автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование уединенных волн в холодной столкновительной плазме

4856145

На правах рукописи

ЕГОРОВА ЕЛЕНА РЕВОЛЬЕВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

2 4 ОЕВ 2011

Якутск-2011

4856145

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Института математики и информатики ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Ильичев Андрей Теймуразович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Вабищевич Петр Николаевич, Институт прикладной математики им.М.В. Келдыша РАН, г. Москва,

доктор физико-математических наук, профессор Ромащенко Юрий Александрович, Физико-технический институт ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова», г. Якутск.

Ведущая организация: ГОУ ВПО «Московский государственный

индустриальный университет», г. Москва.

Защита состоится 22 февраля 2011 года в 16.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.306.04 при ФГАОУ ВПО «Северо-Восточный федеральный университет имени М.К. Аммосова» по адресу: 677000, г.Якутск, ул. Кулаковского, 48, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Северо-Восточного федерального университета имени М.К. Аммосова.

Автореферат разослан « к » января 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, доцент

Саввинова Н.А.

Общая характеристика работы

Диссертационная работа посвящена изучению плоскопараллельных нелинейных волновых процессов в холодной квазинейтральной плазме с учетом столкновений между ионами и электронами в двухжидкостном приближении магнитной гидродинамики плазмы. Также в работе проводится численный анализ взаимодействия уединенных волн в бссстолкновитсльной холодной плазме.

Актуальность работы. Полные кинетические уравнения, описывающие поведение плазмы, достаточно сложны для изучения. Поэтому они сводятся различными методами к макроскопическим уравнениям, которые сохраняют описания основных свойств плазмы. В частности, при учете инерции электрона в макроскопической модели плазмы возникает дисперсия. Как известно, результатом взаимодействия дисперсии волн с нелинейностью является решение типа уединенной волны. Распространение уединенных волн наблюдалось в природной плазме (например, магнитосфере Земли). Поэтому теории, описывающие уединенные волны в плазме, очень важны в том числе и для приложений.

В диссертации рассматривается одна из таких моделей - модель двух жидкостей: ионной и электронной, где учитывается инерция электронов т.е. присутствует дисперсия. При этом модели, учитывающие влияние дис-сипативных факторов, остаются мало изученными. В связи с этим возникает потребность в анализе и определении характера влияния силы трения между нонами и электронами на представленную модель.

Общая постановка задачи исследуемой полной системы уравнений даст хорошее математическое описание модели плазмы магнитосферы Зелии и солнечного ветра, что является веским аргументом для дальнейшего изучения и расширения класса задач по данной тематике, принося определенный вклад в дальнейшее развитие качественной теории исследуемых моделей.

Цель работы. Постановка и численное исследование уравнений модели квазинейтральной холодной двухкомпонентной изотропной плазмы с учетом силы трения между ионами и электронами в однородном магнитном поле.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Вывод основных уравнений с учетом столкновений между ионами и электронами;

2. Разработка численного метода для расчета эволюции уединенных волн в холодной столкновитслыюй плазме;

3. Численное исследование взаимодействия однонаправленных и разнонаправленных волн различной амплитуды к холодной бесстолкновитсльной плазме.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Выведена система уравнений для плоских волн, распространяющихся вдоль оси абсцисс, с учетом силы трения между ионами и электронами;

2. Разработана новая разностная схема для численного счета распространения уединенных волн в холодной столкновитсльной плазме;

3. Произведен численный анализ взаимодействия двух солитонов различной амплитуды в холодной бесстолкновитсльной плазме.

Теоретическая и практическая значимость работы. Областями применения, разработанных в диссертации численных методов и полученных результатов вычислительного эксперимента, являются математическое моделирование в магнитной гидромеханике плазмы, астрофизика. Так как модель довольно хорошо описывает волновые процессы в плазме магнитосферы Земли и солнечного ветра, полученные результаты в дальнейшем являются перспективными для численных исследований новых математических задач в теории двухжидкостной гидромеханики плазмы с привязкой к определенным физическим процессам в околоземной плазме.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

1. Сформулирована задача модели двух жидкостей холодной столкновитсльной плазмы в однородном магнитном поле;

2. Разработана методика численного исследования эволюции плоских волн, распространяющихся в холодной плазме с учетом диссипативных эффектов;

3. Произведен анализ взаимодействия двух солитонов различной амплитуды в холодной бесстолкновитсльной плазме, на основе ранее разработанного численного метода.

Методы исследования, достоверность и обоснованность результатов. Работа носит теоретический и вычислительный характер. Выводы и расчеты, сформулированные и выполненные в диссертации, базируются на фундаментальных законах физики плазмы, численных методов и с сопоставлением с предыдущими вычислительными экспериментами эволюции плоских волн в бесстолкновитсльной плазме.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах: семинар кафедры прикладной математики ИМИ СВФУ под руководством д.ф.-м.н., профессора В.И. Васильева (Якутск, 2010), семинар кафедры «Instability Turbulcncc Diphasic»

Института механики жидкости и твердого тела (ШКБ) при Страсбургеком университете (Страсбург, '2009 - 2010).

