического значения, происходит опрокидывание волны и формируется область многопотокового течения, которая должна рассматриваться на основе кинетических уравнений. При изучении таких ударных волн необходимо рассчитывать движение как ионов, так и электронов. Однако для решения такой задачи использовать метод частиц весьма затруднительно. Это связано, во-первых, с тем, что для получения хорошей точности расчета требуется большое число частиц, а во-вторых, с тем, что существует большая разница во временных масштабах движения ионов и электронов.

Эта ситуация может быть упрощена, так как электронную компоненту можно описать уравнениями газодинамического типа, поскольку движение электронов тесно связано с силовыми линиями магнитного поля, а для расчета движения ионной компоненты предлагается следующий комбинированный метод. В областях, где возможно газодинамическое описание, используются уравнения плазмы как сплош-

ной среды и соответствующие численные алгоритмы, а в областях, где такое описание невозможно - метод частиц. Экономия памяти и машинного времени при этом оказывается весьма значительной.

Задача ставится следующим образом. В начальный момент времени задается неподвижный разрыв плотности плазмы и магнитного поля. Область решения разбивается на подобласти в зависимости от того, каким методом в ней будет решаться задача. Расчеты показали, что распад такого разрыва в зависимости от величины разрыва С происходит различным образом: а) при С < 12 - ламинарный режим, б) при 12 < С < 25 - режим с пульсирующим выбросом быстрых частиц, в) при С > 25 происходит непрерывный выброс быстрых частиц.

В третьем параграфе описан алгоритм и приведены результаты расчетов о движении косой ударной волны, т.е. волны, распространяющейся под углом к магнитному полю. Физические предположения о замагниченности электронов и возможности описания их уравнениями гидродинамического типа те же, что и в предыдущем параграфе. Но это задача уже требует для своего решения всех трех компонент магнитного и электрического полей, а также учета трех компонент скорости частиц (ионов) и электронов. В работе приведен подробный вывод уравнений для решения этой задачи и схема решения. Описаны результаты расчетов.

В четвертом параграфе моделировалось движение релятивистского электронного пучка в вакуумной камере. Как и в предыдущих задачах, здесь необходимо решение кинетического уравнения, поскольку при движении пучка могут появляться отраженные электроны и возникать многопотоковое течение. Для стационарных задач прямое применение метода частиц достаточно эффективно, метод позволяет получить довольно высокую точность при небольших затратах машинного времени. Нестационарные задачи гораздо более трудоемки. Но из-за сравнительно малой длительности мощных релятивистских электронных пучков нестационарность для них часто оказывается принципиально важной, причем наряду с нестационарностью движения частиц необходимо, вообще говоря, учитывать и эффекты запаздывания для электрического и магнитного полей. Как и в предыдущих параграфах, физические предположения позволяют упростить математическую модель и в результате этого испояьзо-

вать одномерный метод частиц. Основным из этих предположений является наличие сильного внешнего магнитного поля, в котором частицы движутся практически вдоль силовых линий. Такая постановка задачи достаточно реалистична, поскольку во многих экспериментальных установках специально создается сильное поле, предопределяющее вид траекторий электронов.

Движение электронного пучка рассматривается в вакуумной камере, имеющей вид круглого цилиндра конечной длины, на стенках которого задан нулевой потенциал. Внешнее магнитное поле однородно и направлено вдоль оси камеры. В начальный момент времени пучок, имеющий осевую симметрию, начинает инжектироваться через один из торцов цилиндра. Пучок в дрейфовой камере представляется в виде набора трубчатых пучков, каждый из которых имеет пренебрежительно малую толщину и учитывается при решении уравнений Максвелла, как граничное условие. Задавая надлежащим образом количество трубчатых пучков, их токи и радиусы, можно промоделировать фактически произвольный профиль инжектируемого тока. Сами трубчатые пучки моделируются частицами, которые в данном случае имеют вид колец.

