автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование интенсивных пучков заряженных частиц

Введение.

Глава 1. Математические модели интенсивных пучков заряженных частиц.

1.1 Уравнения динамики частиц.

1.2 Уравнения электромагнитного поля.

1.3 Уравнение Власова.

1.4 Метод характеристик.

1.5 Метод крупных частиц.

1.6 Описание интенсивного пучка с использованием уравнения для огибаюш;ей.

Глава 2. Самосогласованные распределения для цилиндрического пучка в однородном магнитном поле.

2.1 Интегралы движения для цилиндрического пучка.

2.2 Плотность распределения частиц по интегралам движения

2.3 Распределения частиц, ограниченные по радиусу.

2.4 Равномерные по сечению пучка распределения.

- 32.5 Использование интегрального уравнения для построения равномерных самосогласованных распределений.

2.6 Распределения, неравномерные по сечению пучка.

2.7 Распределение с постоянной фазовой плотностью.

2.8 Распределение "водяной мешок".

2.9 Теорема об инверсии плотности.

Глава 3. Самосогласованные распределения для продольно неоднородного пучка.

3.1 Интегралы движения частиц для продольно - неоднородного пучка. Уравнение для огибаюш;ей.

3.2 Равномерные распределения для продольно - неоднородного пучка.

Глава 4. Моделирование самосогласованных распределений

4.1 Применение метода крупных частиц при численном моделировании самосогласованных распределений.

4.2 Результаты численного моделирования некоторых самосогласованных распределений.

Глава 5. Постановка и решение задач оптимизации динамики заряженных частиц в линейных ускорителях.

5.1 Задача управление интенсивным пучком, описываемым уравнением для огибаюш;ей.

5.2 Задача управления интенсивным пучком, описываемым уравнением Власова.

5.3 Специальная модель управления интенсивным пучком заряженных частиц.

5.4 Управление пучком в структурах с пространственно однородной квадрупольной фокусировкой.

5.5 Управление пучком в структурах с фазопеременной фокусировкой

5.6 Разработка объектно ориентированного программного обеспечения для решения задач оптимального управления интенсивным пучком заряженных частиц.

Актуальность проблемы. Сфера применения ускорителей заряженных частиц постоянно расширяется и включает наряду с традиционным использованием для решения фундаментальных и прикладных научных задач такие важные области как промышленность и медицина. Это обусловлено, в частности, развитием современных технологий, позволяюш;их улучшать характеристики ускорителей. Одна из тенденций этого развития - увеличение тока пучка заряженных частиц в ускорителе. Новые технологии включают проведение сложных математических расчетов, реализация которых становится возможной в рамках современных достижений в развитии как аппаратных так и программных средств вычислительной техники. Все это объясняет тот большой интерес, который проявляется к задачам моделирования интенсивных пучков во всем мире: с одной стороны он вызван практическими потребностями в создании сильноточных ускорителей, а с другой стороны - вычислительными возможностями, которых ранее не было.

Отметим что, моделирование интенсивных потоков заряженных частиц, представляет значительный интерес и с математической точки зрения, поскольку соответствуюш;ие дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения нелинейны и требуют нетрадиционных подходов.

При моделировании интенсивных пучков заряженных частиц, в основном, используются численные методы. Однако, значение аналитических методов также достаточно велико. Как отмечено академиком A.A.Самарским [93] "совершенно необходимо развивать аналитические методы, искать Специальные классы решений, на которых можно было бы проверить качество вычислительных алгоритмов. Без предварительной проверки качества алгоритмов (а такая проверка возможна лишь при наличии точных решений), пользоваться ими крайне опасно, ибо мы не сможем понять, отражают ли результаты численного эксперимента реальность, или же они отражают какие-то побочные эффекты разностной схемы". Таким образом, повышенную роль приобретают задачи, которые можно решить аналитически. Кроме того, использование каких-либо аналитических результатов при численном моделировании может привести не только к значительной экономии машинного времени, но и в некоторых случаях к качественным изменениям, когда вместо модели, численно нереализуемой на суш;ествуюш;ей вычислительной технике, приходим к реализуемой модели в результате радикального сокраш;ения объема вычислений.

Среди математических моделей, применяемых при исследовании интенсивных пучков заряженных частиц, основной моделью можно назвать уравнение Власова, поскольку оно наиболее полно описывает динамику пучка.

Уравнение Власова представляет собой нелинейное интегро-диф-ференциальное уравнение с частными производными для плотности распределения частиц в фазовом пространстве. Уравнение Власова применяется при высоких плотностях частиц, когда их взаимодействием нельзя перенебречь, и соответствует концепции самосогласованного поля, согласно которой сила, действуюш;ая на некоторую частицу со стороны других частиц, определяется как средняя сила со стороны всего ансамбля частиц. Поэтому решения уравнения Власова обычно называют самосогласованными распределениями. С другой стороны, обычно предполагается также, что плотность частиц достаточно мала, чтобы пренебречь взаимодействием частиц на близких расстояниях, которое можно было бы учесть введением в уравнение Власова интеграла столкновений.

Нахождение аналитических решений уравнения Власова связано с суш;ественными математическими трудностями. Более узкая задача - нахождение стационарных самосогласованных распределений частиц, то есть распределений не зависяш;их от времени. Задача о самосогласованных распределениях рассматривалась в большом количестве работ, но решения найдены лишь в некоторых частных случаях. Во многих работах рассматривается пучок, фокусируемый магнитным полем, направленным вдоль оси пучка. При этом найденные распределения относятся только к пучку, однородному в продольном направлении (магнитное поле также продольно однородно), за исключением одного класса распределений, когда магнитное поле и сами распределения периодичны вдоль оси пучка.

Наиболее известным решением является распределение Капчин-ского - Владимирского [63], когда частицы равномерно распределены по сечению пучка, а их энергия поперечного движения одинакова, так что носитель распределения в 4-мерном фазовом пространстве поперечных координат и скоростей занимает трехмерную область. Наиболее простой случай, который также широко известен, - бриллюэновский поток ([116]), в котором все частицы и и т-\ вращаются вокруг оси пучка с одинаковой угловой скоростью. В последнем случае размерность носителя распределения равна 2.