Результаты работы докладывались на следующих конференциях: Х1ЛП Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2006); Научная конференция «Лав-рентьсвскис чтения РС (Я)» (Якутск. 2008); Всероссийская научная конференция и Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий Российской Федерации» (Якутск, 2007, 2009).

Исследования по теме диссертации выполнены при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных исследований (проект № 0801-00125), стипендии Президента Российской Федерации для обучения за рубежом студентов и аспирантов российских вузов в 2008/2009 учебном году, гранта СВФУ для поддержки поисковых научно-исследовательских работ в 2011 году.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в б работах (1) - [6]. Из них 1 работа - в рецензируемом научном журнале, входящем в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Общий объем составляет 91 страница. Общее количество иллюстраций в работе 29. Список цитируемой литературы содержит 59 наименований.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы диссертации. проведен аналитический обзор литературы, в кратком виде приводится содержание работы.

В первой главе из уравнений Максвелла, уравнений импульса и неразрывности для ионной и электронной жидкостей выводится система уравнений движения плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, вида:

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Лп

ди

(И П дх' с1и п~1 д(Ву + В^)

<И 2 дх

dBz td ( _!дВу

dt ~ ''дх tíydx + 4 Ox dt + e дх2 ' d/i2 _ с>и . 3 dv d2Bz

~dT~ Zdi~ 1 fcdt+£~dx2''

где (Bx, By, Bz) - являются пространственными компонентами напряженности магнитного поля В = В/|Во|; а (и, v, w) - пространственными компонентами скорости ионов V; = \í/Va\ п — пг ~ плотность числа частиц ионов; Rr и R¡ - безразмерные параметры дисперсии; г - постоянная диссипации. Значения п, и, v, w, Вх, Ву, В, в состоянии покоя равны 1, О, О, 0. cosí, sin б, 0. Здесь в - угол наклона невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны.

Далее приводится вывод и анализ дисперсионного соотношения, получаемого 113 (1).

(ReRí + к2)2 У6 - (А2Я2Я? + П1Щ 4- R2;R2 cos2 в + /?„/?.; [14-

+ cos2 6(р + 1)] к2) V4 + R*,R2 cos2 ev2+

+Rl¡RiskV:í [2V2(k2 + RCR¡) - RJU - RcRiCo¡?e] 1 = 0,

где V = и/к, p - — ■ Здесь ui - частота, к - волновое число.

Наличие комплексной части говорит о появлении диссипации энергии, что ведет к распаду уединенной волны. Всего дисперсионное уравнение имеет две ветви - альфвеновскую и магнитозвуковую.

Во второй главе выполнено численное решение уравнений (1) с небольшой модификацией для удобства счета:

дп дпи

дпи д ( , Щ + Bl

n,ídudv d2v\ d2Bz -R¡1 тг-^ + «-Г-» + fi-

cto дх дх21 дх'2

Вг— - в/—-

хдх гдх

0,

Для решения (2) разработан новый адаптированный численный метод с последовательным использованием метода координатного отображения (Chester ct al.. 1977); пссвдо-спсктралъного метода Чсбышсва (Gottlieb ct al., 1984); метода, подобного неявному методу Кранка-Николсона.

Зададим начальные условия типа уединенной волны малой амплитуды (см. Бахолднн, 2004). Здесь начальные значения и, v, w, В, при х —> ос стремятся к нулю, а значения п —» 1, Ву ->sin0. Для дальнейшего счета будет удобно, если все переменные будут стремиться к нулю на бесконечности. Поэтому введем следующие замены:

В итоге граничные условия для всех переменных системы (2) будут равны нулю.

Для аппроксимации всей числовой прямой, которая является областью определения уравнений (2), используем метод координатного отображения, позволяющий отображать прямую (—оо; +оо) в конечный отрезок [—1; 1] с помощью замены переменных вида

Здесь Ь - линейный пространственный масштаб. После перехода на другую систему координат изменится способ задания производных функций.

s — р + 1, где s — п

By = By + sin 0.

Далее для интерполяции функции /(г) на отрезке [—1;+1] используем общий пссвдо-спсктральный метод Чсбышсва, где точки коллокации задаются следующим образом

Следующим важным шагом при использовании пссвдо-спсктрального метода Чсбышсва является задание матриц производных функций в точках коллокации Ху Для задания матриц производных функций первого и второго порядков воспользуемся готовыми аналитическими формулами (см. Реугс^1986). Аналитическую формулу для матриц производных третьего порядка обнаружить не удалось, поэтому в работе был сделан ее вывод.