При прохождении трубчатого пучка через цилиндрическую камеру в зависимости от величины инжектируемого тока существуют два режима движения. При малом инжектируемом токе весь пучок проходит через дрейфовое пространство. Начиная с некоторого критического тока характер движения меняется. Часть электронов отражается (образуется так называемый виртуальный катод), так что проходящий ток не превышает критического. На рисунке 3 приведе-

менты времени. Расчеты показали, что величина критического тока для данной камеры совпадает с критическим вакуумным током для трубчатого пучка в бесконечно длинной системе. Положение виртуального катода зависит от величины инжектируемого тока.

Проводились расчеты движения трубчатого пучка в камере, в которой радиус сечения менялся скачкообразно, а также движения двух пучков, движущихся навстречу друг другу. Для моделирования пучка с распределенным по сечению инжектируемым током были проведены расчеты с трубчатыми пучками, вложенными друг в друга.

но положение частиц в плоскости

Этот расчет показал, что отражение электронов во внутренних пучках происходит сильнее, чем в наружном, и часть пучка, которая достигает коллектор, фактически имеет трубчатое сечение, что соответствует теоретическим представлениям о движении пучка.

Третья глава посвящена созданию алгоритмов и схем для исследования процессов и механизмов бесстолкновительного взаимодействия взаимопроникающих плазменных потоков в магнитном поле. Эти процессы играют основную роль в динамике таких нестационарных космофизических явлений, как вспышки Сверхновых звезд, солнечные вспышки, обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли, активные эксперименты в космосе, а также в лабораторных экспериментах с лазерной плазмой. Теория данных процессов далека от завершения и слабо подтверждена экспериментальными исследованиями. Проблема бесстолкновительного взаимодействия сверхальвенов-ских потоков состоит в снижении эффективности обмена энергией за счет продольного электрического поля и развития двухпотоковых не-устойчивостей. Общий подход к решению задачи релаксации потоков при М;1 > 1 основан на учете конечности ларморовского радиуса ионов, что приводит к необходимости кинетического описания ионной компоненты плазмы. В диссертации построены алгоритмы для изучения динамики взаимодействия плазменных потоков в магнитном поле на примере решения задачи о бесстолкновительном расширении облака плотной плазмы в замагниченном фоне.

Постановка рассматриваемой задачи приведена в первом параграфе и состоит в следующем. В начальный момент времени t = 0 точечный взрыв формирует облако плотной плазмы, содержащее N частиц, кинетическая энергия которых равна И'о. Окружающее пространство заполнено плазмой с плотностью п», погруженной в магнитное поле В о = const. Приведена двумерная (в координатах г, z) гибридная модель разлета плазменного облака при наличии аксиальной симметрии течения. Начальные данные и граничные условия задачи выбирались в соответствии с условиями лабораторных экспериментов (стенд КИ-1). Дано подробное описание алгоритма расчета, основанного на использовании метода частиц для решения уравнения Власова и конечно-разностных схем расщепления для решения уравнений Максвелла и гидродинамических уравнений для электронной компоненты плазмы. Решение уравнений движения ионов осуществлялось

с использованием схемы Бориса, которая состоит в решении уравнений в декартовых координатах с последующим пересчетом координат и скоростей частиц в цилиндрические координаты. Точность расчета контролировалась по сохранению энергии.

Для интерпретации полученных результатов создан комплекс программ по графической диагностике решений, позволяющий строить поверхности и изолинии скалярных величин (рис. 4,5), распределение частиц на фазовых и координатных плоскостях. Разработаны программы представления решений в виде компьютерных фильмов.

По созданному коду была проведена серия вычислительных экспериментов, показавшая его работоспособность и позволившая получить новые физические результаты. Так, было установленно, что при Ма > 1 облако эффективно взаимодействует с фоном, вытесняя его из объема радиусом Я > Я, сжимая его до плотности п ~ 2га* и ускоряя до скоростей V ~ уд. Ускоряющее поле Б,р возникает при сжатии магнитного поля Вд на масштабах порядка радиуса торможения облака. Анализ энергетических характеристик изучаемого процесса показал, что основная часть энергии, теряемая облаком при разлете, переходит при больших числах Ма в кинетическую энергию фона, в то время как при малых числах Ма наблюдается существенный рост магнитной энергии.