Что касается распределений, занимающих ненулевой четырехмерный объем в фазовом пространстве, то прежде всего следует назвать распределение "водяной мешок" (см. [154]). Распределение "водяной мешок" характеризуется тем, что его фазовая плотность постоянна в той области фазового пространства поперечного движения, в которой энергия поперечного движения частиц Н меньше некоторой заданной постоянной величины а при больших значениях энергии фазовая плотность равна нулю.

Широкий класс распределений может быть получен также с помощью теоремы инверсии плотности [131], когда по заданной плотности частиц в конфигурационном пространстве можно найти соответствующую плотность в фазовом пространстве. Эта теорема применима для распределений, характеризующихся как и распределение "водяной мешок" тем, что фазовая плотность частиц равна нулю для тех областей фазового пространства, в которых энергии поперечного движения частиц больше заданного значения а при значениях меньших чем Щ уже не постоянна, как для распределения "водяной мешок," а меняется, но так, что зависит только от Н, но не от момента импульса частиц М.

Были найдены также распределения, являющиеся обобщениями распределений Капчинского-Владимирского и "водяной мешок," для которых роль энергии играет комбинация Н кМ, где к - некоторая постоянная [37,131]. Так, аналогом распределения Капчинского-Владимирского является распределение, когда всЛ частицы имеют одинаковое значение Н + кМ. Такие распределения являются частным случаем распределений, плотность которых зависит только от Н-\-кМ Эти распределения в работах Р.Давидсона названы распределениями типа "жесткого ротатора" [37, 131]. Теорема об инверсии плотности также распространена на этот случай и применяется к распределениям, для которых фазовая плотность, зависящая только от комбинации Н + кМ, равна нулю при значениях Н-\-кМ, больших некоторого предельного значения.

Таким образом, построение новых самосогласованных распределений частиц, при этом не вырожденных, то есть занимающих ненулевой фазовый объем в четырехмерном фазовом пространстве, представляет актуальную задачу.

Наконец, в последнее время появились работы, в которых рассматривались распределения в периодическом вдоль оси пучка продольном магнитном поле [117, 131, 149, 150, 151]. В этих работах были получены распределения, аналогичные распределениям Капчинского-Владимирского и жесткого ротатора. Как и для продольно однородного случая, эти распределения также вырождены, то есть характеризуются нулевым фазовым объемом в фазовом пространстве поперечного движения. Поэтому задача построения самосогласованных распределений для продольно неоднородного пучка, невырожденных в общем случае, также чрезвычайно актуальна.

С другой стороны, при решении различных задач динамики пучков, в тех случаях, когда не требуется детального описания пучка, то есть знания фазовой плотности, широко использовалась такая модель, как уравнение для огибающей (см., например, [161]). Уравнение для огибающей может быть получено в рамках предположения о равномерном распределении частиц по сечению пучка. Тем не менее, необходимо отметить, что теоретическое обоснование возможности использования такой модели отсутствовало поскольку не было ясно, существуют ли такие фазовые распределения, для которых распределение частиц по сечению пучка равномерно, так что огибающая ведет себя в соответствии с этим уравнением.

Больпюй интерес представляют также различные модели управления интенсивным пучком заряженных частиц. Указанное направление интенсивно развивалось в последнее время в работах Д.А.Овсянникова [82, 84, 85] и его учеников в С.-Петербургском университете. В основе развиваемого подхода лежит теория оптимального управления. Последовательное применение этой теории позволяет строить направленные методы оптимизации, которые оказываются весьма эффективны для задач управления пучками. Чтобы это оценить, достаточно указать, что в некоторых задачах управления интенсивным пучком число управляющих параметров может достигать десятков и даже сотен, так что многие традиционные методы оптимизации, например, метод деформируемого многогранника (Нелдера-Мида) оказываются нереализуемыми.

Математический аппарат, ориентированный на решение задач управления для пучков малой плотности в настоящее время достаточно разработан, в то время как для интенсивных пучком решение задач управления наталкивается на трудности, связанные с существенной нелинейностью интегро-дифференциальных уравнений. описывающих пучок. Поэтому интерес представляет использование специальных моделей, в которых динамика по отношению к ряду переменных может быть описана с помощью линейных моделей.

Задачи, рассматриваемые в рамках указанного подхода - оптимизация ускорительных структур с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой и с трубками дрейфа также представляют большой интерес, поскольку эти структуры широко используются в настоящее время в линейных ускорителях. С другой стороны выбор конкретных структур при создании ускорителей представляет существенные трудности в связи со сложностью математических расчетов, обусловленных, в частности, нелинейным характером соответствующих математических моделей.

Так, например, для обеспечения одновременной устойчивости продольного и поперечного движения с трубками дрейфа было предложено чередовать знаки синхронной частицы [97], поскольку при одном знаке происходит продольная фокусировка, а при другом поперечная фокусировка. Затем было предложено изменять не только знак, но и значения самой фазы [69]. Но простых закономерностей, указывающих закон изменения фазы для достижения устойчивости, как это имеет место, например, для уравнения Матье, не существует. Как нам представляется, эта задача может быть решена только с привлечением численных методов. В связи с этим актуальными являются как постановка соответствующей задачи оптимизации, когда в качестве одной из управляющих функций предлагается выбирать именно закон изменения синхронной фазы частицы, так и ее численное решение.

Отметим, наконец, большое значение, которое приобретает разработка проблемно-ориентированной объектной среды для задач динамики интенсивных пучков, которое непосредственно связано с последними успехами современной технологии объектного программирования. Совершенствование концепции объектно-ориентированного программирования позволяет применить эту идеология в различных областях науки и техники. При этом объектная среда становится важным инструментом исследования, сравнимым по значению с аппаратом математических формул. По суп];еству, в на-стояп];ий момент разработка объектной среды для задач динамики пучков находится в начальной стадии и требует, на наш взгляд значительного внимания коллективов исследователей.

Цели работы. Разработка теории самосогласованных распределений, основанной на анализе плотности распределения частиц в пространстве интегралов движения. Здесь интерес представляют множества допустимых значений интегралов движения и соотношения, связывающие различные плотности, в частности, фазовую плотность и плотность частиц в конфигурационном пространстве с плотностью частиц в пространстве интегралов движения.

