автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование волновых процессов в бесстолкновительной плазме на основе гибридных моделей

Вшивкова Людмила Витальевна

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОЙ ПЛАЗМЕ НА ОСНОВЕ ГИБРИДНЫХ МОДЕЛЕЙ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

-4 АВГ2011

Новосибирск - 2011

4851948

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, с.н.с.,

Дудникова Галина Ильинична

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

Федорук Михаил Петрович

доктор физико-математических наук, с.н.с., Пикалов Валерий Владимирович

Ведущая организация: Томский государственный университет

Защита состоится 4 октября 2011 года в 15:00 на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Учреждении Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН по адресу: 630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан "30" июня 2011 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 003.061.02, д.ф.-м.н.

Сорокин С.Б.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Нестационарные процессы в лабораторной и космической плазме всегда сопровождаются генерацией волновых возмущений с большим разнообразием пространственно-временных масштабов. Обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли, активные эксперименты с бариевыми облаками в околоземном космическом пространстве (ОКП), взрывы Сверхновых, формирование струйных течений в ядрах галактик - примеры таких физических процессов в природных условиях. Эксперименты по нагреву и удержанию плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза и моделированию астрофизических явлений служат примерами нестационарных плазменных процессов, исследуемых в лабораторных условиях.

Изучение взаимодействия заряженных частиц солнечного ветра с магнитным полем Земли является одной из важных задач космической физики. Заряженные частицы, достигая верхней атмосферы Земли, вызывают одно из самых захватывающих явлений, наблюдаемых в ночном небе - полярные сияния (аврора), а также являются причиной геомагнитных суббурь. Полярные сияния на ночной стороне Земли связаны с процессами внутри магнитосферы. На дневной стороне плазма солнечного ветра достигает верхней атмосферы через открытые линии магнитного поля. Электроны, вызывающие полярное сияние, были впервые обнаружены в 1954 году. В наши дни аврору регулярно наблюдают посредством наземных специальных радаров, а также видео- и фотокамер. Необходимость данных наблюдений связана с влиянием изменений в распределении плазмы и магнитного поля в ОКП на работу электронных приборов, как в космосе, так и на Земле.

Общим свойством процессов взаимодействия высокоскоростных потоков плазмы в космических условиях и условиях лабораторных экспериментов является их бесстолкновительный характер по отношению к кулоновским столкновениям. Это означает, что взаимодействие потоков происходит на расстояниях, значительно меньших классических длин свободного пробега. Примером нестационарных до- и сверхальфвеновских возмущений в космических условиях являются эксперименты АМРТЕ и CRESS по выбросу бариевых облаков в магнитосфере Земли. Данные этих экспериментов позволили сделать вывод о возможности генерации бесстолкновительных ударных волн в ОКП. Исследование процессов бесстолкновительного взаимодействия плазменных потоков осуществляется также и в лабораторных экспериментах на установке КИ-1 ИЛФ СОРАН.

Сложный нестационарный характер указанных явлений, ограничивающий применение аналитических подходов, и невозможность проведения ла- / бораторных экспериментов, соответствующих условиям ОКП, приводят к-4

необходимости численного моделирования на основе адекватных численных моделей высокого уровня. Следовательно, численное моделирование явлений генерации и структуры волновых течений в бесстолкновительной плазме имеет важное общенаучное и прикладное значение.

Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов и программ для исследования динамики заряженных частиц в магнитосфере Земли и процессов генерации возмущений при взаимодействии плазменных потоков в магнитном поле. Для описания поведения плазмы использованы гибридные модели, в которых применяется кинетическое описание одной из компонент плазмы и магнитогидродинамическое (МГД) приближение для другой. Первый тип представленной в диссертации математической гибридной модели основан на кинетическом описании электронной компоненты плазмы и магнитогидродинамическом приближении для ионов. Во второй гибридной модели движение ионов описывается уравнением Власова, а для электронов использовано МГД-приближение с учетом конечной проводимости и температуры. Кинетические уравнения Власова решаются методом частиц-в-ячейках (PIC), который в настоящее время является широко используемым методом решения этих уравнений. Для решения уравнений магнитной гидродинамики и системы уравнений Максвелла используются конечно-разностные схемы первого порядка точности.

В диссертации представлен новый алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле, который может быть использован при решении ряда других задач физики бесстолкновительной плазмы. Изучены структура альфвеновских волн сдвига и структура волн, генерируемых облаком плотной плазмы в зависимости от направления распространения по отношению к магнитному полю и проведен дисперсионный анализ созданных моделей. Созданный комплекс программ, включающий интерфейс, позволяет проводить серии вычислительных экспериментов для исследования изучаемых процессов.

Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований (№№ 04-01-00850, 08-01-615, 08-01-622,11-01-00249), что подтверждает их научную значимость.

Целью диссертационной работы является создание математических моделей, алгоритмов и комплексов программ для решения нестационарных задач динамики заряженных частиц в магнитосфере Земли, генерации и структуры возмущений при разлете облака плотной плазмы сложного состава в замагниченном фоне с учетом конечной проводимости плазмы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

• создана новая численная гибридная модель плазмы, основанная на кинетическом описании электронной компоненты плазмы и МГД-приближении для ионов, описывающая динамику ускорения электронов в полярной области магнитосферы Земли;

• создан алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле;

• построена математическая модель многокомпонентной плазмы с учетом силы трения между электронной и ионными компонентами;

• создан пакет программ, включающий оболочку, для расчета структуры волн, генерируемых многокомпонентным облаком-поршнем;

• исследована структура генерируемых волн в зависимости от угла по отношению к магнитному полю, состава облака и аномальной частоты соударений.