Взаимодействие облако-фон приводит к формированию ударных волн и различного типа колебаний, которые поддерживаются движущимся плазменным облаком, играющим роль поршня, и распространяются в фоновой плазме на значительные расстояния. Плазменное облако является источником этих возмущений. При анализе структуры сигналов, формируемых в процессе взаимодействия при Мд > 2.5, рассмотрены две области, разделенные сферой радиуса торможения Я. Показано, что на расстояниях Я < Я происходил обмен энергией между потоками и создавались начальные возмущения плотности Ап и магнитного поля АВ. На масштабах К > Я наблюдалось распространение волн, генерируемых в результате этого взаимодействия. В расчетах в широком диапазоне углов 9 = 0 -г 90° (по отношению к внешнему полю) на масштабе Я < Я наблюдалось торможение ионов фона, приводящие к формированию сильного возмущения в виде аксиально-симметричного слоя сжатой плазмы, т.е. сжатым магнитным полем. Данный процесс приводил к формированию плазменной

каверны, области масштаба К с пониженной концентрацией плотности п < л,, коррелирующей с магнитной каверной. В результате взаимодействия на расстоянии В. > Я формировалось возмущение фона, структура которого зависела от угла в. При численном моделировании получено, что возмущение, распростроняющееся в фоновой плазме под углами, близкими к 90°, имеет вид тонкой оболочки толщиной Д ~ Я Я. Нелинейное укручение генерируемой волны сопровождается ее опрокидыванием и формированием многопотокового течения.

Было рассмотрено влияние неоднородности фона на процессы торможения плазменного облака. В случае неоднородного фона наблюдалось существенное ослабление взаимодействия облака с фоновой плазмой и формирование несимметричной магнитной каверны. Тип волны, генерируемый в неоднородной замагниченной фоновой плазме под действием сферически расширяющегося плазменного облака, зависит от угла наблюдения и величины начального числа Маха-Альвена. По данным расчетов, в области плотного фона генерировалась уединенная волна, тогда как в области более низкой концентрации плазмы (малые Мд) возбуждались интенсивные колебания магнитного поля (типа электронных вистлеров). Наблюдалось перемещение центра тяжести разлетающегося плазменного облака в сторону менее плотного фона (эффект всплывания).

В последнем параграфе этой главы на основе гибридной модели были созданы алгоритмы и программы для исследования устойчивости границы 'плазменного облака, расширяющегося в замагничен-ном плазменном фоне. Данная задача возникла в связи с имеющимися результатами натурных экспериментов с облаками щелочных металлов в магнитосфере Земли, в которых разлет плазменного облака сопровождался развитием желобковой неустойчивости на его границе. Аналогичные результаты были получены в лабораторных экспериментах с лазерной плазмой на стенде КИ-1. Известно, что пространственно-временные масштабы этого явления соответствуют условиям отсутствия замагниченности ионной компоненты плазмы. Поэтому в качестве исходной модели для исследования устойчивости границы плазменного облака выбрана гибридная модель. Рассмотрена задача разлета цилиндрического сгустка, разлетающегося поперек магнитного поля с неоднородным по углу начальным распределени-

ем скорости: ~ а вт /Зр. Приведены метод решения и подробная схема. Задача решалась в (г — 9) геометрии. Для уравнений движения частиц использовалась схема Бориса, для решения уравнений для магнитного поля использовалась неявная схема с реализацией ее методом продольно-поперечной прогонки. Из-за периодичности области решения по углу при реализации схемы использовался метод циклической прогонки.