Аналитическое и численное исследование самосогласованных распределений для пучка с постоянным радиусом, в частности, исследование распределений с однородной фазовой плотностью в допустимой области фазового пространства.

Аналитическое исследование самосогласованных распределений с равномерным распределением заряда по сечению пучка для продольно однородного и продольно неоднородного пучка.

Численное моделирование самосогласованных распределений.

Разработка различных моделей управления интенсивными пучками и методов их численной реализации. Основное внимание уделяется таким моделям которые позволяют сократить вычисления по сравнению с моделью управления, основанной на уравнении Власова. Сюда относится, в частности, модель, основанная на уравнении для огибающей, а также специальная модель управления с разделением продольного и поперечного движения.

Разработка объектной среды для решения задач моделирования и управления интенсивными пучками заряженных частиц.

Научная новизна и основные положения, выносимые на защиту:

1. Методика анализа самосогласованных распределений, основанная на использовании плотности распределения частиц в пространстве их интегралов движения.

2. Новые самосогласованные распределения для пучка с постоянным радиусом, неоднородные по сечению пучка.

3. Новые самосогласованные распределения для пучка с постоянным радиусом, однородные по сечению пучка.

4. Интегральное уравнение для плотности распределения частиц в пространстве интегралов движения и его решения.

5. Интегралы движения и новые самосогласованные распределения для продольно-неоднородного пучка.

6. Результаты численного моделирования самосогласованных распределений методом крупных частиц.

7. Модель управления интенсивным пучком заряженных частиц на основе уравнения для огибающей и результаты ее применения.

8. Специальная модель управления управления интенсивным пучком и методы ее численной реализации для пучков в структурах с пространственно-однородной фокусировкой и переменно-фазовой фокусировкой.

9. Концепция разработки объектной среды для решения задач моделирования и управления интенсивными пучками заряженных частиц и основные объекты.

Все перечисленные положения представляют из себя новые результаты, впервые опубликованные в работах автора диссертации.

Практическая значимость данной работы заключается в том, что представленные в ней модели и методы могут применяться при проектных расчетах различных устройств электрофизической аппаратуры, главным образом, ускорителей заряженных частиц. В частности, результаты решения задач моделирования и оптимизации динамики пучка в структурах с ПОКФ и трубками дрейфа использовались при разработке некоторых ускорительных устройств в НИИЭФА им. Д.В. Ефремова. Кроме того, результаты работы могут быть применены и в тех областях науки, где рассматриваются самосогласованные распределения частиц. Это могут быть, в частности, задачи физики плазмы, физики полупроводников, динамики звезд в галактиках. Наконец, представленные модели управления и методы могут использоваться для управления объектами, описываемыми системами интегро-дифференциальных уравнений высокого порядка.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на 9, 10, 12, 13, 14 Харьковских семинарах по линейным ускорителям (1985,1987, 1991, 1993, 1995 гг.), на 15 Международном семинаре по линейным ускорителям (Алушта, сентябрь 1997 г.), на VII Всесоюзной конференции "Качественная теория дифференциальных уравнений" (Рига, апрель 1989 г.), на международном снминаре IMAC S/IF AC "Methods and software for automatic control systems" (Иркутск, сентябрь 1991 г.), на международной конференции по методам интервальных вычислений и компьютерной алгебры в науке и технике Intervar94 (С.-Петербург, март 1994), на Международных конференциях ЕРАС'96 (Barcelona, июнь 1996 г.), ЕРАС'98 (Stockholm, июнь 1998 г.), РАС'97 (Vancouver, май 1997 г.), РАС'99 (New York, март 1999 г.), на II научном семинаре памяти В.П. Саранцева (Дубна, сентябрь 1997 г.) и международных семинарах по динамике пучков и оптимизации BDO'94 (С.-Петербург, июль 1994 г.), BDO'95 (С.-Петербург, июль 1995 г.), BDO'96 (С.-Петербург, июль 1996 г.), BDO'97 (Дубна, октябрь 1997 г.), BDO'98 (С.-Петербург, июль 1998 г.), BDO'99 (Саратов, сентябрь 1999 г.), BDO'2000 (С.Петербург, июль 2000 г.), а также на научных семинарах и конференциях факультета прикладной математики и процессов управления СПбГУ и С.-Петербургского электротехнического университета.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 269 страницах и содержит 43 рисунка. В список литературы входит 180 наименований.

Заключение

Проанализируем основные результаты, полученные в диссертации.

В работе представлен новый подход к исследованию самосогласованных распределений для аксиально-симметричного пучка в продольном магнитном поле, основанный на анализе плотности распределения частиц в пространстве интегралов движения. В рамках этого подхода не только предложены новые распределения, но и проанализированы известные, в частности, распредеделения Капчинского-Владимирского и "водяной мешок". При этом анализ различных распределений проводится с единых позиций, что дает ясность в понимании особенностей различных распределений. Задание различных распределений состоит при этом в задании некоторой функции, определенной на указанном множестве. Но решение задачи о самосогласованном распределении на этом не заканчивается. Остается еп];е один формальный этап, состояш;ий в решении, в общем случае, интегро-дифференциального уравнения. Тем не менее, в некоторых случаях это уравнение может быть решено, например, в результате сведения его к обыкновенному дифференциальному или интегральному уравнению. Упомянутое интегро-дифференциальное уравнения может быть записано на основе полученных в настоящей работе соотношений, связывающих фазовую плотность и плотность частиц в конфигурационном пространстве с плотностью частиц в пространстве интегралов движения.

Для пучка с постоянным радиусом построено множество допустимых значений М и Я. Предложены и подробно исследованы, самосогласованные распределения с однородной фазовой плотностью в допустимой области фазового пространства. Эти распределения

II м отличаются от известного распределения водяной мешок тем, что верхняя граница энергии поперечного частиц зависит от момента импульса, так что частицы могут иметь энергию, большую чем та величина Яо, для которой пучок с распределением "водяной мешок" имеет такой же радиус. Для электрического потенциала получено уравнение, аналогичное уравнению Бесселя, которому удовлетво

II « II ТЛ ряет потенциал в случае распределения водяной мешок. Решения этого уравнения найдены численно. Кроме того, рассмотрены предельные свойства этих решений при увеличении тока пучка и приближении его к предельному значению, равному току Бриллю-эновского потока для данного радиуса пучка. Из них, в частности, вытекает, что с приближением тока пучка к току Бриллюэновско-го потока область допустимых значений интегралов движения сжимается в точку, соответствующую значениям этих интегралов для Бриллюэновского потока, а плотность частиц стремится к плотности Бриллюэновского потока. Это свойство справедливо и для других распределений с заданным радиусом пучка, в частности, и для распределения "водяной мешок." Таким образом, это распределение, хотя и не может считаться распределением даваемым с помощью явных выражений через известные функции, все же помогает исследовать важную аналитическую проблему предельного поведения распределения частиц.