Для численного решения уравнений (2) с переходом к движущейся системе координат (х— £) применим схему, подобную неявной схсме Кранка-Николсона, вида

Для решения системы нелинейных уравнений использовалась глобальная процедура NEQNF программного продукта Visual Numerics - International Mathematical and Statistical Library (IMSL), которая решает систему нелинейных уравнений, используя модифицированный гибридный алгоритм Пау-эла.

Вычислительный эксперимент показал, что:

• при значениях малого параметра ц 0, при ц > 0 и в > О,., где 0,: - критическое значение угла в, уединенная волна существует и схема для волны без диссипации оставляет начальное приближение почти неизменным в течение долгого времени рис.1. Для переменных с малыми значениями (см. график для w рис. 1), большое влияние начинают оказывать ошибки округления и значения величин малого порядка, ответвляющихся влево от основной волны, что приводит к расхождению значений w.

(3)

4е-005 2е-005 О

-2е-005 -4е-005

-0.5

0.5

Рис.1 Значения п, и, V, ш, Ву, Вг в момент времени ¿о = сплошная линия и Т = 1000 - штриховая линия при 9 — = Я;1 = 0.02341352, ц = 0.001, е = 0

1

= 0 -1.555,

При включении диссипации происходит распад уединенной волны рис.2. Распад имеет монотонный характер, что заметно на рпс.З, на котором показан график значений максимумов абсолютных величин и в каждый момент времени.

ЧУ:

-1 -0.5

0.5

Рис.2 Значения п, и, ш, Ву, В г: в момент времени ¿о = 0 — сплошная линия и Т = 1000 - штриховая линия при 9 = 1.555, д. = = 0.02341352, ц = 0.001, е = 1

800 1000

Рис.3 Значение тах|м| при £е [0; 1000], 0 — 1.555, = Л,;1 = 0.02341352, ц = 0.001, е = 1

При значениях малого параметра /х 0, где /г > 0 и в < 0С уединенная волна не существует, а существует при в < вс, ц < 0 рис.4.

Рис.4 Значение п для ¿п = 0 - сплошная линия, Т = 1000 -штриховая линия. Первый график слева при ц = 0.001, второй

- при р. = -0.001, в = 1.535, ГЦ = Я,:1 = 0.02341352, е = 0

В третьей главе, произведен численный расчет взаимодействия как однонаправленных, так и разнонаправленных уединенных волн различной амплитуды в бссстолкновитсльной холодной плазме.

Используя дискретизацию производных (см. Бахолдин, 2004), получаем конечно-разностную консервативную трехслойную схему (кроме первого уравнения, где схема двухслойная) с центральными разностями по пространству и по времени.

Вычисление значений п, и, V, гч, Ву. В2 на следующем временном слое производится в следующем порядке:

- по нижнему и среднему слою вычисляются значения пи для верхнего слоя;

- вычисляются значения п для верхнего слоя на основе значений п в среднем слое, а также значений пи на среднем и верхнем слое;

- вычисляются значения и на верхнем слое на основе значений п и ищ

- находятся значения ?;, и>, Ву, В2.

Из-за наличия смешанных пространственно-временных производных последние четыре уравнения аппроксимированы неявной схемой, но значения V, 111, Ву, Вг на верхнем слое находятся независимо друг от друга. Соответствующие системы линейных уравнений с неизвестными сеточными значениями решаются методом прогонки.

В качестве исходных данных для расчетов уединенных волн брались приближенные решения для случая малой амплитуды для модели плазмы с изотропным давлением электронов (см. Бахолдин еЛ а1, 1998)

Все расчеты проводятся при в > 0,. и ц > 0. На границах расчетной области ставятся жесткие граничные условия:

= 1, 4"=1,..., Вг'{1 = 0, В¿2 =0,____

Вычислительный эксперимент показал, что:

• при взаимодействии однонаправленных волн различной амплитуды после взаимодействия амплитуды волн не меняются, не обнаруживается каких-либо излучений. Сам процесс аналогичен взаимодействию уединенных волн для уравнений Кортсвсга-дс Вриза: сначала волна большей амплитуды догоняет волну с меньшей амплитудой, затем обе волны начинают обмениваться энергией, в результате чего амплитуда задней волны становится равной амплитуде передней волны, а амплитуда передней волны - амплитуде задней см. рис.5.

• При взаимодействии разнонаправленных волн различной амплитуды наблюдаются небольшие излучения см. рис.6. Излученные после взаимодействия волны на рис.6 имеют заметную амплитуду только для п, для и она невелика, а возмущения только плотности из-за малости параметра Ь2 приводят лишь к незначительным потерям энергии.