Результаты численного моделирования показали, что динамика обмена энергией и эволюция первоначальных возмущений границы плазменного облака зависят от значений Ма- При этом можно выделить два характерных режима, зависящих от Ма {Ма > 1 и Ма < 1)-Основная часть энергии, теряемая облаком при разлете, переходит при больших числах Маха-Альвена в кинетическую энергию фона, в то время как при Ма < 1 наблюдается существенный рост энергии магнитного поля. При этом для Ма < 1 получен рост возмущений границы облака, образование струйных течений и их вращение, совпадающее с направлением вращения иона в магнитном поле. Переход от режима развития возмущений границы облака к режиму их затухания наблюдается при увеличении плотности фоновой плазмы и, следовательно, числа Маха-Альвена Ма- Исследование устойчивости границы плазменного облака, проведенное при незначительной флуктуации в начальном распределении его ионов (для а ~ 0) показало, что при Ма = 3 > 1 разлет облака остается аксиально-симметричным, с образованием на границе слоя сжатой плазмы. При Ма = 0.5 < 1 мелкомасштабные возмущения со временем раскачиваются и граница облака становится нерегулярной. В проведенных исследованиях при различных Ма установление, что независимо от остальных варьируемых параметров, подавление возмущений границы плазменного облака происходит при Мд > 1, а их рост и образование струйных течений - при Ма < 1 ■ Динамика струйных течений подчиняется законам подобия, причем основным критерием подобия является число Маха-Альвена.

В четвертой главе рассмотрены схемы и алгоритмы для моделирования трехмерных течений плазмы, а также реализация этих алгоритмов на многопроцессорных ЭВМ. В первом параграфе описан алгоритм решения задачи о взаимодействии мощного лазерного импульса с плазмой. При этом при определенных параметрах воз-

можно возбуждение кильватерных плазменных волн, что привлекает большое внимание исследователей в связи с задачами ускорения заряженных частиц.

Исходная система уравнений состоит из релятивистских уравнений движения для ионов и электронов и полной системы уравнений Максвелла. Задача решается в параллелепипеде. В начальный момент времени плазма, находящаяся в этом объеме, неподвижна, а электрические и магнитные поля равны нулю. С одного из торцов параллелепипеда в плазму входит лазерный импульс, имеющий определенные размеры и энергию. Характерный размер этой задачи -длина лазерного импульса Л. Если шаг сетки выбрать порядка Л/8, то для решения задачи в области размером 60А х ЗОЛ х ЗОЛ требуется эйлерова сетка 480 х 240 х 240 ячеек. Задача решается методом частиц, поэтому в каждую ячейку нужно поместить 16 -г 54 частиц, каждая из которых характеризуется 7 числами (заряд, 3 компоненты скорости и 3 координаты). Таким образом задача требует больших ресурсов памяти компьютера и соответствующей производительности. Очевидно для решения этой задачи необходимо использование современных компьютеров.

В §1 изложен метод решения поставленной задачи, который использует все методические разработки, описанные в главе 1. Создан и отлажен соответствующий код. Для возможности работы на персональных ЭВМ создана двумерная модификация этого кода - программа иМКА2ДЗУ. Изложены методы реализации этой программы. В §2 приведены некоторые результаты расчетов по взаимодействию лазерного импульса с тонкой фольгой и плазмой. На рис. 6 показаны примеры взаимодействия лазерного импульса с фольгой и плазмой при круговой и линейной поляризации импульса.

В третьем параграфе рассматривается еще одна задача, требующая больших вычислительных мощностей. Это задача о моделировании разлета облака плотной плазмы в замагниченном фоне. Постановка задачи аналогична данной в предыдущей главе. Трехмерная постановка позволяет объединить задачи в (г, г) и (г, <р) геометриях. Для решения использована гибридная модель, в которой ионная компонента описывается уравнением Власова, а электронная - гидродинамическими уравнениями. Дан вывод уравнений, постановка начальных и граничных условий и их реализация в коде.