Подробно рассмотрены также самосогласованные распределения с равномерным распределением заряда по сечению пучка. Для них область допустимых значений интегралов движения принимает более простой вид. Для известных распределений Капчинского-Владимирского и "жесткого ротатора" указаны отрезки, являющиеся носителями распределений в пространстве интегралов движения. Предложены также новые распределения, являющиеся линейными комбинациями распределений "жесткого ротатора." Такие линейные комбинации легко могут быть проанализированы в рамках предложенного подхода, хотя в рамках других подходов (например, 37]) такой анализ невозможен.

Далее, на основе выражения для плотности пучка записано интегральное уравнение для плотности частиц в пространстве интегралов движения. Показано, как можно находить широкие классы решений этого интегрального уравнения. Приводится пример, когда решение содержит полином третьей степени.

Наконец, рассмотрен пучок с равномерным распределением заряда по сечению пучка в продольном магнитном поле медленно изменяющемся вдоль оси, которое не обязательно является периодическим. Для такого пучка в качестве одного из интегралов движения вместо энергии поперечного движения найден новый интеграл, полученный на основе анализа системы Ермакова, к которой сводятся уравнение радиального движения частицы и уравнение огибающей пучка. Показано, что при этом все результаты, полученные ранее для равномерно заряженного пучка с постоянным радиусом переносятся на этот случай.

Таким образом, для продольно неоднородного пучка мы получаем аналог потока Бриллюэна, аналоги распределения Капчинского

Владимирского и "жесткого ротатора", аналоги их линейных комбинаций, а также аналогичное интегральное уравнение для плотности и аналоги его решений для продольно - неоднородного пучка. Все эти распределения представляют собой новые, ранее неизвестные распределения. В общем случае эти распределения не вырождены, то есть занимают ненулевой объем в четырехмерном фазовом пространстве поперечного движения.

Значение этих распределений состоит в том, что они позволяют обосновать возможность использования другой модели интенсивного пучка заряженных частиц - уравнения для огибающей, поскольку для таких распределений имеет место равномерное распределение частиц по сечению пучка, которое сохраняется при эволюции пучка, то есть выполнено то условие, при выполнении которого только и может быть произведен вывод уравнения для огибающей пучка из уравнения радиального движения частиц.

Некоторые из найденных самосогласованных распределений моделировались численно. В результате моделирования получены результаты, близкие к теоретическим. Кроме того, результаты моделирования говорят о технической устойчивости найденных самосогласованных распределений.

Что касается управления интенсивными пучками заряженных частиц, то здесь рассмотрены математические модели управления потоками частиц высокой плотности. В общем случае пучок рассматривается как ансамбль траекторий динамической системы, описываемой интегро-дифференциальным уравнением, правая часть которого зависит от плотности частиц, а начальные состояния этой системы заполняют некоторое компактное множество в фазовом пространстве. При этом плотность частиц, являющаяся одновременно и плотностью представляющих динамических систем в рассматриваемом фазовом пространстве, удовлетворяет уравнению Власова или аналогичному ему уравнению. Кроме того, предполагается, что правые части уравнений зависят от управления, которое есть некоторая векторная функция времени и, возможно, и фазовых координат. В качестве управления рассматривался, в частности, закон изменения фазы равновесной частицы, отвечающей устойчивому состоянию равновесия в движущейся системе координат.

Рассмотрены также частные случаи, когда при описании пучка используются уравнения для его огибающих по всем или по части переменных. Это возможно при определенных условиях на распределение частиц, в частности, для аксиально-симметричного стационарного пучка в продольном магнитном поле с равномерным распределением частиц по поперечному сечению. Аналогичная ситуация возникает также в каналах с пространственно однородной ква-друпольной фокусировкой и с трубками дрейфа, когда уравнения динамики при определенных условиях линеаризуются по части переменных.

Во всех этих случаях получены выражения для вариации функционала, зависящего от распределения частиц в некоторый момент времени и во все промежуточные моменты, при вариации управления. Указанные вариации зависят от некоторых дифференциальных форм и скалярных функций, удовлетворяющих интегро-дифференциальному уравнению, сопряженному исходному, и конеч

Полученное выражение для вариации функционала позволяет решать задачу его минимизации в некотором классе управлений, используя метод градиентного спуска. Для реализации метода предложен алгоритм, аналогичный используемому ранее для систем частиц малой плотности, в котором используется сетка в лагранжевых координатах: вводится некоторая сетка в фазовом пространстве в начальный момент времени, а затем рассматриваются изменения и и /-Ч всех величин вдоль траектории узлов этой сетки. С использованием такой сетки могут быть вычислены некоторые конечномерные аппроксимации вариации функционала и построено новое управление, даюш;ее меньшее значение функционала.

Предложенный аппарат может использоваться не только в простейшем случае шестимерного фазового пространства, координатами в котором являются координаты частиц, рассматриваемых как точечные, в конфигурационном пространстве и их скорости, но и в более обш;ем случае: в рамках некоторой модели пучка в виде совокупности крупных частиц. Это, в частности, модели пучка в ускорителе с пространственно-однородной квадрупольной фокусировкой и с переменно-фазовой фокусировкой. В рамках этих моделей были проведены численные исследования, показавшие возможность оптимизации таких ускорительных структур. При этом в одной из компонент управляюш;ей вектор-функции использовалась фаза синхронной частицы. В качестве примера приведено несколько структур с пространственно однородной фокусировкой, с трубками дрейфа и ускорительным зазором, полученных в результате

245оптимизации.

Разработана концепция и общие принципы построения программного обеспечения и объектной среды для решения задач моделирования и управления системами заряженных частиц высокой плотности.