Научная и практическая ценность заключается в создании модели и алгоритма решения задачи распространения дисперсионных альфвенов-ских волн сдвига на открытых линиях магнитного поля, позволяющая расширить возможности их численного моделирования. Разработанный алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле, может быть использован при решении ряда других задач физики бесстолкновителыюй плазмы.

Проведенные расчеты динамики разлета облака плотной плазмы были использованы при интерпритации результатов лабораторных экспериментов и планирования новых экспериментов на установке КИ-1 ИЛФ СО РАН.

Достоверность результатов. Численные алгоритмы проверялись на тестовых расчетах. Работа программного комплекса была апробирована на решении конкретных задач с использованием результатов лабораторных экспериментов с высокотемпературной плазмой. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задач проверена на последовательности сгущающихся сеток и на изменении количества частиц в ячейке.

На защиту выносятся:

• численная гибридная модель плазмы, основанная на кинетическом описании электронной компоненты и МГД-приближении для ионов;

• алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы;

• учет силы трения между электронной и ионными компонентами плазмы через самосогласованные электромагнитные поля;

• пакет программ, включающий оболочку, для расчета структуры воли, генерируемых многокомпонентным облаком-поршнем.

Апробация работы. Основные научные результаты докладывались на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс"(2002, Новосибирск), Division of Atmospheric and Space Physics (DASP) Workshop (2005, Edmonton, Canada), Space Environment Workshop (2005, Saskatoon, Canada), Space Physics Seminar Series (2006, 2007, University of Alberta, Edmonton, Canada), на семинаре ИВМиМГ "Математическое моделирование больших задач"под руководством д.ф.-м.н. ВА. Вшив-кова (2009), на семинарах ИВМиМГ "Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений "под руководством д.т.н. В.Э. Малышки-на (2009, 2010), на VI Всесибирском конгрессе женщин-математиков (2010, Красноярск), на XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении"(2010, Иркутск-Байкал), на международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 90-летию со дня рождения академика H.H. Яненко (2011, Новосибирск), на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ под руководством д.ф.-м.н. В.П. Ильина (2011), а также на объединенном семинаре ИВМиМГ под руководством академика РАН Б.Г. Михайлепко (2011).

Личный вклад соискателя. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление результатов совместных исследований согласовано с соавторами. Личный вклад соискателя заключаются в обсуждении постановок задач, разработке численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании программ, проведении серии численных экспериментов и анализе полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит 36 рисунков, 3 таблицы; список литературы состоит из 70 источников. Общий объем работы составляет 130 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулирована актуальность темы диссертации, ее новизна и практическая ценность.

В первой главе изложены основные необходимые определения для понимания рассматриваемых в диссертации физических задач, а также приведен обзор гибридных моделей, применяемых для решения задач бесстолкнови-тельной плазмы. В данной главе также представлена важность изучения существующих в космическом пространстве электрических полей. Приведены обзоры кинетического и МГД-подходов в описаний поведения плазмы. В последнем пункте первой главы изложены используемые в диссертации типы

гибридных моделей, основанные на кинетическом приближении для одной из компонент плазмы и МГД-приближении для другой, а также краткая характеристика метода частиц-в-ячейках, используемого при решении кинетического уравнения Власова.

Вторая глава посвящена численному моделированию распространения дисперсионных альфвеновских волн в полярных областях магнитосферы Земли. Для изучения кинетических процессов ускорения электронов была создана гибридная модель, где ионная компонента плазмы описывается стандартной системой уравнений магнитной гидродинамики, а движение электронов описываются кинетическим уравнением Власова. Для решения уравнения Власова используется метод частиц-в-ячейках; МГД-уравнения и уравнения Максвелла аппроксимируются конечно-разностными схемами первого порядка точности.

Задача распространения сдвиговых альфвеновских волн на открытых линиях магнитного поля рассматривается в двумерной постановке. В начальный момент времени t = 0 альфвсновская волна (с амплитудой А и частотой и) входит в область, заполненную плазмой с плотностью п = щи магнитным полем дипольного типа.

Были сделаны следующие предположения: плазма является квазиней-тралыюй (ni = пе — п) и состоит из ионов водорода и электронов; магнитное поле, направленное вдоль распространения альфвсновской волны, является достаточно сильным, что позволяет учитывать движение электронов только вдоль линий магнитного поля; рассмотрены низкочастотные колебания, поэтому ток смещения не учитывается.

Исходная система уравнений включает кинетическое уравнение Власова для электронной компоненты плазмы, которое при указанных предположениях имеет вид

где / = f(t, г, W) является функцией распределения электронов, W = -mev^+

л

цВг — кинетическая энергия частицы, vT - скорость электронов вдоль оси г, е нте- заряд и масса электрона., Ег и Вг- r-компоненты электромагнитного mev\

поля, ¡л = -—=--магнитный момент и v± = Уф - поперечная компонен-

2 Вг

та скорости, соответствующая начальной температуре. Магнитный момент Ц для каждой частицы с течением времени остается неизменным.

Движение ионной компоненты плазмы описывается системой МГД-урав-нений в предположении холодной плазмы

(й

Е + -V, х В с

где щ, V, соответствуют плотности и скорости ионной компоненты, то,, -масса, ионов.

Для описания электрического Е и магнитного В полей используется система уравнений Максвелла

19В

V х Е =---—,

с от

V х В

47Г.

-з,

У-В = 0.

(2)

(3)

(4)

1 г

Здесь j = пе (V, — Уе) - плотность тока, Уе = — / /лгаЫ - средняя скорость

71

электронов. Для вычисления поперечной компоненты электрического поля альфвеновской волны сдвига использовано уравнение Е^ = — -V; х В. Рассмотрена двумерная постановка в плоскости (г, ф), т. е. д/дх = 0 (Рис. 1).

Рис. 1. Область решения. Рис. 2. Изолинии электрического поля Ег в по-

следовательные моменты времени.