Описанию реализации кода для решения трехмерных задач на многопроцессорных ЭВМ посвящен четвертый параграф. Для решения этой задачи использовался многопроцессорный вычислительный комплекс ЕС-1068.17 (МВК), состоящий из основной машины ЕС-1066 и нескольких спецпроцессоров ЕС-2706. В расчетах было использовано 106 частиц и сетка 30 X 30 х 30. Реализация численного алгоритма тесно связана с техническими возможностями комплекса. Так, например, процессор ЕС-2706 имеет оперативную память, состоящую из 16 листов по 65536 38-разрядных ячеек. Такая разрядность обеспечивает относительную точность представления чисел до Ю-8. Поэтому в спецпроцессоре можно проводить вычисления, результаты которых слабо зависят от точности представления чисел. В нашем случае такими величинами являются координаты и скорости частиц, поскольку точность вычисления плотности заряда и тока в большей степени зависит от числа частиц в ячейке, чем от точности представления чисел. Вторым фактором, вызывающим проведение вычислений координат и скоростей частиц на спецпроцессорах, является то, что при 106 частицах на сетке 30 х 30 х 30 эти вычисления отнимают примерно 95% общего объема вычислений. Наконец, движение отдельных частиц прямо не зависит от координат и скоростей других частиц. Поэтому алгоритм движения частиц легко распараллеливается и возможно произвольное разбиение частиц на группы.

Движение частиц происходит под действием электромагнитных сил, заданных на эйлеровой сетке. Для хранения необходимых массивов величин Ех,Еу,Е2, Bx,By,Bz мы вынуждены на каждом спецпроцессоре занять 3 листа оперативной памяти. Кроме того, 4 листа заняты под накапливаемые в ячейках заряды и потоки зарядов, так что собственно под характеристики частиц мы можем оставить только 9 листов. В этом обстоятельстве заключается одно из ограничений на размер сетки. Увеличение размера сетки приведет к уменьшению количества частиц, которые сможет обработать процессор.

Далее'обсуждаются ограничения на задачу, накладываемые техническими особенностями комплекса, и связанные с этим недостатки созданной программы.

Рассматриваемая задача решалась на мультитранспьютерной вычислительной системе, состоящей из пяти транспьютеров серии Т800-20, размещенных на одной плате и персонального компьютера IBM

PC/AT 286. В работе описан метод использования системы, сделаны выводы о применимости ее для решения задач физики плазмы.

ВЫВОДЫ

1. В работе рассмотрены различные теоретические аспекты метода частиц в ячейках. Введены понятия ядра и сеточного ядра, на их основе проведена классификация модификаций метода частиц в ячейках. Исследован вопрос об аппроксимации непрерывных функций в методе частиц, показана зависимость точности метода от вида сеточного ядра, шага сетки и количества частиц в ячейке. Введены новые, ранее не использовавшиеся ядра, позволяющие существенно уменьшить "самодействие" частиц. Предложен новый экономичный алгоритм для решения самосогласованной системы уравнений Власова-Максвелла, исключающий решение уравнения Пуассона на каждом временном шаге. Рассмотрен вопрос устойчивости численных алгоритмов для решения задач физики плазмы. Введены критерии, характеризующие устойчивость алгоритмов.

2. Разработаны различного типа модификации метода частиц в ячейках, а также гибридные модели, для решения разнообразных задач физики разреженной плазмы. К ним относятся одномерная модель для исследования обыкновенных и ударных волн в неизотермической плазме без магнитного поля, одномерные гибридные модели для изучения ударных волн, распространяющихся поперек магнитного поля и под произвольным углом к нему. Разработан алгоритм решения задачи о транспортировке релятивистского электронного пучка в вакуумной камере. Построены гибридные двумерная и трехмерная модели для изучения взаимодействия потоков плазмы. Для решения этих задач созданы эффективные программы, позволяющие решать задачи на маломощных ЭВМ.

Разработаны алгоритм для решения трехмерного релятивистского кинетического уравнения Власова и программа для расчета взаимодействия лазерного импульса с плазмой. Проведено распараллеливание трехмерных алгоритмов и созданы соответствующие модификации программ.

3. На основе разработанных численных моделей проведены исследования эволюции ударных волн в плазме без магнитного поля и с магнитным полем со сверхкритическими параметрами, при которых гидродинамическое описание невозможно. Дана классификация различных режимов течения.

Проведены расчеты движения релятивистских электронных пучков при сверхкритическом инжектируемом токе. Исследовано дви-. жение этих пучков в дрейфовом пространстве переменного сечения, встречных пучков, вложенных друг в друга пучков. Найдены условия формирования виртуального катода.