В соответствии с этой концепцией был разработан ряд объектов и создано программное обеспечение, которые использовались затем при численных расчетах.

В заключение автор выражает глубокую благодарность научному консультанту д.ф.-м.н., проф. Овсянникову Л.А. за полезные обсуждения, постоянное внимание и интерес к работе.

1. Алишеров A.A., Овсянников Д.А., Папкович В.Г., Шулика Н.Г. Оптимизация радиально-фазового движения в ускорителе с фокусировкой ускоряющим полем // Вопр. атомной науки и техники. Сер.: Техника физ. эксперимента, 1981, вып. 3(9). - С. 55-56.

2. Арсеньев A.A. Введение в теорию кинетических уравнений. -М.:Наука, 1992. 212 с.

3. Арсеньев A.A. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР, 1973, т.213, N 4. -С. 761-763.

4. Арсеньев A.A. Единственность и существование в малом классического решения системы уравнений Власова // Докл. АН СССР, 1974, Т.218, N 1. С. 11-12.

5. Арсеньев A.A. О существовании статистических решений системы уравнений Власова // Докл. АН СССР, 1975, т.220, N 6. С. 1249-1250.

6. Арсеньев A.A. Существование в целом слабого решения системы уравнений Власова // Журн. вычисл. мат. и матем. физики, 1975, Т.15, N 1. С. 136-148.

7. Арсеньев A.A. О существовании стохастических и статистических решений у нелинейных уравнений // Проблемы математической физики и вычислительной математики М.: Наука, 1977. - С. 25-34.

8. Арсеньев A.A. О существовании турбулентной меры для системы уравнений Власова // Мат. сб., 1977, т.102(144), N 1. -С. 13-32.

9. И. Арушанян О.В., Залеткин С.Ф. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений на фортране. М.: изд-во МГУ, 1990. - 336 с.

10. Батыгин Ю.К. Моделирование распределений частиц в четырехмерном фазовом пространстве // Физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника. М.: Энергоатомиздат, 1992. - С.30-36.

11. Бондарев Б.И., Гаращенко Ф.Г., Дуркин А.П., Цулая A.B. Об одном подходе к численному расчету самосогласованного поля пучка // Вестн. Киев, ун-та. Сер.: Моделирование и оптимизация сложных систем, 1984, вьш.З. С. 67-71.

12. Буданов Ю.А. Распределение фазовой плотности в шестимерном фазовом пространстве для интенсивных пучков ионов. // Журн. техн. физики, 1984, т.54, вып. 6. С. 1068-1075.

13. Бу л дыр ев B.C., Павлов B.C. Линейная алгебра и функции многих переменных. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985. - 496 с.

14. Вавилов С.А., Овсянников Д.А. Статистический метод анализа применимости одночастичного приближения в динамике пучков заряженных частиц // Вопр. атомной науки и техники. Сер.: Техника физ. эксперимента, 1986, вып. 1(27). С. 70-71.

15. Веденяпин В.В. Граничные задачи для стационарного уравнения Власова. // Докл. АН. 1986, т.290, N4. С. 777-780.- 24922. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. - 512 с.

16. Владимирский В.В., Капчинский И.М., Тепляков В.А. Линейный ускоритель ионов // Открытия, изобретения, промышленные образцы, товарные знаки // 1970, N 10. С. 75.

17. Власов A.A. О вибрационных свойствах электронного газа // Журн. эксп. и теор. физики, 1938, т.8, вып. 3. С. 291-318.

18. Власов A.A. Теория многих частиц. М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. -348 с.

19. Власов А.Д. К теории неламинарного электронного потока, фокусируемого магнитным полем //Радиотехника и электроника, 1964, т. 9, N.7. С. 1234-1245.

20. Власов А.Д. Самосогласованные цилиндричекие пучки постоянной плотности // Журн. технич. физики, 1979, т. 49, вып.9. -С. 1821-1826.

21. Власов А.Д. Компенсированные электронные пучки с заданным распределением тока // Журн. технич. физики, 1981, т. 51, вьш. 1. С. 185-188.

22. Власов М.А., Коваленко Ю.А., Малафеев O.A., Никонов C.B. Магнитная компрессия релятивистского электронного пучка // Радиотехника и электроника, 1981, т. 26, N 11. С. 2370-2373.

23. Вялов Г.Н. Структура стационарного двухскоростного электронного потока с компенсированным зарядом // Журн. технич. физики, 1975, т. 45, вып.2. С. 248-254.

24. Гаркуша В.И., Карташев В.П., Котов В.И., Сахаров В.П. Метод моментов в задачах магнитной оптики // Журн. технич. физики, 1980, т. 50, вып.1. С. 16-23.

25. Григорьев В.П. Исследование равновесной структуры несовпадающих по радиусу электронно-ионных пучков // Журн. технич. физики, 1985, т. 55, вып.7. С. 1306-1310.

26. Гудков В.И., Овсянников Д.А., Рябцов A.B., Свистунов Ю.А. Численная оптимизация движения электронов в волноводном группирователе // Электрофизическая аппаратура, вып. 11. -М.: Атомиздат, 1974. С. 160-166.

27. Гусев A.B., Масунов Э.С. Расчет собственного поля пучка с учетом азимутальной составляющей в методе крупных частиц. // Линейные ускорители М.: Энергоатомиздат, 1987. - С. 6367.

28. Давидсон Р. Теория заряженной плазмы. М.: Мир, 1978. -216 с.- 25138. Добрушин Р.Л. Уравнение Власова // Функциональный анализ и его приложения, 1979, т. 13, вып.2. С. 48-58.

29. Дривотин О.И. О влиянии взаимодействия между волокнами на их движение в электрическом поле // Математические методы исследования управляемых механических систем. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. - С. 43-50.

30. Дривотин О.И. О динамике интенсивного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Ред. ж. Вестник ЛГУ. Мат., мех., астр.- Л., 1987.- 17 с. Деп. в ВИНИТИ 15.04.87, N 2603 -В 87.

31. Дривотин О.И. О оптимальном управлении пучком заряженных частиц в аксиально симметричном поле // Ред. ж. Вестник СПбГУ. Мат., мех., астр.- С.-Пб., 1994.- 7 с. Деп. в ВИНИТИ 10.11.94, N 2535 -В 94.