В качестве начальных данных для полярной области магнитного диполя выбрано невозмущенное состояние плазмы и Вт = Вг(г) ~ 1 /г3, а скорости электронов имеют максвелловское распределение.

На левой (ф = —фтах) и правой (ф = фтах) границах области заданы периодические граничные условия и условия входа альфвеновской волны на

границе г = гтах, полученные из решения линеаризованной системы МГД-уравнений:

Еф = Ашпф, Ег = А^

Л-ПЩеш . ТПгС с .

Вг = А-7-8111^, Уф = —А—^ш соеф, V/г = -А—втф,

с Ь ^ еВ& В0

% = 1

т* шк±

4ттпое и>2

уег = -л—Л. 11___

ет тешк]_ I с2 к}

„2 1.2 С Кц

4тгп0еь;2^

соэ ф,

п = —Апо

гщс

к?\

еВ1 гпг ы2к± Р с2 к?,

1-

совф, 4-кще и2

со зф,

где А - амплитуда входящей волны на границе г = Гтах и ф = —иЬ+к^ф+Щг. На границе г = гт(п задаются невозмущенные значения всех функций. Для частиц выбраны периодические граничные условия.

Разностная схема для уравнений движения электронов записывается следующим образом:

'дВг

т+1 = т

»47 т,: р т'3

Г?+1 = Г? +

3

т,

где 2 - номер частицы, (3 - —, = ]Г# (^¿_1/2 - Ф3) К (п - г3) Е^^к,

т1 ¿, к

Л(/) - ядро метода частиц,

ад-

1Я

когда |/| < Л, О, когда |/| > Л,

где / = {ф,г} и к = {/гь/12}.

Основная трудность созданного алгоритма заключается в вычислении г-компоненты электрического поля ЕГ) которая находится из решения уравнения движения электронов (1) с помощью метода частиц-в-ячейках:

Т- £ ЕГ,И (¿_1/2 - ф™+1) i? (гк - г-+1) = £ (¿_1/2 - С'1) х

13'

Д (гк _ гГ 1) _т £ (4-1/2 - О Л -

<9г

г—1/2,А-

Поскольку ETt j определяется через значения Ег в узлах сетки (г — 1/2, к), то для нахождения ЕГ}i_1/2,jt получаем систему линейных алгебраических уравнений с 15-дигональной матрицей. Полученная система решается итерационным методом. Для лучшей сходимости итераций из полной матрицы выделяется 3-диагональная часть с максимальными коэффициентами, которая берется на следующей итерации, и полученная система решается методом прогонки на каждой итерации.

Созданный алгоритм нахождения электрического поля может быть применен при решении других задач физики бесстолкновительной плазмы с использованием гибридных моделей. Остальные сеточные функции находятся при помощи конечно-разностных схем первого порядка точности.

В главе представлены результаты расчетов прохождения альфвеновской волны, сопровождающееся деформацией начальной максвелловской функции распределения электронов. Картина изолиний r-компоненты электрического поля Ег альфвеновской волны в последовательные моменты времени изображена на Рис. 2.

В третьей главе рассматривается структура возмущений, генерируемых при разлете плазменного облака сложного состава в замагниченном фоне. В отличие от существующих моделей динамики плазменного облака, в диссертации учтена конечная проводимость плазмы, связанная с коллективными эффектами. Задача решена в следующей постановке: в начальный момент времени t = 0 формируется облако плотной плазмы, содержащее N частиц различного сорта, кинетическая энергия которых равна Wo. Окружающее пространство заполнено плазмой с плотностью щ = const, погруженной в магнитное поле Во = const. Решение задачи разлета плазменного облака, состоящего из ионов водорода и углерода, осуществлено в двумерной (г, z)-геометрии с использованием гибридной модели, основанной на кинетическом описании ионной компоненты плазмы и приближении магнитной гидродинамики для- замагниченных электронов. Данная постановка задачи наиболее приближена к условиям лабораторных экспериментов, результаты которых использовались для проверки и тестирования созданных алгоритмов и программ.

Движение ионов описывается уравнениями, которые являются характеристиками кинетического уравнения Власова и имеют вид

Здесь Za - степень ионизации ионов сорта а, Е и В - напряженности элек-

dv

трического и магнитного нолей, И« представляет собой силу трения между ионами сорта а и электронами. Ее функциональный вид будет рассмотрен ниже. Плотность и средняя скорость ионов сорта а определяются из функции распределения ионов по скоростям

па = J fadv,

V„ = — f favdv. J

па

Система уравнений, описывающая движение электронной компоненты плазмы, имеет вид:

+ = О,

(^ + (Ve.V)Ve)=-e(E + ivexB)-^+Re, {~f + (Ve • V)Te) + (7 - 1 )PeV ■ Ve = (7 - 1 ){Qe - V • qe),

m, <ЗГГе

где ne Ve, Ре, Te - плотность, скорость, давление и температура электронной компоненты, Re - сила трения между электронами и ионами, Qe - нагрев электронов в результате столкновений с ионами, qe = —aeiVTe, aei - коэффициент теплопроводности, 7 - показатель адиабаты. К этим уравнениям добавляются уравнения Максвелла (2) - (4), где плотность тока j в случае многокомпонентной плазмы определяется по формуле

j = е Zo n„Vu - neVe j .

Плазма является квазинейтральной, т. е. пе = £а 2аПа.

В данной главе проведен дисперсионный анализ исходной гибридной модели и выведены формулы для учета силы трения в многокомпонентной плазме. При получении формул для силы трения предполагалось выполнение следующих принципов:

1) суммарный вклад всех сил трения в полный импульс системы должен быть нулевым;

2) суммарный вклад сил трения в полную энергию должен равняться нулю;

3) формальное разделение какой-то ионной компоненты на два сорта не должно менять потоки энергии.