Ап 0.8

0.6

0.4 -

0.2 -

0 200 400 600 800 *

Рис.5 Ап =п—1 в различные последовательные моменты времени кривые 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. 8 соответствуют I = 0, 100, 200, 300, 350, 400, 500, 600, [ц = 0.25, = 0.2, в = 1.555, 6 = 0.1

дя 0.8 -|

0.6 -

Рис.6 Ап. = п— 1 в различные последовательные моменты времени Л = 0.25 № = 0.2, 0 = 1.555, Ь - 0.1

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Выведены уравнения для плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, в столкновитсльной холодной плазме.

2. Построен новый численный метод для исследования изменений параметров плотности, скорости, напряженности ионной жидкости холодной столкновитсльной плазмы с течением времени. Для проверки достоверности схемы были проделаны тестовые расчеты. Установлено, что влияние диссипации приводит к распаду уединенной волны.

3. Осуществлены численные расчеты взаимодействия пары солитонов в холодной бесстолкновитсльной плазме. Расчеты показывают, что солито-ны полностью восстанавливают свои прежние амплитуды после взаимодействия в однонаправленном случае, и почти полностью восстанавливаются с небольшим излучением в случае разнонаправленного взаимодействия.

; Благодарность. Автор искренне благодарит и выражает признательность научному руководителю профессору А.Т. Ильичеву, д.ф.-м.н. И.Б. Ба-холдину и профессору Л .Б. Брсвдо за постоянное внимание, ценные советы и поддержку.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

[1] Егорова Е.Р. Уравнения холодной столкновительной плазмы в гидродинамическом приближении / Е.Р. Егорова // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: естественные науки. - 2010. №1(76) - С. 40-47.

[2] Егорова Е.Р. Модель плоской волны в столкновитсльной квазинейтральной плазме с горячими электронами и холодными ионами / Е.Р. Егорова //' Материалы ХГЛ¥ Международной научно-студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс». Математика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2006. - С. 231-233.

[3] Егорова Е.Р. Нелинейные волны в бета-плазме с учетом силы трения между ионами и электронами / Е.Р. Егорова // V Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ»: Тез. докл. Якутск. Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2007. - С. 50-51.

[4] Егорова Е.Р. Модель плоской волны в бета-плазме с учетом силы трения / Е.Р. Егорова // Вестник Якутского государственного университета имени М.К. Аммосова. - 2007. - Т. 4. - С. 96-100.

[5] Егорова Е.Р. Распространение уединенных волн в холодной плазме с учетом диссипации / Е.Р. Егорова /,/ II Всероссийская научная конференция и VII Всероссийская школа-семинар студентов, аспирантов, молодых ученых и специалистов «Математическое моделирование развития Северных территорий РФ»: Тез. докл. Якутск. Филиал изд-ва ЯГУ, ИМИ ЯГУ, 2009. - С. 55-56.

[6] Егорова Е.Р. Двухжидкостная модель холодной плазмы с учетом кол-лизий/Е.Р. Егорова // Материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ - 2010» / Отв. ред. И.А. Алешковский, П.Н. Ко-стылев, А.И. Андреев, A.B. Андриянов. [Электронный ресурс]. М.: МАКС Пресс, 2010.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ХОЛОДНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ

автореферат

ЕГОРОВА Елена Револьевна

Подписано в печать 17.01.2011 г. Формат 60x84/16. Печ.л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ 4.

Отпечатано в филиале издательства СВФУ, Институт математики и информатики СВФУ. Адрес: г.Якутск, ул. Кулаковского, 48. Тел.: (4112) 496833

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЩАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Вывод системы уравнений для плоских волн.

1.2. дисперсионное соотношение.

2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ ДВИЖЕНИЙ ХОЛОДНОЙ СТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЫ

2.1. Математическая модель.

2.1.1. Проблема безграничной области.

2.1.2. Псевдо-спектральный метод Чебышева и вычисление производной третьего порядка.

2.1.3. Начальные и граничные условия

2.1.4. Переход от бесконечной прямой Ох к отрезку [-1; 1]

2.1.5. Переход в движущуюся систему отсчета.

2.2. Численная схема и дискретизация уравнений.

2.3. Структура программы и использование 1МБЬ.

2.4. Результаты вычислительного эксперимента.

2.4.1. Тестовая проверка модели без учета диссипации

2.4.2. Анализ влияния диссипации.

3. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН

3.1. Преобразование уравнений и используемый численный метод

3.2. Начальные и граничные условия.

3.3. Результаты вычислительного эксперимента.

3.3.1. Взаимодействие однонаправленных волн.

3.3.2. Взаимодействие разнонаправленных волн

К первым трудам, в которых рассматривались основные уравнения модели двух жидкостей холодной плазмы, можно отнести [52, 55]. В работе [52] рассматриваются частные случаи распространения вдоль однородного магнитного поля альфвеновских волн большой амплитуды, а в работе [55] рассматриваются частные решения существования устойчивых одномерных волн конечной амплитуды, плоскость распространения которых перпендикулярна к магнитному полю. Далее до конца шестидесятых годов идет ряд исследований, рассматривающих частные решения, с небольшими дополнениями и с разными аспектами постановки задачи [28, 29, 34, 39, 57, 58, 59].