32. Дривотин О. И., Овсянников Д. А. Об определении стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1987, т.27, N 3. -С. 416-427.

33. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. О новых классах стационарных решений уравнения Власова для аксиально-симметричного пучка заряженных частиц с постоянной плотностью// Журн. вычисл. математики и матем. физики, 1989, т.29. N 8. -С. 1245-1250.

34. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. О самосогласованных распределениях для пучка заряженных частиц в продольном магнитном поле // Докл. РАН. 1994, т.ЗЗ, N3. С. 284-287.

35. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Новые классы самосогласованных распределений, неоднородных вдоль оси пучка // Во-пр. атомной науки и техники. Сер.: Ядерно-физические исследования, 1997, вып. 2, 3 (29, 30). С. 93-95.

36. Дривотин О.И., Овсянников Д.А., Ворогушин М.Ф., Свистунов Ю.А. Моделирование и оптимизация ускоряющих структур с ПОКФ и ФПФ // Вопр. атомной науки и техники. Сер.: Ядерно-физические исследования, 1997, вып. 2, 3 (29, 30). С. 90-92.

37. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Разработка математического обеспечения для управляющих систем безопасной энергетической установки //II Научный семинар памяти В.Н. Саранцева, Дубна, 23-24 сент. 1997. Дубна: Изд. отд. ОИЯИ, 1998. - С. 143-147.

38. Дривотин О.И., Овсянников Д.А. Самосогласованные распределения для пучков заряженных частиц. СПб.: СПбГУ, 2001. - 108 с.

39. Дымников А.Д., Перельштейн Э.А. Метод моментов в динамике пучков заряженных частиц. Дубна, 1977. - 16 с. (Препринт Объед. ин-та ядерных исслед.: Р9-10620).

40. Жабко A.n., Колабутин В.М. Моделирование динамики пучка заряженных частиц с учетом их взаимодействия на основе приближения эллипсоидом в фазовом пространстве // Вопр. атомной науки и техники. Сер.: Техн. физич. эксп., 1983, вьш. 2, N 6.

41. Жабко A.n., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: СПбГУ, 1993. - 320 с.

42. Зубов В.И. Динамика управляемых систем. М.: Высш. школа, 1982. - 285 с.

43. Иорданский C.B. О задаче Коши для кинетического уравнения плазмы. Тр. мат. ин-та АН СССР, 1961, т.60. - С.181-194.

44. Кабанов B.C. Динамика пучков с учетом кулоновского взаимодействия // Линейные ускорители ионов. Т.1. Проблемы и теория / Под ред. В.П.Мурина. М.: Атомиздат, 1978. С. 225246.

45. Капчинский И.М. Линейный ускоритель ионов с высокочастотной жесткой фокусировкой. Серпухов, 1972. (Препринт ИВ-ФЭ. Инж. 72-79).

46. Капчинский И. М. Теория линейых резонансных ускорителей: Динамика частиц. М.: Энергоиздат, 1982. - 240 с.

47. Картан Э. Интегральные инварианты М.-Л.: Гостехиздат, 1940. - 216 с.

48. Кирштейн П.Т., Кайно Г.С, Уотерс У.Е. Формирование электронных пучков. М.: Мир, 1970. - 600 с.

49. Кузнецов B.C. Метод расчета внутренней структуры неламинарных аксиально симметричных интенсивных потоков заряженных частиц с нулевыми тепловыми скоростями // Журн. технич. физики, 1968, т. 38, вып.2. С. 274-278.

50. Кузнецов B.C., Фидельская Р.П. Интенсивные пучки с произвольным распределением фазовой плотности во внешних фоку-сируюш;их полях // Журн. технич. физики, 1970, т. 40, вьш.10.- С. 2099-2105.

51. Кушин В.В. О повышении эффективности фазопеременной фокусировки в линейных ускорителях // Атомная энергия, 1970, Т.29, N2. С. 123-124.

52. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1967. -460 с.

53. Летавин М.И. О движении потока частиц в линейном ускорителе // Дифференциальные и интегральные уравнения, вьш. 3.- Горький: Горьковский гос. ун-т., 1979. С. 169-173.- 25672. Либов Р. Введение в теорию кинетических уравнений. М.: Мир, 1974. - 372 с.

54. Лихтенберг А. Динамика частиц в фазовом пространстве. -М.: Атомиздат, 1972. 304 с.

55. Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. — М.: Мир, 1980. 440 с.

56. Матышев A.A. об изотраекторной динамике импульсных потоков ионов // Журн. технич. физики, 1997, т. 67, вып.5. С. 99-102.

57. Матышев A.A. Изотраекторная корпускулярная оптика. — СПб: Наука, 2000. 376 с.

58. Масунов Э.С., Раш;иков В.И. Исследование нестационарной динамики сильноточного релятивистского пучка в волновых секциях ЛУЭ // Журн. технич. физики, 1978, т. 48, вып. 12. С. 2533-2540.

59. Масунов Э.С., Новиков А.П. Динамика ионных пучков в лине-ондутроне с плоским электростатическим ондулятором. — М, 1990. 23 с- (Препр./ Моск. инж.- физ. ин-т; С55-90).

60. Мешков И.Н. Транспортировка пучков заряженных частиц. — Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1991. 224 с.

61. Овсянников Д. А. Математические методы управления пучками. Л.: Изд-во ЛГУ, 1980. - 228 с.

62. Овсянников Д. А. О динамике заряженных частиц в продольном магнитном поле // Журн. технич. физики, 1985, т. 55, вып.9. С. 1879-1880.

63. Овсянников Д.А. Моделирование и оптимизация динамики пучков заряженных частиц. Л.: Изд-во ЛГУ, 1990. - 312 с.

64. Овсянников Д.А., Егоров Н.В. Математическое моделирование систем формирования электронных и ионных пучков. — СПб.: Изд-во СПбГУ, 1998. 276 с.

65. Папкович В.Г., Хижняк П.А., ТПулика Н.Г. Переменно-фазовая фокусировка в линейных ускорителях // Вопр. атомной науки и техники. Сер.: Техника физ. эксперимента, 1978, вып. 2(2).1. С. 51.