Использование этих принципов позволило однозначно получить формулы для силы трения в многокомпонентной плазме:

Т? -

Л

Здесь а = —--проводимость плазмы, V - коэффициент аномальной чате и

стоты соударений.

В этой же главе приведена исходная система уравнений в цилиндрических координатах и в безразмерных переменных. Начальные данные и граничные условия выбраны в соответствии с данными лабораторных экспериментов. Дано подробное описание алгоритма решения, основанного на использовании метода частиц-в-ячейках и конечно-разностных схем. Сначала вычисляются скорости и координаты частиц:

,,т+1

М] \ С ■

т+1 _ гт

ч_ч

Т х В"

..т+1

ае

V/, х В1

Уравнения движения для частиц решаются по схеме Бориса, которая заключается в локальном переходе в декартову систему координат. По скоростям и координатам частиц находятся плотность и средние скорости ионов с использованием Д-ядра Р1С-метода:

п,

т+1

'¿-1/2,£-1/2

\гт+1 у ¿-1/2,¿-1/2

г—1/2,/с—1/2 3

.т+1

„т+1

Остальные функции находятся с использованием конечно-разностных схем на равномерной сетке:

■ут+1 _ -ут+1

-5-г

еп

■ут+1 _

4-7Г еп

У/, х В"

Ё = --УГ+1 х Вт + х В"

^т+1 _^77

С ~ П

= -УЛ х Ё + УЛ х

т+1

^Ул (пт+1Тт)

Ет+1 =Ё_ (п™+1 ут) >

ут+1 _уп

+ (У™+1 • Уд) Гп+1

+ (7-1)пт+1тт+1ул-у;

т+1

-(7-1)

Уравнение теплопроводности решается по схеме расщепления. Приведены результаты тестирования алгоритма с изменением шага сетки и количества частиц в ячейке.

Представлены результаты серии вычислительных экспериментов по исследованию структуры генерируемых возмущений в зависимости от процентного ионного состава облака, степени ионизации ионов и аномальной частоты соударений. Показано, что структура генерируемых волн зависит от угла распространения по отношению к невозмущенному магнитному полю, а характер возмущений определяется дисперсионным с/и>р1 или диссипативным с*/Аъоуа размерами. На Рис. 3 приведено распределение ионов водорода и углерода плазменного облака, а также ионов фоновой плазмы на фазовой плоскости (К, г) в момент времени 4 = 4 х 103 ш^} для угла а = 30° при значениях частоты соударений V = 0 и 0.01 о>се, где ысе - ларморовская частота электронов.

Рис. 3. Фазовые плоскости.

Для проведения серии вычислительных экспериментов создан пакет программ на языке Fortran 77, включающий оболочку, написанную на Delphi и приведенную в приложении к диссертации.

В заключении диссертационной работы дано краткое изложение основных результатов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

• создана новая двумерная численная модель распространения альфве-новской волны в полярной области магнитосферы Земли;

• разработан новый численный алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего электроны по направлению к Земле;

• получены сценарии прохождения альфвеновской волны на открытых линиях магнитного поля;

• разработана новая версия двумерной численной модели разлета плазменного облака, учитывающая сложный ионный состав облака, конечную проводимость плазмы и электронную температуру;

• проведено исследование механизма обмена энергией между различными компонентами плазмы с учетом силы трения между электронами и ионами;

• разработаны алгоритмы и создан программный комплекс для численной реализации модели;

• с помощью созданной модели исследована структура генерируемых волн.

ПУБЛИКАЦИИ

1. Вшивкова Л.В. Численное моделирование динамики многокомпонентной плазмы. Вестник Новосибирского Государственного Университета, т.З, вып. 2, 2003, стр. 3-20.

2. Дудникова Г.И., Вшивкова Л.В. и Рэнкин Р. Гибридная модель распространения альфвеновской волны сдвига в бесстолкновительной плазме // Вычислительные технологии, т. 11, N3, 2006, стр. 50-60.

3. L. V. Vshivkova. Numerical simulation of plasma using a hybrid MHD-kinetic model // Bulletin NCC, Series: Numerical Analysis, Issue: 14, 2009, pp. 95-114.

4. Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Гибридная МГД-кинетическая модель дисперсионных альфвеновских волн //VI Всесибирский конгресс женщин-математиков (в день рождения Софьи Васильевны Ковалевской): Материалы Всероссийской конференции, 15-17 января 2010, Красноярск: РИЦ СибГТУ, 2010, стр. 68-71.

5. Вшивкова Л.В., Дудникова Г.И. Численные гибридные модели динамики альфвеновских волн. Информационные и математические технологии в науке и управлении // Труды XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении", ч. 1, Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 2010, стр. 166-174.

6. Вшивкова JI.В. О численном моделировании динамики многокомпонентной плазмы. XL Международная студенческая научная конференция "Студент и научно-технический прогресс", Новосибирск, 2002.

7. L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Parallel electric fields and inertial alfven waves // DASP-2005 Workshop (Division of Atmospheric and Space Physics), Edmonton, Canada, 2005.

8. L. Vshivkova, R. Rankin and R. Marchand. Hybrid magnetohydrodyna-mic-kinetic model, Space Environment Workshop, Saskatoon, Canada, 2005.

9. Дудникова Г.И., Вшивкова JT.В. Гибридные численные модели волновых процессов в плазме // Тезисы докладов международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященная 90-летию со дня рождения академика Н.Н. Яненко, 2011, стр. 88.

Подписано в печать 10.06.2011г. Формат 60x84 1\16 Усл. печ. л. 1 Объем 16 стр. Тираж 100 экз. Заказ № 109

Отпечатано Омега Принт 630090, г. Новосибирск, пр. Ак.Лаврентьева,6 email: omegap@yandex.ru

Введение

1 Основные определения и модели бесстолкновительной плазмы

1.1 Окружающее космическое пространство Земли.