В [28] рассматриваются частные решения для волн большой амплитуды, распространяющихся перпендикулярно к магнитному полю, в бесстолкнови-тельной плазме с изотропным давлением, где уравнения полностью решаются с помощью простой численной квадратуры.

В [58] рассматриваются свойства уравнений двухжидкостной модели плазмы, где ищутся решения для нелинейных волн одиночного импульса, находящихся между альфвеновской волной и быстрой магнитозвуковой волной, с помощью анализа законов сохранения, которые являются интегралами основных уравнений.

Продолжая исследования [28, 55], в работе [34] рассматривается та же постановка задачи, что и в [55], но с добавлением изотропного давления в исходную модель. В итоге автор приходит к выводу, что с учетом данного эффекта в плазме существуют два различных типа уединенных волн.

Также следует отметить работу [47], где рассматриваются уравнения распространения волн конечной амплитуды в произвольном направлении к магнитному полю. В работе [47], в дополнение к [52] и [55] приводятся частные решения для наклонных направлений распространения волн, в зависимости от задаваемых в модели параметров.

В работе [57] изучается эффект разделения зарядов в структуре бесстолк-новительных магнитных волн сжатия. В исходной модели, в отличие от модели простой бесстолкновительной холодной плазмы в уравнениях движения вводится коэффициент, содержащий параметр Rf, от которого зависит уровень магнитного сжатия.

В работе [39] изучаются частные решения уравнений переноса нелинейных волн, распространяющихся вдоль магнитного поля.

Для бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов в работе [40] рассматриваются решения для волн, распространяющихся вдоль и поперек магнитного поля. В результате, в случае параллельного распространения, обнаружены два типа солитонов - простой, который упрощается до нулевой волны сжатия в холодном пределе, и особый, который не имеет аналога в холодной плазме. В случае поперечного распространения обнаружен только один простой тип волн. Влияние давления электронов укорачивает относительную длину простых волн в параллельном случае распространения и, наоборот, удлиняет простые волны в противоположном случае распространения. В приложении формулируется постановка двухжид-костной модели бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов, где далее осуществлен переход к безразмерной одножидкостной модели.

В работе [48] рассмотрены нелинейные волны, движущиеся под наклонным углом вдоль магнитного поля. Рассматриваются скорость и структура нелинейных волн с использованием асимптотических методов решения, в которых, как правило, оперируют введением малого параметра е. В итоге авторы приходят к выводу, что возможны, в зависимости от значений наклона угла и температуры плазмы, волны сжатия и разрежения.

Численные решения для дисперсионного соотношения плазменных волн в бесконечной однородной бесстолкновительной бета-плазме были получены в работе [29]. Автор заключает, что кроме альфвеновской волны, все гидромагнитные волны подвержены затуханию в плазме со средним и большим значением ¡3 почти при любых углах распространения волны.

Попытки описать не отдельные решения, а целые классы решений уравнений холодной плазмы были предприняты на стандартном пути дальнейшего упрощения одномерных уравнений методом многих масштабов. В работе [36] показано, что данный вид волн описывается уравнениями Кортевега-де Вриза (КдВ). Затем в [7] было установлено, что также можно записать эти уравнения для наклонного распространения волн.

В работах [41, 42] основными результатами являются получение уравнений КдВ и обобщенного уравнения КдВ пятого порядка (без производной третьего порядка) для длинных магнитозвуковых волн в окрестности состояния покоя при помощи разновидности метода многих масштабов. В результате был сделан вывод о том, что классические уединенные волны - соли-тоны - в холодной бесстолкновительной плазме существуют для всех углов наклона 0 < в < 7г/2 невозмущенного магнитного поля к направлению распространения волны. Для 9 < 9С, где 9С - некоторое критическое значение угла 9, солитоны соответствуют волне разрежения, а при 9С < 9 < тг/2 -волне сжатия.

В первой части работы [56] с помощью метода малых возмущений выводятся уравнения Бюргерса и КдВ. Класс полученных уравнений покрывает обширный круг систем уравнений для звуковых волн, гидромагнитных волн, ионно-акустических волн, акустических волн и т.д. Далее во второй части, как уже отмечалось ранее в [42], используя редуктивный метод малых возмущений применительно к гидродинамическим волнам конечной амплитуды в холодной плазме, получают уравнение КдВ для всех углов распространения. В продолжение первой и второй части [41], используя нелинейный метод возмущений, рассматривают систему уравнений для холодной плазмы вблизи значения критического угла 9С. В итоге приходят к выводу, что для 9 = 9С система уравнений может быть приведена к простому нелинейному дисперсионному уравнению, подобному уравнению КдВ для волн малой и конечной амплитуд, только значение третьей производной заменено на производную пятого порядка. Тот же самый механизм был использован для рассмотрения системы уравнений, описывающих альфвеновскую волну, где также получены уравнения КдВ с небольшими модификациями.