66. Плотников В.К. О фокусировке интенсивных электронных пучков продольным магнитным полем // Атомная энергия, 1975, Т.39, N5. С. 353-356.

67. Понтрягин Л. С, Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. - 392 с.

68. Рошаль A.C. Моделирование заряженных пучков. М.: Атом-издат, 1979. - 224 с.- 25890. Рудых Г.А., Сидоров H.A., Синицин A.B. О стационарных решениях системы уравнений Власова Максвелла. // Докл. АН. 1988, Т.302, N3. - С. 594-597.

69. Рудяк Ю.В. Об эмиттансных характеристиках ионных пучков // Журн. технич. физики, 1984, т. 54, вып.7. С. 1334-1337.

70. Самарский A.A. Роль численных методов в физике плазмы // Численные методы в физике плазмыю М.: Наука, 1977. - С. 3-7.

71. Самарский A.A. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1980, т. 16., N 11. С. 1925-1935.

72. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.1. М.: Наука, 1974. - 336 с.

73. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т.4, ч.2. — М.: Наука, 1981. 552 с.

74. Тепляков В.А. Аксиально-симметричный пучок частиц в статическом поле // Приборы и техника эксперимента, 1968, N 6. С. 13-16.

75. Файнберг Я.Б. Переменно-фазовая фокусировка в линейных ускорителях // Журн. техн. физики, 1959, т.29, вып. 5 С. 568569.

76. Файнберг Я.Б. О возможности одновременной радиальной и фазовой устойчивости в линейных ускорителях без специальных фокусирующих устройств. // Теория и расчет линейных ускорителей. М.: Госатомиздат, 1962. - С.161.

77. Фейнман Р. Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Электродинамика. М.: Мир, 1977. - 350 с.

78. Чихачев A.C. Стационарные состояния тонкого неоднородного электронного пучка во внешних полях // Физика плазмы, 1983, т. 9, вьш.2. С. 378-382.

79. Чихачев A.C. Сильноточный электронный пучок в ускоряющем промежутке с магнитной квадрупольной системой // Журн. техн. физики, 1983, т. 53, вьш.8. С. 1513-1516.

80. Чихачев A.C. Равновесие релятивистского электронного пучка в магнитной квадрупольной системе // Журн. техн. физики, 1984, т. 54, вьш. 1. С. 103-106.

81. Чихачев A.C. Ускорение тонкого мощного неламинарного электронного пучка // Журн. техн. физики, 1984, т. 54, вьш.4. С. 819-821.

82. Чихачев A.C. Нестационарная самосогласованная модель эллипсоидального сгустка заряженных частиц // Журн. техн. физики, 1984, т. 54, вьш.9. С. 1694-1699.

83. Шварц Л. Анализ. Т. 1,2. М.: Мир, 1972.

84. Alvarez L.W. The design of the proton linear accelerator / / Phys.Rev., 1946, V.70, N 9&;10. P. 799-800.

85. Batt J. Global symmetric solution of the initial value problem of stellar dynamics // J.Differential Equations, 1977, v.25, N 3. P. 342-364.

86. Berdos C, Degond P. Existence globale et comportement asymptotique de la solution de I'equation de Vlasov-Poisson // C. r. Acad, sei., 1983, ser.l, V.297, N 6. P. 321-324.

87. Bernstein I.B., Green J.M., Kruskal M.D. Exact nonlinear plasma oscillations // Phys. Rev., 1957, v.l08, N 3. P. 546-550.

88. Birdsall O.K., Bridges W.B. Electron dynamics of diode regions. -New York: Academic Press, 1966. 270 p.

89. Blewett J.P. Radial focusing in the hnear accelerator // Phys.Rev., 1952, V.88, N 5. P. 1197-1199.

90. Chen C, Pakter R., Davidson R.C. Rigid-rotor Vlasov equilibrium for an intense charged particle beam propagating through a periodic solenoidal magnetic field. // Phys. Rev. Lett., 1997, vol.79, N 2. P. 225-228.

91. Cooper R.K. Solenoid-lens effect in beam transport equations // Particle Accelerators, 1975, v.7, N 1. P.41-47.

92. Courant E.D., Livingston M.S., Snyder H.S. The strong-focusing synchrotron a new high energy accelerator // Phys.Rev., 1952, v.88, N 5. - P. 1190-1196.

93. Courant E.D., Snyder H.S. Theory of the alternating-gradient synchrotron // Annals of Physics, 1958, vol. 3, N 1. P. 1-48.

94. Davidson R. C. Theory of nonneutral plasmas. Reading (Massachusetts): Addison-Wesley Publishing Co., 1990.

95. Davidson R.C, Krall N.A. Vlasov description of an electron gas in a magnetic field // Phys. Rev. Letters, 1969, vol.22, N 16. P. 833-836.

96. Davidson R.C, Krall N.A. Vlasov equihbria and stability of an electron gas. //Phys.Fluids, 1970, vol.13, N 6. P. 1543-1555.

97. Davidson R.C, Qian Q. Phase advance for an intense charged particle beam propagating through a periodic quadrupole focusing field // Physics of Plasmas, 1994, vol.1, N 9. C. 3104-3114.

98. Davidson R.C, Striffler CD. Self-consistent Vlasov equilibria for intense hollow relativistic electron beams // Journ. Plasma Phys., 1974, vol.12, part 3. P. 353-364.

99. Davidson R.C, Uhm H. Vlasov equilibrium and electrostatic stability properties of nonrelativistic nonneutral E layer // Phys. Fluids, 1976, vol.19, N 10. P. 1608-1620.

100. Davidson R.C, Uhm H.S. Stability properties of an intense relativistic non-neutral electron ring in a modified betatron accelerator // Phys. Fluids, 1982, vol.25, N 11. P. 2089-2100.

101. Davidson R.C. Kinetic stability theorem for relativistic non-neutral flow in a planar diode with applied magnetic field // Phys. Fluids, 1985, vol.28, N 1. P. 377-386.

102. Drivotin O.I. Numerical solution of the optimal control problem for charged particle beam // Proc. of Int. Workshop "Beam dynamics and Optimization", July 4-8, 1994, St.-Petersburg / St.-Petersburg State Univ. St.-Petersburg, 1995. - P. 63-68.