1.2 Альфвеновские волны.

1.3 Электрическое поле в космическом пространстве.

1.4 Обзор кинетической и МГД-моделей

1.4.1 Кинетическое описание плазмы.

1.4.2 МГД-описание плазмы

1.5 Гибридные модели.

1.5.1 Кинетическое приближение для ионов.

1.5.2 Кинетическое приближение для электронов.

1.6 Алгоритм метода частиц-в-ячейках.

2 Гибридная модель дисперсионных альфвеновских волн

2.1 Постановка задачи.

2.2 Исходная система уравнений.

2.3 Описание алгоритма.

2.3.1 Начальные данные и граничные условия.

2.3.2 Алгориитм вычисления полей и скоростей.

2.3.3 Алгоритм вычисления параллельного электрического поля

2.3.4 Алгоритм учета квазинейтральности.

2.3.5 Уменьшение численного шума.

2.4 Результаты расчетов.

3 Гибридная модель генерации возмущений при разлете плазменного облака сложного состава в замагниченном фоне

3.1 Постановка задачи.

3.1.1 Исходная система уравнений.

3.1.2 Дисперсионный анализ модели.

3.1.3 Сила трения в многокомпонентной плазме.

3.1.4 Безразмерный вид исходных уравнений

3.1.5 Система уравнений в цилиндрических координатах.

3.2 Описание алгоритма.

3.2.1 Решение уравнений движения ионов

3.2.2 Нахождение скоростей электронов

3.2.3 Алгоритм вычисления полей.

3.2.4 Решение уравнения для температуры электронов.

3.3 Результаты расчетов.

Диссертационная работа посвящена разработке алгоритмов и программ для исследования динамики заряженных частиц в магнитосфере Земли и процессов генерации возмущений при взаимодействии плазменных потоков в магнитном поле. Известно, что нестационарные процессы в лабораторной и космической плазме всегда сопровождаются генерацией волновых возмущений с большим разнообразием пространственно-временных масштабов. Обтекание солнечным ветром магнитосферы Земли, активные эксперименты с бариевыми облаками в околоземном космическом пространстве (ОКП), взрывы Сверхновых, формирование струйных течений в ядрах галактик - примеры таких физических процессов в природных условиях. Эксперименты по нагреву и удержанию плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза и моделированию астрофизических явлений служат примерами нестационарных плазменных процессов, исследуемых в лабораторных условиях.

Изучение взаимодействия заряженных частиц солнечного ветра с магнитным полем Земли является одной из важных задач космической физики. Заряженные частицы, достигая верхней атмосферы Земли, вызывают одно из самых захватывающих явлений, наблюдаемых в ночном небе - полярные сияния (аврора), а также являются причиной геомагнитных суббурь. Полярные сияния на ночной стороне Земли связаны с процессами внутри магнитосферы. На дневной стороне, плазма солнечного ветра достигает верхней атмосферы через открытые линии магнитного поля. Лабораторные эксперименты по движению электронов вдоль силовых линий магнитного поля и их высыпанию в полярных областях были проведены в конце XIX века. Однако только в 1954 году электроны полярного сияния были в действительности обнаружены при запуске ракет в магнитосферу Земли. В наши дни научные спутники регулярно пересекают потоки электронов полярного сияния и измеряют их свойства. Также аврору регулярно наблюдают и посредством наземных специальных радаров, видео- и фотокамер. Необходимость данных наблюдений связана в первую очередь с влиянием изменений в распределении плазмы и магнитного поля в ОКП на работу электронных приборов, как в космосе, так и на Земле.

Данной тематике посвящено много работ. В работе [62] были рассмотрены дисперсионные альфвеновские волны сдвига на дипольных линиях магнитного поля и представлена нелинейная модель возмущения плотности и параллельных электрических полей. Было обнаружено, что дисперсия и нелинейность определяют глубину, пространственную структуру и рост флуктуаций плотности большой амплитуды в полярной ионосфере. Однако в примере, описанном в данной статье, падение потенциала в параллельном направлении было очень мало для того, чтобы интерпретировать ускорение заряженных частиц до высоких энергий, которые могут вызывать аврору.

В работе [68] исследован динамика электронов, определяемая стоячей альфвеновской волной сдвига. Было обнаружено, что одним из механизмов, контролирующих электронную динамику вдоль линий магнитного поля, является зеркальная неустойчивость, а другим - квазистатическое электрическое поле, направленное вдоль магнитного поля. Также было показано, что величина параллельного тока не зависит от энергии заряженных частиц.

Модель, описывающая нелинейное взаимодействие между резонансами линий магнитного поля дисперсионных альфвеновских волн сдвига и акустическими волнами, представлена в [37]. В этой работе были рассмотрены пределы малого параметра (3 ((3 < те/ти большого /3. В первом случае преобладает инерция электронов, а во втором важную роль играет эффект теплового давления электронов. Анализ, представленный в этой статье, был проведен для прямоугольной геометрии, в которой параметры плазмы не изменяются вдоль линий магнитного поля. Однако в реальности геомагнитные линии искривлены и плазменные параметры изменяются от ионосферы к экваториальной плоскости.

Вышеуказанные работы позволяют говорить, что для исследования реальных процессов в магнитосфере Земли необходимо создавать нелинейные модели с геометрией, близкой к реальной геометрии геомагнитных линий и с учетом кинетики электронной компоненты плазмы. Одна из таких возможных моделей, основанная на кинетическом описании электронной-компоненты плазмы и МГД-приближении для ионов представлена в данной диссертации.