В случае горячей плазмы с изотропным давлением электронов были получены в [49] уравнения КдВ с коэффициентами, зависящими от температуры и угла 9, которые оказались справедливы только при малых изменениях данных коэффициентов, ответвляющихся от состояния покоя.

Для бесстолкновительной плазмы с изотермическим давлением электронов были получены в [45] два типа уравнений КдВ, которые описывают медленные и быстрые магнито-звуковые волны. Также получено нелинейное дисперсионное уравнение для альфвеновской волны.

В [46] рассматривались решения обобщенного уравнения КдВ с добавочной производной пятого порядка с помощью численных расчетов. В итоге расчеты показали, что уравнение описывает уединенные волны как сжатия, так и расширения, в зависимости от положительной или отрицательной дисперсий. Если коэффициент при третьей производной равен нулю, то имеют место солитоны с осциллирующей структурой фронта.

Метод возмущений Крылова-Боголюбова-Митропольского был использован в [43] для получения нелинейного уравнения Шредингера при описании медленной модуляции амплитуды сложной волны в течение долгого времени в различных системах дисперсных волн, включающих плазменные волны, такие как ионно-акустические, магнитно-акустические и электронные плазменные волны. Нелинейное уравнение Шредингера было получено в [45] для описания медленной модуляции монохроматической плоской волны, которое похоже на результирующее уравнение редуктивного метода возмущений, выведенного в [42].

При рассмотрении меняющихся амплитуд альфвеновских волн в /3-плазме в [53] получили нелинейное уравнение Шредингера, которое поддерживает модуляционную неустойчивость и имеет солитонные решения. В работе также обсуждались вопросы соответствия такого теоретического описания результатам наблюдений альфвеновских солитонных структур в плазме магнитосферы Земли.

В работах [6, 27] рассмотрены семейства солитоноподобных решений уравнений бета-плазмы, которые ответвляются от состояния покоя.

Исследования полной системы уравнений [17] показали, что солитоны для 9 < 9С не существуют, но в этом диапазоне углов наклона замещаются обобщенно-уединенными волнами. В работе [18], где также анализируется полная система уравнений холодной бесстолкновительной плазмы, найдены семейства уединенных волновых пакетов, которые ответвляются от состояния покоя в результате 1 : 1 резонанса. Уравнения распространения плоских волн с учетом теплового давления рассмотрены в [27]. Как и в [17], в уравнениях сохранена инерция электронов, что приводит к наличию дисперсии. При этом неучет силы трения между ионами и электронами накладывает ограничения: плазма должна быть разреженной.

Изучение представленной проблемы на основе методов по бесстолкнови-тельной теории уединенных волн в холодной плазме, а также с использованием численных методов составляет содержание диссертационной работы.

Описание работы.Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Общий объем составляет 91 страница. Список цитируемой литературы включает 59 наименований. Основные результаты диссертации отражены в 6 публикациях. Общее количество иллюстраций в работе -29. Формулы в каждой главе нумеруются двумя числами, первое из которых указывает на номер главы, второе - номер формулы в главе.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертация посвящена изучению плоскопараллельных волновых движений в холодной плазме с учетом силы трения между ионами и электронами. В отличие от предыдущих трудов, в работе рассматривается постановка задачи с включением в исходную двухжидкостную модель диссипации.

В диссертации построен новый численный метод для исследования эволюции уединенных волн в холодной столкновительной плазме, который в последствии можно адаптировать и для моделей бета-плазмы с дополнениями и улучшениями, учитывающие, например, тепловое движение электронов и для волн большой амплитуды. Также в работе изучено взаимодействие однонаправленных и разнонаправленных уединенных волн в холодной бесстолкновительной плазме. Здесь за основу берется уже готовая конечно-разностная схема. В исходной постановке задачи для счета взаимодействий солитонов плазма задается как холодная, но в связи с особенностями схемы в самом счете плазма задается как горячая, но с малым параметром бета, что позволяет ее считать, как холодную.

Основная область применения полученных результатов - математическое моделирование в двухжидкостной физике плазмы. Так как модель довольно хорошо описывает поведение плазмы магнитосферы Земли и солнечного ветра, полученные результаты могут стать основой для численного исследования новых математических задач различных реальных физических процессов в данной среде.