103. Drivotin O.I. Some problems of electrodynamics with application to charged particle beam // Proc. of 3 Int. Workshop "Beam dynamics and Optimization", July 1-5, 1996, St.-Petersburg / St.-Petersburg State Univ. St.-Petersburg, 1997. - P. 108-113.

104. Drivotin O.I., Ovsyannikov D.A. On self-consistent distributions of charged particles in longitudinal magnetic field // Proc. of Int. Workshop

105. Beam dynamics and Optimization", July 4-8, 1994, St.-Petersburg / St.-Petersburg State Univ. St.-Petersburg, 1995. - P. 69-76.

106. Drivotin O.I., Ovsyannikov D.A., Svistunov. Yu.A., Vorogushin M.F. Mathematical models for accelerating structures of safe energetical installation // Proc. of 6 Europ. Part. Accel. Conf. EPAC'98, June 22-26, 1998, Stockholm. P. 1227-1229.

107. Drivotin O.I., Ovsyannikov D.A., Particle distributions for beam in electric field // Proc. of 1999 Part. Accel. Conf. PAC'99, 1999, New York. P. 1857-1859.

108. Drivotin O.I., Ovsyannikov D.A. Modeling of self consistent distributions for beam with nonconstant radius in magnetic field // 7 Int. Workshop

109. Beam dynamics and Optimization", July 6-9, 2000, St.-Petersburg. Abstr. / St.-Petersburg State Univ. St.-Petersburg, 2000. - P. 12.

110. Gluckstern R.L. Analytic model for halo formation in high current ion linacs // Physical Review Letters, 1994, vol.73, N 9. C. 1247-1250.

111. Gluckstern R.L.,Cheng W.-H., Ye H. Stability of a uniform-density breathing beam with circular cross-section // Physical Review Letters, 1995, vol.75, N 15. C. 2835-2838.

112. Gluckstern R. L., Fedotov A. V., Kurennoy S., Ryne R. Halo formation in three-dimensional bunches // Physical Review E, 1998, vol.58. -C. 4977-4990.

113. Good M.L. Phase-reversal in Hnear accelerators // Phys. Rev., 1953, V.92, N 2. P.538.

114. Hammer D.A., Rostoker N. Propagation of high current relativistic electron beams // Phys. Fluids, 1970, v.l3, N 7. P. 1831-1850.

115. Hofmann I. Transport and focusing of high intensity unnetraHzed beams // Applied charged particle optics / Ed. A.Septier. Part C: Very- high-density beams. — New-York: Academic Press, 1983. C. 49-140.

116. Horst E. On the classical solutions of the initial value problem for the unmodified nonlinear Vlasov equation, I // Math. Meth. Appl. Sci.,1981, V.3. P.229-248.

117. Joice G., Knorr G., Meier H.K. Numerical integration methods of the Vlasov equation // Journ. Comput. Phys.,1971, v.8. P. 53-63.

118. Kapchinsky I., Vladimirsky V. Limitations of proton beam current in a strong focusing linear accelerator, associated with beam space charge. // proc. of the II Int. Conf. on High Energy Accelerators, Geneva, Cern, 1959. C. 274-288.

119. Lawson J.D. Space charge optics // Applied charged particle optics / Ed. A.Septier. Part C: Very- high-density beams. — New-York: Academic Press, 1983. C. 1-48.

120. Lee E.P., Cooper R.K. General envelope equation for cylindrically symmetric charge particle beams // Particle Accelerators, 1976, vol. 7, N 2. C. 83-95.

121. Lewis H.R., Leach P.G. A direct approach to finding exact invariants for one dimensional time-dependent classical Hamiltonians / / J . Math. Phys., 1982, vol. 23, N 12. P. 2371-2374.

122. Lewis H.R., Simon K.R. Exact time-dependent solutions of the Vlasov-Poisson equations // Phys. Fluids, 1984, vol. 27, N 1. P. 192-196.

123. Marx K. D . Equilibria and stability of colisionless plasmas in cilindrical geometry // Phys. Fluids, 1968, vol. 11, N 2. P., 357-365.

124. Ott E. Toroidal equilibria of electrically unneutralized intense relativistic electron beams // Plasma Phys., 1971, vol. 13, N 7. P. 529-536.

125. Ray J.R. N-dimensional nonlinear systems with exact invariants. // Adv.Nonlinear Waves, 1984, vol.1. P. 230-233.

126. Ray J.R., Reid J.L. Ermakov systems, nonlinear superposition and solutions of nonlinear equations of motion // Journ. Math. Phys, 1980, vol.21, N 7. P. 1583-1587.

127. Reiser M. Theory and design of charged particle beams New York: John Wiley k Sons, 1994. - 564 p.

128. Rensink M.E. Self-consistent relativistic beam equihbria // Phys. Fluids, 1971, vol. 14, N 10. P. 2241-2242.

129. Rensink M.E. Thin E-layer equihbria // Phys. Fluids, 1973, vol. 16, N 3. P. 443-449.

130. Rostoker N., Rosenbluth M.N. Test particles in a completely ionized plasma // Phys. Fluids 1960, vol. 3, N 1. P. 1-14.

131. Saherer F. RMS envelope equations with space charge // IEEE Trans. NucL Sci., 1971, V. 18, N 3.- P 1105-1108.

132. Saraph G.P., Reiser M. // Particle Accelerators, 1995, vol.49. P. 15-26.- 269176. Ukai S., Okabe T. On classical solutions in the large in time of two dimensional Vlasov's equation. // Osaka J. Math. 1978, vol. 15, N 2. P. 245-261.

133. Wallman S. The spherically symmetric Vlasov-Poisson system. // J.Differential Equations, 1980, vol. 35, N 1. P. 30-35.

134. Wallman S. Global-in-time solutions of two dimensional Vlasov-Poisson system. // Comm.Pure. Appl. Math., 1980, vol. 33. P. 173-197.

135. Wallman S. Existence and uniqueness theory of the Vlasov-Poisson system with application to the problem with cylindrical symmetry // J. Math. Anal. Appl. 1982, vol. 90, N 1. P. 138-170.

136. Walsh T.R. A normal beam with linear focusing and space charge forces. // Plasma Phys., 1963, vol. 5, N 1. P. 17-22.