Общим свойством процессов взаимодействия высокоскоростных потоков плазмы в космических условиях и условиях лабораторных экспериментов является их бесстолкновительный характер по отношению к кулоновским столкновениям. Это означает, что взаимодействие потоков происходит на расстояниях, значительно меньших классических длин свободного пробега. Примером нестационарных до- и сверхальф-веновских возмущений в космических условиях являются эксперименты АМРТЕ и CRESS по выбросу бариевых облаков в магнитосфере

Земли. Данные этих экспериментов позволили сделать вывод о воз/ можности генерации бесстолкновительных ударных волн в ОКП. Исследование процессов бесстолкновительного взаимодействия плазменных потоков осуществляется также и в лабораторных экспериментах на установке КИ-1 ИЛФ СОРАН [15].

Теория взаимодействия плазменных потоков в магнитном поле далека от полного завершения, поскольку изучаемые процессы носят сложный нелинейный характер, сопровождающийся развитием плазменных неустойчивостей [25], [48]. Впервые модель энергообмена потоков плазмы за счет совместного действия эффектов конечности лар-моровского радиуса ионов и генерации вихревых электрических полей была представлена в [1], [12]. Двумерная задача торможения облака плотной плазмы, разлетающегося в однородном магнитном фоне, рассмотрена в [1], [5], [9]. В данных работах изучены механизмы торможения облака и структура генерируемых возмущений для различных значений чисел Маха-Альфвена разлетающегося водородного облака. о

Исследования проведены на основе гибридных моделей, основанных на кинетическом приближении для ионной компоненты плазмы. Однако в данных работах не были учтены механизмы диссипации, связанные с коллективными плазменными процессами, имеющим место как в лабораторных, так и в натурных экспериментах. Кроме того не была исследована зависимость генерируемых возмущений от процентного и зарядного состава облака.

В диссертации представлены алгоритмы и программы для решения задачи генерации возмущений расширяющимся облаком, состоящим из протонов и ионов углерода, заряд и процентное содержание которых меняется. При этом учтена температура электронов и конечная проводимость плазмы. Используется гибридная модель, описывающая ионы при помощи кинетического уравнения Власова, а электроны в МГД-приближении.

Сложный нестационарный характер, рассматриваемы в диссертации явлений, ограничивает применение аналитических подходов и невозможность проведения лабораторных экспериментов, соответствующих условиям ОКП, приводят к необходимости численного моделирования на основе адекватных численных моделей высокого уровня. Для описания поведения плазмы используются гибридные модели, в которых применяется кинетическое описание одной из компонент плазмы и маг-нитогидродинамическое (МГД) приближение для другой.

Первый тип представленной в диссертации математической гибридной модели основан на кинетическом описании электронной компоненты плазмы и магнитогидродинамическом приближении для ионов. Во второй гибридной модели движение ионов описывается уравнением Власова, а для электронов использовано МГД-приближение с учетом конечной проводимости и температуры.

Для решения уравнений магнитной гидродинамики и системы уравнений Максвелла используются конечно-разностные схемы первого порядка точности. Кинетические уравнения Власова решаются методом частиц-в-ячейках (Р1С), который в настоящее время является широко используемым методом решения этих уравнений.

В диссертации представлен новый алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле, который может быть использован при решении ряда других задач физики бесстолкновительной плазмы. Изучены структура альфвенов-ских волн сдвига и структура волн, генерируемых облаком плотной плазмы в зависимости от направления распространения по отношению к магнитному полю и проведен дисперсионный анализ созданных моделей. Созданный комплекс программ, включающий интерфейс, позволяет проводить серии вычислительных экспериментов для исследования изучаемых процессов.

Целью диссертационной работы является создание математических моделей, алгоритмов и комплексов программ для решения нестационарных задач динамики заряженных частиц в магнитосфере Земли, генерации и структуры возмущений при разлете облака плотной плазмы- сложного состава в замагниченном фоне с учетом конечной проводимости плазмы.

Научная новизна работы заключается в следующем: • создана новая численная гибридная модель плазмы, основанная на кинетическом описании электронной компоненты плазмы и МГД-приближения для ионов, описывающая динамику ускорения электронов в полярной области магнитосферы Земли;

• создан алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле;

• построена математическая модель многокомпонентной плазмы с учетом силы трения между электронной и ионными компонентами;

• создан пакет программ, включающий оболочку, для расчета структуры волн, генерируемых многокомпонентным облаком-поршнем;

• исследована структура генерируемых волн в зависимости от угла по отношению к магнитному полю, состава облака и аномальной частоты соударений.

Научная и практическая ценность заключается в создании модели и алгоритма решения задачи распространения дисперсионных альфвеновских волн сдвига на открытых линиях магнитного поля, позволяющая расширить возможности их численного моделирования. Разработанный алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы по направлению к Земле, может быть использован при решении ряда других задач физики бесстолкновитель-ной плазмы.

Проведенные расчеты динамики разлета облака плотной плазмы были использованы при интерпритации результатов лабораторных экспериментов и планирования новых экспериментов на установке КИ-1 ИЛФ СО РАН.

Достоверность результатов. Численные алгоритмы проверялись на тестовых расчетах. Работа программного комплекса была апробирована на решении конкретных задач с использованием результатов лабораторных экспериментов с высокотемпературной плазмой. Сходимость численных методов решения отдельных этапов задач проверена на последовательности сгущающихся сеток и на изменении количества частиц в ячейке.