Разработанные двумерные гибридные численные модели плазмы, основанные на кинетическом описании ионной компоненты плазмы и гидродинамическом приближении для электронов, использовались для изучения динамики взаимопроникающих плазменных потоков в магнитном поле и без магнитного поля. С их помощью исследованы характер и структура возмущений, генерируемых плазменным облаком в верхних слоях магнитосферы Земли. Сравнение результатов численного моделирования с данными лабораторных экспериментов на стенде КИ-1 (ИЛФ СО РАН) позволяет говорить о том, что созданные численные модели адекватно описывают изучаемые процессы и могут быть использованы при интерпретации результатов лабораторного моделирования.

С помощью программы, созданной для решения кинетического релятивистского уравнения, изучено взаимодействие мощного лазерного импульса с полностью ионизованной плазмой и с фольгой, имеющей вид тонкого плазменного слоя. Исследованы режимы с линейной и круговой поляризацией лазерного ^импульса. Установлено, что характер взаимодействия определяется отношением плазменной частоты к частоте электромагнитного импульса.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Берёзин Ю.А., Вшивков В.А. Нелинейная волна в анизотропной плазме // Численные методы механики сплошной среды, т. 2, N 3, 1971.

2. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Сильные волны в неизотермичс-ской разреженной плазме // Численные методы механики сплошной среды, т.З, N 1, 1972.

3. Березин Ю.А., Вшивков В.А. О волновых процессах в неизо-

термической плазме // ПМТФ, N 1, 1973.

4. Berezin Yu.A., Vshivkov V.A. On the firehose instability of Alfven waves // J. of Computational Physics, v.20, no.l, 1976.

5. Березин Ю.А., Вшивков В.А. О критических параметрах ударных волн в плазме // ПМТФ, N 2, 1976.

6. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Структура ударных волн включения // ПМТФ, N 5, 1976.

7. Березин Ю. А., Вшивков В.А. Сверхкритические ударные волны в бесстолкновительной плазме //IV Всес. съезд по теор. и прикл. механике, Киев, Наукова думка, 1976.

8. Березин Ю.А,, Вшивков В.А. Распад разрыва в дисперсионной среде // Численные методы в физике плазмы. М., Наука, 1977.

9. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Ударные волны произвольной амплитуды в разреженной плазме'с магнитным полем // Физика плазмы, т.З, N 2, 1977.

10. Вшивков В.А. Численное моделирование релятивистского электронного пучка // Численные методы механики сплошной среды, т.10, N 2, 1979.

11. Березин Ю.А., Брейзман Б.Н., Вшивков В.А. Численное моделирование инжекции мощного электронного пучка в вакуумную камеру с сильным магнитным полем // Препринт ИТПМ СО АН СССР, N 18, 1979.

12. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Снытников В Н. Численная кинетико-гидроцинамическая модель плазмы в магнитном поле // Численные методы механики сплошной среды, т. 15, N 3, 1979.

13. Вшивков В.А., Федорук М.П. Алгоритм расчета ударных волн в разреженной плазме, распространяющихся под произвольным углом к магнитному полю // Численные методы механики сплошной среды, т.16, N 2, 1979.

14. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. - Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1980.

15. Березин Ю.А., Брейзман Б.Н., Вшивков В.А. Численное моделирование инжекции мощного электронного пучка в вакуумную камеру с сильным магнитным полем // ПМТФ, N 1, 1981.

16. Вшивков В.А., Хенкин П.В. О течении плазмы в магнитном поле // Проблемы динамики вязкой жидкости, Новосибирск, 1985.

17. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Захаров Ю.П., Оришич A.M.;

Пономаренко А.Г., Федорук М.П. Экспериментальное и численное исследование бесстолкновительного амбиполярного механизма взаимодействия плазменных потоков при отсутствии магнитного поля // Препринт ИТПМ СО АН СССР, N 7, Новосибирск, 1986.