В диссертационной работе получены следующие результаты:

- получены уравнения движения плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, с учетом силы трения;

- разработан метод численного решения системы уравнений движения уединенных волн в столкновительной холодной квазинейтральной плазме с последовательным применением: метода координатного отображения для перехода от бесконечной прямой Ох к отрезку [—1; 1]; псевдо-спектрального метода Чебышева для дискретизации уравнений; метода подобного методу Кранка-Николсона для аппроксимации и решения системы нелинейных уравнений; готовой процедуры NEQNF программного продукта Visual Numerics -International Mathematical and Statistical Library (IMSL);

- исследовано взаимодействие однонаправленных и разнонаправленных волн различной амплитуды. Согласно результатам исследования, в однонаправленном случае волны полностью восстанавливают свои амплитуды после взаимодействия, а в разнонаправленном случае после взаимодействия наблюдаются излучения, которые приводят к небольшому уменьшению амплитуд волн.

1. Бахолдин И.Б. Бездиссипативные разрывы в механике сплошной среды. М.: Физматлит, 2004. 320 с.

2. Бахолдин И. Б. Волновые разрывы, описываемые модифицированным уравнением Шредингера // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1998. Т. 38. № 8. С. 1331-1350.

3. Бахолдин И.Б. Задача о распаде уединенных волн и разрывы // Изв. РАН МЖГ. 2005. № 6. С. 122-139.

4. Бахолдин И.Б. Методы исследования структур диссипативных и бездис-сипативных разрывов в системах с дисперсией // Журн. выч. матем. и матем. физики. 2005. Т. 45. № 2. С. 330-343.

5. Бахолдин И.Б. Скачок с излучением в моделях, описываемых обобщенным уравнением Кортевега-де Вриза // Прикл. матем. механ. 2001. Т. 65. Вып. 1. С. 59-68.

6. Бахолдин И.Б., Жарков A.A., Ильичев А.Т. Неустойчивость солитонов и фронтов в изотропной безстолкновительной квази-нейтральной плазме с изотермическим давлением // ЖЕТФ. 2000. Т. 118. Вып.1(7). С. 125-141.

7. Березин Ю.А., Карпман В. И. Советская Физика // ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 1880-1896.

8. Брагинский С. И. Явления переноса в плазме // В сб. Вопросы теории плазмы, под ред. М. А. Леонтовича. М.: Госатомиздат. 1963. Вып. 1. С. 183-272.

9. Гинзбург В. JL Распространение электромагнитных волн в плазме. М.: ФизМатИз, 1960. 550 с.

10. Голан В. Е., Жилинский А.П., Сахаров И.Е. Основы физики плазмы. М.: Атомиздат, 1977. 384 с.

11. Егорова Е.Р. Уравнения холодной столкновительной плазмы в гидродинамическом приближении // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Серия: естественные науки. 2010. №1(76) С. 40-47.

12. Егорова Е.Р. Модель плоской волны в бета-плазме с учетом силы трения / Е.Р. Егорова // Вестник ЯГУ. 2007. Том 4. С. 96-100.

13. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: ФИЗ-МАТЛИЗ, 2003. 256 с.

14. Ильичев А. Т. Уединенные волны-пакеты в холодной плазме // Изв. РАН. МЖГ. 1996. № 5. С. 154-161.

15. Ильичев А. Т. Уединенные и обобщенно уединенные волны в диспергирующих средах // ПММ. 1997. Т. 61, Вып. 4. С. 606-620.

16. Кадомцев Б.Б. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1976. 240 с.

17. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солито-ны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. 472 с.

18. Кингсеп А.С. Введение в нелинейную физику плазмы. М.: Изд-во МФТИ, 1996. 208 с.

19. Роуч П.Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. 616 с.

20. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. М.: ФИЗМАТЛИЗ, 2004. 400 с.

21. Чен Ф. Введение в физику плазмы. М.: Мир, 1987. 398 с.

22. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary-wave decay in a cold plasma //J. Plasma Phys. 1998. V.60. Pt.3. P.569-580.

23. Bakholdin I., H'ichev A., Zharkov A. Steady magnetoacoustic waves and decay of solitonic structures in a finite-beta plasma // J. Plasma Physics. 2002. V. 67. P. 1-26.

24. Banos A.jr., Vernon R.: Large amplitude in a collision-free plasma. I. Single pulses with isotropic pressure // Nuovo Cimento. 1960. V. XV. № 2. P.269-287.

25. Barnes A. Collisionless damping of hydromagnetic waves // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 8. P. 1483-1495.

26. Bindu S.G., Kuriakose V.G. Solitons and electromagnetic wave propagation through cold collision free plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1997. V. 67. № 12. P. 4031-4036.