На защиту выносятся:

• численная гибридная модель плазмы, основанная на кинетическом описании электронной компоненты и МГД-приближения для ионов;

• алгоритм вычисления электрического поля, ускоряющего заряженные частицы;

• учет силы трения между электронной и ионными компонентами плазмы через самосогласованные электромагнитные поля;

• пакет программ, включающий оболочку, для расчета структуры волн, генерируемых многокомпонентным облаком-поршнем;

Апробация работы. Основные научные результаты докладывались на Международной научной студенческой конференции "Студент и научно- технический прогресс 2002, DASP-2005 (Division of Atmospheric and Space Physics, Edmonton, Canada), SEW-2005 (Space Environment Workshop, Saskatoon, Canada), Space Physics Seminar Series (2006, 2007, University of Alberta, Edmonton, Canada), на семинаре ИВ-МиМГ "Математическое моделирование больших задач "под руководством д.ф.-м.н. В.А. Вшивкова (2009), на семинарах ИВМиМГ "Математическое и архитектурное обеспечение параллельных вычислений "под руководством д.т.н. В.Э. Малышкина (2009, 2010), на VI Всесибирском конгрессе женщин-математиков (2010, Красноярск), на XV Байкальской Всероссийской конференции "Информационные и математические технологии в науке и управлении"(2010, Иркутск-Байкал), а также на объединенном семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ под руководством д.ф.-м.н. В.П. Ильина (2011).

Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись по проектам, поддержанным Российским фондом фундаментальных исследований (№№04-01-00850, 08-01-615, 08-01-622, 11-01-00249), что подтверждает их научную значимость.

Личный вклад соискателя. Все выносимые на защиту результаты принадлежат лично автору. Представление результатов совместных исследований согласовано с соавторами. Личный вклад соискателя заключаются в обсуждении постановок задач, разработке численных алгоритмов и методов решения, создании и тестировании программ, проведении серии численных экспериментов и анализе полученных результатов.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа содержит рисунков, таблиц; список литературы состоит из 3-0 источников. Общий объем работы составляет страниц.

1. Батурин В.П., Голубев А.И., Терехин В.А. О бесстолкновитель-ном торможении ионизированного облака, разлетающегося в однородную замагниченную плазму // ПМТФ, N 5, стр. 10-17, 1983.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1, Москва: Изд. "Наука 1966.

3. Березин Ю.А. Численное исследование нелинейных волн в разреженной плазме. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1977.

4. Березин Ю.А., Вшивков В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1980.

5. Березин Ю.А., Вшивков В.А., Дудникова Г.И., Федорук М.П. О бесстолкновительном торможении плазменного облака в неоднородном замагниченном фоне // Физика плазмы, т. 18, вып. 12, 1992.

6. Бэдсел Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. М.: Энергоатомиздат, 1989.

7. Бэдсел Ч., Ленгдон А., Окуда X. Физика системы частиц конечных размеров и ее применение к моделированию плазмы. // Вычислительные методы в физике плазмы. М., Мир, 1974, с.242-258.средой // Труды ИТПМ СО АН СССР, Новосибирск: Изд. ИТПМ СО АН СССР, 1980.

8. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. Москва, 1968.

9. Райзер Ю.П. О торможении и превращении энергии плазмы, расширяющейся в пустом пространстве, в котором имеется магнитное поле. ПМТФ, N 6, 1963.

10. Сигов Ю.С., Ходырев Ю.В. К теории дискретных моделей разреженной плазмы. // Численные методы механики сплошной среды, 1976, т.7, N 2, с.109-117.

11. Стикс, Т. Теория плазменных волн, Атомиздат, М.-1965. *

12. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987.

13. Шафранов В.Д. Электромагнитные волны в плазме // Вопросы теории плазмы, вып. 3, стр. 3-140, 1963.

14. Alfven, Н. On the theory of magnetic storms and aurorae. Tellus, v. 10, N1, pp. 104-116, 1958.

15. Baumjohann, W. and Treumann, R. A. Basic Space Plasma Physics, Imperial College Press, 1996.

16. Berezovskii M.A. et al. Interaction of counter streaming plasmas // Plasma Phys. Conf. Fusion, v.26, N 128, pp. 1477-1489, 1984.

17. Bernhardt P.A. et al. Observations and theory of the AMPTE magnetotail barium released. J. Geophys. Res., v.92, N A6, p. 57775794, 1987.

18. Bittencourt, J. A. Fundamentals of Plasma Physics, Springer, 2004.

19. Bryant, D. A., Cook, A. C., Wang, Z.-S., de Angelis, U. and Perry, C. H. Turbulent acceleration of auroral electrons, Journal of GeophysicalResearch, v. 96, N A8, pp. 13829-13839, 1991.i

20. Bryant, D. A. Electron acceleration in the aurora. Contemporary Physics, v. 35, pp. 165-179, 1994.

21. Buneman, O. Dissipation of currents in ionized media // Phys. Rev., v. 115, No. 3, p. 503-519, 1959.

22. Chen, F. F. An Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion, Plenum Press, 1984.

23. Cross, R. C. An Introduction to Alfven Waves, 1988.

24. Damiano, P. A., Sydora R. D. and Samson J. C. Hybrid magnetohydrodynamic-kinetic model of standing shear Alfven waves. Journal of Plasma Physics, v. 69, part 4, pp. 277-304, 2003.

25. Dawson, J. One-dimensional plasma model. Physics of Fluids, v. 5, N4, pp. 445-459, 1962.

26. Eather R.H. Majestic lights, the aurora in science, history and the arts, American Geophysical Union, 1980.

27. Fried, B. D. and Conte, S. D. The Plasma Dispersion Function, New York and London: Academic Press, 1961.

28. Frycz, P., Rankin, R., Samson, J. C. and Tikhonchuk, V. T. Nonlinear field line resonances: Dispersive effects. Physics of Plasmas, v. 5, N10, pp. 3565-3574, 1998.

29. Goertz, C. K. Discrete breakup arcs and kinetic Alfven waves, in Physics of Auroral Arc Formation, Geophysical Monograph Series, v. 25, edited by S.-I. Akasofu and J. R. Kan, pp. 451-456, AGU, Washington, D. C., 1981.