18. Вшивков В.А., Федорук М.П. Гибридная численная модель взаимодействия плазменных потоков // Численные методы механики сплошной среды, т.17, N 5, 1986.

19. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Захаров Ю.П., Оришич A.M. Генерация плазменных возмущений при бесстолкновительном взаимодействии сверхальвеновских потоков /•/ Препринт ИТПМ СО АН СССР, N 20, Новосибирск, 1987!

20. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Захаров Ю.П., Оришич A.M., Пономаренко А.Г., Федорук М.П. Амбиполярный механизм взаимодействия бесстолкновительных плазменных потоков // Физика плазмы, т.14, вып.1, 1988.

21. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Захаров Ю.П., Оришич A.M., Пономаренко А.Г., Федорук М.П. О бесстолкновительном торможении расширяющегося облака замагниченным фоном с градиентом плотности // Препринт ИТПМ СО АН СССР N 13, Новосибирск, 1988.

22. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Численное моделирование динамики взаимопроникающих потоков бесстолкновительной плазмы // Математические модели ближнего космоса. Тезисы докладов. Москва, 1988.

23. Вшивков В.А., Дудшщова Г.И., Захаров Ю.П., Оришич A.M., Пономаренко А.Г. О генерации магнитозвуковых возмущений в солнечном ветре плазменными облаками // Математические модели ближнего космоса. Тезисы докладов. Москва, 1988.

24. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Захаров Ю.П., Оришич A.M. Особенности структуры плазменных возмущений, генерируемых при бесстолкновительном взаимодействии потоков с умеренными числами Ma = 1 -f- 2.5. // Физика космической и лабораторной плазмы, Новосибирск, 1989.

25. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Захаров Ю.П., Оришич A.M., Пономаренко А.Г. Исследование процессов бесстолкновительного взаимодействия облака плазмы с замагниченным фоном при больших числах Альвена-Маха // Физика космической и лабораторной плазмы,

Новосибирск, 1989.

26. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Снытников В.Н. Численное моделирование генерации геомагнитных возмущений в верхних слоях атмодферы // Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики. Тезисы докладов. Новосибирск, 1990.

27. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. Fluid and particle simulation of astrophysical processes // Plasma astrophysics. Abstracts. Telavi, 1990.

28. Dudnikova G.I., Orishich A.M.,. Ponomarenko A.G., Vshivkov V.A., Zakharov Yu.P. Laboratory and computer simulation of wave generation processes in non-stationary astrophysical phenomena // Plasma astrophysics, ESA SP-311, 1990.

29. Вшивков B.A., Дудникова Г.И., Захаров Ю.П., Нечаев С.В., Оришич A.M., Пономаренко А.Г., Снытников В.Н. Лабораторное и численное моделирование влияния фоновой плазмы на желобковую неустойчивость плазменных сгустков в геомагнитном поле // Математические модели ближнего космоса, II. Тезисы докладов. Москва,

1990.

• 30. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Кинетико-гидродинамические модели динамики взаимопроникающих плазменных потоков // Моделирование в механике, т. 4(21), N 1, 1990..

31. Dudnikova G.I., Orishich А:М., Ponomarenko A.G., Vshivkov V.A., Zakharov Yu.P. Laboratory and computer simulation of generation magnetosonic disturbances in magnetospheric plasma // Proc. XX ICPIG, v. 2, Piza, 1991. .

32. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Численное моделирование динамики разлета облака плотной плазмы в замагниченном фоне // III Забабахинские научные чтения. Тезисы докладов. Челябинск-70,

1991.

33. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Численное моделирование возмущений магнитосферы Земли // Вычислительные технологии, т. 1, N 3, Новосибирск, 1992.

34. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Федорук М.П. О бесстолкновительном торможении плазменного облака в неоднородном замагниченном фоне // Физика плазмы, т. 18, вып. 12, 1992.

35. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. Generation of large amplitude plasma waves in space phenomena // Proc. ICPP, v. 3, Innsbruck, 1992.

36. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. A numerical simulation of plasma

flows a magnetic field source in the ionosphere // Intern. Conf. "Problems of'spacecraft-environments interaction". Abstracts. Novosibirsk, ' 1992, . • ' '

37. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Структура магнитозвуковых волн,- генерируемых разлетающимся плазменным облаком // Вычислительные технологии, т. 2, N 4, Новосибирск, 1993.

38. Вергунова А.А., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Федорук . М.П. Комплекс программ для расчета многопотоковых течений

плазмы в магнитцом поле // Вычислительные технологии, т. 2, N 4, Новосибирск, 1993. .

39. Вшивков В.А., Дудникова Г.Й., Малышкин В.Э. Численное моделирование трехмерных плазменных течений с использованием многопроцессорного вычислительного комплекса // Вычислительные технологии, т. 2,'N 5, Новосибирск; 1993.

. 40. Вшивков В.А., Дудникова Г.И. Об аппроксимационных свойствах метода частиц // Вычислительные технологии, т. 2, N 7, Новосибирск, 1993.

41. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. Computer simulation of plasma clouds expansion in magnetized background // Scientific Siberian, Ser.

. A,. Numerical and Date Analysis, v. 11, AMSE-Press, 1994.

42. Воронцов П.С., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Молородов Ю.И. Численное моделирование нестационарных космофизических явлений // Вычислительные технологии, т. 3, N 8, Новосибирск,

1994.

43. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. Evolution of expanding plasma in magnetized background // Pioc. 21 ECP Conf. on Control. Fusion and Plasma Physics, Montpellier, v. 3, 1994.

44. Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Молородов Ю.И. Численное моделирование динамики взаимодействия бесстолкновительных плазменных потоков // Вычислительные технологии, т. 4, N 10, Новосибирск, 1995.

45. Dudnikova G.I., Vshivkov V.A. Numerical Modeling of Expanding Plasma Clouds // Proc. XXII Intern. Conf. on Phenomena in Ionized Gases. New Jersey, USA, 1995.

46. Vshivkov V.A. Approximation Properties PIC-Method // Abstr. Intern. Conf. AMCA-95. June 20-24, 1995. Novosibirsk: NCC Publ.

1995.

47. Малышкин В.Э., Вшивков В.А., Краева М.А. О реализации метода частиц .на мультипроцессорах •// Препринт ВЦ СО РАН, N 1052, Новосибирск, 1995.

48. Вшивков В.А. Аппроксимационные свойства метода частиц в ячейках // ЖВММФ, т.36, N 4, 1996.

49. Григорьев Ю.Н., Вшивков В.А. Численные методы "частицы-в-ячейках". - Новосибирск: НГУ, 1996.

50. Askar'yan G.A., Bulanov S.V., Dudnikova G.I., Esirkepov T.Zh., Lontano M., Meyer-ter-Vehn J., Pegoraro F., Pukhov A.M., Vshivkov V.A. Magnetic Interaction of Ultrashort High-Intensity Laser Pulses in Plasmas // Proc. Int. Conf. on Plasma Phys., Nagoya. - 1996. -p. 297-300.

51. Bulanov S.Y., Dudnikova G.I., Esirkepov T.Zh., Naumova N.M., Pegoraro F., Pogorelsky I.V., Pukhov A.M., Vshivkov V.A. Controlled Wake Field Acceleration via Laser Pulse Shaping // Int. Conf. on Plasma Phys. and Controlled Fusion, Nagoya. - Program and Abstracts. - 1996. - 12Q02.

52. Bulanov S.V., Dudnikova G.I., Naumova N.M., Pegoraro F., Pogorelsky I. V., Vshivkov V.A. Charged Particle Acceleration in Nonuniform Plasmas // 7th Advanced Accelerator Concepts Workshop, Lake Tahoe, CA, October 12-18. - 1996.

Рис. 1.

Рис. 2.

■60-X-

Рис. 4. Проекция изолиний плотности плазмы и силовых линий магнитного поля на плоскость (г,г) в момент времени Ч - 0.5

Рис. 5. Пространственные распределения плотностей кинетических энергий фоновой плазмы и облака в момент времени 1 = 5. 4 мкс, МА = 9.