27. Brevdo L., Ruderman M.S. On the convection in a porous medium with inclined temperature gradient and vertical throughhflow. Part I. normal modes // Trans. Porous. Med. 2009. V.80. P. 137-151

28. Brevdo L. Spatially amplifying waves in plane Poiseuille flow,// Z. angew. Math. Mech. 1992. V. 72(3). P. 163-174.

29. Brevdo L. Neutral stability and resonant destabilization of the Earth's crust. // Proc. Roy. Soc. Lond. A. 2001. V. 457, P. 1951-1971

30. Cordey J.G. Solitary waves in a collision-free plasma with an isotropic pressure // Phys. of Fluids. 1964. V.7. № 6. P. 778-782.

31. Chester A. Grosch and Steven A. Orszag Numerical solution of problems in unbounded regions: coordinate transforms // Journal of Computational Physics. 1977. V. 25. I. 3. P. 273-295.

32. Gardner C.S., Morikawa G.K. Courant Institute of Mathematical Sciences Report No. NYO 9082. 1960.

33. D. Gottlieb, M.Y. Hussaini and S.A.Orszag Theory and application of spectral methods In: R. Voigt, D. Gottlieb and M.Y. Hussaini, Editors, Spectral Methods for Partial Differential Equations. SIAM. Philadelphia. 1984. P. 1—54.

34. Il'ichev A. Steady waves in a cold plasma //J. Plasma Physics. 1996. V. 55, Pt. 2. P. 181-194.

35. Kakutani T. Non-linear hydromagnetic waves propagating along the magnetic field in a cold collision-free plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1966. V. 21. № 2. P. 385-391.

36. Kakutani T., Kawahara T., Taniuti T. Nonlinear hydromagnetic waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure //J. Phys. Soc. Japan. 1967. V.23. № 5. P. 1138-1149.

37. Kakutani T., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma // J. Phys. Soc. Japan. 1969. V. 26. № 5. P. 1305-1318.

38. Kakutani T., Ono H., Taniuti T., Wei C. Reductive perturbation method in nonlinear wave propagation II. Application to hydromagnetic waves in cold plasma //J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. № 5. P. 1159-1166.

39. Kakutani T., Sigumoto N. Krylov-Bogoliubov-Mitropolsky method for nonlinear wave modulation // Phys. of Fluids. 1974. V. 17. № 8. P. 1617-1624.

40. Kakutani T., Yamasaki N. Solitary waves on a two-layer fluid //J. Phys. Soc. Japan. 1978. V. 45. № 2. P. 674-679.

41. Kawahara T. Oblique nonlinear hydromagnetic waves in a collision-free plasma with isothermal electron pressure //J. Phys. Soc. Japan. 1969. V.27. № 5. P.1331-1340.

42. Kawahara T. Oscillatory solitary waves in dispersive media //J. Phys. Soc. Japan. 1972. V.33. № 1. P. 260-264.

43. Kellog P.G. Solitary waves in cold collisionless plasma // Phys. of Fluids. 1964. V. 7. № 10. P. 1555-1571.

44. Kever H., Morikawa G.K. Steady, oblique, nonlinear waves in a warm collision-free plasma // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 11. P. 2180-2189.

45. Kever H., Morikawa G.K. Korteweg-de Vries equation for nonlinear hydromagnetic waves in a warm collision-free plasma // Phys. of Fluids. 1969. V.12 № 10. P. 2090-2093.

46. Kivelson M.G., Russel C.T. eds.] Introduction to space physics. Cambridge.: Cambridge University Press, 1995. 568 c.

47. Korteweg D.J., de Vries G. Oil the change of form of long waves advancing in a rectangular channel and a new type of long stationary waves // Phil. Mag.(5). 1895. V. 39. P.422-443.

48. Montgomery D. Nonlinear Alfven waves in a cold ionized gas // Phys. of Fluids. 1959. V. 2. № 6. P. 585-588.

49. Patel V.L., Dasgupta B. Theory and obsedrvations of alfven solitons in the finite beta magnetospheric plasma // Physica D: Nonlinear Phenomena. 1987. V. 27. I. 3. P.387-398.

50. R.Peyret Introduction to spectral methods vonKarman Institute Lecture Series 1986-04, Rhode-Saint Genese, Belgium. P. 10-11

51. Saffman P. G. On hydromagnetic waves of finite amplitude in a cold plasma // J. Fluid Mech. 1961. V. 11. P. 552-566.

52. Taniuti T., Wei C.: Reductive perturbation method in nonlinear propagation. I // J. Phys. Soc. Japan. 1968. V. 24. № 4. P. 941-946.

53. Vernon J.Rossow Magnetic compression of collision-free plasmas with charge separation // Phys. of Fluids. 1965. V.8. № 2. P. 358-366.

54. Wilson T.A. Structure of collision-free magnetohydrodynamics waves // Phys. of Fluids. 1962. V. 5. № 11. P. 1451-1455.

55. Yeh T. Nonexistence of looping trajectories in hydromagnetic waves of finite amplitude // Phys. of Fluids. 1966. V. 9. № 6. P. 1081-1083.