30. Goertz, C. K. and Boswell, R. W. Magnetosphere-ionosphere coupling, Journal of Geophysical Research, v. 84, N A12, pp. 7239-7246, 1979.

31. Gombosi, T.I. Gaskinetic theory, Cambridge Univ. Press, 1994.

32. Gombosi, T.I. Physics of the space environment, Cambridge Univ. Press, 1998.

33. Gurnett, D. A. and Bhattacharjee, A. Introduction to Plasma Physics: With Space and Laboratory Applications, Cambridge University Press, 2005.

34. Hasegawa, A. Particle acceleration by MHD surface wave and formation of aurora, Journal of Geophysical Research, v. 81, pp. 50835090, 1996.

35. Hazeltine, R. D. and Waelbroeck, F. L. The Framework of Plasma Physics, Perseus Books, 1998.

36. Hui, C. H. and Seyler, C. E. Electron acceleration by Alfven waves in the magnetosphere. Journal of Geophysical Research, v. 97, pp. 3953-3963, 1992.

37. Ichimaru, S. Statistical Plasma Physics. Volume I: Basic principles, Addison-Wesley Publishing Company, 1992.

38. Knight, S. Parallel electric fields, Planetary and Space Science, v. 21, Issue 5, pp. 741-750.

39. Leroy M. M. Structure of perpendicular shocks in collisionless plasma // Phys. Fluids, v. 26, N 9, pp. 2742-2753, 1983.

40. Lysak, R. L. and Carlson, C. W. Effect of microscopic turbulance on magnetosphere-ionosphere coupling, Geophysical research letters, v. 8, pp. 269-272, 1981.

41. Lysak, R. L. and Dum, C. T. Dynamics of magnetosphere-ionosphere coupling including turbulent transport, Journal of Geophysical Research, v. 88, pp. 365-380, 1983.

42. Lysak, R. L. and Lotko, W. On the kinetic dispersion relation for shear Alfven waves, Journal of Geophysical Research, v. 101, N A3, pp. 5085-5094, 1996.

43. Lyster, P. M. and Leboeuf, J. N. A fluid-ion and particle-electron model for low-frequency plasma instabilities. Journal of Computational Physics, v. 102, pp. 180-193, 1992.

44. Mcllwain, C. E. Direct measurement of particles producing visible aurora, Journal of Geophysical Research, v. 65, pp. 2727-2747, 1960.

45. Mozer, F. S., Carlson, C. W., Hudson, M. K., Torbert, R. B., Parady, B., Yatteau, J., Kelley, M. C. Observations of paired electrostatic shocks in the polar magnetosphere. Physical Review Letters, v. 38, pp. 292-295, 1977.

46. Mozer, F. S., Kletzing, C. A. Direct observation of large, quasi-static, parallel electric fields in the auroral acceleration region, Geophysical research letters, v. 25, N 10, pp. 1629-1632, 1998.

47. Newell, P. T. Reconsidering the inverted-V particle signature: the relative frequency of large-scale electron acceleration events, Journal of Computational Physics, v. 105, pp. 15779-15794, 2000.

48. Okuda, H. Particle simulation models for low frequency microinstabilities in a magnetic field, Space Science Reviews, v. 42, pp. 41-52, 1985.

49. Parker, E. N. Interplanetary Dynamic Processes, Wiley, 1963. \

50. Parks, G. K. Physics of Space Plamas. An Introduction, Westview Press, 2004.

51. Paschmann, G., Haaland, S. and Treumann, R. (Eds.) Auroral Plasma Physics. Space Science Reviews, v. 103, pp. 1-475, 2002.

52. Rankin, R., Samson, J. C. and Tikhonchuk, V. T. Parallel electric fields in dispersive shear Alfven waves in the dipolar magnetosphere. Geophysical Research Letters, v. 26, pp. 3601-3604, 1999.

53. Rankin, R., Samson, J. C., Tikhonchuk, V. T. and Voronkov, I. Auroral density fluctuations on dispersive field line resonances. Journal of Geophysical Research, v. 104, N A3, pp. 4399-4410, 1999.

54. Seyler, C. E. A mathematical model of the structure and evolution of small-scale discrete auroral arcs, Journal of Geophysical Research, v. 95, pp. 17199-17215, 1990.

55. Stern, D. P. One-dimensional models of quasi-neutral parallel electric fields, Journal of Geophysical Research, v. 86, N A7, pp. 5839-5860, 1981.

56. Streltsov, A. V. and Lotko, W. Small-scale 'electrostatic' auroral structures and Alfven waves. Journal of Geophysical Research, v. 104, pp. 4411-4426, 1999.

57. Swift, D. W. On the formation of auroral arcs and acceleration of auroral electrons, Journal of Geophysical Research, v. 80, N 16, pp. 2096-2108, 1975.

58. Temerin, M., McFadden, J., Boehm, M., Carlson, C. W. and Lotko, W. Production of flickering aurora and field-aligned electron flux by-electromagnetic ion cyclotron waves, Journal of Geophysical Research, v. 91, pp. 5769-5792, 1986.

59. Tikhonchuk, V. T. and Rankin, R. Electron kinetic effects in standing shear Alfven waves. Physics of plasmas, v. 7, N6, pp. 2630-2645, 2000.

60. Winske, D. and Quest, K. B. Electromagnetic ion beam instabilities: comparision of one- and two-dimensional simulations. Journal of Geophysical Research, v. 91, pp. 8789-8797, 1986.

61. Winske, D., Yin, L., Omidi, N., Karimabadi, H. and Quest, K. B. Hybrid simulation codes: past, present and future Tutorial, in Space plasma simulations, Buchner, J., Dum, C. T. and Scholer, M. eds., Lecture Notes in Physics, 615, 359, Springer, 2003.